Sistemas de Numeración

I semestre 2011

Sistema Decimal

• 7392

– 7 ∗ 103 + 3 ∗ 102 + 9 ∗ 101 + 2 ∗ 100

• 10 símbolos: 0 – 9 • Un número decimal puede ser expresado por una serie

de coeficientes: – 𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0 , 𝑎−1 𝑎−2 donde el subíndice

representa el exponente de 10

• Se dice que el sistema de números decimales tiene la base o raíz I0 debido a que que los coeficientes son multiplicados por potencias de 10

Sistema Binario

• Los coeficientes del sistema binario son 0 o 1.

• Cada coeficiente 𝑎𝑗 se multiplica por 2𝑗.

• Ejemplo:

– 1101,1 corresponde a

– 1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 21 + 1 ∗ 20 + 1 ∗ 2−1 = 13,5

• Ejercicios

– 111,01

– 10000,11

Sistema en Base r

• Tiene coeficientes multiplicados por potencias de base r.

• Los coeficientes están entre 0 y r-1

• Para distinguir que la cantidad está expresada en base r se utiliza la notación: (𝑥)𝑟

Sistemas en Base r

• Para bases r <= 10 se utilizan como coeficientes los dígitos 0 a r-1.

• Para bases r > 10 se utilizan los dígitos de 0 a 9 y las primeras letras del alfabeto.

• Por ejemplo el sistema hexadecimal utiliza:

– 0 - 9, A, B, C, D, E, F

• (1FA)16= 1 ∗ 162 + 15 ∗ 161 + 10 ∗ 160 = 256 + 240 + 10 = 506

Equivalencia bases 10, 2, 8 y 16

15

Suma – Ejemplo base 8

0

1

2

3

4

5

6

7

7 + 1 = 0 y se genera un acarreo de 1

Conversiones entre bases diferentes

• Un número binario puede ser convertido a base 10 sumando las potencias de base 2 de los coeficientes iguales a 1.

– (11001)2= 24 + 23 + 20 = 25

• Un número en base r puede ser convertido a base 10 sumando los productos de cada coeficiente por su respectiva potencia de r.

– (210)3= 2 ∗ 32 + 1 ∗ 31 = 21

Conversión base 10 a base 2

• 41 % 2 == 1 41 // 2 == 20

• 20 % 2 == 0 20 // 2 == 10

• 10 % 2 == 0 10 // 2 == 5

• 5 % 2 == 1 5 // 2 == 2

• 2 % 2 == 0 2 // 2 == 1

• 1 % 2 == 1 1 // 2 == 0

(41)10= (101001)2

41 20 1 10 0 5 0 2 1 1 0 0 1

Conversión base 10 a base r

(153)10= (231)8

153 19 1 2 3 0 2

r = 8

Conversión de fracciones base 10 a base 2

entero fracción coeficiente

• 0.6875 x 2 1 0.3750 𝑎−1 = 1

• 0.3750 x 2 0 0.7500 𝑎−2 = 0

• 0.7500 x 2 1 0.5000 𝑎−3 = 1

• 0.5000 x 2 1 0.0000 𝑎−4 = 1

(0.6875)10= (0.1011)2

La fracción se multiplica por 2, el entero será el coeficiente y se repite el proceso hasta que la fracción sea 0 o se tenga la suficiente precisión.

Conversión de fracciones base 10 a base r

entero fracción coeficiente

• 0.6875 x 4 2 0.7500 𝑎−1 = 2

• 0.7500 x 4 3 0.0000 𝑎−2 = 3

(0.6875)10= (0.23)4

La fracción se multiplica por r, el entero será el coeficiente (de 0..r-1) y se repite el proceso hasta que la fracción sea 0 o se tenga la suficiente precisión.

r = 4

Conversiones base 2, 8, 16

• 23 = 8 24 = 16

•1

1

101

5 000

0

011

3

110

6

•1

1

1010

A 0001

1

1110

E

(1 101 000 011 110)2

(15036)8

(1 1010 0001 1110)2

(1A1E)16

Grupos de 3

Grupos de 4

Por qué usar octal o hexadecimal

• Considere

– 111111111111

• Es más sencillo para un humano visualizarlo como 7777 o FFF en base 8 o base 16 respectivamente.

Complementos

• Los complementos simplifican las restas y las operaciones lógicas.

• Hay dos clases de complementos para cada sistema de base r:

– El complemento de r o complemento a la base

– El complemento de (r-1) o complemento a la base disminuida

El complemento de r

• Dado un número positivo N en base r con parte entera de n dígitos, se define el complemento de r de N o complemento a la base como:

• rn – N para N≠0 y

• 0 para N=0.

Ejemplos

• Suponga base 10, entonces el complemento de 10 de (7892)10 = (2108)10

104 – 7892 =

Observe que el complemento a la base de un número corresponde a la cantidad necesaria para llegar a la siguiente potencia de 10.

0 9 9 9

10000 - 7892 2108

1

Ejemplos

• Suponga base 2, entonces el complemento de 2 de (10010)2 = (01110)2

25 – 10010 =

0 1 1 1 1

100000 - 10010

01110

1

El complemento de r-1

• Dado un número positivo N en base r con parte entera de n dígitos y una parte fraccionaria de m dígitos, se define el complemento de (r-1) de N como:

𝑟𝑛 − 𝑟−𝑚 − 𝑁

• Por lo tanto el complemento de r es igual al complemento de r-1 + 𝑟−𝑚

Ejemplos

• Suponga base 10, entonces el complemento de 9 de (824)10 es (175)10

103 – 100 - 824 = 999 – 824 = 175

• El complemento de 9 de (85.49)10 es (14.50)10

999 - 824 175

Resta en base r utilizando complemento de r

• Calcular M – N • M = Minuendo • N = Sustraendo

• Se suma al Minuendo el complemento de r del sustraendo N. Sea S el resultado y A el acarreo final.

• Si A es 1: El resultado es S.

Si A es 0: El resultado es el complemento de r de S negativo.

Resta en base r utilizando complemento de r - 1

• Calcular M – N • M = Minuendo

• N = Sustraendo

• Se suma al Minuendo el complemento de r - 1 del sustraendo N. Sea S el resultado y A el acarreo final.

• Si A es 1: Se suma el acarreo al dígito menos significativo de S.

Si A es 0: El resultado es el complemento de r-1 de S con signo

negativo.

Representación de números negativos en binario (base 2)

• Signo más magnitud

• Complemento a la base – 1

• Complemento a la base

Signo más magnitud (n bits)

• El bit más significativo se utiliza para codificar el signo: 0 – positivo 1 – negativo

• Los n-1 bits representan el significado que es la magnitud del número (su valor absoluto)

• Desventajas – No permite operar aritméticamente

– Posee doble representación para el 0

• Ventajas: rango simétrico (ej. para 8 bits el rango es de -127 a +127)

Complemento a la base – 1 (n bits)

• El bit más significativo se utiliza para codificar el signo: 0 – positivo 1 – negativo

• Los n-1 bits representan El valor absoluto del número para positivos El complemento a 1 del valor absoluto para números

negativos

• Desventajas – Posee doble representación para 0

• Ventajas Rango simétrico (ej. para 8 bits el rango es de -127 a +127) Permite operar aritméticamente: el último acarreo se

suma al resultado

Complemento a la base (n bits)

• El bit más significativo se utiliza para codificar el signo: 0 – positivo 1 – negativo

• Los n-1 bits representan El valor absoluto del número para positivos El complemento a 2 del valor absoluto para números

negativos 100..00 (con n bits) representa –2**(n-1)

• Desventajas – Rango asimétrico (ejemplo para 8 bits: 127 a -128)

• Ventajas No posee doble representación para 0 Permite operar aritméticamente

Resumen

Quiz

1. Convierta a. (1101)2 => ( )8

b. (1111 0001) 2 => ( )16

2. Escriba los primeros 10 números en base 4 a partir de 0.

3. Reste en base 5: 20043 – 344.

4. Si un computador utiliza 12 bits para representar sus direcciones de memoria, cuál es su espacio de direcciones (dirección inicial a dirección final)?