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Sistemas de Control AvanzadoTema 5: Linealización por realimentación

Juan C. Cutipa-Luque

Ingeniería Electrónica

UNSA

14 de mayo de 2020

Tema 5: Linealización por realimentación

Linealización Entrada-Estado


Para el sistema:x (n) = f (x ) + b(x )u ;

la linealización por realimentación es dada por:

u =1

b(x )(v � f (x ));

con:v = �k0x � k1 _x � :::� kn�1x

(n�1);

El polinomio en el dominio de Laplace (p)

pn + kn�1pn�1 + :::+ k0;

debe tener sus raíces en el semiplano izquierdo de p.Para el Problema de tracking:

v = x(n)d � k0e � k2 _e � :::� kn�1e

(n�1)

e(t) = x (t)� xd (t):




El método de linealización entrada-estado resuelve el problema delcontrol en 2 pasos:

1 Realiza la transformación Z = Z (x ) en los estados y latransformación en el control u = u(x ; v). El nuevo sistema seaLTI en la forma _z = Az +Bv .

2 Usar las técnicas lineales para proyectar v (ejm. alocación depólos).

Ejemplo

Proyecte un controlador para el sistema:

_x1 = �2x1 + ax2 + senx1;

_x2 = �x2cosx1 + ucos(2x1)



Ejemplo de linealización entrada-estado

Consideramos el siguiente cambio de variable (transformación):

z1 = x1;

z2 = ax2 + sen x1:

Luego, el sistema transformado queda en la forma:

_z1 = �2z1 + z2;

_z2 = �2z1 cos z1 + cos z1 sen z1 + au cos(2z1):

Aplicamos linealización por realimentación (transformación):

u =1

acos(2z1)(v � cos z1 senz1 + 2z1 cos z1):




Luego, el sistema transformado queda en la forma:

_z1 = �2z1 + z2;

_z2 = v :(1)

El sistema es LTI y de segundo orden. Por lo tanto, una ley de controlsimple:

v = �k1z1 � k2z2;

Puede resolver el problema. Por ejemplo, si v = �2z2, el sistemacontrolado queda:

_z1 = �2z1 + z2;

_z2 = �2z2:

Los polos son localizados en -2, garantizando la estabilidad yconvergencia de z1 y z2.




Escribamos v en relación a x1 y x2 (estados originales):

v = �2(ax2 + senx1):

Escribamos u en relación a los dos estados originales:

u =1

acos2x1(�2ax2 � 2senx1| {z }

v

�cosx1senx1 + 2x1cosx1):


Linealización por realimentación


Para generalizar este método se procede a usar herramientasmatemáticas: derivada de Lie y corchete de Lie:Sea una función escalar h(x ) y un campo vectorial f (x ), se de�ne unafunción escalar Lf h como derivada de Lie de h con respecto de f :

De�nición (derivada de Lie)

Sea h : IRn �! IR y f : IRn �! IRLf h = 5hfLas derivadas Lie repetidas se de�nen como sigue:

L0f h = h ;

Ljf h = Lf (L

i�1f h) = 5(L

i�1f h)f i = 1; 2; ::



Linealización por Realimentación

De�nición (corchete de Lie)

Sean f y g dos campos vectoriales de IRn �! IRn . El corchete de Liede f y g es un tensor campo vectorial de�nido por:

[f ; g ] = 5gf �5fg = adf g ;

También denominado como adjunta. Los corchetes Lie repetidos son:

ad0f g = g ;

ad if g = [f ; adi�1f g ] i = 1; 2:::




Propiedades:

1 Bilinealidad:

[�1f1 + �2f2; g ] = �1[f1; g ] + �2[f2; g ];

[f ; �1g1 + �2g2] = �1[f ; g1] + �2[f ; g2]

2 Conmutatividad Slip[f ; g ] = �[g ; f ]

3 Identidad Jacobi

Ladf gh = LfLgh � LgLf h

Para las demostraciones, ver referencia [2] del silabo.




Difeomor�smo:De�nición

Una función � : IRn �! IRn , de�nida en una región , es llamadaen difeomor�smo si esta es suavizada y existe su inversa �1, quientambién función es suavizada.Si es todo el espacio IRn , entonces � es un difeomor�smo global.

Lema

Sea �(x ) una función suavizada de�nida en � IRn . Si la matrizJacobiana 5� es no singular en el punto x = x0 de , entonces �(x )es un difeomor�smo local en la subregión de .




De�nición

Un conjunto de campos vectoriales independientes [f1; f2; :::; fm ] en IRn

es llamado completamente integrable si y solo si existen n � m fun-ciones escalares h1(x ); h2(x ); :::; hn�m(x ) satisfaciendo las ecuacionesdiferenciales parciales:

5hi fj = 0;

donde 1 � i � n �m , 1 � j � m y los gradientes 5hi son linealmenteindependientes




De�nición

Un conjunto de campos vectoriales independientes [f1; f2; :::; fm ] es lla-mado involutivo si y solo si hay funciones escalares �ijk : IR

n �! IR talque:

[fi ; fj ](x ) =

mXk=1

�ijk (x )fk (x ) 8i ; j

Involutividad implica que un vector corchete Lie puede ser expresadocomo una combinación lineal de las funciones [f1; f2; :::; fm ].




Teorema:(Frobenius)

Sea [f1; f2; :::; fm ] un conjunto de campos vectoriales linealmente inde-pendientes. El conjunto es completamente integrable si y solo si este esinvolutivo.

Condiciones para linealización entrada-estado:

Teorema

El sistema _x = f (x ) es linealizable en entrada-estado si y solo si existeuna región tal que las siguientes condiciones sean mantenidas:

1 [g ; adf g ; :::; adfn�1g ] son linealmente independientes en .

2 [g ; adf g ; :::; adfn�2g ] es involutivo en .

(1) es interpretada como condición de controlabilidad en sistemas nolineales y (2) es una condición totalmente satisfecha para sistemaslineales, pero no es garantizada generalmente en sistemas no lineales.




Procedimiento para realizar la linealización entrada-estado:

1 Construir los campos vectoriales [g1adf g ; :::; adn�1f g ].

2 Veri�car las condiciones de controlabilidad e involutividad.

3 Encontrar el primer estado z1:

5z1adif g = 0 i = 0; :::;n � 2

5z1adn�1f g 6= 0:

4 Calcule la transformación de estados z (x ) = [z ;Lf z1; :::Ln�1f z1]

T

y la transformación de entrada:

�(x ) = �Lnf z1

LgLn�1f z1

; �(x ) =1

LgLn�1f z1

u = �(x ) + �(x )v :



Ejemplo de linealización por realimentación

Ejemplo

Considere el manipulador con junta �exible e ignorando efectos deamortiguamiento, las ecuaciones de movimiento son:

I q1 +MgLsenq1 + k(q1 � q2) = 0;

J q2 + k(q2 � q1) = u

Figura: Manipulador




Es un sistema de 4to orden por lo tanto:

x1 = q1; x2 = _q1; x3 = q2; x4 = _q2

Resulta en:

_x1 = x2;

_x2 = �MgL

Isen(x1)�

k

I(x1 � x3);

_x3 = x4;

_x4 =k

J(x1 � x3) +

1

Ju :

El sistema de la forma:

_x = f (x ) + g(x )u ;




donde:

f (x ) =

2664

x2

�MgLIsen(x1)�

kI(x1 � x3)

x4kJ(x1 � x3)

3775 ; g(x ) =

2664

000

1=J

3775

Para cumplir las condiciones de linealización entrada-estado esnecesario comprobar que:

rank [g ; adf g ; ad2f g ; ad

3f g ] = 4

Y que el conjunto:[g ; adf g ; ad

2f g ]

Sea involutivo.




Realizando el cálculo de las matrices:

[g ; adf g ; ad2f g ; ad

3f g ] =

26640 0 0 k

IJ

0 0 kIJ

00 1

J0 � k

J21J

0 � kJ2

0

3775 ;

Tiene un rango de 4 para k > 0; I ;J




Desarrollando las condiciones anteriores:�@z1@x1

;@z1@x2

;@z1@x3

;@z1@x4

� �0; 0; 0;

1

J

�= 0

@z1=@x4 = 0�@z1@x1

;@z1@x2

;@z1@x3

;@z1@x4

� �0; 0;

1

J; 0

�= 0

@z1=@x3 = 0�@z1@x1

;@z1@x2

;@z1@x3

;@z1@x4

� �0;

k

IJ; 0;�

k

J 2

�= 0

@z1@x2

k

IJ�

@z1@x4

k

J 2= 0 =)

@z1@x2

= 0�@z1@x1

;@z1@x2

;@z1@x3

;@z1@x4

� �k

IJ; 0;�

k

J 2; 0

�6= 0

@z1@x1

k

IJ�

@z1@x3

k

J 26= 0 =)

@z1@x1

6= 0




Una solución que atiende todas las relaciones anteriores es:

z1 = x1

Calculando la transformación de estadosz (x ) = [z ;Lf z1;L

2f z1;L

3f z1]

T :

z1 = x1

z2 = Lf z1 = rz1f = [1; 0; 0; 0][x2;�MgL

Isen(x1)�

k

I(x1 � x3); x4;

k

J(x1 � x3)] = x2




z3 = L2f z1 = LfLf z1 = r(z2)f =

[0; 1; 0; 0][x2;�MgL

Isen(x1)�

k

I(x1 � x3); x4;

k

J(x1 � x3)] =

�MgL

Isen(x1)�

k

I(x1 � x3)

z4 = L3f z1 = LfL

2f z1 = r(z3)f = [�

MgL

Icosx1 �

k

I; 0;

k

I; 0]f =

�MgL

Ix2cos(x1)�

k

I(x2 � x4):




Luego de acuerdo a la transformación:

u =1

Lgz4(c � Lf z4)

Lgz4 = rz4:g = [; ; ;k

I][0; 0; 0;

1

J] =

k

IJ

Lf z4 = rz4f = [MgL

Ix2senx1;�

MgL

Icosx1 �

k

I; 0;

k

I]

[x2;�MgL

Isenx1 �

k

I(x1 � x3); x4;

k

J(x1 � x3)] =

MgL

Ix 22 senx1 +

M 2g2L2

I 2cosx1senx1 +

MgL

I

k

Icosx1(x1 � x3)

+MgL

I

k

Isenx1 +

k2

I 2(x1 � x3) +

k2

IJ(x1 � x3)




Lf z4 =MgL

Isenx1(x

22 +

MgL

Icosx1 +

k

I) +

k

I(x1 � x3)

(k

I�

k

J+

MgL

Icosx1)

De modo que el sistema transformado es:

_z1 = z2;

_z2 = z3;

_z3 = z4;

_z1 = v :

Esta transformación es de�nida en todo el dominio. Por tanto, lalinealización entrada-estado es global.




Para el proyecto del controlador la dinámica linealizada puede serexpresada como:

z(4)1 = v ;

y supongamos que deseamos que z1 acompañe un valor deseado zd1.Por lo tanto el error es:

~z1 = z1 � zd1:

La ley de control:

v = z(4)d1 � a3~z

(3)1 � a2

~z1 � a1 _~z1 � a0~z1

llevará la dinámica del error a cero:

~z (4) � a3~z(3)1 � a2

~z1 � a1 _~z1 � a0~z1 = 0;

Las constantes ai deben ser seleccionadas apropiadamente en relacióna las especi�caciones de desempeño.




Linealización entrada-salida:Consideremos un sistema de la forma:

_x = f (x ;u)

y = h(x )

La idea intuitiva consiste en encontrar una relación entre la salida y yla entrada u . Veamos el siguiente sistema como ejemplo.

_x1 = senx2 + (x2 + 1)x3

_x2 = x51 + x3

_x3 = x21 + u

y = x1

Derivando y , o sea:

_y = Lf h = [1; 0; 0][senx2 + (x2 + 1)x3; x51 + x3; x

21 + u ]

= senx2 + (x2 + 1)x3




Derivando nuevamente hasta encontrar una relación entrada (u)salida (y):

y = L2f h = (cosx2 + x3)(x51 + x3) + (x2 + 1)(x

22 + u)

y = f1(x ) + (x2 + 1)u

Una linealización por realimentación con:

u =1

x2 + 1(v � f1(x ))

Convierte el sistema en;y = v ;

El diseño del controlador es simple considerando e = y � yd :

v = yd � k1 _e � k2e ;

que lleva la dinámica del error al origen:

e + k1 _e + k2e = 0;



Youth � not a time of life but a state of mind... a predominance ofcourage over timidity, of the appetite for adventure over the love ofease. � Robert F. Kennedy

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