Matematika Terapan

DISUSUN

OLEH

Kelompok:1Nama:1. Anindya Misdiantari2 KI.A2. Wahyu Jati Kusuma2 KI.A3. Andi Fitra Safitri2 KI.BDosen Pembimbing:Ir. A. Husaini, M.TMateri:Bab 1 Orde 1

TEKNOLOGI KIMIA INDUSTRIPOLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA PALEMBANGTAHUN ANGKATAN 2014

BAB 1PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU Tujuan Intruksional Khusus :Mahasiswa diharapkan :1. Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan factor integrasi dan cara mengubah constant aintegrasi (cara Lagrange).2. Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan persamaan Bernoully.3. Mengaplikasikan persamaan diferensial orde satu dalam hokum pendinginan Newton, campuran, Hukum Fourier tentang Konduksi dan Peluruhan Radioaktif.Persamaan diferensial (PD) orde satu merupakan bentuk PD yang paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Jika dalam persamaan tersebut variable bebas dan tak bebasnya berada pada sisi yang berbeda dari persamaannya, maka disebut dengan persamaan diferensial yang terpisah dan untuk menentukan penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut PD tak terpisah. Suatu Persamaan diferensial orde satu yang tak terpisah biasanya dapat dengan mudah dijadikan PD terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah satu variabelnya.1.1 Persamaan Bentuk : Suatu persamaan diferensial yang berderajat satu dan bertingkat satu dinamakan linier, jika persamaan itu dan y berderajat satu, maka bentuk umum persamaan diferensial linier adalah : . Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier ada beberapa cara yang dapat dilakukan yaitu 1.1.1 Cara dengan factor integrasiCara ini dilakukan dengan cara mengalihkan kedua ruas dengan suatu factor integrasi = , sehingga : , setelah dikalikan dengan FI diperoleh : .

, atau dapat disimpulkan dari, diperoleh suatu pemecahan dengan Contoh 1 :Carilah penyelesaian dari :Penyelesaian :Bandingkan dengan diperoleh ; P = -1 , Q = x selanjutnya cari factor integrasinya : = = e-x sehingga :ye-x = x e-x dx (bentuk parsial)Y e-x = -x e-x - e-x + C atau y = C e-x x 1 Contoh 2 :Tentukan jawaban umum dari : x3 Penyelesaian :Ubahx3 menjadi x3 , sehingga jika dibandingkan dengan, diperoleh dan Q = x3 , selanjutnya tentukan factor integrasinya : = e -1/x dx = e ln x = x, diperoleh jawab umum : y x = x3 dx Y x = + C atau y = + Cx-1

1.1.2 Cara dengan merubah konstanta integral (cara Langrange)Pandanglah persamaan , jika Q = 0 , maka persamaan tersebut adalah persamaan yang telah diredusir. Persamaan diatas dapat dipecahkan, karena perubah perubahanya telah dipisahkan jadi dapat ditulis :

+ ln C Adalah jawab umum persamaan dengan C sebagai konstanta integrasi. Pandanglah sekarang fungsi dengan C fungsi dari x, sehingga jika disubstitusikan pada : diperoleh sehingga diperoleh :

Tentukan sekarang C(x) sehingga :atau atau Sehingga diperoleh jawab umum :Contoh soal :Tentukan jawab umum dari :Penyelesaian :Reduksi menjadi

diperoleh : ,makaadalah jawab umum dari PD tersebutSoal soal Latihan :Selesaikanlah PD berikut dengan menggunakan factor integrasi :1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. dx17. 18. 19. Reaksi irreversible orde satu berantai : A x1 R x2 SPersamaan laju reaksi adalah :

Pada saat awal kosentrasi komponen A = Ca0 Kosentrasi komponen R dan S = 0Tentukan kosentrasi komponen R untuk 1 > 0

1.2 Persamaan BernoullyBentuk umum PD Bernoully adalah : dengan P dan Q sama seperti sebelumnya adalah fungsi dalam x atau konstanta.Langkah-langkah penyelesaian :a) Bagilah kedua ruasnya dengan yn sehingga diperoleh

b) Misalkan z = y1-n sehingga dan karena (1) (2)

Sehingga jika dikalikan dengan (1 n ) maka diperoleh :

Kemudian selesaikan dengan cara penyelesaian pada factor integrasi.Contoh soal :Selesaikan PD dari:Penyelesaian :: Diperoleh : , selanjutnya misalkan z = y-3 dan

Sehingga :dan maka F1 = z.F1 = z.x3 = z.x3 = z.x3 = 3. sin x + C y-3 .x3 = 3sinx + C Soal-soal Latihan :Selesaikanlah PD berikut dengan menggunakan Persamaan Bernouly :1. y 2x = x(x+1)y2 2. - y = xy53. + 2xy + xy4 = 04. + y = -y2(cos x sin x)5. + y = (1-2x)y46. xy - = y3.e-x27. y x = x2y68. x - - y = xy3 sin x9. x dy - |y + xy3(1+ln x)| dx = 010. (2xy5 y) dx + 2x dy = 011. (x + 2) + y = (x + 2) y5 12. + y tan x = y3sec4 x13. 2 + y = y3 (x-1)14. + = 15. - - x2y5 y5 = 016. x3 + x2y = x3y317. - 2 y tan x = y2tan2x18. (1-x3) + x2y = (1-x3)x2

1.3 Penerapan Persamaan Differensial Linier Orde Satu1.3.1 Hukum Pendinginan NewtonPerubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya.Laju pendinginan suatu substan di udara sebanding dengan perbedaan temperatur antara substan dan udara adalah : - = k (T-Ta)Dimana:T=temperatur body (benda)Ta=Temperatur medium (udara)K =Konstanta=Laju penurunan suhu terhadap waktu

Contoh 1 :Suatu benda dengan suhu 80oC diletakkan di ruangan yang bersuhu 50oC pada saat t = 0. Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi 70oC, maka :a. Tentukan fungsi suhu pada saat tertentub. Tentukan besarnya suhu benda pada 10 menit terakhirc. Kapan suhu menjadi 60oCPenyelesaian :Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses pendinginan dapat ditulissebagai : = k (x-50), k > 0

x (0) = 80 dan x(5) = 70, solusi persamaan itu adalah :ln (x-50) + C0 = kt + C1(x + 50) = Cedxx = 50 + 30.ckt Dan masukkan kondisi kedua diperoleh : ek = ( )1/3, sehingga ekspresi terakhir menjadi x(1) = 50 + 30 ( )1/3. Selanjutnya selesaikan dengan menggunakan ekspresi ini.

Contoh 2 :Sesuai Hukum Newton untuk Pendingin, maka pendinginan rata-rata dari suatu benda yang terletak dalam udara yang bergerak sebanding dengan beda temperatur antara benda dan udara. Jika temperatur dari udara 30o dan benda mendingin dari 100o menjadi 70o dalam waktu 15 menit, tentukan kapan temperatur akan menjadi 400.Penyelesaian :Misalkan T adalah temperatur benda waktu t. Maka : = - k ( T-30 ) atau = -k dT = -K ln | T 30 |ln 40 ln 70 = -15 k = ln dan 15 k = ln = 0,56 ln | T 30 |ln 10 ln 70 = -k tk t = ln 715 k t = 15 ln 7 t = = = 52 menitSoal soal latihan :1. Suatu benda di udara di dinginkan dari suhu 390oC ke 310oC membutuhkan waktu selama 25 menit. Hitunglah waktu untuk mendinginkan benda tersebut menjadi 250oC bila temperatur udara 200oC.2. Sebuah benda dengan temperatur yang tidak diketahui diletakkan dalam sebuah ruangan yang dijaga konstan pada suhu 30oC. Jika setelah 10 menit temperatur menjadi 0oC dan setelah 20 menit temperatur benda tersebut menjadi 15oC. Carilah temperatur awal?3. Sebuah benda dengan temperatur 50oC diletakkan diluar ruangan dimana temperatur berada pada suhu 100oC, jika setelah 5 menit temperature benda tersebut menjadi 60oC. Carilah :a. Berapa lama waktu yang dibutuhkan benda tersebut untuk mencapai 75oCb. Berapa suhu benda setelah 20 dan 60 menit.4. Sebuah batang metal dengan temperatur 100oC diletakkan dalam sebuah ruangan yang memiliki temperatur konstan 0oC. Jika setelah 20 menit temperatur batang tersebut menjadi 50oC. Hitunglah :a. Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai suhu 25oCb. Temperatur dari batang setelah 10 menit dan 50 menit5. Jam 10.10 WIB seseorang mengambil secangkir kopi panas dari microwave oven dan meletakkannya di ruang tamu dengan maksud untuk meminumnya setelah dingin. Awal mula suhu kopi 200oC. Selanjutnya 10 menit kemudian besar suhu kopi menjadi 115oC. Asumsikan suhu ruang tamu itu adalah 57oC.a. Berapa besar suhu pada jam 10.45 WIBb. Orang ini suka minum kopi pada suhu antara 55oC sampai 90oC, maka antara jam berapa kopi itu harus diminum.

1.3.2 CampuranSuatu bahan dengan konsentrasi tertentu dicampur dengan bahan lain dalam suatu tempat sehingga bahan tercampur dengan sempurna dan menjadi campuran lain dalam konsentrasi yang berbeda. Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada saat tertentu, maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dy/dx. Kemudian bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran keluar, dimana laju jumlah bahan masuk yang dinyatakan dengan proses INPUT dan laju jumlah bahan yang keluar dinyatakan dengan proses OUTPUT maka;Input= Output + Akumulasiatau = INPUT OUTPUTV=gr liter molK=gram liteK = LiterQ = Q 0 gramDimana bila laju masuk sama dengan laju keluar, maka :IN = k.v = s.r gram/literOUT = v = gram/literContoh 1 :Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam. Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1gram/liter masuk ke dalam tangki dengan laju 4 liter/menit bercampur dengan sempurna, kemudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju 4liter/menit.a. Formulasikan masalah nilai awal tersebutb. Tentukan jumlah garam Q setiap saatc. Tentukan jumlah garam Q pada waktu 10 menit

Penyelesaian :Formulasi campuran adalah dQ/dt = IN OUTDiketahui s = 1gram/liter, r = 4liter/menit, L = 200 Liter dan Q (0) = 100 didapat :IN = k.v= s gram/liter x r liter/menit= 4 gram/literOUT = v = gram/liter x r liter/menit = gram/menit, sehingga :a. Model persamaan differensialnya adalah : = 4 - = 4 - , Q(t) = 100b. Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat Q(t) = 200 100e -c. Q(t) = 200 100e- = 118,13 pon

Contoh 2 :

Proses pencampuran dalam tangki berpengaduk, suatu teknik proses mula-mula mengandung 50 galon air murni, pada saat mula-mula waktu t = 0, air laut yang mengandung 2 lb gram per gallon dialirkan masuk tangki dengan laju 3 gal/menit. Campuran dibuat homogen dengan menggunakan pengaduk aliran masuk tangki sama.Hitunglah :a. Berapa banyak garam dalam tangki setiap saat.b. Berapa banyak garam setelah 25 menit.c. Berapa banyak garam dalam tangki untuk waktu yang lama.

Penyelesaian :Misal x adalah banyaknya garam dalam tangki pada waktu t. Maka formulasi pada matematik adalah :

Input= Output+ Akumulasiatau = Input OutputAir laut mengalir dengan laju 3 gal/menit mengandung 2 lb garam/gal, maka :Input = (2 lb/gal) (3gal/menit) = 6 lb/menitBila laju aliran masuk sama dengan laju aliran keluar maka tangki mengandung 50 galon campuran setiap saat. 50 galon mengandung x lb garam pada saat t, jadi konsentrasi garam pada waktu t, jadi konsentrasi garam pada waktu t adalah (.x lb/gal) maka campuran mengalir dengan laju 3 gal/menit, diperoleh :Output = (x/50 lb/gal) (3gal/menit) = lb/menitPersamaan differensial dapat ditulis menjadi : = 6 - a. Kondisi awal :Mula-mula tidak ada garam dalam tangki x (0) = 0Penyelesaian persamaan differensial diatas adalah : = dt = dt x = 100 + C.e-3/50 tx = 0 pada saat t = 0, maka : 0 = 100 + C C = - 100x = 100 + (-100)e-3/50 t x = 100 (1 e-3/50 t)

b. Untuk t = 25 menitx = 100 (1 e-3/50 t) x = 100 (1 e-3/50 (25)) x = 100(1-e-1,5) = 77,68

c. Untuk waktu yang sangat lama t maka :x 100

Soal-soal Latihan :

1. 3 pon garam tiap galon mengalir ke dalam bejana Dengan pengadukan dan keluar tangki dengan laju 3gal/menit. Berapa banyak garam dalam tangki setelah waktu 5 menit dan 45 menit ? Suatu bejana berisi 60 galon air asin yang mengandung 25 pon larrutan garam. Air asin mengandung 2 pon larutan garam tiap galon mengalir ke dalam bejana dengan laju alir 4 gal/menit. Campuran dipertahankan merata, mengalir ke luar bejana dengan laju 3 gal/menit.2. Berapa banyaknya garam dalam bejana pada setiap saat t ?3. Cari jumlah garam dalam bejana sesudah 1 jam.Sebuah bejana mula-mula berisi 10 galon air murni. Mulai pada saat t=0, air asin yang mengandung dengan laju 2 gal/menit. Campuran itu dipertahankan merata dengan cara mengaduknya dan campuran yang sudah teraduk sempurna mengalir ke luar bejana dengan laju sama dengan laju masuk.4. Berapa banyaknya garam dalam bejana sesudah 5 menit ?5. Berapa banyaknya garam dalam bejana sesudah waktu yang lama ?6. Suatu tangki minyak berisi 2000 galon bensin yang semula mengandung 10 kg zat adiktif (untuk menurunkan titik beku) larut di dalamnya. Dalam persiapan menghadapi musim dingin, bensin yang mengandung 20 g zat adiktif per galon ditambahkan ke dalam tangki dengan debit 40 gal/menit dan langsung tercampur dengan sempurna. Hasil campuran ini dipompa keluar dengan laju alir 45 gal/menit. Tentukan banyaknya zat adiktif 20 menit setelah pencampuran berlangsung.7. Suatu tangki yang bervolume 0,5 m3 diisi dengan air asin yang mengandung 30 kg garam yang dilarutkan. Air masuk ke dalam tangki dengan laju 15.10-5m3s-1 dan campuran itu dibuat merata dengan car mengadukya, keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam dalam tangki setelah 1 jam ?8. Suatu tangki yng volumenya 0,8 m3 diisi dengan air asin yang mengandung 45 kg garam yan terlarut. Air dimasukkan ke dalam tangki dengan laju 3.10-5 m3s-1 dan campuran itu dibuat merata dengan cara mengaduknya, keluar denga laju yang sama. Berapa waktu yang dibutuhakan jika banyaknya garam dalam tangki 15 kg ?9. Udara di dalam suatu ruangan tertentu berukuran 50 m x 17,5 m x 4 m setelah diteliti mengandung 0,2 % CO2 dialirkan oleh kipas angin dengan laju 4,2 m3s-1 . Tentukan persentasi CO2 setelah 15 menit.

1.3.3. Hukum Forrier Tentang KonduksiJika pada sutau benda terdapat gradien temperatur, maka akan terjadi perpindahan energi dari bagian yang rendah (konduksi). Laju perpindahan kalor berbending dengab temperatur normal. Perpindahan panas konduksi pada silinder berongga dimana luas bidang aliran panas pada sistem silinder adalah A = 2rL, dan Hukum Fourier dinyatakan dalam :Q = KA= -2rKL Batasan :r = r1 T = T dan r1 = r0 T = T0Dimana :K= Kondiktivitas termalA= Luas permukaan tegak lurus aliran kalorL= Panjang pipa yang dilalui panas sebesar QT0= Suhu permukaan dalam T1= Suhu permukaan luarr0= Jari-jari dalamr1= Jari-jari luarQ= Laju perpindahan kalor

Contoh Soal :1. Salah satu permukaan suatu palt tembaga yang tebalnya 3 cm mempunyai suhu tetap 400oC, sedangkan permukaan sebelah lagi dijaga tetap 100oC. Berapakah kalor yang berpindah melintasi lempeng jika K=370 w/moC dan A=1 m2.Penyelesaian :Q = KA maka dT = dx= maka 300 = (0,03)Q = = = 3,7 mw

2. Suatu reaksi berlansung dalam reaktor batch. Setelah reaksi berlangsung selama 30 menit dicapai konversi 15%. Berapa waktu yang dibutuhkan untuk mencapai konversi 50% jika orde reaksi adalh satu.Penyelesaian :Formulasi matematik : = kCaPada saat awal : Ca = Cao pada saat t = 0Bila konversi: x, maka Ca = Cao-Cao x = Cao (1-x)

= - maka = -

Kondisi batas: X0 = 0 pada saat t = 0 X0 = x pada saat t0 = t

= - maka ln(1-x) = -kt atau

Untuk: t = 0 menit, sehingga x = 0,15

= 5,4x10-3 dan = 128 menit

Soal Latihan :1. Steam mengalir melalui pipa dengan diameter 0,2 m, tebal isolasi pipa 0,06 m (K=0,13). Tentukan panas yang hilang per satuan panjang yang panjangnya 2 m, jika temperatur permukaan pipa 720 K dan temperatur permukaan luar 350 K.2. Suatu pipa dengan diameter 32 cm diisolasi setebal 4 cm (K=0,2). Temperatur dalam pipa pada jarak x meter dari pusat pipa yang panjangnya 5 m dan besarnya panas yang hilang per hari per meter panjang pipa. 3. Dari salah satu permukaan plat tembaga terjadi konduksi sebesar 18,5 mw ke permukaan plat tembaga sebelahnya. Tebal plat yang dilalui kalor tersebut adalah 4 cm dengan suhu konstan 350oC dan suhu permukaan sebelahnya 250oC. Jika diketahu konduktivitas termal dari plat tersebut adalah 255 w/moC. Hitunglah luas permukaan plat tembaga tersebut.4. Sebuah pipa uap berdiameter 20 cm dilindungi dengan penutupan setebal 6 cm dengan K=0,05 adalah konduktivitas dari bahan :a. Hitunglah luas panas per jam melalui pipa sepanjang 3 m jika panas permukaan dalam pipa 200oC dan panas permukaan luar adalah 30oC.b. Hitung temperatur pada jarak x > 20 cm dari puast pipa.5. Suatu dinding bata (K=0,48) tebalnya 0,3 m jika permukaan dalamnya 190 K dan luarnya 550 K. Tentukan temperatur dalam dinding sebagai fungsi jarak dari permukaan luar dan panas yang hilang per hari melalui luas 2 m2 ?6. Hitung jumlah kalor (dalam Joule) per jam yang mengalir melewati 1 m2 dinding ruang lemari es yang tebalnya 1,25 m (K=1,05) jika temperatur permukaan dalam 268 K dan luar 348 K.7. Suatu reaksi berlangsung dalam reaktor batch. Setelah reaksi berlangsung 50 menit dicapai konversi 12,25 %.a. Berapa waktu yang dibutuhkan utuk mencapai konversi 95 % jika dianggap orde reaksi adalah satu.b. Jika reaksi tersebt berlangsung selama 20 menit, berapa besar konversi yang akan dicapai ?

1.3.4. Peluruhan RadioaktifTidak semuanya tumbuh, beberapa berkurang menurut waktu. Khususnya, zat-zat radioaltif mengalami peluruhan dan berlangsung pada laju yang sebanding dengan banyaknya zat yang ada. Sehingga laju pertumbuhannya juga memenuhi persamaan differensial :

Tetapi sekarang k negatif, adalah benar bahwa y = y0 ekt merupakan penyelesaian terhadap persamaan ini.Contoh Soal :1. Karbon 14, salah satu dari 13 isotop karbon adalah zat radioaktif dan meluruh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat yang ada. Waktu paruhnya (half life) adalah 5730 tahun, artinya zat tersebut memerlukan 5730 tahun untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awal ada 10 g, berapakah sisanya setelah 2000 tahun ?Penyelesaian :Waktu paruh sebesar 5730, memungkinkan kita untuk menentukan k sebab mengimplikasikan bahwa = 1 ek (5730) atau setelah mengambil logaritma ln2 = 5730 k maka k = = -0,000121 sehingga y = 10 e-0,000121t. Pada saat t = 2000, ini memberikan y = 10 e-0,000121t = 7,85 gram.

Soal Latihan :1. Bahan radokatif meiliki waktu paruh selama 700 tahun. Jika terdapat 32,5 gram pada awalnya, berpakah sisa setelah 300 tahun dan jika suatu bahan radioaktif kehilanga 15 % keradioktifannya dalam 6 hari, berapa waktu paruhnya ?2. Diketahui waktu paruh radiokarbon adalah 5568 tahun. Berapa umur contoh kayu purba yang telah kehilangan 15% dari jumlah radiokarbon yang semula ?3. Bakteri tumbuh dengan kecepatan sebanding dengan jumlah yang ada.a. Jika ternyata jumlahnya menjadi 2 kali lipat dalam waktu 4 jam, berapa jumlah bakteri yang dapat diharapkan setelah 12 jam ?b. Jika setelah 3 jam terdapat 104 dan setelah 5 ja, terdapat 4.104. Berapa jumlah yang ada pada waktu permulaan ?4. Misalnya bahwa peluruhan laju suatu radioaktif berbanding lurus dengan jumlah zat radioaktif yang ada. Dalam cuplikan tertentu, 50 % dari zat itu luruh dalam selang waktu 16000 tahun. (ini misalnya untuk radium 226).a. Buatlah persamaan differensial yang menggambarkan peluruhan zat itub. Hitunglah konstanta peluruhannyac. Hitung berapa persen dari cuplikan semula yang akan luruh dalam 800 tahund. Berapa tahunkah akan sisa seperlima dari jumlah semula ?5. Sebuah zat radioaktif tertentu mengalami peluruhan dengan laju yang proporsional terhadap jumlah yang ada. Jika pada awalnya terdapat 50 mg zat dan setelah 2 jam diamati, zat tersebut telah kehilangan 10 % dari massa awalnya. Tentukan :a. Persamaan matematika untuk massa zat tersebut yang tersisa pada setiap waktu tb. Massa zat setelah 4 jamc. Lamanya waktu yang dibutuhkan sehingga zat tersebut luruh menjadi setengah dari massa awalnya6. Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang sebanding dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi 82,04 mg dalam 1 minggu. a. Tentukan persamaan differensial jumlah pada saat tertentub. Tentukan interval waktu sehingga isotop meluruh menjadi setengah dari jumlah semula7. Radioaktif Plutonium-240 berkurang dan memenuhi persamaan .a. Tentukan waktu paruhnya b. Jika sekarang terdapat 50 mg zat tersebut, bepakah sisanya setelah 10 tahun ?