El Solucionario de Matemticas para 3. de ESOes una obra colectiva, concebida, diseaday creada en el departamento de EdicionesEducativas de Santillana, dirigidopor Enric Juan Redal.

En su realizacin han intervenido:

Ana Mara GazteluAugusto Gonzlez

EDICINRafael NevadoCarlos Prez

DIRECCIN DEL PROYECTODomingo Snchez Figueroa

Santillana

Matemticas 3 ESOBiblioteca del profesoradoSOLUCIONARIO

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PPrreesseennttaacciinn

2

134

Sistemas de ecuaciones5

ECUACIN LINEAL CON DOS INCGNITAS

CLASES DE SISTEMAS RESOLUCIN GRFICA

SISTEMAS DE DOS ECUACIONESCON DOS INCGNITAS

SUSTITUCIN IGUALACIN REDUCCIN

MTODOS DE RESOLUCIN

RESOLUCIN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE

DOS ECUACIONES Y DOS INGGNITAS

Una clase improvisada

Estar invitado a la fiesta de la Primavera, que cada ao se celebraba en el palacio del maharaj, era un honor reservado tan solo a los personajesms influyentes.

Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane,coincidieron en reconocer que el maharaj era muy generoso al enviar a su squito para llevarlos a palacio.

El joven ayudante pas la mitad del camino quejndose de las disciplinas que tena que estudiar:

Maestro, por qu tengo que estudiar lgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incgnitas Y que la incgnita pueda ser cualquier cosa es antinatural.

Brahmagupta tom la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explic a su discpulo la utilidad del lgebra:

Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharaj, y la cruz coronada de cuatro crculos no es solo un dibujo, es el smbolo de la ciudad. En Matemticas lo ms sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con nmeros y, despus, interpretar el resultado.

Tras estas palabras, maestro y discpulo permanecieron en silencio durante el kilmetro que faltaba para llegar al palacio.

Con ayuda de una ecuacin, calcula la distancia que ambos recorrieron a lomos del elefante.

x = distancia

2x + x + 4 = 4x x = 4

Recorrieron una distancia de 4 km.

12

14

1x x x++ ++ ==

El nombre de la serie, LLaa CCaassaa ddeell SSaabbeerr, responde al planteamiento depresentar un proyecto de Matemticas centrado en la adquisicin de loscontenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en lavida real. El saber matemtico, dentro de la etapa obligatoria de la ense-anza, debe garantizar no solo la interpretacin y la descripcin de la rea-lidad, sino tambin la actuacin sobre ella.

En este sentido, y considerando las matemticas a estos niveles como unamateria esencialmente procedimental, recogemos en este material la rreessoo--lluucciinn ddee ttooddooss llooss eejjeerrcciicciiooss yy pprroobblleemmaass formulados en el libro del alum-no. Pretendemos que esta resolucin no sea solo un instrumento sino quepueda entenderse como una propuesta didctica para enfocar la adquisi-cin de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en ellibro del alumno.

73

2

c) La distancia de la Tierra a Neptuno:

4,5 109 1,496 108 = 4,5 109 0,1496 109 = 4,3504 109 kmLa velocidad es de 360.000 km/h = 3,6 105 km/h.De la Tierra a Neptuno se tarda:

(4,3504 109) : (3,6 105) = 1,2084 104 = 12.084 horas = 503,5 dasEn ir y volver se tardar el doble, es decir, 1.006 das, lo que equivaleaproximadamente a 2 aos y 9 meses, luego s podramos ir y volver de Neptuno.

Ten en cuenta que estamos suponiendo que desde el primer momentoalcanzamos la velocidad mxima de 360.000 km/h.

Sergio acaba de llegar a Londres. Antes de su viaje cambi en el banco200 libras y este es el recibo que le dieron.

Un euro vale 0,649900 libras, por lo que las 200 libras que cambile costaron 307,74 .Sergio quiere comprarse unospantalones que cuestan 48,5 librasy necesita calcular su coste en euros para hacerse una idea de su valor.a) Crees que es correcta su

estimacin? Qu error comete?b) Si las cinco noches de hotel

le cuestan 467 libras, cul serel valor en euros que har Sergiosegn sus estimaciones? Y cul ser el valor real?

a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 , por lo que la estimacin es errnea, y Sergiocomete un error absoluto de 14,63 y un error relativo de 0,196 .

b) El valor real es de 718,57 , y el error que cometer es de: 718,57 0,196 == 140,84 . Por tanto, l estimar: 718,57 140,84 = 577,73 .

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Comisiones y gastos

(firma del interesado)

BAN

CO BAN

CO

(firma y sello)BBAANNCCOO

106

Cuesta unos 60

SOLUCIONARIO

72

EN LA VIDA COTIDIANA

Navegando en Internet hemos llegado a la siguiente pgina.

a) Qu distancia hay entre Mercurio y Saturno?b) Qu distancia es mayor, la de la Tierra a Urano o la de Marte a Neptuno?c) Con una nave como la que describe en la segunda pgina, cunto se tardara

en llegar a Neptuno? Podramos visitar Neptuno y volver a la Tierra?

a) La distancia de Mercurio a Saturno:

1,429 109 5,791 107 = 1,429 109 0,05791 109 == 1,37109 109 km

b) La distancia de la Tierra a Urano:

2,87 109 1,496 108 = 2,87 109 0,1496 109 = 2,7204 109 kmLa distancia de Marte a Neptuno:

4,5 109 2,2794 108 = 4,5 109 0,22794 109 = 4,27206 109 kmHay ms distancia de Marte a Neptuno que de la Tierra a Urano.

105

Nmeros reales

Formacin de los planetas

Los planetas se formaron hace unos 4.500 millones de aos, al mismo tiempo que el Sol.

En general, los materiales ligeros que no se quedaron en el Sol se alejaron ms que los pesados.

En la nube de gas y polvo original, que giraba en espirales, haba zonas ms densas, proyectos de planetas.

La gravedad y las colisiones llevaron ms materia a estas zonas y el movimiento rotatorio las redonde

Planetas Radio

ecuatorial Distancia

al Sol (km) Lunas

Periodo de Rotacin

rbita

Mercurio 2.440 km 5,791 107 0 58,6 dias 87,97 das

Venus 6.052 km 1,082 108 0 243 dias 224,7 das

La Tierra 6.378 km 1,496 108 1 23,93 horas 365,256 das

Marte 3.397 km 2,2794 108 2 24,62 horas 686,98 das

Jpiter 71.492 km 7,7833 108 16 9,84 horas 11,86 aos

Saturno 60.268 km 1,429 109 18* 10,23 horas 29,46 aos

Urano 25.559 km 2,87 109 15 17,9 horas 84,01 aos

Neptuno 24.746 km 4,5 109 8 16,11 horas 164,8 aos

*Algunos astrnomos atribuyen 23 satlites al planeta Saturno.

Astronautas

Vivir en el espacioExploracinEstamos solos?

ExploracinExoMarsFuturasexploraciones enMarteNueva formas detransporte

Navegacin espacial

Hasta ahora, casi todas las misiones espacialeshan utilizado motores cohete alimentados concombustibles y comburentes qumicos. Pordesgracia, esos motores no son muy eficaces;por ejemplo, ms de la mitad del peso de lasonda espacial Rosetta de la ESA en elmomento de su lanzamiento era de combustible.

La ESA est estudiando actualmente las formasde reducir la cantidad de combustible que transportan las naves. Una de lasideas consiste en un motor de iones que utilice una pistola elctrica paradisparar gas hacia el espacio.

Aunque la fuerza de empuje del motor cohete elctrico de iones es muypequea, la nave va aumentando gradualmente su velocidad hasta que, llegadoel momento, permite que la nave espacial se despace con mucha rapidez.

La sonda SMART 1 ha probado con xito un motor de iones en su viaje de la Tierra a la Luna. Por cada kilogramo de combustible consumido, ese motorproduce un aumento de la velocidad de la nave diez veces mayor que si fuera unmotor cohete ordinario.

La ESA tambin est estudiando de usar naves espaciales que utilicen velassolares en lugar de motores cohete. La luz solar sopla sobre una vela de grantamao y puede propulsar una nave espacial haci otros planetas. Despus demuchos meses de viaje con el viento del Sol, una nave de ese tipo podraalcanzar una velocidad de 360.000 km/h.

Estacionesespaciales

ExploracinLab

Diversin

Noticias

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3nnddiicceeUUnniiddaadd 00 Repaso 9-13

UUnniiddaadd 11 Nmeros racionales 14-43

UUnniiddaadd 22 Nmeros reales 44-73

UUnniiddaadd 33 Polinomios 74-79

UUnniiddaadd 44 Ecuaciones de primery segundo grado 100-137

UUnniiddaadd 55 Sistemas de ecuaciones 138-177

UUnniiddaadd 66 Proporcionalidad numrica 178-207

UUnniiddaadd 77 Progresiones 208-241

UUnniiddaadd 88 Lugares geomtricos.Figuras planas 242-273

UUnniiddaadd 99 Cuerpos geomtricos 274-309

UUnniiddaadd 1100 Movimientos y semejanzas 310-337

UUnniiddaadd 1111 Funciones 338-365

UUnniiddaadd 1122 Funciones lineales y afines 366-393

UUnniiddaadd 1133 Estadstica 394-421

UUnniiddaadd 1144 Probabilidad 422-447

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4NMEROS

Halla seis mltiplos de cada nmero.a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723

a) 10, 15, 20, 25, 30, 35b) 20, 30, 40, 50, 60, 70c) 100, 150, 200, 250, 300, 350d) 144, 216, 288, 360, 432, 504e) 200, 300, 400, 500, 600, 700f) 900, 1.350, 1.800, 2.250, 2.700, 3.150g) 1.200, 1.800, 2.400, 3.000, 3.600, 4.200h) 1.446, 2.169, 2.892, 3.615, 4.338, 5.061

Obtn dos divisores de los siguientes nmeros.a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725

a) 1 y 5 c) 3 y 50 e) 20 y 80 g) 6 y 100b) 3 y 5 d) 10 y 19 f) 5 y 9 h) 5 y 25

Completa los huecos con la palabra adecuada (mltiplo o divisor).a) 24 es de 6 c) 125 es de 25b) 12 es de 24 d) 51 es de 17

a) 24 es mltiplo de 6 c) 125 es mltiplo de 25b) 12 es divisor de 24 d) 51 es mltiplo de 17

Averigua cules de los siguientes nmeros son primos o compuestos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 y 6.723.

Primos: 79, 239, 313

Compuestos: 93 = 3 31 117 = 32 13 585 = 32 5 13 1.001 = 7 11 13 6.723 = 34 83

Busca los nmeros primos comprendidos entre 100 y 120.

Los nmeros primos entre 100 y 120 son: 101, 103, 107, 109 y 113.

Completa los huecos.a) Div (30) = {1, 2, 3, , , , 15, }b) Div (100) = {1, 2, , , 10, , 25, , 100}c) Div (97) = {, 97}d) Div (48) = {, 2, 3, 4, 6, , , , , }

a) Div (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}b) Div (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}c) Div (97) = {1, 97}d) Div (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

006

005

004

003

002

001

Repaso0

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50

Obtn el m.c.d. de cada pareja de nmeros.

a) 6 y 14 c) 5 y 15 e) 76 y 85 g) 160 y 180b) 9 y 10 d) 42 y 4 f) 102 y 104 h) 281 y 354

a) 2 c) 5 e) 1 g) 20

b) 1 d) 2 f) 2 h) 1

Obtn el m.c.m. de estos nmeros.

a) 7 y 14 c) 9 y 16 e) 61 y 49 g) 150 y 415b) 12 y 7 d) 8 y 25 f) 280 y 416 h) 296 y 432

a) 14 c) 144 e) 2.989 g) 12.450

b) 84 d) 200 f) 14.560 h) 15.984

Obtn el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de nmeros.

a) 25, 50 y 100 c) 40, 42 y 48 e) 8, 10, 12 y 14b) 6, 7 y 8 d) 12, 18 y 20 f) 2, 4, 6, 8 y 10

a) m.c.m. (25, 50, 100) = 100 m.c.d. (25, 50, 100) = 25

b) m.c.m. (6, 7, 8) = 168 m.c.d. (6, 7, 8) = 1

c) m.c.m. (40, 42, 48) = 1.680 m.c.d. (40, 42, 48) = 2

d) m.c.m. (12, 18, 20) = 180 m.c.d. (12, 18, 20) = 2

e) m.c.m. (8, 10, 12, 14) = 840 m.c.d. (8, 10, 12, 14) = 2

f) m.c.m. (2, 4, 6, 8, 10) = 120 m.c.d. (2, 4, 6, 8, 10) = 2

Dos buques mercantes salen de un puerto el da 1 de enero. El primero tarda en regresar 26 das, y el segundo, 30 das. Ambos van y vienen constantemente. Cuntos das tardan los buques en coincidir de nuevo en el puerto?

Calculamos el m.c.m. (26, 30) = 390. Los barcos tardan 390 das en volver a coincidir en el puerto, es decir,coincidirn el 25 de enero del siguiente ao.

Se dispone de dos rollos de cuerda que tienen 144 y 120 m de longitud,respectivamente. Cul es el nmero de trozos iguales, de tamao mximo, que se puede hacer con los rollos de cuerda?

Calculamos el m.c.d. (144, 120) = 24. El tamao mximo de los trozos de cuerda es 24 m y, por tanto, el nmero de trozos que se puede hacer es:

= 6 + 5 = 11 trozos.144

24

120

24+

011

010

009

008

007

SOLUCIONARIO

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6Escribe todos los nmeros enteros.

a) Mayores que 4 y menores que +2.b) Menores que +3 y mayores que 5.c) Menores que +1 y mayores que 2.d) Mayores que 5 y menores que +6.

a) 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2

b) 5 < 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3

c) 2 < 1 < 0 < 1

d) 5 < 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6

Representa en la recta numrica los siguientes nmeros: 6, 0, 8, +3, 5 y +4.

Indica el nmero entero que corresponde a cada punto marcado en la recta numrica.

a)

b)

a) A = 5, B = 3, C = 2, D = 5

b) A = 6, B = 4, C = 1, D = 3

Completa con nmeros enteros.

a) 3

70

Calcula.

a) (11) + (+4) c) (20) + (12)b) (+13) + (+12) d) (+11) + (15)

a) (11) + (+4) = 7 c) (20) + (12) = 32

b) (+13) + (+12) = 25 d) (+11) + (15) = 4

Realiza estas restas.

a) (5) (+5) c) (15) (17)b) (+3) (7) d) (+8) (+7)

a) (5) (+5) = 10 c) (15) (17) = 2

b) (+3) (7) = 10 d) (+8) (+7) = 1

Calcula.

a) (4) + (+5) (18) c) (+20) (5) (+5)b) (+30) (+7) + (18) d) (12) (+3) (7)

a) (4) + (+5) (18) = 19 c) (+20) (5) (+5) = 20

b) (+30) (+7) + (18) = 5 d) (12) (+3) (7) = 8

Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.

a) (+13) + = (+12) c) (15) = (+9)b) + (20) = (12) d) (+8) = (+7)

a) 1 b) 8 c) 24 d) 15

Calcula.

a) (+4) (5) c) (40) (10)b) (40) (+8) d) (+2) (+15)

a) (+4) (5) = 20 c) (40) (10) = 400

b) (40) (+8) = 320 d) (+2) (+15) = 30

Haz estas divisiones.

a) (+35) : (7) b) (21) : (+3) c) (18) : (2) d) (+40) : (10)

a) (+35) : (7) = 5 c) (18) : (2) = 9

b) (21) : (+3) = 7 d) (+40) : (10) = 4

Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.

a) (+13) = (+39) c) (15) : = (+5)b) (6) = (42) d) : (+8) = (+2)

a) 3 b) 7 c) 3 d) 16

024

023

022

021

020

019

018

SOLUCIONARIO

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8Realiza estas operaciones.

a) 6 + (4 + 2) (3 1) e) 10 (8 7) + (9 3)b) 7 (4 3) + (1 2) f) 1 (2 3) + (4 5)c) 3 + (2 3) (1 5 7) g) 1 (1 + 2 5 + 4)d) 8 + (1 + 4) + (7 9) h) 3 + (5 9) (7 5 7)

a) 6 + (4 + 2) (3 1) = 6 + (2) (4) = 8

b) 7 (4 3) + (1 2) = 7 (+1) + (3) = 3

c) 3 + (2 3) (1 5 7) = 3 + (1) (11) = 13

d) 8 + (1 + 4) + (7 9) = 8 + (+5) + (16) = 19

e) 10 (8 7) + (9 3) = 10 (+1) + (12) = 3

f) 1 (2 3) + (4 5) = 1 (1) + (9) = 7

g) 1 (1 + 2 5 + 4) = 1 (0) = 1

h) 3 + (5 9) (7 5 7) = 3 + (4) (5) = 4

Halla el valor de estas expresiones.

a) 8 + 7 6 + 5 11 + 2 d) 100 22 5b) (12) 7 : 3 e) (26) : 2 6 : 3 + 4c) 9 12 : 4 f) 15 (9) 7 (6) : 2

a) 8 + 7 6 + 5 11 + 2 = 5

b) (12) 7 : 3 = 28

c) 9 12 : 4 = 6

d) 100 22 5 = 10

e) (26) : 2 6 : 3 + 4 = 13 2 + 4 = 11

f) 15 (9) 7 (6) : 2 = 135 + 21 = 114

Haz estas operaciones.

a) (4) (6) : (+3)b) (+5) : (5) (7) (+2)c) (11) (+3) (4) : (6) (9)d) (18) [(+4) + (6)] : (+2) + (+5)e) (5) (9) (+4) (3) : (2) : (6)f) (+3) (+6) : (+2) (3) : [(2) + (1)]

a) (4) (6) : (+3) = (4) (2) = 2

b) (+5) : (5) (7) (+2) = 1 (14) = 13

c) (11) (+3) (4) : (6) (9) = (11) (+2) (9) = 4

d) (18) [(+4) + (6)] : (+2) + (+5) = (18) (1) + (+5) = 12

e) (5) (9) (+4) (3) : (2) : (6) = (5) (9) (1) = 5

f) (+3) (+6) : (+2) (3) : [(2) + (1)] = (+3) (3) = 0

027

026

025

Repaso

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Calcula.

a) (3 + 2) (3 1 + 4) 2 (2 3)b) [(15 16 + 2) (1) + 9] 7c) 2 [2 2 (2 2 2)]d) [2 + 3 (6 + 5)] [(4 2) (3 6) + 1]

a) (3 + 2) (3 1 + 4) 2 (2 3) = 30 12 = 18

b) [(15 16 + 2) (1) + 9] 7 = [(1) + 9] 7 = 56

c) 2 [2 2 (2 2 2)] = 2 (2) = 4

d) [2 + 3 (6 + 5)] [(4 2) (3 6) + 1] = (6) (143) = 137

Completa los huecos para que se cumplan las igualdades.

a) (6) [(1) + ] = 18 c) 3 [ 5] = 18b) 8 [4 ] = 32 d) 1 + [3 : ] = 2

a) 4 b) 0 c) 3 d) 1

Expresa mediante una razn.

a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.b) Tenamos 68 huevos y se han roto 12.c) En el primer turno de comida comen 94 alumnos, y en el segundo, 65.d) Una frutera tiene 7 cajas de tomates y 3 de pimientos.

a) b) c) d)

En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos. Hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, se ha mantenido la proporcin?

Comprobamos si las dos razones: y forman una proporcin.

3 124 8 50

Luego no se ha mantenido la proporcin.

Identifica las razones que forman una proporcin.

a) b) c)

a) Forman proporcin: .

b) Forman proporcin: .

c) Forman proporcin: .7 5

3

10

4

,=

10

2

50

10=

2

1

6

3=

7 53

46

32

104

,, , ,

102

5010

308

205

, , ,21

82

63

95

, , ,

032

50

124

3

8

031

3

7

65

94

12

68

36

55

030

029

028

9

0SOLUCIONARIO

826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 9

10

PUEBLA DE MONTEALBO: SOLO EL 8 % DE LOS ENCUESTADOS CRITICA LA LABOR MUNICIPAL.

Si Puebla de Montealbo tiene 7.000 habitantes, cuntos, aproximadamente,aprueban la labor del alcalde?

El 8 % de 7.000 = 560 personas critican la labor municipal.

Luego 7.000 560 = 6.440 personas aprueban la labor municipal.

A la derecha ves la composicin de un yogur:

Calcula el peso de sus componentes si pesa 125 g.

En 125 g de yogur hay:

3,5 % de 125 = 4,375 g de protenas13,4 % de 125 = 16,75 g de carbohidratos1,9 % de 125 = 2,375 g de grasas

GEOMETRA

Dibuja este polgono en tu cuaderno y seala sus lados, vrtices y ngulos. Traza sus diagonales. Cuntas diagonales tiene?

Tiene 5 diagonales.

Dibuja un octgono, un enegono y un decgono que no sean regulares y dibuja sus diagonales.

036

035

034

033

Repaso

VALOR NUTRITIVOProtenas: 3,5 %

Carbohidratos: 13,4 %Grasas: 1,9 %

G

GG

G

Vrtice

Diagonal

Lado

ngulo

826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 10

11

0

Contesta si es verdadero o falso.

a) Un polgono puede tener ms vrtices que lados.b) Un polgono puede tener ms vrtices que ngulos.c) Un polgono puede tener ms vrtices que diagonales.

a) Falso. c) Verdadero, por ejemplo

b) Falso. un tringulo o un cuadrado.

Dibuja una circunferencia con un comps. Despus, traza una cuerda y los dos arcos que determina.

En esta circunferencia, seala los segmentos que son cuerdas, radios y dimetros.

Contesta a estas preguntas.

a) Un tringulo rectngulo, puede ser equiltero?b) Cul es el valor de los ngulos de un tringulo rectngulo issceles?c) Cunto miden los ngulos de un tringulo rectngulo con un ngulo

agudo que mide el triple que el otro ngulo agudo?

a) No, porque los tres ngulos de un tringulo equiltero miden 60.

b) Un ngulo mide 90 y los otros dos miden 45 cada uno.

c) Un ngulo mide 90, el otro mide 22,5 y el tercero 67,5.

Un tringulo issceles tiene el ngulo desigual de 50. Cunto miden los ngulos iguales?

Los ngulos iguales miden:

.180 50

265

=

C

A B

041

040

Cuerdas

Dimetro

Radios

F

FG

G

G

G

039

G

FArco BACuerda

G Arco AB

B

A

038

037

SOLUCIONARIO

826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 11

12

Si dibujamos un tringulo rectngulo, uno issceles y otro escaleno, y los cortamos por una recta paralela a la base, qu polgonos obtenemos en cada caso?

En el caso del tringulo rectngulo, si la base es uno de los catetosobtenemos otro tringulo rectngulo y un trapecio rectngulo. Y si la base es la hipotenusa obtenemos un tringulo rectngulo y un trapecio.

En el caso del tringulo issceles, si la base es el lado desigual obtenemos un tringulo issceles y un trapecio issceles. Y si la base es el lado desigualse obtiene un tringulo issceles y un trapecio.

Calcula la medida de C$ en este trapecio rectngulo sabiendo que B$ = 45.

A$ = 90, D$ = 90 y B$ = 45 C$ = 360 90 90 45 = 135

FUNCIONES

Indica las coordenadas de cada punto.

A(3, 2) C(0, 4) E(5, 3) A(3, 6) C(4, 5) E(5, 0)B(4, 2) D(1, 3) F(2, 2) B(6, 1) D(0, 1) F(4, 3)

AB

C

D E

Y

X

A

B

C

D

E

F

1

1

1

1

G

Y

X

044

D C

A B

043

042

Repaso

Si el tringulo es escaleno se obtiene un tringulo escaleno semejante al original y un trapecio.

826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 12

13

0

Dados los siguientes puntos: A(4, 1), B(3, 4), C(3, 2) y D(2, 3):a) Represntalos en el plano.b) nelos en orden alfabtico y une tambin D con A. Qu figura obtienes?

Se obtiene un romboide.

Haz lo mismo con estos puntos: A(5, 0), B(3, 4), C(3, 4), D(5, 0) y E(0, 4).

La figura que se obtiene es un pentgono.

Representa los siguientes puntos: A(5, 2), B(4, 0), C(5, 1), D(8, 2) y E(1, 2).a) Indica los puntos que tienen la misma ordenada.b) Cuntos puntos tienen la misma abscisa? Cules son?

a) Tienen la misma ordenada: A, D y E.

b) Tienen la misma abscisa: A y C.

Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(2, 1).

A

Y

X

2

1

048

AE

B

C

D

Y

X0

5

3

1

1

3

5

047

A

E

BC

D

Y

X1

1

046

A

B

C

D

Y

X1

1

045

33 5 7

SOLUCIONARIO

826512 _ 0004-0013.qxd 27/6/07 13:12 Pgina 13

14

Nmeros racionales1

EXACTOS PERIDICOSNO EXACTOS

Y NO PERIDICOS

PUROS

FRACCIONES

MIXTOS

NMEROSDECIMALES

FRACCINEQUIVALENTE

OPERACIONES

FRACCINIRREDUCIBLE

NMEROSRACIONALES

DIVISINSUMA RESTA MULTIPLICACIN

826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 14

Al da se le asigna:

A la noche se le asigna: 69

23

=

39

13

=

La senda de los recuerdos

La sala del trono papal apareca enorme y vaca a los ojos de Silvestre II. El otrora poderoso pontfice romano haba perdido todo su poder poltico aunque a los ojos de cualquiera su presencia an impona un respeto casi mstico.

Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el nico sitio adonde solo poda llegar l y se senta libre. Recordaba feliz su estancia en el monasterio cataln de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia que vena del sur.

A su memoria volvan algunos de sus recuerdos iluminando su rostro, como aquel baco que l mismo construy con los nmeros arbigos escritos en sus fichas y cuyo uso describi con detalle, o el proyecto de aquella mquina que fraccionara el tiempo, sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia

Abri el libro y, por azar, se encontr con el proyecto de la mquina que meda el tiempo cuyas primeras lneas decan:

Da y noche son las dos partes en que se divide el da, mas no son iguales, el primero de diciembre durante el da se han consumido 3 velas y 6 durante la noche

De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneci al or la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba de su prxima audiencia.

Qu fraccin del da le asignaras al da y a la noche?

826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 15

16

EJERCICIOS

Calcula.

a) de 450 b) de 350

a) b)

Comprueba si son equivalentes estas fracciones.

a) y b) y

a) Son equivalentes, ya que: 7 6 = 42 = 2 21.

b) No son equivalentes, pues 12 25 = 300 600 = 60 10.

Representa, mediante un grfico, estas fracciones como partes de la unidad.

a) b) c) d)

a) b) c) d)

Escribe fracciones cuyo valor numrico sea:

a) 2 b) 2 c) 0,5 d) 1,5

a) c)

b) d)

Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificacin y otras dos por simplificacin.

a) b) c)

AMPLIFICACIN SIMPLIFICACIN

a)

b)

c)12

28

6

14

3

7= =

12

28

24

56

36

84= =

690

360

230

120

69

36= =

690

360

1 380

720

2 070

1 080= =

. .

.

120

60

60

30

40

20= =

120

60

240

120

360

180= =

1228

690360

12060

005

3

21 5= ,

=

6

32

1

20 5= ,

14

72=

004

63

55

74

410

003

1025

1260

216

72

002

3

7350 150 =

4

5450 360 =

37

45

001

Nmeros racionales

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17

1

Calcula la fraccin irreducible de estas fracciones.

a) b) c)

a) m.c.d. (18, 40) = 2

b) m.c.d. (60, 75) = 15

c) m.c.d. (42, 56) = 14

Halla fracciones de denominador 100 que sean equivalentes

a las fracciones , y .

La fraccin es irreducible. Seguir siendo irreducible si multiplicamos

el numerador y el denominador por 7?

No seguir siendo irreducible, ya que el numerador y el denominador tienen 7 como comn denominador.

Ordena, de menor a mayor.

a)

b)

a) m.c.m. (9, 3, 5, 30) = 90;

b) m.c.m. (5, 4, 7, 9) = 1.260;

3

7

4

9

3

5

3

4< < 011

, , ,

55

8

35>

10

40

15

60

8

10

48

60

10

40

43

60

8

10=

=

>

>

,

=

=

>

>

46

8

12

21

6

42

12

5

12

4

6

21

6,

3

8

18

48

10

24

20

48

10

24

20

48

3

8= = = >,

>

78

11

8

4

9

7

8>

HAZLO AS

CMO SE OBTIENE UNA FRACCIN COMPRENDIDA ENTRE OTRAS DOS FRACCIONES?

Encuentra y escribe una fraccin comprendida entre las fracciones y .

PRIMERO. Se suman ambas fracciones.

SEGUNDO. Se divide entre 2 la fraccin obtenida.

La fraccin est comprendida entre y .7

6

4

9

29

36

29

182

29

36: =

4

9

7

6

8

18

21

18

29

18+ = + =

76

49

Nmeros racionales

826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 28

29

1

Calcula.

a) b) c) d)

a) c)

b) d)

Haz las siguientes restas.

a) b) c) d)

a) c)

b) d)

Calcula.

a) c) e)

b) d) f)

a) d)

b) e)

c) f)

Opera.

a) c) e)

b) d) f)

a) d)

b) e)

c) f)

=18

21

63

21

49

21

130

21

+ =

820

15

20

20

20

13

20

18

24

15

24

192

24

159

24+ =

1012

20

12

15

12

45

12

15

4+ + = =

14

30

20

30

5

30

11

30 =

2416

5

16

6

16

23

16+ =

67

373

715

23

16

56

53

54

+ +

912

58

8+ + 25

34

132

516

38

+

059

189

63

3

63

9

63

14

63

191

63 + =

70

77

110

77

84

77

96

77+ =

156

156

13

156

60

156

109

156+ =

150

210

21

210

70

210

199

210 + =

24

6

1

6

7

6

30

65 + = =

34

7

3121

17

29

+4 16

76

+57

110

13

+

11

125

13+ 10

11107

1211

+ 257

117

27

+

058

154

66

33

66

6

66

115

66 =

15

30

2

30

13

30 =

126

84

12

84

14

84

100

84 =

23

11

73

12

111

32

17

212

510

115

3311

1011

057

63

7

5

7

6

7

62

7+ =

21

6

12

6

8

6

41

6+ + =

72

8

4

957

67

+ 52

32

92

72

286

+ +34

54

14

+ +

056

SOLUCIONARIO

826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 29

30

Efecta estas operaciones.

a) c) e)

b) d) f)

a) d)

b) e)

c) f)

Completa los huecos.

a) c)

b) d)

a) c)

b) d)

Realiza estos productos.

a) b) c) d)

a) b) c) d)

Opera.

a) c) e)

b) d) f)

a) d)

b) e)

c) f)9 3 11

4 11 3

9

4

=27

42

9

14=

162

35 =

14

36

7

18

3

24

1

8=

36

30

6

5=

94

311

113

14

36

29

74

97

65

3 96

37

125

36

063

84

9

28

3=

70

6

35

3=

40

14

20

7=

12

15

4

5=

2149

72

103

514

823

65

062

= =1

4

1

6

1

5

7

60= =

4

5

4

6

2

15

= =3

9

3

7

3

8

79

504= =

1

2

1

3

1

6

= 16

14

15

= 46

45

= 39

37

38

+= 12

13

+

061

1 521

1 287

99

1 287

1 573

1 287

3 193

1 287

.

. .

.

.

.

.+ + =

9

18

2

18

2

18

9

18

1

2+

+ = =

588

924

77

924

330

924

995

924+ + =

50

70

7

70

43

70+

=

385

77

70

77

110

77

565

77+ + =

716

1311

113

119

+ +5 1011

107

+ +57

110

+

711

112

514

+ +12

19

218

+ + + 516

216

060

Nmeros racionales

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31

1

Calcula.

a) c)

b) d)

a) c)

b) d)

Efecta las divisiones.

a) c)

b) d)

a) c)

b) d)

Completa los huecos.

a) d)

b) e) (5)

c) f) = 2

a)

b)

c)

d)

e)

f) = =4

52

2

5: ( )

=

=10

35

2

3: ( )

= = =1

4

1

5

1

6

30

4

15

2: :

= =3

9

3

7

3

8

56

27: :

=

=4

5

4

6

6

5:

= =1

4

1

3

3

4:

45

:= 39

37

38

= 103

= 46

45

:

= 16

14

15

: := 14

13

066

=15

60

1

4

64

3

11

21

14

105

2

15=

56

103

:

8

38

:

113

7:75

212

:

065

=

4090

4

9

20

84

5

21=

63

30

21

10=

10

24

5

12=

815

65

:

512

74

:

95

67

:58

32

:

064

SOLUCIONARIO

826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 31

32

Calcula.

a) d) g)

b) e) h)

c) f)

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Realiza las operaciones.

a) d) g)

b) e) h)

c) f)

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Seala la parte entera y decimal de los siguientes nmeros.

a) 0,75 c) 1,8989 e) 2,161820b) 274,369 d) 127,4555 f) 7,0222

a) Parte entera: 0. Parte decimal: 75.

b) Parte entera: 274. Parte decimal: 369.

c) Parte entera: 1. Parte decimal: 8989

d) Parte entera: 127. Parte decimal: 4555

e) Parte entera: 2. Parte decimal: 161820

f) Parte entera: 7. Parte decimal: 0222

069

3

5

21

20

33

20+ =

72

15

13

15

72

13: =

2

75

37

7+ =

8

5

7

30

48

7: =

4

3

7

18

17

18 =

4

5

17

72

17

90

=

3

10

5

4

19

20 =

76

21

60

49

60 =

25

310

718

: 85

35

1130

: +

12

65

75

43

+ :25

34

54

45

524

49

27

32135

+ :83

59

65

13

: :

76

320

815

+

068

8

3

7

15

33

15 =

7

51

2

5 =

35

36

7

3

2

5

245

108

2

5

1 441

540 + = + =

.6

5

16

21

46

105 =

91

4

41

159

41

60

499

60 = =

11

20

7

3

77

60 =

97

12

2

5

529

60 + =

4

5

7

12

48 35

60

13

60 =

=

914

73

25

+

2

35

47

34

:

23

34

15

37

: 9 14

73

25

+45

14

73

914

73

25

+

35

47

34

1: : 45

14

73

067

Nmeros racionales

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33

1

Expresa, mediante una fraccin y mediante un nmero decimal, la parte coloreada de cada una de las figuras.

a) c)

b) d)

a) c)

b) d)

Indica cules de los nmeros son peridicos y cules no. Seala el perodo para los que sean peridicos.

a) 1,333 d) 6,987654b) 2,6565 e) 0,010101c) 3,02333 f) 1,001002003

a) Peridico, de perodo 3.

b) Peridico, de perodo 65.

c) Peridico, de perodo 3.

d) No peridico.

e) Peridico, de perodo 01.

f) No peridico.

Clasifica estos nmeros decimales en exactos, peridicos puros, peridicos mixtos o no exactos y no peridicos.

a) 1,052929 f) 13,12345666b) 0,89555 g) 1.001,034034c) 7,606162 h) 0,0000111d) 120,8 i) 1,732e) 98,99100101 j) 0,123456777

a) Peridico mixto. f) Peridico mixto.

b) Peridico mixto. g) Peridico puro.

c) No exacto y no peridico. h) Peridico mixto.

d) Exacto. i) Exacto.

e) No exacto y no peridico. j) Peridico mixto.

072

071

1

60 1666= , ...

3

40 75= ,

1

20 5= ,

1

20 5= ,

070

SOLUCIONARIO

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34

Razona qu tipo de nmero: entero, decimal exacto o peridico, expresan las siguientes fracciones.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

a) Exacto, porque el denominador de su fraccin irreducible solo tiene 2como factor.

b) Entero, porque el numerador es mltiplo del denominador.

c) Peridico mixto, porque el denominador de su fraccin irreducible tienecomo factores 2 y 3.

d) Exacto, porque el denominador solo tiene como factores 2 y 5.

e) Peridico mixto, porque el denominador de su fraccin irreducible tienecomo factores 5 y 3.

f) Peridico puro, porque los factores del denominador son distintos de 2 y 5.

g) Entero, porque el numerador es mltiplo del denominador.

h) Exacto, porque el denominador de su fraccin irreducible solo tiene comofactores 2 y 5.

i) Peridico mixto, porque el denominador tiene como factores 2, 3 y 5.

Obtn la fraccin generatriz.

a) 5,24 c) 3,7)

e) 5,12)

b) 1,735 d) 5,43)

f) 0,235)

a) c) e)

b) d) f)

Expresa en forma de fraccin estos nmeros.

a) 7 d) 9,6)

g) 9,54)

b) 6,05 e) 4,07)

h) 0,315)

c) 0,00182 f) 14,413)

i) 0,0123)

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)122

9 900

61

4 950. .=

14 399

999

. =

182

100 000

91

50 000. .

312

990

52

165=

403

99

605

100

121

20=

859

90

87

9

29

3=

71

075

233

990

538

99

1 735

1 000

347

200

.

.=

461

90

34

9

524

100

131

25=

074

1990

1521

424

21420

3430

4411

221

5120

2736

073

Nmeros racionales

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35

1

Expresa en forma decimal las fracciones, y en forma fraccionaria, los decimales.

a) f) k)

b) 7,35 g) 0,278 l) 1,0435c) 13,7

)h) 6,16

)m) 1,274)

d) 8,91)

i) 18,57)

n) 0,315)

e) j) 2,265)

) 0,0123)

a) 1,125 f) 0,81)

k) 1,12)

b) g) l)

c) h) m)

d) i) n)

e) 4,8 j) )

Calcula, utilizando las fracciones generatrices.

a) 0,2777 + 2,333 c) 0,44 2,5151b) 3,5666 2,2727 d) 1,13888 : 0,9393

a) c)

b) d)

Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando tu respuesta.

a) Todo nmero decimal puede expresarse en forma de fraccin.b) Un nmero entero se puede expresar como una fraccin.c) En un nmero decimal peridico, las cifras decimales se repiten

indefinidamente despus de la coma.d) Si un nmero decimal tiene como perodo 0, es un nmero exacto.

a) Falso, los decimales no exactos y no peridicos no se pueden expresarcomo fraccin.

b) Verdadero, la fraccin ser el cociente del nmero y la unidad.

c) Verdadero en el caso de los peridicos puros, pero no en los peridicosmixtos.

d) Verdadero, ya que tiene un nmero exacto de cifras decimales.

078

1 025

900

93

99

451

372

.: =

321

90

225

99

1 281

990 =

.

44

100

249

99

913

825 =

25

90

21

9

235

90

47

18+ = =

077

12

990

2

165=

2 039

900

.

284

900

71

225=

1 839

99

613

33

.=

802

90

401

45=

1 273

999

.555

90

37

6=

124

9

10 435

10 000

2 087

2 000

.

.

.

.=

278

1 000

139

500.=

735

100

147

20=

4810

10190

911

98

076

SOLUCIONARIO

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36

Se dispone de 30 metros de tela. Calcula cuntos metros son:

a) de la tela b) de la tela c) de la tela

a)

b)

c)

Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de 12.300 . Calcula el dinero que ha ingresado la empresa.

Ha ingresado: .

Un padre le da a su hija mayor 30 , y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la mayor. Cunto ha recibido el hijo menor?

El hijo menor ha recibido: .

Para el cumpleaos de mi madre, le hemos regalado una caja de bombones.

Hemos comido ya las partes de la caja. Si la caja contena 40 bombones,

cuntos bombones quedan?

Queda de la caja, es decir: bombones.1

440 10 =

1

4

34

083

082

1

330 10 =

081

2

512 300 4 920 =. .

080

5

630 25 = m

7

3030 7 = m

3

530 18 = m

56

730

35

079

HAZLO AS

CMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LOS QUE SE CONOCE UNA PARTE DEL TOTAL?

En la clase, las partes son chicos. Cuntas chicas hay si son 25 alumnos en total?

PRIMERO. Se resta la parte conocida, , al total, 1, para calcular la parte desconocida.

son chicas

SEGUNDO. Se calcula lo que representa esa parte en el total de alumnos, 25.

15 chicas3

525

3

525

3 25

5

75

5de = =

= =

12

5

5

5

2

5

3

5 = =

2

5

25

Nmeros racionales

826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 36

37

1

Los tres octavos del total de alumnos de un IES llevan gafas. Si llevan gafas129 alumnos, cuntos alumnos son en total?

alumnos son en total.

Un granjero quiere vallar un terreno de 2.275 m de largo. El primer da hace

los del trabajo, y el segundo da, los . Cuntos metros faltan por vallar?

faltan.

Unos amigos recorren 105 km en bicicleta. El primer da hacen del camino

y el segundo da , dejando el resto para el tercer da.

Cuntos kilmetros recorren cada da?

1.er da 3.er da 105 (28 + 35) = 42 km

2.o da

Una familia gasta de sus ingresos mensuales en el alquiler del piso,

en el telfono y en transporte y ropa.

Cmo se distribuyen los gastos si sus ingresos mensuales son de 3.000 ?

Alquiler Transporte y ropa

Telfono

En un campamento, de los jvenes son europeos, asiticos y el restoafricanos. Si hay en total 800 jvenes:

a) Cuntos jvenes europeos hay?b) Si la mitad de los asiticos son chicas, cuntas chicas asiticas habr?c) Cuntos de estos jvenes son africanos?

a) Europeos

b) Asiticas

c) Africanos 800 300 160 = 340

1

5800 2 160 2 80

= =: :

3

8800 300 =

15

38

088

1

603 000 50 =.

1

83 000 375 =.

1

153 000 200 =.

18

160

115

087

4

15105 28 = km

1

3105 35 = km

415

13

086

16

352 275 1 040 =. . m1

3

7

2

51

29

35

16

35 +

= =

25

37

085

3

8

129 129 8

3344= =

=

xx

084

SOLUCIONARIO

826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 37

38

Tenemos una pieza de alambre de 90 m. Vendemos las partes a 3 /m,

del resto a 4 /m y los metros que quedan a 2 /m. Cunto hemos ganado

si habamos comprado el metro de alambre a 2 ?

, a 3 /m, son 180 .

, a 4 /m, son 20 .

90 60 5 = 25 m, a 2 /m, son 50 .

El alambre cost: 90 2 = 180 y hemos cobrado: 180 + 20 + 50 = 250 . Por tanto, hemos ganado: 250 180 = 70 .

Tres amigos se reparten 90 que han ganado en la quiniela de la siguientemanera: el primero se queda con la quinta parte, el segundo con la tercera partede lo que recibe el primero, y el tercero con la mitad de lo que recibe el segundo.

a) Qu fraccin representa lo que obtiene cada uno?

b) Cunto dinero se queda cada amigo?

c) Y cunto dinero dejan de bote?

a) 1.o 2.o 3.o

b) 1.o 2.o 3.o

c) 90 (18 + 6 + 3) = 63 dejan de bote.

1

3090 3 =

1

1590 6 =

1

590 18 =

1

2

1

15

1

30 =

1

3

1

5

1

15 =

1

5

091

1

690 60 5 =( ) m

2

390 60 = m

16

23

090

089

Nmeros racionales

HAZLO AS

CMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIN?

Cristina debe leer un libro para el colegio. El primer da lee la cuarta parte dellibro, y el segundo da, la mitad de lo que le quedaba. Qu fraccin representalo que lee el segundo da?

PRIMERO. Se calcula la fraccin de la que se hallar su parte.

El primer da lee , y le quedan: .

SEGUNDO. Se calcula la parte de la fraccin.

El segundo da lee: .

Por tanto, el segundo da lee del libro.3

8

3

42

3

8: =

11

4

3

4 =

1

4

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39

1

De un calentador, primero se gasta la mitad del agua y luego la cuarta parte de lo que quedaba. Si todava quedan 12 litros, cul es la capacidad delcalentador?

Primero: .

Segundo: .

Queda entonces: .

es la capacidad del calentador.

Unos amigos organizan una excursin a la montaa: el primer da recorren un cuarto de lo programado, el segundo da un tercio, dejando el resto (que son 25 km) para el tercer da. Qu fraccin representan los kilmetrosrecorridos el tercer da? Cuntos kilmetros han recorrido en total?

El tercer da recorren: .

Han recorrido en total: .x = =255

1260: km

11

4

1

3

5

12 =

094

x = =123

832:

11

2

1

8

3

8 =

1

41

1

2

1

8

=

1

2

093

092

SOLUCIONARIO

HAZLO AS

CMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIENDO UNA PARTE?

Una piscina est llena hasta los de su capacidad. An se necesitan 880 litros

para que est completamente llena. Qu capacidad tiene la piscina?

PRIMERO. Se calcula la fraccin que representa la parte vaca de la piscina.

SEGUNDO. Se designa por x la capacidad total de la piscina.

Despejando x:

La piscina tiene 3.960 litros de capacidad.

x = =

= =8802

9

880 9

2

7 920

23 960:

..

2

9

2

9880de x x= =

17

9

9

9

7

9

2

9 = =

79

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40

Calcula las siguientes diferencias.

a) Con los resultados, efecta esta suma.

b) A la vista del resultado anterior, cul crees que ser el resultado de esta suma?

a)

b)

Si vaciamos estos dos recipientes en una jarra, cul es la proporcin de agua y de vinagre en la jarra?

La mezcla resultante tendr 5 partes de agua y 2 partes de vinagre.

La proporcin de agua es y la de vinagre es .2

7

5

7

096

= =11

1 001

1 000

1 001.

.

.

1

2

1

6

1

12

1

20

1

30

1

42

1

1 001 000+ + + + + + + =

. .

1

1 001 000

1

1 000

1

1 001. . . .=

= + + + + = =11

2

1

2

1

3

1

3

1

4

1

4

1

5

1

5

1

61

1

6

5

6

1

2

1

6

1

12

1

20

1

30+ + + + =

1

4

1

5

1

20 =

1

2

1

3

1

6 =

1

5

1

6

1

30 =

1

3

1

4

1

12 =1

1

2

1

2 =

12

16

112

120

130

142

11 001 000

+ + + + + + +. .

12

16

112

120

130

+ + + +

12

13

13

14

14

15

15

16

1 12

- -

- -

-

095

MEZCLA

2 partes de agua

1 parte de vinagre

MEZCLA

3 partes de agua

1 parte de vinagre

Nmeros racionales

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41

1

Esta figura contiene nueve cuadrados, todos de lado 1. Los puntos sealadosverifican:

PQ = QR = RS = ST =

Una recta une a X con uno de esos puntosy divide la figura en dos regiones de igual rea. Cul es esa recta?

Es la recta XQ, que forma un tringulo y un cuadrado. El tringulo tiene

de base 4 y de altura: , por lo que su rea ser: .

Por su parte, el rea del cuadrado es 1.

El rea es: 3,5 + 1 = 4,5, que es la mitad del rea total: .

EN LA VIDA COTIDIANA

Una comunidad de vecinos quiere instalar placas solares para abastecer parte de la energa elctrica que se consume en el edificio. Han consultado con una empresa instaladora y les ha proporcionado los siguientes datos.

098

9

24 5= ,

47

42 3 5

=: ,1

3

4

7

4+ =

14

X

T SRQP

097

X

SOLUCIONARIO

PRESUPUESTO

PARALA IN

STALACIN

DE PLACAS

SOLARES

Comunidad de

vecinos: C/ de

l Sol, 23

Placas solares

e instalacin.

Total: 22

.000

Segn nuestros informes, la instalacin de placas solares

permite un ahorro de del consumo

energtico actual del edificio.

27

Q

826512 _ 0014-0043.qxd 22/6/07 13:48 Pgina 41

42

La empresa instaladora les ha informado de que ciertos organismos oficialesconceden subvenciones para la instalacin de placas solares.

La compaa elctrica suministradora de la comunidad cobra a 8,6726 cntimos el kilowatio. En el ltimo recibo bimensual, cada uno de los 48 vecinos ha pagado 46,34 .Cunto tiempo tardarn en amortizar las placas solares y su instalacin, si el consumo de la comunidad se mantiene?

Coste de las placas y la instalacin: 22.000 .

Subvencin: 22.000 = 11.000 .

Gasto mensual: (48 46,34) : 2 = 1.112,16 .

Ahorro en el gasto: .

Tiempo de amortizacin: (22.000 11.000) : 317,76 = 34,62 meses.

Por tanto, tardarn algo menos de tres aos en amortizar el gasto.

Las noticias sobre los accidentes ocurridos durante la Semana Santa destacanun importante aumento de siniestros.

099

2

71 11216 317 76 =. , ,

1

2

INSTITUTO PARA LA DIVERSIFICACIN Y AHORRODE LA ENERGA

En relacin con la subvencin solicitada por su comunidadpara la instalacin de placas solares en el edificio situado en la calle del Sol, nmero 23, le informamos de que dichasubvencin ha sido otorgada, y que su cuanta asciende a la mitad del coste de las placas y su instalacin.

Nmeros racionales

Siniestralidad durante la Semana Santa en la carretera

108 personas han muerto en accidentes de carretera

La mitad de los fallecidos enturismos no utilizaba el cinturn.

Uno de cada tres fallecidos enmotocicletas no llevaba casco.

La mitad de los fallecidos te-na menos de 35 aos, y de estos,uno de cada cuatro era menor de 25 aos.

La distraccin aparece comoel factor fundamental en dos decada cinco accidentes, la infrac-cin de las normas de trfico enuno de cada tres y el exceso de ve-locidad en tres de cada diez.

Vehculo FallecidosTurismos 91

Motocicletas 17

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43

1

El ltimo prrafo del artculo se refiere a accidentes, pero nosotros resolvemosel problema como si se tratara de fallecidos; as, el prrafo sera:

La distraccin aparece como el factor fundamental en dos de cada cinco fallecidos, la infraccin de las normas de trfico en uno de cadatres y el exceso de velocidad en tres de cada diez.

Si no se considerara de este modo, no podramos determinar el nmero de fallecidos, pues en un mismo accidente puede haber ms de un fallecidoo no haber ninguno.

SOLUCIONARIO

Fallecidos

Medidas de seguridad

No llevaba cinturn 1

291 45 5 46 = ,

No utilizaba casco 1

317 5 6 6 = ,

Cumpla las medidas de seguridad 108 46 6 = 56

Edades

Menores de 35 aos 1

2108 54 =

Mayores de 35 aos 1

2108 54 =

Menores de 25 aos 1

454 13 5 14 = ,

Causa principal accidente

Distraccin 2

5108 43 2 43 = ,

Infraccin de normas de trfico

1

3108 36 =

Exceso de velocidad 3

10108 32 4 32 = ,

Ninguna de lascircunstancias anteriores

El exceso de velocidad es una infraccin de trfico,luego 108 36 43 = 29. Hay 29 personas fallecidasen estas circunstancias.

Estamos suponiendo que la causa principal de accidente es nica, es decir, no se computan dos o ms causas principales de accidente.

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44

Nmeros reales2

REPRESENTACIN

NMEROSRACIONALES

NMEROSIRRACIONALES

POTENCIACIN APROXIMACIONES

ERRORES

NMEROSREALES

EXPONENTEPOSITIVO

EXPONENTENEGATIVO

NOTACINCIENTFICA

OPERACIONES

SUMA RESTA MULTIPLICACIN DIVISIN

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La razn irracional

El gran Pitgoras, el que estudi el mundo y su relacin con los nmeros, el descubridor de la belleza racional de todas las cosas creadas, al final de su vida, en los albores del siglo V a.C., se confesaba a uno de sus discpulos amargamente:

Escucha le deca a Hipaso de Metaponto: Toda mi vida he buscado la verdad en los nmeros; la explicacin de lo divino y lo humano estaba en ellos o en sus razones, todo era perfecto y explicable, todo razonable

Hipaso miraba a su maestro con admiracin, mientras asenta con la cabeza.

Mientras tanto, Pitgoras continuaba:

Ahora que ha llegado el final de mi vida he de confesarte una horrible verdad: hace tiempo que los descubr, hay otros.

Otros? pregunt Hipaso.

S, estn ah pero son inconmensurables: cualquiera puede construir un cuadrado cuyolado mida 1; sin embargo, ser incapaz de medir su diagonal. Incluso la razn de la Pentalfa no es tal, sino uno de estoscamuflado.

Si no lo crees intenta medir la diagonal de esta habitacin que tiene 3 pasos de anchoy 5 de largo.

Aplicamos el teorema de Pitgoras:

Observamos que aunque el ancho y el eje largo de la habitacin se pueden medir con nmeros enteros, su diagonal es un nmero irracional, es decir, no es medible.

3 5 9 2534 5 830951

2 2+ +

= == = ,

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46

EJERCICIOS

Calcula las siguientes potencias.

a) 32 d) (5)3 g) (4,25)4

b) 74 e) (2,02)4 h)

c) (9)2 f) i) (14,32)8

a) 9 d) 125 g) 326,25390625

b) 2.401 e) 16,64966416 h)

c) 81 f) i) 8.622.994,474905370624

Calcula (0,8)2, (0,8)3 y (0,8)4. Cul es mayor?

(0,8)2 = 0,64 (0,8)3 = 0,512 (0,8)4 = 0,4096

El mayor es (0,8)2.

Expresa en forma de potencia.

a) 3 9 9 3 b)

a) 36 b)

Calcula estas potencias.

a) 73 d) (5)2 g) j)

b) 71 e) (5)0 h) k)

c) 71 f) (5)1 i) l)

a) e) 1 i)

b) 7 f) j)

c) g) k) 1

d) h) l) 5

8

8

5

1

5

1

252( )=

5

8

625

4 096

4

4=

.1

7

= 5

8

5

5

3.125

32.768

1

5

1

51( )=

5

8

1

7

1

3433=

85

185

1

85

085

1

85

585

4

004

1

7

3

17

17

17

003

002

3.125

32.768

1

27

58

5

13

3

001

Nmeros reales

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47

2

Contesta si es verdadero o falso.

a) Una potencia de exponente negativo es siempre positiva.b) Una potencia de exponente 0 es siempre positiva.

a) Falso, ser siempre positiva si el exponente es par.

b) Verdadero, siempre vale 1.

Cmo calcularas (0,2)3?

Calcula.

a) (8 4)3 d) [6 5]2

b) [(1) (4)]3 e) [(3) 5]2

c) f)

a) 83 43 = 512 64 = 32.768 d)

b) (1)3 (4)3 = (1) (64) = 64 e)

c) f)

Resuelve:

a) b)

a)

b) (6)5 = 65 = 7.776

Seala qu desigualdad es cierta.

a) b)

a) Es cierta: .

b) Es falsa: .[ ( )]2 1 2 164 4 = = >1

2

1

2

1

8

3

= 2 el factor comn de los tres trminos tendra x elevado a 3, lo cual no es posible; y si a < 2 el factor comn de los tres trminos tendra x elevado a un nmero menor que 2. Por tanto, la nica solucin es a = 2.

Desarrolla los siguientes cuadrados.

a) (x + 7)2 e) (x 4)2

b) (2a + 1)2 f) (3a b)2

c) (6 + x)2 g) (5 x)2

d) (3a2 + 2b)2 h) (2b 2 5b 3)2

a) x2 + 14x + 49 e) x2 8x + 16

b) 4a2 + 4a + 1 f) 9a2 6ab + b2

c) 36 + 12x + x2 g) 25 10x + x2

d) 9a4 + 12a2b + 4b2 h) 4b4 20b5 + 25b6

Desarrolla.

a) (3x3 a2)2 b) (x2 + x3)2 c) (2x + x3)2 d) (6ab 2 2y)2

a) 9x6 6x3a2 + a4 c) 4x2 + 4x4 + x6

b) x4 + 2x5 + x6 d) 36a2b4 24ab2y 4y2

Expresa como cuadrado de una suma o una diferencia, segn convenga.

a) x2 + 6x + 9 c) x2 + 4xy + 4y 2

b) 4x2 12xy + 9y 2 d) x 4 + 2x2 + 1

a) (x + 3)2 c) (x + 2y)2

b) (2x 3y)2 d) (x2 + 1)2

Calcula los siguientes productos.

a) (x + 7) (x 7) b) (7x + 4y) (7x 4y)

a) x2 49 b) 49x2 16y2

027

026

025

024

023

xx x

2

7

1

5

xx

21 ( )

x x x x2 227 5 x x

2

2 2

022

Polinomios

826512 _ 0074-0099.qxd 22/6/07 15:16 Pgina 82

83

3

Estudia si estas expresiones se pueden expresar como suma por diferencia.

a) x2 1 b) x 4 9 c) 16 x2

a) (x + 1) (x 1) b) (x2 + 3) (x2 3) c) (4 x) (4 + x)

Expresa en forma de producto.

a) 4x2 4x + 1 c) 100x2 4z 6

b) 9a2 30ab + 25b2

a) (2x 1)2 b) (3a 5b)2 c) (10x + 2z3) (10x 2z3)

Observa el ejemplo y calcula mentalmente.

1.0002 9992 = (1.000 + 999) (1.000 999) = 1.999 1 = 1.999

a) 462 452 b) 1202 1192 c) 5002 4992

a) 91 b) 239 c) 999

Simplifica las fracciones algebraicas.

a) b) c) d)

a) b) c) d) x

Simplifica: a) b)

a) b)

Calcula a para que

4x2 + 4ax + a2 = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 a = 3

ACTIVIDADES

Indica si las siguientes expresiones son o no monomios.

a) 2x2 + yz c) 5x5y 2 e)

b) d) f) 3ab + 2a2

a) No monomio. c) Monomio. e) No monomio.

b) Monomio. d) Monomio. f) No monomio.

xyz2

11

2 4x y

32

13

x y+

034

4 42 3

2 32 2x ax a

xx

+ ++

= + .033

( ) ( )

( )

x x

x

x+

=+3 3

2 3

3

2

( )x

xx

= 2

22

2

xx

2 92 6

x xx

2 4 42

+

032

2

y

5

3

2x yx

y

2

44

2x yxy

63

2

2 2

x yx y

53

3 2x yxy

xxy

3

031

030

029

028

SOLUCIONARIO

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84

Di si los monomios son semejantes.

a) xz, 3xy, 6xy c) 4c 9d, c 7d, cd 4

b) ab, a 2b, 7b d) 8xy 2, 7xy

En a) son semejantes: 3xy, 6xy; xz no es semejante a los anteriores.

No hay ningn monomio semejante en los apartados b), c) y d).

Realiza estas sumas de monomios.

a) xz + 3xz + 6xz c) 9c 9 + c 9 + c 9

b) a 2b + 9a 2b + 27a 2b d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy

a) 10xz b) 37a2b c) 11c9 d) 81xy

Efecta las siguientes restas de monomios.

a) 3xz 6xz c) 18xy 7xy 3xy 3xyb) 9a 2b 2a 2b d) 5x 9 x 9 x 9 x 9

a) 3xz c) 5xy

b) 7a2b d) 2x9

Realiza las operaciones e indica el grado del monomio resultante.

a) 2x2 + 3x2 7x2 + 8x2 x2

b) 5xy 3 2xy 3 + 7xy 3 3xy 3 + 12xy 3

c) 3abc 2abc + 6abc + 9abc 4abcd) 5xz 3xz + 15xz 11xz + 8xz 3xze) (2xyz) (2x2yz 3)f) (2abc) (3a 2b 2c 2) (bc)g) 7x (2xy) (3xy5) (xy)h) (6ac3) (2a 2c3) (3ac) (4a 3c2)i) (21x2y 3) : (7xy 2)j) (9abc) : (3bc)k) (16x4y 5a 3b 6) : (8x2y 3a 2b 5)l) (5m3n2g 4) : (2mng)

a) 5x2 Grado 2. g) 42x4y7 Grado 11.

b) 25xy3 Grado 4. h) 144a7c9 Grado 16.

c) 12abc Grado 3. i) 3xy Grado 2.

d) 11xz Grado 2. j) 3a Grado 1.

e) 4x3y2z4 Grado 9. k) 2x2y2ab Grado 6.

f) 6a3b4c4 Grado 11. l) Grado 6.5

22 3m ng

038

037

036

035

Polinomios

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85

3

Haz las siguientes operaciones.

a) xz + 6xz + xyz 8xz c) 9c 9 c 9 c 9 + 10c 9

b) 9a 2b 2a 2b + 8a 2b a 2b d) 8xy + 7xy xy + 3xy xy

a) 3xz + xyz b) 14a2b c) 17c9 d) 16xy

Realiza estas multiplicaciones.

a) xy 3xy (6xy) c) 8xy 2 7xyb) ab a 2b 7b ab d) 15x9 (3x9)

a) 18x3y3 b) 7a4b3 c) 4y d) 45x18

Efecta las siguientes divisiones de monomios.

a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9

b) 9ab : ab d) 8xy 2 : 2xy 2 f) 32x7 : 8x 4

a) 3 b) 9 c) 3 d) 4 e) 5 f) 4x3

Calcula y simplifica el resultado todo lo que puedas.

a) 2x2 5(x2) + 8x2 (2x) (3x)b) 2x (y) + 7xy yx + (4x) (5y)c) 3x2 (x)2 + 3(x2) + (3) (x)2

d) (2xy 3xy + 7xy) (2ab)e) (x2 3x2 + 6x2 2x2) (5zx)

a) 2x2 + 5x2 + 8x2 6x2 = 9x2 d) (6xy) (2ab) = 12xyabb) 2xy + 7xy xy + 20xy = 24xy e) (2x2) (5zx) = 10x3zc) 3x2 x2 3x2 3x2 = 4x2

Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas.

a) Verdadera: x x x = x1+1+1 = x3.

b) Falsa, pues no podemos restar potencias con la misma base y distintoexponente.

c) Verdadera: x3 x4 = x3+4 = x7.

d) Falsa, ya que una potencia consiste en multiplicar un determinado nmerode veces la base, y no sumarla.

e) Verdadera: (x2)2 = x2 2 = x4.

f) Falsa: .xx

=22

1

a) x x x = x3

b) x2 - x = xc) x3 x 4 = x7

d) x5 = 5xe) (x2)2 = x 4

f) x-2 = -x2

043

042

041

040

039

SOLUCIONARIO

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86

Indica el grado, el trmino independiente y el polinomio opuesto de los polinomios.a) P(x) = x3 + x2 7x 2 d) S(x) = 8b) Q(x) = x2 + 2x + 6 e) T(x) = 12x x2 + x4

c) R(x) = x + 1 f)

a) Grado 3 Trmino independiente: 2 Opuesto: x3 x2 + 7x + 2

b) Grado 2 Trmino independiente: 6 Opuesto: x2 2x 6

c) Grado 1 Trmino independiente: 1 Opuesto: x 1

d) Grado 0 Trmino independiente: 8 Opuesto: 8

e) Grado 4 Trmino independiente: 0 Opuesto: x4 + x2 12x

f) Grado 2 Trmino independiente: Opuesto:

Razona si es cierto o falso.a) Un polinomio es la suma de dos monomios.b) El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios

que lo forman.c) Los coeficientes de un polinomio son siempre nmeros naturales.d) Todo polinomio tiene un trmino donde aparece x2.

a) Falso. Un polinomio es la suma o resta de dos o ms monomios.

b) Verdadero.

c) Falso. Los coeficientes son cualquier tipo de nmero.

d) Falso. La variable no tiene por qu ser x, y no es necesario que tenga un trmino de grado 2.

Reduce los siguientes polinomios.a) P(x) = x2 x 2 x3 + x2 x 2b) Q(x) = x2 + x2 + 6 x + x2 7x 2c) R(x) = x + 1 x + x2

d) S(x) = 8 x + 34 x + 324e) T(x) = x4 + x4 x3 + x2 7x 2

f)

a) P(x) = x3 2x 4

b) Q(x) = x2 8x + 4

c) R(x) = x2 + 1

d) S(x) = 2x + 364

e) T(x) = 2x4 x3 + x2 7x 2

f) U(x) = 3

7

1

62x x

U x x x x( ) = 12

16

27

2 2

046

045

+ +1

2

1

62x x

1

6

U x x x( ) = 12

16

2

044

Polinomios

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87

3

Calcula el valor numrico de cada polinomio para los valores de la variable.

a) A(x) = x + 1, para x = 1

b) B(x) = x 4 + 3, para x = 2

c) C(x) = 4x5 x2 + 3, para x = 1 d) D(x) = 9x 4 + 7x2 + 5, para x = 1e) E(x) = x3 + x2 + x + 2, para x = 2f) F (x) = x 4 + x 4 x3 + x2 7x 2, para x = 0g) G(x) = 14, para x = 2

a) A(1) = 1 + 1 = 2b) B(2) = 8 + 3 = 11c) C(1) = 4 1 + 3 = 2d) D(1) = 9 + 7 + 5 = 3e) E(2) = 8 + 4 2 + 2 = 4f) F(0) = 2g) G(2) = 14

Halla los valores numricos para el polinomio:P(x, y) = 2x2y + xy 2 3xy + 5x 6y + 9

a) P(0, 0) c) P(1, 1) e) P(1, 2)b) P(1, 1) d) P(1, 1) f) P(2, 1)

a) P(0, 0) = 2 02 0 + 0 02 3 0 0 + 5 0 6 0 + 9 = 9

b) P(1, 1) = 2 12 1 + 1 12 3 1 1 + 5 1 6 1 + 9 = 8

c) P(1, 1) = 2 (1)2 1 + (1) 12 3 (1) 1 + 5 (1) 6 1 + 9 = 2

d) P(1, 1) = 2 12 (1) + 1 (1)2 3 1 (1) + 5 1 6 (1) + 9 = 11

e) P(1, 2) = 2 12 2 + 1 22 3 1 2 + 5 1 6 2 + 9 = 4

f) P(2, 1) = 2 22 1 + 2 12 3 2 1 + 5 2 6 1 + 9 = 17

049

048

12

047

HAZLO AS

CMO SE CALCULA EL COEFICIENTE DE UN POLINOMIO CONOCIENDO UNO DE SUS VALORES NUMRICOS?

Calcula el valor de k en el polinomio P(x) = x2 x + k, si P (2) = 5.

PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable por su valor.

P(x)

SEGUNDO. Se despeja k en la ecuacin resultante.2 + k = 5 k = 5 2 = 3

P k kP

k( )( )2 2 2 22 5

2 52= + = +

=

+ =x = 2F

SOLUCIONARIO

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88

Calcula el valor de k en cada polinomio, sabiendo que P(1) = 6.a) P(x) = kx7 + x3 + 3x + 1 d) P(x)= kx6 kx3 + kx + kb) P(x) = kx 4 + kx3 + 4 e) P(x) = kc) P(x) = 9x5 + kx2 + kx k

a) k + 1 + 3 + 1 = 6 k = 1 d) k k + k + k = 6 k = 3b) k + k + 4 = 6 k = 1 e) k = 6c) 9 + k + k k = 6 k = 3

Dados los polinomios:P(x) = 2x5 3x 4 + 7x3 2x2 + 3x 6 R(x) = 3x2 x + 1Q(x) = 3x4 2x3 + 5x2 7x 1 S(x) = 2x + 3

calcula.

a) P(x) + Q(x) c) P(x) S(x) e) P(x) + R(x) g) Q(x) R(x)b) Q(x) + P(x) d) Q(x) P(x) f) R(x) + S(x) h) R(x) P(x)

a) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) == 2x5 + 5x3 + 3x2 4x 7

b) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) + (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) == 2x5 + 5x3 + 3x2 4x 7

c) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) (2x + 3) == 2x5 3x4 + 7x3 2x2 + x 9

d) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) == 2x5 + 6x4 9x3 + 7x2 10x + 5

e) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x2 x + 1) == 2x5 3x4 + 7x3 + x2 + 2x 5

f) (3x2 x + 1) + (2x + 3) = 3x2 + x + 4

g) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) (3x2 x + 1) = 3x4 2x3 + 2x2 6x 2

h) (3x2 x + 1) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) == 2x5 + 3x4 7x3 + 5x2 4x + 7

Suma y resta los siguientes polinomios.a) P(x) = 7x + 4; Q(x) = 2x + 5b) P(x) = 3x2 + 1; Q(x) = x2 + 2xc) P(x) = 3x2 + 1; Q(x) = x2 + 2x + 6d) P(x) = 5x3 + x2 7x 2; Q(x) = 5x3 + x2 + 4x 2

e) P(x) = x2 2xy y 2; Q(x) = x2 xy y 2

f) P(x) = x2 2xy y 2; Q(x) = x2 2xy y 2

g) P(x) = x2 3; Q(x) = x2 + x 1

h) P(x) = x2 5x 3; Q(x) = x2 + 13

12

13

12

x2

23

13

32

12

32

12

052

051

050

Polinomios

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89

3

a) Suma: 5x + 9 Resta: 9x 1

b) Suma: 4x2 + 2x + 1 Resta: 2x2 2x + 1

c) Suma: 4x2 + 2x + 7 Resta: 2x2 2x 5

d) Suma: 2x2 3x 4 Resta: 10x3 11x

e) Suma: x2 3xy y2 Resta: x2 xy y2

f) Suma: x2 4xy y2 Resta: x2 y2

g) Suma: x2 x 4 Resta: x2 x 2

h) Suma: x2 5x Resta: x2 5x

Dados los polinomios:

P(x) = 2x5 3x 4 + 7x3 2x2 + 3x 6 R(x) = 3x2 x + 1Q(x) = 3x 4 2x3 + 5x2 7x 1 S(x) = 2x + 3

calcula.

a) P(x) + Q(x) + R(x) + S(x) c) [P(x) + Q(x)] [R(x) + Q(x)]b) P(x) R(x) + S(x) Q(x) d) [P(x) Q(x)] [R(x) Q(x)]

a) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) ++ (3x2 x + 1) + (2x + 3) = 2x5 + 5x3 + 6x2 3x 3

b) (2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) (3x2 x + 1) + (2x + 3) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) = 2x5 6x4 + 9x3 10x2 + 13x 3

c) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] ++ [(3x2 x + 1) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] =

= (2x5 + 5x3 + 3x2 4x 7) (3x4 2x3 + 8x2 8x) == 2x5 3x4 + 7x3 5x2 + 4x 7

d) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] ++ [(3x2 x + 1) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] =

= [2x5 6x4 + 9x3 7x2 + 10x 5] [3x4 + 2x3 2x2 + 6x + 2] == 2x5 3x4 + 7x3 5x2 + 4x 7

Halla cul es el polinomio Q(x) que hay que sumar a P(x) = x2 + 2x 1 para obtener como resultado R(x).

a) R(x) = x 1 d) R(x) = 7x2 3xb) R(x) = 2x2 x 6 e) R(x) = x3 xc) R(x) = 5x2 x + 1 f) R(x) = x3 x2

Q(x) = R(x) P(x)

a) Q(x) = x2 x d) Q(x) = 8x2 5x + 1

b) Q(x) = x2 3x 5 e) Q(x) = x3 x2 3x + 1

c) Q(x) = 4x2 3x + 2 f) Q(x) = x3 2x2 2x + 1

054

053

10

3

3

2

8

3

1

2

5

6

3

2

1

6

1

2

5

6

1

6

13

6

5

6

1

2

1

2

5

2

3

2

SOLUCIONARIO

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90

Dados los polinomios:P(x) = 2x6 7x 4 + 2x3 2x2 + x 1Q(x) = 3x5 2x3 + x2 x 1R(x) = x2 x + 1

calcula.

a) P(x) Q(x) b) Q(x) R(x) c) P(x) R(x) d) R(x) R(x)

a) (2x6 7x4 + 2x3 2x2 + x 1) (3x5 2x3 + x2 x 1) == 6x11 25x9 + 8x8 + 6x7 10x6 + 10x5 + x4 + 3x3 + 1

b) (3x5 2x3 + x2 x 1) (x2 x + 1) == 3x7 3x6 + x5 + 3x4 4x3 + x2 1

c) (2x6 7x4 + 2x3 2x2 + x 1) (x2 x + 1) == 2x8 2x7 5x6 + 9x5 11x4 + 5x3 4x2 + 2x 1

d) (x2 x + 1) (x2 x + 1) = x4 2x3 + 3x2 2x + 1

Dados los polinomios:P(x) = 2x5 3x 4 + 7x3 2x2 + 3x 6 R(x) = 3x2 x + 1Q(x) = 3x 4 2x3 + 5x2 7x 1 S(x) = 2x + 3

calcula.

a) [P(x) Q(x)] S(x) c) [P(x) + Q(x) + R(x)] S(x)b) [R(x) Q(x)] S(x) d) [P(x) + Q(x) R(x)] S(x)

a) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] (2x + 3) == (2x5 6x4 + 9x3 7x2 + 10x 5) (2x + 3) == 4x6 6x5 + 13x3 x2 + 20x 15

b) [(3x2 x + 1) (3x4 2x3 + 5x2 7x 1)] (2x + 3) == (3x4 + 2x3 2x2 + 6x + 2) (2x + 3) == 6x5 5x4 + 2x3 + 6x2 + 22x + 6

c) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) ++ (3x2 x + 1)] (2x + 3) = (2x5 + 5x3 + 6x2 5x 6) (2x + 3) =

= 4x6 + 6x5 + 10x4 + 27x3 + 8x2 27x 18

d) [(2x5 3x4 + 7x3 2x2 + 3x 6) + (3x4 2x3 + 5x2 7x 1) (3x2 x + 1)] (2x + 3) = (2x5 + 5x3 3x 8) (2x + 3) =

= 4x6 + 6x5 + 10x4 + 15x3 6x2 25x 24

Realiza las siguientes operaciones.

a)

b)

c)

d)56

3 113

52

43

5 2 5 2x x x x x x x + +

( )

25

3 112

23

2 3 2 3 2x x x x x x x + +

( )

53

25

752

33 2 2x x x x x +

12

34

54

772

92 2x x x x+

+

+ 44

3x +

057

056

055

Polinomios

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91

3

a)

b)

c)

d)

Divide.

a) (4x 4 + 3x3 5x2 + x + 7) : (x 1)b) (4x 4 2x3 + 3x2 2x + 5) : (x + 1)c) (7x5 + 4x 4 + 3x3 5x2 + 2x 1) : (x2 + x)d) (x 4 2x3 + x2 x + 3) : (x2 + x + 1)e) (4x 4 2x3 + 7x2 2x + 3) : (x2 x 2)

a)

b) 4x4 2x3 + 3x2 2x + 15 x + 1 4x4 4x3 4x3 6x2 + 9x 11

6x3 + 3x2 2x + 15 6x3 + 6x2

+ 9x2 2x + 15 9x2 9x

11x + 15 11x + 11

16

4x4 + 3x3 5x2 + 2x + 7 x 1 4x4 + 4x3 4x3 + 7x2 + 2x + 3

7x3 5x2 + 2x + 7 7x3 + 7x2

+ 2x2 + 2x + 7 2x2 + 2x

3x + 17 3x + 13

10

058

5

6

5

6

5

2

5

6

5

2

4

36 3 2 6 5x x x x x x +

+

=

= + + 1

3

10

3

4

3

5

6

5

2

5

67 6 5 3 2x x x x x x

2

5

6

5

2

5

2

5

1

2

2

35 4 3 2 5 4 3x x x x x x x +

+

=

= + 1

10

1

5

4

15

2

55 4 3 2x x x x

25

66

37

10

41

2215 4 3 2x x x x x + +

1

2

7

2

3

4

5

4

9

472+

+ +x x 33 4

11

442( ) = x x

SOLUCIONARIO

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92

c)

d)

e)

Desarrolla.

a) (3x + 2)2 d) (7x3 + 4x2)2 g) (x4 + 3x5) (x 4 3x5)b) (3x 2)2 e) (2x + 7) (2x 7)

h)c) (3x2 2x)2 f) (2x2 + 3x) (2x2 3x)

a) 9x2 + 12x + 4 e) 4x2 49

b) 9x2 12x + 4 f) 4x4 9x2

c) 9x4 12x3 + 4x2 g) x8 9x10

d) 49x6 + 56x5 + 16x4 h) 4x2 2x +

Desarrolla estos cuadrados.

a) (x + 5)2 c) (y 8)2 e) (x y)2

b) (2y 7)2 d) (xy 6x)2 f) (x + 2xy)2

a) x2 + 10x + 25 d) x2y2 12x2y + 36x2

b) 4y2 28y + 49 e) x2 + 2xy + y2

c) y2 + 16y + 64 f) x2 + 2x2y + 4x2y2

060

1

4

212

2

x

059

4x4 2x3 + 17x2 12x + 13 x2 x 2 4x4 + 4x3 + 38x2 4x2 + 2x + 17

2x3 + 15x2 12x + 13 2x3 + 12x2 + 14x

+ 17x2 + 12x + 13 17x2 + 17x + 34

19x + 37

x4 2x3 + 3x2 1x + 3 x2 + x + 1 x4 2x3 3x2 x2 3x + 3

3x3 + 3x2 1x + 3 3x3 + 3x2 + 3x

+ 3x2 + 2x + 3 3x2 3x 3

3x

7x5 + 4x4 + 3x3 15x2 + 12x 1 x2 + x 7x5 7x4 7x3 3x2 + 6x 11

3x4 + 3x3 15x2 + 12x 1 3x4 + 3x3

+ 6x3 15x2 + 12x 1 6x3 16x2

11x2 + 12x 111x2 + 11x

13x 1

Polinomios

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93

3

Completa las siguientes igualdades.

a) (2x + 3)2 = + 12x + c) (9 + 7x) (9 7x) = b) (5 3x)2 = 25 + x2 d) ( + )2 = x 4 + 2x3 + x2

a) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 2x 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9

b) (5 3x)2 = 52 2 5 3x + (3x)2 = 25 30x + 9x2

c) (9 + 7x) (9 7x) = 92 (7x)2 = 81 49x2

d) x4 + 2x3 + x2 = (x2)2 + 2 x2 x + x2 = (x2 + x)2

Desarrolla y simplifica las siguientes expresiones.

a) 5x2 + (2x2 + 1)2 2x 4 (x 1)2

b) (x 1)2 (x2 + x + 1)c) (5x + 5)2 (5x 5)2

d) (2x3 3x2)2 (2x + 2) (2x 2)e) (x + 6)2 (x 6)2 (x 5) (x + 5)f) (2x + 1)2 (2x 1)2 + (2x + 1) (3x + 2)

a) 5x2 + (2x2 + 1)2 2x4 (x 1)2 = 5x2 + 4x4 + 4x2 + 1 2x4 x2 ++ 2x 1 = 2x4 + 8x2 + 2x

b) (x 1)2 (x2 + x + 1) = x2 2x + 1 x2 x 1 = 3x

c) (5x + 5)2 (5x 5)2 = [(5x)2 + 2 5x 5 + 52] [(5x)2 2 5x 5 + 52] = 25x2 + 50x + 25 25x2 + 50x 25 = 100x

d) (2x3 3x2)2 (2x + 2) (2x 2) = (2x3)2 2 2x3 3x2 + (3x2)2 [(2x)2 22] = 4x6 12x5 + 9x4 4x2 + 4

e) (x + 6)2 (x 6)2 (x 5) (x + 5) == x2 + 12x + 36 x2 + 12x 36 x2 + 25 = x2 + 24x + 25

f) (2x + 1)2 (2x 1)2 + (2x + 1) (3x + 2) == (2x)2 + 2 2x + 1 ((2x)2 2 2x + 1) + 6x2 + 4x + 3x + 2 == 4x2 + 4x + 1 4x2 + 4x 1 + 6x2 + 7x + 2 = 6x2 + 15x + 2

063

HAZLO AS

Realiza la siguiente operacin.(2x 3)2 (2 + x)2

PRIMERO. Se desarrolla el polinomio aplicando los resultados de las igualdadesnotables.

(2x 3)2 (2 + x)2 = (4x2 12x + 9) (4 + 4x + x2)

SEGUNDO. Se quitan los parntesis, teniendo en cuenta los signos.

(4x2 12x + 9) (4 + 4x + x2) = 4x2 12x + 9 4 4x x2

TERCERO. Se reduce el polinomio.

4x2 12x + 9 4 4x x2 = 3x2 16x + 5Por tanto: (2x 3)2 (2 + x)2 = 3x2 16x + 5.

062

061

SOLUCIONARIO

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94

Expresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o diferencia.

a) 9x2 + 18x + 9 c) x2 + 16x + 64b) 16x2 16x + 4 d) 4x2 + 4x + 1

a) 32x2 + 2 3 3x + 32 = (3x + 3)2

b) 42x2 2 4 2x + 22 = (4x 2)2

c) 12x2 + 2 1 8x + 82 = (x + 8)2

d) 22x2 + 2 2 1x + 12 = (2x + 1)2

Expresa el rea de cada figura mediante un polinomio. Simplifica su expresin.

a) c)

b) d)

a) (x + 4)2 + x2 = 2x2 + 8x + 16

b)

c) (x + 5) (x + 3) 2(x 1) = x2 + 8x + 15 2x + 2 = x2 + 6x + 17

d) = x2 + 2x

Escribe los polinomios como producto de dos factores.

a) x2 16 d) x2 4x + 4b) x 4 36 e) 16x2 24xy + 9y 2

c) 4x2 25 f) 16x 4 + 24x2 + 9

a) (x + 4) (x 4) d) (x 2)2

b) (x2 + 6) (x2 6) e) (4x 3y)2

c) (2x + 5) (2x 5) f) (4x2 + 3)2

Fjate en el ejemplo resuelto y completa.

[(x + 2) + 3] [(x + 2) 3] = (x + 2)2 9a) [(3x y) + 4] [(3x y) 4] b) [(a + b) + c] [(a + b) c]

a) (3x y)2 16

b) (a + b)2 c2

067

066

x xx

+ +

( )4

2

( ) ( )x xx x

+=

3 2 5

2

1

2

15

22

x + 4

x

x

2x + 5

x 3

x 1

x + 32

x + 5

x + 4

x + 4

x

x

065

064

Polinomios

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95

3

Extrae factor comn en estas expresiones.

a) 3x2 4x c) xy 6xyz 5xyztb) (x + 1) + 3(x + 1) d) 3x 4x2 6x3

a) x(3x 4) c) xy(1 6z 5zt )

b) (x + 1) (1 + 3) = 4(x + 1) d) x(3 4x 6x2)

Simplifica estas expresiones aplicando las igualdades notables y extrayendofactor comn.

a) 7x2 14x + 7 e) (2x + 4) (x 2)b) 16x2 + 64x + 64 f) (x 5) (x2 + 5x)c) x3 2x2 + x g) (x 7) (x 7)d) 18x 4 12x2 + 2 h) (x2 + 5) (x2 5)

a) 7(x2 2x + 1) = 7(x 1)2

b) 16(x2 + 4x + 4) = 16(x + 2)2

c) x(x2 2x + 1) = x(x 1)2

d) 2(9x4 6x2 + 1) = 2(3x2 1)2

e) 2(x + 2) (x 2) = 2(x2 4)

f) x (x 5) (x + 5) = x(x2 25)

g) (x + 7) (x 7) = (x2 49) = 49 x2

h) (x2 5) (x2 + 5) = x4 25

070

069

068

HAZLO AS

CMO SE SIMPLIFICAN FRACCIONES ALGEBRAICAS?

Simplifica.

PRIMERO. Se descomponen el numerador y el denominador en tantos factorescomo sea posible.

SEGUNDO. Se dividen el numerador y el denominador entre los factores comunes aambos.

y y x

x y x

y y x

x

3 2

2

1 1

1

1 1

=

( ) ( )

( )

( )( )

y y x

xy x

3 2

2

1 1

1

( ) ( )

( )=

( ) ( )

( )

( ) ( )y y x x

xy x

y y x x4 3 2

2

3 22 1

1

1 2 1 +

= +xxy x2 1( )

=

Se saca factor comn a y3:

y 4 y3 = y3 (y 1)

Cuadrado de una diferencia:

x2 2x + 1 = (x 1)2

F F

( ) ( )( )

y y x xxy x

4 3 2

2

2 11

+

SOLUCIONARIO

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96

Simplifica las fracciones algebraicas.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) d)

b) e)

c) f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Si P(x) tiene grado 5 y Q(x) tiene grado 2, determina, cuando sea posible, los grados de los polinomios:

a) P(x) + Q(x) c) P(x) Q(x)b) P(x) Q(x) d) El cociente y el resto de P(x) : Q(x).

Haz lo mismo si P(x) y Q(x) tienen grado 5.

073

3 4 4

2 4 4

3

2

( ) ( )

( ) ( )

x x

x x

+ +

=

4 3 4

3 3 4 3 4

4 3 4

3 3 4

2( )

( ) ( )

( )

( )

x

x x

x

x

++

=+

( )

( ) ( )

( )

( )

3 2

3 2 3 2

3 2

3 2

2x

x x

x

x

++

=+

18 1

9 1

18 1 1

9 1

2 2

2 2

2 2

2 2

( )

( )

( ) ( )

( )

x

x x

x x

x x

= +

==

+2 1 22

( )x

x

2 4

4 4

2 4

4

2x x

x x

x x

x

( )

( ) ( )

( )

( )

+

=

+

x x x

x xx x

2 4 4

44

( ) ( )

( )( )

++

=

( )( )3 12 42 322

x xx

+

18 36 189 1

4 2

2 2

x xx x +

( )

( )6 827 48

2

2

xx

+

x x xx

( )( )

2 16 3216

2

2

+

( )3 29 4

2

2

xx

x xx x

3 2 164

( )( )

+

072

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(x x y y

xy x y

x+ + +

=+3 3 4 4

2 3 4

32

)) ( )

( )

+y

xy y

4

2 4

y x

x x

y x

x

2 2 22

2

2( )

( )

( )

=

x x x

x xx x

2 2 2

22

( ) ( )

( )( )

+

= +

( )

( )

( )x

x x

x

x

++

=+1

1

12

( )( )( )( )x y

xy x y

2 2

2

9 162 6 4

+

x xx x

2 2 42

( )( )

y x xx x

2 2 4 42

( )( ) +

x xx x

2 2 11

+ ++( )

071

Polinomios

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97

3

a) Grado 5.

b) Grado 5.

c) Grado 7 = 5 + 2.d) Cociente Grado 3 = 5 2.

Resto Grado menor que 2.

Si P(x) y Q(x) tienen grado 5:a) No se puede saber, porque puede ocurrir que algunos de los trminos

se anulen en la suma, si los coeficientes son opuestos.

b) No se puede saber, porque quiz alguno de los trminos se anulen en la resta, si los coeficientes son opuestos.

c) Grado 10 = 5 + 5.d) Cociente Grado 0 = 5 5.

Resto Grado menor que 5.

Las sumas siguientes son cuadrados perfectos.

A la vista de estos resultados, sabras determinar a qu cuadrado es igual la siguiente expresin?

x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2

Comprueba que tu igualdad es correcta.

x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2 = [x (x +1) + 1]2

Para demostrar esta frmula, partimos del segundo miembro:

[x(x + 1) + 1]2 = [x(x + 1)]2 + 2x(x + 1) + 1 = x2(x +1)2 + 2x(x + 1) + 1 == x2(x + 1)2 + 2x2 + 2x + 1 == x2(x + 1)2 + x2 + x2 + 2x + 1 == x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2

Comprueba con algunos ejemplos que el producto de tres nmeros enteros consecutivos sumado con el nmero del medio, es siempre un cubo perfecto.

Demustralo para cualesquiera tres nmeros enteros consecutivos: x 1, x y x + 1.

Ejemplos: 2 3 4 + 3 = 27 = 33

4 5 6 + 5 = 125 = 53

9 10 11 + 10 = 1.000 = 103

(x 1) x (x + 1) + x = (x3 x) + x = x3

075

12 + 22 + 12 22 = 32

22 + 32 + 22 32 = 72

92 + 102 + 92 102 = 912

074

SOLUCIONARIO

826512 _ 0074-0099.qxd 28/6/07 16:54 Pgina 97

98

Siguiendo el mtodo aplicado para hallar el desarrollo de las igualdadesnotables, averigua los desarrollos de:

a) (a + b)3 c) (a + b)2 (a b)2

b) (a b)3 d) (a b)4

a) (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b) == a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3a2b + b3

b) (a b)3 = (a b)2 (a b) = (a2 2ab + b2) (a b) == a3 2a2b + ab2 a2b + 2ab2 b3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

c) (a + b)2 (a b)2 = ((a + b) (a b)) ((a + b) (a b)) = (a2 b2)2 == ((a2)2 2(a2) (b2) + (b2)2) = a4 2a2b2 + b4

d) (a b)4 = (a b)3 (a b) = (a3 3a2b + 3ab2 b3) (a b) == a4 3a3b + 3a2b2 ab3 a3b + 3a2b2 3ab3 + b4 == a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4

EN LA VIDA COTIDIANA

Una fbrica produce mesas elaboradas a mano. El dueo de la fbrica ha observado que los costes de fabricacin por unidad varan excesivamente dependiendo del nmero de mesas producidas.

Adems, ha llegado a la conclusin de que el coste total (en euros) de la produccin de x mesas viene dado por la frmula:

C(x) = x3 + 5x + 16.000

Segn todo lo anterior:a) Cul es el coste de produccin de 40 mesas?

Cunto cuesta producir cada unidad? Y de 20 mesas? Cunto cuesta producir cada unidad en este caso?

b) Cul es la diferencia en los beneficios del fabricante en cada caso? Qu opcin le reportar mayor beneficio?

a) El coste de fabricacin de 40 mesas es: C(40) = 403 + 5 40 + 16.000 == 80.200

La unidad cuesta producirla: 80.200 : 40 = 2.005 .Fabricar 20 mesas cuesta: C(20) = 203 + 5 20 + 16.000 = 24.100 y la unidad cuesta producirla: 24.100 : 20 = 1.205 .

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Polinomios

Me han hecho un pedido de 18 mesas y tengo dos opciones:

Fabricar 18 mesas y venderlas al precio de catlogo: 1.700 por mesa.

Ofrecer a mi cliente una oferta de 20 mesas a 1.640 cada una.

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b) Fabricar 18 mesas cuesta: C(18) = 183 + 5 18 + 16.000 = 21.922 .Los ingresos son: 1.700 18 = 30.600 .Las ganancias son: 30.600 21.922 = 8.678 .

Fabricar de 20 mesas cuesta: C(20) = 203 + 5 20 + 16.000 = 24.100 Los ingresos son: 1.640 20 = 32.800 .Las ganancias son: 32.800 24.100 = 7.300 .

La diferencia entre los beneficios es: 8.678 7.300 = 1.378 al vender18 mesas, que es la opcin ms beneficiosa para el fabricante.

EMBALAJES CARTILLA fabrica cajas de cartn para embalar.

Tienen tres tipos diferentes de cajas y cada cliente puede elegir el formato y las dimensiones segn sus necesidades.

Todas las medidas estn expresadas en centmetros y, por exigencias de produccin y de resistencia del cartn, los valores de la variable tienen algunas restricciones segn el modelo. Adems, deben ser mayores que 10 cm y menores que 50 cm.

a) Expresa en forma de polinomio la cantidad de cartn necesaria para fabricar cada embalaje.

b) Si el precio del cartn es 0,02 /m2, cul ser el precio del cartn necesario para fabricar 200 cajas de embalaje tradicional de 30 60 80 cm?

c) Qu tipo de cajas necesitaremos para embalar estasesferas?

a) La medida del dimetro de la esfera no debe exceder de 50 cm.

Si queremos que el embalaje sea individual, lo haremos en tres cajas cbicas.

Si queremos embalar las tres esferas juntas, sin que sobre espacio,usaremos el embalaje alargado.

Si queremos embalar las tres esferas juntas, y que sobre espacio,utilizaremos el embalaje tradicional.

b) Embalaje cbico: 6 caras de superficie x2 S(x) = 6x2

Embalaje alargado: 2 caras de superficie x2 y 4 caras de superficie: 3x2 S(x) = 14x2

Embalaje tradicional: 2 caras de superficie 2x2, 2 caras de superficie 2x2 + 20y 2 caras de superficie 4x2 + 40x S(x) = 2(8x2 + 60x) = 16x2 + 120x

c) x = 30 La superficie de cada caja es: S(30) = 16 302 + 120 30 = 18.000 cm2 18.000 cm2 = 1,8 m2

200 cajas tienen una superficie de 200 1,8 = 360 m2 y un coste de 360 2 = 720 cntimos de euro = 7,20 .

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EMBALAJE TRADICIONAL

SOLUCIONARIO

EMBALAJE