SISTEMAS DE NUMERACIÓNSISTEMAS DE NUMERACIÓNSe produce una transformación de código humano a código binario cuando el operador de una máquina desea comunicarse, y a la inversa cuando desea interpretar el resultado de un procesamiento computacional.

Codificación Humana Traductores

Codificación Binaria

Sistemas de Numeración PosicionalesSistemas de Numeración Posicionales

Características del Sistema Posicional:Características del Sistema Posicional:

Consta de un número finito de dígitos (símbolos) distintos, numero Consta de un número finito de dígitos (símbolos) distintos, numero que define la base o raíz de cada sistema.que define la base o raíz de cada sistema.

Cada símbolo aislado representa un número especificado de Cada símbolo aislado representa un número especificado de unidades.unidades.

Los símbolos pueden ordenarse en forma monótona creciente.Los símbolos pueden ordenarse en forma monótona creciente. Formando parte de un número compuesto por varios símbolos, un Formando parte de un número compuesto por varios símbolos, un

mismo símbolo tiene una significación o peso distinto según la mismo símbolo tiene una significación o peso distinto según la posición que ocupeposición que ocupe

La posición extrema derecha corresponde a unidades (peso uno); a La posición extrema derecha corresponde a unidades (peso uno); a partir de ella, cada posición tiene el peso de la que está a su partir de ella, cada posición tiene el peso de la que está a su derecha multiplicada por la base.derecha multiplicada por la base.

El orden de una posición cambia a partir de la coma fraccionaria, El orden de una posición cambia a partir de la coma fraccionaria, creciendo a la izquierda creciendo a la izquierda

Mientras mas a la izquierda se encuentre el dígito, más Mientras mas a la izquierda se encuentre el dígito, más SIGNIFICATIVOSIGNIFICATIVO será. será.

Los números se construyen con una sucesión de dígitos:Los números se construyen con una sucesión de dígitos:

D= (.....DD= (.....D33 D D22 D D11 D D00, D, D-1-1 D D-2 -2 D D-3-3.....) a cada uno debe asignarse.....) a cada uno debe asignarse un un peso según la posición que ocupa: peso según la posición que ocupa: P= (.....pP= (.....p3 3 pp2 2 pp1 1 pp0 0 ,p,p-1 -1 p-p-2 2 pp-3-3.....).....)

Para construir el número, hay que realizar la sumatoria de los Para construir el número, hay que realizar la sumatoria de los productos entre el dígito y el peso correspondiente a la posición:  productos entre el dígito y el peso correspondiente a la posición:  

I= +I= + V(x)= V(x)= p pii * x * xii

I=-I=-

El peso de cada una de las posiciones dependerá de la base “b” El peso de cada una de las posiciones dependerá de la base “b” con que se esté trabajando Peso= bcon que se esté trabajando Peso= b ii

Esta fórmula vale tanto para las posiciones positivas como Esta fórmula vale tanto para las posiciones positivas como negativas. El primer lugar a la izquierda de la coma, es la posición negativas. El primer lugar a la izquierda de la coma, es la posición ““cero”.cero”.

Bases de Numeración mas comunesBases de Numeración mas comunes

B=10 Sistema de numeración Decimal - Dígitos 0 al 9B=10 Sistema de numeración Decimal - Dígitos 0 al 9

B= 2 Sistema de Numeración Binario - Dígitos 0 y 1B= 2 Sistema de Numeración Binario - Dígitos 0 y 1

B=16 Sistema de Numeración Hexadecimal - Dígitos 0 al B=16 Sistema de Numeración Hexadecimal - Dígitos 0 al 9 y A;B;C;D;E;F9 y A;B;C;D;E;F

CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMALCONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL

Los pesos de las distintas posiciones binarias serán:Los pesos de las distintas posiciones binarias serán:

  

.....128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1.....128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1

   Observar que se obtienen multiplicando por dos (base del sistema Observar que se obtienen multiplicando por dos (base del sistema

binario) la posición anterior.binario) la posición anterior.

Regla de TrabajoRegla de Trabajo

Escribir sobre cada posición el peso que le correspondeEscribir sobre cada posición el peso que le correspondeSumar los pesos de las posiciones cuyos bits valen uno.Sumar los pesos de las posiciones cuyos bits valen uno.

CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIOCONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO

Regla Practica 1:Regla Practica 1:- Escribir sobre cada posición el peso correspondiente en binario- Escribir sobre cada posición el peso correspondiente en binario- Comparar el número decimal de izquierda a derecha con los pesos de las posiciones. - Comparar el número decimal de izquierda a derecha con los pesos de las posiciones.

Si no llena el peso, colocar cero en la posición, si llena (aunque sobre) el peso, Si no llena el peso, colocar cero en la posición, si llena (aunque sobre) el peso, colocar uno, y seguir con el sobrante de haber dejado lleno el peso de la posición. colocar uno, y seguir con el sobrante de haber dejado lleno el peso de la posición. Avanzar hasta el final.Avanzar hasta el final.

Regla Práctica 2:Regla Práctica 2:

- Dividir en 2 sucesivamente el número hasta que el resto sea 1 ó 0- Dividir en 2 sucesivamente el número hasta que el resto sea 1 ó 0- Formar el número binario con el último cociente y los sucesivos restos.- Formar el número binario con el último cociente y los sucesivos restos.

Conversión de decimal a digital

Conversor

REPRESENTACIONES DE PARTES FRACCIONARIASREPRESENTACIONES DE PARTES FRACCIONARIAS

La representación de la parte fraccionaria debe realizarse como una La representación de la parte fraccionaria debe realizarse como una extensión de lo que es para la parte entera. Los pesos para cada extensión de lo que es para la parte entera. Los pesos para cada una de las posiciones decimales serán:una de las posiciones decimales serán:

BB-1-1; B; B-2-2; B; B-3-3............

En sistema decimal, los pesos serán: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.....En sistema decimal, los pesos serán: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.....

En binario: 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; .......En binario: 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; .......

  

Si se quiere pasar de decimal a cualquier sistema, se multiplica la Si se quiere pasar de decimal a cualquier sistema, se multiplica la parte decimal por la base, en forma sucesiva, colocándose como parte decimal por la base, en forma sucesiva, colocándose como dígito de la parte fraccionaria la parte entera de la multiplicación dígito de la parte fraccionaria la parte entera de la multiplicación anterior. Para continuar determinando nuevos dígitos fraccionarios, anterior. Para continuar determinando nuevos dígitos fraccionarios, seguir repitiendo la operación para la parte fraccionaria solamente.seguir repitiendo la operación para la parte fraccionaria solamente.

EN SINTESIS.…10

162

∑ DxP ∑ DxP

Agrupo de a 4 y transformo

Reemplazo c/dígito por 4 binarios

PARTE ENTERAa).Div Sucesivasb).Mét. Pesos

PARTE ENTERAa).Div Sucesivasb).Mét. Pesos

PARTE FRACCIONARIAMultiplic. Sucesivas

PARTE FRACCIONARIAMultiplic. Sucesivas

REPRESENTACIONES SIMBÓLICASREPRESENTACIONES SIMBÓLICAS

El ser humano es un ser simbólico, ya que puede representar realidades El ser humano es un ser simbólico, ya que puede representar realidades por símbolos, a su vez un símbolo puede representar distintas cosas.por símbolos, a su vez un símbolo puede representar distintas cosas.

Una sucesión de dígitos puede tener distintas significaciones. Dependerá del sistema de codificación bajo el cual debe interpretárselo.

NECESIDADES DE REPRESENTAR DISTINTAS INFORMACIONES

a)    ALFANUMÉRICA: para representar números, letras, signos especiales y códigos de control

b)    Numérica: Para representar números de distinto tipo: 1. Naturales 2. Enteros: pueden ser negativos o positivos 3. Racionales: Cociente entre dos números 4. Irracionales: No tienen límite en sus decimales. Son irrepresentables.

CLASIFICACION DE LAS REPRESENTACIONESCLASIFICACION DE LAS REPRESENTACIONES

FORMATOS DE LONGITUD FIJAFORMATOS DE LONGITUD FIJA (Información Numérica) (Información Numérica)

Binario Puro (Números Naturales) Binario Puro (Números Naturales)

Signo y Módulo (Enteros)Signo y Módulo (Enteros)

Coma Fija Coma Fija Complemento a 2 (Enteros)Complemento a 2 (Enteros)

        Complemento a 1 (Enteros)Complemento a 1 (Enteros)

En Exceso a M (Enteros)En Exceso a M (Enteros)

Coma Flotante (Racionales e Irracionales)Coma Flotante (Racionales e Irracionales)

  

FORMATOS DE LONGITUD VARIABLEFORMATOS DE LONGITUD VARIABLE

Códigos Decimales BCD Desempaquetado Códigos Decimales BCD Desempaquetado

(Información Numérica) Empaquetado(Información Numérica) Empaquetado

Códigos Alfanuméricos (ASCII, EBCDIC) (Información Alfanumérica Códigos Alfanuméricos (ASCII, EBCDIC) (Información Alfanumérica

BINARIO PUROBINARIO PURO

Se emplea solo para números naturales. No soporta parte decimal.Se emplea solo para números naturales. No soporta parte decimal.

  

V(X) = xV(X) = xn-1n-1 * 2 * 2n-1n-1 + .........+ x + .........+ x22 * 2 * 222+ x+ x11 * 2 * 211 + x + x00 * 2 * 200

  

El subíndice n-1 es debido a que la primera posición es 0El subíndice n-1 es debido a que la primera posición es 0

  

Menor número en esta representación: 0Menor número en esta representación: 0

Mayor Número: 2Mayor Número: 2nn – 1 – 1

  

Limitaciones de este sistema:Limitaciones de este sistema:

1.     1.      El resultado de la suma (o producto) puede superar el rango El resultado de la suma (o producto) puede superar el rango Overflow Overflow

2.     2.      Como no se pueden representar números negativos, se debe verificar que el Como no se pueden representar números negativos, se debe verificar que el minuendo sea siempre mayor que el sustraendo.minuendo sea siempre mayor que el sustraendo.

SIGNO Y MODULOSIGNO Y MODULO

Hay un bit destinado al signo:Hay un bit destinado al signo:

Si 0 Si 0 positivo positivo

Si 1 Si 1 negativo negativo

  

Menor Número: - 2Menor Número: - 2n-1n-1 + 1 + 1

Mayor número : 2Mayor número : 2n-1n-1 - 1 - 1

    

Si se tienen 5 bits para la representación Si se tienen 5 bits para la representación 1bit para signo + 4 bits para el módulo 1bit para signo + 4 bits para el módulo

Limitaciones de este sistema:Limitaciones de este sistema:

1.     1.      El cero tiene una doble representaciónEl cero tiene una doble representación

2.     2.      Antes de realizar una suma o resta se debe operar con el signoAntes de realizar una suma o resta se debe operar con el signo

3.     3.      Hay posibilidades de desbordamientoHay posibilidades de desbordamiento

COMPLEMENTOS A LA BASE O A CUALQUIER NROCOMPLEMENTOS A LA BASE O A CUALQUIER NRO

La utilización de números con “Complemento a la base”, tiene La utilización de números con “Complemento a la base”, tiene la ventaja de convertir restas en sumas, así como representar la ventaja de convertir restas en sumas, así como representar números negativos, utilizando el mismo dispositivo sumador números negativos, utilizando el mismo dispositivo sumador para positivos que para negativos.para positivos que para negativos.

En una computadora, cuando se opera con números enteros, En una computadora, cuando se opera con números enteros, se trabaja con un “número fijo” de bits.se trabaja con un “número fijo” de bits.

   En términos generales, obtener el complemento (CEn términos generales, obtener el complemento (CNN) a la ) a la

base “B”, de un número N, trabajando con un sistema de “n” base “B”, de un número N, trabajando con un sistema de “n” dígitos, es encontrar un número, tal que:dígitos, es encontrar un número, tal que:

N + CN = Bn CN = Bn - N

COMPLEMENTO COMPLEMENTO A LA BASE MENOS UNOA LA BASE MENOS UNO

Sea cualquier base en la que se esté trabajando con “n” dígitos, Sea cualquier base en la que se esté trabajando con “n” dígitos, obtener el complemento a la base menos uno, es obtener aquel obtener el complemento a la base menos uno, es obtener aquel número que verifique:número que verifique:

Desde un punto de vista operativo, es más sencillo hallar el Desde un punto de vista operativo, es más sencillo hallar el complemento a la base menos uno que el complemento a la base.complemento a la base menos uno que el complemento a la base.

Para Cualquier base:  Para Cualquier base:  

  

N + C´N = Bn - 1

CN = C´N + 1

RESTA MEDIANTE SUMA DEL COMPLEMENTO DEL SUSTRAENDORESTA MEDIANTE SUMA DEL COMPLEMENTO DEL SUSTRAENDO

Este artificio matemático se utiliza para utilizar un mismo circuito sumador para Este artificio matemático se utiliza para utilizar un mismo circuito sumador para realizar sumas y restas.realizar sumas y restas.

Justificación: N + CN = Bn Justificación: N + CN = Bn - N = CN - Bn - N = CN - Bn

Por otra parte: CN = C´N + 1Por otra parte: CN = C´N + 1

Operativamente obtener el complemento a 2 es cambiar 0 por 1 y uno por ceros Operativamente obtener el complemento a 2 es cambiar 0 por 1 y uno por ceros (complemento a uno) y sumarle 1. Luego restarle Bn es eliminar el arrastre.(complemento a uno) y sumarle 1. Luego restarle Bn es eliminar el arrastre.

A – N = A + CN - Bn ; se puede ver que A menos N es A mas el complemento a la base de N menos Bn (Siendo Bn el arrastre)

A – N = A + CN - Bn = A + (C´N + 1) - Bn = A + C´N - Bn + 1 : A menos N es igual a A + el Complemento a 1 – el arrastre + 1

RANGO PARA EL COMPLEMENTO A DOSRANGO PARA EL COMPLEMENTO A DOS

Valores Positivos: 0 a (2nValores Positivos: 0 a (2n-1-1 –1) –1) Valores Negativos: -1 a (- 2n-1)Valores Negativos: -1 a (- 2n-1)

Para n= 8 bitsPara n= 8 bits Menor Valor Positivo: 0 Menor Valor Positivo: 0 00000000 00000000 Mayor Valor Positivo: 127 Mayor Valor Positivo: 127 01111111 01111111

Mayor Valor Negativo: -1 Mayor Valor Negativo: -1 11111111 11111111 Menor Valor Negativo: -128 Menor Valor Negativo: -128 10000000 10000000

Combinaciones Posibles: Combinaciones Posibles: 128 Positivos + 128 Negativos = 256128 Positivos + 128 Negativos = 256

EN SINTESIS…EN SINTESIS…

Cuando se tiene que operar con números negativos, se hace imprescindible trabajar Cuando se tiene que operar con números negativos, se hace imprescindible trabajar con complemento a dos.con complemento a dos.

Para pasar un número positivo a C2, no se cambia.Para pasar un número positivo a C2, no se cambia.

Para pasar un número negativo a C2:Para pasar un número negativo a C2:

Se expresa en binario negativoSe expresa en binario negativo

Se complementan con ceros los bits disponiblesSe complementan con ceros los bits disponibles

Se pasa a complemento a Uno, cambiando 0 x 1 y 1 x 0Se pasa a complemento a Uno, cambiando 0 x 1 y 1 x 0

Se suma 1 al C1 para lograr el complemento a 2Se suma 1 al C1 para lograr el complemento a 2

Para pasar de C2 a Decimal:Para pasar de C2 a Decimal:

Si el primer dígito es cero Si el primer dígito es cero Positivo Positivo Convertir directamente a Decimal Convertir directamente a Decimal

Si el primer dígito es uno: Si el primer dígito es uno: Negativo Negativo Restar uno para obtener C1 Restar uno para obtener C1 Cambiar 1 x 0 y 0 x 1: para obtener el binario con signo negativo.Cambiar 1 x 0 y 0 x 1: para obtener el binario con signo negativo.

REPRESENTACIÓN EN EXCESO A MREPRESENTACIÓN EN EXCESO A M

Consiste en agregar un valor Constante M al número a representar y luego Consiste en agregar un valor Constante M al número a representar y luego hacerlo en binario puro:hacerlo en binario puro:

Si M= 2 (n-1)-1

Para hacer la representación de N Excedido 2 (n-1)-1 puede hacerse:

a) Si el nro es negativo: Hacer C1 y cambiar el primer bit (0 x 1 ó 1 x 0)

b) Si el nro es positivo: Hacer la suma del número + el Exceso

La Representación en Exceso a M (siempre que sean 2 (n-1) ó 2 (n-1)-1) puede trabajarse como un caso particular de C2 ó C1, de tal forma que si son números negativos, para construir los excesos se elimina la resta.

(N + M)2

REPRESENTACIONES EN PUNTO FLOTANTEREPRESENTACIONES EN PUNTO FLOTANTE Surgen, a partir de la necesidad de representar números muy chicos y muy grandes. Surgen, a partir de la necesidad de representar números muy chicos y muy grandes.

m: Mantisa; Positivo o Negativo ym: Mantisa; Positivo o Negativo y

Comprendida entre 1 y 10Comprendida entre 1 y 10

p: exponente: número enterop: exponente: número entero

Este formato, permite representar gran cantidad de números, con relativamente Este formato, permite representar gran cantidad de números, con relativamente pocos bits.pocos bits.

Existe un formato en la representación en punto flotante que es el más utilizado en Existe un formato en la representación en punto flotante que es el más utilizado en los procesadores: IEEE 754, que representa cada número con 4 bytes (8 byte los procesadores: IEEE 754, que representa cada número con 4 bytes (8 byte Precisión doble)de la siguiente manera:Precisión doble)de la siguiente manera:

0 1 8 9 310 1 8 9 31

1 bit 8 bits 23 bits1 bit 8 bits 23 bits

Nro en P. F. = ± m . 10 Nro en P. F. = ± m . 10 ±p±p

Sm Exponente Mantisa

Ejemplo: representar el número 12,37510 en coma flotante

Numero FormatoBinario Exponente Exceso 127

12,37510

1100,0112 1,100011 x (10)11 310 112 10000010

+ 0 En exceso a 127 Forma 1,M

FORMATOS DE REPRESENTACIÓN DE FORMATOS DE REPRESENTACIÓN DE LONGITUDES VARIABLESLONGITUDES VARIABLES

REPRESENTACIONES REPRESENTACIONES

ALFANUMÉRICASALFANUMÉRICAS

““Los sistemas de codificación alfanumérica, representan cada carácter con Los sistemas de codificación alfanumérica, representan cada carácter con un determinado número, de tal forma de que se pueda comparar cada uno un determinado número, de tal forma de que se pueda comparar cada uno de ellos y organizarlos alfabéticamente en sentido creciente o decreciente”.de ellos y organizarlos alfabéticamente en sentido creciente o decreciente”.

ASCII

EBCDIC

UNICODE

TABLA ASCIITABLA ASCII

TABLA EBCDICTABLA EBCDIC

FORMATO DECIMAL CODIFICADO EN BINARIO (BCD)FORMATO DECIMAL CODIFICADO EN BINARIO (BCD)

Consiste en asignar a cada dígito decimal su correspondiente Consiste en asignar a cada dígito decimal su correspondiente codificación binaria utilizando cuatro bits.codificación binaria utilizando cuatro bits.

Esta representación sirve para representar números enteros Esta representación sirve para representar números enteros como fraccionarios, con solo definir por formato la cantidad de como fraccionarios, con solo definir por formato la cantidad de posiciones decimales.posiciones decimales.

Variantes en la representación BCD

BCD Desempaquetado

BCD Empaquetado

BCD DesempaquetadoBCD Desempaquetado

Utilizado en la entrada de datos desde periféricos: codificados Utilizado en la entrada de datos desde periféricos: codificados como alfanuméricos con un byte para cada número: Como como alfanuméricos con un byte para cada número: Como sobran 4 bits para cada dígito, se rellena con cuatro unos (F en sobran 4 bits para cada dígito, se rellena con cuatro unos (F en hexadecimal) salvo para el dígito menos representativo que se hexadecimal) salvo para el dígito menos representativo que se emplea para el signo los 4 bits redundantes: emplea para el signo los 4 bits redundantes:

Se rellena con F los bits redundantes, ya que en EBCDIC, los Se rellena con F los bits redundantes, ya que en EBCDIC, los números empiezan con Fnúmeros empiezan con F

FF indica positivo implícito indica positivo implícitoCC positivo explícito positivo explícitoDD Negativo explícito Negativo explícito

BCD EmpaquetadoBCD Empaquetado

Como una forma de aprovechar más que en el formato anterior, se Como una forma de aprovechar más que en el formato anterior, se codifican dos dígitos decimales por byte, conservando el último medio codifican dos dígitos decimales por byte, conservando el último medio byte para el signobyte para el signo

Los datos empaquetados deben emplear un número entero de bytes, Los datos empaquetados deben emplear un número entero de bytes, por lo que si el número tiene un número par de dígitos, se debe rellenar por lo que si el número tiene un número par de dígitos, se debe rellenar el medio byte sobrante con ceros.el medio byte sobrante con ceros.

Estos formatos se denominan de longitud variable, porque dependerán Estos formatos se denominan de longitud variable, porque dependerán los bytes ocupados del tamaño del número ha definir (se define un los bytes ocupados del tamaño del número ha definir (se define un máximo según la precisión).máximo según la precisión).

La conversión de datos en BCD es inmediata, no siendo muy simples La conversión de datos en BCD es inmediata, no siendo muy simples los circuitos para operar matemáticamente con ellos.los circuitos para operar matemáticamente con ellos.

Ejemplo: Represente en codificación BCD los siguientes números:

Numero

BCD NATURAL

Repr.

BCD DESEMPAQUETADO BCD EMPAQUETADO

0276

0000 0010 0111 0110

+ 276 + 276

2

0010 0111 0110 1100

67 C

0010 0111 1100 0110 1111 1111

2 7 6CFF

REPRESENTACIONES REDUNDANTESREPRESENTACIONES REDUNDANTES

Son aquellas que emplean más dígitos de los estrictamente necesarios para la Son aquellas que emplean más dígitos de los estrictamente necesarios para la representación, a efectos de detectar posibles fallos.representación, a efectos de detectar posibles fallos.

Bit de Paridad: Es un caso de representación redundante, donde se agrega un bit que Bit de Paridad: Es un caso de representación redundante, donde se agrega un bit que contabiliza la paridad de la representación. contabiliza la paridad de la representación.

Regla: Si la cantidad de “unos es par”Regla: Si la cantidad de “unos es par” bit de paridad 1. bit de paridad 1.

Si la cantidad de “unos” es impar Si la cantidad de “unos” es impar bit de paridad cero. bit de paridad cero.