SISTEMA AXONOMÉTRICO

Sistema axonométrico: Fundamentos

• Este sistema de representación nos proporciona, al igual que el Sistema Cónico, una visión directa y de muy fácil interpretación al primer golpe de vista de los cuerpos

• El tipo de proyección que se emplea es este sistema es, como en el Sistema Diédrico Ortogonal, Cilíndrica Ortogonal.

• El Sistema Axonométrico Ortogonal emplea un solo plano de proyección denominado Plano del cuadro o de proyección (coincidente con nuestro soporte, generalmente el papel) sobre el que se proyectan directamente los elementos representados.

• Además intervienen 3 planos auxiliares que proporcionan otras tantas proyecciones, cada punto del espacio queda totalmente definido con estas tres proyecciones auxiliares y la directa sobre el plano del cuadro.

• Los tres planos auxiliares antedichos forman entre sí un triedro trirrectángulo (poliedro formado por tres planos que se cortan dos a dos, según ángulos rectos) que tiene su vértice O coincidente con el plano del cuadro.

Etimológicamente, el término axonométrico quiere decir eje y medida (axo-métrico). Fue definido por el matemático francés Desargües en el Siglo XVII, siglo de las sistematizaciones científicas.

Sistema axonométrico:Designación o nomenclatura. • Las proyecciones directa y secundarias de un punto se

unen según un segmento paralelo siempre a alguno de los ejes axonométricos .

• Las mencionadas rectas, contenidas o paralelas a los ejes axonométricos se denominan rectas axonométricas (isométricas cuando se representan en este sistema).

Las intersecciones entre los planos auxiliares o caras del triedro trirrectángulo son las 3 aristas de dicho triedro concurrentes en su vértice O y que proyectadas sobre el plano del cuadro denominaremos ejes axonométricos OX, OY y OZ. Nos servirán de referencia y medida. Los planos comprendidos entre ellos se denominan XOY, XOZ y ZOY.Las proyecciones secundarias de un punto A se designan a’, a” y a’” (o A1, A2 y A3) según pertenezcan a los planos XOY, XOZ o ZOY respectivamente.Las proyecciones secundarias de una recta R se designan r’, r” y r”‘ (o r1, r2, r3) según pertenezcan a los planos XOY, XOZ o ZOY respectivamente.Las trazas de un plano β se designan β’, β” y β”‘ (o β1, β2, β3) según correspondan a los planos XOY, XOZ o ZOY respectivamente.

Triángulo de trazasSus lados son perpendiculares a la proyección de los ejes

axonométricos opuestos y sus vértices coinciden en estos, su ortocentro coincide con el origen de coordenadas o vértice del triedro. Fig. 5

Al triángulo formado por las trazas generadas por la sección entre el triedro y un plano P paralelo al plano del cuadro se denomina triángulo de las trazas o triángulo fundamenta. Fig.a4.

P. Isométrica, Dimétrica, Trimétrica • La suma total de ángulos entre los tres ejes es siempre 360º

y por tanto en este caso el ángulo comprendido entre ellos será de 120º, cuando se da esta circunstancia, la perspectiva axonométrica adopta el término particular de ISOMÉTRICA.

• Si la inclinación del triedro es tal que dos de los ejes forman 2 ángulos iguales y uno desigual, estamos en otro caso particular denominado DIMÉTRICA, denominándose TRIMÉTRICA cuando los tres ángulos son desiguales. Figuras 5 A B y C.

En función de la inclinación que el triedro tenga respecto del plano de proyección, así resultará en proyección la posición relativa de los ejes.

Escalas gráficas y reducciones.Ángulo de pendiente

Cuando la proyección es ortogonal al plano de proyección, la magnitud de la proyección es igual a la verdadera magnitud del segmento multiplicada por el coseno del ángulo que este forma con el plano. Este coseno recibe el nombre de coeficiente de reducción en el sistema de representación axonométrico. Figura 1.

En general, cuando un segmento oblicuo a un plano se proyecta sobre él, dicha proyección experimenta una reducción. El ángulo a comprendido entre el plano de proyección y cada una de las aristas, que se denomina ángulo de pendiente, determina la reducción correspondiente a cada eje

Escalas gráficas y reducciones.

Las rectas axonométricas (paralelas a los ejes axonométricos) experimentarán reducciones idénticas a las de sus ejes correspondientes.

• En Isométrica el ángulo de pendiente es igual para los tres ejes y por tanto el coeficiente de reducción (C=0,816), la reducción que los ejes experimentan es por tanto, la misma.

• En Dimétrica tenemos 2 ángulos de pendiente diferentes, uno para dos de los ejes y otro para el tercero, los primeros experimentarán una reducción diferente a la del tercero.

• En Trimétrica 3 son los ángulos de pendiente, uno para cada uno de los ejes y tres serán por tanto los coeficientes de reducción a aplicar.

Las reducciones de las unidades de los ejes o de segmentos axonométricos (paralelos a estos) expresados según coordenadas x, y, z, pueden calcularse multiplicándola verdadera magnitud por el coeficiente de reducción correspondiente o bien gráficamente

Escalas gráficas• Son 2 dos los métodos, según la charnela de abatimiento escogida, que

podemos emplear para calcular las escalas gráficas conocidos los ejes y en ambos casos el procedimiento consiste en situar, mediante abatimiento, las aristas del triedro en verdadera magnitud colocando sobre ellas las unidades de medida para posteriormente desabatir y obtener de este modo la proyección sobre los ejes de las unidades de medida con sus correspondientes reducciones.

• Primer método: obtención de las escalas gráficas abatiendo a partir de las trazas del triángulo fundamental.

A menudo no nos darán como datos los coeficientes de reducción gráfica sino el ángulo que forman entre sí los ejes. A partir de este dato tendremos que calcular las reducciones.

Escalas gráficas

• Segundo método: obtención de las escalas gráficas abatiendo a partir de las alturas del triángulo fundamental.

En lugar de abatir sobre el plano secante P, paralelo al plano del cuadro, las caras del triedro y con ellas un par de ejes como hemos visto, podemos abatir uno a uno los tres ejes del sistema a partir de planos que, conteniéndolos sean perpendiculares al plano del cuadro.

Alfabeto del punto. • Un punto puede estar situado, con relación al triedro de referencia:

• En uno de los 8 octantes.• Contenido en algún plano del triedro.• Contenido en los ejes o aristas del triedro.

Un punto viene determinado por sus coordenadas A (x, y, z), estas definen la posición de las proyecciones secundarias (a’, a’’ y a’’’ sobre los planos XOY, XOZ y YOZ respectivamente) (A1, A2 y A3 sobre los planos XOY, XOZ y YOZ respectivamente según otros autores) y principal del punto (A). Conociendo dos de estas cuatro proyecciones tenemos definido al punto.

La recta en el sistema axonométrico.

Trazas de una recta.• Las trazas de la recta son los puntos de intersección de dicha

recta con las caras del triedro. • Se designan con mayúsculas y subíndice numerado T1, T2 y

T3 correspondiendo al plano o cara XOY, XOZ, YOZ respectivamente (Hr, para el plano XOY, Vr para el plano X=Z, Wr para el plano YOZ, según algunos autores).

Determinación de la recta.Una recta queda definida por sus proyecciones directa y secundarias. R (r’, r’’, r’’’) o bien (r1, r2, r3)Como en Sistema Diédrico Ortogonal, una recta queda determinada por dos puntos contenidos en ella, A y B.• La proyección directa R surge de unir las directas de estos dos puntos A y B. •Las proyecciones secundarias de unir las secundarias correspondientes a A y B. Figura 1.

Determinación de la recta. Trazas de una recta. Recta contenida en un plano de proyección.

Posiciones particulares de las rectas IRecta contenida en un plano de proyección: La proyección principal y una secundaria son coincidentes, el resto coinciden en los ejes. Figura 3.Recta paralela a un plano del triedro: La proyección principal es paralela a la secundaria perteneciente al plano al que la recta es paralela, las otras dos son paralelas a los ejes que definen dicho plano. Figura 4.Recta perpendicular a un plano del triedro: La proyección secundaria en dicho plano queda reducida a un punto, coincidente con la traza de la recta en dicho plano. Las otras dos proyecciones secundarias y la propia principal son paralelas al eje que no contiene al plano al que la recta es perpendicular. Figura 5Recta que corta a un eje: El punto por donde la proyección principal corta al eje es traza doble y por ahí pasan dos proyecciones secundarias, la tercera proyección secundaria pasa por el origen. Figura 6.

Posiciones particulares de las rectas II

Recta que pasa por el origen: Las tres trazas de R coinciden en el origen y por tanto pasan por aquí principal y secundarias. Para determinar las proyecciones secundarias de R nos auxiliamos de un punto A de la recta. Figura 7.Recta perpendicular en el origen al plano del cuadro: Su proyección directa y sus trazas quedan reducidas a un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias, son prolongaciones de los ejes de coordenadas. Figura 8.Recta perpendicular al plano del cuadro en un punto cualquiera: Su proyección directa y sus trazas quedan reducidas a un punto coincidente con O. Las proyecciones secundarias son paralelas a los ejes. Figura 9.Estos dos últimos tipos de rectas se denominan proyectantes sobre el cuadro.

Sistema axonométrico. El plano

Trazas del plano en el sistema axonométrico.• Las trazas se designan con mayúscula prima, segunda y tercera según

corresponda a la intersección con el auxiliar XOY, XOZ o YOZ respectivamente: P (P’, P’’, P’’’) Figura 1A.

• Con letras griegas y subíndices 1, 2 y 3 según pertenezcan a XOY, XOZ o YOZ respectivamente según algunos autores (β1, β2, β3) Figura 1B. Definen estas trazas el denominado triángulo de las trazas, cuyos vértices se encuentran sobre los ejes del sistema.

• Las trazas, como rectas que son, tienen proyecciones directa, coincidente con la propia intersección, y secundarias, coincidentes una con la principal y las otras dos con los ejes que determinan el plano auxiliar que genera la traza. Ocurre que, por simplificar, no se dibujan todas estas proyecciones secundarias, como ocurría en Sistema Diédrico Ortogonal.

Se define un plano en este sistema por sus trazas o rectas de intersección de dicho plano con los planos de referencia.

Determinación de un plano.

Plano determinado por dos rectas que se cortan.Dos rectas R y S que se cortan en A, determinan un plano, para ello, bastará unir las trazas homólogas de ambas rectas. En el ejemplo, la traza P’’’ del plano la dibujamos al cerrar el triángulo de las trazas no teniendo que dibujar por tanto las trazas de las rectas sobre el plano YOZ. Figura 3.

Plano determinado por tres puntos no alineados.Uniendo los puntos dos a dos, tenemos dos rectas que se cortan en un punto y por tanto estamos en el caso anterior.

Posiciones particulares del plano I

Plano paralelo a uno de los ejes: Dos de las trazas del plano son paralelas al eje. El triángulo de las trazas tiene un vértice impropio, el correspondiente al eje en cuestión. Este plano es perpendicular al secundario que no contiene al eje al que es paralelo. Algunos autores los denominan con poca propiedad según otros, Proyectantes Secundarios. Figura 4.Plano paralelo a un plano del triedro: Dos de sus trazas son paralelas al plano en cuestión y por tanto a los ejes que lo determinan. La tercera o restante, es impropia. Figura 5.

Posiciones particulares del plano IIPlano que pasa por un eje: Quedan confundidas sobre este eje dos de las trazas del plano, la tercera converge en O con las otras dos. Este plano también es proyectante secundario. Figura 6.Plano que pasa por el origen: Las tres trazas pasan por O. Conocidas dos de ellas, la tercera (P’’ en el ejemplo) la calcularemos auxiliándonos de una recta R contenida en este plano y por tanto con sus trazas coincidentes con las homólogas del plano (T1 y T3 en P’ y P”’ respectivamente). Calculamos la proyección de R, r’’ sobre el plano ZOX, y su traza T2 sobre dicho plano. La traza P’’ del plano buscada debe pasar por O y por T2. Figura 7.Plano perpendicular al plano del cuadro: Sus tres trazas y todos los elementos en él contenidos coinciden sobre la recta que lo define. Este plano puede considerarse como proyectante sobre el plano del cuadro. Figura 8.

Presentación realizada por Malena Benito

2013

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