EMAT/ALGEBRA/SEC/P-001-022.PM7 1 12/10/02, 5:53 PM

EMAT/ALGEBRA/SEC/P-001-022.PM7 12/10/02, 5:53 PM1

La evaluación del proyecto Emat fue financiadapor el Conacyt, en el marco del proyectode grupo Incorporación de Nuevas Tecnologíasa la Cultura Escolar (G526338S), bajo la direcciónde investigadores del Cinvestav.

D.R. © SEP-ILCE, 2002Secretaría de Educación PúblicaArgentina 28, Centro, 06020, México, D.F.Instituto Latinoamericanode la Comunicación EducativaCalle del Puente 45, colonia Ejidosde Huipulco, Tlalpan 14380, México, D.F.

ISBN 970-18-6273-2

Impreso en México

DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

De los números al álgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora es producto de un estudio experimental

realizado en diversas aulas del país como parte del proyecto Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat),

desarrollado por la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica

y Normal, de la Secretaría de Educación Pública, y por el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa.

Coordinación de autoresSonia Ursini LegovichMónica Orendain Tremear

AutoresTenoch E. Cedillo Ávalos (UPN)Teresa Rojano CeballosSonia Ursini Legovich

Diseño de actividadesTenoch E. Cedillo Ávalos

Asesoría académicaen el diseño de actividadesCarolyn Kieran(Universidad de Quebec, Montreal, Canadá)

Coordinación editorialElena Ortiz Hernán Pupareli

Cuidado editorial

Alfredo Giles-Díaz

Héctor Veyna Rodríguez

Supervisión técnica-editorialAlejandro Portilla de Buen

Diseño y formaciónLeticia Dávila Acosta

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología

Dirección generalElisa Bonilla Rius (SEP)David de la Garza Leal (ILCE)

Coordinación general de Enseñanzade las Matemáticas con TecnologíaTeresa Rojano Ceballos (Cinvestav)

Vinculación, infraestructura y soporte técnicoMarcela Santillán Nieto (ILCE)

CoordinaciónSonia Ursini Legovich (Cinvestav)Mónica Orendain Tremear (asistente)

EvaluaciónTeresa Rojano CeballosLuis Moreno Armella (Cinvestav)Elvia Perrusquía Máximo (asistente)

Asistentes de cómputoIván Cedillo MirandaArturo Torres

InstructoresRamiro Ávila (Hermosillo, Son.)César Corral (Chihuahua, Chih.)Fortino Fregoso (Guadalajara, Jal.)Gerardo Haase (Aguascalientes, Ags.)José Ramón Jiménez (Hermosillo, Son.)Felícitas Licea (Colima, Col.)Alejandro Ocaña (Xalapa, Ver.)Leticia Pérez (Tlaxcala, Tlax.)Rubén Sanzón (León, Gto.)

001-022 11/28/02, 11:17 AM2

ÍndiceÍndice

Profesor: ¡Bienvenido a Emat! 7

El laboratorio Emat 9

De los números al álgebra en secundaria mediante

el uso de la calculadora 15

Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat! 21

Primer grado

Números naturales y sus operaciones

1. Lectura y escritura de números 242. Virus y antivirus 253. Operaciones y cálculo mental 264. ¡Se descompuso la tecla para sumar! 275. Construcción de números sólo con “cuatro cuatros” 286. Al cero en cinco pasos 297. ¡Se descompuso la tecla para multiplicar! 30

Números decimales y sus operaciones

8. Fracciones y decimales 319. Suma y estimación 32

10. Resta y estimación 3311. Multiplicación y estimación 3412. Lectura y escritura de números decimales 3513. Lectura y escritura de medidas de longitud 3714. Lectura y escritura de medidas de peso 3815. Transformaciones en un solo paso 3916. ¡Se descompuso la tecla del punto decimal! 40

Fracciones comunes y sus operaciones l

17. Aproximación y cálculo con números redondeados 4118. ¡Se descompuso la tecla de la raíz cuadrada! 4219. ¿Cómo me aproximo…, por abajo o por arriba? 4320. Noción de fracción 4421. Fracciones y razones 4522. Fracciones equivalentes 4723. ¿Qué fracción es mayor? 4824. Fracciones y particiones 4925. ¿Qué fracciones faltan? 5026. ¿Cómo encuentro esas fracciones? 5127. Un poco de fracciones y restas 52

001-022 11/25/02, 3:31 PM3

Números con signo

28. ¿Cómo sumamos números con signo? 5329. Sumas y números con signo 5530. ¿Cómo restamos números con signo? 5631. ¿Sirven para algo los números con signo? 57

Segundo grado

Divisibilidad

32. ¿Qué números dividen a otros? 6033. ¿Números que se dividen entre 7 y 11? 6234. ¿Esos “numerotes” son divisibles entre todo eso? 63

Fracciones comunes y sus operaciones II

35. ¿Qué fracciones dan la suma mayor? 6436. Multiplicaciones y fracciones 66

Preálgebra

37. Programación de una expresión I 6738. Programación de una expresión II 6839. Programación de una expresión III 6940. Comprobación de programas 7041. Programas diferentes para una expresión 7142. Corrección de programas 7243. Descripción de programas 7344. Construcción de programas I 7445. Construcción de programas II 7546. Construcción de programas III 7647. Construcción de programas IV 7748. Construcción de programas V 7849. Construcción de programas VI 7950. Construcción de programas VII 8051. Construcción de programas VIII 8152. Construcción de programas IX 8253. Construcción de programas X 8354. Construcción de programas XI 8455. Construcción de programas XII 8556. Programas equivalentes 8657. Incógnitas y ecuaciones 8758. Números perdidos 8859. Ecuaciones con más de una solución I 8960. Ecuaciones con más de una solución II 9061. Ecuaciones equivalentes 91

001-022 11/25/02, 3:31 PM4

62. Resolución de ecuaciones por tanteo y refinamiento 9263. Reducción a ecuaciones más simples 9364. “Deshacer” operaciones 9465. Las ecuaciones no son tan difíciles 95

Tercer grado

Puntos de la recta

66. Un punto importante en una recta 9867. Cambio de escala 10068. Más sobre escalas y gráficas 10169. El rango en el editor de gráficas 102

Funcionalidad

70. Rectas que “crecen” 10371. ¿Qué gráficas “crecen” más rápido? 10472. ¿Qué ecuaciones producen esas rectas? 10573. Gráficas que “decrecen” 10674. Más sobre gráficas que “decrecen” 10775. Rectas y ecuaciones 10876. Cuadriláteros 10977. Gráficas que no “crecen” ni “decrecen” 11078. Rectas horizontales 11279. Puntos, rectas y ecuaciones 11380. Nubes de puntos y rectas 11581. Nubes de puntos y predicciones 11682. ¿Grados Fahrenheit o centígrados? 11883. ¿No podría ir más rápido? 12084. ¿Mi peso es distinto en otro planeta? 12185. ¿Cuánto peso si estoy en Saturno? 12386. ¿Una ecuación para desalojar la escuela? 125

Leyes de los exponentes

87. Leyes de los exponentes I 12688. Leyes de los exponentes II 12789. Leyes de los exponentes III 12890. Leyes de los exponentes IV 129

Revisión de álgebra

91. Suma con polinomios 130Anexo

Calculadoras. Primer grado 132Calculadoras. Segundo grado 135Calculadoras. Tercer grado 138

001-022 11/25/02, 3:31 PM5

001-022 11/25/02, 9:45 AM6

7 9

E ste libro forma parte de la serie de publicaciones derivada de los materialesdiseñados y puestos a prueba dentro del proyecto Enseñanza de las Mate-máticas con Tecnología (Emat). A principios de 1997, por iniciativa de la

Subsecretaría de Educación Básica y Normal y el Instituto Latinoamericano de la Co-municación Educativa, se puso en marcha la fase piloto de este proyecto de innova-ción educativa en 15 escuelas secundarias públicas de ocho estados de la república.Los propósitos generales del proyecto Emat se enmarcan en los del Programa de Mo-dernización Educativa y son los siguientes:

Elevar la calidad de la enseñanza de las matemáticas en la escuela secun-daria.Impulsar la formación de profesores de matemáticas de este nivel escolar.Promover el uso de las nuevas tecnologías en la educación.Generar y actualizar métodos y contenidos educativos de la matemáticaescolar.

Más específicamente, con el proyecto Emat se busca mostrar que es factibleaprovechar las nuevas tecnologías —apoyadas en un modelo pedagógico quepermita construir ambientes de aprendizaje apropiados— para enriquecer ymejorar la enseñanza actual de las matemáticas en la escuela secundaria. En-tre las características principales del modelo que propone el proyecto Emat seencuentran:

1. La utilización de piezas de software y herramientas que hacen posible darun tratamiento fenomenológico a los conceptos matemáticos; es decir, condichas piezas y herramientas se puede concretar la idea de que los con-ceptos son organizadores de fenómenos. Así, la contextualización de lasactividades matemáticas no es una mera ambientación, sino que las situa-ciones planteadas por la actividad corresponden a comportamientos defenómenos que —en cierto modo— forman parte de la esencia del conceptoque se busca enseñar.

2. La utilización de piezas de software y herramientas que impliquen repre-sentaciones ejecutables, es decir, que contemplen la manipulación directade objetos o de representaciones de objetos (matemáticos).

Profesor:¡Bienvenido a Emat!Profesor:¡Bienvenido a Emat!

001-022 11/25/02, 9:45 AM7

8

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •De los números al álgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora

9

3. La utilización de piezas de software y herramientas cuyo uso está relacio-nado con un área específica de la matemática escolar (aritmética, álge-bra, geometría, probabilidad, modelación, matemática del cambio).

4. La especialización de los usuarios de la tecnología (alumnos y maestros)en una o más piezas de software o herramientas, de tal forma que logrendominarla y, al mismo tiempo, la empleen en la enseñanza y aprendizajede temas curriculares específicos, antes de pasar al uso de otra herramien-ta en el aula.

5. La puesta en práctica de un modelo de cooperación para el aprendizaje:los estudiantes trabajarán en parejas frente a la computadora en una mis-ma actividad, lo que promoverá la discusión y el intercambio de ideas.

6. La práctica de un modelo pedagógico en el que el profesor promueve elintercambio de ideas y la discusión en grupo, y al mismo tiempo actúacomo mediador entre el estudiante y la herramienta —es decir, el ambientecomputacional—, asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las activida-des de clase y compartiendo con ellos el mismo medio de expresión.

001-022 11/25/02, 9:45 AM8

9 9

E studios realizados en los últimos años han demostrado que el uso de nuevastecnologías abre perspectivas interesantes para la enseñanza de las mate-máticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencio-

nar los siguientes:

Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y loconvierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje.Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante paraconstruir significados.Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la con-ceptualización y la resolución de problemas.Da un soporte basado en la retroalimentación.Reduce el miedo del estudiante a expresar algo erróneo y, por lo tanto, seaventura más a explorar sus ideas.

La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumen-tos de apoyo, como el pizarrón y el gis, aunque sus características sean esencial-mente diferentes.

El objetivo principal del empleo de la tecnología en el aula no se reduce apracticar algoritmos, sino que ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos ytécnicas mediante el ejercicio de la reflexión. Así, la matemática pasa a ser muchomás que una simple mecanización de procedimientos.

Una característica importante de los paquetes de cómputo que se han elegidopara el proyecto Emat es que son abiertos. Es decir, el usuario decide qué hacercon ellos, en vez de que el programa computacional dirija todo el trabajo —comoocurre en los programas tutoriales—. Estos paquetes abiertos pueden usarse conobjetivos didácticos muy diversos, muchos de los cuales están definidos por lasactividades que se proponen en este libro.

Un laboratorio Emat está integrado básicamente por el siguiente equipo:

Computadoras para los alumnosComputadora para el maestroImpresoraMódem (opcional)

Reguladores de corrienteCalculadorasMesas y sillas adecuadas

El laboratorio EmatEl laboratorio Emat

001-022 11/25/02, 9:45 AM9

10


9

Para instalar un laboratorio Emat en una escuela es necesario contar con unaula de buen tamaño (por ejemplo de 8 × 12 m) que tenga corriente eléctrica de110 voltios y que cuente con contactos trifásicos. Si se desea que alguna computa-dora tenga acceso a internet debe contarse, además, con una línea telefónica.

Dado que el equipo que integra el laboratorio es muy costoso, resulta indispen-sable instalar en el aula varias protecciones; por ejemplo: puerta con llave, enreja-do en las ventanas, mueble para guardar las calculadoras. Es importante tambiénque las computadoras estén conectadas a reguladores de corriente.

Para el buen funcionamiento del trabajo en un laboratorio Emat, recomenda-mos que, en la medida de lo posible, las computadoras se acomoden en forma deherradura, como se muestra en el esquema.

Al instalar las computadoras hay que procurar que entre ellas quede espaciosuficiente para que puedan sentarse cómodamente dos o tres niños por máquina.La disposición en herradura tiene múltiples ventajas. Por un lado, facilita al maestropasar de un equipo de alumnos a otro y observar el trabajo que están realizando.Por el otro, con sólo girar las sillas, dando la espalda a la computadora, los alum-nos pueden acomodarse para participar en una discusión colectiva o atender lasexplicaciones que el maestro dirija a todo el grupo.

Es necesario también que en el centro del aula haya mesas de trabajo. Los alum-nos las utilizarán, sobre todo, cuando trabajen con las calculadoras, pero tambiéncuando sus actividades requieran desarrollar alguna tarea con lápiz y papel.

Para enseñar matemáticas en un laboratorio Emat se hace uso de distintos pa-quetes computacionales (Cabri-Géomètre, Excel, SimCalc MathWorlds, Stella).

7

8

9

001-022 11/25/02, 9:45 AM10

11

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • El laboratorio Emat

9

Algunos de éstos son de acceso libre y pueden obtenerse en internet; otros soncomerciales y necesitan adquirirse con los proveedores junto con los permisos parausarse en grupo. Para más información al respecto puede consultar la página deEmat en internet, cuya dirección es:

http://emat-efit.ilce.edu.mx/emat-efit/emat

Metodología de trabajo

Enseñar matemáticas utilizando computadoras o calculadoras implica muchos cam-bios en la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente en el papelque desempeña el maestro en este contexto, en la organización del trabajo de losalumnos y en la manera de evaluar su rendimiento.

El papel del maestro

Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento a la enseñanza, por loque el desempeño del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemáti-cas se desarrolla con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combina-ción, tecnología y hojas de trabajo, el profesor tiene la posibilidad de mediar elaprendizaje de sus alumnos de tres formas distintas:

Mediante las hojas de trabajo que les proporciona.Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolución de las hojasde trabajo en el salón de clase. Los 45 o 50 minutos de la clase son los másvaliosos en el aprendizaje de los alumnos. En ese tiempo se tiene la oportu-nidad de interactuar con ellos y de observar sus avances y dificultades, loque permitirá darles sugerencias cuando las requieran.En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en elcentro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien deella. Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los demás y elprofesor sólo debe coordinar esta actividad.

En el aula Emat el maestro asume el papel de organizador del trabajo, de guíay de asesor. Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investiga-ción; en otras palabras, los invita a:

Explorar.Formular hipótesis.Probar la validez de las hipótesis.

001-022 11/25/02, 9:45 AM11

12


9

Expresar y debatir sus ideas.Aprender a partir del análisis de sus propios errores.

En este contexto, el maestro ya no agota el tiempo de clase repasando o expli-cando temas nuevos, sino que la mayor parte la dedica a que los alumnos trabajenpara resolver las actividades planteadas en las hojas de trabajo previamente ela-boradas. En el aula Emat, el maestro no resuelve las actividades, sus intervencionestienen como finalidad que los alumnos reflexionen y encuentren por sí mismos unasolución aceptable. Esta función se ve reforzada por la organización de los alum-nos en equipos de trabajo, pues así el maestro puede pasar de un equipo a otroobservando el trabajo que realizan y auxiliándolos, cuando sea necesario, paraque puedan llevar a cabo la actividad propuesta. Cuando este tipo de interven-ción no es suficiente, conviene que el maestro muestre un camino de solución posi-ble y los invite a adoptarlo y continuar por sí mismos. En estos casos no se debeproporcionar demasiada información, pues lo importante es que los equipos sigantrabajando de manera autónoma. El propósito siempre debe ser ayudar a los alum-nos a que se involucren en la actividad, pongan en juego su saber matemáticoanterior y lleguen a desarrollar correctamente ideas matemáticas nuevas a partirde sus propias experiencias.

Si la mayoría de los alumnos se enfrenta con el mismo tipo de dificultades alabordar una actividad determinada, es conveniente organizar una discusión paratratar de resolver el problema colectivamente. Discusiones de este tipo son buenasoportunidades para resumir y sistematizar los avances y resultados sobre los queexiste consenso, así como para introducir información nueva que permita a losalumnos avanzar en su trabajo.

La organización del trabajo de los alumnos

El uso de la calculadora no implica necesariamente un aprendizaje indivi-dualizado. Es aconsejable que los alumnos trabajen en equipos (de preferen-cia de dos integrantes). Esto fomenta la discusión y produce un aprendizajemás completo y sólido. Para que el trabajo en equipo sea en verdad efectivo,habrá que evitar que los estudiantes desempeñen siempre las mismas funcio-nes (por ejemplo, que sólo uno lea y el otro trabaje con la computadora o lacalculadora), pues si esto ocurre, solamente adquirirán unas habilidades es-pecíficas pero no otras. Los estudiantes pueden formar sus equipos comodeseen, pero es recomendable que intercambien las tareas para que desa-rrollen todas las habilidades requeridas: manejo del software, planteamientodel problema, lectura y comprensión de las actividades, etcétera.

001-022 11/25/02, 9:45 AM12

13


9

La organización de los alumnos en equipos de trabajo presenta muchas ven-tajas; sin embargo, no siempre los alumnos tienen experiencia en la actividadcompartida. Es, por lo tanto, necesario que el maestro les ayude a adoptarla. Eltrabajo en equipo propicia el intercambio y la confrontación de ideas entre losalumnos. Al trabajar de este modo se espera que cada individuo exponga supunto de vista, lo discuta y confronte con los demás integrantes. Este intercambioayuda al alumno a organizar sus propias ideas y a comunicarlas, a reflexionarsobre ellas, a defenderlas y a modificarlas cuando sea necesario, a escuchar ydebatir los argumentos de los demás e ir reafirmando sus conocimientos matemá-ticos y adquiriendo otros nuevos.

Las hojas de trabajo

Las hojas de trabajo son una herramienta fundamental para realizar las activida-des que se plantean en el aula Emat. En ellas se presenta un problema de manerasucinta y se formulan preguntas que pueden llevar alguna sugerencia implícitapara que los alumnos empiecen a explorar el problema propuesto. Si bien lasactividades planteadas tienen que desarrollarse usando la tecnología, es necesa-rio que los alumnos contesten por escrito las preguntas que se formulan en lashojas de trabajo. Esto tiene un doble propósito. Por un lado, obliga a los alumnosa reflexionar sobre el procedimiento y el resultado que obtuvieron empleando lamáquina y a sintetizar su experiencia para comunicarla; por otro lado, proporcio-na información al maestro acerca de la comprensión que los alumnos han alcan-zado de los conceptos matemáticos involucrados en la tarea. Esta información esfundamental para que el maestro decida qué acciones pondrá en práctica en lasclases sucesivas, y para que conozca y evalúe el progreso de sus alumnos.

La mayoría de las actividades están pensadas para que todo un grupo de estu-diantes las lleve a cabo durante las horas normales de clase. Al comenzar la sesiónde trabajo el maestro cuidará que todos los equipos cuenten con las hojas de traba-jo necesarias para esa sesión y les pedirá que las lean. Es importante que el maes-tro se cerciore de que los alumnos han entendido en qué consiste la actividad y quése espera que hagan. Si hay dudas al respecto, conviene leer la hoja de trabajofrente a todo el grupo y llegar a un consenso acerca de lo que en ella se plantea.

001-022 11/25/02, 9:45 AM13

001-022 11/25/02, 9:45 AM14

15 9

De los números al álgebraen secundaria mediante el usode la calculadora

De los números al álgebraen secundaria mediante el usode la calculadora

Las hojas de trabajo que se proponen para trabajar con temas de aritmética yálgebra usando la calculadora TI-92, se diseñaron para que los alumnos puedancontestar en promedio dos hojas por cada sesión de clase. Esto permite que elprofesor organice, una vez que la mayoría de los alumnos ha completado cuatro ocinco hojas de trabajo, una discusión en la que se revise el trabajo realizado porlos distintos equipos y se puedan hacer los comentarios y correcciones pertinentesen cada caso.

Por lo regular, hay alumnos o equipos que terminan el trabajo mucho antes quelos demás; en estos casos se recomienda entregarles otra hoja de trabajo, o agre-gar preguntas que los lleven a un nivel de reflexión más complejo, mientras el restode sus compañeros termina el trabajo inicialmente asignado.

En el diseño de las hojas de trabajo para el uso de la calculadora se hahecho un esfuerzo por plantear situaciones que admitan múltiples respuestas. Estopermite al profesor pedir a los alumnos más aventajados que busquen otras solu-ciones, una vez que han dado respuesta al problema planteado. Asimismo, lasactividades que se proponen no requieren que el alumno recuerde métodos yreglas prestablecidos, lo cual puede resultar favorable para desarrollar estrate-gias poco convencionales y producto de las formas particulares de razonar decada estudiante.

Se espera que el diseño de las actividades antes mencionado permita que losestudiantes desarrollen una fuerte autoestima que les impulsará a no abandonarsus esfuerzos ante situaciones problemáticas de gran complejidad.

¿Cómo se evalúa el trabajo de los alumnos?

El modelo pedagógico que caracteriza a Emat es diferente a los sistemas conven-cionales y esto se refleja en la manera de evaluar a los alumnos.

En Emat se da gran importancia a la actividad que realiza el alumno, por locual resulta fundamental su evaluación. Para ello es importante que el profesorrevise las respuestas que los estudiantes registran en las hojas de trabajo, así comolas gráficas que realizan en pantalla. Dado el gran número de alumnos que por logeneral integran los grupos, resulta muy difícil que un profesor pueda revisar en sutotalidad las hojas de trabajo que los alumnos entregan. Una manera de proceder

001-022 11/25/02, 9:45 AM15

16


9

es pedir a los alumnos que entreguen sólo una hoja por equipo. Esto implica que elequipo tendrá que cuidar que todos sus integrantes colaboren en la actividad yestén de acuerdo con las respuestas registradas.

El modelo Emat considera la participación del alumno en el equipo y en lasdiscusiones de grupo. Éste es otro aspecto que el profesor tendrá que tomar encuenta para la evaluación.

El aprovechamiento también es muy importante y su evaluación podrá realizar-se bimestralmente mediante un examen individual (véase Anexo “Calculadoras”).

En el modelo Emat cada uno de los aspectos mencionados debe tener su pesoen la evaluación final. Una sugerencia es asignar a cada aspecto un porcentajede, por ejemplo, un 25 por ciento.

Propósitos generales

El propósito de este libro es proporcionar al profesor un material que propicie unacercamiento a la enseñanza en el que se intenta explotar óptimamente las facili-dades de cálculo aritmético y algebraico que ofrece la calculadora TI-92. El enfo-que didáctico que se presenta en este material se basa en una alternativa de ense-ñanza que permite abordar las matemáticas como una ciencia experimental, en laque la exploración, el planteamiento de conjeturas y su verificación desempeñanun papel central. Estos propósitos son congruentes con los que orientan el uso delas piezas de software que se emplean en el proyecto Emat, lo cual se espera quehaga factible una enseñanza de las matemáticas apoyada en el uso de herramien-tas tecnológicas complemetarias.

La calculadora TI-92 cuenta con recursos que automatizan el cálculo aritméticoy la construcción de tablas y gráficas de funciones; otra de sus características sobre-salientes es que permite realizar cualquier operación algebraica con polinomios.

Los recursos que ofrece la TI-92 hacen posible que cualquier expresión mate-mática, ya sea numérica o algebraica, sea una “expresión activa”, ya que la má-quina no sólo proporciona un medio para editar expresiones aritméticas yalgebraicas, sino que también proporciona retroalimentación inmediata a cual-quier acción del usuario. Estas cualidades de la calculadora TI-92 marcan unadiferencia notable con el trabajo desarrollado mediante el lápiz y el papel, en elque la retroalimentación es esencialmente responsabilidad del profesor.

La calculadora TI-92 permite que, mediante la guía provista por las actividades ylas intervenciones del profesor, el estudiante explore y ponga a prueba sus propiasconjeturas y que se concentre en los procesos de solución más que en los procedi-mientos de cálculo, ya que éstos los realiza la máquina.

001-022 11/25/02, 9:45 AM16

17


9

Tomando en cuenta los recursos que ofrece la calculadora, los temas de aritmé-tica del programa oficial de la SEP se abordan mediante actividades en las que lasoperaciones aritméticas se emplean como un medio, no como un fin; se ha hecho unesfuerzo para que en esas actividades las operaciones aritméticas sean un recursopara propiciar la introducción y recreación de conceptos centrales de la aritmética,como los de divisibilidad y aproximación. Asimismo, con la finalidad de que elestudiante genere significados, y le dé sentido al uso de las operaciones, se incluyeun buen número de actividades en las que se hace énfasis en el uso de las operacio-nes aritméticas como herramientas para resolver problemas.

En cuanto al álgebra, el enfoque didáctico se centra en la enseñanza del len-guaje algebraico a través de su uso, es decir, sin partir de reglas, definiciones yejemplos. Este acercamiento es posible debido a que el ambiente de trabajo de lacalculadora permite establecer un estrecho vínculo entre el código algebraico y laexperiencia que han adquirido los estudiantes en el trabajo con números. De estamanera se abordan temas que corresponden a dos partes esenciales del álgebrade la escuela secundaria: como un medio para expresar y justificar generalizacio-nes, y como un código que admite ciertas operaciones para producir transforma-ciones en las expresiones algebraicas (operaciones con polinomios).

El hilo conductor de las actividades propuestas para los tres grados de la es-cuela secundaria tiene como objeto propiciar el desarrollo de habilidades de esti-mación, aproximación y reconocimiento de patrones numéricos. En el primer gra-do de secundaria, las actividades se ubican en el contexto del trabajo numéricocomo preparación para la entrada al álgebra. En el segundo, se extiende estaexperiencia, se emplean los números como referente para la generación de lossignificados y aplicaciones del código algebraico como un medio para expresar yjustificar generalizaciones. En el tercer grado se abordan actividades que introdu-cen a los estudiantes al trabajo con tablas de valores y a las gráficas de las funcio-nes lineales. Esto permite construir modelos sencillos para resolver problemas defísica y de ciencias sociales, así como fortalecer la manipulación algebraica.

Las actividades que aquí se proponen son sólo modelos. Se espera que seanuna ayuda para que, con tiempo, el profesor desarrolle por sí mismo actividades deenseñanza que respondan de mejor manera a las circunstancias específicas en lasque realiza su práctica docente.

001-022 11/25/02, 9:45 AM17

18


9

Temas que se exploran

En el siguiente cuadro se presentan las actividades por grado escolar según elcurrículum oficial.

Si bien las actividades están numeradas, esto no implica que deban realizarseen este orden. El profesor puede organizarlas como mejor convenga al plan detrabajo que quiera desarrollar con sus alumnos.

Contenidos curriculares

Primer gradoNúmeros naturales y sus operaciones

1 Lectura y escritura de números naturales.2 y 3 Práctica de cálculo mental y estimación de resultados con números

naturales.4 Revisión de algoritmos.5 Práctica de cálculo mental y estimación de resultados con números

naturales.Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis.

6 Múltiplos y divisores de números naturales .7 Revisión de algoritmos para operar con números naturales.

Números decimales y sus operaciones

8 a 11 Revisión de la noción de número decimal.Cálculos con números truncados. Introducción de la noción de raízcuadrada.

12 Lectura y escritura de números decimales.13 y 14 Uso de los números decimales en la medición y otros contextos

familiares.15 y 16 Práctica de cálculo mental y estimación de resultados.

Fracciones comunes y sus operaciones I

17 y 18 Cálculos con números truncados.19 a 21 Revisión de la noción de fracción.22 y 23 Equivalencia y orden en las fracciones.

24 Situaciones asociadas al producto de fracciones.25 a 27 Suma y resta de dos fracciones.

Números con signo

28 a 31 Suma y resta de números con signo.

001-022 11/25/02, 9:45 AM18

19


9

Segundo gradoDivisibilidad

32 a 34 Números primos y compuestos.Fracciones comunes y sus operaciones II

35 Equivalencia y orden en las fracciones.36 Situaciones asociadas a la multiplicación de fracciones.

Preálgebra

37 a 46 Introducción del código algebraico mediante funciones dadas porfórmulas, tablas y gráficas.

47 a 50 Ejemplos para introducir y practicar el uso de paréntesis en elálgebra.

51 a 56 Primeras reglas para simplificar la escritura y operar con expresionesalgebraicas.

57 a 65 Métodos de solución de ecuaciones de las formas a + x = b, ax = b,ax + b = c y de otras ecuaciones que pueden llevarse a esa forma.

Tercer gradoPuntos de la recta

66 a 69 Graficación de funciones; estudio en casos sencillos del comporta-miento local de una función.Funcionalidad

70 a 86 Estudio de las familias de gráficas de la forma y = mx + b.Leyes de los exponentes

87 a 90 Leyes de los exponentes y su verificación en casos particulares.Revisión de álgebra

91 Revisión de suma, resta y multiplicación de polinomios.

Ejemplo de distribución de actividadesa lo largo del año escolar

Lo más conveniente es que el profesor determine la frecuencia del trabajo en ellaboratorio Emat, en función del tema que esté tratando. Puede ser que durante unbimestre considere conveniente que los alumnos asistan al laboratorio tres o cua-tro veces por semana, mientras que en otro bimestre bastará con que asistan unao dos veces a la semana. Estas decisiones las tomará el profesor dependiendo desu plan de trabajo. Sin embargo es recomendable que durante el tiempo en quese trabaje con la calculadora se acuda al aula Emat al menos dos veces porsemana para que los estudiantes logren dominar esta herramienta.

001-022 11/25/02, 9:45 AM19

20


9

El profesor notará que hay una relación cercana entre los temas que se abor-dan con las hojas de trabajo diseñadas para el uso de la calculadora y algunas delas diseñadas para el trabajo con la hoja electrónica de cálculo. Estos materialesse complementan y pueden permitirle cubrir de manera adecuada los temas dearitmética y preálgebra en el primer grado de secundaria. Lo mismo ocurre con elsegundo y tercer grado de secundaria, en los que estos materiales pueden em-plearse como complementarios al tratamiento de varios temas.

En los tres grados puede ser conveniente iniciar el tratamiento de los temas dearitmética, preálgebra y álgebra usando los materiales propuestos para la calcula-dora, dado que se sustentan en un acercamiento intuitivo al álgebra, particular-mente en lo que se refiere a las expresiones algebraicas y a las funciones y tablasgeneradas por funciones lineales.

Dada la naturaleza de las actividades aquí propuestas, el profesor puede vol-ver a tomar la misma actividad en distintos momentos del curso. Observará enton-ces que las respuestas de los alumnos son distintas y que las obtienen aplicandoestrategias más complejas. Esta característica de las hojas de trabajo le permitiráhacer énfasis o profundizar en distintos aspectos de un tema, aplicando la mismahoja de trabajo en más de una ocasión durante el curso.

Hojas de trabajo

En las páginas siguientes se incluyen las hojas de trabajo que el maestro puede usarcon sus alumnos para trabajar problemas con la calculadora TI-92. Antes de empezaren el laboratorio Emat, es conveniente que el maestro lea a todo el grupo el texto“¡Bienvenidos a Emat!” Su propósito es introducir a los alumnos al laboratorio Ematcontestando algunas de las preguntas que suelen inquietarlos al empezar esta nuevamanera de trabajar. Las hojas de trabajo están organizadas por grado escolar.

Para ampliar la información sobre uso y materiales de la calculadora TI-92consulte la página de internet: htpp://www.ti.com/calc/docs/92.htm

001-022 11/25/02, 9:45 AM20

21 9

Estudiantes:¡Bienvenidos a Emat!Estudiantes:¡Bienvenidos a Emat!

B ienvenidos a Emat (Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología). A partirde hoy muchas de las clases de Matemáticas se desarrollarán en este labo-ratorio. Como podrán observar, en el laboratorio Emat hay varias compu-

tadoras y calculadoras. Trabajarán con unas u otras dependiendo del tema de estudio.

¿Cómo se trabaja en un laboratorio Emat?

En el laboratorio Emat el modo de trabajo es algo distinto al acostumbrado. Esto senotará más todavía cuando se requiera el uso de las computadoras.

Se formarán equipos de dos o tres compañeros para que juntos resuelvan, conayuda de la computadora, las actividades que se propongan. A cada equipo se leentregará una hoja de trabajo en la que vendrá detallada la actividad en cuestión.Será necesario entonces que cada equipo lea con cuidado la hoja de trabajo y ladiscuta hasta entender bien qué se espera de todos. Una vez entendida la activi-dad, los equipos decidirán la estrategia que seguirán para resolverla. Es muy im-portante que cada uno de los miembros del equipo participe y tenga en algúnmomento acceso al teclado y al manejo del ratón.

¿Quién me puede ayudar?

Cuando necesiten ayuda para entender bien de qué trata la actividad o para sabercómo se maneja la computadora o la calculadora, pueden recurrir a otros compa-ñeros o al maestro. Lo importante al trabajar en el laboratorio Emat es comprenderla actividad y realizarla. Es irrelevante si tu equipo trabaja más rápido o más lentoque los demás. No se trata de competir ni de ganar, se trata de aprender.

¿Cómo trabajaré en el laboratorio?

Para que los alumnos trabajen de manera provechosa en el laboratorio Emat, unequipo de expertos ha diseñado una serie de actividades matemáticas que podrándesarrollar usando la computadora o la calculadora y poniendo en juego sus co-nocimientos matemáticos anteriores; así aprenderán conceptos matemáticos nue-

001-022 11/25/02, 9:45 AM21

22


9

vos. Las actividades se presentan en hojas de trabajo. Tendrán que leer las hojasde trabajo con cuidado, discutirlas en equipo y contestar las preguntas que allí seformulan. Discutan con el maestro y los demás compañeros los resultados queobtengan en el equipo. Si resulta que al trabajar la misma actividad, otros compa-ñeros llegan a resultados distintos, traten de entender por qué; quizá se trate deresultados equivalentes o tal vez alguien cometió un error. Si esto último ocurre, nohay que avergonzarse, pues de los errores podemos aprender mucho. Lo que sedebe hacer es analizar de nuevo el problema, entender dónde se cometió el errory corregirlo.

¿Cuál es el papel del maestro?

En el laboratorio Emat no cambia sólo la manera de trabajar de los alumnos,cambia también el papel del maestro. La función del maestro ya no será la de “darla clase”, sino la de coordinar el trabajo del grupo y dar seguimiento al trabajo decada equipo auxiliándolo cuando lo necesite. El maestro se vuelve entonces uncompañero experto que ayuda a los alumnos en su proceso de aprendizaje.

¿Cómo se evaluará el trabajo?

En el laboratorio Emat el maestro tomará en cuenta varios elementos. Considerarála participación de cada quien en el equipo de trabajo, así como las discusionesde grupo. También valorará la constancia y el empeño que pongan en realizar lasactividades. De vez en cuando aplicará algún examen individual para ver quétanto han aprendido.

¿Cómo cuidar el equipo?

Finalmente queremos llamar la atención sobre el cuidado que hay que tener almanejar el equipo del laboratorio Emat. Se trata de un equipo muy costoso que vaa ser usado por muchos compañeros. Al mismo laboratorio acudirán alumnos dedistintos grados y todos deben usarlo con provecho y cuidarlo. No hay que maltra-tar el teclado ni la pantalla de las computadoras y se debe manejar el ratón concuidado, evitando que caiga al suelo.

001-022 11/25/02, 9:45 AM22

Primer gradoPrimer gradoPrimer grado

023-040 11/26/02, 11:33 AM23

24 n ú m e r o s n a t u r a l e s y s u s o p e r a c i o n e s9

Lectura y escritura de númerosLectura y escritura de números

Escribe en la calculadora cada una de las cantidades que están descritas con palabras.Cuando vayas marcando los números, ve haciendo las sumas que se indican con la calcula-dora. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad, obtendrás el total que se indica. Si eltotal es diferente, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los núme-ros correctos, escríbelos en la columna de la derecha.

• • • • • • • • • • • • • •

CANTIDADES EN PALABRAS CANTIDADES CON NÚMEROS

Siete millones setecientos ochenta mil cuatro,

más ciento veinticinco mil cinco, +

más doce mil uno, +

más trescientos cuarenta y cinco mil ochenta y siete. +

TOTAL: TOTAL: 8262097

Trece mil noventa y nueve

más veinticinco millones ciento cinco, +

más ciento veintiocho millones ochenta y seis, +

más trescientos cinco mil uno. +


Cuatrocientos treinta y seis mil cien,

más un millón dos mil, +

más quinientos mil veinte, +

más trescientos mil treinta. +


Diez millones uno,

más dos millones cien, +

más treinta y siete mil uno, +

más quinientos cuarenta mil diez. +


1ACTIVIDAD

023-040 11/25/02, 9:47 AM24

25p r i m e r g r a d o 9

Escribe en la calculadora el número 898989898966666 737373737311111 425425425425425. Supongamos que los nueve dígitosque forman ese número son “virus sumamente peligrosos”. El antivirus consiste en “elimi-nar” cada dígito, convirtiéndolo en cero mediante una sola operación. Por ejemplo,eliminar el “1” quiere decir que hagas una operación con el número 8967311111425 y otronúmero que tú propongas de manera que el resultado sea 8967300000425. Después deque elimines al 1, debes seguir con el 2, luego el 3, y así sucesivamente.

1. Completa la siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste cada “virus”.

2. Ahora elimina uno a uno todos los dígitos del número 4983.26715. Completa lasiguiente tabla para mostrar cómo eliminaste a cada “invasor”.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

DÍGITO OPERACIÓN QUE HICISTE EN LA CALCULADORA RESULTADO

1 4983.....26705

2 4983.....06705

3 4980.....06705

4 980.....06705

5 980.....0670

6 980.....0070

7 980

8 900

9 0

DÍGITO OPERACIÓN QUE HICISTE EN LA CALCULADORA RESULTADO

1 8967300000425

2 89673000004000005

3 896700000000004000005

4 89670000000000 00000000005

5 89670000000000 000000000000000

6 890000070000000000 000000000000000

7 8900000000000000000000 000000000000000

8 900000 000000000000000 000000000000000

9 0

2ACTIVIDAD

Virus y antivirusVirus y antivirus

023-040 11/25/02, 9:47 AM25


Operaciones y cálculo mentalOperaciones y cálculo mental • • • • • • • • • • • • • • • •

1. En cada recuadro construye una representación distinta del número quinientos nueve.No puedes usar las teclas del 5 No puedes usar las teclas del 5 No puedes usar las teclas del 5 No puedes usar las teclas del 5 No puedes usar las teclas del 5 ninininini el 9. el 9. el 9. el 9. el 9. Intenta realizar en cada una de tus respuestashasta cuatro operaciones distintas. Usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.

2. En cada recuadro construye el número trescientos doce. Realiza hasta cuatro opera-Realiza hasta cuatro opera-Realiza hasta cuatro opera-Realiza hasta cuatro opera-Realiza hasta cuatro opera-ciones distintas sin usar las teclas del 3 ni el 1ciones distintas sin usar las teclas del 3 ni el 1ciones distintas sin usar las teclas del 3 ni el 1ciones distintas sin usar las teclas del 3 ni el 1ciones distintas sin usar las teclas del 3 ni el 1. Encuentra tantas formas distintas comote sea posible y escríbelas en los siguientes espacios.

3. Construye en la calculadora el número mil doscientos veintidós. Debes realizar cua-Debes realizar cua-Debes realizar cua-Debes realizar cua-Debes realizar cua-tro operaciones distintas sin usar las teclas del 1 ni el 2tro operaciones distintas sin usar las teclas del 1 ni el 2tro operaciones distintas sin usar las teclas del 1 ni el 2tro operaciones distintas sin usar las teclas del 1 ni el 2tro operaciones distintas sin usar las teclas del 1 ni el 2. En cada recuadro escribe almenos dos representaciones distintas de ese número.

4. En cada recuadro construye al menos una representación distinta del número cuatro-cientos uno, sin usar las teclas del 4 ni el 1sin usar las teclas del 4 ni el 1sin usar las teclas del 4 ni el 1sin usar las teclas del 4 ni el 1sin usar las teclas del 4 ni el 1.

ACTIVIDAD

3

023-040 11/25/02, 9:47 AM26


• • • • • • • • • •

Esta actividad propone un problema difícil: “sumar sin sumar”. Sin embargo, es posiblehacerlo; para lograrlo tendrás que hacer uso de tu ingenio y creatividad.

1. ¿Puedes hacer la operación 526 + 837 sin usar la tecla para sumar y sin sumar

mentalmente o con lápiz y papel? Describe cómo lo hiciste.

2. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encon-

tró un método distinto al tuyo? ¿En qué consiste?

¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros?

¿Por qué?

3. Atahualpa, un alumno de otra escuela, encontró el siguiente método para sumar sinusar la tecla que indica esta operación. Supongamos que los números que quieressumar son A y B respectivamente, y que A es mayor que B. Al número multiplícalo por2 y anota el resultado. Después, a A réstale B y anota el resultado. Finalmente, al doblede A le restas lo que obtuviste de A — B. Este último resultado es la suma de A y B.

Suma 735 y 429 usando el método que propone Atahualpa. ¿El resultado queobtuviste con ese método es igual a 735 + 429? Intenta con otros números y encuentra

una explicación que justifique por qué el método de Atahualpa funciona.

4ACTIVIDAD

¡Se descompuso la tecla para sumar!¡Se descompuso la tecla para sumar!

023-040 11/25/02, 9:47 AM27


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Hay muchos números que pueden construirse usando sólo cuatro cuatros y las operacio-nes de sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia y sacar raíz cuadrada.

Dos cuatros nunca pueden ir juntos, un cuatro debe estar relacionado con otro cua-tro mediante una operación. Por ejemplo, el cinco puede construirse en la calculadorade la siguiente manera:

(4 (4 (4 (4 (4 × 4 4 4 4 4 + 4) 4) 4) 4) 4) ÷ 4 4 4 4 4

El 10 puede construirse como sigue: 4 + 4 + 4 — √ 4 . El tres puede obtenerse como(4 + 4 + 4 ) ÷ 4.

Forma un equipo con otros tres compañeros. El desafío que plantea esta actividadconsiste en que cada equipo encuentre al menos tres maneras diferentes para construirel número que se indica utilizando sólo cuatro cuatros.

Su profesor les dirá a qué equipo le corresponde construir cada uno de los siguientesnúmeros.

Números por construir:

a) 0

b) 6

c) 8

d) 12

e) 15

f) 16

g) 20

h) 24

i) 30

j) 32

k) 36

l) 40

5ACTIVIDAD

Construcción de númerossólo con “cuatro cuatros”Construcción de númerossólo con “cuatro cuatros”

023-040 11/25/02, 9:47 AM28


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

El juego matemático que se presenta aquí consiste en lo siguiente:Se trata de reducir a cero un número entero que esté entre cero y mil en sólo cinco

pasos y mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una opera-ción las veces que quieras.

Las operaciones deben hacerse con el número que se indica y otro número enteroque elijas. El número elegido debe estar entre los siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9.

Cada operación que hagas se cuenta como un paso y su resultado debe ser un un un un unnúmero entero.número entero.número entero.número entero.número entero.

Ganas el juego si, a lo más en cinco pasos, a lo más en cinco pasos, a lo más en cinco pasos, a lo más en cinco pasos, a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de lossiguientes números.

Ejemplo: reduzcamos a cero el número 869.

Paso 1: 869 — 5 = 864Paso 2: 864 ÷ 9 = 96Paso 3: 96 ÷ 8 = 12Paso 4: 12 ÷ 6 = 2Paso 5: 2 — 2 = 0

Usa la calculadora para encontrar distintas maneras de reducir a cero los siguientesnúmeros:

a) 789 b) 629 c) 823

Paso 1: Paso 1: Paso 1:





d) 952 e) 997 f) 857






6ACTIVIDAD

Al cero en cinco pasosAl cero en cinco pasos

023-040 11/25/02, 9:47 AM29


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Esta actividad consiste en que encuentres una forma para multiplicar con la calculadorasin usar la tecla para multiplicar ni hacer de ninguna manera una multiplicación.sin usar la tecla para multiplicar ni hacer de ninguna manera una multiplicación.sin usar la tecla para multiplicar ni hacer de ninguna manera una multiplicación.sin usar la tecla para multiplicar ni hacer de ninguna manera una multiplicación.sin usar la tecla para multiplicar ni hacer de ninguna manera una multiplicación.1. ¿Puedes hacer la siguiente multiplicación sin usar la tecla para esta operación y sin

multiplicar mentalmente o con lápiz y papel?:

96 × 47

2. Explica qué método encontraste de manera que cualquiera de tus compañeros lo

pueda entender.

3. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encon-

tró un método distinto del tuyo? ¿En qué consiste?

¿Cuál es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros?

¿Por qué?

¿Puedes hacer la operación 93 × 37 sin usar la tecla correspondiente y sin hacer la

multiplicación mentalmente o con lápiz y papel? Explica cómo lo hiciste de

manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

7ACTIVIDAD

¡Se descompuso la teclapara multiplicar!¡Se descompuso la teclapara multiplicar!

023-040 11/25/02, 9:47 AM30


1. La siguiente figura muestra una tira de papel que ha sido dividida en varias partes.En cada una escribe el número decimal que la represente.

Suma los números que escribiste en cada parte. Si tus respuestas son correctasSi tus respuestas son correctasSi tus respuestas son correctasSi tus respuestas son correctasSi tus respuestas son correctas lalalalala

suma debe darte uno.suma debe darte uno.suma debe darte uno.suma debe darte uno.suma debe darte uno. ¿La suma que hiciste te dio uno?

Si no fue así, encuentra los errores que cometiste e inténtalo de nuevo.

2. ¿Qué fracciones decimales corresponden a cada una de las partes en que se hadividido la unidad en la siguiente figura?

Suma los números que escribiste Si tus respuestas Si tus respuestas Si tus respuestas Si tus respuestas Si tus respuestas

son correctas,son correctas,son correctas,son correctas,son correctas, la suma debe darte uno.la suma debe darte uno.la suma debe darte uno.la suma debe darte uno.la suma debe darte uno. ¿La suma que hiciste te dio uno?

Si no fue así, encuentra los errores que cometiste e inténtalo de nuevo.

3. ¿Qué fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido launidad en la siguiente figura? Escribe en cada parte la fracción común y la fraccióndecimal que la represente.

4. ¿Puedes asegurar que tus respuestas son correctas? ¿Por qué?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •8ACTIVIDAD

Fracciones y decimalesFracciones y decimales

0.25

= 0.12518

0.50112

+112

+112

+312

=

023-040 11/25/02, 9:47 AM31

32 n ú m e r o s d e c i m a l e s y s u s o p e r a c i o n e s9

1. En cada inciso escribe dos números tales que al sumarlos den el resultado que seindica.

2. ¿Qué hiciste para obtener los números que se piden en el inciso 1? Describe tu

método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres hazlo

con un ejemplo.

3. En cada inciso escribe dos números tales que al sumarlos den por resultado un núme-ro que esté entreentreentreentreentre los dos números que se indican. Los números que uses en cadainciso deben ser distintos y ninguno de los sumandos debe ser cero. Usa la calcula-dora para comprobar tus respuestas.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

0.321 0.457 1.305

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

0.4056 1.00506 3.040578

j) m) o)

k) n) p)

l) ñ) q)

0.7101 y 0.7105 0.2003 y 0.2007 0.3015 y 0.3016

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

9ACTIVIDAD

Suma y estimaciónSuma y estimación

023-040 11/25/02, 9:47 AM32


1. En cada inciso escribe dos números tales que, al restar uno del otro, den por resulta-do el número que se indica.

2. ¿Qué procedimiento seguiste para encontrar los números que se piden en el inciso 1?

Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si

quieres hazlo con un ejemplo.

3. En cada inciso escribe dos números tales que al restar uno del otro den por resultadoun número que esté entreentreentreentreentre los dos que se indican. Los números que uses en cadainciso deben ser distintos y ninguno de ellos debe ser cero. Usa la calculadora paracomprobar tus respuestas, pues no debes tener ningún error.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

0.55 y 0.58 0.27 y 0.3 0.3 y 0.31

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

10ACTIVIDAD

Resta y estimaciónResta y estimación

0.425 0.307 2.0056

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

0.509 3.05608 19.50807

j) m) o)

k) n) p)

l) ñ) q)

023-040 11/25/02, 9:47 AM33


2. ¿Qué hiciste para encontrar los números que se piden en el ejercicio 1? Describe el

procedimiento de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres

hazlo con un ejemplo

3. En cada inciso escribe dos números tales que, al multiplicarlos, den por resultado unnúmero que esté entreentreentreentreentre los números que se dan en cada inciso.

1. En cada inciso escribe dos números que multiplicados den por resultado el númeroque se indica. Los números que utilices en cada inciso deben ser distintos de uno.

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

0.001 0.206 0.765

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

0.784 3.519 19.873

j) m) o)

k) n) p)

l) ñ) q)

0.1003 y 0.1007 5.10207 y 5.10209 7.30 y 7.31

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

11ACTIVIDAD

Multiplicación y estimaciónMultiplicación y estimación

023-040 11/25/02, 9:47 AM34


1. Escribe en la calculadora los números que se describen en la columna de la izquier-da. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Sileíste y escribiste correctamente cada cantidad, obtendrás el total que se indica; si eltotal es diferente, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producidolos números correctos, escríbelos en la columna de la derecha.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •


Un entero cuatro centésimos,

más tres milésimos, +

más dos enteros setenta milésimos, +

más veinticinco milésimos. +

TOTAL: TOTAL: 3.138

Mil un enteros un centésimo,

más dos mil noventa y nueve enteros diez centésimos, +

más cuarenta mil siete enteros un diezmilésimo, +

más veintitrés mil diez enteros diez milésimos. +

TOTAL: TOTAL: 66117.1201

Treinta y ocho mil veinte enteros veinte milésimos,

más treinta mil tres enteros treinta y siete diezmilésimos, +

más cuarenta y dos mil treinta y un enteros

treinta milésimos, +

más un entero dos milésimos. +


Diez millones uno,

más dos millones cien, +

más treinta y siete mil uno, +

más quinientos cuarenta mil diez. +


12ACTIVIDAD

Lectura y escritura de númerosdecimalesLectura y escritura de númerosdecimales

023-040 11/25/02, 9:47 AM35


2. Inventa una suma como las anteriores, con cuatro sumandos. Usa números tan com-plicados como te sea posible. Verifica que el total que obtienes sea el mismo yaindicado.


más +

más +

más +


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Lectura y escritura de números decimales

023-040 11/25/02, 9:47 AM36


Lectura y escritura de medidasde longitudLectura y escritura de medidasde longitud

• • • • • • • • • • • • • • • •

1. Usa números decimales para escribir en la calculadora las medidas que están des-critas en la columna de la izquierda. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calcula-dora las sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad,obtendrás el total que se indica; si es diferente, busca y corrige el error que cometis-te. Cuando hayas producido los números correctos escríbelos en la columna de laderecha.

MEDIDAS EXPRESADAS CON PALABRAS MEDIDAS EXPRESADAS CON NÚMEROS

Un metro dos centímetros,

más tres milímetros, +

más dos centímetros, +

más tres centímetros dos milímetros. +

TOTAL: TOTAL: 1.075 metros

Treinta metros cuarenta centímetros,

más dos kilómetros veinticinco metros cuatro centímetros, +

más tres metros cuatro milímetros, +

más cuatro metros treinta y dos centímetros un milímetro. +


Seis kilómetros ocho metros,

más dos hectómetros cinco metros tres centímetros, +

más dos decámetros cuarenta y ocho milímetros, +

más veintiséis metros treinta y siete milímetros. +


Cien kilómetros diez metros cuarenta y ocho centímetros,

más cincuenta kilómetros dos metros nueve milímetros, +

más cuarenta y nueve kilómetros y medio, +

más dos kilómetros y medio, treinta y seis milímetros. +


13ACTIVIDAD

023-040 11/25/02, 9:47 AM37


• • • • • • • • • • • • • • •14ACTIVIDAD

1. Usa números decimales para escribir en la calculadora las medidas que están descri-tas en la columna de la izquierda. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calculadoralas sumas que se piden. Si el total que obtuviste es diferente del que se indica, buscay corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos,escríbelos en la columna de la derecha.

2. Usa números decimales para expresar las siguientes cantidades en kilos. Empleala calculadora para sumar. Si tus respuestas son correctas, la suma te deberá dar lacantidad que se indica. Si no te da ese resultado revisa tus respuestas y corrige loserrores que hayas cometido.


Medio kilo,

más cuarenta y siete gramos, +

más dos kilos ocho gramos, +

más cuarenta kilos veinticinco gramos. +

TOTAL: TOTAL: 42.58 kilos

Dos toneladas doce kilos cuarenta gramos,

más cien toneladas dieciséis kilos y medio, +

más dos mil treinta y siete gramos, +

más seis toneladas y media doscientos gramos. +


Dos kilos tres cuartos,

más cuatro mil doscientos cincuenta gramos, +

más un kilo y cuarto, +

más diez kilos cien gramos. +



Tres toneladas tres cuartos,

más cuatrocientos cincuenta gramos, +

más tres cuartos de kilo, +

más cuatro mil ochocientos gramos, +

más cuarenta toneladas cincuenta kilos veinte gramos. +

TOTAL: 43806.02 kilos

Lectura y escritura de medidasde pesoLectura y escritura de medidasde peso

023-040 11/25/02, 9:47 AM38


• • • • • • • • • • • • • •

En cada uno de los siguientes casos encuentra al menosal menosal menosal menosal menos dos formas para obtener, apartir del número de arriba, los números que se indican abajo.

1.

2.

3.

4. Una alumna dice que 1.5 es igual a 1.5000. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

1 900 0.19

19.01 × 0.0119 ÷ 100

0.0019 19.19

19

2 350 235 0.0235 2.350

2.35

0.3

3 0.0003 30 000 0.0303

15ACTIVIDAD

Transformaciones en un solo pasoTransformaciones en un solo paso

023-040 11/25/02, 9:47 AM39


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Supongamos que la tecla que indica el punto decimal se descompuso. Encuentra alalalalalmenosmenosmenosmenosmenos dos maneras distintas de producir con la calculadora cada uno de los siguientesnúmeros sin usar la tecla del punto decimalsin usar la tecla del punto decimalsin usar la tecla del punto decimalsin usar la tecla del punto decimalsin usar la tecla del punto decimal. En cada inciso escribe lo que hiciste en lacalculadora para obtener lo que se indica.

a) 0.5 b) 1.5 c) 0.3

d) 23.4 e) 10.1 f) 1342.58

g) 19876.035 h) 10003.002 i) 0.00034

j) 3333.333 k) 0.02 l) 3.25

16ACTIVIDAD

¡Se descompuso la tecladel punto decimal!¡Se descompuso la tecladel punto decimal!

023-040 11/25/02, 9:47 AM40


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Una alumna de otra escuela dice que entre 4.378 y 4.379 no hay ningún número

decimal. ¿Lo que dice esa alumna es cierto?

• Si estás de acuerdo con ella explica por qué.

• Si no estás de acuerdo da un ejemplo que justifique tu respuesta.

2. Un alumno de otro grupo dice que 42 = 8 y 43 = 12. ¿Es cierto lo que dice ese alumno?

¿Por qué?

3. ¿Hay alguna potencia a la que se pueda elevar el 4 de manera que el resultado sea

aproximadamente 29? Explora posibilidades con tu calculadora y encuen-

tra cuál es esa potencia. Compara tu respuesta

con las de tus compañeros, gana el que haya logrado una mejor aproximación.

4. ¿Cuál es la mejor aproximación con cuatro cifras decimalescon cuatro cifras decimalescon cuatro cifras decimalescon cuatro cifras decimalescon cuatro cifras decimales para el valor de x, de

manera que 4x se aproxime a 29? ¿Por qué puedes

asegurar que la aproximación que encontraste es la mejor?

5. ¿Cuál es el valor con seis cifras decimalescon seis cifras decimalescon seis cifras decimalescon seis cifras decimalescon seis cifras decimales para k, de manera que el valor de 6k sea

la mejor aproximación para 5000? ¿Por qué puedes asegurar que

la aproximación que encontraste es la mejor?

6. ¿Cuál es el valor con ocho cifras decimalescon ocho cifras decimalescon ocho cifras decimalescon ocho cifras decimalescon ocho cifras decimales para x, de manera que 5x sea la mejor

aproximación para 32?

7. En cada uno de los siguientes casos encuentra la mejor aproximación con tres cifrascon tres cifrascon tres cifrascon tres cifrascon tres cifras

decimalesdecimalesdecimalesdecimalesdecimales para el valor de x. (El símbolo “≈” significa: “es aproximadamente …”.)

a) 7x ≈ 135 b) 9x ≈ 100 c) 10x ≈ 100 d) 10x ≈ 78

x = x = x = x =

17ACTIVIDAD

Aproximación y cálculocon números redondeadosAproximación y cálculocon números redondeados

041-058 11/25/02, 9:48 AM41

42 f r a c c i o n e s c o m u n e s y s u s o p e r a c i o n e s l9

¡Se descompuso la teclade la raíz cuadrada!

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Supongamos que la tecla que indica esta operación se descompuso. ¿Qué podrías ha-cer, sin usar la raíz cuadradasin usar la raíz cuadradasin usar la raíz cuadradasin usar la raíz cuadradasin usar la raíz cuadrada, para contestar las siguientes preguntas?

a) ¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 25?

b) ¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 81?

c) ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a √ 53 ?

d) ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a √ 75 ?

e) ¿Puedes encontrar una aproximación para la raíz cuadrada de 133 con un nú-

mero entero y una cifra decimal? ¿Cuál es?

f) ¿Puedes encontrar una mejor aproximación para la raíz cuadrada de 133 con un

número entero y tres cifras decimales? ¿Cuál es?

g) ¿Puedes encontrar una mejor aproximación que las que obtuviste para la raíz cua-

drada de 133 con cuatro cifras decimales? ¿Cuál es?

2. Podemos tener una aproximación a un número “por abajo” o “por arriba”..... Por ejem-plo, 6.7 es una aproximación “por abajo” para el número 7, y 7.1 es una aproxima-ción “por arriba”. Observa que 7.1 es una mejor aproximación que 6.7, porque7.1 — 7 = 0.1, mientras que 7 — 6.7 = 0.3, es decir, 7.1 está “más cerca” del 7 que 6.7.

¿Puedes encontrar una mejor aproximación “por arriba”?

¿Cuál es?

3. Sin usar la tecla de la raíz cuadrada encuentra la mejor aproximación “por abajo”,con un número entero y una cifra decimalcon un número entero y una cifra decimalcon un número entero y una cifra decimalcon un número entero y una cifra decimalcon un número entero y una cifra decimal, para la raíz cuadrada del 72.

¿Cuál es esa aproximación? Explica qué es lo que te permi-

te afirmar que la aproximación que encontraste es la mejor “por abajo” con una

cifra decimal para la raíz cuadrada de 72.

18ACTIVIDAD

¡Se descompuso la teclade la raíz cuadrada!

041-058 11/25/02, 9:48 AM42


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Encuentra la mejor aproximación “por abajo” para cada una de las siguientes raícescuadradas. Tu aproximación debe tener dos cifras decimales. Recuerda que no de-bes usar la tecla que indica esta operación.

2. Encuentra la mejor aproximación “por arriba” para cada una de las siguientes raícescuadradas. Tu aproximación debe tener tres cifras decimales, y no debes usar latecla de la raíz cuadrada.

3. Encuentra la mejor aproximación “por arriba” y la mejor aproximación “por abajo”,con tres cifras decimales, para el número √ 2

< √ 2 <

a) √ 37 b) √ 97 c) √ 108

d) √ 90 e) √ 134 f) √ 130

g) √ 452 h) √ 725 i) √ 927

a) √ 48 b) √ 227 c) √ 326

d) √ 405 e) √ 618 f) √ 853

g) √ 958 h) √ 1104 i) √ 1005

19ACTIVIDAD

¿Cómo me aproximo…,por abajo o por arriba?¿Cómo me aproximo…,por abajo o por arriba?

041-058 11/25/02, 9:48 AM43


1. La figura de abajo representa una tira de papel que fue dividida en varias partes. Latira completa representa una unidad. En cada parte del rectángulo escribe la fraccióncorrespondiente.

Suma las fracciones que escribiste. Si tus respuestas son correctas la suma debe

darte 1. ¿La suma que hiciste te dio 1?

Si no fue así, trata de encontrar los errores que cometiste e inténtalo de nuevo.

2. ¿Qué fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la tirade papel que se muestra en la siguiente figura? Escribe en cada parte la fraccióncorrespondiente.

Suma las fracciones que escribiste. Si tus respuestas son correctas la suma debe

darte 1. ¿La suma que hiciste te dio 1?

Si no fue así, trata de encontrar el error que cometiste e inténtalo de nuevo.

3. ¿Qué fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la tirade papel que se muestra en la siguiente figura? Escribe en cada espacio la fracciónque corresponda.

4. ¿Cómo puedes usar la calculadora para verificar que tus respuestas son correctas?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

16

18

19

20ACTIVIDAD

Noción de fracciónNoción de fracción

041-058 11/25/02, 9:48 AM44


1. Observa la figura de abajo para contestar lo que se indica en cada inciso.

a) ¿Qué fracción corresponde a la cantidad de puntos que están totalmente insertos

en el triángulo respecto al total de puntos que aparecen en la figura?

b) ¿Qué fracción representa la cantidad de puntos que están adentro del rectángulo

respecto al total de puntos que hay en la figura?

c) Hay unos puntos que están en la parte en que se empalman el rectángulo y eltriángulo. ¿Qué fracción representa esa cantidad de puntos respecto del total depuntos que hay en la figura?

d) ¿Qué fracción corresponde a los puntos que están afuera del triángulo, pero

dentro del rectángulo, respecto del total de puntos?

2. Una alumna dice que las siguientes fracciones son equivalentes. Usa la calculadorapara revisar sus respuestas y corrige las que no sean correctas. Escribe en cadacuadro las operaciones que usaste para contestar.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •21ACTIVIDAD

Fracciones y razonesFracciones y razones

60

72=

55

67

0

680

27

45=

3

5

84

91=

12

13

90

120=

3

4

=

a) b) c)

d) e) f) 630

2520530

2420=

041-058 11/25/02, 9:48 AM45


3. Los profesores González y Pérez aplicaron el mismo examen a sus alumnos. En el

grupo del maestro González, 20 de 25 estudiantes aprobaron el examen, mientras

que, en el grupo del profesor Pérez, lo aprobaron 24 de 30 estudiantes. Un alumno

se enteró de los resultados y afirma que los grupos salieron iguales. ¿Lo que dice ese

estudiante es correcto? Fundamenta tu respuesta.

Fracciones y razones • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

041-058 11/25/02, 9:48 AM46


1. Usa la calculadora para realizar las siguientes operaciones.

¿Qué observas?

¿Por qué crees que esté pasando eso?

2. Ahora inventa otras cinco operaciones que den el mismo resultado que .

a) b) c) d) e)

3. En cada inciso, construye tres fracciones equivalentes a la que se indica.

a) b) c) d) e)

4. Encuentra fracciones equivalentes a las que se muestran en cada inciso. Esas fracciones

deben cumplir la condición de tener el mismo denominadorel mismo denominadorel mismo denominadorel mismo denominadorel mismo denominador. Por ejemplo, y

se pueden expresar con el mismo denominador como sigue: = y =

a) y b) y c) y d) y 2 e) 5 y

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

14

520

15

420

14

15

2

334

2

94

20

3

15

2

3

3

8

2

53

7

3

42

3

5

61

3

22ACTIVIDAD

Fracciones equivalentesFracciones equivalentes

8

16+

1

3=

1

2+

1

3=

4

8+

1

3=

2

4+

1

3=

4

6+

1

3=

16

321

3=

7

14+

1

3=

5

10+

1

3=

a) b) c) d)

a) b) c) d) +

12

+13

041-058 11/25/02, 9:48 AM47


1. En cada inciso encierra en un círculo el número que creas que es el mayor.

2. ¿Cómo podrías usar la calculadora para verificar si tus respuestas al primer ejercicio

son correctas? Describe el método que encontraste.

3. Una alumna de otra escuela dice que para saber cuál es el número mayor resta unode los números del otro, pero que a veces le da un número negativo y se confunde.Por ejemplo, . ¿Cuál es el número mayor en este caso?

¿Por qué?

4. Otro alumno dice que no usó la calculadora. Él encontró fracciones equivalentes.

Por ejemplo, para comparar , las transformó en , respectiva-

mente. ¿Puedes explicar qué hizo después para decidir cuál es la fracción mayor?

5. Ordena de mayor a menor los números que se muestran en cada inciso.

6. ¿Qué método empleaste para responder el tercer ejercicio?

7. En cada caso encuentra una fracción que esté entreentreentreentreentre las dos fracciones que se dan.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

a) y b) y c) y d) y e) y

f) y g) y h) y i) y j) y

2

33

4

3

84

9

3

52

4

2

72

3

3

8

4

5

3

54

6

11

127

8

1

31

2

5

87

14

5

9

1

3

34

23

112

— = –

25 + a = 1

2530

2430

y

2

51

3

5

8

2

33

8

4

5

7

83

4

8

10

11

512

6

13

8

13

618

9a) , , b) , , c) , , d) , , , ,

a) y b) y c) y d) y

f) y g) y h) y i) y

1

21

3

1

41

5

2

33

4

3

4

4

5

3

5

4

5

6

8

7

8

7

9

8

9

11

24

12

24

23ACTIVIDAD

¿Qué fracción es mayor?¿Qué fracción es mayor?

041-058 11/25/02, 9:48 AM48


1. Una alumna dice que para obtener la mitad de 1784 le da lo mismo hacer la opera-

ción 1784 ÷ 2, que 1784 × . ¿Estás de acuerdo con ella? Si

tu respuesta es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muéstralo con un ejemplo.

2. Un alumno dice que para obtener la tercera parte de 891 le da lo mismo dividir entre

3 que multiplicar por . ¿Estás de acuerdo con él? Si tu respuesta

es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muestra con un ejemplo por qué.

3. Otro alumno dice que para sacar dos quintas partes de 340 puede hacer cualquiera

de estas dos operaciones: 340 × o . ¿Estás de acuerdo con él?

Si tu respuesta es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muestra con un

ejemplo por qué.

4. Usa fracciones para encontrar lo que se pide en cada caso. Escribe las operacionesque hiciste en los espacios correspondientes.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

a) La onceava parte b) La quinceava parte c) Un quinto de 195 d) Dos décimosde 6457 de 11040 de 7830

e) Tres veintavos f) Cuatro quintas g) Ocho séptimos h) Siete novenosde 11740 partes de 350 de 4109 de 3708

24ACTIVIDAD

Fracciones y particionesFracciones y particiones

12

13

25

340 × 25

041-058 11/25/02, 9:48 AM49


1. Usa la calculadora para encontrar las fracciones que faltan.

2. ¿Qué hiciste para contestar las preguntas anteriores?

3. Usa la calculadora para encontrar las fracciones que faltan.

4. ¿Encontraste un método para contestar las preguntas anteriores? ¿Cuál?

1

5

1

3+ + c = 1

2

5+ a = 1

1

4

1

7+ + f = 1

1

4

2

3+ + + h = 2

1

5

1 + 2 + 3 + p = 101

6

1

4

23

1 + 2 + m + 3 = 111

6

3

4

2

51

2

a) b)

La fracción que falta es: La fracción que falta es:

c) d)

f = h =

e) f)

p = m =

a) b)


c) d)


e) f)


2

3— x =

1

5

3

4— y =

3

8

5

8— a =

1

5

27

4— q = 6

3 — m =3

7

1

3— b — c =

1

4

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •25ACTIVIDAD

¿Qué fracciones faltan?¿Qué fracciones faltan?

041-058 11/25/02, 9:48 AM50


1. En cada inciso encuentra dos fracciones cuya suma dé como resultado .

2. En cada inciso encuentra tres fracciones cuya suma dé como resultado .

3. En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado .

4. En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado 3 .

5. En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado .

a) b) c) d) e)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

• • • • • • • • • • • • • •26ACTIVIDAD

¿Cómo encuentro esas fracciones?¿Cómo encuentro esas fracciones?

3

4

45

3

8

25

3

1

12

041-058 11/25/02, 9:48 AM51


• • • • • • • • • • • • • •

1. En cada inciso encuentra dos fracciones de manera que al restar una de la otraobtengas .

2. En cada inciso encuentra dos fracciones de manera que al restar una de la otraobtengas .

3. En cada inciso escribe dos fracciones de manera que al restar una de la otra décomo resultado 3 .

4. Encuentra las fracciones que faltan.

5. Un pasajero comenzó su jornada y justo a la mitad de su viaje se quedó dormido. Al

despertar, se dio cuenta de que todavía tenía que recorrer la mitad de la distancia que

había viajado mientras dormía. ¿Qué parte de toda la jornada permaneció dormido?

Escribe las operaciones que hiciste para obtener el

resultado.

a) b) c) d) e)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)— — =cd

ab

4

51

10— — =

pq

mn

3

71

24— — =

xy

df

27

81

3— — =

ab

pq

5

81

12

27ACTIVIDAD

Un poco de fracciones y restasUn poco de fracciones y restas

13

27

25

041-058 11/25/02, 9:48 AM52


• • • • • • • • • •

a) –7 + 9 = b) –5 + –7 = c) 8 + –7 = d) –15 + –17 =

e) –30 + –50 = f) 0.5 + –2 = g) –19 + –30 = h) –72 + 30 =

2. ¿Qué operaciones hizo la calculadora para sumar un número negativo con un número

positivo?

3. ¿Qué operaciones hizo la calculadora para sumar un número negativo con otro

número negativo?

4. ¿Qué operaciones hace la calculadora para poner el signo al resultado?

28ACTIVIDAD

¿Cómo sumamos números con signo?¿Cómo sumamos números con signo?

En las siguientes hojas de trabajo, aprenderás cosas importantes sobre los númerosnegativos. Los números con signo pueden ser positivos o negativos y el cero no es posi-positivos o negativos y el cero no es posi-positivos o negativos y el cero no es posi-positivos o negativos y el cero no es posi-positivos o negativos y el cero no es posi-tivo ni negativotivo ni negativotivo ni negativotivo ni negativotivo ni negativo. Los números positivos los conoces bastante bien.

Los números negativos se pueden usar en ciertas situaciones. Por ejemplo, la tempera-tura “siete grados bajo cero” se puede representar mediante la expresión–7 grados–7 grados–7 grados–7 grados–7 grados. También se usan para referirse a deudas, por ejemplo, si una persona debe$1000.00, puede representarse mediante la expresión –––––11111000 pesos 000 pesos 000 pesos 000 pesos 000 pesos (se lee “menos milpesos”).....

¿Puedes dar otro ejemplo de una situación en que se usen los números negativos?

1. Utiliza la calculadora para realizar las siguientes actividades. Nota que en la calcu-Nota que en la calcu-Nota que en la calcu-Nota que en la calcu-Nota que en la calcu-ladora hay dos signos que representan “menos”ladora hay dos signos que representan “menos”ladora hay dos signos que representan “menos”ladora hay dos signos que representan “menos”ladora hay dos signos que representan “menos”. Uno de esos signos sirve paraefectuar la operación de restar; el otro (–) es el que debes usar para escribir unnúmero negativo en la calculadora.

041-058 11/25/02, 9:48 AM53

54 n ú m e r o s c o n s i g n o9

5. En cada inciso encuentra tres parejas de números que al sumarlos den el resultadoque se indica. Verifica tus respuestas mediante la calculadora.

a) Resultado: –32 b) Resultado: –45 c) Resultado: –27 d) Resultado: –40

e) Resultado: –55 f) Resultado: –78 g) Resultado: 0 h) Resultado: –1

¿Cómo sumamos números con signo? • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

041-058 11/25/02, 9:48 AM54


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Obtén tres números que al sumarlos den por resultado cero.

2. ¿Puedes encontrar cuatro números que al sumarlos den por resultado –1? ¿Cuáles

son?

3. Encuentra cinco números que al sumarlos den por resultado –27.

4. Construye una suma con tres sumandos de manera que el resultado sea –0.25.

5. Construye una suma con cuatro sumandos, dos positivos y dos negativos, de manera

que el resultado sea –0.763.

6. Construye una suma con cinco sumandos, dos negativos y tres positivos, de manera

que el resultado sea 38.5.

7. Construye una suma con cinco sumandos, cuatro negativos y uno positivo, de mane-

ra que la suma sea –7.328.

8. Encuentra los números que faltan. Verifica tus respuestas con la calculadora, no de-

bes tener ningún error.

29ACTIVIDAD

Sumas y números con signoSumas y números con signo

a) –15 + 13 + m = 0 b) 17 + –20 + n = –75 c) p + 18 + –35 = –100

m = n = p =

d) –2.5 + q + –12 = 7.8 e) + r + – = –2 f) – + s + = 0

q = r = s =

g) –1.3 + t + –2.4 = –10 h) 7.45 + –12.8 + u = 15 i) –v + + = 0

t = u = v =

34

16

15

38

13

19

041-058 11/25/02, 9:48 AM55

56 n ú m e r o s c o n s i g n o9

También podemos hacer restas con números negativos. Por ejemplo, haz en tu calcula-dora la siguiente operación 9 9 9 9 9 — –8. –8. –8. –8. –8.

Nota que el primer signo “menos” (—) (—) (—) (—) (—) es el que se usa para restar, y que el segundosigno (–) (–) (–) (–) (–) es el que se utiliza para escribir números negativos en la calculadora.

1. ¿Qué resultado da la calculadora cuando haces la operación 9 — –8?

¿Por qué crees que se obtiene ese resultado?

2. Teclea en la calculadora la expresión 10 10 10 10 10 — –6 –6 –6 –6 –6 y luego presiona la tecla ENTER o

EXE según corresponda. ¿Qué resultado da la calculadora? ¿Qué

crees que hace la calculadora cuando tecleas, uno enseguida del otro, los dos sig-

nos para la expresión “menos”?

3. Realiza las siguientes operaciones usando la calculadora.

4. Explica qué operaciones realiza la calculadora para restar un número negativo.

5. Encuentra el número que falta. Usa la calculadora para verificar tus respuestas.

6. En el laboratorio de química un alumno observó que cada 60 segundos la temperatu-ra de una sustancia disminuía la misma cantidad de grados. Al iniciar el experimentola temperatura de esa sustancia era 36 °C y seis minutos después era 24°C. En otroexperimento el alumno observó que otra sustancia tenía una temperatura de –30°Cy que disminuía 4°C cada minuto. Si él inició los dos experimentos al mismo tiempo,¿después de cuántos minutos las dos sustancias tendrán la misma temperatura?

¿Cuál es esa temperatura?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

a) 9 — –10 = b) 14 — –14 = c) —– =

d) — – = e) –18 — –14 = f ) –100 — –48 =

a) 4 — a = 10 b) – — b = c) – — c =a = b = c =

d) –18 — d = 20 e) –40 — e = 50 f ) 16 — f = 40d = e = f =

g) –17.5 — g = –19.4 h) 38.7 — h = 62.4 i) –17.9 — k = 100g = h = k =

12

34

13

12

13

13

12

12

30ACTIVIDAD

¿Cómo restamos númeroscon signo?¿Cómo restamos númeroscon signo?

041-058 11/25/02, 9:48 AM56


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Escribe una suma de números con signo que corresponda a cada una de las siguien-tes situaciones.

a) En una ciudad la temperatura a las 10 de la noche era 16°C. A partir de esa hora

la temperatura disminuyó 1°C cada diez minutos. ¿Cuál era la temperatura a las

5:00 AM del día siguiente?

b) Un equipo de futbol americano perdió 2 yardas en la primera oportunidad, en

la segunda oportunidad ganó 7 yardas, en la tercera logró cero yardas, y en la

última perdió 9 yardas. ¿Cuál fue el resultado de sus intentos en las cuatro

oportunidades?

c) Colón descubrió América en 1492. Roma fue fundada 2275 años antes. ¿En

qué año tuvo lugar la fundación de Roma?

d) Completa el siguiente cuadrado escribiendo en cada espacio uno de los siguien-tes números: –13, –10, –7, –4, 2, 5, 8 y 11. La condición que debe cumplir tucuadrado mágico es que cualesquiera tres números colocados en línea rectadeben sumar lo mismo.

–1

31ACTIVIDAD

¿Sirven para algo los númeroscon signo?¿Sirven para algo los númeroscon signo?

041-058 11/25/02, 9:48 AM57

041-058 11/25/02, 9:48 AM58

Actividades segundo gradoActividades segundo gradoActividades segundo grado

059-073 11/26/02, 11:33 AM59

609 d i v i s i b i l i d a d

1. Un alumno dice que cualquier número entero, excepto el cero, puede dividirse entre

sí mismo y el 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que dice ese compañero?

¿Por qué?

2. Haz en tu calculadora la operación 5 ÷ 0 y observa qué pasa. Comenta este resultado

con tu profesor y tus compañeros y anota tus conclusiones.

3. ¿Puedes encontrar un número entero que esté entre 50 y 60 y que sólo pueda divi-

dirse entre sí mismo y el 1 sin dejar residuo? ¿Cuál es ese número?

4. Una compañera dice que encontró 10 números enteros que están entre 80 y 120

que sólo pueden dividirse entre sí mismos y el 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que

dice? ¿Cuáles son esos números?

5. Otro alumno dice que entre el 120 y el 130 no hay números que sólo puedan dividir-

se entre sí mismos y entre el 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que él dice?

¿Por qué?

6. ¿Puedes encontrar cinco números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y

otro número? ¿Qué números con esas caracterís-

ticas encontraste?

7. ¿Puedes pensar un método para encontrar números que sólo puedan dividirse entre

sí mismos, el 1 y otro número? Describe tu método.

• • • • • • • • • • • • • •¿Qué números dividen a otros?¿Qué números dividen a otros?32ACTIVIDAD

059-073 11/25/02, 10:01 AM60

61 9s e g u n d o g r a d o

8. Busca cinco números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otros dos

números más. ¿Qué números encontraste?

9. ¿Puedes pensar en un método para encontrar números que sólo puedan dividirse

entre sí mismos, el 1, y otros dos números? Describe tu método.

10. ¿Puedes encontrar un método para construir números que sólo puedan dividirse

entre sí mismos, el 1, y otros tres números? Haz una lista de 10 números con esas

características.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ¿Qué números dividen a otros?

059-073 11/25/02, 10:01 AM61

629 d i v i s i b i l i d a d

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Lee con atención lo siguiente:

10 es divisible entre 5 y entre 2 porque 5 10 es divisible entre 5 y entre 2 porque 5 10 es divisible entre 5 y entre 2 porque 5 10 es divisible entre 5 y entre 2 porque 5 10 es divisible entre 5 y entre 2 porque 5 × 2 2 2 2 2 = 10 10 10 10 10

56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 7 56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 7 56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 7 56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 7 56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 7 × 8 8 8 8 8 = 56 56 56 56 56

1. Da otros tres ejemplos de números que sean divisibles entre 7

2. Construye tres números enteros que estén entre 100 y 300, y que sean divisibles

entre 7. Escribe a continuación los números que construiste.

3. Construye tres números enteros que estén entre 1000 y 1300, y que sean divisibles


4. Describe con un ejemplo cómo construiste números divisibles entre 7. Hazlo de

manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda.

5. Construye tres números mayores que 200 y menores que 300 que sean divisibles


6. ¿Encontraste algún método para construir números divisibles entre 11? Describe tu méto-

do con un ejemplo. Hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda.

7. Encuentra un método para construir números divisibles entre 11 y entre 13. Describe

a continuación tu método usando dos ejemplos. Hazlo de manera que cualquiera de

tus compañeros te pueda entender.

33ACTIVIDAD

¿Números que se dividenentre 7 y 11?¿Números que se dividenentre 7 y 11?

059-073 11/25/02, 10:01 AM62


Éste es un juego matemático. Ganas el juego si puedes explicar por qué pasa lo queenseguida observarás.

1. Escribe un número entero de tres cifras, el que tú prefieras.

2. Repite ese número a continuación del que ya tienes. Tendrás entonces un número de

seis cifras, en el que las tres primeras cifras son idénticas a las tres últimas. Por ejem-

plo, 324324. Escribe el número que construiste a continuación.

3. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 7?

Comprueba tu respuesta y di qué observas.





6. Discute lo que observaste con tus compañeros. ¿Ellos encontraron lo mismo que tú?

¿Cuáles son tus conclusiones?

7. Construye otros números de seis cifras de manera que las tres primeras cifras sean

iguales a las tres últimas. ¿Esos números son divisibles entre 7, 11 y 13?

¿Qué hiciste para comprobar tu respuesta?

8. Ésta es la clave del juegoÉsta es la clave del juegoÉsta es la clave del juegoÉsta es la clave del juegoÉsta es la clave del juego; si puedes dar una respuesta correcta a la siguiente pregun-

ta habrás ganado. ¿Por qué cualquier número de seis cifras que construyas de esa¿Por qué cualquier número de seis cifras que construyas de esa¿Por qué cualquier número de seis cifras que construyas de esa¿Por qué cualquier número de seis cifras que construyas de esa¿Por qué cualquier número de seis cifras que construyas de esa

manera es siempre divisible entre 7, 11 y 13?manera es siempre divisible entre 7, 11 y 13?manera es siempre divisible entre 7, 11 y 13?manera es siempre divisible entre 7, 11 y 13?manera es siempre divisible entre 7, 11 y 13? Da tu respuesta de manera que cual-

quiera de tus compañeros la pueda entender. Tu profesor decidirá quién o quiénes

son los ganadores en este juego.

• • • • • • • • • • • • • • •34ACTIVIDAD

¿Esos “numerotes” son divisiblesentre todo eso?¿Esos “numerotes” son divisiblesentre todo eso?

059-073 11/25/02, 10:01 AM63

649 f r a c c i o n e s c o m u n e s y s u s o p e r a c i o n e s l l

1. Hay 11 fracciones distintas a y que pueden construirse con los números

3, 4, 5 y 6. ¿Cuáles son esas fracciones?

(Observa que = = = = 1.)

a) ¿Cuál de las parejas de fracciones que construiste produce una suma menor?

b) ¿Cuál es la pareja cuya suma es mayor?

2. ¿Cuáles son las fracciones distintas que pueden construirse con los números 2, 3, 6 y 8?

a) Sin hacer las sumasSin hacer las sumasSin hacer las sumasSin hacer las sumasSin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma menor.

b) Sin hacer las sumasSin hacer las sumasSin hacer las sumasSin hacer las sumasSin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma mayor.

3. Forma las trece fracciones distintas que pueden construirse con los números 2, 3, 6, 8.

Escríbelas en el espacio de abajo.



4. Ahora elige cuatro números enteros y forma las fracciones que se pueden construir

con ellos. Escribe esas fracciones en el espacio de abajo.

• • • • • • • •

34

56

33

44

55

66

35ACTIVIDAD

¿Qué fracciones dan la suma mayor?¿Qué fracciones dan la suma mayor?

059-073 11/25/02, 10:01 AM64




5. De los números 9, 10, 13, 14, 15 y 26, elige cuatro, de manera que con ellos se formen

dos fracciones cuya suma sea la menor posible. ¿Cuáles son esas dos fracciones?

6. ¿Encontraste un método para saber cuál pareja o terna de fracciones dará la suma

mayor y cuál dará la suma menor? Describe tu método de manera que cualquiera de

tus compañeros lo entienda.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ¿Qué fracciones dan la suma mayor?

059-073 11/25/02, 10:01 AM65

669 f r a c c i o n e s c o m u n e s y s u s o p e r a c i o n e s l l

1. Realiza las siguientes operaciones usando la calculadora.

a) = b) = c) = d) =

Observa los resultados que obtuviste. ¿Qué operaciones crees que hizo la calcula-

dora con esos números para realizar las operaciones anteriores?

2. Encuentra las fracciones que faltan.

a) = 1 b) = 1 c) = 1 d) = 1

e) = 1 f) = 1 g) = 1 h)

3. Una alumna de otra escuela dice que la operación le permite construir

una fracción equivalente a . ¿Lo que dice es cierto? ¿Si multiplicara

por , también obtendría una fracción equivalente? Justifica tu

respuesta.

4. De las siguientes fracciones encierra en un círculo las que sean equivalentes a .

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

5. Describe detalladamente el método que utilizaste para responder la pregunta anterior.

• • • • • • • • • • • • • • • •36ACTIVIDAD

Multiplicaciones y fraccionesMultiplicaciones y fracciones

23

15

× 34

78

× 37

15

× 29

411

×

23

ab

×

45

33

×

25

rs× 9

10mn× 5

7xy× y

z×

34

cd

× 78

df

× pq×7

12 = 1

45

45

66

812

1624

13

412

40120

3260

46

4872

824

059-073 11/25/02, 10:01 AM66


Programación de una expresión lProgramación de una expresión l

1. Un alumno construyó la tabla que se muestra a continuación. Para hacerlo realizóunas operaciones con los números de entrada y así obtuvo los números de salida.

¿Puedes adivinar qué operaciones hizo ese alumno?

2. ¿Qué resultado obtendrá si el “número de entrada” es 6?

¿Si es 10? ¿Si el número de entrada es 0?

¿Ya sabes qué operaciones hizo? En efecto, a cada número de entrada lo multiplicópor sí mismo y luego restó 1, así obtuvo los números de salida.

3. Ahora aprenderás a programar la calculadora para que reproduzca la tabla quehizo ese alumno. Para esto sigue las instrucciones que se dan a continuación.

A. Observa el teclado de la calculadora y elige tu letra favorita. Nosotros usaremosla letra aaaaa, tú usa la que quieras.

B. Teclea la expresión a a a a a × aaaaa —11111, tú usa tu letra favorita. La figura 1 muestra esto.C. Presiona la tecla 2nd2nd2nd2nd2nd y luego la letra kkkkk,,,,, esto produce la barra vertical que apare-

ce enseguida del 1 (ve la figura 1).D. Usa 2nd2nd2nd2nd2nd y la tecla del paréntesis para imprimir una “llave” ({). Como se ve en la

figura 1.E. Teclea los valores de entrada de la tabla separándolos con una coma. Cierra la

“llave” (}) y presiona la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER. Si hiciste todo correctamente la pantalla detu calculadora se verá como la de la figura 1.

. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla.

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 1 3 5 7 9 11

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 0 8 24 48 80 120

37ACTIVIDAD

{

{

{}

}

}

,,,,

• • • • • • • • • • • • • •

Figura 1

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada –1.5 1.5 0 0.5 1.5 2.5 2.5 4

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida

059-073 11/25/02, 10:01 AM67

689 p r e á l g e b r a

Programación de una expresión llProgramación de una expresión ll38ACTIVIDAD

En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente:

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora si escribo en mi programa el número 4?

¿ Y si escribo el número 6? ¿Si escribo el número 17?

¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?

2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo que la mía? Escribe tuprograma en el cuadro de abajo.

3. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla.

4. ¿Qué operaciones hiciste para obtener los valores asociados a 551 y 653.38?

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 653.38 es el correcto?

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 1 3 5 7 9

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 2 10 26 50 82

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 25 37.03 59.83 117.18 136.1 200.79

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 551 653.38

• • • • • • • • • • • •

059-073 11/25/02, 10:01 AM68


Programación de una expresión lllProgramación de una expresión lll

1. Encuentra los números que faltan y completa la tabla.

2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener los números que faltaban en la tabla?

3. ¿Puedes programar tu calculadora para encontrar los números de la segunda colum-na de la tabla anterior? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

Comprueba que tu programa permite obtener los mismos números que se muestranen la tabla.

4. Completa la tabla usando el programa que escribiste.

¿Qué operaciones hiciste para obtener los valores asociados a 89.1 y 92.4?

3. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 92.4 es el correcto?Explícalo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

39ACTIVIDAD

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 9 17 18.04 47.01 50.4 63.9

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 89.1 92.4

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 2.5 3.1 4 5.3 6.2 7.4

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 7.5 9.3 12

• • • • • • • • • • • • • •

059-073 11/25/02, 10:01 AM69


Comprobación de programasComprobación de programas40ACTIVIDAD

Construí esta tabla usando un programa.

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora si escribo en mi programa el número 50?

¿Y si escribo el número 81?

¿Si escribo el número 274?

2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?


4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

5. Un alumno dice que puedes usar el programa que hiciste para comprobar que el valor

que obtuviste para 88.2 es el correcto ¿Estás de acuerdo con él?

Indica con la mayor precisión posible cómo puedes usar el programa que hiciste para

comprobar que el valor que obtuviste para 95.4 es el correcto.

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida

1 3

2.6 6.2

3 7

4.3 9.6

5 11

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 12 16 19.05 48.02 51.45 62.7

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 88.2 95.4

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

059-073 11/25/02, 10:01 AM70


Programas diferentes para una expresiónProgramas diferentes para una expresión

En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente

1. ¿Qué resultado me dará la calculadora si escribo en mi programa el 6?

¿Y si escribo el 7? ¿Y el 15?


3. Programa tu calculadora para que haga lo mismo que lamía. Escribe tu programa en el cuadro de la derecha.

Comprueba si tu programa producelos mismos resultados que el mío.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Comprueba con tu programaque los valores que obtuviste para 25 y 137 son los correctos.

5. ¿Cómo puedes comprobar si el valor que obtuviste para 137 es el correcto?


1 1

2 3

3 5

4 7

5 9

41ACTIVIDAD

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 10 11 15 27 259.14

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 25 137

• • • •

059-073 11/25/02, 10:01 AM71


Corrección de programasCorrección de programas

1. Encuentra los números que faltan y completa la siguiente tabla.

2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga el trabajo de completar la tabla?Una vez que lo hayas hecho, es-

cribe tu programa en el cuadro de laderecha.

Usa el programa que hiciste para

obtener los números que se muestran

en la tabla anterior. ¿Pudiste obtener

los mismos números?

Si no es así, corrige tu programa e in-

tenta de nuevo.

3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste. Comprueba con tu pro-grama que el valor que encontraste para –10.3 es el correcto.

4. Usa tu programa para comprobar que los valores que obtuviste para –10.3 y 0 son

los correctos. ¿Obtuviste los mismos valores? Si no fue así, corrige tu

programa e inténtalo de nuevo.

42ACTIVIDAD

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada –10 –9.7 –7.8 –6.2 –5.3 –4.6 –0.7 0 1.3 12.4

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida –9.5 –9.2 –7.3 –5.7

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada –20 –14.7 –13.8 –12.3 –9.6 2.5

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida –10.3 0

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

059-073 11/25/02, 3:42 PM72


Descripción de programasDescripción de programas

1. ¿Puedes ayudarme a encontrar los números que faltan?

1. ¿Qué operaciones hiciste para encontrar los números que faltaban en la tabla? Escri-

be un ejemplo usando uno de los números de la misma.

2. ¿Puedes programar tu calculadora para reproducir los números de la tabla?

Una vez que hayas hecho tu programa, escrí-

belo en el cuadro de la derecha.

Comprueba que el programa te permite en-

contrar los mismos números que se muestran

en la tabla.

4. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.

5. Describe cómo usarías el programa para comprobar que el valor que obtuviste para

–9.72 es correcto.


–15 –16.5

–14.5 –16

–12.4 –13.9

–10.2 –11.7

–5.8

–4.6

–0.9

0

43ACTIVIDAD

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada –20 –13.8 –10.83 –.05

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida –17.3 –11.9 –9.72 10

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

059-073 11/25/02, 10:01 AM73

p r e á l g e b r a749

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •44ACTIVIDAD


10.5 5.25

14.42 7.21

15.3 7.65

16.7 8.35

20.1 10.05

En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente:

1. Si escribo el número 6 ¿qué número va a dar como resultado la calculadora?

¿Y si escribo 19.3? ¿Si escribo el número 56?

¿Y si escribo 177?

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-

ros pueda entenderte.

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo que la mía? Una vezque lo hayas hecho, escribe tu programa en el cuadro de abajo.

Comprueba si el programa te permite obtener los mismos valores que los de la tabla.

Construcción de programas lConstrucción de programas l

074-081 11/25/02, 10:01 AM74

s e g u n d o g r a d o 75 9

45ACTIVIDAD


6 9

8 12

14 21

15 22.5

18 27

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 20 35 44 72

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 33 57 75 123

Escribí un programa que produce estos valores:

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora si escribo el número 10?

¿Y si escribo 13.4? ¿Si escribo 15.6?

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-

ros pueda entenderte.


4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

5. Explica cómo usas tu programa para comprobar que los valores que encontraste

para 57, 75 y 123 son los correctos.

Construcción de programas llConstrucción de programas ll

074-081 11/25/02, 10:01 AM75


• • • • • • • • • • • • • • • •

Hace falta completar esta tabla. ¿Puedes encontrar los números?

1. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que cualquiera de tus

compañeros pueda entenderte.

2. ¿Puedes programar tu calculadora paraobtener los valores de la tabla? Escribetu programa en el cuadro de la derecha.

Comprueba que tu programa produce los mismos números que aparecen en la ta-bla. Si no es así corrígelo e inténtalo de nuevo.

3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

4. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.


4 4.04

6 6.06

9 9.09

10 10.1

12 12.12

15.5

17.8

19.2

20.4

50.2

46ACTIVIDAD

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 1 3.1 9 32

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 2.222 4.343 12.12 38.784

Construcción de programas lIIConstrucción de programas lII

074-081 11/25/02, 10:01 AM76


1. Un alumno dice que el programa B B B B B × 4 4 4 4 4 + 1 1 1 1 1 produce los mismos resultados que elprograma B B B B B × 5 5 5 5 5.

¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

2. Escribí en mi calculadora el programa M M M M M + 2 2 2 2 2 × 3 3 3 3 3. Una alumna de otra escuela dice

que si le doy el valor 4 me dará por resultado 18. ¿Estás de acuerdo con ella?

Justifica tu respuesta con un ejemplo.

3. Otro alumno dice que si M M M M M = 5 5 5 5 5, el programa M M M M M + 2 2 2 2 2 × 3 3 3 3 3 le dará por resultado 21.

¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?

4. Completa la siguiente tabla sin utilizar la calculadora.sin utilizar la calculadora.sin utilizar la calculadora.sin utilizar la calculadora.sin utilizar la calculadora.

Programa: C C C C C + 5 5 5 5 5 × 2 2 2 2 2

5. Ahora escribe ese programa en la calculadora y úsalo para completar de nuevo la

tabla anterior. ¿Obtuviste los mismos resultados? Si no coinciden los

resultados de tu programa con los que obtuviste, explica detalladamente por qué

ocurre eso.

47ACTIVIDAD


Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 65 115 150

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Construcción de programas lVConstrucción de programas lV

074-081 11/25/02, 10:01 AM77


1. Escribe en tu calculadora el programa N + 2 × 3. Usa este programa para completarla siguiente tabla.

2. Una vez que hayas completado la tabla, observa los resultados y explica qué hace

ese programa con cada número de entrada.

3. A continuación, escribe este programa en forma más breve.

4. Un alumno de otra escuela dice que este programa hace lo siguiente: “Primero suma

2 y luego multiplica el resultado de eso por 3”. ¿Estás de acuerdo con lo que dice?

¿Por qué?

5. Escribe en tu calculadora el programa (R — 1) × 3. Completa la siguiente tablaconforme al mismo.

Observa los resultados que obtuviste y explica qué es lo que hace ese programa.

6. Otro alumno dice que este programa hace lo siguiente: “Primero resta 1 y luego

multiplica el resultado de eso por 3”. ¿Estás de acuerdo?

¿Por qué?

48ACTIVIDAD



Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 2 4 5 7 8 10


• • • • • • • • • • • • • • • • •Construcción de programas VConstrucción de programas V

074-081 11/25/02, 10:01 AM78


Construí un programa que hace lo siguiente:

Primero resta 2 y luego multiplica por 3Primero resta 2 y luego multiplica por 3Primero resta 2 y luego multiplica por 3Primero resta 2 y luego multiplica por 3Primero resta 2 y luego multiplica por 3

Con él completé la siguiente tabla.

1. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados de arriba.Cuando hayas comprobado que funciona bien, escríbelo en el siguiente cuadro.

2. Un estudiante dice que el programa P + 5 × 4 primero suma 5 y luego multiplica por 4.

¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?

3. Otro estudiante dice que el programa (R + 2) × 3 da los mismos resultados que el

programa 3 × R + 6. ¿Estás de acuerdo? Justifica tu respuesta mediante

un ejemplo.

4. La siguiente tabla se construyó con un programa en el que se usaron paréntesis.¿Puedes encontrar cuál es ese programa? Si lo hiciste pruébalo en tu calculadora yescríbelo en el cuadro de abajo.

49ACTIVIDAD

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 2 4 7 9.2 11 15.5 18.4 19.1

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 0 6 10 21.6 27 40.5 49.2 51.3

Número de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entradaNúmero de entrada 1 3 4 6 7 9 10 11

Número de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salidaNúmero de salida 4 8 10 14 16 20 22 24

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Construcción de programas VlConstrucción de programas Vl

074-081 11/25/02, 10:01 AM79


50ACTIVIDAD

5 + 3 × 4 = 32 6 × 7 + 2 — 1 = 48 6 × 7 + 2 — 1 = 53 4 + 8 ÷ 4 = 3

3 × 6 + 4 = 18 + 12 5 × 3 + 4 = 15 + 20 7 — 4 — 2 = 5 6 + 8 — 7 — 5 = 10

1. Un alumno dice que los programas (A × 2) + 2 y A × 2 + 2 producen resultados

distintos. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta mediante dos

ejemplos.

2. Una alumna dice que los programas (B + 2) × 2 y B + 2 × 2 producen los mismos

resultados. ¿Estás de acuerdo con ella? Justifica tu respuesta mediante

dos ejemplos.

3. Explica, de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender, para qué

sirven los paréntesis. Ilustra tu explicación con algunos ejemplos.

4. Subraya los programas en los que, si quitas los paréntesis, aún sigues obteniendo losmismos resultados. No debe haber ningún error en tus respuestas. Verifícalas usan-do tu calculadora.

5. Escribe los paréntesis que hacen falta de manera que los resultados sean correctos sihaces las operaciones en la calculadora. Verifica que no tengas ningún error en tusrespuestas.

(3 × B) + 5 3 × (A + 5) (C + 4) + C (D + D) × 3

(K — 2) ÷ 3 K — (2 ÷ 3) ( 2 + P) — 1 (R + 4) ÷ 5

• • • • • • • • • • • • • • •Construcción de programas VIIConstrucción de programas VII

074-081 11/25/02, 3:32 PM80


Construcción de programas VIIIConstrucción de programas VIII

Hice un programa que produce lo siguiente:

1. ¿Qué resultado va a dar la calculadora si el número de entrada es 8?

¿Y si escribo 10 como número de entrada? ¿Y si el número de entrada

es 70?


3. Intenta programar tu calculadora para que haga lo mismo. Una vez que lo hayaslogrado, escribe el programa que hiciste en el cuadro de abajo.

4. Ahora escribe otro programa que haga lo mismo. Una vez que lo hayas hecho,escríbelo en el cuadro de abajo.

5. ¿Puedes construir otros programas distintos que hagan lo mismo? Escríbelos abajo.

51ACTIVIDAD


1 4

1.5 6

3 12

5 20

• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

074-081 11/25/02, 10:01 AM81

82 p r e á l g e b r a9

• • • • • • • • • • • • • • • •

Construí un programa que hace lo siguiente:

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el número de entrada es 5?

¿Y si el número de entrada es 6? ¿Si el número de entrada es 15?


3. Intenta programar tu calculadora para que haga lo mismo. Una vez que lo hayaslogrado, pruébalo en tu calculadora y si funciona escríbelo en el cuadro de abajo.

4. Una alumna dice que el programa B B B B B + B B B B B ÷ 2 2 2 2 2 da los mismos resultados que el mío.

¿Estás de acuerdo con ella? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu

respuesta.

5. ¿Puedes escribir otro programa como el que ella hizo y que además produzca losmismos resultados que se muestran en la tabla? Pruébalo en tu calculadora. Si funcio-na, escríbelo en el cuadro de abajo.

6. ¿Puedes encontrar otros programas distintos que hagan lo mismo? Pruébalos en tucalculadora y si funcionan escríbelos abajo.

52ACTIVIDAD


2 3

4 6

8 12

10 15

Construcción de programas IXConstrucción de programas IX

082-089 11/25/02, 10:02 AM82

83s e g u n d o g r a d o 9

Analiza la tabla que se muestra a continuación.

1. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos resultados que mitabla? Prueba tu programa y, si funciona, escríbelo en el cuadro de abajo.

2. Un alumno dice que el programa (B (B (B (B (B + B) B) B) B) B) ÷ 8 8 8 8 8 produce los mismos resultados. ¿Estás

de acuerdo con él? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

3. ¿Puedes construir otro programa como el que hizo ese alumno y que produzca losmismos resultados de la tabla? Pruébalo en tu calculadora y, si funciona, escríbeloen el cuadro de abajo.

4. ¿Puedes construir otros programas distintos que hagan lo mismo? Pruébalos en tucalculadora y escríbelos abajo.

53ACTIVIDAD


1 0.25

2 0.5

3 0.75

4 1

6 1.5

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Construcción de programas XConstrucción de programas X

082-089 11/25/02, 10:02 AM83


•••••••••••••••••••••54ACTIVIDAD

Analiza los resultados que se muestran en la tabla

1. ¿Cuál va a ser el número de salida si el número de entrada es 5?

2. ¿Y si el número de entrada es 6? ¿Cuál es el número de entrada si

el número de salida es 20?

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos resultados? Unavez que lo hayas hecho, prueba tu programa y, si funciona, escríbelo en el cuadrode abajo.

4. ¿Puedes escribir otro programa que haga lo mismo? Una vez que lo hayas hecho,pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el cuadro de abajo.

5. Una alumna dice que el programa (R (R (R (R (R + R) R) R) R) R) ÷ 4 4 4 4 4 produce los mismos resultados. ¿Estás

de acuerdo con ella? ¿Puedes construir otros programas como el de

ella que produzcan los mismos resultados? Pruébalos en tu calculadora. Si funcio-

nan, escríbelos en los cuadros de abajo.


–1 –0.5

3 1.5

7.4 3.7

17 8.5

21 1.5

Construcción de programas XIConstrucción de programas XI

082-089 11/25/02, 10:02 AM84


Encuentra los números que faltan y completa la tabla.

1. Si el número de entrada es 12, ¿qué valor le corresponde?

¿Y si es 20? Si el número de salida es 60,

¿cuál será el número de entrada?

2. Un alumno dice que el programa P × 3 ÷ 2 produce los mismos resultados. ¿Estás de

acuerdo con él? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

3. Una alumna dice que el programa Q + Q ÷ 2 también produce los mismos resulta-

dos. ¿Estás de acuerdo con ella? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu

respuesta.

4. Construye otro programa que haga lo mismo. Una vez que lo hayas hecho, pruebatu programa en la calculadora y, si funciona, escríbelo en el cuadro de abajo.

5. ¿Puedes construir otros programas que produzcan los mismos resultados? Pruébalosen tu calculadora y, si funcionan, escríbelos en los cuadros de abajo.

55ACTIVIDAD


4 6

6 9

10 15

12

16 24

18

22 33

45

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Construcción de programas XIIConstrucción de programas XII

082-089 11/25/02, 10:02 AM85


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •56ACTIVIDAD

Llamaremos programas equivalentesprogramas equivalentesprogramas equivalentesprogramas equivalentesprogramas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados.

1. Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A × 1.

2. Un alumno dice que el programa A × 1 es equivalente al programa AAAAA. ¿Estás de

acuerdo con él? Escribe en tu calculadora el programa AAAAA y compara

los resultados con el programa A × 1. Escribe tus conclusiones a continuación.

3. Construye tres programas equivalentes al programa 3 × B. Pruébalos en tu calcula-dora y, si producen los mismos resultados, escríbelos a continuación.

4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa BBBBB.No debes tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.

A ÷ 2 + A ÷ 2 4 × B — 4 × B 5 × C — 4 × C B ÷ B 1 × D × 1

5. Subraya los programas que sean equivalentes al programa 1.5 × A. No debes tenererrores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.

3 × A ÷ 2 B × 3 ÷ 2 6 × C ÷ 4 2 × B — B ÷ 2 D + 0.5 × D

Programas equivalentesProgramas equivalentes

082-089 11/25/02, 10:02 AM86


57ACTIVIDAD

1. En las siguientes expresiones se ha usado una letra para representar un número quefalta. El objetivo es que en cada inciso encuentres el número que falta y que ningunaEl objetivo es que en cada inciso encuentres el número que falta y que ningunaEl objetivo es que en cada inciso encuentres el número que falta y que ningunaEl objetivo es que en cada inciso encuentres el número que falta y que ningunaEl objetivo es que en cada inciso encuentres el número que falta y que ningunade tus respuestas sea incorrecta. de tus respuestas sea incorrecta. de tus respuestas sea incorrecta. de tus respuestas sea incorrecta. de tus respuestas sea incorrecta. Usa la calculadora para verificar tus respuestas.

2. ¿Habrá manera de verificar que tus respuestas son correctas? Discute esto con tus

compañeros y anota el método que te parezca más eficaz.

3. Una alumna dice que el número que falta en 4 × d + 2 = 4 es 0.5. ¿Estás de acuerdo

con ella? ¿Por qué?

4. Otro alumno dice que el número que falta en 2 × c = 11 es 5.5, y una alumna dice

que es . ¿Quién de los dos tiene razón? ¿Los dos están equivocados? ¿Las dos

respuestas son correctas? Discute esto con tus compañeros y anota tus conclusiones.

ResumenA expresiones como las anteriores (por ejemplo, 3 × b + 2 = 14) las llamaremos ecuaciones,ecuaciones,ecuaciones,ecuaciones,ecuaciones,y a la letra que aparece en una ecuación la llamaremos incógnita. incógnita. incógnita. incógnita. incógnita. Podemos usar cual-quier letra del alfabeto para representar una incógnita.

En una ecuación puedes sustituir una incógnita con cualquier valor numérico, porejemplo, en la ecuación 3 × b + 2 = 14 podemos decidir que b valga 5, por lo que3 × b + 2 = 3 × 5 + 2 = 17. Sin embargo, la condición en esta ecuación es que el valornumérico de 3 × b + 2 sea 1414141414, por lo que b = 5 no es el número que buscamos.Observa que sólo cuando b = 4, 3 × b + 2 es igual a 14. Por esto, diremos que b = 4 esla solución solución solución solución solución de 3 × b + 2 = 14.

Incógnitas y ecuacionesIncógnitas y ecuaciones

112

a) b + 1.03 = 24.7 b) m — 1.67 = 30.25 c) p — 12.22 = 4.05

b = m = p =

d) 4.8 — r = 3.5 e) = 4 f) 5 × b — 1 = 29

r = n = b =

g) k — 1.5 = 6.2 h) 2 × c = 11 i) 3 × a + 1 = 121

k = c = a =

5.2n

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

082-089 11/25/02, 10:02 AM87


58ACTIVIDAD

1. ¿Puedes encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones? El objetivo consisteEl objetivo consisteEl objetivo consisteEl objetivo consisteEl objetivo consisteen que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. en que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. en que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. en que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. en que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. Verifica los resultados usando tucalculadora.

2. ¿Encontraste un método para resolver las ecuaciones anteriores? Descríbelo de

manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

3. Auxíliate de la calculadora para encontrar los números que faltan y comprobar quetus respuestas sean correctas. Anota en cada espacio las operaciones que hiciste.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Números perdidosNúmeros perdidos

a) 2 × a — = 1 b) 18 = 5 × a + 3 c) 27 = 18 × a + 9

d) — b = e) 3.4 = c + 1.2 f) d × 4 — =

g) 356 + 2 × x = 376 h) 457 = 25 + 2 × y i) 18 + 3 × y = 45

13

57

14

18

78

a) 2 + 3 × m = 2 × m + 7 b) 25 + 3 × y = 8 × y + 5

m = y =

c) 120 + 5 × p = 10 × p + 85 d) 18 × q — 1 = 0

p = q =

e) b3 — 120 = 5 f) b3 + 2 × b = 12

b = b =

g) 5x = 3125 h) 2x = 64

x = x =

082-089 11/25/02, 10:02 AM88


Ecuaciones con más de una solución IEcuaciones con más de una solución I59ACTIVIDAD

1. Una alumna dice que la ecuación x2 = 25 tiene dos soluciones: x1 = 5 y x2 = 5.

¿Estás de acuerdo con ella? ¿Por qué? Escribe tus conclusiones de manera que cual-

quiera de tus compañeros las pueda entender.

2. Un alumno encontró dos soluciones para la ecuación x2 + x = 0. ¿Tú también las

puedes encontrar? Escribe a continuación tu respuesta y explica que razonamiento

seguiste para resolver esa ecuación.

3. Otra alumna dice que encontró dos soluciones para la ecuación x2 + x = 20. Una es

x = 4 y la otra es x = –5. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Por qué? Escribe tus conclu-

siones y compáralas con las de tus compañeros.

4. Las siguientes ecuaciones tienen dos soluciones. Encuéntralas y verifica tus respues-tas usando la calculadora. No debe haber ningún error en tus respuestas.

x2 + 5 = 69 y2 = 400 a2 + 2 × a = 0

x1 = y1 = a1 =

x2 = y2 = a2 =

x2 — x = 90 a2 + 2 = 123 a2 — 7 = 93

x1 = a1 = a1 =

x2 = a2 = a2 =

c 2 — 3 × c = 10 d2 — 2 × d = 8 m2 + 3 × m = 70

c1 = d1 = m1 =

c2 = d2 = m2 =

• • • • • • • •

082-089 11/25/02, 10:02 AM89


Ecuaciones con más de una solución IIEcuaciones con más de una solución II60ACTIVIDAD

La solución de la ecuación 2 × y — 4 = 8, es y = 6, porque 2 × 6 — 4 = 8. ¿Estás deacuerdo en que 6 también es la solución de la ecuación 5 × a + 4 = 34

1. Construye otras tres ecuaciones distintas cuya solución también sea 6.

2. Construye tres ecuaciones distintas cuya solución sea y = –4.

3. Construye tres ecuaciones distintas cuya solución sea b = . Pide a uno de tus

compañeros que las resuelva para verificar tus respuestas.

4. Un alumno dice que x = 2 es la solución de la ecuación = x + 2.

¿Estás de acuerdo con él? Explica a continuación por qué.

5. Construye tres ecuaciones como la de la pregunta anterior que tengan por soluciónx = 2. Intercambia con algún compañero tus ecuaciones y resuélvanlas para queverifiquen que todas las ecuaciones que están proponiendo tienen por solución x = 2.

6. ¿Encontraste un método para construir ecuaciones a partir de una solución que ya cono-ces? Descríbelo de manera que cualquiera de tus compañeros pueda entenderlo.

• • • •

23

2 × (3x + 4)3

090-095 11/25/02, 10:02 AM90


61ACTIVIDAD

1. A las ecuaciones que tienen la misma solución se les llama ecuaciones equivalentes.ecuaciones equivalentes.ecuaciones equivalentes.ecuaciones equivalentes.ecuaciones equivalentes.

Por ejemplo, las ecuaciones 7 × y — 5 = 51 y 5 × m + 3 = 43 son equivalentes

porque ambas tienen la misma solución. ¿Cuál es?

2. De las siguientes ecuaciones encuentra las que son equivalentes. Justifica tus respuestas.

a) 4 (x + 12) + 7 = 87 b) 7 × 5 — 3 = 32 c) 12 + 4 × a = 14

d) 15 + 6 × y = 18 e) 2 × m + 11 = 15 f) 5 × b — 1 = 44

g) 28 — 5 × p = 3 h) 23 — 12 × r = 17 i) 21 + 8 × k = 25

j ) 3 × y + 1 = 0 k) 20 — 2 × m = 2 l) 42 + 4 × n = 62

3. Unos alumnos resolvieron las ecuaciones que se muestran a continuación. Revisa susrespuestas, si encuentras algunas incorrectas corrígelas y escríbelas.

Ecuaciones equivalentesEcuaciones equivalentes • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

a) 3 × a + 5 = 41, a = 12 b) 4 × p — 2 = 20, p = 7 c) 16 — r = 0, r = 16

d) 20 = , k = 4 e) 2 × n + 5 = 5, n = 0 f) = 3, a = 7

g) (b + 3) × 2 — 4 = 8, b = 3 h) 7 = , y = 9 i) = 9, a = 27

j) (2 × b + 3) × 5 — 1 = 34, b = 3 k) (2 + 3 × x) × 4 = 20, x = 1 l)

= 5, x = 3

5k

2 × a + 15

3 × y + 14

4 × a — 13

2 × x — 14 — x

090-095 11/25/02, 10:02 AM91


• • • • • • • • • • • • • • • • • • •62ACTIVIDAD

En esta hoja de trabajo te mostraremos la estrategia que usó Rodrigo para resolverecuaciones. Muy probablemente tú usaste alguna estrategia como la de Rodrigo cuan-do resolviste ecuaciones. Sin embargo, conocer otras formas de resolverlas enriquecerálo que ya sabes. Llamaremos tanteo y refinamiento a la estrategia que usó.

A Rodrigo se le pidió que resolviera la ecuación x2 — 9 = 55. La estrategia que empleóse describe a continuación:

• Empezó por preguntarse, ¿qué significa x 2? Su respuesta fue “x 2 representa uncierto número que se va a elevar al cuadrado”.

• Después, intentó varias veces, dándole valores a x. Primero probó con x = 5, yobtuvo que x 2 = 5 x 5 = 25. Pero 25 — 9 = 16, y el resultado que quería era 55.

• Entonces intentó con un número más grande, x = 9. Pero x 2 = 81, y 81 — 9 no da 55.• Finalmente encontró la solución: x = 8. Él estaba seguro de que ésa era la solución

porque 82 = 64 — 9 = 55. Como (–8)2 = (–8) × (–8) = 64, entonces tambiénx = –8 es solución de esa ecuación.

Al resolver ecuaciones en las anteriores hojas de trabajo, ¿pensaste de manera pare-

cida a Rodrigo? ¿Entendiste cuál era su estrategia?

Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las siguientes ecuaciones usando la misma estrategia.

Resolución de ecuacionespor tanteo y refinamientoResolución de ecuacionespor tanteo y refinamiento

a) x 2 + 15 = 31 b) x 2 + 31 = 40

c) y 3 — 10 = 54 d) y 4 — 1 = 15

e) p2 — 4 = 117 f) 67 = p2 + 18

090-095 11/25/02, 10:02 AM92


63ACTIVIDAD

En esta hoja de trabajo te mostraremos la estrategia que usó Mariana. A ella se le pidióque resolviera la ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59. Su estrategia consistió en ver laecuación como un todo completo e irla reduciendo sistemáticamente a una más senci-lla. A la estrategia de Mariana la llamaremos construcción de ecuaciones más simples.la forma en que ella razonó se describe a continuación.

Primero se preguntó qué significaba la expresión 5 × (a + 2), y se dio cuenta deque 5 × (a + 2) significa que a + 2 se debe multiplicar por 5. El problema es que ella nosabía cuál era el valor de a + 2. Después de algunos intentos encontró que no es difícilresolver esa ecuación. Y razonó como sigue:

• Como 5 × (a + 2) + 4 = 59, entonces 5 × (a + 2) debe valer 55, porque 55 + 4 = 59.Esto le permitió construir una ecuación más simple: 5 × (a + 2) = 55.

• De la misma manera encontró que (a + 2) debe valer la quinta parte de 55, es decir11. Eso le permitió reducir la aparentemente difícil ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59, auna mucho más sencilla: a + 2 = 11, cuya solución es a = 9.

1. Comprueba que a = 9 es la solución de la ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones usando el método de Mariana. Recuerda que nodebes tener errores en lo que escribas ya que siempre puedes comprobar antes tusrespuestas.

Reducción a ecuaciones más simplesReducción a ecuaciones más simples • • • • • • • • •

a) 4 (x + 12) + 7 = 87 b) 10 + 3 (y — 8) = 31

c) 34 — 2(a — 1) = 18 d) 7 (b + 3) — 5 = 51

e) 22 + = 28 f) + 13 = 16q — 34

p + 83

090-095 11/25/02, 10:02 AM93


64ACTIVIDAD

Gerardo y Silvia resolvieron la ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59 “deshaciendo” operacio-nes. Su estrategia consistió en usar operaciones inversas a las que se muestran en laecuación. La manera en que razonaron se describe a continuación.

• Primero notaron que si 5 × (a + 2) + 4 = 59, entonces el valor de 5 × (a + 2) lopodían obtener “deshaciendo sumar 4” a través de restar 4. Esto lo condujo a laecuación 5 × (a + 2) = 55.

• La ecuación 5 × (a + 2) = 55 para hacerla más sencilla “deshicieron” multiplicarpor 5, dividiendo entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a+ 2 es la quinta parte de 5 × (a + 2) y la quinta parte de 55 es 11.

• Por último resolvieron la ecuación a + 2 = 11, “deshicieron” sumar 2, restando 2.Así encontraron que a = 9 es la solución de la ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59.

¿Entendiste la estrategia que usaron Gerardo y Silvia? Si tu respuesta es afirmativa,resuelve las siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para rea-lizar esta actividad. Verifica las respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestascorrectas.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •“Deshacer” operaciones“Deshacer” operaciones

a) 7 (a — 8) + 25 = 39 b) 18 + 8 (b + 4) = 94

c) + 5 (b — 1) = d) — 2 = 5

e) 15 + = 22 f) + 5 =

g) — 6 = –2 h) + 12 = 17

x — 0.58

25

525

x — 82

y + 123

9316

4 (x — 5)3

5 (x — 3)7

090-095 11/25/02, 10:02 AM94


65ACTIVIDAD

1. Construye cuatro ecuaciones parecidas a la ecuación + 12 = I7. Una vezque las hayas resuelto y comprobado, pídele a un compañero o compañera que lasresuelva mientras tú resuelves las suyas. Gana el que resuelva las ecuaciones delotro sin cometer ningún error.

2. Inventa tres ecuaciones distintas que tengan como solución tu número de lista. Laprimera de tus ecuaciones no debe contener paréntesis, la segunda debe incluir pa-réntesis, la tercera debe incluir una barra de división y paréntesis, como las ecuacionesde los incisos g) y h) de la actividad anterior. Una vez que las hayas resuelto y com-probado pídele a un compañero que las resuelva y tú resuelve las suyas. Gana el queconstruya correctamente sus ecuaciones y resuelva las ecuaciones del otro sin come-ter ningún error.

3. Construye tres ecuaciones que tengan dos soluciones. Una vez que las hayas resuel-to y comprobado, pídele a un compañero o compañera que las resuelva. Gana elque resuelva las ecuaciones del otro sin cometer ningún error.

Las ecuaciones no son tan difícilesLas ecuaciones no son tan difíciles • • • • • • • • • • • • •

5 (x + 3)7

a) b) c) d)

a) b) c)

a) b) c)

090-095 11/25/02, 10:02 AM95

096-104 11/25/02, 10:03 AM96

Actividades tercer gradoActividades tercer gradoActividades tercer grado

096-104 11/26/02, 11:34 AM97

98 p u n t o s d e l a r e c t a9

• • • • • • • • • •

Activa el editor de ecuaciones de la calculadora (Y=) y escribe la ecuación y = 2x + 5.Para contestar lo que se pide a continuación, construye la gráfica de esa ecuaciónempleando el editor de gráficas (Graph).

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje y?

2. ¿Cuál es la relación que hay entre las coordenadas de ese punto y los valores numé-

ricos que aparecen en la ecuación y = 2x + 5?

3. Ahora construye la gráfica de la ecuación y = 3x — 4. ¿Cuáles son las coordenadas

del punto en que esa gráfica corta al eje y?

4. ¿Qué relación existe entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que

aparecen en la ecuación y = 3x — 4?

5. Una alumna dice que la gráfica de la ecuación y = 4x + 3 corta al eje de y en el

punto de coordenadas (x = 0, y = 3). ¿Lo que dice esa alumna es correcto? Justifica

tu respuesta.

6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica de la ecuación y = 3x corta

al eje y? ¿A qué crees que se deba que la gráfica pase

por ese punto?

7. Modifica la ecuación y = 3x para que su gráfica corte al eje y en el punto (x = 0,

y = 4.5). ¿Cuál es la ecuación que construiste?

66ACTIVIDAD

Un punto importante en una rectaUn punto importante en una recta

096-104 11/25/02, 10:03 AM98

99t e r c e r g r a d o 9

8. Inventa cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje y en el punto (x = 0, y = 5.7).Escribe las ecuaciones que inventaste en las líneas de abajo.

9. Un alumno de otra escuela dice que la gráfica de la ecuación y = 5x — 4 corta al ejey en el punto x = 0, y = 5. ¿Es correcto lo que dice ese alumno? Justifica tu respuesta.

10. Inventa cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje y en el punto (x = 0, y = –4).Escribe esas ecuaciones en las líneas de abajo.

Un punto importante en una recta• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

096-104 11/25/02, 10:03 AM99


67ACTIVIDAD

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Construye en la calculadora la gráfica de la ecuación y = 2x + 3.a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje y?

x= y=

b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje x?

x= y=

2. La pantalla donde se producen las gráficas en tu calculadora puede configurarse dedistintas maneras. Las siguientes figuras muestran la gráfica de la ecuación y = 2x + 3con distintas escalas en el eje y. Arriba de cada pantalla dice qué escala se empleópara producir cada gráfica. Por ejemplo, si ajustas la escala en el eje y como “yscl = 2”,significa que cada marca en el eje y vale 2 unidades.

a) ¿Qué diferencias observas en las gráficas?

b) ¿Las coordenadas del punto en que cortan al eje y son las mismas en todas las

gráficas?

¿Por qué parecen distintos los puntos en que cada gráfica corta al eje y?

Usa la tecla TRACETRACETRACETRACETRACE para verificar tus respuestas.

y

–3 1

3

1

–3

4x

Figura 1: yscl = 1

–4 –1 1

3

–3

4

Figura 3: yscl = 3

y

x

y

x–3 –1 1

2

4

–2

–4

3

Figura 2: yscl = 2

–3 112

4

y

x

Figura 4: yscl = 0.5

Cambio de escalaCambio de escala

096-104 11/25/02, 10:03 AM100


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Las gráficas que se muestran a continuación se hicieron usando una escala en la quecada marca en el eje y equivale a cinco unidades y cada marca en el eje x equivale ados unidades.

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la

gráfica de la figura 5 corta al eje y?


gráfica de la figura 5 corta al eje x?









7. Reproduce de manera exacta esas gráficas en tu calculadora. Verifica tus respuestas

usando la tecla TRACE. ¿Todas tus respuestas fueron correctas? Si tuviste alguna res-

puesta incorrecta explica por qué.

–4–6 2

15

5

–5

–15

4

y

x

Figura 5

–2–6 2

10

–10

6

y

x

Figura 6

–2–6 2

10

–10

6

y

x

Figura 7

68ACTIVIDAD

Más sobre escalas y gráficasMás sobre escalas y gráficas

096-104 11/25/02, 10:03 AM101


• • • • • • • • • • • • • • • •

Se le llama rango del editor de gráficas a los valores máximo y mínimo que podemosasignar tanto en el eje x como en el eje y.1. Activa la pantalla de tu calculadora que te muestra los valores mínimo y máximo con

los que está configurado el editor de gráficas. Completa la siguiente tabla con losvalores que tiene en este momento tu calculadora.

2. Construye la gráfica dela ecuación y = 2x + 3 yanota las coordenadasde los puntos en que lagráfica corta al eje x yal eje y.

3. Ahora configura el rango de tu calculadora con los valores que se muestran a conti-nuación y ve de nuevo la gráfica de la ecuación y = 2x + 3.

xmin = –20xmax = 20ymin = –30

ymax = 30

¿Qué ocurre cuando cambias el rango del editor de gráficas?

4. Construye en la calculadora las gráficas de las ecuaciones y = 2x + 30 y y = 40 — 3x.Esas gráficas se cortan en un punto, pero en este momento no puedes verlo.a) Ajusta de manera adecuada el rango y la escala de la pantalla del editor de

gráficas para que puedas ver en qué punto se cortan esas gráficas.b) Usa la tecla TRACE para encontrar las coordenadas del punto en que esas

gráficas se cortan. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección?

5. Construye una ecuación tal que su gráfica no se vea en la pantalla debido a la formaen que en este momento tienes definida la escala en el editor de gráficas y a losvalores máximos y mínimos asignados para x y y.

¿Cuál es la ecuación que construiste?

¿Cómo ajustarías el rango de tu calculadora para que se vea la gráfica?

xminxminxminxminxmin ===== xmin significa el mínimo valor en el eje x

xmaxxmaxxmaxxmaxxmax ===== xmax significa el máximo valor en el eje y

yminyminyminyminymin ===== ymin significa el mínimo valor en el eje y

ymaxymaxymaxymaxymax ===== ymax significa el máximo valor en el eje y

69ACTIVIDAD

El rango en el editor de gráficasEl rango en el editor de gráficas

096-104 11/25/02, 10:03 AM102


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

En la figura 8 se muestra la gráfica de la ecuación y = x. Constrúyela en tu calculadora.En la figura se han destacado algunos puntos. No tienes que reproducirlos, sólo sonpara auxiliarte en la lectura de la gráfica.

1. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos que se han

destacado en la gráfica?

2. ¿A qué crees que se deba que los valores de la primera y la segunda coordenadas

de esos puntos sean iguales?

3. En la figura 9 se muestra la gráfica de la ecuación y = 2x.

Constrúyela en tu calculadora. Para auxiliarte, se han

destacado algunos puntos de la gráfica. ¿Cuáles son

las coordenadas de esos puntos?

4. ¿Un alumno dice que en esa gráfica los valores de y son el doble de los valores de x?

¿Lo que dice es cierto? ¿Qué relación hay entre esto

y la gráfica construida usando la ecuación y = 2x?

5. Completa la siguiente tabla usando la ecuación y = 5x. ¿Qué relación hay entre los

valores de x y y?

6. Cuando localizamos las coordenadas de un punto contamos cuántas unidades “avan-

zas” sobre el eje x, y luego cuántas unidades “subes” sobre el eje y. Traza la gráfi-

ca de la ecuación y = 4x. ?Cuántas unidades “sube” la gráfica en el eje y por cada

unidad que “avanza” sobre el eje x?

¿Encuentras una relación entre lo que “sube“ y lo que “avanza“ la gráfica con la

ecuación y = 4x? ¿Cuál es esa relación?

Construye una gráfica en la que por cada unidad que “avance“ sobre el eje x,

“suba“ 1.5 unidades sobre el eje y. ¿Cuál es la ecuación que usaste para construir

esa gráfica?

x –2.5 –2 1.5 2 3 4.5

y

y

–3 –1–2

3

1

–4

41x

Figura 8

y

x

Figura 9

70ACTIVIDAD

Rectas que ˝crecen˝Rectas que ˝crecen˝

096-104 11/25/02, 10:03 AM103


D

0.50

C B

A

y

x

Figura 10y

x

Figura 11

• • • • • • • • •

En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en x y en y es 1.

1. ¿Cuál de las gráficas que se muestran en la figura

10 es la que “crece” más rápido?

2. ¿Cuál es la gráfica que “sube” más lento?

3. La figura 11 muestra la gráfica de la ecuación

y = 3x — 2. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica

sobre el eje y, mientras avanza desde x = 0 hasta

x = 1?

¿Cuántas unidades “sube” la gráfica mientras avan-

za desde x = 1 hasta x = 2?

4. ¿Qué relación hay entre esa ecuación y el número de unidades que sube la gráfica

en el eje y, respecto a lo que avanza por cada unidad sobre el eje x?

5. Construye lo que se indica en cada caso.

a) Dos gráficas que “crezcan” más rápido que la gráfica de y = x. ¿Cuáles son las

ecuaciones que usaste para construirlas?

b) Dos gráficas que “crezcan” menos rápido que y = x. ¿Cuáles son las ecuaciones

que usaste para construirlas?

c) Una gráfica que corte al eje y en el punto (x = 0, y = 3), y que suba 5.5 unidades por

cada unidad que avanza sobre el eje x? ¿Que ecuación usaste para construirla?

Compara tu respuesta con la de tus compañeros. Escribe tus

conclusiones a continuación.

d) Dos gráficas distintas que “crezcan” igual de rápido que y = 4x. ¿Cuáles son las

ecuaciones que usaste para construirlas?

71ACTIVIDAD

¿Qué gráficas “crecen” más rápido?¿Qué gráficas “crecen” más rápido?

f u n c i o n a l i d a d

096-104 11/25/02, 10:03 AM104

105 9t e r c e r g r a d o


1. ¿Puedes construir en tu calculadora una gráfica idéntica

a la que se muestra en la figura 12? ¿Qué ecuación usaste

para construirla?

¿Qué información obtuviste de la gráfica para encontrar

la ecuación que necesitabas?

2. Construye en tu calculadora tres gráficas idénticas a lasque se muestran en la figura 13.

¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?

3. Construye en tu calculadora tres gráficas idénticas a lasque se muestran en la figura 14.

¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?

4. ¿Encontraste una manera de obtener la ecuación que corresponde a cada gráfica?Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Figura 12

y

x

Figura 13

y

x

Figura 14

y

x

72ACTIVIDAD

¿Qué ecuaciones producenesas rectas?¿Qué ecuaciones producenesas rectas?

105-112 11/25/02, 10:04 AM105

1069 f u n c i o n a l i d a d

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •


La figura 15 muestra la gráfica de la ecuación y = –x + 2.

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje y?

2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x = 1 hasta x = 2?

3. Una alumna dice que esta gráfica “baja” cuando avan-

zas de izquierda a derecha sobre el eje de las x.

¿Estás de acuerdo con lo que ella dice?

¿Por qué?

4. La figura 16 muestra la gráfica de la ecuación y = –2x + 1. ¿Cuáles son las coorde-

nadas de los puntos A, B y C?

5. ¿Cuántas unidades avanzas sobre el eje x si te mue-

ves desde el punto A hasta el punto B?

6. ¿Cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje y cuan-

do te mueves desde A hasta B?

7. ¿Qué relación hay entre lo que “baja” la gráfica y su ecuación?

Figura 15

y

x

C

A

0.5

0.5

B

Figura 16

y

x

73ACTIVIDAD

Gráficas que “decrecen”Gráficas que “decrecen”

105-112 11/25/02, 10:04 AM106


• • • • • • • • • • • • •

Figura 12

y

x

A B

Figura 18

y

x

C

0.5

0.5

y

x

Figura 19

La figura 17 muestra la gráfica de la ecuación y = –x + 2.

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que

la gráfica corta al eje y?

2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x = 0 hasta

x = 2?

3. Una alumna dice que esta gráfica “baja” cuando avanzas desde x = 0 hasta x = 2.

¿Estás de acuerdo con lo que ella dice? Da un ejemplo que justifique tu

respuesta.

4. La figura 18 muestra la gráfica de la ecuación

y = –2x + 1. ¿Cuáles son las coordenadas de los

puntos A, B y C?

5. ¿Cuántas unidades avanzas sobre el eje de las x

si te mueves desde el punto A hasta el punto B?

(Observa que la escala en x es 0.5.)

6. ¿ Cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje y cuando te mueves desde A hasta B?

7. ¿Encuentras alguna relación entre lo que “baja” la gráfica con su ecuación? ¿Cuál

es esa relación?

8. Construye en la calculadora una gráfica que “baje”

como las anteriores y dibújala en el plano de la

derecha. ¿Qué ecuación usaste para construir esa

gráfica?

¿Cuántas unidades “baja” la gráfica sobre el eje

y cuando avanzas una unidad sobre el eje x?

9. ¿Qué relación hay entre lo que “baja” la gráfica y la ecuación que usaste?

74ACTIVIDAD

Más sobre gráficas que “decrecen”Más sobre gráficas que “decrecen”

105-112 11/25/02, 10:04 AM107


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Reproduce en tu calculadora cada una de las gráficas que se muestran en las siguien-tes figuras. Anota debajo de ellas las ecuaciones que usaste. La escala en x y en y es 1.

2. En las siguientes figuras sólo se marcaron algunos puntos. Construye en tu calculado-ra unas gráficas que pasen exactamente por esos puntos. Anota las ecuaciones queutilizaste en los espacios correspondientes.

Figura 20

y

xFigura 21

y

x

y

xFigura 22

y

xFigura 23

y

xFigura 24

y

xFigura 25

Figura 26

y

x

y

xFigura 27 Figura 28

y

x

y

xFigura 29

y

xFigura 30

y

xFigura 31

75ACTIVIDAD

Rectas y ecuacionesRectas y ecuaciones

105-112 11/25/02, 10:04 AM108


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Un estudiante de otra escuela construyó la fi-

gura 32. Reprodúcela en tu calculadora y

anota las ecuaciones que usaste.

2. Construye en la calculadora las gráficas de la

figura 33. Anota a continuación las ecuaciones

que usaste.

3. Construye las gráficas de la figura 34 y anota

las ecuaciones que usaste.

4. ¿Cuál es la información más importante que te proporciona la gráfica para encontrar

la ecuación que la produce en la calculadora? Explícalo de manera que cualquiera

de tus compañeros lo pueda entender.

Figura 32

Figura 33

Figura 34

CuadriláterosCuadriláteros76ACTIVIDAD

105-112 11/25/02, 10:04 AM109


77ACTIVIDAD

La figura 35 muestra la gráfica de la ecuación y =1. Construye en tu calculadora esagráfica y compárala con ésta.

1. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica si te mueves desde x =1 hasta x = 2?

2. ¿Cuántas unidades “baja” la gráfica si te mueves desde x = 3 hasta x = 5?

3. ¿Encuentras alguna relación entre la ecuación que produce esa gráfica y el hecho

de que no “suba” ni “baje”? ¿Cuál es esa relación?

4. Un alumno de otra escuela dice que esa gráfica no “crece” ni “decrece” porque “no

hay x en la ecuación”. Él dice que los valores de y no dependen de los valores de x.

¿Estás de acuerdo con lo que dice ese alumno? ¿Cuáles son tus

conclusiones?

5. Otro alumno dice que la ecuación y = 1 es equivalente a la ecuación y = 0 × x +1.

¿Estás de acuerdo con lo que ese alumno dice? ¿Por qué?

¿Cómo crees que afecta el cero en la ecuación respecto a lo que ves en su gráfica?

0.50.5

y

x

Figura 35

¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”?¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”?

105-112 11/25/02, 10:04 AM110

111 9

6. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = 2. ¿Qué efecto produce en

la gráfica el 2 que aparece en la ecuación?

7. Observa la ecuación y = 3x. Sin construir la gráfica, ¿puedes decir cuánto subirá esa

gráfica sobre el eje y por cada unidad que avanza sobre el eje x?

8. Observa la ecuación . ¿Qué efecto produce en la gráfica el número ?

Verifica tu respuesta construyendo la gráfica de esa ecuación.

9. Dibuja una gráfica que es una línea recta con las siguientes características: La gráfi-

ca sube 3.5 unidades en el eje y por cada unidad que avanza sobre el eje x. Ade-

más la gráfica corta al eje y en el punto (0, –2.5). ¿Cuál es la ecuación que corres-

ponde a esa gráfica?

¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”?• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

32y = x 3

2

105-112 11/25/02, 10:04 AM111


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Construye en la calculadora la gráfica de lassiguientes ecuaciones y dibújalas en el esquemade la derecha.

2. Un estudiante de otra escuela dice que con las tres ecuaciones anteriores obtiene

gráficas iguales, ¿estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.

3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota las expresiones queutilizaste.

4. En la figura 36 identifica las gráficas de las ecuaciones y = 1 y y = –1.5. ¿Puedes

construir gráficas de manera que el espacio entre las gráficas de y = 1 y y = –1.5 quede

prácticamente negro? Anota a continuación algunas de las ecuaciones que usaste.

Figura 36

y = 0x + 2 y = y = 2

y = y =

78ACTIVIDAD

Rectas horizontalesRectas horizontales

105-112 11/25/02, 10:04 AM112

t e r c e r g r a d o 113 9

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

En esta actividad aprenderás cómo puedes encontrar la ecuación de la recta que pasapor los puntos de una gráfica como la siguiente.

1. ¿Cuánto sube la gráfica sobre el eje y cuando avanzas desde x = 1 hasta x = 3?

La figura 37 muestra los dos puntos que nosinteresan y la gráfica de la ecuación y = 2x.

2. ¿Qué modificación hay que hacerle a laecuación y = 2x para construir una recta quepase por esos dos puntos? Comprueba turespuesta construyendo la nueva gráfica.

¿Qué ecuación usaste para lograr que la recta pase por los dos puntos dados?

3. Una alumna dice que esa gráfica sube 4 unidades en el eje y cuando avanza 2 uni-dades sobre el eje x. Por lo tanto la gráfica sube 2 unidades en y por cada unidadque avanza sobre x. Con base en eso, ella dice que la ecuación de la recta que pasapor esos dos puntos debe empezar con y = 2x, pero falta sumarle algo para que “sesuba” y no corte al eje y en el punto (0, 0).

¿Lo que ella dice es correcto? ¿Cuánto hay que sumar?

y

1 3 5

5

1x

La escala en x y en y es 1

y

1

5

1

5x

Figura 37

79ACTIVIDAD

Puntos, rectas y ecuacionesPuntos, rectas y ecuaciones

113-120 11/25/02, 10:04 AM113

t e r c e r g r a d o1149

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

y

1 2

8

2

5x

La escala en x es 1 y en y es 2

Figura 38

4. No todos los puntos que se muestran en la figura 38 están alineados.a) Primero ve qué coordenadas tienen los puntos que se dan y constrúyelos en tu

calculadora.b) Construye en la calculadora una recta que pase por el mayor número posible de

esos puntos. ¿Por cuántos pasa la recta que construiste?

¿Qué ecuación usaste?

Puntos, rectas y ecuaciones

f u n c i o n a l i d a d

113-120 11/25/02, 10:04 AM114


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Construye una recta que pase por elmayor número posible de los puntos quese muestran en la figura 39. ¿Qué ecua-ción usaste?

¿La recta que construiste pasa por más

puntos que las que construyeron tus com-

pañeros? ¿Puedes

mejorar tu ecuación?

¿Encontraste una nueva ecuación? ¿Cuál es?

2. Describe el método que usaste para construir una recta que pase por esos puntos.

3. Los siguientes datos muestran cómo ha crecido el número de habitantes de San Miguel.

Construye una gráfica de puntos que represente esos datos. Considera a 1974 comoel año 1; 1978 como el año 2, y así sucesivamente. Te puede ser útil expresar el númerode habitantes en unidades de millar, por ejemplo: 12 en lugar de 12000. Ajusta ade-cuadamente los valores máximos y mínimos de tu pantalla, y observa que así no hayvalores negativos en la tabla. Tu gráfica debe verse como la de la figura 40.

3. Si la población de San Miguel sigue creciendo a ese ritmo, ¿cuántos habitantestendrá en el año 2002? ¿Cuántos en el año 2010?

¿Cuántos habitantes tenía en 1966?

Año 1974 1978 1982 1986 1990 1994 1998

Habitantes 12000 15000 20000 24000 29000 31000 34000

y

x

Escala en x, 1. Escala en y, 2

Figura 39

y

x199019821974 1998

Figura 40

80ACTIVIDAD

Nubes de puntos y rectasNubes de puntos y rectas

113-120 11/25/02, 10:04 AM115

f u n c i o n a l i d a d1169

1. ¿En qué año se esperaría que San José y Teziulapan tengan el mismo número de

habitantes? Justifica tu respuesta.

2. ¿En qué año se esperaría que la población de San José sea mayor que la de

Teziulapan? ¿Por qué?

3. ¿Aproximadamente cuántos habitantes tenía San José en 1960?

Conforme a la manera en que ha venido aumentando esa población, ¿cuántos habi-

tantes tenía San José en 1955?

4. ¿Aproximadamente cuántos habitantes más tenía Teziulapan que San José en 1970?

5. Construye en tu calculadora dos rectas, una que pase por tantos puntos como seaposible sobre la gráfica de los datos de San José y la otra sobre los datos de Teziulapan.

¿Qué ecuaciones utilizaste para construir esas rectas?

• • • • • • • • • • • •

y

x

Figura 41

Las gráficas de la figura 41 muestran el número de habitantes de San José y de Teziulapan,de 1960 a 1990 en intervalos de cinco años. En San José ha venido creciendo lapoblación, pero en Teziulapan está disminuyendo drásticamente.

La escala en el eje y es 5, en el eje x es 1. Las unidades sobre el eje y están expresa-das en unidades de millar.

81ACTIVIDAD

Nubes de puntos y prediccionesNubes de puntos y predicciones

113-120 11/25/02, 10:04 AM116


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Nubes de puntos y predicciones

y

x

Figura 42

6. La figura 42 muestra los datos del movimiento de un automóvil entre las 8:00 y las

14:30 horas, en intervalos de media hora (eje x). La escala en el eje x es 0.5, y el

origen corresponde al 8. Los datos en el eje y corresponden a la posición del auto-

móvil en kilómetros recorridos. La escala en el eje y es 100.

¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil de las 8:00 a las 10:00?

¿Cuántos entre las 11:00 y las 14:00 horas? ¿En qué momento

retrocedió el automóvil? ¿Cuántos kilómetros retrocedió?

¿A cuántos kilómetros por hora viajó en promedio el automóvil

entre las 13:00 y las 14:30 horas? ¿Cuál es la velocidad

máxima que alcanzó durante todo el recorrido? ¿En qué inter-

valo alcanzó esa velocidad? ¿En qué intervalo viajó más

despacio el automóvil? ¿A qué velocidad viajó durante

ese tiempo?

113-120 11/25/02, 10:04 AM117


En México se usa la escala en grados centígrados para medir la temperatura y en otrospaíses se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalenciasentre esas escalas.

1. Usa los datos de esa tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representalos valores en grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados centígrados.

2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime

a ellos? ¿Qué tipo de gráfica construirías?

¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica?

3. Usa la ecuación que construiste para completar la siguiente tabla y compara losvalores que obtuviste con la tabla de valores dados.

Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tablaque se te dio, ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación.

¿Obtuviste una nueva ecuación? ¿Cuál es?

4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.

a) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit?

b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen –12 grados Fahrenheit?

c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados?

d) El agua hierve a 100 °C, ¿a qué temperatura hierve el agua si la medimos en

grados Fahrenheit?

• • • • • • • •

Fahrenheit –13 –4 5 32 100

Centígrados –25 –20 –15 0 37.77

x (Fahrenheit) –13 –4 5 32 100

y (centígrados)

82ACTIVIDAD

¿Grados Fahrenheit o centígrados?¿Grados Fahrenheit o centígrados?

113-120 11/25/02, 10:04 AM118


5. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias notables?

¿A qué crees que se deban?

6. ¿Podrías usar los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta actividad para

encontrar una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit

a grados centígrados? ¿Cómo lo harías?

Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F =

¿Grados Fahrenheit o centígrados?• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

113-120 11/25/02, 10:04 AM119


Un automóvil viaja a velocidad constante. En eleje y se muestra la distancia en metros que reco-rre. En el eje x se registró el tiempo del recorridoen intervalos de 2 segundos.

Escala en el eje x: 1Escala en el eje y: 2

Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica.1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil?

2. ¿Cuántos metros había recorrido el automóvil después de 2 segundos?

3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos?

¿Y de 7 segundos?

4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros?

¿Cuánto en recorrer 110 metros?

5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste para

construirla?

¿Qué hiciste para encontrar la ecuación?

6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas.

a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante

2 minutos? ¿En una hora? ¿En una hora

y 20 minutos?

b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros?

c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil?

¿Qué hiciste para responder esta pregunta?

7. Un alumno dice que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento del

automóvil? ¿Estás de acuerdo con lo que dice? ¿Por qué?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

y

x

Figura 43

83ACTIVIDAD

¿No podría ir más rápido?¿No podría ir más rápido?

113-120 11/25/02, 10:04 AM120


• • • • • • • •

Peso en la Peso en laTierra Luna(kg) (kg)

2

1

8

12

3.5

La figura 44 muestra una gráfica que corresponde a la relación entre el peso de un objetoque está en la Tierra y el peso que le correspondería si estuviera en Marte. Como sabes,las diferencias se dan debido a la diferente fuerza de gravedad de estos planetas.

1. Completa la siguiente tabla de acuerdo con los datos que proporciona la gráfica.

2. Construye la gráfica en tu calculadora. Anota la ecuación que utilizaste en el siguienterecuadro y explica cómo la encontraste.

Peso en la Tierra (kg)

Peso

en

Marte

(kg)

2

5

3

1

4 6 8 10 12 14

Figura 44

84ACTIVIDAD

¿Mi peso es distinto en otro planeta?¿Mi peso es distinto en otro planeta?

121-130 11/25/02, 10:05 AM121


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

3. Recorre con TRACE la gráfica que construiste y comprueba que pasa por los mismospuntos que la gráfica de arriba.

4. ¿Cuánto pesa en Marte un objeto que pesa 6.25 kg en la Tierra?

5. ¿Cuánto pesa en Marte un objeto que pesa 25 kg en la Tierra?

6. ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que pesa 5 kg en Marte?

7. ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que pesa 0.5 kg en Marte?

8. Describe cómo razonaste para contestar las preguntas 6 y 7.

¿Mi peso es distinto en otro planeta?

121-130 11/25/02, 10:05 AM122


1. La siguiente gráfica representa la relación entre el peso que tiene un objeto que estáen la Tierra y el peso que le correspondería si estuviera en Saturno.

2. Completa la siguiente tabla de acuerdo con los datos que proporciona la gráfica.

3. Construye la gráfica en tu calculadora. Anota la ecuación que utilizaste en el espacioy explica abajo cómo la encontraste.

Peso en la Tierra (kg)

Peso

en

Saturno

(kg)

2

16

8

12

20

4

4 6 8 10 12 14 16

Figura 45

Peso en la Peso enTierra Saturno(kg) (kg)

2

4

12.5

6

20

• • • • • • • • • • • •85ACTIVIDAD

¿Cuánto peso si estoy en Saturno?¿Cuánto peso si estoy en Saturno?

121-130 11/25/02, 10:05 AM123


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

4. Responde lo que se te pide a continuación.

a) ¿Cuál es el peso en Saturno de una persona que en la Tierra pesa 40 kg?

b) ¿Cuál es el peso en Saturno de una sandía que en la Tierra pesa 3 kg?

c) ¿Cuál es el peso en la Tierra de una bolsa de papas que en Saturno pesa 1.5 kg?

d) ¿Cuál es el peso en la Tierra de una bolsa de azúcar que en Saturno pesa 6.25 kg?

e) ¿Cuántas veces es mayor la atracción de la fuerza de gravedad en Saturno que

en la Tierra?

¿Existe alguna relación entre los números que aparecen en la ecuación que

construiste y la relación entre la fuerza de gravedad de Saturno y la Tierra?

¿Cuál es esa relación?

¿Cuánto peso si estoy en Saturno?

121-130 12/4/02, 5:50 PM124


La siguiente ecuación permite calcular el tiempo que tardan los estudiantes en desalojarsu escuela durante un simulacro.

y = –5x + 400

1. Usa esa ecuación para construir una gráfica en la calculadora, ajusta el RANGO demanera que se puedan ver las intersecciones de la gráfica con los ejes vertical yhorizontal del plano cartesiano y reprodúcela “a mano” a continuación.

2. Responde las siguientes preguntas y justifica claramente tus respuestas.

a) ¿Cuántos estudiantes había dentro de la escuela antes del simulacro?

Justificación.

b) ¿Cuántos estudiantes estaban aún dentro de la escuela cuando habían transcurri-

do 30 segundos del simulacro?

Justificación.

c) ¿Cuántos estudiantes estaban dentro de la escuela cuando habían transcurrido

55 segundos del simulacro?

Justificación.

d) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes?

Justificación.

e) ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela?

Justificación.

Tiempo (segundos)

Número

de

estudiantes

dentro

de la

escuela

20

400

300

100

200

40 60 80 100

Figura 46

86ACTIVIDAD

¿Una ecuación para desalojarla escuela?¿Una ecuación para desalojarla escuela?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

121-130 11/25/02, 10:05 AM125

l e y e s d e l o s e x p o n e n t e s1269

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Teclea en tu calculadora la expresión a2 × a3 y presiona la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER. La calculadoradesplegará una pantalla como la siguiente:

Ahora teclea la expresión a4 × a2 y presiona la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER. La calculadora desplega-rá una pantalla como la siguiente:

1. Observa los resultados que da la calculadora y explica a continuación qué es lo que

hace la máquina para efectuar esas operaciones.

2. Construye cuatro multiplicaciones como las anteriores de manera que el resultado

sea a9. Comprueba tus respuestas usando la calculadora. Una vez que estés seguro

que tus respuestas son correctas, anótalas en los renglones de abajo.

3. Construye 10 multiplicaciones como las anteriores de manera que el resultado sea

a13. Comprueba tus respuestas usando la calculadora. Una vez que estés seguro que

tus respuestas son correctas, anótalas en los renglones de abajo.

87ACTIVIDAD

Leyes de los exponentes ILeyes de los exponentes I

121-130 11/25/02, 10:05 AM126


Teclea en la calculadora la expresión a3 × b2 × a5 × b8 y presiona la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER. Lacalculadora desplegará una pantalla como la siguiente:

1. Explica qué hizo la calculadora para realizar la operación a3 × b2 × a5 × b8. Discute

tu respuesta con tus compañeros y escribe tus conclusiones en los siguientes renglones.

2. Construye 10 multiplicaciones como las anteriores de manera que el resultado encada una sea a10b9. Comprueba tus respuestas usando la calculadora, no debestener ningún error.

3. Completa las siguientes expresiones de manera que al realizar las operaciones seobtenga el resultado que se indica.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

a) a7 × ___________ = a16 b) b8 × ____________= a2 c) m9 × ____________ = m10

d) a7 × ___________= a2b3 e) a3b6 × __________= a4b7 f) m9 × ___________ = m

g) m15n10 × ________= mn h) m10n8 × __________= m–3n–2 i) m–4n–3 × ________ = m–6n–5

j) a7b8 × _________= ab k) m–6n4 × __________= m0n0 l) p7q–4 × _________ = pq

m) a1/3b1/4 × _______= a2/3b1/2 n) a3/4b1/5 × ________= a1/2 o) p1/5q2/3 × ________ = pq

88ACTIVIDAD

Leyes de los exponentes IILeyes de los exponentes II

121-130 11/25/02, 10:05 AM127

l e y e s d e l o s e x p o n e n t e s1289

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •89ACTIVIDAD

Teclea en la calculadora la expresión a7 ÷ a5 y presiona la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER. Se desplegaráuna pantalla como la siguiente:

1. ¿Qué hizo la calculadora para efectuar esa división? Discute tus conclusiones con tus

compañeros y escríbelas en los siguientes renglones.

2. Construye cinco divisiones como la anterior de manera que obtengas como resultado a4.

Comprueba tus respuestas usando la calculadora y anótalas en los siguientes renglones.

3. Teclea en la calculadora la expresión (a8 × b4) ÷ (a2 × b3) y presiona la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER.

La calculadora desplegará una pantalla como la siguiente.

¿Qué operaciones hizo la calculadora para efectuar esa división? Discute tus conclu-

siones con tus compañeros y anótalas en los siguientes renglones.

Leyes de los exponentes IIILeyes de los exponentes III

121-130 11/25/02, 10:05 AM128


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

1. Construye cinco divisiones de manera que en cada una obtengas como resultadoa4b2. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y anótalas en los siguientesrenglones.

2. Teclea en la calculadora la expresión a–5 y presiona la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER. Se desplegaráuna pantalla como la siguiente:

3. Teclea en la calculadora cuatro expresiones distintas de manera que al presionar la

tecla ENTERENTERENTERENTERENTER obtengas como resultado para cada una de ellas. Escribe en los

siguientes renglones las expresiones que construiste.

4. Teclea en la calculadora cinco expresiones distintas de manera que al presionar la

tecla ENTERENTERENTERENTERENTER obtengas como resultado la expresión . Escribe las expresiones que

construiste en los siguientes renglones.

5. Teclea en la calculadora la expresión (a4 × b3) ÷ (a7 × b9). ¿Qué resultado obtienes

después de presionar la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER?

Construye otras cinco divisiones como las anteriores de manera que obtengas elmismo resultado. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y anótalas en lossiguientes renglones.

1a 7

1a 5b 4

90ACTIVIDAD

Leyes de los exponentes IVLeyes de los exponentes IV

121-130 11/25/02, 10:05 AM129

r e v i s i ó n d e á l g e b r a1309

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Teclea en la calculadora la expresión a + a y presiona la tecla ENTERENTERENTERENTERENTER. La calculadoradesplegará una pantalla como la siguiente:

1. Observa el resultado que dio la calculadora y teclea otras cuatro sumas distintas de

manera que el resultado sea 2a. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y

escríbelas en los siguientes renglones.

2. Teclea en la calculadora la expresión a2 + 3a + 5 + 7a2 + 6a — 9 y presiona la teclaENTERENTERENTERENTERENTER. La calculadora desplegará una pantalla como la siguiente:

Revisa el resultado que dio la calculadora y explica cómo realizó la operación que

tecleaste. Discute tus conclusiones con tus compañeros y anótalas en los siguientes

renglones.

3. Construye 10 sumas distintas de manera que el resultado de cada una sea la

expresión 2a2 — 3a + 6. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y anótalas en

los siguientes renglones. No debes tener ningún error.

91ACTIVIDAD

Suma con polinomiosSuma con polinomios

121-130 11/25/02, 10:05 AM130

AnexoAnexoAnexo

131-144 11/26/02, 11:34 AM131

a n e x o1329

1. Para ejecutar correctamente la operación 5 5 5 5 5 + 2 2 2 2 2 × 6 6 6 6 6 es necesario:

a) Sumar primero 5 y 2, y al resultado de esto multiplicarlo por 6

b) Multiplicar primero 2 por 6, y al resultado de esto sumarle 5

c) Multiplicar 5 por 2, y al resultado de esto multiplicarlo por 6

d) Sumar 5 y 2, y al resultado de esto sumarle 6

e) Ninguna de las anteriores

2. Para realizar correctamente la operación (7 (7 (7 (7 (7 — 5) 5) 5) 5) 5) × 3 3 3 3 3, es necesario:

a) Hacer primero 7 — 5, y al resultado de esto multiplicarlo por 3

b) Hacer primero 5 × 3, y este resultado restárselo a 7

c) Multiplicar 7 × 3 y al resultado de esto sumarle 5 × 3

d) Hacer primero 7 × 3, y restarle 5 a este resultado

e) No importa el orden en que se hagan las operaciones, el resultado es el mismo

3. El resultado de efectuar la operación 2222233333 es:

a) 6 b) 5 c) 12 d) 8 e) Ninguno de los anteriores

4. Los divisores de 1212121212 son:

a) 12 y 6 y 1 b) 12, 6 y 1 c) 12, 2 y 1 d) 2, 3, 4, 6 y 12

e) Ninguno de las anteriores

5. El mayor número entero que divide a 18 18 18 18 18 y a 30 30 30 30 30 sin dejar residuo es:


6. El menor número entero que puede dividirse entre 12 12 12 12 12 y 30 30 30 30 30 sin dejar residuo es:


7. Un múltiplo de 14 14 14 14 14 y 5 5 5 5 5 que está entre 500 500 500 500 500 y 600600600600600 es:


Examen: T1-92 001

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Calculadoras. Primer gradoCalculadoras. Primer grado

131-144 11/25/02, 3:32 PM132

p r i m e r g r a d o 133 9

8. De los siguientes números, los que tienen exactamente cuatro divisorescuatro divisorescuatro divisorescuatro divisorescuatro divisores son:

a) 27 y 6 b) 4 y 8 c) 10 y 16 d) 15 y 20 e) Ningunos de los anteriores

9. ¿En qué inciso se muestran dos números que están entre 3.45 3.45 3.45 3.45 3.45 y 3.46 3.46 3.46 3.46 3.46?

a) 3.408 y 3.409 b) 3.400 y 3.450 c)3.470 y 3.490 d) 3.457 y 3.459

e) Ningunos de los anteriores

10. El número que falta en la operación 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 + 3.28 3.28 3.28 3.28 3.28 + xxxxx = 4.79 4.79 4.79 4.79 4.79 es:

a) 0.24 b) 3.52 c) 1.51 d) 4.55 e) Ninguno de los anteriores

11. El número que falta en la operación + xxxxx = es:

a) b) c) d) e) Ninguno de los anteriores

12. Una fracción equivalente a es:

a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores

13. Una fracción equivalente a es:

a) b) c) d) × 2 e) Ninguna de las anteriores

14. El siguiente rectángulo representa una pieza de papel que se ha dividido en algunas

partes, la fracción correspondiente al rectángulo sombreado es:

a) b) c) d) e)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

56

53

19

912

46

24

615

910

4 + 39 + 3

7777799999

3333355555

49

4 —19 — 3

4 × 59 × 5

4444499999

23

26

212

28

248

2222233333

Calculadoras (primer grado)

131-144 11/25/02, 3:32 PM133

a n e x o1349

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

15. Unos estudiantes salieron de excursión y llegaron a su destino después de tres días.

Durante el primer día recorrieron una cuarta parte del camino. El segundo día reco-

rrieron la mitad de lo que les faltaba, y el tercer día recorrieron los 120 km que les

faltaban. De acuerdo con lo anterior, la distancia total que recorrieron fue:

a) 320 km b) 240 km c) 360 km d) 480 km


16. Entre Juan y Mariana obtuvieron $ 270.00$ 270.00$ 270.00$ 270.00$ 270.00 en una colecta para ayuda a damnifi-

cados por un huracán. Juan recolectó partes de ese total. Una operación que

permite saber cuánto recolectó Juan es:

a) b) c) × 270 d) × 270


35

2703

2705

53

3333355555

Calculadoras (primer grado)

131-144 11/25/02, 3:32 PM134


1. Para ejecutar correctamente la operación 5 5 5 5 5 + 2 2 2 2 2 × 6 6 6 6 6 es necesario:

a) Sumar primero 5 y 2, y al resultado de esto multiplicarlo por 6

b) Multiplicar primero 2 por 6, y al resultado de esto sumarle 5

c) Multiplicar 5 por 2, y al resultado de esto multiplicarlo por 6

d) Sumar 5 y 2, y al resultado de esto sumarle 6


2. Para realizar correctamente la operación (7 (7 (7 (7 (7 — 5) 5) 5) 5) 5) × 3 3 3 3 3, es necesario:

a) Hacer primero 7 — 5, y al resultado de esto multiplicarlo por 3

b) Hacer primero 5 × 3, y este resultado restárselo a 7

c) Multiplicar 7 por 3, y al resultado de esto sumarle 5 × 3

d) Hacer primero 7 × 3, y restarle 5 a este resultado

e) No importa el orden en que se hagan las operaciones, el resultado es el mismo

3. Observa la siguiente tabla:

Una expresión que permite obtener los valores que se muestran en la tabla es:

a) 2 × a + 3 b) 2 × a + 1.5 c) 3 × a — 1 d) 3 × a + 1


4 2.5 3.5 5 9 10.5 12

11 6.5 9.5 14 26 30.5 35

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Calculadoras. Segundo gradoCalculadoras. Segundo grado

Examen: T1-92 002

131-144 11/25/02, 3:32 PM135

a n e x o1369

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

4. La tabla que se puede producir usando la expresión a a a a a + 5 5 5 5 5 × 4 4 4 4 4 es:


5. La opción en la que todastodastodastodastodas las expresiones son equivalentesequivalentesequivalentesequivalentesequivalentes es:

a) 7b — 3b + 4; 5b + 4 + 2b; b + 6b + 4

b) 3x — 2 — x; x + 2x + 2; 5x — 3x + 2

c) 6r + 3 — r; 7r — r + 3; 4r — r + 2r

d) 5y — 6 + 2y; 6 + 7y; 4y + 3y — 6


6. El número que falta en la operación 3 3 3 3 3 × yyyyy + 5 5 5 5 5 = 26 26 26 26 26 es:


7. El número que falta en la operación 3 3 3 3 3 × aaaaa + 5 5 5 5 5 = 26 26 26 26 26 es:

a) 10 b) 5 c) 4 y 3.5 d) 8 y 9.5 e) Ninguno de los anteriores

Calculadoras (segundo grado)

b) 1 3 5 7 9

21 23 25 27 29

c) 1 3 5 7 9 20 60 100 140 180

d) 1 3 5 7 9 10 12 14 16 18

a) 1 3 5 7 9

131-144 11/25/02, 3:32 PM136

24 22 36 48 56


: : : :

::

8. La expresión que invierte lo que hace 7 7 7 7 7 × mmmmm es:

a) 7 — m b) m — 7 c) m 7 d) 7 m e) Ninguna de las anteriores

9. La expresión que invierte lo que hace 2 2 2 2 2 × aaaaa + 1 1 1 1 1 es:

a) a 2 — 1 b) a — 1 2 c) (a 2) — 1 d) (a — 1) 2


10. Si aaaaa = ----------55555, el valor numérico de la expresión aaaaa22222 + aaaaa — 1 1 1 1 1 es:

a) 19 b) –31 c) 29 d) –30 e) Ninguno de los anteriores

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Calculadoras (segundo grado)

131-144 11/25/02, 3:32 PM137

a n e x o1389

1. ¿En cuál de las siguientes expresiones el resultado es correcto?

a) 2 + 8 — 5 × 4 = 20 b) 2 + (8 — 5 × 4 ) = 14

c) 2 + 8 — 5 × 4 = 14 d) 2 + (8 — 5) × 4 = 14

e) (2 + 8) — 5 × 4 = 20

2. Una expresión que permite completar la siguiente tabla es:

a) + 2 b) + 0.6 c) d) e) 2a + 1

3. Una expresión equivalente de 77777bbbbb es:

a) 6b + 1 b) 3 + 4b c) –b + 8b d) 8b — 1 e) [5b — 12b]

4. Un comerciante vende su mercancía en $ 5.00$ 5.00$ 5.00$ 5.00$ 5.00 más que el doble de lo que a él le

cuesta. Si vende unos calcetines en $ 35.00$ 35.00$ 35.00$ 35.00$ 35.00, ¿en cuánto los compró?

a) $10 b) $15 c) $30 d) $12.50 e) Ninguna de las anteriores

5. Observa la siguiente sucesión de figuras. ¿Cuántos cuadros tendrá la figura que

está en el lugar número 15?

a) 225

b) 30

c) 198

d) 300


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

----------11 ----------5 4 7 10 13

----------3 ----------1 2 3 4 5

a3

a3

a+23

a — — — — — 23

Calculadoras. Tercer gradoCalculadoras. Tercer grado

Examen: T1-92 003

131-144 11/25/02, 3:32 PM138


y

x

P

6. ¿Qué número se encuentra en el lugar 5555555555 en la 3, 7, 11, 15, 19, ...?

a) 154 b) 220 c) 221 d) 155 e) 219

7. Las coordenadas del punto PPPPP son:

a) (–3, --3)

b) (--3, 3)

c) (3,–3)

d) (3, 3)


8. Las coordenadas del punto RRRRR son:

a) (----------4,0)

b) (0,----------4)

c) (0,4)

d) (4, 0)


9. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa la gráfica de la ecuación y = ?

a) (1, 2) b) (2, 2) c) (3, 2) d) (3, 3) e) Ninguno de las anteriores

10. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa la gráfica de la ecuación y y y y y = –3 –3 –3 –3 –3 — y y y y y?

a) b)

y

x

R

x

y

(30 — 3×)7

x

y

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Calculadoras (tercer grado)

131-144 12/4/02, 5:51 PM139

a n e x o1409

11. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la ecuación yyyyy = 2 2 2 2 2xxxxx + 4 4 4 4 4?

a) A

b) B

c) C

d) D


12. El precio de un auto nuevo es cuatro veces mayor que el de un auto usado. Si

x representa el precio de un auto nuevo y y el de un auto usado, ¿cuál de las

siguientes expresiones es verdadera?

a) x = 4y b) x — y = 4 c) y = 4x d) x = y + 4


e)

x

y

x

y

D AB C

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Calculadoras (tercer grado)

x

y

c) d)

x

y

131-144 12/4/02, 5:51 PM140


4

4

13. Una hoja de cartón rectangular tiene el doble de largo que de ancho. Se corta un

cuadrado de 4 cm de lado en cada esquina, y los lados se doblan hacia arriba

para formar una caja. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el volu-

men de la caja?

a) (a)(2a)(4)

b) (a + 2a)(4)

c) (a)(2a)(4)(4)

d) (2a — 4)(a — 4)(4)

e) (2a — 8)(a — 8)(4)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Calculadoras (tercer grado)

131-144 12/4/02, 5:51 PM141

131-144 11/25/02, 3:32 PM142

131-144 11/25/02, 3:32 PM143

De los números al álgebra en secundariamediante el uso de la calculadora

se imprimió por encargo de la Comisión Nacionalde Libros de Texto Gratuitos

en los talleres decon domicilio en

el mes de de 2002.El tiraje fue de 10000 ejemplares

más sobrantes de reposición.

EMAT/ALGEBRA/SEC/P-131-144.PM7 12/10/02, 5:54 PM144

EMAT/ALGEBRA/SEC/P-001-022.PM7 1 12/10/02, 5:53 PM

Documents

Transcript of EMAT/ALGEBRA/SEC/P-001-022.PM7 1 12/10/02, 5:53 PM