5.Persamaan Differensial Orde 2

7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2

1/24

KULIAH

MATEMATIKA TEKNIK

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2

Dosen

SYISKA YANA, ST., MT.

Departemen Teknk E!ektro, Fak"!tas Teknk

Un#erstas S"matera Utara

Me$an, In$onesa

Semester %an&!

TA 2'(2)2'(*

1


2/24

Persamaan diferensial

Syiska Yana, DTE-USU 20142

Persamaan diferensial orde 1 Persamaan diferensial orde 2


3/24

Persamaan diferensial orde 2


Persamaan diferensial orde 2 dengan koesienkonstan dapat dilihat pada persamaanberikut :

Dimana a, b dan c merupakan konstanta. Jikasisi kanan pada persamaan bernilai 0 (nol,maka persamaan tersebut menun!ukkanpersamaan diferensial "ang homogen.#amun, !ika sisi kanan dari persamaan tidakbernilai nol maka persamaan tersebut

merupakan persamaan diferensial non$

02

2

=++ cydx

dyb

dx

yda


4/24



%ontoh persamaan diferensial orde 2 padabidang teknik :

Persamaan muatan listrik pada rangkaianlistrik "ang terdiri dari & resistansi, 'induktansi dan % kapasintasi "angterhubung seri.

Persamaan untuk menghitung !arak s

setelah t detik, dimana m adalah masa, afaktor dam in dan k konstanta.

01

i)(2

2

=++ qCdt

dqR

dt

qdL

0ii)(2

2

=++ ksdt

dsa

dt

sdm


5/24



Jika dimisalkan :

aka persamaan diferensial orde 2 dapat

ditulis dalam operator D sebagai berikut :

Jika dimisalkan :

2

2

2

dan, Ddx

dD

dx

d==

( ) 02 =++ ycbDaD

mxmxmx eAmdx

ydAme

dx

dyAey 2

2

2

dan,, ===


6/24



aka persamaan diferensial orde 2 dapatditulis sebagai berikut :

Persamaan diatas memiliki :

( ) ( ) ( )( ) 0

0

0

2

2

2

2

=++=++

=++

cbmamAe

AecAmebeAma

cydx

dyb

dx

yda

mx

mxmxmx

acb

acb

acb

4untukkomplekakardua(iii)

atau,4untuksamayangakardua(ii)

atau,4untukberbedayangakarduai)(

2

2

2


7/24



'angkah$langkah pen"elesaian persamaan

(a )ulis ulang persamaan :

en!adi :

02

2

=++ cydx

dyb

dx

yda

02

2

=++ cydx

dyb

dx

yda

( ) 02 =++ ycbDaD


8/24



(b *ubtitusi mke Duntuk persamaan :

(c Jika akar$akar persamaan adalah :

(i real dan berbeda, n"atakan m+danm+, solusi umumn"a :

(ii real dan sama, n"atakan kedua akarm+, solusi umumn"a :

02 =++ cbmam

xx BeAey +=

( ) xeBAxy +=


9/24



(iii komplek, n"atakan solusiumumn"a :

%ontoh 1.

Pen"elesaian :

(a bah persamaan kedalam operator D

jm =

( )xBxAey x sincos +=

9dan40

diketahuijika,0352persamaanelesaikan2

2

===

=+

dx

dy, yx

ydx

dy

dx

yd


10/24



( ) 03522

=+ yDD

( )( )

3atau2

1

03120352

!kemubtitusib)(

2

==

=+=+

mm

mmmm


11/24



xx

BeAey 321

"diperolehsehinggaberbeda,danrealpersamaanakar#akar$arenac)(

+=

(1)4

4ydan0%jikad)(

32

1

BA

BeAey xx

+=

+=

==


12/24



xx

xx

eey

BA

BA

BeAe

dx

dy

dxdyx

32

1

32

1

2&"persamaandiperolehakhirolusi

2dan&

"diperoleh(2)dan(1)persamaan!ari

(2)32

19

3

2

1

9dan0jika

=

==

=

=

==


13/24



Persamaan diferensial orde 2 dengan bentuk :

(3))(

(2))(

)(

)()()()(

ubtitusi

(1))(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xfcvdx

dvb

dx

vda

xfcudx

dubdx

uda

xfcvdx

dvb

dx

vdacu

dx

dub

dx

uda

xfvucdx

vudbdx

vuda

vuy

xfcydx

dyb

dx

yda

=++

=++

=

+++

++

=+++++

+=

=++


14/24



-ungsi u merupakan fungsi komplementer (%.-

-ungsi merupakan integral partikular (P./

*ehingga : "+ %.- P./


15/24



'angkah pen"elesaian persamaandiferensial orde 2 dengan bentuk :

( )

0

mdalammenjadiubtitusi)2(

)(

"bentukdalamldi'erensiapersamaanulis(1)

)(

2

2

2

2

=++

=++

=++

cbmam

xfycbDaD

xfcydx

dyb

dx

yda


16/24



( -ungsi komplementer ( %.- , uditentukan dengan menggunakanprosedur c pada pen"elesaianpersamaan diferensial orde 2

sebelumn"a (hal. 10.

( ntuk menghitung integral partikular(P./ , asumsikan P./ sebagai f(x),

nilai f(3 "ang tidak dapat dihitungdiberikan pada tabel berikut :


17/24




18/24



(4 *ubtitusikan P./ pada persamaan(5 6asil akhir diperoleh "+ %.- P./ dimana " +

u

%ontoh :

*elesaikan persamaan diferensial berikut :

Pen"elesaian :

( ) )(2

xfvcbDaD =++

422

2

=+ ydx

dy

dx

yd

( ) 42

!operatordalamdiubah,42)1(

2

2

2

=+

=+

yDD

ydxdy

dxyd


19/24



( )

( )

2adalahakhiranenyelesai)&(

2*,*+,2dan

42sehingga0dan0,42

menjadi42padakan ubtitusik(5)

31hal*el)(lihat tabnyatakan

konstanjuga*+*nilai,4yaitukonstan-ilai)4(

.*/*,

berbeda,danrealpersamaanakar#kar)3(

2dan1,021diperoleh

dan02!,manubtitusik)2(

2

22

2

2

2

+=+=

======+

=+=

==

+=

===+ =+

xx

x-x

BeAeyvuy

-v-k

k-(k)DD(k)kD-D

vD-D

kv

f(x)f(x)

BeAeu

-mm))(m(m-

mm


20/24

Tugas


1. f(3 + konstanta

2. f(3 + polinomial

. f(3 + eksponensial

&3522

2

=+ ydx

dy

dx

yd

2324&2

2

=+ xydx

dy

dx

yd

xey

dxdy

dxyd 2

3

2

2532 = xxx xeBeAey 2

3

2

3

++=


21/24

Tugas


. f(3 + fungsi sinus atau cosinus

4. f(3 + !umlah dari (1,2 7 atau (1,2 7

5. f(3 + hasil kali dari (2..

xydx

dy

dx

yd2sin&532

2

2

=+

xxydx

dy

dx

ydsin5012&

2

2

=+

xeydxdy

dxyd x 2cos3222

2

=+


22/24

Penyelesaian soal no. 3


.

( )

( )

( )

( )( )

( ) x

xx

x

x

kxeviii

BeAeu

-mmmm-

mm

ii

eyDD

i

eydx

dy

dx

yd

2

3

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

(c))el(lihat tab*+

.*/*berbeda,danrealpersamaanakar

1atau2

3,0132

032

!mubtitusi

532

!operator

532

=

+=

===+

=

=

=


23/24

Penyelesaian


. ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) xxxxx

x

xxxx

xxxx

xx

xx

ekxexkexkekxeDD

xke

kexkexkeDkxe

xkeekekxkxe

ekxeDD

evDDkxeviv

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

3

22

3

5312

33

4

9232

34

9

2

31

2

3

2

31

2

3!

12

3

2

3!

532

,532kedalamubtitusi

=

+

+=

+=

++

=

+=

+=

+

=

===


24/24

Penyelesaian


.( ) ( )

( ) x

xx

xx

xx

xxxxxx

xxxxx

xeBeAeyvuyv

xekxevk

eke

ekxekexkekekxe

ekxexkexkekxeDDiv

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

*+*,,1

55

532

3&

2

9

5312

3

34

9

232

++=+=

===

=

=+

=

+

+=

5.Persamaan Differensial Orde 2

Documents

Transcript of 5.Persamaan Differensial Orde 2