CONTROL DE SISTEMAS MECATRNICOS

CONTROL DE SISTEMAS MECATRNICOS - Caracterizacin en el espacio del estado de un motor de C.D.

TAREA 5: Sistema subactuado y su relacin con el concepto de controlabilidad Integrantes:Lagunas Mrquez JorgeMarquina Villafuerte IvanSandoval Ocampo DanielVenegas Luis

CONTROL DE SISTEMAS MECATRNICOS2015 Ingeniera Mecatrnica2015

NDICENDICE DE FIGURAS2INTRODUCCIN3CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS SUBACTUADOS4REFERENCIAS6

INTRODUCCINUn sistema subactuado es aqul que posee menos entradas de control que grados de libertad. Mantener en equilibrio una varilla cilndrica sobre la palma de nuestra mano es un buen ejemplo de un sistema subactuado. Este sistema, como se muestra en la Figura 1, tiene cinco grados de libertad (tres para la posicin del punto de contacto de la mano con la varilla, y dos ngulos para la ltima). Sin embargo slo podemos actuar en los tres grados de libertad de la mano. En la prctica cualquier sistema que necesite nuestra atencin para mantenerse en equilibrio es un sistema subactuado. Otros ejemplos son la bicicleta, y aunque menos evidente, un avin, con seis grados de libertad y cuatro actuadores.

Figura 1. Grados de libertad de un sistema subactuado.Formalmente se dice que son subactuados los sistemas de n grados de libertad y r < n actuadores cuyas ecuaciones de Lagrange toman la forma:

Actualmente existen tcnicas de control desarrolladas a finales del siglo pasado para sistemas completamente actuados como los robots manipulados clsicos. Por ejemplo, las tcnicas basadas en pasividad; la teora de Lyapunov o la linealizacin por retroalimentacin. Desafortunadamente un sistema subactuado es considerablemente ms complejo que un sistema completamente actuado, por lo que las tcnicas usadas para controlar a estos ltimos no pueden aplicarse de forma directa a un sistema subactuado. En la descripcin hamiltoniana generalizada, un sistema subactuado es aqul en el que el rango de la matriz de control G es inferior al nmero de grados de libertad. Al no poder actuar sobre el espacio articular completo, aparecen limitaciones en cuanto al conjunto de comportamientos que se pueden alcanzar en bucle cerrado. La primera cuestin en este sentido es determinar si un sistema es controlable en una regin del espacio de estados.Cabe destacar que el sistema Pndulo Invertido tiene caractersticas importantes que lo convierten en un tpico de investigacin muy interesante, resaltando las siguientes: Es un sistema multivariable subactuando con dinmicas de movimiento no-lineales. El sistema no es linealizable por medio de la relacin de entrada-salida, esto significa que no podemos encontrar una relacin directa y simple entre la salida del sistema y la entrada de control. El sistema linealizado en lazo abierto presenta las caractersticas de la inestabilidad y de fase no mnima en el punto ms alto del sistema. Por otra parte, si estudia la energa de sistema no-lineal, su forma representa un punto silla en el punto de equilibrio inestable demostrando la inestabilidad. El sistema pierde controlabilidad y otras propiedades geomtricas cuando el sistema cruza la horizontal.Es importante comentar que estos sistemas tienen un rango de controlabilidad restringido a una pequea vecindad alrededor del punto de equilibrio inestable. Esto hace que muchas leyes clsicas de control no puedan ser completamente llevadas a cabo. Por ejemplo, en general el problema de seguimiento a una trayectoria puede ser realizado alrededor de una pequea vecindad del punto de equilibrio inestable. Adems, la mayora de estos sistemas pierden la controlabilidad en ciertas regiones del espacio de trabajo y no son robustos en presencia de fuerzas disipativas.Lo anterior provoca que sea complicado realizar maniobras de control como las que permitan estabilizar el pndulo alrededor de la posicin de equilibrio inestable y las relacionadas a la estabilizacin alrededor de rbitas homoclnicas. Sin embargo, se conoce que el modelo lineal del pndulo invertido es localmente controlable alrededor del punto de equilibrio inestable, por lo tanto, el problema de estabilizacin puede ser solucionado utilizando la tcnica de desplazamiento de polos.CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS SUBACTUADOSEl problema de diseo de controladores para sistemas subactuados puede abordarse de una manera general analizando la controlabilidad de los mismos. En este apartado se resumen los resultados clsicos fundamentales relativos a la controlabilidad de sistemas lineales y no lineales, a fin de vislumbrar sus ventajas e inconvenientes y justificar, en este contexto, el empleo de estructuras hamiltonianas de control en bucle cerrado. En el caso de sistemas lineales, con estructura:

Siendo [x IRn] el vector estado y [u IRp] el de control, para determinar si un sistema es controlable en el origen se calcula la matriz de controlabilidad:

Un resultado sobradamente conocido afirma que el sistema es controlable si y slo si el rango de C es igual a n, el orden del sistema. En el caso de sistemas no lineales el problema se mantiene abierto y el resultado ms conocido es la condicin suficiente de controlabilidad en el origen de Sussman (Rampazzo & Sussmann 2001), para determinar si un sistema no lineal de la forma:

Con restricciones en el control, es controlable desde un conjunto de condiciones iniciales en tiempo pequeo hacia el origen. Las condiciones enunciadas en (Rampazzo & Sussmann 2001) no son constructivas en el sentido de que aun cumplindose, no proporcionan mtodos para disear la ley de control que lleve el sistema al origen. Tambin son de gran utilidad y generalidad para determinar la controlabilidad de sistemas subactuados los resultados de Isidori (Isidori 1989, Marino & Tomei 1995) que proporcionan la condicin necesaria y suficiente para que un sistema no lineal con entrada nica, de la forma:

admita una transformacin de coordenadas z = T(x), T(0) = 0 y una ley de control:

que transformen el sistema en la forma cannica lineal de Brunovski:

que es una forma lineal controlable. En este caso diremos que el estado del sistema es linealizable por realimentacin. Si las condiciones se cumplen de forma global, entonces el estado del sistema es globalmente linealizable por realimentacin. En un caso de sistemas subactuados este resultado no proporciona explcitamente la ley de control ni la transformacin z = T(x). Ms an, la controlabilidad es posible en sistemas que no cumplen estas condiciones. Para evitar las estrictas condiciones de la linealizacin por realimentacin, as como la inconveniencia de no proporcionar elementos constructivos para el diseo de la ley de control, se han desarrollado nuevas lneas de investigacin entre las que podemos destacar el trabajo de (Spong 1997) consistente en la linealizacin parcial en sistemas mecnicos subactuados. El sistema (2.7.1) es linealizable parcialmente si existe una ley de control u = k(x) + (x)v y un cambio de coordenadas z = T(x) tal que es equivalente al sistema parcialmente lineal:

La estabilidad de los sistemas parcialmente linealizables depende del estudio asinttico del subsistema de orden n r cuando z tiende a cero, conocido como dinmica cero. Si es estable, se dice que el sistema completo es de fase mnima. Otra definicin importante desde el punto de vista entradasalida es grado relativo del sistema. Este se define como el nmero de veces que hay que derivar la salida con respecto al tiempo para que aparezca explcitamente la ley de control. Por ejemplo:

Si derivamos dos veces la salida y se tiene

en cuyo caso la ley de control u = x2 1 x3 + v produce la relacin entradasalida lineal y = u y el sistema es controlable. En general todo sistema de grado relativo r bien definido en un conjunto en torno al origen es linealizable en sentido entradasalida mediante una ley de realimentacin del tipo u = k(x) + (x)v dando lugar al sistema lineal controlable:

REFERENCIAShttp://www.saber.cic.ipn.mx/cake/SABERsvn/trunk/Repositorios/webVerArchivo/5094/3http://www.esi2.us.es/~fabio/tesis.pdf

Ingeniera Mecatrnica

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