Sistemas de Medida y Regulacin

7/22/2019 Sistemas de Medida y Regulacin

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I TEMA DEMEDIDA Y

REGULACION

José Antonio NAVARRO MARQUEZ



PRIMER CURSO

GRADO SUPERIOR

SISTEMAS DE REGULACIONY CONTROL AUTOMATICOS

Sistemas de Medida y RegulaciónPrimera Edición: Septiembre 2002

Autor: José Antonio NAVARRO MARQUEZ

Depósito legal: Z – 2353/2002



A mis padres,a mi esposa Mª Pilar,

y a mi hijo Mario.



I

Índice temático

PROLOGO.................................................................................................................................................v

UNIDAD 1Principios básicos de la regulación automática.

1.1 Procesos de control. Introducción........................................................................................................11.2 Clasificación de los procesos de control..............................................................................................2

1.2.1 Procesos de control de lazo abierto y lazo cerrado........................................................................................................21.2.2 Procesos de control lineales y no lineales......................................................................................................................51.2.3 Procesos invariantes y variantes con el tiempo..............................................................................................................51.2.4 Procesos de control continuos y procesos de control de datos muestreados y digitales...............................................51.2.5 Procesos de control de eventos discretos. ....................................................................................................................7

1.3 Regulación de un proceso. Conceptos y elementos característicos...................................................81.3.1 Elementos característicos en un control de lazo abierto de una variable. ......................................................................81.3.2 Elementos característicos en un control de lazo cerrado de una variable......................................................................91.3.3 Conceptos y definiciones de los procesos de control. .................................................................................................14

1.4 Regulación manual y automática. .......................................................................................................171.5 Realimentación. Conceptos generales................................................................................................18

1.5.1 Función de transferencia de un proceso realimentado. ...............................................................................................191.5.2 Efecto de la realimentación sobre la ganancia total. ....................................................................................................201.5.3 Efecto de la realimentación sobre la estabilidad. .........................................................................................................201.5.4 Efecto de la realimentación sobre la sensibilidad.........................................................................................................211.5.5 Efecto de la realimentación sobre las perturbaciones externas o ruido........................................................................21

Ejercicios de profundización y refuerzo......................................................................................................23

UNIDAD 2La transformada de Laplace.

2.1 Justificación de la transformada de Laplace......................................................................................272.2 La variable compleja s .........................................................................................................................27

2.2.1 Concepto de variable compleja. ...................................................................................................................................272.2.2 Función compleja.........................................................................................................................................................282.2.3 Polos y ceros de una función compleja........................................................................................................................29

2.3 Ecuaciones diferenciales en sistemas físicos....................................................................................302.3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales................................................................................................................312.3.2 Ecuaciones diferenciales no lineales. ..........................................................................................................................31

2.4 Transformada de Laplace....................................................................................................................312.4.1 Definición de la transformada de Laplace....................................................................................................................312.4.2 Teoremas de la transformada de Laplace....................................................................................................................35

2.5 Transformada inversa de Laplace.......................................................................................................382.5.1 Transformada inversa de Laplace por expansión en fracciones parciales...................................................................382.5.2 Aplicación de la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. ..............42

Ejercicios de profundización y refuerzo......................................................................................................44

UNIDAD 3Modelos matemáticos de sistemas físicos.

3.1 Introducción al modelo matemático. ..................................................................................................473.1.1 Sistemas lineales y no lineales. ...................................................................................................................................473.1.2 Métodos para el análisis de sistemas lineales. ............................................................................................................483.1.3 Función de transferencia y de respuesta-impulso. ......................................................................................................483.1.4 Teoría de control moderna. Ecuaciones de estado......................................................................................................49

3.2 Diagramas de bloques.........................................................................................................................523.2.1 Elementos constituyentes de un diagrama de bloques. ...............................................................................................523.2.2 Procedimientos para trazar un diagrama de bloques...................................................................................................53

3.3 Sistemas eléctricos..............................................................................................................................563.4 Sistemas mecánicos............................................................................................................................61

3.4.1 Dinámica traslacional...................................................................................................................................................623.4.2 Dinámica rotacional. ....................................................................................................................................................65

3.4.3 Energía mecánica y pérdidas.......................................................................................................................................673.4.4 Trenes de engranajes, correas de transmisión y palancas..........................................................................................683.4.5 Modelos matemáticos..................................................................................................................................................70



Sistemas de medida y regulación

II

3.5 Sistemas térmicos. ..............................................................................................................................743.6 Procesos de control de nivel de líquidos............................................................................................77Actividades de enseñanza – aprendizaje. ...................................................................................................81Ejercicios de profundización y refuerzo......................................................................................................82

UNIDAD 4Sistemas de adquisición y tratamiento de datos.

4.1 La cadena de adquisición. Estructura básica y características.........................................................874.2 Equipos e instrumentos.......................................................................................................................88

4.2.1 Clasificación en función del instrumento. ....................................................................................................................884.2.2 Clasificación en función de la variable de proceso.......................................................................................................924.2.3 Código de identificación de instrumentos. ...................................................................................................................93

4.3 Sensores y transductores....................................................................................................................954.3.1 Clasificación de sensores y transductores. .................................................................................................................964.3.2 Transductores de presión............................................................................................................................................974.3.3 Transductores de caudal. ..........................................................................................................................................1034.3.4 Transductores de nivel. .............................................................................................................................................109

4.3.5 Transductores de temperatura...................................................................................................................................1134.3.6 Transductores de velocidad.......................................................................................................................................1184.3.7 Codificadores de posición y sentido de giro (encoders). ...........................................................................................1194.3.8 Transductores de otras variables de medida. ............................................................................................................120

4.4 Acondicionadores y convertidores de señales................................................................................. 1214.4.1 Puente de Wheatstone como acondicionador de señal. ............................................................................................1214.4.2 Convertidores de señal. .............................................................................................................................................1244.4.3 Procesamiento de la señal.........................................................................................................................................127

4.5 Transmisores y buses industriales. ..................................................................................................1314.5.2 Comunicaciones. Buses industriales.........................................................................................................................135

Actividades de enseñanza – aprendizaje. .................................................................................................137Ejercicios de profundización y refuerzo....................................................................................................138

UNIDAD 5

Análisis funcional de los procesos de control de lazo cerrado.5.1 Análisis de la respuesta transitoria...................................................................................................139

5.1.1 Señales de prueba típicas. ........................................................................................................................................1405.1.2 Respuesta transitoria en sistemas de primer orden...................................................................................................1425.1.3 Respuesta transitoria en sistemas de segundo orden...............................................................................................147

5.2 Funciones básicas de control. ..........................................................................................................1575.2.1 Control de dos posiciones..........................................................................................................................................1585.2.2 Control proporcional...................................................................................................................................................1595.2.3 Acción de control integral...........................................................................................................................................1605.2.4 Acción de control proporcional e integral (PI). ...........................................................................................................1605.2.5 Acción de control proporcional y derivativo (PD)........................................................................................................1615.2.6 Acción de control proporcional-integral-derivativo (PID). ...........................................................................................162

5.3 Análisis de estabilidad de los procesos de lazo cerrado. ................................................................1625.3.1 Polos dominantes en lazo cerrado.............................................................................................................................163

5.3.2 Métodos para determinar la estabilidad de procesos de control lineales....................................................................1645.3.3 Criterio de Routh-Hurwitz. .........................................................................................................................................164

5.4 Efecto de las funciones de control sobre el comportamiento de un sistema................................. 1695.4.1 Efecto de la función de control integral. .....................................................................................................................1695.4.2 Efecto de la función de control proporcional e integral...............................................................................................1715.4.3 Efecto de la función de control derivativa...................................................................................................................1735.4.4 Efecto de la función de control proporcional y derivativa............................................................................................174

5.5 Análisis del error en estado estable..................................................................................................1765.5.1 Tipos de sistemas según la capacidad de seguimiento de las señales de entrada. ..................................................1765.5.2 Errores en estado estable..........................................................................................................................................176

5.6 Control en cascada. ...........................................................................................................................1845.7 Control de ratio. .................................................................................................................................1865.8 Control por prealimentación (feedforward ). .....................................................................................187Actividades de enseñanza – aprendizaje. .................................................................................................190Ejercicios de profundización y refuerzo....................................................................................................192



Indice temático

III

UNIDAD 6Control digital y de eventos discretos.

6.1 Técnicas de control de eventos discretos. .......................................................................................1996.1.1 Técnicas de transición de estados. ...........................................................................................................................1996.1.2 Técnicas de control tradicional. .................................................................................................................................2046.1.3 Control concurrente. ..................................................................................................................................................2076.1.4 Control jerárquico.......................................................................................................................................................209

6.2 Técnicas de control por ordenador...................................................................................................2096.2.1 Control Digital Directo (DDC). ...................................................................................................................................2106.2.2 Control supervisor......................................................................................................................................................2126.2.3 Control distribuido......................................................................................................................................................213

Ejercicios de profundización y refuerzo....................................................................................................216

UNIDAD 7Diseño de controladores.

7.1 Configuración de controladores electrónicos. .................................................................................2177.1.1 El amplificador operacional........................................................................................................................................2177.1.2 Comportamiento y realización práctica de los controladores......................................................................................2197.1.3 Controlador de acción proporcional. ..........................................................................................................................2197.1.4 Controlador de acción integral. ..................................................................................................................................2217.1.5 Controlador de acción proporcional e integral (PI).....................................................................................................2227.1.6 Controlador de acción derivativa. ...............................................................................................................................2237.1.7 Controlador de acción proporcional y derivativa (PD). ...............................................................................................2247.1.8 Controlador de acción proporcional, integral y derivativa (PID)..................................................................................225

7.2 Configuración de controladores neumáticos. ..................................................................................2267.2.1 Comparación entre sistemas neumáticos y sistemas hidráulicos..............................................................................2267.2.2 Controlador neumático de acción proporcional..........................................................................................................2277.2.3 Controlador neumático de acción proporcional y derivativa (PD). ..............................................................................2297.2.4 Controlador neumático de acción proporcional e integral (PI)....................................................................................2307.2.5 Controlador neumático de acción proporcional, integral y derivativa (PID).................................................................231

Actividades de enseñanza – aprendizaje. .................................................................................................232

Ejercicios de profundización y refuerzo....................................................................................................234

Bibliografía ...........................................................................................................................................235




IV



V

Prólogo

El Ciclo Formativo de Sistemas de Control y Regulación Automáticos es uno de los cuatro ciclos de Grado

Superior de los que consta la Familia Profesional de Electricidad / Electrónica. Este ciclo basa su perfilprofesional en el desarrollo de equipos e instalaciones automáticas de medida, control y regulación paramáquinas, procesos y aplicaciones industriales en general.

Una de las unidades de competencia que establece el Título Profesional, correspondiente al Real Decreto619/95 (B.O.E. 8 de Agosto de 1995), es la de Desarrollar y mantener sistemas automáticos de medida y regulación para procesos continuos, cuyas realizaciones - habilidades, técnicas o destrezas referidas a un roldeterminado – son:

• Elaborar o participar en la elaboración del cuaderno de cargas correspondiente a un proceso continuoque se va a automatizar, identificando las variables y parámetros de mismo, definiendo, a su nivel, loslazos de regulación que gobiernan el proceso, en condiciones de calidad y coste establecidos, de acuerdocon la reglamentación electrotécnica vigente.

• Configurar los equipos y dispositivos, con las tecnologías adecuadas, que cumplen las especificaciones

establecidas en el cuaderno de cargas de un proceso continuo que se va a automatizar justificando, técni-ca y económicamente, la selección adoptada.

• Elaborar o supervisar la elaboración de la documentación técnica (esquemas, planos constructivos y deimplantación, listas de materiales) que permita la construcción y posterior mantenimiento del sistemaautomático para la medida y regulación en procesos continuos, en el soporte adecuado y con los mediosnormalizados.

• Desarrollar los programas que gobiernan el sistema automático para la medida y regulación en procesoscontinuos, configurando los lazos y parámetros de medida y regulación, optimizando las característicasde funcionalidad, seguridad y fiabilidad establecidas en el cuaderno de cargas.

• Realizar, a su nivel, la puesta en servicio del sistema automático para la medida y regulación en procesoscontinuos, efectuando las pruebas, modificaciones, sintonía de parámetros y ajustes necesarios,asegurando la funcionalidad, seguridad y fiabilidad del sistema.

• Modificar y/o elaborar, a su nivel, procedimientos de calibración y mantenimiento de los sistemasautomáticos para la medida y regulación en procesos continuos, optimizando los recursos humanos ymateriales, garantizando la operatividad y seguridad en su aplicación.

• Realizar el mantenimiento de los sistemas automáticos para la medida y regulación en procesoscontinuos, tomando las medidas oportunas para el rápido y seguro reestablecimiento de la operatividaddel mismo.

A esta unidad de competencia, y a estas realizaciones, le corresponde el módulo profesional de Sistemas deMedida y Regulación, el cual lleva implícitas las siguientes capacidades terminales (objetivos necesarios paraalcanzar las realizaciones requeridas en la unidad de competencia asociada):

• Analizar los sistemas de medida industriales, identificando los distintos elementos que componen lacadena de datos y relacionando su función con el resto de elementos que conforman los procesos deautomatización.

• Analizar los sistemas de regulación industriales, identificando los distintos elementos que componen ellazo de regulación y relacionando su función con el resto de elementos que conforman los procesos deautomatización.

• Diagnosticar averías en sistemas automáticos de medida y regulación automáticos, identificando lanaturaleza de la avería, aplicando los procedimientos y técnicas más adecuadas en cada caso.

Con el fin de alcanzar estas capacidades terminales, este libro presenta los contenidos necesarios en sieteunidades didácticas, tal y como se enumeran a continuación:

• UNIDAD 1: Principios básicos de la regulación automática.

En esta unidad se introducen los conceptos básicos de la regulación automática y lossistemas de control. Asimismo, se realiza una clasificación de los sistemas de control, en laque se comparan características de los mismos. Con esta unidad se pretende que el alumno

se familiarice con la terminología básica del estudio y análisis de los sistemas de control.




VI

• UNIDAD 2: La transformada de Laplace.

Tema fundamental para aquellos alumnos que no hayan tratado previamente las técnicasmatemáticas de la transformada de Laplace. El uso de la transformada de Laplace esnecesario para aplicar la teoría clásica de control en el análisis de sistemas.

• UNIDAD 3: Modelos matemáticos de sistemas físicos.

Las herramientas básicas que permiten definir y analizar el comportamiento dinámico de losprocesos o sistemas de control en términos de expresiones matemáticas, se tratan en estaunidad. Se exponen los dos métodos básicos para el análisis de sistemas, como son la teoríaclásica del control y la teoría moderna del control . Además se hace una revisión de lasecuaciones matemáticas que relacionan los parámetros y variables fundamentales dediversos sistemas físicos tipo, como son los sistemas eléctricos, mecánicos, térmicos y defluidos. El objetivo que se persigue en este caso es que el alumno sea capaz de describir unsistema físico mediante expresiones matemáticas que permitan su posterior análisis -siguiendo alguno de los métodos descritos - así como la optimización de los mismos.

• UNIDAD 4: Sistemas de adquisición y tratamiento de datos.

Los sistemas de adquisición y tratamiento de datos son todos aquellos que componen lo quese conoce como cadena de medida. Este concepto es fundamental en los procesos decontrol, puesto que sin medida no puede existir ni regulación, ni control. En esta unidad seestudian las diversas tecnologías de los elementos que conforman la cadena de medida,como son los sensores, transductores e instrumentos que realizan tareas deacondicionamiento, conversión y procesamiento de señales o datos. El alumno debe adquirir,a lo largo de esta unidad, una visión de los diversos dispositivos usados para medir distintasvariables de proceso, así como el criterio para poder elegir la tecnología más apropiada paracada caso.

• UNIDAD 5: Análisis funcional de los procesos de control en lazo cerrado.

En esta unidad se analiza el comportamiento dinámico de un sistema de control en lazocerrado. Para ello se estudiarán aquellas técnicas necesarias que permitan conocer, a priori,

la respuesta de un sistema ante determinada señal de entrada, así como el modo de modelar dicha respuesta según unas necesidades preestablecidas. Esta unidad representa, para elalumno, las herramientas necesarias que le permitirán analizar y diseñar un sistema sobre el“papel”, con el fin de poderlo llevar posteriormente a la práctica.

También se realiza una introducción a aquellos procesos que requieren el uso de varios lazoscerrados, con el fin de compensar posibles perturbaciones externas o variaciones deparámetros de dicho proceso o sistema.

• UNIDAD 6: Control digital y de eventos discretos.

Estas son las técnicas y tecnologías que son tendencia hoy en día en el campo de laregulación automática y el control de eventos discretos. Se introduce al alumno a técnicas decontrol digital, control distribuido, control supervisor...

• UNIDAD 7: Diseño de controladores.

En esta unidad se pretende que el alumno adquiera los conocimientos y la destrezanecesaria para realizar operaciones de construcción de controladores electrónicos yneumáticos.

Estas unidades didácticas se han desarrollado en el libro atendiendo a los contenidos mínimos establecidosen el R.D. 619/95. Además de dichos contenidos mínimos, se ha considerado oportuno incluir un par deunidades instrumentales, como son la Unidad 2: La transformada de Laplace y la Unidad 3: Modelosmatemáticos de sistemas físicos. Estas dos unidades asientan una serie de herramientas matemáticas que seusarán posteriormente en todas aquellas actividades de enseñanza – aprendizaje referidas al análisis, diseño yoptimización de sistemas o procesos de control.

La estructura de una de las unidades didácticas consta de unos contenidos conceptuales, ilustrados con unaserie de ejemplos de aplicación resueltos. Sobre estas unidades se deben plantear unas actividades prácticas,las cuales son tareas que el profesor debe preparar para que los alumnos las desarrollen en los talleres o

laboratorios del centro educativo. Para la realización de estas actividades se recomienda el uso de unosdeterminados equipos didácticos ( Alecop, Distesa, Festo, Prodel ...), los cuales suelen ser siempre unadotación que realizan los respectivos Departamentos de Educación y Cultura de las Comunidades Autónomas.



Prólogo

VII

Además, y con el fin de poder realizar simulaciones por ordenador de los procesos y sistemas propuestos enestas actividades, se aconseja el uso de algún software apropiado, tal como MATLAB, SIMULINK, CC,Workbench...

No obstante, el profesor podrá ampliar o reducir aquello que crea conveniente para adaptarlo al nivel de los

alumnos y hacer el mejor uso de los equipos que posea a su alcance.Otro tipo de actividad de enseñanza – aprendizaje son los casos prácticos, que son actividades que el

alumno debe desarrollar en casa, a modo de recapitulación de los conocimientos y destrezas adquiridasdurante el desarrollo de la unidad didáctica correspondiente. Para la realización de estos ejercicios serecomienda al alumno que practique previamente con los ejercicios de aplicación resueltos que aparecen a lolargo de cada unidad, los cuales le servirán de guía para su resolución.

Este libro no solamente está indicado para el desarrollo de los contenidos del módulo de Sistemas de Mediday Regulación correspondiente al Ciclo Formativo de Grado Superior anteriormente mencionado, sino quetambién está indicado para aquellas personas que precisen adquirir conocimientos básicos sobre control,regulación y medida, así como para estudiantes de Ingeniería y para aquellos profesionales que necesitenreforzar y ampliar sus conocimientos y técnicas.

José Antonio NAVARRO MÁRQUEZ




VIII



1

UNIDAD 1Principios básicos de la regulación automática.

1.1 Procesos de control. Introducción.

Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, una de las acepciones del término proceso es:

"Conjunto de las fases sucesivas de un fenómeno natural o de una operación artificial."

Por otra parte, el término control viene definido como:

"Regulación, manual o automática, sobre un sistema o proceso."

A la vista de estas dos definiciones académicas se puede definir proceso de control , de una forma simplista

y general, como:Conjunto de las fases sucesivas de una operación regulada cuyo objetivo es realizar unatarea o acción predefinida a partir de unas consignas u órdenes.

Se puede citar como una ilustración general de estas definiciones al ser humano, el cual es quizá el procesode control más sofisticado y complejo que existe. Un ser humano promedio es capaz de llevar a cabo una grandiversidad de tareas, incluyendo la toma de decisiones.

Como primer ejemplo básico se puede citar la temperatura corporal del ser humano, la cual, a menos que seesté enfermo, debe permanecer casi constante. Para mantener esta constancia, el cuerpo tiene un sistema decontrol de temperatura. Si ésta sube más de lo normal, se comienza a sudar, mientras que si disminuye, secomienza a temblar. Ambos son mecanismos que se utilizan para restaurar la temperatura del cuerpo a suvalor normal. Este sistema de control mantiene la constancia de la temperatura.

Un segundo ejemplo sería la realización de una misma tarea pero con distintos objetivos. Tal sería el casode un atleta que corre los 100 m planos y que tiene por objetivo recorrer esta distancia en el menor tiempoposible. Un corredor de maratón no sólo debe recorrer la distancia con la mayor rapidez posible, sino queademás, para lograrlo, debe controlar el consumo de energía y obtener un resultado óptimo. Por consiguiente,se puede decir, de manera general, que la vida impone el logro de muchos "objetivos", y los medios paraalcanzarlos casi siempre dependen de procesos de control.

En años recientes, los procesos de control han venido adquiriendo un papel muy importante en el desarrolloy avance de la civilización y tecnología modernas. Casi todos los aspectos de las actividades cotidianas sonafectados por algún tipo de proceso de control. Por ejemplo, en el campo doméstico, los controles automáticospara calefacción y de aire acondicionado regulan la temperatura y la humedad de los hogares y edificios paralograr una vida cómoda. Para alcanzar una eficiencia máxima en el consumo de energía, muchos procesosmodernos de calefacción y de aire acondicionado están computarizados, en especial en los edificios grandes ylas fábricas.

Los procesos de control son muy comunes en todos los sectores industriales, desde el control de calidad deproductos industriales, cadenas de montaje automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacialy armamento, control por computadora, procesos de transporte, robótica y muchos otros. Incluso problemascomo el control de inventarios y los procesos de control sociales y económicos, pueden resolverse conenfoques de la teoría de los controles automáticos.

Cualquiera que sea el tipo de proceso de control considerado, posee éste unos elementos básicos quepueden describirse en términos de:

• Objetivos del control.

• Componentes del proceso de control.

• Resultados.

En la figura 1.1a se ilustra la relación entre estos tres elementos básicos en forma de diagrama de bloques.

En términos más científicos, estos tres ingredientes básicos pueden identificarse como entradas,componentes del proceso y salidas, respectivamente, como se muestra en la figura 1.1b.




2

En general, el objetivo de un proceso de control consiste en controlar las salidas y de una manerapredeterminada, por medio de las entradas u, y aplicando los elementos del proceso de control. A las entradasdel proceso se les llama también señales de control y a las salidas variables controladas.

Como ejemplo simple del proceso de control descrito en la figura 1.1, se puede considerar el procesodireccional de un automóvil. La dirección de las dos ruedas frontales se asimila como la variable controlada, y ,o salida; la dirección del volante de la dirección es la señal de control, u , o entrada. El proceso de control osistema de este caso está constituido por los mecanismos de la dirección y la dinámica de la totalidad delautomóvil. Sin embargo, si el objetivo consiste en controlar la velocidad del vehículo, entonces, el grado depresión ejercida sobre el pedal del acelerador es la señal de control y la velocidad lograda es la variablecontrolada. En su conjunto, podemos considerar al proceso de control del automóvil como constituido por dosentradas (volante y acelerador) y dos salidas (dirección y velocidad). En este caso, los dos controles y salidasson independientes entre sí; pero en general, existen procesos en los que los controles están acoplados. A losprocesos con más de una entrada y una salida se les llama procesos multivariables.

Se puede tomar como otro ejemplo de un proceso de control, la regulación del régimen de revoluciones por minuto en reposo del motor de un automóvil. El objetivo de este tipo de proceso de control consiste enmantener las revoluciones en reposo del motor a un valor relativamente bajo (para economía de combustible)cualesquiera que sean las cargas aplicadas al motor (por ejemplo, transmisión, dirección hidráulica, aireacondicionado, etc.). Cualquier aplicación repentina de una carga al motor causaría una caída de la velocidaddel mismo y podría provocar que se parara. De esta manera, los objetivos principales del proceso de controlcon marcha en reposo son:

• Eliminar o reducir al mínimo la caída de velocidad del motor cuando se le aplica una carga.

• Mantener la marcha en reposo en el valor deseado.

La figura 1.2 muestra el diagrama de bloques del proceso de control de marcha en reposo desde el punto devista de entradas-proceso-salidas. En este caso, el ángulo del obturador de la gasolina, α, y el par de carga M L(debida a la aplicación de aíre acondicionado, dirección hidráulica, transmisión, frenos, etc.) son las entradas,y las revoluciones del motor, n, son la salida. El motor es el proceso o proceso controlado.

1.2 Clasificación de los procesos de control.Los procesos de control pueden clasificarse de varias maneras dependiendo del propósito de la clasificación.

En general, existen muchas formas de identificar los procesos de control de acuerdo con característicasespeciales. Es importante conocer algunos de estos criterios comunes de clasificación antes de proceder alestudio del análisis y diseño de los procesos.

1.2.1 Procesos de control de lazo abierto y lazo cerrado.

Proceso de control de lazo abierto.

Un ejemplo de proceso de control de lazo abierto es una lavadora eléctrica, pues en su diseño típico el ciclode lavado queda determinado en su totalidad por la estimación y el criterio del operador humano. Una lavadora

eléctrica verdaderamente automática contaría con los medios para comprobar el grado de limpieza de la ropaen forma continua y suspendería la operación por sí misma al alcanzar el grado de lavado deseado.

Procesode control

Procesode control

Objetivos Entradas u Resultados Salidas y

a) b)

Figura 1.1 : Elementos básicos de un proceso de control.

Motor Velocidad del motor

n Angulo del obturador

Figura 1.2 : Proceso de control de marcha en reposo.



Principios básicos de la regulación automática

3

Los elementos de un proceso de control de lazo abierto casi siempre pueden dividirse en dos partes: elcontrolador y el proceso controlado, tal como lo ilustra el diagrama de bloques de la figura 1.3. Se aplica unaseñal de entrada o comando r al controlador, cuya salida actúa como señal de control u; la señal actuantecontrola el proceso controlado, de tal manera que la variable controlada y se comporte de acuerdo conestándares predeterminados.

En casos simples, el controlador puede ser un amplificador, engranajes mecánicos u otros medios decontrol, dependiendo de la naturaleza del proceso. En el control electrónico, más sofisticado, el controlador puede ser una computadora electrónica del tipo microprocesador.

Procesos de control de lazo cerrado.

En los procesos de control de lazo abierto, el elemento faltante para lograr un control más preciso yadaptable es un enlace o realimentación de la salida a la entrada del proceso. Para obtener un control máspreciso, la señal controlada y(t) debe realimentarse y compararse con la entrada de referencia, tras lo cual seenvía a través del proceso una señal de control proporcional a la diferencia entre la entrada y la salida, con elobjeto de corregir el error o desviación. A los procesos con uno o más lazos de realimentación de este tipo seles llama procesos de lazo cerrado.

En la figura 1.4 se muestra el diagrama de bloques de un proceso de control de lazo cerrado de marcha enreposo de un motor de gasolina. La entrada de referencia nr , fija la velocidad deseada. Comúnmente, cuandoel par de carga es cero, la velocidad del motor en reposo debe concordar con el valor de referencia nr , ycualquier diferencia entre la velocidad real y el valor deseado, causada por cualquier perturbación del par decarga M L, es detectada por el transductor de velocidad y el detector de errores, con lo que el controlador

operará sobre esta diferencia y proporcionará una señal para ajustar el ángulo del obturador a que corrija elerror.

La figura 1.5 ilustra una comparación de los procesos de control típicos de marcha en reposo de lazo abiertoy lazo cerrado. En la figura 1.5a, la velocidad en reposo del proceso de lazo abierto decaerá y se estableceráen un valor inferior después de aplicar el par de carga. En la figura 1.5b se muestra que la velocidad ideal delproceso de lazo cerrado se recupera con gran rapidez al valor preestablecido después de la aplicación de M L.

El proceso de control de marcha en reposo, que se acaba de ilustrar, se conoce también como procesoregulador y su objetivo es mantener la salida del proceso a un nivel preestablecido.

Otro ejemplo ilustrativo de un proceso de control de lazo cerrado es el diagrama de bloques de la figura 1.6 ,que muestra el proceso de control de la margarita de una impresora o una máquina de escribir electrónica. Lamargarita de la impresora, que por lo general tiene entre 96 y 100 caracteres, debe girar hasta que su posiciónsitúe el carácter deseado enfrente del martillo de impresión. La selección del carácter se hace en la forma

usual en el teclado de la máquina. Una vez que se oprime una cierta tecla, se inicia la instrucción para que laesfera gire desde su posición anterior hasta la deseada. El microprocesador calcula la dirección y la distanciaa recorrer y envía una señal lógica de control al amplificador, que a su vez controla al motor que impulsa a la

Controlador Proceso

controladoSeñal de control

u

Entrada de referencia

r

Variable controlada

y

Figura 1.3 : Diagrama de bloques de un proceso de control de lazo abierto.

Controlador n

Motor

Transductor de velocidad

Detector deerrores

Figura 1.4 : Proceso de control de marcha en reposo con lazo cerrado.




4

margarita. La posición de ésta es detectada por un sensor de posición, cuya salida se compara con la posicióndeseada en el microprocesador. De esta forma, el motor se controla de tal manera que impulse a la margaritahasta la posición deseada. En la práctica, las señales de control generadas por el controlador microprocesador, deben ser capaces de impulsar a la margarita desde una posición a otra con la rapidezsuficiente para que la impresión sea exacta en un lapso específico.

La figura 1.7 muestra un conjunto típico de entradas y salidas de un proceso. Cuando se cuenta con unaentrada de referencia, ésta se halla representada por una función escalón. Puesto que el circuito eléctrico delmotor tiene una inductancia y la carga mecánica tiene una inercia, la margarita de la impresora no puedemoverse en forma instantánea a la posición deseada. Por lo general, la margarita seguirá la respuesta que se

muestra y se estabilizará en su nueva posición después de un tiempo t 1. La impresión no puede iniciarse sinohasta que la margarita deja de moverse; de otra forma, el carácter quedará borroso. La figura 1.7 muestra quedespués de que la margarita se estabiliza, el período de t 1 a t 2 se reserva para la impresión, por lo que, cuandot = t 2 , el proceso está listo para recibir un nuevo comando.

Posición dela margarita

de la impresora

Tiempo t

r

y (t)

Posicionamiento Impresión

Figura 1.7 : Respuesta temporal de la salida del proceso de control de la margarita de una impresora.

Velocidadde referencia

Velocidadde referencia

Tiempo t

Tiempo t

a)

b)

Figura 1.5 : Ejemplo de control de marcha en reposo. a) Respuesta típica en unproceso de lazo abierto. b) Respuesta en un proceso de lazo cerrado.

Amplificador de potencia

Controlador microprocesador Teclado

Motor dec.c.

Codificador de posición

y r

Figura 1.6 : Sistema de control de la margarita de una impresora.




5

1.2.2 Procesos de control lineales y no lineales.

Una definición rigurosa de proceso de con trol lineal sería:

"Sistema cuyas salidas se pueden expresar en forma de combinación lineal de las

entradas." Esto significa que entre salidas y entradas existe una relación de proporcionalidad constante, o una relación

de combinaciones de proporcionalidad.

Esta clasificación se basa en los métodos de análisis y diseño. En su concepto estricto, los procesos linealesno existen en la práctica, pues todos ellos tienen un cierto grado de no linealidad. Los procesos de controllineales realimentados son modelos idealizados que sólo existen como concepto en la mente del analista parasimplificar el análisis y diseño. Cuando las magnitudes de las señales de un proceso de control están limitadasa un intervalo en el que los componentes exhiben características lineales (esto es, se aplica el principio desuperposición), el proceso es esencialmente lineal. No obstante, cuando las magnitudes de las señales seextienden más allá del intervalo de la operación lineal, el proceso deja de ser considerado como tal.

Por ejemplo, los amplificadores que se usan en los procesos de control suelen exhibir un efecto desaturación cuando sus señales de entrada son muy grandes; el campo magnético de un motor casi siempre

tiene propiedades de saturación. Otros efectos no lineales comunes de los procesos de control son laasimetría o desajuste mecánico de los miembros acoplados con engranajes, las características no lineales delos resortes, las fuerzas de fricción o torsión no lineales entre miembros móviles, etc.

En otras ocasiones, las características no lineales se introducen intencionadamente en los procesos decontrol para mejorar su desempeño o lograr un control más efectivo. Por ejemplo, para obtener un control detiempo mínimo se usa un controlador de tipo cierre-apertura. Este tipo de control es frecuente en muchosprocesos de control de cohetes o vehículos espaciales; en el control de la posición en vuelo de cohetes yvehículos espaciales, se montan reactores de propulsión en los laterales del vehículo para lograr un par dereacción en el control posicional. Estos reactores suelen controlarse con métodos de cierre total o aperturatotal, de tal manera que se aplique una cantidad fija de aire en un reactor durante un cierto tiempo paracontrolar la posición del artefacto.

Los procesos lineales poseen la gran ventaja de poder ser diseñados y analizados mediante una grandiversidad de técnicas matemáticas que, en general, resultan bastante asequibles al usuario. Sin embargo, el

tratamiento matemático de los procesos no lineales es bastante difícil y no se cuenta con métodos generalesque puedan aplicarse a la resolución de un grupo amplio de procesos no lineales.

1.2.3 Procesos invariantes y variantes con el tiempo.

Cuando los parámetros de un proceso de control son estacionarios con respecto al tiempo durante laoperación del mismo, se trata de un proceso invariante con el tiempo. En la práctica, la mayor parte de losprocesos físicos contienen elementos que fluctúan o varían con el tiempo. Por ejemplo, la resistencia deldevanado de un motor eléctrico variará cuando éste sea excitado y se eleve su temperatura. Otro ejemplo deun proceso variable con el tiempo es el control de un cohete dirigido en el que la masa del cohete disminuye amedida que el combustible se consume durante el vuelo. Aunque un proceso variable con el tiempo sinlinealidad es todavía un proceso lineal, el análisis y diseño de esta clase de procesos suelen ser mucho máscomplejos que los de los lineales invariantes con el tiempo.

1.2.4 Procesos de control continuos y procesos de control de datosmuestreados y digitales.

Procesos de control continuos.

Un proceso continuo es aquél en el que las señales de diferentes partes del proceso son todas funciones dela variable continua de tiempo, t . Entre los procesos de control continuos, las señales pueden clasificarsecomo de c.a. o c.c. A diferencia de las definiciones generales de señales c.a. y c.c. que se usan en laingeniería eléctrica, los procesos de control de c.a. y c.c. tienen una importancia especial. Cuando se habla deun proceso de control de c.a., casi siempre se está haciendo referencia a señales del proceso que se hanmodulado de alguna manera. Por otra parte, cuando se trata de un proceso de control de c.c., ello no significaque todas las señales del proceso sean de tipo de corriente continua; si así fuera, no habría movimiento decontrol. Un proceso de control de c.c. simplemente significa que las señales no están moduladas, pero que

siguen siendo señales c.a. de acuerdo con la definición convencional. En la figura 1.8 se muestra el diagramaesquemático de un proceso de control de c.c. de lazo cerrado. En la misma figura se incluyen las formas de




6

onda típicas del proceso en respuesta a una entrada de función escalón. Los componentes comunes de unproceso de control de c.c. son potenciómetros, amplificadores de c.c., motores de c.c. y tacómetros de c.c.

En la figura 1.9 se muestra el diagrama esquemático de un proceso típico de control de c.a. En este caso,las señales del proceso están moduladas; esto es, la información se transmite por medio de una señalportadora de c.a. Se observa que la variable controlada de salida todavía se comporta en forma similar a la deun proceso de c.c. cuando ambos tienen el mismo objetivo de control. En este caso, las señales moduladasquedan demoduladas por las características de bajo paso del motor de control. Los componentes típicos de unproceso de control de c.a. son síncronos, amplificadores de c.a., motores de c.a., giroscopios y acelerómetros.

En la práctica, no todos los procesos de control son estrictamente de tipo de c.a. o c.c.. Un proceso puedeincorporar una mezcla de componentes de c.a. y c.c., usando moduladores y demoduladores para igualar lasseñales en diferentes puntos del proceso.


para c.c.

Reductor de

engranajes

Tiempo t Tiempo t Tiempo t

r y

E

r y *

+

-

+

-

+

-

e

e

e* M _ C D

A

B

Consigna oentrada dereferencia

Variablecontrolada

Comparador

Transmisor demedida

Dispositivocontrolado(motor c.c.)

y

Figura 1.8 : Esquema de un proceso de control de lazo cerrado de corriente continua.


para c.c.

Reductor de

engranajes


r y

U

U

r y *

~

~

~

~

~

~~

~

e

e

e* M~


Variablecontrolada

Comparador

Transmisor demedida

Dispositivocontrolado(servomotor c.a.)

y

Figura 1.9 : Esquema de un proceso de control de lazo cerrado de corriente alterna.




7

Procesos de control de datos muestreados y digitales.

Los procesos de control de datos muestreados y digitales difieren de los continuos en cuanto a que lasseñales en uno o más puntos del proceso aparecen en forma de un tren de impulsos o un código digital. Por logeneral, los procesos de datos muestreados se refieren a una categoría más general en la que las señales se

encuentran en forma de impulsos, mientras que un proceso de control digital se refiere al uso de un ordenador o microcontrolador en el proceso. En este texto se usa el término proceso de control discreto para describir ambos procesos. Por ejemplo, el proceso de control de la margarita de la impresora, que se muestra en lafigura 1.6 , es un proceso de control típico discreto o digital, pues el microprocesador recibe y da la salida adatos digitales.

En general, un proceso de datos muestreados recibe datos o información únicamente en forma intermitenteen tiempos específicos. Por ejemplo, la señal de error de un proceso de control sólo puede suministrarse demanera intermitente en forma de impulsos, en cuyo caso, el proceso de control no recibe información acercade la señal de error durante los períodos entre dos impulsos consecutivos. La figura 1.10 ilustra cómo opera unproceso típico de datos muestreados. Al proceso se le aplica una señal de entrada continua r(t). La señal deerror e(t) se alimenta a un dispositivo de muestreo y la salida de éste es una secuencia de impulsos. Lavelocidad de muestreo puede o no ser uniforme. La incorporación de un proceso de muestreo para el controltiene grandes ventajas. Una de las más obvias consiste en que es posible compartir un equipo costoso entrevarios canales de control.

Puesto que los ordenadores (computadores digitales) representan muchas ventajas de tamaño y flexibilidad,el control por ordenador se ha vuelto muy popular en años recientes. Muchos procesos aeronáuticos contienencontroladores digitales que pueden incluir varios miles de elementos discretos en un espacio no mayor unaspocas decenas de centímetros cúbicos.

1.2.5 Procesos de control de eventos discretos.

Los procesos de control de eventos discretos son procesos donde la secuencia de trabajo se ha dividido entareas simples o etapas elementales (eventos discretos). Las condiciones que permiten al sistema cambiar deuna etapa a otra son las señales de entrada, las cuales son mayoritariamente de carácter digital o binario,mientras que las acciones que el sistema realiza en cada una de las etapas son las señales de salida.

La técnica de control de eventos discretos se denomina, a veces, como control secuencial o control lógico programable y, como al menos parte de la aplicación es dinámica, se conoce también como control dinámicode eventos discretos. La aplicación, a menudo, incorpora estrategias complejas que se utilizan para el controlde máquinas, procesos y diversas operaciones de manufacturación. La implementación contiene laformulación de acciones de control determinadas en respuesta a las características secuenciales ycombinacionales observadas de un conjunto de órdenes y condiciones sensoriales. Las condiciones de entraday de realimentación se reciben generalmente en el controlador como señales binarias y las acciones de controldevueltas a la planta son también señales binarias. Este tipo de control se asocia, la mayoría de las veces,con diversas formas de fábricas automatizadas.

Una variación del control de eventos discretos se tiene con un sistema que incorpora una señal de controlternaria con un nivel positivo, un nivel negativo y un nivel cero. Las condiciones de conmutación ocurren como

resultado de observar las señales de realimentación en relación con los niveles de referencia deseados. Laestrategia de control se implementa rápidamente con actuadores on/off que emplean conmutadores de estadosólido o relés controlados por circuitos analógicos o digitales que determinan las condiciones de conmutación.

Retenciónde datos

(filtro)

y(t) Procesocontrolado

Comparador

Muestreador

r(t) e(t) e*(t) u (t)


e(t) e*(t ) u (t)

Figura 1.10 : Diagrama de bloques de un proceso controlado por datos muestreados.




8

Un ejemplo es el control on/off de los impulsores que liberan un gas presurizado para controlar la orientaciónangular de un vehículo espacial. La dirección de la fuerza de un impulsor específico se determina mediante unángulo de montaje fijo y la magnitud de la fuerza es constante durante el tiempo que está activo el impulsor. Aunque se suministra potencia a la planta en solamente tres niveles discretos, la energía suministrada encualquier periodo de tiempo es, por supuesto, dependiente de la temporización de las acciones de

conmutación.

1.3 Regulación de un proceso. Conceptos y elementoscaracterísticos.

En relación con la regulación o control se emplean una serie de conceptos y designaciones que deben ser definidos. A continuación se exponen estos conceptos y designaciones ilustrados con un ejemplo sencillotomado del campo de los accionamientos.

1.3.1 Elementos característicos en un control de lazo abierto de una variable.

Un motor de corriente continua con excitación constante acciona el husillo de una máquina-herramienta que

debe girar a una velocidad determinada. Esta velocidad es la variable física que interesa al operador de lamáquina-herramienta. Éste ajusta, mediante un convertidor estático adecuado, la tensión de inducido delmotor de corriente continua para obtener, por ejemplo, una velocidad de 600 r.p.m. en el caso de que vaya atrabajar un material fácilmente mecanizable. Ésta puede considerarse la velocidad óptima para este procesode mecanizado. Por ello, conviene que esta velocidad se mantenga constante durante todo el tiempo demecanizado y que este valor óptimo pueda volver a ajustarse cada vez que va a repetirse el mismo proceso.

En la disposición descrita sólo hay una manera de influir sobre la velocidad de la máquina (figura 1.11). Eloperador ajusta con una rueda selectora (1) la variable de referencia, es decir, el valor de la velocidad quedesea alcanzar. Como consecuencia de ello actúa una tensión de control como consigna (2) sobre el circuitode disparo (3) que gobierna, a su vez, con los impulsos de encendido, al convertidor estático (4) conmutadopor la red. Este dispositivo se encarga de aplicar la tensión continua U A correspondiente a la velocidadajustada al inducido del motor de corriente continua (5) que acciona el husillo de la máquina-herramienta (6).Éste gira por ello a la velocidad n de 600 r.p.m. citada como ejemplo.

Esta disposición tiene la forma de una cadena en la que cada eslabón actúa sobre el siguiente. Losdiferentes eslabones se denominan elementos. La cadena formada por estos elementos se conoce comocadena de control . A continuación, se describen cada una de las partes de la cadena de control siguiendo elejemplo propuesto.

Máquinaherramienta

+

-

+

-

M _

C DSelector de consigna

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

esquema funcional

diagrama de bloques

husillo

husillo

Selector de consigna Elemento final de control

Proceso controlado

Dispositivo controlado

Figura 1.11 : Esquema funcional y diagrama de bloques de una cadena de control en lazo abierto.




9

Selector de consigna.

Al principio de la cadena está el deseo de conseguir una velocidad determinada que ya se ha designadocomo variable de referencia. Este deseo se convierte en la tensión de control generada en el selector deconsigna (elementos 1 y 2 de la figura 1.11) y se va transfiriendo de un eslabón a otro a lo largo de toda la

cadena.Se puede definir variable de referencia como:

El valor de la acción que se desea obtener al final de la cadena de control y que se ajustaal principio de la misma.

Por otra parte, la variable de referencia se ajusta mediante un selector de consigna, cuya definición sería:

Dispositivo que permite de una forma voluntaria ajustar el valor de la variable de referencia.

Elemento final de control.

Al principio se tiene la variable de referencia y al final la variable física que interesa controlar y que sedenomina variable deseada. Esta variable deseada se ajusta de acuerdo con la variable de referencia. En el

ejemplo representado en la figura 1.11, esto se realiza mediante el circuito de disparo y el convertidor estático(elementos 3 y 4). Estos dos eslabones constituyen, en este caso, el elemento final de control , que en términosgenerales se podría describir como:

Elemento o conjunto de elementos cuyo objetivo es actuar sobre el dispositivo controlado para que la acción de éste alcance el valor de la variable deseada.

Proceso controlado y dispositivo controlado.

El dispositivo controlado, al que también se le podría denominar máquina o proceso operativo, es el objeto deactuación de todo el proceso controlado descrito hasta ahora. Su definición sería:

Elemento final de la cadena de control cuyo cometido es realizar la acción o tarea paraobtener la variable deseada.

Los elementos de la cadena de control considerada (a excepción del selector de consigna) se denominantambién sistema controlado o proceso controlado.

Si, en vez del material fácilmente mecanizable considerado en el ejemplo, se trabaja uno cuya mecanizaciónofrece más dificultades, el motor del accionamiento quedará sometido a una carga mayor. Comoconsecuencia, dicho motor girará a una velocidad menor, con lo que quedará perturbado el ajuste de lavelocidad a 600 r.p.m. realizado inicialmente.

Estas influencias y otras semejantes sobre la variable deseada (en el ejemplo, sobre la velocidad) sedenominan variables perturbadoras. Si la influencia de estas variables perturbadoras se mantiene dentro deunos límites tales que la variable deseada no llega a superar el margen de tolerancia admisible para el procesotecnológico considerado, resulta adecuado emplear un sistema de control de lazo abierto.

Los conceptos y designaciones expuestos en los párrafos anteriores no se modifican si el proceso controladoviene influido por otras maniobras o si actúa siguiendo una secuencia temporal prescrita.

El concepto de contro l de lazo abierto puede definirse, de acuerdo con la norma DIN 19226 , de la formasiguiente:

Un sistema delimitado se somete a una intervención externa, la denominada variable deentrada o variable de referencia, que hace esperar que la variable de salida o variabledeseada adopte, de acuerdo con las leyes físicas, las interrelaciones y las secuenciastemporales prescritas, un valor deseado determinado. La variable de salida no influye sobrela variable de entrada. Por ello, el valor de la variable deseada puede divergir considerablemente del valor deseado debido a las perturbaciones externas.

1.3.2 Elementos característicos en un control de lazo cerrado de una variable.

De las consideraciones relativas a las variables perturbadoras hechas en el ejemplo del accionamiento decorriente continua se deduce que, en una cadena de mando, la variable controlada sólo puede seguir de formamuy limitada a la variable de referencia; cualquier perturbación que se produzca se refleja totalmente en lavariable controlada. Una perturbación constante permanente (en el ejemplo de la figura 1.11, una variación de




10

la carga base de la máquina) puede compensarse ajustando adecuadamente el selector de consigna. Sinembargo, si las modificaciones de las variables perturbadoras se presentan en un momento cualquiera y conuna amplitud cualquiera dentro de los límites admisibles, resulta más conveniente medir la variable controladae intervenir sobre la cadena de mando, en el caso de que su valor diverja del valor prescrito por la variable dereferencia, para conseguir de esta forma que la variable controlada se aproxime lo máximo posible a la de

referencia. Por tanto, resulta necesario realizar una realimentación de la variable de entrada con la de salida.Este procedimiento se denomina cont rol de lazo cerrado .

Las modificaciones arbitrarias de las variables perturbadoras exigen el empleo del control de lazo cerrado.

El control de lazo cerrado se lleva a cabo mediante un sistema controlador que complementa los equipos yadescritos en la cadena de control (si no se considerase el selector de consigna se hablaría de procesocontrolado). El sistema controlador se compone generalmente de tres partes; cada una de estas partes seencarga de una función específica. La variable deseada que, en el caso de un sistema de control de lazocerrado, debe mantenerse constante o seguir las variaciones de la variable de referencia, se denomina variablecontrolada cuando coincide con la variable medida. En el ejemplo de la figura 1.12 , la variable controlada es lavelocidad que se mide con una dinamo tacométrica.

En algunas ocasiones la variable deseada no es accesible o sólo lo es difícilmente. La variable deseadapodría ser, por ejemplo, el flujo magnético en el entrehierro de un motor de corriente continua. En este caso noresulta posible incorporar con posterioridad un sensor Hall en el entrehierro. Por ello, debe tomarse comovariable controlada la corriente de excitación; esta corriente es un buen reflejo del flujo y puede medirsefácilmente. La variable deseada y la variable controlada no son por tanto siempre idénticas, aunque debenestar directamente relacionadas.

Para medir una corriente continua, como en este último caso, se necesita, por ejemplo, un shunt de mediday un amplificador, pues la tensión medida en el shunt es muy pequeña. Este shunt se denomina sensor otransductor de medida y el amplificador lineal de tensión de alta precisión asociado se conoce como amplificador de medida. Este sensor y este amplificador forman el transmisor de medida que es capaz de medir lavariable controlada, es decir, una variable física cualquiera y de transformarla de forma que pueda seguir siendo procesada por el sistema controlador.

Máquinaherramienta

+

-

+

-

M _

G _

C DSelector

deconsigna

Controlador o

Corrector

U st

1

1

2

2

39

9

8

8

7

7

3

4

4

5

5

6

6

esquema funcional

diagrama de bloques

husillo

Selector de consigna Elemento final de controlControlador

Transmisor de medida


Comparador

Comparador

Proceso controlado

Dinamo

Sistema controlador

Figura 1.12 : Esquema funcional y diagrama de bloques de un bucle de control en lazo cerrado.




11

El transmisor de medida no tiene por qué estar formado por varios componentes. La dinamo tacométrica,citada en el ejemplo de la figura 1.12 , es un transmisor de medida que transforma una velocidad en unatensión.

A continuación, se describen cada una de las partes de un sistema controlador aplicado a un proceso

controlado.

Transmisor de medida.

Para que, dentro de un proceso de control de lazo cerrado, el sistema controlador pueda regular la variablede salida o controlada, debe conocer el valor de dicha variable. El transmisor de medida va a ser el elementoencargado de dicha función.

El transmisor de medida mide la variable controlada y la transforma en una señal que pueden entender los demás componentes del sistema controlador.

La señal proporcionada por el transmisor de medida se utiliza para representar las variables físicas en losprocesos de control. Los procesos de control empleados en los accionamientos y en el campo de la energíaeléctrica suelen trabajar con señales cuya naturaleza es la de una tensión continua. Esta señal se denominaseñal de tensión continua y puede estar comprendida entre -10 V y +10 V. Estos 10 V son por tanto el valor

máximo con el que es posible representar una variable; el signo indica su sentido pues, por ejemplo, un par puede actuar a derechas o a izquierdas. En general, este valor máximo de 10 V corresponde al 100% del valor nominal de la variable física.

En otros casos (sobre todo en el campo de la ingeniería de procesos) se emplea, por el contrario, unacorriente continua comprendida entre 0 y 20 mA para representar la variable física.

Comparador o detector de errores.

El siguiente paso consiste en comparar la variable de referencia con la variable controlada para determinar cuál es la diferencia existente entre el valor real de la variable controlada y la consigna correspondiente. Paraello, el valor de la variable controlada dado por el transmisor de medida se resta del valor existente a la salidadel selector de consigna. Esta operación se realiza mediante un comparador o detector de errores queproporciona a su salida la señal de error .

El comparador compara la variable controlada con la variable de referencia, formando así la señal de error.

Hay que distinguir entre la señal transitoria de error y la señal permanente de error. Como señal transitoria deerror se designa a la que se presenta sólo durante el proceso de control y desaparece cuando éste termina. Sila señal de error no desaparece totalmente al finalizar el proceso de control, se trata de una señal permanentede error . Se considera que el proceso de control termina, cuando la señal de error se mantieneconstantemente dentro de una banda de tolerancia de, por ejemplo, el 2%. Esta banda de tolerancia vareferida al margen absoluto de variación admisible de la variable controlada o a la modificacióncorrespondiente de la variable de referencia.

Dado que la señal de error es la diferencia entre la variable de referencia menos la variable controlada, siésta resulta positiva, el sistema controlador debe procurar que aumente la variable controlada. Se trata, por tanto, de una intervención con signo positivo sobre el sistema controlado.

Si la señal de error es grande, hay que modificar considerablemente el ajuste del elemento final de control. Sila señal de error es pequeña, basta una pequeña variación del ajuste de dicho elemento para que la variablecontrolada adopte un valor que equivalga, dentro de las limitaciones impuestas por el sistema controlado, al dela variable de referencia. Si la señal de error es nula o prácticamente nula, el proceso controlado estácorregido y el elemento final de control está correctamente ajustado.

Controlador o corrector de error.

El proceso controlado no reacciona inmediatamente frente a una modificación del ajuste del elemento finalde control, sino que, en la mayoría de los casos, responde con un cierto retardo. El sistema controlador debecontrarrestar esta respuesta temporal del proceso controlado actuando de manera que la variable controladasiga las variaciones de la variable de referencia o corrija los efectos de las modificaciones de las variablesperturbadoras con las siguientes premisas:

• Máxima rapidez.• Máxima exactitud.




12

• Mínimo de oscilaciones.

Para ello es necesario que la señal de error no actúe directamente sobre el elemento final de control y que unelemento especial desarrolle, como complemento a la acción proporcional a la señal de error, una acción quecontrarreste el retardo debido a la inercia natural del proceso controlado. Estas dos acciones, la determinada

por la amplitud y la correspondiente al tiempo, constituyen la variable correctora que actúa sobre el elementofinal de control. El hecho de ajustar óptimamente los parámetros de este elemento, es decir, la ganancia y lasconstantes de tiempo, se denomina optimización. La optimización de dicho elemento resulta decisiva paraestablecer la respuesta deseada de la variable controlada. Por ello, este elemento puede considerarse elnúcleo del sistema controlador.

Ésta es la tercera función básica del sistema controlador. Corre a cargo del corrector de errores ocontrolador .

Mediante el controlador, y partiendo de la señal de error, se forma, ajustando lo mejor posible los parámetros de dicho elemento de acuerdo con la respuesta del sistemacontrolado, la variable correctora precisa para conseguir un control óptimo de este sistema.

Pueden emplearse controladores mecánicos, hidráulicos, neumáticos o eléctricos. Estas designacionesindican únicamente el portador a través del cual el controlador recibe o transmite la información. Entre los

controladores eléctricos figuran también, actualmente, los denominados controladores electrónicos, es decir,aquéllos que incluyen componentes semiconductores.

El accionamiento de velocidad variable representado en la figura 1.11 es un ejemplo de cadena de control.Para poder, además de ajustar la velocidad, mantenerla constante durante períodos prolongados, a pesar delas modificaciones de las variables perturbadoras, es preciso ampliar la cadena para convertirla en un lazocerrado de control.

En la figura 1.12 , se han incorporado a la cadena citada los elementos que la convierten en un lazo cerradode control. La modificación más importante es la realimentación. La velocidad medida y transformada por ladinamo tacométrica (7) en la tensión de valor real U y se reconduce a la entrada del controlador desde dondepasa al comparador (8). En este elemento, que forma parte del propio controlador, se compara la variablecontrolada con la variable de referencia dada por el selector de consigna (2) en forma de la tensión deconsigna U r .

La variable controlada puede medirse continuamente, como en el ejemplo de la figura 1.12 , o periódicamenteen intervalos preestablecidos. Se distingue, por tanto, entre el control continuo y el control por muestreo, comoya se ha comentado en el apartado 1.2.4.

El controlador, caracterizado por una acción proporcional y una respuesta temporal (9), proporciona lavariable correctora (su tensión de salida U u) que actúa sobre el circuito de disparo del convertidor estático.

Los controladores se fabrican con potencias máximas de salida relativamente pequeñas, por ejemplo, 10 V y10 mA. Es posible emplear un solo tipo de controlador para resolver distintos problemas de control, pues laadaptación a la potencia necesaria para el proceso controlado corre a cargo del elemento final de control quedispone de una alimentación de potencia suficiente. En el ejemplo del accionamiento de velocidad controlada,el elemento final de control (el convertidor estático) alimenta al motor de corriente continua. Dicho convertidor estático (4) se encarga, junto con su circuito de disparo (3), de adaptar la potencia de salida del controlador alas necesidades del motor de corriente continua.

El controlador considerado en los párrafos anteriores puede adoptar cualquier tensión comprendida en elmargen de control de - 10 V a + 10 V y pasar de una tensión a otra de forma continua, es decir, sin saltarseninguno de los infinitos valores intermedios. Se trata, por tanto, de un controlador continuo.

Para el control de procesos se emplean además otros dos tipos de controladores. Se utilizan, por ejemplo,controladores cuya salida sólo puede adoptar tres valores discretos. La variable correctora resultante en cadacaso significa entonces, por ejemplo, marcha a izquierdas del motor, parada y marcha a derechas del motor.Estos controladores se emplean para accionar válvulas, clapetas, compuertas, etc. Se denominancontroladores a tres niveles. Los controles todo o nada, también llamados controladores a dos niveles, sontodavía más sencillos y se utilizan, por ejemplo, para controlar la temperatura de los hornos. Estoscontroladores conectan cuando la variable controlada desciende más que un cierto valor de tolerancia por debajo de la consigna y desconectan cuando aquélla supera a ésta en el citado valor.

Si basándose, por ejemplo, en la figura 1.12 , se estudia la actuación de un elemento sobre el siguiente, seobserva (debido a la realimentación de la variable controlada hacia la entrada del controlador) que dicha

actuación se desarrolla en un bucle que se denomina lazo de control.




13

La figura 1.13 representa un bucle de control genérico. Se observa que el proceso controlado y el controlador están dispuestos de forma que constituyen un bucle. La variable controlada y (la variable de salida deldispositivo controlado) es transformada por el transmisor de medida en una magnitud física representativa (elvalor real y* de la variable controlada) que puede ser procesada por el controlador. Los límites entre elcontrolador y el proceso controlado quedan establecidos por una definición banal, pero que resulta práctica

para el usuario:

Todo lo que no resulta indispensable para ajustar óptimamente la acción del sistema de control forma partedel proceso controlado.

Por tanto, el proceso controlado empieza donde la variable correctora u actúa sobre el elemento final decontrol, continúa hasta el dispositivo controlado con la variable correctora u* amplificada en el elemento final

de control, de acuerdo con las exigencias de cada caso particular, termina a la salida del transmisor de medidacon la variable controlada y* adaptada a la entrada del controlador e incluye todos los procesos deacondicionamiento de este valor real como, por ejemplo, el alisamiento y la división de tensiones. Sinembargo, para el estudio del comportamiento del controlador basta conocer su acción proporcional y surespuesta temporal.

En la figura 1.13, se observa que no son sólo las variables perturbadoras z 1, z 2 , etc. las que influyen desde elexterior sobre el bucle de control cerrado. La variable de referencia r, dada por el selector de consigna comovalor requerido para la variable controlada, actúa también desde el exterior como las variables perturbadoras.Por ello, todas las respuestas transitorias que aparecen presentan las mismas características tanto si sondebidas a una modificación de las variables perturbadoras como a una variación de la variable de referencia.Sin embargo, la variable de referencia actúa, contrariamente a las variables perturbadoras, en un punto muyconcreto del bucle: en el comparador situado a la entrada del controlador, es decir, en el punto donde estavariable, procedente del exterior, es comparada con la variable controlada para obtener la señal de error e.

Esto permite corregir con la máxima rapidez la señal de error resultante con vistas a lograr que la variablecontrolada adopte o mantenga el valor prescrito por la variable de referencia. Por el contrario, las variablesperturbadoras no solo deben atravesar parte del dispositivo controlado para llegar a modificar la variablecontrolada, sino que también deben pasar por el transmisor de medida (con el retardo que esto supone) paraalcanzar el comparador situado a la entrada del controlador. Sólo entonces puede intervenir éste para corregir la variable controlada.

En base a lo expuesto en los párrafos anteriores y de acuerdo con la norma DIN 19226 , resulta posibledefinir el concepto de cont rol de lazo cerrado de la forma siguiente:

Controlar en lazo cerrado significa influir sobre una variable física para que coincida, con lamayor aproximación posible e independientemente de las perturbaciones externas, con undeterminado valor prescrito. La variable física a controlar debe adoptar un nuevo valor si semodifica este valor de referencia, o volver al valor original, en caso de que se produzcan perturbaciones, con la máxima rapidez, la máxima exactitud y el mínimo de oscilaciones

posible. Para influir sobre dicha variable física se emplea la señal de error, es decir, ladiferencia entre el valor prescrito y el valor real de esta variable.

Proceso controlado

Controlador Dispositivocontrolado

y

y y*

y *

u u * e r Elementofinal de control

Selector de consigna


Comparador

Sistema controlador

variables perturbadoras

bucle de control

Figura 1.13 : Diagrama de bloques general de un bucle de control.




14

Estas acciones de control se desarrollan en un bucle cerrado y únicamente en un sentidodeterminado no arbitrario. La variable controlada actúa corrigiéndose a sí misma a travésde la realimentación incluida en la estructura del bucle de control.

1.3.3 Conceptos y definiciones de los procesos de control.Los procesos de control que se aplican a la industria actual (energética, automoción, química, textil, papel,

alimentación…) tienen su propia terminología, con la que se definen las características propias de los sistemasde medida y control o regulación. Hoy en día, estos términos definitorios, se han ido unificando, para que laspersonas dedicadas a este campo de la técnica (ingenieros, técnicos, estudiantes…) puedan hablar unlenguaje común a la hora de definir, diseñar, instalar y mantener los sistemas regulados o procesos de control.

Existen muchos conceptos y definiciones en los procesos de control. Resultaría bastante farragoso si seexpusieran aquí y se comentaran todos ellos. No obstante, se citan, a continuación, aquellos términos másgenerales, a partir de los cuales se pueden entender otros muchos, según el lector se vaya adentrando en estamateria.

Alcance o campo de indicación.

El alcance de indicación de un instrumento de medida es el valor de la magnitud medida que hace ir alelemento indicador del principio al final de la escala de medida.

Alcance o campo de medida.

El alcance de medida de un instrumento de medida es el intervalo de indicaciones en que se cumplen lascondiciones de exactitud o clase de precisión del aparato. También se puede definir como la diferenciaalgebraica entre el mayor valor y el menor valor de medida que puede realizar el instrumento de medida en lascondiciones de precisión.

Error.

El error es la diferencia algebraica entre el valor resultante del instrumento de medida y el valor real de lavariable medida.

Error estacionario o en estado estable.

Este tipo de error está referido a los sistemas o procesos de control en lazo cerrado y es la diferencia entre elvalor de la variable de referencia y la variable controlada cuando el sistema ha alcanzado el estado estable.

Fiabilidad.

Fiabilidad es la probabilidad de que un instrumento siga comportándose dentro de unos límites de error especificados, a lo largo de un tiempo definido y bajo unas condiciones determinadas.

Función de transferencia.

Función de transferencia es la relación o cociente matemático o gráfico entre las expresiones temporales delas señales de salida y de entrada de un elemento o un sistema.

Una definición más rigurosa sería:

La función de transferencia de un sistema, descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en eltiempo, es el cociente entre la transformada de Laplace de la función temporal de la señal de salida (funciónrespuesta) y la transformada de Laplace de la función temporal de la señal de entrada (función de excitación),

bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero (figura 1.14).

G(s)U(s ) Y(s )

G(s) =Y(s)

U(s)

Figura 1.14 : Función de transferencia de un elemento o sistema.




15

Ganancia.

Ganancia es la relación de proporcionalidad entre la señal de salida y la señal de entrada de un elemento osistema.

Histéresis.Histéresis es la máxima diferencia en los valores de salida de un instrumento, para el mismo valor de

medida, cuando la variable recorre toda la escala de medida en los dos sentidos, ascendente y descendente(figura 1.15 ).

Incertidumbre.

Según la norma ISO 10012-1, incertidumbre es la estimación que determina el intervalo de valores en el quese ubica, normalmente con una alta probabilidad dada, el valor verdadero de la magnitud medida.

Linealidad.

Linealidad es un concepto que define el comportamiento de un elemento o sistema. Un sistema se denominalineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por laaplicación simultánea de dos funciones de entrada diferentes es la suma de las dos respuestas individuales.Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez ysumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferenciallineal a partir de soluciones simples.

Si en una investigación experimental de un sistema dinámico, son proporcionales la causa y el efecto, lo cualimplica que se aplica el principio de superposición, el sistema se considera lineal.

Linealidad e invariabilidad en el tiempo.

Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones sólo de la variableindependiente. Los sistemas dinámicos descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con eltiempo (de coeficientes constantes) se denominan sistemas lineales invariantes con el tiempo (o lineales decoeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyoscoeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes con el tiempo.

Precisión.

La precisión es la designación aplicada a un instrumento cuyos errores permanecen dentro de los límitesespecificados para las condiciones de empleo especificadas.

Repetitibilidad.

Repetitibilida es la capacidad de reproducción de los valores de medida cuando se utiliza un instrumento

para medir repetidamente valores reales idénticos en las mismas condiciones de servicio y recorriendo laescala del instrumento en el mismo sentido.

Variablemedida

Valor resultantede la medición

Error por histéresis

Valor real dereferencia

Valor resultante ensentido ascendente

Valor resultante ensentido descendente

C o m p o

r t a m i e n

t o i d e a l

Figura 1.15 : Ciclo de histéresis de un instrumento y error cometido.




16

Respuesta en frecuencia o ancho de banda.

En un sistema que trabaja con señales alternas, el ancho de banda se define como el rango de frecuenciapara el cual la ganancia del sistema no desciende por debajo de 3dB (1dB = 20·log[ganancia]).

Respuesta estacionaria o en estado estable.Se dice que un sistema ha alcanzado la respuesta en estado estable cuando, ante la ausencia de

perturbaciones, la variable controlada permanece en el mismo estado, es decir, en equilibrio (figura 1.16 ).

También se puede definir como el comportamiento de un sistema cuando el tiempo tiende a infinito.

Respuesta transitoria.

Se define como el componente de la respuesta de un sistema que tiende a cero cuando el tiempo tiende ainfinito (figura 1.16 ).

Ruido.

Se llama ruido a las señales electromagnéticas no deseadas que puede captar el sistema de control y queinterfieren en el valor de medición o en la variable controlada. Estas señales perturbadoras pueden internas oexternas al sistema.

Sensibilidad.

Sensibilidad es la relación o cociente entre el incremento de la lectura y el incremento de la variable o señalque lo ocasiona después de haber alcanzado el estado estable.

Trazabilidad.

Trazabilidad es la propiedad del resultado de las mediciones efectuadas con un instrumento o con un patrón,tal que puede relacionarse con patrones nacionales o internacionales, mediante una cadena ininterrumpida decomparaciones, con todas las incertidumbres de medida determinadas.

Zona muerta.

Zona muerta es el campo de valores reales de la variable medida que no produce variación en la indicación oseñal de salida del instrumento.

Sistemau (t) y (t)

y (t) y (t ) y (t)

u(t)


Tiempo t

Períodotransitorio

Períodoestacionario

Respuesta transitoria Respuesta estacionaria

= +

Figura 1.16 : Representación de los conceptos de respuesta transitoria y respuesta estacionaria.




17

1.4 Regulación manual y automática.

Cuando se habla de regulación manual y regulación automática se hace bastante obvio su significado. Noobstante, siempre resulta interesante realizar una comparación entre ambos tipos de regulación y observar

cuándo puede interesar un sistema de regulación u otro.Un ejemplo de regulación manual sería el control de la temperatura de una casa con calefacción central

donde una persona está cerca del interruptor de encendido y apagado de la caldera con un termómetro yenciende y apaga la caldera de acuerdo con la lectura del termómetro. ésta es una forma rudimentaria desistema de control utilizando a un hombre como sistema controlador.

Si el mismo ejemplo lo aplicamos como caso de regulación automática, el sistema controlador humanopodría ser sustituido por un simple termostato que automáticamente, y sin la intervención humana, conecte odesconecte la caldera. Este sistema de control es capaz de mantener constante la temperatura mediante unaregulación automática del proceso a controlar (caldera).

Los sistemas de control o regulación se han generalizado en la industria. Hay muchos procesos industrialesy máquinas en las que se precisa una regulación manual o automática.

El concepto de regulación hace clara referencia al objetivo de mantener constante (o dentro de unos

márgenes determinados) el valor de una variable de salida o variable controlada. Esta idea coincide en granmedida con el control de lazo cerrado (realimentación), ya mencionado de forma más extensa en los apartadosanteriores 1.2.1, 1.3.1 y 1.3.2 y, más adelante, en el apartado 1.5.

Proceso controlado

Proceso controlado

Controlador Dispositivocontrolado

Dispositivocontrolado

y

y

y y*

y*

u

u

u*

u*

e r Elementofinal de control

Elementofinal de control



Comparador

Sistema controlador

Sistema controlador



proceso con regulación automática

proceso con regulación manual

consigna

medida

comparación y acciónde control

Figura 1.17 : Representación comparativa de un proceso con regulación automática y con regulación manual.




18

Las ventajas de la regulación automática con respecto a la regulación manual son obvias: constancia de lavariable controlada de salida, fiabilidad en los resultados, comodidad y seguridad para las personas, rapidezde respuesta ante cambios… No obstante, también se hace evidente que los bucles de control deben disponer de un accesorio que permita, a voluntad del operador, actuar manualmente y sustituir al sistema controlador (transmisor de medida, comparador y controlador) en el proceso de control. En el modo de operación con

regulación manual, el operador humano realiza las tareas de ajuste del valor de consigna, lectura de lavariable controlada, comparación de dicha variable con el valor de consigna y decisión de la acción de controla realizar sobre el elemento final de control (figura 1.17 ). Esta necesidad es básica en la puesta en servicio decualquier proceso.

Como ejemplo se puede comentar que, hoy en día, en muchas industrias se usan automatismos neumáticoscon sistemas controladores neumáticos. En los controladores neumáticos, este dispositivo para cambio amodo manual, es un pequeño manorreductor que en la posición manual desconecta previamente el propiocontrolador y acciona manualmente la válvula de control (elemento final de control) desde el propioinstrumento. En automático, el manorreductor queda desconectado y la señal de salida del controlador pasadirectamente a la válvula de control. Como es lógico, debe ser posible efectuar fácilmente el cambio tanto deautomático a manual como de manual a automático. El cambio debe efectuarse de tal modo que la señal a laválvula antes y después no sufra variaciones, para evitar la variación de posición brusca de la válvula que seproduciría y que podría repercutir desfavorablemente en el control del proceso. El cambio puede efectuarse sin

tomar ningún cuidado, pasando directamente de manual a automático y viceversa sin que la válvula cambie deposición.

1.5 Realimentación. Conceptos generales.

El concepto de realimentación se ha tratado de forma implícita en los apartados anteriores, no obstante, unaposible definición explícita del concepto de realimentación sería:

Relación prescrita entre la salida y la entrada de referencia en la que éstas se comparan y se usa su diferencia como medio de control del proceso controlado.

Se puede hablar de dos tipos de realimentaciones básicas:

• Realimentación negativa. Cuando la señal que es realimentada se utiliza para reducir la diferencia entre el

valor de referencia y el valor actual de la variable controlada. En una realimentación negativa:

Señal de error = valor de referencia - señal de realimentación

• Realimentación positiva. Ocurre cuando la señal realimentada incrementa la diferencia entre el valor dereferencia y los valores actuales, por tanto:

Señal de error = valor de referencia + señal de realimentación

En los sistemas de control, la señal de realimentación se combina con el valor de referencia en el detector deerror o comparador . Esto se indica por el símbolo mostrado en la figura 1.18 , donde el valor de referenciaaparece marcado con una señal positiva y la de realimentación con una señal negativa, en el caso de que setrate de una realimentación negativa. Si la realimentación es positiva, ésta aparece representada mediante unaseñal positiva.

Los procesos de control realimentados se denominan también procesos de control de lazo cerrado. En la

práctica, los términos control realimentado y control de lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema decontrol de lazo cerrado, se alimenta al controlador mediante la señal de error del comparador, que es ladiferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una

r r e e

y* y *

realimentación negativa realimentación positiva

e = r - y* e = r + y*

Figura 1.18 : Simbología representativa del comparador con señal derealimentación negativa y positiva respectivamente.




19

función de la señal de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida delsistema a un valor conveniente. El término control de lazo cerrado siempre implica el uso de una acción decontrol realimentado para reducir el error del sistema.

Una ventaja del control de lazo cerrado sobre el control de lazo abierto es que el uso de la realimentación

vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variacionesinternas en los parámetros del sistema. Por tanto, es posible usar componentes relativamente precisos ybaratos para obtener el control adecuado de un proceso determinado, en tanto que hacer eso es imposible enel caso de un sistema en lazo abierto.

Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar,porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una funciónprincipal en el sistema de control de lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir en exceso errores queproducen oscilaciones de amplitud constante o cambiante.

Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cualesno hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control de lazo abierto. Los sistemas de control de lazocerrado sólo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredeciblesen los componentes del sistema. Hay que observar que la valoración de la energía de salida determina enforma parcial el costo, el peso y el tamaño de un sistema de control. La cantidad de componentes usados en

un sistema de control de lazo cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalentede lazo abierto. Por tanto, el sistema de control de lazo cerrado suele tener costos y potencias más grandes.Para disminuir la energía requerida de un sistema, se emplea un control de lazo abierto cuando puedeaplicarse. Por lo general, una combinación adecuada de controles de lazo abierto y de lazo cerrado es menoscostosa y ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general.

Para comprender los efectos de la realimentación sobre un proceso controlado, es esencial estudiar estefenómeno en sus aspectos más amplios. Los efectos que la realimentación introduce sobre un proceso setratan a continuación de una forma más rigurosa.

1.5.1 Función de transferencia de un proceso realimentado.

Se pueden tratar ya los efectos de la realimentación sobre diversos aspectos del desempeño de un proceso.En este punto, sin contar con los conocimientos generales necesarios y sin haber estudiado las basesmatemáticas de la teoría de los sistemas lineales, sólo se puede aplicar una formulación simple para estadiscusión. Se considera la configuración del sistema de realimentación simple que se muestra en la figura1.19, donde r es la señal de entrada, y es la señal de salida, e es el error e y* es la señal de realimentación.Los parámetros G y H pueden considerarse como ganancias constantes.

A continuación, y mediante operaciones algebraicas simples, se demuestra cuál es la función detransferencia o relación entrada-salida del proceso o sistema.

La relación entre la salida y la entrada del comparador es:

e = r - y* (1.5.1.1)

Por otra parte, la salida del proceso y el error están relacionados por medio del elemento de ganancia G:

y = G·e (1.5.1.2)

En el bucle de realimentación se tiene:

y* = H·y (1.5.1.3)

Sustituyendo el valor de y* de la ecuación (1.5.1.1) en la ecuación (1.5.1.3), se tiene:

r - e = H·y (1.5.1.4)

Ahora, sustituyendo el valor de e de la ecuación (1.5.1.2) en la ecuación (1.5.1.4), se obtiene:

r y

GH y − = ⋅ (1.5.1.5)

Reorganizando términos se puede llegar a establecer la relación entre y y r (que por simplificar sedenominará M ), es decir, la función de transferencia del proceso realimentado:

r y H G

y G H

G= ⋅ +

= ⋅

⋅ +

1 1;




20

M y

r

G

G H = =

+ ⋅1(1.5.1.6)

Esta relación básica (ecuación 1.5.1.6) de la estructura del proceso realimentado permitirá conocer más afondo los efectos importantes de la realimentación.

1.5.2 Efecto de la realimentación sobre la ganancia total.

Como puede apreciarse en la ecuación (1.5.1.6), la realimentación afecta a la ganancia G de un proceso sinrealimentación por un factor de 1 + G·H. La referencia de la realimentación en el sistema de la figura 1.19 esnegativa, pues a la señal de realimentación se le asigna un signo menos. La cantidad G·H puede incluir en símisma un signo negativo, por lo que el efecto general de la realimentación es que puede incrementar o reducir la ganancia. En un sistema de control práctico, G y H son funciones de frecuencia, por lo que la magnitud de1 + G·H puede ser mayor de 1 en un intervalo de frecuencias pero inferior a 1 en otro. Por consiguiente, larealimentación puede aumentar la ganancia del sistema o proceso en un intervalo de frecuencias y disminuirloen otro.

1.5.3 Efecto de la realimentación sobre la estabilidad.La estabilidad es un concepto que describe si un proceso será capaz de seguir una entrada de comando. Sin

aplicar conceptos rigurosos, se dice que un sistema o proceso es inestable cuando su salida está fuera decontrol o aumenta sin límites.

Para investigar el efecto de la realimentación sobre la estabilidad, es conveniente hacer referencia de nuevoa la expresión de la ecuación (1.5.1.6). Cuando G·H = -1, la salida del sistema es infinita para cualquier entrada finita. Por tanto, se puede decir que la realimentación puede causar inestabilidad en un sistemaoriginalmente estable. Claro está que la realimentación es un arma de dos filos; cuando se usa en formainapropiada, puede ser perjudicial. Sin embargo, cabe señalar que en este caso sólo se está considerando unasituación estática y, en general, G·H = -1 no es la única condición de inestabilidad.

r e

y *

G

H

y

Figura 1.19 : Sistema de realimentación simple.

r G

H

F

y

Figura 1.20 : Sistema con doble lazo de realimentación.




21

Es posible demostrar que una de las ventajas de la incorporación de una realimentación es que puedeestabilizar un sistema inestable. Supóngase que el sistema realimentado de la figura 1.19 es inestable debidoa que G·H = -1. Si se introduce otro lazo de realimentación a través de la realimentación negativa F, tal comolo muestra la figura 1.20 , la relación entrada-salida del sistema es,

M y r

GG H G F

= =+ ⋅ + ⋅1

(1.5.3.1)

cuya demostración es análoga a la de la obtención de la ecuación (1.5.1.6).

Resulta evidente que, aunque las propiedades de G y H son tales que el sistema realimentado del lazointerior es inestable a causa de que G·H = -1, el sistema global puede ser estable cuando se selecciona unvalor apropiado de la ganancia F de la realimentación del lazo externo.

1.5.4 Efecto de la realimentación sobre la sensibilidad.

Las consideraciones de sensibilidad suelen tener un papel importante en el diseño de procesos de control.Puesto que todos los elementos físicos tienen propiedades que varían con el medio ambiente y su tiempo deuso, no siempre es posible considerar que los parámetros de un proceso de control pueden ser totalmente

estacionarios en el intervalo total de la vida operacional del proceso. Por ejemplo, la resistencia del devanadode un motor eléctrico cambia a medida que se eleva la temperatura del mismo durante su operación. En ge-neral, un buen proceso o sistema de control debe ser insensible a estas variaciones de los parámetros y seguir siendo capaz de producir una respuesta adecuada. Para una mejor comprensión, estudiaremos el efecto quetiene la realimentación sobre las variaciones en los parámetros.

Con respecto al sistema de la figura 1.19, se considera a G como un parámetro susceptible de variación. Lasensibilidad de la ganancia del sistema total, M (donde M = y/r ), con respecto a la variación de G se definecomo:

SM M

G GGM =

∆

∆

/

/(1.5.4.1)

donde ∆M denota el cambio incremental de M debido al cambio incremental de G; ∆M/M y ∆G/G denotan lavariación en tanto por uno de M y G, respectivamente. Por consiguiente, se puede observar que la sensibilidad

indica el tanto por uno que representa la variación relativa de la función de transferencia M con respecto a lavariación relativa de la ganancia de lazo abierto G. La expresión para la función de sensibilidad SG

M puedededucirse tomando incrementos infinitesimales de M y G y usando la ecuación (1.5.1.6). Así se obtiene por tanto:

SM M

G G

M

G

G

M

G

M M

G H GM

G= = ⋅ = ⋅ ′ =+ ⋅

δ

δ

δ

δ

/

/

1

1(1.5.4.2)

Esta relación muestra que la función de sensibilidad tendrá un valor igual o inferior a la unidad y que puedehacerse arbitrariamente pequeña al aumentar G·H , siempre y cuando el sistema permanezca estable.

Resulta evidente que en un sistema de lazo abierto, donde M = G, la función de transferencia responderá unoa uno a las variaciones de G, es decir, SG

M = 1.

1.5.5 Efecto de la realimentación sobre las perturbaciones externas o ruido.Todos los sistemas físicos de control están sometidos a señales extrañas o ruido durante su operación.

Algunos ejemplos de estas señales son el voltaje de ruido térmico en los amplificadores electrónicos y el ruidode escobillas o conmutadores en los motores eléctricos.

El efecto de la realimentación sobre el ruido depende, en gran parte, del punto de introducción del ruido alsistema; es decir, no es posible establecer conclusiones generales. Sin embargo, en muchas situaciones, larealimentación puede reducir el efecto del ruido sobre el desempeño del sistema.

Se considera el sistema que se muestra en la figura 1.21, en la que r denota la señal de referencia y z es laseñal de ruido. En ausencia de realimentación, H = 0 , la salida y es:

y = G1·G2 ·e + G2 ·z (1.5.5.1)

donde e = r. La relación señal a ruido de la salida se define como:




23

Ejercicios de profundización y refuerzo.

Ejercicio 1.1a) Realizar una lista con las ventajas y con las desventajas de los procesos de control en lazo abierto.

b) Citar un par de ejemplos de procesos de control en lazo abierto y otros dos ejemplos de procesos decontrol en lazo cerrado que se encuentren habitualmente en un hogar.

c) Proporcionar un par de ejemplos de procesos de control realimentados donde una persona actúe comosistema controlador. Describirlos brevemente.

Ejercicio 1.2

Un trabajador está encargado de mantener constante el nivel de líquido de un depósito. Él mide el nivelmediante la observación de un tubo de nivel situado en el lado del depósito (en el cual se halla una marca dereferencia) y lo ajusta por medio de la apertura o cierre de una válvula de paso. Determinar en este proceso de

control qué es:a) El proceso de control.b) La variable controlada.c) El valor de referencia.d) El elemento de comparación.e) La señal de error.f) El controlador.g) El accionador.h) El equipo de medida.

Ejercicio 1.3

La figura 1.22 muestra el ejemplo de un sistema de control simple utilizado para mantener un nivel constantede agua en un depósito. El valor de referencia es la instalación inicial de un dispositivo de palanca que corte elsuministro de agua a un nivel requerido. Cuando el agua sale del depósito, el flotador se desplaza hacia abajocon el nivel del agua. Esto hace que el dispositivo palanca gire y permita que el agua entre en el depósito. Esteflujo continúa hasta que el flotador ha subido a una altura tal que hace que la palanca corte el agua. Es unsistema de control de bucle cerrado con los siguientes elementos:

• Proceso: control de nivel de agua en un depósito.• Variable controlada: nivel de agua en el depósito.• Valor de referencia: la posición inicial de la palanca instalada.• Comparador : la palanca.• Señal de error : la diferencia entre la posición actual e inicial de la palanca.• Controlador : la palanca articulada.• Accionador : la aleta que abre y cierra el suministro del agua.• Equipo de medida: el flotador y la palanca.

articulación

flotador palanca

válvula de salida

depósito de palanca

nivel deseado

Figura 1.22 : Proceso de control de nivel de un depósito.




24

Dibujar un diagrama de bloques funcional donde se muestren cada uno de los elementos de este proceso decontrol.

Ejercicio 1.4

En la figura 1.23 se muestra el regulador de velocidad más antiguo que existe: el regulador de bolas oregulador de Watt (hacia 1770). Este regulador permite mantener prácticamente constante la velocidad de girode una turbina, la cual puede ser de vapor, de gas, hidráulica… Este regulador consta de un conjunto de dosesferas metálicas ensartadas en unos brazos articulados, los cuales son solidarios a un eje que gira acopladoa la turbina por medio de un tren de engranajes. La acción del regulador se basa en que el giro del eje haceque las esferas metálicas, por la fuerza centrífuga, se eleven y a su vez arrastren la palanca articulada. Estapalanca articulada bascula sobre el punto de apoyo de tal forma que cierra el paso del agua por medio de laválvula de admisión. Al llegar menos agua a la turbina, ésta decelera y las bolas descienden hasta que sealcanza una situación de equilibrio. El ajuste de la velocidad de referencia se realiza por medio del dial que vamontado sobre el manguito deslizante.

A la vista del esquema mecánico de la figura 1.23 y de la descripción del funciomiento realizadaanteriormente, el sistema ¿es un proceso de control en lazo abierto o cerrado?¿por qué?. Dibujar un diagramade bloques donde queden perfectamente reflejadas las funciones de cada uno de los elementos constitutivosde este proceso.

Ejercicio 1.5

El esquema del control de posición de una antena parabólica se muestra en la figura 1.24. El eje de la antenaestá motorizado por un motor de c.c. (motor de posicionamiento), mientras que el ajuste del ángulo de laposición de la antena se realiza con un potenciómetro (R r ). Describir, con detalle, el funcionamiento del

proceso de control y dibujar el diagrama de bloques correspondiente.

Regulador de Watt

turbina

tomade agua

salidade agua

válvula deadmisión

palanca articulada

punto de apoyo

articulación

esferametálica

tren deengranajes

articulación

dial paraajuste de lavelocidadde referencia

manguitodeslizante

brazoarticulado

eje delregulador

Figura 1.23 : Proceso de control de nivel de un depósito.




25

Ejercicio 1.6

Diseñar un sistema de control para elevar y bajar de forma totalmente automática un puente levadizo quepermita el paso de los barcos. No se permite que el operador sea una persona.

Ejercicio 1.7

Diseñar un sistema de control para poner en posición el timón de un buque mercante desde el puente demando. Hay que considerar que el puesto de mando está alejado del timón del barco y que el objetivo es dirigir la embarcación en la dirección deseada.

Ejercicio 1.8

¿Dentro de qué tipo de sistema podría catalogarse el proceso que sigue un médico en el tratamiento de laenfermedad de un paciente? Hay que considerar que el médico recurre a la lectura de análisis de laboratorio

períodicos para conocer el estado y evolución del paciente.


para c.c.

Reductor de

engranajes

E

r y *

+

-

+

-

+

-

e e* M

_

C D

A

B

Posicióndeseada

Variablecontrolada

Motor deposicionamiento

Figura 1.24 : Control de posición de una antena por medio de un motor de c.c.




26



27

UNIDAD 2La transformada de Laplace.

2.1 Justificación de la transformada de Laplace.

Los estudios de procesos de control se basan en un alto grado en el uso de matemáticas aplicadas. En lapróxima unidad, dedicada al modelado matemático de sistemas físicos, se podrá comprobar que elcomportamiento de los sistemas y procesos reales vienen definidos mediante ecuaciones diferenciales ysistemas de ecuaciones diferenciales (cuando en el sistema exista más de una variable de entrada y más deuna variable de salida). El manejo y solución de ecuaciones diferenciales siempre resulta complicado ylaborioso, sin embargo, uno de los propósitos principales de los estudios de procesos de control consiste endesarrollar un conjunto de herramientas analíticas, de tal manera que el diseñador pueda lograr resultadosconfiables y razonablemente predecibles sin depender por completo del trabajo experimental o de lassimulaciones por ordenador.

El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando seusa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posiblerealizar las siguientes operaciones:

• Conversión de muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las funcionessenoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, en funciones algebraicas de una variable scompleja.

• Sustitución de operaciones tales como la diferenciación y la integración por operaciones algebraicas en elplano complejo. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se transforma en una ecuación algebraica deuna variable compleja s.

• La solución de una ecuación diferencial, una vez resuelta la ecuación algebraica en s equivalente para lavariable dependiente, se puede encontrar realizando la transformada inversa de Laplace de la variabledependiente, mediante una tabla de transformadas de Laplace o una técnica de expansión en fracciones

parciales, técnica que se presenta en el apartado 2.6 de esta unidad.• La transformada de Laplace permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del proceso

o sistema, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema.

• Cuando se resuelve la ecuación diferencial es posible obtener, simultáneamente, tanto el componentetransitorio como el componente de estado estable de la solución.

2.2 La variable compleja s .

Se hace necesario, para una mejor comprensión, revisar primero el concepto de la variable compleja y lafunción compleja antes de acometer la introducción a la transformada de Laplace. También se revisan loscriterios para determinar si una función compleja es analítica y cómo determinar sus polos y ceros.

2.2.1 Concepto de variable compleja.

Se considera que una variable compleja s tienedos componentes, un componente real σ, y uncomponente imaginario ω. Si se visualiza estavariable en forma gráfica, el componente real serepresenta con un eje horizontal y el imaginario conun eje vertical en el plano s complejo. En otraspalabras, una variable compleja siempre se definecon un punto en un plano complejo que tiene un ejeσ y un eje j ω. La figura 2.1 ilustra el plano complejos, en el que cualquier punto arbitrario, s = s1 sedefine por medio de las coordenadas σ = σ 1 y j ω =

j ω1, o simplemente, s1 = σ 1 + j ω1.

Plano s

0

Figura 2.1 : Plano complejo s.




28

2.2.2 Función compleja.

Una función G(s) es una función de la variable compleja s cuando por cada valor de s hay un valor correspondiente (o varios) de G(s). Puesto que s por definición está constituida por una parte real y unaimaginaria, la función G(s) también tiene su parte real y su parte imaginaria; es decir:

G(s) = Re G + j Im G (2.2.2.1)

Las funciones complejas que, por lo general, se encuentran en el análisis de procesos de control lineales sonfunciones univaluadas (valor único) de s y se determinan en forma única para un determinado valor de s.

La función G(s) también puede representarse mediante el plano complejo G(s), cuyo eje horizontalrepresenta a Re G y cuyo eje vertical corresponde con Im G. Si la función compleja es de valor único, por cadavalor de s (cualquier punto del plano s) sólo existe un valor correspondiente de G(s) (en el plano G(s)), se diceentonces que la correspondencia de los puntos del plano s y los del plano G(s) es también de valor único(figura 2.2 ).

No obstante, existen muchas funciones para las que la relación de correspondencia del plano de función alplano de variables complejas no es de un valor único.

Ejemplo 2.1

Se considera la función:

G ss s

( )( ) ( )

=− ⋅ +

1

1 3

Se hace obvio que por cada valor de s existe un solo valor correspondiente de G(s). Sin embargo, puedesuceder que para un único valor en el plano G(s), se relacione con más de un punto en el plano s. Esto sucedecon el punto G(s) = - ¥ , al que le corresponden dos puntos en el plano s: s = 1 y s = -3.

Una propiedad de las funciones complejas es la de ser o no ser analíticas dentro de una determinada región.Se define fun ción com pleja analítica como:

Aquella función compleja que, junto con todas sus derivadas, existen en la región que esobjeto de estudio.

La derivada de una función compleja se obtiene mediante:

δ

δ sG s lím

G s

ss( )

( )=

→∆

∆

∆0 (2.2.2.2)

Dado que ∆s = ∆σ + ∆ j ω, ∆s puede tender a cero a través de infinitas trayectorias. Se puede demostrar que silas derivadas de G(s) con respecto a s son iguales en dos trayectorias de ∆s determinadas, ∆s = ∆σ y ∆s =∆ j ω, la derivada es única para cualquier otra trayectoria de ∆s = ∆σ + ∆ j ω.

Si se deriva G(s) para la trayectoria ∆s = ∆σ (trayectoria sobre el eje real), resulta:

δσδ

δσδ

σσδδ

σGIm j GReGIm j GRelím )s( G

s 0 +=

∆∆+

∆∆=

→∆(2.2.2.3)

Plano s Plano G(s)

0 0

j Im G

Re G

G(s)1

Figura 2.2 : Correspondencia de valor único entre el plano complejo s y el plano complejo G(s).



La transformada de Laplace

29

y si se deriva después para la trayectoria ∆s = ∆ j ω (trayectoria sobre el eje imaginario), queda:

δ

δ

δ

δω

δ

δωsG s lím

ReG

j j

ImG

j j

ReG ImG

j ( ) = +

= − +

→∆ω

∆

∆ω

∆

∆ω0 (2.2.2.4)

Cuando estos dos valores sean iguales,

δ

δσ

δ

δσ

δ

δω

δ

δω

ReG j

ImG Im G j

ReG+ = −

δ

δσ

δ

δω

ReG ImG= y

δ

δσ

δ

δω

Im G ReG= − (2.2.2.5)

la derivada de G(s) con respecto a s se determina de forma única. Cuando se cumplen las condiciones de laecuación (2.2.2.5), conocidas como condiciones de Cauchy-Riemann, se dice que la función G(s) es analítica.

Ejemplo 2.2

Se desea comprobar si la función G(s) es analítica en el plano G(s):

G ss

( ) =+

1

1

Dado que s = σ + j ω, se puede expresar G(s) como:

( ) ( ) ( )G s

j

j j ( ) =

+ +=

+ −

+ +=

+

+ ++

−

+ +

1

1

1

1

1

1 12 2 2 2 2 2 σ ω

σ ω

σ ω

σ

σ ω

ω

σ ω

Por lo que las componentes real e imaginaria de G(s) resultan ser:

( )ReG =

+

+ +

σ

σ ω

1

1 2 2 y

( )ImG = −

+ +

ω

σ ω1 2 2

Derivando la función con respecto a σ y a ω, e igualando sus derivadas, se tiene:( )

( )( )

δ

δσ

δ

δω

ω σ

σ ω

ReG ImG= =

− +

+ +

2 2

2 2 2

1

1

( )

( )( )

δ

δσ

δ

δω

ω σ

σ ω

ImG ReG= =

⋅ ⋅ +

+ +

2 1

1

2

2 2 2

Se puede observar que, excepto en el punto s = -1 (σ = -1 y ω = 0 ), la función G(s) es analítica y, por tanto,tiene derivada única para cualquier trayectoria de ∆s. Para obtener esta derivada, basta con diferenciar simplemente G(s) con respecto a s:

( )δ

δ sG s

s( ) = −

+11 2

2.2.3 Polos y ceros de una función compleja.

Los puntos en el plano s en los que la función es analítica se denominan puntos ordinarios. Por otra parte, sellaman singularidades de una función a los puntos del plano s en los que no existen ni la función ni susderivadas, es decir, los puntos en los que la función no es analítica.

Polos de una función.

Un polo es el tipo más común de singularidad y juega un papel muy importante en los estudios de la teoríaclásica de control. Básicamente, un polo no es más que aquel valor de “s” que hace que la función tienda ainfinito, aunque de una forma más rigurosa, la definición de

polo puede expresarse como sigue:




30

Si una función G(s) es analítica y de valor único en los alrededores de p, excepto en p, sedice que tiene un polo de orden n en s = p, cuando el límite

( )[ ]lím s p G ss p

n

→− ⋅ ( )

tiene un valor finito que no sea cero.

Cuando el orden de un polo es n = 1, al polo se le llama polo simple. Si una función G(s) tiene un polo en s = p, se puede observar que conforme s tiende a p, G(s) tiende a infinito.

Ceros de una función.

Un cero de una función es un valor de “s” tal que la función tiende a cero. La definición formal del cero deuna función puede expresarse como sigue:

Si una función G(s) es analítica en s = c se dice que tiene un cero de orden n en s = ccuando el límite

( )lím

G s

s c s c n

→ −

( )

tiene un valor finito que no sea cero.

Cuando el orden de un cero es n = 1, al cero se le llama cero simple. Si una función G(s) tiene un cero en s =c , entonces, 1/G(s) tiene un polo en s = c .

Ejemplo 2.3

Se desea determinar los polos y ceros de la función:

( ) ( )G s

s s

s s s( )

( ) ( )=

⋅ + ⋅ −

⋅ + ⋅ −

5 2 1

1 3 2

La función tiene dos polos simples en s = 0 y s = -1 y tiene un polo doble (polo de orden 2) en s = 3. Ademástiene ceros simples en s = -2 y s = 1. Si se calcula el límite de la función cuando s tiende a infinito

lím G sss→∞

=( )5 2

se puede comprobar que cuando s = ¥ , la función G(s) se hace cero, por lo que se puede decir que G(s)tiene un cero doble en s = ¥ .

En total, G(s) tiene los siguientes polos y ceros:

• Polos: s = 0 , s = -1 , s = 3 , s = 3 total: 4

• Ceros: s = 1 , s = -2 , s = ¥ , s = ¥ total: 4

2.3 Ecuaciones diferenciales en sistemas físicos.

La mayoría de los elementos constitutivos de un proceso de control (y la mayoría de los procesos de controlen sí mismos) quedan matemáticamente representados en términos de ecuaciones diferenciales. Por logeneral estas ecuaciones incluyen derivadas e integrales de las variables dependientes con respecto a lavariable independiente. Por ejemplo, un circuito eléctrico RLC en serie (resistencia-inductancia-capacitancia)puede representarse mediante la ecuación diferencial:

v t R i t Li t

t C i t t ( ) ( )

( )( )= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅∫

δ

δδ

1(2.3.0.1)

donde R es la resistencia, L el coeficiente de autoinducción, C la capacidad, i(t) la corriente en la red y v(t) latensión aplicada en los bornes del circuito. En este caso, v(t) es la función de excitación o señal de entrada del




31

sistema, t la variable independiente e i(t) la variable dependiente, incógnita o señal de salida del sistema, quese va a determinar resolviendo la ecuación diferencial.

Otro ejemplo ilustrativo consiste en una serie mecánica de un sistema masa-resorte-amortiguador. Laecuación diferencial del sistema se puede escribir como:

f t my t

t B

y t

t K y t ( )

( ) ( )( )= ⋅ + ⋅ + ⋅

δ

δ

δ

δ

2

2 (2.3.0.2)

donde f(t) es la fuerza aplicada, m la masa, B el coeficiente del amortiguador, K la constante de resorte e y(t)es el desplazamiento y señal de salida del sistema. Las funciones f(t) e y(t) son respectivamente las señalesde entrada y salida del sistema definido por la ecuación (2.3.0.2).

Estas dos ecuaciones se definen como ecuaciones diferenciales de segundo orden y a los sistemas querepresentan se les conoce como sistemas de segundo orden. De manera estricta, la ecuación (2.3.0.1) deberíallamarse ecuación integrodiferencial, pues está involucrada una integral.

2.3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

En general, la ecuación diferencial de un sistema de n-ésimo orden se escribe como:

)()()()()(

)( 122

2

11

1

1 t y at

t y a

t

t y a

t

t y a

t

t y at u

n

n

nn

n

nn

n

n ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=−

−

−−

−

+δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δL (2.3.1.1)

Las ecuaciones diferenciales de la (2.3.0.1) a la (2.3.1.1) también se clasifican como ecuacionesdiferenciales ordinarias lineales cuya definición sería:

Son las ecuaciones diferenciales constituidas por sumas (con sus signos) de la funciónincógnita y(t) y sus derivadas, las cuales (la función incógnita y(t) y sus derivadas) se hallanelevadas a la potencia unidad, y cuyos coeficientes a1, a2,… an+1 no son funciones de lafunción incógnita y(t).

2.3.2 Ecuaciones diferenciales no lineales.

Existen otros muchos fenómenos físicos que se describen conecuaciones diferenciales no lineales. Por ejemplo, la ecuacióndiferencial que describe el movimiento de un péndulo simplecomo el que se muestra en la figura 2.3 es

m R t

t m g sen t ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

δ θ

δθ

2

2 0

( )( ) (2.3.2.1)

Puesto que θ(t) aparece como función senoidal, la ecuación(2.3.2.1) no es lineal y al sistema se le describe, en términosgenerales, como sistema no lineal.

2.4 Transformada de Laplace.La transformada de Laplace es una de las herramientas matemáticas que se usan para la resolución de

ecuaciones diferenciales lineales. En comparación con el método clásico de resolución de este tipo deexpresiones, el método de transformada de Laplace tiene las siguientes características:

• La ecuación homogénea y la integral particular se resuelven en una sola operación.

• La transformada de Laplace convierte a la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en términosde s. Con esto es posible manejar la ecuación mediante reglas algebraicas simples para obtener lasolución en el dominio de s. La solución final se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace.

2.4.1 Definición de la transformada de Laplace.

A continuación se definen los elementos integrantes del proceso de la transformada:

m·g·sen

R

m

m·g

Figura 2.3 : Movimiento pendular simple.




32

• f(t) : es la función que se desea transformar y que está expresada en el dominio del tiempo t , tal quef(t) = 0 para t < 0 .

• s : es la variable compleja sobre la que opera la función transformada.

• LL

: es el símbolo operativo de la transformada de Laplace.• F(s) : es la transformada de Laplace de f(t).

La transformada de Laplace de una función f(t) se obtiene mediante la operación:

[ ] ∫ ∞

⋅− ⋅⋅==0

)()()( t et f sF t f t s δL (2.4.1.1)

La ecuación (2.4.1.1) recibe también el nombre de transformada unilateral de Laplace, pues la integración seevalúa desde 0 hasta ¥ . Esto significa simplemente que toda la información contenida en f(t) anterior a t = 0 ,se ignora o se considera igual a cero. Esta suposición no establece una limitación importante en lasaplicaciones de la transformada de Laplace a los problemas de procesos o sistemas lineales, puesto que enlos estudios habituales de dominio de tiempo, se suele seleccionar la referencia de tiempo en el instante enque t = 0 . Además, cuando se aplica una entrada a un sistema físico cuando t = 0 , la respuesta del sistema no

empieza antes de t = 0 ; esto es, la respuesta no puede preceder a la excitación o señal de entrada.La solución de la integral de la ecuación (2.4.1.1) será una función en el dominio de la variable s. A

continuación se ofrecen unos ejemplos de determinación de la transformada de Laplace de aquellas funcionesque aparecen con más frecuencia.

Ejemplo 2.4

Función escalón unitario.

La función escalón unitario, 1(t), se define como:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = 1 para t > 0

La función no está definida para t = 0 . Su transformada de Laplace se obtiene mediante:

[ ] [ ]s

es

t et t f t st s 111)(1)(

00

=⋅−=⋅⋅==∞

⋅−∞

⋅−∫ δLL

Cuando la función escalón ocurre en un tiempo distinto de cero, esto es, t = t 0 , se expresa como 1(t - t 0 ). Por otra parte, la función escalón de altura A que ocurre para t = 0 , se expresa como A·1(t).

Físicamente la función escalón que ocurre en t = 0 corresponde a una señal constante aplicadarepentinamente al sistema en el tiempo t igual a cero.

Ejemplo 2.5

Función rampa.

La función rampa queda definida como:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = A·t para t > 0

donde A es una constante e indica el valor de la pendiente de la rampa. Su transformada de Laplace seobtiene mediante:

[ ] [ ] =⋅⋅

−−⋅

⋅−=⋅⋅⋅=⋅= ∫ ∫

∞⋅−

∞⋅−

∞⋅−

000

)( t es

Ae

s

t At et At At f t st st s δδLL

= −⋅

⋅ + ⋅ ⋅ =− ⋅∞

− ⋅∞

∫

A t

s

e A

s

e t A

s

s t s t

0 0

2 δ




33

Ejemplo 2.6

Función senoidal.

La función senoidal se define como:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = A·sen( ω·t) para t > 0

donde A y ω son constantes. Por otra parte, aplicando el teorema de Euler, las funciones senoidales puedenser reemplazadas por funciones exponenciales:

( )cos t e e j t j t

( )ωω ω⋅ = ⋅ + −1

2

( )sen t j

e e j t j t

( )ωω ω⋅ = ⋅ −

−1

2

Por tanto, la transformada de la función senoidal resulta:

[ ] ( )22

1122

)(0 ω

ω

ωωδω ωω

+

⋅=

+

−−

⋅=⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫ ∞

⋅−−

s

A

j s j s j

At eee

j

At sen A t st j t j

L

La obtención de la transformada de Laplace de la función coseno se obtiene igualmente:

[ ]22

)(ω

ω+

⋅=⋅⋅

s

s At cos AL

Ejemplo 2.7

Funciones desplazadas en el tiempo.

Se tiene una función desplazada en el tiempo, con un desplazamiento τ ≥ 0 , definida como:

f(t) = 0 para t < τ

f(t) = f(t - τ )·1(t - τ ) para t > τ

La expresión de la transformada resulta:

[ ] ∫ ∞

⋅− ⋅⋅−⋅−=−⋅−0

)(1)()(1)( t et t f t t f t s δττττL

Si se sustituye la variable independiente haciendo t - τ = α :

( )f t t e t f e

s t s( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅∞

− ⋅ +

−

∞

τ τ δ α α δ αα τ

τ

1 10

Por otro lado, y dado que la función es cero para t < τ, se puede cambiar el límite inferior de integración de−τ a 0 , por lo que la expresión final resulta ser:

( )f e f e e e f e e F s

s s s s s s( ) ( ) ( ) ( ) ( )α α δ α α δ α α δ α

α τ τ α τ α τ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− ⋅ +∞

− ⋅ − ⋅∞

− ⋅ − ⋅∞

− ⋅1 1

0 0 0

Dado que la resolución de esta integral de la ecuación (2.4.1.1) puede ser compleja y laboriosa, se facilita, acontinuación, una tabla con las transformadas de Laplace de las funciones en el dominio del tiempo máshabituales.




34

f(t) F(s)

función escalón: f(t) = 1(t) = 1 1s

función rampa: f(t) = t 12

s

( )! 1n

t 1n

−

−(n = 1, 2, 3…) ns

1

e-a·t 1

s a+

t· e-a·t

( )

1

2 s a+

sen( ω·t)ω

ωs2 2 +

cos( ω·t)s

s2 2 + ω

sen( ω·t + θ )s sen cos

s

⋅ + ⋅

+

θ ω θ

ω2 2

cos( ω·t + θ )s sen cos

s

⋅ − ⋅

+

θ ω θ

ω2 2

e-a·t ·sen( ω·t)( )

ω

ωs a+ +2 2

e-a·t ·cos( ω·t)( )

s a

s a

+

+ +2 2 ω

senh( ω·t)ω

ωs2 2 −

cosh( ω·t)s

s2 2 − ω

δ

δ

f t t ( ) s·F(s) - f(0 + )

f t t t ( ) ⋅∫ δ

0

F s

s

( )

a1·f 1(t) + a2 ·f 2 (t) a1·F 1(s) + a2 ·F 2 (s)

f(1- τ )·1(t - τ ) e-τ·s·F(s)

f f t t

1 2 0 ( ) ( )τ τ δτ⋅ − ⋅∫ F 1(s)·F 2 (s)

Tabla 2.1: Pares de transformada de Laplace




35

2.4.2 Teoremas de la transformada de Laplace.

En la resolución de transformada de Laplace aparecerá, en muchas ocasiones, la posibilidad de simplificar laoperación si se utilizan sus propiedades. Estas propiedades se presentan en los siguientes teoremas, de loscuales no se incluye la comprobación.

Multiplicación por una constante.

La transformada de Laplace del producto de una constante A y una función del tiempo f(t), es igual a laconstante A multiplicada por la transformada de Laplace de f(t); esto es,

L [A·f(t)] = A·F(s) (2.4.2.1)

donde F(s) es la transformada de Laplace de f(t).

Suma y diferencia.

La transformada de Laplace de la suma (o la diferencia) de dos funciones del tiempo es igual a la suma (o ladiferencia) de las transformadas de Laplace de dichas funciones; esto es,

L [f 1(t) ± f 2 (t)] = F 1(s) ± F 2 (s) (2.4.2.2)

donde F 1(s) y F 2 (s) son las transformadas de Laplace de f 1(t) y f 2 (t), respectivamente.

Diferenciación.

La transformada de Laplace de la primera derivada de una función del tiempo f(t), es igual a s veces latransformada de Laplace de f(t) menos el límite de f(t) a medida que t tiende a 0 ; esto es:

)0 ( f )s( F s )t ( f lím )s( F st

)t ( f

0 t −⋅=−⋅=

→δ

δL (2.4.2.3)

Para una función f(t) determinada, los valores de f(0 + ) y f(0 - ) pueden ser iguales o diferentes, tal como seilustra en la figura 2.4. La diferencia entre f(0 + ) y f(0 - ) es importante cuando f(t) tiene una discontinuidad en

t = 0 , debido a que, en tal caso, la derivada de f(t) implicará una función impulso en t = 0 . Si f(0 +

) ¹ f(0 -

), laecuación (2.4.2.3) debe modificarse a:

)0()()( +−⋅=

f sF s

t

t f

δ

δ+L ; )0()(

)( −−⋅=

f sF s

t

t f

δ

δ-L (2.4.2.4)

En general, para las derivadas de orden más alto:

)0()0(")0(')0()()( )1(221 −−−− −−−−−=

nnnnn

n

nf f sf sf ssF s

t

t f L

δ

δL (2.4.2.5)

función escalón

0 t

función senoidal

0 t

Figura 2.4 : Funciones con continuidad y con discontinuidad en f(0).




36

Integración.

La transformada de Laplace de la primera integral de una función f(t) con respecto al tiempo, es igual a latransformada de Laplace de f(t) dividida entre s; esto es:

ssF t t f t )()(

0=

⋅∫ δL (2.4.2.6)

En general, para una integración de orden n:

n

t t t

ns

sF t t t t f

n )()(

1

0

2

0 021 =

⋅⋅∫ ∫ ∫ δδδ LLL (2.4.2.7)

Hay que hacer notar que si f(t) implica una función impulso en t = 0 , entonces:

f t t f t t t t

( ) ( )⋅ ≠ ⋅+ −∫ ∫ δ δ0 0

por lo que debe considerarse la siguiente distinción:

[ ]s

t f t t f t )()(0

+

+

L=

⋅∫ + δL ; [ ]

st f t t f

t )()(0

-

-

L=

⋅∫ − δL (2.4.2.8)

Desplazamiento en el tiempo.

La transformada de Laplace de f(t) retrasada un tiempo τ, es igual a la transformada de Laplace de f(t)multiplicada por e-τs; esto es:

L [f(t - τ )·1(t - τ )] = e-τ·s·F(s) (2.4.2.9)

donde 1(t - τ ) denota a la función escalón unitario, que se desplaza en el tiempo hacia la derecha en unamagnitud τ (figura 2.5 ).

Teorema del valor final.

El teorema del valor final relaciona el comportamiento en estado estable de f(t) con el comportamiento des·F(s) en la vecindad de s = 0 . Sin embargo, este teorema se aplica si y sólo si existe límite de f(t) cuando t tiende a infinito, lo que significa que f(t) se asienta en un valor definido para t = ¥ . Si todos los polos de s·F(s)se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, existe límt ® ¥ f(t). Por el contrario, si s·F(s) tiene polos enel eje imaginario o en el semiplano derecho del plano s, f(t) contendrá funciones de tiempo oscilantes oexponencialmente crecientes, respectivamente, y límt ® ¥ f(t) no existirá. El teorema de valor final no se aplica entales casos. Por ejemplo, si f(t) es la función senoidal sen( ω·t), s·F(s) tiene polos en s = ± j ω, el límt ® ¥ f(t) noexiste y, en consecuencia, no es aplicable este teorema a tal función.

El teorema de valor final se plantea del modo siguiente: si f(t) y δf(t)/ δt se pueden transformar por el métodode Laplace, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), y si existe límt ® ¥ f(t), entonces:

)s( F slím )t ( f lím0 st

⋅=→∞→

(2.4.2.10)

f(t - )·1(t - )τ τ

0 t

f(t)·1(t)

0 t

Figura 2.5 : Desplazamiento τ en el tiempo de una función f(t)·1(t).




37

Ejemplo 2.8

Se considera la función compleja:

( )F s s s s( ) = ⋅ + +

10

42

La función s·F(s) tiene polos en:

s = 0, s j = − +

1

2

15

2 y s j = − −

1

2

15

2

Por tanto, es analítica en el eje imaginario y en el semiplano derecho del plano complejo s. Con estascondiciones se puede aplicar el teorema del valor final, por consiguiente:

5 ,2 4

10

4ss

10 lim )s( F slím )t ( f lím

2 0 s0 st ==

++=⋅=

→→∞→

Ejemplo 2.9


F ss

( ) =+

4

16 2

Se sabe que esta función compleja corresponde a la transformada de f(t) = sen(4·t). Puesto que s·F(s) tienedos polos en el eje imaginario (s = j4 y s = -j4), no es posible aplicar el teorema del valor final. Aunque existierauna valor para líms® 0 s·F(s), el resultado obtenido para límt ® ¥ f(t), sería erróneo.

Teorema del valor inicial.El teorema de valor inicial es el opuesto y complementario del teorema de valor final. Este teorema nos

permite encontrar el valor de f(t) en t = 0 + directamente, a partir de la transformada de Laplace de f(t). Elteorema de valor inicial no proporciona el valor de f(t) en exactamente t = 0 , sino en un tiempo ligeramentemayor que cero.

El teorema de valor inicial se plantea del modo siguiente: si f(t) y δf(t)/ δt se pueden transformar por el métodode Laplace, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), y si existe líms® ¥ s·F(s), entonces:

)s( F slím )t ( f líms0 t

⋅=∞→→

(2.4.2.11)

Desplazamiento complejo.

La transformada de Laplace de f(t) multiplicada por e-a·t

, donde a es una constante, es igual a latransformada de Laplace F(s) sustituyendo s por s + a; esto es:

L [e-a·t ·f(t)] = F(s + a) (2.4.2.12)

Convolución real (multiplicación compleja).

Si las funciones f 1(t) y f 2 (t) tienen las transformadas de Laplace F 1(s) y F 2 (s), respectivamente, y f 1(t) = 0 yf 2 (t) = 0 , cuando t < 0 , entonces:

⋅−⋅=⋅ ∫

t t f f sF sF

0

)()()()( 2121 τδττL

⋅−⋅=⋅ ∫ t

t f f sF sF 0 )()()()( 1221 τδττL




38

[ ])()()()( 2121 t f t f sF sF ∗=⋅ L (2.4.2.13)

donde el símbolo (*) denota la convolución en el dominio de t o convolución real . De esta forma, la ecuación(2.4.2.13) muestra que la multiplicación de la transformada de dos funciones en el dominio complejo s, esequivalente a la convolución de las dos funciones reales en el dominio de t . Un hecho importante que deberecordarse es que la transformada inversa de Laplace del producto de dos funciones en el dominio s, no esigual al producto de las dos funciones reales correspondientes en el dominio de t ; es decir, en general:

[ ] )()()()( 2121 t f t f sF sF -1 ⋅≠⋅L (2.4.2.14)

También existe una relación dual con el teorema de convolución real , llamada convolución compleja omultiplicación real . En esencia, el teorema enuncia que la multiplicación en el dominio real de t es equivalente aconvolución en el dominio s complejo; esto es:

[ ] )()()()( 2121 sF sF t f t f ∗=⋅L (2.4.2.15)

donde el símbolo (*) denota la convolución en el dominio de s o convolución compleja. Se omiten los detallesde la fórmula de convolución compleja.

2.5 Transformada inversa de Laplace.

La operación consistente en obtener la función en el dominio del tiempo f(t) a partir de la función en eldominio de la variable compleja F(s), resultante de aplicar la transformada de Laplace, es denominadatransformada inversa de Laplace y se expresa como:

[ ] ∫ ∞+

∞−

⋅− ⋅⋅⋅⋅⋅

j c

j c

t s1- sesF j 2

1=sF =f(t) δ

π)()(L (2.5.0.1)

donde c es la abcisa de convergencia, que es una constante real mayor que las partes reales de todas lassingularidades de F(s). La integral de la ecuación (2.5.0.1) se realiza en el plano complejo s. Los límites de laintegral hacen que la trayectoria de la integración sea paralela al eje imaginario y desplazada una distancia c del mismo. Esta trayectoria se halla a la derecha de todos los puntos singulares de F(s).

Sin embargo, la integral de inversión de la ecuación (2.5.0.1) es complicada y, por tanto, no se recomiendasu uso para encontrar transformadas inversas de Laplace de funciones que se encuentran con regularidad enlos procesos de control.

Un método conveniente de obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de transformadas deLaplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una forma que se reconozca de inmediato en taltabla. Con mucha frecuencia, es posible que la función en cuestión no aparezca en las tablas detransformadas de Laplace que posee el ingeniero o técnico. Si una transformada específica F(s) no seencuentra en la tabla, puede expandirse en fracciones parciales y escribirse en términos de funciones simplesde s para las cuales ya se conocen las transformadas inversas de Laplace.

Hay que hacer notar que estos métodos más sencillos para encontrar las transformadas inversas de Laplacese basan en que en la correspondencia única de una función de tiempo y su transformada inversa de Laplaceprevalecen para cualquier función continua del tiempo.

2.5.1 Transformada inversa de Laplace por expansión en fraccionesparciales.

En la gran mayoría de los problemas de sistemas de control, la evaluación de la transformada de Laplace norequiere el uso de la integral de la inversión de la ecuación (2.5.0.1). La operación de la transformada inversade Laplace basada en funciones racionales, puede llevarse a cabo usando una tabla de transformadas deLaplace y la expansión en fracciones parciales.

Cuando la solución mediante la transformada de Laplace de una ecuación diferencial es una función racionalde s, se puede establecer que:

F sB s

A s( )

( )

( )= (2.5.1.1)

donde B(s) y S(s) son polinomios de s. Se supone que el orden de A(s) con respecto a s es mayor que el deB(s). El polinomio A(s) puede escribirse como:




39

A(s) = sn + a1· sn-1 + a2 · s

n-2 + ··· + an-1· s + an (2.5.1.2)

donde a1, a2 …, an son coeficientes reales. Los ceros de A(s) pueden ser reales o complejos conjugados deorden simple o múltiple.

Si se logra separar F(s) en componentes de la forma:

F(s) = F 1(s) + F 2 (s) + ··· + F n(s)

donde las funciones F 1(s), F 2 (s), ···, F n(s) tienen una transformada inversa de Laplace fácil de obtener (directamente de tabla), se puede decir que:

L-1 [F(s)] = L

-1 [F 1(s)] + L

-1 [F 2 (s)] + ··· + L

-1 [F n(s)] = f 1(t) + f 2 (t) + ··· + f n(t) = f(t)

siendo f 1(t), f 2 (t), ···, f n(t) las transformadas inversas de Laplace de F 1(s), F 2 (s), ···, F n(s) y f(t) la transformadainversa resultante de F(s).

Se describen a continuación los métodos de expansión en fracciones parciales para los casos de polossimples, polos de orden múltiple y polos complejos de F(s).

Expansión en fracciones parciales cuando todos los polos de F(s) son simples y reales.

Cuando todos los polos de F(s) son reales y simples, la ecuación (2.5.0.1) puede escribirse como,

F sB s

A s

B s

s s s s s sn

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( )= =

+ ⋅ + +1 2 L

(2.5.1.3)

donde, en este caso, se considera que los polos -s1, -s2 …, -sn son números reales. Aplicando la técnica deexpansión en fracciones parciales, la ecuación (2.5.1.3) se transforma en:

F sK

s s

K

s s

K

s s

s s sn

n

( )( ) ( ) ( )

=+

++

+ ++

1

1

2

2

L (2.5.1.4)

Los coeficientes K s1, K s2 …, K sn se determinan multiplicando ambos miembros de la ecuación (2.5.1.3) o de

la (2.5.1.4) por el factor (s + si ) - siendo i = 1, 2, …, n - y estableciendo que s es igual a -si . Baste comoejemplo la determinación de K s1:

K s sB s

A s

B s

s s s s s ss

s s n1 1

1

1 2 1 3 11

= + ⋅

=−

− + ⋅ − + − +=−

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( )L

(2.5.1.5)

Ejemplo 2.10


( ) ( ) ( )F s

s

s s s( ) =

⋅ +

+ ⋅ + ⋅ +

5 3

1 2 3

Esta función queda representada en fracciones parciales de la forma:

( ) ( ) ( )F s

K

s

K

s

K

s( ) =

++

++

+− − −1 2 3

1 2 3

Los coeficientes de los numeradores de las fracciones se determinan de la siguiente manera:

( )[ ]( ) ( )

K s F ss− =−= + ⋅ =

⋅ − +

− + ⋅ − += −1 1

15 1 3

1 2 1 31( )

( )

( )[ ]( ) ( )

K s F ss− =−= + ⋅ =

⋅ − +

− + ⋅ − +=2 2

2 5 2 3

2 1 2 37 ( )

( )

( )[ ]( ) ( )

K s F ss− =−

= + ⋅ =⋅ − +

− + ⋅ − += −

3 33

5 3 3

3 1 3 2 6 ( )

( )

Queda, por tanto, la función F(s) transformada en una suma de fracciones tal y como se muestra a




40

continuación:

( ) ( ) ( )F s

s s s( ) = −

++

+−

+

1

1

7

2

6

3

Expansión en fracciones parciales cuando algunos polos de F(s) son de orden múltiple.

Si n de los m polos de F(s) son idénticos, o dicho de otra manera, cuando el polo en s = -si tiene unamultiplicidad n, F(s) se escribe como:

F sB s

A s

B s

s s s s s s s si n

m

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )= =

+ ⋅ + + +1 2 L L

(2.5.1.6)

Entonces, la expansión de F(s) toma la forma:

F sK

s s

K

s s

K

s s

L

s s

L

s s

L

s s

s s sm

m i i

n

i

n( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

++

++ +

++

++

+

+ +

+

1

1

2

2

1 2 2

L L (2.5.1.7)

Como se puede apreciar, aparecen m - n términos correspondientes a los polos simples y cuyos coeficientesK s1, K s2 …, K sm se determinan de la forma descrita en la ecuación (2.5.1.5). Por otra parte, se tienen ntérminos correspondientes al polo múltiple de orden n y cuyos coeficientes L1, L2 , … Ln, se determinan de lamanera que se indica a continuación:

[ ]L s s F sn i n

s s i

= + ⋅=−

( ) ( )

[ ]Ls

s s F sn i n

s s i

−=−

= + ⋅1

δ

δ( ) ( )

[ ]L 2! s s s F sn i n

s s i

−

=−= ⋅ + ⋅2

2

2

1 δ

δ( ) ( )

M

( )[ ]L

n ! ss s F s

n

n i n

s s i

1

1

1

1

1=

−⋅ + ⋅

−

−

=−

δ

δ( ) ( ) (2.5.1.8)

Ejemplo 2.11

Se considera la siguiente función:

( ) ( )F s

s s s( ) =

⋅ + ⋅ +

3

2 1 3


( ) ( )F s

K

s

K

s

L

s

L

s

L

s( ) = +

++

++

++

+−0 2 1 2

2 3

32 1 1 1


[ ]( ) ( )

K s F ss0 0 3

3

0 2 0 1

3

2 = ⋅ =

+ ⋅ +==( )

( )[ ]( ) ( )

K s F ss− =−= + ⋅ =

− ⋅ − +=2 2 3

2 3

2 2 1

3

2 ( )




41

[ ]( )

L s F ss ss

s

33

11

13

2 3= + ⋅ =

⋅ += −

=−=−

( ) ( )

[ ]Ls

s F ss

s ss s

2 3

1

2 2 1

16 1

2 0 = + ⋅ = − ⋅ +

⋅ +=

=− =−

δ

δ( ) ( )

( )

( )

[ ]L! s

s F ss s s s s s

s ss s

1

2

2 3

1

2 2 3 2

4 4

1

1

2 1

1

2

6 2 6 1 4 12 8

2 3= ⋅ + ⋅ = ⋅

− ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ += −

=− =−

δ

δ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

La expansión en fracciones de la función F(s) resulta:

( ) ( )F s

s s s s( ) =

⋅+

⋅ +−

+−

+

3

2

3

2 2

3

1

3

1 3

Expansión en fracciones parciales de polos complejos conjugados simples.

La ecuación (2.5.1.4) también es válida cuando F(s) tiene polos complejos conjugados simples. Sinembargo, dado que los polos complejos conjugados son más difíciles de operar y tienen un interés especial enlos estudios de procesos de control, es conveniente tratarlos por separado.

Se parte de la suposición en la que la función racional F(s) de la ecuación (2.5.1.1) contiene un par de poloscomplejos:

s = -σ + j ω y s = -σ - j ω

De la misma forma en la que se han planteado los coeficientes para las fracciones en la ecuación (2.5.1.5),los coeficientes correspondientes de estos polos son:

[ ]K s j F s j s j − + =− += + − ⋅α ω α ωα ω( ) ( )

[ ]K s j F s j s j − − =− −= + + ⋅α ω α ωα ω( ) ( ) (2.5.1.9)

Ejemplo 2.12


( )F s

s s s( ) =

⋅ + +

10

42

La función s·F(s) tiene polos en:

s = 0, s j = − +

1

2

15

2

y s j = − −

1

2

15

2 Por tanto la expansión en fracciones parciales se puede expresar como:

F sK

s

K

s j

K

s j

j j ( ) = +

+ −

+

+ +

− + − +0

1

2

15

2

1

2

15

2

α ω α ω

Los coeficientes de las fracciones parciales se determinan según se muestra a continuación:

[ ]( )

K s F ss0 0 2

10

0 0 4

5

2 = ⋅ =

+ +==( )




42

K s j F s j j

s j

− +

=− +

= + −

⋅

= − +α ω

1

2

15

2

15

12

15

12 1

2

15

2

( )

K s j F s j j

s j

− −

=− −

= + +

⋅

= − −α ω

1

2

15

2

15

12

15

12 1

2

15

2

( )

La expansión en fracciones resultante es:

F ss

j

s j

j

s j

( ) =⋅

+

− +

+ −

+

− −

+ +

5

2

15

12

15

12

1

2

15

2

15

12

15

12

1

2

15

2

2.5.2 Aplicación de la transformada de Laplace en la resolución deecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales pueden resolverse con el método de la transformada deLaplace. Para ello deben utilizarse los teoremas comentados en el apartado 2.4.2 y la tabla de transformadasdel apartado 2.4.1. Las ventajas de este método son que, con la ayuda de dicha tabla, todas las operacionesresultan algebraicas y se obtienen simultáneamente tanto la solución homogénea como la solución particular de la ecuación general.

A continuación se ofrece un ejemplo ilustrativo de la aplicación de la transformada de Laplace en laresolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

Ejemplo 2.13Se tiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria y lineal:

5 1 3 2

2

2 ⋅ = + ⋅ + ⋅( )

( ) ( )( )t

f t

t

f t

t f t

δ

δ

δ

δ

donde la función escalón unitario, 1(t), se define como:

1(t) = 0 para t < 0

1(t) = 1 para t > 0

Las condiciones iniciales consideradas son: f(0) = 0 ; f'(0) = 2. El siguiente paso es tomar la transformada deLaplace de ambos miembros de la ecuación diferencial:

( ) ( )5 0 0 3 3 0 2 2

ss F s s f f s F s f F s= ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )

Reemplazando f(0) y f'(0) por sus valores:

( )5

2 3 2 2

ss F s s F s F s= ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅( ) ( ) ( )

Ahora, despejando F(s):

( )5

2 3 2 2

ss s F s+ = + ⋅ + ⋅ ( ) ;




43

( ) ( )F s s

s s

s

s s s( ) =

+

+ ⋅ +=

+ ⋅

⋅ + ⋅ +

5 2

3 2

5 2

3 2 2 2

;

( ) ( )F s s

s s s( ) = + ⋅

⋅ + ⋅ +5 2

1 2


( ) ( )F s

K

s

K

s

K

s( ) = +

++

+− −0 1 2

1 2


[ ]( ) ( )

K s F ss0 0

5 2 0

0 1 0 2

5

2 = ⋅ =

+ ⋅

+ ⋅ +==( )

( )[ ] ( ) ( )K s F s s− =−= + ⋅ =+ ⋅ −

− ⋅ − + = −1 11

5 2 1

1 1 2 3( )

( )

( )[ ]( ) ( )

K s F ss− =−= + ⋅ =

+ ⋅ −

− ⋅ − +=2 2

2 5 2 2

2 2 1

1

2 ( )

( )

La función F(s) se transforma en una suma de fracciones tal y como se muestra a continuación:

( ) ( )F s

s s s( ) =

⋅−

++

⋅ +

5

2

3

1

1

2 2

Finalmente, tomando la transformada inversa de cada una de las fracciones, según la tabla 2.1 del apartado2.4.1, se obtiene la función real f(t):

f t e et t

( ) = − ⋅ + ⋅− − ⋅5

2 31

2

2

El primer término de la función f(t), 5/2 , representa la respuesta estacionaria o en estado estable. Los otrosdos términos, -3·e-t + 0,5·e-2·t , representan la respuesta transitoria de la función f(t).

Si se hubiera deseado solamente obtener la respuesta estacionaria, bastaría con haber aplicado el teoremadel valor final , comprobando previamente que todos los polos de s·F(s) se encuentran en el semiplanoizquierdo del plano s (polos en s = -1 y en s = -2 ):

( ) ( ) 2

5

2 s1s

s2 5 lím )s( F slím )t ( f lím

0 s0 st =

+⋅+⋅+

=⋅=→→∞→




44


Ejercicio 2.1Determinar las singularidades de las siguientes funciones complejas (incluyendo los puntos singulares en el

infinito):

a)( ) ( )

F ss

s s s( )

( )=

⋅ +

⋅ + ⋅ +

5 1

2 5

b)( ) ( )

F ss s

s s s( )

( )=

⋅ +

+ ⋅ + ⋅ +

2

2

1

2 3 2

c)( )

F sK s

s s s( )

( )=

⋅ +

⋅ + +

2

12

d)( ) ( )

F sK e

s s

s

( ) =⋅

+ ⋅ +

− ⋅2

1 2

Ejercicio 2.2

Realizar la transformada de Laplace de las siguientes funciones del dominio del tiempo:

a) f t t et

( ) = ⋅ − ⋅2

b) f t t cos t ( ) ( )= ⋅ ⋅5

c) f t e sen t t

( ) ( )= ⋅ ⋅ +−ω 2

d) f t sen t ( ) ( )= ⋅ +ω θ

Determinar, a partir de las funciones complejas obtenidas, el valor inicial y valor final de la función temporalcorrespondiente.

Ejercicio 2.3

Obtener la transformada de Laplace de la función representada en la gráfica de la figura 2.6 :

Ejercicio 2.4

Obtener la transformada de Laplace de la función representada en la gráfica de la figura 2.7 :

t

f(t)

0 a 2·a

Figura 2.6 : Función f(t).




45

Ejercicio 2.5

Resolver la siguente ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace. Se suponen todas lascondiciones iniciales igual a cero:

δ

δ

δ

δ

2

2 3 2 1f t

t

f t

t f t

( ) ( )( )+ ⋅ + ⋅ =

Ejercicio 2.6

Resolver la siguente ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace considerando f(0) = 0 y f'(0) =2 :

δ

δ

δ

δ

2

2 3 6 0

f t

t

f t

t f t

( ) ( )( )+ ⋅ + ⋅ =

t

f(t)

0 a 2·a

Figura 2.7 : Función f(t).




46



47

UNIDAD 3Modelos matemáticos de sistemas físicos.

3.1 Introducción al modelo matemático.

La gran mayoría de los sistemas físicos, ya sean mecánicos, térmicos, eléctricos, económicos, biológicos,etc., tienen descrita su dinámica en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales seobtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de Newton parasistemas mecánicos, las leyes de los gases perfectos en la mecánica de fluidos y las leyes de Kirchhoff parasistemas eléctricos. Una de las tareas más importantes del análisis y diseño de procesos de control es laobtención de los modelos matemáticos de dichos procesos o sistemas. Un mo delo matemático de un sistemadinámico se define como:

Conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con bastante precisión.

Hay que considerar que un modelo matemático no es único para un proceso concreto. Un proceso puederepresentarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos matemáticos,dependiendo de la perspectiva desde la que se enfoque dicho proceso.

3.1.1 Sistemas lineales y no lineales.

Puesto que los sistemas físicos reales nunca son completamente lineales, para poder usar herramientas ométodos de análisis lineales, se hace necesario linealizar el sistema, o bien limitar su intervalo de operación aun dominio lineal.

Se define sistema lineal como:

El sistema cuya respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones deentradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales.

Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez ysumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferenciallineal a partir de soluciones simples.

Por el contrario, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cadauna a la vez y sumando los resultados. Algunos ejemplos de ecuaciones de sistemas lineales y no linealesaparecen tratados en el apartado 3.3 de la esta unidad.

En la práctica, muchos procesos electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones nolineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales de entradagrandes. Puede haber una zona muerta que afecte a las señales pequeñas. (La zona muerta de uncomponente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las cuales el componente es insensible.)Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadoresque se utilizan en los sistemas físicos pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero puedenvolverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional alcuadrado de la velocidad de operación. Algunos ejemplos de las curvas características para estas nolinealidades aparecen en la figura 3.1.

no linealidadde saturación

no linealidadde zona muerta

no linealidadde ley cuadrática

no linealidaden control todo-nada

entrada entrada entrada entrada

salida salida salida salida

Figura 3.1 : Representación de diversas no linealidades mediante curvas salida-entrada.




48

Algunos sistemas de control importantes son no lineales para señales de cualquier tamaño. Tal es el caso delos procesos de control tipo todo - nada, en los que la acción de control está activada o no activada y no hayuna relación lineal entre la entrada y la salida del controlador (figura 3.1).

Aunque las herramientas para el análisis y diseño de procesos de control lineales están bien desarrolladas,

los métodos equivalentes para sistemas o procesos no lineales suelen ser bastante complejos. Por tanto,resulta necesario introducir los sistemas lineales equivalentes en lugar de los no lineales. Tales sistemaslineales equivalentes sólo son válidos para un rango limitado de operación. Una vez que se aproxima unsistema no lineal mediante un modelo matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas o métodoslineales para análisis y diseño.

3.1.2 Métodos para el análisis de sistemas lineales.

Existen dos métodos muy utilizados que permiten obtener el modelo matemático de un proceso o sistemacon la condición de que éste sea lineal. Estos dos métodos son:

• Función de transferencia y de respuesta impulso: este método sólo es válido para los sistemas linealesinvariantes con el tiempo con una única entrada y una única salida.

• Ecuaciones de estado: este método utiliza ecuaciones diferenciales de primer orden y pueden utilizarse

para describir tanto sistemas lineales como no l ineales con más de una entrada y con más de una salida.

Dependiendo del proceso o sistema a controlar del que se trate y de las circunstancias específicas, unmodelo matemático puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de control óptimo, esprovechoso usar representaciones en el espacio de estados y, por tanto, se describirá el sistema medianteecuaciones de estado. En cambio, para los análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuenciade sistemas lineales con una entrada y una salida invariantes con el tiempo, la representación mediante lafunción de transferencia puede ser más conveniente que cualquier otra. En los apartados 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6 dela presente unidad se desarrollan ejemplos de procesos de diversa naturaleza en los que se obtendrán susmodelos matemático a partir de estos dos métodos.

Una vez obtenido un modelo matemático de un proceso, se usan diversas técnicas analíticas, como laaplicación de herramientas informáticas en su estudio y simulación.

A continuación, en los apartados 3.1.3 y 3.1.4, se describen un poco más a fondo estos dos métodos de

análisis para sistemas lineales.

3.1.3 Función de transferencia y de respuesta-impulso.


En la disciplina de la teoría clásica de control se usan a menudo las funciones de transferencia paracaracterizar las relaciones de entrada-salida de elementos, o de sistemas, que se describen medianteecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Aunque el concepto de func ión de transferencia ya se comentó en la unidad 1 (apartado 1.3.3), resulta conveniente recordarlo:

La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo es el cociente entre la transformada de Laplace de la funcióntemporal de la señal de salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de la

función temporal de la señal de entrada (función de excitación), bajo la suposición de quetodas las condiciones iniciales son cero.

Esta definición se expresa en términos matemáticos como:

G sY s

U s( )

( )

( )= (3.1.3.1)

A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema medianteecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia esigual a n, el sistema se denomina sistema de n-ésimo orden.

La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos medianteecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Sin embargo, el enfoque de la función detransferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas.



Modelos matemáticos de sistemas físicos

49

A continuación se presentan algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia.Es de notar que, en la lista, los sistemas o procesos a los que se hace referencia son aquellos que sedescriben mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo.

1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional

para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza

de la entrada o función de excitación.

3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sinembargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. Las funciones detransferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.

4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para variasformas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmenteintroduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función detransferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, adiferencia de su descripción física.

Respuesta-impulso.

Una señal de impulso δ(t) es una función que se define como:

δ(t) =0 0 t t

Alím0 →

para 0 < t < t 0

δ(t) = 0 para t 0 < t < 0

donde A es el área de la función impulso y t 0 la duración del mismo. Si A = 1 la función se denomina impulsounitario. La transformada de Laplace de la función impulso unitario es:

L [ δ(t)] = 1 (3.1.3.2)

Ahora, considérese la salida (respuesta) de un sistema para una entrada impulso unitario cuando lascondiciones iniciales son cero. Debido a que la transformada de Laplace de la función impulso unitario es launidad, la transformada de Laplace de la salida del sistema es:

Y(s) = G(s) (3.1.3.3)

La transformada inversa de Laplace de la salida obtenida mediante la ecuación (3.1.3.3) proporciona larespuesta-impulso del sistema. La transformada inversa de Laplace de G(s), o bien:

L -1[G(s)] = g(t) (3.1.3.4)

se denomina respuesta-impulso.

Por tanto, la respuesta-impulso g(t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada impulso unitariocuando las condiciones iniciales son cero. La transformada de Laplace de esta función proporciona la funciónde transferencia. Por tanto, la función de transferencia y la respuesta-impulso de un sistema lineal e invariante

con el tiempo contienen la misma información acerca de la dinámica del sistema. De esta manera, si se excitael sistema con una entrada impulso y se mide la respuesta, es posible obtener una información completaacerca de sus características dinámicas. En la práctica, una entrada de un pulso con una duración muy corta,en comparación con las constantes de tiempo significativas del proceso, se considera un impulso.

3.1.4 Teoría de control moderna. Ecuaciones de estado.

La teoría de control moderna es la disciplina que da una solución a los procesos de control actuales, loscuales poseen un alto grado de complejidad. Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidasmúltiples y pueden variar en el tiempo. Debido a la necesidad de alcanzar los requerimientos cada vez másrestrictivos en el desempeño de los procesos de control, al aumento la complejidad del sistema y al usoextendido de los ordenadores, aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna,que es un nuevo enfoque del análisis y diseño de procesos de control complejos. Este enfoque nuevo se basaen el concepto de estado. El concepto de estado por sí mismo no es nuevo, dado que ha existido durante largo

tiempo en el campo de la dinámica clásica y en otros medios.




50

La teoría de control moderna contrasta con la teoría clásica de control en que la primera aplica a sistemascon entradas y salidas múltiples, que pueden ser lineales o no lineales, mientras que la segunda sólo se aplicaa sistemas lineales con una entrada y una salida e variantes con el tiempo. Asimismo, la teoría del controlmoderna es esencialmente un enfoque en el dominio del tiempo y los procesos se representan medianteecuaciones de estado, en tanto que la teoría clásica de control es enfoque en el dominio de la variable

compleja s. Para poder comprender un poco más el significado de la teoría de control moderna y de lasecuaciones de estado, se citan a continuación una serie de conceptos básicos.

Estado.

En la formulación de ecuaciones de estado de un sistema dinámico, conviene tratar primero el conceptobásico de estado .

Son las condiciones pasadas, presentes y futuras de un sistema y que representan, en unmomento determinado, a una de las fases o etapas de dicho sistema.

Estas condiciones a las que hace referencia la definición de estado, constituyen, en cada fase de evoluciónde un sistema o proceso, una imagen de la situación en la que se halla el sistema en el momento deproducirse fase.

Otra definición posible sería:

El conjunto más pequeño de variables (variables de estado) de modo que el conocimientode estas variables en t = t0, junto con el conocimiento de la entrada para t ³t0, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ³t0.

donde la idea de variables hace referencia a la idea de condiciones de la primera definición. Obsérvese que elconcepto de estado de ningún modo está limitado a los sistemas físicos. Se puede aplicar a sistemasbiológicos, económicos, sociales y otros.

Variables de estado.

En general, un estado puede describirse con un conjunto de números, una curva, una ecuación o alguna otraexpresión de naturaleza más abstracta. Desde un punto de vista matemático, es conveniente definir un

conjunto de variables de estado y ecuaciones de estado para describir los sistemas. Existen varias reglasfundamentales con respecto a la definición de una variable de estado y a lo que constituye una ecuación deestado. Se considera seleccionado el conjunto de variables x 1(t), x 2 (t),… , x n(t) para describir lascaracterísticas dinámicas de un sistema. Con esto, estas variables se definen como las variables de estado delsistema. Entonces, estas variables de estado deben satisfacer las siguientes condiciones:

1. En cualquier momento t = t 0 , las variables, x 1(t 0 ), x 2 (t 0 ),… , x n(t 0 ) definen los estados iniciales del sistemaen el tiempo inicial seleccionado.

2. Una vez que se especifican las entradas al sistema para t > t 0 y se definen los estados iniciales como seacaba de describir, las variables de estado deben definir totalmente el comportamiento futuro del sistema.

Por consiguiente, es posible definir las variables de estado como sigue:

Las variables de estado de un sistema se definen como un conjunto mínimo de variables,x1(t), x2(t),… , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables en cualquier momento t0, más

la información con respecto a la excitación de entrada aplicada posteriormente, seasuficiente para determinar al estado de un sistema en cualquier momento t > t0.

Es necesario no confundir las variables de estado con las salidas de un sistema. La salida de un sistema esuna variable que puede medirse, mientras que una variable de estado no siempre satisface este requisito, puescasi nunca puede medirse. Sin embargo, una variable de salida queda definida como una función de lasvariables de estado.

Vector de estado.

Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistemadeterminado, estas n variables de estado se consideran los n componentes de un vector x . Tal vector sedenomina vector de estado. Por tanto, un vector de estado es aquel que determina de manera única el estadodel sistema x (t) para cualquier tiempo t ³ t 0 , una vez que se obtiene el estado en t = t 0 y se especifica la

entrada u (t) para t ³t 0 .




51

Espacio de estados.

Es el espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x 1, el eje x 2 , …el eje x n.Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.

Ecuaciones de estado.El análisis en el espacio de estados, se concentra en tres tipos de variables involucradas en el modelado de

sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado.

El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada para t ³ t 0 . Lacantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a lacantidad de elementos memorizadores que contiene el sistema.

Considérese un proceso de control con múltiples entradas, múltiples salidas y elementos de memoria. Si elnúmero de entradas es r (u1(t), u2 (t),… , ur (t)), el número de salidas es m (y 1(t), y 2 (t),… , y m(t)) y el número deelementos de memoria, que almacenan las variables de estado, es n ( x 1(t), x 2 (t),… , x n(t)), el sistema deecuaciones de estado se puede describir como:

x' 1(t) = f 1(x 1, x 2 ,… , x n; u1, u2 ,… , ur ; t)

x' 1(t) = f 2 (x 1, x 2 ,… , x n; u1, u2 ,… , ur ; t)

…

x' n(t) = f n(x 1, x 2 ,… , x n; u1, u2 ,… , ur ; t) (3.1.4.1)

Las salidas y 1(t), y 2 (t),… , y m(t) del sistema se obtienen mediante:

y 1(t) = g 1(x 1, x 2 ,… , x n; u1, u2 ,… , ur ; t)

y 2 (t) = g 2 (x 1, x 2 ,… , x n; u1, u2 ,… , ur ; t)

…

y m(t) = g m(x 1, x 2 ,… , x n; u1, u2 ,… , ur ; t) (3.1.4.2)

Si se representan las ecuaciones (3.1.4.1) y (3.1.4.2) con sus vectores correspondientes:

x (t) = (x 1(t), x 2 (t),… , x n(t)) ;

u (t) = (u1(t), u2 (t),… , ur (t)) ;

y (t) = (y 1(t), y 2 (t),… , y m(t))

se obtienen las ecuaciones en forma vectorial:

x '(t) = f ( x , u , t) (3.1.4.3)

y (t) = g ( x , u , t) (3.1.4.4)

donde la ecuación (3.1.4.3) es la ecuación de estado del sistema, mientras que la ecuación (3.1.4.4) es laecuación de salida del sistema.

Linealizando estas ecuaciones de estado y salida en torno al punto de operación, se pueden escribir ambas

de la siguiente forma:x '(t) = A (t)·x (t) + B (t)·u (t) (3.1.4.5)

y (t) = C (t)·x (t) + D (t)·u (t) (3.1.4.6)

En estas ecuaciones se distinguen: la matriz de estado A (t), la matriz de entrada B (t), la matriz de salida C (t)y la matriz de transmisión directa D (t).

Si las funciones f y g no dependen de la variable temporal t , el sistema es invariante en el tiempo y susecuaciones se transforman en:

x '(t) = A ·x (t) + B ·u (t) (3.1.4.7)

y (t) = C ·x (t) + D ·u (t) (3.1.4.8)




52

3.2 Diagramas de bloques.

Ya se indicó en la unidad 1 que un proceso de control consta de diversos elementos, los cuales desempeñanuna función determinada dentro de dicho proceso. Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada elemento

en el estudio de los sistemas de control, se usa una representación denominada diagrama de bloques. En elpresente apartado se facilita un método para obtener los diagramas de bloques de sistemas físicos y, por último, analiza técnicas para simplificar tales diagramas.

La definición de diagrama de bloques de un sistema sería:

Representación gráfica de las funciones que llevan a cabo cada uno de los elementos deun sistema y su flujo de señales, donde, además, quedan mostradas las relacionesexistentes entre los diversos componentes.

A diferencia de una representación matemática, que es puramente abstracta, un diagrama de bloques tienela ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del proceso real.

Otra de las ventajas de esta representación gráfica estriba en que la operación funcional del sistema seaprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Undiagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluyeinformación de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y norelacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques.

Debe señalarse que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energía no se muestra explícitamentey que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar varios diagramas debloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis.

3.2.1 Elementos constituyentes de un diagrama de bloques.

Bloque funcional.

En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloquesfuncionales. El bloque funcional o simplemente bloque se puede describir como:

El símbolo utilizado para representar la operación matemática que sobre la señal deentrada hace el bloque para producir la salida.

Las funciones de transferencia de los componentes, por lo general, se introducen en los bloquescorrespondientes que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Hay queobservar que la señal sólo puede pasar en la dirección de flechas. Por tanto, un diagrama de bloques de unproceso de control muestra explícitamente una propiedad unilateral.

La figura 3.2 muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que señala el bloque indicala entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas se conocen comoseñales.

La magnitud y dimensión de la señal de salida del bloque es la magnitud y dimensión de la señal de entradamultiplicada por la función de transferencia en bloque.

Punto suma.

En referencia a la figura 3.3, un círculo con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. Elsigno de más o de menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importanteque las cantidades que se sumen o se resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.

Función detransferencia

G(s)

Figura 3.2 : Elemento de un diagrama de bloques.

a a - b

b

Figura 3.3 : Punto suma.




53

Punto de ramificación.

Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal de salida de un bloque va de modo concurrente aotros bloques o puntos suma.

3.2.2 Procedimientos para trazar un diagrama de bloques.En el trazado de un diagrama de bloques de un sistema, se escriben primero las ecuaciones que describen

el comportamiento dinámico de cada componente. A continuación se realizan las transformadas de Laplace deestas ecuaciones, suponiendo que las condiciones iniciales son cero, y se representan individualmente enforma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace. Por último, se integran los elementosen un diagrama de bloques completo.

Ejemplo 3.1

Se tiene el circuito RL de la figura 3.4:

R

L

i(t)

Figura 3.4 : Circuito RL.

Las ecuaciones que caracterizan a este circuito son:

i t v t v t

R

i ( )( ) ( )

=− 0 ; v t L

i t

t o ( )

( )= ⋅

δ

δ

Las transformadas de Laplace de las ecuaciones en el dominio del tiempo, resultan:

I sV s V s

R

i o( ) ( ) ( )= − ; V s L s I s i o ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ − +0

Puesto que en la aplicación del método de la función de transferencia, las condiciones iniciales seconsideran cero, i(0 + ) = 0 , las expresiones resultan ser:

I sV s V s

R

i o( )( ) ( )

=−

; V s L s I so ( ) ( )= ⋅ ⋅

La expresión de I(s) hace referencia a una operación suma, mientras que la expresión de V o(s) representa unbloque funcional con una ganancia L·s. El trazado del diagrama de bloques se representa en la figura 3.5 .

1

R

I(s) L·s

Figura 3.5 : Diagrama de bloques del circuito RL.

Los diagramas de bloques con múltiples lazos de realimentación y varios puntos suma se pueden simplificar realizando una reorganización de los mismos y siguiendo unas reglas de álgebra de bloques.

La simplificación de un diagrama de bloques mediante reordenamientos y sustituciones reduce de maneraconsiderable la labor necesaria para el análisis matemático posterior. Sin embargo, debe señalarse que,




54

conforme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos sevuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos.

Al simplificar un diagrama de bloques, se debe tener presente:

• El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser el mismo.

• El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.

Un ejemplo ilustrativo facilitará la comprensión de lo anteriormente comentado.

Ejemplo 3.2

Se dispone del diagrama de la figura 3.6 :

Y(s) R(s)

Figura 3.6 : Diagrama de bloques para simplificar.

Dado que la señal de salida de un bloque funcional es igual a la señal de entrada por la función detransferencia del bloque funcional, la señal de salida de dos bloques conectados en serie será igual a la señal

de entrada por el producto de las funciones de transferencia de los dos bloques. Por consiguiente, se puedesustituir el conjunto de dos bloques en serie por un único bloque que contenga el producto de las funciones detransferencia de los dos bloques originales. En este caso se aplica a los bloques cuyas funciones detransferencia son G1(s) y G2 (s) y a los bloques del lazo de realimentación con funciones H 2 (s) y H 3(s). Elresultado se muestra en la figura 3.7 .

Y(s) R(s)

Figura 3.7 : Reducción de los bloques G1(s), G2 (s), H 2 (s) y H 3(s).

El siguiente paso va a consistir en trasladar el punto suma del lazo del bloque [H 2 (s)·H 3(s)] a la entrada delbloque [G1(s)·G2 (s)]. Para que el resultado en la trayectoria directa a la salida del bloque [G1(s)·G2 (s)] no varíe,se ha de dividir la función de transferencia del bloque [H 2 (s)·H 3(s)] por G1(s)·G2 (s) (figura 3.8 )




55

Y(s) R(s)

Figura 3.8 : Traslación del punto suma del lazo correspondiente al bloque [H 2 (s)·H 3(s)].

Ahora se tienen, de nuevo, dos bloques en serie en la trayectoria directa: [G1(s)·G2 (s)] y [G3(s)]. Estos dosbloques, al igual que se ha hecho anteriormente, se pueden sustituir por un único bloque cuya función detransferencia sea: G1(s)·G2 (s)·G3(s).

Y(s) R(s)

Figura 3.9 : Reducción y obtención del bloque [G1(s)·G2 (s)·G3(s)].

El siguiente paso natural es simplificar el lazo de realimentación del bloque [H 1(s)]. Para ello se sustituye elbucle constituido por los bloques [G1(s)·G2 (s)·G3(s)] y [H 1(s)] por uno único con la función de transferenciaequivalente a este lazo cerrado (el proceso de obtención de la función de transferencia de un lazo cerrado setrató en el apartado 1.5.1 de la unidad 1) tal y como se puede observar en la figura 3.10 .

Y(s) R(s)

Figura 3.10 : Simplificación de un lazo cerrado.

Los siguientes pasos van a consistir en obtener la función de transferencia equivalente de la trayectoriadirecta (constituida por dos bloques en serie) para después obtener la función de trasferencia del lazo derealimentación resultante (figura 3.11).




56

Y(s) R(s)

Y(s) R(s)

1 +

Figura 3.11 : Simplificación final.

Como se puede comprobar, y en referencia a lo ya comentado, la función de transferencia resultante de lasimplificación final se vuelve más compleja, dando lugar a la aparición de polos y ceros nuevos.

3.3 Sistemas eléctricos.

El procedimiento clásico para establecer las ecuaciones de un circuito eléctrico se basa en el análisis demallas y nudos, el cual se formula a partir de las leyes de Kirchhoff. Sin embargo, aunque las leyes deKirchhoff son bastante simples, las ecuaciones de mallas y nudos resultantes no son las más apropiadas parael tratamiento por ordenador. La teoría de control moderna y la definición de sistemas mediante ecuaciones deestado resulta más adecuado para este propósito. Puesto que los circuitos que aparecen en la mayor parte delos procesos de control son un poco complejos, sólo se trataran aquellos más simples como nivelintroductorio.

En los ejemplos que se desarrollan a continuación, la formulación del modelo matemático equivalente serealizará mediante los dos métodos ya comentados: la función de transferencia y las ecuaciones de estado.

Ejemplo 3.3

Considérese el circuito eléctrico que aparece en la figura 3.13. El circuito está formado por una bobina idealcon un coeficiente de autoinducción L (henrios), una resistencia de valor R (ohmios), y un condensador decapacidad C (faradios).

R L

i(t)

C

Figura 3.12 : Circuito RLC .

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al sistema, se obtienen las ecuaciones siguientes:

R i t Li t

t C i t t v t i ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =∫ ( )

( )( ) ( )

δ

δδ

1(3.3.0.1)

1

C i t t v t o⋅ ⋅ =∫ ( ) ( )δ (3.3.0.2)

Las ecuaciones (3.3.0.1) y (3.3.0.2) proporcionan un modelo matemático del circuito en el dominio del

tiempo.




57


Un modelo obtenido mediante el método de la función de transferencia llevaría el proceso siguiente. Se tomala transformada de Laplace de las ecuaciones (3.3.0.1) y (3.3.0.2) y se suponen las condiciones inicialesiguales a cero, para obtener

R I s L s I sC s

I s V si ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅

⋅ =( ) ( ) ( ) ( )1

(3.3.0.3)

1

C sI s V so

⋅⋅ =( ) ( ) (3.3.0.4)

Dando por supuesto que v i (t) es la entrada y v o(t) la salida, la función de transferencia de este sistema resultaser:

R C s V s L C s V s V s V so o o i ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + =( ) ( ) ( ) ( )2

;V s

V s L C s R C s

o

i

( )

( )=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

1

12 (3.3.0.5)

El trazado del diagrama de bloques del circuito del ejemplo se representa en la figura 3.13.

Ecuaciones de estado.

A este mismo ejemplo se le puede aplicar el método de las ecuaciones de estado. Dado que la corriente por la bobina y la tensión que cae en el condensador son dos magnitudes de carácter acumulativo - la bobina ideales un almacén de corriente y el condensador es un almacén de tensión - se pueden utilizar estos doselementos como elementos de memoria, y las magnitudes i(t) y v o(t) como variables de estado. Estas variablesde estado permiten contar con una descripción completa de la historia pasada (por medio de los valoresiniciales de las variables de estado), y de los estados presentes y futuros del circuito.

1

R + L·s

I(s) 1

C·s

Figura 3.13 : Diagrama de bloques del circuito RLC .

Las ecuaciones de estado del circuito de la figura 3.12 se describen estableciendo unas relaciones entre la

tensión en L y la variable de estado i(t) y entre la corriente en C y la variable de estado v o(t). Por consiguiente:

C v t

t i t o⋅ =

δ

δ

( )( ) ; v t

C i t o' ( ) ( )= ⋅

1(3.3.0.6)

Li t

t v t R i t v t i o⋅ = − ⋅ −

δ

δ

( )( ) ( ) ( ) ; i t

Lv t

R

Li t

Lv t o i '( ) ( ) ( ) ( )= − ⋅ − ⋅ + ⋅

1 1(3.3.0.7)

Por tanto, la ecuación de estado en forma matricial se escribe como:

v t

i t

C

L R L

v t

i t Lv t

o oi

' ( )

'( )

/

/ /

( )

( ) /( )

= − −

⋅

+

⋅

0 1

1

0

1(3.3.0.8)

Si se observa ahora la ecuación (3.1.4.7), que representaba la ecuación de estado de un sistema lineal einvariante en el tiempo, se establece la siguiente analogía con la ecuación (3.3.0.8):




58

x '(t) = A ·x (t) + B ·u (t) ;v t

i t

C

L R L

v t

i t Lv t

o oi

' ( )

'( )

/

/ /

( )

( ) /( )

=

− −

⋅

+

⋅

0 1

1

0

1

Donde:

• x '(t) =v t

i t

o' ( )

' ( )

: es el vector que representa la pendiente o tendencia de las variables de estado.

• A =0 1

1

/

/ /

C

L R L− −

: es la matriz de estado.

• x (t) =v t

i t

o ( )

( )

: es el vector de estado.

• B =0

1 / L

: es la matriz de entrada.

• u (t) = v i (t): es el vector de entrada.

Ejemplo 3.4

Considérese el circuito eléctrico que aparece en la figura 3.14, donde v i (t) es la entrada y v o(t) la salida. Estecircuito consta de dos mallas que hacen la función de dos etapas conectadas en cascada. La primera etapa secompone de una resistencia R 1 y un condensador C 1, mientras que la segunda etapa se compone de unaresistencia R 2 y un condensador C 3. En este circuito, la segunda etapa representa una carga para la primera

etapa. Las ecuaciones para este circuito son:

malla 1: R i t C

i t t v t i 1 11

2

1⋅ + ⋅ ⋅ =∫ ( ) ( ) ( )δ (3.3.0.9)

malla 2:1

0 1

2 2 3C

i t t R i t v t o⋅ ⋅ − ⋅ − =∫ ( ) ( ) ( )δ (3.3.0.10)

nudo A: i 2 (t) + i 3(t) = i 1(t) (3.3.0.11)

condensador C 2 :1

2 3

C i t t v t o⋅ ⋅ =∫ ( ) ( )δ (3.3.0.12)

A

B

1 2

Figura 3.14 : Conexión de dos etapas RC en cascada.


Si se realiza la transformada de Laplace de las ecuaciones (3.3.0.9) a (3.3.0.12) y se suponen lascondiciones iniciales igual a cero, resulta:




59

malla 1: R I sC s

I s V si 1 11

2

1⋅ +

⋅⋅ =( ) ( ) ( ) (3.3.0.13)

malla 2:1

0 1 2 2 3C s

I s R I s V so⋅

⋅ − ⋅ − =( ) ( ) ( ) (3.3.0.14)

nudo A: I 2 (s) + I 3(s) = I 1(s) (3.3.0.15)

condensador C 2 :1

2 3

C sI s V so

⋅⋅ =( ) ( ) (3.3.0.16)

De las ecuaciones (3.3.0.14), (3.3.0.15) y (3.3.0.16), se determinan los valores de las corrientes I 1(s), I 2 (s) eI 3(s) en función de la señal de salida V o(s).

I 2 (s) = V o(s)·(R 2 ·C 1·C 2 ·s2 + C 1·s) (3.3.0.17)

I 3(s) = V o(s)·C 2 ·s (3.3.0.18)

I 1(s) = V o(s)·(R 2 ·C 1·C 2 ·s2 + C 1·s + C 2 ·s) (3.3.0.19)

Sustituyendo los valores de I 1(s) e I 2 (s) en la ecuación (3.3.0.13), se obtiene la función de transferencia delcircuito:

V o(s)·( R 1·R 2 ·C 1·C 2 ·s2 + R 1·C 1·s + R 1·C 2 ·s) + V o(s)·(R 2 ·C 2 ·s + 1) = V i (s) ;

V o(s)·( R 1·R 2 ·C 1·C 2 ·s2 + (R 1·C 1 + R 1·C 2 + R 2 ·C 2 )·s + 1) = V i (s) ;

( )

V s

V s R R C C s R C R C R C s

o

i

( )

( )=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

1

11 2 1 2 2

1 1 1 2 2 2

(3.3.0.20)

Dado que (R 1·C 1 + R 2 ·C 2 + R 1·C 2 ) > 4·R 1·C 1·R 2 ·C 2 , las dos raíces del denominador de la ecuación (3.3.0.20)

son reales.

El trazado del diagrama de bloques del circuito del ejemplo se representa en la figura 3.15 .

Figura 3.15 : Diagrama de bloques y función de transferencia del circuito.El análisis presente muestra que, si se conectan dos circuitos RC en cascada, de modo que la salida del

primer circuito es la entrada del segundo, la función de transferencia general no es el producto las funcionesde transferencia de cada etapa aislada (M = 1/(R·C·s + 1)). Esto se debe a que, cuando se obtiene la funciónde transferencia para un circuito aislado, se da por supuesto que la salida no está cargada, es decir, no seentrega potencia en la salida. Sin embargo, cuando se conecta el segundo circuito a la salida del primero, seentrega cierta cantidad de potencia y, por tanto, se viola la suposición de que no hay carga. A su vez, si lafunción de transferencia de este sistema se obtiene bajo la suposición de que no hay carga, la suposición noes válida. El grado del efecto de carga determina la cantidad de modificación de la función de transferencia.


Se utilizan como elementos de memoria los dos condensadores, C 1 y C 2 , por tanto, las variables de estadoserán las tensiones acumuladas en dichos condensadores, v 1(t) y v o(t). Estas variables de estado permiten

contar con una descripción completa de la historia pasada (por medio de los valores iniciales de las variablesde estado), y de los estados presentes y futuros del circuito.




60

Las ecuaciones de estado del circuito de la figura 3.14 se describen estableciendo unas relaciones entre lacorriente en cada condensador y la variable de estado representada por la tensión acumulada en el mismo .Por consiguiente:

C

v t

t i t 1

1

2 ⋅ =

δ

δ

( )

( ) ; C

v t

t i t

o

2 3⋅ =

δ

δ

( )

( ) ; i 2 (t) + i 3(t) = i 1(t) (3.3.0.21)

malla 2: R i t v t v t o2 3 1⋅ = −( ) ( ) ( ) (3.3.0.22)

malla 1: R i t v t v t i 1 1 1⋅ = −( ) ( ) ( ) ;

( )R i t i t v t v t i 1 2 3 1⋅ + = − +( ) ( ) ( ) ( ) ;

sustituyendo i3(t) por su valor de la ecuación de la malla 2;

R i t R R

R v t

R

R v t v t o i 1 2

1 2

2 1

1

2

⋅ = −+

⋅ + ⋅ +( ) ( ) ( ) ( ) (3.3.0.23)

Ahora, reemplazando en las ecuaciones (3.3.0.22) y (3.3.0.23) las corrientes i 2 (t) e i 3(t) por las expresiones

de la ecuación (3.3.0.21), se obtienen las ecuaciones de estado siguientes:

malla 2: v t R C

v t R C

v t o o' ( ) ( ) ( )= −⋅

⋅ +⋅

⋅1 1

2 2 2 2 1 (3.3.0.24)

malla 1: v t R

R R C v t

R R

R R C v t

R C v t o i ' ( ) ( ) ( ) ( )1

1

1 2 1

1 2

1 2 11

1 1

1=

⋅ ⋅⋅ −

+

⋅ ⋅⋅ +

⋅⋅ (3.3.0.25)


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

v t

v t

R C R C

R R R C R R R R C

v t

v t R C v t

o o

i

' ( )

' ( )

/ /

/ /

( )

( ) /( )

1

2 2 2 2

1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1

1 1 0

1

=

− ⋅ ⋅

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅

⋅

+ ⋅

⋅ (3.3.0.26)

En la ecuación de estado en forma matricial se distinguen los siguientes términos:

• x '(t) =v t

v t

o' ( )

' ( )1


• A =( ) ( )

( ) ( ) ( )

− ⋅ ⋅

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅

1 12 2 2 2

1 1 2 1 1 2 1 2 1

/ /

/ /

R C R C

R R R C R R R R C : es la matriz de estado.

• x (t) =v t

v t

o ( )

( )1


• B = ( )

0

1 1 1/ R C ⋅



Al igual que en ejemplo 3.3, el circuito de la figura 3.14 representa un sistema lineal e invariante en el tiempo.

Ejemplo 3.5

El circuito representado en la figura 3.16 , donde v i (t) es la entrada y v o(t) la salida, consta de dos mallas quehacen la función de dos etapas conectadas en cascada. La primera etapa se compone de una resistencia R 1,de una bobina L1 y un condensador C , mientras que la segunda etapa se compone de una bobina L2 y unaresistencia R 3. En este circuito, la segunda etapa representa una carga para la primera etapa.




61

C

A

B

1 2

Figura 3.16 : Conexión de una etapa LR a una etapa RLC .


Se utilizan como elementos de memoria las dos bobinas, L1 y L2 , y el condensador C , por tanto, las variablesde estado serán las corrientes en las bobinas y la tensión en el condensador i 1(t), i 3(t) y v 1(t).

Las ecuaciones de estado del circuito de la figura 3.16 se describen de la siguiente manera:

malla 1: L i t R i t v t v t i 1 1 1 1 1⋅ = − ⋅ − +' ( ) ( ) ( ) ( ) (3.3.0.27)

malla 2: L i t R i t v t 2 3 2 3 1⋅ = − ⋅ +' ( ) ( ) ( ) (3.3.0.28)

condensador: C v t i t i t ⋅ = −' ( ) ( ) ( )1 1 3 (3.3.0.29)

Reorganizando los coeficientes, la ecuación de estado en forma matricial resulta:

i t

i t

v t

R L L

R L L

C C

i t

i t

v t

L

v t i

' ( )

' ( )

' ( )

/ /

/ /

/ /

( )

( )

( )

/

( )

1

3

1

1 1 1

2 2 2

1

3

1

10 1

0 1

1 1 0

1

0

0

=

− −

−

−

⋅

+

⋅ (3.3.0.30)

En la ecuación de estado en forma matricial se distinguen los siguientes términos:

• x '(t) =

i t

i t

v t

' ( )

' ( )

' ( )

1

3

1


• A =

− −

−

−

R L L

R L L

C C

1 1 1

2 2 2

0 1

0 1

1 1 0

/ /

/ /

/ /

: es la matriz de estado.

• x (t) =

i t

i t

v t

1

3

1

( )

( )

( )


• B =

1

0

0

1/ L



Al igual que en los ejemplos anteriores, el circuito de la figura 3.16 representa un sistema lineal e invarianteen el tiempo.

3.4 Sistemas mecánicos.

La mayoría de los procesos de control de lazo cerrado contienen elementos tanto eléctricos comomecánicos. La descripción de los elementos eléctricos y mecánicos es análoga desde un punto de vista




62

matemático. De hecho, se puede demostrar que para cada dispositivo eléctrico, existe, casi siempre, unequivalente mecánico y viceversa. Hay que hacer notar que esta analogía es matemática; esto es, dossistemas son análogos entre sí cuando se describen matemáticamente con ecuaciones similares.

El movimiento de los elementos mecánicos puede describirse en varias dimensiones como traslacional,

rotacional o una combinación de ambos. El análisis de los movimientos de los sistemas mecánicos sueleformularse en forma directa o indirecta a partir de la ley de Newton.

Dado que la disciplina de Sistemas de Medida y Regulación suele, casi siempre, estar orientada hacia losespecialistas del campo eléctrico o electrónico, se ha considerado oportuno hacer un breve repaso de laformulación que rige la dinámica traslacional y rotacional, junto con los conceptos de energía mecánica ypotencia. Además, se incluyen las relaciones matemáticas básicas de trenes de engranajes, palancas ybandas.

3.4.1 Dinámica traslacional.

El movimiento de traslación es el que se realiza a lo largo de una línea recta y queda descrito por lasvariables de aceleración, velocidad y desplazamiento. La ley que rige el movimiento de traslación es la segund a de Newton , la cual establece:

La suma algebraica de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en una direccióndada, es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración en la misma dirección.

Esta ley se expresa como:

F m ai i

= ⋅∑ (3.4.1.1)

donde F i es cada una de las fuerzas de valor constante que actúan en la dirección de la traslación, m denotala masa y a es la aceleración constante en la dirección considerada.

A continuación se consideran los sistemas mecánicos clásicos para el estudio de la dinámica traslacional.También se tratarán las fuerzas de fricción que surgen en los movimientos de traslación.

Sistema fuerza-masa.

La figura 3.17 muestra el movimiento traslacional de un cuerpo de masa m sobre el que actúa una fuerza enla dirección del movimiento. Se supone que todas las variables que intervienen están en función del tiempo.

La ecuación de la fuerza en función del tiempo, f(t), de la figura 3.17 se escribe como:

( )( ) ( )

f t m a t m

v t

t m

x t

t ( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅

δ

δ

δ

δ

2

2 (3.4.1.2)

donde x(t) representa el desplazamiento, v(t) la velocidad y a(t) la aceleración, todas con respecto a ladirección de la fuerza aplicada. Las unidades de medida usadas en el Sistema Internacional (S.I.) para lafuerza, la masa, la longitud y el tiempo son el newton (N ), el kilogramo-masa (kg ), el metro (m) y el segundo(s). Estas unidades se resumen, junto con las unidades de magnitudes derivadas, en la tabla siguiente:

Magnitud Símbolo Unidad de medida

Masa m kg

Longitud x m

Tiempo t s

Velocidad v m

s

m f(t)

x(t )

Figura 3.17 : Movimiento traslacional en un sistemafuerza-masa.




63


Aceleración am

s2

Fuerza F N kg m

s= ⋅

2

Tabla 3.1: Unidades de medida S.I. para el movimiento traslacional.

Resorte lineal.

El comportamiento de un resorte lineal se puede dar en la práctica en resorte real o en la dinámica de uncable o banda. Se asimila, en general, que un resorte es un elemento que almacena energía potencial, de lamisma manera que un condensador lo hace en un circuito eléctrico. En la práctica, todos los resortes son nolineales hasta cierto grado. Sin embargo, cuando la deformación de un resorte es pequeña, su comportamientopuede expresarse en forma aproximada con una ecuación lineal:

f(t) = K·x(t) (3.4.1.3)

donde K es la constante de resorte, o simplemente rigidez. La unidad de medida de la rigidez de un resortees:


Constate de resorte K N

m

Tabla 3.2: Unidad de medida S.I. para el resorte lineal.

La ecuación (3.4.1.3) expresa que la fuerza que actúa sobre el resorte es directamente proporcional aldesplazamiento o deformación del mismo. En la figura 3.18 se muestra el modelo que representa a un resortelineal.

Cuando el resorte se somete a una fuerza de precarga F 0 ; entonces la ecuación (3.4.1.3) debe modificarse a

f(t) - F 0 = K·x(t) (3.4.1.4)

Fricción en el movimiento de traslación.

Las fuerzas de fricción surgen en el movimiento entre dos superficies en contacto, las cuales suelen ser denaturaleza no lineal. Las características de las fuerzas de fricción dependen de factores como la naturaleza delas superficies, la presión entre las mismas, sus velocidades relativas..., de tal manera que resulta difícilobtener una descripción matemática exacta de la fuerza de fricción.

No obstante, y a efectos prácticos, las fuerzas de fricción pueden dividirse en tres categorías básicas: fricciónviscosa, fricción estática y fricción de Coulomb.

• Fricción viscosa.

La fricción viscosa representa una fuerza retardada que tiene una relación lineal entre la fuerza aplicaday la velocidad. El esquema representativo del elemento de fricción se representa con un amortiguador como el que se muestra en la figura 3.19. La expresión matemática de la fricción viscosa es:

( )f t B

x t

t ( ) = ⋅

δ

δ(3.4.1.5)

donde B es el coeficiente de fricción viscosa.

f(t)

x(t)

K

Figura 3.18 : Modelo de resorte lineal.




64

• Fricción estática.

La fricción estática representa una fuerza retardada no lineal que tiende a impedir el inicio delmovimiento. La fuerza de fricción estática se expresa como:

( )f t F s x ( )

'= ±

=0 (3.4.1.6)

donde (F s ) x'=0 se define como la fuerza de fricción estática que existe solamente cuando el cuerpo estáestacionario pero con tendencia a moverse. El signo de la fricción depende de la dirección delmovimiento o de la dirección inicial de la velocidad. Hay que observar que una vez iniciado el

movimiento, la fuerza de fricción estática desaparece para ser reemplazada por otras fricciones.• Fricción de Coulomb.

La fricción de Coulomb es una fuerza retardada no lineal que tiene una amplitud constante con respectoal cambio de velocidad, pero en la que la fuerza de fricción tiene un signo que cambia al invertir ladirección de la velocidad. La relación matemática de la fricción de Coulomb está dada por:

( )

( )f t F

x t

t

x t

t

c ( ) = ⋅

δ

δ

δ

δ

(3.4.1.7)

donde F c es el coeficiente de fricción de Coulomb.

Las unidades de medida, en el Sistema Internacional, usadas para los diversos coeficientes de fricción seofrecen en la tabla a continuación:


Coeficiente de fricciónviscosa

BN s

m

⋅

Fuerza de fricción estática (F s ) x'=0 N

Coeficiente de fricción deCoulomb

F c N

Tabla 3.3: Unidades de medida S.I. para los coeficientes de fricción.

Las relaciones entre cada una de las fricciones y la velocidad de desplazamiento quedan reflejadas en lafigura 3.20 .

f (t)

x(t )

B

Figura 3.19 : Modelo para fricción viscosa.

fricción viscosa fricción estática fricción de Coulomb

x’ x’ x’

f f f

pendiente = B

Figura 3.20 : Relación entre las fuerzas de fricción y la velocidad de desplazamiento.




65

3.4.2 Dinámica rotacional.

La dinámica rotacional estudia el movimiento de rotación de un cuerpo con respecto a un eje fijo. Elmovimiento rotacional viene descrito por las variables siguientes: par de fuerzas (M(t)), aceleración angular (α(t)), velocidad angular (ω(t)) y desplazamiento angular (θ(t)).

A igual que para la dinámica traslacional, a continuación se consideran los sistemas mecánicos clásicospara el estudio de la dinámica rotacional. También se tratarán las fuerzas de fricción que surgen en losmovimientos de rotación.

Sistema inercia-masa.

La inercia, J , representa la energía cinética que un cuerpo almacena en un movimiento de rotación. Lainercia de un elemento depende de su configuración geométrica con respecto al eje de rotación, y de sudensidad.

Por ejemplo, la inercia de un disco circular con respecto a su eje geométrico está dada por:

J m r = ⋅ ⋅1

2

2 (3.4.2.1)

donde m es la masa del disco y r es el radio.

Cuando se aplica un par de fuerzas a un cuerpo con una inercia J , como se muestra en la figura 3.21, laecuación de par se escribe como:

( )( ) ( )

M t J t J t

t J

t

t ( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅α

δ ω

δ

δ θ

δ

2

2 (3.4.2.2)

Las unidades de medida para el movimiento rotacional se resumen, junto con las unidades de magnitudesderivadas, en la tabla siguiente:


Desplazamiento angular θ radián (rad)

Velocidad angular ωrad

s

Aceleración angular α

rad

s2

Inercia J kg·m2

Par de fuerzas M N·m

Tabla 3.4: Unidades de medida S.I. para el movimiento rotacional.

Se propone un ejemplo, a continuación, como aplicación de los conceptos de inercia y par.

Ejemplo 3.6

Se dispone de un disco de 3 cm de radio, 0,5 cm de espesor y una masa de 150 gr. Se desea determinar elpar de fuerzas a aplicar para que, partiendo del reposo, alcance una velocidad de giro de 1500 r.p.m. en 5

segundos.

J

M(t) (t )

Figura 3.21 : Movimiento rotacional en un sistemainercia-masa.




66

Solución:

Primeramente se determinará la inercia del disco mediante la expresión:

J m r = ⋅ ⋅

1

2

2

para lo cual se expresarán las dimensiones del disco en las unidades S.I. De esta forma, la inercia del discoresulta:

J kg m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅−1

2 015 0 03 67 5 10

2 6 2 , , ,

Para la obtención del par de fuerzas a aplicar (en este caso sería un par motor) se debe calcular previamentela aceleración angular que sufrirá el disco:

ωπ

=⋅

⋅ =2

60 1500 157 08 ,

rad

s

αω

= ⋅ = =t

rad

s

157 08

5 3142 2

,,

Finalmente, el par de fuerzas a aplicar al disco es:

M J N m= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅− −α 67 5 10 31 42 212 10

6 3, , ,

Resorte torsional.

Como en el caso del resorte lineal para el movimiento de traslación, se puede establecer una relaciónproporcional entre la deformación angular sufrida por un cuerpo y el par aplicado al mismo. Se denominará K a la constante de resorte torsional. La expresión que describe lo anteriormente dicho es:

M(t) = K·θ(t) (3.4.2.3)

La figura 3.22 ilustra un sistema simple par-resorte.

La unidad de medida de la constante de resorte es:


Constate de resortetorsional

K N m

rad

⋅

Tabla 3.5: Unidad de medida S.I. para el resorte torsional.

Si a un resorte se somete a un par de fuerzas de precarga M 0 , la expresión resulta ser:

M(t) - M 0 = K·θ(t) (3.4.2.4)

Fricción en el movimiento rotacional.

Los tres tipos de fricción descritos para el movimiento de traslación pueden aplicarse al de rotación. Por con-siguiente, las ecuaciones (3.4.1.5), (3.4.1.6) y (3.4.1.7), pueden reemplazarse respectivamente por sus

equivalentes:

M(t)

(t )

K

Figura 3.22 : Modelo de resorte rotacional.




67

( )M t B

t

t ( ) = ⋅

δ θ

δ(3.4.2.5)

( )M t F s( )'

= ±=θ 0

(3.4.2.6)

( )

( )M t F

t

t

t

t

c ( ) = ⋅

δ θ

δ

δ θ

δ

(3.4.2.7)

3.4.3 Energía mecánica y pérdidas.

La energía y la potencia tienen un papel muy importante en el diseño de sistemas electromecánicos.Mediante la energía cinética y potencial se controla la dinámica del sistema, mientras que la energía que nocontrola el sistema se pierde en forma de calor. Este último aspecto ha de tenerse muy en cuenta.

Energía cinética.

La masa o inercia de un cuerpo indica su posibilidad para almacenar energía cinética. La energía cinética deuna masa m en movimiento traslacional con una velocidad v es:

E m v c = ⋅ ⋅1

2

2 (3.4.3.1)

Por otra parte, la energía cinética de un cuerpo de inercia J que gira a una velocidad angular ω, se expresacomo:

E J c = ⋅ ⋅1

2

2 ω (3.4.3.2)

La unidad de medida de la energía cinética en el Sistema Internacional es el joule (J ).

Energía potencial.

La energía potencial almacenada en un resorte mecánico representa la cantidad de trabajo que se requierepara cambiar su configuración. La variación infinitesimal de la energía potencial para un resorte lineal que sedeforma en una longitud δ x es:

δ δ δE f t x K x x p = ⋅ = ⋅ ⋅( )

donde K es la constante del resorte. Si se integra esta variación infinitesimal de energía a lo largo de unadeformación x , se obtiene:

E K x p = ⋅ ⋅1

2

2 (3.4.3.3)

De la misma forma, para un resorte torsional, la energía potencial almacenada está dada por:

E K p = ⋅ ⋅1

2

2 θ (3.4.3.4)

Pérdidas por fricción.

Cuando se trata de un elemento de fricción, la forma de la energía difiere de los dos casos anteriores, encuanto a que dicha energía representa una pérdida o disipación en el sistema. La potencia es la velocidad a laque se efectúa un trabajo con respecto al tiempo. Por consiguiente, la potencia que se disipa en un elementode fricción es el producto de la fuerza por la velocidad; esto es:

P f = f(t)·v(t) (3.4.3.5)

Dado que f(t) = B·x'(t) = B·v(t) donde B es el coeficiente de fricción viscosa, la ecuación (3.4.3.5) setransforma en:




68

P f = B·v(t)2 (3.4.3.6)

La unidad S.I. de potencia es newton·m/s o vatio (w ).

Puesto que la potencia es la velocidad de disipación de energía, la energía disipada en un elemento defricción es:

W B v t t f = ⋅ ⋅( )2

δ (3.4.3.7)

3.4.4 Trenes de engranajes, correas de transmisión y palancas.

En los sistemas mecánicos simples expuestos en los apartados anteriores, la fuerza y la energía seaplicaban de forma directa al elemento que era objeto de control. Cuando el elemento está alejado del puntode aplicación de fuerza, se ha de recurrir a dispositivos que permitan la transmisión de energía mecánica adistancia. Si el dispositivo de transmisión es ideal, es decir, sin pérdidas, la energía o potencia aplicada setransmite de forma íntegra hasta el elemento objeto de control. Por lo general, estos dispositivos tambiénpermiten la transformación de las magnitudes mecánicas transmitidas (fuerza, par, velocidad ydesplazamiento) de la misma manera que un transformador lo hace en un sistema eléctrico.

Un tren de engranajes, una correa de transmisión (o banda de transmisión) o una palanca, son mecanismos

que transmiten energía de una parte del sistema a otra.

Trenes de engranajes.

En la figura 3.23 se muestran dos engranajes acoplados. En este caso, se desprecian la inercia y la fricciónde los engranajes.

De las relaciones entre los pares M 1 y M 2 , de los desplazamientos angulares θ1 y θ2 y de los números dedientes N 1 y N 2 del tren de engranajes, se derivan los siguientes hechos:

• El número de dientes en la superficie de los engranajes es proporcional a los radios r 1 y r 2 de losengranajes; esto es:

r 1·N 2 = r 2 ·N 1 (3.4.4.1)

• La distancia recorrida a lo largo de la superficie de cada engranaje es siempre la misma. Por consiguiente:

θ1·r 1 = θ2 ·r 2 (3.4.4.2)

• El trabajo desarrollado por un engranaje es igual al de otro, puesto que se supone que no hay pérdidas.De esta forma:

M 1·θ1 = M 2 ·θ2 (3.4.4.3)

Al tomar en cuenta las velocidades angulares de los dos engranajes, ω1 y ω2 , las ecuaciones (3.4.4.1) a(3.4.4.3) conducen a:

θ θ1 1 2 2 ⋅=

⋅r

t

r

t ; ω1·r 1 = ω2 ·r 2 ;

ω

ω

1

2

2

1

=r

r ;

Figura 3.23 : Tren de engranajes.




69

N

N

r

r

M

M

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

= = = =θ

θ

ω

ω(3.4.4.4)

En la práctica, los engranajes reales sí tienen inercia y producen fricción entre los dientes acoplados, cuyo

efecto casi nunca puede despreciarse. En la figura 3.24 se muestra la representación equivalente de un tren deengranajes con fricción viscosa, fricción de Coulomb e inercia como elementos agrupados. Para este tren deengranajes se definen las siguientes variables y parámetros:

• M : par aplicado.

• θθ1 , θθ2 : desplazamientos angulares.

• M 1 , M 2 : par transmitido a los engranajes.

• J 1 , J 2 : inercia de los engranajes.

• N 1 , N 2 : número de dientes.

• B 1 , B 2 : coeficientes de fricción viscosa.

• F c1 , F c2 : coeficientes de fricción de Coulomb.

La ecuación de par para el engranaje 2 de la figura 3.24 se escribe como:

( ) ( ) ( )

( )M t J

t

t B

t

t F

t

t c 2 2

2 2 2 2

2 2

2

2

( )'

'= ⋅ + ⋅ + ⋅

δ θ

δ

δ θ

δ

θ

θ(3.4.4.5)

La ecuación de par en el lateral del engranaje 1 es:

( ) ( ) ( )

( )M t J

t

t B

t

t F

t

t M t c ( )

'

' ( )= ⋅ + ⋅ + ⋅

+1

2 1

2 1

1

1

1

11

δ θ

δ

δ θ

δ

θ

θ (3.4.4.6)

El término M 1(t) representa el par disponible para transmitir al engranaje 3. Como lo habitual es conocer lasnecesidades de diseño del engranaje 2 (el cual estará en contacto con el objeto de control) es más convenienteexpresar el par disponible del engranaje 1 mediante los parámetros del engranaje 3. A partir de las ecuaciones(3.4.4.4) y (3.4.4.5) se obtiene:

)t ( M N

N )t ( M 2

2

11 ⋅= y )t (

N

N )t ( 1

2

12 θθ ⋅= ;

( ) ( ) ( )( )

⋅+⋅+⋅⋅=

t '

t ' F

t

t B

t

t J

N

N )t ( M

2

2 2 c

2 2 2

2 2

2 2

11

θ

θ

δ

θδ

δ

θδ;

( ) ( ) ( )

( )

⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅

=

t '

t ' F

N

N

t

t B

N

N

t

t J

N

N )t ( M

2

2 2 c

2

112

2

2

12 1

2

2

2

2

11

θ

θ

δ

θδ

δ

θδ(3.4.4.7)

La ecuación (3.4.4.7) indica que es posible reflejar la inercia, la fricción (y funcionamiento), el par, lavelocidad y el desplazamiento de un lado del tren de engranajes al otro.

Si estuviera presente un efecto de resorte torsional, la constante de resorte también se multiplicaría por (N 1 /N 2 )

2 , al reflejar del engranaje 2 al engranaje 1. Ahora, sustituyendo la ecuación (3.4.4.7) en la ecuación(3.4.4.6), se obtiene:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( );

t '

t ' F

N

N

t

t B

N

N

t

t J

N

N

t '

t ' F

t

t B

t

t J )t ( M

2

2 2 c

2

112

2

2

12 1

2

2

2

2

1

1

11c

112

12

1

⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅

+

⋅+⋅+⋅=

θ

θ

δ

θδ

δ

θδ

θ

θ

δ

θδ

δ

θδ

M(t)

Figura 3.24 : Tren de engranajes con fricción einercia.




70

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

⋅⋅+

⋅+⋅

⋅

++⋅

⋅

+=

t '

t ' F

N

N

t '

t ' F

t

t B

N

N B

t

t J

N

N J )t ( M

2

2 2 c

2

1

1

11c

12

2

2

112

12

2

2

2

11

θ

θ

θ

θ

δ

θδ

δ

θδ;

( ) ( )M t J

t

t B

t

t M e e Fc ( ) = ⋅ + ⋅ +1

2

12 1 1δ θ

δ

δ θ

δ(3.4.4.8)

Donde:

( )

( )

( )

( )

⋅⋅+

⋅=

⋅

+=

⋅

+=

t '

t ' F

N

N

t '

t ' F M ;B

N

N BB;J

N

N J J

2

2 2 c

2

1

1

11c Fc 2

2

2

11e12

2

2

11e1

θ

θ

θ

θ

Correas de transmisión.

Las correas y cadenas de transmisión realizan la misma función que el tren de engranajes, excepto quepermiten la transferencia de energía a una distancia más grande sin usar un número excesivo de engranajes.La figura 3.25 muestra el diagrama de una correa (lo mismo sería para una cadena) entre dos poleas.

Suponiendo que no existe deslizamiento entre la correa y las poleas, resulta fácil apreciar que la ecuación(3.4.4.4) sigue siendo aplicable a este caso. De hecho, la reflexión o transmisión de par, inercia, fricción, etc.,es similar a la de un tren de engranajes.

Palancas.

El sistema de palanca que se muestra en la figura 3.26 , transmite un movimiento de traslación y una fuerzaen la misma forma en que los trenes de engranajes transmiten el movimiento de rotación. La relación entre lasfuerzas y las distancias es:

f

f

l

l

x

x

1

2

2

1

2

1

= = (3.4.4.9)

3.4.5 Modelos matemáticos.

Para poder aplicar alguno de los métodos de análisis a un sistema mecánico lineal, habrá que construir inicialmente un modelo que contenga elementos lineales interconectados. Después se establecen lasecuaciones correspondientes al modelo construido y, finalmente, se aplica el método de análisis más

conveniente.

Figura 3.25 : Transmisión mediante correa o cadena.

Figura 3.26 : Modelo de sistema de palanca.




71

Ejemplo 3.7

Se tiene un sistema masa-resorte-amortiguador como el de la figura 3.27 . Conviene aclarar que unamortiguador es un elemento que proporciona fricción viscosa o amortiguamiento, el cual está constituido por un pistón lleno de aceite o gas. El amortiguador es un disipador de energía (lo hace en forma de calor), puesno almacena energía cinética ni potencial.

f(t)

K

B m

x(t)

Figura 3.27 : Sistema masa-resorte-amortiguador.

La ecuación de fuerza para este sistema es:

( ) ( )( )f t m

x t

t B

x t

t K x t ( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅

δ

δ

δ

δ

2

2 (3.4.5.1)

Esta ecuación se describe a partir del diagrama de cuerpo libre correspondiente al sistema mecánicoplanteado (figura 3.28 ).

En la ecuación diferencial de segundo orden (3.4.5.1) la fuerza aplicada, f(t), representa la excitación o señalde entrada del sistema, mientras que el desplazamiento que provoca en la masa, x(t), es la respuesta o señalde salida.

f (t) m

x

K·x

B·x ’

Figura 3.28 : Diagrama de cuerpo libre.


Tomando la transformada de Laplace de la ecuación (3.4.5.1) y suponiendo las condiciones iniciales igualesa cero, se obtiene:

( ) ( ) ( )F s m s X s B s X s K X s( ) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅2 (3.4.5.2)

Por tanto, la función de transferencia de este sistema resulta ser:( ) X s

F s m s B s K ( )=

⋅ + ⋅ +

12

(3.4.5.3)


La ecuación diferencial de segundo orden (3.4.5.1) se puede descomponer en dos ecuaciones diferencialesde primer orden estableciendo que x 1(t) = x(t) y x 2 (t) = x' 1(t). De esta forma se obtienen las ecuaciones deestado del sistema:

( )( )

δ

δ

x t

t x t 1

2 =




72

( )( ) ( ) ( )

δ

δ

x t

t

K

m x t

B

m x t

mf t 2

1 2

1= − ⋅ − ⋅ + ⋅ (3.4.5.4)

Como se puede apreciar a la vista de la estructura de estas dos ecuaciones diferenciales de primer grado,

las variables de estado son x 1(t) y x 2 (t). Estas dos variables de estado no están relacionadas directamente conningún elemento que almacene energía, o elemento de memoria. Este ejemplo simple ilustra el hecho de quelas ecuaciones de estado y las variables de estado de un sistema dinámico no son siempre específicas.


x t

x t K m B m

x t

x t mf t

' ( )

' ( ) / /

( )

( ) /( )

1

2

1

2

0 1 0

1

= − −

⋅

+

⋅ (3.4.5.5)

donde:

• x '(t) = x t

x t

' ( )

' ( )

1

2


• A = 0 1− −

K m B m/ /: es la matriz de estado.

• x (t) = x t

x t

1

2

( )

( )


• B =0

1 / m


• u (t) = f(t): es el vector de entrada.

Ejemplo 3.8

Se tiene un sistema como el de la figura 3.29.

f (t)

Figura 3.29 : Sistema masa-resorte-amortiguador.

Las ecuaciones de fuerza para las dos masas de este sistema es:

masa 1:( ) ( ) ( )

( ) ( )( )f t m x t

t B

x t

t

x t

t K x t x t ( ) = ⋅ + ⋅ −

+ ⋅ −1

2 12 1

1 2 1 1 2

δ

δ

δ

δ

δ

δ(3.4.5.6)

masa 2:( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )B x t

t

x t

t K x t x t m

x t

t B

x t

t K x t 1

1 2 1 1 2 2

2 2 2 2

2 2 2 ⋅ −

+ ⋅ − = ⋅ + ⋅ + ⋅

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ(3.4.5.7)

Estas ecuaciones se describen a partir de los diagramas de cuerpo libre correspondientes al sistemamecánico planteado (figura 3.30 ).




73

f (t)

Figura 3.30 : Diagramas de cuerpo libre.


En este sistema mecánico se toma la fuerza aplicada al conjunto, f(t), como la señal de entrada; por otrolado, el desplazamiento total del conjunto, x 1(t), será la señal de salida del sistema.

Tomando la transformada de Laplace de las ecuaciones (3.4.5.6) y (3.4.5.7) y suponiendo las condicionesiniciales iguales a cero, se obtiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )F s m s X s B s X s X s K X s X s( ) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ −1

2

1 1 1 2 1 1 2 (3.4.5.8)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )B s X s X s K X s X s m s X s B s X s K X s1 1 2 1 1 2 2 2

2 2 2 2 2 ⋅ ⋅ − + ⋅ − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ (3.4.5.9)

Despejando X 2 (s) de la ecuación (3.4.5.9) se obtiene dicha variable en función de la señal de salida X 1(s):

( )( )

( ) X sB s K

m s B B s K K X s2

1 1

2 2

1 2 1 2 1=

⋅ +

⋅ + + ⋅ + +⋅ (3.4.5.10)

Por tanto, la función de transferencia de este sistema resulta ser:

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

X s

F s

m s B B s K K

m m s B m B m B m s K m K m K m B B s B K B K s K K

1 2 2

1 2 1 2

1 2 4

1 1 1 2 2 13

1 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 2 1 1 2

=⋅ + + ⋅ + +

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

(3.4.5.11)

Se aprecia claramente la complejidad de la función de transferencia resultante, en la que aparecen cuatropolos y cuatro ceros. La existencia de tantos polos puede comprometer la estabilidad del sistema, como ya severá en la unidad 5.


Las ecuaciones (3.4.5.6) y (3.4.5.7) se pueden descomponer en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden estableciendo que y 1(t) = x 1(t), y 2 (t) = x' 1(t), y 3(t) = x 2 (t) y y 4(t) = x' 2 (t). De esta forma se obtienen lasecuaciones de estado del sistema:

masa 1:( )

( )δ

δ

y t

t y t 1

2 =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )y t B

my t y t

K

my t y t

mf t ' ( )2

1

12 4

1

11 3

1

1= − ⋅ − − ⋅ − +

masa 2:( )

( )δ

δ

y t

t y t 3

4=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )y t B

my t y t

K

my t y t

B

my t

K

my t '4

1

2 2 4

1

2 1 3

2

2 4

2

2 3= ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ (3.4.5.12)

Se observa que en estas cuatro ecuaciones diferenciales de primer grado, las variables de estado son y 1(t),y 2 (t), y 3(t) e y 4(t).





74

( ) ( )

y t

y t

y t

y t

K m B m K m B m

K m B m K K m B B m

y t

y t

y t

y t

mf t

' ( )

' ( )

' ( )

' ( )

/ / / /

/ / / /

( )

( )

( )

( )

/( )

1

2

3

4

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 2 1 2 2

1

2

3

4

1

0 1 0 0

0 0 0 1

0

1

0

0

=− −

− + − +

⋅

+

⋅ (3.4.5.13)

3.5 Sistemas térmicos.

Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra. Estossistemas se analizan en términos de resistencia térmica y capacidad térmica. Aunque estos dos términos nose representan de una forma clara como elementos de parámetros concentrados (ya que por lo general estosparámetros están distribuidos en todas las sustancias) para una mayor simplificación del análisis, aquí sesupondrá que un sistema térmico quedará representado mediante un modelo de parámetros concentrados.Con esta simplificación, se asumirá que las sustancias del sistema que estén caracterizadas mediante unaresistencia al flujo de calor, tendrán una capacidad térmica insignificante, mientras que las sustancias que se

caracterizan por una capacidad térmica tendrán una resistencia insignificante al flujo de calor.El calor fluye de una sustancia a otra de tres formas diferentes: por conducción, por convección y por

radiación. En este apartado sólo se consideran la conducción y la convección, puesto que la transferencia decalor por radiación sólo se aprecia si la temperatura del emisor es muy alta en comparación con la delreceptor. Por otra parte, la mayor parte de los sistemas térmicos en los procesos de control no involucrantransferencia de calor por radiación.

En la transferencia de calor por conducción o convección, se tiene:

q = K·∆θ (3.5.0.1)

donde q es el flujo de calor expresado en kcal/s, K es el coeficiente de transferencia en kcal/(s·ºC) y ∆θ es ladiferencia de temperatura en ºC.

El coeficiente K se obtiene mediante:

K k A

d = ⋅ por conducción (3.5.0.2)

K = H·A por convección (3.5.0.3)

donde k es la conductividad térmica expresado en kcal/(m·seg·ºC), A es el área normal para flujo de calor enm2, d es el espesor del conductor expresado m y H es el coeficiente de convección en kcal/(m2·seg·ºC).

El concepto de resistencia térmica R para la transferencia de calor entre dos sustancias se expresa como:

R cambioen ladifenciadetemperura C

cambioenel flujodecalor kcal s=

(º )

( / )(3.5.0.4)

La resistencia térmica para una transferencia de calor por conducción o por convección se calcula con laexpresión:

R q K

= =δ

δ

∆θ 1(3.5.0.5)

Dado que los coeficientes de conductividad y convección térmica son casi constantes, la resistencia térmicapara la conducción o la convección se puede considerar constante.

La capacidad térmica C para una sustancia se describe como:

C cambioen el calor almacenado kcal

cambioenlatemperura C q

t m c = = ⋅ = ⋅

( )

(º )

∆

∆θ(3.5.0.6)

donde m es la masa de la sustancia considerada en kg y c es el calor específico de la sustancia expresado

en kcal/(kg·ºC).




75

Ejemplo 3.9

Se considera un sistema térmico como el de la figura 3.31.

~ ~calefactor

mezclador

líquidofrío

líquidocaliente

Figura 3.31 : Sistema térmico.

Supóngase que el tanque está aislado para eliminar las pérdidas de calor hacia el exterior (aire). Dado que el

aislante está caracterizado por una resistencia térmica, se considera que no tiene capacidad dealmacenamiento de calor. Además el líquido del tanque está perfectamente mezclado, por lo que tiene unatemperatura estable en toda su masa. Bajo estas condiciones planteadas, se usa una sola temperatura paradescribir la del líquido en el tanque y la del líquido que sale del mismo.

Se definen las siguientes variables y parámetros:

• θθ ¥ i : temperatura en estado estable del líquido que entra en ºC .

• θθ ¥ o: temperatura en estado estable del líquido que sale en ºC .

• m' t : velocidad de flujo del líquido en estado estable en kg/s.

• m : masa del líquido en el tanque en kg .

• c : calor específico del líquido en kcal/(kg·ºC ).

• R : resistencia térmica en ºC·s/kcal .

• C : capacitancia térmica en kcal/ºC .

• q ¥ : entrada del flujo de calor en estado estable en kcal/s.

Se supone que la temperatura del líquido que entra se mantiene constante y que el flujo de calor de entradaal sistema (el calor que proporciona el calefactor) cambia repentinamente de q ¥ a q ¥ + qi , en donde qi

representa un cambio pequeño en el flujo de calor de entrada. El flujo de calor de salida cambiará, por tanto,de forma gradual, de q ¥ a q ¥ + qo. La temperatura del líquido que sale también cambiará de θ ¥

o a θ ¥ o + θ. Para

este caso, qo, C y R se obtienen, respectivamente, como:

q m c o t = ⋅ ⋅' θ (3.5.0.7)

C = m·c (3.5.0.8)

R q m c o t

= =⋅

θ 1

'(3.5.0.9)

La ecuación diferencial para este sistema se escribe a partir de la diferencia de flujo de calor entre la entraday a la salida del sistema:

( ) ( )q q q q q q C t

i o i o∞ ∞+ − + = − = ⋅

δ θ

δ(3.5.0.10)

que puede reescribirse como:

C t

q q qR

i o i ⋅ = − = −δ θ

δ

θ;




76

R C t

R q i ⋅ ⋅ + = ⋅δ θ

δθ (3.5.0.11)


Para la obtención de la función de transferecia se parte de la ecuación diferencial de primer orden (3.5.0.11),en donde el cambio del flujo de calor producido por el calefactor, qi (qi (t)), actúa como señal de entrada,mientras que la variación de la temperatura del líquido en la salida, θ (θ(t)), es la señal de salida. Con estasconsideraciones, y suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, se puede tomar la transformada deLaplace de la mencionada, de la que resulta:

( ) ( )R C s s s R Q si ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅Θ Θ ( ) (3.5.0.12)

Por tanto, la función de transferencia de este sistema resulta ser:

( )Θ s

Q s

R

R C si ( )=

⋅ ⋅ +1(3.5.0.13)

Ejemplo 3.10

Partiendo del mismo caso que el del ejemplo anterior, supóngase, como sucede en la práctica, que latemperatura del líquido que entra puede fluctuar y actuar como una perturbación de carga. El objetivo delsistema consiste en mantener la temperatura de salida del líquido constante mediante un sistema automático.Si la temperatura del líquido que entra cambia repentinamente de θ ¥

i a θ ¥ i + θ i , en tanto flujo de calor de

entrada q ¥ y el flujo de líquido m' t se conservan constantes, el flujo de calor de salida cambiará de q ¥ a q ¥ + qo,y la temperatura del líquido que sale cambiará de θ ¥

o a θ ¥ o + θ. La ecuación diferencial para este caso es:

C t

q q m c R

i o t i ⋅ = − = ⋅ ⋅ −δ θ

δθ

θ' (3.5.0.14)

que puede reescribirse como:

R C t

i ⋅ ⋅ + =δ θ

δθ θ (3.5.0.15)

La función de transferencia que relaciona θ y θ i , resulta:

( )Θ

Θ

s

s R C si ( )=

⋅ ⋅ +

1

1(3.5.0.16)

Si este sistema térmico está sujeto a cambios en la temperatura del líquido que entra y en el flujo de calor deentrada, en tanto que el flujo del líquido se conserva constante, el cambio θ en la temperatura del líquido quesale se obtiene mediante la ecuación siguiente:

R C t R qi i ⋅ ⋅ + = + ⋅δ θ

δθ θ (3.5.0.17)

Hallando la transformada de Laplace y expresando la señal de salida, θ, en función de las señales θ i y qi , sepodrá trazar el diagrama de bloques correspondiente al sistema en cuestión (figura 3.32 ).

( ) ( ) ( ) ( )R C s s s s R Q si i ⋅ ⋅ ⋅ + = + ⋅Θ Θ Θ ;

( ) ( ) ( ) ( )( )Θ ΘsR C s

s R Q s si i =⋅ ⋅

⋅ + ⋅ −1

(3.5.0.18)

Se aprecia, obviamente, que el sistema contiene dos entradas.




77

1R·C·sR

Figura 3.32 : Diagrama de bloques del sistema térmico automático.

3.6 Procesos de control de nivel de líquidos.

En los procesos de control de nivel de líquidos, el análisis del fluido es distinto si el flujo de éste se halla enrégimen laminar o régimen turbulento. La magnitud que indica en qué régimen se halla el líquido es el número

de Reynolds. Se considera que el flujo es laminar si el número de Reynolds es inferior a 2000.En el caso del flujo laminar, se asume que el movimiento del líquido es el movimiento de un conjunto de

capas paralelas, lo que permite tratar al flujo como estable (no existen turbulencias). Si el líquido avanzaentremezclando sus capas paralelas y produciendo torbellinos, se dice que el flujo es turbulento.

Los sistemas en los que se tiene flujo turbulento, deben representarse, a menudo, mediante ecuacionesdiferenciales no lineales, en tanto que los sistemas con un flujo laminar pueden representarse medianteecuaciones diferenciales lineales. Lo habitual en los procesos industriales es un flujo de líquidos a través detubos y tanques conectados, el cual resulta, a menudo, turbulento y no laminar.

En este apartado se van a obtener modelos matemáticos de procesos de control de nivel de líquidos. Si seintroduce el concepto de resistencia y capacidad para estos procesos, es posible describir en formas simplessus características dinámicas.

El concepto de resistencia se va a introducir del siguiente modo. Considérese el flujo a través de un tubo

corto que conecta dos tanques. La resistencia R que representa dicho tubo para el flujo de líquido se definecomo el cambio en la diferencia de nivel (entre los dos tanques) necesaria para producir un cambio de unaunidad en el caudal del flujo:

R cambioen ladifenciade nivel m

cambioenel caudal de f lujo m s=

( )

( / )3

(3.6.0.1)

Dado que la relación entre el caudal y la diferencia de nivel es distinta para el flujo laminar y el flujoturbulento, en lo sucesivo se tratarán ambos casos.

Se tiene el sistema que aparece en la figura 3.33, en el cual el líquido sale a chorros a través de la válvula decarga a un lado del tanque. Si el flujo a través de esta restricción (válvula de carga) es laminar, la relaciónentre la velocidad del flujo en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de la restricción se obtienemediante:

Q = K·H (3.6.0.2)

resistencia R

capacidadC

válvula de control

válvula de cargaH + h

Figura 3.33 : Proceso de control de nivel de líquido.




78

donde Q es el caudal del flujo en estado estable expresado en m3 /s, K es un coeficiente en m2 /s y H es laaltura en estado estable dada en metros.

Para el flujo laminar, la resistencia R l se obtiene como:

R H

Q

H

Ql = =

δ

δ(3.6.0.3)

La ecuación (3.6.0.3) es muy similar a la expresión matemática de la ley de Ohm, donde R l sería laresistencia eléctrica, H la diferencia de potencial o tensión y Q la corriente eléctrica.

Si el flujo es turbulento a través de la restricción (válvula de carga), el caudal en estado estable se obtienemediante:

Q K H = ⋅ (3.6.0.4)

donde Q es el caudal del flujo en estado estable expresado en m3 /s, K es un coeficiente en m2,5 /s y H es laaltura en estado estable dada en metros.

La resistencia R t para el flujo turbulento se expresa como:

R H Q

t = δ

δ(3.6.0.5)

Tomando el valor del caudal Q de la ecuación (3.6.0.4) y derivando con respecto a la altura H :

( )δ

δ

δ

δ

Q

H

K H

H

K

H =

⋅=

⋅2 (3.6.0.6)

Ahora, sustituyendo el valor de la ecuación (3.6.0.6) en la ecuación (3.6.0.5), resulta:

R H

K

H H

Q

H

Qt =

⋅=

⋅ ⋅=

⋅2 2 2 (3.6.0.7)

El valor de la resistencia de flujo turbulento R t depende del flujo y la altura. Sin embargo, el valor de R t seconsidera constante si los cambios en la altura y en el f lujo son pequeños.

Usando la resistencia de flujo turbulento, la relación entre Q y H se expresa:

QH

R t =

⋅2 (3.6.0.8)

Tal linealización es válida, siempre y cuando los cambios en la altura y el flujo, a partir de sus valoresrespectivos en estado estable, sean pequeños.

En muchos casos prácticos, se desconoce el valor del coeficiente K de la ecuación (3.6.0.4). En tales casos,la resistencia se determina mediante una gráfica que representa la altura frente al caudal basada en datos

caudal Q

Altura H

q

h

P

Q

H

-H

0

Figura 3.34 : Gráfica H - Q.




79

experimentales. La resistencia se obtiene midiendo la pendiente de la curva en el punto de operación. Unejemplo de tal gráfica aparece en la figura 3.34. En la figura, el punto P es el punto de operación en estadoestable, ( H , Q ). La línea tangente a la curva en el punto P interseca la ordenada en el punto (-H , 0). Por

tanto, la pendiente de esta línea tangente es 2 ⋅ H Q/ . Considerando que la resistencia R t es la pendiente en el

punto de operación ( H , Q ), el valor de la resistencia R t es 2 ⋅ H Q/ .

Si se toma la condición de operación en la vecindad del punto P , se define como h una desviación pequeñade la altura a partir del valor en estado estable y como q el pequeño cambio correspondiente del flujo, lapendiente de la curva en el punto P se obtiene mediante:

( )tg P h

q

H

QR t = =

⋅=

2 (3.6.0.9)

La aproximación lineal se basa en el hecho de que la curva real no difiere mucho de su recta tangente si lacondición de operación no varía mucho.

El concepto de capacidad C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de líquidoalmacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura). El potencial es la cantidad queindica el nivel de energía del sistema.

C cambioenel volumen delíquido m

cambioenla altura m=

( )

( )

3

(3.6.0.10)

No se debe confundir la capacidad, C , de un tanque con su capacidad volumétrica. La capacidad del tanquees igual a su área transversal. Si ésta es constante, la capacidad es constante para cualquier altura.

Ejemplo 3.11

Se tiene el sistema de la figura 3.33. Se definen las siguientes variables:

• Q : caudal en estado estable (antes de que haya ocurrido cualquier cambio) en m3 /s.

• q i : desviación pequeña del caudal de entrada de su valor en estado estable expresado en m3 /s.

• q o : desviación pequeña de la velocidad de salida de su valor en estado estable en m3 /s.

• H : altura en estado estable (antes de que haya ocurrido un cambio) expresado en m.

• h : desviación pequeña de la altura a partir de su valor en estado estable en m.

Ya se ha comentado anteriormente que un sistema se considera lineal si el flujo es laminar. Aunque el flujosea turbulento, el sistema puede linealizarse si los cambios en las variables se mantienen pequeños. A partir de esta suposición, la ecuación diferencial de este sistema se obtiene considerando que la diferencia entre elflujo de entrada y el flujo de salida durante el pequeño intervalo de tiempo δ t es igual a la cantidad adicionalalmacenada en el tanque, es decir:

( )C h q q t i o⋅ = − ⋅δ δ (3.6.0.11)

A partir de la definición de resistencia, la relación entre qo y h se obtiene mediante:

qh

R o = (3.6.0.12)

La ecuación diferencial para este sistema para un valor constante de R se convierte en:

C h qh

R t i ⋅ = −

⋅δ δ ;

R C h

t h R q i ⋅ ⋅ + = ⋅

δ

δ(3.6.0.13)

Nótese que R·C es la constante de tiempo del sistema.


Si se toma la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación (3.6.0.13), y suponiendo las




80

condiciones iniciales igual a cero, se tiene:

( ) ( ) ( )R C s H s R Q si ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅1 (3.6.0.14)

Si qi se considera la entrada y h la salida, la función de transferencia del sistema es:

( )

( )

H s

Q s

R

R C si

=⋅ ⋅ +1

(3.6.0.15)

Usando la relación:

( ) ( )Q sR

H so = ⋅1

y tomando qo como la salida (siendo la entrada la misma) la función de transferencia es:

( )

( )

Q s

Q s R C s

o

i

=⋅ ⋅ +

1

1(3.6.0.16)




81

Actividades de enseñanza – aprendizaje.

Las actividades que se proponen a continuación requieren la utilización de un software de resolución de

problemas matemáticos y visualización de gráficas. Para este tipo de actividades se recomienda el usoMATLAB.

Actividad 3.1: Obtención de la respuesta v o (t ) cuando la excitación es unescalón.

En el circuito eléctrico de la figura 3.35 , se desea obtener la expresión de la respuesta v o(t) cuando laexcitación v i (t) sea un escalón unitario.

Los valores de los componentes son:

• R 1 = 20 Ω.

• R 2 = 1000 Ω.

• L1 = 1 H.

• L2 = 2 H.

• C = 20 µF.

Realizar los siguientes pasos:• Obtener la función de transferencia que relacione la señal de salida con la señal de entrada o excitación.

• Obtener la respuesta del sistema, en el dominio complejo, cuando la señal de entrada es un escalónunitario. El resultado será un cociente de polinomios en el dominio complejo.

• Para poder obtener la transformada inversa de Laplace de la respuesta, realizar la expansión enfracciones parciales con MATLAB.

• Realizar la transformada inversa de Laplace de la función obtenida con la expansión en fraccionesparciales.

• Trazar una gráfica de la respuesta y de la entrada en un intervalo de tiempo de 5 segundos. Para unacorrecta visualización de las señales, toma 10 muestras por segundo.

Actividad 3.2: Obtención de la respuesta v o (t ) cuando la excitación es unarampa.

En el circuito eléctrico de la figura 3.35 , se desea obtener la expresión de la respuesta v o(t) cuando laexcitación v i (t) sea una rampa unitaria.

Realizar los siguientes pasos:

• Obtener la función de transferencia que relacione la señal de salida con la señal de entrada o excitación.

• Obtener la respuesta del sistema, en el dominio complejo, cuando la señal de entrada es una rampaunitaria. El resultado será un cociente de polinomios en el dominio complejo.

• Para poder obtener la transformada inversa de Laplace de la respuesta, realizar la expansión enfracciones parciales con MATLAB.

• Realizar la transformada inversa de Laplace de la función obtenida con la expansión en fraccionesparciales.

C

A

B

Figura 3.35 : Circuito eléctrico.




82

• Traza una gráfica de la respuesta y de la entrada en un intervalo de tiempo de 5 segundos. Para unacorrecta visualización de las señales, toma 10 muestras por segundo.


Ejercicio 3.1

Realizar la simplificación del diagrama de bloques de la figura 3.36 y obtener su función de transferencia.

Ejercicio 3.2

Realizar la simplificación del diagrama de bloques de la figura 3.37 y obtener su función de transferencia.

Ejercicio 3.3

El proceso de control de una planta aparece representado mediante el diagrama de bloques de la figura 3.38 .Dicho proceso consta de un proceso controlado ( planta), un controlador (integrador ) y un transmisor de medida(sensor ), los cuales aparecen representados mediante sus respectivas funciones de transferencia. Realizar el

modelo matemático en el espacio de estados (ecuación de estado y ecuación de salida) considerando comovariables de estado x 1(t), x 2 (t) y x 3(t).

R(s) Y(s) G


R(s) Y(s)


R(s) E(s ) Y(s)

integrador planta

sensor

1

s + 1

1

s

10

s + 5

Figura 3.38 : Proceso de control de una planta.




83

Ejercicio 3.4

Se diseña un sistema de suspensión activa para unautomóvil y se desarrolla el modelo de las partes pasivas de lasuspensión más un actuador ideal. Con el fin de simplificar elanálisis, en la descripción del modelo se utiliza la cuarta partedel coche, es decir, una rueda, medio eje y la cuarta parte dela masa del coche. El sistema, tal y como se ha descrito,aparece en la figura 3.39, donde se introduce un actuador quese conecta directamente entre la masa del automóvil y el eje.Con este actuador se pretende ejercer una fuerza controladaen el sistema de suspensión, el cual es a su vez controladopor una corriente i(t). Describir las ecuaciones diferenciales delmodelo propuesto donde aparezcan las relaciones entre lafuerza ejercida por el actuador y el resto del sistema.

Ejercicio 3.5

Se tiene un motor de corriente continua de imanes permanentes que arrastra una masa de inercia J (figura3.40 ).

El motor aparece representado por un inducido ideal de fuerza contraelectromotriz e’(t), una resistencia deinducido Ri y un coeficiente de autoinducción del devanado inducido Li. El circuito se alimenta con una tensiónu(t). Se supone que la velocidad del motor es práticamente proporcional a la f.c.e.m. e’(t), cumpliéndose larelación,

e’(t) = C 1·ω(t)

donde C 1 es una constante que depende de los parámetros constructivos del motor y ω(t) es la velocidad degiro expresada en rad/s. El par que el motor ejerce sobre la masa es directamente proporcional a la corrienteque circula por el inducido, expresándose como,

M(t) = C 2 ·i i (t)

donde C 2 es otra constante que depende de los parámetros constructivos del motor e i i (t) es la corriente deinducido del motor. La masa que debe arrastrar el motor presenta una fricción viscosa en el eje, cuyocoeficiente es B. Se desea obtener el modelo de función de transferencia que relacione la velocidad de giro dela masa ω(t) con la tensión de alimentación del motor u(t). Dibujar también el diagrama de bloquescorrespondiente.

Ejercicio 3.6

Partiendo del sistema del ejercicio anterior (figura 3.40 ), resultan conocidos los siguientes valores de losparámetros representados:

i(t)

masa del cuerpodel automóvil

masa de la rueday del eje

actuador

Figura 3.39 : Modelo de suspensión activa paraautomóvil.

M(t) (t)

B

J +

-

e’(t) u(t) M _

A

B

Figura 3.40 : Modelo de motor de c.c. de imanes permanentes.




84

• Motor :

C 1 = C 2 =π⋅⋅Φ

2

' N máx ; donde φmáx = 0,002 Wb, N’ = 3.000 conductores

R i = 1 Ω ; Li = 10 H • Masa :

J =2

r m 2 ⋅; donde m = 4 Kg , r (radio de giro) = 10 cm

B = 4,04·10 -4 N·s

Realizar las siguientes operaciones:

a) Obtener el modelo de función de transferencia que relacione la velocidad de giro de la masa ω(t) con latensión de alimentación del motor u(t) considerando los valores de los parámetros representados.

b) Calcular el valor de la velocidad angular que alcanzará la masa en régimen permanente (utilizar elteorema del valor final) si se aplica un escalón de 100 v.

c)Determinar la expresión de la respuesta temporal para dicho escalón de 100 v.

d) Trazar la gráfica de la respuesta del sistema para los primeros 60 segundos.

Ejercicio 3.7

Un registrador es un aparato que representa sobre un papel las variaciones de una cierta magnitud deentrada - por ejemplo una tensión - a lo largo del tiempo. Esto se consigue haciendo que un cursor dotado deuna plumilla en su extremo se desplace verticalmente siguiendo las variaciones de la entrada mientras un rollode papel va avanzando a velocidad constante, tal como se ilustra en la figura 3.41.

Una posible realización (simplificada) del registrador se muestra en la figura 3.42 , donde un motor decorriente continua controlado por inducido tiene como entrada una tensión proporcional - según sea el valor dela ganancia K que se supone positiva - a la diferencia entre la tensión de entrada, ur (t) y la tensión en el cursor,uc (t), la cual es proporcional al desplazamiento vertical de éste x(t ). Esto es posible gracias al potenciómetrolineal, en el cual:

l

)t ( x U )t ( u cc c ⋅=

t

d e s p l a z a m i e n t o d e l a

p l u m i l l a

avance del papel

Figura 3.41 : Aparato registrador.

M(t) B

J

e’(t) M _

A

B

K+

-

(t )

r

cursor

x(t) l

l

Figura 3.42 : Esquema funcional simplificada de un aparato registrador.




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donde U cc es la tensión de la fuente de alimentación y l la mitad del recorrido máximo. El desplazamientoangular del eje del motor se transforma en desplazamiento lineal del cursor mediante una polea de radio r . Elmotor tiene constante eléctrica C 1, constante mecánica C 3. La resistencia de inducido es R i , y autoinducción deinducido Li . Las variables a considerar en el motor son el ángulo de giro θ(t), la fuerza contraelectromotriz e’(t),la corriente del inducido i i (t) y el par motor en el eje M(t). El eje del motor junto con la carga (poleas, cursor,etc.) representan un momento de inercia J y una fricción viscosa de coeficiente B. La tensión de entrada ur (t)está siempre comprendida entre +U cc y -U cc .

Se desea obtener un modelo matemático del sistema que relacione la señal de salida – posición del cursor x(t) – con la señal de entrada o señal a medir ur (t). Para ello, desarrollar las siguientes cuestiones:

a) Plantear las ecuaciones, en el dominio del tiempo, que relacionen cada una de las variables y parámetrosen cada uno de los componentes que intervienen en el sistema.

b) Obtener el modelo matemático de función de transferencia del sistema.

c) Obtener el modelo matemático en el espacio de estados del sistema.




86



87

UNIDAD 4Sistemas de adquisición y tratamiento de datos.

4.1 La cadena de adquisición. Estructura básica y características.

En los procesos de control se utiliza una gran cantidad de dispositivos para recopilar o presentar informaciónen la forma más adecuada; esos dispositivos se llaman transductores. El Diccionario de la Real Academia de laLengua Española define el transductor como:

Dispositivo que transforma el efecto de una causa física, como presión, temperatura,dilatación, humedad, etc., en otro tipo de señal, normalmente eléctrica.

De todos modos, en los sistemas de medida no basta solamente con disponer del transductor adecuado. Enla mayoría de las ocasiones se requiere la presencia de otros elementos que adapten y traten la señalapropiadamente. Todos estos elementos, junto con el transductor, forman lo que se denomina la cadena demedida o cadena de adquisición.

Se define cadena de adquisición como:

Sistema cuya función es la asignación objetiva (independiente del observador) y empírica(basada en la experimentación) de un número a una propiedad o cualidad de un objeto oevento, de tal forma que lo describa.

El objetivo principal de la medida es obtener información del estado del sistema, la cual puede tener lassiguientes finalidades:

• Control de un proceso.

• Vigilancia o supervisión de un proceso.

• Obtención de datos acerca de algún fenómeno o proceso experimental : con los que se obtiene

información sobre el comportamiento de un cierto sistema en estudio.

Los parámetros de entrada a la cadena de medida o cadena de adquisición son propiedades físicas delsistema, mientras que la naturaleza de los parámetros de salida dependerá de la naturaleza de la informaciónque se va a transmitir. Así, por ejemplo, si la medida va destinada a un controlador de tipo eléctrico oelectrónico la salida será una señal eléctrica (intensidad o voltaje), si el controlador es un ordenador que estáalejado del lugar donde se desarrolla el proceso a regular, puede ser necesario que la señal de salida sea unaseñal de radio, infrarrojos, láser, etc.

En las cadenas de adquisición se pueden considerar los siguientes elementos constitutivos:

• Sensor o transductor de entrada: se utiliza con un sentido más amplio que el de transductor. Es elelemento que produce una señal relacionada con la magnitud que está siendo medida. El término sensor incluye, por lo tanto, al de transductor, pero puede haber sensores que no sean transductores. Unejemplo sería el de un venturímetro en sí ( figura 4.7 ), el cual proporciona diferencias de presiones como

variable de salida de la medida de velocidad de un líquido en una tubería. Es decir, el tipo de señal deentrada (velocidad) y el de salida se corresponden con unas señales del mismo tipo de energía:mecánica. No ha habido transducción de señal alguna y sin embargo se ha realizado una medición,mientras que un transductor siempre implica una conversión del tipo de energía entre la señal de entraday la señal de la salida.

• Transductor : toma la señal proveniente del sensor para transformarla en una señal de una naturaleza deenergía más adecuada a los propósitos del proceso de control o sistema de medida. Esta señal, yatraducida, suele ser, en la mayoría de las ocasiones, de naturaleza eléctrica.

• Acondicionador de la señal : éste adapta la señal de salida del elemento transductor y la convierte eninformación adecuada para el elemento de visualización del sistema de medida o, en el caso de unsistema de control, para mezclarse con la señal de referencia. Un ejemplo de esto puede ser unamplificador que toma una pequeña señal del transductor y la hace lo suficientemente grande como paraactivar el dispositivo visualizador. En el caso de un transductor de temperatura como el termistor (resistencia variable con la temperatura), el cambio en el valor de su resistencia debe ser convertido por el acondicionador en una corriente que circulará por un circuito eléctrico.




88

• Visualizador, o elemento indicador : éste es el último elemento de las cadenas de medida cuya finalidad esla obtención de información cara al usuario (como en las aplicaciones de vigilancia y supervisión) y esdonde se visualiza la salida del sistema de medida. Puede ser, por ejemplo, una aguja que se mueve a lolargo de una escala. En el caso de un termómetro que use un termistor como transductor, la salida puede

ser visualizada en un amperímetro. El elemento visualizador toma la información del acondicionador deseñal y la presenta de tal forma que permita al observador reconocerla.

La figura 4.1 muestra la estructura general de una cadena de adquisición.

Hay que indicar que los elementos de la cadena de adquisición que se acaban de presentar, no siempre hande estar presentes. Puede suceder, como en el caso de la medida de temperatura, que el elemento que seencargue de tomar la señal de la magnitud física a medir (temperatura) sea el mismo que proporcione la señaleléctrica al acondicionador de señal, por lo que no se haría necesaria la utilización de un sensor previo otransductor de entrada. Es decir, bastaría con utilizar un termistor (resistencia variable con la temperatura)para hacer las funciones de sensor y transductor a la vez (figura 4.2 ).

Otro elemento que puede estar ausente en la cadena de adquisición sería el visualizador. Obviamente, si lacadena de medida está insertada en el sistema controlador de un bucle de control, es decir, un lazo deregulación o lazo cerrado, y su finalidad es la de proporcionar una señal para mezclarla con la de referencia,no se requiere la utilización de un elemento visualizador.

4.2 Equipos e instrumentos.

Debido a la complejidad de los instrumentos de los sistemas de medida (y de los procesos de control engeneral), se hace necesaria una adecuada clasificación si se desea comprender bien sus funciones. Como eslógico, pueden existir varias formas para clasificar los instrumentos, cada una de ellas con sus propiasventajas y limitaciones. Se considerarán dos clasificaciones básicas: según la función del instrumento y segúnla variable del proceso.

4.2.1 Clasificación en función del instrumento.

De acuerdo con la función del instrumento, se tienen los tipos de instrumentos siguientes:

• Instrumentos ciegos: son aquellos que no tienen indicación visible de la variable. Baste señalar que sonciegos los instrumentos de alarma tales como presostatos (relés de presión), termostatos (relés detemperatura) y detectores de nivel. Todos ellos poseen una escala exterior con un índice de selección dela variable. Cuando la variable medida sobrepasa el valor seleccionado, el instrumento de alarma

produce la activación o disparo del relé de salida, interruptor o conmutador que disponga. En la figura 4.3se muestra como ejemplo un detector de nivel. Son también instrumentos ciegos los transmisores decaudal, presión y temperatura que no dispongan indicación externa de la variable medida.

Transductor

Visualizador

señaladaptada

señal de lamagnitud física

señaleléctrica

señalacondicionada Acondicionador

de señalSensor

Figura 4.1 :Estructura general de una cadena medida o adquisición.

R A

E

I = E / R

Sensor +Transductor

Acondicionador de señal Visualizador

T(ºC)

Magnitud

física amedir

Señalacondicionada

Figura 4.2 : Sistema de medida de temperatura.



Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

89

• Instrumentos indicadores: disponen de un elemento indicador (aguja o índice) y de una escala graduadaen la que puede leerse el valor de la variable. Existen también indicadores digitales que muestran lavariable en forma numérica (figura 4.4).

• Instrumentos registradores: son instrumentos que registran constantemente, con trazo continuo o apuntos, la variable medida sobre un papel reticulado. El sistema de trazado se puede realizar sobre unrollo de papel continuo o sobre un disco de cartón, con lo que se obtendrían sendos gráficos rectangular y circular (figura 4.5 ). Los registradores de gráfico circular suelen tener el gráfico de 1 revolución en 24horas mientras que en los de gráfico rectangular la velocidad normal del gráfico es de unos 20 mm/hora.

A1

12 14

11 A2

+

-

sondas

depósito de líquidodetector de nivel

nivel máximo

nivel mínimosonda común

esquema eléctrico del detector de nivel

relé de salida

detecciónde nivel

Figura 4.3 : El detector de nivel de esta figura es un ejemplo de instrumento ciego. La actuación del relé de salida estásupeditada a la detección del nivel mínimo del depósito, mientras que su regreso al estado de reposo estádeterminado por la detección del nivel máximo. Este instrumento no muestra la lectura del nivel detectado enningún momento.

Figura 4.4 : Paneles frontales de instrumentos indicadores.

Figura 4.5 : Paneles frontales de instrumentos registradores.




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Además, existen instrumentos que permiten registrar la variable medida sobre un soporte informático.Estos aparatos disponen de puerto de comunicaciones, habitualmente puerto serie de interfaz RS-232,para conectar a un ordenador (figura 4.6 ). Este sistema, junto con un software adecuado, permite realizar un registro histórico mucho más completo que con un registrador sobre papel.

• Elementos primarios (sensores): están en contacto con la variable a medir y absorben energía del mediocontrolado para dar al sistema de medición una indicación de los cambios que sufre la variablecontrolada. El efecto producido por el elemento primario puede ser un cambio de presión, fuerza, posi-ción, medida eléctrica, etc. En los elementos primarios de temperatura constituidos por bulbo y capilar,por ejemplo, el efecto que se obtiene es la variación de presión del fluido que los llena, mientras que enlos que están constituidos por termopar se logra una variación de fuerza electromotriz. En la figura 4.7 semuestra un venturímetro o tubo Venturi , el cual relaciona la velocidad o caudal de un fluido por unatubería (señal de entrada) con una diferencia de presiones (señal de salida) obtenida en dos puntos dedistinta sección del venturímetro.

• Transmisores: captan la variable de proceso a través del elemento primario y la transmiten a distancia en

forma de señal neumática (de 0,206 a 1,033 bar de margen) o eléctrica (de 4 a 20 mA de corrientecontinua). La señal eléctrica digital, utilizada en algunos transmisores inteligentes, es apta para ser recibida directamente por un ordenador.

El elemento primario puede formar o no parte integral del transmisor. Un transmisor de temperatura debulbo y capilar sería un ejemplo de elemento primario y transmisor integrados. Un equipo de transmisiónde datos para el control remoto de un interruptor de alta tensión (transmisor) y su correspondientetransformador de medida de intensidad (elemento primario) son un ejemplo de clara distinción entre elelemento transmisor y el elemento primario (figura 4.8).

• Transductores: toman la señal, de una forma de energía determinada, proveniente de la causa física quese desea medir, para transformarla en una señal de otra naturaleza de energía más adecuada a lospropósitos del proceso de control o sistema de medida. Esta señal, ya traducida, suele ser de naturalezaeléctrica. Son transductores, un relé, un elemento primario, un transmisor, un convertidor PP/I (presiónde proceso a intensidad), etc.

• Convertidores: son aparatos que reciben una señal de entrada neumática (0,206 - 1,033 bar) o eléctrica(4 - 20 mA c.c.) procedente de un instrumento para, después de modificarla, enviar la resultante en forma

registrador con conexión para ordenador

A

Vw

RS-232

tiempo t

potenciaw

0

Figura 4.6 : Instrumento registrador con puerto RS-232 para conexión a ordenador.

Figura 4.7 : Sensor primario para la medida de velocidad de fluidos: tubo Venturi .




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de señal de salida estándar. Ejemplo: un convertidor P/I (señal de entrada neumática a señal de salidaeléctrica, un convertidor I/P (señal de entrada eléctrica a señal de salida neumática).

Conviene señalar que, a veces, se confunde convertidor con transductor. Este último término es general

y no debe aplicarse a un aparato que convierta una señal que provenga de un instrumento de medida.

• Receptores: son los que reciben las señales procedentes de los transmisores y las indican o registran.Los receptores-controladores envían otra señal de salida normalizada, neumática o eléctrica, que actúasobre el elemento final de control.

• Controladores: ejercen una acción correctiva de acuerdo con la desviación producida entre la variablecontrolada (presión, nivel, temperatura) y la variable de referencia. La variable controlada la puedenrecibir directamente (controladores locales) o bien indirectamente en forma de señal neumática, eléctricao digital procedente de un transmisor.

• Elemento final de control : es el que recibe la señal del controlador y modifica el caudal del fluido o agentede control. En el control neumático, el elemento suele ser una válvula neumática o un servomotor neumático que efectúan su carrera completa de 0,206 a 1,033 bar ( figura 4.9). En el control eléctrico-neumático, la válvula o el servomotor anteriores son accionados a través de un convertidor de intensidada presión (I/P), o señal digital a presión, que convierte la señal eléctrica de 4 a 20 mA c.c. a señalneumática de 0,206 a 1,033 bar. En el control eléctrico, el elemento suele ser una válvula motorizada queefectúa su carrera completa accionada por un servomotor eléctrico.

En el control electrónico, y en particular en regulación de temperatura de hornos, pueden utilizarserectificadores de silicio (tiristores). Estos se comportan esencialmente como bobinas de impedanciavariable y varían la corriente de alimentación de las resistencias del horno, en la misma forma en que unaválvula de control cambia el caudal de fluido en una tubería (figura 4.10).

Las señales neumáticas (0,206 - 1,033 bar) y eléctricas (4 - 20 mA c.c.) permiten el intercambio entreinstrumentos de la planta. No ocurre así en los instrumentos de señal de salida digital (transmisores,

barras A.T.

interruptor

trafo

intensidad

cortocircuito

sobreintensidad Equipo de

transmisiónde datos

Equipo derecepciónde datos

relés de protección

Puesto de controlremoto

Sensor Transmisor

Figura 4.8 : Sistema de telemando de un interruptor de alta tensión mediante transformador deintensidad (elemento primario o sensor) y un equipo de transmisión de datos (transmisor).

4

5 1

2

3

1412

1.1

2

1

1.01

1.02.2


Elemento finalde control

señal provenientedel controlador

(0,206 - 1,033 bar)

Figura 4.9 : Una válvula o distribuidor 5/2 actúa como elemento final decontrol de un cilindro de doble efecto.




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controladores) donde las señales son propias de cada fabricante o suministrador. No obstante, existe elpropósito de normalización por parte de firmas de instrumentos de control, en particular en los sistemas decontrol distribuido, las cuales estudian la aplicación de un lenguaje o protocolo de comunicaciones. Se creópara tal fin un comité internacional de normas IEC-65C, con la colaboración de los comités ISA SP50, ISA

SP72 y EUROBOT de EUREKA, el cual trabaja también por la normalización de las comunicaciones digitalesentre los instrumentos de campo (instrumentos de medida que se hallan ubicados junto al proceso controlado)y los sistemas de control (la llamada tecnología del fieldbus o bus de campo). Hoy en día, los estándares debuses de campo que se reconocen son PROFIBUS (Process Field Bus) y FIP (Factory Information Protocol ).

4.2.2 Clasificación en función de la variable de proceso.

De acuerdo con la variable del proceso, los instrumentos se dividen en instrumentos de caudal, nivel,presión, temperatura, densidad y peso específico, humedad y punto de rocío, viscosidad, posición, velocidad,pH, conductividad, frecuencia, fuerza, turbidez, etc.

Esta clasificación corresponde específicamente al tipo de las señales medidas y es independiente delsistema empleado en la conversión de la señal de proceso. De este modo, un transmisor neumático detemperatura del tipo de bulbo y capilar es, ciertamente, un instrumento de temperatura a pesar de que lamedida se efectúa convirtiendo las variaciones de temperatura en variaciones de presión del fluido que llena elbulbo y el capilar. El aparato receptor de la señal neumática de un transmisor neumático de temperatura, esun instrumento de temperatura, si bien, al ser receptor neumático se podría considerar instrumento de presión,caudal, nivel o cualquier otra variable, según fuera la señal medida por el transmisor correspondiente. Unregistrador potenciométrico puede ser un instrumento de temperatura, de conductividad o de velocidad, segúnsean las señales medidas por los elementos primarios de termopar, electrodos o dínamo.

Asimismo, esta clasificación es independiente del número y tipo de transductores existentes entre elelemento primario y el instrumento final. Así ocurre en el caso de un transmisor electrónico de nivel de 4 - 20mA c.c., un receptor-controlador con salida de 4 - 20 mA c.c., un convertidor intensidad-presión (I/P) quetransforma la señal de 4 - 20 mA c.c. a neumática de 0,206 - 1,033 bar y la válvula neumática de control.Todos estos instrumentos se consideran de nivel.

En la designación del instrumento se utilizan, en el lenguaje común, las dos clasificaciones expuestasanteriormente. De este modo, se consideran instrumentos tales como transmisores ciegos de presión,controladores registradores de temperatura, receptores indicadores de nivel, receptores controladoresregistradores de caudal, etc.

A todo ello cabría unir una clasificación en función de la ubicación física del instrumento. De acuerdo conesto se pueden distinguir entre:

• Instrumentos de campo: son aquéllos que están en contacto con la variable de proceso a medir o queactúan directamente sobre el proceso, es decir, son los que se hallan ubicados físicamente en el procesoa controlar. Son instrumentos de campo los sensores o elementos primarios (de cualquier de variable deproceso), transductores, transmisores y elementos finales de control.

• Instrumentos de panel o de control : son los que realizan la función lógica del control. Los instrumentos depanel o control se hallan, por lo general, distantes del proceso a controlar. Suelen estar montados demanera centralizada en paneles, armarios o pupitres situados en salas aisladas o en zonas del proceso.De esta forma, se puede constituir un despacho de explotación o control , en donde los supervisores delproceso, o usuarios, puedan gobernar a distancia la instalación del proceso.

Son instrumentos de panel o control los instrumentos indicadores, registradores, convertidores,controladores y receptores en general. Sin embargo, estos elementos también se pueden hallar junto al

+

-


Elemento final de control

horno de resistencias

Figura 4.10 : Control de la potencia de un horno eléctrico mediante tiristores.




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proceso (por lo que se les podría denominar instrumentos de campo) en aquellas instalaciones donde nose haya centralizado el control en un despacho.

En la figura 4.11 un esquema representa las clasificaciones de los instrumentos descritos. En dicho

esquema, las letras con las que se designan los instrumentos siguen la norma ISA-S5.1-84, la cual se resumeen el siguiente apartado.

4.2.3 Código de identificación de instrumentos.

Para designar los instrumentos de medición y control se emplean normas muy variadas y que, a veces,varían según la industria que las use. Esta gran variedad de normas y sistemas utilizados en lasorganizaciones industriales indica la necesidad universal de una normalización en este campo. Varias socieda-des han dirigido sus esfuerzos en este sentido, y entre ellas se encuentra como una de las importantes laSociedad de Instrumentos de Estados Unidos, ISA (Instrument Society of America) cuyas normas tienen por objeto establecer sistemas de designación (código y símbolos) de aplicación a las industrias químicas, pe-troquímicas, aire acondicionado, etc.

Figura, a continuación, un resumen de las normas ISA-S5.1-84 de ANSI/ISA del año 1984 con unarectificación el año 1992, sobre instrumentación de medición y control. Hay que señalar que estas normas noson de uso obligatorio sino que constituyen una recomendación a seguir en la identificación de losinstrumentos en la industria.

Resumen Norma ISA-S5.1-84.

Cada instrumento debe identificarse con sistema de letras que lo clasifique funcionalmente. Unaidentificación representativa es la siguiente:

Identificación funcional Identificación del bucle de control

Primera letra Letras sucesivas Número del bucle Sufijo (en desuso)

Ejemplo:

T RC 2 A

Tabla 4.1: Identificación representativa de instrumentos.

El número de letras funcionales para un instrumento debe ser mínimo, no excediendo de cuatro. Para elloconviene:

• Disponer las letras en subgrupos. Por ejemplo, un transmisor-registrador de relación de caudalesasociado a un interruptor de alarma de relación de caudales, pueden identificarse con dos círculos unocon FFRT-3 y el otro FFS-3.

LI LR LIC LRC

Convertidoresy Elementosauxiliarres

PT

FT

LT

TT

Sensor depresión

Sensor decaudal

Sensor denivel

Sensor detemperatura

Otrasvariables

válvula

válvula

tiristores,contactores,interruptores

...

I/P

señal neumáticaseñal eléctricacomunicación digital

Leyenda

CAMPO CAMPO O PANEL CAMPO

Elementosprimarios Tranmisores

Receptores Controladores

Elementos finalesde control

indicadores indicadoresregistradores registradores

Figura 4.11 : Clasificación de instrumentos.




94

• En un instrumento que indica y registra la misma variable medida puede omitirse la letra I (indicación).

• Los bucles de instrumentos de un proyecto o secciones de un proyecto deben identificarse con unasecuencia única de números.

Ésta puede empezar con el número 1 o cualquier otro número conveniente, tal como 301 o 1201 quepuede incorporar información codificada tal como área de planta.

• Si un bucle dado tiene más de un instrumento con la misma identificación funcional, es preferible añadir un sufijo. Ejemplo: FV-2A, FV-2B, FV-2C , etc. o bien TE-25-1, TE-25-2 , TE-25-3, etc. Estos sufijospueden añadirse obedeciendo a las siguientes reglas:

• Deben emplearse letras mayúsculas, A, B, C , etc.

• En un instrumento tal como un registrador de temperatura muItipunto, para identificación de los puntosde lectura, los elementos primarios pueden numerarse TE-25-1, TE-25-2 , TE-25-3, etc.

• Las subdivisiones interiores de un bucle pueden designarse por sufijos formados por letras y números.

• Un instrumento que realiza dos o más funciones puede designarse por todas sus funciones. Por ejemplo,

un registrador de caudal FR-2 con pluma o trazador de presión PR-4 se designa preferentemente FR-2/PR-4 o bien UR-7 . Un registrador de presión de dos plumas se puede nombrar como PR-7/8 , y unaventanilla de alarma para temperatura alta y baja como TAH/L-9.

A continuación se muestra una tabla con el significado de cada una de las letras usadas en la designación deinstrumentos.

Primera letra Letras sucesivas

Variable de medida (3) Letra demodificación

Función de lecturapasiva

Función de salida Letra demodificación

A Análisis (4) Alarma

B Llama (quemador) Libre (1) Libre (1) Libre (1)

C Conductividad ControlD Densidad o peso

específicoDiferencial (3)

E Tensión (f.e.m.) Elemento primarioF Caudal Relación (3)

G Calibre Vidrio (8)

H Manual Alto (6) (13) (14)

I Corriente eléctrica Indicación (9) o indicador

J Potencia Exploración (6)

K Tiempo Estación de control

L Nivel Luz piloto (10) Bajo (6) (13) (14)

M Humedad Medio o intermedio(6) (13) (14)

N Libre (1) Libre (1) Libre (1) Libre (1)

O Libre (1) Orificio

P Presión o vacío Punto de prueba

Q Cantidad Integración

(3)

R Radiactividad Registro

S Velocidad ofrecuencia

Seguridad (7) Interruptor

T Temperatura Transmisión otransmisor

U Multivariable (5) Multifunción (11) Multifunción (11) Multifunción (11)

V Viscosidad VálvulaW Peso o Fuerza Vaina

X Sin clasificar (2) Sin clasificar (2) Sin clasificar (2) Sin clasificar (2)

Y Libre (1) Relé o computador (12)

Z Posición Elemento final decontrol sin clasificar

Tabla 4.2: Letras de identificación de instrumentos.




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(1) Para cubrir las designaciones no normalizadas que pueden emplearse repetidamente en un proyecto se han previsto letraslibres. Estas letras pueden tener un significado como primera letra y otro como letra sucesiva. Por ejemplo, la letra N puederepresentar como primera letra el módulo de elasticidad y como sucesiva un osciloscopio.

(2) La letra sin clasificar X , puede emplearse en las designaciones no indicadas que se utilicen sólo una vez o un númerolimitado de veces. Se recomienda que su significado figure en el exterior del círculo de identificación del instrumento.Ejemplo: XR-3 registrador de vibración.

(3) Cualquier letra primera si se utiliza con las letras de modificación D (diferencial), F (relación) o Q (integración) o cualquier combinación de las mismas cambia su significado para representar una nueva variable medida. Por ejemplo, los instrumentosTDI y TI miden dos variables distintas, la temperatura diferencial y la temperatura, respectivamente.

(4) La letra A para análisis, abarca todos los análisis que no están cubiertos por una letra libre. Es conveniente definir el tipo deanálisis al lado del símbolo en el diagrama de proceso.

(5) El empleo de la letra U como multivariable en lugar de una combinación de primeras letras, es opcional.

(6) El empleo de los términos de modificaciones alto, medio, bajo, medio o intermedio y exploración es preferible pero opcional.

(7) El término seguridad debe aplicarse sólo a elementos primarios y a elementos finales de control que protejan contracondiciones de emergencia (peligrosas para el equipo o el personal). Por este motivo, una válvula autorreguladora de presiónque controla la presión de salida de un sistema, mediante el alivio o escape de fluido al exterior, debe ser PCV , pero si esta

misma válvula se emplea contra condiciones de emergencia, se designa PSV .La designación PSV se aplica a todas las válvulas proyectadas para proteger contra condiciones de emergencia de presión

sin tener en cuenta si las características de la válvula y la forma de trabajo la colocan en la categoría de válvula de seguridad,válvula de alivio, o válvula de seguridad de alivio.

(8) La letra de función pasiva vidrio, se aplica a los instrumentos que proporcionan una visión directa no calibrada del proceso.

(9) La letra indicación se refiere a la lectura de una medida real de proceso. No se aplica a la escala de ajuste manual de lavariable si no hay indicación de ésta.

(10) Una luz piloto que es parte de un bucle de control debe designarse por una primera letra seguida de la letra sucesiva L. Por ejemplo, una luz piloto que indica un período de tiempo terminado se designará KL. Sin embargo, si se desea identificar unaluz piloto fuera del bucle de control, la luz piloto puede designarse en la misma forma o bien alternativamente por una letraúnica L. Por ejemplo, una luz piloto de marcha de un motor eléctrico puede identificarse EL, suponiendo que la variablemedida adecuada es la tensión, o bien XL, suponiendo que la luz es excitada por los contactos eléctricos auxiliares delarrancador del motor, o bien simplemente L.

La actuación de la luz piloto puede ser acompañada por una señal audible.

(11) El empleo de la letra U como multifunción en lugar de una combinación de otras letras, es opcional.

(12) Se supone que las funciones asociadas con el uso de la letra sucesiva Y se definirán en el exterior del símbolo delinstrumento cuando sea conveniente hacerlo así.

(13) Los términos alto, bajo y medio o intermedio deben corresponder a valores de la variable medida, no a los de la señal a menosque se indique de otro modo. Por ejemplo, una alarma de nivel alto derivada de una señal de un transmisor de nivel de accióninversa debe designarse LAH , incluso aunque la alarma sea actuada cuando la señal cae a un valor bajo.

(14) Los términos alto y bajo, cuando se aplican a válvulas o a otros dispositivos de cierre-apertura, se definen como sigue:

Alto: indica que la válvula está o se aproxima a la posición de apertura completa.

Bajo: denota que se acerca o está en la posición completamente cerrada.

4.3 Sensores y transductores.

Los términos de sensor y transductor ya han quedado suficientemente definidos en los apartados 4.1 y 4.2.1.No obstante, conviene recalcar la principal diferencia entre estos dos términos: el transductor siempre llevaimplícita una transformación del tipo energía entre la entrada y la salida, mientras que el sensor no realiza,necesariamente, esta función. El concepto de sensor engloba al de transductor , ya que todos los transductoresse consideran sensores pero no todos los sensores son transductores.

Al sensor también se le denomina elemento primario o transductor de entrada. Es el primer elemento de lacadena de adquisición de datos (cadena de medida) y se halla en contacto directo con la variable de proceso amedir. Por otra parte, al transductor también se le denomina transmisor , por el hecho de que su principalfunción es la de traducir la magnitud medida en una señal eléctrica (o neumática) apta para ser utilizada por los siguientes elementos de la cadena de medida o proceso de control.

A pesar de estas diferencias entre sensor y transductor, muchas veces resulta difícil clasificar algunosinstrumentos en una de las dos categorías. Hay muchos elementos que toman contacto con la variable de




96

proceso a medir y producen, en consecuencia, una señal eléctrica o neumática a su salida, es decir, realizanlas funciones de sensor y transductor. Por esta razón, la mayoría de los ingenieros, técnicos y demás personalespecializado en el campo de los sistemas de medida y regulación denominan transductor tanto a los propiostransductores como a los sensores. Esta convención es la que se suele adoptar normalmente.

4.3.1 Clasificación de sensores y transductores.

La clasificación de los transductores se puede realizar según varios criterios, aunque el más usual esatendiendo al tipo de variable que miden.

Aunque existen muchos tipos de señales o variables que son susceptibles de ser medidas, todas ellas sepueden agrupar en categorías según la naturaleza de su energía: radiante, mecánica, térmica, eléctrica,magnética y química. Así pues, en función de la energía de la variable de proceso que se mide, se puedenclasificar los transductores como:

• Radiantes: las señales o variables de entrada de estos transductores cubren todo el espectro de laradiación electromagnética. Las principales variables de energía radiante son la frecuencia, fase,intensidad y polarización.

• Mecánicos: las variables mecánicas que miden estos transductores son la distancia, velocidad , fuerza,tamaño, caudal , nivel , presión y par .

• Térmicos: miden los efectos de la temperatura en los materiales, sus variables más representativasserían: conductividad térmica, calor latente, propiedades de cambio de fase, etc.

• Eléctricos: con variables de medida como la intensidad, tensión, resistencia y capacidad.

• Magnéticos: cubren parámetros tales como la intensidad de campo o la densidad de flujo.

• Químicos: miden la estructura interna de la materia e incluyen parámetros como la concentración dematerial , estructura cristalina o estado de agregación.

Ya se ha comentado que los transductores proporcionan una señal eléctrica a la salida. Aunque tambiénexisten transductores que proporcionan una señal neumática, la mayoría de los transductores usadosproporcionan señales eléctricas. La justificación del uso de transductores que proporcionen una señal eléctrica

a la salida se debe fundamentalmente a las siguientes razones:

• En general, y debido a la estructura electrónica de la materia, cualquier variación de un parámetro noeléctrico en un material implica una variación de un parámetro eléctrico. El típico ejemplo es el de laresistividad de un material, que varía con la temperatura (base del funcionamiento de un termistor).

• Conviene que la señal de salida sea pequeña, para así extraer la mínima cantidad posible de energía delsistema. Pero esto implica que la señal se deba amplificar posteriormente, utilizándose para elloamplificadores electrónicos de gran ganancia.

• Existen una gran cantidad de dispositivos eléctricos y electrónicos que permiten el tratamiento posterior de la señal de salida, incluido su posible almacenamiento (en un dispositivo de memoria).

• La transmisión de señales eléctricas es muy versátil, mucho más que otros tipos de señales, como por ejemplo las neumáticas o hidráulicas.

Hasta aquí, se han tratado los transductores atendiendo al tipo de energía a su entrada y a su salida. Existenmuchas formas de clasificar los transductores, cada una de ellas sigue un criterio distinto. Las más comunesson:

Clasificación por aporte de energía.

• Moduladores o pasivos: son aquellos cuya fuente de energía es externa, y la variación de la variable amedir realiza una modulación de algún parámetro eléctrico de esta energía. Un ejemplo sería untermistor.

• Generadores o activos: La fuente de energía para proporcionar la salida proviene de la propia entrada.Un ejemplo son los dispositivos fotoeléctricos, cuya fuente de energía es la luz que incide sobre ellos(entrada del transductor). Otro caso sería el de la medida de temperatura con un termopar, el cual generauna fuerza electromotriz a la salida. En estos casos no es necesario utilizar ninguna fuente de energía

exterior al transductor.




97

Clasificación según el tipo de señal de salida.

• Analógicos. Son transductores que proporcionan una señal de salida eléctrica analógica. Existen muchosejemplos conocidos, entre ellos el potenciómetro.

• Digitales. La señal de salida es una señal eléctrica digital. Por ejemplo, el encoder (codificador) deposición.

Clasificación según el modo de operación.

• De deflexión. Son transductores en los que la variable o magnitud a medir provoca algún efecto eléctricoen el transductor, cuantificable y directamente relacionado con la variable a medir en cuestión. Lamayoría de los transductores son de deflexión. Un ejemplo es un detector capacitivo, en el que unavariación de la distancia entre las placas se traduce en una variación de la capacidad del mismo.

• De comparación. Son transductores en los que se intenta mantener nula la deflexión mediante laaplicación de un efecto conocido, que se opone al generado por la magnitud a medir. El ejemplo mástípico es el del servoacelerómetro, en el que la señal de salida corresponde a una corriente que consigueque la masa que sufre la aceleración se mantenga fija. Es decir, no se mide el movimiento de la

deformación de la masa inercial, sino que se intenta que ésta se mantenga fija de alguna manera, y laseñal que consigue esto estará relacionada directamente con la aceleración que sufre la masa.

Clasificación según la variable de proceso medida.

La clasificación se realiza según la variable que se está midiendo en cada caso: posición, velocidad, presión,par, etc. Esta clasificación es la más utilizada - junto con la del tipo de energía de la variable medida, y es lapropia de los procesos de control, donde importa más la aplicación del transductor que su funcionamientointerno.

A continuación se exponen diversos tipos de transductores atendiendo a este último criterio. En estaexposición se han elegido los transductores más representativos para cada tipo de variable, los cuales sedescriben de una forma simple y atendiendo a los principios físicos de funcionamiento.

4.3.2 Transductores de presión.La presión es la fuerza que se ejerce por unidad de superficie y, en función de la unidad de medida tomada

para la fuerza y para la superficie, se puede expresar en unidades tales como el pascal , bar , atmósfera,kilogramos por centímetro cuadrado y psi (libras por pulgada cuadrada). En el Sistema Internacional (S.l.) estánormalizada como unidad de presión el pascal , que es 1 newton por metro cuadrado (1 N/m2 ). Como el pascales una unidad muy pequeña, se emplean también el kilopascal (1 kPa = 10 -2 bar ), el megapascal (1 MPa = 10 bar ) y el gigapascal (1 GPa = 10.000 bar ). En la industria se utiliza también el bar (1 bar = 10 5 Pa = 1,02 kg/cm2 ) y el kg/cm2 , si bien esta última unidad, a pesar de su uso todavía muy extendido, se emplea cada vezcon menos frecuencia.

En la tabla 4.3 figuran las equivalencias entre estas unidades.

PsiPulgadade c. de

agua

Pulgadade c. de

Hg.

Atmósfer a

kg/cm2 cm. de c.de agua

mm. de c.de Hg.

Bar Pa

Psi 1 27,68 2,036 0,0680 0,0703 70,31 51,72 0,0689 6894,76

Pulgada dec. de agua

0,0361 1 0,0735 0,0024 0,0025 2,540 1,868 0,0024 249

Pulgada dec. de Hg.

0,4912 13,6 1 0,0334 0,0345 34,53 25,4 0,0338 3386,39

Atmósfera 14,7 406,79 29,92 1 1,033 1033 760 1,0132 1,0133·105

kg/cm2 14,22 3933 28,96 0,9678 1 1000 735,6 0,98 98066

cm. de c.de agua

0,0142 0,3937 0,0289 0,00096 0,0010 1 0,7355 0,0009 98,06

mm. de c.de Hg.

0,0193 0,5353 0,0393 0,0013 0,0013 1359 1 0,00133 133,322

Bar 14,5 401 29,53 0,987 1,02 1020 750 1 105

Pa 0,00014 0,0040 0,00029 0,987·10-5 0,102·10-4 0,01 0,0075 10-5 1

Tabla 4.3: Equivalencias entre unidades de presión.




98

La presión puede medirse en valores absolutos, relativos o diferenciales. Estos conceptos de medida depresión, y algunos otros, se describen como:

• Presión absoluta: es la medida de presión con relación al cero absoluto de presión.

• Presión atmosférica: es la presión ejercida por la atmósfera terrestre medida mediante un barómetro. Anivel del mar, esta presión es próxima a 760 mm (29,9 pulgadas) de mercurio absolutos o 14,7 psia(libras por pulgada cuadrada absolutas) y estos valores definen la presión ejercida por la atmósferaestándar.

• Presión relativa: es la determinada por un elemento que mide la diferencia entre la presión absoluta y laatmosférica del lugar donde se efectúa la medición. Hay que señalar que al aumentar o disminuir la pre-sión atmosférica, disminuye o aumenta respectivamente la presión leída, si bien ello es despreciable almedir presiones elevadas.

• Presión diferencial : es la diferencia entre dos presiones relativas o absolutas.

• Vacío: es la presión medida por debajo de la atmosférica. Viene expresado en mm columna de mercurio,mm columna de agua o pulgadas de columna de agua. Las variaciones de la presión atmosférica influyenconsiderablemente en las lecturas del vacío.

El campo de aplicación de los medidores de presión es amplio y abarca desde valores muy bajos (vacío)hasta presiones de miles de bar . Esta amplitud en el campo de presiones impide que exista una únicatecnología de transductor capaz de abarcar todo el rango de presiones que se usa habitualmente en losprocesos de control y en la industria en general. Existen transductores, e instrumentos de medida de presiónen general, adecuados para cada campo de aplicación o rango de presiones.

Los instrumentos de presión que se presentan a continuación se clasifican en dos grupos: mecánicos yelectromecánicos.

Transductores mecánicos de presión.

La tecnología más utilizada en los transductores mecánicos de presión es la que se basa en la deformaciónde un elemento elástico como consecuencia de la presión ejercida por el fluido que contienen. Estostransductores se hallan en contacto físico con la variable a medir, es decir, se hallan en contacto directo con elfluido cuya presión se desea medir o regular, por lo que el papel que desempeñan es el de sensor o elemento primario de la cadena de medida.

Los elementos primarios elásticos más empleados son:

• Tubo Bourdon: es un tubo de sección elíptica que forma un anillo casi completo, cerrado por un extremo(figura 4.12a). Al aumentar la presión en el interior del tubo, éste tiende a enderezarse y el movimiento estransmitido a la aguja indicadora, por un sector dentado y un piñón. La ley de deformación del tuboBourdon es bastante compleja y ha sido determinada empíricamente a través de numerosasobservaciones y ensayos en varios tubos.

El material empleado normalmente en el tubo Bourdon es de acero inoxidable, aleación de cobre oaleaciones especiales como hastelloy y monel .

señal depresión

señal depresión

desplazamientodel tubo

desplazamientodel tubo

a) b)

Figura 4.12 : Tubos Bourdon.




99

• Elemento en espiral : se forma arrollando el tubo Bourdon en forma de espiral alrededor de un eje comúny el helicoidal arrollando más de una espira en forma de hélice ( figura 4.12b). Estos elementosproporcionan un desplazamiento grande del extremo libre y, por ello, son ideales para los registradores.

• Diafragma: es una lámina plana circular, sujeta por los extremos, sobre cuyo centro se ejerce la presión amedir. El desplazamiento del centro proporciona la medida de presión (figura 4.13a). Se consiguenmayores desplazamientos si la lámina presenta rugosidades (figura 4.13b). Aunque el sistema dediafragma más usado consiste en una o varias láminas rugosas circulares conectadas rígidamente entresí por soldadura, de forma que al aplicar presión, cada cápsula se deforma y la suma de los pequeñosdesplazamientos es amplificada por un juego de palancas ( figura 4.13c ). El sistema se proyecta de talmodo que, al aplicar presión, el movimiento se aproxima a una relación lineal en un intervalo de medidalo más amplio posible con un mínimo de histéresis y de desviación permanente en el cero delinstrumento.

El material del diafragma, es normalmente, aleación de níquel o inconel x . Se utiliza para pequeñaspresiones.

• Fuelle: es parecido al diafragma compuesto, pero de una sola pieza flexible axialmente, y puede dilatarseo contraerse con un desplazamiento considerable (figura 4.14).

Hay que señalar que los elementos de fuelle se caracterizan por su larga duración, demostrada en

ensayos en los que han soportado, sin deformación alguna, millones de ciclos de flexión. El materialempleado para el fuelle es, usualmente, bronce fosforoso y se emplea para pequeñas presiones.

La tabla 4.4 muestra una comparativa entre los distintos tipos de transductores mecánicos expuestos, dondese indican los rangos de presión a los que trabajan, su precisión y temperatura máxima de servicio.

Campo de medida Precisión en toda laescala

Temperatura máx. deservicio

Presión estáticamáxima

Tubo Bourdon 0,5 - 6000 bar 0,5 - 1 % 90 ºC 6000 bar

Espiral 0,5 - 2500 bar 0,5 - 1 % 90 ºC 2500 bar

Helicoidal 0,5 - 5000 bar 0,5 - 1 % 90 ºC 5000 bar

Diafragma 0,0045 - 2 bar 0,5 - 1 % 90 ºC 2 bar

Fuelle 0,009 - 2 bar 0,5 - 1 % 90 ºC 2 bar

Presión absoluta0,008 - 1,0133 bar abs 1 % Ambiente Atmosférica

Tabla 4.4: Comparativa de transductores mecánicos de presión.

Figura 4.13 : Transductores de diafragma.

señal depresión

desplazamientodel fuelle

representación esquemática

Figura 4.14 : Transductor de fuelle.




100

Transductores electromecánicos de presión.

Los transductores electromecánicos de presión utilizan un elemento mecánico elástico en combinación conun transductor eléctrico que genera la señal eléctrica correspondiente. El elemento mecánico elástico puede

ser cualquiera de los expuestos anteriormente (tabla 4.4).Los elementos electromecánicos de presión se clasifican según el principio de funcionamiento del

transductor eléctrico que incorporan:

• Transductores resistivos: constituyen, sin duda, uno de los transmisores eléctricos más sencillos.Constan de un elemento elástico (tubo Bourdon, fuelle...) que varía la resistencia óhmica de unpotenciómetro (o de un reostato) en función de la presión. Existen varios tipos de potenciómetros segúnsea el elemento de resistencia: potenciómetros de grafito, de resistencia bobinada, de película metálica yde plástico moldeado. En la figura 4.15 puede verse un transductor resistivo representativo que disponede un muelle de referencia, el elemento de presión y un potenciómetro de precisión. El muelle dereferencia es el corazón del transductor ya que su desviación, al comprimirse, debe ser únicamente unafunción de la presión y además debe ser independiente de la temperatura, de la aceleración y de otrosfactores ambientes externos.

El movimiento del elemento de presión se transmite a un brazo móvil aislado que se apoya sobre elpontenciómetro de precisión. Éste está conectado a un circuito de puente de Wheatstone.

Los transductores resistivos son simples y su señal de salida es bastante potente como paraproporcionar una corriente de salida suficiente para el funcionamiento de los instrumentos de indicaciónsin necesidad de amplificación. Sin embargo, son insensibles a pequeños movimientos del contacto delcursor, muy sensibles a vibraciones y presentan una estabilidad pobre en el tiempo.

El intervalo de medida de estos transmisores corresponde al elemento mecánico de presión que utilizan(tubo Bourdon, fuelle...), la cual se puede consultar en la tabla 4.4. La precisión es del orden de 1-2 %.

• Transductores magnéticos: los cuales pueden ser de inductancia variable (figura 4.16 ) en los que eldesplazamiento de un núcleo móvil dentro de una bobina aumenta la inductancia de ésta en forma casiproporcional a la porción metálica del núcleo contenida dentro de la bobina. El devanado de la bobina sealimenta con una corriente alterna y la f.e.m. de autoinducción generada se opone a la f.e.m. dealimentación, de tal modo que, al ir penetrando el núcleo móvil dentro de la bobina, la corriente presenteen el circuito se va reduciendo por aumentar la f.e.m. de autoinducción. Los transductores de inductancia

variable tienen las siguientes ventajas: no producen rozamiento en la medición, tienen una respuestalineal, son pequeños y de construcción robusta y no precisan ajustes críticos en el montaje. Su precisiónes del orden de ±1 %.

Otro tipo de transductor magnético es el de reluctancia variable (figura 4.17 ). Éste consiste en un imánpermanente, o un electroimán, que crea un campo magnético dentro del cual se mueve una armadura dematerial magnético. El electroimán se alimenta con una fuerza magnetomotriz constante, por lo que alcambiar la posición de la armadura varía la reluctancia y, por lo tanto, el flujo magnético. Esta variacióndel flujo da lugar a una f.e.m. inducida en la bobina que es, por ello, proporcional al grado dedesplazamiento de la armadura móvil. El movimiento de la armadura es pequeño (del orden de un gradocomo máximo en armaduras giratorias) sin contacto alguno con las partes fijas, por lo cual no existenrozamientos y se consigue eliminar la histéresis mecánica típica de otros instrumentos. Los transductoresde reluctancia variable presentan una alta sensibilidad a las vibraciones, una estabilidad media en eltiempo y son sensibles a la temperatura. Su precisión es del orden de ±0,5 %.

al circuito depuente deWheatstone

R

Figura 4.15 : Transductor resistivo.




101

Ambos tipos de transductores posicionan el núcleo o la armadura móviles con un elemento de presión(tubo Bourdon, espiral...) y utilizan circuitos eléctricos bobinados de puente de inductancias de corrientealterna.

• Transductores capacitivos: se basan en la variación de capacidad que se produce en un condensador aldesplazarse una de sus placas por la aplicación de presión ( figura 4.18 ). La placa móvil tiene forma dediafragma y se encuentra situada entre dos placas fijas. De este modo se tienen dos condensadores: unode capacidad fija o de referencia y el otro de capacidad variable, que pueden compararse en circuitososcilantes o bien en circuitos de puente de Wheatstone alimentados con corriente alterna.

Los transductores capacitivos se caracterizan por su pequeño tamaño y su construcción robusta, tienenun pequeño desplazamiento volumétrico y son adecuados para medidas estáticas y dinámicas. Su señalde salida es débil por lo que precisan de amplificadores con el riesgo de introducir errores en la medición.Son sensibles a las variaciones de temperatura y a las aceleraciones transversales y precisan de unajuste de los circuitos oscilantes y de los puentes de c.a. a los que están acoplados.

Su intervalo de medida es relativamente amplio (0,05 - 600 bar) y su precisión es del orden de ±0,2 a±0,5 %.

~

~

presión

núcleo magnético móvil

bobina fija

Figura 4.16 : Transductor de inductancia variable.

desplazamientodel fuelle

presión

núcleo magnético móvil

imán permanente fijo

f.e.m.inducidapor lavariación dela reluctancia

Figura 4.17 : Transductor de reluctancia variable.

~

~

diafragma

entrada depresión

placa fija

placa fija

señal desalida

Figura 4.18 : Transductor capacitivo instalado en un puente deWheatstone.




102

• Galgas extensiométricas: se basan en la variación de longitud y de diámetro, y por lo tanto de resistencia,que tiene lugar cuando un hilo de resistencia (o semiconductor) se encuentra sometido a una tensiónmecánica por la acción de una presión.

Si la galga es de tipo laminar, del espesor de un sello de correos, se puede pegar a la superficie cuyapresión se desea medir. Estas galgas laminares también se comercializan montadas sobre superficiescerámicas o de plástico (figura 4.19).

La galga forma parte de un puente de Wheatstone (figura 4.20 ) y cuando está sin tensión mecánicatiene una resistencia eléctrica determinada. En esta situación, se aplica al circuito una tensión eléctricanominal y se ajusta el puente para estas condiciones.

Posteriormente, cualquier variación de presión que deforme la galga (o su soporte), cambia suresistencia. De esta forma se desequilibra el puente, dando así lugar a la medida eléctrica relacionadacon la presión causante del desequilibrio. El intervalo de medida de estos transductores varía de 0 -3.000bar y su precisión es del orden del ±0,5 %.

• Transductores piezoeléctricos: los elementos piezoeléctricos son materiales cristalinos que, al deformarsefísicamente por la acción de una presión, generan una señal eléctrica. Dentro de los transductoreselectromecánicos expuestos hasta ahora, éste es el único que se puede clasificar como transductor generador o activo. Dos materiales típicos en los transductores piezoeléctricos son el cuarzo y el titanatode bario, capaces de soportar temperaturas del orden de 150 ºC en servicio continuo y de 230 ºC enservicio intermitente.

Son elementos ligeros, de pequeño tamaño y de construcción robusta. Su señal de respuesta a unavariación de presión es lineal y son adecuados para medidas dinámicas, al ser capaces de respuestasfrecuenciales de hasta un millón de ciclos por segundo. Tienen la desventaja de ser sensibles a loscambios en la temperatura y de experimentar deriva en el cero y precisar ajuste de impedancias en casode fuerte choque. Asimismo, su señal de salida es relativamente débil, por lo que precisan amplificadoresy acondicionadores de señal que pueden introducir errores en la medición.

En la tabla 4.5 se exponen las características de los elementos electromecánicos descritos anteriormente.

presiónejercida

presiónejercida

deformación dela galga

Figura 4.19 : Galgas extensiométricas montadas sobre distintassuperficies. Se representan el sentido de la presión ejerciday la deformación sufrida por la galga.

galgaextensiométrica señal de

salida

Figura 4.20 : Galga extensiométrica instalada en un puente deWheatstone.




103

Margen

(bar)Precisión

Estabilidad

en el tiempoSobrecarga

Temperatura

máxima de

servicio

Nivel de

señal de

salida

Impedancia

de salida

Sensibilidad

a

vibraciones

Resistivos 0 - 300 1 - 2 % Mala 150 % 80 ºC Variaciónresistiva

de 0 a valor total

Alta

De inductanciavariable

0 - 300 0,5 % Media 150 % 80 ºC 0 - 5 V 2 kΩ Alta

De reluctanciavariable

0 - 300 1 % Media 150 % 80 ºC 0 - 5 V 2 kΩ Alta

Capacitivos 0,05 - 600 0,2 - 0,5 %Media abuena

150 % 150 ºC 0 - 5 V 5 kΩ Media

Galgasextensiométricas

0 - 3000 0,5 % Mala 150 % 120 ºC 0 - 35 mV 350 Ω Alta

Piezoeléctricos 0,1 - 600 1 % Mala 200 % 150 ºC 0,6 V/bar 1000 MΩ Baja

Tabla 4.5: Comparativa de transductores electromecánicos de presión.

4.3.3 Transductores de caudal.La variable caudal es una medida aplicada a fluidos, bien sean líquidos o gases. Por definición, cuando se

mide caudal se está obteniendo una medida de un volumen que fluye por unidad de tiempo. La unidad demedida en el S.I. es el metro cúbico por segundo (m3 /s). El obtener una información fiable sobre el caudal defluidos, así como el control de esta magnitud, es de gran importancia en procesos industriales, en laboratoriosy en plantas piloto.

Existen varios métodos para efectuar la medida de caudal según si éste es de tipo volumétrico o másico.Entre los transductores para medida de caudal más importantes figuran los que se indican en la siguiente tabla

Medida Sistema o principio físico Elemento o transductor

Presión diferencial

• Tubo Venturi• Tobera

•Placa - orificio (diafragma)

• Tubo Pilot• Tubo Annubar

Area variable • Rotámetro

Velocidad

• Turbina• Sondas ultrasónicas• Vertedero con flotador en canales

abiertos

Caudal volumétrico Tensión inducida • Medidor magnético

Fuerza • Placa de impacto

Desplazamiento positivo

• Disco giratorio• Pistón oscilante• Pistón alternativo• Medidor rotativo• Medidor de paredes deformables

Torbellino• Medidor de frecuencia, de termistancia,

o de ultrasonidos.

Oscilante • Válvula oscilante

Compensación de presión ytemperatura en medidoresvolumétricos

Caudal másicoTérmico

• Diferencia de temperatura en dossondas de resistencia

Momento• Medidor axial• Medidor axial de doble turbina

Fuerza de Coriolis • Tubo en vibración

Tabla 4.6: Tecnologías de transductores para medida de caudal.




104

Dada la cantidad de técnicas distintas para medir caudales, en este apartado sólo se tratarán aquellostransductores más representativos en los procesos de control, o bien, aquéllos cuyo principio físico defuncionamiento permiten el conocimiento posterior de otros transductores e instrumentos más complejos. Asípues, los elementos a tratar serán:

• Transductores de presión diferencial.

• Transductores de área variable.

Transductores de presión diferencial.

Todos los instrumentos de esta clase constan esencialmente de dos elementos: elemento deprimógeno, esdecir, un elemento que provoca una caída de presión, y un manómetro diferencial, que mide ésta última. Escaracterístico en estos instrumentos que el caudal circulante es proporcional a la raíz cuadrada de la caída de presión provocada por el elemento deprimógeno y es preciso extraer esta raíz cuadrada para medir el caudal.Por eso, los instrumentos estándar para medir el caudal a partir de la depresión son los manómetrosdiferenciales de raíz cuadrada, que son aquellos manómetros que incorporan un elemento que extrae la raízcuadrada y da la lectura directamente en unidades de caudal.

Cualquier estrechamiento de flujo, provocado por una restricción o estrechamiento del área de paso, puedeservir de elemento deprimógeno. Los transductores basados en este principio se denominan transductores deconstricción. Lo característico de una constricción o estrechamiento es que la caída de presión en la misma esmayor (lo que contribuye a la sensibilidad del transductor) que la pérdida de carga remanente. En lostransductores permanentemente instalados la pérdida de carga remanente es un factor económico adversomuy importante y, en consecuencia, se debe escoger aquél que reduzca dicha pérdida al mínimo.

Los transductores de constricción más importantes y ya clásicos en la medida de caudales con líquidos ygases son tres: el tubo Venturi , la tobera y la placa-orifico o diafragma. A continuación, se tratan cada uno deellos:

• Tubo Venturi : este instrumento, representado en la figura 4.21, es un elemento deprimógeno cuya funciónes provocar una diferencia de presiones. Siendo el caudal Q una función de dicha diferencia, si se mideésta se puede calcular el valor de Q.

El tubo Venturi consta de tres partes: una convergente, otra de sección mínima o garganta y,finalmente, una tercera parte divergente. La sección transversal del Venturi suele ser circular, pero puedetener cualquier otra forma. Se mide la diferencia de presiones entre el punto 1 ( figura 4.21) aguas arriba

de la parte convergente y el punto 2, garganta del Venturi, utilizando un solo manómetro diferencial,como en la se muestra en la figura 4.21, o dos manómetros simples.

Tubo Venturi

tubería tubería

tubo dealta presión

fluidofluido 1 2

Manómetro diferencial

tubo debaja presión

diferencia depresiones

x

Figura 4.21 : Tubo Venturi con manómetro diferencial.




105

Despreciando, en una primera aproximación, las pérdidas de la instalación, la ecuación de Bernoulli para un tubo de corriente de fluido escrita entre las secciones 1 y 2 resultará:

p

g

v

g z

p

g

v

g z 1 1

2

12 2

2

2 2 2 ρ ρ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + (4.3.3.1)

donde ρ es la densidad del fluido en kg/m3, g es la aceleración de la gravedad (9,81 m/s2 ), p1 y p2 sonlas presiones en los puntos 1 y 2 expresadas en Pa (N/m2 ), v 1 y v 2 es la velocidad del fluido en los puntos1 y 2 expresadas en m/s y z 1 y z 2 es la altura de fluido (con respecto al nivel de referencia) en los puntos1 y 2 expresadas en metros (m).

Dado que el caudal debe ser el mismo en todo el tramo de tubería (no se produce ni creación nidestrucción de materia), de la ecuación de continuidad entre los mismos puntos 1 y 2 se obtendrá:

v A v A1 1 2 2 ⋅ = ⋅ (4.3.3.2)

donde A1 y A2 son las secciones o áreas efectivas del fluido en los puntos 1 y 2 expresadas en m2 .Estas secciones se pueden tomar como las propias secciones del tubo Venturi, sin considerar lascámaras anulares (figura 4.21), en los puntos mencionados.

A partir de la expresión de la ecuación (4.3.3.2), se puede determinar el valor de v 1 en función de v 2 :

v v A

A1 2

2

1

= ⋅ (4.3.3.3)

Sustituyendo este valor en la ecuación (4.3.3.1), se tiene:

p

g

v

g

A

Az

p

g

v

g z 1 2

2 2

1

2

12 2

2

2 2 2 ρ ρ⋅

+⋅

⋅

+ =

⋅+

⋅+ (4.3.3.4)

Y despejando v 2 se tiene:

v

A

A

g pg

z pg

z 2

2

1

2

11

2 2

1

1

2 =

−

⋅ ⋅ ⋅⋅

+

−

⋅+

ρ ρ(4.3.3.5)

Ahora bien, el caudal Q que pasa por el Venturi será:

Q v A A

A

A

g p

g z

p

g z = ⋅ =

−

⋅ ⋅ ⋅⋅

+

−

⋅+

2 2

2

2

1

2

11

2 2

1

2 ρ ρ

(4.3.3.6)

Si la disposición del tubo Venturi es totalmente horizontal, se tiene que z 1 = z 2 , resultando así que elcaudal es proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de presiones, tal y como ya se habíacomentado anteriormente:

( )Q A

A

A

p p=

−

⋅ ⋅ −2

2

1

2 1 2

1

2

ρ(4.3.3.7)

De todas formas, en esta expresión no se han considerado las pérdidas. En la realidad, la ecuación decaudal (4.3.3.7) se ve afectada por un coeficiente reductor C v , que depende de la velocidad del fluido.Queda la expresión de la forma:

( )QC A

A

A

p pv =⋅

−

⋅ ⋅ −2

2

1

2 1 2

1

2

ρ(4.3.3.8)




106

Este coeficiente se puede tomar, como valor indicativo, 0,985 si el Venturi es nuevo y 0,98 si el Venturiya ha estado en servicio.

Por otra parte, se define como coeficiente de caudal C q, a la expresión:

C C

A

A

qv =

−

1 2

1

2 (4.3.3.9)

resultando la expresión de la ecuación (4.3.3.8) de la forma:

( )Q C A p pq= ⋅ ⋅ ⋅ −2 1 2

2

ρ(4.3.3.10)

El ajuste del tubo Venturi, una vez instalado, se realiza determinando el valor de C q. Este coeficiente secalcula de forma experimental. A esta operación se le denomina tarado del tubo Venturi .

Cuando la diferencia de cotas de altura, z 1 y z 2 , ya no sea nula, es decir, que el tubo no se halle enposición horizontal, se puede buscar una expresión que relacione el caudal con la altura x marcada por elmanómetro diferencial (figura 4.21).

Partiendo de la ecuación (4.3.3.6), y considerando el coeficiente de caudal C q, se tiene que:

Q C A g p

g z

p

g z q= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅+

−

⋅+

2

11

2 2 2

ρ ρ(4.3.3.11)

A los términos p

g z

ρ ⋅+ se les denomina altura piezométrica (h), por lo que la ecuación anterior queda:

( )Q C A g h hq= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −2 1 2 2 (4.3.3.12)

En el interior del manómetro, tanto el fluido como el líquido manométrico se hallan en reposo y, por tanto, sus velocidades son nulas. Cuando circula el fluido por la tubería, el líquido manométrico y el fluidoque queda alojado en el interior del manómetro alcanzan un equilibrio. Para cada caudal de fluido, ellíquido manométrico marcará su equilibrio con una diferencia de alturas ( x ) entre el lado de alta y el ladode baja presión. La ecuación de presiones entre los puntos 1 y 2 desde el punto de vista del manómetrodiferencial, se puede expresar como:

p g z p g z g x g x m1 1 2 2 + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ρ ρ ρ ρ ;

( ) ( ) ( ) p g z p g z g x m1 1 2 2 + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −ρ ρ ρ ρ ;

( ) ( ) p g z p g z g x m1 1 2 2 1+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ −

ρ ρ ρ

ρ

ρ;

p

g z

p

g z x m1

12

2 1ρ ρ

ρ

ρ⋅+

−

⋅+

= ⋅ −

;

h h x m1 2 1− = ⋅ −

ρ

ρ; (4.3.3.13)

donde ρm es la densidad del líquido manométrico y x es la diferencia de alturas que marca elmanómetro diferencial. Ahora, sustituyendo la ecuación (4.3.3.13) en la ecuación (4.3.3.12), se obtieneuna expresión del caudal, en función de la lectura del manómetro (diferencia de alturas x ).

Q C A g x qm= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

2 2 1ρ

ρ

(4.3.3.14)




107

Las ecuaciones (4.3.3.10) y (4.3.3.14) son las dos relaciones fundamentales entre la variable deproceso a medir (caudal) y las señales de salida obtenidas por el transductor (diferencia de presiones ylectura del manómetro respectivamente).

• Tobera: las toberas, en general, son conductos convergentes en la dirección del flujo que producen unaumento de velocidad y una disminución de la presión.

Las toberas se utilizan en la técnica para múltiples fines. Un ejemplo es su utilización como eyectores einyectores de una turbina tipo Pelton (turbina para centrales eléctricas con salto de agua de gran altura).Se utilizan también para medir caudales.

La figura 4.22 es un esquema de una tobera de medida. Como se ve, una tobera de medida no es másque un Venturi al que le falta la parte divergente. Es, por tanto, más económica que un Venturi, pero tienemás pérdidas y es más cara en su funcionamiento (las pérdidas se traducen en más kWh en el contador y más dinero). Experimentalmente se ha comprobado que la presión en el punto 2 es muy próxima a laque reina donde se ha hecho la toma de baja presión (ver figura 4.22 ), es decir, en la pared de la tubería,no en la tobera misma donde sería más difícil de construir. El error que pudiera surgir por este motivoqueda absorbido por el coeficiente de caudal C q. Las ecuaciones (4.3.3.10) y (4.3.3.14) son, obviamente,aplicables en este caso.

Un tarado de la tobera será también aquí necesario para determinar C q si la tobera no está construidasegún normas.

• Placa-orificio o diafragma: un diafragma (figura 4.23) es una placa de metal, bronce, acero inoxidable,etc., que lleva un orificio circular de diámetro d concéntrico con el eje de la tubería de diámetro D, dondese instala entre dos bridas provistas de las juntas de estanqueidad convenientes. Por su sencillez deconstrucción son muy usados para medir caudales tanto en líquidos como gases. Resultan aún máseconómicos de instalación que las toberas, pero tienen aún más pérdidas. En los puntos 1 y 2 se hacenlas tomas piezométricas que se conectan a un manómetro diferencial, como en la figura 4.21.

La fórmula para calcular el caudal es la misma que para el Venturi, donde C q se ha de obtener tambiénexperimentalmente (tarado del diafragma).

Los Venturis, las toberas y los diafragmas normalizados son muy utilizados en la práctica para medir caudales. De los tres instrumentos descritos en las tres últimas secciones, el diafragma es el más barato y el

Tobera


fluidofluido1 2


Figura 4.22 : Tobera.

Diafragma


fluidofluido1 2


d D

Figura 4.23 : Diafragma o placa-orificio.




108

Venturi el más caro, ocupando la tobera una posición intermedia. En contraposición, el diafragma produce unapérdida de carga que es el 50% de la presión diferencial, mientras que esta pérdida queda reducida a un 10 o20% en el Venturi, ocupando en la tobera una posición intermedia.

Transductores de área variable.

Los más importantes de este tipo son los rotámetros. La figura 4.24a representa un rotámetro simple, el cualconsta, esencialmente, de un tubo cónico vertical de vidrio (también puede ser de metal o de plástico), en cuyointerior puede moverse libremente, arriba y abajo, un flotador. Al circular el líquido de abajo arriba, el flotador ocupa una posición tal que las tres fuerzas verticales que actúan sobre el mismo, a saber, el peso (haciaabajo), el empuje hidrodinámico y la resistencia (ambas hacia arriba), están en equilibrio. Al aumentar elcaudal, la presión dinámica sobre el flotador aumenta y éste sube; pero, al mismo tiempo, el área de pasoaumenta, con lo que la presión dinámica disminuye, estableciéndose de nuevo el equilibrio, pero a una alturamayor. El flotador tiene ranuras inclinadas en su periferia, gracias a las cuales el líquido al pasar lo hace girar,con lo que disminuye el rozamiento. La resistencia aumenta con la viscosidad, razón por la cual el instrumentoha de ser tarado para cada líquido determinado. Con instrumentos de este tipo pueden medirse caudalesdesde 0,1 dm3 /h hasta 100 m3 /h. El instrumento se adapta a la medición de caudales con líquidos y con gases.

Cuando el flotador alcanza el equilibrio para un caudal Q determinado, las fuerzas que actúan (figura 4.24b)se expresan con la relación:

F + E = P (4.3.3.15)

donde F es la fuerza de empuje hidrodinámico del fluido sobre el flotador, E es la resistencia o fuerza dearrastre sobre el flotador y P es el peso del flotador. Por otra parte, cada una de estas fuerzas se describencomo:

F V g f l = ⋅ ⋅ρ ; E C Av

g d l f = ⋅ ⋅ ⋅ρ

2

; P V g f f = ⋅ ⋅ρ (4.3.3.16)

donde:• V f : es el volumen del flotador.

• ρρ f : es la densidad del flotador.

• ρρ l : es la densidad del fluido.

• C d : es el coeficiente de arrastre del fluido sobre el flotador y que depende de la viscosidad del fluido.

• A f : es el área de sección del flotador.

• v : es la velocidad del fluido.

Sustituyendo las expresiones de las fuerzas en la ecuación (4.3.3.15), se obtiene:

( )v g V

C Af f l

d l f =

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅

2 ρ ρ

ρ(4.3.3.17)

f l u i d o

tubo cónico

flotador

b)a)

nivel de referencia

nivel de equilibrior

P

F

E

x

Figura 4.24 : Rotámetro simple y principio de funcionamiento.




109

Si se denomina a 1 / C d coeficiente de descarga (C ), resulta:

( )v C

g V

A

f f l

l f = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅

2 ρ ρ

ρ (4.3.3.18)

El caudal Q es igual a:

Q = v·At (4.3.3.19)

donde At es el área variable (depende de la posición de equilibrio del flotador) del interior del tubo. El caudal,por tanto, se puede describir de la siguiente manera:

( )Q A C

g V

At

f f l

l f

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ −

⋅

2 ρ ρ

ρ(4.3.3.20)

Como la señal de salida que se obtiene del rotámetro es una posición vertical ( x ), se puede representar lasección del interior del tubo en función de dicha cota vertical (figura 4.24b):

A r x

br t = ⋅ = ⋅ −

π π

2 0

2

(4.3.3.21)

En esta expresión, r representa el radio interior del tubo correspondiente a la cota vertical que ocupa elflotador cuando se produce el equilibrio de fuerzas, r 0 es el radio mínimo del extremo inferior del tubo y b es lapendiente de inclinación de la pared del tubo. Sustituyendo (4.3.3.21) en la ecuación (4.3.3.20) se obtiene unaexpresión del caudal en función de la lectura de posición ( x ) que marque el flotador:

( )Q

x

br C

g V

A

f f l

l f

= ⋅ +

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅π

ρ ρ

ρ0

2 2 (4.3.3.22)

Si se dota al flotador de un imán, su movimiento lineal puede aplicarse al exterior del tubo para múltiples

fines (accionamiento de un contacto eléctrico, desplazamiento de una aguja indicadora, variación de lareluctancia de un circuito magnético,…).

4.3.4 Transductores de nivel.

La medida de nivel es, junto con la presión, volumen, velocidad y caudal, de gran importancia en hidrografía,hidráulica y en los procesos industriales. Aplicaciones frecuentes son las medidas de los niveles en tanques yrecipientes de todos tipos, en canales, pozos, exclusas, vertederos, etc. Esta medida sirve para determinar elcontenido de los tanques, para accionar dispositivos de alarma y seguridad en los recipientes a presión, parael accionamiento de válvulas y vertederos en la regulación de las centrales hidroeléctricas, para ladeterminación de la altura de la lámina en los vertederos de medidas, etc. En la industria química, la medidade nivel se requiere para determinar la cantidad exacta de líquido que hay que administrar en un proceso demezcla, etc. Finalmente, en la destilación del petróleo, en las centrales termoeléctricas..., se requiere confrecuencia la medición del nivel de fluido en los procesos de destilación, calderas, etc.

La medida del nivel puede ser necesaria con mucha o poca precisión, con mera indicación del nivelinstantáneo o con registro continuo de la medida, con medición local o con transmisión a distancia de unoscentenares o miles de metros.

Los instrumentos de nivel pueden dividirse en medidores de nivel de líquidos y de sólidos, que son dosmediciones claramente diferenciadas y que se deben tratar separadamente por sus distintas peculiaridades ylas aplicaciones particulares de las que son objeto.

Por cuestiones de espacio, aquí se va a dar una breve idea de los instrumentos o medidores de nivel delíquidos más importantes, relegando su estudio más detallado a los manuales de instrumentación.

Los medidores de nivel de líquidos se pueden clasificar según su principio físico de medida de nivel:

• Instrumentos de medida directa: trabajan midiendo la altura de líquido sobre una línea de referencia.

• Instrumentos de medida de presión hidrostática: miden la presión ejercida sobre un manómetro alaumentar o disminuir el nivel de líquido.




110

• Instrumentos de medida de desplazamiento: son aquéllos que miden el desplazamiento de un flotador producido por el empuje del propio líquido contenido en el tanque del proceso.

• Instrumentos de medida eléctrica: miden aprovechando las características eléctricas del líquido.

Instrumentos de medida directa.

Los instrumentos o transductores de nivel que efectúan una medida directa más representativos son:

• Medidor de sonda: consiste en una varilla o regla graduada, de la longitud conveniente para introducirladentro del depósito. La determinación del nivel se efectúa por lectura directa de la longitud mojada por ellíquido (figura 4.25a). En el momento de la lectura, el tanque debe estar abierto a presión atmosférica. Seutiliza generalmente en tanques de fuel-oil o gasolina.

• Nivel de cristal : consiste en un tubo de vidrio con sus extremos conectados a bloques metálicos ycerrados por prensaestopas que están unidos al tanque generalmente mediante tres válvulas, dos decierre de seguridad en los extremos del tubo para impedir el escape del líquido en caso de rotura del

cristal y una de purga (figura 4.25b). En un recipiente a presión (por encima de 7 bar) este método nosería aplicable, siendo necesario recurrir a tubos de vidrio grueso de sección rectangular y protegidos por una armadura metálica. Para mayor seguridad, las válvulas de cierre incorporan una pequeña bola queactúa como válvula de retención en caso de rotura del vidrio.

Los niveles de vidrio son susceptibles de ensuciarse por las características del líquido que miden,impidiendo que el nivel pueda apreciarse claramente. Entre los líquidos que presentan este inconvenientefiguran el caramelo y los líquidos pegajosos. El nivel de vidrio permite sólo una indicación local, si bienpueden emplearse espejos para lectura a distancias limitadas o bien utilizar cámaras de televisión paramayores distancias de transmisión.

Su ventaja principal es la gran seguridad que ofrece en la lectura del nivel del líquido, pudiendocontrastar y controlar con ellos la lectura de los otros tipos de aparatos de nivel.

• Instrumentos de flotador : consisten en un flotador situado en el seno del líquido y conectado al exterior

del tanque indicando directamente el nivel. La conexión puede ser directa, magnética o hidráulica.

varilla o regla graduadaválvula de seguridad

polea

flotador

peso oindicador

depósito

válvula de seguridad

válvula de purga

nivel del líquido

a) b)

c)

Figura 4.25 : Transductores de nivel para medida directa.




111

El flotador conectado directamente (figura 4.25c ) está unido por un cable que desliza en un juego depoleas a un índice exterior que señala sobre una escala graduada. Es el modelo más antiguo y el másutilizado en tanques de gran capacidad tales como los de fuel-oil y gas-oil. Tiene el inconveniente de quelas partes móviles están expuestas al fluido y pueden romperse y de que el tanque no puede estar

sometido a presión. Además, el flotador debe mantenerse limpio. Los instrumentos de flotador tienen unaprecisión de ±0,5 %.

Instrumentos de medida de presión hidrostática.

El medidor manométrico es uno de los instrumentos de medida de presión hidrostática más representativos.Consiste en un manómetro conectado directamente a la parte inferior del tanque. En la figura 4.26 puede verseun instrumento de este tipo en el que se pueden observar una válvula de cierre para mantenimiento, y un potede decantación con una válvula de purga. El manómetro mide la presión debida a la altura de líquido h queexiste entre el nivel del tanque y el eje del instrumento. Así pues, el campo de medida del instrumento será de0 a h·γ·g (pascales), donde h es la altura de líquido en metros, γ es la densidad del líquido en kg/m3 y g es9,8 m/s2

Como las alturas son limitadas, el campo de medida resulta bastante pequeño, de modo que el manómetroutilizado tiene un elemento de medida del tipo fuelle.

El instrumento sólo sirve para fluidos limpios ya que si el líquido es corrosivo, coagula o bien tiene sólidos ensuspensión, el fuelle puede destruirse o bien bloquearse perdiendo su elasticidad. La medida está limitada atanques abiertos y el nivel viene influido por las variaciones de densidad del líquido.

Instrumentos de medida de desplazamiento.

El medidor de nivel de tipo desplazamiento (figura 4.27 ) consiste en un flotador parcialmente sumergido en ellíquido y conectado mediante un brazo a un tubo de torsión unido rígidamente al tanque. Dentro del tubo yunido a su extremo libre se encuentra una varilla que transmite el movimiento de giro a un transmisor exterior

al tanque.El tubo de torsión se caracteriza, fundamentalmente, porque el ángulo de rotación de su extremo libre es

directamente proporcional a la fuerza aplicada, es decir, al momento ejercido por el flotador. El movimientoangular del extremo libre del tubo de torsión es muy pequeño, del orden de los 9º. El tubo proporciona ademásun cierre estanco entre el flotador y el exterior del tanque (donde se dispone el instrumento receptor del par transmitido).

La precisión de este tipo de instrumentos es del orden de ± 0,5 % a ± 1 % y el intervalo de medida puedevariar de 0 - 300 a 0 - 2.000 mm c. de a.

El instrumento puede utilizarse tanto en tanques abiertos como cerrados a presión o al vacío. Además tieneuna buena sensibilidad pero presenta el inconveniente del riesgo de adherencia de sólidos o de crecimiento decristales en el flotador, lo cual afecta a la precisión de la medida. Los instrumentos de medida dedesplazamiento son aptos sólo para la medida de pequeñas diferencias de nivel (2.000 mm máximo estándar).

pote de decantación

manómetro

nivel máximo

nivel mínimo

válvula de purga

h

Figura 4.26 : Medidor de nivel manométrico.




112

Instrumentos de medida eléctrica.

Son varias las características eléctricas de los líquidos que se pueden utilizar para medir el nivel de losmismos, como son la conductividad , la capacidad , la propagación de ondas ultrasónicas, radiación gamma…

El sistema más frecuente es el medidor de nivel conductivo o resistivo (figura 4.28 ) consiste en uno o varios

electrodos y un relé eléctrico o electrónico que es excitado cuando el líquido moja a dichos electrodos. Ellíquido debe ser lo suficientemente conductor como para excitar el circuito eléctrico, de este modo, el aparatopuede discriminar la separación entre el líquido y su vapor, tal como ocurre, por ejemplo, en el nivel de aguade una caldera de vapor. La impedancia máxima (o conductividad mínima) es del orden de los 20 MΩ/cm, y latensión de alimentación es alterna, para evitar fenómenos de oxidación en las sondas por causa del fenómenode la electrólisis. Cuando el líquido moja los electrodos se cierra el circuito eléctrico y circula una corriente delorden de los 2 mA. El relé electrónico dispone de un temporizador de retardo que impide su enclavamientoante una ola del nivel del líquido o ante cualquier perturbación momentánea.

El instrumento se emplea como alarma o control de nivel alto y bajo (figura 4.28 ), utiliza relés eléctricos paralíquidos con buena conductividad y relés electrónicos para líquidos con baja conductividad. Montado en grupos

verticales de 24 o más electrodos, puede complementar los típicos niveles de vidrio de las calderas y se prestaa la transmisión del nivel a la sala de control y a la adición de las alarmas correspondientes.

movimientolineal del

flotador

movimientorotacional del tubo

de torsión

nivel dellíquido

panelindicador

tubo de torsiónvarillay agujaindicadora

flotador

palanca

Figura 4.27 : Medidor de nivel de desplazamiento.

A1

12 14

11 A2

+

-

sondas

depósito de líquidodetector de nivel

nivel máximo

nivel mínimosonda común

esquema eléctrico del detector de nivel

relé de salida

detecciónde nivel

Figura 4.28 : Transductor o medidor de nivel conductivo.




113

El instrumento es versátil, sin partes móviles, su campo de medida es grande con la limitación física de lalongitud de los electrodos. El líquido contenido en el tanque debe tener un mínimo de conductividad y si sunaturaleza lo exige, la corriente debe ser baja para evitar la deterioración del producto. Por otro lado, convieneque la sensibilidad del aparato sea ajustable para detectar la presencia de espuma en caso necesario.

4.3.5 Transductores de temperatura.

La temperatura es una de las variables de proceso más utilizadas. Es un dato muy significativo en todaclase de procesos termodinámicos (climatización, producción de vapor, máquinas de combustión,calentamiento de cuerpos…) y en cualquier otro tipo de proceso donde el control de la temperatura representauna medida de seguridad (protección de motores eléctricos, transformadores refrigerados por aceite,protección de rodamientos…).

Las limitaciones del sistema de medida a utilizar quedan definidas en cada tipo de aplicación por laprecisión, por la velocidad de captación de la temperatura, por la distancia entre el elemento de medida y elaparato receptor y por el tipo de instrumento indicador, registrador o controlador necesarios. Es importanteseñalar que es esencial una comprensión clara de los distintos métodos de medida con sus ventajas ydesventajas propias para lograr una selección óptima del sistema más adecuado.

Los transductores de temperatura se basan en diversos principios físicos relacionados con la temperatura,entre los cuales figuran:

• Variaciones en volumen o en estado de los cuerpos (sólidos, líquidos o gases).

• Variación de resistencia de un conductor (sondas de resistencia).

• Variación de resistencia de un semiconductor (termistores).

• Fuerza electromotriz creada en la unión de dos metales distintos (termopares).

• Intensidad de la radiación total emitida por el cuerpo (pirómetros de radiación).

• Otros fenómenos utilizados en laboratorio (velocidad del sonido en un gas, frecuencia de resonancia de uncristal...).

En base a estos fenómenos físicos, se emplean los instrumentos siguientes: termómetros de vidrio,termómetros bimetálicos, elementos primarios de bulbo y capilar rellenos de líquido, gas o vapor, termopares,pirómetros de radiación, termómetros de resistencia, termómetros ultrasónicos y termómetros de cristal decuarzo. En la tabla 4.7 se muestran los diversos instrumentos de medida y su campo de aplicación.

Campo de aplicación

Tipo de instrumento o transductor Congelación del agua Ebullición del agua

Bulbo de mercurio de 0 a -50 ºC de 0 a 700 ºC

Bulbo de gas de 0 a -100 ºC de 0 a 600 ºC

Bulbo de vapor de 0 a -50 ºC de 0 a 300 ºC

Vidrio y bimetálico de 0 a -200 ºC de 0 a 500 ºC

Sonda de resistencia de níquel de 0 a -80 ºC de 0 a 300 ºC

Sonda de resistencia de platino de 0 a -200 ºC de 0 a 850 ºCSensor de germanio de -150 a -272 ºC

Termistor de 0 a -75 ºC de 0 a 200 ºC

Cromo-constantán 0 ºC de 0 a 980 ºC

Cobre-constantán de 0 a -180 ºC de 0 a 370 ºC

Hierro-constantán de 0 a -180 ºC de 0 a 760 ºC

Cromo-aluminio de 0 a -180 ºC de 0 a 1.260 ºC

Platino-platino / rodio de 0 a 1.750 ºC

Radiación bajo campo 0 ºC de 0 a 650 ºC

Radiación alto campo de 400 a 5.000 ºC

Pirómetro óptico de 500 a 4.000 ºC

Tabla 4.7: Transductores para medida de temperatura y campo de aplicación.




114

A continuación se expondrán los transductores para medida de temperatura más representativos de losprocesos de control.

Transductor bimetálico.

Los transductores bimetálicos se fundan en el distinto coeficiente de dilatación de dos metales diferentes, detal forma que convierten las variaciones de temperatura en variaciones de movimiento. Los materialesempleados son tales como latón, monel o acero y una aleación de ferroníquel o Invar (35,5 % de níquel)laminados conjuntamente. Las láminas bimetálicas pueden ser rectas o curvas, formando espirales o hélices.

Un termómetro bimetálico típico contiene pocas partes móviles, sólo la aguja indicadora sujeta al extremolibre de la espiral o de la hélice y el propio elemento bimetálico. No hay engranajes que exijan unmantenimiento. La precisión del instrumento es de ± 1 % y su campo de medida de -200 a +500 ºC.

Transductor de bulbo y capilar

Los transductores tipo bulbo consisten, esencialmente, en un bulbo conectado por un capilar a una espiral.Cuando la temperatura del bulbo cambia, el gas o el líquido en el bulbo se expanden y la espiral tiende adesenrollarse moviendo la aguja sobre la escala para indicar la elevación de la temperatura en el bulbo ( figura4.29).

Hay cuatro clases de este tipo de transductores:

• Clase I : Transductores accionados por líquido.

• Clase II : Transductores accionados por vapor.

• Clase III : Transductores accionados por gas.

• Clase IV : Transductores accionados por mercurio.

Los transductores accionados por líquido tienen el sistema de medición lleno de líquido y como su dilataciónes proporcional a la temperatura, la escala de medición resulta uniforme. El volumen del líquido depende,principalmente, de la temperatura del bulbo, de la del capilar y de la del elemento de medición (temperaturaambiente). Por lo tanto, para capilares cortos, hasta 5 m, sólo hay que compensar el elemento de mediciónpara evitar errores debidos a variaciones de la temperatura ambiente (clase IB). Para capilares más largos hayque compensar también el volumen del tubo capilar (clase lA). Los líquidos que se utilizan son alcohol y éter.

El campo de medición de estos instrumentos varía entre 150 hasta 500 ºC, dependiendo del tipo de líquidoque se emplee.

ºC

bulbo

capilar

espiral

instrumento indicador

fuente de calor o frío

Figura 4.29 : Transductor de bulbo y capilar.




115

Los transductores accionados por vapor contienen un líquido volátil y se basan en el principio de presión devapor. Al subir la temperatura, aumenta la presión de vapor del liquido. La escala de medición no es uniforme,sino que las distancias entre divisiones van aumentando hacia la parte más alta de la escala. La presión en elsistema depende, solamente, de la temperatura en el bulbo. Por consiguiente, no hay necesidad de compensar

la temperatura ambiente. Si la temperatura del bulbo es mayor que la temperatura ambiente, el capilar y elelemento de medición están llenos de líquido (clase lIA), siendo necesario corregir la indicación en ladiferencia de alturas entre el bulbo y el elemento de medición.

Si la temperatura del bulbo es más baja que la ambiente, el sistema se llena de vapor (clase IIB).

La clase IIC opera con la temperatura del bulbo superior e inferior a la temperatura ambiente y la clase lIDtrabaja con la temperatura del bulbo superior, igual e inferior a la ambiente, empleando otro líquido no volátilpara transmitir la presión del vapor.

Los transductores accionados por gas están completamente llenos de gas. Al subir la temperatura, la presiónde gas aumenta proporcionalmente y, por lo tanto, estos transductores tienen escalas lineales.

La presión en el sistema depende, principalmente, de la temperatura del bulbo, pero también de latemperatura del tubo capilar y del elemento de medición, siendo necesario compensar la temperatura delambiente en el sistema de medición.

Los transductores accionados por mercurio (clase IV) son similares a los transductores accionados por líquidos (clase I). Pueden tener compensación en la caja y compensación total.

Transductores resistivos.

Estos termómetros de resistencia, en su mayoría, están constituidos por alambre metálico. La resistencia delos metales aumenta con la temperatura de una forma casi l ineal. Para dicha relación lineal se cumple que:

( )R R t = ⋅ + ⋅0 1 α θ (4.3.5.1)

donde R t es la resistencia de una longitud de cable a temperatura θ ºC y R 0 su resistencia a 0 ºC. Se llama α

al coeficiente de resistencia a la temperatura, medido en ºC -1, y depende del metal utilizado. La figura 4.30 muestra las curvas de resistencia-temperatura para tres metales utilizados comúnmente.

El platino se utiliza generalmente para termómetros de resistencia. Este metal tiene una relación resistencia-temperatura muy lineal, posee un buen grado de repetibilidad, puede utilizarse con un amplio rango detemperaturas (entre -200 ºC y +850 ºC) y, puesto que es relativamente inerte, puede ser uti lizado en un grannúmero de entornos sin deterioro. Es, sin embargo, más caro que muchos otros metales, pero las ventajasseñaladas tienden a prevalecer sobre el factor coste. El coeficiente de resistencia a la temperatura α estápróximo a 3,9·10-3 ºC -1.

El níquel y el cobre son alternativas más baratas, pero también más propensas a interferencias con elentorno y no pueden utilizarse para una gama tan amplia de temperaturas. El níquel tiene un coeficiente deresistencia a la temperatura próximo a 6,7·10-3 ºC -1 y un rango de temperaturas que está entre -80 ºC y +300

ºC. El cobre tiene un coeficiente de resistencia a la temperatura de 3,8·10 -3 ºC -1 y un rango de -200 ºC a +250ºC.

temperatura ºC

1

1,5

2

2,5

3

200 400 600 800 1000

cobre

níquelplatino

Figura 4.30 : Curvas resistencia-temperatura para el platino, níquel ycobre.




116

Una relación más exacta entre resistencia y temperatura para metales que tienen en cuenta la no linealidades:

( )R R t = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅0 2 3

1 α θ β θ γ θ (4.3.5.2)

donde α, β y γ son coeficientes de resistencia a la temperatura, con la condición de que α > β > γ. Para elplatino α está próximo a 3,9·10-3 ºC -1, β a -5,9·10-3 ºC -2 y γ es generalmente tan pequeño que puededespreciarse.

Sea cual sea el metal utilizado, el elemento de resistencia consta, generalmente, de un cable de resistenciaenrollado sobre un tubo revestido de cerámica, estando a su vez revestido también de cerámica y montado enun tubo protector. El resultado es una sonda para inmersión en el medio cuya temperatura se desea medir. Eltiempo de respuesta es bastante lento, a menudo del orden de unos pocos segundos, a causa del escasocontacto térmico que hay entre la bobina y el medio cuya temperatura se está midiendo. La presencia del tuboprotector aumenta inevitablemente el tiempo de respuesta.

Termistores.

Los termistores son pequeñas piezas de material hechas de mezcla de óxidos metálicos, tales como los decromo, cobalto, hierro, manganeso y níquel. El material puede adoptar diferentes formas, tales como perlas,discos y varillas (figura 4.31).

La resistencia de los termistores disminuye generalmente con un aumento de temperatura y es altamente nolineal aunque hay algunos casos en los que aumenta la resistencia con un incremento de temperatura. Lafigura 4.32 muestra una gráfica típica. El cambio en la resistencia por grado incrementado en la temperaturaes considerablemente más amplio que el que ocurre con los metales.

La gráfica resistencia-temperatura para un termistor es altamente no lineal y se describe por la relaciónexponencial:

perla

varilla

disco

Figura 4.31 : Diferentes aspectos de termistores.

temperatura ºC

resistencia K Ω

0

5

10

15

20

25 50 75 100 125

Figura 4.32 : Curva resistencia-temperatura típica de un termistor.




117

R K et = ⋅

β

θ (4.3.5.3)

donde R t es la resistencia a la temperatura θ ºC , siendo K y β valores constantes.

El tiempo de respuesta de un termistor depende de la cantidad de material termistor presente. Un pequeñotermistor de perla puede tener un tiempo de respuesta del orden de 0,5 segundos, mientras que en termistoresmás grandes de varilla podría ser del orden de 10 segundos.

Para los termistores que muestran una disminución de resistencia con un aumento de temperatura, si seutilizan en circuitos eléctricos de muy baja tensión, se produce una pequeña corriente y la potencia disipada noes suficiente para elevar la temperatura del termistor sobre la de su entorno. Sin embargo, con tensiones másaltas, la corriente puede ser bastante grande para que la potencia generada sea suficiente y eleve latemperatura del termistor sobre la de su entorno. Este incremento de temperatura logra una disminuciónadicional de la resistencia del termistor, lo que supone un aumento extra de corriente. Este efecto continúahasta que la disipación del calor del termistor iguala la energía que se le ha suministrado. Este efecto deautocalentamiento es, generalmente, del orden de 0,15 ºC para cada milivatio de potencia suministrada.

Termopares.Si dos metales diferentes se unen, se produce una diferencia de potencial a lo largo de la unión. Esta

diferencia de potencial depende de los metales utilizados y de la temperatura de la unión. Un termopar es uncircuito completo que implica dos de dichas uniones (figura 4.33). Si ambas uniones estána la mismatemperatura, no hay fuerza electromotriz neta. Pero si hay una diferencia de temperatura entre las dosuniones, entonces, existe una fuerza electromotriz que se llama fuerza electromotriz termoeléctrica (E ). El valor de esta f.e.m. depende de los dos metales en cuestión y de las temperaturas de ambas uniones.Habitualmente, una unión se mantiene a 0 ºC, teniendo entonces:

E a a a= ⋅ + ⋅ + ⋅ +1 2 2

33

θ θ θ L (4.3.5.4)

donde a1, a2 , a3..., son constantes y θ la temperatura. Hay una relación no lineal entre la fuerza electromotrizy la temperatura, pero para muchos pares de metales, los términos a2 , a3..., son lo suficientemente pequeñoscomo para ser ignorados existiendo entonces una relación razonablemente lineal.

Un circuito de termopar puede tener otros metales en el circuito y éstos no tendrán efecto en la fuerza

electromotriz termoeléctrica, con tal de que todas sus uniones estén a la misma temperatura. Así, por ejemplo,un voltímetro puede ser introducido en el circuito.

Los termopares más comúnmente utilizados aparecen en la tabla 4.8 con los rangos de temperaturas de usomás generalizados y sus sensibilidades típicas. A estos termopares más usados se les da letras de referencia.

Tipo Materiales Rango en ºC Sensibilidad en µµv/ºC

E Cromo-constantán de 0 a 980 ºC 63

J Hierro-constantán de -180 a 760 ºC 53

L Cromo-aluminio de -180 a 1.260 ºC 41

R Platino-platino / rodio 13 % de 0 a 1.750 ºC 8

T Cobre-constantán de -180 a 370 ºC 43

Tabla 4.8: Termopares.

fuente de calor o frío

metal A

metal B

f.e.m.

circulaciónde corriente

Figura 4.33 : Principio de funcionamiento de un termopar.




118

Los termopares de metal base E , J , L y T son relativamente baratos pero se deterioran con el tiempo. Tienenexactitudes que, típicamente, están entre ± 1 y 3 %. Los termopares de metal noble, es decir, los de tipo R ,son más caros, pero más estables y de vida más larga. Tienen exactitudes del orden de ± 1 % o menos.

Los termopares están generalmente montados en un manguito para darles protección mecánica y química.El tipo de manguito utilizado depende de las temperaturas a las que se usa el termopar. En algunos casos elmanguito es encapsulado con un mineral que sea buen conductor de calor y buen aislante eléctrico. El tiempode respuesta de un termopar sin manguito es muy rápido. Con un manguito grande puede aumentar en unospocos segundos. En algunos casos, un grupo de termopares se conectan en serie, de modo que haya, quizá,diez o más uniones calientes captando la temperatura. Las fuerzas electromotrices producidas por cada unoson acumuladas. Esta disposición se conoce como termopila.

4.3.6 Transductores de velocidad.

La medición de la velocidad en la industria se puede realizar mediante dos tipos de transductoresespecíficos: con tacómetros mecánicos y con tacómetros eléctricos. Para usos industriales se suelen utilizar los tacómetros eléctricos, los cuales permiten la transformación directa de la variable velocidad en una señalapta para alimentar los instrumentos registradores o controladores de panel. Un caso de aplicación típica lo

constituye la medida de la velocidad de giro del eje de una turbina de una central de energía eléctrica.Los tacómetros eléctricos pueden proporcionar a la salida una señal analógica o digital, como resultado de

la conversión de la velocidad de giro del eje de la máquina.

Existen varios tipos de tacómetros:

• Tacómetro de corrientes parásitas: en el que el eje de la máquina hace girar un imán dentro de una copade aluminio. El giro del imán induce corrientes parásitas en el aluminio que crean un par resistenteproporcional a la velocidad. Un resorte frena el cabezal del aluminio quedando éste en una posición quese señala en un dial o panel indicador (figura 4.34). De este modo funciona el tacómetro eléctricoempleado en automoción. El campo de medida es de 0 a 15.000 revoluciones por minuto.

• Tacómetro de corriente alterna: consiste en un estator bobinado multipolar en el que el rotor dotado deimán permanente induce una corriente alterna. Un voltímetro señala la corriente inducida y por lo tanto elgiro en r.p.m. del eje de la máquina. En la figura 4.35 puede verse este tipo de tacómetro.

Figura 4.34 : Tacómetro de corrientes parásitas.

Vimán

voltímetroc.a.

Figura 4.35 : Tacómetro de corriente alterna.




119

• Tacómetro de corriente continua o dinamo tacométrica: consiste en un estator de imán permanente y unrotor con un entrehierro uniforme. La tensión continua recogida en las escobillas del rotor es proporcionala la velocidad en r.p.m. de la máquina. Esta tensión puede leerse en un voltímetro indicador o bienalimentar un instrumento potenciométrico a través de una resistencia divisora de tensión (figura 4.36 ).

La precisión en la medida alcanza ± 0,5 % para velocidades que pueden llegar hasta las 6.000 r.p.m.

• El tacómetro de frecuencia o frecuencímetro: mide la frecuencia de la señal de c.a., captada por transductores del tipo electromagnético, capacitivo u óptico, que dan impulsos cuyo número esproporcional a la velocidad de giro de la máquina. El transductor no tiene contacto mecánico con el ejerotativo. La medida de la frecuencia puede pasarse a un contador electrónico basado en la medida de lasrevoluciones por unidad de tiempo.

Otro modelo de tacómetro de frecuencia mide ópticamente la velocidad. Dispone de un disco opacoperforado periféricamente y acoplado al eje cuya velocidad desea medirse, de una fuente de luz y de unafotocélula. Ésta genera una frecuencia dependiente de los impulsos luminosos que pasan a través deldisco, es decir, es función de la velocidad.

4.3.7 Codificadores de posición y sentido de giro (encoders ).

Se les conoce también con el nombre de codificadores digitales puesto que la magnitud física la conviertenen un conjunto de señales digitales, cuyo código binario, en cada instante, definen el valor de la magnitud. Sonmuy empleados en la industria y, en concreto, en el área de la robótica.

La magnitud física a convertir es el ángulo, o posición angular, de un eje. En muchas ocasiones, además, sehace necesario determinar el sentido de giro del eje, a derechas o a izquierdas. Todo esto puede hacerse devarias formas:

• Mediante un sistema potenciométrico y conversión de la señal analógica a digital. El inconveniente esque introduce mucho error y el potenciómetro debe ser de alta precisión, resultando por ello cara, laopción.

• Mediante el empleo de codificadores de posición.

Por la forma de detectar el ángulo y su representación se dividen en codificadores absolutos eincrementales.

Codificador Absoluto.

Consiste en un dispositivo mecánico, donde hay un disco y unos detectores, que gira solidario al eje de la

máquina. El disco circular está dividido en sectores y pistas. Los detectores están alineados del centro a laperiferia, en un sector inicial. Tal disposición determina una serie de segmentos en el círculo. Los segmentos

D _

A

B

V

dinamotacométrica

motor asíncrono

voltímetroc.c.

Figura 4.36 : Dinamo tacométrica aplicada a un motor asíncrono cuya velocidad sedesea medir.




120

pueden estar pintados con material reflectante o no. Las marcas de dichos segmentos nos definen el código deposición angular. Así, con tres pistas (tres detectores) daría 2 3 = 8 , lo que permite un código binario de tresdígitos. El disco queda dividido a su vez en 8 sectores de 45º mecánicos. La resolución de 45º es muy pobre.Si se aumenta el número de pistas a 8 , queda 2 8 = 216 y la resolución, o ángulo de cada sector, de 1,66º . El

aumento de las pistas hace más compleja la disposición de pistas y segmentos. Además, las resolucionesdeben ser menores de un grado. El alineamiento de los detectores da lugar a ambigüedad de código en lalectura en posiciones adyacentes si no se usan códigos de distancia unidad como el de Gray .

Los códigos de distancia unidad significan que en el límite de un segmento sólo cambia de estado (de 0 a 1o viceversa) una pista. Se necesita convertir el código Gray a otro utilizable. Requiere una mayor dificultadconstructiva.

Los encoder absolutos se pueden clasificar en monovuelta y multivueta. Los hay también programables.

Los códigos de salida pueden ser Binario, Gray y BCD.

La transmisión puede ser serie asíncrona: RS-485 , con transmisión de datos asíncrona, diferencial ysimétrica.

Los circuitos de salida: a transistor, tipos NPN o PNP, etc...

Codificador Incremental.

Para la medida del ángulo utiliza una pista y detector, siendo los segmentos todos iguales. En el movimientorelativo de la pista con el detector genera una serie de pulsos que son captados por un contador que da el giro,pero para determinar el ángulo girado se añade una segunda pista o pista de datos. El contador se pone acero cada vez que detecta la información de dicha pista.

El sentido de giro se hacer con un tercer detector. Durante el movimiento relativo del disco ambos detectoresgeneran un tren de pulsos espaciados entre sí conforme a la disposición que se haga, normalmente, undesfase de 90º o en cuadratura. El cambio de pulso de 0 a 1 o de 1 a 0 depende del sentido de giro. Estos

codificadores suelen llevar asociado un dispositivo lógico, tal que las salidas estén disponibles para lasaplicaciones. Suelen darse complementadas. La salida que indica el giro de una vuelta completa se denominaIndex o de Cero. A las salidas se les l lama canales.

Circuitos de salida: tipo Push–Pull , tipo NPN , tipo TTL, tipo salida diferencial , etc...

4.3.8 Transductores de otras variables de medida.

Las variables de medida tratadas en los apartados anteriores (del 4.3.2 al 4.3.7) no constituyen, ni muchomenos, la totalidad de las variables susceptibles de ser tratadas en un proceso de control. Evidentemente, sepodría hablar de otros transductores para otras muchas variables de proceso, pero no es objeto de este libro elpresentar un tratado exahustivo de este tema. A continuación, se enumeran, en la tabla 4.9, otras variableshabituales en la industria y sus posibles transductores.

fuente luminosa(4 focos)

captador luminoso(4 detectores)

señal de entrada

(giro)

señal de salida(dato codificado)

0

1

1

0

Figura 4.36 bis : Codificador absoluto de 4 dígitos.




121

Variable Transductores

• Peso • Balanza, báscula, célula de galgas extensiométricas, célula hidráulica, célulaneumática.

• Posición • Final de carrera, detector de efecto Hall, potenciómetro, detector magnético.

• Detección depresencia

• Detectores ópticos, detectores inductivos, detectores capacitivos, detectoresvolumétricos.

• Magnitudeseléctricas

• Transformador de medida de tensión, transformador de medida de intensidad.

• Humedad • Bulbo seco, bulbo húmedo, célula de cloruro de litio, sensor de polímero

• Viscosidad • Viscosímetro, medidor de consistencia.

• Llama • Detectores de ionización-rectificación, detectores de radiación.

• pH • Sistema de electrodo de vidrio, sistema de electrodo de transistor.

• Turbidez. • Turbidímetro Jackson.

Tabla 4.9: Otras variables de medida y sus transductores correspondientes.

4.4 Acondicionadores y convertidores de señales.

Los acondicionadores y convertidores de señales tienen como misión convertir la señal procedente deltransductor en un formato adecuado para un tratamiento posterior. Dentro de un sistema de medida, estoselementos se encargarían de adecuar la señal del transductor a la unidad de visualización. Baste mencionar,como ejemplo, que los puentes de resistencias (o de impedancias) como el de Wheatstone, convierten un

cambio de la resistencia del transductor (o de su capacidad o inductancia) en una variación de la diferencia depotencial. Hay que recordar que los acondicionadores y convertidores de señales tienen como objetoproporcionar una señal a la salida de naturaleza eléctrica (4 - 20 mA c.c.) o neumática (0,206 - 1,033 bar).

Otra operación típica es el procesamiento de la señal , la cual se utiliza para mejorar la calidad de la misma.Esto implica procesos tales como la amplificación de la señal, su atenuación, su linealización y el filtrado de lamisma.

A continuación, se tratan algunos dispositivos básicos que acondicionan, convierten o procesan señales. Secomenzará con la aplicación del puente de Wheatstone como acondicionador. Después, se expondrán algunosejemplos de convertidores de corriente eléctrica a presión neumática, de tensión a corriente, de tensión afrecuencia, convertidores analógico-digital y digital-analógico. Finalmente, se tratarán casos de procesamientode señales como la amplificación, linealización, atenuación, filtrado y modulación.

4.4.1 Puente de Wheatstone como acondicionador de señal.

El puente de Wheatstone es un ejemplo sencillode acondicionador cuya salida proporciona unaseñal eléctrica. Esta señal de salida, en un principio,se manifiesta como una diferencia de potencial, perosi se coloca a la salida del puente una resistencia devalor adecuado, se puede obtener una señal decorriente de 4 - 20 mA c.c. La figura 4.37 muestra laconfiguración básica del puente de Wheatstone.Tiene un suministro de corriente continua y cadauno de los cuatro brazos del puente es unaresistencia. El objeto básico de este puente esequilibrar las cuatro resistencias (variando una deellas) para que la diferencia de potencial de salida

sea cero. Si se conecta un galvanómetro entre losterminales de salida y éste marca un valor nulo,

Vo

A

B

C

D

Figura 4.37 : Configuración básica del puente deWheatstone.




122

implica que las resistencias están ajustadas y se dice que el puente está equilibrado.

Puente de Wheatstone tipo de deflexión.

Se considera el puente de Wheatstone presentado en la figura 4.37 sin galvanómetro conectado en losterminales de salida, es decir, que la carga de salida tiene una resistencia infinita. La tensión de alimentaciónV s se conecta entre los puntos A y C y, así, la caída de potencial en la resistencia R 1 es:

V V R

R R AB s= ⋅

+1

1 2

(4.4.1.1)

De una forma similar, la diferencia de potencial en R 3 sería:

V V R

R R AD s= ⋅

+3

3 4

(4.4.1.2)

Así, la diferencia de potencial entre los puntos B y D, esto es, la diferencia de potencial de salida V o, es:

V V V V R R R

R R R

o AB AD s= − = ⋅+

−+

1

1 2

3

3 4

(4.4.1.3)

La ecuación (4.4.1.3) es la ecuación de ajuste a cero cuando V o se iguala a cero.

Si el transductor es la resistencia R 1, se puede observar, en la ecuación (4.4.1.3), que la relación entre ladiferencia de potencial de salida V o y su resistencia R 1 no es una relación lineal.

No obstante, la relación entre el transductor y la tensión de salida se puede considerar lineal para pequeñasvariaciones del valor de la resistencia del transductor. Si se produce un cambio de resistencia en el transductor de R 1 a R 1 + δR 1, la diferencia de potencial de salida pasa de V o a V o + δV o. La diferencia entre el valor de latensión a la salida, antes y después de la variación de la resistencia del transductor, se puede expresar como:

( )V V V V

R R

R R R

R

R R o o o s+ − = ⋅

+

+ + − +

δ

δ

δ

1 1

1 1 2

1

1 2

(4.4.1.4)

Si la variación de la resistencia del transductor, δR 1, es mucho menor que R 1, lo que es frecuente, entoncesla ecuación, se aproxima a:

δδ

V V R

R R o s= ⋅

+1

1 2

(4.4.1.5)

Bajo tales condiciones, el cambio en la diferencia de potencial de salida es proporcional al cambio en laresistencia del transductor.

Puente de Wheatstone tipo de compensación.

Muchos transductores de medida se instalan en el extremo de largos conductores. En el caso de que sea un

transductor de temperatura, los cables que lo conectan al circuito acondicionador se verán afectados por lasvariaciones de temperatura de su entorno. Si estos cables son largos, la variación de la resistencia de losmismos con la temperatura no resulta despreciable y ello altera la medida realizada por el transductor.

Existen algunos métodos para lograr discriminar la variación de la resistencia del transductor de la variaciónde la resistencia de los conductores. Una forma de hacer esto es llevar tres cables a la bobina, como semuestra en la figura 4.38 . La bobina se conecta entonces al puente de Wheatstone, de modo que el cable 1esté conectado con la resistencia R 3, mientras que el cable 3 está en serie con el transductor de temperatura(como, por ejemplo, una bobina de resistencia de platino) R 1. El cable 2 está conectado con la fuente dealimentación. Cualquier cambio en la resistencia del cable, como resultado de un cambio de temperatura,afectará por igual a los tres cables, puesto que todos tienen la misma longitud y resistencia. El resultado esque los cambios en la resistencia del cable ocurren igualmente en los dos brazos del puente y, por tanto, secompensarán.




123

La resistencia eléctrica de una galga extensiométrica es otro transductor en el que los efectos de latemperatura han de compensarse. La galga extensiométrica cambia su resistencia cuando la presión ejercidacambia también. Desafortunadamente, también cambia su resistencia si la temperatura varía. Una manera deeliminar el efecto de esta temperatura es utilizar una galga de compensación. Ésta es una galgaextensiométrica idéntica a la que está bajo presión, la galga activa, pero que no está sujeta a ningún esfuerzo.Está, sin embargo, a la misma temperatura que la galga activa. Por ello, un cambio de temperatura obligará aambas galgas a cambiar su resistencia en la misma medida. La galga activa está montada en un brazo delpuente de Wheatstone y la galga de compensación en otro brazo, de modo que los efectos de los cambios deresistencia inducidos por la temperatura se anulen figura 4.39.

Puente de corriente alterna.

El circuito en puente de corriente alterna (figura 4.40 ) es similar al puente Wheatstone de corriente continua,con las mismas formas de interrelación para corriente en equilibrio y en desequilibrio. Las condiciones básicaspara equilibrio, es decir, diferencia de potencial cero entre A y D y, por tanto, corriente cero a través deldetector, son que la diferencia de potencial en Z 1 debe ser la misma que en Z 3, tanto en magnitud como enfase, y, de forma similar, las diferencias de potencial en Z 2 y Z 4 deben ser también iguales.

Hay muchas variantes del puente básico de corriente alterna. En la figura 4.41 se muestran algunas de las

más comunes, así como la interpretación de las condiciones expuestas antes para el equilibrio de cada puente.

Cables de iguallongitud

1

3

2

Figura 4.38 : Compensación de los cables del transductor en un puente deWheatstone.

galgaactiva

galgade

compensación

señal desalida

Figura 4.39 : Compensación de una galga extensiométrica mediante unagalga auxiliar.

G~

A

B

C

D

Figura 4.40 : Configuración básica de un puente de corrientealterna.




124

Para demostrar la condición de equilibrio en un puente de corriente alterna, considérese el puente de Maxwell(figura 4.41a), donde las impedancias Z 1, Z 2 , Z 3 y Z 4 quedan definidas como:

Z R

j R C 1

1

1 11= + ⋅ ⋅ ⋅ω; Z R

2 2 =; Z R

3 3=; Z R j L

4 4 4= + ⋅ ⋅ω (4.4.1.6)

De aquí, utilizando la condición de equilibrio:

Z Z Z

Z 4

2 3

1

=⋅

;( )

R j LR R j R C

R 4 4

2 3 1 1

1

1+ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ω

ω(4.4.1.7)

Por consiguiente, la condición de equilibrio de la parte real de las impedancias es:

R R R

R 4

2 3

1

=⋅

(4.4.1.8)

Y de la parte imaginaria resulta:

L R R C 4 2 3 1= ⋅ ⋅ (4.4.1.9)

Así, puede determinarse la resistencia R 4 y la inductancia L4 de una bobina. El procedimiento es,generalmente, ajustar R 2 para conseguir el equilibrio, luego R 1 para mejorarlo, después R 2 de nuevo, y asísucesivamente, hasta que se obtenga un equilibrio final.

4.4.2 Convertidores de señal.

Ya se ha comentado anteriormente que las señales con las que se trabaja habitualmente en los procesos decontrol (y concretamente en los comparadores de error, controladores y elementos finales de control) son

G~

a)

G~

c)

G~

b)

G~

d)

Figura 4.41 : Puentes de corriente alterna: a) Maxwell , b) Owen, c) De Souty , d) Wien.




125

pequeñas intensidades de corriente continua (4 - 20 mA c.c.), presiones de aire (0,206 - 1,033 bar) o señalesdigitales, si es que el control se realiza por ordenador.

Lo que se va a tratar a continuación son ejemplos básicos de sistemas convertidores, cuyo objetivo es

obtener una señal a la salida de una de las tres naturalezas mencionadas, y que tenga una relación directa conla señal de entrada tomada del sistema de medida.

Convertidor de tensión a corriente.

Una característica común de muchos sistemas de control de proceso es una conversión de milivoltios amiliamperios. Esto es necesario debido al uso extendido de corrientes en el rango de 4 a 20 mA utilizadas paraseñales de control. Otra razón fundamental de la conversión de señales de tensión a señales de corriente esque éstas últimas no se ven afectadas por las caídas de tensión de los cables que las transportan.

Una característica precisa para dicho convertidor es que tenga una función de transferencia que no dependadel valor de la tensión ni tampoco del valor de la carga en la salida. La figura 4.42 muestra cómo se puedeconseguir esto con un amplificador operacional.

En dicho diseño la señal de corriente de salida de valor I o tiene una relación lineal y directa con la señal detensión de entrada V i , tal y como se expresa seguidamente:

I V

R o

i = (4.4.2.1)

Convertidor de corriente a presión.

Se necesitan, frecuentemente, convertidores de corriente a presión, debido a que muchos elementos decontrol son neumáticos. La figura 4.43 muestra el principio de funcionamiento de dicho convertidor. Lacorriente de entrada pasa a través de unas bobinas, las cuales son entonces atraídas hacia un imán fijo,dependiendo esta atracción del valor de la corriente. Las bobinas, en su movimiento hacia el imán, arrastranuna palanca. El extremo final de esta palanca es una lengüeta obturadora. La posición de la lengüeta enrelación con la boquilla determina la magnitud de la señal de presión.

R-

+

Figura 4.42 : Convertidor de tensión - corriente con amplificador operacional.

imán fijo

electroimán móvil

lengüeta obturadora

entradade presión

señal de presiónde salida

tobera

señal de entradade corriente

Figura 4.43 : Principio de funcionamiento de un convertidor de corriente -

presión.




126

Convertidor de tensión a frecuencia.

Cuando se precisa hacer mediciones y el transductor está a cierta distancia de la unidad de visualización,pueden aparecer problemas debido a la resistencia de los cables de conexión. Aunque puede utilizarse una

variante del puente de Wheatstone para compensar la resistencia del cable (figura 4.38 ) esto es adecuado sólopara cables de longitudes relativamente cortas.

Un método para superar este problema consiste en utilizar un convertidor de tensión a frecuencia a la salidadel puente de Wheatstone de compensación. De esta manera, si un transductor utilizado para la medición dela temperatura es un elemento de resistencia, la diferencia de potencial de desequilibrio resultante en el puentede Wheatstone quedaría convertida en una frecuencia, la cual puede ser transmitida a distancia al visualizador o elemento del proceso de control correspondiente.

Convertidor analógico - digital.

La salida de la mayoría de los transductores suele ser de forma analógica, es decir, el valor de salida deltransductor está relacionado, en el tiempo, con el valor de la entrada. Cuando se utiliza un microprocesador uordenador como parte del proceso de señales de un sistema de medida o control, la salida analógica deltransductor debe ser convertida en forma digital. La relación entre la entrada y la salida para un convertidor

analógico - digital se expresa como:

( )V V a a a ai R n n

n n≈ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅− −−1

12

2 1

1 0 2 2 2 2 L (4.4.2.2)

donde V i es la entrada analógica, V R es la tensión de referencia y a1, a2 , a3 ..., las salidas digitales (bit ) y n elnúmero de dichas salidas o bits que constituyen la palabra que representa la señal analógica. La longitudposible de la palabra determina la resolución del elemento, es decir, el valor más pequeño en V i que causaráuna alteración en la salida digital. A consecuencia de esto la salida desde el elemento asciende a saltos oescalones en vez de producirse de una forma continua. Por este motivo que la ecuación utiliza el signo deaproximadamente igual (≈).

Los convertidores analógico - digital tienen típicamente unas longitudes de palabra de 8,10,12,14 y 16 bits.

Convertidor digital - analógico.

Un convertidor de digital a analógico tiene una entrada de señales digitales y una salida de señal analógica.La relación entre la entrada y la salida para un convertidor digital - analógico se expresa como:

( )V V a a a ai R n n

n n≈ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅− −−1

12

2 1

1 0 2 2 2 2 L (4.4.2.3)

Como se puede comprobar, es la misma expresión (4.4.2.2) del convertidor analógico - digital.

Ejemplo 4.1

Una señal analógica V i puede tomar un valor entre 0 y 1 V . Para convertir esta señal en una señal digital seutilizará un convertidor de 4 bits (palabra de 4 bits). Si se aplica la expresión:

a a a an n

n n11

2 2

11 0

2 2 2 2 ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅− − −L

a una palabra de 4 bits, se obtiene la siguiente tabla:

a 1 a 2 a 3 a 4 valor decimal

0 0 0 0 .........................0 0 0 0 1 .........................10 0 1 0 .........................2 0 0 1 1 .........................30 1 0 0 .........................40 1 0 1 .........................5 0 1 1 0 .........................6 0 1 1 1 .........................7 1 0 0 0 .........................8

1 0 0 1 .........................91 0 1 0 ........................10




127

1 0 1 1 ........................111 1 0 0 ........................12 1 1 0 1 ........................131 1 1 0 ........................141 1 1 1 ........................15

Cuando la salida digital es 1111, le corresponde a un valor decimal de 15 . Este valor debe coincidir con elvalor más elevado de la entrada, que es 1 V , por lo que será necesario utilizar una entrada de referenciaV R = 1/15 V . La expresión que relaciona la señal analógica de entrada con la salida digital es:

( )V a a a ai = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅1

15 2 2 2 2 1

32

2 3

14

0

La tabla resultante de esta expresión, la cual proporciona la conversión analógico - digital deseada, es:

a 1 a 2 a 3 a 4 V i

0 0 0 0 .......................0 V 0 0 0 1 .....................1/15 V 0 0 1 0 .....................2/15 V 0 0 1 1 .....................3/15 V 0 1 0 0 .....................4/15 V 0 1 0 1 .....................5/15 V 0 1 1 0 .....................6/15 V 0 1 1 1 .....................7/15 V 1 0 0 0 .....................8/15 V 1 0 0 1 .....................9/15 V 1 0 1 0 ....................10/15 V 1 0 1 1 ....................11/15 V 1 1 0 0 ....................12/15 V 1 1 0 1 ....................13/15 V 1 1 1 0 ....................14/15 V

1 1 1 1 .......................1 V

4.4.3 Procesamiento de la señal.

Las señales que se transmiten en los sistemas de medida y regulación se ven afectadas, en la mayoría delas ocasiones, por perturbaciones o ruidos. Estas perturbaciones pueden falsear la información que se estátratando, llegando a lograr así que el proceso que se está regulando quede fuera de control. Se entiende, pues,la necesidad de limpiar las señales de todo aquello que resulta externo a las mismas, con el fin de que losinstrumentos que la reciban las interpreten correctamente.

En otras ocasiones se necesita modificar algún parámetro de la señal para que ésta pueda ser transmitidade la forma más eficiente posible, o bien, que resulte más fácil su procesamiento posterior. Todo este tipo deoperaciones es lo que se denomina procesamiento de la señal . En este apartado se describen brevementeaquellas operaciones más típicas del procesamiento de señales.

Amplificación.

La amplificación tiene como misión aumentar, de una forma proporcional, la magnitud de la salida deaquellos transductores que proporcionan una señal débil. Existen varios tipos de amplificadores que llevan acabo esta operación de formas distintas:

• Amplificador mecánico de palanca: la palanca se puede utilizar para cambiar el tamaño de una señal dedesplazamiento proveniente de un transductor (figura 4.44).




128

La función de transferencia de la palanca depende de las distancias relativas desde el extremo deentrada al punto de apoyo de la palanca y desde este punto al extremo de salida. El principio detriángulos semejantes expresa que:

Desplazamientodeentrada

Distanciaapoyo entrada

Desplazamientode salida

Distanciaapoyo salida−=

−(4.4.3.1)

por lo que la función de transferencia se puede escribir como:Distanciaapoyo salida

Distanciaapoyo entrada

Desplazamientode salida

Desplazamientodeentrada

−

−= (4.4.3.2)

• Amplificador mecánico de trenes de engranaje: la figura 4.45 muestra un tren de engranaje simple conuna rueda de engranaje de entrada que gira alrededor de un eje y una rueda dentada de salida que hacerotar otro eje.

Si se tienen N 1 dientes en la rueda de entrada y N 2 en la de salida, entonces una revolución completadel eje de entrada significará que el eje de salida rota la fracción (N 1 /N 2 ) de una revolución. Así, la funciónde transferencia será:

Revolucionesa la salida

Revolucionesa laentrada

N

N = 1

2

(4.4.3.3)

• Amplificador electrónico: la amplificación electrónica de señales eléctricas analógicas tiene su base en eluso de amplificadores operacionales. En la figura 4.46 se muestran dos configuraciones básicas decircuitos con amplificadores operacionales.

distancia apoyo - entrada

desplazamientode entrada

desplazamientode salida

distancia apoyo - salida

Figura 4.44 : Amplificador mecánico de palanca.

Figura 4.45 : Amplificador mecánico de trenes de engranajes.

-

+

-

+

I I

a) b)

amplificador inversor amplificador no inversor

Figura 4.46 : Etapas de amplificadores electrónicos.




129

El amplificador inversor de la figura 4.46a tiene como función de transferencia la expresión:

V

V

R

R

o

i

= − 2

1

(4.4.3.4)

El otro circuito, un amplificador no inversor (figura 4.46b), no cambia de signo la señal de salida y sufunción de transferencia es:

V

V

R

R

o

i

= +

2

1

1 (4.4.3.5)

En ambos casos (se supone el uso de un amplificador operacional ideal) se observa que la función detransferencia, o ganancia de la etapa, no depende de las características propias del amplificador operacional, sino que sólo depende de los valores de las resistencias que se elijan.

Atenuación.

La atenuación es la operación inversa a la amplificación. Un atenuador es un dispositivo que proporciona unnivel de tensión y/o energía de salida inferior al de su entrada. Un caso muy sencillo para la atenuación de lasseñales eléctricas lo constituye el divisor de tensión. La principal desventaja del divisor de tensión estriba enque la función de transferencia del mismo está supeditada a la carga que se conecte a su salida.

Otra forma más eficiente de atenuación de señales es el uso del amplificador electrónico inversor (figura4.46a), pero eligiendo el valor de R 1 mayor que el de R 2 .

Filtrado.

El término filtrado se utiliza para describir el proceso de eliminación de una cierta banda de frecuencias deuna señal y permitir que otras pasen. El rango de frecuencias que pasan por un filtro es conocido como bandade paso, al rango que no pasa se le llama banda de bloqueo y el límite entre el bloqueo y el paso es lafrecuencia de corte. Los filtros se clasifican según los rangos de frecuencias que dejan pasar o rechazan. Unfiltro paso bajo (figura 4.47a) tiene una banda de paso en la región de baja frecuencia y otro paso alto (figura

4.47b) la tiene en la de alta. Un filtro paso de banda (figura 4.47c ) permite que pase una banda de frecuenciasparticular (figura 4.47a) y un filtro supresor de banda o parada de banda bloquea una banda particular.

frecuencia

amplitud de la señal

a)

b)

c)

d)

Figura 4.47 : Curvas características de frecuencia de un filtro del tipo: a) paso bajo, b) paso

alto, c) paso de banda, d) parada de banda.




130

El término pasivo se utiliza para describir un filtro fabricado sólo con resistencias, condensadores y bobinas.El término activo implica también un amplificador operacional. Los filtros pasivos tienen la desventaja de quela corriente absorbida por el siguiente elemento puede cambiar la característica de frecuencia del filtro. Esteproblema se resuelve con un filtro activo.

Una aplicación de los filtros en los sistemas de control y medida es mejorar la relación señal-ruido (grado deeliminación del componente ruido de una señal), siempre que el espectro de frecuencias de la señal de medidatenga un rango de frecuencias diferente al del ruido. Esto supone que al haber una señal de interferencia a 50Hz, podría utilizarse un filtro de paso bajo si la señal tiene una frecuencia más baja de 50 Hz o uno de pasoalto si es más alta.

Modulación.

La transmisión de señales de corriente continua desde el transductor a su elemento receptor presenta elproblema de la pérdida de señal a lo largo de la línea. Este problema es tanto más grave cuanto más larga seala distancia de transmisión. La utilización de etapas amplificadores no es la solución más deseable, ya que senecesitarían amplificadores de potencia para transmitir pequeñas señales de c.c. Esto resulta inviable desdeun punto de vista económico. Además, la función de transferencia de un amplificador operacional utilizado

para amplificar la señal de corriente continua es propensa a desplazarse.Este problema se resuelve si la señal a transmitir es de corriente alterna en vez de continua. Además, la

conversión de la señal a corriente alterna puede ayudar a la eliminación de interferencias externas de la señaldel transductor con el uso de fil tros.

El modo general de convertir una señal de corriente continua en una señal de corriente alterna es mediantela generación de una onda alterna, que se denominará onda portadora, cuyos parámetros básicos (o alguno deellos) será modificado por la magnitud de la señal de corriente continua (onda moduladora) que se deseatransmitir. Esta operación, en la que la señal de corriente continua modifica uno de los parámetros de la señalalterna u onda portadora, se denomina modulación.

La modulación de una onda portadora se puede realizar de las siguientes formas:

• Modulación en amplitud : el valor de la señal de corriente continua está directamente relacionado con laamplitud de la onda portadora. Los demás parámetros de la onda portadora permanecen constantes.

Esto queda representado en la figura 4.48a.• Modulación en frecuencia: en este caso, el valor de la señal de corriente continua está directamente

relacionado con la frecuencia de la onda portadora, permaneciendo la amplitud constante tal y como seobserva en la figura 4.48b.

Muestreo y retención.

Con un conversor de analógica a digital se necesita un dispositivo de muestreo y retención con el fin demantener la señal analógica el suficiente tiempo como para que el conversor complete la operación ( figura

4.49). Sin dicho dispositivo, si la señal analógica se altera durante la conversión, pueden aparecer errores. Eldispositivo, como su nombre indica, toma una muestra de la entrada analógica y la mantiene para el conversor de analógica a digital. Esencialmente, éste es un condensador que, cuando es conmutado en paralelo con la

a) b)

tiempo t tiempo t

amplitud amplitud

onda portadora onda portadora

onda moduladora onda moduladora

modulación en amplitud modulación en frecuencia

Figura 4.48 : Transmisión de una señal de corriente continua (onda moduladora) mediante una onda portadora.




131

entrada, se carga con la tensión analógica. Mantiene, entonces, su diferencia de potencial hasta que esutilizado por el conversor de analógica a digital.

Lo que sigue a continuación son algunos de los términos comúnmente utilizados en las especificaciones delos dispositivos de muestreo y retención:

• Tiempo de adquisición: es el que tarda el condensador en cargarse hasta alcanzar el valor de la señal deentrada.

• Tiempo de apertura: es el que precisa el conmutador o muestreador para cambiar de estado y no permitir el paso de la señal analógica de entrada u(t).

• Tiempo de retención: es el período durante el cual el circuito puede mantener la carga.

La señal que se obtiene al final de este proceso, y que sirve de entrada al convertidor analógico - digital, esla que se ha denominado como y(t) en la figura 4.49.

4.5 Transmisores y buses industriales.

A lo largo de esta unidad se han ido tratando, con más o menos detalle, diversos tipos de instrumentosutilizados en los procesos de control: sensores, transductores, acondicionadores, convertidores y procesadores de señal . En este apartado se van a tratar los sistemas que permiten la comunicación remotaentre las distintas partes de un proceso de control: transmisores y buses industriales.

Aunque el concepto de transmisor ya quedó definido en el apartado 4.2.1 de la presente unidad, esconveniente recordar que los transmisores son instrumentos que captan la variable de proceso y la transmitena distancia a un instrumento receptor de tipo indicador, registrador, controlador o una combinación de éstos.

La naturaleza de las señales de transmisión puede ser de varios tipos: eléctrica, digital , neumática, hidráulicay telemétrica. Las más empleadas en la industria son las tres primeras, mientras que las señales hidráulicas seutilizan en aquellos casos que requieran una gran potencia, como en los sistemas de control de vuelo en

aviones, y las señales telemétricas se emplean cuando existen distancias de varios kilómetros entre eltransmisor y el receptor, tal y como sucede en las operaciones de telemando de centrales, subestaciones ylíneas eléctricas de alta tensión.

Los transmisores neumáticos generan una señal neumática variable linealmente de 0,206 a 1,033 bar para elcampo de medida del 0 al 100 % de la variable.

Nótese que el nivel mínimo de la señal neumática de salida no es cero, sino que vale 0,206 bar. De estemodo, se consigue calibrar correctamente el instrumento, comprobar su correcta calibración y detectar fugasde aire en los tubos de enlace con los demás instrumentos neumáticos.

Los transmisores eléctricos generan la señal estándar de 4 a 20 mA c.c., a distancias de 200 m a 1 km.,según sea el tipo de instrumento transmisor. Esta señal de corriente continua tiene un nivel suficiente y decompromiso entre la distancia de transmisión y la robustez del equipo. Al ser continua y no alterna, elimina laposibilidad de captar perturbaciones, está libre de corrientes parásitas y emplea sólo dos hilos que no precisan

blindaje. La relación de 4 a 20 mA c.c. es de 1 a 5, la misma que la razón de 0,206 a 1,033 bar en la señalneumática.

Retenciónde datos

(condensador)

Convertidor analógico

digitalMuestreador (conmutador)

u(t) u*(t ) y (t) señal

digi ta l


u(t) u *(t ) y (t)

Figura 4.49 : Proceso de muestreo y retención de datos aplicado a la entrada de un convertidor analógico - digital.




132

El cero vivo con que empieza la señal eléctrica (4 mA c.c.) ofrece las ventajas de poder detectar una averíapor corte de un hilo (la señal se anula) y de permitir diferenciar todavía más el ruido de la transmisión cuandola variable está en su nivel más bajo.

La señal digital consiste en una serie de impulsos en forma de bits. Cada bit consiste en dos signos, el 0 y el1 (código binario), y representa la presencia (1) o no presencia (0) de una señal a través de un conductor. Si laseñal digital que maneja el microprocesador del transmisor es de 8 bits, entonces puede enviar 8 señalesbinarias (0 y 1) simultáneamente. Como el mayor número binario de 8 cifras es,

11111111 = 1·2 0 + 1·2 1 + 1·2 2 + 1·2 3 + 1·2 4 + 1·2 5 + 1·2 6 + 1·2 7 = 255

la precisión (mínima cantidad representable) obtenida con el transmisor debida exclusivamente a la señaldigital es de:

1

255 100 4⋅ = ± %

En los sistemas de transmisión que trabajan bajo condiciones duras (...campos magnéticos intensos queinfluyen sobre la señal,...) se está utilizando como medio soporte la fibra óptica. Los módulos de transmisión

pueden ser excitados por fuente de luz de LED (Light Emiting Diodes) o diodo láser. Los módulos receptoresdisponen de fotodetector y preamplificador, con los cables o multicables de fibra óptica y con convertidoreselectroópticos. La transmisión de datos puede efectuarse con multiplexores transmitiendo simultáneamente ala velocidad máxima definida por la norma RS-232 de transmisión de datos para módems y multiplexores. Lasventajas de la transmisión por fibra óptica incluyen la inmunidad frente al ruido eléctrico (interferenciaselectromagnéticas), el aislamiento eléctrico total, una anchura de banda mayor que la proporcionada por loscorrespondientes hilos de cobre, ser de pequeño tamaño y de poco peso, sus bajas pérdidas de energía y lascomunicaciones seguras.

El microprocesador se utiliza en la transmisión por las ventajas que posee de rapidez de cálculo, pequeñotamaño, fiabilidad, precio cada vez más competitivo y ser apto para realizar cálculos adicionales.

El microprocesador ha permitido, a partir de 1986, la aparición del primer transmisor con señal de salidaenteramente digital, lo cual facilita las comunicaciones enteramente digitales entre el transmisor y elcontrolador o receptor. Las operaciones de digitalización de señales y su envío a los sistemas de control están

bajo un proceso de normalización a cargo del Comité SP50 de ISA.

4.5.1 Transmisores industriales.

El diseño de los transmisores industriales es muy variado, pudiendo disponer hoy en día en el mercado deuna gran familia de este tipo de instrumentos. Entrar con detalle en cada uno de ellos, o simplemente en losmás utilizados, llevaría muchas páginas, lo que no es objeto de este libro. Sin embargo conviene describir brevemente el fundamento de la transmisión de señales.

Lo que se expone seguidamente es una breve descripción del principio de funcionamiento de lostransmisores atendiendo al tipo de señal que emiten. Como se observará, los transmisores basan su acción entécnicas ya descritas anteriormente para los convertidores de señales.

Transmisores neumáticos.

Los transmisores neumáticos se basan en el sistema tobera-obturador (como el utilizado en el convertidor decorriente a presión) que convierte el movimiento mecánico del elemento de medición en una señal neumática(figura 4.50 ).

El sistema tobera-obturador consiste en un tubo neumático alimentado a una presión constante con unareducción en su salida en forma de tobera, la cual puede ser obstruida por una lámina llamada obturador cuyaposición depende del elemento de medida.

Transmisores eléctricos.

Los transmisores eléctricos son, generalmente, de equilibrio de fuerzas. Consisten, en su forma más sencilla,en una barra rígida apoyada en un punto sobre la que actúan dos fuerzas en equilibrio:

• La fuerza ejercida por el elemento mecánico de medición (tubo Bourdon, espiral, fuelle...).

• La fuerza electromagnética de una unidad magnética.




133

El desequilibrio entre estas dos fuerzas da lugar a una variación de posición relativa de la barra, excitando un

transductor de desplazamiento, tal como un detector de inductancia o un transformador diferencial. Un circuitooscilador, asociado con cualquiera de estos detectores, alimenta una unidad magnética y la fuerza generadareposiciona la barra de equilibrio de fuerzas. Se completa así un circuito de realimentación variando lacorriente de salida en forma proporcional al intervalo de la variable del proceso.

Estos instrumentos, debido a su constitución mecánica, requieren un ajuste del cero, complicado de lograr, yuna alta sensibilidad a vibraciones. Su precisión es del orden del 0,5 al 1 %.

Transmisores digitales.

A los transmisores digitales también se les conoce como transmisores inteligentes. Este término indica que eltransmisor tiene incorporadas funciones adicionales que se añaden a las propias de la medida exclusiva de lavariable. Lógicamente dichas funciones son proporcionadas por un microprocesador, pero esto no es esencialpara que al instrumento pueda aplicársele la denominación de inteligente.

Hay dos modelos básicos de transmisores inteligentes:

• El capacitivo: está basado en la variación de capacidad que se produce en un condensador formado por dos placas fijas y un diafragma sensible interno y unido a las mismas, cuando se les aplica una presión opresión diferencial a través de dos diafragmas externos. La transmisión de la presión del proceso serealiza a través de un fluido (aceite) que rellena el interior del condensador. El desplazamiento deldiafragma sensible es de sólo 0,1 mm, como máximo. Un circuito formado por un oscilador ydemodulador transforma la variación de capacidad en señal analógica. Ésta, a su vez, es convertida aseñal digital y pasa después a un microprocesador inteligente que la transforma en señal analógica detransmisión de 4-20 mA c.c.

• El de semiconductor : aprovecha las propiedades eléctricas de los semiconductores al ser sometido atensiones. El modelo de semiconductor difundido está fabricado a partir de una delgada película de silicioy utiliza técnicas de dopaje para generar una zona sensible a los esfuerzos. Se comporta como un cir-cuito dinámico de puente de Wheatstone aplicable a la medida de presión, presión diferencial y nivel,formado por una pastilla de silicio difundido en el que se hallan embebidas las resistencias de un puentede Wheatstone. El desequilibrio del puente originado por cambios en la variable da lugar a una señal desalida de 4-20 mA c.c.

El microprocesador compensa las no linealidades de los elementos o sensores individuales, convierte lasseñales analógicas en impulsos y calcula, mediante datos prefijados en fábrica y almacenados en su memoria,un valor digital de salida, que es transformado en la señal de salida analógica de 4-20 mA c.c. Uncomunicador portátil de teclado alfanumérico, que puede conectarse en cualquier punto del cable de dos hilosentre el transmisor y el receptor, permite leer los valores del proceso, configurar el transmisor, cambiar sucampo de medida y diagnosticar averías.

Los transmisores inteligentes se prestan también al autodiagnóstico de sus partes electrónicas internas,función que proporciona al Departamento de Mantenimiento de la empresa las siguientes ventajas:

• El conocimiento de la existencia de un problema en el circuito.

• El diagnóstico y la naturaleza del problema, señalando qué instrumento ha fallado.

obturador asociado alelemento de medición

entradade presión

señal de presiónde salida

tobera

Figura 4.50 : Sistema tobera - obturador.




134

• Las líneas a seguir para la reparación o sustitución del instrumento averiado.

Con la entrada del transmisor inteligente, la calibración y el cambio de margen de trabajo se logran,simplemente, por examen de los datos almacenados en una PROM y por utilización de técnicas digitales. Se

consigue de este modo una relación turndown (relación entre el nivel mínimo de la variable y el máximo que esmedible, conservándose la precisión de la medida del instrumento) de un valor máximo de 400:1, frente a larelación 1 a 6 de un transmisor de presión o nivel convencional, lo que posibilita la reducción drástica delnúmero de transmisores en stock al poder utilizar, prácticamente, un sólo modelo para cubrir los diferentescampos de medida utilizados hasta entonces en la fábrica.

Otras ventajas adicionales de estos transmisores son:

• El cambio automático del campo de medida, para los casos en los que el valor de la variable salga delcampo.

• La monitorización de temperaturas y tensiones de referencia de los transmisores.

• La fijación de la variable en el último valor alcanzado, para el caso de detectarse alguna irregularidad enel funcionamiento del aparato.

• El autoajuste desde el panel de control.• La función de caracterización que compensa las diferencias entre las condiciones de calibración en

fábrica y las condiciones de campo actuales (algoritmo de caracterización único para cada instrumento) yque permite la instalación directa en campo y la fijación del campo de medida sin calibración, etc.

Para visualizar la señal de salida, los datos de configuración, el margen de funcionamiento y otrosparámetros, y cambiar los ajustes del campo de medida, se utiliza un comunicador portátil, que se conecta encualquier punto de la línea de transmisión.

El transmisor o varios transmisores pueden conectarse, a través de una conexión RS-232, a un ordenador personal, que con el software adecuado, es capaz de configurar transmisores inteligentes.

En resumen, las ventajas del transmisor inteligente con relación a los instrumentos electrónicos analógicosconvencionales (señal de salida de 4 a 20 mA c.c.) son:

• Mejora de la precisión (2:1 como mínimo).• Mejora de la estabilidad en condiciones de trabajo diversas (de 3:1 a 15:1).

• Campos de medida más amplios.

• Mayor fiabilidad.

• Bajos costes de mantenimiento.

Y si el transmisor empleado es de salida digital directa, añade al anterior:

• Menor desviación por variaciones de la temperatura ambiente o de la tensión de alimentación.

• Diagnóstico continuo del circuito (estado del instrumento).

• Comunicación bidireccional.

• Configuración remota desde cualquier punto de la línea de transmisión.

En cuanto a las desventajas, existe el problema de la rapidez y la falta de normalización de lascomunicaciones.

Si el transmisor inteligente transmite una señal rápida, tal como la presión o el caudal, existe el peligro deque la cantidad de tareas y cálculos que debe realizar el microprocesador le impida captar todos los valores dela variable. En este caso, debe utilizarse un transmisor electrónico analógico.

Los transmisores inteligentes con señal de salida de 4 a 20 mA c.c. pueden intercambiarse perfectamentecon transmisores de otros fabricantes. Ello no es posible si son de señal de salida digital, debido a la falta denormalización en el campo de las comunicaciones que subsiste actualmente.

Existen instrumentos que reúnen tres transmisores en un solo aparato, logrando medir la presión, la presióndiferencial y la temperatura a partir de un sólo elemento primario, tal como una placa-orificio, tobera o tubo

Venturi. Se consigue así reducir el coste (menores cableado, mano de obra y mantenimiento) y aumentar laprecisión.




135

4.5.2 Comunicaciones. Buses industriales.

Tradicionalmente, la mayor parte de las comunicaciones entre los instrumentos de campo y los instrumentosde panel (los que constituyen el sistema de control) se basan en señales de tipo analógico (neumáticas o

eléctricas). Sin embargo, los instrumentos digitales capaces de manejar grandes volúmenes de datos yguardarlos en unidades históricas están aumentando día a día sus aplicaciones. Su precisión es unas diezveces mayor que la de la señal eléctrica clásica. En lugar de enviar cada variable por un par de hilos,transmiten secuencialmente las variables a través de un cable de comunicaciones llamado bus.

La tecnología fieldbus o bus de campo es un protocolo de comunicaciones digital de alta velocidad que estáen camino de sustituir a la señal analógica eléctrica en todos los sistemas de control distribuido (DCS) ycontroladores programables (PLC), instrumentos de medida y transmisión y válvulas de control. La ar-quitectura bus de campo conecta estos aparatos con ordenadores que pueden trabajar para muchos niveles enla dirección de la planta. Los protocolos patentados por los fabricantes no permiten al usuario final laintercambiabilidad o interoperatibilidad de sus instrumentos, es decir, no es posible sustituir un instrumento deun fabricante por otro similar de otro fabricante, ni intercambiar instrumentos de funcionalidad equivalente.

La arquitectura interna del bus de campo tiene los siguientes niveles o capas:

• Nivel 1 (Físico): que especifica las condiciones del medio de transmisión, las características eléctricas,mecánicas y funcionales y la codificación de los datos.

• Nivel 2 (Enlace): que establece el enlace lógico, el control de flujo y de errores, la sincronización de latransmisión y el control de acceso al medio.

• Nivel 3 al 6 : son objeto de protocolo.

• Nivel 7 (Aplicación): que contienen los servicios y regula la transferencia de mensajes entre lasaplicaciones del usuario y los diferentes instrumentos.

• Capa usuario: dedicada.

El primer bus de campo, efectivamente abierto, utilizado ampliamente fue el MODBUS de Gould Modicon, elcual sólo dispone del nivel 1 (físico) y del 2 (enlace).

Los protocolos de comunicaciones abiertos importantes son:• HART (High way-Addressable-Remote-Transducer): desarrollado inicialmente por Rosemount Inc.,

agrupa la información digital sobre la señal analógica clásica de 4-20 mA c.c. La señal digital usa dosfrecuencias individuales, 1.200 y 2.200 Hz (que representan los dígitos 1 y 0). Con estas dos frecuenciasse forma una onda senoidal que se superpone sobre el lazo de corriente de 4-20 mA c.c. Como la señalpromedio de una onda senoidal es cero, no se añade ninguna componente de c.c. a la señal analógica de4-20 mA c.c.

El protocolo HART permite soportar hasta 256 variables, los transmisores pueden conectarse entre sí através de un bus y comunicarse con 15 aparatos (PLC, ordenadores).

• WorldFIP : utiliza sistemas de comunicaciones sincronizadas en tiempo, basados en el protocolo FIP(Factory Instrumentation Protocol) de la industria francesa que garantiza una comunicación rápida en elcontrol de procesos. Lo integran Schneider, Honeywell, Bailey, Cegelec, Allen Bradley,

• ISP (Interoperable Systems Project): se basa en varios sistemas, entre ellos PROFIBUS, estándar alemán en que el aparato (host ) pasa un testigo (token) de aparato en aparato, dándole así acceso alcircuito. Lo integran Siemens, Rosemount, Fisher Controls, Yokogawa, Foxboro, ABB, etc.

La Fundación Fieldbus fue creada en 1994 para definir un único estándar según las normas IEC-ISA y agrupala organización WorldFIP y la Fundación ISP . Ello fue posible gracias a los progresos efectuados en losprotocolos FIP y PROFIBUS.

En Europa existen normas de la CEGELEC (EN-82150) y está en marcha una iniciativa europea que puedereunir características de las normas FIP , PROFIBUS y P-NET .

El sistema totalmente abierto desde la sala de control hasta los instrumentos de campo se conseguirá con elfieldbus estándar. Éste proporciona el control automático y secuencial, alarmas e inteligencia en losinstrumentos de campo.

Cabe señalar que el sistema totalmente abierto se puede combinar con sistemas UNIX , redes Ethernet , conla base de datos relacional Oracle y con sistemas Windows, lo que reduce la necesidad de interfaces. Sin




136

embargo, el sistema abierto combinado con software comercial puede conducir a una potencial pérdida deseguridad de datos por lo que los suministradores propietarios del sistema lo desarrollan con sumo cuidado.




137


Las actividades que se proponen a continuación requieren la utilización de maquetas didácticas de sistemasde regulación y control. De todos modos, y con el fin de no ceñirse a ningún fabricante de maquetas didácticasconcreto, se proporcionarán los esquemas funcionales de las actividades, dejando para el profesor laejecución práctica con el material que él disponga.

Actividad 4.1: Lectura de nivel de líquido en un sistema en lazo abierto sinpérdidas energéticas.

Se parte de un sistema constituido por un depósito que recibe líquido impulsado por una bomba. Pararealizar la medida de nivel de líquido se utilizará como transductor un transductor de presión de membranacon galgas extensiométricas. El montaje propuesto para esta actividad (el cual se basa en la maqueta decontrol de nivel y caudal de líquidos MD-544 de la firma Alecop) se puede apreciar en la figura 3.29.

Mediante la maqueta de control de nivel y caudal de líquidos, se desea construir una cadena de medida paracaptar la señal del nivel del depósito. Realizar los siguientes pasos:

• Realizar el montaje que aparece en la figura 4.51.

• Representar con un diagrama de bloques los elementos integrantes de la cadena de medida.

• Proceder a llenar el depósito mediante la puesta en marcha de la motobomba, alimentándola con unescalón de 10 V. Durante el proceso de llenado tomar lectura de los valores del voltímetrocorrespondientes a cada intervalo de 10% de llenado de depósito. Una vez llenado, abrir ligeramente eldesagüe y volver a tomar lecturas del voltímetro. Realizar una gráfica que muestre el proceso de llenado

y vaciado (valores de tensión en el voltímetro frente a valores de % de llenado). La cadena de medida¿resulta ser lineal? ¿Este sistema de medida presenta histéresis? Razonar las respuestas.

• Vuelve a realizar el ensayo, tomando lecturas del tiempo transcurrido cada 10% de nivel de llenadoalcanzado. Realiza una gráfica que muestre la evolución del llenado a lo largo del tiempo.

Actividad 4.2: Lectura de nivel de líquido en un depósito utilizando untransductor de nivel capacitivo. Sistema en lazo abierto sinpérdidas energéticas.

Mediante la maqueta de control de nivel y caudal de líquidos MD-544, se desea construir una cadena demedida para captar la señal del nivel del depósito. Realiza los siguientes pasos:

• Realizar un montaje similar al de la actividad 4.1 sustituyendo el transductor de presión de membrana por

el transductor capacitivo, con su correspondiente módulo acondicionador.• Representar con un diagrama de bloques los elementos integrantes de la cadena de medida.

AMP-700

0 V

E1

S1

S2

GANANCIA

CNS-700

0 V

VARIABLE

ESCALON

RAMPAAMPLITUD PENDIENTE

RESET

CV

CE

CR

- +

0 V

A

S1

S2Vp

offset A

NIVEL - PRESION

NBP-547

0 V

AS

Vb

offset A

NIVEL - BOYA

V

Motor bomba

Transductor de presión

de diafragmacon galgas

Figura 4.51 : Sistema de control de nivel de líquido.




138

• Proceder a llenar el depósito mediante la puesta en marcha de la motobomba, alimentándola con unescalón de 10 V. Durante el proceso de llenado tomar lectura de los valores del voltímetrocorrespondientes a cada intervalo de 10% de llenado de depósito. Una vez llenado, abrir ligeramente eldesagüe y volver a tomar lecturas del voltímetro. Realizar una gráfica que muestre el proceso de llenado

y vaciado (valores de tensión en el voltímetro frente a valores de % de llenado). La cadena de medida¿resulta ser lineal? ¿Este sistema de medida presenta histéresis? Razonar las respuestas.

• ¿Qué diferencias existen entre los resultados obtenidos con este sistema de medida y el sistema de laactividad 4.1?


Ejercicio 4.1

Para medir la presión en un depósito se utiliza una galga extensiométrica, un puente de Wheatstone deresistencias con una fuente de alimentación 12 V c.c. y un elemento visualizador analógico. La galga

extensiométrica posee una función de transferencia de 10-4

Ω/Pa. El puente de resistencias junto con la fuentede alimentación posee una función de transferencia de 20 mV/Ω. El visualizador desplaza su aguja a razón de20 mm por cada 1 mV que recibe. Contestar a las siguientes preguntas.

a) ¿Qué función desempeña cada elemento en la cadena de medida?. Dibujar el diagrama de bloquescorrespondiente.

b) Calcular la función de transferencia de la cadena de media. ¿Existe una relación lineal entre la variable amedir y la variable medida?.

Ejercicio 4.2

Un termómetro utiliza una de resistencia de platino como transductor. Este transductor tiene un valor deresistencia de 100 Ω a 0 ºC, 138,5 Ω a 100 ºC y 175,83 Ω a 200 ºC. Si se supone un comportamiento linealentre 0 y 200 ºC, ¿cuál es el valor del error de no linealidad que se comete a 100 ºC? Dibujar una gráfica

donde se refleje la curva de comportamiento real y la curva de comportamiento ideal .



139

UNIDAD 5Análisis funcional de los procesos de control de

lazo cerrado.

5.1 Análisis de la respuesta transitoria.

En la unidad 3 se expuso el método para obtener el modelo matemático de un sistema físico, lo cualrepresenta el primer paso para analizar un proceso de control. El siguiente paso es el análisis delcomportamiento del proceso o sistema.

Puesto que el tiempo constituye una variable independiente de la mayor parte de los procesos de control,resulta importante evaluar el estado y las respuestas de salida con respecto al tiempo o, simplemente, larespuesta en el tiempo. En el problema de análisis se le aplica al sistema una señal de entrada de referencia yel desempeño del sistema se evalúa estudiando su respuesta en el dominio del tiempo.

En la práctica, para un proceso de control, la señal de entrada no se puede conocer con anticipación dado sucarácter aleatorio y la entrada instantánea no puede expresarse en forma analítica. Sólo en algunos casosespeciales, como el control automático de herramientas de corte, se conoce con anticipación la señal deentrada y se puede expresar en forma analítica o mediante curvas.

En el análisis y diseño de procesos de control, se debe tener una base de comparación del comportamientode los mismos ante señales de entrada de prueba particulares. Muchos criterios de diseño se basan en talesseñales. El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características derespuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales. En el apartado 5.1.1 se tratan las señales de prueba más típicas.

La respuesta en el tiempo de un proceso de control casi siempre se divide en dos partes: la respuestatransitoria y la respuesta en estado estable. Si y(t) denota una respuesta temporal del proceso de control,entonces se puede expresar como:

y(t) = y t (t) + y ∞(t) (5.1.0.1)

donde y t (t) es la respuesta transitoria y y ∞(t) es respuesta en estado estable.

En los estudios de sistemas de control, se define la respuesta en estado estable como:

La respuesta fija cuando el tiempo tiende a infinito.

Por consiguiente, una onda senoidal se considera como una respuesta en estado estable, pues sucomportamiento es fijo para cualquier intervalo de tiempo, igual que cuando el tiempo tiende a infinito. Demanera similar, la función rampa y(t) = t, aunque aumenta con el tiempo, es una respuesta en estado estable.

La respuesta transitoria se define como:

La parte de la respuesta que pasa a cero cuando el tiempo es muy grande.

Por tanto, y t (t) tiene la siguiente propiedad:

0 )t ( y lím t t

=∞→

(5.1.0.2)

También puede decirse que la respuesta en estado estable es la parte de la respuesta que queda después dehaber desaparecido la transitoria.

Todos los procesos de control exhiben un cierto grado de fenómenos transitorios antes de alcanzar su estadoestable. Puesto que la inercia, la masa y la inductancia no pueden evitarse por completo en los sistemasfísicos, las respuestas de los procesos típicos de control no pueden reaccionar en forma instantánea a loscambios repentinos de la entrada y, casi siempre, aparecen respuestas transitorias. Por consiguiente, elcontrol de la respuesta transitoria es necesariamente importante, ya que es una parte significativa delcomportamiento dinámico del sistema. Antes de que el sistema alcance el estado estable, es necesarioobservar con cuidado la desviación entre la respuesta de salida y la respuesta deseada.




140

La respuesta en estado estable de un sistema de control también es muy importante, pues si la salida de unsistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error enestado estable. Este error indica la precisión del sistema.

El estudio de un sistema de control en el dominio del tiempo se basa, en esencia, en la evaluación de lasrespuestas transitorias y en estado estable. En el problema de diseño, las especificaciones suelen darse entérminos del desempeño transitorio y en estado estable, y los controladores se diseñan de tal manera que elsistema diseñado cumpla con las especificaciones.

En este primer apartado se comenzará por analizar la respuesta transitoria de un proceso de control, paradespués (apartado 5.2) estudiar las acciones de control básicas que permiten modificar el comportamiento dedicha respuesta.

5.1.1 Señales de prueba típicas.

A diferencia de muchos circuitos eléctricos y sistemas de comunicación, las excitaciones de entrada anumerosos procesos prácticos de control no se conocen de antemano. En muchos casos, las entradas realesde un sistema de control pueden variar aleatoriamente con respecto al tiempo. Esto impone un problema aldiseñador, pues resulta difícil diseñar un proceso de control que funcione en forma satisfactoria para cualquier señal de entrada. Para propósitos de análisis y diseño, se hace necesario suponer diversos tipos básicos defunciones de entrada, de tal manera que sea posible evaluar el desempeño del sistema con respecto a estasseñales de prueba. Cuando estas señales se seleccionan de manera apropiada, no sólo se sistematiza eltratamiento matemático del problema, sino que las respuestas que producen permiten predecir el desempeñodel sistema con otras entradas más complejas. En el problema de diseño se pueden especificar los criterios dedesempeño con respecto a estas señales de prueba, de modo que un sistema pueda ser diseñado de acuerdocon tales criterios.

Para facilitar el análisis en el dominio del tiempo, se usan como señales de prueba típicas la función impulso,la función escalón, la función rampa y la función parabólica. La forma de la entrada a la que el sistema estarásujeto con mayor frecuencia, en condiciones normales de operación, determina cuál de las señales de entradatípicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas para un sistema de controlson funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón sería una buena señal

de prueba. Para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor. Una vez diseñadoun sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general, el desempeño del sistema enrespuesta a las entradas reales es satisfactorio.

Algunas de estas señales de prueba ya han sido comentadas en los apartados 2.4.1 y 3.1.3. A pesar de ello,se considera conveniente volver a tratarlas.

Función entrada impulso.

Una señal de impulso δ(t) es una función que se define como:

δ(t) =0 0 t t

Alím0 →

para 0 < t < t 0

δ(t) = 0 para t 0 < t < 0 (5.1.1.1)

donde A es el área de la función impulso y t 0 la duración del mismo. Si A = 1 la función se denomina impulsounitario. En la figura 5.1a se muestra la función impulso con respecto al tiempo.

Función de entrada escalón.

La función de entrada escalón representa un cambio instantáneo de la variable de entrada de referencia. Lafunción escalón, f(t), se define como:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = A para t > 0 (5.1.1.2)

donde A es una constante. Esta función no está definida para t = 0 .

Por otra parte, si se define la función escalón unitario, 1(t), como:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = 1 para t > 0 (5.1.1.3)



Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

141

la función escalón se puede expresar de la siguiente manera:

f(t) = A·1(t) (5.1.1.4)

En la figura 5.1b se muestra la función escalón con respecto al tiempo.

Función de entrada rampa.

En el caso de una función rampa, se considera que la señal tiene una variación constante con respecto altiempo. En términos matemáticos, una función de rampa se expresa como:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = A·t para t > 0 (5.1.1.5)

o simplemente:

f(t) = A·t·1(t) (5.1.1.6)

Si A = 1 la función se denomina rampa unitaria. En la figura 5.1c se muestra la función rampa con respectoal tiempo.

Función de entrada parabólica.

La representación matemática de una función de entrada parabólica es:

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = A·t 2 para t > 0 (5.1.1.7)

o simplemente,

f(t) = A·t 2 ·1(t) (5.1.1.8)

Si A = 1 la función se denomina función parabólica unitaria. En la figura 5.1d se muestra la función parabólicacon respecto al tiempo.

Todas estas señales de prueba tienen como característica común que se describen con facilidad en términosmatemáticos y, de la función impulso a la parabólica, se vuelven progresivamente más rápidas con respecto altiempo.

función impulso

función rampa

función escalón

función parabólica

tiempo t

tiempo t

tiempo t

tiempo t

f(t)

f(t)

f(t)

f(t)

A A

a)

c)

b)

d)

Figura 5.1 : Representación gráfica de las señales de prueba típicas para el diseño y análisis delos procesos de control.




142

El proceso de control al que se le aplica una función impulso proporciona a su salida una señal cuyatransformada de Laplace es, directamente, la función de transferencia del sistema.

La función escalón unitario es muy útil como señal de prueba, pues su aumento inicial instantáneo de

amplitud revela muchos datos sobre la velocidad de respuesta del sistema. Además, puesto que esta funcióntiene, en principio, un espectro de frecuencias muy amplio como resultado del salto o discontinuidad, estaseñal de prueba equivale a la aplicación de muchas señales senoidales con un intervalo muy amplio defrecuencias.

La función rampa tiene la característica de probar el sistema con respecto a una variación lineal con eltiempo. La función parabólica es un grado más rápida que la rampa. En la práctica, pocas veces es necesariousar una señal de prueba más rápida que la función parabólica. Esto se debe a que, como se verá másadelante, para que un sistema siga o responda a una entrada de orden superior, debe ser también de ordensuperior, lo que significa que pueden aparecer problemas de estabilidad.

5.1.2 Respuesta transitoria en sistemas de primer orden.

Un proceso o sistema de primer orden es aquél que queda representado por una ecuación diferencial deprimer orden. La función de transferencia de un sistema realimentado, o de lazo cerrado, de primer orden esdel tipo:

M Y s

R s T s= =

+ ⋅

( )

( )

1

1(5.1.2.1)

Ejemplo 5.1

Un circuito eléctrico constituido por una resistencia y una bobina en serie constituyen un sistema de primer orden (figura 5.2 ).

R

L

i(t)

v(t)

Figura 5.2 : Circuito RL.

La ecuación en el dominio del tiempo que relaciona la señal de entrada (tensión de alimentación v(t)) con lasalida (corriente que circula por el circuito i(t)) se expresa como:

v t R i t Li t

t ( ) ( )

( )= ⋅ + ⋅

δ

δ(5.1.2.2)

La transformada de Laplace de esta ecuación, con la suposición de que todas las condiciones iniciales soncero, permite determinar la función de transferencia del sistema:

I s

V s

R L

R s

( )

( )=

+ ⋅

1

1

(5.1.2.3)

Al cociente L/R se le denomina constante de tiempo T , mientras que al inverso de la resistencia 1/R seconoce como conductancia G. La expresión resultante es:

I s

V s

G

T s

( )

( )=

+ ⋅1(5.1.2.4)

La figura 5.3 presenta un diagrama de bloques simplificado del circuito RL.




143

1

T·s

I(s) V(s)

G

Figura 5.3 : Diagrama de bloques del circuito RL.

En lo sucesivo, se analizarán las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón unitario,rampa unitaria e impulso unitario. En todos los análisis que se efectúen se partirá de condiciones iniciales iguala cero. Obsérvese que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia mostrarán la mismasalida en respuesta a la misma entrada.

Respuesta a la entrada escalón unitario.

Para probar el sistema ante una señal de prueba, se hace que la entrada o variable de referencia R(s) de laecuación (5.1.2.1) sea igual a la transformada de Laplace de la función de prueba. En este caso, la señal deentrada es la función escalón unitario, cuya transformada de Laplace es 1/s.

Haciendo R(s) = 1/s, la salida del sistema resulta:

Y ss T s

( ) = ⋅+ ⋅

1 1

1(5.1.2.5)

Si lo que se pretende es observar la señal de salida en función del tiempo, será necesario expandir Y(s) enfracciones parciales, para después realizar la transformada inversa de Laplace:

( )Y s

s

T

T s s T s( )

/= − + ⋅ = − +

1

1

1 1

1(5.1.2.6)

Realizando la transformada inversa de la ecuación (5.1.2.6) se obtiene y(t):

y t e

t

T ( ) = −−

1 para t ≥ 0 (5.1.2.7)

La representación gráfica de esta ecuación corresponde a una curva de respuesta exponencial, tal y como semuestra en la figura 5.4.

Obsérvese que, cuanto más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema.Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangentepara t = 0 es 1IT . Esto es fácilmente demostrable si se deriva la función de salida y(t) con respecto a lavariable independiente t (tiempo) y después se hace t = 0 .

δ

δ

y t

t T e

T

t

T

t

( )= ⋅ =

−

=

1 1

0

(5.1.2.8)

La respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de laecuación (5.1.2.8) se comprueba que la pendiente de la curva de respuesta y(t) disminuye en formamonotónica de 1/T en t = 0 a cero en t = ∞.

Aunque la función respuesta no alcanza el valor final (y(t) = 1) hasta t = ∞, en la práctica, una estimaciónrazonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar lalínea de 98,2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.




144

Respuesta a la entrada rampa unitaria.

Ahora se ensaya con la señal de entrada rampa unitaria, cuya transformada de Laplace es 1/s2 . HaciendoR(s) = 1/s2 , la salida del sistema resulta:

Y ss T s

( ) = ⋅+ ⋅

1 1

12

(5.1.2.9)

De la expansión en fracciones parciales de Y(s) se obtiene:

( )Y s

s

T

s

T

T s( )

/= − +

+

1

12 (5.1.2.10)

Y de la transformada inversa de la ecuación (5.1.2.10) se logra expresar la respuesta del sistema en funcióndel tiempo:

y t t T T e

t

T ( ) = − + ⋅−

para t ≥ 0 (5.1.2.11)

Si se define el error o señal de error e(t) como la diferencia entre la entrada y la salida:

e t u t y t t t T T e T e

t

T

t

T ( ) ( ) ( )= − = − − + ⋅

= ⋅ −

− −

1 (5.1.2.12)

Conforme t tiende a infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a T , esdecir:

e( ∞ ) = T

La representación gráfica de la entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura 5.5 . Elerror después de la entrada rampa unitaria es igual a T para un valor de t suficientemente grande. Cuanto máspequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entradarampa.

y(t)

tiempo t

6 3 , 2

% 8 6 , 5

%

9 5 %

9 8 , 2

%

9 9 , 3

%

0 T 2·T 3·T 4·T 5·T

1

pendiente 1/T

Figura 5.4 : Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada escalónunitario.




145

Respuesta a la entrada impulso unitario.

Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1, se obtiene la salida del sistema Y(s) como:

Y sT s

( ) =+ ⋅

1

1(5.1.2.13)

La respuesta temporal del sistema es:

y t T

et T ( ) = ⋅

−1para t ≥ 0 (5.1.2.14)

La curva de respuesta obtenida mediante la ecuación (5.1.2.14) aparece en la figura 5.6 .

Es conveniente destacar una propiedad importante de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. En elanálisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa unitaria, la salida y(t) es:

y(t)

tiempo t 0 T

T T

T

2·T

2·T

3·T

3·T

4·T

4·T

5·T

5·T

error en estado estable

u(t) = t

Figura 5.5 : Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada rampaunitaria.

y(t)

tiempo t 0 T 2·T 3·T 4·T 5·T

1/T

Figura 5.6 : Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada impulsounitario.




146

y t t T T e

t

T ( ) = − + ⋅−

para t ≥ 0

Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida y(t) es:

y t e

t

T ( ) = −−

1 para t ≥ 0

Finalmente, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida y(t)es:

y t T

e

t

T ( ) = ⋅−1

para t ≥ 0

Una comparación de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con claridad que larespuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para laseñal original. También se observa que la respuesta para la integral de la señal original se obtiene integrandola respuesta del sistema para la señal original y determinando las constantes de integración a partir de lacondición inicial de salida cero. Esta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Lossistemas lineales y variantes con el tiempo y los sistemas no lineales no poseen esta propiedad.

Ejemplo 5.2

Se vuelve a tomar el circuito RL del ejemplo 5.1 cuya función de transferencia quedaba definida como:

I s

V s

R L

R s

( )

( )=

+ ⋅

1

1

Como al cociente L/R se le denomina constante de tiempo T , y al inverso de la resistencia 1/R se conocecomo conductancia G, la expresión resultante es:

I s

V s

G

T s

( )

( )=

+ ⋅1

Si se aplica una entrada escalón de valor v(t) = V para t ≥ 0 , resulta una respuesta temporal:

i t V G eV

R e

t

T

t

T ( ) = ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

− −

1 1 para t ≥ 0

La gráfica de esta respuesta se muestra en la figura 5.7 .

i(t)

tiempo t 0 T 2·T 3·T 4·T 5·T

V/R pendiente V/(R·T)

Figura 5.7 : Respuesta del circuito RL a una entrada escalón de valor V .

La interpretación de esta señal de salida, desde un punto de vista eléctrico, es muy sencilla. La señal deentrada es una tensión continua que, en un instante t = 0 , pasa de 0 a V voltios (simplemente se cierra uninterruptor en t = 0 ). La bobina L se opone a un cambio brusco de corriente en el circuito, por lo que se induceuna fuerza electromotriz opuesta a la causa que la crea. Conforme se va estabilizando el valor de corriente en




147

el circuito, la impedancia de la bobina se va reduciendo hasta hacerse nula, por lo en el circuito no hay másresistencia que R . En esta situación, para tiempos suficientemente grandes (t > 4·T ) y aplicando la ley deOhm, se alcanza un valor de corriente V/R .

5.1.3 Respuesta transitoria en sistemas de segundo orden.

Un proceso o sistema de segundo orden es aquél que queda representado por una ecuación diferencial desegundo orden. La función de transferencia de un proceso de control realimentado, o de lazo cerrado, desegundo orden corresponde al tipo:

M Y s

R s

K

J s B s K = =

⋅ + ⋅ +

( )

( ) 2 (5.1.3.1)

Ejemplo 5.3

Un circuito eléctrico constituido por una resistencia, un condensador y una bobina en serie constituyen unsistema de segundo orden (figura 5.8 ). En esta ocasión se considera que v i (t) es la entrada y v o(t) la salida.

R L

i(t)

C


Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al sistema, se obtienen las ecuaciones siguientes:

R i t Li t

t C i t t v t i ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =∫ ( )

( )( ) ( )

δ

δδ

1

1

C i t t v t o⋅ ⋅ =∫ ( ) ( )δ

Para la obtención de la función de transferencia, se toma la transformada de Laplace de las ecuacionesanteriores y se suponen las condiciones iniciales iguales a cero:

R I s L s I sC s

I s V si ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅

⋅ =( ) ( ) ( ) ( )1

1

C sI s V so

⋅⋅ =( ) ( )

Dado que v i (t) es la entrada y v o(t) la salida, la función de transferencia de este sistema resulta ser:

R C s V s L C s V s V s V so o o i ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + =( ) ( ) ( ) ( )2

V s

V s L C s R C s

o

i

( )

( )=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

1

12

El trazado del diagrama de bloques del circuito del ejemplo se representa en la figura 5.9.




148

1

R + L·s

I(s) 1

C·s

Figura 5.9 : Diagrama de bloques del circuito RLC .

Si se compara la función de transferencia resultante de este circuito RLC , con el modelo de función detransferencia de la ecuación (5.1.3.1), se llega a la siguiente equivalencia:

J = L·C ; B = R·C ; K = 1

Ya ha quedado definido que la parte transitoria de la respuesta en el tiempo es la parte que tiende a cero amedida que el tiempo aumenta. Claro está que la respuesta transitoria sólo tiene significado cuando se tratade un sistema estable, pues en un sistema inestable, la respuesta no disminuye y está fuera de control.

La respuesta transitoria de un proceso de control se caracteriza con el uso de una entrada escalón unitario.Los parámetros típicos que se usan para caracterizar la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitarioson tiempo de retardo, tiempo de subida, tiempo de pico, sobrepaso máximo y tiempo de asentamiento. Lafigura 5.10 ilustra la respuesta típica a una entrada escalón unitario para un sistema lineal.

A continuación se definen los criterios usados para la caracterización de la respuesta transitoria:

• Tiempo de retardo (t d ): se define como el tiempo que se necesita para que la respuesta ante la entradaescalón unitario alcance el 50% de su valor final.

• Tiempo de subida (t r ): el tiempo de subida t r se define como el tiempo necesario para que la respuestaante la entrada escalón pase del 10% hasta el 90% de su valor final.

• Tiempo de pico (t p ): es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobrepaso.

• Sobrepaso máximo (M p ): se define como la máxima desviación de la salida, durante el estado transitorio,con respecto a su valor final en estado estable. La magnitud máxima del sobrepaso se usa también comomedida de la estabilidad relativa del sistema. El sobrepaso máximo se suele representar como unporcentaje del valor final de la respuesta escalón unitario, es decir:

M y t y

y

p p

=− ∞

∞

⋅( ) ( )

( )

100 (5.1.3.2)

donde y( ∞ ) es valor final en estado estable, y(t p ) es el valor máximo que alcanza la salida, el cual,obviamente, debe coincidir en el instante del tiempo de pico. Si el error en estado estable es pequeño, locual es el deseo habitual en el diseño de un sistema, la expresión de sobrepaso máximo se puede definir como:

M y t A

A p

p=

−⋅

( )100 (5.1.3.3)

donde A es la amplitud del escalón de entrada. Si el escalón es unitario, A = 1.

• Tiempo de asentamiento (t s ): es el necesario para que la respuesta a escalón unitario decrezca y quededentro del intervalo específico de porcentaje de su valor final. Este porcentaje del valor final se sueletomar entre el 2% y el 5%, dependiendo de cuál es el criterio de error en el diseño del sistema.




149

Estos cinco parámetros proporcionan una medida directa de las características transitorias de la respuestaescalón unitario. Estos parámetros son de fácil medición cuando ya se cuenta con la gráfica de la respuesta.Sin embargo, su determinación analítica es difícil, excepto en los casos simples.

La función de transferencia de un sistema de segundo orden, tal y como aparece en la ecuación (5.1.3.1),

puede reescribirse como:

M Y s

R s

K

J s B s K

K

J

sB

J s

K

J

= =⋅ + ⋅ +

=+ ⋅ +

=( )

( )2 2

=

+⋅

+⋅

−

⋅ +⋅

−⋅

−

K

J

sB

J

B

J

K

J s

B

J

B

J

K

J 2 2 2 2

2 2 (5.1.3.4)

Los polos de la función de transferencia pueden resultar complejos si B

2

- 4·J·K < 0 , o reales si B

2

- 4·J·K ≥ 0 .Para una mejor comprensión del análisis de la respuesta transitoria, se suele expresar,

K

J n= ω2

;B

J n= ⋅ ⋅ = ⋅2 2 ζ ω σ

donde:

• σσ : se denomina atenuación.• ωωn : se denomina frecuencia natural no amortiguada.• ζζ : se denomina factor de amortiguamiento relativo del sistema.

El factor de amortiguamiento relativo ζ es el cociente entre el amortiguamiento real B y el amortiguamiento

crítico Bc = 2 ⋅ ⋅J K , tal y como se expresa a continuación:

ζ = = ⋅ ⋅

B

B

B

J K c 2

y(t)

tiempo t 0

1

escalón unitario

0,9

0,5

0,1

1,05

0,95

error en estado estable

Figura 5.10 : Gráfica de la respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón unitario en donde sereflejan los cinco parámetros básicos que caracterizan una respuesta transitoria: t d , t r , t p, M p y t s.




150

Si se escribe la ecuación (5.1.3.1) en términos de ωn y ζ , queda:

M

Y s

R s

K

J s B s K

K

J

sB

J s

K

J

s s

n

n n= = ⋅ + ⋅ + =

+ ⋅ += + ⋅ ⋅ ⋅ +

( )

( ) 2 2

2

2 2 2

ω

ζ ω ω (5.1.3.5)

El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden puede describirse con los parámetros ωn y ζ. Aplicando el teorema del valor final (apartado 2.4.2 de la unidad 2), y en función del rango de valores que tomeel factor de amortiguamiento relativo del sistema (ζ), pueden distinguirse los siguientes casos decomportamiento de dicho sistema:

• Sistema sobreamortiguado ( ζ > 1): la función de transferencia del lazo cerrado tiene dos polos reales en elsemiplano izquierdo del plano complejo s.

• Sistema críticamente amortiguado ( ζ = 1): el polo de la función de transferencia es real (s = - ωn) y estásituado en el semiplano izquierdo del plano complejo s. También se aproxima a un sistema críticamenteamortiguado aquél que tenga en el semiplano izquierdo dos polos reales casi iguales.

• Sistema subamortiguado (0 < ζ < 1): en esta situación, los polos de la función de transferencia del lazo

cerrado son complejos conjugados localizados en el semiplano izquierdo del plano complejo s. En talcaso se dice que el sistema es subamortiguado, lo que da lugar a una respuesta transitoria oscilatoria.

• Sistema no amortiguado ( ζ = 0): en tal caso, los polos se hallan sobre el eje imaginario del plano complejos, lo que da lugar a una respuesta oscilatoria permanente.

• Sistema amortiguado negativamente ( ζ < 0): en esta situación, los polos de la función de transferencia dellazo cerrado son complejos conjugados localizados en el semiplano derecho del plano complejo s. En talcaso se tiene una respuesta transitoria oscilatoria cuya amplitud va creciendo con el paso del tiempo.

En la figura 5.11 se muestran las regiones del plano s en las que quedan localizados los polos de la funciónde transferencia para cada uno de los casos de comportamiento expuestos anteriormente.

Ahora se analizarán con más profundidad las respuestas del sistema a entradas tales como la funciónescalón unitario e impulso unitario. En todos los análisis que se efectúen se partirá de condiciones inicialesigual a cero.

Plano s

sistema sobreamortiguadoy críticamente amortiguado

sistemasubamortiguado

sistemaamortiguado

negativamente s i s t e m a

n o a m o r t i g u a d o

sistemasubamortiguado

sistemaamortiguado

negativamente s i s t e m a

n o a m o r t i g u a d o

Figura 5.11 : Ubicación, en el plano s, de los polos del sistema enfunción del comportamiento del mismo.




151

Respuesta a la entrada escalón unitario.

Para probar el sistema ante una señal de prueba, se hace que la entrada o variable de referencia R(s) de laecuación (5.1.3.3) sea igual a la transformada de Laplace de la función de prueba. En este caso, la señal de

entrada es la función escalón unitario, cuya transformada de Laplace es 1/s.La respuesta a la señal de entrada del sistema dependerá, ahora, del valor que tome el factor de

amortiguamiento relativo del sistema (ζ):

• Sistema subamortiguado (0 < ζ < 1): la función transferencia del sistema puede reescribirse como:

( ) ( )

Y s

R s s s s j s j

n

n n

n

n d n d

( )

( )=

+ ⋅ ⋅ ⋅ +=

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

ω

ζ ω ω

ω

ζ ω ω ζ ω ω

2

2 2

2

2 (5.1.3.6)

donde ω ω ζd n= ⋅ −12

y se le denomina como frecuencia natural amortiguada. Si se hace R(s) = 1/s,la salida Y(s) toma el aspecto:

( )Y ss s s s

s

s sn

n n

n

n n( ) =

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ += −

+ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + =ω

ζ ω ω

ζω

ζ ω ω

2

2 2 2 2 2

1 2

2

( ) ( )= −

+ ⋅

+ ⋅ ++

⋅

+ ⋅ +

=

12 2 2 2 s

s

s s

n

n d

n

n d

ζ ω

ζ ω ω

ζ ω

ζ ω ω

( ) ( )= −

+ ⋅

+ ⋅ ++

−⋅

+ ⋅ +

1

12 2 2 2 2 s

s

s s

n

n d

d

n d

ζ ω

ζ ω ω

ζ

ζ

ω

ζ ω ω

(5.1.3.7)

Si ahora se revisan algunas de las transformadas de Laplace de la tabla 2.1 (unidad 2):

f(t) F(s)

e-a·t ·sen( ω·t)( )

ω

ωs a+ +2 2

e-a·t ·cos( ω·t)( )

s a

s a

+

+ +2 2 ω

la transformada inversa de la ecuación (5.1.3.7) proporcionará la respuesta temporal del sistema, y(t),ante la entrada escalón unitario:

( ) ( )y t e cos t e sen t n nt d t d ( ) = − ⋅ ⋅ +−

⋅ ⋅ ⋅

=− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅1

12

ζ ω ζ ωω ζ

ζ

ω

( ) ( )= − ⋅ ⋅ +−

⋅ ⋅

=

− ⋅ ⋅1

12

e cos t sen t n t d d

ζ ωω

ζ

ζ

ω

= −−

⋅ ⋅ +−

− ⋅ ⋅

11

1

2

2 e

sen t arctg n t

d

ζ ω

ζ

ωζ

ζpara t ≥ 0 (5.1.3.8)

A la vista de la ecuación (5.1.3.8) se comprueba que la frecuencia de oscilación transitoria es lafrecuencia natural amortiguada ωd , la cual depende del factor de amortiguamiento relativo ζ.

La señal de error del sistema de segundo orden ante una entrada escalón unitario, se expresa como:




152

e t u t y t y t ( ) ( ) ( ) ( )= − = − =1e

sen t arctg n t

d

− ⋅ ⋅

−⋅ ⋅ +

−

ζ ω

ζ

ωζ

ζ1

1

2

2

(5.1.3.9)

La señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada. Para t = ∞, es decir, en estado estable,no existe error entre la entrada y la salida (e( ∞ ) = 0 ).

• Sistema no amortiguado ( ζ = 0): si se hace ζ = 0 en la ecuación (5.1.3.8), se obtiene la respuestatemporal:

( )y t cos t d ( ) = − ⋅1 ω para t ≥ 0 (5.1.3.10)

donde:

ω ω ζ ω ωd n n n= ⋅ − = ⋅ − =1 1 0 2

Como se puede observar, la respuesta transitoria nunca se hace cero y, como en este caso ωd = ωn, a lafrecuencia ωn se le denomina frecuencia natural no amortiguada.

• Sistema críticamente amortiguado ( ζ = 1): dado que el único polo del sistema, en este caso, es s = - ωn, larespuesta Y(s) ante la entrada escalón unitario se expresa como:

( ) ( )Y s

s s s s s

n

n n

n

n

( ) =⋅ + ⋅ ⋅ +

=⋅ +

ω

ω ω

ω

ω

2

2 2

2

2 2

(5.1.3.11)

La respuesta temporal de la salida se obtiene calculando el límite de la ecuación (5.1.3.8) cuando ζ = 1:

( )y t e t n t n( ) = − ⋅ + ⋅

− ⋅ ⋅1 1

ζ ωω para t ≥ 0 (5.1.3.12)

• Sistema sobreamortiguado ( ζ > 1): se tienen dos polos reales negativos diferentes. Ante la entradaescalón, la salida resulta:

Y s

s s s

n

n n n n

( ) =⋅ + ⋅ + ⋅ −

⋅ + ⋅ − ⋅ −

ω

ζ ω ω ζ ζ ω ω ζ

2

2 2 1 1

(5.1.3.13)

Realizando la transformada inversa de Laplace, se obtiene la respuesta en el tiempo y(t):

y t e

s

e

s

ns t s t

( ) = −⋅ −

⋅ −

− ⋅ − ⋅

12 1

2 1 2

1 2 ω

ζ

para t ≥ 0 (5.1.3.14)

donde s n12

1= ⋅ + −

ω ζ ζ y s n2

2 1= ⋅ − −

ω ζ ζ .

Es de observar que la respuesta incluye términos exponenciales que decaen con el tiempo. Además,cuando ζ es mucho mayor que 1, el polo -s2 tiende a cero (se aproxima al eje imaginario) mientras que elpolo -s1 se aleja mucho del eje imaginario. En esta situación, el polo que realmente tiene influencia en elcomportamiento del sistema es -s2 , por lo que se puede decir que el sistema se comporta como unsistema de primer orden (un único polo) y para una solución aproximada se puede ignorar -s1.

La respuesta temporal en estas circunstancias queda simplificada de la siguiente manera:

y t e

s

ns t

( ) = −⋅ −

⋅

− ⋅

12 1

2 2

2 ω

ζ

para t ≥ 0 (5.1.3.15)

En la figura 5.12 se reflejan las distintas respuestas a la entrada escalón para cada uno de los casostratados.




153

Obsérvese que dos sistema de segundo orden que tengan el mismo ζ pero diferente ωn, rebasarán en lamisma medida el límite máximo y mostrarán el mismo patrón oscilatorio. Se dice que tales sistemas tienen lamisma estabilidad relativa.

Es importante observar que, para los sistemas de segundo orden, cuyas funciones de transferencia en lazo

cerrado son diferentes de las obtenidas mediante la ecuación (5.1.3.5), las curvas de respuesta escalón se venmuy distintas de las que aparecen en la figura 5.12 .

Es de notar que un sistema subamortiguado cuyo valor de ζ esté comprendido entre 0,5 y 0,8 se aproximamás rápidamente al valor final que aquél que sea críticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre lossistemas que responden sin oscilación, un sistema críticamente amortiguado presenta la respuesta másrápida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento para responder a las entradas (figura 5.12 ).

Ahora que ya se conoce el comportamiento de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón,resulta interesante determinar los parámetros básicos que caracterizan la respuesta del sistema. Si se parte dela ecuación de la respuesta temporal (5.1.3.8):

y t e

sen t arctg n t

d ( ) = −

−

⋅ ⋅ +−

− ⋅ ⋅

11

1

2

2 ζ ω

ζ

ωζ

ζpara t ≥ 0

los parámetros característicos se calculan de la siguiente manera:

• Tiempo de subida (t r ): aunque el tiempo de subida t r se define como el tiempo necesario para que larespuesta ante la entrada escalón pase del 10% hasta el 90% de su valor final, en sistemassubamortiguados se toma el tiempo que transcurre desde el 0% al 100% del valor final de la respuesta.En tales circunstancias, y considerando que la entrada es un escalón unitario, se tiene que:

y(t r ) = 1

Por tanto:

1 11

1

2

2

= −−

⋅ ⋅ +−

− ⋅ ⋅e

sen t arctg n r t

d r

ζ ω

ζ

ωζ

ζ;

y(t )

0

1

1,2

0,2

1,4

0,4

1,6

0,6

1,8

0,8

2

Figura 5.12 : Curvas de respuesta al escalón unitario de un sistema de segundo orden.




154

esen t arctg

n r t

d r

− ⋅ ⋅

−⋅ ⋅ +

−

=ζ ω

ζ

ωζ

ζ1

10

2

2

;

−−⋅=

−−⋅==

−+⋅

ζ

ζπ

ωζ

ζ

ωζ

ζω

222 1111;0

1arctg arctg t arctg t

d d r r d (5.1.3.16)

• Tiempo de pico (t p ): la obtención del tiempo de pico es la obtención de un máximo de la función. Para ello,si se deriva la respuesta temporal con respecto al tiempo y se iguala a cero, se obtiene el tiempo de pico:

δ

δζ ω

ζ

ωζ

ζω

ζ

ωζ

ζ

ζ ω ζ ωy t

t

esen t arctg

ecos t arctg n

t

d d

t

d

n n( )= ⋅ ⋅

−⋅ ⋅ +

−

− ⋅−

⋅ ⋅ +−

=− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

1

1

1

1

2

2

2

2

( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

=

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

ζ ωζ

ζ ω ω ζ ωζ

ζ ω ω ζ

ζ ω ζ ω

n

t

d d d

t

d d

e

sen t cos t

e

cos t sen t

n n

1 1 1 12

2

2

2

( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

+ −

= ⋅

−⋅ ⋅

− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅

ω ωζ

ζ

ζ ω

ζ

ωζ ω

ζ ω

nt

d n

t

d e sen t e

sen t n

n2

2

2

2 1

11

Cuando t = t p, resulta que δy(t)/ δt = 0 , por lo tanto:

( )ω

ζ

ω

ζ ω

n

t

d p

esen t

n p

⋅−

⋅ ⋅ =

− ⋅ ⋅

10

2 ; ( )sen t d pω ⋅ = 0 ;

ω π π πd pt ⋅ = ⋅ ⋅0 2 3, , , K

Como el sobrepaso máximo se produce en el primer máximo de la función, se tiene que el tiempo de pico es:

t pd

=π

ω(5.1.3.17)

• Sobrepaso máximo (M p ): este parámetro quedaba definido en la ecuación (5.1.3.3) como:

M y t A

A p

p=

−⋅

( )100

donde A es la amplitud del escalón de entrada. Si el escalón es unitario, A = 1, el sobrepaso, en tantopor unidad, resulta:

M y t p p= −( ) 1 ;

M e

sen t arctg e e p

t

d p

t n p

n p= −−

⋅ ⋅ +−

= =

− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅

− ⋅−

ζ ωζ ω

πζ

ζ

ζ

ωζ

ζ1

1

2

2 1

2

(5.1.3.18)

• Tiempo de asentamiento (t s ): es el necesario para que la respuesta a escalón unitario decrezca y quededentro del intervalo específico de porcentaje de su valor final. Este porcentaje del valor final se sueletomar entre el 2% y el 5%, dependiendo de cuál es el criterio de error en el diseño del sistema.

Para un criterio del 2%, el tiempo de asentamiento es:

t s

n

=

⋅

4

ζ ω(5.1.3.19)

Para un criterio del 5%, el tiempo de asentamiento resulta:




155

t sn

=⋅

3

ζ ω(5.1.3.20)

A continuación se ejemplifica el uso de estos parámetros para el diseño de un sistema.Ejemplo 5.4

En el circuito RCL del ejemplo 5.3 se desea determinar las relaciones entre sus componentes para que larespuesta transitoria ante una entrada escalón unitario tenga un sobrepaso máximo de 0,1 V y un tiempo desubida de 0,1 s.

R L

i(t)

C


La función de transferencia de este sistema ya quedó determinada, y resulta ser:

V s

V s L C s R C s

o

i

( )

( )=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

1

12

Si se compara la función de transferencia resultante de este circuito RLC , con el modelo de función detransferencia de la ecuación (5.1.3.1), se llega a la siguiente equivalencia:

J = L·C ; B = R·C ; K = 1

A partir de aquí se pueden establecer las relaciones de los componentes del circuito con los parámetrosbásicos de la respuesta transitoria:

ωn

K

J L C

2 1= =

⋅; ζ

ω ω=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅= ⋅

B

J

R

L

R C

Ln n2 2 2 (5.1.3.21)

El sobrepaso máximo de 0,1 V sobre una entrada escalón de 1 V resulta ser del 10% (o 0,1 en tanto por uno). De este valor de sobrepaso se puede extraer el valor del factor de amortiguamiento relativo:

M e p = = =

− ⋅−

01 0 59111

2

, ; ,

πζ

ζζ

De la expresión de tiempo de subida se puede calcular la frecuencia natural no amortiguada:

t s arctg arctg r d d = = ⋅ −

−

= ⋅ −

−

01

1 1 1 1 0 5911

0 5911

2 2

,

,

,ω π

ζ

ζ ω π ;

ωd

rad

s= 22 0328 , ; ω

ω

ζn

d rad

s=

−=

127 3171

2 ,

Como dato indicativo de la respuesta transitoria, el tiempo de pico es:

t s pd

= = =π

ω

π

22 0328 01425

,,

Ahora, reemplazando y despejando en la ecuación (5.1.3.19), resulta:

LC

H =0 0529,

; R C

=0 2719,

Ω

Es decir, los componentes L y R del circuito quedan perfectamente definidos en función del valor de C . Para




156

poder elegir un valor numérico de todos los componentes, sólo basta establecer un requisito propio delfuncionamiento eléctrico del circuito. Si se fija un valor máximo de corriente, por ejemplo, se tendrían elegidostodos los componentes.

La figura 5.14 muestra la respuesta temporal v o(t) del circuito RCL.

t 0 s 0,1 s 0,2 s 0,3 s 0,4 s 0,5 s 0,6 s 0,7 s 0,8 s 0,9 s 1 s

1 V

1,2 V

0,2 V

0,4 V

0,6 V

0,8 V

Figura 5.14 : Gráfica de la respuesta v o(t) del circuito RLC para las condiciones especificadas

Respuesta a la entrada impulso unitario.

Al igual que ya se ha hecho con la respuesta del sistema ante la entrada escalón unitario, ahora se sustituyela función de entrada R(s) por la transformada de Laplace de la función impulso unitario: R(s) = 1. De estemodo, la función salida del sistema Y(s) resulta:

Y ss s

n

n n

( ) =+ ⋅ ⋅ ⋅ +

ω

ζ ω ω

2

2 2 2

(5.1.3.22)

A partir de la expresión de la ecuación (5.1.3.22) se obtiene la respuesta temporal del sistema realizando latransformada inversa de Laplace. Esta respuesta se puede estudiar en función del valor que tome el factor deamortiguamiento relativo del sistema (ζ):

• Sistema subamortiguado (0 < ζ < 1): la respuesta temporal, en este caso, resulta:

y t e sen t n t n

n( ) =−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ω

ζ

ω ζζ ω

11

2

2 para t ≥ 0 (5.1.3.23)

• Sistema no amortiguado ( ζ = 0): si se hace ζ = 0 en la ecuación (5.1.3.23), se obtiene la respuestatemporal:

( )y t sen t n n( ) = ⋅ ⋅ω ω para t ≥ 0 (5.1.3.24)

• Sistema críticamente amortiguado (ζ = 1):

y t t ent n( ) = ⋅ ⋅

− ⋅ω

ω2 para t ≥ 0 (5.1.3.25)

• Sistema sobreamortiguado ( ζ > 1): se tienen dos polos reales negativos diferentes. Ante la entradaimpulso unitario, la salida resulta:

Y s

s s

n

n n n n

( ) =+ ⋅ + ⋅ −

⋅ + ⋅ − ⋅ −

ω

ζ ω ω ζ ζ ω ω ζ

2

2 2 1 1

(5.1.3.26)

Realizando la transformada inversa de Laplace, se obtiene la respuesta en el tiempo y(t):




157

y t e en s t s t ( ) =

⋅ −⋅ −

− ⋅ − ⋅ω

ζ2 12

1 2 para t ≥ 0 (5.1.3.27)

donde s n12 1= ⋅ + −

ω ζ ζ y s n2

2 1= ⋅ − −

ω ζ ζ .

Con las expresiones (5.1.3.23) y (5.1.3.25) se obtienen las curvas de respuesta ( figura 5.16 )correspondientes a un factor de amortiguamiento relativo del sistema 0 < ζ ≤ 1.

Puesto que la función impulso es la derivada con respecto al t iempo de la función escalón, se puede concluir que el tiempo de pico (t p) para el sobrepaso máximo en la función escalón, es el mismo tiempo que transcurrehasta que la respuesta de la función impulso pasa por cero la primera vez.

5.2 Funciones básicas de control.

En el anterior apartado 5.1 se ha tratado cómo un proceso de control responde ante determinados estímuloso señales de entrada normalizadas. Como se ha podido comprobar, la señal de la respuesta del sistema no

siempre sigue la forma de la señal de entrada. En los sistemas de segundo orden, y órdenes superiores, sellega incluso a situaciones de clara inestabilidad (sistemas subamortiguados, no amortiguados y amortiguadosnegativamente).

Desde un punto de vista físico, las respuestas a las señales de prueba típicas se pueden interpretar comoque el sistema posee una inercia a cambiar de estado; de ahí que cuanto mayor sea su orden, mayor inerciapresentará ante los cambios de las señales de entrada.

Cuando un sistema de estas características se desea regular mediante un lazo cerrado con el fin de generar una señal de error que actúe sobre el elemento final de control, se hace bastante difícil la estabilización de larespuesta del sistema. Esto se debe a que la señal de error siempre irá por delante en el tiempo con respecto asu respuesta por parte del dispositivo controlado.

Ante esta situación, se hace clara la necesidad de un elemento de enlace, denominado controlador ocorrector de error , entre la señal de error generada por el comparador y el elemento final de control. El

controlador debe desarrollar una acción que contrarreste el retardo debido a la inercia natural del procesocontrolado. Además, este elemento ajustará la amplitud de la señal de error (acción proporcional) a los valores

0

0

0,2

-0,8

-1

0,4

-0,6

0,6

-0,4

0,8

-0,2

1

Figura 5.16 : Curvas de respuesta al impulso unitario de un sistema de segundo orden.




158

adecuados para su acción sobre el elemento final de control. Estas dos acciones (la determinada por laamplitud y la correspondiente al tiempo) constituyen la variable correctora.

Como ya se comentó en la unidad 1, el proceso de ajustar el controlador para modificar el tiempo y la

amplitud de la señal de error se denomina optimización.En el presente apartado, se analizarán las acciones o funciones básicas de control que realizan los

controladores para compensar los efectos inerciales del sistema.

Las funciones básicas de control se pueden clasificar en:

• Control de dos posiciones, o intermitente (encendido-apagado).

• Control proporcional.

• Control integral.

• Control proporcional-integral.

• Control proporcional-derivativo.

• Control proporcional-integral-derivativo. A continuación, se profundiza un poco sobre cada una de las acciones o funciones básicas de control

mencionadas.

5.2.1 Control de dos posiciones.

Es la forma más simple en la que el controlador puede reaccionar ante una señal de error. En un sistema deeste tipo, el controlador tiene sólo dos posiciones fijas. En muchos casos, estas dos posiciones son,simplemente conectado y desconectado. El controlador de dos posiciones, o de encendido-apagado, esrelativamente simple y económico, y, por esta razón, se usa ampliamente en sistemas de control, tantoindustriales como domésticos.

Sea u(t) la señal de salida del controlador y e(t) la señal de error. En un controlador de dos posiciones, laseñal u(t) permanece en un valor máximo o mínimo, según sea la señal de error positiva o negativa, de

manera que:u(t) = U 1 para e(t) > 0

u(t) = U 2 para e(t) < 0 (5.2.1.1)

donde U 1 y U 2 son constantes. Generalmente, el valor mínimo de U 2 puede ser o bien cero, o -U 1.

Los ejemplos más claros de controladores de dos posiciones son, en su mayoría, dispositivos eléctricos. Unode los más sencillos es el termostato constituido por una lámina bimetálica, la cual, y ante la presión dereferencia ejercida por un tornillo de ajuste, abre o cierra un contacto eléctrico en función del curvamientosufrido por la lámina ante las variaciones de temperatura. Otro tipo de controlador eléctrico sería aqueldispositivo que ante la variación de la señal de entrada (en este caso señal de error), logra la excitación de unelectroimán que abre o cierra un contacto eléctrico.

También existen controladores neumáticos proporcionales con muy altas ganancias que actúan como

controladores de dos posiciones y se les conoce como controladores neumáticos de dos posiciones.En la figura 5.17 se pueden ver diagramas de bloques, con sus correspondientes gráficas salida - error , de

controladores de dos posiciones. El rango en el que la señal de error debe variar antes que se produzca laconmutación, se denomina brecha diferencial o zona muerta. En la figura 5.17b se indica una brechadiferencial. Tal brecha diferencial hace que la salida del controlador u(t) mantenga su valor hasta que la señalde error haya rebasado ligeramente el valor cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado deuna fricción no intencional o movimiento perdido. Sin embargo, a veces, se provoca en forma deliberada paraimpedir la acción excesivamente frecuente del actuador y elemento final de control.




159

5.2.2 Control proporcional.

Para un controlador de acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y laseñal de error e(t), es:

u(t) = K p · e(t) (5.2.2.1)

o bien, expresándola en términos de función de transferencia:( )

( )

U s

E sK p= (5.2.2.2)

donde K p se denomina ganancia proporcional .

Se puede decir que, independientemente de la tecnología empleada en su construcción, el controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable. En la figura 5.18 se puede ver eldiagrama de bloques con su correspondiente gráfica salida - error .

Dado que no existe ningún controlador ideal, cabe comentar que la ganancia de un controlador proporcionalsiempre se define, y se cumple, para un determinado rango de señales de error. Este rango se denominabanda proporcional .

r (t ) e(t) u (t)

y*(t)

a) b)

r(t) e(t) u (t)

y*(t)

brecha diferencial

e(t)

u(t)

e(t) er

u(t)

Figura 5.17 : Diagramas de bloques y gráficas señal de salida - error para controladores de dosposiciones: a) controlador con conmutación de salida en el mismo punto para los dossentidos de recorrido de la variable, b) controlador de dos posiciones con brechadiferencial.

e(t)

u(t)

r (t ) e(t) u (t)

y*(t)

Figura 5.18 : Diagrama de bloques y gráfica señal de salida - error para el controlador proporcional.




160

5.2.3 Acción de control integral.

En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador u(t) tiene una relaciónproporcional con la variación de la señal de error e(t) con respecto al tiempo (velocidad de la señal de error).

Es decir:

δ

δ

u(t)

t K e(t)i = ⋅ (5.2.3.1)

o bien:

u(t) K e(t) t i 0

t = ⋅∫ δ (5.2.3.2)

donde K i es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es:

U(s)

E(s)

K

s

i = (5.2.3.3)

Al inverso de K i se le denomina tiempo integral T i , resultando la función de transferencia de la forma:

U(s)

E(s) T si

=⋅

1(5.2.3.4)

En la figura 5.19 se muestra el diagrama de bloques del controlador y una gráfica de comportamiento de lasalida del controlador en función de la señal de error.

Ante un error constante, el valor de u(t) aumenta a una velocidad constante. Ante un error igual a cero, el

valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control integral recibe el nombre de controlde reposición o restablecimiento.

5.2.4 Acción de control proporcional e integral (PI).

La acción de un controlador proporcional-integral queda definida por la siguiente ecuación:

u(t) K e(t)K

T e(t) t p

p

i 0

t = ⋅ + ⋅∫ δ (5.2.4.1)

y la función de transferencia del controlador es:

U(s)

E(s)

K 11

T s

p

i

= ⋅ +

⋅

(5.2.4.2)

r (t ) e(t) u (t)

y*(t)

r (t ) e(t) u (t)

y*(t)

t

t

e(t)

u(t)

Figura 5.19 : Opciones de diagrama de bloques y gráficas temporales de la señal de salida y error para el controlador integral.




161

donde K p es la ganancia proporcional y T i se denomina tiempo integral. Ambos valores, K p y T i sonajustables. El tiempo integral regula la acción de control integral, mientras que una modificación en K p afectatanto a la parte integral como a la proporcional de la acción de control. La figura 5.20 muestra un diagrama debloques de un controlador proporcional integral. Si la señal de error e(t) es una función escalón unitario, comose ve en la figura 5.20 , la salida del controlador u(t) pasa a ser la indicada en dicha figura.

5.2.5 Acción de control proporcional y derivativo (PD).

La acción de control proporcional-derivativo se define por la siguiente ecuación:

u(t) K e(t) K T e(t)

t p p d = ⋅ + ⋅ ⋅

δ

δ(5.2.5.1)

y la función de transferencia es:

( )U(s)

E(s)K 1 T s p d = ⋅ + ⋅ (5.2.5.2)

donde K p es la ganancia proporcional y T d es una constante denominada tiempo derivativo o tiempo deadelanto. Tanto K p como T d son regulables. La acción de control derivativa, a veces llamada control develocidad, se presenta cuando el valor de salida del controlador es proporcional a la velocidad de variación de

la señal de error. El tiempo derivativo T d es el intervalo de tiempo en el que la acción de derivativa se adelantaal efecto de la acción proporcional. En la figura 5.21 se puede ver un diagrama de bloques de un controlador

r (t ) e(t) u (t)

y*(t)

r (t ) e(t) u (t)

y*(t)

t

t

e(t)

u(t)

Figura 5.20 : Opciones de diagrama de bloques y gráficas temporales de la señal de salida y error para el controlador proporcional-integral.

r (t ) e(t) u (t)

y*(t)

r (t ) e(t) u (t)

y*(t)

t

t

e(t)

u(t)

acciónproporcional

Figura 5.21 : Opciones de diagrama de bloques y gráficas temporales de la señal de salida y error para el controlador proporcional-derivativo.




162

proporcional-derivativo. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitaria, la salida del controlador u(t) esla que se ve en la figura 5.21. Como puede comprobarse, la acción derivativa tiene una característicaanticipatoria. Por supuesto, una acción derivativa nunca puede anticipar una acción que aún no acontece.

En tanto acontece la acción derivativa tiene una ventaja al anticiparse al error, sus desventajas son queamplifica las señales de ruido y produce un efecto de saturación en el actuador.

Nótese que nunca se usará una sola acción de control derivativo, porque este control es efectivo duranteperíodos transitorios solamente.

5.2.6 Acción de control proporcional-integral-derivativo (PID).

La combinación de los efectos de acción proporcional, integral y derivativa, se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa. Esta combinación tiene las ventajas de cada una de las tres acciones decontrol individuales. La ecuación de un control con esta acción de control es:

u(t) K e(t)K

T e(t) t K T

e(t)

t p

p

i 0

t

p d = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅∫ δδ

δ(5.2.6.1)

y la función de transferencia es:

U(s)

E(s)K 1

1

T sT s p

i d = ⋅ +

⋅+ ⋅

(5.2.6.2)

donde K p es la ganancia proporcional, T i es el tiempo integral y T d es el tiempo derivativo. En la figura 5.22 se puede ver el diagrama de bloques de un controlador proporcional, integral y derivativo. Si e(t) es unafunción rampa unitaria, la salida del controlador u(t) resulta ser la que se muestra en la figura 5.22 .

5.3 Análisis de estabilidad de los procesos de lazo cerrado.

En el apartado 5.1.3 se ha visto que la respuesta transitoria de un sistema de control lineal e invariante conel tiempo está gobernada por los polos de la función de transferencia. Básicamente, el diseño de sistemas decontrol lineales realimentados puede considerarse como un problema de ordenamiento de las posiciones delos polos del sistema del lazo cerrado, de tal manera que el sistema funcione de acuerdo con lasespecificaciones prescritas.

Entre las muchas formas de especificaciones de desempeño usadas en el diseño de sistemas de control, elrequisito más importante es que el sistema sea estable en todo momento. Por lo general, la estabilidad sirvepara diferenciar dos clases de sistemas: útiles y no útiles; esto es, desde un punto de vista práctico, seconsidera que un sistema estable puede ser útil, mientras que uno inestable es no útil.

r (t) e(t) u (t)

y*(t)

r (t) e(t) u (t)

y*(t)

t

t

e(t)

u(t)

acciónproporcional

acción PD

acción PID

Figura 5.22 : Opciones de diagrama de bloques y gráficas temporales de la señal de salida y error para el controlador proporcional-integral-derivativo.




163

Cuando se toman en cuenta todos los tipos de sistemas, lineales, no lineales, invariantes y variantes con eltiempo, la definición de estabilidad puede tomar diversas formas. En estas secciones sólo se hará referencia ala estabilidad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo.

Para propósitos de análisis y diseño, se clasifica la estabilidad en estabilidad absoluta y estabilidad relativa.La estabilidad absoluta se refiere a la condición de ser estable o inestable; es una condición de sí o no. Unavez que se ha determinado que el sistema es estable, se desea saber el grado de estabilidad, el cual es unamedida de la estabilidad relativa. Los parámetros del tipo de sobrepaso y el factor de amortiguamiento relativo,que se han usado para el análisis de la respuesta transitoria en sistemas de segundo orden (apartado 5.1.3),suelen ser indicativos de la estabilidad relativa de los sistemas lineales invariantes con el tiempo en el dominiodel tiempo.

La relación entre la estabilidad de un sistema y los polos de la función de transferencia del lazo cerrado sepuede resumir de forma similar a como se hizo para los tipos de amortiguamiento de un sistema de segundoorden:

• Cuando todos los polos se localizan en el semiplano izquierdo del plano s, la componente transitoria de larespuesta del sistema disminuye hasta cero a medida que el tiempo tiende a infinito.

• Si uno o más pares de polos simples están situados en el eje imaginario del plano s, pero no los hay en elsemiplano derecho del plano s, la componente transitoria de la respuesta del sistema será una oscilaciónsenoidal no amortiguada.

• Si uno o más de los polos quedan en el semiplano derecho del plano s, la respuesta del sistemaaumentará en magnitud al paso del tiempo incluso ante la ausencia de señales de entrada.

En la teoría de los sistemas lineales, estas dos últimas categorías se definen como condiciones inestables.Se debe observar que las respuestas, a las que se refieren las condiciones anteriores, se deben únicamente alas condiciones iniciales, por lo que se les suele llamar respuestas a entrada cero.

5.3.1 Polos dominantes en lazo cerrado.

El comportamiento dinámico de un proceso de control en lazo cerrado viene determinada por la ubicación delos polos de la función de transferencia en el plano complejo. Si una función de transferencia tiene más de un

polo, siempre habrá alguno de ellos que dominará en el comportamiento del sistema. Estos polos sedenominan polos dominantes en lazo cerrado.

La dominancia relativa de los polos en lazo cerrado se determina mediante el cociente de las partes realesde los polos de la función de transferencia. Si el cociente entre dos polos es superior a 5, el polo más cercano

al eje imaginario del plano s será el que domine el comportamiento del sistema, siempre y cuando no existanceros en las proximidades del mismo. Este dominio se debe a que los polos más próximos al eje imaginario

Plano s

regiónde polos

dominantes

regiónde polos nodominantes

regióninestable

regióninestable

D

Figura 5.23 : Regiones de polos dominantes y no dominantes en el planos.




164

corresponden a términos de la respuesta transitoria que disminuyen lentamente. En muchas ocasiones lospolos dominantes pueden aparecer como un par de números complejos conjugados.

En la optimización de los procesos de control, son los polos dominantes los que requieren la principal

atención del análisis. Estos polos juegan un papel importante en la linealización de sistemas de segundo ordeny órdenes superiores. Si se diseña el sistema para que aparezcan polos dominantes, se podrán obviar lospolos no dominantes, por lo que el sistema se estará comportando como un sistema de orden inferior. En esteproceso de diseño, se suelen usar los polos dominantes para controlar el comportamiento dinámico delsistema (respuesta transitoria) mientras que los polos no dominantes sirven para asegurar que la función físicade control es factible en la práctica.

Con fines prácticos, se suele dividir el plano complejo en secciones cualitativas que forman regiones en lasque quedan situados los polos dominantes y los polos no dominantes ( figura 5.23). Los polos cercanos al ejeimaginario en el semiplano izquierdo dan lugar a respuestas transitorias que disminuirán con una ciertalentitud, mientras que los polos alejados del eje imaginario, también en el semiplano izquierdo, corresponden arespuestas que decaen rápidamente en el tiempo.

La distancia D entre la región dominante y la región no dominante, que aparece en la figura 5.23, es de granimportancia en el diseño de sistemas de polos dominantes. Como se ha mencionado anteriormente, si la

magnitud de la parte real de unos polos es superior a 5 veces la de un polo dominante (o par de polosconjugados) dichos polos se pueden considerar insignificantes en el desempeño dinámico del sistema. Esto sepuede expresar, también, diciendo que aquellos polos que estén a una distancia D superior a 4 veces la partereal del polo dominante son polos no dominantes.

5.3.2 Métodos para determinar la estabilidad de procesos de control lineales.

Aunque la estabilidad de un proceso de control se puede determinar mediante la localización de los polos desu función de transferencia, no siempre resulta fácil. Hay que pensar que la localización de polos requiere laobtención de las raíces de la ecuación característica, la cual no es más que el polinomio del denominador dela función de transferencia igualado a cero. La obtención de raíces de la ecuación característica en sistemasde orden superior a dos se puede hacer un tanto compleja y laboriosa, por lo que este método de análisis deestabilidad deja de ser eficaz.

En general, lo que interesa es el uso de algoritmos de fácil aplicación, que proporcionen respuestas encuanto a estabilidad o inestabilidad sin necesidad de cálculos excesivos. A continuación se describen losmétodos de uso frecuente en los estudios de estabilidad de procesos de control lineales:

• Criterio de Routh-Hurwitz : es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad delproceso de control a base de verificar la existencia de polos en el semiplano derecho del plano complejos. Además, también comprueba la existencia de polos en el semiplano izquierdo y en el eje imaginario.

• Criterio de Nyquist : se trata de una herramienta semigráfica que, a partir de la observación delcomportamiento de la gráfica, proporciona información sobre número de polos y ceros de la función detransferencia del lazo cerrado.

• Gráfica del lugar geométrico de las raíces: representa un diagrama de los lugares geométricos de lasraíces de la ecuación característica de un sistema, cuando se varía un parámetro del mismo. Cuando lagráfica del lugar geométrico de las raíces queda situada en el semiplano derecho del plano complejo, elsistema es inestable.

Como ejemplo de método de análisis de la estabilidad de un sistema, se desarrolla a continuación el Criteriode Routh-Hurwitz .

5.3.3 Criterio de Routh-Hurwitz.

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar la presencia de raíces inestables en unaecuación polinomial sin necesidad de resolverla. Este criterio sólo se debe aplicar a polinomios con unacantidad finita de términos. La información de la presencia o no presencia de polos inestables se obtiene apartir de los coeficientes de la ecuación característica.

El procedimiento en este criterio es el siguiente:

• Se escribe, primeramente, el polinomio del denominador de la función de transferencia del sistema enforma de ecuación característica:

a s a s a s a s an n n

n n0 11

2 2

1 0 ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =− −−L (5.3.3.1)




165

Los coeficientes de esta ecuación son cantidades reales y, además, se supone que an ≠ 0 , con el fin deevitar cualquier raíz cero.

• Si alguno de los coeficientes de la ecuación (5.3.3.1) es cero o negativo, ante la presencia de al menos un

coeficiente positivo, significa que hay alguna raíz real, o imaginaria, que tiene partes reales positivas. Enesta situación el sistema se puede declarar como no estable. De esta forma queda determinada laestabilidad absoluta. Por lo tanto, se puede resumir diciendo que:

Para que un sistema o proceso de control sea estable es necesario que todos loscoeficientes de su ecuación característica sean positivos y ninguno de ellos sea nulo.

• La condición anterior es necesaria pero no suficiente. La condición necesaria y suficiente para que todasraíces de la ecuación (5.3.3.1) queden en el semiplano izquierdo es que los determinantes Hurwitz delpolinomio de la ecuación característica, sean todos positivos. Los determinantes Hurwitz se obtienen dela siguiente manera:

D a1 1= ; D a a

a a2 1 3

0 2

= ; D

a a a

a a a

a a

3

1 3 5

0 2 4

1 30

= ; D

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a

n

n

n

n

n

n

=

⋅ −

⋅ −

⋅ −

⋅ −

1 3 5 2 1

0 2 4 2 2

1 3 2 3

0 2 2 4

0

0

0 0 0

L

L

L

L

L L L L L

L

(5.3.3.2)

La obtención de los determinantes de Hurwitz es muy laboriosa en procesos de control de orden superior. Noobstante, esta regla de los determinantes fue simplificada por Routh mediante la creación de una tabla quepermite evitar operar con determinantes. El método simplificado de Routh-Hurwitz se desarrolla en lassiguientes operaciones:

• Primera operación: la cual consiste en ordenar los coeficientes del polinomio en dos renglones:

a a a a a

a a a a a

0 2 4 6 8

1 3 5 7 9

L

L(5.3.3.3)

• Segunda operación: se forma una distribución numérica siguiendo las operaciones que a continuación seindican (se toma como ejemplo un sistema de octavo orden):

s8 a0 a2 a4 a6 a8

s7 a1 a3 a5 a7 0

s6 a a a a

a A1 2 0 3

1

⋅ − ⋅=

a a a a

aB1 4 0 5

1

⋅ − ⋅=

a a a a

aC 1 6 0 7

1

⋅ − ⋅=

a a a

aa1 8 0

18

0 ⋅ − ⋅= 0

s5 A a a B

AD

⋅ − ⋅=3 1 A a a C

AE

⋅ − ⋅=5 1 A a a a

AF

⋅ − ⋅=7 1 8 A a

A

⋅ − ⋅=

0 0 0 1 0

s4 D B A E

DG

⋅ − ⋅=

D C A F

DH

⋅ − ⋅=

D a A

Da

⋅ − ⋅=8

8

0 D A

D

⋅ − ⋅=

0 0 0 0

s3 G E D H

GI

⋅ − ⋅=

G F D a

GJ

⋅ − ⋅=8 0 0 0

s2 I H G J

I K

⋅ − ⋅=

I a G

I a

⋅ − ⋅=8

8

0 0 0 0

s1 K J I a

K L

⋅ − ⋅=8 0 0 0 0

s0

L a K

La

⋅ − ⋅=8 8

0 0 0 0 0




166

(5.3.3.4)

A esta distribución numérica se le conoce como tabla de Routh. La columna de la izquierda, formadapor potencias de base s, se utiliza a efectos de identificación.

• Tercera operación: se trata de investigar los signos de los números de la primera columna (encabezadospor a0 ). A partir de ahora se obtienen las siguientes conclusiones:

1. Todas las raíces del polinomio quedan situadas en el semiplano izquierdo del plano complejo, cuandotodos los elementos de la primera columna de la tabla de Routh son del mismo signo.

2. Si existen cambios de signo en los elementos de la primera columna, el número de cambioscorresponde con el número de raíces con parte real positiva.

Debe señalarse que no es necesario conocer los valores exactos de los términos de la primera columna; sólobasta conocer sus signos. Con todo esto, se puede concluir diciendo que:

La condición necesaria y suficiente para que un sistema o proceso de control sea estable,consiste en que ninguno de los coeficientes de su ecuación característica sea nulo y quetodos sean positivos; además, todos los términos de la primera columna de la tabla de

Routh deben ser del mismo signo.

Ejemplo 5.5

Se desea determinar si el sistema cuya función de transferencia es:

M s

s s s=

⋅ +

− ⋅ + ⋅ −

2 1

2 1 3( ) ( ) ( )(5.3.3.5)

resulta ser estable o no.

Para determinar su estabilidad aplicando el criterio de Routh-Hurwitz, se ha de analizar la ecuacióncaracterística del sistema, la cual se puede expresar como:

( ) ( ) ( )s s s s s s− ⋅ + ⋅ − = − ⋅ + + =2 1 3 4 6 0 3 2 (5.3.3.6)

Se puede observar que tiene un coeficiente negativo, por lo cual ya no se cumple la condición necesaria delcriterio de Routh-Hurwitz. No obstante, si se aplica la tabla de Routh se pueden determinar cuántas raícestienen su parte real positiva:

s3 1 1

s2 -4 6

s1 − ⋅ − ⋅

−=

4 1 1 6

42 5 , 0

s0 2 5 6 4 0

2 5

6 , ( )

,

⋅ − − ⋅= 0

Se comprueba que se produce un cambio de signo, entre los elementos de la primera columna, de s a s , yotro de s a s . Dado que existen en total dos cambios de signo, la ecuación característica (5.3.3.6) tiene dosraíces en el semiplano derecho del plano complejo, concretamente en s = 2 y en s = 3.

Ejemplo 5.6

Se desea aplicar el criterio de Routh-Hurwitz a la siguiente ecuación característica de un sistema:

s s s s4 3 2

2 3 4 5 0 + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = (5.3.3.7)

Como bien se observa, todos los coeficientes de la ecuación son positivos, por tanto, el sistema que tuviera

la ecuación (5.3.3.7) como ecuación característica cumpliría con la condición necesaria de estabilidad. Lacondición suficiente se determina mediante la tabla de Routh.




167

s4 1 3 5

s3 2 4 0

s2

2 3 1 4

2 1

⋅ − ⋅=

2 5 1 0

2 5

⋅ − ⋅= 0

s1 1 4 2 5

16

⋅ − ⋅= −

1 0 2 0

10

⋅ − ⋅= 0

s0 − ⋅ − ⋅

−=

6 5 1 0

6 5 0 0

Queda patente que se producen dos cambios de signo, de s a s y otro de s a s . Dado que existen doscambios de signo no se cumple la condición suficiente del criterio de Routh-Hurwitz. La ecuación característica(5.3.3.7) tiene dos raíces en el semiplano derecho del plano complejo, concretamente en s = (0,288 + j1,417) yen s = (0,288 - j1,417).

Ejemplo 5.7

Se ajusta el término independiente (a4) de la ecuación (5.3.3.7) del ejemplo 5.6 , con el fin de mejorar laestabilidad del sistema. De este ajuste resulta una nueva ecuación característica:

s s s s4 3 2

2 3 4 1 0 + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = (5.3.3.8)

Se observa, al igual que en el ejemplo anterior, que todos los coeficientes de la ecuación son positivos, por locual el sistema sigue cumpliendo con la condición necesaria de estabilidad. A continuación, se vuelve aexaminar la condición suficiente:

s4 1 3 1

s3 2 4 0

s2 2 3 1 4

2 1

⋅ − ⋅=

2 1 1 0

2 1

⋅ − ⋅= 0

s1 1 4 2 1

12

⋅ − ⋅=

1 0 2 0

10

⋅ − ⋅= 0

s0 2 1 1 0

2 1

⋅ − ⋅= 0 0

Queda patente que no se producen cambios de signo, por lo cual la ecuación no tiene raíces en el semiplanoderecho del plano complejo y el sistema cumple la condición suficiente de estabilidad.

Casos especiales.

Se pueden plantear dos casos especiales en la tabla de Routh:

• El primer término de una fila de la tabla de Routh es cero, pero los otros términos no : ello tendría comoconsecuencia que el primer término de la siguiente fila fuera infinito o resultara una indeterminación. Paraevitar esto, se sustituye el primer término de dicha fila por un valor muy pequeño que sea positivo, el cualse denominará con el símbolo εε. Después se procede con la aplicación del criterio como ya se haexplicado anteriormente.

• Todos los términos de una fila de la tabla de Routh son cero: en este caso no se puede aplicar directamente el criterio de Routh. Para poder seguir adelante con la tabla, se crea una ecuación auxiliar con los términos del renglón anterior a la fila de ceros, la cual será de orden par. Esta ecuación auxiliar se deriva con respecto a s, y los coeficientes del polinomio resultante se usan para sustituir la fila de

ceros. A continuación se expone un ejemplo de cada caso especial.




168

Ejemplo 5.8

Se va a aplicar el criterio de Routh-Hurwitz a la siguiente ecuación:

s s s3 2 2 2 0 + ⋅ + + = (5.3.3.9)

Se observa que todos los coeficientes de la ecuación son positivos. A continuación se examina la ecuacióncon la tabla de Routh:

s3 1 1

s2 2 2

s1 2 1 1 2

2 0

⋅ − ⋅= ≈ ε 0

s0 ε

ε

⋅ − ⋅=

2 2 0 2 0

Este caso era del primer tipo de los dos casos especiales expuestos. Como εε es un número pequeñopositivo, no se producen cambios de signo en la primera columna de términos.

Ejemplo 5.9

Se va a aplicar el criterio de Routh-Hurwitz a la siguiente ecuación:

s s s s4 3 2

3 2 0 + − ⋅ − + = (5.3.3.10)

Como existen coeficientes negativos, la aplicación del criterio va a permitir determinar cuántas raíces sehallan situadas en el semiplano positivo del plano s. A continuación, se examina la ecuación con la tabla deRouth:

s

4

1 -3 2 s3 1 -1 0

s2 -2 2 0

s1 − ⋅ − − ⋅

−=

2 1 1 2

2 0

( )0 0

Debido a la presencia de una fila de ceros (s ), la tabla de Routh no se puede seguir aplicando. Se toman lostérminos de la fila anterior, s2 , para confeccionar una ecuación auxiliar:

− ⋅ + =2 2 0 2

s (5.3.3.11)

Si se deriva la ecuación auxiliar con respecto a s, resulta:

− ⋅ =4 0 s (5.3.3.12)Se reemplazan los términos de la fila s por los coeficientes de la ecuación (5.3.3.12), y se continúa con la

tabla de Routh:

s4 1 -3 2

s3 1 -1 0

s2 -2 2 0

s1 -4 0 0

s0 2 0 0

Puesto que la tabla tiene dos cambios de signo en la primera columna de términos, la ecuación (5.3.3.10)tiene dos raíces cuya parte real es positiva.




169

5.4 Efecto de las funciones de control sobre el comportamiento deun sistema.

En los apartados 5.1 y 5.2 se han tratado los aspectos referentes a la respuesta temporal de un proceso decontrol y las acciones básicas de los controladores. Además, en el anterior apartado 5.3 se ha descrito unmétodo para analizar la estabilidad de un proceso. Sin embargo, todavía no se ha relacionado el efecto de lasacciones de los controladores en las respuestas temporales de los procesos de control y, sobre todo, en laestabilidad de estas respuestas.

A partir de la clasificación de controladores realizada en el apartado 5.2, se pueden resumir las funciones decontrol en control proporcional, control integral y control derivativo. Todas las demás acciones de controlhabituales resultan de las combinaciones de estas tres, exceptuando el control dos posiciones.

Hay que pensar que el objetivo básico de los controladores es poder ajustar la respuesta de un sistema a losrequerimientos impuestos en el diseño del mismo. Este ajuste, que se conoce más bien como optimización,implica modificar la señal de error proveniente del comparador, de tal forma que a la salida del controlador seobtenga una señal corregida que compense los efectos inerciales del sistema. Es evidente que esta

optimización se realiza en base a una modificación en amplitud y en tiempo de la señal de error.Si se aplica un control proporcional puro a un proceso de control de lazo cerrado, se estará obteniendo una

señal a la salida del controlador modificada en amplitud con respecto a la señal de error, pero no habráninguna modificación en cuanto a tiempo. Dicho controlador es un amplificador de ganancia constante y laseñal corregida es una señal directamente proporcional a la señal de error. Este control es bastante simple ypuede resultar de interés en aquellos casos en los que el proceso controlado tenga una inercia despreciable.

De todas formas, la verdadera optimización de un proceso se obtiene cuando se aplica un control integral oun control derivativo al mismo y, aún más, cuando se combinan las tres funciones básicas de control.

5.4.1 Efecto de la función de control integral.

En muchos sistemas en los que se utiliza un control proporcional, se produce un error en estado estable enla respuesta ante una entrada escalón. Piénsese, por ejemplo, en el control de posición de un cursor

accionado por un motor de corriente continua (figura 5.24).El motor actúa a partir de la señal de error resultante de la comparación de la posición de consigna

(marcada por un potenciómetro) y la posición del eje del motor, el cual arrastra un segundo potenciómetro. Sise efectúa un control proporcional, la señal de error es amplificada con una ganancia constante. Esta señalcorregida (señal de control ) será un valor de tensión que actúe sobre el motor de c.c. Cuando la señal decontrol sea lo suficientemente pequeña para que el par motor del motor de c.c. no consiga vencer al par resistente del eje del cursor, sucederá que el cursor se estacionará sin llegar a alcanzar la posición deconsigna, es decir, existe una diferencia entre la respuesta en estado estable y el valor de consigna a pesar deque aún existe una señal de error no nula a la salida del comparador. Este error en estado estable también seconoce como offset (desajuste).

El control integral proporciona una señal de control proporcional al área que encierra la curva de la señal deerror hasta ese mismo instante. Por tanto, y siguiendo con el ejemplo de la figura 5.24, ante la presencia deuna señal de error permanente en estado estable, el control integral ofrecería como resultado una señal de

control creciente. Esto es debido a que, mientras el tiempo transcurre, el área bajo el tramo de curva de error estable aumenta. Con esto se consigue que mientras exista una señal de error, la señal de control crecerá ytenderá a compensar la diferencia entre el valor consigna y el valor de la señal de salida.

No obstante, la inclusión de un control integral en un lazo cerrado puede conducir a la obtención de unarespuesta oscilatoria de amplitud decreciente. Esto es fácil de entender si se piensa que incluso cuando laseñal de error se ha hecho cero, el controlador proporciona una señal de control constante (la integral de unafunción cero es una constante) dando lugar a que la señal de salida tarde en estabilizarse.

Para ilustrar lo comentado anteriormente, se toma como ejemplo el proceso de control de la figura 5.25 . Esteproceso de lazo cerrado realiza un control proporcional de ganancia K p, dando como resultado una función detransferencia:

Y s

R s

K A

s K A B

p

p

( )

( ) ( )=

⋅

+ ⋅ +

(5.4.1.1)




170

Como se puede comprobar a partir de la ecuación (5.4.4.1), el proceso de control descrito en la figura 5.25

es un sistema de primer orden, el cual poseerá, sin lugar a dudas, un error en estado estable u offset .

Si en lugar de usar un controlador proporcional, se usa un controlador integral (figura 5.26 ) cuya función de

transferencia sea:U(s)

E(s) T si

=⋅

1(5.4.1.2)

el proceso de control tendrá como función de transferencia del lazo cerrado la expresión:

Y s

R s

T A

s s B T A

i

i

( )

( )=

⋅

+ ⋅ + ⋅2 (5.4.1.3)

Se observa que el sistema ha aumentado en un orden con respecto al sistema de figura 5.25 . Por ser unsistema de segundo orden, mejora su error en estado estable (tema que se tratará en el siguiente apartado5.6) en un orden con respecto al error en estado estable de la función de transferencia de primer orden de laecuación (5.4.1.1). No obstante, por el hecho de que la ecuación característica del nuevo sistema sea de un

orden superior (la acción integral añade una "inercia" extra al sistema), implica la aparición de un nuevo polo,lo que aumenta el riesgo de inestabilidad.


para c.c.

Reductor de

engranajes


r r

y

E

r y *

+

-

+

-

+

-

e

e

e* M _

C D

A

B


Variablecontrolada

Comparador

Transmisor demedida

Motor deposicionamiento

y

presencia deseñal de error

en estadoestable

Posición de consigna Señal de error Posición del cursor

offset

Figura 5.24 : Presencia de un error en estado estable (offset ) en el control de posición de uncursor.

R(s) E(s ) U(s )

Y(s)

Y(s) Kp A

s + B

Figura 5.25 : Proceso con control proporcional.




171

A partir de las observaciones realizadas anteriormente, se puede resumir diciendo que:

El efecto de la función de control integral sobre un proceso de control es la eliminación del error en estado estable u offset, pero aumenta en un orden la ecuación característica del proceso, dando lugar a una mayor inestabilidad.

5.4.2 Efecto de la función de control proporcional e integral.Parece lógico pensar que el efecto de la función de control proporcional e integral va a ser una combinación

de los efectos individuales del control proporcional y control integral respectivamente. Se partirá del ejemplo dela figura 5.25 y se añadirá un control integral, obteniendo así un sistema con un controlador proporcional eintegral (figura 5.27 ).

El controlador proporcional e integral (PI ) posee la siguiente función de transferencia:

sT

K sT K

sT

11K

E(s)

U(s)

i

pi p

i p ⋅

+⋅⋅=

⋅

+= (5.4.2.1)

Por tanto, la función de transferencia del proceso de control en lazo cerrado resulta ser:

( )( ) ( )

i

p p

2

i p

pi p2

i

pi p

T

AK sB AK s

T 1sK A

AK sT B AK sT

K sT K A

)s( R )s( Y

⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅

=⋅+⋅⋅+⋅+⋅

+⋅⋅⋅= (5.4.2.2)

A la vista de la ecuación (5.4.2.2) se observa que el sistema ha pasado de ser de primer orden (figura 5.25 ) aser de segundo orden. Ello conlleva la ventaja de obtener un error en estado estable igual a cero. No obstante,y a diferencia del caso de la figura 5.26 , ahora aparece un cero en la función (c = -1/(K p·T i )). Si se ajustan losparámetros K p, T i , A y B de forma adecuada, se puede conseguir que el cero de la función de transferenciacoincida con uno de los dos polos (preferentemente con el dominante) por lo que el efecto de dicho polo quedacompensado con el cero (proceso que se conoce como cancelación de polos y ceros) y el sistema se comportacomo un sistema de un orden inferior, es decir, de primer orden en este caso. La consecuencia de la aparición

de un cero es aumentar la estabilidad del sistema en un orden.En consecuencia, se llega a la siguiente conclusión:

R(s) E(s ) U(s )

Y(s)

Y(s) A

s + B

Figura 5.26 : Proceso con control integral.

R(s ) E(s )

Y(s)

U(s) Y(s) A

s + B

Controlador PI

Figura 5.27 : Proceso con control proporcional e integral.




172

El efecto que produce el control proporcional e integral, sobre un proceso de control enlazo cerrado, consiste en la eliminación del offset por parte de la acción integral y laganancia de estabilidad por parte de la acción proporcional.

Ejemplo 5.10

Se dispone de un proceso de control cuya función de transferencia en lazo abierto es:

5 s2 s

1 )s( G

2 +⋅+= (5.4.2.3)

Se desea comparar el efecto del control propocional (P) en lazo cerrado con el control proporcional e integral(PI).

Efecto del control propocional en lazo cerrado.

Se realimenta la señal de salida y el error se hace pasar por un controlador proporcional ( figura 5.28 ). Lafunción de transferencia resultante es:

p2

p

K 5 s2 s

K )s( M ++⋅+

= (5.4.2.4)

Se puede comprobar que con este tipo de controlador, el sistema no aumenta ni disminuye de orden. Tansólo se ve afectada la ganancia del proceso y el posible cambio de ubicación de los polos.

R(s) E(s ) U(s )

Y(s)

Y(s) Kp

Figura 5.28 : Control proporcional en lazo cerrado del proceso propuesto.

La respuesta al escalón unitario de este lazo cerrado, comparada con la respuesta del sistema en lazoabierto, queda reflejada en la figura 5.29.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

y(t )

respuesta delsistema original

respuesta del sistemacon control proporcional

0%

25%

50%

75%

100%

125%

Figura 5.29 : Respuesta temporal del lazo cerrado con control proporcional.

Efecto del control propocional e integral (PI) en lazo cerrado.

Se reemplaza el controlador proporcional por un controlador PI (figura 5.30). La función de transferencia delsistema se expresa ahora como:




173

( ) i

p

p

i p

T

K

sK ss

T sK

sM

+⋅++⋅+

+⋅

=

52

1

)(23

(5.4.2.5)

R(s) E(s )

Y(s)

U(s)

Controlador PI

Y(s)

Figura 5.30 : Control PI en lazo cerrado del proceso propuesto.

La ecuación (5.4.2.5) muestra cómo el orden del sistema ha aumentado en una unidad. Como se verá en elpróximo apartado 5.5, el aumento del orden del sistema favorece la mejora del error en estado estable. Por otra parte, se requiere un cuidadoso ajuste de los parámetros del controlador ( K p y T i ), ya que ahora haaumentado el riesgo de que surjan polos en el semiplano derecho o en eje imaginario, es decir, ha aumentadoel riesgo de inestabilidad. La figura 5.31 compara la respuesta al escalón unitario del sistema en lazo cerradocon control PI, para varios valores de T i (tiempo integral ), frente al sistema original en lazo abierto. Se puedeapreciar cómo aumenta el sobrepaso máximo (efecto indeseable), disminuye el tiempo de asentamiento (efectodeseable) y aumenta el tiempo de asentamiento (efecto indeseable), conforme se toman valores de T i másbajos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

y(t)


respuestas del sistemacon control PI

0%

25%

50%

75%

100%

125%

Figura 5.31 : Respuesta temporal del lazo cerrado con control PI.

5.4.3 Efecto de la función de control derivativa.

La función de control derivativa, como ya se comentó en el apartado 5.2.5, proporciona a la salida delcontrolador la derivada de la señal de error con respecto al tiempo. Es más fácil interpretar esta función decontrol diciendo que la respuesta del controlador a la señal de error es la velocidad de variación de dicha señalde error. Este tipo de control es anticipativo, ya que, por el hecho de actuar con la velocidad de la señal deerror, consigue una corrección significativa del error de salida del sistema antes de que su magnitud se vuelvademasiado grande. El control derivativo añade, por tanto, amortiguamiento al sistema (elimina en parte la“inercia” del sistema).

Por otra parte, el control derivativo no elimina el offset , dado que un error en estado estable (constante) tieneuna derivada nula.




174

Para ilustrar lo comentado anteriormente, se toma como ejemplo el proceso de control de la figura 5.25 . Enesta ocasión se reemplaza el controlador proporcional por un controlador derivativo (figura 5.32 ). La función detransferencia del controlador es:

sT E(s)U(s) d ⋅= (5.4.3.1)

donde T d es una constante denominada tiempo derivativo o tiempo de adelanto. Con este controlador, lafunción de transferencia del lazo cerrado resulta ser:

( ) Bs1T A

sT A

)s( R

)s( Y

d

d

+⋅+⋅⋅⋅

= (5.4.3.2.)

A partir de las observaciones realizadas anteriormente, se puede resumir diciendo que:

El efecto de la función de control derivativo sobre un proceso de control es laamortiguación de la respuesta transitoria del sistema, pero no corrige el error en estado permanente.

5.4.4 Efecto de la función de control proporcional y derivativa.

La función de control derivativa añade amortiguación a la respuesta transitoria del sistema, pero por sí solano es capaz de eliminar el error en estado estable. Dado que la señal de control obtenida es la derivada de laseñal de error, cuando ésta sea constante (error estable) la señal de control es nula por lo que no se produceninguna corrección.

Si el control derivativo se complementa con el control proporcional, éste se encargará de corregir, en lamedida de lo posible, aquellas componentes del error del sistema que sean estables (figura 5.33).

Siguiendo con el mismo ejemplo, si al sistema de lazo cerrado se le añade un controlador proporcional yderivativo (PD), cuya función de transferencia es:

( )U(s)

E(s)K 1 T s p d = ⋅ + ⋅ (5.4.4.1)

la función de transferencia resultante del sistema se expresa como:

R(s) E(s ) U(s )

Y(s)

Y(s) A

s + B

Figura 5.32 : Proceso con control derivativo.

R(s ) E(s )

Y(s)

U(s) Y(s) A

s + B

Controlador PD

Figura 5.33 : Proceso con control derivativo.




175

( )

( ) ( ) pd p

d p

K ABs1T K A

sT 1K A

)s( R

)s( Y

⋅++⋅+⋅⋅

⋅+⋅⋅= (5.4.4.2.)

Queda patente cómo un control proporcional y derivativo añade un cero no nulo a la función de transferenciadel sistema, el cual, si se ajusta para cancelar algún polo, hace que la respuesta del sistema se vuelva másestable.

El efecto del control proporcional y derivativo sobre un proceso de control es laamortiguación de la respuesta transitoria a la vez que una corrección del error en estadoestable.

Ejemplo 5.11

Se dispone de un proceso de control cuya función de transferencia en lazo abierto es:

5 s2 s

1 )s( G

2 +⋅+= (5.4.4.3)

Se desea comparar el efecto del control propocional (P) en lazo cerrado con el control proporcional e integral(PI).

Efecto del control propocional e integral (PD) en lazo cerrado.

Se reemplaza el controlador proporcional por un controlador PD (figura 5.34). La función de transferencia delsistema se expresa ahora como:

( )

( ) ( ) pd p2

d p

K 5 sT K 2 s

1sT K )s( M

++⋅⋅++

+⋅⋅= (5.4.4.4)

R(s) E(s ) U(s ) Y(s )

Controlador PD

Figura 5.34 : Control PD en lazo cerrado del proceso propuesto.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0%

25%

50%

75%

100%

125%

t

y(t )


respuestas del sistemacon control PD

Figura 5.35 : Respuesta temporal del lazo cerrado con control PD.

La figura 5.35 compara la respuesta temporal al escalón unitario del sistema en lazo cerrado con control PD,




176

para varios valores de T d (tiempo derivativo), frente al sistema original en lazo abierto. Se puede apreciar cómoaumenta la corrección del error en la respuesta transitoria (aumento del amortiguamiento) conforme se tomanvalores de T d más altos.

5.5 Análisis del error en estado estable.

El error en estado estable de la variable de salida de un proceso de control depende de muchos factores,estando la mayoría de ellos relacionados con las imperfecciones de los propios componentes del sistema, elenvejecimiento de estos mismos componentes y las variaciones no previstas de la señal de entrada. Estosfactores resultan bastante complejos a la hora de cuantificar su efecto en la salida de un proceso de control.Por esta razón, se ha de procurar que el diseño de un proceso de control sea lo suficientemente robusto anteestos factores, logrando que no tengan tan apenas influencia sobre la salida.

No obstante, el propósito de este apartado es analizar el tipo de error en estado estable provocado por laincapacidad del propio sistema cuando ha de seguir determinados tipos de entrada. Un sistema puede notener error en estado estable para una entrada tipo escalón, mientras que sí lo puede tener para una entrada

tipo rampa o tipo parabólica. Si se desea eliminar este error, no cabe otra solución que modificar el diseño dela estructura del sistema. La presencia del error en estado estable, ante determinados tipos de entrada,depende de la función de transferencia en lazo abierto de proceso de control.

5.5.1 Tipos de sistemas según la capacidad de seguimiento de las señales deentrada.

En este contexto, los sistemas se pueden clasificar de acuerdo con la capacidad que exhiban a la hora deseguir un determinado tipo de señal de entrada: escalón, rampa, parábola... La mayoría de las señales deentrada reales se pueden representar como combinaciones lineales de estos tipos de señales, por lo que elconocimiento del error cometido por el sistema en el seguimiento de estas señales básicas de entrada sirvecomo referente de su comportamiento ante entradas más complejas.

Considérese un proceso de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto

viene expresada como:

)1sT ( )1sT ( )1sT ( s

)1sT ( )1sT ( )1sT ( K )s( G

p2 1n

mba

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= (5.5.1.1)

El término sn que aparece en el denominador de la función (5.5.1.1), representa un polo múltiple de orden nsituado en el origen del plano complejo ( p = 0 ). La clasificación o tipología de los procesos de control según elcriterio de capacidad de seguimiento de las señales de entrada, se basa en la cantidad de integracionesindicadas en la función de transferencia en lazo abierto. Así pues, los sistemas se pueden denominar de tipo 0 ,tipo 1, tipo 2 … si el grado de multiplicidad del polo p = 0 es, respectivamente, n = 0 , n = 1, n = 2 …

Hay que hacer notar que la clasificación según el tipo de sistema no tiene que ver con el orden del sistema.

Como se comprobará más adelante, un aumento del tipo de sistema mejora la precisión del mismo, perotambién empeora la estabilidad. En la mayoría de los casos se ha de llegar a una situación de compromisoentre la precisión en estado estable y la estabilidad relativa. Por eso, que casi nunca se utilizan sistemas detipo 3 o superiores.

5.5.2 Errores en estado estable.

Se parte de un sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es G(s),según se muestra en la figura 5.36 . La función de transferencia global del proceso en lazo cerrado resulta:

)s( G1

)s( G

)s( R

)s( Y )s( M

+== (5.5.2.1)




177

La relación entre la señal de error E(s) a la salida del comparador y la señal de entrada o referencia R(s) es:

)s( G1

1

)s( R

)s( Y 1

)s( R

)s( Y )s( R

)s( R

)s( E

+=−=−= (5.5.2.2)

Si se aplica el teorema del valor final a la función E(s), se podrá determinar el comportamiento en estado

estable de un sistema estable. Partiendo de la expresión de la señal de error E(s):

)s( G1

1 )s( R )s( E

+⋅= (5.5.2.3)

El error en estado estable resulta:

)s( G1

)s( R slím )s( E slím )t ( elíme

0 s0 st +⋅

=⋅==→→∞→

∞ (5.5.2.4)

A continuación se definen unas constantes de error estático en función del tipo de señal de entrada aplicada.Cuanto mayor sea el valor de esta constante, menor será el error en estado estable cometido por el sistema.

Constante de error de posición estática K p .

Esta constante caracteriza el error cometido por un sistema cuando se aplica una entrada escalón unitario.Para este tipo de entrada, el error en estado estable resulta:

)0 ( G1

1

s

1

)s( G1

slím

)s( G1


0 s0 s0 st +=⋅

+=

+⋅

=⋅==→→→∞→

∞ (5.5.2.5)

La constante de error de posición estática se define como:

)0 ( G )s( GlímK 0 s

p ==→

(5.5.2.6)

Por tanto, el error en estado estable se expresa en términos de esta constante como:

pK 1

1e

+=∞ (5.5.2.7)

La determinación de la constante de error de posición estática depende del tipo de sistema:• Sistema de tipo 0:

=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==

→→ )1sT ( )1sT ( )1sT ( s

)1sT ( )1sT ( )1sT ( K lím )s( GlímK

p2 10

mba

0 s0 s p

K )1sT ( )1sT ( )1sT (

)1sT ( )1sT ( )1sT ( K lím

p2 1

mba

0 s=

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

=→

(5.5.2.8)

• Sistema de tipo 1 o mayor:

∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==

→→ )1sT ( )1sT ( )1sT ( s

)1sT ( )1sT ( )1sT ( K lím )s( GlímK

p2 1n

mba

0 s0 s p (5.5.2.9)

Según estas constantes, el error en estado estable, para cada tipo de sistema, resulta:

R(s ) E(s)

Y(s)

Y(s) G(s)

Figura 5.36 : Proceso de control con realimentación unitaria.




178

• Sistema de tipo 0:

K 11

K 11

e p +

=+

=∞ (5.5.2.10)


0 K 1

1e

p=

+=∞ (5.5.2.11)

Si se analizan las ecuaciones (5.5.2.10) y (5.5.2.11) se desprenden las siguientes conclusiones:

• Un proceso de control que no cuente con ningún elemento integrador en su trayectoria directa tiene unerror en estado estable finito y distinto de cero.

• Un proceso de control que tenga uno o más elementos integradores en su trayectoria directa tiene un error en estado estable igual a cero. No obstante, la inestabilidad aumenta con respecto al sistema tipo 0 .

Constante de error de velocidad estática K v .

Esta constante caracteriza el error cometido por un sistema cuando se aplica una entrada rampa unitaria.Para este tipo de entrada, el error en estado estable resulta:

)s( Gs

1lím

s

1

)s( G1

slím

)s( G1


0 s2 0 s0 s0 st ⋅=⋅

+=

+⋅

=⋅==→→→→∞→

∞ (5.5.2.12)

La constante de error de velocidad estática se define como:

)s( GslímK 0 s

v ⋅=→

(5.5.2.13)


v K

1e =∞ (5.5.2.14)

La determinación de la constante de error de velocidad estática depende del tipo de sistema:


0 )1sT ( )1sT ( )1sT (

)1sT ( )1sT ( )1sT ( K slím )s( GslímK

p2 1

mba

0 s0 sv =

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

=⋅=→→

(5.5.2.15)


K )1sT ( )1sT ( )1sT ( s


p2 1

mba

0 s0 sv =

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

=⋅=→→

(5.5.2.16)


∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅=

→→ )1sT ( )1sT ( )1sT ( s


p2 1n

mba

0 s0 sv (5.5.2.17)



∞==∞

v K

1e (5.5.2.18)


K

1

K

1e

v ==∞ (5.5.2.19)





179

0 K 1

ev

==∞ (5.5.2.20)

Si se analizan las ecuaciones (5.5.2.17), (5.5.2.18) y (5.5.2.20) se desprenden las siguientes conclusiones:

• A un proceso de control que no cuente con ningún elemento integrador en su trayectoria directa le resultaimposible seguir una entrada rampa en el estado uniforme.

• Un proceso de control que tenga un elemento integrador en su trayectoria directa es capaz de seguir unaentrada rampa con un error finito en estado estable. Este error es proporcional a la velocidad de laentrada (pendiente de la rampa) e inversamente proporcional a la ganancia K de la trayectoria directa.

• Un proceso de control que tenga dos o más elementos integradores en su trayectoria directa, tiene unerror en estado estable igual a cero. No obstante, la inestabilidad aumenta con respecto a los sistemastipo 0 y tipo 1.

Constante de error de aceleración estática K a .

Esta constante caracteriza el error cometido por un sistema cuando se aplica una entrada parábola unitaria.

Se define la señal parábola unitaria de la siguiente manera:f(t) = 0 para t < 0

f(t) =2

t 2 para t > 0 (5.5.2.21)

Para este tipo de entrada, el error en estado estable resulta:

)s( Gs

1lím

s

1

)s( G1

slím

)s( G1

)s( R slím )s( E slíme

2 0 s30 s0 s0 s ⋅=⋅

+=

+⋅

=⋅=→→→→

∞ (5.5.2.22)

La constante de error de aceleración estática se define como:

)s( GslímK 2

0 sa ⋅=

→(5.5.2.23)


aK

1e =∞ (5.5.2.24)

La determinación de la constante de error de aceleración estática depende del tipo de sistema:


0 )1sT ( )1sT ( )1sT (


p2 1

mba2

0 s

2

0 sa =

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

=⋅=→→

(5.5.2.25)


0 )1sT ( )1sT ( )1sT ( s


p2 1

mba2

0 s

2

0 sa =

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

=⋅=→→

(5.5.2.26)


K )1sT ( )1sT ( )1sT ( s


p2 12

mba2

0 s

2

0 sa =

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅=

→→(5.5.2.27)


∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅=

→→ )1sT ( )1sT ( )1sT ( s


p2 1n

mba2

0 s

2

0 sa (5.5.2.28)





180

• Sistema de tipo 0 y tipo 1:

∞==∞

aK

1e (5.5.2.29)


K 1

K 1

ea

==∞ (5.5.2.30)


0 K 1

ea

==∞ (5.5.2.31)

Si se analizan las ecuaciones (5.5.2.29), (5.5.2.30) y (5.5.2.31) se desprenden las siguientes conclusiones:

• A un proceso de control que no cuente con uno o ningún elemento integrador en su trayectoria directa leresulta imposible seguir una entrada parábola en el estado uniforme.

• Un proceso de control que tenga dos elementos integradores en su trayectoria directa es capaz de seguir una entrada parábola con un error finito en estado estable.

• Un proceso de control que tenga tres o más elementos integradores en su trayectoria directa, tiene unerror en estado estable igual a cero. No obstante, la inestabilidad aumenta con respecto a los sistemastipo 0 , tipo 1 y tipo 2 .

La tabla 5.1 que se muestra a continuación, resume los errores en estado estable para los sistemas de tipo0, tipo 1 y tipo 2 cuando se excita el sistema con entradas escalón, rampa y parábola. Se observa que losvalores finitos para los errores en estado estable aparecen en línea diagonal. Sobre la diagonal, los errores enestado estable son infinitos, mientras que por debajo de la diagonal, los errores en estado estable son cero.

Tipo desistema

Entrada escalón

r(t) = 1

Entrada rampa

r(t) = t

Entrada parabólica

r(t) = t 2

Tipo 0K 1

1

+∞ ∞

Tipo 1 0 K

1∞

Tipo 2 0 0 K

1

Tabla 5.1: Error en estado estable de un sistema con realimentación unitaria entérminos de la ganancia K .

Las constantes de error, K p, K v y K a, describen la capacidad de un sistema de realimentación unitaria para

reducir o eliminar el error en estado estable. Por lo general, es conveniente aumentar las constantes deerrores, a la vez que se procura conservar la respuesta transitoria dentro de un rango aceptable. Si surge unconflicto entre dos constantes de error contiguas (como la constante de error de velocidad estática y laconstante de error de aceleración estática) se considera la segunda menos importante que la primera. Estecriterio ayuda a elegir entre un sistema de tipo mayor (menor error y mayor inestabilidad) o un sistema de tipomenor (mayor error y menor inestabilidad). De todos modos, siempre resultará difícil realizar un diseñoaceptable de un sistema que tenga más de dos integradores en serie en la trayectoria directa.

Ejemplo 5.12

Se dispone de un proceso de control con realimentación unitaria (figura 5.36 ) cuya función de transferenciaen lazo abierto es:

5 s2 s

1 )s( G

2

+⋅+

= (5.5.2.32)

Se desea comparar el efecto sobre el error en estado estable que supone añadir o no integradores en la




181

trayectoria directa del sistema.

Error en estado estable para el sistema de tipo 0 .

Si al sistema no se le añade ningún integrador (figura 5.36 bis), el error en estado estable para los tres tiposde entrada tratados son:

R(s ) E(s)

Y(s)

Y(s)

Figura 5.36 bis : Proceso de control con realimentación unitaria tipo 0 .

• Error con entrada escalón:

5

1 )0 ( G )s( GlímK

0 s p ===

→;

6 5

K 11

e p

=+

=∞

• Error con entrada rampa:

0 )s( GslímK 0 s

v =⋅=→

; ∞==∞

v K 1

e

• Error con entrada parabólica:

0 )s( GslímK 2

0 sa =⋅=

→; ∞==∞

aK

1e

En las figuras 5.37 y 5.38 se muestran las respuestas del sistema tipo 0 a las tres entradas tratadas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

t

y(t )

entrada al sistema respuesta del sistema

Figura 5.37 : Respuesta ante el escalón unitario del sistema tipo 0 .




182

0 0 5 5 10 10 15 15 20 20 25 25 0 0

5 5

10 10

15 15

20 20

25 25

t t

y(t) y (t)

entrada al sistema

respuesta del sistema

a) b)

Figura 5.38 : Respuesta del sistema tipo 0 ante: a) rampa unitaria, b) parábola.


Si al sistema se le añade un elemento integrador con una constante de tiempo integral T i = 1 (figura 5.39), elerror en estado estable para los tres tipos de entrada tratados son:

R(s) E(s)

Y(s)

Y(s)

Figura 5.39 : Proceso de control con realimentación unitaria tipo 1.


∞===→


p ; 0 K 1

1e

p=

+=∞


5

1 )s( GslímK

0 sv =⋅=

→; 5

K 1

e

v

==∞


0 )s( GslímK 2

0 sa =⋅=

→; ∞==∞

aK

1e





183

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

t

y(t )


Figura 5.40 : Respuesta ante el escalón unitario del sistema tipo 1.

0 0 10 5 10 20 15 30 20 40 25 0 0

5 10

10

30

15 20

20

40 25

t t

y(t) y (t)

entrada al sistema


a) b)



Si al sistema se le añaden dos elementos integradores con una constante de tiempo integral T i = 1 (figura5.42 ), el error en estado estable para los tres tipos de entrada tratados son:

R(s) E(s)

Y(s)

Y(s) 1s

1s

Figura 5.42 : Proceso de control con realimentación unitaria tipo 2 .


∞===→


p ; 0 K 1

1e

p=

+=∞





184

∞=⋅=→

)s( GslímK 0 s

v ; 0 K 1

ev

==∞


5

1 )s( GslímK 2

0 sa =⋅=

→; 5

K

1e

a==∞


0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

y(t )


-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 5.43 : Respuesta ante el escalón unitario del sistema tipo 2 .

0 0 10 5 10 20 15 30 20 40 25 0 0

10

30

200 20

40

400

t t

y(t) y (t)

entrada al sistema


a) b)


A la vista de estas gráficas se comprueba que, aunque los errores obtenidos para el sistema de tipo 2 eranprácticamente nulos o constantes, éstos resultan incorrectos. Tal situación se debe a no haber comprobadopreviamente la estabilidad del sistema. En este caso concreto, la adición de dos integradores en la trayectoriadirecta del sistema ha sido totalmente desfavorable para la estabilidad del mismo, por lo que la mejor situaciónde compromiso entre error y estabilidad sería para un sistema de tipo 1.

5.6 Control en cascada.

Una de las técnicas para mejorar la estabilidad de un proceso de control complejo es el empleo del control

en cascada. Su utilización es conveniente cuando la variable controlada no puede mantenerse dentro del punto




185

de consigna, por óptimos que sean los ajustes del controlador, debido a las perturbaciones que se producen enalguna condición del proceso.

Se puede utilizar como ejemplo el caso del control de temperatura de un horno de fuel que se usa para el

calentamiento de un determinado producto (figura 5.45 ). Cuando la temperatura medida se desvía del punto deconsigna, el controlador hace variar la posición de la válvula de admisión de fuel, consiguiendo asíreestablecer la temperatura a su valor de consigna. Esto podría ser suficiente si las características delcombustible (presión, viscosidad…) y del producto permanecieran constantes.

Sin embargo, si una de las características, por ejemplo la presión del combustible, cambia de formaincontrolada, el caudal a través de la válvula seguirá la misma variación aunque su vástago permanezca fijo. Así pues, cambiará la temperatura y, al cabo de un cierto tiempo (dependiente de las características decapacidad, resistencia y tiempo de transporte del proceso) las variaciones de temperatura llegarán alcontrolador y éste reajustará la posición de la válvula de acuerdo con las acciones de que disponga. Será una

casualidad que las correcciones del controlador eliminen totalmente las perturbaciones en la presión del fuel,ya que esas perturbaciones son totalmente al azar y hay un retardo entre las mismas y el envío de la señal decorrección del controlador a la válvula. Por lo tanto, las continuas perturbaciones en la presión del fuel, no sólodarán lugar a una corrección continua e innecesaria en la válvula, sino que perjudicarán el logro de una buenaregulación pudiendo incluso impedir totalmente el control del proceso.

Hay que hacer notar que el control de temperatura se realiza mediante la aportación del calor cedido por elfuel que pasa a través de la válvula, es decir, la temperatura es regulada más bien por el caudal de fuel (si lacalidad del fuel es constante) que por la posición del vástago de la válvula. Nótese que el caudal no estácontrolado y que es de interés secundario (variable secundaria), pero es evidente que sus fluctuaciones afectana la variable temperatura, la que necesariamente es de interés principal (variable primaria) en el control delproceso.

Desde el punto de vista de rapidez en el control del proceso sería muy conveniente el ajuste rápido deposición de la válvula tan pronto como se presenta una perturbación en la presión del fuel, mientras que las

variaciones de temperatura más lentas que pueden producirse por otras causas deben ser corregidas paramantener la temperatura en el punto de consigna.

Si la señal de salida del controlador de temperatura (controlador primario) actúa como punto de consigna deun instrumento que controle el caudal y cuya señal de salida ajuste la posición de la válvula, este segundocontrolador (controlador secundario) permitirá corregir rápidamente las variaciones de caudal provocadas por perturbaciones en la presión de fuel, manteniendo en el sistema, en todo momento, la capacidad paracontrolar la temperatura con el controlador primario. Estos dos instrumentos conectados en serie actúanmanteniendo la temperatura constante, el controlador de temperatura manda y el controlador de caudalobedece. Esta disposición se denomina control en cascada, y puede verse en la figura 5.46 conjuntamente consu diagrama de bloques.

Proceso controlado

Controlador temperatura

de salidaVálvula de

paso de fuelSelector

temperatura

Transductor detemperatura

Comparador

entrada de productofuel

salida de producto

Horno

Figura 5.45 : Control de temperatura de un horno de fuel con realimentación simple.




186

Se puede apreciar, pues, que el control en cascada implica el uso de dos controladores y dos bucles derealimentación. El bucle exterior o primario se ocupa del control de la variable principal , que en este caso seríala temperatura del horno. El bucle interior o secundario se encarga de alguna variable intermedia, como elcaudal del fuel. La consigna del bucle exterior es la variable deseada y se ajusta de forma voluntaria por elusuario. La consigna del bucle interior se determina por el controlador primario.

Para que el control en cascada sea eficaz es necesario escoger adecuadamente la variable secundariateniendo en cuenta las perturbaciones que pueden presentarse y las velocidades de respuesta de los distintoscomponentes del proceso. Para seleccionarla pueden seguirse los siguientes pasos:

• Dibujar el diagrama de bloques del posible sistema en cascada.

• El bucle secundario debe incluir la perturbación posible más importante.

• El bucle secundario debe ser de respuesta rápida y para ello debe incluir los retardos mínimos del sistemade control.

• Los puntos de consigna de la variable secundaria deben estar relacionados directamente con los de lavariable primaria y, a ser posible, su relación debe estar representada por una recta en preferencia a unalínea curva. De este modo se simplificará el ajuste del controlador primario.

• El bucle secundario debe contener el mayor número posible de perturbaciones mientras seasuficientemente rápido.

• La variable secundaria seleccionada debe proporcionar una estabilidad al control secundario con laganancia más alta que sea posible.

Estos pasos a seguir estarán naturalmente basados en el conocimiento del proceso a controlar y convieneque se apliquen con sentido común.

5.7 Control de ratio.

El control de ratio es una técnica de control en el que una variable de proceso es controlada con relación aotra variable. Mientras que el control en cascada es sólo un método que mejora la regulación de una variable,el control de ratio satisface una necesidad específica, el control de la relación entre dos cantidades.

Las variables relacionadas que son objeto de control suelen ser caudales de fluidos, tal como puede verse enla figura 5.47 . En esta instalación se tiene que un caudal secundario (variable controlada) debe mantener unarelación constante con un caudal principal (variable primaria). Las respectivas señales de los transmisores demedida de caudal son introducidas en una etapa de ganancia ajustable (relé de ratio o relé de relación), en el

cual se fija, de forma manual o automática, la relación que debe existir entre ambas variables. La señal desalida del multiplicador es el punto de consigna del controlador cuya señal de salida actúa directamente sobrela válvula de control (la cual controla el paso del caudal secundario).

Proceso controlado

Controlador detemperatura

Controlador de caudal

temperatura

de salidaVálvula de

paso de fuelSelector

temperatura


Transductor decaudal

Comparador Comparador

entrada de productofuel

salida de producto

Horno

Figura 5.46 : Control en cascada de la temperatura de un horno de fuel.




187

Hay que señalar que el ajuste del relé de ratio es función de los campos de medida relativos de lostransmisores de medida de caudal. Si en el ejemplo de la figura 5.47 , el transmisor de medida del caudal principal (variable primaria) tiene un campo de medida 1,5 veces mayor que el del transmisor de medida delcaudal secundario (variable controlada) y se desea que el caudal secundario esté siempre en la proporción de1:2 con relación al caudal principal , deberemos ajustar el dial del relé de ratio en la posición:

75 ,0 1

5 ,1

2

1 =⋅

Una aplicación típica del controlador de ratio se encuentra en la relación de caudales de aire y de fuel en lacombustión de una caldera de vapor.

5.8 Control por prealimentación (feedforward ).

El control de realimentación es la técnica más común empleada en el control de procesos. En este tipo decontrol la señal de salida (variable controlada) es comparada con un valor deseado (variable de referencia) y laseñal de error actúa sobre el controlador.

En sistemas que poseen tiempos de retardo importantes con desviaciones de magnitud y duración distintas,la señal de error es detectada mucho tiempo después que se ha producido el cambio de carga, por lo cual, lacorrección correspondiente es retardada y ocurre, a veces, que actúa cuando ya no es necesaria porque se haeliminado el cambio de carga que dio lugar a la corrección. Este problema puede resolverse en algunasaplicaciones introduciendo el control en cascada ya estudiado. El control en cascada es realmente un lazo decontrol secundario dentro de otro primario, con una respuesta suficientemente rápida establecida considerando

que la relación entre las constantes de tiempo del lazo primario al secundario sea de tres o mayor. Por lotanto, aunque el control en cascada sea suficientemente rápido ante perturbaciones de la variable secundariano deja de tener el inconveniente de necesitar que se produzca una desviación antes de actuar, con el peligro

Relé de ratio

Controlador caudal

secundar io Válvula decaudalsecundario

Transductor decaudal principal

Transductor decaudal

secundario

Proceso1ratio

ratio

Figura 5.47 : Control de ratio aplicado a la regulación de un caudal.

mezclador

torre

medida ycontrol de

nivel

medida y controlde temperatura

líquidofrío

vapor

líquidocaliente

Figura 5.48 : Proceso de control de temperatura.




188

de que sólo responde rápidamente ante la variable secundaria sin que actúe del mismo modo ante variacionesen la variable primaria (por ejemplo, el caudal o la temperatura del producto de entrada).

El control por prealimentación (feed forward ) parte de la medida de una o más variables de entrada y actúa

simultáneamente sobre la variable controlada que produce la salida deseada del proceso.Si las perturbaciones son medibles, el control por prealimentación de la perturbación es un método útil para

cancelar los efectos sobre la salida del sistema. Por control prealimentado de la perturbación se entiende elcontrol de los efectos indeseables de las perturbaciones medibles, compensándolos en forma aproximadaantes de que se realicen. Esto es una ventaja dado que, en un sistema de control con realimentación normal,la acción correctiva empieza sólo después de que se ha afectado la salida.

Considérese el proceso de control de temperatura de la figura 5.48 . En este sistema se desea mantener latemperatura de salida en cierto valor constante. La perturbación en este sistema es la variación en el caudal deentrada, el cual depende del nivel de la torre. El efecto de la variación no se percibe de inmediato en la salida,debido a los retrasos de tiempo que contiene el sistema.

El controlador de temperatura, que controla la entrada de calor hacia el intercambiador de calor, nofuncionará hasta que ocurra un error. Si el sistema contiene retrasos de tiempo grandes, transcurrirá ciertotiempo antes de que ocurra cualquier acción correctiva. De hecho, cuando el error ocurre, con cierto retardo de

mezclador

torre

medida ycontrol de

nivel

medida y control

de temperatura

medida y control

de caudal

líquidofrío

vapor

líquidocaliente

Proceso controlado

Controlador de temperatura

temperatura

de salida

Válvula depaso de vapor

Selector temperatura


entrada de líquido

vapor

salida de líquido

Intercambiador decalor

Controlador derivativo

Transductor de caudal

Figura 5.49 : Control por prealimentación de un intercambiador de calor. Sinóptico y diagrama de bloques.




189

tiempo y empieza la acción correctiva, puede ser demasiado tarde para mantener la temperatura de salidadentro de los límites deseados.

Si se incluye un control por prealimentación de la perturbación en un sistema como éste, tan pronto como

ocurra un cambio en el caudal de entrada se llevará a cabo, al mismo tiempo, una medida correctiva queajustará la entrada de calor para el intercambiador de calor. Esto se hace alimentando la señal del medidor deflujo y la señal del elemento de medición de temperatura al controlador de temperatura.

El control por prealimentación de la perturbación minimiza el error transitorio, pero, dado que es un controlen lazo abierto, existen limitaciones para su precisión funcional. El control por prealimentación de laperturbación no cancelará los efectos de las perturbaciones que no se puedan medir bajo condiciones deoperación normales. Por tanto, es necesario que un sistema de control por prealimentación de la perturbaciónincluya un lazo de realimentación, como se aprecia en la figura 5.49.

En esta figura el controlador por prealimentación es de acción derivativa. De este modo, si el caudal es fijo,la señal procedente del controlador de temperatura pasa sin cambios hacia la válvula. En cambio, si sepresentan variaciones en el caudal, la señal derivada correspondiente se suma o se resta, según el sentido dela variación, a la de temperatura. De este modo, los cambios de carga en el caudal del producto sondetectados y corregidos inmediatamente y compensan los cambios anticipados que, por esta causa, pudieran

producirse en la temperatura.En esencia, el control por prealimentación de la perturbación minimiza el error transitorio provocado por las

perturbaciones que se pueden medir, en tanto que el control realimentado compensa las imperfecciones en lamedición del control por prealimentación de la perturbación y aporta las correcciones para las perturbacionesque no se pueden medir.

El control por prealimentación es útil en los siguientes procesos:

• Procesos con tiempos muertos y retardos considerables, difíciles o casi imposibles de controlar con elclásico control de realimentación (caso más frecuente de aplicación del control en adelanto).

• Procesos en los que la variable a controlar no puede medirse con precisión o de modo continuo.

• Procesos en los que la variable a controlar no es fija y viene determinada por otra variable o variables quedeben ser máximas o mínimas.




190


Las actividades que se proponen a continuación requieren la utilización de maquetas didácticas de sistemasde regulación y control. De todos modos, y con el fin de no ceñirse a ningún fabricante de maquetas didácticasconcreto, se proporcionarán los esquemas funcionales de las actividades, dejando para el profesor laejecución práctica con el material de que él disponga.

Actividad 5.1: Obtención de la función de transferencia de un sistema decontrol de posición.

Se parte de un sistema de control de posición de un eje o cursor accionado mediante un motor de corrientecontinua. La comparación de la posición de referencia y la posición obtenida se realiza mendiante un puentede Wheatstone. El esquema funcional se muestra en la figura 5.50 .

Para poder realizar la actividad se requiere, además, una tarjeta de adquisición de datos, con el fin de poder visualizar y comparar la señal de entrada o consigna con la señal de salida en un ordenador. Se recomienda,además, disponer de un software de simulación (recomendado MATLAB y SIMULINK).

Con todas estas premisas, realizar las siguientes operaciones:

• Desactivar cualquier fuente de alimentación del sistema de control y situar el cursor en la posición dereposo.

• Ajustar un valor de posición de referencia deseado y conectar la fuente de alimentación. De este modo,se conseguirá una señal lo más parecida a un escalón.

• Dejar actuar suficiente tiempo para que estabilice la posición del cursor.

• A partir de la gráfica obtenida con la tarjeta de adquisición de datos y el ordenador, determinar la funciónde transferencia del sistema M(s) (lectura de sobrepaso máximo, error en estado estable y tiempo desubida), haciendo la consideración de que se trata de un sistema de segundo orden.

• Realizar el diagrama de bloques de un sistema equivalente con realimentación unitaria. A partir de dichoesquema, obtener la función de transferencia de la trayectoria directa G(s).

• Se puede comprobar la fiabilidad del modelo de sistema mediante una simulación con MATLAB ySIMULINK.

A continuación, se muestra una gráfica (figura 5.51) de una posible respuesta utilizando una maqueta MV-541 y el sistema de adquisición de datos (tarjeta y software) CAPVIS, todo ello de la firma Alecop.


para c.c.

Reductor de

engranajes

E

r y *

+

-

+

-

+

-

e e* M _

C D

A

B


Variablecontrolada

Comparador

Transmisor demedida

Dispositivocontrolado

(motor c.c.)

y

Figura 5.50 : Esquema funcional de un sistema de control de posición.




191

Actividad 5.2: Optimización de la respuesta del modelo de sistema obtenido.

Se desea optimizar la respuesta del sistema de la actividad anterior a partir del modelo equivalente derealimentación unitaria. Para poder realizar la actividad se requiere, además, una tarjeta de adquisición dedatos, con el fin de poder visualizar y comparar la señal de entrada o consigna con la señal de salida en unordenador. Se recomienda, además, disponer de un software de simulación como MATLAB y SIMULINK.

Realizar los siguientes pasos:

• Introducir en la trayectoria directa, a la salida del comparador, un controlador PD, con K p = 1.• Calcular el valor de la constante de tiempo derivativo (T d ) para obtener un sobrepaso máximo M p = 0,2 .

• Comprobar los resultados con SIMULINK.

Se puede llevar esta mejora a la práctica mediante la inclusión de un controlador PD entre la salida delcomparador y la entrada al control PI de la maqueta. Para ello se ajusta el tiempo derivativo al valor obtenido

0 10 20 30 40 50 60

1

2

3

4

5

6

t - seguros

Figura 5.51 : Respuesta del sistema ante una entrada equivalente a 3 V.

0 10 20 30 40 50 60

1

2

3

4

5

6

t - seguros

Figura 5.52 : Respuesta del sistema optimizado ante una entrada equivalente a 3V.




192

anteriormente. Realizar un nuevo ensayo con el controlador instalado y comparar la gráfica real de la maquetacon la obtenida con SIMULINK.

La figura 5.52 muestra una gráfica de una posible respuesta del sistema optimizado utilizando una maqueta

MV-541 y el sistema de adquisición de datos (tarjeta y software) CAPVIS, todo ello de la firma Alecop.


Ejercicio 5.1

Se tiene un sistema de realimentación unitaria con una función de transferencia en la trayectoria directa G(s).Demostrar, matemáticamente, la influencia de la inclusión de un controlador PD, con una función detransferencia (1+T d ·s), sobre el error en estado estable de la respuesta del sistema. Comentar el resultado.

Ejercicio 5.2

Un sistema de realimentación unitaria tiene una función de transferencida en la trayectoria directa de lasiguiente forma:

3ss2 s

1 )s( G

2 3 ++⋅+=

Determinar si el sistema es estable, o no, mediante el criterio de Routh-Hurwitz. En caso de inestabilidad,indicar el número de polos que aparecen en el semiplano derecho del plano complejo.

Ahora, en serie con la trayectoria directa G(s), se agrega un control PD cuya función de transferencia es(1+T d ·s). Calcular cuál es el valor de T d por encima del cual el sistema se vuelve estable.

Ejercicio 5.3

Un sistema tiene una respuesta, ante una entrada escalón de 3 V, como la que aparece en la figura 5.53.

Asimilando el sistema como si fuera de segundo orden, obtener el modelo de función de transferencia.

Ejercicio 5.4

Al sistema vibratorio mecánico de la figura 5.54 se le aplica una fuerza f(t) y la masa se desplaza un

recorrido x(t).

0 10 20 30 40 50 60

1

2

3

4

t - segundos

Figura 5.53 :Respuesta del sistema.




193

Cuando se aplica una función f(t) tipo escalón, con un valor de 8,9 N , la masa alcanza una posición estableen x( ∞ ) = 0,03048 m. Se desea que la respuesta transitoria tenga un sobrepaso máximo de 0,00289 m y untiempo de subida de 1,5 s.

Realizar las siguientes operaciones:

e) Obtener la función de transferencia del sistema.

f) Eligir los valores de los elementos (masa, coeficiente de fricción viscosa y constante del resorte) paraobtener el modelo de respuesta propuesto.

g) Realizar un modelo de diagrama de bloques, con los valores de los parámetros del sistema elegidos yuna entrada escalón de 8,9 N , y obtén la gráfica de la respuesta (entre 0 y 6 s.) mediante SIMULINK.

Ejercicio 5.5

Para regular la velocidad de giro de una masa de inercia J 2 se dispone de un motor de c.c. y de unatacodinamo. La masa se acopla al eje del motor mediante un tren de engranajes con una relación de dientesN 1 /N 2 . Los demás parámetros que intervienen en el sistema se pueden apreciar en la figura adjunta.

El motor aparece representado por un inducido ideal de fuerza contraelectromotriz e’(t), una resistencia deinducido R i y un coeficiente de autoinducción del devanado inducido Li . El circuito se alimenta con unatensión ur (t). Se supone que la velocidad del motor es práticamente proporcional a la f.c.e.m. e’(t),cumpliéndose la relación:

e’(t) = C 1·ω1(t)

donde C 1 es una constante que depende de los parámetros constructivos del motor y ω1(t) es la velocidadde giro del motor expresada en rad/s. El par a la salida del motor es directamente proporcional a la corriente

que circula por el inducido, expresándose como:M(t) = C’ 1·i i (t)

K

B

m

f(t)

x(t )

Figura 5.54 : Sistema vibratoriomecánico.

M(t)

e’(t) M _

G _

A

B

A

B

K+

-

tacodinamo

Figura 5.55 : Sistema de regulación de velocidad.




194

donde C’ 1 es otra constante que depende de los parámetros constructivos del motor e i i (t) es la corriente deinducido del motor.

La dinamo tacométrica se halla acoplada en el eje del motor y supone una inercia J 1, además, los

rodamientos de motor y tacodinamo quedan modelados mediante una fricción viscosa de coeficiente B1. Latensión en bornes de la tacodinamo es prácticamente proporcional a la velocidad de giro de la misma:

uy (t) = C 2 ·ω1(t)

donde C 2 es una constante que depende de los parámetros constructivos de la dinamo.

Se conocen los siguientes valores de los parámetros del sistema físico representado:

• Motor :

C 1 = C’ 1 =π⋅⋅Φ

2


R i = 1 Ω ; Li = 10 H

•

Tacodinamo :

C 2 =π⋅⋅Φ

2


J 1 =2

r m 2 ⋅; donde m = 0,5 Kg , r (radio de giro) = 4 cm

B1 = 3,03·10 -4 N·s

• Tren de engranajes :

N 1 = 20 dientes

N 2 = 60 dientes• Masa :

J 2 =2

r m 2 ⋅; donde m = 20 Kg , r (radio de giro) = 20 cm

B2 = 4,04·10 -4 N·s

Considerando una entrada ur (t) escalón de 100 V, realizar las siguientes operaciones:

a) Obtener un diagrama de bloques en lazo cerrado donde la entrada sea la tensión de referencia ur (t) y lasalida sea la velocidad de giro de la masa ω2 (t) en rad/s.

b) Determinar la función de transferencia del sistema. Aplicando el criterio de Routh-Hurtwitz determinar siexiste algún valor de la ganancia K que pudiera hacer el sistema inestable.

c) ¿Cómo influye el valor de la ganancia K en los parámetros de la respuesta del sistema como ζ y ωn? ¿Ysobre el valor final de la velocidad de la masa?.

d) Calcular el valor de K para cuando se desee una velocidad de giro ω2 (t=∞ ), en régimen estable, de 240r.p.m. Determina para este caso ζ y ωn. Simular la respuesta con SIMULINK.

e) Calcula rel valor de K para un sobrepaso máximo, en tanto por uno, M p = 0,15 . Determinar para este casoω2 (t=∞ ) y ωn. Simular la respuesta con SIMULINK.

f) Calcular el valor de K para una frecuencia natural no amortiguada 0,2 Hz . Determinar para este casoω2 (t=∞ ) y ζ. Simular la respuesta con SIMULINK.

Ejercicio 5.6

Partiendo del sistema del Ejercicio 5.5 , se desea determinar la influencia de un controlador PD en larespuesta del sistema. Para ello se utiliza una entrada ur (t) escalón de 100 V y se toma el valor de gananciaK para alcanzar una velocidad ω2 en régimen estacionario de 240 r.p.m.




195


b) Determinar la función de transferencia del sistema. Aplicando el criterio de Routh-Hurtwitz determinar lacondición que debe cumplir T d para que el sistema sea estable.

c) ¿Cómo influye la constante T d sobre el valor final de la velocidad de la masa?. Determinar el error parauna entrada escalón de 100 V y su constande error de posición estática, antes y después de incluir elcontrol PD.

d) Calcular el valor de T d para no superar un sobrepaso máximo M p = 0,04. Simular la respuesta conSIMULINK.

Ejercicio 5.7

Partiendo del sistema del Ejercicio 5.5 , se desea determinar la influencia de un controlador PI en larespuesta del sistema. Para ello se utiliza una entrada ur (t) escalón de 100 V y se toma el valor de ganancia

K para alcanzar una velocidad ω2 en régimen estacionario de 240 r.p.m.


b) Determinar la función de transferencia del sistema. Aplicando el criterio de Routh-Hurtwitz, determinar lacondición que debe cumplir T i para que el sistema sea estable.

c) ¿Cómo influye la constante T i sobre el valor final de la velocidad de la masa?. ¿Qué velocidad alcanzaahora en régimen estable?. Determinar el error para una entrada escalón de 100 V y su constande error de posición estática, antes y después de incluir el control PI .

Ejercicio 5.8

Un registrador es un aparato que representa sobre un papel las variaciones de una cierta magnitud deentrada, por ejemplo una tensión, a lo largo del tiempo. Esto se consigue haciendo que un cursor dotado de

M(t)

e’(t) M _

G _

A

B

A

B

K+

-

tacodinamo

Figura 5.56 : Sistema de regulación de velocidad con control PD.

M(t)

e’(t) M _

G _

A

B

A

B

K+

-

tacodinamo

Figura 5.57 : Sistema de regulación de velocidad con control PI .




196

una plumilla en su extremo se desplace verticalmente siguiendo las variaciones de la entrada, mientras unrollo de papel va avanzando a velocidad constante, tal como se ilustra en la figura 5.58 .

Una posible realización (simplificada) del registrador se muestra en la figura 5.59, donde un motor decorriente continua controlado por inducido tiene como entrada una tensión proporcional (según sea el valor de

la ganancia K que se supone positiva) a la diferencia entre la tensión de entrada, ur (t), y la tensión en el cursor,uc (t), la cual es proporcional al desplazamiento vertical de éste x(t ). Esto es posible gracias al potenciómetrolineal, en el cual:

l

)t ( x U )t ( u cc c ⋅=

donde U cc es la tensión de la fuente de alimentación y l la mitad del recorrido máximo. El desplazamientoangular del eje del motor se transforma en desplazamiento lineal del cursor mediante una polea de radio r . Elmotor tiene constante eléctrica C 1, constante mecánica C 2 . La resistencia de inducido es R i . Las variables aconsiderar en el motor son el ángulo de giro θ(t), la fuerza contraelectromotriz e’(t), la corriente del inducido i i (t)y el par motor en el eje M(t). El eje del motor junto con la carga (poleas, cursor, etc.) representan un momentode inercia J y una fricción viscosa de coeficiente B. La tensión de entrada ur (t) está siempre comprendida entre+U cc y -U cc .

Se conocen los siguientes valores de los parámetros del sistema físico representado:

• Motor :

C 1 = C 2 =π⋅⋅Φ

2


R i = 1 Ω

• Juego de poleas y correa :

J =2

r m 2 ⋅; donde m = 0,1 Kg , r (radio de giro) = 1 cm

B = 1,02·10 -4 N·s

• Cursor y potenc iómetro lineal :

t

d e s p l a z a m i e n t o d e l a p l u m i l l a

avance del papel

Figura 5.58 : Aparato registrador.

M(t) B

J

e’(t) M _

A

B

K+

-

(t )

r

cursor

x(t) l

l

Figura 5.59 : Esquema funcional simplificada de un aparato registrador.




197

+U cc y -U cc = +15 V y –15 V

l = 2 cm

Considerando una entrada ur (t) escalón de 8 V, realizar las siguientes operaciones:

a) Determinar la función de transferencia del sistema. Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz, determinar lacondición de la ganancia K para que el sistema sea estable.

b) Calcular el valor de K para un sobrepaso máximo, en tanto por uno, M p = 0,15 . Determinar para este caso x(t=∞ ) y ωn.

c) Calcular la constante de posición estática y el error relativo en estado estable. Para ello se debeconsiderar que el tipo de señal de entrada y el tipo de señal de salida no son comparables, por lo que serecomienda que se aplique a la función de transferencia un coeficiente que convierta el desplazamiento delcursor en voltios.




198



199

UNIDAD 6Control digital y de eventos discretos.

6.1 Técnicas de control de eventos discretos.

El control de sistemas dinámicos con métodos que entrañan la observación y generación de eventosdiscretos es un área de estudio importante e interesante. Las técnicas son aplicables a un amplio rango desituaciones, incluyendo la automatización de fábricas complejas y grandes. Las aplicaciones industrialestípicas incluyen sistemas que proporcionan manejo de piezas, operaciones de ensamblado, fabricación ydiversas formas de control de proceso. Estas operaciones pueden necesitar el control de robots, máquinastransfer, células de fabricación flexibles y otras formas de automatización dedicada o flexible. El control deacción discreta se utiliza también en otros entornos con diferentes grados de complejidad. Ejemplos familiaresincluyen tareas usuales tales como el control de la climatización y el control de ascensores.

Las señales de control se desarrollan con la aplicación de la lógica combinacional y secuencial a un conjuntode condiciones observadas que se obtienen de las entradas y los sensores. Considerando terminologíaequivalente, este área de estudio se describe algunas veces como control lógico programable o control secuencial. Como las plantas son típicamente dinámicas, los sistemas se conocen también como sistemasdinámicos de eventos discretos.

Si se considera la parte de acción discreta de estos sistemas, las órdenes de entrada y de realimentación sereciben en el controlador, generalmente, como señales binarias. Las acciones de control que se devuelven a laplanta son también señales binarias y la operación se caracteriza por una secuencia de cambios en lasacciones de la planta que se inician como una función programada de condiciones de órdenes y condicionesmedidas (figura 6.1). Aunque las variables de proceso pueden supervisarse continuamente, las señales derealimentación se transmiten normalmente sólo cuando ocurren eventos discretos. Un evento discreto puedeocurrir como resultado de detectar que una señal continua es mayor que (o menor que) un nivel de referenciaseleccionado, o como consecuencia de detectar la presencia de un elemento móvil mediante un final decarrera. Como la temporización y secuencia de sucesos están sujetas a las variaciones del sistema y a

peticiones de tareas o condiciones de fallo que no son predecibles, la operación no se observa necesariamentecomo una secuencia cíclica y una secuencia repetitiva es típicamente aperiódica.

Un grupo de máquinas controladas por un ordenador de supervisión puede incluir algunos ordenadoreslocales que controlan operaciones tales como movimiento de robots u operación de una máquina deherramientas. Si la iniciación y finalización de una tarea son partes de un conjunto de operaciones interactivas,esta interacción se observa como una secuencia de eventos discretos. Así, la aplicación de una técnica decontrol de eventos discretos proporciona un enfoque metódico para el desarrollo de una estrategia de control jerárquica. En el apartado 6.2 se tratan diversas técnicas de control de procesos por ordenador, dondequedarán reflejadas las estrategias de control jerárquico.

6.1.1 Técnicas de transición de estados.

Las técnicas de transición de estados representan una adaptación de herramientas habituales en eldesarrollo de aplicaciones o funciones de naturaleza secuencial con ordenador. Estas técnicas permiten una

estrategia de control eficiente con una estructura secuencial comprensible. Esta estructura conduce aldesarrollo de jerarquías de control. Así, la programación se desarrolla y depura fácilmente. Además, losdiagnósticos de fallo se incorporan rápidamente y las operaciones concurrentes se coordinan fácilmente.

Controlador tareas o

trabajo

variables de proceso

a medir o detectar

condiciones

medidas

órdenes o

variablescontroladas

accionesOperario uOrdenador supervisor

Sensoresy

Transducores

Elementos finalde control o Actuadores

Plantao

Proceso

condicionesde entrada

estado delproceso

Figura 6.1 : Diagrama básico de un proceso de control de eventos discretos.




200

Se pueden utilizar diversas formulaciones en la metodología de transición de estados. Suelen ser habitualeslas presentaciones gráficas, como la red de Petri o el diagrama de transición de estados. Otra opción esexpresar las relaciones de una forma tabular que relaciona todos los modos de operación y las posiblestransiciones y destinos. Como las filas de la tabla pueden interpretarse rápidamente como una sucesión de

sentencias de programación, la versión tabulada se conoce como tabla de lenguaje de estados. Debido a quela metodología es sistemática, se asimila de forma fácil y la aplicación es comprensible sin que haya que tener una amplia experiencia de diseño. No obstante, el estado de un sistema asume un significado diferente de ladefinición que se aplica a los sistemas de control continuos y muestreados. Con el control de eventosdiscretos, el estado es un modo de operación tal como moverse a la izquierda o moverse a la derecha.

Metodología de transición de estados.

Suele ser conveniente, en el diseño de un proceso de control de eventos discretos, el uso de un diagrama otabla para la aplicación de técnicas de transición de estados. La programación real se puede llevar a cabo apartir de esa tabla o diagrama, utilizando un lenguaje que resulte familiar al usuario y que se adapte al controlen tiempo real (tal como una versión de C). La conversión de programación es generalmente fácil, con unatraducción directa de sentencias, tal como se expresan en la tabla de lenguaje de estado al formato deseado.Están disponibles módulos industriales de E/S (entrada/salida) estándar que o miden o conmutan señales en

diferentes niveles de tensión (alterna o continua). Los módulos también proporcionan aislamiento óptico entrelos circuitos del ordenador y el entorno industrial.

Una alternativa es desarrollar el software y el hardware de forma tal que se pueda aplicar directamente unaformulación de transición de estados como un lenguaje de programación. Esta combinación de software yhardware proporciona un interfaz eficiente hombre-máquina que permite que un controlador digital pueda ser un desarrollo válido de una máquina de estado. Los controladores diseñados específicamente paraproporcionar control de acción discreta se conocen, normalmente, como controladores lógicos programables yel interfaz con los módulos industriales de entrada y salida se integran, habitualmente, en el proceso acontrolar.

Sin embargo, no todos los controladores lógicos programables utilizan programación basada en las técnicasde transición de estados. Aunque los conceptos de transición de estado se incorporan en muchos sistemasnuevos, aún se utiliza una técnica de programación tradicional, aplicada a muchos sistemas industriales,conocida como lógica en escalera de relés o diagrama de contactos. Ésta es una técnica de representación

gráfica de símbolos de dispositivos y de diagramas de circuitos de relés que son los descendientes del diseñode automatismos de lógica cableada con relés electromecánicos. No obstante, en el diseño y desarrollo deprogramas que tienen grandes interacciones secuenciales, esta técnica de programación tradicional ni resultametódica, ni es sencilla la comprensión de la estructura secuencial de un proceso. Estos problemas sesolventan de forma fácil con la sustitución por una técnica de transición de estados.

La metodología de transición de estados describe de forma directa la secuencia de trabajo del proceso acontrolar. Cuando un proceso está en funcionamiento, el conjunto de tareas o acciones que está realizando enun momento dado, se conoce como estado actual del sistema. Un diagrama o tabla de transición de estadosdescribe los posibles estados y las condiciones para abandonar cada uno de ellos. Cuando un conjunto decondiciones son válidas para dejar el estado actual, la operación se dirige al correspondiente estado destino.Las acciones se realizan tal y como se describen en el nuevo estado. Así, la operación secuencial es explícitay un examen continuo de las condiciones (de las fuentes de órdenes y de los sensores) incluye solamenteaquéllas que son pertinentes para dejar el estado actual. La detección de un conjunto válido de condiciones

para dejar un estado origina una transición inmediata a un nuevo estado.

Ejemplos de aplicación.

Ejemplo 6.1

Sistema de eventos discretos sencillo (problema del conmutador anclado en una posición).

Un ejemplo introductorio sencillo que ilustra algunos conceptos básicos es el problema del conmutador anclado en una posición. Este problema se puede introducir en vista de las consideraciones de seguridad conel control de una máquina potencialmente peligrosa, tal como una sierra de cortar en una máquina de acabadode madera o una prensa en una planta de conformación de metales. Se utilizan dos conmutadores de manoque sólo mantienen el contacto si están en la posición hacia abajo. Con dos conmutadores de este tipo,colocados de forma tal que ambas manos están a salvo de la acción de la máquina, la operación ocurresolamente si se presionan ambos. Sin embargo, puede sucederle al operador que uno de los conmutadoresestá fijo en la posición de conectado, de manera que una mano esté libre. Así pues, se requiere una acción decontrol de dos posiciones (on/off ) que evite operaciones sucesivas cuando un conmutador está fijo en la



Control digital y de eventos discretos

201

posición hacia abajo.

El primer paso en la aplicación de la técnica de transición de estado es listar todos los posibles modosoperacionales o estados. Después se deben determinar las acciones que pueden ocurrir cuando se entra a

cada estado, y se determina una lista de condiciones considerando las circunstancias que contribuyen a unadecisión de dejar cada estado. Es importante diferenciar cuidadosamente entre estados, acciones ycondiciones.

Probablemente, el primer pensamiento con un control de dos posiciones es que únicamente requiere dosmodos de operación (encendido y apagado). Sin embargo, en este ejemplo, se hace necesario un nuevo modode operación que impida que la máquina actúe cuando un conmutador está fijo en una posición. Los tresestados de operación se describen entonces como el estado mantenido, el estado preparado y el estado enoperación. El estado mantenido se introduce para evitar una posible condición de solapamiento entreoperaciones. Si el sistema está en el estado en operación, al liberar uno u otro botón (o ambos) quita laenergía al sistema y provoca una transición desde operar a mantenido. Una vez se introduce en el estadomantenido, no puede salirse a menos que ambas condiciones de entrada sean falsas (cero), indicando queambos botones están en la posición hacia arriba. En la tabla 6.1 se presenta una lista de estados, condicionesy acciones. En la figura 6.2 se muestra un diagrama de transición de estado, mientras que en la figura 6.3aparece la red de Petri correspondiente.

Estados Condiciones Acciones

E1 Mantenido C1 Detecta que el botón 1 está pulsado A1 Puesta en marcha de la máquina

E2 Preparado C2 Detecta que el botón 2 está pulsado

E3 Operación

Tabla 6.1: Conmutador de control. Lista de estados, condiciones y acciones.

mantenido preparado

operación

E1

E3

E2

C1 C2·

C1 C2 , A1·C1 C2 A1+ ,

Figura 6.2 : Conmutador de control. Diagrama de transición de estados.

El diagrama de transición de estados (figura 6.2 ) muestralos estados como círculos numerados. Las ramas de conexióndescriben las condiciones para la transición de estado aestado con la acción correspondiente, mientras que la flechamuestra la dirección del cambio. La operación no puedecambiar desde el estado mantenido (E1) al estado preparado(E2 ) a menos que ambos conmutadores se encuentran en la

posición de desconectado ( 2 C 1C ⋅ ). La lógica combinacional( 2 C 1C ⋅ ) se expresa utilizando álgebra booleana. Si el estadopreparado es el estado activo y si ambos conmutadores seencuentran en la posición de conectado (C1· C2 ) origina unatransición al estado de operación (E3) y se activa la acción

A1. Si uno u otro de los botones está liberado ( 2 C 1C + ), laoperación retorna al estado mantenido (E1) con la acción A1desactivada.

La red de Petri (figura 6.3) utiliza un esquema de paso detestigo con la presencia de un testigo (representado por unpunto grueso negro) que muestra el estado actualmenteactivo. El testigo no se puede pasar a otro estado a menos

que las condiciones de la puerta (en la dirección de la flecha)sean positivas. La acción apropiada a ese momento semuestra asociada con el nuevo estado.

mantenido

preparado

operación

E1

E3

E2

C1 C2·

C1 C2·

C1 C2+

A1

A1

Figura 6.3 : Conmutador de control. Red de Petri.




202

Considerando este ejemplo simple, el diagrama de transición de estado y la red de Petri sonconceptualmente similares, con una estructura gráfica análoga para representar la lógica secuencial. Lasacciones pueden estar asociadas con una transición (tal como se muestra en el diagrama de transición deestados) o pueden estar asociadas con la entrada a un nuevo estado, tal como se ilustra en la red de Petri.

En la tabla 6.2 se presenta la tabla del lenguaje de estado equivalente. Se lista cada estado con lasacciones que ocurren cuando se entra en él, las condiciones para dejarlo y el estado destino. Aunque sepueden diseñar ordenadores de propósito especial para aceptar una estructura gráfica como formato deprogramación, una lista de sentencias es, por supuesto, un formato común para la programación. La acciónNOT en la tabla del lenguaje de estados se muestra entre paréntesis, porque describir la desactivación deacciones asociadas con los estados anteriores puede no ser necesario. Una alternativa es desarrollar elprograma de forma que la entrada a un nuevo estado ocurra con la hipótesis de que todas las accionesanteriores están desactivadas, a menos que se listen como acciones positivas en el nuevo estado.

Estado Acciones cuando entra Condiciones para salir Estado destino

E1 Mantenido ( A1 ) C2C1⋅ E2

E2 Preparado C1·C2 E3E3 Operación A1 C2C1+ E1

Tabla 6.2: Conmutador de control. Lenguaje de estado.

Ejemplo 6.2

Combinación de operación discreta y continua (pinza de un robot).

El diseño de un sistema de control para una pinza de un robot proporciona un ejemplo que integra conceptosde sistemas continuos y de eventos discretos. El robot opera en una célula de fabricación flexible y la tarearealizada por la pinza es coger y mantener objetos mecanizados de diferentes masas y tamaños sin producir

daños en la superficie. Los sensores de la pinza incluyen galgas extensiométricas en una de las pinzas paramedir la fuerza de agarre, un potenciómetro para medir la posición de la pinza y un sistema óptico para medir la presencia o ausencia de un objeto entre las pinzas.

El control por ordenador proporciona órdenes de dos niveles para abrir o cerrar las pinzas y, además,proporciona señales continuas (con una conversión digital-analógica) para colocar los niveles deseados develocidad de cierre y fuerza de agarre para cada objeto. La velocidad de cierre se reduce para objetos frágilesporque la inercia de las pinzas y el sistema de accionamiento produce una fuerza transitoria sobre el impactoque causa la fuerza de agarre que excede durante un corto periodo el nivel estático deseado. La fuerza deagarre se mantiene en el nivel deseado utilizando un lazo de realimentación analógico que actúacontinuamente minimizando la diferencia entre la fuerza de agarre medida y el nivel deseado.

El motor de corriente continua que mueve las pinzas está equipado con un amplificador operacional de altapotencia con circuitos de realimentación que se pueden conmutar para posibilitar un modo de control por tensión o por corriente. Usando el control por tensión, la velocidad es casi proporcional al voltaje. El control

por corriente es deseable en el modo de agarre y modo mantenido cuando el par desarrollado es, por supuesto, proporcional a la corriente en el inducido. La señal de velocidad analógica sitúa un nivel dereferencia a la entrada del amplificador y la fuerza de referencia se aplica como un voltaje de referencia en unlazo de realimentación negativa. Este lazo incluye el amplificador y el motor cuando se conmuta al modo decontrol por corriente.

Los modos de operación para el motor son: esperar una posición de referencia, cerrar el movimiento de la pinza, objeto agarrado y mantenido, abrir el movimiento de la pinza y esperar . El estado de espera extra seañade porque el ordenador puede ordenar una parada (posiblemente una parada de emergencia) cuando laspinzas no están en la posición de referencia. En la tabla 6.3 se presenta el conjunto completo de los estados,condiciones y acciones, y la formulación en lenguaje de estado de una estrategia de control de eventosdiscretos se presenta en la tabla 6.4. Cuando se cierran las pinzas, el movimiento ocurre con una velocidad dereferencia fija. La referencia es un voltaje analógico que se fija por una señal generada por ordenador justoantes de que sea posible el movimiento. Del mismo modo, cuando las pinzas tocan un objeto, se controla lamagnitud de la fuerza de agarre para mantener un valor fijo que se establece mediante una fuerza dereferencia analógica generada por ordenador.




203


E1 Esperar en posiciónde referencia C1 Activar señal positiva A1 Dar energía para cerrar elmovimiento con control de tensión

E2 Cerrar el movimientode la pinza

C2 Cerrar orden positiva A2 Dar energía para abrir elmovimiento con control de tensión

E3 Objeto agarrado ymantenido

C3 Abrir orden positiva A3 Dar energía para mantener el par control de corriente

E4 Abrir el movimientode la pinza

C4 Detectar los objetos entre laspinzas

A4 Transmitir señal a la piezaagarrada

E5 Esperar C5 Detectar los objetosagarrados

A5 Transmitir a la pieza la señal deposición de referencia

C6 Detectar la pinza en posiciónde referencia

Tabla 6.3: Pinza de robot. Lista de estados, condiciones y acciones.

Estado Acciones cuando entra Condiciones para salir Estado destino

E1 Esperar en posiciónde referencia

( A2 ) A5 C1·C2·C4 E2

C4C2C1 ++ E5E2 Cerrar el movimientode la pinza

( A5 ) A1

C5 E3

E3 Objeto agarrado ymantenido

( A1 ) A3 A4 C1·C5 E4

C6 E1E4 Abrir el movimientode la pinza ( A3 ) ( A4 ) A2

C3C1+ E5

C5C4C2C1 ⋅⋅⋅ E2E5 Esperar ( A1 ) ( A2 )

C6C3C1 ⋅⋅ E4

Tabla 6.4: Pinza de robot. Lenguaje de estado.

Ejemplo 6.3

Sistema con diagnósticos de fallos integrado (máquina de taladrar).

Una función a menudo deseada, que se incorpora fácilmente en la programación de transición de estados, esla inclusión del diagnóstico de fallos. Utilizando la metodología de transición de estados, se pueden incluir condiciones de fallo como estados de fallo.

Se considera, como ejemplo sencillo, la descripción de la operación de una máquina de taladrar. En estadescripción se incluyen los estados de fallo sobrecalentamiento y tiempo excesivo. En la tabla 6.5 se muestrauna lista de estados, condiciones y acciones y en la figura 6.4 se muestra una red de Petri que describe lasoperaciones. El movimiento de taladrar comienza sólo cuando se recibe una señal de capacitación que indicaque una pieza está en su posición. Con una operación normal, el taladro se mueve hacia adelante, esperabrevemente en la posición límite y luego se retrasa. Sin embargo, si se mide el sobrecalentamiento delaccionamiento del motor (C6 ), antes de que se complete el avance o retraso, entonces ocurre una transición alestado de fallo de sobrecalentamiento E5 . Cuando se alcanza el estado de fallo de sobrecalentamiento, seactivan una alarma y una luz. Del mismo modo, si el tiempo para completar el recorrido de avance excede unvalor prefijado, entonces ocurre una transición al estado de fallo por exceso de tiempo, E6. Cuando se llega aun estado de fallo, se quita la potencia y se activa la alarma. Cuando se activa cualquier estado de fallo, serequiere una inicialización manual para volver a una operación normal.

Hay muchas variaciones y adiciones que se podrían incorporar. Se podría añadir un modo de impulso de




204

avance para permitir el movimiento, al tiempo que se presiona manualmente un botón (asumiendo que no seexceden los límites). Las operaciones adicionales que involucran tiempo, contadores, comparadores demagnitudes de números, etc., se implementan fácilmente mediante un controlador digital.


E1 Preparado C1 Activar señal A1 Accionar el movimiento derotación

E2 Mover taladro haciadelante

C2 Medir movimiento completohacia delante

A2 Accionar el movimiento haciaadelante

E3 Esperar en el límite C3 Medir movimiento completohacia atrás

A3 Accionar el movimiento haciaatrás

E4 Sacar taladro C4 Temporizador T1 a cero A4 Activar contador T1

E5 Fallo de exceso desobrecalentamiento

C5 Temporizador T2 a cero A5 Activar contador T2

E6 Fallo de exceso de

tiempo

C6 Medir sobrecalentamiento A6 Activar alarma y piloto de fallo de

sobrecalentamientoC7 Señal de reset manual A7 Activar alarma y piloto de exceso

de tiempo

Tabla 6.5: Taladro. Lista de estados, condiciones y acciones.

preparadoE1

C1

, A3 A1

hacia delanteE2

C2 C6C4 C5

A2, A1, A4

esperaE3

C5

, A5 A2alarma de

sobrecalen-tamiento

E5

C7

, , A6 A2 A1alarma deexceso de

tiempo

E6

C7

, , A7 A2 A1

hacia atrásE4

C3

A3, A1

Figura 6.4 : Taladro. Red de Petri.

6.1.2 Técnicas de control tradicional.

Para entender las variaciones en metodología que se aplican a los sistemas de control de eventos discretoses útil considerar la evolución del control mediante lógica cableada con relés y del control digital. Los primerossistemas de automatización en fábricas se desarrollaban utilizando la interconexión de relés en circuitos queproporcionaban funciones de circuitos digitales. Las funciones deseadas incluyen tanto lógica combinacional

como secuencial. Los primeros sistemas se establecieron con la necesidad de utilizar únicamente reléselectromecánicos y, a menudo, estos sistemas se hacían enormes con un gran número de relés. Laprogramación se implementaba en lógica cableada y los cambios en la programación requerían cambios en el




205

cableado. Cuando se construían diagramas de circuitos para describir los circuitos lógicos con relés, laestructura del diagrama parecía una escalera, con cada peldaño definiendo las condiciones para controlar unrelé específico.

Aunque actualmente se utilizan los relés en algunas situaciones, los sistemas que requerían grandes bancosde relés fueron sustituidos, finalmente, por sistemas mucho más pequeños que utilizaban tecnologíaelectrónica de estado sólido. Con el uso de un microprocesador, y la posibilidad de escribir y leer desdememoria, los programas se podían desarrollar y modificar con relativa facilidad. Sin embargo, persistía laprogramación con diagramas de contactos o de escalera de relés, a pesar del cambio de la tecnología.Muchos controladores modernos utilizan la lógica de los diagramas de contactos como uno de los formatos deprogramación.

Control de eventos discretos utilizando relés electromecánicos.

Un relé electromecánico es un dispositivo de conmutación versátil que se aplica en muchas situaciones. Sinexcitación en la bobina del relé, los contactos del conmutador permanecen en la posición de reposo y seconocen como contactos normalmente abiertos o normalmente cerrados. Cuando se aplica excitación a labobina, los contactos conmutan a la posición opuesta. Existe una separación galvánica entre las bobinas y los

contactos, por lo que se puede diseñar para resistir grandes niveles de tensión o corriente transitoria quepueden ocurrir por la conmutación. Cuando estos contactos se diseñan para maniobrar sobre circuitos depotencia, el relé se denomina contactor .

Los relés se utilizan, a menudo, en aplicaciones tales como sistemas de control de climatización, aparatos omáquinas industriales para facilitar el control de motores, al mismo tiempo que requieren una estrategia decontrol sencilla. El control por relés también se puede necesitar para operaciones en un medio adverso, talescomo una temperatura muy alta o niveles muy elevados de radiación electromagnética.

Un relé electromecánico utiliza una fuerza generadamagnéticamente (mediante la excitación eléctrica desu bobina) para abrir o cerrar contactos en circuitos,los cuales pueden estar aislados eléctricamente de lafuente de excitación. En la figura 6.5 se muestran lossímbolos utilizados habitualmente en esquemas

eléctricos de lógica cableada y en lenguaje dediagrama de contactos. En la figura 6.6 se presenta unesquema eléctrico o esquema en lógica cableadasimple (un solo relé) tal y como podría aparecer en uncircuito de control de un pequeño motor de c.c. queutilice relés electromecánicos. Si se cierramomentáneamente el pulsador S1Q, entonces labobina del relé de control K1M se excita y todos loscontactos etiquetados con K1M cambian de posición.Por lo tanto, el motor recibe la energía, y permanecerá así hasta que se pulse S0Q. El contacto normalmenteabierto K1M , que aparece en paralelo con S1Q, permite que la bobina del relé permanezca excitada, aúndespués de haber liberado el pulsador S1Q.

13

14

21

22

A1

A2

K1B

Bobina Contactos

Figura 6.5 : Símbolos usados en esquemas eléctricos delógica cableada.

F2F

13

14

13

14

11

12

A1

A2

1~50Hz 48V

S1Q

S0Q

K1M

K1M

+-

M _

A B

K1M

Figura 6.6 : Control de un motor de c.c. mediante relés electromecánicos.




206

Lógica de diagrama de contactos como lenguaje de programación de automatismos.

Funciones lógicas parecidas se pueden producir con un controlador de estado sólido utilizando unarepresentación de diagrama de contactos. Si el esquema de control del motor (figura 6.6 ) se resuelve utilizando

programación con diagrama de contactos, se genera un esquema sobre la pantalla de la consola deprogramación, tal como muestra la figura 6.7 . Si se considera una única línea, es aparente que una conexiónen serie de símbolos de contactos de relé representa una condición lógica AND y una conexión en paralelorepresenta una condición lógica OR . Cada uno de los pulsadores se identifica utilizando una dirección deentrada y el símbolo de la bobina del relé se identifica con una dirección de salida. Para detectar la condiciónde conmutación del pulsador, cada uno de los pulsadores se conecta para proporcionar una señal de bajapotencia en la entrada designada y en la pantalla se muestra un símbolo de normalmente abierto onormalmente cerrado para cada entrada. En este punto se introduce un pequeño matiz, ya que el estado decada conmutador se determina tanto por el estado de la señal de entrada, como por el correspondientesímbolo en la pantalla. Sin embargo, los controladores se diseñan de forma que si un conmutador externo seconecta en serie con una fuente de tensión y se conecta a una entrada, un símbolo de normalmente abierto enla pantalla actúa para mantener la función del conmutador y un símbolo de normalmente cerrado actúa parainvertir la función de conmutación.

El circuito de control del motor es una configuración simple y la consideración de complejidades adicionales

se observa como un crecimiento del número de líneas del programa. Posibilidades adicionales, tales comotemporización y contaje, se obtienen insertando los símbolos adecuados.

Ejemplo 6.4

Problema del conmutador anclado en una posición.

Si se retoma el caso del ejemplo 6.1 (el problema del conmutador anclado en una posición), en la figura 6.8 se muestran dos diagramas de contactos que proporcionan un comportamiento equivalente. Aunque estosdiagramas tienen sólo dos líneas, la interacción de las dos proporciona una función lógica secuencial. Si seconsidera el diagrama de la figura 6.8a, el símbolo de la bobina de relé etiquetado por K1A se activará y semantendrá solamente si ambos conmutadores se detecta que están en la posición hacia arriba. Si se activa elrelé K1A, depresionando ambos pulsadores dará energía al sistema ( A1 activado), pero K1A se desactivainmediatamente. Así, el procedimiento de arranque no se puede repetir a menos que ambos conmutadores sedetecten en la posición hacia arriba.

K1A A1

A1 K1A

C2 C2

C1

A1 K1A

A1C2

C1 C1

K1A C1

K1A A1

K1A A1 C2

a) b)

Figura 6.8 : Alternativas de diagramas de contactos para el conmutador anclado en una posición.

Si se considera el segundo diagrama (figura 6.8b), el relé K1A se activa cuando el sistema recibe energía, y

K1MS0QS1Q

K1M

Figura 6.7 : Esquema de mando del motor desarrollado mediante diagrama decontactos.




207

el sistema no se puede cargar una segunda vez a menos que, K1A se desactive. La desactivación de K1A noocurrirá, a menos que ambos conmutadores se suelten. Obsérvese que el relé K1A se considera sólo paradescribir la lógica interna, y no hay necesidad para una dirección de salida correspondiente.

Una posible ambigüedad en la función, dependiendo de las variaciones en la secuencia de operaciones casisimultáneas, no se ha experimentado con la simulación electrónica porque se utiliza una exploraciónelectrónica para considerar cada línea individualmente. La exploración se mueve de arriba abajo con la salidade cada línea determinada antes de avanzar hasta la siguiente línea. El estado de salida se aplica a las otraslíneas (si se requiere) sin ninguna posibilidad de cambio hasta que la exploración complete un ciclo.

Cada línea en un diagrama de contactosproporciona una sentencia en lógicacombinacional que se interpreta fácilmente. Sinembargo, la acción secuencial no está sujeta auna estructura definida claramente; así laestructura secuencial no se asimila fácilmente. Ladificultad es, a veces, aparente con sistemassimples (tal como el ejemplo del conmutador

anclado en una posición) y es obvio conprogramas más largos que utilizan lógicasecuencial. La acción secuencial tiene laposibilidad de formar líneas interactivas. Esto seefectúa rápidamente introduciendo contactos enlas líneas que están controladas por las salidasde otras líneas. Sin embargo, las interaccionessecuenciales pueden ser extensas y el diagramano presenta una estructura secuencial obvia. Laprogramación y la depuración puede llegar acomplicarse sin necesidad y es difícil laincorporación del diagnóstico de fallos. Amenudo, ocurre un problema secundario debido ala falta de particionamiento de la operación. El

diagrama de contactos, generalmente, llega a ser largo y el microprocesador explorarárepetitivamente muchas líneas que no intervienenen la función actual. Por lo tanto, la operación esineficaz y el tiempo requerido para reorganizar yresponder al conjunto actualmente válido decondiciones se extiende innecesariamente.

6.1.3 Control concurrente.

Cuando se proporciona control para dos o másoperaciones que ocurren en paralelo se estáhablando de control concurrente. Lasoperaciones en paralelo pueden proceder

autónomamente, pero la operación independienteno continúa necesariamente durante un periodoindefinido. Una aplicación típica presentaoperaciones en paralelo que avanzanindependientemente hasta que ocurre un conjuntoespecífico de condiciones que requieren unasincronización temporal.

Ejemplos de este tipo de operación ocurren conmáquinas de transferencia o plataformasgiratorias industriales. Supóngase que una piezaestá situada en un lado de una plataformagiratoria y se llevan a cabo una secuencia deoperaciones de máquina automatizadas. La

plataforma giratoria se mueve 180º y se sitúa lanueva pieza para su mecanizado. La piezaoriginal está ahora en posición de recibir una

preparadoE1

C1

C2

colocar piezaE2 A1

C10

quitar piezaE11 A8

C6

rotar mesagiratoria

E12 A9

C4

tarea demecanizado

#2

E4 A3

C5

tarea demecanizado

#3

E5 A4

mecanizadocompleto

E6

C8

tarea derectificación

#2

E8 A6

C9

pulimentaciónE9 A7

rectificación ypulimentación

completa

E10

tarea derectificación

#1

E7

C7

A5tarea de

mecanizado#1

E3

C3

A2

Figura 6.9 : Plataforma giratoria. Red de Petri.




208

secuencia de operaciones de rectificación y pulimentación. Cuando se completa la operación en ambos ladosde la plataforma giratoria, se quita la pieza original y la plataforma gira de nuevo 180º. Para llevar a caboestas funciones con una transferencia continua de piezas, debe quitarse una pieza terminada antes de cadarotación y debe situarse la nueva pieza después de cada rotación. Las operaciones en los lados opuestos de la

plataforma giratoria deben proceder como operaciones asíncronas paralelas, pero la rotación de la plataformarequiere sincronización temporal.


E1 Preparado C1 Activar señal A1 Iniciar colocación de piezas

E2 Colocar piezas C2 Detectar nueva pieza ensu sitio

A2 Iniciar tarea de mecanizado 1

E3 Tarea de mecanizado 1 C3 Tarea de mecanizado 1completa





A5 Iniciar tarea de rectificación 1

E6 Esperar mecanizadocompleto

C6 Rotación completa A6 Iniciar tarea de rectificación 2

E7 Tarea de rectificación 1 C7 Tarea de rectificación 1completa

A7 Iniciar pulimento

E8 Tarea de rectificación 2 C8 Tarea de rectificación 2completa

A8 Iniciar quitar pieza

E9 Pulimentación C9 Pulimento completo A9 Iniciar rotación

E10 Esperar rectificación ypulimentación completa

C10 Detectar que está quitadala pieza acabada

E11 Omitir pieza

E12 Rotar mesa giratoria

Tabla 6.6: Plataforma giratoria. Lista de estados, condiciones y acciones.

Estado Acciones cuandoentra

Condiciones para salir Estado destino

E1 Preparado C1 E2

E2 Colocar piezas A1 C2 E3, E7

E3 Tarea de mecanizado 1 A2 C3 E4



E6 Esperar mecanizadocompleto E10 activo E11

E7 Tarea de rectificación 1 A5 C7 E8

E8 Tarea de rectificación 2 A6 C8 E9

E9 Pulimentación A7 C9 E10

E10 Esperar rectificación ypulimentación completa

E6 activo E11

E11 Omitir pieza A8 C10 E12

E12 Rotar mesa giratoria A9 C6 E1

Tabla 6.7: Plataforma giratoria. Lenguaje de estado.

En la tabla 6.6 se presenta una lista de estados, condiciones y acciones para la operación de una plataformagiratoria. Utilizando una red de Petri (figura 6.9), la operación concurrente se describe rápidamente utilizandouna o dos señales activas. Si un camino controlado por una única puerta se divide en múltiples caminos, la




209

señal se divide en múltiples señales. Así, la operación paralela comienza cuando la condición C2 se vuelveactiva. En este punto la señal se divide en dos señales que entran en los estados E3 y E7 . Las operaciones enparalelo entonces prosiguen independientemente hasta que los caminos se vuelven a unir. Si dos o másflechas entran en una única puerta, las señales no pueden pasar, a menos que estén presentes en todos los

estados de entrada. Si se consideran los ejemplos mostrados, las puertas con múltiples entradas se muestrancon línea doble, y no hay otras condiciones para pasar la puerta de línea doble que la presencia de señales entodas las entradas. Por lo tanto, cuando los estados E6 y E10 están ambos activos, las señales serecombinarán en una única señal en el estado E11.

Se presenta también un lenguaje de estado correspondiente (tabla 6.7 ). No es necesario considerar lasacciones de desconexión de la energía para las diferentes tareas porque se supone que estas operaciones secontrolan mediante subrutinas en controladores dedicados. La finalización de cada operación se detecta comouna señal de condición. Mediante el uso de testigos y la posibilidad de más de un estado activo, la red de Petriilustra de forma clara la operación concurrente y el desarrollo no es, generalmente, difícil.

6.1.4 Control jerárquico.

Sistemas tales como robots y máquinas de herramientas automatizadas, normalmente, funcionan bajo el

control de ordenadores locales que se diseñan por el fabricante como controladores dedicados. Cuando secolocan bajo control supervisor, la iniciación y finalización de diferentes operaciones continuas constituye unconjunto de eventos discretos y estos sucesos se perciben rápidamente como acciones y condiciones. Así, sepuede utilizar una red de Petri (o una tabla de lenguaje de estado) para desarrollar la estrategia que requiere elcontrol supervisor.

6.2 Técnicas de control por ordenador.

Hoy en día, los procesos industriales han crecido en tamaño y complejidad, llegando a ser necesarioprocurar un óptimo control de los mismos, con el fin de lograr un funcionamiento de la planta más perfecto yobtener un mayor rendimiento económico y funcional. El ordenador, como elemento controlador, supone unapieza clave en la optimización de los procesos de control complejos. Si bien existen dos tipos de ordenadores,el analógico y el digital, es más ventajoso emplear el segundo para los procesos industriales debido a las

ventajas que presenta al tratar exclusivamente con números puros y ser ideal para la solución de losproblemas numéricos. Asimismo, la alta velocidad conseguida en las señales de mando sobre los elementosactuadores, o elementos finales de control, permite realizar el control en forma prácticamente continua. Frenteal analógico, el digital tiene la desventaja de que, al muestrear el proceso, pierde parte de la información, perolas ventajas que presenta en la fácil modificación de parámetros y variables y en su versatilidad hacen que seaampliamente utilizado.

El ordenador digital, aplicado a los procesos de control industriales, aporta las siguientes ventajas:

• Mayor rendimiento del proceso y, por lo tanto, una gran producción con menores costes gracias a lautilización eficiente del material y del equipo.

• Mayor calidad en los productos fabricados.

• Mayor seguridad, ya que la acción de corrección y la activación de alarmas es inmediata.

• Proporciona una gran cantidad de información a la Dirección.

Como es lógico, al tender los sistemas a evolucionar hacia una complejidad cada vez mayor, fue necesariodesarrollar un ordenador de gran capacidad que realizara la función de controlar todas las variables delproceso en una forma óptima. El uso y aplicación del ordenador evolucionó en dos etapas: el control digital directo y el control supervisor .

Estos ordenadores iniciaron la separación de la instrumentación analógica del mando directo del operador,pasando éste, gradualmente, a funciones de supervisión e interviniendo sólo en caso necesario al ser avisadopor el ordenador.

La decisión de instalación de un ordenador conectado al proceso (se realizaba a mediados de los años 60)se debe a múltiples factores, de los cuales se exponen los siguientes:

• La planta debía tener una producción anual muy grande para que fuera factible obtener un pequeño

porcentaje de mejora en su rendimiento que pudiera justificar la inversión grande que representaba lainstalación de control por ordenadores. Actualmente, los costes se han abaratado enormemente y lasprestaciones han mejorado espectacularmente, de modo que puede afirmarse que, a partir de unos 20 o




210

25 bucles de control, es más barata la adquisición de instrumentos de control digital que la de analógicos(neumáticos o electrónicos).

• La existencia de varias líneas del proceso muy importantes dentro de la planta.

• La variabilidad del proceso en el tiempo, es decir, es inevitable que el proceso cambie sus característicasinternas con el tiempo, tal como en el caso de los coeficientes de transferencia del calor en un horno, enun intercambiador de calor, etc., donde se prevé que la instalación de instrumentos convencionales darámenor rendimiento.

• En procesos en desarrollo, puede ser muy útil la instalación de un ordenador, puesto que permite realizar estudios de manera continua que facilitan su mejor diseño.

A continuación, se exponen diversas técnicas de control avanzadas donde el ordenador juega un papelfundamental.

6.2.1 Control Digital Directo (DDC).

En el control digital directo, que apareció hacia los años 60, el ordenador lleva a cabo todos los cálculos que

realizaban individualmente los controladores P , PI , PID, generando directamente las señales que van a loselementos finales de control (válvulas, contactores…).

Este tipo de control se denomina control digital directo o DDC (direct digital control ) y realiza las siguientesfunciones:

• Explora las variables de entrada analógicas o digitales.

• Las compara con los puntos de consigna e introduce la señal de error en el algoritmo de controlcorrespondiente.

• Envía las señales de salida a las válvulas de control del proceso.

• Se disponen instrumentos analógicos en paralelo con el ordenador en los puntos críticos y actúan comoreserva en caso de fallo.

En el control DDC , el ordenador está enlazado con el proceso realizando el papel de controlador , tal y comopuede verse en la figura 6.10 .

Las señales procedentes de los transmisores de campo se reúnen en un terminal y pasan a una unidad defiltrado y acondicionamiento donde son convertidas a señales digitales, para ser usadas en los cálculosposteriores del control.

Estas señales de entrada pueden tener varios orígenes:

• Señales de tensión procedentes de:

• Termopares.

• Reostatos.

• Tacómetros.

• pH y conductividad .• Otros transductores que proporcionen tensión a la salida.

• Señales de corriente procedentes de transmisores.

• Variaciones de resistencia de sondas que se caracterizan por una relación no lineal con relación a latemperatura.

A continuación, estas señales de entrada pasan a través de un multiplexor donde, de forma secuencial, sonleídas por el microprocesador o unidad de control de proceso (CPU ).

El microprocesador del ordenador se encarga de comprobar cada señal de entrada y compararla entrelímites prefijados, para detectar si sale fuera de estas magnitudes y determinar así, a través de la lógica delordenador, las causas de la desviación, iniciando una alarma o bien visualizando instrucciones para laoperación de la planta.




211

Además, una de las ventajas del ordenador es que en él se puede programar el algoritmo de control másconveniente para el tratamiento de cada señal de error, es decir, se puede implementar el algoritmo de uncontrolador P , PD, PI o PID.

Por otro lado, el sistema DDC compara la señal enviada al elemento final de control con la de entrada ydetermina la aceptabilidad de la información para la acción de control. Si ésta no es aceptable se retiene laúltima posición del accionador y el operador es prevenido, tomando el ordenador una acción de emergencia.De este modo, los límites de operación del proceso pueden estrecharse con seguridad, de manera que éstepuede llevarse a un punto de operación crítico sin problemas.

El DDC permite una transferencia de automático a manual sin perturbaciones y admite una fácil modificaciónde las acciones y de las configuraciones de los sistemas de control, lo cual es muy importante en la puesta enmarcha de la planta. El DDC tiene la ventaja sobre los controladores convencionales de estar provisto de uncalibrado automático que corresponde a las condiciones de operación instantáneas. Es decir, el ordenador ajusta la calibración de sus algoritmos, de acuerdo con una función predeterminada de la variable medida o deuna combinación de variables, en lugar de requerir periódicamente la calibración individual de cadainstrumento por un instrumentista o especialista en instrumentos, tal como ocurre en los instrumentosconvencionales.

Entre las ventajas del sistema DDC figuran:

• Flexibilidad en el diseño del sistema de control, pudiéndose pasar fácilmente de una acción de control aotra, diseñar la ecuación de control que más convenga al proceso y añadir cómodamente acciones de

control en cascada, de ratio o por prealimentación.• Rendimiento del control al trabajar muy próximamente al punto óptimo de operación.

variables

de proceso

SensoresTransducoresTransmisores

órdenes o

variablescontroladas

accionesElementos finalde control o Actuadores

Plantao

Proceso

Ordenador

BUS CPU

Fuente dealimentación

Interfases paraperiféricos

CPUMemoria

ROMMemoria

RAM

Interfases paraentradas y salidas

del proceso

Teclado, monitor, unidadesde disco impresoras...

~ ~

D

A

A

D

Convertidoresdigital / analógico yanalógico / digital

Multiplexores parasalidas y entradas

Acondicionador de señal

TerminalesTarjeta deadquisiciónde datos

Figura 6.10 : Ordenador en un sistema de control digital directo.




212

• Seguridad al poder comprobar cada variable entre unos límites prefijados.

6.2.2 Control supervisor.

A pesar de las ventajas del control digital directo (DDC ), su gran problema es, como todo sistema electrónico,los posibles fallos de sus componentes, a pesar de los avances constantes en la tecnología de los circuitosintegrados y la simplificación creciente lograda en el diseño de los ordenadores.

Una protección parcial se consigue utilizando estaciones de transferencia automático-manual colocadasfuera del ordenador y disponiendo controladores analógicos adicionales en los lazos críticos. Sin embargo,para garantizar la ausencia total de fallos habría que utilizar más de un ordenador, interconectados entre sí,para que pudieran sustituirse mutuamente en su función.

Para alcanzar la máxima seguridad de funcionamiento y lograr la optimización idónea del proceso, elordenador podría determinar los puntos de consigna más convenientes en cada instante, aplicarlos a los lazosde control situados dentro del propio ordenador o bien en el exterior en controladores individuales. Este tipo decontrol recibe el nombre de control de puntos de consigna o SPC (set point control ), o bien control supervisor.En la figura 6.11 puede verse un esquema de un control supervisor. Se observará que, en paralelo con el buclede control entre el transmisor y el controlador analógico, el ordenador calcula los puntos de consigna y losenvía secuencialmente a cada instrumento. Si se presenta cualquier avería, el controlador regula la variabledel proceso en el último punto de consigna que recibió del ordenador.

Dentro del control supervisor se usa el término SCADA (Supervisory Control And Data Adquisition) querepresenta el uso de un ordenador huésped (host), que usa los datos transmitidos desde el campo, y presentalos resultados al operador para que actúe como supervisor e inicie alguna acción de control, y utiliza unidadesremotas de transmisión situadas a largas distancias (pueden ser kilómetros) del ordenador. Las unidadesremotas de transmisión suelen ser inteligentes, por lo menos en los lazos críticos.

Poco a poco, las funciones aportadas por los sistemas SCADA se han hecho semejantes al controldistribuido, y la única diferencia reside en el tipo de circuito. SCADA transmite las señales a través de circuitosde baja velocidad y poco fiables para la integridad de los datos (líneas telefónicas y radio), mientras que elcontrol distribuido lo hace mediante circuitos locales de alta velocidad y seguridad de transmisión.

Controlador

Sensoresy

Transducores

Elementos finalde control o Actuadores

Plantao

Proceso

Transmisores

D

A

AD

Convertidoresdigital / analógico yanalógico / digital

Multiplexor

Acondicionador de señal

Terminales

Tarjeta de adquisiciónde datos

Figura 6.11 : Ordenador en un sistema de control supervisor..




213

6.2.3 Control distribuido.

En los años 70, dentro de los esfuerzos de investigación dedicados a la resolución del problema del controlde fábricas con gran número de bucles de control, y teniendo en cuenta el estado de la técnica de los

microprocesadores y la característica conservadora de la industria, se llegó a las siguientes conclusionesgenerales:

• Descartar el empleo de un único ordenador (control DDC ) por el serio inconveniente de la seguridad ysustituirlo por varios controladores digitales capaces de controlar individualmente un cierto número devariables, para así distribuir el riesgo del control único.

• Cada controlador digital debía ser universal , es decir, disponer de algoritmos de control seleccionablespor software, que permitieran resolver todas las situaciones de control y dieran así versatilidad alsistema. De este modo, un solo controlador digital podía efectuar un control P, o PI, o PID, o de relación,o en cascada, etc...

• La velocidad en la adquisición de los datos y su salida hacia los elementos finales de control debía ser entiempo real , lo que obligaba a utilizar microprocesadores de 16 bits, los cuales eran todo un hitotecnológico en los años 70.

• Para comunicar entre sí los transmisores electrónicos de campo, los controladores y las interfaces parala comunicación con el operador de la planta, se adoptó el empleo de una vía de comunicaciones, enforma de cable coaxial instalado en la planta, con un recorrido paralelo a los edificios y a la sala decontrol.

• Para eliminar el espacio de panel requerido por el control clásico, se adoptó el uso de uno o variosmonitores, en los cuales, el operador, a través del teclado, debía examinar las variables de proceso, lascaracterísticas de control, las alarmas, etc., sin perturbar el control de la planta, y con la opción decambiar cualquier característica de control de las variables del proceso.

Como resultado de estos esfuerzos, el primer control distribuido para la industria apareció a finales de 1975.

En esencia, la diferencia entre el control distribuido y el control clásico puede compararse a la existenciaentre el primer ordenador, el ENIAC , que se configuraba cambiando cables, y el actual ordenador personaldonde los cables existen electrónicamente configurados por el programa escrito (software) que se ejecuta.

Algunos de los elementos que forman parte de un sistema de control distribuido son los siguientes:

• Controlador básico: es un microprocesador que proporciona los clásicos controles PID y otros algoritmosde control. Es apto para el manejo de 8 bucles de control que proporciona, entre otros, los siguientesalgoritmos de control:

Salida manual PID normal PID con ajuste externo del punto de consignaPID con control anticipativo (feedforward) Adelanto-retardoSumador Multiplicador-Divisor RelaciónExtracción de raíz cuadradaRampas programadas (temperatura en procesos discontinuos)Contador

Estos algoritmos pueden configurarse definiéndose de este modo, el último modo de control a retener en caso de avería, las unidades de ingeniería (tipo de termopar, termorresistencia,...), la acción de control(directa, inversa), el tipo de señal de entrada (lineal, raíz cuadrada,...), las alarmas, etc.

• Controlador multifunción: son equipos que, al utilizar en su programación un lenguaje de alto nivel, seasemejan a un ordenador personal, proporcionan las funciones de control lógico que permiten regular unproceso discontinuo (batch control ) y el manejo de procesos complejos donde se hace necesario realizar cálculos en tiempo real , en los cuales el controlador básico está limitado.

• Controladores lógicos programables: sustituyen a los relés convencionales utilizados en la industria. Enlugar de disponer de pulsadores y relés para los circuitos de enclavamiento y para el accionamiento de

los contactores que gobiernan los motores de la planta (con el correspondiente panel o cuadro demandos y con los consiguientes cables de conexión, voluminosos y caros) el controlador programable




214

aporta la versatilidad y sencillez del uso de un lenguaje de programación basado en la lógica de diagramade contactos.

De este modo, pueden desarrollarse programas que representen cualquier circuito de enclavamiento y

comprobarlos con un simulador de contactos, antes de acoplar el controlador programable a la planta.• Estación del operador : proporciona la comunicación con todas las señales de la planta para el operador

de proceso, el ingeniero de proceso y el técnico de mantenimiento. La presentación de la información acada uno de ellos se realiza mediante programas de operación basados en aplicaciones SCADA.

De este modo, el operador de proceso ve en la pantalla (o pantallas) un gráfico o gráficos del procesoque le interesa y puede manipular las variables deseadas, las alarmas, las curvas de tendencia, etc.Puede archivar datos históricos de la planta que crea interesantes, obtener copias en impresora de lastendencias, el estado de las alarmas, etc.

El ingeniero de proceso puede editar programas del proceso, construir las representaciones en lapantalla de partes del proceso, etc.

El técnico de mantenimiento puede, fundamentalmente, diagnosticar y resolver problemas en loselementos de control distribuido de la planta.

• Ordenador personal (PC): Permite la visualización de las señales de múltiples transmisores, eldiagnóstico de cada lazo de transmisión, el acceso a los datos básicos de calibración y a los datos deconfiguración de los transmisores. Todo ello posible gracias a las aplicaciones tipo SCADA.

También permite implementar los programas de aplicación de los usuarios, destinados a obtener información determinada de la planta, y procesarla con objeto de analizarla más adelante. El sistema sepresta a optimizar variables, hacer cálculos especiales o complejos sobre balance de energía o deconsumo de materias primas de la planta y a confeccionar informes especiales.

Por otro lado, el ordenador puede comunicarse con otros ordenadores de mayor capacidad paraobtener información sobre el consumo de materias primas, sobre los factores que influyen en laproducción y en su rendimiento y sobre los datos analíticos que se utilicen en la optimización de laplanta. Y, como es lógico, esta información actual obtenida del proceso es accesible a la dirección, quepuede utilizarla para el control de costos de la planta.

El lenguaje utilizado suele ser de alto nivel, Fortran, C++, Pascal objeto. Se desarrollan programas quepermiten utilizar el control distribuido de manera óptima para mejorar la productividad de la fábrica yminimizar los costes.

• Alarmas: son elementos muy importantes en el control de procesos. Existen alarmas de alto y bajo valor de la variable, alarmas de desviación entre el punto de consigna y la variable controlada, alarmas detendencia que actúan si la variación de la variable excede de un valor prefijado, alarmas de estado de laseñal de entrada o de salida, etc. Conviene evitar la instalación de un número excesivo de alarmas, yaque el operador se ve obligado a silenciarlas apretando el pulsador correspondiente y, además, lepredisponen a no prestarles atención. Los casos en que la alarma actúa demasiadas veces durante el díason debidos a un mal diseño o a una condición del proceso que hay que corregir. La solución a estoscasos es la llamada alarma inteligente que actúa siguiendo la lógica del circuito.

El control distribuido tiene una seguridad mejorada con relación a los sistemas convencionales de control.

Tal como se ha indicado, los transmisores disponen de un sistema de autocalibración y diagnóstico de averíasque permite al personal de mantenimiento localizarlas y resolverlas rápidamente, caso de que se produzcan. Elsistema es redundante y puede considerarse como una inteligencia distribuida que, en forma parecida a lahumana, limita las consecuencias de un fallo, manteniendo el control del sistema.

Desde el punto de vista de la fiabilidad del equipo, el número de horas/fallo de los elementos de un sistemade control distribuido es considerable y varía en régimen permanente y a la temperatura de 25ºC desde 10.000horas/fallo en los controladores básicos hasta 220.000 horas/fallo en la vía de comunicaciones (cable coaxial).Este tiempo sigue creciendo con las nuevas técnicas de fabricación que se van incorporando a la industria.

Otro parámetro interesante es la llamada disponibilidad, es decir, la fracción de tiempo que el sistema esoperable. Por ejemplo, una disponibilidad de 90% significa que el sistema trabaja el 90% del tiempo, mientrasque el 10 % restante está en reparación. Pues bien, en los sistemas de control distribuido, la disponibilidadtípica varía desde el 99,2% hasta el 99,9%, dependiendo de la calidad del equipo, de la existencia de piezasde recambio críticas y del mantenimiento. Por lo tanto, si el usuario dispone en la planta de dichas piezas, y ha

contratado un buen mantenimiento, la seguridad de funcionamiento es clara.




215

Cabe pues afirmar que los sistemas de control distribuido se han consolidado en el mercado industrial comolos sistemas ideales de control y, hoy en día, sus ventajas son tan claras que, al estudiar la instrumentación yel control de una nueva fábrica o la reforma de una antigua, es inimaginable no considerarlos como posiblesopciones de elección.

Los sistemas electrónicos, al usar la lógica binaria, presentan la ventaja de poder aplicarse y ser compatibles, tanto para producción a gran escala, como en la fabricación de un número pequeño de unidades.

El coste del equipo electrónico disminuye de forma continua, el software continúa su creciente desarrollo y lapresión económica que induce a la automatización se mantiene, por lo cual es de esperar una crecienteimplantación en los procesos de automatización.

controlador multifunción

controlador lógicoprogramable

controlador básico

controlador lógicoprogramable

controlador multifunción

controlador básico

tratamientode datoshistóricos

contabilidad

programación

monitorización

estación de trabajodel operador

Figura 6.12 : Ejemplo de aplicación del control distribuido a una planta.




216


Ejercicio 6.1

Se desea taladrar piezas con un taladro-broca como el dela figura 6.13. El taladro se debe accionar por una orden deloperario, taladrar la pieza y colocarse en su posición iniciala la espera de una nueva orden.

El descenso del taladro se realizará a velocidad rápida ycon la broca girando. Cuando ésta se aproxime a la pieza,ha de disminuir su velocidad. Una vez taladrada la pieza,regresará a su lugar de origen a velocidad rápida.

En el caso de emergencia, se puede efectuar una paradadel proceso.

Especificaciones iniciales.

1 El taladro-broca consta de un motor de traslación de 2velocidades y 2 sentidos de giro, por lo que necesitarápara su control 4 actuadores (contactores). K1B y K2Bgobernarán los sentidos de giro (descenso y ascenso),mientras que K3M y K4M gobiernan las velocidadeslenta y rápida respectivamente.

2 El taladro-broca tiene, además, un motor de rotaciónpara el giro de la broca con 1 velocidad y 1 sentido degiro, por lo que bastará un sólo actuador para su control. El contactor K5M se encarga de realizar lasfunciones del motor de la broca.

3 Una orden del operario mediante un pulsador S1Q pone en funcionamiento el ciclo de trabajo.

4 La broca comienza a girar y no cesará hasta el final del ciclo.

5 El taladro se prepara para descender a velocidad rápida.

6 Cuando el taladro alcance el nivel de proximidad, éste seguirá descendiendo a velocidad lenta.

7 Cuando se haya obtenido la profundidad de perforación deseada, un detector nos indicará que el taladro sehalla en su nivel más bajo.

8 El motor de traslación del taladro se detiene y asciende a velocidad rápida.

9 El taladro alcanza su nivel original, se detiene la traslación y la rotación de la broca.

10 El taladro-broca se queda a la espera de una nueva orden del operario.

11 Por medio de un interruptor S0Q se podrá realizar un paro de emergencia en el momento que interese.

Cuando se retoma el funcionamiento normal, el taladro asciende a velocidad rápida hasta su nivel alto(original).

Realizar la l ista de estados, cond iciones y acciones y la red de Petri correspondiente al automatismopropuesto, procurando cumplir todas las especificaciones iniciales.

Figura 6.13 : Esquema del taladro-broca.



217

UNIDAD 7Diseño de controladores.

7.1 Configuración de controladores electrónicos.

A la hora de hablar de controladores electrónicos no se puede hacer referencia a una tecnología única. Paraempezar, la tecnología a emplear en el diseño de un controlador electrónico va a depender de si el tipo deseñal a tratar va a ser analógica (señal continua en el tiempo) o digital. Si la señal es continua en el tiempo seutilizarán controladores electrónicos analógicos, mientras que si la señal es digital se utilizarán controladoresdigitales.

Dentro de cada grupo de controladores electrónicos las opciones tecnológicas son muy amplias, por lo quehay que recurrir a otros requerimientos del sistema o proceso a controlar para decidir cuál es la opción másacertada. Debido a la extensión que podría llevar el introducir cada una de las posibles opciones, es necesariocentrarse en un campo de controladores concreto. Aquí se tratarán exclusivamente los controladoreselectrónicos analógicos.

El componente principal de los controladores analógicos (sobre el cual se desarrolla todo el diseño de losmismos) es el amplificador operacional. Una breve introducción al amplificador operacional resulta interesantepara una mejor comprensión de las posibles configuraciones de controladores.

7.1.1 El amplificador operacional.

El amplificador operacional está basado en el amplificador diferencial básico, constituido por un par equilibrado de transistores idénticos acoplados por emisor a un generador de corriente ( figura 7.1). Estaconfiguración constituye un bloque amplificador con muy buenas características en cuanto a estabilidad,ganancia y ausencia de frecuencia inferior de corte.

La tecnología de integración de circuitos ha permitido la realización de dicha etapa en un mismo y diminutosustrato semiconductor (chip), asegurando que ambos transistores son exactamente iguales, exigencia básicapara la configuración del par equilibrado. Aún más, el desarrollo acelerado de las técnicas de integración hahecho posible agrupar varias etapas diferenciales junto con otras etapas auxiliares de entrada y de salida,aumentando considerablemente la ganancia del amplificador global y mejorando sus impedancias. De estaforma, se ha conseguido un circuito integrado amplificador de características cuasi-ideales: el amplificador operacional.

Las características básicas de un supuesto amplificador ideal de tensión serían las siguientes:

• Su ganancia, Av , debería ser prefijable con facilidad y precisión.

VC1

Figura 7.1 : Amplificador operacional elemental basado en unamplificador diferencial básico.




218

• Su impedancia de entrada debería ser infinita, para no modificar la tensión a amplificar, y su impedanciade salida debería ser nula, para que la tensión de salida no fuese modificada por la carga (condicionesambas de buen acoplo en tensión).

• Su anchura de banda debería abarcar desde la tensión continua hasta las más altas frecuencias

utilizables, a fin de no introducir ninguna limitación en frecuencia (anchura de banda infinita).Por otra parte, el amplificador operacional poseerá dos entradas, al igual que el amplificador diferencial que

le da origen. Entonces, para el amplificador operacional se tiene la siguiente caracterización:

Característica Amplificador ideal Amplificador real (A741)

Ganancia ( Av ) infinita ≈ 2·105

Impedancia de entrada (R i ) infinita ≈ 2 MΩ

Impedancia de salida (R o) nula ≈ 75 Ω

Anchura de banda (BW ) infinita ≈ 10 Hz

(sin frecuencia inferior de corte)

Tabla 7.1: Características de un amplificador operacional.

Las características expuestas en la tabla 7.1 se muestran sobre un modelo de cuadrupolo del amplificador enla figura 7.2 .

De las dos entradas que dispone, una es inversora, dado que la tensión de salida v o invierte su signorespecto a la tensión presente en dicha entrada. La otra entrada es no inversora, pues da lugar a una v o quemantiene el signo de la tensión en esa entrada.

Dicho amplificador se alimenta con dos fuentes de tensión, +V cc y -V cc (no necesariamente simétricasrespecto al cero, aunque sea lo más habitual), que delimitan el campo de trabajo de las tensiones en susentradas y su salida.

Tal como se ha definido este amplificador operacional ideal, con una ganancia infinita, resulta claro que nopuede operar directamente en zona lineal, pues, en cuanto exista la más mínima diferencia entre las tensionesde sus entradas, la tensión de la salida va a tomar valores de +∞ o -∞, que en la práctica serán +V cc y -V cc ,como valores límite de su zona de tensiones (salida saturada). En estas circunstancias, el amplificador operacional actúa como comparador:

Si v + > v - ⇒ v o = +∞ = +V cc

Si v + < v - ⇒ v o = -∞ = -V cc

La zona de trabajo lineal del amplificador operacional se refleja en la gráfica de la figura 7.3a. Si alamplificador operacional se le realimenta negativamente, su zona de operación lineal aumenta para un mayor rango de valores entrada (figura 7.3b). Por el contrario, si se realimenta positivamente, se acentúa aún más lafunción de comparador del amplificador (figura 7.3c ).

A partir de estas consideraciones, y de las características del amplificador ideal, se extraen las siguientes

conclusiones:

-

+

+

ganancia

frecuencia

Figura 7.2 : Amplificador operacional como cuadrupolo y diagrama de Bode para la ganancia.



Diseño de controladores

219

• Debido a la impedancia de entrada infinita, se supone que no circula ninguna corriente por las entradasdel amplificador.

• Si la salida v o no está saturada (-V cc < v o < +V cc ), el amplificador se halla trabajando en su zona lineal.Debido a su ganancia casi infinita, esta situación es sólo posible si v + - v - ≈ 0 , es decir, v + ≈ v -.

7.1.2 Comportamiento y realización práctica de los controladores.

La diferencia entre la variable de referencia y la variable controlada, es decir, la señal de error, puedeamplificarse de forma proporcional, integrarse o derivarse para obtener la variable correctora que va a actuar

sobre el proceso controlado. En el controlador, las componentes de acción proporcional y acción integral pueden presentarse juntas o por separado y estar también combinadas con la componente de acciónderivativa.

A continuación, se consideran los tipos de controladores más importantes. A la entrada del circuito debegenerarse siempre la señal de error. Los demás parámetros, o sea, las constantes de tiempo, se obtienen por efecto de la realimentación incorporada en el diseño del circuito o añadiendo un amplificador no inversor.

Para estudiar las características de los distintos montajes basta considerar un único canal de entrada. Por ello se supone que la tensión ∆v i = v 1 – v 2 representa la señal de error a la entrada del controlador y que laimpedancia R i es la impedancia equivalente del canal de entrada correspondiente.

En los apartados siguientes se considera que los amplificadores operacionales son prácticamente ideales.

7.1.3 Controlador de acción proporcional.

El diseño del circuito de un controlador de acción proporcional, basado en amplificadores operacionales,debe ser tal que con los lazos de realimentación usados en el mismo, la señal de salida v o sea directamenteproporcional a la señal de entrada ∆v i = v 1 – v 2 , la cual representa la señal de error. Evidentemente, esnecesario que el amplificador trabaje en la zona lineal de su curva característica, por lo que se hace necesariousar la realimentación negativa del mismo.

Existen diversas posibilidades de configuración de circuitos que realicen esta acción proporcional. Aquí setratarán las etapas correspondientes al amplificador inversor , amplificador no inversor y el amplificador restador .

Amplificador inversor.

El esquema del montaje de un amplificador inversor se muestra en la figura 7.4. La comparación de lasseñales v 1 y v 2 se ha realizado previamente, por lo que a la entrada de la etapa se recibe su diferencia ∆v i = v 1 – v 2 , la cual constituye la señal de error del sistema. Las ecuaciones que rigen este circuito son:

-

+

-

+

b)a)

realimentación negativasin realimentación

-

+

c)

realimentación negativa

Figura 7.3 : Curvas características del amplificador operacional cuando se realimenta.




220

v + = v - = 0 V ;1

i 1 R

v I

∆= ;

2

o2 R

v 0 I

−= (7.1.3.1)

Dado que se supone el amplificador operacional ideal y que por las entradas del mismo (v + y v -) no circulacorriente, se tiene que I 1 = I 2 . Igualando las ecuaciones de la expresión (7.1.3.1), se tiene:

i 1

2 o v

R

R v ∆⋅−= (7.1.3.2)

La función de transferencia de esta etapa amplificadora resulta:

( )( ) 1

2

i

o

R

R

sV

sV −=

∆(7.1.3.3)

La función de transferencia de la ecuación (7.1.3.3) es una constante proporcional adimensional de signonegativo cuyo valor depende del cociente de dos resistencias. Como consecuencia de ello, la variablecorrectora que se obtiene a la salida (v o) es directamente proporcional a la señal de error (∆v i = v 1 – v 2 ) y sehalla invertida con respecto a la misma. Como en todo controlador de acción proporcional, no se incluyeningún factor dependiente del tiempo.

Amplificador no inversor.

El esquema de un amplificador no inversor es muy similar al del amplificador inversor. El circuito se muestraen la figura 7.5 . En este caso, sus ecuaciones son:

v + = v - = ∆v i ;1

i 1 R

v 0 I

∆−= ;

2

oi 2 R

v v I

−∆= (7.1.3.4)

Igualando las expresiones de las corrientes, se tiene:

i 1

2 o v

R

R 1v ∆⋅

+= (7.1.3.5)

La función de transferencia de esta etapa amplificadora resulta:

-

+

Figura 7.4 : Controlador de acción proporcional mediante unamplificador inversor.

-

+

Figura 7.5 : Controlador de acción proporcional mediante un

amplificador no inversor.




221

( )( ) 1

2

i

o

R

R 1

sV

sV +=

∆(7.1.3.6)

La función de transferencia de la ecuación (7.1.3.6) es una constante proporcional adimensional de signopositivo. Como consecuencia de ello, la variable correctora que se obtiene a la salida (v o) es directamenteproporcional a la señal de error (∆v i = v 1 – v 2 ).

Amplificador restador.

En un amplificador restador, la comparación de las señales v 1 y v 2 se realiza directamente en la propiaetapa, por lo que este controlador hace también la función de comparador ( figura 7.6 ). Las ecuaciones querigen este circuito son:

2 1

2 2 R R

R v v v

+⋅== +− ;

1

2 1

2 2 1

1 R

R R R

v v

I +

⋅−= ;

2

o2 1

2 2

2 R

v R R

R v

I

−+

⋅= (7.1.3.7)


( )12 1

2 o v v R R v −⋅= (7.1.3.8)

Dado que se ha considerado como señal de error ∆v i = v 1 – v 2 , resulta:

i 1

2 o v

R

R v ∆⋅−= (7.1.3.9)

Es decir, se obtiene la misma expresión que a la salida del amplificador inversor. La función de transferenciade esta etapa amplificadora resulta, igualmente:

( )( ) 1

2

i

o

R

R

sV

sV −=

∆(7.1.3.10)

La función de transferencia de la ecuación (7.1.3.10) es una constante proporcional adimensional de signonegativo cuyo valor depende del cociente de dos resistencias. Como consecuencia de ello, la variablecorrectora que se obtiene a la salida (v o) es directamente proporcional a la señal de error (∆v i = v 1 – v 2 ) y sehalla invertida con respecto a la misma.

7.1.4 Controlador de acción integral.

La acción integral puede generarse a partir de amplificador inversor, descrito en el apartado 7.1.3 (figura7.4), sustituyendo la resistencia R 2 por un condensador C . El modelo básico de un controlador o etapaintegradora (acción integral) se muestra en la figura 7.7 . Considerando como señal de error ∆v i (t) = v 1(t) – v 2 (t),las expresiones que relacionan las variables de este circuito son:

v + = v - = 0 V ; ( ) ( )R t v t i i 1 ∆= ; ( ) ( )( ) ( )t

t v C t

t v 0 C t i oo2 δ

δδ

δ ⋅−=−⋅= (7.1.4.1)

-

+

Figura 7.6 : Controlador de acción proporcional mediante unamplificador restador.




222


( ) ( ) t t v C R

1t v i o δ∫ ⋅∆⋅

⋅−= (7.1.4.2)

Al producto R·C se le denomina tiempo integral o constante de tiempo de acción integral T i , resultando laexpresión de la forma:

( ) ( ) t t v T

1t v i

i o δ∫ ⋅∆⋅−= (7.1.4.3)

Se puede observar en la expresión de la ecuación (7.1.4.3) que la salida de la etapa es directamenteproporcional, y con signo inverso, a la integral de la señal de error que se aplica a la entrada. La función detransferencia de esta etapa, como ya se estudió en el apartado 5.2.3, se escribe como:

sT

1

(s)V

(s)V

i i

o

⋅−=

∆(7.1.4.4)

El ajuste de la constante de tiempo de acción integral T i se puede realizar sustituyendo la resistencia R por un reostato o por un potenciómetro.

Los controladores de acción integral, o controladores I , son relativamente lentos, pues van variando sutensión de salida de acuerdo con la constante de tiempo de acción integral, T i , hasta que se anula su error. Adiferencia de los controladores de acción proporcional P (los cuales son más rápidos y actúan inmediatamentesobre el sistema controlado de forma proporcional a la señal de error) los controladores I precisan un ciertotiempo para llegar a generar una variable correctora lo suficientemente grande. Sin embargo, estoscontroladores siguen actuando hasta que la señal de error se hace nula.

7.1.5 Controlador de acción proporcional e integral (PI).

Para obtener una etapa de acción proporcional e integral, PI , se puede partir de un controlador deproporcional - constituido por un amplificador inversor - y de un controlador de acción integral. Si se aplica lamisma señal de entrada a estas dos etapas, y las correspondientes salidas se hacen pasar a través de unaetapa sumadora, se superpondrían los efectos de la acción proporcional y de la acción integral.

La constitución básica de un amplificador sumador o etapa sumadora, se muestra en la figura 7.8 .

C

R-

+

Figura 7.7 : Controlador de acción integral basado en el amplificador inversor.

-

+

Figura 7.8 : Etapa sumadora.




223

La expresión de la señal de salida de este sumador resulta ser:

( )2 11

2 o v v

R

R v +⋅−= (7.1.5.1)

Hay que observar que la señal de salida es directamente proporcional a la suma de las señales de entrada,pero con signo inverso. La relación de resistencias R 2 /R 1 constituye la ganancia de la etapa sumadora.

Si se desea sumar los efectos de un controlador de acción proporcional y un controlador de acción integral,se puede realizar un circuito como el de la figura 7.9, donde las salidas de un amplificador inversor y de unamplificador integrador se suman a través de un amplificador sumador.

La relación entre la señal de salida y la señal de entrada, considerando como señal de error ∆v i = v 1 – v 2 , seexpresa como:

( ) ( )

⋅∆⋅

⋅−+

∆⋅−⋅−= ∫ t t v

C R

1v

R

R

R

R t v i

i i i

1

2 o δ (7.1.5.2)

Si se denomina a R 2 /R 1 como K p (ganancia proporcional ) y al producto R i ·C i como T i , la ecuación (7.1.5.2) sepuede escribir de la forma:

( ) ( )

⋅∆⋅+∆⋅= ∫ t t v

T

1v K t v i

i i po δ (7.1.5.3)

Haciendo la transformada de Laplace y obteniendo la función de transferencia de la etapa, se tiene que:

⋅

+⋅=∆ sT

11K

(s)V (s)V

i p

i

o (7.1.5.4)

expresión que ya se obtuvo en el apartado 5.2.4 cuando se analizaba el comportamiento de un controlador PI genérico.

7.1.6 Controlador de acción derivativa.

La acción derivativa puede realizarse a partir de amplificador inversor, descrito en el apartado 7.1.3 ( figura7.4), sustituyendo la resistencia R 1 por un condensador C . El modelo básico de un controlador o etapaderivadora (acción derivativa) se muestra en la figura 7.10 . Considerando como señal de error ∆v i (t) = v 1(t) –

v 2 (t), las expresiones que relacionan las variables de este circuito son:

R

R-

+

-

+

-

+

Etapa sumadora

Etapa integradora

Amplificador inversor

Figura 7.9 : Ejemplo de controlador de acción proporcional e integral.




224

v + = v - = 0 V ; ( )( )

t

t v C t i i

1δ

δ ∆⋅= ; ( )

( ) ( )

R

t v

R

t v 0 t i oo

2 −=−

= (7.1.6.1)


( )( )

t

t v C R t v i

oδ

δ ∆⋅⋅−= (7.1.6.2)

Al producto R·C se le denomina constante de tiempo derivativo o tiempo de adelanto T d , resultando laexpresión de la forma:

( )( )

t

t v T t v i

d oδ

δ ∆⋅−= (7.1.6.3)

Se puede observar en la expresión de la ecuación (7.1.6.3) que la salida de la etapa es directamenteproporcional, y con signo inverso, a la derivativa de la señal de error que se aplica a la entrada. La función detransferencia de esta etapa se escribe como:

sT (s)V (s)V

d i

o ⋅−=∆

(7.1.6.4)

El ajuste de la constante de tiempo derivativo T d se puede realizar sustituyendo la resistencia R por unreostato o por un potenciómetro.

Los controladores de acción derivativa, o controladores D, son tanto más rápidos (incluso más que loscontroladores P ) cuanto mayor sea la variación de la señal de error por unidad de tiempo. Se puede afirmar que realizan un control de la velocidad de la señal de error, de tal forma que cuando ésta se estabiliza(velocidad o variación nula del error) la señal correctora a la salida del controlador es nula. Esto puede resultar un inconveniente cuando el error se hace estable una vez que han pasado los fenómenos transitorios.

7.1.7 Controlador de acción proporcional y derivativa (PD).

Para obtener una etapa de acción proporcional e derivativa, PD, se puede partir de un controlador deproporcional, constituido por un amplificador inversor, y de un controlador de acción derivativa. Si se aplica lamisma señal de entrada a estas dos etapas, y las correspondientes salidas se hacen pasar a través de unaetapa sumadora, se superpondrían los efectos de la acción proporcional y de la acción derivativa.

Si se desea sumar los efectos de un controlador de acción proporcional y un controlador de acciónderivativa, se puede realizar un circuito como el de la figura 7.11 donde las salidas de un amplificador inversor y de un amplificador integrador se suman a través de un amplificador sumador.


( )( )

∆⋅⋅−+

∆⋅−⋅−=t

t v C R v

R

R

R

R t v i

d d i 1

2 o

δ

δ (7.1.7.1)

Si se denomina a R 2 /R 1 como K p (ganancia proporcional ) y al producto R d ·C d como T d , la ecuación (7.1.7.1)se puede escribir de la forma:

C-

+

R

Figura 7.10 : Controlador de acción derivativa basado en elamplificador inversor.




225

( )( )

∆⋅+∆⋅=

t

t v T v K t v i

d i poδ

δ (7.1.7.2)

Haciendo la transformada de Laplace y obteniendo la función de transferencia de la etapa, se tiene que,

( )sT 1K (s)V (s)V

d pi

o ⋅+⋅=∆

, (7.1.7.3)

expresión que ya se obtuvo en el apartado 5.2.5 cuando se analizaba el comportamiento de un controlador PD genérico.

7.1.8 Controlador de acción proporcional, integral y derivativa (PID).

Del mismo modo que se han planteado los ejemplos de diseño para los controladores PI y PD, se puedeconstruir un controlador PID como el que aparece en la figura 7.12 .


( ) ( )( )

∆⋅⋅−+

⋅∆⋅

⋅−+

∆⋅−⋅−= ∫ t

t v C R t t v

C R

1v

R

R

R

R t v i

d d i i i

i 1

2 o

δ

δδ (7.1.8.1)

Si se denomina a R 2 /R 1 como K p (ganancia proporcional ), al producto R i ·C i como T i y al producto R d ·C d comoT d , la ecuación (7.1.8.1) se puede escribir de la forma:

( ) ( )( )

∆⋅+⋅∆⋅+∆⋅= ∫ t

t v T t t v

T

1v K t v i

d i i

i poδ

δδ (7.1.8.2)

Haciendo la transformada de Laplace y obteniendo la función de transferencia de la etapa, se tiene:

⋅+

⋅+⋅=

∆sT

sT 1

1K (s)V (s)V

d i

pi

o , (7.1.8.3)

expresión que ya se obtuvo en el apartado 5.2.6 cuando se analizaba el comportamiento de un controlador PID genérico.

-

+

-

+

-

+

Etapa sumadora

Etapa derivativa

Amplificador

inversor

Figura 7.11 : Ejemplo de controlador de acción proporcional y derivativa.




226

7.2 Configuración de controladores neumáticos.

Los fluidos, ya sean líquidos o gases, tienen un amplio uso en la industria debido principalmente a que son elmedio más versátil para transmitir señales y potencia. Los líquidos y los gases se diferencian entre síbásicamente por su falta de compresibilidad relativa y por el hecho de que un líquido puede tener unasuperficie libre, en tanto que un gas se expande para llenar su recipiente. El término neumática describe lossistemas de fluidos que usan aire o gases e hidráulica describe los sistemas que usan aceite.

Los sistemas neumáticos se usan mucho en la automatización de la maquinaria de producción y en elcampo de los controladores automáticos. Por ejemplo, tienen un amplio uso los circuitos neumáticos, queconvierten la energía del aire comprimido en energía mecánica, y se encuentran diversos tipos decontroladores neumáticos en la industria.

Dado que es frecuente equiparar los sistemas neumáticos y los sistemas hidráulicos, a continuación se

ofrece una breve comparación de estos dos tipos de sistemas.

7.2.1 Comparación entre sistemas neumáticos y sistemas hidráulicos.

El fluido que suele encontrarse en los sistemas neumáticos es el aire; en los sistemas hidráulicos es elaceite. Y son principalmente las propiedades distintas de los fluidos incorporados las que caracterizan lasdiferencias entre estos dos sistemas. A continuación se enumeran estas diferencias:

• El aire y los gases son comprimibles, en tanto que el aceite no lo es.

• El aire carece de la propiedad lubricante y siempre contiene vapor de agua. El aceite funciona como unfluido hidráulico al igual que como lubricante.

• La presión de operación normal de los sistemas neumáticos es mucho más baja que la de los sistemashidráulicos.

-

+

Etapa derivativa

-

+

-

+

-

+

Etapa sumadora

Etapa integradora

Amplificador inversor

Figura 7.12 : Ejemplo de controlador de acción proporcional, integral y derivativa.




227

• Las potencias de salida de los sistemas neumáticos son considerablemente menores que las de lossistemas hidráulicos.

• La precisión de los actuadores neumáticos es deficiente a bajas velocidades, en tanto que la precisión delos actuadores hidráulicos es satisfactoria en todas las velocidades.

• En los sistemas neumáticos, se permite un cierto grado de escurrimiento externo, pero debe evitarse elescurrimiento interno debido a que la diferencia de presión efectiva es muy pequeña. En los sistemashidráulicos se permite un cierto grado de escurrimiento interno, pero debe evitarse el escurrimientoexterno.

• En los sistemas neumáticos no se requiere de tubos de recuperación cuando se usa aire, en tanto quesiempre se necesitan en los sistemas hidráulicos.

• La temperatura de operación normal de los sistemas neumáticos es de 5 a 60 ºC. Sin embargo, elsistema neumático opera en el rango de 0 a 200 ºC. Los sistemas neumáticos son insensibles a loscambios de temperatura, a diferencia de los sistemas hidráulicos, en los cuales la fricción de los fluidosprovocada por la viscosidad depende, en gran parte, de la temperatura. La temperatura de operaciónnormal de los sistemas hidráulicos es de 20 a 70 ºC.

• Los sistemas neumáticos no corren el riesgo de incendiarse o explotar, al contrario de los sistemashidráulicos.

A continuación, se ofrece un breve análisis sobre el principio de funcionamiento de los controladoresneumáticos de acción proporcional, acción integral y acción derivativa.

7.2.2 Controlador neumático de acción proporcional.

En la industria se usan dos tipos de controladores neumáticos de acción proporcional, los denominados defuerza - distancia y los denominados de fuerza - balance. A continuación se mostrará que, a pesar de susdiferencias técnicas, ambos tipos muestran una estrecha similitud en las funciones del circuito neumático.

Controladores neumáticos tipo fuerza - distancia.

Estos controladores neumáticos basan su acción en un amplificador de tobera - aleta (figura 7.13), junto conun relevador de acción inversa (figura 7.14).

El amplificador de tobera - aleta se alimenta a su entrada de una presión constante ( P s) y conviertepequeños cambios de posición de la aleta en grandes cambios de presión a la salida (P c ). Este amplificador constituye la primera etapa del controlador.

señal deentrada

al elementofinal de control

suministrode aire

orificio aletatobera

presióntrasera

Figura 7.13 : Amplificador de tobera - aleta.




228

El relevador neumático es capaz de manejar grandes flujos de aire. Conforme aumenta la presión trasera dela tobera (P b), la válvula de diafragma se mueve hacia abajo, por lo que aumenta la presión de control a lasalida del mismo (P c ). Al igual que en el amplificador tobera - aleta, el relevador neumático se alimenta con unflujo de presión constante P s. El relevador constituye la segunda etapa del controlador.

En la figura 7.15 se muestra un diagrama esquemático del controlador de acción proporcional. La presióntrasera de la tobera (amplificador de tobera - aleta) determina la presión de control sobre el relevador (presióntrasera del relevador) y la posición de su válvula de diafragma. Por consiguiente, el caudal de salida delrelevador, o amplificador de segunda etapa, es directamente proporcional a los movimientos de la aleta delamplificador de primera etapa o de tobera - aleta.

Controladores neumáticos tipo fuerza – balance.

Estos controladores se usan ampliamente en la industria y se les conoce también como controladoresapilados (figura 7.16 ). Su principio de acción es similar al del controlador de fuerza – distancia, pero con laventaja añadida de eliminar buena parte de los enlaces mecánicos y pivotes que poseía éste, por lo que selogra una reducción en los elementos de fricción.


suministrode aire

a la atmósfera

presióntrasera

Figura 7.14 : Relevador neumático.

señal deentrada

orificio

presióntrasera

al elementofinal de controlsuministro

de aire

a laatmósfera

relevador neumático

Figura 7.15 :Diagrama esquemático de un controlador proporcional neumático de tipo fuerza- distancia.




229

El principio de funcionamiento del este controlador fuerza – balance se puede seguir en la figura 7.16. Lapresión de entrada de referencia P r y la presión de salida P o se conducen hacia grandes cámaras dediafragma. Estas cámaras constituyen un comparador de presiones, por lo que debe tenerse en cuenta que lasseñales de entrada de referencia y de salida del sistema deben convertirse previamente en señales de presión.

Al igual que en el anterior controlador, éste también emplea una aleta, una tobera y algunos orificios. Laabertura perforada en el inferior constituye la tobera. El diafragma que aparece justo encima de la tobera hacela función de aleta. El aire de la cámara inferior se escapa a la atmósfera a través de la tobera. El flujo através de la tobera depende de la brecha y la disminución de la presión a través de la misma. Eldesplazamiento de la aleta depende de la diferencia de presiones P r - P o, por lo que se puede decir que lapresión de control a la salida del controlador P c , es directamente proporcional a dicha diferencia:

P c = K p·(P r - P o ) (7.2.2.1)

donde K p constituye la constante de proporcionalidad del controlador, la cual depende de los diámetros delos orificios de los tubos de las señales de entrada y de salida de las cámaras.

7.2.3 Controlador neumático de acción proporcional y derivativa (PD).

A partir del amplificador neumático de tobera – aleta (figura 7.13), suele ser habitual incluir algún tipo derealimentación negativa que permita disminuir la cantidad de movimiento real de la aleta x(t). Un modo derealizar este tipo de realimentación es mediante la inclusión de un fuelle que tome presión de la salida decontrol (P c ) del amplificador y que actúe desplazando la base de la aleta ( figura 7.17 ). El efecto que seconsigue es el de estabilizar la aleta a una distancia determinada de la tobera para una señal de error concretae(t), logrando así unas variaciones de la presión de salida suavizadas con respecto a las variaciones de laseñal de error aplicada en el extremo de la aleta. De esta forma se tiene un comportamiento lineal delamplificador para un rango de señales de error mayor.

Si ahora se incluye una restricción R (figura 7.18 ) en la toma de presión del fuelle, se conseguirá que eldesplazamiento de éste se retrase con respecto a la señal de error. Ante un cambio brusco de la señal deerror, aplicada en la aleta, el amplificador se comporta como si no tuviera realimentación, mientras que si éstase estabiliza, el fuelle llega a actuar como realimentación negativa logrando una disminución de la presión decontrol P c .

suministrode aire

presión deentrada de

referenciapresión

de salida

a la atmósfera


orificio

Figura 7.16 : Diagrama esquemático de un controlador proporcionalneumático de tipo fuerza - balance.

e(t)

x(t)

Figura 7.17 : Amplificador de tobera – aleta con realimentación negativa.




230

En esta situación, se puede interpretar que la presión de salida varía con la velocidad de la señal de error, esdecir, con la derivada de la señal de error. La función de transferencia de este controlador se puede expresar como:

( )( )

( )sT 1K sE

sP d p

c ⋅+⋅= (7.2.3.1)

donde:

T d = R·C (7.2.3.2)

siendo R la resistencia de la restricción y C la capacidad del fuelle.

7.2.4 Controlador neumático de acción proporcional e integral (PI).

La configuración de un controlador neumático de acción PI se puede realizar a partir del amplificador detobera – aleta con realimentación negativa (control proporcional) de la figura 7.17 . Si se sustituye larealimentación negativa por una realimentación positiva y se incluye en ésta un elemento retardador, se pasa

de tener un controlador proporcional a tener un controlador proporcional – integral (figura 7.19).

El comportamiento de este controlador se puede seguir analizando el diagrama esquemático de la figura7.19. El fuelle 1 se conecta a la salida de presión del controlador sin ningún tipo de restricción, mientras que elfuelle 2 se conecta a la misma salida a través de un elemento de restricción R (válvula). Ahora supóngase uncambio escalón pequeño en el error. Esto provocará que la presión trasera en la tobera cambie de manerainstantánea, de la misma forma que lo hará la presión de control P c . Debido a la restricción de la válvula en latrayectoria al fuelle 2 , habrá un descenso en la presión a través de dicha válvula. Conforme pasa el tiempo, elaire fluirá a través de la válvula, de un modo tal que el cambio en la presión del fuelle 2 alcanzará el valor de

P c . Por lo tanto, el fuelle 2 se expandirá de modo que moverá la aleta una cantidad adicional en la dirección del

e(t)

x(t )

RC

Figura 7.18 : Diagrama esquemático de un controlador proporcional – derivativo (PD) neumático.

e(t)

x(t)

R

C

e(t)

x(t) t

t

t

1 2

Figura 7.19 : Diagrama esquemático de un controlador proporcional – integral (PI) neumático.




231

desplazamiento original e(t). Ello provocará que la presión de control P c cambie de forma continua (figura7.19).

Obsérvese que la acción de control integral en el controlador adopta una forma tal que anula lentamente larealimentación negativa que aportó originalmente el control proporcional. La función de transferencia

resultante de este controlador es:( )( )

⋅

+⋅=sT

11K

sE sP

i p

c (7.2.4.1)

donde:

T i = R·C (7.2.4.2)

siendo R la resistencia de la válvula de restricción y C la capacidad del fuelle 2 .

7.2.5 Controlador neumático de acción proporcional, integral y derivativa(PID).

Realizando una combinación de los controladores PD y PI de las figuras 7.18 y 7.19 se obtiene uncontrolador proporcional, integral y derivativo (PID) como el que aparece en el esquema de la figura 7.20 .

La función de transferencia resultante de este controlador es:

( )( )

⋅+

⋅+⋅= sT

sT 1

1K sE sP

d i

pc (7.2.5.1)

donde:T i = R i ·C ; T d = R d ·C (7.2.5.2)

siendo R i y R d las resistencias de las válvulas de restricción y C la capacidad de cada uno de los dos fuelles.

e(t)

x(t)

C C

Figura 7.20 : Diagrama esquemático de un controlador proporcional, integral y derivativo(PID) neumático.




232


El objeto de las siguientes actividades práctica es la construcción, mediante amplificadores operacionales,

de los tres tipos de controladores básicos: proporcional (P), integral (I) y derivativo (D). Para poder verificar elfuncionamiento de los mismos, se utilizará el generador de señales como fuente de señales de entrada y,mediante el osciloscopio, se comparará la señal de entrada y la señal a la salida del controlador en cuestión.

El amplificador operacional que se va a usar es el UA741CN , cuyo esquema de patillaje se muestra acontinuación:

Figura 7.21 : Esquema de patillaje del amplificador operacional UA741CN .

Actividad 7.1: Construcción del controlador proporcional (P).

El controlador se construirá siguiendo el esquema de la figura siguiente:

-

+v+

v-

100 Ω 4,7 kΩ

UA741CN

uo

ui

+V cc

-V cc

1 kΩ

Figura 7.22: Esquema de un controlador proporcional.

La resistencia de entrada es de valor fijo de 1 kΩ. La resistencia del lazo de realimentación está constituídapor una de valor fijo de 100 Ω y un potenciómetro de 4,7 kΩ. La alimentación del operacional se realizará entre±12 V. Una vez construido el circuito, realizar las siguientes actividades:

• Calcular entre qué valores se puede ajustar la ganancia de la etapa.

• Introducir una señal cuadrada de 3 V de amplitud y visualiza en el osciloscopio la entrada y la salida de la

etapa. A la vista de las curvas, ¿se puede decir que existe una relación lineal o proporcional entre la salida y laentrada?

• Probar a variar la frecuencia del generador de señales. ¿A partir de que valores de frecuencia deja tener un comportamiento proporcional?

• Calcular el valor que debería tomar el potenciómetro para obtener una ganacia unidad (en valor absoluto).Después ajusta el potenciómetro del circuito hasta que se obtenga una señal de salida idéntica a la de entrada.Comprueba el valor de resistencia que ha tomado el potenciómetro. ¿Coincide con el calculado?

• Realizar la misma operación que antes para obtener una ganancia doble y una ganacia mitad.

• Ahora probar a cambiar la forma de señal de entrada. ¿se sigue cumpliendo la relación deproporcionalidad?

Actividad 7.2: Construcción del controlador integral (I).El controlador se construirá siguiendo el esquema de la figura siguiente:




233

-

+v+

v-

100 kΩ

UA741CN

uo ui

+V cc

-V c c

1 kΩ

27 nF

4,7 kΩ

Figura 7.23: Esquema de un controlador integral.

La resistencia de entrada está constituída por una de valor fijo de 1 kΩ y un potenciómetro de 4,7 kΩ. El lazode realimentación es un condensador de 27 nF en paralelo con una resistencia de arranque de 100 kΩ. Laalimentación del operacional se realizará entre ±12 V. Una vez construido el circuito, realizar las siguientesactividades:

• Calcular entre qué valores se puede ajustar el tiempo integral Ti.

• Introducir una señal cuadrada de 3 V de amplitud y visualiza en el osciloscopio la entrada y la salida de laetapa. A la vista de las curvas, ¿se puede decir que la etapa realiza la “integral” de la señal de entrada?

• ¿Cómo influye el aumento o disminución del valor de resistencia del potenciómetro en la respuesta de laseñal?.

• Ahora probar a cambiar la forma de señal de entrada. ¿la salida sigue siendo la integral de la entrada?

Actividad 7.3: Construcción del controlador derivativo (D).El controlador se construirá siguiendo el esquema de la figura siguiente:

-

+v+

v- UA741CN

uo ui

+V cc

-V c c

27 nF

4,7 kΩ10 Ω

Figura 7.24: Esquema de un controlador derivativo.

Una vez construido el circuito, realizar las siguientes actividades:

• Calcular entre qué valores se puede ajustar el tiempo integral Td.

• Introducir una señal cuadrada de 3 V de amplitud y visualiza en el osciloscopio la entrada y la salida de laetapa. A la vista de las curvas, ¿se puede decir que la etapa realiza la “derivada” de la señal de entrada?

• ¿Cómo influye el aumento o disminución del valor de resistencia del potenciómetro en la respuesta de laseñal?.

• Ahora probar a cambiar la forma de señal de entrada. ¿la salida sigue siendo la derivada de la entrada?




234


Ejercicio 7.1

A partir del circuito realizado con amplificadores operacionales de la figura, realizar las siguientesactividades:

a) Determinar la función de transferencia del circuito, donde la entrada es una señal de error v i (t) , y la salidaes v o(t). Indicar cuál sería la función que realizaría este circuito en un lazo cerrado de regulación.

b) Considerando que las señales de tensión que se manejan están comprendida entre los –15 V y +15 V y quela limitación de corriente a la salida de los amplificadores operacionales es de 20 mA, eligir los valores delos componentes para obtener los siguientes parámetros: constante de tiempo 5 sg ., constante de gananciaproporcional 0,5 .

R

R-

+

-

+

-

+

Vi Vo

Figura 7.25: Circuito controlador.

Ejercicio 7.2

Se desea diseñar un controlador a base de amplificadores operacionales cuyas señales de entrada y salida,e(t) y u(t) respectivamente, tengan la siguiente relación:

( )

⋅−+⋅=

∫ t t ue(t)

T

1e(t)K u(t)

t

0 i p δ)(

Los parámetros de este controlador (K p y T i ) deben ser ajustables a voluntad. Para ello utilizar el menor número posible de amplificadores operacionales e indicar de qué elementos dependen los parámetrosajustables.



Bibliografía

• Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderna. México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A., 1998.

• Benjamín C. Kuo, Sistemas Automáticos de Control . México: Compañía Editorial Continental, S.A. deC.V. (CECSA), 1991.

• Paul H. Lewis y Chang Yang, Sistemas de Control en Ingeniería. Madrid: Prentice Hall Iberia, S.L.R.,1999.

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