MÉTODOS:
SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN REDUCCIÓN – REDUCCION DOBLE
TEMA 7. SISTEMAS DE ECUACIONES
Lo que ya sabemos:- Ecuación. Igualdad entre dos expresiones algebraicas ( en ella existen números que llamamos coeficientes, letras que son las incógnitas y las operaciones con las que se relacionan)
- Tipos, según su grado y número de incógnitas:a) Primer grado con una incógnita 4x =
16b) Segundo grado con una incógnita
4x²-8x – 2 = 0c) Primer grado con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones- Sabemos ya resolver, las de tipo a y b.
RECUERDA
Daniela y Alex necesitan un material para hacer un trabajo que les han mandado en el instituto. Han quedado en ir juntos a comprar a la misma tienda.
PIENSA EN EL SIGUIENTE RETO
Daniela compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por 2,90 € y Alex 8 cartulinas y una barra de pegamento por un total de 3,10 €. Ninguno preguntó por el precio de cada cosa.María se los encontró y recordó que también tenía que comprar 6 cartulinas y 2 barras de pegamento, pero sólo tenía 3 € en ese momento.
¿Tenía María suficiente dinero para hacer la compra o bien tendría que ir a su casa a por más o pedirle prestado a sus amigos?
Para saber si María tiene suficiente necesitamos saber el precio de una cartulina y de una barra de pegamento.
IMAGÍNATE
Por tanto, tenemos que buscar el valor de…
¡¡dos incógnitas!!
¿Podríamos utilizar el método de las tablas para resolver el sistema de ecuaciones?La respuesta es SI, pero no es el más efectivo y nos llevaría demasiado tiempo
¿Qué hago entonces?Continúa viendo esta presentación y descubrirás sistemas más eficaces
1. Estudiando y aprendiendo:
¿COMO LO VOY A HACER?
Qué es un Sistema de Ecuaciones
Métodos de resolver un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnita.
2. Resolviendo ejercicios y problemas.
SISTEMAS DE ECUACIONES
En el caso de Daniela y Alex, ambos han comprado las cosas en la misma tienda y el mismo día. Esto nos dice que el precio de cada cosa habrá sido el mismo para los dos. Entonces:
La ecuación que describe la compra de Daniela sería: 5x + 2y = 2,90La de Alex sería: 8x + y = 3,10
Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas comunes entre sí.
Resumiendo:
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el valor numérico de cada incógnita, de tal forma que hagan verdaderas todas las ecuaciones del sistema.
Sistemas de EcuacionesESQUEMA
cybxa
cbyax ECUACIÓN 1
ECUACIÓN 2
INCÓGNITA X
INCÓGNITA Y
DOS ECUACIONES DOS INCÓGNITAS
Sistemas de Ecuaciones: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
• SUSTITUCIÓN
• IGUALACIÓN
• REDUCCIÓN
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx
1º Se despeja una incógnita ¿CUÁL?
PISTA: Busca la que esté sola Y
xy 25
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx xy 25
534 yx
2º.- Sustituimos el valor de Y en la otra ecuación
1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones
3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx xy 25
5)25(34 xx
15564 xx
2x10
20x2010 x
56154 xx
Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx2x
522 y 54 y
45 y
1y
4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita Ya tenemos resuelto el sistema de ecuaciones por el método de SUSTITUCIÓN …………. Pero……
¡¡¡YO NO ME LO CREO!!!
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx
1ySOLUCIÓN: ;2x
5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones.
52 yx 5122 514 534 yx 51324 538
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
IGUALACIÓN
5
82
yx
yx
1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones
¿CUÁL?
X
yx 28 yx 5
PISTA: Busca la que esté sola
IGUALACIÓN
5
82
yx
yx yx 28 yx 5
Se igualan los segundos miembros
y28 y5 852 yy
3 y1
3
y 3y
Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro
IGUALACIÓN
5
82
yx
yx yx 28 yx 5
3yCojemos cualquiera de las ecuaciones
yx 28
Sustituimos en ella el valor que obtuvimos
328 x 2xHemos obtenido el valor de la otra incógnita
IGUALACIÓN
5
82
yx
yx
3ySOLUCIÓN: 2x
Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior
82 yx 8322 862
5 yx 532 Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
REDUCCIÓN
1053
642
yx
yx
Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos una de las incógnitas.
1053
642
yx
yx
¿Eliminamos alguna incógnita? NO
16x5 y9
Pues tendremos que hacer algunos cambios
REDUCCIÓN
1053
642
yx
yx
20106
18126
yx
yx
Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera
20106
18126
yx
yx
Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de unade las incógnitas de la otra ecuación.
3
2
REDUCCIÓN
1053
642
yx
yx
Ahora sumamos
20106
18126
yx
yx
y2 2
2
2
y 1y
Eliminamos asíuna incógnita
X
Y ahora calculamos x
Resolvemos la ecuación obtenida
REDUCCIÓN
1053
642
yx
yx 1y
Tomamos una de las ecuaciones 1053 yxSustituimos en ella el valorencontrado
10153 x
1053 x 153 x3
15x 5x
Comprobamos los resultados
Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones
1053
642
yx
yx
1y5x
61452
10)1(553 6410 10515
REDUCCIÓN
Aplicamos el método de Reducción para
cada una de las incógnitas
REDUCCIÓN DOBLE
Ahora… ¡¡a practicar!!
Por cierto... ¿habrá podido comprar María su material con lo que tenía?
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