sistemas digitales novillo

Preparado por

Carlos Novillo M.

Feliz el hombre que halla la sabidura,y que obtiene inteligencia;

porque valen ms que la plata,y produce ms beneficios que el oro.

La sabidura vale ms que las piedraspreciosas;

Todas las cosas que puedas desear, no sepueden comparar a ellas!

Proverbios 3.13-15

Carlos Novillo Montero Can

PROGRAMA DE ESTUDIO DESISTEMAS DIGITALES

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURACapacitar al estudiante para que disee circuitoscombinacionales y secuenciales de pequea y medianacomplejidad, con circuitos integrados comercialesy con la ayuda de tcnicas computacionales.

SNTESIS DEL PROGRAMASistemas de numeracin y aritmtica binaria.lgebra de Boole. Diseo de circuitoscombinacionales. Simplificacin de funciones.Redes de salidas mltiples [dispositivos lgicosMSI]: sumador binario, codificadores,decodificadores, multiplexor, demultiplexor,comparador de magnitud, generador/chequeador deparidad. Multivibrador biestable: RS, D, JK yT. Retenedor de datos [Latch] y registros.Contadores/Divisores de frecuencia binarios.Registro de desplazamiento: Conversin S/P y P/S.Anlisis y diseo de circuitos secuencialessincrnicos. Memorias de semiconductor: ROM yRAM. Diseo combinacional y secuencial utilizandomemorias ROM.

PROGRAMA DETALLADO

1. LGEBRA DE BOOLE

SISTEMAS DIGITALES - PROGRAMA - 4 -


OBJETIVO.- Al terminar este captulo el estudiante sercapaz de reconocer los diferentes sistemas de numeracinrelacionados con los dispositivos digitales: Compuertaslgicas, memorias, microprocesadores y microcomputadores.Realizar operaciones aritmticas con el sistema denumeracin binario. Conocer los cdigos binariosalfanumricos. Utilizar los postulados, teoremas yconectivos del lgebra de Boole para representar ysimplificar las funciones lgicas que se utilizarn enel diseo digital.

1.1 Sistemas analgicos y digitales1.2 Sistemas de numeracin1.2.1 Aritmtica binaria1.2.2 Complemento restringido [complemento a 1]1.2.3 Complemento verdadero [complemento a 2]1.2.4 Otros cdigos binarios: BCD, EXC-3, Gray, etc.1.2.5 Cdigos alfanumricos: EBCDIC y ASCII1.3 Proposiciones y conectivos binarios1.3.1 Conectivo AND1.3.2 Conectivo OR1.3.3 Operador NOT1.3.4 Compuerta NAND1.3.5 Compuerta NOR1.4 Postulados y teoremas del lgebra de Boole1.5 Universalidad de las compuertas NAND y NOR1.6 Simplificacin de funciones utilizando lgebra

de Boole1.7 Formas estndar de las funciones Booleanas1.8 Representacin y simplificacin de funciones



Booleana usando el mapa de Karnaugh1.8.1 Funciones incompletamente especificadas

HABILIDADES DESARROLLADAS:- Diferenciar entre fenmenos fsicos analgicos y

digitales.- Conocer diferentes tipos de numeracin, especialmente

el binario, decimal y el hexadecimal.- Utilizar los postulados y teoremas del lgebra de Boole

para simplificar las funciones booleanas.- Representar las funciones booleanas en sus formas

cannicas [normalizadas] y simplificadas.

2. DISPOSITIVOS LGICOS MSI

OBJETIVO.- Al terminar este captulo el estudiante sercapaz de construir circuitos combinacionales optimizadosa partir de diseos que utilicen circuitos integradosde baja y mediada escala de integracin (SSI y MSI).

2.1 Dispositivos Lgicos MSI [Redes de salidamltiple]

2.1.1 Definiciones2.1.2 Decodificadores de BCD-a-7 segmentos2.1.3 Sumador aritmtico binario2.1.4 Codificadores y decodificadores2.1.5 Multiplexores y demultiplexores2.1.6 Comparadores de magnitud2.1.7 Generador/Chequeador de paridad2.2 Diseo usando circuitos MSI



HABILIDADES DESARROLLADAS- Simplificar funciones booleanas mediante el uso delmapa-K.- Disear circuitos combinacionales de mediana escalade integracin.- Utilizar la tecnologa de CIs MSI para implementar

circuitos combinacionales de mayor complejidad.

3. MULTIVIBRADORES BIESTABLES

OBJETIVO.- Al terminar este captulo el estudiante sercapaz de relacionar los diferentes multivibradoresbiestables como las clulas bsicas para el diseo decircuitos binarios secuenciales.

3.1 Dispositivos Multivibradores.3.1.1 Biestables RS asincrnico y sincrnico3.1.2 Biestable tipo D3.1.3 Biestable RS, JK, D y T Maestro-Esclavo [Master-

Slave]3.1.4 Entradas asincrnicas: Preset y Clear3.1.5 Biestable Disparado por transicin [Edge-

Triggered]3.2 Aplicaciones de Flip-Flops3.2.1 Contadores/divisores de frecuencia asincrnicos3.2.2 Contadores Ripple-Clock

HABILIDADES DESARROLLADAS- Analizar el funcionamiento de los diferentes tipos

de multivibradores biestables.- Ilustrar la conversin entre los diferentes tipos de



biestables.

4. ANLISIS Y DISEO SECUENCIAL SINCRNICO

OBJETIVO.- Al terminar este captulo el estudiante sercapaz de construir circuitos digitales secuenciales apartir de diseos que utilicen circuitos integrados demediana complejidad.

4.1 Anlisis y diseo de circuitos secuencialessincrnicos

4.1.1 Anlisis de circuitos secuenciales4.2 Diseo de circuitos secuenciales4.3.1 Contadores sincrnicos4.3.2 Contadores Up/Down4.3.3 Contadores programables4.4 Registros de desplazamiento4.4.1 Conversin Serie-Paralelo y Paralelo-Serie4.4.2 Contadores de anillo y Johnson4.5 Detectores de secuencia

HABILIDADES DESARROLLADASS Disear circuitos secuenciales asincrnicos.S Disear circuitos secuenciales sincrnicos.S Disear contadores binarios sincrnicos programables.- Disear contadores binarios sincrnicos con CIs MSI.

5. MEMORIAS

OBJETIVO.- Al terminar esta unidad el estudiante sercapaz de identificar los diferente tipos de memorias



y su arquitctura para utilizarlas con otros circuitosdigitales. Reconocer los diagramas de tiempo en losdiferentes tipos de memorias. Modificar el formato delas memorias. Realizar diseos de circuitoscombinacionales y secuenciales utilizando memorias ROM.

5.1 Conexin memoria-microprocesador5.1.1 Terminologa usada5.2 Clasificacin de las memorias: ROM, PROM, EPROM,

EEPROM, RAM estticas y dinmicas5.3 Memorias solo para lectura [ROM]5.3.1 Memoria ROM como encoder5.3.2 Memoria PROM5.3.3 Memorias EPROM, EEPROM y Flash5.3.4 Temporizacin de la EPROM5.4 Memoria de lectura/escritura [RAM]5.4.1 Arquitectura de la RAM5.4.2 Temporizacin de la RAM5.5 Arreglos de memorias5.6 Diseo de circuitos digitales utilizando memorias

ROM5.6.1 Diseo combinacional5.6.2 Diseo secuencial

HABILIDADES DESARROLLADAS- Relacionar los diferentes tipos de memorias con un

microprocesador y con el microcomputador.- Conocer las diferencias y semejanzas con otros tipos

de memorias.- Conocer la arquitectura [partes constitutivas] y la



temporizacin [formas de onda] de una ROM.- Modificar el formato de las memorias RAM y ROM, para

aumentar la capacidad de almacenamiento de informacin.- Utilizar memorias para el diseo de circuitos

combinacionales y secuenciales.

ANEXOS

1- Mtodo tabular Quine-McCluskey2- Otras funciones booleanas3- Dispositivos Lgicos Programables [PLDs]4- Multivibradores [Temporizadores]5- Punta de prueba digital6- Resumen de Circuitos Integrados7- Diagrama de un reloj digital8- Matriz de 8x8 LEDs

BIBLIOGRAFA: [Autor. Ttulo. Editorial. Ciudad ao]

' Libros de texto:# Ronald J. Tocci/Neal S. Widmer. Sistemas Digitales,

principios y aplicaciones, [Octava Edicin]. PrenticeHall Hispanoamericana. Mxico 2003.

# M. Morris Mano. Diseo Digital. Prentice HallHipanoamericana. Mxico 1987.

' Libros recomendados para consulta:# F. Hill y G. Peterson. Switching Theory and Logical

Design. John Wiley & Sons. New York 1981.# John F. Wakerly. Diseo Digital, principios y

prcticas. Prentice Hall Hipanoamericana. Mxico 2001.



# M. Morris Mano. Arquitectura de Computadoras. PrenticeHall Hipanoamericana. Mxico 1993.

# Texas Instruments. Diseo con Circuitos IntegradosTTL. McGraw-Hill 1975.

# Manuales de los fabricantes de CIs TTL: TexasInstruments, National Semiconductors, Motorola, ECG,NTE, Intel, Optoelectrnica, etc.

# Revistas tcnicas y cualquier otro tipo de materialrelacionado con esta asignatura.

# Sitios de Internet.


Micrfono

Seal Analgica

Lgica.- Disciplina filosfi-ca cuyo objeto es el estu-dio de la estructura,fundamento y usos de lasexpresiones del conoci-miento humano. Disposi-cin natural para racioci-nar con acierto.

Sistemas Digitales

CAPTULO 1INTRODUCCIN

SISTEMAS ANALGICOS Y SISTEMAS DIGITALES

Representacin Analgica.- Cantidad que se representapor medio de otra que es proporcional a la primera.La deflexin de la aguja de un velocmetro es pro-porcional a la velocidad de desplazamiento del mvil.La posicin angular de la aguja representa el valorde la velocidad y sigue cualquier cambio que ocurracuando el mvil acelera o frena.

FIGURA 1.1

Velocmetro

CAPTULO 1 - SISTEMAS DE NUMERACIN - 2 -


Seal DigitalReloj Digital

Caracterstica de las cantidades analgicas.- Puedenvariar gradualmente sobre un intervalo continuo devalores.

Representacin Digital.- No se utilizan valoresproporcionales sino smbolos denominados dgitos.

FIGURA 1.2

Por ejemplo, en un reloj digital el tiempo se mideen horas, minutos y segundos. El tiempo varacontinuamente, pero la lectura digital no lo hacede la misma manera, sino que muestra el tiempo cadasegundo. Una seal digital tiene un nmero finitode valores discretos [fig.1.2], a diferencia de unaseal analgica que puede tener un nmero infinitode valores en un rango finito de tiempo [fig. 1.1].

Sin embargo, para fines prcticos, una sealdigital se limita a solamente dos niveles: alto obajo, como se indica en la fig. 1.3, en la que puedeverse que el nivel bajo corresponde a un rango devalores que va desde 0V hasta 0,8V para voltajes deentrada y desde 0V hasta 0,4V para voltajes de salida.



FIGURA 1.3

El nivel alto corresponde a un rango de voltajesque va desde 2V hasta 5V para la entrada y desde 2,4Vhasta 5V para la salida. Estos valores de voltajepara entrada y salida, que proporcionan losfabricantes, corresponden a la tecnologa de circuitosintegrados conocida como TTL [Lgica de Transistorcon Transistor] que se utilizar en las Prcticas.

IHV VOLTAJE DE ENTRADA ALTO 2V - 5V

ILV VOLTAJE DE ENTRADA BAJO 0V - 0,8V

O HV VOLTAJE DE SALIDA ALTO 2,4V - 5V

O LV VOLTAJE DE SALIDA BAJO 0V - 0,4V

IHI CORRIENTE DE ENTRADA ALTO 20A - 50 A

ILI CORRIENTE DE ENTRADA BAJO -1,6mA

O HI CORRIENTE DE SALIDA ALTO -400A

O LI CORRIENTE DE SALIDA BAJO 16mA

Los valores que se indican en la tabla anteriorcorresponden a la tecnologa TTL estndar y varan



de acuerdo con las sub-tecnologas de fabricacin.

Caracterstica de las cantidades digitales.- Varan en etapasdiscretas.

ANALGICO: Variacin Continua

DIGITAL: Variacin Discreta

La lectura de fenmenos fsicos analgicos se prestaa interpretaciones.

La lectura digital no presenta ambigedades.

Sistema Analgico.- Dispositivo que maneja informacinfsica representada en forma analgica. Las cantidadesvaran en un intervalo continuo de valores.

SISTEMA DIGITAL.- Maneja informacin discreta, puedeser electrnico, mecnico, magntico o neumtico.

Ventajas de las Tcnicas Digitales

# MAYOR FACILIDAD PARA DISEAR CON CIs

# MAYOR FLEXIBILIDAD PARA IMPLEMENTAR LOS DISEOS

# FACILIDAD PARA ALMACENAR INFORMACIN

# MAYOR EXACTITUD Y PRECISIN

# PROGRAMACIN DE LA OPERACIN

# MAYOR INMUNIDAD AL RUIDO

# MAYOR GRADO DE INTEGRACIN



LIMITACIN DE LAS TCNICAS DIGITALES

EL MUNDO REAL ES FUNDAMENTALMENTE ANALGICO

Aplicaciones de los Circuitos Digitales

# COMPUTADORAS, CALCULADORAS

# MEDICIN DEL TIEMPO: RELOJES Y CRONMETROS

# TELEFONA DIGITAL

# RADIO Y TELEVISIN DIGITAL [ALTA FIDELIDAD]

# GRABACIN DE AUDIO Y VIDEO

# FOTOGRAFA MODERNA Y PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMGENES

# EQUIPO MDICO

# MEDICINA COMPUTARIZADA A DISTANCIA

# REA INDUSTRIAL

# EXPLOTACIN PETROLERA

# SIMULACIN

# GENERADORES DE SEAL

# CONTROL ELECTRNICO EN AUTOMVILES

# CONTROL INTELIGENTE DE TRFICO

# EQUIPO DE MEDICIN: OSCILOSCOPIOS, ANALIZADORES Y MULTMETROS

DIGITALES

# ELECTRODOMSTICOS: LAVADORAS, HORNOS DE MICROONDAS, ETC.

# VIDEO JUEGOS

FIGURA 1.4



SISTEMAS DE NUMERACIN

Sistema de Numeracin.- Se define como un conjuntode cifras y siglas reunidas segn algunas leyesmatemticas para representar valores numricos. Porejemplo, al nmero 352.91 se lo puede representarde la siguiente forma.

MSD , + LSD 352.91 = 300 + 50 + 2 + 0.9 + 0.01,

. PUNTO DECIMAL

[MSD = Most Significant Digit Dgito ms significante]

[LSD = Least Significant Digit Dgito menossignificante]

Otra forma de escribir el nmero 352.91 es

352,91 = 3x100 + 5x10 + 2x1 + 9x0,1 + 1x0,01,

o tambin,



Del ejemplo se deduce que un sistema de numeracinest caracterizado por los parmetros: Base, Dgitosy Ponderacin.

1. La Base del Sistema de Numeracin: B, puede sercualquier entero positivo diferente de 0 y 1.Entonces B puede tomar los valores 2, 3, 4, 5,6, ..., etc.

BASE

SISTEMA DE

NUMERACIN

2 BINARIO BIN

8 OCTAL OCT

10 DECIMAL DEC

16 HEXADECIMAL HEX

2. Los Dgitos del Sistema de Numeracin, son los smbolosque usan los sistemas de numeracin pararepresentar cantidades o valores numricos. Unsistema de numeracin de base B tiene B dgitos[smbolos o guarismos] diferentes, estos son:0, 1, 2, ..., etc., hasta [B - 1]. Enconsecuencia, los sistemas de numeracin antesindicados usan los siguientes smbolos o dgitos.

BASESISTEMA DE

NUMERACINDGITOS DEL SISTEMA DE NUMERACIN

2 BINARIO 0 y 1

8 OCTAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7

10 DECIMAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

16 HEXADECIMAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F



Con la ayuda de estos smbolos como dgitos, sepuede expresar cualquier cantidad.

3. Ponderacin, la base elevada a un exponente sedenomina ponderacin o peso. Un valor numricopuede expresarse como un sumatorio de productosentre los dgitos del sistema y una serie ordenadade ponderaciones, correspondientes a las potenciaspositivas o negativas de la base como se indicaa continuacin.

Este es un Sistema de Numeracin Posicional enel que la ponderacin del dgito depende de suposicin dentro del nmero. De manera que, el dgitode la derecha tiene la menor ponderacin [menossignificante] y el de la izquierda, la mayorponderacin [ms significante].

BDesarrollo Polinomial.- A un nmero cualquiera N selo puede expresar de la siguiente manera.

Que en forma simplificada puede escribirse as



donde

B =

=

i =

m + 1 =

p =

Base del sistema de numeracincorrespondiente.Cualquiera de los dgitos del sistemade numeracin.Lugar que ocupa el dgito en la serieordenada que representa una cantidad oun valor numrico.Nmero de dgitos correspondiente a laspotencias positivas (parte entera).Nmero de dgitos correspondiente a laspotencias negativas (partefraccionaria).

Los dgitos correspondientes a las potenciaspositivas y los correspondientes a las potenciasnegativas estn separados por una coma o un punto,dividiendo as en dos partes a los dgitosrepresentativos.

Los dgitos a la izquierda del punto corresponden a la

parte entera [ponderaciones $ 1].

Los dgitos a la derecha del punto corresponden a la

parte fraccionaria [ponderaciones < 1].



Entonces, el nmero, en la base de numeracinB, quedara como:

B m m-1 0 -1 -2 -p+1 -pN = ... , ... Parte Entera,Parte Fraccionaria

Conversin de la Base Decimal a una Base Cualquiera

B.- El procedimiento para convertir un nmero decimal10 B[X ] a su equivalente en base B [X ], consiste en

10dividir el nmero en dos partes: entera [E ] y10fraccionaria [F ].

10 10 10A X = E ,F

Donde

10 101. E es la parte entera de X , tal que

10 102. F es la parte fraccionaria de X , tal que

Para determinar los coeficientes , que vendrana ser los dgitos en el nuevo sistema de numeracin,



se procede en dos partes.

101 Parte entera E o

Si a este polinomio se lo divide por B, se tiene

C C C



El nmero en base B quedara como sigue

m 0Donde , ..., , representan los dgitos de la parteentera en el nuevo sistema de numeracin.

102 Parte fraccionaria F o

Si a este polinomio se multiplica por B, se tiene:



1 2 3Donde E , E , E , etc. representan las partes1 2 3enteras de los resultados y F , F , F , etc., las

nuevas partes fraccionarias. Este proceso continaphasta que F = 0, siempre que esto sea posible o hasta

obtener un error # . Donde es el mximo errorpermisible. La parte fraccionaria del nmero quedarade la siguiente manera.

-1 -pEn este caso, , ..., , representan los dgitosde la parte fraccionaria en el nuevo sistema denumeracin.

10Ejemplo.- Transformar el nmero 5142.36 a base:hexadecimal, octal y binaria.

1 Parte entera [hexadecimal].o.

0 0 Residuo R = 6 = [LSD]



1 1 Residuo R = 1 =

2 2 Residuo R = 4 =

3 3 Residuo R = 1 = [MSD]

10 16A E = 1416

1 Parte entera [octal].ro.

0 0 Residuo R = 6 = [LSD]

1 1 Residuo R = 2 =

2 2 Residuo R = 0 =

3 3 Residuo R = 2 =

4 4 Residuo R = 1 = [MSD]

10 8A E = 12026



1 Parte entera [binario].o.

5142 0 0 [LSB]

12571 1 1285 1 2

3642 0 321 1 4

5160 0 80 0 6

740 0 20 0 8

910 0 5 1 10

112 0 1 1 12 [MSB]

0

Cociente Resid. Dgito

10 16A E = 1 0100 0001 0110

2 Parte fraccionaria [hexadecimal]o.

1 -1 10,36 X 16 = 5.76 E = 5 = F = 0,76 1 = 0,76 x 16-1

2 -2 20,76 X 16 = 12.16 E = 12 = F = 0,16 2 = 0,16 x 16-2

3 -3 30,16 X 16 = 2.56 E = 2 = F = 0,56 3 = 0,56 x 16-3

10 16A F = 0.5C2



2 Parte fraccionaria [octal]o.

1 -1 10.36 X 8 = 2.88 E = 2 = F = 0.88 1 = 0.88 x 8-1

2 -2 20.88 X 8 = 7.04 E = 7 = F = 0.04 2 = 0.04 x 8-2

3 -3 30.04 X 8 = 0.32 E = 0 = F = 0.32 3 = 0.32 x 8-3

4 -4 40.32 X 8 = 2.56 E = 2 = F = 0.56 4 = 0.56 x 8-4

10 8A F = 0.2702

2 Parte fraccionaria [binario]o.

1 -1 1 0,36 X 2 = 0,72 E = 0 = F = 0,72 1 = 0,72 x 2 -1

2 -2 2 0,72 X 2 = 1,44 E = 1 = F = 0,44 2 = 0,44 x 2 -2

3 -3 3 0,44 X 2 = 0,88 E = 0 = F = 0,88 3 = 0,88 x 2 -3

4 -4 4 0,88 X 2 = 1,76 E = 1 = F = 0,76 4 = 0,76 x 2 -4

5 -5 5 0,76 X 2 = 1,52 E = 1 = F = 0,52 5 = 0,52 x 2 -5

6 -6 6 0,52 X 2 = 1,04 E = 1 = F = 0,04 6 = 0,04 x 2 -6

7 -7 7 0,04 X 2 = 0,08 E = 0 = F = 0,08 7 = 0,08 x 2 -7

8 -8 8 0,08 X 2 = 0,16 E = 0 = F = 0,16 8 = 0,16 x 2 -8

9 -9 9 0,16 X 2 = 0,32 E = 0 = F = 0,32 9 = 0,32 x 2 -9

10 -10 100,32 X 2 = 0,64 E = 0 = F = 0,64 10 = 0,64 x 2-10

11 -11 110,64 X 2 = 1,28 E = 1 = F = 0,28 11 = 0,28 x 2-11

12 -12 120,28 X 2 = 0,56 E = 0 = F = 0,56 12 = 0,56 x 2-12

10 2A F = 0,010111000010

De manera que 10 16 5142,36 , / 1 416,5C2



10 85142,36 , / 12 026,217 2710 2 5142,36 , / 1 0100 0001 0110,0101 1100 0010

El error es = 0,56 x 8 = 0,56 x 16 = 0,56 x 2-3-4 -12= 136,72 x 10 .-6

Conversin desde Cualquier Base B a Decimal.- Paraconvertir un nmero expresado en base B a decimal,se usa directamente la ecuacin del desarrollopolinomial.

HEjemplo 1.- Convertir el nmero EC9,0B5 a su10equivalente decimal (N ).

10N / E X 16 + C X 16 + 9 + 0 X 16 + B X 16 + 5 X 162 -1 -2 -310N = 14X246 + 12X16 + 9 + 0 + 11X0,00390625 +

+ 13X0,00024414110N = 3584 + 192 + 9 + 0,04296875 + 0,0012207031

2Ejemplo 2.- Convertir el nmero 11 0101,101 a su10equivalente en base decimal (N )

10N = 1X2 + 1X2 + 0 + 1X2 + 0 + 1 + 1X2 + 0 + 1X25 4 2 -1 -310N = 32 + 16 + 4 + 1 + 0,5 + 0,125



Otra forma, sera sumando las ponderaciones delos 1s que aparecen en el nmero binario, como seindica a continuacin.

La siguiente tabla muestra algunas potencias de2 til para facilitar la conversin de binario naturala decimal o viceversa.

n 2 2n -n

0 1 1

1 2 0,5

2 4 0,25

3 8 0,125

4 16 0,0625

5 32 0,03125

6 64 0,015625

7 128 0,0078125

8 256 0,00390625

9 512 0,00195313

10 1024 0,0009766



Direccin IP [IP Address].- Una direccin IP [InternetProtocol] es nica y sirve para direccionar a uncomputador especfico conectado a Internet o a unared local. La direccin tiene el formato a.b.c.d dondea, b, c y d son nmeros entre 0 y 255 inclusive yse pueden expresar en decimal o en binario, estnsujetos a una serie de reglas y convenciones. Todaslas comunicaciones entre los computadores que seencuentran conectados a Internet se basan endirecciones IP.

Ejemplo.- La direccin IP: 192.137.205.10, expresadaen decimal, representarla en binario.

10 2Entonces: 192 = 1100 000010 2137 = 1000 100110 2205 = 1100 110110 2 10 = 0000 1010

Por tanto, la direccin IP correspondiente es11000000.10001001.11001101.00001010 en binario.

Una tabla que resulta til para trabajar condirecciones IP, se indica a continuacin.

2 2 2 2 2 2 2 2 DEC7 6 5 4 3 2 1 0

1 0 0 0 0 0 0 0 128

1 1 0 0 0 0 0 0 192

1 1 1 0 0 0 0 0 224



1 1 1 1 0 0 0 0 240

1 1 1 1 1 0 0 0 248

1 1 1 1 1 1 0 0 252

1 1 1 1 1 1 1 0 254

1 1 1 1 1 1 1 1 255

0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 1 0 2

0 0 0 0 0 1 0 0 4

0 0 0 0 1 0 0 0 8

0 0 0 1 0 0 0 0 16

0 0 1 0 0 0 0 0 32

0 1 0 0 0 0 0 0 64

1 0 0 0 0 0 0 0 128

Direccin MAC.- Es una direccin nica que se adjudicaa toda estacin final [computador conectado aInternet] dentro de la infraestructura (entre ellosse encuentran los adaptadores de LAN en la placa base,a puertos de conmutadores y puertos de enrutadoreso routers). Tambin se la conoce como direccin fsicao Ethernet de un host.

Aritmtica Binaria.- Todas las operaciones aritmticasconocidas en el sistema de numeracin decimal, puedentambin realizarse en cualquier otro sistema denumeracin, para ello se aplican las mismas reglasde la aritmtica comn. Aqu se estudiaran las cuatrooperaciones bsicas: suma, resta, multiplicacin ydivisin, aplicadas al sistema de numeracin binario.



TABLA DELA SUMA

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10

TABLA DELA RESTA0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 0

Suma Binaria

Ejemplo.- Dados los valores binariosde A y B obtener S = A +B.DondeA = 101 1001,1110B = 100 0111,0011

1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 Carry [Exceso]

101 0 1 1 0 0 1 , 1 1 1 0 [= 89,875 ]

10 1 0 0 0 0 1 1 , 0 0 1 1 [= 67,1875 ]

101 0 0 1 1 1 0 1 , 0 0 0 1 [= 157,0625 ]

Entonces,2 10S = 1001 1101.0001 [/ 157.0625 ]

Resta Binaria

Ejemplo.- Dados los valores binariosde A y B obtener R = A -B.Donde:A = 110 1101,1001B = 101 1110,0101



TABLA DE LAMULTIPLICACIN

0 x 0 = 00 x 1 = 01 x 0 = 01 x 1 = 1

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 Borrow [Pedir prestado]

101 1 0 1 1 0 1 , 1 0 0 1 [= 109,5625 ]

10- 1 0 0 0 0 1 1 , 0 1 0 1 - [= 67,3125 ]

100 1 0 1 0 1 0 , 0 1 0 0 [= 42,2500 ]

Entonces2 10R = 10 1010,01 [42,25 ]

Multiplicacin Binaria

Ejemplo.- Dados los valoresbinarios de A y Bobtener P = A x B.Donde:

10A = 1101,101 [13,625 ]10B = 1010,011 [10,375 ]

101 1 0 1 , 1 0 1 [= 13,625 ]

10x 1 0 1 0 , 0 1 1 [= 10,375 ]

1 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 1 0

101 0 0 0 1 1 0 1 , 0 1 0 1 1 1 [= 141,359375 ]



TABLA DELA DIVISIN0 1 = 01 1 = 1

Entonces

2 10P = 1000 1101,0101 11 [/ 141,359372 ]

Divisin Binaria

Ejemplo.- Dados los valores binariosde A y B obtener Q = A B y el Residuo.

10A = 110 0101,101 [101,625 ]10B = 1101,01 [13,25 ]

) ) ) ) )

1 1 0 0 1 0 1 1 0 , 1 110101

1 1 0 1 0 1 111,101

1 1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 0 1

1 0 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1

1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 1

Entonces


1.- El trmino bit significa dgito binario, del ingls binary digit.


2 10 Q = 111,101 [/ 7,625 ]2 10RESIDUO = 0,10011 [/ 0,59375 ]

Finalmente, conviene indicar que cualquier operacinmatemtica, simple o compleja, puede resolverse enforma de sumas.

Representacin de Nmeros Bipolares UtilizandoComplementos.- La representacin por medio decomplementos sirve para trabajar con nmeros positivosy negativos, es decir con cantidades bipolares. Paraindicar el signo se emplea un dgito adicional. Enel caso del sistema de numeracin binaria, que esel que se utiliza en las computadoras, generalmenteel 0 indica el signo positivo y el 1 el signo negativo[convenio que se usar]. El dgito para el signo ocupala posicin ms significante.Para trabajar con complementos es necesario

establecer un determinado nmero de dgitos, tantopara la parte entera como para la fraccionaria y,como se mencion, un bit ms para el signo.1La representacin de cantidades por medio de

complementos facilita la realizacin de lasoperaciones aritmticas bsicas, puesto que se usanlos mismos circuitos sumadores binarios; esto se debeal hecho de que a la resta se la puede implementar


2.- En el sistema binario, al Complemento Restringido [a B-1] se lodenomina Complemento a 1 y en decimal, Complemento a 9.


mediante una suma entre el minuendo y el complementodel substraendo.En las computadoras, los dispositivos digitales

[sumadores, comparadores, registros, etc.] trabajancon un determinado nmero bien definido de dgitosbinarios, por tanto conviene acostumbrarse arepresentar las cantidades binarias con un mismonmero de cifras. Por ejemplo, para un microprocesador

10[CPU] de 8-bits, el 0 se escribe como

10 20 / 0000 0000 ,

10el 1 , como

10 21 / 0000 0001 ,

10el 127 , como

10 2127 / 0111 1111 .

En los sistemas de numeracin existen dos tipos decomplemento, que se los utiliza con mucha frecuencia:Complemento Restringido y Complemento Verdadero.

Complemento Restringido (a B-1).- El ComplementoRestringido de un nmero se encuentra indicando2



primero, con cuantos dgitos efectivos se va atrabajar, luego se agrega el dgito del signo.Generalmente se usa el 0 para indicar una cantidadpositiva y (B - 1) para indicar una cantidad negativa.Una vez realizado este proceso, al nmero as obtenidose lo resta de [B - 1]s, tantos como dgitos tengala nueva representacin del nmero. En el caso delsistema de numeracin binario [base 2], se resta de1s [2 - 1]s, como puede verse a continuacin.

Ejemplo: Encontrar el complemento restringido2[complemento a 1] del nmero 11 1001.0110 1 .

Considere que se va a trabajar con 11 dgitos parala parte entera 8 dgitos para la parte fraccionariay el dgito adicional para el signo.

Signo

, + 11 1001,0110 1 = 0000 0011 1001,0110 1000 ___ valor numrico ___

Observe que la parte entera del nmero originalsolamente tiene 6-bits, por lo que es necesariocompletar con 5 ceros a la izquierda; de la mismamanera, la parte fraccionaria se completa con los0s necesarios hacia la derecha, a esto hay que agregarel bit del signo, que es el 0 que est al extremoizquierdo. Por claridad se han realizado agrupacionesde 4-bits.



A continuacin, se procede a restar el nmero asobtenido de un valor formado por tantos 1s como bitstenga el nuevo nmero.

Signo;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1- 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 , 0 1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 , 1 0 0 1 0 1 1 1 ____Dgitos correspondientes al valor numrico_____

En este caso, el bit del extremo izquierdo de larespuesta, indica que el resultado es un nmero consigno negativo, es decir S

10+ 11 1001,0110 1 = 0000 0011 1001,0110 1000 [/ +57,40625 ] S

10- 11 1001,0110 1 = 1111 1100 0110,1001 0111 [/ -57,40625 ]

es la representacin de los nmeros positivo ynegativo en complemento a 1 respectivamente.

Una forma fcil [algoritmo] para obtener elcomplemento a 1 de un nmero binario es: primerocompletar el nmero de bits requerido, y luego cambiarlos 0s por 1s y los 1s por 0s. Por ejemplo, paraobtener el complemento a 1 de: A = 1010 1101,1001,con el nmero de bits del ejemplo anterior, se tendr



S+ A = 0000 1010 1101,1001 0000,

entonces su complemento a 1 ser S

- A = 1111 0101 0010,0110 1111.

Una aplicacin prctica de la representacin decantidades usando complementos, es en operacionesde sustraccin puesto que se la puede convertir asuma, si previamente se obtiene el complemento delsustraendo. Para realizar la operacin

R = A - B,

se obtiene el complemento de B, que se representarcomo B , entonces*

R = A - B = A + (-B) = A + B*

puesto que B = -B, representa el complemento de B.*

Sustraccin con Complemento a 1.- Los siguientesejemplos ilustrarn la metodologa que se debe seguircuando se trabaja con complemento a 1.

Ejemplo 1.- Mediante el uso del complemento a 1,realice la operacin A - B, con los siguientes datos.



A = 111 0110,101B = 100 1100,10

111 0110,101 - 100 1100,1010[118,625 - 76,5] .

Como se indic, es necesario que el minuendo yel substraendo tengan el mismo nmero de dgitos,tanto para la parte entera como para la fraccionariay que se aada un bit para el signo. En este ejemplose utilizarn 11-bits para la parte entera, ocho parala fraccionaria y 1 para el signo, de manera que lascantidades originales tendran la siguienterepresentacin. S + A = 111 0110,101 = 0000 0111 0110,1010 0000 + B = 100 1100,10 = 0000 0100 1100,1000 0000

ahora, se debe sacar el complemento a 1 delsubstraendo, como se indic anteriormente. S B* = - B = 1111 1011 0011,0111 1111

Luego se procede a realizar la suma entre elminuendo y el complemento a 1 del substraendo.

Signo;

0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 , 1 0 1 0 0 0 0 0- 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 , 0 1 1 1 1 1 1 1

Exceso 1[Carry]

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 , 0 0 0 1 1 1 1 1 _Dgitos correspondientes al valor numrico_

42,121093751



Se observa la generacin de un exceso [carry],tambin se ve que la respuesta no es exacta. Paragenerar la respuesta correcta, es necesario sumarel exceso, que se form, al bit menos significantedel resultado previo, como se indica a continuacin.

S0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 , 0 0 0 1 1 1 1 1

10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 , 0 0 1 0 0 0 0 0

10 [42,125 ]

Este nuevo valor s corresponde al resultado exactode la resta pedida. Este procedimiento, de sumar elexceso al dgito menos significante, debe seguirsecada vez que se genere un carry al realizaroperaciones con complemento restringido.

Al analizar la respuesta de este ejemplo, se veque el bit del signo es 0, lo que implica un valorpositivo como era de esperarse al restar un nmeromenor de uno mayor.

En el siguiente ejemplo, se estudia el caso derestar una cantidad mayor de otra menor.

Ejemplo 2.- Realice la siguiente operacin:

1010 1101,0011 - 1 1101 0001,101,10[173,1875 - 465,625]



utilice complementos a 1, 11-bits para la parteentera, 8-bits para la parte fraccionaria y el bitdel signo.

S +A = + 1010 1101,0011 = 0000 1010 1101,0011 0000 +B = + 1 1101 0001,101 = 0001 1101 0001,1010 0000

B* = - 1 1101 0001,101 = 1110 0010 1110,0101 1111

Como siempre, la respuesta se obtiene sumando elminuendo con el complemento a 1 del substraendo.

S0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 , 0 0 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 , 0 1 0 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 , 1 0 0 0 0 1 1

Como puede verse, no se ha generado un carry. Elbit del signo es 1, lo que implica un resultadonegativo. Cuando se resta un nmero mayor de unomenor, usando complementos, se genera un carry = 0.Como el resultado es negativo, para obtener lamagnitud de la respuesta, es necesario sacarnuevamente el complemento de la respuesta, entonces

S1110 1101 1011,1000 1111 / -001 0010 0100,0111 0000


3.- En el sistema binario, al Complemento Verdadero [a B] se lo denominaComplemento a 2 y en decimal, Complemento a 10.


El equivalente decimal de la respuesta sera

-292,43751

En este caso, ya no es necesario hacer el ajustepara obtener la respuesta exacta.

Complemento Verdadero (a B).- Para obtener elComplemento Verdadero de un nmero se procede de3un modo similar que para obtener el complementorestringido. Es decir, se trabaja con un nmerodefinido de dgitos para la parte entera y para lafraccionaria a ms del dgito del signo que siguesiendo [B - 1] y que se escribe en el extremoizquierdo del nmero [dgito ms significante]. Enel caso de Complemento Verdadero, la resta se realizade un 1 seguido de tantos 0s como dgitos tenga elnuevo nmero; el 1 se lo escribe antes de la columnadel signo.

Ejemplo.- Obtener el complemento verdadero2[complemento a 2] del nmero binario A = 11 0101.01 .

Trabaje con 7-bits para la parte entera, 4-bits parala parte fraccionaria y 1-bit para el signo.



S , +A = + 11 0101,01 = 0011 0101,0100

Observe que la parte entera del nmero originalsolamente tiene 6-bits, por lo que es necesariocompletar con 0s a la izquierda; de la misma manera,la parte fraccionaria se completa con los 0snecesarios hacia la derecha, a esto hay que agregarel bit del signo, que es el 0 que est al extremoizquierdo. Despus se procede a restar el nmero asobtenido de un valor formado por tantos 0s como bitstenga el nuevo nmero a los que se agrega un 1 alextremo izquierdo, como se muestra en seguida.

S1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0

- 0 0 1 1 0 1 0 1 , 0 1 0 01 1 0 0 1 0 1 0 , 1 1 0 0 _____ valor numrico ______

En este caso el bit del extremo izquierdo, indicaque el resultado es un nmero con signo negativo,es decir S

10 + 11 0101,01 = 0011 0101,0100 [= + 53,25 ]10 - 11 0101,01 = 1100 1010,1100 [= - 53,25 ]

es la representacin de los nmeros positivo y



negativo en complemento a 2 respectivamente.Otra forma de conseguir el complemento a 2 de un

nmero binario es obtener, en primer lugar, elcomplemento a 1 del nmero y luego sumar 1 al bitmenos significante [al bit del extremo derecho].Tambin puede sacarse el complemento a 2 de un nmerobinario, empezando por el extremo derecho [menossignificante]: se copian todos los 0s hasta encontrarel primer 1 que tambin se lo copia, a partir de esepunto todos los dems dgitos se complementan unoa uno [es decir, se cambian los 0s por 1s y los 1spor 0s].

Aritmtica con Complemento Verdadero.- Al igual queen el caso del complemento a 1, el complemento a 2puede emplearse para convertir una operacin desustraccin en una de suma, si previamente se obtieneel complemento a 2 del substraendo. De manera que,para realizar la operacin

R = A - B,

se obtiene el complemento a 2 de B, que tambin serepresentar como B , entonces*

A - B = R = A + B*

puesto que B = -B, representa el complemento a 2*de B.



Ejemplo 1.- Realice la operacin A - B, usandocomplemento a 2. Emplee 10-bits para la parte entera,4-bits para la parte fraccionaria y uno para el signo.Los valores de A y B se indican en el ejemplo.

10A = 1110 0001,1011 [= 225,6875 ]10B = 1101 0000,1101 [= 208,8125 ]

10A + A = 000 1110 0001,1011 [= + 225,6875 ]10 + B = 000 1101 0000,1101 [= + 208,8125 ]

10A B = 111 0010 1111,0011 [= - 208,8125 ]*

La sustraccin, usando complemento a 2 se realizasumando el minuendo con el complemento a 2 delsubstraendo, como se observa a continuacin.

SA = 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 , 1 0 1 1

+ B* = 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 , 0 0 1 1Exceso

se deshecha1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , 1 1 1 0

10Respuesta = 16,875

En el caso del trabajar con complemento verdadero,el dgito del carry se deshecha. Esto simplifica elproceso aritmtico. Debido a esto, el complemento



a 2 es el ms utilizado en las computadoras digitales.En el ejemplo anterior, se ve que el bit del signo

es 0, lo que implica un resultado positivo. Si setuviera un resultado negativo [bit del signo iguala 1], habra que obtener el complemento a 2 delresultado para conocer su magnitud, como se estudiaen el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.- Realice la operacin A - B, usandocomplemento a 2. Emplee 11-bits para la parte entera,4-bits para la parte fraccionaria y uno para el signo.Los valores de A y B se indican a continuacin.

10A = 110 1001,0011 [= 105,1875 ]10B = 1011 0110,1001 [= 182,5625 ]

10A + A = 0000 0110 1001,0011 [= + 105,1875 ]10 + B = 0000 1011 0110.1001 [= + 182,5625 ]

10A B = 1100 0100 1001,0111 [= - 182,5625 ]*

La sustraccin, usando complemento a 2 se realizasumando el minuendo con el complemento a 2 delsubstraendo, como se indica a continuacin.

SA = 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 , 0 0 1 1

+ B* = 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 , 0 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 , 1 0 1 0



Puesto que el dgito del signo es 1, la respuestaes negativa, si se quiere obtener la respuesta endecimal con signo, es necesario sacar el complementoa 2 de la respuesta binaria, como se ve en seguida.

2R = -000 0100 1101,0110 , o lo que es lo mismo

10Respuesta = -77,375

Ejemplo 3.- Con los siguientes datos binarios realicela operacin aritmtica indicada. Todo el procesodebe realizarlo en complemento a 2, nicamente elresultado final convertirlo a decimal.

Datos:A = 1 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 0 1

B = 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 1

C = 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 , 1 1 1

D = 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 , 1 0 0 1

Operacin aritmtica

1 2 1 2R = (D - A) R = (C - B) R = R - R

Se utilizarn 13-bits para la parte entera, 5-bitspara la parte fraccionaria y 1-bit para el signo.Entonces



S+ A = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 0 1 0

+ B = 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 1 0 0

+ C = 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 , 1 1 1 0 0

+ D = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 , 1 0 0 1 0

S- A = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 1 1 0

- B = 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 1 0 0

Entonces

S

+ D = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 , 1 0 0 1 0

- A = 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 , 0 1 1 1 0

1R = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 , 0 0 0 0 0

S+ C = 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 , 1 1 1 0 0

- B = 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 1 0 0

2R = 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 , 0 1 0 0 0

2puesto que este resultado parcial [R ] es negativopara realizar la operacin correctamente hay quevolver a obtener el complemento a 2 de este valor.Es decir

S2R = 11 1101 0000 1001,0100 0



por tanto,

R2 = 00 0010 1111 0110,1100 0

finalmente

S

1+ R = 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 , 0 0 0 0 0

2+ R = 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 , 1 1 0 0 0

R = 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 , 1 1 0 0 0

La respuesta binaria es

2Respuesta = +000 0101 0101 1100,1100 0

y en decimal

10R = 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 + 2 + 210 8 6 4 3 2 -1 -2

10R = 1024 + 256 + 64 +16 + 8 + 4 + 0,5 + 0,25 =+1372,75

10Respuesta = +1372,75

Cdigos de Numeracin Binaria.- La representacin decantidades por medio de algn arreglo de dgitos sedenomina nmero, cdigo o palabra. En el sistemade numeracin binaria existen varias formas de



codificar o de representar cantidades. A continuacinse muestran las ms comunes.

Cdigo Binario Natural.- En este cdigo, los bits a laizquierda del punto se denominan enteros y los dela derecha fraccionarios. Las ponderaciones sonpositivas y ascendentes hacia la izquierda a partirdel punto y negativas y descendentes hacia la derechadel punto. La siguiente tabla muestra los nmerosenteros de 4-bits [binario] con sus equivalentes en:octal, decimal, hexadecimal, BCD, EXC-a-3 y GRAYobserve que en BCD existen 6-cdigos binarios queno se utilizan.

Otros Cdigos Binarios.- El Binario Natural es el cdigoms comnmente usado; sin embargo, existen otrasformas de codificar la informacin, dependiendo delprocesamiento que se le dar a la misma.

BIN OCT DEC HEX BCD EXC-3 GRAY

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1

0 0 1 1 3 3 3 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 4 4 4 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0

0 1 0 1 5 5 5 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 0 6 6 6 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 7 7 7 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 10 8 8 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0



1 0 0 1 11 9 9 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1

1 0 1 0 12 10 A 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 13 11 B 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0

1 1 0 0 14 12 C 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 1 15 12 D 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1

1 1 1 0 16 13 E 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1

1 1 1 1 17 15 F 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Decimal Codificado en Binario (BCD).- En el cdigo BCD[Binary Coded Decimal = Decimal Codificado enBinario], cada dgito decimal est representado porun grupo de 4-bits, a esta agrupacin se la denominaquad. Cada quad tiene 4-bits [con ponderaciones:8, 4, 2 y 1] con 10 valores permisibles de 0 a 9.En la codificacin BCD, los quads con valoressuperiores a 9 [1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111]no estn permitidos, por tanto, nunca se usan en BCD.

10De modo que para representar el nmero 12 en BCDBCDsera 1 0010 . Al cdigo BCD se lo utiliza

principalmente en diferentes tipos de medidores depanel, por ejemplo en voltmetros digitales.

Cdigo Exceso de 3.- Puede decirse que el cdigo excesode 3 es una modificacin del cdigo BCD, puesto queel primero se forma aadiendo 3 al cdigo BCD.Eventualmente se lo utiliza en lugar del BCD debidoa que posee ventajas en algunas operacionesaritmticas. La tabla anterior muestra el cdigoexceso de 3 y su equivalente BCD.



Cdigo de Gray [Reflejado].- Es un cdigo binario enel que la posicin del bit no tiene significacinnumrica [ponderacin]; sin embargo, cada cdigo deGray corresponde a un mismo nmero decimal. Fcilmentese lo puede transformar a su equivalente binario.En la tabla anterior se presentan los cdigos de Grayy binario natural para los nmeros del 0 hasta el15. Despus se hace una comparacin entre los doscdigos para determinar las relaciones que permitanconvertir el uno en el otro y viceversa.Como puede verse en esta tabla, en el cdigo de

Gray, cuando el valor de un nmero cambia, latransicin de un cdigo al siguiente implica el cambiode un solo dgito a la vez.Por observacin de la tabla, puede decirse que la

conversin del cdigo de Gray al cdigo binario serealiza de la siguiente manera: El bit correspondienteal extremo izquierdo [MSB] es el mismo tanto enel cdigo de Gray como en el binario; al continuarhacia la derecha, si el siguiente bit de Gray es 1,entonces el prximo bit binario es el complementodel anterior bit binario. Pero si el siguiente bitde Gray en 0, entonces el prximo bit binario esla copia del bit binario anterior.

Ejemplo: 1010 [Gray] A 1100 [binario]

CG CB 1110 0110 0011 A 1011 1011 1101



De igual manera, la conversin de cdigo binario acdigo de Gray puede deducirse a partir de la tablaanterior. El MSB binario es el mismo MSB de Gray;continuando la lectura hacia la derecha, cada cambioen el cdigo binario produce un 1 y cada no cambioproduce un 0 en el cdigo de Gray.

CB CGEjemplo: 1011 A 1110

CB CG1110 0101 1000 A 1001 0111 0100

El cdigo de Gray es til en aquellas aplicacionesen las que pueden presentarse cdigos intermediosfalsos, que podran ocurrir en otros cdigos.

Cdigos Bipolares.- Existe una gran variedad de cdigosbinarios, entre otros: Signo-Magnitud, Complementoa 1, Complemento a 2, Binario Desplazado [Offset],Todo Complementado, etc. Estos cdigos sirven pararepresentar cantidades tanto positivas como negativas[para lo cual un dgito representa el signo y losotros la magnitud del nmero]. Los cdigos bipolaresms comunes [para 4-bits incluido el signo] se indicanen la siguiente tabla.



VALOR

DECIMAL

SIGNO

MAGNITUD

BINARIO

OFFSET

COMPLEMENTO

a-1

COMPLEMENTO

a-2

7 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

6 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

5 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

4 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

3 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

-1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

-2 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

-3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1

-4 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0

-5 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1

-6 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

-7 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

-8 0 0 0 0 1 0 0 0

Los cdigos Signo-Magnitud y Binario Offsetconceptualmente son simples, pero representandificultades al querer implementarlos en software.Mucho ms fcil es implementar los cdigos Complementoa-1 y Complemento a-2, que son los ms usados en lascomputadoras. El cdigo signo-magnitud y el complementoa 1 tienen dos cdigos binarios para representar elvalor decimal 0, lo que constituye un problema.

Cdigos Alfanumricos.- Son cdigos que sirven para



representar caracteres tanto numricos comoalfabticos, en los que tambin se incluyen loscdigos correspondientes a los signos de puntuacin,de control y otros: , , #, $, %, /, &, *, (, ),_, -, +, , etc. Uno de ellos es el cdigo EBCDIC[Extended Binary-Coded Decimal Interchange Code].Es un cdigo que usa 8 dgitos binarios pararepresentar un carcter simple, dando un mximoposible de 256 caracteres. Es utilizado como unsistema de cdigo en muchos computadores. El cdigoEBCDIC es simplemente el cdigo BCD extendido a 8-bits.



Asignacin de Cdigos EBCDICParte I

HEX MSD 0 1 2 3 4 5 6 7

BITS

b7 0 0 0 0 0 0 0 0

b6 0 0 0 0 1 1 1 1

b5 0 0 1 1 0 0 1 1

b 0LSD9 b3 b2 b1 0 1 0 1 0 1 0 1b 4

0 0 0 0 0 NUL DLE DS SP & -

1 0 0 0 1 SOH DC1 SOS

2 0 0 1 0 STX DC2 FS SYN

3 0 0 1 1 ETX DC3

4 0 1 0 0 PF RES BYP PN

5 0 1 0 1 HT NL LF RS

6 0 1 1 0 LC BSEOB

ETBUC

7 0 1 1 1 DEL ILPRE

ESCEOT

8 1 0 0 0 CAN

9 1 0 0 1 RLF EM \

A 1 0 1 0 SMM CC SM ! | :

B 1 0 1 1 VT . $ ' #

C 1 1 0 0 FF IFS DC4 < * % @

D 1 1 0 1 CR IGS ENQ NAK ( ) _

E 1 1 1 0 SO IRS ACK + ; > =

F 1 1 1 1 SI IUS BEL SUB ? "

Caracteres de Comando

NUL Null

SOH Start of Heading

STX Start of Text

ETX End of Text

PF Punch Off

HT Horizontal Tab

LC Lower Case

DEL Delete



RLF Reverse Line Feed

SMM Start of Manual Message

VT Vertical Tabulation

FF Form Feed

CR Carriage Return

SO Shift Out

SI Shift In

DLE Data Link Escape

DC1 Device Control 1



RES Restore

NL New Line

BS Backscape

IL Idle

CAN Cancel

EM End of Medium

CC Cursor Control

IFS Interchange File Separator

IGS Interchange Group Separator

IRS Interchange Record Separator

IUS Interchange Unit Separator

DS Digit Select

SOS Start of Significance

FS Field Separator

BYP Bypass

LF Line Feed

EOB/ETB End of B lock/End of

Transmission Block

PRE/ESC Prefix/Escape

SM Set Mode

ENQ Enquiry

ACK Ackmowledge

BEL Bell

SYN Synchronous Idle

PN Pench On

RS Reader Stop

UC Upper Case

EOT End of Transmission


NAK Negative Acknowledge

SUB Substitute

SP Space



Asignacin de Cdigos EBCDICParte II

HEX MSD 8 9 A B C D E F

BITS

b7 1 1 1 1 1 1 1 1

b6 0 0 0 0 1 1 1 1

b5 0 0 1 1 0 0 1 1

b 0LSD9 b3 b2 b1 0 1 0 1 0 1 0 1b 4

0 0 0 0 0 { } \ 0

1 0 0 0 1 a j ~ A J 1

2 0 0 1 0 b k s B K S 2

3 0 0 1 1 c l t C L T 3

4 0 1 0 0 d m u D M U 4

5 0 1 0 1 e n v E N V 5

6 0 1 1 0 f o w F O W 6

7 0 1 1 1 g p x G P X 7

8 1 0 0 0 h q y H Q Y 8

9 1 0 0 1 i r z I R Z 9

A 1 0 1 0

B 1 0 1 1

C 1 1 0 0

D 1 1 0 1

E 1 1 1 0

F 1 1 1 1

bits 7654 3210Ej. Cdigo de la letra N = 1101 0101 = D5H

Ejemplo.- Encuentre el cdigo EBCDIC [HEX] delsiguiente texto: Politcnica Nacional.



P o l i t e c n i c a

D7 96 93 89 A3 85 83 95 89 83 81 40

N a c i o n a l .

D5 81 83 89 96 95 81 93 4B

Otro cdigo alfanumrico de 7-bits, muy utilizadopor la mayora de fabricantes de computadoras, esel ASCII [American Standard Code for InformationInterchange], cuya tabla se muestra a continuacin.



Asignacin de Cdigos ASCII

HEX

LSD9

MSD 6 0 1 2 3 4 5 6 7

BITS

b7 0 0 0 0 0 0 0 0

b6 0 0 0 0 1 1 1 1

b5 0 0 1 1 0 0 1 1

b3 b2 b1 b4b0

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 NUL DLE SP 0 @ P ` p

1 0 0 0 1 SOH DC1 ! 1 A Q a q

2 0 0 1 0 STX DC2 " 2 B R b r

3 0 0 1 1 ETX DC3 # 3 C S c s

4 0 1 0 0 EOT DC4 $ 4 D T d t

5 0 1 0 1 ENQ NAK % 5 E U e u

6 0 1 1 0 ACK SYN & 6 F V f v

7 0 1 1 1 BEL ETB ' 7 G W g w

8 1 0 0 0 BS CAN ( 8 H X h x

9 1 0 0 1 HT EM ) 9 I Y i y

A 1 0 1 0 LF SUB * : J Z j z

B 1 0 1 1 VT ESC + ; K [ k {

C 1 1 0 0 FF FS , < L \ l |

D 1 1 0 1 CR GS - = M ] m }

E 1 1 1 0 SO RS . > N ^ n ~

F 1 1 1 1 SI US / ? O _ o DEL

Caracteres de Comando

NUL Null, or all zeros

SOH Start of Heading

STX Start of Text

ETX End of Text

EOT End of Transmission

ENQ Enquiry

ACK Acknowledge

BEL Bell (audible or attention signal)

BS Backspace

HT Horizontal Tabulation (punched



card skip)

LF Line Feed

VT Vertical Tabulation

FF Form Feed

CR Carriage Return

SO Shift Out

SI Shift In

DLE Data Link Escape




DC4 Device Control 4 (stop)

NAK Negative Acknowledge

SYN Synchronic Idle

ETB End of Transmission Block

CAN Cancel

EM End of Medium

SUB Substitute

ESC Escape

FS File Separator

GS Group Separator

RS Record Separator

US United Separator

DEL Delete

SP Space

Ejemplo.- Encuentre el cdigo ASCII [HEX] del siguientetexto: Politcnica Nacional.

P o l i t e c n i c a

50 6F 6C 69 74 65 63 6 69 63 61 20

N a c i o n a l .

4 61 63 69 6F 6 61 6C 2

D:\-\SD_Cpas\SD-Cap1Col.wpd

Revisin: Septiembre - 2008

1.- George Boole, matemtico ingls del siglo XIX, invent el lgebrabinaria o lgica que lleva su nombre: lgebra booleana.


l g e b r a d e B o o l e

El lgebra de Boole utiliza variables que tienensolo dos valores posibles, esto lo sintetiz Shannonusando ideas que inicialmente las expres elmatemtico ingls: George Boole . A diferencia de1las variables del lgebra comn [que pueden tomarun nmero infinito de valores en un rangodeterminado], una variable booleana, por ejemplo A,puede tomar solamente 2 valores, que generalmentese los relaciona con VERDADERO y FALSO. Sin embargo,se les puede asignar otros valores, tal como:caliente/fro, macho/hembra, alto/bajo, etc. Pararepresentar los 2 posibles valores de las variablebooleanas se utilizan los smbolos 0 y 1. GeneralmenteA = 1 significa que A es VERDADERO en un sentidobooleano, mientras que A = 0 indica que A es FALSO.Entonces una variable booleana puede estar relacionadaa algn tem de informacin, por ejemplo, A = 1,significa que un interruptor asociado con A estabierto y A = 0 significa que el mismo interruptorest cerrado. Otra variable, B, puede relacionarsea la temperatura de una habitacin, siendo VERDADERAcuando la temperatura exceda los 21C y FALSA en otrocaso o viceversa.

CAPTULO 1 - LGEBRA DE BOOLE - 58 -


Las variables booleanas no toman valores cuantitativos, pero

pueden usarse para representar informacin cuantitativa. Porejemplo, se pueden usar 4-variables booleanas pararepresentar un nmero binario de 4-dgitos. Cadavariable puede estar relacionada a uno de los coefi-cientes del nmero binario, indicando que el coefi-ciente tiene un valor de 1 cuando la variable es VERDA-DERA y un valor 0 cuando es FALSA [o el inverso deesto]. De esta manera las 16 posibles combinaciones

10pueden estar relacionadas a las cantidades 0-15 ,que puede tomar el nmero binario. Conociendo losvalores VERDADERO/FALSO de cada una de las variables,posibilitar el clculo de la cantidad que ellarepresenta. Para trabajar con variables booleanas,se utilizan operadores similares a los del lgebracomn. A estos operadores booleanos comnmente selos conoce como conectivos lgicos.

Proposiciones y Conectivos Lgicos

Proposicin Planteamiento de un teorema o de un problema quese debe demostrar o resolver.

Premisa Supuesto material, no necesariamente vlidolgicamente, a partir del que se infiere una conclusin.

Conectivo Son los operadores [o compuertas] del lgebra de Boole,similares a los del lgebra comn, y representan a los

circuitos digitales ms fundamentales. En este captulo

se describe su operacin mediante el uso del lgebra

de Boole. Se estudia cmo pueden combinarse entre

s varias compuertas para implementar circuitos lgicos

ms complejos.



VariableBooleana

Las variables booleanas slo pueden tomar dos valores

lgicos: 0 o 1. En un circuito lgico, una variable

booleana puede representar ausencia o presencia de

voltaje. En una proposicin lgica, la variable booleana

puede ser falsa o verdadera. En general slo tienen dos

opciones posibles.

A continuacin se dan algunos ejemplos de variablesbooleanas.

L L0 1

FALSO VERDADERO

BAJO ALTO

ABIERTO CERRADO

ARRIBA ABAJO

APAGADO ENCENDIDO

FRO CALIENTE

NOCHE DA

DESCONECTADO CONECTADO

SIN VOLTAJE CON VOLTAJE

NEGATIVO POSITIVO

NO SI

Conectivo AND [Conjuncin Y].- Sirve para unir doso ms proposiciones que pueden ser verdaderas ofalsas, por ejemplo, sea la proposicin compuesta:

Y = Somos estudiantes de la EPN y asistimos a laclase de Sistemas Digitales

Para analizar cundo la proposicin Y es verdaderao cundo es falsa, se la divide en dos subpro-



posiciones: A y B.

A = Somos estudiantes de la EPNB = Asistimos a la clase de Sistemas Digitales

Con la ayuda de la siguiente tabla, se puededeterminar cuando la proposicin Y es verdadera ofalsa.

B A Y B A Y

FALSO FALSO FALSO F F F

FALSO VERDADERO FALSO F V F

VERDADERO FALSO FALSO V F F

VERDADERO VERDADERO VERDADERO V V V

TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO AND DE 2-ENTRADAS

En la tabla anterior, si no somos estudiantes dela EPN, entonces la proposicin A es FALSA y si noasistimos a la clase de Sistemas Digitales, laproposicin B tambin es FALSA, por tanto Y es FALSA.De igual manera, si somos estudiantes de la EPN, Aes VERDADERA, si no asistimos a la clase de SistemasDigitales, B es FALSA, entonces Y es FALSA. Si no somosestudiantes de la EPN, A es FALSA, si asistimos a laclase de Sistemas Digitales, B en VERDADERA, pero Ysigue siendo FALSA. Finalmente si somos estudiantesde la EPN, A es VERDADERA; si asistimos a la clasede Sistemas Digitales, B es VERDADERA, por tanto Yes VERDADERA.

El conectivo AND implica que una proposicin es



FIGURA 1.5 a) b) c)

VERDADERA cuando todas las subproposiciones que laconforman son VERDADERAS.

La conjuncin es la proposicin de que A y B sonciertos. A los conectivos lgicos se los puedeimplementar fsicamente de diferentes maneras, entreotras con interruptores y recibe el nombre decompuerta AND, cuyo circuito se muestra en la fig.1.5 (a) y los smbolos lgicos utilizados en lasrepresentaciones esquemticas en la fig. 1.5 (b).La fig. 1.5 c) muestra el smbolo IEEE del CI-7400,junto con la tabla de verdad. Si a una respuesta FALSA

Lse le asigna el valor lgico 0 [0 ] y a una respuestaLVERDADERA se le asigna el valor lgico 1 [1 ], la tabla

anterior puede escribirse como se muestra en lasiguiente tabla, que es la forma ms comn depresentar una tabla de verdad. Cuando se hace as,esta tabla puede relacionarse con un producto lgico[no producto aritmtico] y la proposicin Y puedeexpresarse as



FIGURA 1.6 a) b)

B A Y

L L L0 0 0

L L L0 1 0

L L L1 0 0

L L L1 1 1

TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO AND PARA 2-ENTRADAS

En el circuito de la fig. 1.5 (a), un interruptorL Labierto significa 0 y un interruptor cerrado, 1 ,

L Lun LED apagado = 0 y un LED encendido = 1 .

La fig. 1.6 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7408 que tiene 4 compuertas AND de 2-entradas.



La fig. 1.6 b) muestra la circuitera de una compuertaAND con tecnologa TTL, con salida Totem-Pole. Losdiodos de las entradas sirven para proteger a lacompuerta de voltajes negativos y reciben el nombreingls de diodos clamp.

Conectivo OR [Disyuncin O].- Sirve para separardos o ms proposiciones que pueden ser VERDADERAS oFALSAS. Sea la proposicin compuesta:

Y = Jaime, sabe jugar ftbol o bsquet?

Para saber cundo la proposicin Y es VERDADERA ocundo es FALSA, se la divide en dos subproposiciones:A y B.

A = Jaime sabe jugar ftbol B = Jaime sabe jugar bsquet

La siguiente tabla permite analizar en qucondiciones la proposicin Y es verdadera o falsa.

B A Y B A Y

FALSO FALSO FALSO F F F

FALSO VERDADERO VERDADERO F V V

VERDADERO FALSO VERDADERO V F V

VERDADERO VERDADERO VERDADERO V V V

TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO OR DE 2-ENTRADAS

En la tabla anterior, si Jaime no sabe jugarftbol, entonces la proposicin A es FALSA y si nosabe jugar bsquet, la proposicin B tambin es FALSA,por tanto Y es FALSA. Si Jaime sabe jugar ftbol, A



FIGURA 1.7 a) b) c)

es VERDADERA, pero no sabe jugar bsquet, B es FALSA,entonces Y es VERDADERA. Si Jaime no sabe jugar ftbol,A es FALSA, pero si sabe jugar bsquet, B en VERDADERA,entonces Y es VERDADERA. Finalmente si Jaime sabe jugarftbol, A es VERDADERA, y sabe jugar bsquet, B esVERDADERA, por tanto Y es VERDADERA. Si a una respuesta

LFALSA se le asigna el valor lgico 0 [0 ] y a unarespuesta VERDADERA se le asigna el valor lgico 1

L[1 ], la tabla anterior puede escribirse como semuestra en la siguiente tabla. Cuando se hace as,esta tabla puede relacionarse con una suma lgica[no suma aritmtica] y la proposicin Y puedeexpresarse as

B A Y

L L L0 0 0

L L L0 1 1

L L L1 0 1

L L L1 1 1

TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO OR PARA 2-ENTRADAS.



La fig. 1.8 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7432 que tiene 4 compuertas OR de 2-entradas.La fig. 1.8 b) muestra la circuitera de una compuertaOR con tecnologa TTL con salida Totem-Pole.

Operador NOT [Inverter o Inversor].- Se lo define paraun solo argumento; el operador NOT invierte el valor



lgico del argumento de entrada; tambin se lo conocecomo Inversor o Complemento.

A Y A Y

L LF V O 1

L LV F 1 O

TABLA DE VERDAD DEL OPERADOR NOT

La funcin lgica del inversor se la representamediante la siguiente ecuacin booleana.

El circuito del inversor con interruptor y contransistor se muestra en la fig. 1.9 a); los smbolos



a) b)FIGURA 1.10 COMPUERTA NOT TTL [TOTEM-POLE]

FIGURA 1.11 a) b) c)

lgicos en la fig. 1.9 b) y el smbolo IEEE en lafig. 1.9 c). La fig. 1.10 a) muestra la distribucinde pines del CI-7404 que tiene 6 compuertas NOT. Lafig. 1.10 b) muestra la circuitera de una compuertaNOT con tecnologa TTL con salida Totem-Pole.

Compuerta NAND [Conectivo NAND].- Es un dispositivocompuesto por un conectivo NOT conectado a la salidade un compuerta AND, como se muestra en la fig. 1.11a); las figs. 1.11 b) y c) corresponden a los smboloslgicos.



FIGURA A.12 a) b) c)

B A Y

L L L0 0 1

L L L0 1 1

L L L1 0 1

L L L1 1 0

TABLA DE VERDAD DEL CONECTIVO NAND PARA 2-ENTRADAS

La fig. 1.12 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7400 que tiene 4 compuertas NAND de 2-entradas.La fig. 1.12 b) muestra la circuitera de unacompuerta NAND con tecnologa TTL con salida Totem-Pole. Se observa que la estructura circuital esidntica al de la compuerta NOT, la nica diferenciaes que el transistor de entrada tiene un solo emisoren la compuerta NOT y varios emisores en lascompuertas NAND [en este caso dos].

La fig. 1.13 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7401 que tiene 4 compuertas NAND de 2-entradas.



a) b) c)FIGURA 1.13 4-COMPUERTA NAND DE 2-ENTRADAS SALIDA COLECTOR ABIERTO

La fig. 1.13 b) muestra la circuitera de unacompuerta NAND de tecnologa TTL con salida enColector Abierto [O. C. = Open Collector].

La fig.1.13 c) muestra el smbolo lgico IEEE delCI-7401, observe el rombo subrayado a la salida dela compuerta, que indica que se trata de salidas encolector abierto.

Compuerta NOR [Conectivo NOR].- Se obtieneconectando una compuerta NOT a la salida de unacompuerta OR, como se indica en la fig. 1.14 a);las figs. 1.14 b) y c) muestran los smbolos lgicosde la compuerta NOR, la fig. 1.14 d) corresponde alsmbolo IEEE.



La fig. 1.15 a) muestra la distribucin de pinesdel CI-7402 que tiene 4 compuertas NOR de 2-entradas.La fig. 1.15 b) muestra la circuitera de unacompuerta NOR con tecnologa TTL con salida Totem-



FIGURA 1.16 a) b) c)

Pole.

Conjuntos Universales o Completos.- El conjunto decompuertas AND-OR-NOT [A-O-N] constituye un conjuntouniversal o funcionalmente completo, porque usandoexclusivamente estas 3-compuertas se puede implementarcualquier circuito lgico, desde el ms simple hastael ms complejo. Por ejemplo, el computador digitalms grande est constituido por millones de compuertasA-O-N combinadas de alguna manera.

Como un ejemplo de ello se va a implementar lafuncin OR-Exclusiva [XOR] usando compuertas A-O-N.Un ejemplo de proposicin XOR sera: En estemomento, Jaime se encuentra jugando ftbol o estesquiando, Es obvio que Jaime no puede realizar losdos deportes al mismo tiempo. La siguiente tabla deverdad muestra la definicin de la funcin XOR.

El circuito de la compuerta XOR requiereinterruptores de doble posicin, y se muestra en la



FIGURA 1.17 a) b)

fig. 1.16 a). La fig. 1.16 b) corresponde a lossmbolos de la compuerta XOR y la fig. 1.16 c)corresponde al smbolo IEEE.

B A Y

L L LO O O

L L LO 1 1

L L L1 O 1

L L L1 1 O

La fig. 1.17 a) muestra la implementacin de lacompuerta XOR utilizando el conjunto de compuertasA-O-N, mientras que la fig. 1.17 b) muestra ladistribucin de pines del CI-7486/386 que correspondea 4 compuertas XOR; los inversores sirven para generar y ; la compuerta 2 genera el trmino ; la

compuerta 3 genera el trmino , finalmente lacompuerta 1 genera la funcin , quees la funcin XOR.



Resumen de Compuertas Lgicas Bsicas

CI Y FUNCINSMBOLO-1

[TRADICIONAL]

SMBOLO-2

[IEEE - ANSI]

TABLA DE

VERDAD

AND

7408

0R

7432

NOT

7404

NAND

7400

NOR

7402

XOR

7486



Postulados y Teoremas del lgebra de Boole.- En el lgebrade Boole existen varios postulados, identidades yteoremas bsicos.

Postulado.- Principio cuya admisin es necesaria paraestablecer una demostracin. Verdad evidente que nonecesita demostrarse.

Identidad.- Igualdad cuyos dos miembros son idnticos.

Teorema.- Enunciado de una proposicin o de unapropiedad que se demuestra por un razonamiento lgicoa partir de hechos dados o de hiptesis, includosen este enunciado. Proposicin cientfica que se puededemostrar.

Postulados [de Huntington] 0 x 0 = 0 1 + 0 = 1

0 x 1 = 0 1 + 0 = 1

1 x 0 = 0 0 + 1 = 1

1 x 1 = 1 0 + 1 = 0

= 0 = 1 Complemento

PRODUCTO LGICO SUMA LGICA

Principio de Dualidad.- Si se observa los postuladosy las relaciones algebraicas anteriores, se ve quehay dos formas para cada uno de ellos. Esto pareceimplicar que debera comprobarse ambas relaciones.


2.- Taylor L. Booth.- Digital Network and Computer Systems.- WileyInternational Edition.- 1978.


Sin embargo, el principio de dualidad simplifica2el esfuerzo. Este principio establece que cada teorematiene un dual que se puede obtener:

a) INTERCAMBIANDO LOS OPERADORES AND Y OR DE LAS EXPRESIONES.

b) INTERCAMBIANDO LOS ELEMENTOS 0 Y 1 DE LAS EXPRESIONES.

c) LA FORMA DE LAS VARIABLES [SI LAS HUBIERA] NO CAMBIA.

0 . 1 = 0 a . 1 = a 1 + 0 = 1 a + 0 = a

En el caso de que existan variables, estaspermanecen sin cambios.

ADVERTENCIA.- Si es el dual de la funcin esto no implica que las dos expresiones

sean iguales. La verdad de esta advertencia severifica fcilmente examinando las funciones en losejemplos dados arriba.

Este principio permite demostrar dos teoremas conel esfuerzo de una sola prueba. Si se puede probar,con una serie de pasos lgicos, que un teorema dadoes verdadero, entonces, inmediatamente se sabe queel dual del teorema original tambin es verdadero,puesto que el dual de los pasos lgicos que pruebanel teorema original, prueban el teorema dual.



Proposiciones Elementales.- Las proposiciones bsicaso elementales del lgebra de Boole se establecen apartir de las tablas de verdad de los conectivos ANDy OR, como se indica en la siguiente tabla.

a . a = a a + a = a Idempotencia [Tautologa] Complementos

a . 1 = a a + 0 = a Identidadesa . 0 = 0 a + 1 = 1 Elementos nulos

Involucin

Leyes Fundamentales

Ley CONMUTATIVA

Ley ASOCIATIVA

Ley DISTRIBUTIVA



Teoremas

Teorema de ABSORCIN (COBERTURA)

Teorema de REDUNDANCIA

Demostracin Tabular

Y X X + Y

O O 1 O O O

O 1 O O 1 1

1 O 1 1 1 1

1 1 O O 1 1

La tabla anterior es una forma vlida de realizarla demostracin de una igualdad [identidad] booleana.Recibe el nombre de demostracin por induccincompleta, porque se analizan todas las posiblescombinaciones de las variables de entrada. En estecaso se observa que las dos columnas de la derechason iguales, lo que implica que los dos lados de laidentidad booleana son iguales.



Teorema de CONSENSO

Teorema de COMBINACIN

Teorema de DeMORGAN

Teorema de Expansin de SHANNON

Ejemplo.- Aplicacin del teorema de expansin deShannon. Expandir la funcin simplificada: F= . En primera instancia se expandir lavariable B que falta en el segundo trmino y despusse completar la variable C que falta en el primertrmino.



Simplificacin de Funciones Booleanas Utilizando los

Teoremas del lgebra de Boole.- La ecuacin booleanade una funcin lgica se la puede obtener de su tablade verdad; en general ser posible simplificar esaecuacin para obtener la funcin ms simple posible,la funcin booleana simplificada es la que seimplementar con las compuertas lgicas. Laimportancia de la simplificacin se debe a que alreducir el nmero de compuertas se disminuye el nmerode conexiones, el tamao fsico del circuito, lapotencia disipada por el mismo, el costo total e,inclusive, el nmero de errores que puedenintroducirse cuando se implementa el circuito. Elcircuito que se implementar es el que tenga el menornmero de compuertas y el menor nmero de conexiones.Una forma de simplificar una ecuacin booleana esmediante el uso de los postulados y teoremas dellgebra de Boole que se acaba de estudiar. Esto seilustra con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.- Utilizando compuertas A-O-N, implementarla siguiente funcin booleana. Despus simplificarla funcin, implementarla con compuertas A-O-N.Comparar los dos circuitos.



F I G U R A 1 . 1 9C I R C U I T OSIMPLIFICADO

FIGURA 1.18 CIRCUITO NOSIMPLIFICADO

IDENTIDADCOMPLEMENTOS

DISTRIBUTIVAIDEMPOTENCIA DISTRIBUTIVACOMPLEMENTOSIDENTIDAD

El circuito no simplificado, correspondiente ala ecuacin original se muestra en la fig. 1.18 yla funcin simplificada se indica en el circuito dela fig. 1.19; se observa que este ltimo es muchoms sencillo que el circuito sin simplificar. De modoque el circuito de la fig. 1.19 es el que debeutilizarse en la prctica.



FIGURA 1.20 CIRCUITO NO SIMPLIFICADO

F I G U R A 1 . 2 1 C I R C U I T OSIMPLIFICADO

Ejemplo 2.- Utilizando compuertas A-O-N, implementarla siguiente funcin booleana. Despus simplificarla funcin e implementarla con compuertas A-O-N.Comparar los dos circuitos.

La funcin simplificada es .



El circuito no simplificado, correspondiente ala ecuacin original se muestra en la fig. 1.20 yla funcin simplificada se indica en la fig. 1.21.Se observa que el segundo circuito es mucho mssencillo que el circuito sin simplificar, amboscumplen la misma funcin, sin embargo, el ingenieronecesariamente debe optar por el segundo [mssimplificado].

Problemas.- Simplificar las siguientes funcionesbooleanas.

Demostrar que

Ejemplo.- Determinar la ecuacin booleana del circuitode la fig. 1.22.



En el circuito de la fig 1.22, el inversor [com-puerta 4] genera ; la compuerta AND [2], generael trmino ; la compuerta XOR [3], el trmino

; finalmente, la compuerta OR [1], genera lafuncin: , que es la respuesta.

Universalidad de las Compuertas NAND y NOR.- Dela misma manera en que las compuertas A-O-N, cons-tituyen un conjunto completo, la compuerta NAND, porsi sola, constituye un conjunto completo, es decirutilizando exclusivamente compuertas NAND se puedeimplementar cualquier red lgica, por compleja quesea. Lo mismo podemos decir de la compuerta NOR.

Ejemplo.- Utilizando solamente compuertas NAND,implementar la compuerta XOR, cuya funcin estdefinida como

[Involucin]

[DeMorgan]

FIGURA 1.22



FIGURA 1.23

FIGURA 1.24

La salida del circuito de la fig. 1.23 es. En la fig. 1.23, un circuito XOR con

compuertas NAND, se ve que el nmero de conectivosque se ha requerido para implementar la compuertaXOR, utilizando compuertas NAND, es el mismo que elque se us con compuertas A-O-N.

El circuito de la fig. 1.24, con solo 4-compuertasNAND de 2-entradas, tambin corresponde a unacompuerta XOR, es decir, .

Ejemplo.- Utilizando solamente compuertas NOR,implementar la compuerta XOR, cuya funcin estdefinida como



FIGURA 1.25

[Involucin]

[DeMorgan]

En la fig. 1.25 se ve que el nmero de compuertasNOR que se requieren para implementar la compuertaXOR, es el mismo que el que se us con compuertasA-O-N o con compuertas NAND [fig. 1.23].

Ejemplo.- Simplificar la funcin que se indica acontinuacin, implementar la funcin simplificadacon compuertas A-O-N y con compuertas NAND.

Si se agrupan los trminos 1 y 3 se elimina la



variable B, y que dara el trmino ACD, al agruparlos trminos 2 y 5, tambin se elimina la variableB, el trmino que queda es , al agrupar lostrminos 1 y 4, se elimina la variable A, el trminoque queda es BCD, as mismo, al agrupar los trminos5 y 6, se elimina la variable D y el trmino que quedaes . Por tanto la funcin en una primerasimplificacin quedara como

En la ecuacin anterior pueden agruparse los trmino1 y 2, porque solo cambia la variable C, que es laque se eliminar. Finamente la funcin simplificadaquedara como

Que puede implementarse con compuertas A-O-N. Parahacerlo con compuertas NAND, puede utilizarse la mismametodologa que se utiliz para implementar la funcinXOR con compuertas NAND y NOR, que fueron Involuciny el teorema de DeMorgan. De modo que la funcinbooleana para la implementacin con compuertas NANDqueda como

La fig. 1.26 , muestra el circuito implementado



FIGURA 1.26

con A-O-N y con NAND. Las compuertas 5 y 6 [NOT],tambin pueden implementarse con NAND.

Ejemplo.- Simplificar la funcin que se indica acontinuacin, implementar la funcin simplificadacon compuertas A-O-N y con compuertas NOR.

Si se agrupan los trminos 1 y 3 se elimina lavariable X, lo que genera el trmino , alagrupar los trminos 3 y 4, se elimina la variabley, el trmino que queda es [X + Z], y al agrupar lostrminos 3 y 5, se elimina la variable Z, el trmino



FIGURA 1.27

que queda es , puede observarse que el trmino2 no puede agruparse con ninguno y por tanto no sepuede simplificar. La funcin simplificada quedaracomo

Que puede implementarse con compuertas A-O-N. Parahacerlo con compuertas NOR, puede utilizarse la mismametodologa que se utiliz para implementar la funcinXOR con compuertas NAND y NOR, que fueron Involuciny el teorema de DeMorgan. De modo que la funcin



FIGURA 1.28

booleana para la implementacin con compuertas NORquedara como

La fig. 1.27 muestra el circuito implementado conA-O-N y con NOR. Las compuertas 6, 7 y 8 [NOT],tambin pueden implementarse con NOR.

Representacin de las variables booleanas.- Para representaruna variable booleana [en el Laboratorio], por ejemplola variable A, se puede utilizar un interruptor y

DCuna resistencia y un voltaje de 5V .

La fig. 1.28, muestra el circuito, de manera quecuando el interruptor est abierto la variable A toma

Lel valor 1 y cuando est cerrado la variable A tomaLel valor 0 .

Cuando se tiene un grupo de variables booleanas,se puede usar el circuito que se muestra en la fig.1.29 En este caso se utiliza un DIP-Switch de 8interruptores, con lo que pueden tener hasta 8posibles variables [A, B, C, D, E, F, G y H].



FIGURA 1.29

Para poder observar el valor que toma una variablede salida, por ejemplo la variable Y, se puedeutilizar el circuito de la fig. 1.30, que usa un LEDy un transistor NPN, que funciona como amplificadorEmisor-Comn que trabaja en corte y saturacin.

Cuando la seal Y [salida de una compuerta AND,Lpor ejemplo] toma el valor 0 el transistor est en

FIGURA 1.30



corte y el LED no se enciende, cuando la seal Y =L1 , el transistor se satura aproximadamente a 10mACC[V = 5V] y el LED se enciende.

Formas Estndar de las Funciones Booleanas.- Se havisto que es posible describir una funcin booleanamediante una tabla de verdad que muestra los valoresde la funcin para todas las posibles combinacionesde 0s y 1s de sus argumentos o variables de entrada.De la misma manera, se ha visto que otra forma depresentar el comportamiento de una funcin es medianteuna ecuacin booleana. En esta seccin se estudiarcmo obtener una ecuacin booleana que est descritapor una tabla de verdad.

Representacin de una Funcin Booleana Utilizando los

1s de la Tabla de Verdad [Minterms].- Para esto seutilizar el siguiente ejemplo: Disear un circuitolgico que tiene de 3-variables de entrada [C, B yA] y una variable de salida [Y], de tal manera quecuando en las entradas haya un nmero impar de 1s,

Lla salida [Y] tome el valor 1 , en cualquier otroLcaso la salida debe ser 0 . Este circuito recibe el

nombre de detector/generador de paridad.

Solucin.- La siguiente tabla de verdad muestra elcomportamiento del circuito lgico pedido. Para re-solver este problema se han utilizado 4-variables

1 2 3 4 Lauxiliares: Y , Y , Y y Y , una por cada 1 que tiene



la variable de salida Y. Cada variable auxiliar generaun producto lgico de las variables de entrada [por

4ejemplo, Y = CBA], adems tiene un mnimo de 1s yun mximo de 0s. Por esta razn, a los trminosgenerados por cada una de las variables auxiliares[1s, en la tabla de verdad], se lo denomina trminomnimo (minterm).

4 3 2 1C B A Y Y Y Y Y minterms

O O O O O O O O

O O 1 1 O O O 1

O 1 O 1 O O 1 O

O 1 1 O O O O O

1 O O 1 O 1 O O

1 O 1 O O O O O

1 1 O O O O O O

71 1 1 1 1 O O O CBA = m

Puede observarse que en cada uno de los trminosgenerados, estn presentes las 3-variables de entrada,en su forma normal o en su forma complementada. Ahorabien, la variable de salida Y, corresponde a la sumalgica de las 4-variables auxiliares, es decir



A este tipo de ecuacin booleana, en la que encada trmino estn presentes todas las variables deentrada, en su forma normal o en su formacomplementada, se la denomina forma estndar o formacannica. En este caso

FORMA CANNICA DISYUNTIVA

SUMA DE TRMINOS MNIMOS [MINTERMS]

SUMA EXPANDIDA DE PRODUCTOS

DESCOMPOSICIN EN MINTERMS

A los minterms, se los representa con una m[minscula] y un subndice que corresponde alequivalente decimal del nmero binario del que

2 10proviene; por ejemplo, m111 / m7 . De modo que, enel ejemplo anterior, la correspondiente ecuacintambin se expresa de las siguientes maneras

En general, una funcin de N-variables de entradapuede tener hasta 2 minterms. Para el caso de 3-Nvariables de entrada, los correspondientes minterms

0 1 2 3 4 5 6 7seran: m , m , m , m , m , m , m y m . Cada mintermse genera de la siguiente manera: si la variable de

Lentrada tiene el valor 0 , la variable aparececomplementada; si la variable de entrada tiene el

Lvalor 1 la variable aparece en su forma normal [sin



FIGURA 1.31

complemento].En la mayora de ocasiones se puede simplificar

una funcin cannica booleana. En el ejemplopropuesto, es posible hacer esto, en cuyo caso laecuacin simplificada es la que se indica acontinuacin.

Y = A r B r C

El circuito lgico se indica en la fig. 1.31.

En algunos casos es posible generalizar el diseode un circuito lgico. De la ecuacin anterior seve que para implementar un detector/generador deparidad impar de mayor nmero de variables de entradapuede generalizarse. Por ejemplo para 4-variablesde entrada [D, C, B, A], la funcin de salida ser

que requiere 3 compuertas XOR como se muestra en la



FIGURA 1.32

fig. 1.32.

Representacin de una Funcin Booleana Utilizando los

0s de la Tabla de Verdad [Maxterms].- La funcinbooleana de un circuito lgico puede escribirse uti-lizando los 0s de la tabla, en vez de los 1s comose hizo anteriormente. En este caso, en lugar de tenersumas de productos se tienen productos de sumas ycada 0 genera un factor en la ecuacin co-rrespondiente.

Ejemplo.- Disear un circuito digital que disponede 3-entradas [C, B y A] y una salida [Y]. La salidadebe ser 1 cuando en las entradas haya un nmero imparde 1s [detector/chequeador de paridad].

C B A Y Maxterms

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1



1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

A los trminos generados por cada uno de los 0sde la tabla de verdad, se los denomina trmino mximo(maxterm). Puede observarse que en cada uno de lostrminos generados, estn presentes las 3-variablesde entrada, en su forma normal [cuando la variable

Lcorrespondiente vale 0 ] o en su forma complementadaL[cuando la variable correspondiente vale 1 ]. De ma-

nera que la ecuacin completa utilizando los 0s dela tabla de verdad quedara como se muestra en lasiguiente ecuacin.

Esta ecuacin booleana, tambin es una formaestndar o forma cannica. En este caso

FORMA CANNICA CONJUNTIVA

PRODUCTO DE TRMINOS MXIMOS [MAXTERMS]

PRODUCTO EXPANDIDO DE SUMAS

DESCOMPOSICIN EN MAXTERMS

En general, una funcin de N-variables de entradapuede tener hasta 2 maxterms. Para el caso de 3-Nvariables de entrada, los correspondientes maxterms

0 1 2 3 4 5 6 7seran: M , M , M , M , M , M , M Y M . Cada maxterm



se genera de la siguiente manera: si la variable deLentrada tiene el valor 0 , la variable aparece en

su forma normal [sin complemento]; si la variableLde entrada tiene el valor 1 la variable aparece

complementada. A los maxterms, se los representa conuna M [mayscula] y un subndice que

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