Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordenUn sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, con condiciones iniciales, se puede expresar como:(1)

Donde a t b y se cumplen las condiciones iniciales(2)

Resolver un sistema de este tipo significa encontrar funcionesu1, u2, , umque satisfagan las ecuaciones dadas en (1) y las condiciones iniciales dadas en (2).La existencia y unicidad de la solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales est dada por el siguiente teorema. Primero, damos una definicin, que es una extensin de la condicin de Lipschitz a las funciones de varias variables.Definicin:Una funcin f(t,u1, u2, , um) definida en el conjunto

Satisface una condicin de Lipschitz sobre D en las variablest,u1, u2, , um, si existe una constante L > 0 tal que, para todo (t,u1, u2, , um) y (t,z1, z2, , zm) en D se cumple la propiedad:(3)

Teorema:Sea el conjunto

y sean fi(t,u1, u2, , um) para i = 1, 2, , m continuas en D, tales que satisfacen una condicin de Lipschitz como en (3). Entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales dado por (1) con las condiciones iniciales dadas en (2), tienen solucin nica en el intervalo [a, b].El teorema del valor intermedio permite demostrar el teorema anterior.Los mtodos con que se resuelven los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden son generalizaciones de los mtodos para una ecuacin de primer orden.Por ejemplo, consideremos el mtodo de Euler(4)

para una ecuacin de primer orden con condicin inicial, dado por(5)

se generaliza de la siguiente manera: Se define el paso h = (b-a)/N , donde N > 0 es la cantidad de puntos de la malla en el intervalo [a, b]. Los puntos estn dados por la frmula tj= a + j h, para cada j = 0, 1, , N. Llamamos ui,ja la aproximacin del valor ui(tj), para cada j = 0, 1, , N y para cada i = 1, 2, , m. Es decir, ui,japroxima a la funcin uien el punto tjde la malla. Las condiciones iniciales, estn dadas por:

Suponiendo ya se han calculado los valores u1,j,u2,j,, um,j, entonces se pueden obtener los valores u1,j+1, u2,j+1, , um,j+1, con las frmulas(6)