Simulación numérica I

Seferino Yesquen

Matemáticas para Matemáticas para Simulación de Simulación de reservorios reservorios

Seferino Yesquen

Ecuaciones de Flujo

FLUJO LINEAL

Consideremos una porción horizontal

de material poroso, donde

inicialmente la Presión en todo este

elemento es Po y después de un

tiempo la presión en el lado izquierdo

( en x=0) la presión se incrementa a

P1, mientras que la presión en el lado

derecho (en x=L) se mantiene en

Pr=Po

Ecuación de flujo mas simple : Flujo horizontal de un fluido. Solución numérica y analítica para la presión como una función del espacio y del tiempo.

Flujo de

Fluido

x

X=0

X=LP=P1

P=Po

Seferino Yesquen

Ecuaciones de Flujo – Ecuación Diferencial Parcial (EDP)

La EDP para el flujo horizontal en una dimensión, de un liquido en una fase asumiendo permeabilidad, viscosidad y compresibilidad constante para un flujo dependiente del tiempo o transitorio es:

t

P

k

φμc

x

P2

2

Si el flujo alcanza un estado donde no es mas dependiente del tiempo, se denota el flujo como ESTADO ESTABLE. Es decir 0

tP

0

2

2

x

P

Seferino Yesquen

Ecuaciones de Flujo

La distribución de presión en los estados transitorios y estable. Las presiones inicial y en le lado derecho permanecen iguales

Pre

sió

n

Distancia, xx

P Solución

transitoria

Solución estado estable

Presión inicial y en el lado derecho

Presión en el lado izquierdo

Distribución de Presión v/s Distancia

Seferino Yesquen

Solución analítica a la EDP

Cuando el tiempo es muy grande, el termino exponencial se aproxima a cero y la solución resulta en la ecuación de estado estable.

L

xPPPtxP LRL ,

12

22

sinexp12

,n

LRL L

xntc

k

L

n

nL

xPPPtxP

La solución analítica del desarrollo de los transientes de presión en el medio poroso esta dado por:

Seferino Yesquen

Ecuaciones de Flujo – Flujo Radial

Una forma alternativa de la ecuación de flujo horizontal en una dimensión de un liquido, es la ecuación de flujo radial, la cual es usada para la interpretación de ensayo de pozos. En este caso el área de flujo es proporcional a r2, tal como se muestra en la siguiente figura.

r

Seferino Yesquen

La ecuación de flujo radial en el sistema de radial de coordenadas es:

t

P

k

φμc

r

Pr

rr

1

• Para un estado estable la ecuación se simplifica a:

01

r

Pr

rr

• Integrando dos veces para las siguientes condiciones limite: P(r=rw) = Pw y P(r=re) = Pe, la solución para estado estable resulta ser:

w

e

w

e rr

rrwe

w

PPPP ln

ln

Ecuaciones de Flujo – Flujo Radial

Seferino Yesquen

Soluciones de Ecuacions de Flujo

SOLUCION NUMERICA

• Las soluciones analiticas de las ecuaciones de flujo en

un reservorio se obtienen solamente despues de hacer

simplificaciones respecto a la geometria, condiciones y

propiedades que restringen severamente la aplicabilidad

de la solución.

• Para la mayoria de los problemas de reservorios reales,

tales simplificaciones no son validas. Por lo que es

necesario resolver la ecuación numericamente

Seferino Yesquen

Discretización de Ecuación de Flujo

DISCRETIZACION

La ecuación diferencial parcial de flujo lineal se resolverá numéricamente usando aproximaciones de diferencias finitas para los términos que contienen derivadas.

t

P

k

φμc

x

P2

2

Terminos

derivativos

Seferino Yesquen


•Primero la variable espacio, X, deberá ser subdividida en un numero

discreto de bloque ( grid blocks), y después la variable tiempo deberá

ser dividido en lapsos discretos de tiempo ( time steps ). De esta

manera la presión en cada bloque puede ser resuelta numéricamente

para cada time step.

•Entonces ahora nuestra porción horizontal de material poroso esta

definido en una dimension por un sistema de N bloques cada uno de

longitud Dx

1 Ni-1 i i+1

x

Seferino Yesquen


• Este proceso nos genera una GRID de bloques centrados, a cada uno de los bloques se les asigna el índice “I” ( en esta caso para x ). Todas las propiedades son iguales en todo el bloque

1 Ni-1 i i+1

x

Seferino Yesquen


Aproximaciones por serie de Taylor

La serie de Taylor nos proporciona la aproximación

de una función f(x+h) en términos de f(x) y sus

derivadas f´(x) y puede ser escrita como

...'''!3

''!2

'!1

32

xfh

xfh

xfh

xfhxf

Seferino Yesquen

Primera Derivada

...!3

)('''

!2)(''

')(

...!3

'''

!2

''')(

32)()(

3)(2)()()(

hxf

hxf

hfxff

hf

hf

hfxff

Xhx

Xxxhx

)(!32

''''''2

)('

...!3

)(''')(''')('2

22)()(

)()(

3)()(

hOhff

e

eh

ffxf

hxfxf

hxfff

xxtr

trhxhx

hxhx

Dividiendo entre 2h

Restando

De la Serie de Taylor

Seferino Yesquen

Segunda Derivada

...!3

)('''

!2)(''

')(

...!3

'''

!2

''')(

32)()(

3)(2)()()(

hxf

hxf

hfxff

hf

hf

hfxff

xhx

xxxhx

Reordenando

Sumando

De la Serie de Taylor

...!4

''''0

!2

''0)(2 4)(2)(

)()( hf

hf

fxff xxhxhx

)(...!4

''''

2''

...!4

''''2''

22)(

2)()()(

)(

2)(2

)()()()(

hhf

e

eh

ffff

hf

h

ffff

xtr

trhxxhx

x

xhxxhxx

Seferino Yesquen

SERIE DE TAYLORAproximación Lineal de una función

Ejercicio de derivada

Seferino Yesquen


Seferino Yesquen


Ejercicio de derivada

Seferino Yesquen


Aproximaciones por serie de Taylor

La serie de Taylor nos proporciona la aproximación de una función

f(x+h) en términos de f(x) y sus derivadas f´(x) y puede ser escrita como

...'''!3

''!2

'!1

32

xfh

xfh

xfh

xfhxf

Aplicando las series de Taylor para la función Presión, podemos

escribir expansiones en una variedad de formas para obtener

aproximaciones a las derivadas en la ecuación lineal de flujo

Seferino Yesquen


...,'''!3

,''!2

,'!1

,,32

txPx

txPx

txPx

txPtxxP

Aproximación de la derivada de segundo orden en el ESPACIO• Al tiempo constante t, la función presión puede ser

expandida hacia delante y hacia atrás.

...,'''!3

,''!2

,'!1

,,32

txPx

txPx

txPx

txPtxxP

Seferino Yesquen


...,'''!3

,''!2

,'!1

,,32

txPx

txPx

txPx

txPtxxP

Sumando ambas funciones y despejando para La segunda derivada de Presión tendremos:

...,'''!3

,''!2

,'!1

,,32

txPx

txPx

txPx

txPtxxP

+

...,''''12

,,2,,''

2

2

txP

x

x

txxPtxPtxxPtxP

Seferino Yesquen


Empleando los índices del sistema de Grid y usando superíndices para indicar el time step, se obtiene:

2

211

2

2 2xO

x

PPP

x

P ti

ti

ti

t

i

ERROR por discretizacion

Aproximacion central de la

segunda derivada

Seferino Yesquen


2

211

2

2 2xO

x

PPP

x

P ti

ti

ti

t

i

Error de Discretizacion• El resto de los términos de la serie de Taylor son reunidos en el

termino O((Δx)2), indicando que este error es proporcional al tamaño de (Δx)2.

• Este termino de error, el cual en este caso es de segundo orden, se desprecia en simulación numérica.

• Mientras mas pequeño sea el tamaño del grid block usado, menor será el error involucrado.

Seferino Yesquen


Aproximación de la Derivada del TIEMPO

• En una posición constante, X, la función presión puede ser expandida hacia delante tomando en cuenta el TIEMPO.

...,'''!3

,''!2

,'!1

,,32

txPt

txPt

txPt

txPttxP

...,''2

,,,'

txPt

t

txPttxPtxP

tOt

PP

t

P ti

tti

t

i

Resolviendo para la primera derivada, tenemos la siguiente aproximación.

Seferino Yesquen


...,'''!3

,''!2

,'!1

,,32

ttxPt

ttxPt

ttxPt

ttxPtxP

...,''2

,,,'

txPt

t

txPttxPtxP

tOt

PP

t

P ti

tti

tt

i

La función de la Presión puede ser expandida hacia atrás tomando en cuenta el TIEMPO.

Resolviendo para la primera derivada, tenemos la siguiente aproximación.

Seferino Yesquen


La aproximacion central obtenida de las expansiones hacia adelante y hacia atras en un intervalo de Δt /2 es:

...,'''!3

,''!2

,'!1

,, 2

3

22

2

22

22

t

tt

tt

tt txPtxPtxPtxPttxP

...,'''!3

,''!2

,'!1

,, 2

32

2

22

22

2

tt

tt

tt

t txPtxPtxPtxPtxP

tOt

PP

t

P ti

tti

tt

i

2

Seferino Yesquen


Ecuacion diferencias Explicita• Usamos las aproximaciones determinadas anteriormente al nivel de

tiempo t y la sustituimos en la ecuacion de flujo lineal. • Se obtiene la siguiente ecuacion en diferencias.

Por conveniencia, el termino de error se desprecia y el signo de igualdad se reemplaza por un signo de aproximación

Es importante mantener en mente que los errores involucrados en esta forma numerica de la ecuacion de flujo son proporcionales a ΔX y Δt

t

PP

k

c

x

PPP ti

tti

ti

ti

ti

2

11 2Ni ,...,1

Seferino Yesquen

Condiciones de Frontera

Condiciones de Frontera (Boundary conditions BC's)

• Las fuerzas que hacen que exista flujo desde los limites o fronteras.

• Se tienen dos tipos de condiciones de frontera

Condiciones de fronteraCondiciones de frontera

Condiciones de presión Condiciones de Caudal de Flujo

Seferino Yesquen

Condición de Frontera: Presión

Cuando los limites de presión son especificados, normalmente se

hace referidos al final de las fases del sistema en cuestión. Aplicada al

sistema lineal simple descrito, tenemos los siguientes Condiciones de

frontera o Limite.

Usando el sistema de índicesUsando el sistema de índices

RtN

Lti

PP

PP

0

0

21

21

La razón por lo que se usa i=1/2 y N+1/2 es que las Condiciones de

frontera son aplicados al final del primer y del ultimo bloques,

respectivamente.

R

L

PtLxP

PtxP

0,

0,0


Seferino Yesquen

Condición de Frontera: caudal de Flujo

Alternativamente, podemos especificar el caudal de flujo, Q, hacia o desde un limite ó fin de

una fase del sistema. Por ejemplo en el lado izquierdo de nuestro sistema. Haciendo uso de la

Ecuación de flujo de Darcy. Aplicando la expansión de la Serie de Taylor al bloque y haciendo

que la derivada de la presión sea la función, tenemos

0

x

L x

PkAQ

...,'''!2

,''!1

,',0' 1

2

21

21

txPtxPtxPtxPxx

...,'''!2

,''!1

,',' 1

2

21

2121

txPtxPtxPtxP

xxx


Seferino Yesquen

Operando convenientemente tenemos :


xOAkx

Qx

PP

x

PL

ttt

212

1

2

2

xOAkx

Qx

PP

x

PR

tN

tN

t

N

21

2

2

En el caso de un reservorio real, las condiciones de caudal de flujo

representan normalmente caudales de producción o inyección de pozos .

Un caso especial es cuando no existe flujo en el limite del reservorio, donde

Q=0. Esta condición es especificada

Esta condición es especificada en todos los limites exteriores del

reservorio, entre capas no comunicantes, y en fallas sellantes en el

reservorio.

Seferino Yesquen

Condiciones Iniciales

CONDICIONES INICIALES (Initial condition IC)

La condición inicial de Presión para nuestro sistema horizontal puede ser especificada como

00 PP ti Ni ,...,1

Para el caso de sistemas no horizontales, las presiones hidrostáticas son calculadas normalmente tomando como base una presión referencia y las densidades de los fluidos.

Seferino Yesquen

Solucion de las Ecuacion Diferencial

• Soluciones de las ecuaciones diferenciales

• Habiendo derivado las ecuaciones diferenciales y especificado el

sitema de grid blocks, las condiciones de frontera y las

condiciones iniciales, se puede resolver para determinar la

presión.

Seferino Yesquen


Formulación Explicita

Se puede obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales que pueden ser resueltas explícitamente para las presiones promedio en los grid blocks (i=1, 2,…N) para cada time step. Para el caso de presión constante en la condición de frontera se tiene:

Lttttt PPP

c

k

x

tPP 23 1223

411

t

iti

ti

ti

tti PPP

c

k

x

tPP 112 2

1,...,2 Ni

123

4 32

NtN

tR

tN

ttN PPP

c

k

x

tPP

1i

Ni

Seferino Yesquen

Formulación Implícita

En este caso, todos los time steps en las aproximaciones son cambiados a t+Δt, a excepción para el termino derivada de tiempo.

t

PP

k

c

x

PPP tttL

tttt

112

43

12 23

t

PP

k

c

x

PPP ti

tti

tti

tti

tti

2

11 2

t

PP

k

c

x

PPP tN

ttN

ttN

ttN

ttR

2

43

132

1,...,2 Ni

1i

Ni


Seferino Yesquen

Se ha establecido un juego de ecuaciones de N ecuaciones con N incógnitas, las cuales deberán ser resueltas simultáneamente. Por simplicidad el juego de ecuaciones puede ser escrito como.

itt

iitt

iitt

ii dPcPbPa

11

Ni ,...,1

Ni

a

a

i

,...,2

,1

01

1,...,2

,2

3 43

1

Ni

b

bb

i

N

1,...,2

,1

0

Ni

c

c

i

N

RtNN

tii

Lt

PPd

Ni

Pd

PPd

2

1,...,2

,

2

43

143

1

t

x

k

c 2


Seferino Yesquen

• A - area, m2

• c - compresibilidad, 1/Pa

• k - permeabilidad, m2

• L - longitud, m

• N - numero de grid blocks

• O(...) - error de descritizacion

• P - presion, Pa

• Q - caudal de flujo, Sm3/d

• r - radio, m

• t - tiempo, s

• x - distancia, m

• x, y, z- coordenas en el espacio

x - longitud del of grid block, m

t - time step, s

- porosidad

- viscosidad, Pa·s

Subscripts:

0 - Valor inicial

e - final del resevorios

i - numero del block

L - lado izquierdo

R - lado derecho

w - pozo

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