SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL...

SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO 1

Diseño de una ingeniería didáctica para promover el razonamiento inductivo y el

razonamiento deductivo en el contexto de la construcción de paralelogramos, utilizando

software de geometría dinámica

José Luis Calderón García

Universidad Distrital Francisco José De Caldas

Nota del autor

Tesis Modalidad Profundización elaborada como requisito para optar al título de Magister

en Educación con Énfasis en Matemáticas, bajo la Dirección del Dr Martín Acosta G de la

Facultad de Ciencias y Educación.

Correspondencia: [email protected]

Bogotá D.C., Octubre de 2016


Dedicatoria

A mi compañera y socia por excelencia en esta vida, Nidia, por su apoyo y compromiso, en

este viaje que hacemos juntos en pos del crecimiento intelectual y espiritual. Gracias, mi Amor

A Daniel por su valiosa participación en el sondeo de las actividades, Gracias, Hijo.

A mi Ángel, que ha sido una inefable bendición.


Agradecimientos

A Dios por darme la energía necesaria para llevar a cabo esta nueva etapa de formación

profesional.

A mis estudiantes que son el resorte que me impulsa a seguir avanzando.

A mi mentor Dr. Martin Acosta por brindarme su sabiduría y apoyo en la realización de este

proyecto.


Contenido

1 Resumen. ........................................................................................................................................ 10

2 Introducción ................................................................................................................................... 11

3 Pregunta de investigación ............................................................................................................. 15

4 Objetivos ........................................................................................................................................ 15

4.1 Objetivo general. ................................................................................................................... 15

4.2 Objetivos específicos. ............................................................................................................. 15

5 Metodología .................................................................................................................................... 16

5.1 Diseño de investigación. ........................................................................................................ 16

5.1.1 Ingeniería didáctica. ....................................................................................................... 16

6 Marco teórico ................................................................................................................................. 19

6.1 Teoría de las situaciones didácticas ..................................................................................... 19

6.1.1 Aprendizaje por adaptación............................................................................................ 19

6.1.2 Situación didáctica y situación a-didáctica ................................................................... 21

6.1.3 CarMetal como medio .................................................................................................... 23

6.2 Razonamiento ........................................................................................................................ 25

6.2.1 Razonamiento inductivo. ................................................................................................ 25

6.2.2 Razonamiento deductivo................................................................................................. 29

7 Análisis preliminares ..................................................................................................................... 32

7.1 Análisis Epistemológico ........................................................................................................ 32


7.1.1 La geometría de Euclides. .............................................................................................. 32

7.1.2 Una mirada epistemológica de los elementos. ............................................................... 34

7.1.3 El rol del software de geometría dinámica en el proceso de construcción del

conocimiento ....................................................................................................................................... 35

7.2 Análisis didáctico ................................................................................................................... 38

7.2.1 Enseñanza de la geometría............................................................................................. 38

7.2.2 Aprendizaje de la Geometría. ......................................................................................... 39

8 Análisis a priori actividades paralelogramo ............................................................................... 42

8.1 Actividad 1 ............................................................................................................................. 42

8.1.1 Primera parte. ................................................................................................................. 42

8.1.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 48

8.2 Actividad 2. ............................................................................................................................ 51

8.2.1 Primera parte. ................................................................................................................. 52

8.2.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 52

8.2.3 Tercera parte. ................................................................................................................. 58

8.3 Actividad 3. ............................................................................................................................ 61

8.3.1 Primera parte. ................................................................................................................. 62

8.3.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 62

8.3.3 Tercera parte. ................................................................................................................. 66

8.4 Actividad 4 ............................................................................................................................. 68

8.4.1 Primera parte. ................................................................................................................. 69


8.4.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 71

9 Pilotaje ............................................................................................................................................ 73

9.1 Actividad 1 ............................................................................................................................. 73

9.1.1 Primera parte. ................................................................................................................. 73

9.1.2 Segunda parte. ............................................................................................................... 76

9.2 Actividad 2 ............................................................................................................................ 78

9.2.1 Primera parte. ................................................................................................................. 78

9.2.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 80

9.2.3 Tercera parte. ................................................................................................................. 83

9.3 Actividad 3 ............................................................................................................................ 84

9.3.1 Primera parte. ............................................................................................................... 84

9.3.2 Segunda parte ................................................................................................................. 85

9.3.3 Tercera parte. .................................................................................................................. 88

9.4 Actividad 4 ............................................................................................................................. 90

9.4.1 Primera parte. ................................................................................................................. 90

9.4.2 Segunda parte. ................................................................................................................ 92

10 Conclusiones .............................................................................................................................. 94

11 Reflexiones ................................................................................................................................. 98

12 Referencias Bibliografía ............................................................................................................ 99


Lista de figuras

Figura: 1 Aprendizaje por adaptación .................................................................................................... 20

Figura: 2 Situación Didáctica ................................................................................................................. 22

Figura: 3 Razonamiento Inductivo ......................................................................................................... 27

Figura: 4 Razonamiento Deductivo ........................................................................................................ 29

Figura: 5 Construcción Propuesta .......................................................................................................... 43

Figura: 6 Construcción Estudiantes ........................................................................................................ 43

Figura: 7 Estrategia de Validación ......................................................................................................... 44

Figura: 8 Construcción de rectas que contienen los lados del cuadrilátero ........................................... 45

Figura: 9 Estrategia de Validación ......................................................................................................... 46

Figura: 10 Construcción paralelogramo estudiantes ............................................................................. 48

Figura: 11 Descripción de la Construcción propuesta por el Software .................................................. 49

Figura: 12 Descripciones propuestas ...................................................................................................... 50

Figura: 13 Construcción Esperada ......................................................................................................... 52

Figura: 14 Construcción con medida fija ............................................................................................... 53

Figura: 15 Estrategias de Construcción a) .............................................................................................. 55

Figura: 16 Estrategias de Construcción b) ............................................................................................. 56

Figura: 17 Estrategias de Construcción c) .............................................................................................. 57

Figura: 18 Validación mediante herramienta Test. ................................................................................ 57

Figura: 19 Construcciones para verificar ............................................................................................... 59

Figura: 20 Cuadriláteros para Anticipar ................................................................................................. 61

Figura: 21 Construcción Esperada ......................................................................................................... 62

Figura: 22 Construcción con ángulo de Amplitud fija ........................................................................... 63


Figura: 23 Intento de construcción ........................................................................................................ 65

Figura: 24 Construcción para verificar .................................................................................................. 67

Figura: 25 Construcción para Anticipar ................................................................................................. 68

Figura: 26 Segmentos propuestos .......................................................................................................... 69

Figura: 27 Intento de construcción ........................................................................................................ 70

Figura: 28 Construcción esperada .......................................................................................................... 70

Figura: 29 Intento de construcción ......................................................................................................... 71

Figura: 30 Estrategias de Construcción .................................................................................................. 72

Figura: 31 Validación por Arrastre ........................................................................................................ 73

Figura: 32 Validación mediante rectas que contienen los lados............................................................. 74

Figura: 33 Validación perceptual ........................................................................................................... 75

Figura: 34 Uso de la herramienta recta paralela .................................................................................... 75

Figura: 35 Paralelogramo construido por estudiante ............................................................................ 76

Figura: 36 Descripción construcción propuesta por el software ............................................................ 77

Figura: 37 Descripción construcción propuesta como actividad ............................................................ 77

Figura: 38 Construcción propuesta por el estudiante ............................................................................ 78

Figura: 39 Intento de Acomodación ....................................................................................................... 79

Figura: 40 Estrategia de verificación ..................................................................................................... 79

Figura: 41 Validación perceptual ........................................................................................................... 80

Figura: 42 Uso de herramienta circulo de radio fijo .............................................................................. 81

Figura: 43 Validación por Arrastre ....................................................................................................... 81

Figura: 44 Aproximación a paralelogramo ............................................................................................ 82

Figura: 45 Validación con herramienta test ........................................................................................... 82

Figura: 46 Verificación medida y anticipación de propiedades ............................................................. 84


Figura: 47 Verificación de propiedades ................................................................................................. 85

Figura: 48 Verificación de paralelismo ................................................................................................. 86

Figura: 49 Estrategia de construcción con ángulos ................................................................................ 86

Figura: 50 Conjetura ángulos opuestos .................................................................................................. 87

Figura: 51 Revisión construcción ángulos opuestos ............................................................................. 88

Figura: 52 Verificación medida ángulos ................................................................................................ 88

Figura: 53 Anticipación medida ángulos interiores ............................................................................... 89

Figura: 54 Construcción Polígono .......................................................................................................... 90

Figura: 55 Conjetura punto medio ......................................................................................................... 91

Figura: 56 Aproximación punto medio .................................................................................................. 91

Figura: 57 Intento construcción exacta .................................................................................................. 92

Figura: 58 Construcción exacta punto medio ......................................................................................... 92

Figura: 59 Verificación construcción diagonales ................................................................................... 93

Figura: 60 Verificación paralelogramo .................................................................................................. 93

SOFTWARE SGD EN LA PROMOCIÓN DEL RAZONAMIENTO

10

1 Resumen.

En este trabajo se presenta el diseño de una secuencia de actividades desde el enfoque de

la teoría de situaciones de Brousseau que aporten al currículo de matemáticas, especialmente a

la enseñanza de la geometría. Las actividades buscan a través de la experimentación incentivar

el razonamiento inductivo como proceso de reconocimiento y generalización de propiedades,

para paulatinamente adentrase en procesos de verificación, anticipación y justificación de

propiedades, propios del razonamiento deductivo. Se propone la mediación del software de

geometría dinámica (SGD) CarMetal, con el fin de resaltar sus ventajas como medio facilitador

con el cual los estudiantes pueden interactuar validando sus acciones gracias a las

retroacciones del mismo, posibilitando un aprendizaje por adaptación.

Palabras Clave: software de geometría dinámica, aprendizaje por adaptación, geometría

experimental, razonamiento.


11

2 Introducción

En mi práctica profesional he enfrentado dificultades causadas por la falta de manejo de

las nuevas tecnologías. En clase es usual ver a los estudiantes utilizar, por ejemplo la

calculadora graficadora, escribir la fórmula de una función para observar en la pantalla la gráfica

de la misma, ampliarla o reducirla con gran exactitud y en tiempo record. Este hecho contrasta

con lo complejo que puede ser para el profesor representar ese mismo objeto en el tablero,

tratando de hacerlo lo mejor posible.

El hecho de que una calculadora o software realice procesos de representación de manera

rápida y precisa, invita a reconsiderar su rol en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Sin

embargo, muchos profesores experimentan temor o rechazo por el uso de las tecnologías,

probablemente debido a su desconocimiento de las mismas y su ignorancia de una forma

provechosa de incluirlas en el proceso de enseñanza. También hay quienes las rechazan porque

creen que perjudican el desarrollo de habilidades fundamentales (Gamboa, 2007).

No obstante, el estudiante llega a la escuela con referentes de la sociedad de la

información, de la era digital, y ello obliga al profesor a adaptar su discurso y sus estrategias

(Prensky, 2001). En efecto, uno de los impactos que se ha originado por el uso de las nuevas

tecnologías en la educación tiene que ver con la adaptación del sistema educativo; puesto que

cuando surge un cambio que modifica la manera como se comunican o se transmiten

conocimientos, surge una nueva forma de adquirir educación (Mendoza, 2006).

Sin embargo esta incursión de la tecnología en la escuela se ha asumido de una manera un

poco ingenua, y más como un elemento motivador para los estudiantes, que como una

herramienta que puede contribuir a transformar las prácticas pedagógicas del profesor (Acosta,

2005). Cambiar esta percepción, implica una auténtica revolución profesional de los profesores


12

que exige tiempo de adaptación a los nuevos contextos tecnológicos y comunicativos, pero

especialmente grandes esfuerzos de formación permanente. Sin esta formación y

perfeccionamiento del profesor en el uso de las tecnologías, es muy difícil la integración de estas

al proceso de enseñanza y aprendizaje (Alemañy, 2009).

Por lo tanto, se hace necesaria la reflexión sobre cuáles son los atributos de las

tecnologías, que posibilitan una mejor enseñanza y aprendizaje. Para el profesor es inevitable

indagar por razones más específicas que permitan planificar un uso más racional de las

tecnologías en su clase.

Según Crawford (1994) el impacto de la tecnología en educación ha propiciado:

Un cambio en la forma de acceder al conocimiento, particularmente en matemáticas

donde la implementación de software abrió la posibilidad de sistematizar y modelar

distintos objetos matemáticos, originando avances en diferentes ramas de este saber.

Una nueva forma de aprendizaje; ya que la implementación de software en la clase de

matemáticas posibilita una nueva forma de cognición la cual todavía no es reconocida

en la escuela.

Finalmente, frente al ambiente escolar, afirma que la incursión de nuevas tecnologías

en la escuela afecta las relaciones de poder establecidas en el aula (cambiando la

ecología de la clase) ya que representan una fuente de autoridad que compite con la

del profesor.

Estos aspectos no son los únicos sobre los cuales debe reflexionar el profesor si quiere

integrar las tecnologías a su práctica, también debe considerar aspectos de carácter disciplinar.

Al respecto Acosta, Monroy y Rueda (2010) señalan que aunque se reconoce el potencial

del software en la educación matemática, se desconoce como una herramienta legítima para hacer


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matemáticas, generando conflicto entre la intención de cambiar la práctica didáctica y la

intención de dejar intacta la práctica matemática. La introducción del software en el proceso de

enseñanza tiene implicaciones tanto en la actividad matemática como en la actividad didáctica y

se hace necesario un análisis cuidadoso de estas implicaciones para investigar sus efectos.

Además, señala la necesidad de un discurso teórico para describir, analizar y justificar las nuevas

prácticas didácticas que incluyen el uso del software.

Los aspectos anteriormente considerados muestran un panorama más amplio, acerca de lo

que implica para el profesor integrar las nuevas tecnologías a su clase, puesto que no es suficiente

con su disposición, sino que requiere considerar aspectos didácticos, disciplinares, así como de

formación.

Sin embargo, algunos investigadores en educación (por ejemplo Acosta, Laborde,

Mariotti, Arzarello, Camargo) conscientes de la complejidad de la implementación de la

tecnología en los proceso de enseñanza y aprendizaje particularmente en educación matemática,

han realizado experiencias con Software de Geometría Dinámica, brindando de esta forma

modelos y prácticas de referencia para los profesores.

En este sentido, este trabajo pretende contribuir a la solución de las dificultades que se

presentan al profesor en su intención de integrar la tecnología a la clase diseñando una secuencia

de actividades haciendo uso de software de geometría dinámica (SGD). Siguiendo una

metodología de ingeniería didáctica, se realiza un análisis epistemológico y didáctico de la

geometría escolar que permite identificar las características del software que tienen un mayor

potencial para influir en el aprendizaje de los estudiantes y en el proceso de enseñanza.

Asumiendo la orientación de la teoría de las situaciones didácticas, proponemos el diseño de

situaciones a didácticas que conduzcan a la construcción de conocimientos sobre las propiedades


14

de los paralelogramos y contribuyen al desarrollo del razonamiento inductivo y del razonamiento

deductivo.

Las situaciones están dirigidas a estudiantes de grado séptimo y se enmarcan dentro del

campo disciplinar de la geometría euclidiana concebida como una ciencia de las construcciones

geométricas. Desde este punto de vista, la actividad geométrica se propone producir

construcciones exactas1 o justificar que una construcción es exacta.

La secuencia de actividades se realiza utilizando como medio de interacción el software

de geometría dinámica (SGD) CarMetal en el cual el comportamiento de los objetos es

geométrico; es decir, guarda una coherencia con el saber disciplinar que se quiere transmitir.

Se tiene como hipótesis principal el Software de Geometría Dinámica como medio en una

situación a-didáctica contribuye a promover el aprendizaje del razonamiento inductivo y el

razonamiento deductivo en la construcción de paralelogramos.

En consecuencia el objeto de estudio es el potencial del uso de software en el proceso de

enseñanza y aprendizaje del razonamiento inductivo y del razonamiento deductivo en la

construcción de paralelogramos.

1 Ver Análisis Epistemológico


15

3 Pregunta de investigación

¿Qué aspectos se deben tener en cuenta al utilizar software de geometría dinámica en el

proceso de enseñanza, para lograr un aprendizaje por adaptación de las propiedades de los

paralelogramos y promover el desarrollo del razonamiento inductivo y del razonamiento

deductivo en los estudiantes?

4 Objetivos

4.1 Objetivo general.

Diseñar una secuencia de actividades que aproveche el potencial del SGD para promover

el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en estudiantes de séptimo grado, en el

contexto de la construcción de paralelogramos, propiciando el aprendizaje por adaptación.

4.2 Objetivos específicos.

Explicitar un modelo de actividades para promover el razonamiento inductivo y el

razonamiento deductivo en el que se privilegia la experimentación con figuras

dinámicas como estrategia para suscitar el aprendizaje por adaptación.

Referenciar las características del SGD que potencian el aprendizaje del razonamiento

inductivo y del razonamiento deductivo en el contexto de la construcción de

paralelogramos.

Diseñar situaciones a-didácticas que potencien los procesos de verificación,

anticipación y justificación de propiedades en los paralelogramos, fomentando el

razonamiento deductivo como acercamiento a la demostración en geometría.


16

5 Metodología

El propósito de este trabajo es diseñar una secuencia de actividades para promover el

razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en geometría; particularmente en el

contexto de la construcción de paralelogramos utilizando el software Carmetal. Dicho diseño se

realizará dentro del marco de la Ingeniería Didáctica como metodología de investigación, la cual

se caracteriza en primer lugar, por un esquema experimental basado en las realizaciones

didácticas en clase, es decir sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias

de enseñanza (Artigue, Douady & Moreno, 1995).

5.1 Diseño de investigación.

5.1.1 Ingeniería didáctica.

Una Ingeniería Didáctica busca la validación de los modelos (situaciones), contrastando

las hipótesis del funcionamiento de la situación (análisis a priori) con el funcionamiento

efectivo de la situación en condiciones reales (análisis a posteriori). Por lo tanto el proceso

experimental de una ingeniería didáctica implica cuatro fases:

1º. Fase de Análisis Preliminar

2º. Fase de Diseño y Análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería

3º. Fase de experimentación y recolección de datos

4º. Fase de análisis a posteriori y evaluación.

En el presente estudio se realizará el análisis preliminar junto con el diseño y análisis a

priori de las situaciones.


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5.1.1.1 Análisis preliminar.

Según Artigue et al. (1995) el análisis preliminar puede incluir:

Análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza.

Análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos.

Análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos que

determinan su evolución.

Análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica

efectiva.

En el caso de este trabajo se realizaran los dos primeros tipos de análisis preliminares.

5.1.1.2 Diseño y análisis a priori.

Esta fase permite determinar las variables relacionadas con el problema objeto de estudio,

sobre las cuales se va actuar.

Según Artigue et al. (1995) estas variables pueden ser de dos tipos:

1. Variables macro didácticas concernientes a la organización global de la ingeniería.

2. Variables micro-didácticas concernientes a la organización local de la ingeniería. Es

decir, la organización de una secuencia o de una fase.

En el presente trabajo nos centraremos en las variables micro- didácticas

Según Artigue et al. (1995) este análisis debe constituirse en un análisis de control de

relaciones entre significado y las situaciones, por lo tanto se basa en un conjunto de hipótesis.

En el análisis a priori se hacen consideraciones de tipo descriptivo y predictivo, en cada

una de las cuales se analiza el comportamiento de los estudiantes frente al origen de su

aprendizaje.


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5.1.1.3 Pilotaje y ajuste.

Finalmente se llevará a cabo un pilotaje de la secuencia de actividades con una pareja de

estudiantes, con el propósito de detectar posibles fallas o dificultades en las situaciones

propuestas posibilitando de esta manera un afinamiento de las mismas.


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6 Marco teórico

6.1 Teoría de las situaciones didácticas

La Teoría de las situaciones Didácticas (TDS) de Brousseau, proporciona un marco de

referencia para entender el rol del software en el proceso de enseñanza al tiempo que permite

observar cómo se transforma la gestión del profesor, posibilitando una nueva forma de

aprendizaje para el alumno.

Según Brousseau (2007):

El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, dificultades,

desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Ese saber fruto de la

adaptación del alumno, se manifiesta por las respuestas nuevas que son la prueba del

aprendizaje (p. 59).

Para entender con mayor claridad el rol de la tecnología dentro de la teoría, es necesario

profundizar en conceptos como aprendizaje, medio, validación y devolución.

6.1.1 Aprendizaje por adaptación

En la Teoría de Situaciones Didácticas se hace énfasis en el Aprendizaje por

Adaptación, el cual según Brousseau (2007 como se citó en Acosta et al., 2010) es el producto

de la interacción del estudiante con el medio (Ver figura 1.).


20

Figura: 1 Aprendizaje por adaptación

.

Dicha interacción comprende cinco elementos. El sujeto tiene una intención y para

lograrla realiza acciones sobre ese medio. El medio reacciona a esa acción con algo que

llamamos una retroacción. El sujeto interpreta esta retroacción, es decir toma conciencia de ella y

le da un sentido. Finalmente el sujeto valida su acción es decir decide si esa acción le sirvió para

alcanzar su intención o no. En caso afirmativo refuerza la acción, en caso negativo modifica su

acción y empieza otro ciclo acción - retroacción, hasta que logra obtener lo que quería.

6.1.1.1 Medio

Para la TSD el medio es una entidad que el profesor puede moldear con el propósito de

facilitar los objetivos de aprendizaje; tiene un componente externo al alumno, de naturaleza

material. Debe permitirle al alumno actuar en él. Es neutral en cuanto a las intenciones del

alumno, aunque reacciona a las acciones de éste e impone restricciones ya que no es posible

cualquier acción (Acosta et al., 2010)

Según el mismo Acosta et al (2010):


21

Para lograr que el aprendizaje por adaptación producido por la interacción con el medio

responda a los objetivos de aprendizaje, el profesor debe controlar las acciones que puede

realizar el alumno y las retroacciones del medio, de manera que solo se validen las

acciones que corresponden al saber que se desea enseñar (p.178)

En la teoría de las situaciones didácticas, el rol del profesor es muy importante, puesto

que es el encargado de crear la intención en el estudiante y preparar correctamente el medio. El

profesor debe anticipar las posibles acciones del estudiante y las retroacciones del medio para

garantizar que puedan ser interpretadas por el estudiante, con el fin de validar o invalidar sus

acciones, y que de esta manera se dé un aprendizaje por adaptación.

6.1.2 Situación didáctica y situación a-didáctica

Según Acosta et al. (2010):

Una situación es didáctica cuando un individuo (profesor) tiene la intención de enseñar a

otro individuo (alumno) un saber matemático dado. Una situación es a-didáctica cuando

se da interacción entre un sujeto y un medio para resolver un problema. Como el medio

es impersonal, no tiene ninguna intención didáctica: no desea enseñarle nada al alumno.

Por eso este tipo de situación recibe el nombre de a-didáctica. Aunque podría pensarse

que estas dos situaciones están totalmente en oposición, puesto que una necesita del

profesor y la otra no, según la TSD se da una interacción de estas dos situaciones, en la

que la situación a-didáctica puede ser parte de una situación didáctica (p.176).


22

Figura: 2 Situación Didáctica

Más adelante explica:

Se tiene la situación global, que es la situación didáctica, pues comprende las relaciones

entre el profesor, el alumno y el saber. El profesor desea enseñar el saber al alumno, no

comunicándoselo directamente, sino planteándole una situación a-didáctica (en el interior

de la situación didáctica), planeada para producir un aprendizaje por adaptación. Con este

fin, el profesor prepara cuidadosamente un medio con el cual el alumno podrá interactuar,

y un problema que produzca en el alumno una intención y desencadene unas acciones

sobre el medio. El producto de esa situación a-didáctica es un conocimiento: una

estrategia que permite resolver el problema (Acosta et al., 2010, pp.176-177).

Se tiene entonces al interior de la situación didáctica una situación a-didáctica que el

profesor utiliza para que los alumnos construyan un conocimiento, a la cual podrá referirse para

exponer el saber.

Durante la fase a-didáctica se desarrollan dos procesos:


23

6.1.2.1 Validación.

Este proceso tiene lugar en la interacción del sujeto con el medio. Podemos considerar la

totalidad de esa interacción como conducente a la validación por parte del alumno de sus

acciones.

No es posible para el alumno decidir sobre la validez de una acción sin hacer referencia a

su intención o sin haber interpretado las retroacciones del medio.

6.1.2.2 Devolución.

Es el proceso mediante el cual el profesor acompaña el proceso de validación de los

estudiantes, reforzándolo y evitando interrumpirlo. Por ejemplo, mientras se lleva a cabo la

situación a-didáctica, el profesor se abstiene de comunicar el saber a los alumnos, pues de esa

manera impedirá que se realice un aprendizaje por adaptación; esto no implica que el profesor no

deba intervenir, sino que animara al alumno a resolver el problema, hacerle tomar conciencia de

las acciones que puede realizar y de las retroacciones del medio pidiéndole que sea él mismo

quien decida si resolvió el problema.

6.1.3 CarMetal como medio

En este trabajo se utiliza el Software CarMetal como medio con el cual el estudiante

interactúa para adquirir un aprendizaje por adaptación. Dicho Software recibe el nombre de

geometría dinámica, porque permite realizar construcciones geométricas por medio de la


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manipulación directa de objetos en la pantalla y también permite la manipulación de objetos ya

construidos, redibujándolos en tiempo real.

En CarMetal se pueden efectuar dos tipos de acción:

6.1.3.1 Acción de construcción.

Haciendo uso de las herramientas es posible dibujar en la pantalla diferentes objetos

(segmentos, rectas, círculos, polígonos, ángulos, etc.) con relaciones entre ellos (pertenencia,

perpendicularidad, paralelismo, etc.). La retroacción del medio es un dibujo estático en la

pantalla, que corresponde a lo que se pidió que construyera.

6.1.3.2 Acción de arrastre.

Este atributo permite asir los objetos ya construidos y desplazarlos en la pantalla,

garantizando que las relaciones geométricas construidas se mantienen durante el movimiento. La

retroacción correspondiente son fenómenos dinámicos en la pantalla.

En Carmetal el comportamiento de los objetos es geométrico; es decir, “se conservan

intactas las relaciones geométricas que hayan sido declaradas en la construcción, así como las

propiedades geométricas implícitas” Acosta et al. (2010, p. 178) tanto al construir como al

arrastrar. Esta característica supone una gran ventaja, pues las retroacciones del medio

corresponden al saber geométrico, y por lo tanto los conocimientos que construyen los

estudiantes en interacción con el software tendrán una correspondencia directa con el saber que

se quiere enseñar (Acosta et al., 2010).


25

6.2 Razonamiento

En este trabajo entendemos por razonamiento a cualquier procedimiento que nos permita

desprender nueva información de informaciones previas, ya sean aportadas por el problema o

derivadas del conocimiento anterior (Arsac, 1992).

Según sea el desarrollo de dicho proceso se distingue entre razonamiento inductivo y

razonamiento deductivo.

6.2.1 Razonamiento inductivo.

Es una modalidad del razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a

partir de premisas que contienen datos particulares o individuales.

Para Clemens, O‟ Daffer, y Cooney (1989) esta clase de razonamiento es un proceso que

puede describirse así:

1. Se observa que una propiedad es verdadera para cada caso que se verifica.

2. Dado que la propiedad es verdadera en todos los casos verificados, se concluye que es

verdadera para todos los demás casos y se establece una generalización.

https://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento

https://es.wikipedia.org/wiki/Conclusi%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Premisas


26

Utilizando la estructura propuesta por Toulmin para describir y estudiar los procesos de

razonamiento como formas de argumentación*, podemos ilustrar el razonamiento inductivo como

se muestra en la figura 3.

* “La argumentación que estudiamos es un razonamiento lógico, que puede descomponerse en partes para hacer emerger su

estructura. Cada parte de la argumentación es un paso constituido por al menos tres elementos: unos datos, una conclusión y un

permiso de inferir” (Toulmin, 1958)


27

Figura: 3 Razonamiento Inductivo

Usualmente esta forma de razonamiento es poco apreciada por el profesor, quien

privilegia el razonamiento deductivo propio del sistema axiomático de la geometría. Su

relevancia en la construcción del conocimiento geométrico es evidente si se considera que

civilizaciones como los babilonios y egipcios establecieron por razonamiento inductivo su acervo

matemático. Es importante que el alumno pueda visualizar los problemas, lanzar conjeturas,

construir argumentos, analizar propiedades y luego si axiomatizar. (Larios, 2006)

Mediante el razonamiento inductivo, a partir de la experimentación, el estudiante puede

llegar a formular Reglas Teóricas Generales que posteriormente puede utilizar como permiso de

inferir en un Razonamiento Deductivo


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6.2.1.1 Estrategias para promover el razonamiento inductivo.

6.2.1.1.1 Contraejemplo.

Es usual para el alumno que realiza la construcción de objetos geométricos dar por

cumplidas algunas propiedades a partir del dibujo o asumir la generalidad de una propiedad

solamente porque un caso particular la cumple. Mediante el contraejemplo se invita al alumno a

confrontar la validez de sus aseveraciones con ejemplos que las contradicen. Así, entonces el

contraejemplo es visto como una excepción a una regla general propuesta, es decir, un caso

específico de la falsedad de una cuantificación universal (un "para todo").

En estos experimentos, tienen como finalidad confrontar en los alumnos, la validez de sus

aproximaciones a las reglas teóricas con la universalidad de las mismas.

6.2.1.1.2 Construcciones imposibles.

Las actividades propuestas sugieren la elaboración de construcciones que aparentemente

se pueden realizar, pero que en realidad no son posibles. La intención es que los alumnos, luego

de enfrentarse empíricamente con la imposibilidad de la construcción solicitada, traten de buscar

argumentos para validar que efectivamente no hay objeto que cumpla con lo pedido.

Este tipo de actividades no suele ser común en clase de geometría, requieren aceptar la no

solución como respuesta a una actividad, es usual que los alumnos piensen que lo que no se

puede realizar tiene que ver con algún error cometido por ellos en el desarrollo de la tarea, pues si

el profesor lo pide tiene que poder efectuarse. Justamente, para distinguir entre no hay solución y

no me salió son necesarios argumentos que se apoyen en propiedades.

https://es.wikipedia.org/wiki/Cuantificador_universal


29

Pedir una justificación es colocar al alumno en un plano diferente del dibujo y la

visualización. De este modo se pretende lograr que los alumnos se involucren en la elaboración

de argumentos, lo cual permitirá al profesor ir instalando la argumentación como actividad usual

de la clase.

6.2.2 Razonamiento deductivo.

Es un argumento donde la conclusión se infiere necesariamente de las premisas.

Según Clemens et al. (1989). Existe razonamiento deductivo cuando:

1. Se inicia con las condiciones dadas (hipótesis).

2. Se usa definiciones, postulados o teoremas previamente probados para justificar una

serie de proposiciones o pasos que den el resultado deseado.

3. Se afirma el resultado (conclusión).

Figura: 4 Razonamiento Deductivo

https://es.wikipedia.org/wiki/Argumento_(l%C3%B3gica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Conclusi%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Inferencia

https://es.wikipedia.org/wiki/Necesario

https://es.wikipedia.org/wiki/Premisa


30

Es común en nuestro currículo escolar, cuando se habla de Razonamiento Deductivo

asociarlo exclusivamente con Demostración e implementar un tratamiento de los problemas de

forma axiomática. Este fenómeno ocasiona el desconocimiento del razonamiento deductivo en

procesos como la verificación de propiedades, la anticipación de magnitudes y la justificación de

construcciones.

6.2.2.1 Estrategias para promover el razonamiento deductivo.

6.2.2.1.1 Verificación.

Son problemas en los que el estudiante debe verificar unas propiedades que no pueden

constatar de manera directa. Por lo tanto tiene que recurrir a una implicación lógica para poder

realizar la verificación. Es decir, el estudiante puede utilizar herramientas para verificar otras

propiedades que están relacionadas de manera lógica con la propiedad pedida

Por ejemplo: para verificar el paralelismo de un cuadrilátero si no se dispone de una

herramienta que permita hacerlo de manera directa, los estudiantes pueden medir los lados

opuestos de la figura para deducir que si no tienen la misma medida entonces no son paralelos.

6.2.2.1.2 Anticipación.

Son problemas en los que el estudiante tiene que predecir una característica de un objeto

con base en unas propiedades que se afirman que son verdaderas. Es decir, para poder anticipar el

estudiante tiene que necesariamente utilizar una regla teórica.


31

Por ejemplo: si se afirma que un cuadrilátero es paralelogramo y se conoce la medida de

uno de sus lados se puede predecir la medida de su lado opuesto.

6.2.2.1.3 Justificación.

Son problemas en los cuales dada la descripción de una construcción, el estudiante debe

predecir las propiedades que se mantienen al arrastrar.

Hay dos tipos de justificaciones.

Justificaciones donde las propiedades son producto de la aplicación directa de una

herramienta de construcción.

Justificaciones donde las propiedades no son el producto directo de una herramienta,

de construcción. Para justificar que estas propiedades se conservan al arrastrar es

necesario invocar una regla teórica general

Por ejemplo: Dada la descripción de la construcción de un rectángulo justificar que todos

sus ángulos interiores son rectos y que se conservaran durante el arrastre


32

7 Análisis preliminares

7.1 Análisis Epistemológico

7.1.1 La geometría de Euclides.

El gran aporte de Euclides fue tomar los saberes geométricos de su tiempo, ordenarlos,

clasificarlos y sistematizarlos, para luego ponerlos a disposición de la comunidad de estudiosos

en su conocido texto los Elementos, sentando de esta forma las bases de un sistema axiomático

para la geometría (Sánchez, 2012). La forma como se expone el saber geométrico en los

Elementos pone de manifiesto una manera deductiva de razonar, ya que es posible ver como una

afirmación es consecuencia de la anterior gracias a una cadena de razonamientos finamente

articulados. El razonamiento deductivo posibilita la demostración, considerada la herramienta

preferida por la comunidad matemática para validar sus declaraciones y mostrar su universalidad,

manifestando de esta forma rigurosidad en sus afirmaciones (Crespo, Farfan & Lezama, 2010).

Sin embargo, no hay que olvidar que los conocimientos teóricos expuestos en Los

Elementos no se construyeron en su totalidad de forma deductiva. Los predecesores de Euclides

aceptaban como verdaderas muchas de las preposiciones de Los Elementos basados en la

experimentación. La organización deductiva fue posterior a su reconocimiento como verdades

generales (Sánchez, 2012).

Mucho del conocimiento teórico expuesto en los elementos fue construido con

anterioridad y de forma empírica. Al respecto, el historiador Heródoto (como se citó en Sánchez,

2012) dice:

La geometría nace en Egipto debido a la necesidad de trazar los linderos de las tierras

cada vez que el río Nilo las inundaba, pues a partir de esos linderos había que pagar los


33

impuestos. Del trabajo de esos agrimensores quedan algunas recetas, métodos prácticos,

para calcular longitudes, áreas y volúmenes que se encuentran en los Papiros de Ahmes y

de Moscú (p.73).

Este hecho evidencia que la construcción del conocimiento geométrico no es

exclusivamente deductiva como aparece en Los Elementos, sino que la actividad empírica,

experimental y el razonamiento inductivo son formas legítimas utilizadas y necesarias en el

quehacer geométrico. Al respecto, Kline (como se citó en Larios & González, 2010) afirma:

Los babilonios y los egipcios establecieron por razonamiento inductivo su acervo

matemático. Por medición deben haber determinado que el área de un triángulo es la

mitad del producto de la base por la altura y, habiendo empleado esta fórmula varias veces

y obtenido resultados correctos, habrán llegado a la conclusión de que la fórmula era

intachable (p.148).

Históricamente el camino recorrido para llegar a la organización deductiva del

conocimiento geométrico es un camino en el que primero se construyeron algunas cadenas de

deducciones aisladas, antes de intentar reunir todos los conocimientos en una estructura

axiomático-deductiva.

Según Heath (como se citó en Masdexexas, 1986):

Los Elementos de Euclides no tanto son una obra de creación que abra nuevos e

importantes problemas u horizontes, cuanto una obra de compilación de los resultados

más importantes obtenidos durante más de tres siglos de profunda y continuada actividad

matemática (p. 1).

Más adelante, el mismo autor señala:

… antes de Euclides, ya Hipócrates y después León (S. IV a. d. C) y después Teudio de

Magnesia (miembro de la Academia de Platón) compusieron Elementos de geometría: el


34

compendio de este último fue como un libro de texto en la Academia y parece que fue el

punto de partida de Euclides para la composición de sus Elementos (Masdexexas, 1986, p.

1).

En resumen, se puede decir que Los Elementos de Euclides no son el comienzo del

trabajo teórico en geometría sino el resultado de un proceso; en consecuencia, el razonamiento

deductivo y la estructura axiomática no son los únicos procedimientos legítimos para la

construcción del conocimiento. El método empírico, el razonamiento inductivo y la

experimentación también hacen parte de la actividad geométrica.

Esta constatación conduce al problema didáctico de cómo articular la actividad

experimental, el razonamiento inductivo, y el razonamiento deductivo en el proceso de

construcción del conocimiento teórico.

7.1.2 Una mirada epistemológica de los elementos.

Desde un punto de vista epistemológico, más que reconocer que el conocimiento teórico

expuesto en los elementos tiene una estructura axiomático-deductiva que permite el

encadenamiento deductivo de las proposiciones, es fundamental responder las siguientes

preguntas:

¿Por qué se necesitan los conocimientos teóricos?

¿Por qué se necesita organizar el conocimiento geométrico en un sistema axiomático

deductivo?

En el presente trabajo asumimos la postura epistemológica de autores como (Gascón,

Gaud, Minet, Knorr, Acosta, etc), según los cuales, la razón de ser de los Elementos de Euclides,

es la respuesta a dos grandes necesidades: ¿Cómo hacer una construcción exacta?, ¿Cómo


35

justificar que una construcción es exacta? Es decir, consideramos que los conocimientos teóricos

de la geometría son necesarios para producir construcciones exactas y que la estructura

axiomático-deductiva es necesaria para poder justificar que una construcción es exacta.

En efecto, como es bien conocido, el desarrollo de la geometría ha estado estrechamente

relacionado con la resolución de problemas de construcción, algunos de ellos muy famosos,

como la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo. Según Knorr,

citado por Acosta, los problemas de construcción fueron el motor de investigación de la

construcción teórica de la geometría griega posibilitando la construcción con sentido del saber e

introduciendo la necesidad de una organización y validación del mismo (Acosta, 2.008).

Esta postura epistemológica conduce al problema didáctico de cómo hacer que los

estudiantes experimenten la necesidad del conocimiento teórico para producir una construcción

exacta y la necesidad de la estructura Axiomático-Deductiva para producir una justificación.

7.1.3 El rol del software de geometría dinámica en el proceso de construcción del

conocimiento

El uso de software para la enseñanza de la geometría se generalizó a comienzos de los

años 80 con la aparición de Logo. Años después se popularizó, con la aparición del Software de

Geometría Dinámica (SGD) Cabri (Gutiérrez, 2005). El SGD es un recurso innovador e

importante en el proceso de aprendizaje de los estudiantes, puesto que permite la exploración, la

construcción de figuras con determinadas propiedades, la visualización de estas propiedades y la

posibilidad de transformarlas en tiempo real (Gamboa, 2007).

Compartimos con Larios y González (2010) que la principal ventaja de SGD sobre los

materiales didácticos tradicionales está en “ser una herramienta que proporciona un medio para la


36

manipulación directa de las representaciones de los objetos geométricos a través de su principal

rasgo que es el arrastre” (p. 149).

En nuestro caso el arrastre permite negociar con los estudiantes la distinción entre una

construcción exacta y una que no es exacta. La característica fundamental que hace que el

software de geometría dinámica sea una herramienta potente para la enseñanza de la geometría es

la coherencia entre el lenguaje, los trazados y las medidas. Esta coherencia permite crear una

ilusión de exactitud: las figuras dinámicas cuyo procedimiento de construcción tiene en cuenta

propiedades geométricas, conservan dichas propiedades y aquellas que son consecuencias lógicas

de estas aunque los objetos que constituyen la figura cambien de tamaño y posición; además, las

medidas de longitud, área y ángulos corresponden a las prescritas por la teoría. De esta manera,

es posible acordar con los estudiantes que una figura exacta es aquella que conserva sus

propiedades al arrastrar, mientras que aquellas que pierden sus propiedades al arrastrar no son

exactas.

Esta nueva forma de realizar el trabajo geométrico mediante el uso de software permite

concebir la geometría como una ciencia experimental. Al respecto Acosta (2005) afirma:

La geometría dinámica experimental puede definirse como una práctica geométrica que

privilegia la observación y manipulación de los objetos geométricos en la pantalla de la

computadora, con la intención de emitir conjeturas sobre las propiedades geométricas de

dichos objetos, conjeturas que se ponen a prueba mediante el arrastre, la medición y la

construcción de objetos auxiliares (p. 27).

La actividad fundamental en la que se inserta el SGD es una actividad de

experimentación, en el sentido de que es posible emitir conjeturas y verificarlas por medio de un

experimento. La invalidación de una conjetura en geometría experimental puede concebirse como

equivalente a una demostracion de su falsedad mediante un contraejemplo (Acosta, 2005).


37

El proceso de enseñanza que busca introducir a los estudiantes en el mundo teórico de la

geometría aprovechando el contexto de la resolución de problemas de construcción, puede

concebirse como una secuencia con tres etapas principales. La primera etapa consiste en negociar

con los estudiantes la distinción entre una figura exacta y una aproximada utilizando el arrastre.

Esta distinción busca crear en los estudiantes la necesidad de producir una construcción exacta.

La segunda etapa consiste en identificar las propiedades que caracterizan la figura que se desea

construir y asociar dichas propiedades a herramientas de construcción. En efecto, toda

herramienta de construcción garantiza determinadas propiedades. La tercera etapa consiste en

reconocer que las construcciones exactas poseen propiedades que no son el resultado directo del

uso de determinadas herramientas de construcción, sino que son consecuencia de la combinación

de otras propiedades. Este hecho es el que conduce a la formulación de Reglas Teóricas

Generales (RTG) de la forma Si…..entonces…… y esas reglas generales son la base del

Razonamiento Deductivo.

Para Ortegón, Salas y Samper (2013) el uso de la geometría dinámica impulsa la

comprensión y uso de la condicional, ayudando a los estudiantes a mejorar sus prácticas

argumentativas para justificar sus afirmaciones. Para Larios y González (2010) el SGD permite

explorar situaciones geométricas, posibilitando la generalización de situaciones y buscar

propiedades invariantes a partir de casos particulares. Es decir, que los estudiantes utilicen el

Razonamiento Inductivo (RI) para llegar a la formulación de las Reglas Teóricas y utilizar esas

Reglas Teóricas en Razonamiento Deductivos para verificar, anticipar o justificar propiedades en

las construcciones. La justificación de propiedades a partir de la construcción puede conducir al

trabajo de demostración.


38

7.2 Análisis didáctico

7.2.1 Enseñanza de la geometría

En la actualidad, los libros de texto de geometría toman como modelo para la enseñanza

de la geometría en secundaria, el Sistema Axiomático Deductivo (SAD) propuesto por Euclides

en Los Elementos. Como señala Hershkowitz (2001). “por generaciones, la geometría ha sido

enseñada como el contexto para la enseñanza del razonamiento deductivo y ha sido dominada por

los aspectos clásicos” (p.1).

Esta forma de concebir la enseñanza de la geometría, aunque válida, no es del todo

apropiada, pues se tiende a omitir tanto el contexto de experimentación, visualización geométrica

(formas y relaciones entre ellas) como al estudiante.

A esto se debe agregar que la forma como frecuentemente se imparte la clase de

geometría es de carácter expositivo; es decir, hay una aproximación hacia el aprendizaje como

un proceso receptivo de transferencia de conocimiento, promoviéndose la argumentación en

geometría como una comunicación muy formal regulada por reglas fijas (Hershkowitz, 2001).

Al respecto Hershkowitz (2001) expone:

En los tiempos actuales, los esfuerzos de desarrollo e investigación están siendo dirigidos

hacia la creación innovadora de ambientes de aprendizaje que aún refieren al

razonamiento deductivo como un elemento básico del aprendizaje. Sin embargo, estos

ambientes de aprendizaje tratan de tomar en cuenta el punto de vista de los estudiantes

diseñando situaciones de aprendizaje que ayuden a los estudiantes a sentir una necesidad

intrínseca por las explicaciones, y consecuentemente hacen la invitación a apreciar la


39

fuerza de la justificación deductiva como una herramienta de explicación, e incluso

intentan producirlas (p. 1. párr. 23).

La importancia de la experimentación en el aprendizaje de la geometría mediante SGD

también se reconoce en documentos de orientación curricular, al respecto el Ministerio de

Educación Nacional –MEN (2004) menciona:

Con el acceso a la manipulación directa, la enseñanza de la geometría ofrece un

interesante desarrollo hacia una nueva conceptualización de ésta, como el estudio de las

propiedades invariantes de las figuras geométricas. Al permitir la posibilidad de

experimentar con una especie de “materialización” de los objetos matemáticos, de sus

representaciones y de sus relaciones, los estudiantes pueden vivir un tipo de

experimentación matemática que otros ambientes de aprendizaje no proporcionan (p. 17).

7.2.2 Aprendizaje de la Geometría.

Distintos autores recomiendan centrar la atención de los profesores, no en su propio

discurso y maneras de proceder, ni en la necesidad de corregir las acciones y el lenguaje de los

estudiantes, sino en las formas de razonamiento y argumentación que los estudiantes expresan

con su lenguaje y sus acciones.

Según Crespo et al. (2010):

Para lograr que los estudiantes comprendan la necesidad de argumentar matemáticamente

e incluso de demostrar propiedades matemáticas, resulta indispensable que construyan la

significatividad de la argumentación. La importancia de favorecer escenarios donde se

alcance este objetivo, deberá ser comprendida por los docentes (p. 284).


40

En clase es necesario conocer qué pasa por la cabeza de los estudiantes cuando están

inmersos en una actividad geométrica; cuáles son sus procesos de razonamiento, cómo analizan

la información que les llega, cómo validan sus decisiones, todo esto con el propósito de mejorar

los procesos de enseñanza y aprendizaje (Quesada & Torregrosa 2007).

Por ejemplo, en la construcción de figuras geométricas, los estudiantes manifiestan

dificultades al tener que desarrollar actividades que involucran el uso de reglas teóricas propias

del saber geométrico, pero ajenas a su experiencia, pues no se les da la posibilidad de

construirlas.

El profesor entonces está llamado a proponer una alternativa que permita solucionar la

falta de experimentación de los estudiantes y una manera es mediante el diseño de experimentos

en los que los estudiantes puedan descubrir regularidades y por lo tanto llegar a formular

mediante razonamiento inductivo reglas teóricas generales que describan y expliquen esas

regularidades.

Según Piaget (como se citó en Castro, Cañadas & Molina, 2010) “la generalización es un

proceso fundamental en la construcción del conocimiento (…) La generalización estaría sometida

a la abstracción y tendría como tarea el establecimiento de regularidades en lo real (p. 57).

Gracias al software de geometría dinámica los estudiantes pueden experimentar: explorar

los objetos geométricos y su comportamiento, sistematizar sus acciones y desarrollar argumentos

de explicación.

Según Hershkowitz (2001) una característica pedagógica principal del Software es que

mediante la exploración y el razonamiento inductivo los estudiantes colaboran para el

descubrimiento de hechos geométricos y la reinvención de las relaciones geométricas. El mismo

autor más adelante señala que la actividad de aprendizaje en ambientes de geometría dinámica es


41

una tendencia que demuestra la “democratización” del razonamiento en el aprendizaje de la

geometría.

La identificación de propiedades invariantes por parte de los estudiantes, conduce a la

formulación de reglas teóricas generales. Estas reglas teóricas generales se convierten en una

herramienta que permite a los estudiantes llevar a cabo procesos de verificación, anticipación y

justificación de propiedades en una construcción geométrica, procesos característicos del

razonamiento deductivo.

En conclusión, la enseñanza de la geometría no debe intentar reproducir la estructura y el

orden expositivo de los Elementos de Euclides, como era el caso hasta hace poco. Por el

contrario, debe promover actividades de experimentación que conduzcan a la formulación de

reglas teóricas generales y actividades de verificación, anticipación y justificación en las que los

estudiantes utilicen esas reglas teóricas de manera deductiva.


42

8 Análisis a priori actividades paralelogramo

Grado séptimo

En estas actividades trabajaremos alrededor de la construcción de paralelogramos.

Los objetivos generales de estas actividades son:

1. Reforzar la distinción dibujo/construcción

2. Reforzar el arrastre de validación.

3. Desarrollar habilidades de escritura y lectura de la descripción de la Construcción.

4. Experimentar con figuras aproximadas para buscar propiedades.

5. Formular „hechos geométricos‟ a partir de experimentaciones (razonamiento

inductivo)

6. Anticipar o verificar propiedades sin construir (razonamiento deductivo)

7. Justificar que una construcción garantiza una propiedad utilizando herramientas de

construcción y hechos geométricos (demostración)

8.1 Actividad 1

8.1.1 Primera parte.

Definición de Paralelogramo.

Se entrega a los estudiantes una figura preparada, donde hay construido un

paralelogramo, acomodado de tal manera que parece un rectángulo, y de forma tal que si

muestran los objetos ocultos no puedan ver el procedimiento de construcción (macro).


43

Figura: 5 Construcción Propuesta

Se les pide que observen esa figura, la dibujen en su cuaderno y digan qué figura es. Se

espera que todos digan que es un rectángulo.

Luego se les pide que construyan una figura igual. Se espera que utilicen las herramientas

„segmento‟ o „polígono‟ para hacer un dibujo con forma de rectángulo.

Figura: 6 Construcción Estudiantes

Cuando han terminado, se les pide que arrastren los lados y vértices de la figura modelo y

de la figura que ellos construyeron. Se espera que digan que la figura modelo en realidad no es un

rectángulo, y que la figura que ellos construyeron no se comporta de la misma manera que la

figura modelo.


44

Figura: 7 Estrategia de Validación

Se les pide entonces que intenten hacer una construcción que se comporte igual que la

figura modelo. Los estudiantes podrán intentar diversas estrategias perceptivas para acomodar su

construcción, pero al arrastrar los vértices y los lados podrán invalidar su construcción,

concluyendo que no se comporta de la misma manera que la figura modelo. El profesor les pide

entonces que examinen la figura modelo para decir qué propiedades tiene y qué se mantienen

aunque se arrastren sus vértices y lados. Como recurso para que los estudiantes se den cuenta de

la propiedad que se desea resaltar en la figura modelo (paralelismo de los lados opuestos), el

profesor les propone que construyan las rectas que contienen los lados, que realicen zoom y

arrastren vértices y lados tanto en la figura modelo como en la que ellos construyeron y que

comparen lo que sucede.


45

Figura: 8 Construcción de rectas que contienen los lados del cuadrilátero

Se espera que los estudiantes al arrastrar los vértices y lados de su construcción, así como

los del modelo, digan que en la figura modelo las rectas que contienen los lados opuestos no se

cruzan mientras que en la figura que ellos construyeron sí. De esta manera las retroacciones del

software permiten identificar el paralelismo como un invariante de la figura modelo lo que se

constituye en un aprendizaje por adaptación. Al mismo tiempo, el profesor puede introducir un

nuevo contrato didáctico sobre lo que constituye la solución de un problema de construcción en

geometría: no basta con producir un dibujo con una forma determinada; es necesario que al

arrastrar se conserven determinadas propiedades. Una vez los estudiantes reconozcan el

invariante (propiedad) que se debe conservar, el profesor debe propiciar la reflexión sobre lo que

significa ser paralelo, estableciendo mediante una puesta en común que: dos rectas son

paralelas si no se cortan.

Después de la puesta en común los estudiantes pueden validar e invalidar perceptivamente

si dos rectas son paralelas, ya que tienen una herramienta práctica y a la vez teórica y es: si las

rectas se cortan no son paralelas esto les permite decidir si lo que construyen produce rectas

paralelas o no.


46

Figura: 9 Estrategia de Validación

Una vez que los estudiantes han identificado la propiedad que se debe cumplir, el profesor

les pide que intenten que esa propiedad se cumpla en su figura. Los estudiantes pueden volver a

utilizar estrategias perceptivas para lograr el paralelismo ajustando el dibujo para que las rectas

no se crucen.

Es posible que los estudiantes después de varios intentos ajustando la figura para que

cumpla la propiedad; renuncien a esta estrategia argumentando que no es posible garantizar la

propiedad de esta forma, por lo que surge en estos la necesidad de un nuevo conocimiento:

¿cómo lograr que el paralelismo se conserve? El profesor debe recalcar a los estudiantes la

importancia de garantizar que la figura tenga esta propiedad y aprovechar esta situación para

introducir un nuevo contrato didáctico mostrando a los estudiantes la herramienta recta paralela

y explicando cómo esta garantiza la propiedad. Para esto el profesor debe enseñar a los

estudiantes a utilizarla, indicando como construir rectas paralelas a segmentos y a rectas. Esta

herramienta permitirá a los estudiantes convencerse de que es posible garantizar que la figura

tenga esta propiedad.

Después de explicar la utilidad de la herramienta recta paralela, el profesor vuelve a

plantear el problema de construir una figura igual al modelo.


47

Es importante recordar que los estudiantes pueden hacer tres tipos de construcciones:

totalmente perceptivas – que no garantizan las propiedades por construcción sino por ajuste,

teóricas – que garantizan todas las propiedades por construcción, y mixtas – en las que se

garantizan algunas propiedades por construcción y otras se obtienen por ajuste- el profesor debe

insistir a los estudiantes que arrastren todos los elementos de la figura (vértices y lados) y

verifiquen que se cumple la propiedad en cuestión.

A partir de ese momento el profesor debe nombrar la propiedad, la cual consiste en el

paralelismo de los lados opuestos; es posible que algunos estudiantes digan que los lados

opuestos tienen las mismas medidas; el profesor no retomará esta idea, centrándose en el

paralelismo.

El propósito de la tarea estará cumplido si los estudiantes al comparar su construcción con

la figura modelo constatan que efectivamente se comporta de la misma manera.

El profesor debe tener cuidado de que los estudiantes no se confundan por el exceso de

objetos geométricos cuando realizan la construcción, indicándoles cómo ocultar aquellos que no

son relevantes en la figura.

El conocimiento adquirido por los estudiantes mediante el desarrollo de esta actividad les

permite establecer que para que una propiedad sea invariante en el arrastre es necesario utilizar la

herramienta de construcción que la garantiza en este caso recta paralela.

Al finalizar esta parte de la actividad el profesor les dice a los estudiantes que la figura

modelo recibe el nombre de paralelogramo e institucionaliza la definición de paralelogramo:

Si un cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos entonces es un paralelogramo


48

Figura: 10 Construcción paralelogramo estudiantes

8.1.2 Segunda parte.

Descripción y Socialización de la Construcción.

Después de la institucionalización, el profesor les pide a los estudiantes que vuelvan a

hacer la figura y luego describan el proceso de construcción en su cuaderno. Este ejercicio de

descripción tiene el propósito de concientizar a los estudiantes sobre la necesidad de utilizar

ciertas convenciones al momento de comunicarnos en contextos geométricos (dar nombre a los

puntos, a los lados, a los segmentos y rectas) y que usualmente no saben.

El profesor indica a los estudiantes cómo mostrar en la pantalla la descripción de la

construcción producida por el software y les presenta esta descripción como un modelo a imitar,

por lo cual les pide comparar la descripción que ellos hicieron con la que produce el software*.

Luego revisa con todo el grupo algunas de las descripciones para señalar pasos faltantes o pasos

que sobran.

* Se espera que los estudiantes gradualmente vayan interiorizando y reproduciendo esa forma de descripción que es precisa y

concisa, dos cualidades importantes del lenguaje geométrico que es necesario que adquieran.


49

Figura: 11 Descripción de la Construcción propuesta por el Software

Después el profesor les propone algunas descripciones de construcciones y pide a los

estudiantes decidir (sin realizar la construcción) si tales descripciones corresponden a

paralelogramos o no; es importante presentarles diferentes construcciones, algunas que sí

producen paralelogramos, otras que no. Los estudiantes deben poder argumentar sus respuestas

por ejemplo: diciendo que son paralelas porque se utilizó la herramienta recta paralela. El

profesor debe tener claro que lo importante es que los estudiantes verifiquen si se cumple o no la

propiedad de paralelismo entre los lados opuestos de la figura y no si la construcción está bien

hecha.


50

Figura: 12 Descripciones propuestas

Una vez los estudiantes hayan argumentado sus afirmaciones, se les pide que verifiquen

si lo que dicen se cumple o no, para lo cual deben realizar la construcción que se les propone y

arrastrar la figura de forma que puedan identificar cuales lados son paralelos y cuáles no.

Las acciones desarrolladas durante proceso por los estudiantes se constituyen en un

Razonamiento Deductivo, ya que se busca que el estudiante anticipe el cumplimiento de una

propiedad desde la descripción de la construcción invocando un hecho teórico.. Al mismo

tiempo se posibilita un aprendizaje por adaptación puesto que las retroacciones del software le

permiten a los estudiantes decidir si la figura es un paralelogramo o no, constatando de esta

manera la veracidad de su afirmación.

Después de verificar, es necesario que los estudiantes retomen las descripciones en las que

no anticiparon correctamente e intenten identificar los pasos que le permiten justificar la

presencia o ausencia del paralelismo.


51

8.2 Actividad 2.

Hecho geométrico „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus lados opuestos

miden lo mismo‟.

En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan una construcción imposible (un

paralelogramo que tenga tres lados de medidas diferentes) para que concluyan que si es

paralelogramo sus lados opuestos deben tener medidas iguales. Se sigue la secuencia: dibujo

aproximado-intento de construcción exacta- verificación, con medidas de lados opuestos cada vez

más aproximadamente iguales.


52


Trabajo de ajuste sobre un dibujo.

Se les pide a los estudiantes que construyan un cuadrilátero cualquiera, y que lo acomoden

para que parezca paralelogramo. Luego se les pregunta si es posible ajustar esa figura para que

tenga un lado de 3 cm, otro de 4 cm y otro de 3,2 cm, y que siga pareciendo paralelogramo. El

profesor debe indicar a los estudiantes como hacer visible la medida de los segmentos.

Se espera que los estudiantes hagan diferentes intentos de ajustar tanto las medidas de los

lados como el paralelismo de los lados opuestos, sin lograrlo.

Figura: 13 Construcción Esperada


Intento de una construcción.

Se les enseña a los estudiantes a construir un circulo de radio fijo y se les pide que utilicen

ese procedimiento para producir un segmento de longitud dada. Luego se les pide que utilicen ese

procedimiento para construir un cuadrilátero que tenga un lado de 3 cm, uno de 4 cm y otro de

3,2 cm, y que lo acomoden para que parezca un paralelogramo.

Es posible que los estudiantes construyan primero dos segmentos independientes de

longitud fija y luego traten de unirlos con un segmento, pero este entonces no puede tener


53

longitud fija. El profesor debe recomendarles que construyan un primer segmento, y utilicen un

extremo de ese segmento para construir el segundo, y luego el otro extremo del segundo para

construir el tercero.

El profesor deberá preguntar a los estudiantes cuánto mide el segmento que construyen

entre el centro del círculo de radio fijo y un punto sobre el círculo. Los estudiantes deberían

predecir la longitud del segmento sin necesidad de medirlo, y deberían poder explicar por qué

tiene esa medida (es un radio del círculo, el círculo es de esa medida, por lo tanto el segmento

tiene esa longitud).

Cuando los estudiantes hayan construido los tres segmentos de 3, 4 y 3,2 cm, solo les

queda unir el primer punto con el último para formar un cuadrilátero, y arrastrar los vértices para

tratar de que tenga forma de paralelogramo.

Figura: 14 Construcción con medida fija

Posibles estrategias que los estudiantes podrían proponer, o que el profesor puede sugerir

para hacer este ajuste:


54

Trazar las rectas que contienen los lados opuestos del cuadrilátero y haciendo zoom

observar si se cortan o no. Pueden acomodar la figura para que los pares de rectas

opuestas parezcan paralelas. Se espera que los estudiantes constaten que si logran el

paralelismo de un par de rectas, pierden el paralelismo de las otras dos.

Trazar una recta paralela a un lado por uno de los vértices del lado opuesto y

acomodar el otro vértice para que quede sobre la paralela. Se espera que los

estudiantes constaten que si logran el paralelismo de un par de lados, pierden el

paralelismo de los otros dos.

Trazar una recta paralela al primer segmento por el extremo del segundo segmento y

trazar una recta paralela al segundo segmento por el otro extremo del primer

segmento. Finalmente, acomodar el tercer segmento para que quede sobre la recta

paralela al primero.

Se espera que concluyan que no es posible obtener un paralelogramo con esas medidas.

Si los estudiantes proponen otras medidas se pueden aceptar siempre y cuando las tres

sean diferentes. En caso de que los estudiantes no propongan ninguna estrategia, el profesor debe

proponer cambiar la medida del tercer lado a 3.1 cm*. Los estudiantes podrán hacer una

construcción nueva o modificar el radio del círculo de 3,2 cm.

Se espera que al experimentar, algunos estudiantes afirmen que con estas medidas sí es

posible ajustar la figura para que sea un paralelogramo. Entonces el profesor les pide hacer una

construcción que resista el arrastre. En este caso los estudiantes pueden intentar varias posibles

construcciones.

* La finalidad de esta propuesta es eliminar la duda de que la imposibilidad de armar un paralelogramo se deba a las medidas

empleadas y no al hecho de que esas tres medidas son diferentes.


55

a). Trazar el segmento de 3 cm, luego el segmento de 4 cm y por el extremo de este trazar

la paralela al primer segmento, luego construir la circunferencia de radio 3,1 cm con centro en el

extremo del segundo segmento. Posteriormente hallar el punto de intersección entre la

circunferencia y la paralela trazando el radio de la circunferencia, luego unir el primer segmento

con el tercero.

Figura: 15 Estrategias de Construcción a)

Se espera que los estudiantes afirmen que la figura es un paralelogramo, ya que garantizan

por construcción que el primer y el tercer lado son paralelos, los otros dos lados parecen ser

paralelos y al arrastrar los vértices los segmentos no se tocan. El profesor debe pedir que

verifiquen si los otros dos lados son paralelos trazando las rectas que los contienen y haciendo

zoom. Los estudiantes podrán concluir que esos dos lados no son paralelos pues al ser zoom las

rectas que los contienen se cortan en algún punto.

b) Trazar el segmento de 3 cm, luego el segmento de 4 cm y por el extremo de este trazar

la paralela al primer segmento, luego construir la circunferencia de radio 3,1 cm con centro en el

extremo del segundo segmento. Posteriormente hallar el punto de intersección entre la


56

circunferencia y la paralela trazando el radio de la circunferencia, luego trazar la paralela al

segundo segmento por el extremo del tercero.

Figura: 16 Estrategias de Construcción b)

En esta construcción se aprecia a simple vista que la última recta trazada no pasa por el

extremo del primer segmento. Es posible que algunos estudiantes acomoden la figura para que la

recta parezca pasar por el punto. Sin embargo, esa figura no resiste el arrastre pues tendrá muchas

posiciones en las que la recta no pasa por el punto.

c) Trazar el segmento de 3 cm, luego el segmento de 4 cm, seguidamente la paralela al

primer segmento por el extremo del segundo, posteriormente con centro en el extremo del

segundo segmento y sobre la paralela construir el radio de 3,1cm, trazar la paralela al segundo

lado por el extremo de primer segmento.


57

Figura: 17 Estrategias de Construcción c)

En esta construcción se aprecia a simple vista que la última recta trazada no pasa por el

extremo del tercer segmento. Es posible que algunos estudiantes acomoden la figura para que la

recta parezca pasar por el punto. Sin embargo, esa figura no resiste el arrastre pues tendrá muchas

posiciones en las que la recta no pasa por el punto.

Se espera que los estudiantes durante el desarrollo de esta actividad utilicen como

herramienta de validación el hecho geométrico: si un cuadrilátero tiene lados opuestos

paralelos entonces es paralelogramo, el cual se institucionalizó con anterioridad.

Figura: 18 Validación mediante herramienta Test.


58

Después que los estudiantes intenten diferentes estrategias, invalidando la posibilidad de

tener un paralelogramo con esas medidas, el profesor propone modificar nuevamente la longitud

del tercer lado, para hacerlo aún más cercano a 3 (por ejemplo, 3.01) e intentar hacer la

construcción del paralelogramo con esas medidas. En este caso, será más difícil constatar de

manera visual que las rectas no son paralelas, o que un punto no está sobre una recta. El profesor

debe entonces enseñar a los estudiantes a utilizar el test de paralelismo como una herramienta que

les permitirá verificar si los lados opuestos son paralelos sin necesidad de prolongar las rectas y

hacer zoom.

Para cualquier estrategia de construcción con esas medidas, esta última retroacción del

software permite invalidar la afirmación de que el cuadrilátero construido es un paralelogramo.

Este proceso de proponer la medida de los lados opuestos cada vez más cercana, hacer la

construcción y utilizar el test para constatar que no se obtiene el paralelismo, puede repetirse

varias veces, hasta que los estudiantes se convenzan de que la única opción para obtener el

paralelismo es que los lados opuestos tengan exactamente la misma medida.

El profesor debe entonces organizar una puesta en común en la que los estudiantes

expongan sus experimentaciones y sus conclusiones. Al terminar la puesta en común, el profesor

debe consignar en el tablero las conclusiones de los estudiantes, y proponer como resumen las

siguientes afirmaciones: “si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus lados opuestos

son iguales”; “si los lados opuestos de un cuadrilátero no son iguales, entonces no es un

paralelogramo”.

8.2.3 Tercera parte.

Uso del hecho geométrico.


59

El profesor prepara una figura donde aparecen varios cuadriláteros, todos aparentemente

paralelogramos, y les pide que verifiquen si son paralelogramos o no. Para este ejercicio el

profesor debe proponer construcciones que parecen paralelogramos pero que no resisten el

arrastre, construcciones con forma de paralelogramo con la medida de sus lados opuestos

aproximadamente iguales y dos de sus lados paralelos pero que resisten el arrastre. El test de

paralelismo no debe estar disponible para que los estudiantes se vean obligados a buscar otra

estrategia de verificación.

Figura: 19 Construcciones para verificar

Se espera, inicialmente, que los estudiantes arrastren los vértices de la figura para detectar

las propiedades que se conservan y así descarten algunos de los cuadriláteros como

paralelogramos.

Con los que quedan, se espera que utilicen una de las siguientes estrategias:

- Trazar las rectas que contienen los lados para observar si se cortan.


60

- Trazar una recta paralela a un lado por un vértice del lado opuesto para observar si el

otro vértice está sobre la paralela.

Se espera que los estudiantes al aplicar estas estrategias de verificación constaten que no

es posible visualmente decidir si la construcción efectivamente es un paralelogramo o no, por lo

que se espera que las consideren como insuficientes.

Sin embargo, la estrategia principal que se espera apliquen los estudiantes es mostrar las

medidas de los lados, para descartar aquellos cuadriláteros cuyos lados opuestos no tienen las

medidas iguales. Lo cual constituye un razonamiento de carácter deductivo pues utiliza una

implicación lógica que relaciona las medidas de los lados opuestos con el paralelismo. Es decir,

emplean el hecho geométrico institucionalizado. En el caso en el que los estudiantes no utilicen

esta estrategia y por consiguiente no invaliden algunas de las figuras aproximadas, se les

presentarán las mismas figuras en una ventana que tenga disponible el test de paralelismo, con el

fin de verificar sus juicios. Al constatar que los criterios utilizados no fueron suficientes para

descartar las construcciones aproximadas, sentirán la necesidad de encontrar criterios más

precisos.

Finalmente, el profesor prepara una figura donde hay diferentes paralelogramos, en los

que aparecen las medidas de uno o dos de sus lados, y les pide que digan (sin medir), cuál es la

medida de los otros lados. Se espera que los estudiantes anticipen la medida de los lados opuestos

de aquellos que tienen la medida, y que justifiquen su respuesta invocando el hecho geométrico

estudiado. Finalmente, se les pide que verifiquen mostrando las medidas de los que faltan.


61

Figura: 20 Cuadriláteros para Anticipar

El profesor institucionaliza el hecho de que las afirmaciones “si un cuadrilátero es

paralelogramo, entonces sus lados opuestos tienen la misma medida”, “si los lados opuestos

de un cuadrilátero no son iguales, entonces no es un paralelogramo” pueden utilizarse para

verificar si una construcción es exacta y para anticipar las medidas de los lados de un

paralelogramo.

8.3 Actividad 3.

Hechos geométricos „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos

opuestos miden lo mismo‟ y „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos

consecutivos son suplementarios‟.

En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan una construcción imposible (un

paralelogramo que tenga ángulos de medidas diferentes y no suplementarios) para que concluyan

que si es paralelogramo sus ángulos opuestos deben tener medidas iguales y sus ángulos

consecutivos deben ser suplementarios.


62



Se les pide a los estudiantes que construyan un cuadrilátero ABCD cualquiera, y que lo

acomoden para que parezca paralelogramo. Luego se les pregunta si es posible ajustar esa figura

para que tenga un ángulo de 60° y otro de 100°, y que siga pareciendo paralelogramo. Si es

necesario el profesor mostrará a los estudiantes el uso de la herramienta ángulo.

Figura: 21 Construcción Esperada

Se espera que los estudiantes hagan diferentes intentos de ajustar tanto las medidas de los

ángulos como el paralelismo de los lados opuestos, sin lograrlo.


Intento de una construcción.

Se les enseña a los estudiantes a construir un ángulo de amplitud fija (utilizando la

herramienta correspondiente). Luego se les pide que construyan un cuadrilátero que tenga un

ángulo de 60° y otro de 100°, y que lo acomoden para que sea un paralelogramo.


63

Es posible que los estudiantes construyan primero dos ángulos independientes de

amplitud fija y luego traten de unirlos, pero no es posible. El profesor debe recomendarles que

construyan un primer ángulo, y utilicen un lado de ese ángulo para construir el segundo. Si lo

considera necesario el profesor podrá sugerirles que oculten las semirrectas producidas por la

herramienta y tracen los segmentos que conforman el cuadrilátero.

Figura: 22 Construcción con ángulo de Amplitud fija

Cuando los estudiantes hayan construido los dos ángulos de 60° y 100°, solo les queda

construir un segmento para formar un cuadrilátero, y arrastrar los vértices para tratar de ajustarlo

para que tenga forma de paralelogramo. Se espera que digan que no es posible y que justifiquen

que pueden lograr que dos lados sean paralelos, pero los otros dos no quedan paralelos. Los

estudiantes pueden utilizar los hechos geométricos tratados con anterioridad, para validar su

construcción.

Si un cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos entonces es paralelogramo.

Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus lados puestos tienen igual medida

El profesor les pregunta a los estudiantes que cambiarían para lograr que la figura sea un

paralelogramo. Si los estudiantes no proponen ninguna estrategia el profesor puede sugerir


64

cambiar la medida de 100° por 119°. La finalidad de esta propuesta es eliminar la duda de que la

imposibilidad de armar un paralelogramo con dos ángulos de medidas diferentes se deba a las

medidas empleadas.

Los estudiantes podrán hacer una construcción nueva o modificar el valor del ángulo.

Posibles estrategias que los estudiantes podrían proponer, o que el profesor puede sugerir

para decidir si es posible construir un paralelogramo con esas medidas:

Trazar las rectas que contienen los lados del cuadrilátero, para observar si se cortan o

no, y acomodar la figura para que los lados opuestos parezcan paralelos. Se espera que

los estudiantes constaten que si logran el paralelismo de un par de rectas, pierden el

paralelismo de las otras dos.

Trazar una recta paralela a un lado por uno de los vértices del lado opuesto y

acomodar el otro vértice para que quede sobre la paralela. Se espera que los

estudiantes constaten que si logran el paralelismo de un par de lados, pierden el

paralelismo de los otros dos.

Mostrar las medidas de los lados: si es un paralelogramo, los lados opuestos deben ser

iguales, en caso contrario no es un paralelogramo.

Utilizando estas estrategias de verificación los estudiantes deberían concluir que hay dos

lados que no son paralelos y que no es posible construir un paralelogramo con esas medidas.

El profesor entonces propone modificar nuevamente el ángulo, para hacerlo aún más

cercano a 120° (por ejemplo, 119,9°). En este caso, será más difícil constatar de manera visual

que las rectas no son paralelas, y los estudiantes afirmarán que sí es posible construir un

paralelogramo con esas medidas. Entonces el profesor les pregunta si pueden construir un

paralelogramo con un ángulo de 60° y otro de 119,9° „que resista el arrastre‟.


65

Posibles construcciones que pueden realizar los estudiantes

a. Construir dos ángulos consecutivos de 60° y 119,9° sobre la semirrecta del segundo

ángulo colocar un punto cualquiera y unirlo con un segmento al primer punto trazado.

Es posible que los alumnos coloquen visualmente el último punto en una posición

adecuada para que la figura parezca un paralelogramo. Sin embargo, al arrastrar los

vértices se perderá el paralelismo.

b. Construir dos ángulos consecutivos de 60° y 119,9°. Trazar una recta paralela al lado

común de los dos ángulos por el primer punto construido y construir la intersección de

esta recta con la semirrecta del segundo ángulo.

En esta figura hay dos lados paralelos por construcción. Para verificar el paralelismo de

los otros dos lados podrán utilizar el test o mostrar la medida de los lados, en ambos casos podrán

constatar que la figura no es un paralelogramo.

Figura: 23 Intento de construcción

Este proceso de proponer un número aún más cercano a 120°, hacer la construcción y

verificar para constatar que no se obtiene el paralelismo puede repetirse varias veces, hasta que


66

los estudiantes se convenzan de que la única opción para obtener el paralelismo es que uno de los

ángulos mida 60° y el otro mida exactamente 120°.

Es probable que los estudiantes no tomen conciencia de que estos ángulos suman 180°. El

profesor debe proponer el mismo problema utilizando otras medidas de ángulos y solicitar a los

estudiantes construir una tabla donde puedan registrar los diferentes valores dados a las parejas

de ángulos (es importante que no solo se utilicen medidas enteras) y propiciar la búsqueda de un

patrón o regularidad (la suma de los ángulos consecutivos debe ser exactamente 180°) conclusión

que debe ser propuesta por los estudiantes y constituye un razonamiento inductivo.

El profesor debe entonces organizar una puesta en común en la que los estudiantes

expongan sus experimentaciones y sus conclusiones. Al terminar la puesta en común, el profesor

debe consignar en el tablero las conclusiones de los estudiantes, y proponer como resumen la

siguiente afirmación: “si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos

consecutivos deben sumar 180°”, o también “si un cuadrilátero tienen ángulos consecutivos

que no suman 180° entonces no es un paralelogramo”.


Uso del hecho geométrico

En esta actividad se busca que los estudiantes, mediante un razonamiento deductivo,

comprueben si una cuadrilátero es paralelogramo o no. Para esto el profesor prepara una figura

donde aparecen varios cuadriláteros, todos aparentemente paralelogramos, y les pide que

verifiquen si son paralelogramos o no. Dentro de los cuadriláteros propuestos por lo menos dos

de estos deben tener ángulos consecutivos cuya suma sea aproximadamente igual a 180° y que

soporten el arrastre, dos cuadriláteros deben tener ángulos consecutivos suplementarios y


67

soportar el arrastre, y dos cuadriláteros cualesquiera que no soporten el arrastre. Es importante

para el desarrollo de la actividad que no esté disponible el test de paralelismo.

Figura: 24 Construcción para verificar

Se espera que inicialmente los estudiantes arrastren los vértices para detectar las

propiedades que se conservan y así descarten algunos de los cuadriláteros como paralelogramos.

Con los que quedan, se espera que utilicen una de las siguientes estrategias:

Trazar las rectas que contienen los lados para observar si se cortan

Trazar una recta paralela a un lado por un vértice del lado opuesto para observar si el

otro vértice está sobre la paralela.

Mostrar las medidas de los lados, para verificar si los lados opuestos miden lo mismo.

El profesor debe preguntar a los estudiantes si es posible utilizar la conclusión de la

actividad anterior para verificar si la figura es paralelogramo.

La estrategia esperada es mostrar las medidas de los ángulos consecutivos, para descartar

aquellos cuadriláteros cuyos ángulos consecutivos no son suplementarios.


68

Finalmente, el profesor propone a los estudiantes una figura con 6 cuadriláteros diferentes

y afirma que estos 6 cuadriláteros son paralelogramos. En cada uno de ellos aparece la medida de

un ángulo, y les pide que digan (sin medir), cuál es la medida de los otros ángulos. Se espera que

los estudiantes predigan la medida de los ángulos consecutivos del que está medido y que

justifiquen su respuesta invocando el hecho geométrico estudiado. También deberán notar que los

ángulos opuestos deben ser iguales, y es posible que lo justifiquen diciendo que como es el

suplementario del suplementario, debe ser igual.

Figura: 25 Construcción para Anticipar

El profesor institucionaliza los hechos geométricos: “si un cuadrilátero es

paralelogramo, entonces sus ángulos consecutivos son suplementarios” y “si un cuadrilátero

es paralelogramo, entonces sus ángulos opuestos tienen la misma medida”.

8.4 Actividad 4

Hecho geométrico las diagonales de un paralelogramo se bisecan


69


Intento de construcción.

Se entrega a los estudiantes una figura con dos segmentos AB y CD, y se les pide que

construyan el polígono ACBD (utilizando la herramienta polígono y señalando los vértices en ese

orden).Debería aparecer un cuadrilátero cruzado en la pantalla.

Figura: 26 Segmentos propuestos

Se les pide que acomoden los segmentos AB y CD de manera que ese cuadrilátero

parezca un paralelogramo. (Es posible que algunos estudiantes no trabajen con el cuadrilátero que

se construyó, sino con el cuadrilátero ABDC; hay que mostrarles que el cuadrilátero que debe

parecer paralelogramo es el que aparece sombreado).


70


Al principio no podrán hacer que el cuadrilátero parezca paralelogramo, pues al mover los

puntos o los segmentos, evitan que estos se crucen. Una vez que aceptan la posibilidad de que los

segmentos se crucen pueden comenzar a ajustar la figura para que parezca un paralelogramo.

Cuando los estudiantes tengan una imagen que parece un paralelogramo, el profesor les

pide que escriban un mensaje a una persona que no sabe que es un paralelogramo ni que son

rectas paralelas, dándoles instrucciones para que acomoden los segmentos AB y CD de manera

que el cuadrilátero ACBD parezca paralelogramo. En su mensaje los únicos segmentos que puede

nombrar son AB y CD.

Figura: 28 Construcción esperada

Es posible que algunos estudiantes trabajen con los segmentos o rectas AC y BD, tratando

de que sean paralelas. En ese caso, el mensaje invalidará esta estrategia, pues no pueden hablar de


71

esos segmentos. Se espera que los estudiantes digan que los segmentos AB y CD deben cortarse

en su punto medio, o que sus puntos medios deben coincidir.

Luego de una puesta en común donde se concluya esa estrategia como la ganadora, el

profesor les pide que en un archivo nuevo construyan el segmento AB y luego construyan el

segmento CD garantizando esa propiedad.



Seguramente los estudiantes construirán el punto medio de AB utilizando la herramienta

correspondiente (punto medio).

Posibles estrategias erróneas que los estudiantes pueden sugerir:

a. Teniendo el segmento AB y su punto medio M, construir un segmento que

aparentemente pasa por M.

b. Construir una recta que pasa por M, y colocar a ojo los puntos C y D sobre esa recta, a

igual distancia de M.

Para cualquiera de estas estrategias las retroacciones del software permitirán a los

estudiantes invalidar las construcciones puesto que no soportan el arrastre.



72

Estrategia correcta:

Teniendo el segmento AB y su punto medio M, construir un punto C, la recta CM, el

círculo de centro M que pasa por C, y D la segunda intersección del círculo y la recta.

Figura: 30 Estrategias de Construcción

Cuando los estudiantes hayan hecho esa construcción, el profesor les pide que verifiquen

si es un paralelogramo (utilizando test de paralelismo, medida de los lados y medida de los

ángulos). Es posible que algunos estudiantes sugieran que las diagonales deben ser iguales, o ser

perpendiculares; el profesor debe prever estos casos y mostrar contra ejemplos de

paralelogramos que no cumplen esas condiciones.

Finalmente, deben escribir el procedimiento de construcción, y constatar que en ese

procedimiento no se utilizó la herramienta „recta paralela‟; sin embargo, los lados opuestos son

paralelos.

Se termina con la institucionalización del hecho geométrico: “si las diagonales de un

cuadrilátero se cortan en su punto medio, entonces es un paralelogramo”, o “si los puntos

medios de las diagonales de un cuadrilátero coinciden, entonces es un paralelogramo”, o “si

las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces es un paralelogramo”.


73

9 Pilotaje

Se llevó a cabo con una pareja de estudiantes de grado séptimo de colegio Distrital CEDID

CIUDAD BOLIVAR, jornada mañana, de la localidad 19 del distrito capital. Esta

experimentación tuvo como propósito posibilitar un afinamiento de las actividades propuestas

para perfeccionar el diseño y el análisis a priori.

9.1 Actividad 1


Definición de paralelogramo.

El comportamiento de los estudiantes fue el esperado en el análisis a priori: identificaron

la figura modelo como un rectángulo y construyeron un dibujo utilizando la herramienta

segmento.

Las experimentaciones de los estudiantes con las figuras y las retroacciones del Software

al arrastrar les permitieron concluir que la figura dada no es un rectángulo y que la figura que

ellos construyeron no se comporta de la misma manera.

Figura: 31 Validación por Arrastre


74

Los estudiantes no identificaron de manera espontánea el paralelismo de los lados

opuestos. El profesor intervino proponiendo la construcción de las rectas que contienen los lados,

esto les permitió caracterizar la figura modelo como una figura en la que esas rectas no se cortan.

Figura: 32 Validación mediante rectas que contienen los lados

Los estudiantes logran identificar el paralelismo como un invariante de la figura modelo

aunque no lo nombran de esa forma, por ejemplo dicen: “los lados están a la misma distancia, los

lados están en la misma dirección”. El profesor mediante puesta en común nombra la propiedad

como paralelismo.


75

Figura: 33 Validación perceptual

El profesor interviene recordando la herramienta que garantiza la propiedad de

paralelismo de los lados y haciendo tomar conciencia de las retroacciones del software para

utilizar dicha herramienta.

Figura: 34 Uso de la herramienta recta paralela

Después de varios intentos los estudiantes logran realizar la construcción y verificar que

se comporta como la figura modelo


76

Figura: 35 Paralelogramo construido por estudiante

Se puede concluir que aunque inicialmente los estudiantes reconocieron el invariante en la

figura modelo, esto no garantizo su comprensión inmediata, necesitaron experimentar hasta

lograr asociar la propiedad con la herramienta que la garantiza y utilizarla en la construcción de

una figura.


Descripción y socialización de la Construcción.

Los estudiantes aprendieron a mostrar la descripción de la construcción y compararon sus

descripciones con las propuestas por el software. Se mostró la necesidad de un lenguaje conciso

y preciso en geometría.


77

Figura: 36 Descripción construcción propuesta por el software

Se propuso a los estudiantes algunas descripciones y se les pide realizar las

construcciones descritas. Se evidenció un nivel de lectura de la descripción suficiente como para

realizar las construcciones propuestas y se les pidió anticipar si correspondían a paralelogramos o

no. De las descripciones dadas anticiparon correctamente una, cuando se le pidió que justificara

porque consideraban que la descripción era un paralelogramo sus explicaciones fueron

insuficientes. Esto puso en evidencia lo complejo que representa para los estudiantes la

realización del proceso de justificación a partir de la descripción.

Figura: 37 Descripción construcción propuesta como actividad


78

9.2 Actividad 2

Hecho geométrico „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus lados opuestos

miden lo mismo‟.


Trabajo de ajuste sobre un dibujo

Los estudiantes construyen el cuadrilátero y lo acomodan para que parezca paralelogramo

e intentan que tenga lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm. El profesor interviene para indicarles cómo

mostrar la medida de los lados.

Figura: 38 Construcción propuesta por el estudiante

Realizan varios intentos de acomodar la medida de los lados, logran que un lado tenga 3

cm y otro 4 cm pero no consiguen acomodar el tercero para que tenga exactamente 5 cm.


79

Figura: 39 Intento de Acomodación

Al pregunta si la figura es paralelogramo responden: si porque sus lados no se cruzan. Sin

embargo al cuestionar nuevamente si están seguros sugieren que deben mover la figura, entonces

el profesor pregunta: qué pasa si se mueve, a lo que responden que la figura se desconfigura,

nuevamente se les pregunta si tienen otra forma para verificar si es paralelogramo, después de

reflexionar, responden que con las rectas, refiriéndose a la estrategia de las rectas paralelas.

Construyen las rectas que contienen dos lados opuestos, y validan perceptualmente que no es un

paralelogramo porque sus lados se cruzan.

Figura: 40 Estrategia de verificación


80

Al preguntar qué cambiarían a la figura para lograr que sea paralelogramo responden que

la medida de uno de sus lados (lado adyacente a la intercepción de las rectas), tratando que sea

igual al opuesto Sin embargo, notan que pierden la medida de los otros.

Intentan la construcción cambiando en varias oportunidades la medida de uno de los lados

haciéndolo más cercano al lado opuesto sin embargo al verificar comprueban que los lados se

siguen cruzando.

Figura: 41 Validación perceptual

Las retroacciones del software permiten que los estudiantes invaliden sus estrategias de

construcción posibilitándoles anticipar perceptualmente que los lados se cruzan concluyendo la

imposibilidad de la tarea.


Intento de una Construcción

Para garantizar la exactitud de las medidas en la figura se propone a los estudiantes el uso

de la herramienta círculo de radio fijo. Con anterioridad los estudiantes han conjeturado que la


81

medida de los lados opuestos debe ser igual, por lo que proponen cambiar la medida de un lado

(el lado de 5 cm) y hacerla aproximadamente igual al opuesto hasta llegar a 3,01 cm.

Figura: 42 Uso de herramienta circulo de radio fijo

Los estudiantes acomodan la figura para que parezca paralelogramo y aunque trazan las rectas

y hacen zoom, la construcción no soporta el arrastre

Figura: 43 Validación por Arrastre

El profesor interviene sugiriendo la estrategia de garantizar que un lado sea paralelo por

construcción. Los estudiantes retoman la idea, realizan la construcción logrando que la figura

soporte el arrastre y parezca paralelogramo


82

Figura: 44 Aproximación a paralelogramo

Esta estrategia de cambiar la medida de uno de los lados, para hacerla más

aproximadamente igual a su lado opuesto, debilito la estrategia de validación perceptual,

surgiendo la necesidad de realizar zoom hasta que no fue posible invalidar la construcción

mediante las retroacciones del software conocidas por los estudiantes.

En este punto fue necesaria la intervención del profesor proponiendo el uso de la

herramienta test retomando el paralelismo como propiedad que se debe cumplir.

Fue importante retomar la conjetura de los estudiantes de que los lados opuestos deberían

tener igual medida y mostrar la medida de los lados con mayor precisión.

Figura: 45 Validación con herramienta test


83

Finalmente mediante la herramienta test los estudiantes pueden validar sus

construcciones y concluir que para que la figura sea paralelogramo los lados opuestos deben ser

exactamente iguales.



En esta actividad se propuso un archivo con 6 figuras, las cuales los estudiantes validaron

perceptualmente nombrando las que consideraban paralelogramos y las que no, seguidamente se

les posibilitó usar el software y aplicar estrategias de validación para para corroborar sus

afirmaciones. Los estudiantes implementaron el arrastre, trazaron las rectas de lados opuestos.

Fue necesario la intervención del profesor sugiriendo que podían utilizar lo que se había

trabajado en las actividades anteriores incluido mostrar la medida de los lados que era la

estrategia esperada

En un segundo archivo se entregó a los estudiantes 6 figuras con la medida de dos lados

consecutivos en cada una afirmando que eran paralelogramos y que debían anticipar la medida de

los otros lados, los estudiantes realizaron la actividad sin ninguna dificultad invocando el hecho:

los lados opuestos deben tener la misma medida y diciendo la medida de los lados faltantes,

después verificaron en el software.


84

Figura: 46 Verificación medida y anticipación de propiedades

Estas actividades propiciaron como era su objetivo procesos de verificación de

propiedades y anticipación de medidas, mostrando la posibilidad de que los estudiantes realicen

procesos deductivos mediante la aplicación de las reglas teóricas producidas.

9.3 Actividad 3

Hechos geométricos „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos

opuestos miden lo mismo‟ y „si un cuadrilátero es paralelogramo, entonces sus ángulos

consecutivos son suplementarios



Los estudiantes realizan la construcción acomodándola para que parezca paralelogramo e

implementan el uso de la herramienta ángulo realizan varios intentos para ajustar la figura.

El profesor interviene preguntando cuáles estrategias tienen para verificar que la figura es

paralelogramo, sugieren que con las rectas paralelas y con la medida de sus lados.

Para validar muestran la medida de los lados, después trazan una paralela a uno de sus

lados y hacen zoom concluyendo que la figura no puede ser paralelogramo.


85

Figura: 47 Verificación de propiedades

Al preguntar qué cambiarían a la figura para que fuera paralelogramo los estudiantes

propusieron que cambiar un ángulo de posición pero descartan esta posibilidad porque ya lo

había intentado con anterioridad.

9.3.2 Segunda parte

Intento de una construcción

Para garantizar exactitud en la medida de los ángulos se les enseña el uso de la

herramienta ángulo de amplitud fija

Después de varios intentos de ajuste sugieren modificar la medida de uno de los ángulos,

acomodan la figura en este caso ya parece paralelogramo; para verificar trazan las rectas que

contienen dos lados opuestos, realizan zoom y no pueden invalidar perceptualmente por lo que

acuden a la herramienta test. Aunque logran que dos lados sean paralelos no pasa lo mismo con

los otros dos por lo tanto invalidan la construcción.


86

Figura: 48 Verificación de paralelismo

Como nueva estrategia sugieren la construcción de los otros dos ángulos, en este caso

propusieron medidas de 140° y 40° realizan la construcción y muestran la medida de sus lados.

Figura: 49 Estrategia de construcción con ángulos

Al arrastrar la figura constatan que la medida de los lados se mantiene por lo tanto

validan la construcción invocando que los lados opuestos tienen igual medida por lo tanto la

figura es un paralelogramo.

Sin embargo en esta construcción, los estudiantes no toman en cuenta la relación entre los

ángulos adyacentes o los ángulos opuestos. Fue necesario la intervención del profesor llamando


87

su atención de por qué con los ángulos de 40° y 140° si fue posible la construcción y con los

demás no. Para esto se les pide realizar la construcción con nuevos ángulos suplementarios y que

registren en una tabla estas medidas y miren si pueden encontrar alguna relación entre ellos

Figura: 50 Conjetura ángulos opuestos

Después de realizar varias construcciones y mostrar los ángulos interiores conjeturan que

los ángulos opuestos deben ser iguales hecho que constatan en otras construcciones.

El profesor les sugiere considerar si también existe alguna relación entre los ángulos

adyacentes, para ello les pide intentar construcciones con nuevas medidas tratando de establecer

alguna relación entre los ángulos adyacentes medidas. Las devoluciones del profesor pidiéndoles

observaran en varias de las construcciones los ángulos adyacentes permiten que los estudiantes

afirmen: la suma de los ángulos consecutivos da 180°.

Para reafirmar el hecho el profesor les propone revisar una construcción anterior donde no

ocurre este hecho y cambiar la medida de un ángulo consecutivo para que la figura sea

paralelogramo, los estudiantes logran anticipar la medida del ángulo y concluyendo que la suma

de los ángulos debe ser exactamente 180°. Como estrategia de validación en esta actividad usaron

el hecho geométrico de la igualdad de los lados opuestos.


88

Figura: 51 Revisión construcción ángulos opuestos



Inicialmente se propuso a los estudiantes un archivo con seis construcciones y se pidió

que validaran perceptualmente si cada figura era paralelogramo o no. Después se les pidió

verificar sus conclusiones con ayuda del software. Se les sugirió utilizar todos los conocimientos

construidos con anterioridad.

Mediante arrastre invalidaron algunos cuadriláteros, para otros miden los ángulos y

aplican el criterio de la igualdad de los ángulos opuestos y verifican que la figura soporte el

arrastre, también para validar otras figuras aplican el criterio de igualdad de los lados opuestos.

Figura: 52 Verificación medida ángulos


89

En estas actividades los estudiantes aplicaron distintas estrategias de verificación de

forma simultánea involucrando reglas producidas con anterioridad sin limitarse al uso de una

estrategia en particular.

Posteriormente en un otro archivo se planteó seis figuras afirmando que son

paralelogramos e indicando en cada construcción la medida de uno de sus ángulos y se solcito a

los estudiantes anticipar la medida del ángulo consecutivo; después se permitió que verificaran

sus conclusiones mediante el uso del software.

Figura: 53 Anticipación medida ángulos interiores

Mediante cálculos en papel los estudiantes consiguieron anticipar los ángulos

correctamente y gracias a las retroacciones del software constaron la validez de sus

anticipaciones.


90

9.4 Actividad 4

Hecho geométrico las diagonales de un paralelogramo se bisecan


Intento de construcción.

En la actividad los estudiantes realizan la construcción del polígono ABDC con la

herramienta segmento. El profesor interviene aclarando que ese no es polígono pedido.

Después de varios intentos no logran realizar la construcción propuesta, no aceptan que

los segmentos se crucen. El profesor sugiere usar la herramienta polígono. Los estudiantes

realizan la construcción, pero no es claro para ellos cuál es el polígono. El profesor les sugiere

revisar el nombre del polígono pedido, al constatar cómo se nombra la figura advierten cual es

éste. Luego se pidió a los estudiantes acomodar la figura para que parezca paralelogramo

Figura: 54 Construcción Polígono

Al pedir a los estudiantes escribir un mensaje a una persona que no sabe qué es un

paralelogramo ni qué son rectas paralelas, dándoles instrucciones para que acomoden los

segmentos AB y CD de manera que el cuadrilátero ACBD parezca paralelogramo. Sus

producciones se limitaron a describir el proceso seguido por ellos, nombrando los lados del

polígono lo cual no estaba permitido.


91

El profesor interviene pidiendo a los estudiantes que digan qué sucede con los segmentos

AC y BD, los estudiantes manifiestan que los segmentos se deben de cruzar. Se retomó el

ejercicio de descripción de la construcción, pero esta vez uno de los estudiantes ejecutó las

instrucciones dadas por su compañero señalando que los segmentos se cruzan en su mitad.

Figura: 55 Conjetura punto medio

El profesor propone a los estudiantes constatar su conjetura realizando una construcción

pero esta vez mostrando que los segmentos AB y CD se cruzan en la mitad, se enseña el uso de la

herramienta punto medio, los estudiantes ajustan la construcción para que los puntos medios de

los segmentos coincidan, después verifican que los lados opuestos tengan igual medida pero la

figura no resiste el arrastre.

Figura: 56 Aproximación punto medio


92


Uso del Hecho geométrico.

Los estudiantes intentan una construcción para constatar su conjetura y que además

soporte el arrastre, trazan el segmento AB y hallan su punto medio M, luego trazan el segmento

CD de manera perceptual por M pero al arrastrar no soporta el arrastre.

Figura: 57 Intento construcción exacta

El profesor sugiere la búsqueda de una estrategia que garantice que el segmento CD pase

por M y que los extremos CD estén a igual distancia de M. Los estudiantes construyen una

circunferencia con centro M que pasa por C después trazan la recta CM y ubican D en la

intercepción de la circunferencia con la recta.

Figura: 58 Construcción exacta punto medio


93

Los estudiantes realizan la construcción y verifican que soporte el arrastre.

Figura: 59 Verificación construcción diagonales

El profesor les pregunta si la figura es un paralelogramo, entonces los estudiantes

muestran la medida de los lados y arrastran. Luego afirman que como los lados opuestos tienen

igual medida y soporta el arrastre la figura es un paralelogramo.

Figura: 60 Verificación paralelogramo

Fue necesario que el profesor aclarara a los estudiantes que los segmentos AB y CD

corresponden a las diagonales del paralelogramo. Por último se institucionalizó el hecho

geométrico en un paralelogramo las diagonales se bisecan


94

10 Conclusiones

Desde el punto de vista epistemológico se pudo evidenciar que la razón de ser de la

estructura axiomático-deductiva de la geometría, propuesta por Euclides en Los Elementos es la

respuesta a dos grandes interrogantes ¿Cómo hacer una construcción exacta?, ¿Cómo justificar

que una construcción es exacta? justificando de esta manera los conocimientos teóricos como

necesarios para realizar construcciones exactas.

Así mismo la revisión del origen de los conceptos geométricos puso en evidencia su

naturaleza experimental, justificando de esta forma el diseño de actividades de experimentación

para la exploración de invariantes en las figuras geométricas. En efecto, si bien Los Elementos

de Euclides constituyen un modelo de organización axiomático-deductiva, no deben constituir el

punto de partida de la enseñanza. Por el contrario, es necesario reconstruir las condiciones y los

procesos que condujeron a su formulación.

El problema epistemológico de la enseñanza de la geometría no radica tanto en lograr que

los estudiantes reproduzcan la estructura axiomática-deductiva de los conocimientos teóricos,

sino más bien en generar en los estudiantes la necesidad de esos conocimientos teóricos y esa

estructura.

El SGD permite distinguir de manera experimental una construcción exacta de una

construcción aproximada posibilitando la organización del proceso de enseñanza como una

secuencia en la que se negocia la diferencia entre una construcción exacta y una construcción

aproximada, asociar construcción exacta a propiedades, asociar propiedades a herramientas de

construcción y finalmente asociar propiedades a reglas teóricas generales

Así mismo, el SGD posibilita en los estudiantes el desarrollo de procesos de inducción

mediante la experimentación con figuras dinámicas, permitiendo el reconocimiento de


95

invariantes, la producción de reglas teóricas generales, las cuales fueron usadas en procesos

deductivos como la verificación, anticipación y justificación.

Se evidencia la necesidad de desplazar el énfasis en la estructura formal del razonamiento

deductivo mediante la utilización de reglas teóricas fruto de la imposición del profesor hacia la

necesidad de predecir y explicar fenómenos geométricos consecuencia lógica de un proceso de

experimentación, descubrimiento de invariantes y procesos de generalización mediante un

razonamiento inductivo.

La experimentación con figuras dinámicas posibilita una forma de tratar las dificultades

que encuentran los estudiantes cuando reciben una enseñanza basada en definiciones formales y

prácticas rutinarias facilitando el desplazamiento del énfasis en lo formal mediante la

experimentación, la exploración de propiedades invariantes, la generalización de propiedades y

la formulación de reglas teóricas resultado de procesos de inducción.

Es necesario que el profesor centre la atención, no en un discurso teórico correcto, sino

en las formas de razonamiento y argumentación que los estudiantes expresan cuando explican

con su lenguaje o acciones la solución de un problema. En efecto, la comprensión adecuada de

las acciones de los estudiantes cuando utilizan una estrategia, por parte del profesor, garantiza la

posibilidad de una devolución apropiada que permita a los estudiantes la construcción de la

estrategia de solución.

La actividad experimental con SGD permite un nuevo rol para el profesor, ya que

posibilita mediante las potencialidades y restricciones del software su intervención en el proceso

de validación de las estrategias de los estudiantes, reforzándolo y evitando interrumpirlo.

El uso de la TSD como referente teórico para el diseño de las actividades permitió

identificar el rol del software en el proceso de aprendizaje. En efecto, se muestra cómo las

acciones y retroacciones que ofrece el SGD posibilitan al estudiante experimentar sus estrategias


96

para ponerlas a prueba, invalidar las estrategias no matemáticas y validar las estrategias

matemáticas. Así mismo, la importancia del software se evidencia en los actos de devolución del

profesor, ya que le permite proponer a los estudiantes acciones de verificación de las estrategias

empleadas en la resolución de problemas sin la necesidad de emitir un juicio de valor.

La descripción propuesta en el análisis a priori muestra un control de las posibles

acciones de los estudiantes y de las retroacciones del medio, haciendo evidentes las posibilidades

que tienen los estudiantes de invalidar todas las estrategias de solución basadas en la percepción y

de validar todas las estrategias basadas en propiedades geométricas.

Con el diseño de las situaciones se consiguió fusionar la exploración de propiedades

invariantes con el arrastre exploratorio, esto permite dar cuenta experimentalmente de lo

oportuno de las retroacciones del software en la construcción del conocimiento geométrico,

promoviendo en los estudiantes un aprendizaje por adaptación.

Las actividades están basadas en la experimentación, buscan generar en los estudiantes

procesos de reflexión conducentes a conclusiones sobre la solución a los problemas propuestos

gracias a la validación o invalidación de las retroacciones del Software.

El diseño muestra que es posible llevar a cabo experimentos que permitan a los

estudiantes explorar las propiedades invariantes de los paralelogramos y mediante un

razonamiento inductivo producir reglas teóricas generales, las cuales constituyen conocimientos

teóricos que son la base para determinar si una construcción es exacta o no. Las actividades de

verificación y anticipación conducen a los estudiantes a utilizar esas reglas teóricas en

razonamientos de tipo deductivo.

Se evidencia la necesidad de espacios de discusión o puestas en común donde los

estudiantes puedan unificar los diferentes puntos de vista, posibilitando al profesor la

institucionalización del saber a enseñar.


97

La gestión del profesor se realiza de manera indirecta por medio de las restricciones y

potencialidades del software, originando actos de devolución que permiten que los estudiantes

tomen conciencia de las opciones de validación de sus estrategias en la resolución de problemas.

Así mismo, se encontró que las actividades de justificación propuestas resultaron muy

complejas para los estudiantes, por lo tanto se deben realizar mayores esfuerzos de análisis para

el diseño de esta clase de actividades.

Frente a las potencialidades del presente trabajo es posible su extensión a otros

cuadriláteros como el rectángulo, cuadrado y rombo, esta secuencia posibilitaría la justificación

de afirmaciones: todo cuadrado es un rectángulo, y todo rectángulo es un paralelogramo.


98

11 Reflexiones

Este trabajo contribuyó a transformar mi concepción acerca del uso de la tecnología en la

enseñanza y aprendizaje de la geometría, pasando de una concepción ingenua al considerarla

como un elemento motivador, para asumirla de una manera más racional como medio que

posibilita un mejor aprendizaje.

El diseño de actividades desde un marco teórico como la TSD, me permitió reconocer

otras formas de aprendizaje en los estudiantes que van más allá de las que se imponen por la

autoridad del profesor o la imitación de rutinas; propiciando la reflexión sobre mis prácticas de

enseñanza e impulsándome a restaurar el papel protagónico de los estudiantes en su aprendizaje.

El concebir la geometría como ciencia de las construcciones dentro un contexto

experimental, me permitió una transformación a nivel epistemológico y didáctico al tener la

posibilidad de promover el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo de los

estudiantes, permitiendo la exploración de propiedades mediante experimentos, reconocimiento

de invariantes, formulación de reglas teóricas las cuales son utilizadas en procesos deductivos.

La búsqueda de recursos didácticos que viabilizaran una mejor enseñanza me permitió

reconocer en la tecnología el potencial del software en el proceso de aprendizaje de los

estudiantes, especialmente por ofrecer la posibilidad de realizar acciones y devolver retroacciones

que pueden ser validadas por el estudiante promoviendo un aprendizaje por adaptación.

Con este trabajo se quiere contribuir a la reflexión sobre el uso de la tecnología en las

matemáticas, y a la vez ser un modelo de referencia para los demás profesores que comparten el

interés por el uso de la tecnología de forma racional en sus prácticas.


99

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