*Sistema de Ecuaciones

Matemática Básica

La señora Rosa fue al mercado a comprar 3Kg. de manzana y 2 Kg. de fresa. Ella llevó S/.21 y cuando quiso pagar, le dijeron que faltaban S/.6 para el pago de ambos productos. Entonces, la señora decidió llevar 2Kg. de manzana y 2Kg. de fresa y la vendedora le dio S/.1 de vuelto. ¿Cuánto costaba el Kg. de manzana y de fresa?

3𝑥 + 2𝑦 = 27

2𝑥 + 2𝑦 = 20

Supongamos que: Precio de cada kilogramo de manzana es "𝑥" Precio de cada kilogramo de fresa es "𝑦"

Sistema de Ecuaciones Lineales con dos variables

Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es la unión de dos o más ecuaciones lineales con dos incógnitas; es decir, no deben aparecer variables con exponente mayor que 1.

Ejemplo:

14𝑥2 − 21𝑦 = 35

13𝑥 + 18𝑦2 = 31

Es un Sistema de Ecuaciones lineales

No es un Sistema de Ecuaciones lineales porque aparece el exponente 2 en algunas variables.

14𝑥 − 21𝑦 = −713𝑥 + 18𝑦 = 31

Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales

La solución de un sistema de ecuaciones lineales está conformada por aquel grupo de valores que se le da a las incógnitas y que, al reemplazarse, cumplen simultáneamente todas las ecuaciones que lo conforman.

Ejemplo: 14𝑥 − 21𝑦 = −713𝑥 + 18𝑦 = 31

Dada el sistema

Tenemos que, si reemplazamos 𝑥 = 1 𝑦 = 1, las dos ecuaciones lineales se cumplirían simultáneamente.

Por lo tanto 𝑥 = 1 𝑦 = 1 es una solución para este sistema de ecuaciones lineales.

Métodos de Resolución

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, pero nosotros solo estudiaremos los siguientes:

1. Método de Igualación.

2. Método de Sustitución.

3. Método de Reducción o Eliminación.

4. Método Gráfico.

Método de Igualación

Paso 1:

Paso 2: Se igualan las ecuaciones obtenidas al haber despejado la variable; y se obtiene una ecuación lineal con una sola variable.

Despejamos, de cada una de las ecuaciones, la misma variable.

Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto encontramos el valor de la variable que intervino. Luego se reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y con esto se obtiene el valor de la otra variable.

Este método consta de los siguientes pasos:

Paso 4: Se verifican las respuestas.

× 2 Igualando

Método de Igualación

Ejemplo:

7𝑥 − 2𝑦 = 204𝑥 + 𝑦 = 5

Determine la solución del siguiente sistema:

Solución:

7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)

4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)

−2𝑦 = 20 − 7𝑥 𝑦 = (20 − 7𝑥)

2 𝑦 =

−(20 − 7𝑥)

2

− 𝑦 =

20 − 7𝑥

−2 −2 𝑦 = 20 − 7𝑥 𝑦 =

−20 + 7𝑥

2 … (3)

𝑦 = 5 − 4𝑥 … (4)

−20 + 7𝑥

2

= 5 − 4𝑥

−20 + 7𝑥

2 = 5 − 4𝑥 −20 + 7𝑥 = 2(5 − 4𝑥)

−20 + 7𝑥 = 10 − 8𝑥 15𝑥 = 30 𝑥 = 2

Reemplazando en (4)

𝑦 = 5 − 4𝑥

𝑦 = 5 − 4𝑥

2

𝑦 = 5 − 4(2) 𝑦 = −3

𝑥 = 2; 𝑦 = −3 La solución del sistema es:

Método de Sustitución

Paso 1:

Paso 2: Se sustituye esta nueva ecuación en la que no utilizamos para despejarla.

Despejamos una variable, pero solo, de una de las ecuaciones.

Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto encontramos el valor de la variable que intervino. Luego se reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y con esto se obtiene el valor de la otra variable.

Este método consta de los siguientes pasos:

Paso 4: Se verifican las respuestas.

Reemplazando en (1)

Método de Sustitución

Ejemplo:

7𝑥 − 2𝑦 = 204𝑥 + 𝑦 = 5

Determine la solución del siguiente sistema:

Solución:

7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)

4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)

𝑦 = 5 − 4𝑥 … (3) 5 − 4𝑥

7𝑥 − 2𝑦 = 20

7𝑥 − 2𝑦 = 20 7𝑥 − 2(5 − 4𝑥) = 20 7𝑥 − 10 7𝑥 − 10 + 8𝑥 7𝑥 − 10 + 8𝑥 = 20

15𝑥 = 30 𝑥 = 2 2

Reemplazando en (3) 𝑦 = 5 − 4𝑥 𝑦 = 5 − 4(2) 𝑦 = −3

𝑥 = 2; 𝑦 = −3 La solución del sistema es:

𝑦 = 5 − 4𝑥

Método de Reducción o Eliminación

Paso 1:

Paso 2: Se suman las ecuaciones obtenidas.

Multiplicamos ambas ecuaciones por dos números distintos con la intención de reducir o eliminar una de las variables al sumar las ecuaciones resultantes.

Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto encontramos el valor de la variable que permaneció. Luego se reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y con esto se obtiene el valor de la otra variable.

Este método consta de los siguientes pasos:

Paso 4: Se verifican las respuestas.

Método de Reducción o Eliminación

Ejemplo:

7𝑥 − 2𝑦 = 204𝑥 + 𝑦 = 5

Determine la solución del siguiente sistema:

Solución: ×

×

4(7𝑥 − 2𝑦) = 4(20)

−7 4𝑥 + 𝑦 = −7(5)

28𝑥 − 8𝑦 = 80 4

−28𝑥 − 7𝑦 = −35 7 −7 4

7

7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)

4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2) +

−15𝑦 = 45

𝑦 = −3 −3 Reemplazando en (2)

4𝑥 + 𝑦 = 5 4𝑥 + (−3) = 5

𝑥 = 2

𝑥 = 2; 𝑦 = −3 La solución del sistema es:

4𝑥 + 𝑦 = 5

4𝑥 = 8

4𝑥 + 𝑦 = 5 1

2

7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)

4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)

Método de Reducción o Eliminación

Ejemplo:

7𝑥 − 2𝑦 = 204𝑥 + 𝑦 = 5

Determine la solución del siguiente sistema:

Solución: ×

×

7𝑥 − 2𝑦 = 20

2 4𝑥 + 𝑦 = 2(5)

7𝑥 − 2𝑦 = 20 1

8𝑥 + 2𝑦 = 10 2 +

15𝑥 = 30

𝑥 = 2 2 Reemplazando en (2)

4𝑥 + 𝑦 = 5 4(2) + 𝑦 = 5

𝑦 = −3

𝑥 = 2; 𝑦 = −3 La solución del sistema es:

Ejemplos

Ejemplo 1:

2𝑥 − 5

3+4(𝑦 + 2)

5= 𝑥

3𝑥 − 5

4−𝑦 + 3

6= 3

Determine la solución del siguiente sistema:

Solución:

2𝑥 − 5

3+4(𝑦 + 2)

5= 𝑥

Trabajamos con la primera ecuación:

𝑀𝐶𝑀 3; 5 = 15 152𝑥 − 5

3+4(𝑦 + 2)

5= 15 𝑥

152𝑥 − 5

3+ 15

4(𝑦 + 2)

5= 15𝑥 10𝑥 − 25 + 12𝑦 + 24 = 15𝑥

5 3

10𝑥 − 15𝑥 + 12𝑦 = 25 − 24 −5𝑥 + 12𝑦 = 1

3𝑥 − 5

4−𝑦 + 3

6= 3

Trabajamos con la segunda ecuación:

𝑀𝐶𝑀 4; 6 = 12 123𝑥 − 5

4−𝑦 + 3

6= 12 (3)

123𝑥 − 5

4− 12

𝑦 + 3

6= 36

9𝑥 − 15 − 2𝑦 − 6 = 36

3 2

9𝑥 − 2𝑦 = 36 + 6 + 15

9𝑥 − 2𝑦 = 57

−5𝑥 + 12𝑦 = 1… (1)

9𝑥 − 2𝑦 = 57… (2)

×

×

9 −5𝑥 + 12𝑦 = 9(1)

5 9𝑥 − 2𝑦 = 5(57)

−45𝑥 + 108𝑦 = 9 9

45𝑥 − 10𝑦 = 285 5

5

98𝑦 = 294

𝑦 = 3 3 Reemplazando en (2)

9𝑥 − 2𝑦 = 57 9𝑥 − 2(3) = 57

𝑥 = 7

𝑥 = 7; 𝑦 = 3 La solución del sistema es:

9𝑥 − 2𝑦 = 57

9𝑥 = 63

+

Colocando las ecuaciones en su forma más reducida, obtenemos:

9

Ejemplo 2:

𝑥

2+𝑦

3=

1

6

𝑥

4−𝑦

5= 0

Determine la solución del siguiente sistema:

Solución:

𝑥

2+𝑦

3=

1

6

Trabajamos con la primera ecuación:

𝑀𝐶𝑀 2; 3 = 6

6𝑥

2+𝑦

3= 6

1

6

6𝑥

2+ 6

𝑦

3= 1

3𝑥 + 2𝑦 = 1

3 2

Trabajaremos con el método de Sustitución:

3𝑥 + 2𝑦 = 1 … (1)

𝑥

4−𝑦

5= 0 … (2)

𝑥

4=

𝑦

5 𝑥 =

4𝑦

5 … (3)

4𝑦

5

Reemplazando en (1) 3𝑥 + 2𝑦 = 1 3

4𝑦

5+ 2𝑦 = 1

12𝑦

5+ 2𝑦 = 1

12𝑦 + 10𝑦 = 5 𝑦 =5

22

Reemplazando en (3) 𝑥 =

4𝑦

5 𝑥 =

4

22

La solución del sistema es: 𝑥 =4

22; 𝑦 =

5

22

𝑀𝐶𝑀 = 5 512𝑦

5+ 2𝑦 = 5(1)

5

22

𝑥 =4𝑦

5

𝑥 =4

5

5

22

Observación Cuando en una ecuación cualquiera se eliminan las variables, y nos queda una igualdad de números, entonces debemos seguir la siguiente regla:

Si la igualdad es verdadera, entonces el conjunto solución de la ecuación es el conjunto de todos los números reales, es decir 𝐶. 𝑆. = ℝ

Si la igualdad es falsa, entonces no tiene solución o, lo que es lo mismo, el conjunto solución de la ecuación es el conjunto vacío, es decir 𝐶. 𝑆. = ∅

Resuelva: 2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 6 − 3 Ejemplo:

2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 6 − 3 2𝑥 − 2𝑥 = 6 − 3 − 3 0 = 0

𝐶. 𝑆. = ℝ

Resuelva: 2𝑥 − 3 = 2𝑥 + 6 Ejemplo:

2𝑥 − 3 = 2𝑥 + 6 2𝑥 − 2𝑥 = 6 + 3 0 = 9

𝐶. 𝑆. = ∅