Sistemas de Numeración

Instituto Superior de Formación Docente N° 111

“Mariano Moreno”

Profesorado de Educación Primaria

Taller de Pensamiento Lógico Matemático

Sistema de numeración

ISFD Nº 111 – Moreno, Profesorado de Educación Primaria, Cátedra Taller de Pensamiento Lógico Matemático.

Prof. Daniel Marcelo Assum

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Sistemas de Numeración

Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones. Cuando los hombres comenzaron a contar usaron los dedos, piedras, marcas en bastones y otras muchas formas. Pero cuando las medidas son grandes se hace necesario un sistema de representación práctico. ¿Cómo lo hacemos para expresar 1000 cabras con los dedos? Los sistemas de numeración se dividen en dos grandes grupos: aditivos y posicionales. En los aditivos se acumulan tanto símbolos como sea necesario hasta completar el número, mientras que en los posicionales la posición de una cifra nos indica el valor: decenas, centenas, etc. SISTEMAS DE NUMERACIÓN ADITIVOS

Sistema de numeración Egipcio Los egipcios usan un sistema de escritura en base diez utilizando los símbolos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades:

Se usaban tantos símbolos como fuese necesario, y se pueden escribir indistintamente de izquierda a derecha o de arriba abajo. Por ejemplo:



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1) Representar en el sistema de numeración egipcio los números: 45; 138; 576; 739; 999; 1540;

2037; 4567; 5320; 10001.

Sistema de numeración Griego “ático” Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos

2) Representar en el sistema de numeración griego los números del punto anterior.

Sistema de numeración Romano

Integrado por símbolos como:

Además de los símbolos la construcción de los números se realiza mediante reglas básicas:

1) Las letras se leen de izquierda a derecha. A la izquierda se ponen las de mayor valor y a la derecha las de menor valor. Se suman los valores de las letras. Por ejemplo: XXIII es 10+10+1+1+1=23, LXVI es 50+10+5+1=66.

2) Cada una de las letras asociadas con el 1 (I, X, C, M) puede repetirse y aparecer seguidas hasta tres veces, pero las asociadas con el 5 (V, L, D) no pueden repetirse e ir seguidas. Expresiones válidas serían XXX (30), CCCIII (303), LV (55) y DL (550). Expresiones no válidas son MMMM, IIII, LL, DD.



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3) La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades. Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900.

4) Si entre dos cifras cualesquiera existe otra de menor valor, ésta restará su valor a la siguiente. Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129

5) Con los símbolos anteriores se puede llegar a escribir hasta el número 3.999. Para construir números superiores se colocan rayas horizontales por encima del número, y dicho valor queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.

Ejemplos: ̅= 1.000.000

3) Escribir en el sistema decimal los números: XXV =……………………………

XLVI =……………………………

XLIX =……………………………

CDXC =…………………………

CXCIV =…………………………

MMXI =………………................

CMLXII =……………………….

CMXCIX =……………..............

CDXCIX =……………………..

CXCCXC =…………………….

DCCXCIV =……………………

CCLXIX =………………………..

DLXXXIII =………………………

MMDCCVI =…………................

CCLVIII =……………………….

MMCLXXXVII =………………..

MMDCCCXLV =………………..

=………………………..

=………………………..

=…………………….

=……………............

SISTEMAS DE NUMERACIÓN HÍBRIDOS En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.



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Sistema de numeración Chino

Cuyos símbolos son:

Con este sistema se opera de la siguiente manera:

1) Las cifras de las unidades del 1 al 9 multiplican a las potencias de 10. 2) El resultado obtenido de las multiplicaciones se suma. 3) Las cifras se pueden escribir de arriba hacia abajo o de izquierda a derecha.

Por ejemplo: Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés. 4) Representar en el sistema de numeración chino los números: 28; 40; 45; 70; 300; 600; 763;

2010; 5000; 19675.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES En ellos la posición de una cifra nos dice el valor que tiene. Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo.



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Sistema de numeración Decimal (base 10) Es el más utilizado, cuenta con diez elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Las operaciones que en él se pueden dar son las aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etc.) y lógicas (Unión - disyunción, Intersección - conjunción, negación, Diferencia, Complemento, etc.). Las relaciones entre los números del sistema decimal son mayor que, menor que, igual y a nivel lógico son pertenencia y contenencia. En este sistema de numeración para pasar a una unidad de orden superior acumulamos cada 10 elementos. 10 elementos forman 1 unidad 10 elementos forman 1 unidad De orden superior de orden superior

⏟

⏟

⏟

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. Por ejemplo: En este sistema el número 528, significa:

Sistema de numeración en base n En este caso podemos representar cualquier número como combinación de potencias de cualquier otro número entero. Supongamos que escribiremos un número cualquiera en base “b” (entero), la expresión de dicho número como combinación de potencias de “b” sería

En donde sólo pueden tomar valores entre 0 y b. Y n representará la cantidad

de dígitos necesarios para representar dicho número en esa base. Por ejemplo: escribir el número decimal 243 en las bases 2.



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Los coeficientes sólo pueden tomar los valores 0 y 1. Y el siguiente interrogante

a responder es: ¿Cuánto elementos soporta cada posición en esta base?

⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞ ⏞

Lo siguiente que debemos hacer es distribuir los 243 elementos formando conjunto de 2

elementos cado unos, entonces:

en la primera instancia podemos formar 121 conjuntos de 2 elementos cada uno, sobrando 1

elemento. Con lo cual

luego debemos agrupar de nuevo de a 2 elementos, pero esta ves lo aremos con los 121

conjuntos (de 2 elementos cada uno) que resultaron del agrupamiento anterior. Entonces:

En esta ocasión podemos formar 60 conjuntos de 4 elementos cada uno, recordemos que los

conjuntos anteriores tenían 2 elementos, sobrando 1conjunto de 2 elementos. Con lo cual

luego debemos agrupar de nuevo de a 2 elementos, pero esta ves lo aremos con los 60 conjuntos

(de 4 elementos cada uno) que resultaron del agrupamiento anterior. Entonces:


conjuntos anteriores tenían 4 elementos, no sobrando ningún conjunto de 4 elementos. Con lo

cual





4


conjuntos anteriores tenían 8 elementos, no sobrando ningún conjunto de 8 elementos. Con lo

cual




conjuntos anteriores tenían 16 elementos, sobrando 1 conjunto de 16 elementos. Con lo cual









Como no podemos seguir agrupando de a 2 elementos, el cociente anterior indica que tenemos 1

grupo de 128 elementos con lo cual



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Pudiendo ahora formar el número en base 2.

Entonces podemos expresar el número decimal 243 en base 2

( ) ( )

5) Representar en base 2 los números decimales: 28; 69; 117; 540; 1720.





10) Escribir los siguientes números decimales como combinación de potencias en base 2:

152 =…………………………………………………………………………………………..

95 =……………………………………………………………………………………………

37 =……………………………………………………………………………………………


249 =…………………………………………………………………………………………….

525 =…………………………………………………………………………………………….

737 =…………………………………………………………………………………………….



6


341 =…………………………………………………………………………………………….

661 =…………………………………………………………………………………………….

1237 =……………………………………………………………………………………………


1243 =…………………………………………………………………………………………….

2120 =…………………………………………………………………………………………….

978 =………………………………………………………………………………………………

14) Escribir los siguientes números en el sistema decimal:

a) ( ) =…………………………………………………………………………………….

b) ( ) =……………………………………………………………………………………

c) ( ) =………………………………………………………………………………….

d) ( ) =………………………………………………………………………………………

e) ( ) =………………………………………………………………………………………

f) ( ) =………………………………………………………………………………….

g) ( ) =…………………………………………………………………………………….

h) ( ) =…………………………………………………………………………………….

i) ( ) =………………………………………………………………………………….

j) ( ) =……………………………………………………………………………………….

k) ( ) =…………………………………………………………………………………….

l) ( ) =……………………………………………………………………………………...

m) ( ) =……………………………………………………………………………………….

n) ( ) =…………………………………………………………………………………….

o) ( ) =……………………………………………………………………………………



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OPERACIONES ARITMÉTICAS EN DISTINTOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Suma

( ) ( )

( )

Se realiza de la misma manera que en base 10, lo que tenemos que tener en cuenta es que

acumulamos cada 8 en este caso.

Resta +8

( ) ( )

( )

Se realiza de la misma manera que en base 10, lo que tenemos que tener en cuenta es que

acumulamos cada 8, entonces cuando pasamos (de ser necesario) de izquierda a derecha una

unidad para poder restar debemos sumar, en este caso, 8 y no diez elementos como en el

sistema decimal.

Multiplicación

Por ejemplo elijamos el sistema en base 6, armemos la tabla del producto de los números

menores a la base:



8

Realicemos la siguiente multiplicación

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

En este caso es igual a la multiplicación en el sistema decimal, pero teniendo en cuenta la tabla

del producto en la base utilizada.

División

Debemos tener en cuenta la suma y el pruducto en la misma base en la cual se va a realizar la

división.

Realicemos esta operación en base 3. Dividir ( ) por ( )



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16) Realizar las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

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