SISTEMAS DE ECUACIONES

Método de igualaciónSe escoge cualquiera de las incógnitas para despejar en ambas ecuaciones obteniendo así una nueva ecuación. Se resuelve esta nueva ecuación y se sustituye el valor en las primeras ecuaciones para encontrar el segundo valor.

Ejercicio

a)

b)

c)

Método de sustitución1. Se simplifica el sistema y posteriormente se despeja cualquier incógnita en una de las

ecuaciones2. Se sustituye dicho valor en la ecuación contraria a la que se despejó3. Se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de una de las incógnitas4. Dicho valor se sustituye en alguna de las ecuaciones del primer paso del despeje para

obtener el valor de la segunda incógnita

Ejercicio

a)

b)

Método de Reducción (adición, sustracción)Para la aplicación de este método se observarán las ecuaciones buscando que los coeficientes de alguna de las incógnitas sean iguales y con diferente signo, cumpliendo estas condiciones se aplica una eliminación directa (reducción de términos semejantes). En caso contrario se aplica lo siguiente:1. Se escoge alguna incógnita por eliminar, de preferencia aquella que tenga signos

diferentes, si no es así, se podrá escoger cualquiera.2. Se toman los coeficientes de la incógnita por eliminar sin su signo, estos multiplican a

la ecuación contraria a la que pertenecen, obteniéndose así otra ecuación (3).3. Si los signos de la incógnita son iguales se cambian los signos de esta nueva

ecuación y se reducen los términos semejantes

4. Con el paso anterior se obtiene la otra ecuación la cual se puede resolver y sustituir el valor resultante en las ecuaciones originales para encontrar el valor de la segunda incógnita.

Ejemplo

Multiplicando el coeficiente de x (variable por eliminar) por la ecuación contraria

Multiplicando la primera nueva ecuación por -1 y eliminando se obtiene el valor de y

Se sustituye y en la ecuación 1 para obtener el valor de x

Comprobación

Ejercicio

a)

Multiplicando el coeficiente de "y" (se selecciona "y" porque tiene signos contrario) por la ecuación contraria y eliminando se obtiene el valor de x

Se sustituye x en la ecuación 1 para obtener el valor de y

b)

Multiplicando el coeficiente de "x" (se selecciona "x" porque tiene signos contrario) por la ecuación contraria y eliminando se obtiene el valor de y

Se sustituye y en la ecuación 1 para obtener el valor de x

Método por determinantes

Para la aplicación de este método tendrá que aprender a obtener la solución de un determinante.El determinante se obtiene multiplicando en diagonal principal y restándose el producto de la diagonal secundaria.

Ejemplos

Procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones con determinantes1. El sistema de ecuaciones debe estar simplificado y ordenado2. Se obtiene el denominador principal a través de un determinante, que se forma

colocando en una columna los coeficientes de x y en otra los coeficientes de y3. Se obtiene el numerador para x colocando en un determinante en la primera columna

los resultados del sistema y en la segunda los coeficientes de y4. Se obtiene el numerador para y a través de un determinante colocando en la primer

columna los coeficientes de "x" y en la segunda columna los resultados del sistema5. El valor de "x" y "y" se obtiene con el cociente de los determinantes que se obtuvieron

en los pasos anteriores.

Ejemplo

a)

Diagonal primariaDiagonal secundaria

Denominador principal

Numerador x

Numerador y

Obtención de "x" y "y"

Ejercicio

a)

Denominador principal

Numerador x

Numerador y

Obtención de "x" y "y"

b)

Simplificando

Denominador principal

Numerador x

Numerador y

Obtención de "x" y "y"

c)

Denominador principal

Numerador x

Numerador y

Obtención de "x" y "y"

Método Gráfico

1. El sistema tiene que estar simplificado de la forma general2. Se despeja x de ambas ecuaciones (valores algebraicos)3. Con los valores algebraicos anteriores se establece una función (F1 y F2)4. A cada función se le dan valores arbitrarios (pueden ser los mismos) 5. Se obtiene la tabla de la función de los valores de y6. Se elabora la gráfica de cada función en el mismo plano cartesiano7. La solución del sistema se encuentra en la intersección de las dos rectas

Ejemplo

Se despeja x de ambas ecuaciones

Asignación de puntos

F1(x) F2(x)y x y x-4 -4

-2 -2

0 5 0

2 2

3 3 3 34 4

Punto de intersección es (3,3).

X=3Y=3

-4 -2 0 2 4

2

3

4

5

6

7

8

9

Y

X

Ejercicio

a)

Se despeja x de ambas ecuaciones

Asignación de puntos

F1(x) F2(x)Y x y x-4 -19.54 -4 -15.25-3 -18.36 -3 -14.37-2 -17.18 -2 -13.50 -14.81 0 -11.752 -12.45 2 -10

10 -3 10 -311 -1.81 11 -2.12

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Y

X

El resultado es el punto de interseccióny=10x=-3

b)

Se despeja x de ambas ecuaciones

Asignación de puntos

F1(x) F2(x)y x y x-2 2.2 -2 10.250 1 0 6.752 -0.2 2 3.254 -1.4 4 -0.255 -2 5 -2

-2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Y

X

El resultado es el punto de intersecciónx=-2y=5