7/25/2019 Sol_P3MAT117-2S-05_

1/3

Solucin Prueba N3

Problema N1. Se tiene que,

1 1lim( 1)! ( 1)

N

Nn n

n n

n n

= =

= !+ +

1

1 1lim

( 1)!

N

Nn

n

n =

+ =

+

1

1 1lim

! ( 1)!

N

Nn n n =

=

+

1lim 1

( 1)!N N

=

+

= 1.

Problema N2.

(2.1) En primer lugar, note que para todo n ,n 3 se tiene que2(ln( ))

0.n

n>

Si f(x) =2(ln( ))x

xentonces,

2(ln( ))lim ( ) limx x

xf x

x =

2ln( )limx

x

x=

2limx x

= = 0,

y para todo x tal que x > e 2, se tiene que

f (x) =2

ln( ) (2 ln( ))0

x x

x

< .

Se sigue que2(ln( ))

lim 0n

n

n= y la sucesin

22(ln( )) ; ,

nn n e

n

>

es

decreciente. Luego, por el criterio de Leibnitz, la serie2

3

(ln( ))( 1)n

n

n

n

=

converge.

(2.2) Estudiemos la convergencia de la serie2

3

(ln( ))( 1) .n

n

n

n

=

7/25/2019 Sol_P3MAT117-2S-05_

2/3

La serie2 2

3 3

(ln( )) (ln( ))( 1) ,n

n n

n

n n

= =

= n

3

por el criterio de comparacin ,

diverge ya que para todo se tiene que,n n 21 (ln( ))n

n n< y la serie

3

1

n n

=

diverge.

En consecuencia, la serie2

3

(ln( ))( 1)n

n

n

n

=

converge condicionalmente.

Problema N3. Para todo n , se tiene que 2[0,1]

supn n

x

n nx

e e= .

Adems, la serie1

nn

n

e

= converge pues1

( 1) 1 1 1lim lim 1.

n

nn n

n e n

e n e n e+

+ +

= = <

Por lo tanto, por el criterio de Weirstrass, la serie 2

1n

n

nx

e

= converge

uniformemente en [0, 1].

Problema N4. Setieneque,

1 1 2

2 1( 1) (3 1) 6lim ( 1) 6 ( 1) (3 1)

n n n

n n nnx n

n x

+ +

+

+

=

2

2lim 3 16 ( 1)n

nx

n + =

1 1.

2 3x

Porlotanto,laserie2

1

( 1) (3 1)

6

n n

nn

x

n

=

convergeabsolutamentesi

12

3x <

ydivergesi1

2.3

x > As,laserieconvergeen5 7

,3 3

.

Six=5

3entonces

21 1

( 1) ( 6) 1

6

n n

nn nn n

= =

= 2 ,lacualconvergepuesp=2>1.

Six=7

3entonces

21 1

( 1) 6 1( 1) ,

6

n nn

nn nn n

= =

= 2 lacualconvergeporelcriterio

deLeibnitz.

Enconsecuencia,eldominiodeconvergenciadelaseriees5 7

, .3 3

7/25/2019 Sol_P3MAT117-2S-05_

3/3