sistem persamaan non linier.docx

8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx

1/29

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam

berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi,

atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia, Teknik Sipil,

Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut

muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerakan secara analitik

untuk mendapatkan solusi seatinya (exact solution). !dapun yang dimaksud

dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan

rumus"rumus alabar yang sudah baku atau la#im digunakan.

!da beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan

metode analitik. !kan tetapi metode analitik unggul untuk seumlah persoalan

yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar

penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul

dalam kehidupan sehari"hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat

kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. !kibatnya nilai praktis

penyelesaian metode analitik menadi terbatas. $ila metode analitik tidak dapat

lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan

metode %umerik. Metode %umerik adalah teknik yang digunakan untuk

memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan

operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). !da

beberapa alasan menggunakan metode numerik, yaitu (Susy, &'')

*. Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan

dengan mudah.

&. +ibutuhkan metode yang menggunakan analisis"analisis pendekatan persoalan"

persoalan non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan.

*


2/29

. Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi e-act dengan

umlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik

digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini.

. Pemakaian metode analitik terkadang sulit diteremahkan ke dalam algoritma

yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numerik yang memang

berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik

dalam menyelesaian persoalan"persoalan perhitungan yang rumit.

Prinsip"prinsip metode numerik adalah sebagai berikut

*. Metode numerik ini disaikan dalam bentuk algoritma"algoritma yang dapatdihitung secara cepat dan mudah.

&. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan

analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang

mudah.

. !lgoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam

algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses

perhitungan.

. +engan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan

mempunyai nilai error (nilai kesalahan).

Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi,

perhitungan berulang dari data numerik yang ada. /ika proses iterasi tersebut

dilakukan secara manual, akan membutuhkan 0aktu yang relatif lama dan

kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri uga

relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non"linear , ikadiselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode $iseksi diperlukan

beberapa iterasi. 1ntuk penyelesaian sampai tuuh angka di belakang koma dapat

teradi iterasi sampai puluhan kali. 2ni tentu membutuhkan 0aktu yang relatif

lama. Pada kenyataannya sering teradi proses iterasi sampai ratusan kali, pada

keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi 0aktu

penyelesaian (Munif, *334).

&


3/29

Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba

berbagai kemungkinan solusi yang teradi akibat perubahan beberapa parameter

tanpa menyita 0aktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh uga dapat ditingkatkan

ketelitiannya dengan mengubah"ubah nilai parameter (Susy, &'').

Penyelesaian yang digunakan dalam metode %umerik adalah penyelesaian

pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada

penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin.

1.2 Rumusan Masalah

$erdasarkan latar belakang tersebut diatas, maka permasalahan dalam

makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non"linear menggunakan

berbagai metode dengan program komputer.

1.3 Tujuan Penulsan

+engan adanya permasalahan yang muncul, maka tuuan dari makalah ini

adalah mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam

menyelesaikan persamaan non"linear ditinau dari berbagai metode yang

digunakan.

1.! Man"aat Penulsan

!da beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya

adalah memberikan 0a0asan tambahan mengenai cara"cara menyelesaikan

persamaan non linear menggunakan Metode %umerik yang paling efektif dan

efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saa sudah bisa didapatkan apa

yang diinginkan.


4/29

BAB II

TIN#UAN PU$TA%A

2.1 Persamaan N&n'Lnear

+alam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menabarkan

model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai

5ariabel - sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (-) 6 ' yang

digunakan dalam model. 1ntuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(-) 6 ' dapat

diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit

telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik.

!pa yang dimaksud dengan menentukan - hingga terpenuhi persamaan

f(-) 6 ' 7 secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(-) tepat

memotong sumbu -, sehingga f(-) 6 '. ika dianggap f(-) sesungguhnya

memotong sumbu -, maka dapat dicari suatu inter5al 8a,b9, sedemikian rupa

sehingga f(a) dan f(b) mempunyai tanda berbeda.

+engan

pembatasan inter5al ini,

secara cermat dapat

dicari - 6 yang

memberikan nilai f ( ) 6 ' sebagai berikut

*. $agi dua inter5al 8a,b9 dan e5aluasi nilai f(-) pada titik tengah inter5al.

&. !pabila f(m) 6 ' berarti - 6 m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah

berada pada inter5al 8a,m9 atau inter5al 8m,b9 : yaitu dengan memeriksa

perbedaan tanda

(am)ar 2.1 ;rafik non linier


5/29

a. /ika f (a) dan f(m) berbeda tanda berarti di 8a,m9

b. /ika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti di 8n,b9 proses

pembagian inter5al dapat diulang sampai ditemukan nilai yang

memberikan f( ) 6 '.

Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak

diumpai dalam formulasi kasus"kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan

(finding roots). +isaikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti

pembahasan terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas,

yaitu metode Successi5e Substitution, metode Secant, metode %e0ton 6 g(-)

&. +imulai dengan menebak nilai x0 a0al untuk menge5aluasi nilai g( x0) dan

menentukan nilai x1, kemudian lakukan iterasi.

>(i?*) 6 g(-i) dimana i 6*,&,,@

Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimana

| x i+1− xi|≤ ϵ

4


6/29

Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successi5e

substitution, karena ada iterasi yang di5ergen. Syarat agar iterasi diamin

kon5ergen, adalah

nilai dari*

)(〈

dx

xdg

, pada nilai tebakan a0al xo.

Ketika lereng dg (-)Ad- B *, maka metode tersebut kon5ergen seperti yang

ditunukkan pada gambar.

Ketika lereng dg (-) A d-C *, maka metode tersebut di5ergen seperti yang

ditunukkan pada gambar &.&.

Dontoh

*. Tentukan nilai x dari persamaan berikut

(am)ar 2.2 Grafik Direct Substitution (Convergence)

(am)ar 2.3 Direct Substitution (Divergence)


7/29

x3+2 x+2=10e−2 x

2

/a0ab

1bah persamaan menadi bentuk > 6 g(-)

> 6 g(-) 6

x3+2 x+2

10

−12 ln(¿)

√ ¿

Misalkan x' 6 "'.4

Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel.

> g(-)

"'.4

*.*'4

*.*'4

'.4&

4

'.4&

4

'.4'&'

F

'.4'&'

F

'.F'

3

'.F'

3

'.'&'

F

'.'&'

F

'.3F3'

4

'.3F3'

4

'.'*&

4

'.'*&

4

'.''4&

4

'.''4&

4

'.''F

3

'.''F

3

'.'''

&

'.'''

&

'.''

*

'.''

*

'.''&

*


8/29

'.''&

*

'.''&

'.''&

'.''&

'.''&

'.''&

&. Temukan penyelesaian dari

f(-)6 - (tan -) " *, 1ntuk ' B - B GA&

/a0ab

Pilih tebakan a0al dalam range yg dipersyaratkan, missal GAF

Dari g(-)

>6g(-)

>6*Atan -

Dek kon5ergensi, ternyata dx

xdg )(

C* maka tidak diamin

kon5ergen.

+i coba subtitusi -'6 GAF6',3& atau &&,4 deraat sebagai nilai tebakan

a0al

Maka menghasilkan

-*6&,*& atau ', G, sehingga berada di luar range ' B - B GA& atau

di5ergen

untuk g(-) yg lain

-6tan"*(*A-)

Dek kon5ergensi, ternyata dx

xdg )(

B* maka diamin kon5ergen.

+i coba subtitusi -'6 GAF6',3& atau &&,4 deraat sebagai nilai tebakan

a0al.

Maka menghasilkan table iterasi

> g(-)

'.3& *.*3433

*.*3433 '.3*4

F


9/29

'.3*4 '.3&3

'.3&3 '.F'*

'.F'* '.F3F

'.F3F '.F*4

'.F*4 '.F**

'.F** '.F4*&

'.F4*& '.F3'&

'.F3'& '.F4F&F

'.F4F&F '.F*4**

'.F*4** '.F434

'.F434 '.F'&&

'.F'&& '.F'**

'.F'** '.F'&

'.F'& '.F'&

'.F'& '.F'

'.F' '.F''3

'.F''3 '.F'F

'.F'F '.F'&

2.3 Met&*e Ne+t&n

Metode ini adalah salah satu metoda penyelesaian sistem persamaan

nonlinier, metoda ini terdiri dari beberapa langkah yaitu penurunan secara

parsial, penyusunan, menghitung nilaid1 dan

d2 , dan proses pengulangan.

Metode ini mempunyai beberapa kekurangan diantaranya, sulitnya menentukan

turunan parsial untuk fungsi tertentu, langkah dan pengeraan yang panang.

Misalkan ada & persamaan non linier dengan & 5ariabel, misalkan fungsi

u(-,y) dan 5(-,y), maka, rumus iterasinya

xr−1= xr−

ur∂ vr

∂ y+vr

∂ur

∂ y

∂ ur∂ x

∂ vr∂ y

−∂ ur∂ y

∂ vr∂ x

dan

3


10/29

yr−1= yr−

ur∂ vr

∂ x−vr

∂ ur

∂ x

∂ur

∂ x

∂ vr

∂ y−

∂ ur

∂ y

∂ vr

∂ x

Pembuktian rumus

Perhatikan gradien kemiringan suatu kur5a

(am)ar 2.! ;radien suatu kur5a

+ari gambar diatas, kemiringan kur5a dapat didekati dengan

gradien (m )=f ' ( xr )=f ( xr )−f ( xr+1)

xr− xr+1

!tau dalam bentuk lain ditulis

f ( xr+1 )=f ( xr )−f ' ( xr)( xr− xr+1)

atau

f ( xr+1 )=f ( xr )+f ' ( xr)( xr+1− xr)

Maka untuk & persamaan non linier dengan & 5ariabel misal u(-,y) dan

5(-,y), maka analog seperti diatas

ur+1=ur+ ( xr+1− xr )∂ur

∂ x

+( yr+1− yr ) ∂ ur

∂ y

*'


11/29

buat turunan parsial pertama dari fungsi yang tersedia

Susun kembali persamaan nonlinier menadi bentuk

masukkan nilai perkiraan, a0al

gunakan nilai dan untuk di subtitusikan kedalam nilai sementara

Start

=inish

+iperoleh hasil

buat turunan parsial kedua

dan

vr+1=vr+( xr+1− xr ) ∂ vr

∂ x+ ( yr+1− yr ) ∂ v

r

∂ y

Karena persoalan mencari akar, maka ur?* 6 ' dan 5r?* 6 '.

∂u r

∂ x xr+1+

∂ ur

∂ y yr+1=−ur+ xr

∂ ur

∂ x+ yr

∂ur

∂ y

∂ vr

∂ x xr+1+

∂ vr

∂ y yr+1=−vr+ xr∂ vr

∂ x + yr∂ vr

∂ y

+engan sedikit manipulasi alabar, kedua persamaan terakhir ini menadi

xr+1= xr−

ur∂ vr

∂ y+vr

∂ ur

∂ y

∂ ur

∂ x

∂ vr

∂ y−

∂ ur

∂ y

∂ vr

∂ x

+an

yr+1= y+

ur∂ vr

∂ x−vr

∂ ur

∂ x

∂ ur∂ x

∂ vr∂ y

−∂ur∂ y

∂ vr∂ x

TerbuktiH

Penyebut dari kedua persamaan tersebut disebut determinan acobi. 1rutan

penyelesaian system persamaan non"linear menggunakan metode %e0ton adalah

sebagai berikut

**


12/29

,&nt&h $&al -

$&al 1 -

Misalkan diketahui sistem persamaan non linier berikut

f 1 ( x )= x12+ x2

2−36=0

f 2 ( x )= x12+3 x2−16=0

Iitung nilai x1dan x2 .

Penyelesaian

a Kita buat turunan parsial dari fungsi pertama

f 1 ( x )= x12+ x2

2−36=0

Turunan parsial terhadap x

1 adalah

∂ f 1

∂ x1=2 x1

*&


13/29

Turunan parsial terhadap x2 adalah

∂ f 1∂ x2

=2 x2

b Kita buat turunan parsial dari fungsi kedua

f 2 ( x )= x12+3 x2−16=0

Turunan parsial terhadap x

1 adalah

∂ f 2

∂ x1=2 x1

Turunan parsial terhadap x2 adalah

∂ f 2

∂ x2=−3

c . Kita susun persamaan nonlinier kembali menadi,

∂ f 1

∂ x1d1+

∂ f 1

∂ x2d2=−f 1 ( x )

∂ f 2

∂ x1 d1+

∂ f 2

∂ x2 d2=−f 2 ( x )

Kita subsitusikan turunan parsial diatas, menadi

(2 x1 ) d1+(2 x2 ) d2=−( x12+ x2

2−36)

(2 x1 )d1+(−3 )d2=−( x12+3 x2−16)

*


14/29

a. Kita masukkan nilai perkiraan, a0al misal x

1=1danx

2=1

, maka di dapat

nilaid1 dan

d2 , yaitu

d1=13,8

d2=3,2

b. Kemudian kita gunakan nilaid1 dan

d2 untuk di subtitusikan kedalam

nilaie1dane2 sementara, dan nilai

e1dane2 kita masukkan nilai

perkiraaan. Setelah itu kita masukkane1dane2 sementara ke persamaan

d1 dan

d2 , begitu seterusnya

e1sementara=e1+d1

e2sementara=e2+d2

c. Setelah melakukan proses pegulangan diatas, didapat nilaie1dane2 , yaitu

e1=5,06

e2=3,21

$&al 2 -

Suatu kondisi reaksi menggambarkan reaksi kompleks untuk fase liJuid

seperti reaksi berikut

*


15/29

+imana

r * 6 k * D! (gmolAliter sekon)

r2=k 2C A3/2

r3=k 3C C 2

r4=k 4C B2

k 1=1,0 sec−1

k 2=0,2liter1/2/gmol1 /2 sec

k 3=0,05liter / gmolsec

k 4=0,4 liter /gmol sec

+imana

ri=gmol /liter sec


16/29

(Komponen !) D!L 6 D!oL ?


17/29

Sedangkan urutan penyelesaian system persamaan non"linear

menggunakan metode +eterminan /acobi adalah sebagai berikut

*


18/29

Dari nilai u dan 5 pada titik"titik tebakan a0al

Nakukan iterasi untuk menemukan persamaan ne0ton utk sistem persamaan non linier

Iitung nilai determinan acobi pada titik tebakan a0al

Nanutkan iterasi hingga diperoleh nilai - dan y

Start

=inish

+iperoleh hasil

+iferensiasi parsialkan semua persamaan untuk setiap 5ariabel

,&nt&h $&al -

Darilah akar dari sistem persamaan berikut

f 1 ( x . y )=u= x2+ xy−10=0

f 2 ( x # y )=v= y+3 xy2−57=0

+engan tebakan a0al -' 6 *,4 dan y' 6 ,4

Penyelesaian


19/29

xr+1= xr−

ur∂ vr

∂ y+vr

∂ ur

∂ y

∂ ur

∂ x

∂ vr

∂ y−

∂ ur

∂ y

∂ vr

∂ x

(3.14)

+an

yr+1= yr+

ur∂ vr

∂ x−vr

∂ ur

∂ x

∂ur

∂ x

∂ vr

∂ y−

∂ ur

∂ y

∂ vr

∂ x

(3.15)

Nan gkah *.

Dari nilai u dan 5 pada titik"titik tebakan a0al

u0=(1,5)2+1,5 (3,5)−10=−2,5

v0=(3,5)+3 (1,5 )(3,5)2

−57=1,625

Nangkah &.

+iferensiasi parsialkan semua persamaan untuk setiap 5ariabel.

Nalu cari nilai dari semua komponen determinan acobi"nya pada titik tebakan

a0al.

∂u0∂ x =2 x+ y=2 (1,5 )+3,5=6,5

∂u0

∂ y= x=1,5

∂ v0

∂ x=3 y2=3(3,5)2=36,75

*3


20/29

∂ v0

∂ y=1+6 xy=1+6(1,5)=32,5

Nangkah .

Iitung nilai determinan acobi pada titik tebakan a0al

et . !aco"i=∂ ur

∂ x

∂ vr

∂ y−

∂ ur

∂ y

∂ vr

∂ x(3.16)

+et. /acobi 6 (.4)(&.4) " (*.4)(.4)

6 *4.*&4

Nangkah .

Nakukan iterasi untuk menemukan persamaan ne0ton utk sistem persamaan non

linier

xr+1= xr−ur

∂ vr∂ y +v

r

∂ ur∂ y

∂ ur∂ x

∂ vr∂ y

−∂ ur∂ y

∂ vr∂ x

(3.14)

+an

yr+1= yr+

ur∂ vr

∂ x−vr

∂ ur

∂ x

∂ur

∂ x

∂ vr

∂ y−

∂ ur

∂ y

∂ vr

∂ x

(3.15)

&'


21/29

+engan cara yang sama iterasi dilanutkan,

Doba teruskanH

diperoleh -6.... dan y6....

2./ Met&*e $eant

Masalah potensial dalam implementasi metode %e0ton adalah e5aluasi

pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode %e0ton dengan cara

menggantikan turunan fO(-) dengan beda hingga terbagi. $ila turunan fungsi f’(x)

sulit ditemukan, metode ne0ton tidak dapat dipakai. Solusinya, bah0a sebetulnya

f’ (x) pada hakekatnya merupakan suatu slope atau gradien.

/ika diambil persamaan backward untuk disubstitusikan pada persamaan

forward iteratifnya menadi

!tau bisa dituliskan dalam bentuk

Secara geometri, dalam metode %e0ton -i?* merupakan perpotongan

sumbu - dengan garis singgung di -i, sedangkan dalam metode Secant -i?*

adalah perpotongan sumbu - dengan talibusur kur5a f(-) yang berpadanan

&*


22/29

terhadap -n?* dan -n. Metode Secant memerlukan dua tebakan a0al, -i* dan -i,

tetapi tanpa perhitungan turunan.

+apat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode

%e0ton


23/29

Sebuah peluru bermassa & gram ditembakkan 5ertikal ke udara dan

bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan. $atas kecepatan ditentukan oleh

mg=tarik , dimana m6massa dan g 6 percepatan gra5itas i. Persamaan lengkap

adalah sebagai berikut

dimana 5 adalah kecepatan batas, mAdet. Suku pertama pada ruas kanan

menyatakangesekan tarik ( friction drag ), dan suku kedua menyatakan tekanan

tarik ( !ressure drag ). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. %ilai coba

a0al 5 R ' mAdet

Solusi

Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari

diset 5o6' dan 5*6',* didasarkan pada nilai coba a0al, dimana y' dan y*

dihitung dengan persamaan (&.*&). 2terasi penyelesaian dengan persamaan (&. **)

sebagai berikut

/adi batas kecepatannya adalah 56, mAdet

&


24/29

2.0 Regula als

Sesi metode numerik ini membahas salah satu metode penyelesaian sistem

persamaan non linier, yaitu dengan metode pencarian akar persamaan dengan

memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. +ua titik a

dan b pada fungsi f(-) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi

linier, dikenal dengan metode =alse Position atau metode regula falsi.

(am)ar 2./ ;rafik metode


25/29

!lgoritma Metode


26/29

Tetapi -& 6

%

2 tidak dapat digunakan karena nilainya tak terhingga. /adi kita

harus menggunakan nilai yang lebih kecil dari ( % A&), yaitu '.( % A&),

sehingga

f (0.7 % 2 )=1.158

Iasil aplikasi dari metode


27/29

*.*'' '.F'* *.*4F-6.383 x

10-4

'.F'-2.196 x

10-4

*.*'' '.F' *.*4F-2.196 x

10-4

'.F'-7.492 x

10-5

*.*'' .03 *.*4F-7.492 x

10-5

.03-2.556 x

10-5

&


28/29

BAB III

PENUTUP

3.1 %esm4ulan

*. Metode %umerik adalah teknik yang digunakan untuk

memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan

dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa

&. Metode non linear terbagi menadi beberapa bahasan yaitu metode

successive substitution, metode secant, metode 0e0ton, dan metoderegula falsi

&F


29/29

DATAR PU$TA%A

!lifis. &''F. bab"ii"solusi" persamaan"non"linear #!df# +iakses * Maret &'*

!nonim. &'*'. $%en&elesaian %ersamaan 'on"inear# httpAA000. Pustaka

skripsi.comApenyelesaian"persamaan"non"linear"metode"biseksi"dan

metode"regula"falsi"menggunakan"cara"komputasi"skripsi".html.

+iakses *' Maret &'*

Dhapra, S.D., and Danale,

sistem persamaan non linier.docx

Documents

Transcript of sistem persamaan non linier.docx