Sistemas espe

FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc.

Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

212

Capítulo IV SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4.1 DEFINICIONES:

a. Espacios de Tres Dimensiones:

Cuando los objetos, o sus idealizaciones, se colocan en un sistema de coordenadas que tenga 3 ejes perpendiculares entre sí, se está definiendo un Espacio de 3 Dimensiones.

Se toma como base un aula de clases convencional rectangular, vista desde su interior por los estudiantes. Hacia el frente se tiene una pared que claramente nos define un plano al que se asignaran las coordenadas “x” y “y” (“x” es horizontal y “y” es vertical). El eje de las “x” estará ubicado en la base de esa pared, y el eje de las “y” será la línea vertical izquierda de la pared.

Es importante mencionar que la representación de esos 2 ejes coincide con la forma tradicional de representar los 2 primeros ejes cartesianos.

Sin embargo, para representar totalmente esa aula, también existe un eje que nos permite identificar la dimensión y posición en profundidad de los objetos, el mismo que se lo ubicará sobre la pared izquierda, en su base.



213

Los objetos (pizarrón, puerta, pupitres) dentro de este espacio tridimensional podrían ser representados de la siguiente manera:

b. Funciones Lineales:

El punto de partida para la definición de las funciones lineales es la ecuación de la línea recta y sus propiedades.

Las siguientes expresiones constituyen ecuaciones de líneas rectas específicas, bastante comunes:

05y3x2 =−+ 12y5x −=− 0y3x2 =+

07x =− 3y −=

0x =



214

Todas las ecuaciones presentadas previamente pueden ser representadas por una única ecuación general (Ecuación General de la Recta).

0CByAx =++ Ecuación General de la Recta

Esta ecuación también es un ejemplo de función lineal, en una de sus formas específicas.

0CByAx =++ Función Lineal para un Espacio de 2 Dimensiones (2 variables)

Si se compara la Ecuación General con las expresiones de las rectas presentadas previamente se puede concluir que:

Ø En la ecuación de la recta existen 2 variables: “x” y “y”. Ø Existen 3 constantes:

§ A: coeficiente de la variable “x” § B: coeficiente de la variable “y” § C: término independiente de las variables (término independiente)

Ø Algunas de las constantes (A, B, C) pueden ser nulas, pero al menos uno de los coeficientes de las variables debe ser no nulo.

Ø Se requieren 2 condiciones para poder definir una ecuación, pues al dividir toda la expresión para una de las constantes solamente permanecen 2 indeterminadas.

Si se extienden las características menc ionadas previamente a una expresión que tenga 3 variables (x, y, z), se tendría una ecuación como la siguiente:

0DCzByAx =+++ Función Lineal para un Espacio de 3 Dimensiones (3 variables)

La ecuación previa se utiliza para describir planos dentro de un espacio tridimensional.

Se puede extrapolar la expresión anterior hacia una función lineal que involucre a “n” variables, por lo que pertenecerá a un espacio n-dimensional.

0Bx.A...x.Ax.A nn2211 =++++ Función Lineal para un Espacio de n Dimensiones Problema Resuelto 1:

Representar gráficamente la siguiente función lineal:

6zyx =++

Solución:

Se prepara una tabla especial en la que se pueden proporcionar diversos valores a la variable “z” (inicialmente comprendidos entre “-7” y “7”), de modo que la función inicial se transforme en otra que contiene solamente “x” y “y”.

6zyx =++ z f(x, y)

-7 67yx =−+ o 13yx =+ -6 66yx =−+ o 12yx =+ -5 65yx =−+ o 11yx =+ -4 64yx =−+ o 10yx =+



215

-3 63yx =−+ o 9yx =+ -2 62yx =−+ o 8yx =+ -1 61yx =−+ o 7yx =+ 0 60yx =++ o 6yx =+ 1 61yx =++ o 5yx =+ 2 62yx =++ o 4yx =+ 3 63yx =++ o 3yx =+ 4 64yx =++ o 2yx =+ 5 65yx =++ o 1yx =+ 6 66yx =++ o 0yx =+ 7 70yx =++ o 1yx −=+

Las funciones de “x” y “y” obtenidas son rectas paralelas, pues tienen la misma pendiente.

Solamente por facilidad de dibujo se toman aquellos datos en que “x”, “y” y “z” son todos positivos.

z f(x, y) 0 6yx =+ 1 5yx =+ 2 4yx =+ 3 3yx =+ 4 2yx =+ 5 1yx =+ 6 0yx =+

Sobre un diagrama de coordenadas tridimensionales, se dibujan planos con las coordenadas “z” de la tabla (z = 1, z = 2, z = 3, z = 4, z = 5, z = 6), pues el plano “x-y” se identifica como “z = 0”.



216

Sobre los ejes que describen los nuevos planos se dibujan las dimensiones base a escala (la misma escala para todos los ejes), para fijar referencias para los gráficos de la funciones.

Se procede a dibujar la primera func ión, cuando “z = 0” (sobre el plano “x-y”, con sus puntos en el primer cuadrante.

Sobre el gráfico anterior se dibuja la recta cuando “z = 1”, también en el primer cuadrante.



217

Se dibujan las restantes rectas, solamente en el primer cuadrante.

Se trazan líneas rectas auxiliares adicionales (líneas entrecortadas), que unan los puntos de cruce de las rectas con sus respectivos ejes de coordenadas en 2 dimensiones, para facilitar la visualización tridimensional de las rectas dibujadas previamente.



218

Para identificar más claramente a la representación gráfica de la ecuación original, se coloca sombreado sobre la geometría (el área interior a un triángulo plano en el espacio) que se ha obtenido, lo que representará a todas las rectas intermedias que se generarían con valores de “z” positivos y no enteros.

A pesar de que solamente se ha dibujado un sector del plano obtenido, es fácil extender mentalmente esta geometría hacia la zona en que los valores de “x”, “y”, o “z” son negativos, y esa nueva representación ampliada sería el gráfico total de la función lineal, con 3 variables, presentada previamente.

NOTA: Una manera de interpretar el resultado anterior es que todos los puntos del plano señalado en el gráfico, y sus extensiones hacia valores negativos de las variables, cumplen con las condiciones fijadas por la ecuación lineal propuesta (la suma de las coordenadas “x”, “y” y “z” tiene un valor de “6”). 4.2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

Cuando en un problema se deben cumplir simultáneamente las condiciones fijadas por varias ecuaciones lineales, se ha establecido un Sistema de Ecuaciones Lineales. Ejemplo 1:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

4zyx5z3y2x

2zyx

=+−=++

=++

Se puede concluir que el sistema de ecuaciones es lineal, pues en todas las ecuaciones el exponente de las variables es “1”; además cada ecuación representa una condición independiente.

Los valores de “x”, “y” y “z”, que son solución al sistema, deben cumplir simultáneamente con las 3 condiciones expuestas.



219

Ejemplo 2:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

5yx13yx 22

=+=+

El sistema de ecuaciones no es lineal por que al menos una de las incógnitas, en al menos una de las ecuaciones tiene una potencia diferente de “1”. 4.3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES:

Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Los principales se estudiarán a continuación. 4.3.1 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

Consiste en reducir progresivamente el orden del sis tema de ecuaciones, despejando una de las incógnitas de una de las ecuaciones, y reemplazar esta expresión en las ecuaciones restantes. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce uno a uno el orden del sistema hasta llegar a una ecuación con una incógnita. En este punto se calcula el valor de la única incógnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan los valores de las otras incógnitas.

Problema Resuelto 2:

Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:

1yx13y3x2

−=−=+

2 .Ec1 .Ec

Solución:

Debido a que la segunda ecuación es más sencilla, se despeja “x”.

1yx −= 2' .Ec

La nueva expresión se ha definido como Ecuación 2’ debido a que obliga a cumplir las mismas condiciones que la Ecuación 2, pero su presentación es diferente.

Se reemplaza la Ecuación 2’ en la Ecuación 1.

13y3x2 =+

( ) 13y31y2x

=+−876

Se simplifica la expresión.

13y3)2y2( =+−

13y32y2 =+−

15y5 =



220

3y = Valor de la incógnita “y”

El valor obtenido para la incógnita “y” se debe reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 1 o Ecuación 2).

Se reemplaza “y” en la Ecuación 2.

1yx −=−

}1)3(x

y

−=−

Se simplifica la expresión previa:

2x = Valor de la incógnita “x”

Resumiendo los 2 resultados previos, la solución del sistema de ecuaciones es:

3y2x

==

Solución del sistema de ecuaciones

Con el objeto de interpretar gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas, se representan gráficamente las 2 ecuaciones del sistema, para lo que se identifican las intersecciones de las ecuaciones con los ejes “x” y “y”:

En el mismo gráfico se identifica el punto cuyas coordenadas son solución del sistema de ecuaciones.



221

NOTA: La solución del sistema de ecuaciones, en el gráfico, es igual a las coordenadas de la intersección de la representación gráfica de las funciones lineales.

No es extraño este resultado pues cada una de las líneas rectas representan gráficamente al conjunto de coordenadas que satisfacen cada función lineal independientemente, y el punto de intersección de las 2 rectas es el único que cumple simultáneamente con las condiciones impuestas por las 2 funciones lineales, lo que es exactamente equivalente a la definición de sistema de ecuaciones simultáneas. Problema Resuelto 3:


14z3y2x5z2yx

6zyx

=++=+−

=++

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

Se despeja “x” de la primera ecuación.

6zyx +−−= 1' .Ec

La nueva expresión se ha definido como Ecuación 1’ debido a que sus condiciones son equivalentes a las de la Ecuación 1.

El sistema de ecuaciones previo puede ser reemplazado por el siguiente, que es equivalente:

14z3y2x5z2yx6zyx

=++=+−+−−=

3 .Ec2 .Ec'1 .Ec

Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2.

5z2yx =+−

( ) 5z2y6zyx

=+−+−−48476


5z2y6zy =+−+−−

1zy2 −=+− 4 .Ec

La Ecuación 4 combina las condiciones impuestas por la Ecuación 1 (o Ecuación 1’) con las condiciones de la Ecuación 2, por lo que se la identifica como una nueva condición.

Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3.

14z3y2x =++



222

( ) 14z3y26zyx

=+++−−48476

Se simplifica la expresión anterior:

14z3y26zy =+++−−

8z2y =+ 5 .Ec

Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se puede armar un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

8z2y1zy2

=+−=+−

5 .Ec4 .Ec

Se utiliza nuevamente el método de sustitución para transformar el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, en 1 ecuación con 1 incógnita, pues esta última situación es equivalente a calcular el valor de 1 de las incógnitas.

Se despeja “z” de la Ecuación 4 (se podía haber despejado “y” y el procedimiento hubiera sido similar, al igual que los resultados finales).

1y2z −= 4' .Ec


8z2y =+

( ) 81y22y =−+


82y4y =−+

10y5 =




8z2y =+

}8z2)2(

y

=+

Se simplifica la expresión:

6z2 =

3z = Valor de la incógnita “z”

Los valores de “y” y de “z” se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3 incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3).

Se reemplazan los valores de “y” y “z” en la Ecuación 1.



223

6zyx =++

( )}

( )}

632xzy

=++



La solución total del sistema de ecuaciones es:

3z2y1x

===


Si se representara gráficamente a las 3 ecuaciones se obtendrían 3 planos en el espacio tridimensional. Por analogía a la representación gráfica de la solución de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, la intersección de los 3 planos es un único punto cuyas coordenadas constituyen la solución del sistema de ecuaciones. Problema Resuelto 4:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

5z2y4x326z3y2x

10zy5x2

=+−−=++

−=+−

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

Se despeja “z” de la primera ecuación.

10y5x2z −+−= 1' .Ec

Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2.

26z3y2x =++

26)10y5x2(3y2x =−+−++


2630y15x6y2x =−+−+

56y17x5 =+− 4 .Ec

Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3.

5z2y4x3 =+−−

5)10y5x2(2y4x3 =−+−+−−


520y10x4y4x3 =−+−−−



224

25y6x7 =+− 5 .Ec

Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se arma un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

25y6x756y17x5

=+−=+−

5 .Ec4 .Ec

Se despeja “x” de la Ecuación 4.

556y17

x−

=

556

y5

17x −= 4' .Ec


25y6x7 =+−

25y65

56y

517

7 =+

−−


25y65

392y

5119

=++−

5267

y5

89−=−

267y89 −=−

89267

y =



56y17x5 =+−

56)3(17x5 =+−


5651x5 =+−

5x5 =−

55

x −=

1x −= Valor de la incógnita “x”

Se reemplazan “y” y “x” en la Ecuación 1.

10z)3(5)1(2 −=+−−



225


10z152 −=+−−



7z3y

1x

==

−= Solución del sistema de ecuaciones

Si se representaran gráficamente a las 3 ecuaciones, se obtendrían 3 planos en el espacio tridimensional. Por analogía a la representación gráfica de la solución de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, la intersección de los 3 planos es un único punto cuyas coordenadas constituyen la solución del sistema de ecuaciones. 4.3.2 MÉTODO DE SUMA Y RESTA:

Consiste en escoger una ecuación como base y una de las incógnitas para ser eliminada para reducir el orden del sistema de ecuaciones en una unidad. La ecuación base se empareja con cada una de las ecuaciones restantes del sistema, y multiplicando cada una de las 2 ecuaciones por constantes apropiadas, mediante una suma o una resta, miembro a miembro de las 2 ecuaciones se conforma una nueva ecuación en la que se ha eliminado la incógnita escogida. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce uno a uno el orden del sistema hasta llegar a una ecuación con una incógnita. Luego se calcula el valor de la única incógnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan los valores de las otras incógnitas.



4yx9y3x2

=+=+

2 .Ec1 .Ec

Solución:

Se multiplica la segunda ecuación por “-2” para que el coeficiente que multiplica a la variable “x” sea igual al de la primera ecuación cambiado de signo.

8y2x2 −=−− '2 .Ec

La nueva expresión se ha definido como Ecuación 2’ debido a que sus condiciones son equivalentes a la Ecuación 2.

Se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2’.

8y2x29y3x2

−=−−=+

'2 .Ec

1 .Ec

Se suman miembro a miembro las 2 ecuaciones:



226

)8()9()y2x2()y3x2( −+=−−++


1)y2y3()x2x2( =−+−

1y =




9y3x2 =+

( )}

913x2y

=+


93x2 =+

6x2 =

26

x =



1y3x

==



Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

7z2y3x1zyx3

17z3yx2

=++=−+

=+−

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

Se toman como base para disminuir el orden del sistema de ecuaciones a la Ecuación 1 y a la variable “y”.

En primer lugar se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2.

1zyx317z3yx2

=−+=+−

2 .Ec1 .Ec

Si se suma, miembro a miembro, la Ecuación 1 con la Ecuación 2, se logra eliminar la variable “y” de la ecuación resultado.



227

( ) ( ) ( ) ( )117zyx3z3yx2 +=−+++−

Se simplifica la ecuación previa.

18zyx3z3yx2 =−+++−

18z2x5 =+ 4 .Ec

En segundo lugar se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 3.

7z2y3x17z3yx2

=++=+−

3 .Ec1 .Ec

Si se suma, miembro a miembro, tres veces la Ecuación 1 con la Ecuación 3, se logra eliminar la variable “y” de la ecuación resultado.

( ) ( ) ( ) ( )7173z2y3xz3yx23 +=++++−

Se simplifica la expresión.

751z2y3xz9y3x6 +=++++−

58z11x7 =+ 5 .Ec

Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se puede conformar un sistema de ecuaciones lineales equivalente al original pero que tiene únicamente 2 incógnitas.

58z11x718z2x5

=+=+

5 .Ec4 .Ec

Se utilizará nuevamente el método de suma y resta para transformar el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, en 1 ecuación con 1 incógnita, lo que es equivalente a encontrar el valor de 1 de las incógnitas.

Se resta “11” veces la Ecuación 4 menos 2 veces la Ecuación 5, para eliminar la variable “z” en la ecuación resultado.

( ) ( ) ( ) ( )5821811z11x72z2x511 −=+−+


( ) ( ) 116198z22x14z22x55 −=+−+

82z22x14z22x55 =−−+

82x41 =

4182

x =


El valor obtenido para la incógnita “x” se debe reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 4 o Ecuación 5).

Se reemplaza “x” en la Ecuación 4.

18z2x5 =+



228

18z2)2(5 =+

18z210 =+

8z2 =

28

z =


Los valores de “x” y de “z” se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3 incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3).

Se reemplazan los valores de “x” y “z” en la Ecuación 1.

17z3yx2 =+−

17)4(3y)2(2 =+−

1712y4 =+−

1y =−

1y −= Valor de la incógnita “y”


4z1y

2x

=−=

= Solución del sistema de ecuaciones

4.3.3 OTROS MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES:

Existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como el Método de los Determinantes, el Método de Operaciones Matriciales o un sinnúmero de Métodos Numéricos orientados a la computación. Sin embargo, por tratarse de elementos de apoyo al manejo matemático de problemas para la administración, en el presente texto no se los tratará a detalle, aunque en capítulos posteriores se hará referencia al uso de algunas herramientas computacionales.

A continuación, a modo de ejemplo, se presentará la mecánica de resolución de sistemas de 2 con 2 incógnitas, y 3 ecuaciones con 3 incógnitas respectivamente, mediante el método de los determinantes. Problema Resuelto 7:

Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, mediante el método de los determinantes:

8y2x5y3x2

=+−=−

2 .Ec1 .Ec



229

Solución:

Cada incógnita se obtiene al realizar la división entre 2 determinantes. En el denominador de cada expresión se coloca la matriz de coeficientes organizados ordenadamente (una tabla con los valores numéricos especificados) y se obtiene su determinante, y en el numerador se coloca la misma matriz en la que se ha reemplazado la columna de coeficientes de la incógnita que se calcula por la columna de términos independientes.

La matriz de coeficientes es:

−2132

El vector de términos independientes es:

−85

De acuerdo a este método, las incógnitas se calculan de la siguiente manera:

21322835

x−

−−

=

21328152

y−

−

=

Existen 3 determinantes que deben calcularse, 2 numeradores y 1 denominador:

2835

D1−−

=

8152

D2−

=

2132

Dd−

=

El determinante de una matriz cuadrada de 2 filas por 2 columnas se obtiene restando el producto de los elementos de la diagonal principa l menos la diagonal secundaria.

)c)(b()d)(a(dcba

−=

Primer Determinante Numerador:



230

2835

D1−−

=

)8)(3()2)(5(2835

D1 −−−=−−

=

24102835

D1 +−=−−

=

142835

D1 =−−

= Primer determinante numerador

Segundo Determinante Numerador:

8152

D2−

=

)1)(5()8)(2(8152

D2 −−=−

=

5168152

D2 +=−

=

218152

D2 =−

= Segundo determinante numerador

Determinante Denominador:

2132

Dd−

=

)1)(3()2)(2(2132

Dd −−=−

=

342132

Dd +=−

=

72132

Dd =−

= Determinante denominador

Una vez calculados los determinantes se procede a calcular las incógnitas:

714

DD

xd

1 ==


721

DD

yd

2 ==



231



3y2x

==



Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, mediante el método de los determinantes:

7z2y3x1zyx3

17z3yx2

=++=−+

=+−

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

La matriz de coeficientes es:

−

−

231113

312

El vector de términos independientes es:

−85

Las incógnitas se calculan con las siguientes expresiones:

231113312

2371113117

x

−−

−−

=

231113312

2711133172

y

−−

−

=



232

231113312

731113

1712

z

−−

−

=

Existen cuatro determinantes que deben calcularse, 3 numeradores y 1 denominador:

237111

3117

D1 −

−

=

271113

3172

D2 −=

731113

1712

D3

−

=

231113

312

Dd −

−

=

El determinante de una matriz cuadrada de 3 filas por 3 columnas se obtiene repitiendo las 2 primeras filas de la matriz y ejecutando los productos diagonales de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, con su propio signo, y los productos de derecha a izquierda y de arriba hacia abajo con signo cambiado, y sumando esos productos.

fedcbaihgfedcba

→ { (a)(e)(i) + (d)(h)(c) + (g)(b)(f) } – { (c)(e)(g) + (f)(h)(a) +

(i)(b)(d) }

Primer Determinante Numerador:

237111

3117D1 −

−=



233

[ ]

[ ])1)(1)(2()17)(3)(1()7)(1)(3(

)1)(1)(7()3)(3)(1()2)(1)(17(

11131172371113117

−+−+

−−−++=

−−

−−

[ ] [ ]251217934232111

3117

D1 −−−++=−−

−

=

3250232111

3117

D1 +=−−

−

=

82232111

3117D1 =−−

−= Primer determinante numerador

Segundo Determinante Numerador:

271113

3172D2 −=

[ ] [ ])3)(17)(2()2)(7)(1()1)(1)(3()1)(17)(1()3)(7)(3()2)(1)(2(

11331722711133172

+−+−−++=

−

−

[ ] [ ]10214317634271113

3172

D2 +−−−+=−=

9150271113

3172

D2 −=−=

41271113

3172D2 −=−= Segundo determinante numerador



234

Tercer Determinante Numerador:

731113

1712D3

−=

[ ] [ ])3)(1)(7()2)(3)(1()1)(1)(17()1)(1)(1()17)(3)(3()7)(1)(2(

1131712

731113

1712

−++−−++=−

−

[ ] [ ]21617115314731113

1712

D3 −+−−+=

−

=

2166731113

1712

D3 −=

−

=

164731113

1712D3 =

−= Tercer determinante numerador

Determinante Denominador:

231113

312Dd −

−=

[ ] [ ])3)(1)(2()2)(3)(1()1)(1)(3()1)(1)(1()3)(3)(3()2)(1)(2(

113312231113312

−+−+−−−++=

−−

−−

[ ] [ ]6631274231113

312

Dd −−−++=−

−

=

[ ] [ ]932231113

312

Dd −−=−

−

=



235

41231113

312Dd =−

−= Determinante denominador

Una vez calculados los determinantes se procede a calcular las incógnitas:

4182

DD

xd

1 ==


4141

DD

yd

2 −==


41164

DD

zd

3 ==



4z1y

2x

=−=

= Solución del sistema de ecuaciones

4.4 SISTEMAS DE ECUACIONES INCONSISTENTES:

En algunas ocasiones, las condiciones impuestas por una o varias de las ecuaciones de un sistema se contraponen con las condiciones fijadas por otra ecuación, lo que determina que no exista solución al sistema de ecuaciones (no existen valores de las variables que cumplan todas las condiciones a la vez). Ese tipo de sistemas de ecuaciones se identifica como Sistemas de Ecuaciones Inconsistentes. Problema Resuelto 9:


3y2x7y2x−=+

=+

2 .Ec1 .Ec

Solución:

Si se observan las 2 ecuaciones, se encuentra que en el miembro izquierdo se tiene exactamente la misma expresión en ambas ecuaciones, pero el miembro derecho es diferente. Se puede concluir que los valores de “x” y de “y” que cumplen la primera condición jamás podrán cumplir con la segunda ecuación pues 2 cosas iguales a una tercera deberían ser iguales entre sí, y se llegaría a concluir el absurdo de que “7” es igual a “-3”.



236

El sistema de ecuaciones es inconsistente y no existe solución.

Si se dibujaran las 2 líneas que representan a las ecuaciones lineales, se obtendrían 2 rectas paralelas que nunca se cruzan.

NOTA: No siempre es posible detectar directamente las inconsistencias de un sistema de ecuaciones (como en el ejemplo previo), pero durante el proceso de resolución se llega a expresiones inconsistentes que denotan que el sistema original tiene esa característica. Problema Resuelto 10:


1z4yx32z3yx2

4zy2x

=++=+−

=++

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:


4zy2x +−−= 1' .Ec


2z3yx2 =+−

2z3y)4zy2(2 =+−+−−


2z3y8z2y4 =+−+−−

6zy5 −=+− 4 .Ec


1z4yx3 =++



237

1z4y)4zy2(3 =+++−−


1z4y12z3y6 =+++−−

11zy5 −=+− 5 .Ec


11zy56zy5

−=+−−=+−

5 .Ec4 .Ec

Claramente se observa que el nuevo sistema de ecuaciones, que es equivalente al primer sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, es inconsistente pues “6” no es igual a “-11” (dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí).

El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solución. 4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES REDUNDANTES:

En algunas ocasiones, las condiciones impuestas por una o varias de las ecuaciones de un sistema se repiten con relación a las condiciones fijadas por otra ecuación, lo que determina que exista redundancia de condiciones. Ese tipo de ecuaciones se identifica como Ecuaciones Redundantes. Problema Resuelto 11:


6y2x23yx=+

=+

2 .Ec1 .Ec

Solución:

Si se observan las 2 ecuaciones, se encuentra que la segunda es exactamente el doble de la primera ecuación, y que todos los valores de “x” y de “y” que cumplen la primera condición también cumplen con las condiciones de la segunda ecuación.

En definitiva, la segunda ecuación es equivalente a la primera por lo que la primera expresión (una recta con infinitos puntos) es la solución del sistema de ecuaciones

3yx =+ Solución

NOTA: A diferencia de los sistemas de ecuaciones inconsistentes, en que no existen soluciones válidas, en los sistemas de ecuaciones redundantes pueden obtenerse infinitas soluciones que se describen mediante funciones. Problema Resuelto 12:




238

11z4yx312z3y2x

1zyx2

−=−−=++−

=−+

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

Se despeja “y” de la primera ecuación.

1zx2y ++−= 1' .Ec

Se reemplaza “y” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2.

12z3y2x =++−

12z3)1zx2(2x =+++−+−

Se simplifica la expresión previa::

12z32z2x4x =+++−−

10z5x5 =+−

2zx =+− 4 .Ec

Se reemplaza “y” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3.

11z4yx3 −=−−

11z4)1zx2(x3 −=−++−−


11z41zx2x3 −=−−−+

10z5x5 −=−

2zx −=− 5 .Ec


2zx2zx

−=−=+−

5 .Ec4 .Ec

La Ecuación 5 es igual a la Ecuación 4 multiplicada por “-1”, por lo que las condiciones de las 2 ecuaciones son redundantes, o en otras palabras ambas ecuaciones fijan una única condición.

2zx −=− Solución

Todos los puntos que pertenecen a la recta de la ecuación anterior tienen por coordenadas pares de soluciones que satisfacen al sistema de ecuaciones original.

En el numeral siguiente se estudiará una solución parametrizada más detallada, que es apropiada para el presente problema.



239

4.6 SISTEMAS CON MENOS ECUACIONES QUE INCÓGNITAS:

Cuando se dispone de menos ecuaciones que incógnitas en un sistema de ecuaciones, en caso de que el sistema no sea inconsistente, existirán infinitas soluciones. La forma general de esas infinitas soluciones se obtiene escogiendo las incógnitas en exceso como parámetros, y encontrando expresiones para las restantes incógnitas en función de esos parámetros. Problema Resuelto 13:


3z3y2x1zyx=++

=−+

2 .Ec1 .Ec

Solución:

En el presente caso se utiliza el método de sustitución.


1zyx ++−= 1 .Ec ´


3z3y2x =++

3z3y2)1zy( =++++−

Se simplifica la expresión previa::

3z3y21zy =++++−

2z4y =+

2z4y =+ 3 .Ec

En vista de que no se puede continuar con el proceso de simplificación, el sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas es reemplazado por su equivalente que es la Ecuación 3 con 2 incógnitas.

2z4y =+ 3 .Ec

Se escoge la variable “y” como parámetro:

yy = Valor parametrizado de la incógnita “y”

La interpretación de la expresión previa es que “y” puede tomar cualquier valor real.

Si se asume como conocido el valor de “y”, de la Ecuación 3 se puede despejar “z”:

2z4y =+

2yz4 +−=

42y

z+−

=



240

42

4y

z +−=

21

4y

z +−= Valor parametrizado de la incógnita “z”

Si se escoge un valor específico de “y”, el valor de “z” puede calcularse con la expresión previa.

Una vez que se conoce los valores parametrizados de “y” y de “z” (los 2 en función de “y”), se pueden reemplazar estas expresiones en la Ecuación 1, para calcular “x”.

1zyx =−+

( ) 121

4y

yx =

+−−+


121

4y

yx =−++

23

4y5

x =+

Se despeja “x”:

23

4y5

x +−= Valor parametrizado de la incógnita “x”

La solución total es:

21

4y

z

yy23

4y5

x

+−=

=

+−=

Solución parametrizada del sistema de ecuaciones

4.7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS:

Las ecuaciones lineales cuyos términos independiente son nulos se conocen como ecuaciones lineales homogéneas. Cuando todas las ecuaciones de un sistema son homogéneas se tiene un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas. Ejemplo 3:

Las siguientes ecuaciones conforman un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas.

0zy3x20z2yx

0z3y2x

=+−=+−

=++

3 .Ec2 .Ec1 .Ec



241

De la simple observación de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, surge una solución obvia, la misma que consiste en que todas las incógnitas tengan valor nulo.

0z0y0x

===


Ejemplo 4:

El siguiente sistema de ecuaciones es un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas.

0z3yx20zyx2

0zy2x3

=++=−−

=++

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Una de las soluciones al sistema de ecuaciones es:

0z0y0x

===


Sin embargo, bajo ciertas condiciones (cuando se manejan ecuaciones redundantes), es posible que el Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas tenga más de una solución.

Para identificar si la solución a un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es única, con valores nulos de todas las incógnitas, o si existen infinitas soluciones por redundancia de condiciones, se debe resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos tradicionales. Problema Resuelto 14:


0z5yx20z2yx3

0zy3x4

=++−=++−

=+−

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

Se aplica el método de suma y resta.

Se multiplica la Ecuación 2 por 3 para que el coeficiente que multiplica a la variable “y” sea igual al de la Ecuación 1 cambiado de signo.

0z6y3x9 =++− '2 .Ec



242

Se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2’.

0z6y3x90zy3x4

=++−=+−

'2 .Ec

1 .Ec

Se suman miembro a miembro las 2 ecuaciones:

0z7x5 =+− 4 .Ec

Se empareja la Ecuación 2 con la Ecuación 3.

0z5yx20z2yx3

=++−=++−

3 .Ec2 .Ec

Se resta miembro a miembro la Ecuación 2 menos la Ecuación 3

0z3x =−− 5 .Ec

Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se conforma un sistema de ecuaciones lineales equivalente al original pero que tiene únicamente 2 incógnitas.

0z3x0z7x5

=−−=+−

5 .Ec4 .Ec

Se resta la Ecuación 4 menos 5 veces la Ecuación 5, para eliminar la variable “x” en la ecuación resultado.

( ) ( ) ( ) ( )050z3x5z7x5 −=−−−+−


0z15x5z7x5 =+++−

0z22 =


Se reemplaza “z” en la Ecuación 4.

0z7x5 =+−

0)0(7x5 =+−

0x5 =−


Se reemplazan “x” y “z” en la Ecuación 1.

0zy3x4 =+−

0)0(y3)0(4 =+−

0y3 =−


La solución total del sistema de ecuaciones es única:



243

0z0y0x

===

Solución única del sistema de ecuaciones



0z3y2x0z2yx3

0zy3x4

=+−=++−

=+−

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

Se aplica el método de sustitución.

Se despeja “z” de la Ecuación 1.


y3x4z +−= 1' .Ec

El sistema de ecuaciones previo puede ser reemplazado por el siguiente, que es equivalente:

0z3y2x0z2yx3

y3x4z

=+−=++−

+−=

3 .Ec2 .Ec'1 .Ec


0z2yx3 =++−

( ) 0y3x42yx3 =+−++−


0y6x8yx3 =+−+−

0y7x11 =+− 4 .Ec

Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3.

0z3y2x =+−

( ) 0y3x43y2x =+−+−


0y9x12y2x =+−−

0y7x11 =+−

0y7x11 =+− 5 .Ec



244

Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se arma un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

0y7x110y7x11

=+−=+−

5 .Ec4 .Ec

Debido a que las 2 ecuaciones son iguales, se tiene ecuaciones redundantes, y en realidad existe una única condición que cumplir.

0y7x11 =+− 6 .Ec

Todos los puntos pertenecientes a la recta descrita mediante la Ecuación 6 satisfacen las condiciones impuestas por el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

En vista de que existe una sola ecuación con dos incógnitas, existe la falta de una condición para resolver el sistema de ecuaciones original, por lo que, para encontrar las infinitas soluciones al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, es necesario escoger una de las incógnitas de la Ecuación 6 como parámetro (como si su valor se conociera pero es genérico). Por ejemplo se toma a “x” como parámetro (“x” podrá tomar infinitos valores, pero las restantes incógnitas se ajustarán al valor escogido para “x”).

xx = Valor parametrizado de la incógnita “x”

Una vez conocido el valor de “x”, se despeja “y” de la Ecuación 6.

x11y7 =

x711

y = Valor parametrizado de la incógnita “y”

Se reemplazan “x” y “y” en la Ecuación 1.

0zy3x4 =+−

( ) 0zx7

113x4 =+

−


( ) 0zx7

33x4 =+−

0zx733

x728

=+−

0zx75

=+−

Se despeja “z”:

x75

z = Valor parametrizado de la incógnita “z”




245

x75

z

x711

y

xx

=

=

=

Solución parametrizada del sistema de ecuaciones

Si se da un valor arbitrario a “x” y se calcula en base a las expresiones de la solución un valor consistente de “y” y de “z”, se obtiene una de las infinitas soluciones al sistema de ecuaciones simultáneas.

NOTA: Cuando por efecto del proceso de resolución de los sistemas de ecuaciones se llega a una sola ecuación con 2 o más incógnitas, se escogen las incógnitas en exceso como parámetros (como valores conocidos pero genéricos), y se resuelve el sistema para las restantes incógnitas en función de los parámetros escogidos previamente. Esto es válido no solamente para ecuaciones homogéneas sino para cua lquier tipo de ecuaciones lineales. 4.8 SISTEMAS CON MÁS ECUACIONES QUE INCÓGNITAS:

La presencia de más ecuaciones que incógnitas dentro de un sistema de ecuaciones significa que existe un exceso de condiciones que cumplir. A veces esa situación se traduce en redundancia de condiciones, y a veces es el resultado de condiciones inconsistentes.

Ocasionalmente la simple observación del sistema de ecuaciones nos permite detectar el origen del exceso de condiciones, pero generalmente se requerirá realizar el proceso tradicional para resolver el sistema, y en alguna etapa de ese proceso será evidente el origen de la redundancia. Problema Resuelto 16:


6y2x20y2x

3yx

=+=−

=+

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

Por simple inspección se detecta que la Ecuación 3 es exactamente el doble de la Ecuación 1, por lo que reflejan la misma condición (si un par de valores “x” y “y” cumplen con la primera ecuación, automáticamente cumplirán también con la tercera ecuación). Rápidamente se puede eliminar la redundancia quitando cualquiera de las 2 ecuaciones (en este caso, para conservar las expresiones más sencillas se eliminará la tercera ecuación) y se obtendrá un sistema de ecuaciones equivalente al original.

0y2x3yx

=−=+

2 .Ec1 .Ec



246

Se resta miembro a miembro las dos ecuaciones (Ecuación 1 menos Ecuación 2), para eliminar la incógnita “x”:

)0()3()y2x()yx( −=−−+


3)y2y()xx( =++−

3y3 =



3yx =+

3)1(x =+



1y2x

==




3y6x32y2x

7y3x2

−=−=−

=+

3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:

Por simple inspección se detecta que el miembro izquierdo de la Ecuación 3 es exactamente el triple del miembro izquierdo de la Ecuación 2; sin embargo, el miembro derecho de la tercera ecuación no es el triple del miembro derecho de la ecuación 2, por lo que cualquier par de valores “x” y “y” que cumpla con la ecuación “2” no cumplirá con las condiciones de la ecuación “3”, estableciéndose una inconsistencia.

El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solución. Problema Resuelto 18:


1zy2x36zy3x

2z3yx24zyx

−=−−−=++−

=+−−=++

4 Ec.3 .Ec2 .Ec1 .Ec



247

Solución:


4zyx −−−= 1' .Ec


2z3yx2 =+−

2z3y)4zy(2 =+−−−−


2z3y8z2y2 =+−−−−

10zy3 =+−

10zy3 =+− 5 .Ec


6zy3x −=++−

6zy3)4zy( −=++−−−−


6zy34zy −=++++

10z2y4 −=+

5zy2 −=+

5zy2 −=+ 6 .Ec


1zy2x3 −=−−

1zy2)4zy(3 −=−−−−−


1zy212z3y3 −=−−−−−

11z4y5 =−− 7 .Ec

Con la Ecuación 4, la Ecuación 5 y la Ecuación 6 se puede armar un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas (nuevamente una ecuación más que el número de incógnitas existentes), equivalente al sistema original de 4 ecuaciones con 3 incógnitas.

11z4y55zy210zy3

=−−−=+=+−

7 .Ec6 .Ec5 .Ec


10y3z += '5 .Ec



248


5zy2 −=+

5)10y3(y2 −=++


510y3y2 −=++

15y5 −=


Para verificar si el sistema de ecuaciones es simplemente redundante con solución definida o inconsistente, se reemplaza “z” de la Ecuación 5’ en la Ecuación 7.

11z4y5 =−−

11)10y3(4y5 =+−−


1140y12y5 =−−−

51y17 =−

3y −= Valor de la incógnita “y” que verifica la redundancia

Debido a que en ambos casos se obtuvo un mismo valor para “y”, el sistema de ecuaciones tiene solución válida (en caso de que los valores obtenidos en los 2 reemplazos fueran diferentes, el sistema de ecuaciones sería considerado como inconsistente).

El valor obtenido para la incógnita “y” se debe reemplazar en cualquie ra de las ecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 5, Ecuación 6 o Ecuación 7).


10zy3 =+−

10z)3(3 =+−−


Los valores de “y” y de “z” se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3 incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3 o Ecuación 4).

Se reemplaza “y” y “z” en la Ecuación 1.

4zyx −=++

4)1()3(x −=+−+

2x −= Valor de la incógnita “x”




249

1z3y2x

=−=−=



Resolver el siguiente sistema de 4 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, muy similar al problema anterior, con un cambio en el término independiente de la Ecuación 4:

16zy2x36zy3x

2z3yx24zyx

=−−−=++−

=+−−=++

4 Ec.3 .Ec2 .Ec1 .Ec

Solución:


4zyx −−−= 1' .Ec


2z3yx2 =+−

2z3y)4zy(2 =+−−−−


2z3y8z2y2 =+−−−−

10zy3 =+−

10zy3 =+− 5 .Ec


6zy3x −=++−

6zy3)4zy( −=++−−−−


6zy34zy −=++++

10z2y4 −=+

5zy2 −=+

5zy2 −=+ 6 .Ec


16zy2x3 =−−

16zy2)4zy(3 =−−−−−



250


16zy212z3y3 =−−−−−

28z4y5 =−− 7 .Ec

Con la Ecuación 4, la Ecuación 5 y la Ecuación 6 se puede armar un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas, equivalente al sistema original de 4 ecuaciones con 3 incógnitas.

28z4y55zy210zy3

=−−−=+=+−

7 .Ec6 .Ec5 .Ec


10y3z += '5 .Ec


5zy2 −=+

5)10y3(y2 −=++


510y3y2 −=++

15y5 −=


Para verificar si el sistema de ecuaciones es simplemente redundante con solución definida o inconsistente, se reemplaza “z” de la Ecuación 5’ en la Ecuación 7.

28z4y5 =−−

28)10y3(4y5 =+−−


2840y12y5 =−−−

68y17 =−

4y −= Valor inconsistente de la incógnita “y”

Debido a que al reemplazar la Ecuación 5’ en la Ecuación 6 y en la Ecuación 7 (las 2 ecuaciones restantes pues la Ecuación 5’ presenta condiciones equivalentes a la Ecuación 5), se obtuvieron valores diferentes para “y”, el sistema de ecuaciones es inconsistente pues “-3” no es igual a “-4”.

El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solución.



251

4.9 PROBLEMAS PROPUESTOS: Problema Propuesto 1:


4zyx5z3y2x

2zyx

=+−=++

=++

Solución: x = 1, y = -1, z = 3 Problema Propuesto 2:


7z6y5x38zy3x4

2z4y14x2

=+−=+−−

−=−+

Solución: x = -2, y = 1, z = 3 Problema Propuesto 3: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2zyx6zy2x1z3yx2

−=++−=++

=+−

Solución: x = 3, y = 2, z = -1 Problema Propuesto 4:


12z7y5x35z3y2x

2zyx

=++=++

=++

Solución: el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones por presentar condiciones redundantes. Si se parametriza z, la solución genérica será z = z, y = -2z + 3, x = z – 1, que se cumple para cualquier valor de z (la solución será diferente si se parametriza otra variable). Problema Propuesto 5:


3z5y3x5z3y2x

2zyx

=++=++

=++



252

Solución: el sistema de ecuaciones es inconsistente por presentar condiciones incompatibles. Si se elimina la variable x, tal incompatibilidad se expresa como y + 2z = 3, y + 2z = 0.5 (la expresión de incompatibilidad será diferente si se escoge otra variable de eliminación). Problema Propuesto 6:


10z4y2x30zy2x

2zx2

=−−=++−

=−

Solución: x = -1, y = 1.5, z = -4 Problema Propuesto 7:


4zx3zy5yx

=+=+=+

Solución: x = 3, y = 2, z = 1 Problema Propuesto 8:


6z2yx24z3y2x

0zyx

−=−+−−=++

=++

Solución: x = 3, y = -2, z = -1 Problema Propuesto 9:


23z3y2x31z2y2x

4z3yx23zyx

=−+−=−−

=++−=+−

Solución: x = 3, y = 4, z = -2

Sistemas espe

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