MÉTODOS:

SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN REDUCCIÓN – REDUCCION DOBLE

TEMA 7. SISTEMAS DE ECUACIONES

Lo que ya sabemos:- Ecuación. Igualdad entre dos expresiones algebraicas ( en ella existen números que llamamos coeficientes, letras que son las incógnitas y las operaciones con las que se relacionan)

- Tipos, según su grado y número de incógnitas:a) Primer grado con una incógnita 4x =

16b) Segundo grado con una incógnita

4x²-8x – 2 = 0c) Primer grado con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones- Sabemos ya resolver, las de tipo a y b.

RECUERDA

Daniela y Alex necesitan un material para hacer un trabajo que les han mandado en el instituto. Han quedado en ir juntos a comprar a la misma tienda.

PIENSA EN EL SIGUIENTE RETO

Daniela compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por 2,90 € y Alex 8 cartulinas y una barra de pegamento por un total de 3,10 €. Ninguno preguntó por el precio de cada cosa.María se los encontró y recordó que también tenía que comprar 6 cartulinas y 2 barras de pegamento, pero sólo tenía 3 € en ese momento.

¿Tenía María suficiente dinero para hacer la compra o bien tendría que ir a su casa a por más o pedirle prestado a sus amigos?

Para saber si María tiene suficiente necesitamos saber el precio de una cartulina y de una barra de pegamento.

IMAGÍNATE

Por tanto, tenemos que buscar el valor de…

¡¡dos incógnitas!!

¿Podríamos utilizar el método de las tablas para resolver el sistema de ecuaciones?La respuesta es SI, pero no es el más efectivo y nos llevaría demasiado tiempo

¿Qué hago entonces?Continúa viendo esta presentación y descubrirás sistemas más eficaces

1. Estudiando y aprendiendo:

¿COMO LO VOY A HACER?

Qué es un Sistema de Ecuaciones

Métodos de resolver un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnita.

2. Resolviendo ejercicios y problemas.

SISTEMAS DE ECUACIONES

En el caso de Daniela y Alex, ambos han comprado las cosas en la misma tienda y el mismo día. Esto nos dice que el precio de cada cosa habrá sido el mismo para los dos. Entonces:

La ecuación que describe la compra de Daniela sería: 5x + 2y = 2,90La de Alex sería: 8x + y = 3,10

Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas comunes entre sí.

Resumiendo:

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el valor numérico de cada incógnita, de tal forma que hagan verdaderas todas las ecuaciones del sistema.

Sistemas de EcuacionesESQUEMA

cybxa

cbyax ECUACIÓN 1

ECUACIÓN 2

INCÓGNITA X

INCÓGNITA Y

DOS ECUACIONES DOS INCÓGNITAS

Sistemas de Ecuaciones: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

• SUSTITUCIÓN

• IGUALACIÓN

• REDUCCIÓN

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx

1º Se despeja una incógnita ¿CUÁL?

PISTA: Busca la que esté sola Y

xy 25

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx xy 25

534 yx

2º.- Sustituimos el valor de Y en la otra ecuación

1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones

3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx xy 25

5)25(34 xx

15564 xx

2x10

20x2010 x

56154 xx

Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx2x

522 y 54 y

45 y

1y

4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación

Hemos obtenido el valor de la otra incógnita Ya tenemos resuelto el sistema de ecuaciones por el método de SUSTITUCIÓN …………. Pero……

¡¡¡YO NO ME LO CREO!!!

SUSTITUCIÓN

534

52

yx

yx

1ySOLUCIÓN: ;2x

5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones.

52 yx 5122 514 534 yx 51324 538

Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta

IGUALACIÓN

5

82

yx

yx

1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones

¿CUÁL?

X

yx 28 yx 5

PISTA: Busca la que esté sola

IGUALACIÓN

5

82

yx

yx yx 28 yx 5

Se igualan los segundos miembros

y28 y5 852 yy

3 y1

3

y 3y

Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro

IGUALACIÓN

5

82

yx

yx yx 28 yx 5

3yCojemos cualquiera de las ecuaciones

yx 28

Sustituimos en ella el valor que obtuvimos

328 x 2xHemos obtenido el valor de la otra incógnita

IGUALACIÓN

5

82

yx

yx

3ySOLUCIÓN: 2x

Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior

82 yx 8322 862

5 yx 532 Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta

REDUCCIÓN

1053

642

yx

yx

Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos una de las incógnitas.

1053

642

yx

yx

¿Eliminamos alguna incógnita? NO

16x5 y9

Pues tendremos que hacer algunos cambios

REDUCCIÓN

1053

642

yx

yx

20106

18126

yx

yx

Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera

20106

18126

yx

yx

Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de unade las incógnitas de la otra ecuación.

3

2

REDUCCIÓN

1053

642

yx

yx

Ahora sumamos

20106

18126

yx

yx

y2 2

2

2

y 1y

Eliminamos asíuna incógnita

X

Y ahora calculamos x

Resolvemos la ecuación obtenida

REDUCCIÓN

1053

642

yx

yx 1y

Tomamos una de las ecuaciones 1053 yxSustituimos en ella el valorencontrado

10153 x

1053 x 153 x3

15x 5x

Comprobamos los resultados

Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones

1053

642

yx

yx

1y5x

61452

10)1(553 6410 10515

REDUCCIÓN

Aplicamos el método de Reducción para

cada una de las incógnitas

REDUCCIÓN DOBLE

Ahora… ¡¡a practicar!!

Por cierto... ¿habrá podido comprar María su material con lo que tenía?