“Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas” 24 de marzo de 2003, Universidad de La Laguna...

“Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas”24 de marzo de 2003, Universidad de La Laguna

Generación Automática de Mallas Tridimensionales para la Simulación Numérica

de Procesos Medioambientales

R. Montenegro, G. Montero, J.M. Escobar, E. Rodríguez y J.M. González-Yuste

Instituto Universitario de Sistemas Inteligentes y Aplicaciones Numéricas en Ingeniería

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Parcialmente subvencionado por MCYT y FEDER. Proyecto: REN2001-0925-C03-02/CLI

Curso Universitario Interdisciplinar

Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular.

Contenido

Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros.

Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento.

Conclusiones y Líneas Futuras.

Optimización de Mallas de Tetraedros: Desenredo y Suavizado.

Dato: Información Digitalizada del Terreno

Definición del Dominio Tridimensional

ab

h

Discretización Adaptada del Dominio 3-D

Etapas Principales del Proceso de Mallado

Discretización de la superficie del terreno(Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D)



Definición de la nube de puntos(Función de espaciado vertical y estrategias)



Generación de la malla tridimensional(Triangulación de Delaunay en paralelepípedo auxiliar)




Generación de la malla tridimensional(Triangulación de Delaunay en paralelepípedo auxiliar)

Optimización de la malla(Algoritmo simultáneo de desenredo y suavizado)


Discretización de la Superficie del Terreno

Información topográfica digitalizada de la región rectangular de estudio

Comenzamos con una malla uniforme 2-D de esta región rectangular

(malla base o grosera 1)

a

b


Realizamos m-1 refinamientos globales usando el algoritmo 4-T de Rivara

T = { 1 < 2 < ... < m }

(a)

(d)

(b)

(c)

Interpolamos la información digitalizada en los nodos de m


Aplicamos el algoritmo de desrefinamiento con la precisión deseada

T’ = { 1 < ’2 < ... < ’m’ }

K K+1K-1 K K+1K-1

uu

i

h(K)

(K)

( ) ( )h iu K u K El nodo propio K puede ser eliminado si:

(m' m)

Tres subconjuntos:

1

’m’

Frontera superior del dominio

Frontera inferior del dominio

1) Distribución uniforme de 1 para

la frontera superior

2) Distribución adaptada de ’m’

para la frontera inferior

3) Distribución entre ambas capas atendiendo a la función de espaciado vertical

Definición de la Nube de Puntos


z zh z

ni i ni 0

0 0 1 2 1 ; , , ,..., ;

Función de espaciado vertical:

Si fijamos d y , obtenemos:

n h zd

LNMM

OQPP01

Si fijamos d y n, obtenemos:

log

log

h zdn

0


Si fijamos d y D, obtenemos n resolviendo la ecuación no lineal:

donde

n nk 1

k

h z Dd

h zd

log

log

0

0siendo 0 1 k y 2 0

n

h zd

Teorema del punto fijo

()

() tiene solución única La ecuación

Puesto que: a)

x g x xh z

d

h z

dk2 20 01, ,( )

b) g xh z

dC

k( ) , es contractiva en con cte. de Lipschitz 2

1

20

1

n h zd

LNMM

OQPP

2 0,

El método del punto fijo converge para cualquier aproximación inicial de 2 0,h z

dL

NMM

OQPP

Influencia del nivel j donde el nodo P de ’m’ es propio

• Si j=1 (P es propio de la malla grosera 1), se generan nodos sobre la vertical

de P atendiendo a la función de espaciado vertical para i = 1, 2,…, n-1.

• Si 2 j m’-1, se generan nodos para i = 1, 2,…, min (m’-j,n-1).

• Si j=m’ (P es propio del nivel más fino ’m’ ), no se genera ningún nodo nuevo.


Generación de la Malla Tridimensional

Transformación del dominio real al paralelepípedo auxiliar

Triangulación de Delaunay en el paralelepípedo

Transformación inversa al dominio real (compresión de la malla).

Ventaja: Conformidad de la malla con la superficie del terreno

Inconveniente: Posibilidad de cruces en tetraedros de la malla (enredo de la malla)

Estrategia 1: Número de Capas y Grado de Espaciado Vertical Impuestos

El mismo valor de n y es impuesto para cado nodo P de ’m’

Las capas se transforman en planos horizontales en el paralelepípedo auxiliar

Concentración de capas hacia el terreno

El valor de se introduce como dato

Número de capas (n+1)

El valor de n se introduce como dato

Estrategia 2: Número de Capas Fijo y Grado de Espaciado Vertical Variable

El mismo valor de n se impone para cada nodo P de ’m’ , pero depende de P

El valor de se evalúa en función de d :

El máximo valor de n se calcula automáticamente y se impone

log

log

h zdn

0



Las capas se transforman en planos horizontales en el paralelepípedo auxiliar

Estrategia 3:Número de Capas Variable y Grado de Espaciado Vertical Fijo

Diremos que para cada nodo P de ’m’ existe un número de capas virtuales

El mismo valor de se impone para cada nodo P de ’m’ , pero n depende de P

El valor de se introduce como dato

El valor de n se evalúa en función de d : n h zd

LNMM

OQPP01



Estrategia 4:Número de Capas y Grado de Espaciado Vertical Variables

Diferentes valores de y n se evalúan automáticamente para cada nodo P de ’m’

El valor de se evalúa en función de d :

El valor de n se evalúa en función de d y D :

log

log

h zdn

0

n nk 1 ()



Diremos que para cada nodo P de ’m’ existe un número de capas virtuales

Ejemplo del Comportamiento de las Estrategias

A

B

C

D

Sección ABCD

Estrategia 1

Estrategia 4

Estrategia 3

Estrategia 2

Optimización de la Malla

Desenredo y suavizado simultáneo (algoritmo local de recolocación)

Función objetivo, a minimizar, asociada al nodo v :( )

( ) ( )ee N v

r r

( ) :e r

( , , ):x y zr

62

12 3

: longitud de la arista del tetraedro siendo

: "volumen" del tetraedro

si tenemos "buena" calida

( )( )

y )

)

(

2 (

ei

e e

e

e

ei

ie

e

ll

i e

Vh J e

V

V

Vh

r

2 212

d ( )

4 si ( ) con "mala" calidad

eligiendo el valor de tan pequeño como sea posible para cada nodo

e e

e N v

V V e N v

Vector de posición del nodo libre v que pretendemos recolocar

( ) e N vFunción objetivo asociada al tetraedro conectado con v

2 212

Para los tetraedros de "mala" c

( )

alidad

4

e e eh V V V

( )eh V

eV

Optimización de la Malla

Antes Después

Optimización de la Malla: Ejemplo 1

Antes Después


Evolución de la calidad media y mínima en función del número de iteraciones de optimización


5 10 15 20 25

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

qmin

qavg

Área rectangular del sur de La Palma

(Islas Canarias) de 45.6 31.2 km

Variación de cotas desde 0 a 2279 m

La frontera superior del dominio ha sido situada a la altitud h = 9000 m

Las cotas topográficas se definen sobre una retícula de 200 200 m

1 : Malla 2-D uniforme con tamaño de elemento aproximado de 2000 2000 m

’m’ : Malla 2-D adaptada después de 4 refinamientos globales sobre 1 y un paso

de desrefinamiento con una precisión = 40 m

Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”

n = 5 (6 capas), = 2, 52945 tetraedros, 11578 nodos, valencia máxima = 21, número de etapas de optimización = 5

Estrategia 1

Malla Generada Malla Optimizada


Estrategia 1


n = 5 (6 capas), 52945 tetraedros, 11578 nodos, valencia máxima= 21, número de etapas de optimización = 5


Estrategia 2



Estrategia 2

= 1.5, 53432 tetraedros, 11173 nodos, valencia máxima = 26, número de etapas de optimización = 5


Estrategia 3



Estrategia 3

D = 1500 m, 57193 tetraedros, 11841 nodos, valencia máxima = 26, número de etapas de optimización = 5


Estrategia 4



Estrategia 4

Estrategia 1 Estrategia 2



Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Suave”


1309 nodos 1155 nodos

Número de tetraedros invertidos = 5 Número de tetraedros invertidos = 0




Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Suave”




Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Concentrada”

Aplicaciones Numéricas: “Volcán”



Número de tetraedros invertidos = 0 Vista de la superficie (1)


Vista de la superficie (2) Vista de la superficie (3)



Estrategia 1

3973 nodos

Vista de la superficie (4) Detalle de la malla (“cráter”)




Dos vistas opuestas de la malla de tetraedros


Estrategia 2

3943 nodos

Número de tetraedros invertidos = 0

Estrategia 3

Estrategia 4

3706 nodos

4013 nodos

Tetraedros invertidos = 430

Tetraedros invertidos = 576


Estrategia 1

1542 nodos

Número de tetraedros invertidos = 266 Detalle de la malla

Aplicaciones Numéricas: “Paredes Verticales”

Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros

Utiliza un algoritmo de refinamiento local para mejorar la solucion numerica

Calcula un indicador de error para cada elemento de la mallae e

1,..., Si Max ( ) , siendo [0,1] y el numero de elementos, entonces

el elemento debe ser refinado

e ee n

n

e

El método de elementos finitos adaptables:

Tipo I: Subdivisión en 8-subtetraedros

Tetraedros con 6 nodos nuevos


Tipo I



Tipo I


Tetraedros con 3 nodos nuevosen caras diferentes

Tipo II: Subdivisión en 4-subtetraedros


Tetraedros con 3 nodos nuevosen la misma cara

Tipo III.a: Subdivisión en 4-subtetraedros


Tetraedros con 2 nodos nuevosen caras diferentes

Tipo III.b: Subdivisión en 3-subtetraedros


Tetraedros con 2 nodos nuevosen la misma cara

Tipo IV: Subdivisión en 2-subtetraedros


Tetraedros con 1 nodo nuevo

Tipo V: No se subdivide



El algoritmo ha sido implementado en C++ de manera recursiva.

El proceso de clasificación de los tetraedros se lleva a cabo marcando sus aristas.

La conformidad de la malla se asegura a nivel local mediante un proceso de expansión que comienza en los tetraedros de Tipo I.

Si una arista de un tetraedro transitorio debe ser marcada, debido al indicador de error o para asegurar la conformidad de la malla, entonces todos los tetrahedros transitorios son eliminados de su tetradro padre (proceso de borrado), se marcan todas las aristas del tetraedro padre y este tetraedro se introduce dentro del conjunto de tetraedros Typo I procediéndose a su subdivisión en 8 subtetraedros.

Llamamos tetraedros transitorios a los que resultan de la división de tetraedros de Tipo II, III y IV.

Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros: Comentarios

Aplicación del Refinamiento Local: Malla Inicial

Detalle de la malla

Aplicación del Refinamiento Local: Primera Etapa

Detalle de la malla

Aplicación del Refinamiento Local: Segunda Etapa

Detalle de la malla

Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento

Sea un dominio acotado de frontera3R 1 2

0u : campo de viento obtenido mediante interpolación de datos

experimentales.Objetivo: encontrar un campo de

velocidadesu

que se ajuste a 0u

verificando

Condición de incompresibilidad: Condición de impermeabilidad:

div 0 en u

10 en u n

Entonces, el campou

es la solución del problema: Hallar u

verificando

1

( ) min ( )

; div 0, 0

vJ u J v

v v v n

donde 1

0 02( ) ( ) ( )tJ v v u P v u


Este problema puede ser formulado introduciendo un multiplicador de Lagrange q.

( , ) ( ) div L v q J v q v

El punto silla del lagrangiano ( , )u verifica:

10( ) en P u

10 1 en P n u

n

20 en

10 en u u P

Tal que finalmente se obtiene el campo de velocidades:


Malla después de 3 refinamientosMalla inicial

Campo de velocidades a 10 m Campo de velocidades a 500 m


Aplicación del modelo de campos de viento a la Isla de La Palma a partir de medidas experimentales.

Campo de velocidades a 500 m Líneas de corriente a 500 m


ConclusionesGeneración de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular

Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.


Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.





Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.



Con la ayuda de un paralelepípedo auxiliar, hemos planteado un procedimiento basado en la triangulación de Delaunay para construir la malla 3-D que asegura su conformidad con la superficie del terreno.






La distribución de puntos obtenida podría tener interés para generar mallas 3-D con otras técnicas clásicas (avance frontal, normal offsetting, etc.).





La distribución de puntos obtenida podría tener interés para generar mallas 3-D con otras técnicas clásicas (avance frontal, normal offsetting, etc.).

Hemos propuesto un nuevo procedimiento para optimizar mallas que desenreda y suaviza al mismo tiempo.




Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros

Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.


Hemos aplicado este algoritmo de refinamiento a problemas estacionarios.




Los resultados obtenidos en las aplicaciones son muy eficientes.



En futuros trabajos pretendemos implementar el algoritmo de desrefinamiento inverso al algoritmo de refinamiento. Este aspecto es fundamental para la simulación de problemas evolutivos como la dispersión de contaminantes en la atmósfera.

Los resultados obtenidos en las aplicaciones son muy eficientes.



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