UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA

REPORTE DOCTORAL Semestre 2009-1

Simulación numérica de la rotura del oleaje para la cuantificación del acarreo litoral

Alumno: GERMÁN DANIEL RIVILLAS OSPINA Tutor: RODOLFO SILVA CASARÍN

Ciudad Universitaria, México D.F. Noviembre de 2008

Reporte Doctoral

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ÍNDICE ÍNDICE _______________________________________________________________ 2 

JURADO ASIGNADO: _________________________________________________ 3 

LISTA DE FIGURAS ___________________________________________________ 6 

INTRODUCCIÓN ______________________________________________________ 8 

1.  ESTUDIO DE LA ZONA DE ROMPIENTES MEDIANTE LAS ECUACIONES PROMEDIADAS DE REYNOLDS (RANS) _________________ 10 

1.1.  Transformación Del Oleaje ________________________________________ 12 

1.2.  Pre-rotura ________________________________________________________ 12 

1.3.  Rotura del Oleaje _________________________________________________ 13 

1.4.  Tipos de rotura ___________________________________________________ 15 

1.5.  Turbulencia ______________________________________________________ 15 

1.6.  Flujos medios, esfuerzos de radiación y setup ______________________ 16 

1.7.  Ondas de infragravedad ___________________________________________ 17 

2.  MÉTODOS NUMÉRICOS _________________________________________ 20 2.1.  Ecuaciones Diferenciales Parciales ________________________________ 20 

2.1.1.  Diferencias finitas ______________________________________________________ 21 2.1.2.  Derivada de orden dos en adelante _______________________________________ 22 

2.2.  Ecuaciones Parciales Parabólicas _________________________________ 24 

2.3.  Convergencia ____________________________________________________ 25 

3.  MODELADO MATEMÁTICO DE LA PROPAGACIÓN DEL OLEAJE EN LA INGENIERÍA DE COSTAS _________________________________________ 30 

3.1.  Teoría de Ondas __________________________________________________ 30 

3.2.  Disipación de energía _____________________________________________ 30 

3.3.  Modelado de la rotura de ondas mediante las ecuaciones promediadas de Reynolds (RANS) _____________________________________________________ 31 

4.  ESTUDIOS PREVIOS UTILIZANDO MODELOS RANS _______________ 34 

5.  ECUACIONES DE GOBIERNO ____________________________________ 38 5.1.  Ecuaciones Navier-Stokes con el promedio de Reynolds (RANS) _____ 38 

5.1.1.  Conservación de la masa _______________________________________________ 38 5.1.2.  Conservación del momento ______________________________________________ 39 

5.2.  Tensores de Radiación ____________________________________________ 44 5.2.1.  Caso de una onda progresiva con profundidad constante ____________________ 44 5.2.2.  Componentes transversales del tensor de radiación ________________________ 49 5.2.3.  Ondas estacionarias ____________________________________________________ 51 

BIBLIOGRAFÍA ______________________________________________________ 56 

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JURADO ASIGNADO: DR. ESCALANTE SANDOVAL CARLOS A. DR. ECHÁVEZ ALDAPE GABRIEL DR. SILVA CASARÍN RODOLFO DR. SALLES ALFONSO DE ALMEIDA PAULO Lugar INSTITUTO DE INGENIERÍA

Reporte Doctoral

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TUTOR

RODOLFO SILVA CASARÍN

___________________________ FIRMA

ESTUDIANTE

GERMAN D. RIVILLAS O.

___________________________ FIRMA

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LISTA DE FIGURAS Ilustración 1 Flujo de momento en un fluido estacionario _____________________________ 44 Ilustración 2 Flujo de momento en una onda progresiva ______________________________ 45 Ilustración 3 Velocidad de las partículas en una onda estacionaria _____________________ 52

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INTRODUCCIÓN El conocimiento de la rotura del oleaje en ingeniería costera es esencial para el conocimiento de procesos costeros tales como las corrientes inducidas por el oleaje o el transporte de sedimentos. Este fenómeno ocurre en la zona de surf o de rompiente y está caracterizado principalmente por la turbulencia asociada al rompimiento de la onda. De acuerdo con Svendsen (1984), la rotura ocurre en lo que se conoce como zona exterior de la zona de surf donde el oleaje puede experimentar rápidos cambios de forma. Posteriormente, el oleaje puede llegar a peraltarse, romper en repetidas ocasiones y sufrir transformaciones graduales en vórtices turbulentos. De los tipos de rotura conocidos, este trabajo se enfoca en el estudio de la rotura en voluta y descrestamiento los cuales son los más dominantes en la zona de rompiente. La rotura por descrestamiento ocurre por lo general en playas con pendientes suaves; se identifica por gran turbulencia y por la formación de espuma en la cresta, formándose un descrestamiento en el frente de onda componiendo lo que se conoce como White capping (Sorensen, 1993). De acuerdo a lo expresado por Battjes (1988), en el descrestamiento la onda experimenta cambios graduales de forma, manteniéndose una alta simetría respecto a la cresta antes de tomar lugar la rotura. Comúnmente, muchos de los modelos numéricos existentes se basan en las ecuaciones integradas en la vertical (las ecuaciones de aguas someras) o en las ecuaciones de Boussinesq. En estos modelos, los procesos de rotura son parametrizados al adicionar un término que tenga en cuenta la disipación en la ecuación de momentum. Sin embargo, de acuerdo a las observaciones de laboratorio, queda bastante claro que las variaciones del flujo en profundidad y las componentes de la velocidad vertical llegan a ser muy importantes en los procesos que involucran la rotura del oleaje. Por lo tanto, es poco probable que las ecuaciones integradas en la vertical puedan producir soluciones exactas del campo de velocidades. Después de la propagación hacia la playa, cuando los trenes de onda ingresan en la zona de rompiente, el oleaje se caracteriza por el cambio de un movimiento oscilatorio a un movimiento con diferentes escalas espaciales y temporales, dentro de los cuales se encuentran aquellos que van desde la escala de la turbulencia hasta los flujos medios en la zona mencionada. Debido a la complejidad del problema, su estudio se limita a una serie de hipótesis y al empleo de valores empíricos que nos permiten el desarrollo de modelos semi-analíticos para modelar los procesos que ocurren al querer abordar el análisis de la hidrodinámica en la zona de rompientes.

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Hasta la fecha no existe modelo alguno que sea capaz de determinar cuantitativamente los procesos que ocurren en esta zona para una batimetría específica. Se hace necesario entonces construir un modelo lo más aproximado a la realidad por el hecho de que no se conoce con exactitud bajo qué condiciones son importantes las simplificaciones que se hacen comúnmente en los estudios referentes a la rotura. Las hipótesis de las cuales se habla para reducir un poco la complejidad del problema se refieren a la presión hidrostática, la velocidad horizontal uniforme en la vertical, etc.

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1. ESTUDIO DE LA ZONA DE ROMPIENTES MEDIANTE LAS ECUACIONES PROMEDIADAS DE REYNOLDS (RANS)

Equation Chapter 1 Section 1 Uno de los objetivos principales del modelado de la zona de rompientes es el progreso en cuanto al estado del conocimiento que de ella se tiene y tratar de detectar sus falencias. Las principales limitaciones en el estudio de ésta zona son: a) La falta de una teoría de ondas capaz de describir el oleaje en rotura; b) Las dificultades que implica el realizar mediciones de las características del flujo ya sea en laboratorio o en campo. Torres (2007) propone el uso de un modelo numérico avanzado (COBRAS-UC) basado en las ecuaciones promediadas de Reynolds (RANS) para superar estas limitaciones. Este modelo reduce considerablemente el número de simplificaciones en relación con otros modelos desarrollados para el estudio de la hidrodinámica de la zona de rompientes (ej., Boussinesq), debido a que este no se basa en teorías de ondas que lo anteceden y predice el proceso de rotura del oleaje a través de un modelo de turbulencia del tipo εκ − . El modelo COBRAS ha sido utilizado para determinar los flujos medios y turbulentos resultantes de la interacción flujo-estructura, y la rotura en taludes con pendiente pronunciada sobre lechos permeables e impermeables. Torres (2007) emplea este modelo en el estudio de la hidrodinámica de playas con pendiente suave a escala prototipo y agrega los efectos de segundo orden debidos al oleaje. La limitación principal del modelo original está relacionada con su incapacidad para la generación de oleaje irregular a cualquier profundidad de forma precisa, y la absorción simultánea de la onda larga reflejada de la cara de la playa. Ante tales inconvenientes Torres supera este problema con la implementación de una condición de contorno que considera un método de generación de segundo orden y la absorción activa de onda-larga, validando sus resultados con datos de laboratorio y campo. La importancia del estudio del fenómeno de onda larga y los flujos medios en la zona de rompiente de playas con pendiente suave radica en que estos procesos son los que determinan el máximo nivel alcanzado por el agua en la playa y por lo tanto limitan la máxima salida del oleaje en rotura tierra adentro. Este es un factor importante para determinar el riesgo de erosión en playas durante los eventos extremos. Con base en esto Torres analiza la utilidad de estos fenómenos para evaluar la capacidad del modelo a la hora de simular procesos no lineales dentro y fuera de la zona de rompientes, así como la validez de algunas de las parametrizaciones comúnmente empleadas en los modelos simplificados.

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En el modelado de la hidrodinámica de la zona de rompientes en playas se debe considerar la onda larga ligada al tren de oleaje incidente (generación de 2º orden) y la absorción de ésta al ser reflejada en la costa, ya que la contribución en el balance de energía dentro de la zona de rompientes es importante. El análisis de los espectros de energía muestra la capacidad del modelo numérico para generar/absorber correctamente tanto las altas como las bajas frecuencias. El estudio de onda larga es muy sensible a la definición del forzamiento en el contorno. Por otra parte, la generación numérica utilizando datos de campo en un punto cercano a la zona de rompientes, requiere de una compensación de masa que permita realizar ejecuciones largas sin un incremento de nivel inducido por la acumulación de masa dentro del dominio numérico, el cual deteriora la generación. El oleaje no lineal provoca un transporte neto de masa debido a la derivada de Stokes, esto es importante en el oleaje cercano a la rotura donde la asimetría vertical y horizontal de la superficie libre maximiza este proceso. Por lo tanto, es necesario adicionar durante la generación un flujo de masa fuera del dominio que compense dicho incremento. Este flujo puede considerarse como el flujo de retorno del oleaje que rompió contra la playa (undertow) que se observa cerca de la zona de rompiente en la costa. La utilización de un flujo variable permite conservar las variaciones de baja frecuencia de la masa debidas a la onda larga incidente, permitiendo una generación más satisfactoria del espectro de energía. La zona de rompiente se considera como aquella parte de la costa donde se produce la rotura del oleaje. El proceso de rotura domina el movimiento del fluido y es muy importante en el transporte de sedimentos. Las fronteras de mar y tierra se encuentran limitadas por el punto donde inicia la rotura del oleaje y el límite donde el agua asciende sobre la playa después de romper, conocido como la zona de Swash. La rotura del oleaje es el fenómeno más importante en esta región y se caracteriza porque la energía del oleaje se disipa en función de la profundidad. Adicionalmente, interactúan de forma compleja y en diferentes escalas, la rotura del oleaje incidente con la turbulencia de altas frecuencias, las ondas cortas incidentes y reflejadas, las ondas de infragravedad y los flujos medios. Los procesos que se dan en esta zona se clasifican con base en la escala temporal y el periodo de la onda. Aquellos cuya escala temporal es mayor que el periodo (ondas de infragravedad y flujo medio); los que poseen una escala temporal similar al periodo de la onda (ondas cortas) y finalmente los que poseen una escala temporal mucho menor que el periodo (turbulencia). La combinación de estos factores determina la hidrodinámica y el transporte de sedimentos en una playa.

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1.1. Transformación Del Oleaje El perfil de una playa se puede dividir en 4 regiones que dependen de las características de transformación del oleaje. • Región de someramiento o pre-rotura • La parte exterior de la zona de rotura, donde tiene lugar el rompimiento de

grandes olas. • La parte interior de la zona de rotura donde rompe la mayoría del oleaje. • La zona de Swash o de lavado. Cuando el oleaje ingresa en la zona exterior de rotura -la cual tiene aproximadamente un ancho de 5 a 10 veces la profundidad- cambia su forma abruptamente. El tren de ondas pierde energía de forma indirecta debido a la formación de grandes vórtices en la superficie. En su avance hacia la playa, cuando el tren de ondas ingresa a la porción interior de la zona de surf o zona de rompiente, se forma un vórtice periódico y turbulento. Además, se produce la transformación de un flujo continuo y directo en un movimiento turbulento y de baja frecuencia.

1.2. Pre-rotura En aguas profundas el perfil del oleaje tipo SWELL tiene forma sinusoidal con una cresta redonda. Cuando el oleaje entra de aguas intermedias a someras la longitud y la celeridad de la onda decrecen, aumenta su altura y el perfil del oleaje cambia de sinusoidal a una onda con pico en la cresta separada por canales planos en sus costados laterales. En aguas poco profundas cuando la ola está cerca de romper, la cresta se vuelve asimétrica, inestable y finalmente se da la rotura. La asimetría y oblicuidad son medidas estadísticas que indican la asimetría horizontal (pico) y vertical (inclinación hacia adelante) de la onda. Son por lo tanto medidas de la no linealidad que incrementa conforme el oleaje que proviene de aguas profundas está a punto de romper. La región de aguas someras se define como la región donde la longitud de la onda es mucho mayor que la profudidad. Las olas en esta región se conocen como ondas largas. En términos del parámetro de longitud de onda μ se tiene que:

1hλμ = (1.1)

En esta región los efectos de difracción no son importantes

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Otro parámetro adimensional muy importante es el parámetro de amplitud δ que da relativa importancia a la amplitud de la onda respecto a la profundidad.

Ah

δ = (1.2)

La combinación de estos dos parámetros llevan al número de Ursell, definido como:

2

2 3

AUrh

δ λμ

= = (1.3)

Este parámetro es una medida de relativa importancia de la no linealidad y la dispersividad, que son relevantes a la hora de distinguir entre 3 diferentes tipos de teorías de oleaje. La aproximación teórica de oleaje adecuada para el estudio de ondas largas depende del valor de este parámetro. Si 0Ur = corresponde a ondas de aguas someras lineales. Si 0Ur = ecuaciones de Boussinesq Si 0Ur = ondas de aguas someras no lineales Sin embargo, es muy difícil en la práctica seleccionar una teoría de oleaje adecuada que abarque todos los componentes del espectro incidente. Debido a esto, las recientes investigaciones se han enfocado al desarrollo de modelos unificados que describan la propagación del oleaje totalmente no lineal desde aguas profundas hasta aguas someras.

1.3. Rotura del Oleaje En la zona de rompiente la rotura del oleaje se produce por la disminución de la profundidad (Short, 1999). El mecanismo de rotura permite que la velocidad horizontal de las partículas de agua sea mayor que la velocidad de la fase de la onda. Por consiguiente, el frente de ola se peralta y se desarrolla en esta un frente turbulento donde las partículas de agua caen bajo éste. En el proceso de rotura se pueden identificar dos tipos de movimientos: rotacional e irrotacional. Durante el peraltamiento -el volteo y la formación del chorro- se tiene un movimiento irrotacional. En el cierre del chorro sobre la parte inferior de la superficie del agua se forma cavitación, es decir, cuando la onda cae el fluido queda conectado por dos partes. El movimiento en ese instante es irrotacional, pero el gradiente es diferente de cero, lo que topológicamente induce una circulación (rotación) alrededor de la cavidad. Esta cavidad que se genera en el interior de la onda colapsa rápidamente, mientras se mezcla con el agua. El resultado final es una región con movimientos en forma de vórtices y

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una alta concentración de burbujas que se levantan en la superficie (Battjes, 1998). Durante el proceso de rotura una gran cantidad de energía es liberada y se convierte en turbulencia. La turbulencia disipa la energía del oleaje con la consecuente disminución de la altura de ola a medida que decrece la profundidad. La rotura causa la generación de movimientos de corto y largo periodo dentro de la zona de rotura. El punto de rotura se define como el sitio donde inicia la disipación de energía. Dada la dificultad para medir este lugar, aún con experimentos, se adoptan otras definiciones que solo tienen en cuenta las propiedades externas del oleaje. La definición más ampliamente utilizada describe al punto de rotura como la localidad donde la altura de ola alcanza su máximo ( maxH ). Otra definición lo sugiere como la relación entre la altura de ola y la profundidad ( )max

\H h . La altura a la cual rompe la ola se relaciona con la profundidad por el índice de rotura γ , definido como: b bH hγ= (1.4)

bH : Altura de la ola en la rotura

bh : Profundidad del agua en el punto de rotura Cuando la relación /b bH h supera el índice de rotura ( 0.15≈ ) la ola rompe. Los estudios de laboratorio han demostrado que el índice de rotura incrementa con el gradiente de la playa y disminuye con el peraltamiento de la ola. En los ensayos llevados a cabo con oleaje monocromático el punto de rotura es constante dado que todas las olas poseen la misma altura de ola y en consecuencia rompen a la misma profundidad. Sin embargo, en una playa natural el oleaje es irregular y el punto de rotura se mueve hacia la playa o hacia el mar en función de la altura de ola. Cuando se considera oleaje irregular, la relación se expresa como: [ ]rms bH hγ= (1.5) [ ]γ : varía entre 0.3 y 0.6 en playas naturales. Este es el índice de rotura aleatorio y es considerablemente menor que uno (1) para oleaje irregular. Cuando el oleaje se aproxima a la playa, su longitud L decrece y su altura puede aumentar, causando que el peralte de la ola /H L se incremente. El oleaje rompe cuando alcanza el límite de peraltamiento que es función de la profundidad relativa /d L y la pendiente de la playa tan β .

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1.4. Tipos de rotura Existen tres diferentes tipos de rotura: descrestamiento, oscilación y voluta. De acuerdo a la clasificación dada por Galvin (1968), existe otro tipo denominado colapso. Los tipos de rotura dependen de las características del oleaje y de la pendiente del fondo (Svendsen y Putrevu, 1994). En la rotura por descrestamiento la cresta de la ola es inestable y se forma en ella una superficie con burbujas de aire. En la voluta la cresta se ondula y se precipita súbitamente sobre la base de la ola formando una gran salpicadura. La rotura por colapso se caracteriza porque en su avance la ola se mantiene esbelta sin romper hasta que llega al punto límite donde finalmente rompe; se forma una superficie irregular y turbulenta. Finalmente, la rotura de oscilación se da en la playa; en esta zona la lámina de agua es delgada y puede presentar un pequeño rompimiento cuando avanza sobre la zona de lavado y se encuentra con el flujo de descenso.

1.5. Turbulencia Los movimientos de los vórtices ordenados a gran escala se degeneran en pequeños vórtices con creciente desorden durante la rotura de la onda. Esos movimientos de pequeña escala no definidos pueden ser tratados como turbulencia. La ola se convierte en un frente de vórtices turbulentos con movimientos demasiado desordenados pero con una escala de menor magnitud a medida que se propaga. El frente de onda se caracteriza por estar muy perturbado, con pequeños vórtices y con un flujo turbulento que recircula en la cresta, lo que genera una pérdida continua de energía y finalmente la ola va reduciendo su altura. La profundidad del agua decrece en las proximidades de la playa a una tasa suficiente para mantener el número de Froude a un nivel necesario para conservar la turbulencia. La turbulencia en la zona de surf juega un papel muy importante en el transporte de sedimentos y en la morfodinámica de la playa, pues levanta el sedimento del fondo que luego es transportado por las corrientes. La energía que genera la turbulencia está compuesta por una parte cinética y otra potencial, las cuales constituyen una gran contribución a la perturbación en la zona de rompientes. La fricción con el fondo aporta mucho menos a la generación de la turbulencia, aunque es importante en la suspensión del material en el lecho marino. La naturaleza de la forma como se distribuye la turbulencia depende del tipo de rotura. La energía cinética turbulenta es transportada hacia la playa cuando se produce la rotura por voluta y se disipa dentro de otro ciclo de oleaje. En el descrestamiento, la energía cinética turbulenta es transportada hacia el mar, pero la tasa de disipación es mucho menor (Ting y Kirby, 1995). Por lo tanto, la tasa de disipación y mezclado es mucho mayor en la voluta.

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1.6. Flujos medios, esfuerzos de radiación y setup El tensor de radiación se define como el exceso de momentum debido a la presencia de oleaje (Longuet-Higgins y Stewart, 1962 y 1964). Este es el mecanismo generador de la sobre elevación del nivel medio del mar, conocido como setup. El setup se encuentra en la zona de rompiente con dirección hacia la playa, desde el punto inicial de la rompiente, y consiste en un flujo que se mueve sobre una pendiente ascendente que provee un gradiente de presión, generando un balance en los tensores de radiación en la playa. Adicionalmente se forma una depresión en el nivel medio que ocurre antes de la rotura, conocida como setdown. La importancia del setup radica en el aumento del nivel de la superficie, el cual puede ascender hasta 1 m con el paso de un huracán. La erosión en la playa es magnificada debido a este fenómeno, ya que las ondas cortas son capaces de propagarse más allá de la playa. Los tensores de radiación se definen como:

( )2 2 212xx

h

u w dz gη

σ ρ ρ ρ ζ−

= − +∫ (1.6)

donde: u : velocidad horizontal de la ola w : velocidad vertical de la ola ρ : densidad del agua ζ : elevación de la superficie libre Para calcular este término es necesario integrar la velocidad horizontal y vertical cuadrática tanto en el tiempo como en profundidad. Sin embargo, esta expresión no puede ser evaluada a partir de observaciones de laboratorio por el hecho que no se pueden realizar mediciones en la cresta o en el vórtice que se forma bajo ella cuando la ola va a romper. Así, el término del tensor de radiación comúnmente se aproxima utilizando la teoría de onda lineal, reduciendo con esto la dependencia a la altura de ola. En aguas someras la expresión se convierte en:

2316xx Hσ γ= (1.7)

donde se asume una distribución hidrostática de presiones, velocidad horizontal uniforme en profundidad y una aceleración vertical despreciable. La importancia

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de este término radica en que se utiliza frecuentemente en modelos de generación de onda larga y en la circulación de las corrientes en la playa. Stive y Wind (1982) estudiaron la variación del tensor de radiación y del nivel medio del mar para someramiento bidimensional y rotura de oleaje sobre una playa artificial con pendiente suave (1:40) construida en el laboratorio. Sus estudios fueron comparados con teorías de oleaje lineal y no lineal. El tensor de radiación se obtuvo mediante la medición de la superficie libre y el campo de velocidad. No fue posible realizar mediciones en la cresta aireada de la ola rompiendo. Se hicieron entonces extrapolaciones del campo de flujo en la cresta. Se observó que tanto las teorías lineal como no lineal sobreestimaron la magnitud del tensor en las proximidades de la rotura, y fue posible detectar que las teorías no lineales son cualitativa y cuantitativamente superiores a las teorías lineales. Finalmente llegaron a la conclusión que los efectos de la amplitud finita son importantes para la variación del tensor de radiación tanto en la playa como en el mar y en el nivel medio, mientras que los efectos de turbulencia inducidos por rotura son menos importantes. Svendsen y Putrevu (1993) determinaron el tensor adimensional, el cual presenta la siguiente forma:

2xxp

gHσρ

= (1.8)

Fue determinado analizando datos de laboratorio de altura de ola calculados previamente, así como la sobre elevación del nivel medio del mar en playas. Estos reportaron variaciones significativas de la presión a través de la zona de surf con valores absolutos bastante diferentes de los hallados a partir de la teoría lineal para aguas someras.

1.7. Ondas de infragravedad Las ondas generadas por viento se pueden clasificar de acuerdo a su escala temporal:

• Ondas individuales (cortas) • Grupo de ondas (largas o de baja frecuencia)

Munk (1949) reportó oscilaciones irregulares detectadas por un medidor de tsunamis localizado en la playa, con periodos de varios segundos y relacionadas con la llegada de alta frecuencia. El máximo rezago entre las olas de alta y baja frecuencia correspondía al tiempo de viaje que tomaba una onda de alta frecuencia para llegar a la zona de rompiente y devolverse al punto donde se instaló el medidor. Munk sugirió que las oscilaciones registradas se deben a la variabilidad del transporte de flujo en la zona de rotura y llamó este

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fenómeno como surf beat, es decir, oscilaciones irregulares del nivel del agua en la costa con periodos del orden de minutos. Truker (1950) presentó un examen detallado de un registro de presiones encontrando que los grupos de ondas de alta frecuencia estuvieron seguidos por olas de baja frecuencia después de un tiempo de retraso de 4 a 5 minutos. Ese fue el tiempo correspondiente para el grupo de ondas que alcanzaron la playa con la velocidad de grupo y para la onda larga que viajaba hacia el sitio de medición. Concluye al final que esto es resultado del rompimiento del oleaje en la playa. Adicionalmente, desarrolló una relación lineal entre las amplitudes de las ondas de alta y baja frecuencia. Finalmente, explica que el fenómeno se atribuye a la variación de transporte de masa entre los grupos de baja y alta frecuencia que se aproxima a la costa. Sin embargo, esta explicación es contraria a la relación lineal, la cual debería ser cuadrática, esperándose por lo tanto un descenso en el nivel medio del mar. Finalmente, Longuet-Higgins y Stewart (1962, 1964) fueron quienes dieron una explicación más completa del fenómeno al introducir la teoría del tensor de radiación. A partir de este momento, se ha logrado un gran avance en el entendimiento de la hidrodinámica de la zona de rompiente, dentro de la cual queda abarcado el estudio de la generación de ondas largas.

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2. MÉTODOS NUMÉRICOS Equation Section (Next) La mayor parte de los fenómenos que estudia la ingeniería, y en particular la hidráulica se representan por medio de modelos matemáticos, donde se emplean ecuaciones algebraicas, diferenciales ordinarias o parciales, sistemas de ecuaciones, etc. En numerosas ocasiones estas ecuaciones son de difícil solución con métodos analíticos, o bien son desconocidas. En estas condiciones se pueden emplear métodos numéricos de análisis. Dado que en el presente trabajo se planteó discretizar las ecuaciones con el método de volumen finito, se analiza en primera instancia el método de diferencias finitas pues todas las derivadas temporales se discretizarán con el método de diferencias finitas.

2.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales Una ecuación diferencial parcial es aquella en la cual aparecen derivadas parciales de una función desconocida con respecto a dos o más variables independientes. Ejm:

2

22

h hax t∂ ∂

=∂ ∂

(2.1)

La solución de una ecuación diferencial parcial en una región R es una función definida en esta región, al igual que todas sus derivadas parciales, y la función reduce a la ecuación diferencial a una identidad en cada punto de la región R. Se dice que esta función satisface a la ecuación en R. Raras veces se puede hacer un proceso formal en ecuaciones no lineales, afortunadamente, muchas de las ecuaciones de interés práctico son lineales o casi lineales. Una importante propiedad de las ecuaciones diferenciales parciales es la linealidad. Una clase de ecuación diferencial que es frecuente encontrar son las del tipo:

2 2 2

2 2 0f f f f fA B C D E Ff Gx x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.2)

Cuando A, B, C, D, E, F y G son funciones de x e y corresponde al caso de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden. Si se cumple la condición mostrada en la ecuación (2.3) podemos definir el tipo de función con la cual se va a trabajar, así:

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2

2

2

4 0 .4 0 .4 0 .

B AC Ec elípticaB AC Ec parabólicaB AC Ec hiperbólica

− <

− =

− >

(2.3)

En la ingeniería muchas de las ecuaciones diferenciales parciales son difíciles de resolver o bien no están resueltas por métodos analíticos. A veces se ha encontrado su solución para condiciones iniciales o de frontera particulares; sin embargo, alguna de estas soluciones no son útiles en la práctica. Para resolver las ecuaciones diferenciales parciales se puede recurrir a varios métodos numéricos.

2.1.1. Diferencias finitas Al sustituir las derivadas por cocientes de diferencias en las ecuaciones diferenciales hace posible, en muchas ocasiones, encontrar una solución que si bien no cumple exactamente con la ecuación diferencial, desde un punto de vista práctico se toma como tal. Los cocientes de diferencias de valores de la función que sustituyen a las derivadas se llaman diferencias finitas. Se considera entonces la serie de Taylor de una función f en la variable z.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

4' " '''2 6z zf z z f z f z z f z f z O zΔ Δ

+ Δ = + Δ + + + Δ (2.4)

( )4O zΔ : Error de truncado en la serie de Taylor de orden n, por haber

despreciado los términos que involucran las derivadas de orden n en adelante. zΔ : Incremento del valor z.

Si en la ecuación (2.4) se considera ;z x z x= Δ = Δ y ;z x z x= Δ = −Δ se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

41' " '''

2 6x zf x x f x f x x f x f x O xΔ Δ

+ Δ = + Δ + + + Δ (2.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

42' " '''

2 6x xf x x f x f x x f x f x O xΔ Δ

−Δ = − Δ + − + Δ (2.6)

Si en las ecuaciones (2.5) y (2.6) no se toman en cuenta los términos de segundo orden y se despeja la derivada, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )21'

O xf x x f xf x

x xΔ+ Δ −

= −Δ Δ

(2.7)

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( ) ( ) ( ) ( )22'

O xf x f x xf x

x xΔ− −Δ

= +Δ Δ

(2.8)

Si se eliminan los términos de orden tres en la ecuación (2.4) y se restan las ecuaciones (2.5) y (2.6), se llega a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 31 2'

2 2O x O xf x x f x x

f xx x

Δ − Δ+ Δ − −Δ= +

Δ Δ (2.9)

Si los errores de truncado son muy pequeños, al despreciarlos se tiene de las ecuaciones (2.7), (2.8) y (2.9):

( ) ( ) ( )'f x x f x

f xx

+ Δ −=

Δ (2.10)

( ) ( ) ( )'f x f x x

f xx

− −Δ=

Δ (2.11)

( ) ( ) ( )'2

f x x f x xf x

x+ Δ − −Δ

=Δ

(2.12)

Donde las ecuaciones (2.10), (2.11) y (2.12) son conocidas como diferencias finitas hacia la derecha, izquierda y central, respectivamente.

2.1.2. Derivada de orden dos en adelante Pueden plantearse aproximaciones a las derivadas de orden dos en adelante, sin embargo, es preferible utilizar la serie de Taylor. Se desea obtener entonces la siguiente expresión:

2

2 ?fx

∂=

∂

Si se suman las ecuaciones (2.5) y (2.6) se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4

32 "f x x f x x f x f x x O x+ Δ + −Δ = + Δ + Δ (2.13) donde, ( ) ( ) ( )4 4 4

3 1 2O x O x O xΔ = Δ + Δ (2.14)

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Despejando la segunda derivada

( ) ( ) ( ) ( ) ( )43

2 2

2"

O xf x x f x x f xf x

x xΔ+ Δ + −Δ −

= −Δ Δ

(2.15)

Si se desprecia el error ( )4

3O xΔ se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )2

2"

f x x f x x f xf x

x+ Δ + −Δ −

=Δ

(2.16)

Realizando otra derivada de interés, esta se obtiene al restar la ecuación (2.6) a la ecuación (2.5).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

442 ' '"

3xf x x f x x f x x f x O xΔ

+ Δ − −Δ = Δ + + Δ (2.17)

( ) ( ) ( )4 4 4

4 1 2O x O x O xΔ = Δ − Δ (2.18) Reemplazando la ecuación (2.7) en la ecuación (2.17) se llega a:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21 4

4

3

2

'"

3

O xf x x f xf x x f x x x O x

x xf x

x

⎧ ⎫Δ+ Δ −⎪ ⎪+ Δ − −Δ − − Δ − Δ⎨ ⎬Δ Δ⎪ ⎪⎩ ⎭=Δ

(2.19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 41 4

3 3

2'''

3 3

O x O xf x x f x x f xf x

x xΔ − Δ− + Δ − −Δ +

= +Δ Δ

(2.20)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 41 4

33

3 3 6'''

3

O x O xf x x f x x f xf x

xxΔ − Δ− + Δ − −Δ +

= +ΔΔ

(2.21)

Despreciando los errores,

( ) ( ) ( ) ( )3

3 3 6'''

f x x f x x f xf x

x− + Δ − −Δ +

=Δ

(2.22)

Reporte Doctoral

24

2.2. Ecuaciones Parciales Parabólicas Se analiza este caso por medio de un ejemplo en el cual se aborda un problema de flujo potencial, donde se desea calcular la posición de la línea de saturación. La ecuación diferencial que describe el problema es:

2

22

h hat x

∂ ∂=

∂ ∂ (2.23)

siendo

2 khas

=

donde, k : coeficiente de permeabilidad s : rendimiento h : nivel promedio entre el espacio y el tiempo h Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden parabólica que:

2 4 0b ac− = 2; 0; 0A a B C= = =

2 4 0 .b ac Ec parabólica− = → Al sustituir por diferencias finitas:

2

2

h centralx∂

→∂

h derivada hacia adelantet

∂→

∂

Reemplazando en la ecuación de flujo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

, , , 2 , ,f x t t f x t f x x t f x t f x x t at x

+ Δ − −Δ − + + Δ=

Δ Δ

Simplificando la expresión

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2, , 2 , ,a tf x t t f x x t f x t f x x f x txΔ

+ Δ = −Δ − + + Δ +Δ

Rotura del oleaje

25

2

2

tax

λ Δ=

Δ

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ), , 2 , ,f x t t f x x t f x t f x x f x tλ+ Δ = −Δ − + + Δ + (2.24) considerando, x m x= Δ

( )1x x m x+ Δ = + Δ

( )1x x m x−Δ = − Δ t p t= Δ

( )1t t p t+ Δ = + Δ ( ) ( ) ,, , m ph x t h m x p t h= Δ Δ =

( ) ( ){ } 1,, 1 , m ph x x t h m x p t h ++ Δ = + Δ Δ =

( ) ( ){ } 1,, 1 , m ph x x t h m x p t h −− Δ = − Δ Δ =

( ) ( ){ } , 1, , 1 m ph x t t h m x p t h ++ Δ = Δ + Δ =

2, 1 , 1, , , 12 2m p m p m p m p m p

th h a h h hx+ − +Δ

− = − +Δ

{ }, 1 , 1, , , 12m p m p m p m p m ph h h h hλ+ − +− = − + (2.25)

22

tax

λ Δ=

Δ

La ecuación (2.25) recibe el nombre de esquemas de diferencias explícito, pues en la ecuación aparece solo una incógnita y para evaluarla no se necesita resolver ningún sistema de ecuaciones.

2.3. Convergencia Si H es la solución exacta de una ecuación cualquiera y h la solución exacta del esquema de diferencias finitas utilizado para aproximar dicha ecuación. La ecuación de diferencias finitas se dice convergente cuando h tiende a H en un punto fijo a lo largo de un nivel y cuando xΔ y tΔ tienden a cero. Estos significa que el error de discretización o truncado tiende a cero a medida que también lo hacen xΔ y tΔ .

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26

Ejemplo:

Si el error xΔ y E H h= − y 2

22 ; 0 1h ha x

t x∂ ∂

= < <∂ ∂

H es conocida para: 0 1x< ≤ cuando 0t =

; 1x x= = cuando 0t ≥ Considerando el esquema explícito

, , ,

1, 1, 1,

;m p m p m p

m p m p m p

h H

h H E

ε

+ + +

= −

= −

De acuerdo al error de truncado de la serie de Taylor

( ) ( ) ; 0 1nn

f z zz

zθ

θ θ∂ + Δ

Δ = ≤ ≤∂

(2.26)

Lo anterior significa que θ se debe escoger entre cero y uno de modo tal que la derivada de f de orden n respecto a z sea máxima entre z y zΔ . De la serie de Taylor se tiene:

( ) ( ) ( ), , ,HH x t t H x t x t tt

θ∂+ Δ − = + Δ

∂ (2.27)

Desarrollando la serie de Taylor según x

( ) ( ) ( ) ( )2 2

22, , , ,2

h H xH x x t H x t x t x x x tx x

θ∂ ∂ Δ+ Δ = + Δ + + Δ

∂ ∂ (2.28)

( ) ( ) ( ) ( )2 2

32, , , ,2

h H xH x x t H x t x t x x x tx x

θ∂ ∂ Δ−Δ = − Δ + + Δ

∂ ∂ (2.29)

sumando

( ) ( ) ( ) ( )2

4, 2 , , ,H x x t H x t H x x t H x x t xx

θ∂−Δ − + + Δ = + Δ Δ

∂ (2.30)

Utilizando los subíndices en (2.29) y (2.30)

Rotura del oleaje

27

( ), 1 , 1,m p m phH H m x p t tt

θ+

∂− = Δ Δ + Δ

∂ (2.31)

( )2

1, , 1, 422 ,m p m p m pH H H H m x x p tx

θ− +

∂− + = Δ + Δ Δ

∂ (2.32)

Según el esquema de diferencias finitas y definición del error

( ) ( )( ) ( ), 1 , 1 1, 1, , , 1, 1,1 2m p m p m p m p m p m p m p m pH E H E H E H Eλ λ λ+ + − − + +− = − + − − + − Ordenando ( ) ( ), 1 , 1, , 1,2 0m p m p m p m p m pH H H H Hλ λ+ − +− − − + = (2.33) Sustituyendo (2.31) y (2.32) en (2.33) ( ), 1 1, , 1,1 2m p m p m p m pE E E E M tλ λ λ+ − += + − + + Δ (2.34) donde

( ) ( )2

1 42, ,H HM m x p t t mDx x p tt x

θ λ θ⎧ ⎫∂ ∂

= Δ Δ + Δ − + Δ Δ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ (2.35)

Para asegurar que los errores tengan signo positivo y continuar con el control del error se toma el valor absoluto de (2.34). ( ), 1 1, , 1,1 2m p m p m p m pE E E E M tλ λ λ+ − += + − + + Δ (2.36) Esta ecuación es cierta cuando los coeficientes son positivos o iguales a cero. Si el mayor de los errores para cualquier pendiente en el instante p es pE , al asignar:

1,

,

, 1,

p m p

p m p

m p m p

E E

E E

E E

−

+

→

→

→

La ecuación (2.36) está del lado conservador (pues está considerando más error que el real) y se transforma en: ( ), 1 1 2m p p p pE E E E M tλ λ λ+ ≤ + − + + Δ (2.37)

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28

1p pE E M t+ ≤ + Δ (2.38) Si M se considera constante

1 0E E M t≤ + Δ

2 1 2 0

3 2 3 0

4

;

;...

E E M t E E M t

E E M t E E M tE

≤ + Δ ≤ + Δ

≤ + Δ ≤ + Δ

≤

( )1 0 1pE E p M t+ ≤ + + Δ (2.39) Como a 0t = no existe error, por tanto ( )1 1pE p M t+ ≤ + Δ (2.40) Si 0, 0t λΔ → → y (2.35) tiende también a cero En consecuencia, (2.40) es cero y la solución converge a H. para esto se requiere que los coeficientes de (2.36) sean positivos o iguales a cero. Para que lo sean se debe cumplir que:

0 0.5λ≤ ≤ Lo que constituye la llamada condición de convergencia.

Rotura del oleaje

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30

3. MODELADO MATEMÁTICO DE LA PROPAGACIÓN DEL OLEAJE EN LA INGENIERÍA DE COSTAS

La forma como se pueden clasificar los modelos numéricos hasta la fecha está estructurada de la siguiente manera: • Modelos que resuelven la fase

Se basan en las ecuaciones no estacionarias de conservación de la masa y cantidad de movimiento integradas en la vertical.

• Modelos promediados en la fase

Están fundamentados en la conservación de la energía espectral. La aplicación de los modelos que resuelven la fase se limita a áreas relativamente pequeñas (1 Km.), mientras que los modelos promediados en la fase se pueden aplicar a áreas mucho mayores. Las investigaciones actuales se han enfocado en el desarrollo de modelos unificados capaces de describir la propagación transitoria de ondas completamente no lineales desde aguas profundas hasta profundidades reducidas, abarcando grandes áreas de trabajo.

3.1. Teoría de Ondas A primera vista el movimiento oscilatorio asociado a las ondas en un fluido newtoniano e incompresible puede ser modelado mediante las ecuaciones de Navier – Stokes, que representan los principios de conservación de la masa y momento lineal. Las condiciones de contorno en la superficie libre que garantizan la existencia de una interfase y la continuidad del tensor de tensiones a través de la superficie libre son necesarias para determinar la posición de la superficie libre.

3.2. Disipación de energía Tanto las ecuaciones de Navier – Stokes como las condiciones de contorno en la superficie libre son no lineales. Por tanto, y aunque se considere que la turbulencia puede despreciarse, el esfuerzo computacional necesario para resolver el problema tridimensional de la propagación de la onda, con una escala horizontal de cientos de longitud de onda es demasiado grande a partir de estas ecuaciones.

Rotura del oleaje

31

Es importante mencionar que todas las teorías desarrolladas para simular la propagación del oleaje (Teoría de Ondas, Teoría del Rayo, Ecuación de la Pendiente Suave, Teoría de Stokes, Aproximación de Boussinesq, etc.) se basan en la hipótesis de que durante el proceso de transformación de las ondas no se produce disipación de energía. Sin embargo, en la mayoría de los fenómenos que se generan en la costa es muy importante la disipación de energía, por ejemplo, por fricción de fondo o por procesos de rotura. De forma general, las funciones que representan la disipación de energía se definen de forma empírica de acuerdo a los diferentes procesos de disipación que se pretendan modelar. Un ejemplo claro de esto se da en las ecuaciones tipo Boussinesq donde la rotura se parametriza ingresando un nuevo término en la ecuación del momento integrada en la vertical.

3.3. Modelado de la rotura de ondas mediante las ecuaciones promediadas de Reynolds (RANS)

La modelación numérica del proceso de rotura trae consigo innumerables inconvenientes como lo son: • La modelación de la evolución de la superficie libre durante el proceso de

rotura con el fin de describir la dinámica asociada a dicha superficie. • Es necesario simular los mecanismos físicos asociados a la generación,

transporte y disipación de la turbulencia que se genera durante la rotura. • Se deben alcanzar la demanda computacional que sugiere la resolución de

este problema. Hasta el momento se han obtenido varios resultados bidimensionales con éxito. Por ejemplo, la rotura bidimensional ha sido estudiada mediante el método MAC (Marker and Cell) por sus siglas en inglés o el método de volumen de fluido. Lin y Liu, (1998a) muestran que la rotura en descrestamiento y voluta del oleaje se puede modelar de forma bidimensional mediante las ecuaciones promediadas de Reynolds (RANS) a las que aplican un modelo de cierre de turbulencia del tipo εκ − de segundo orden. Este modelo es capaz de simular el volteo del chorro superficial producido en la etapa inicial de la rotura en voluta. Además se toman los datos de laboratorio obtenidos por Ting y Kirby (1994, 1995) para validar el modelo, en la que se evalúa la rotura en descrestamiento y voluta. Con los resultados del modelo COBRAS es posible dar una explicación a la generación y transporte de turbulencia y vorticidad durante el proceso de la rotura en la zona de rompientes. Adicionalmente, los perfiles verticales de la viscosidad de remolino se calculan para la zona de rompientes. El modelo también es válido para demostrar los diferentes procesos de difusión que se producen cuando se genera el vertido de cualquier contaminante en el interior o exterior de la zona de rompientes. En última instancia, su uso se ha extendido

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32

para investigar la interacción del oleaje con estructuras de protección (Liu et al.1999, 2000). Las estructuras pueden estar sumergidas o emergidas. Las fuerzas inducidas por el oleaje sobre la estructura se pueden observar a partir de la ley de presiones sobre la superficie de la estructura. Sin embargo, este tipo de modelos se encuentra aún en una etapa inicial, pues se hace necesaria su extensión a tres dimensiones, mejorar el modelo de turbulencia, la optimización de los algoritmos con el fin de reducir el costo computacional o el modelado del flujo en medios porosos.

Rotura del oleaje

33

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34

4. ESTUDIOS PREVIOS UTILIZANDO MODELOS RANS Lemos (1992) fue el primero en aplicar el modelo de turbulencia tipo κ ε− para simular el rompimiento del oleaje en estructuras costeras. Petit et al. (1995) desarrolla el modelo numérico SKYLLA, basado en las ecuaciones RANS y en el método FLAIR – por sus siglas en inglés- para la simulación de la rotura del oleaje sobre estructuras costeras. El perfil de la rotura se obtiene y analiza sobre una estructura sumergida de pendiente 1:20. Lin y Liu (1998 a,b) llevaron a cabo una investigación y evaluación detallada de la cinemática de la rotura del oleaje y la turbulencia en la zona de surf. Sus resultados permitieron observar que el modelo de tensor de esfuerzos de Reynolds puede arrojar resultados muy buenos en la zona de someramiento y la parte interior de la zona de surf. Sin embargo, cerca del punto de rotura el tensor de radiación siempre sobrestima la viscosidad de remolino lo cual conduce a una excesiva mezcla del fluido y por lo tanto se está subestimando la elevación de la superficie libre. Sabeur et al. (1997) propone una técnica numérica basada en el método de volumen de fluido para la simulación del oleaje sujeto a alta distorsión en la interfase agua-aire sobre una playa con pendiente 1:3. Investiga además los campos de velocidad durante el proceso de flujo de ascenso máximo. Kawasaki (1999) propone un modelo numérico para un campo de velocidades bidimensional en la vertical. El modelo combina el método de volumen de fluido con un generador de oleaje no reflectivo junto en una frontera abierta con el objetivo de alcanzar estabilidad numérica. El objetivo de sus modelaciones es investigar la rotura del oleaje sobre un dique sumergido y la deformación de la ola en el momento de la pos-rotura. Una buena y detallada revisión es realizada por Bradford (2000) acerca de los modelos de turbulencia, donde compara el funcionamiento de los modelos κ , los modelos lineales κ ε− y una extensión renormalizada del grupo de modelos κ ε− (RNG model – por sus siglas en inglés). Los modelos κ ε− por lo general dan buenos resultados en la zona de someramiento y el interior de la zona de surf, pero al ser comparados con los datos experimentales se observa que reproducen la rotura con mucha anterioridad. Sin embargo, se observa que estos modelos presentan mejores ajustes de altura de ola, elevación de la superficie libre y flujos de recirculación generados una vez que la ola rompió en la playa (undertows) en la rotura en voluta, al contrastarlos con la rotura por descrestamiento. Christensen et al. (2000) aplicó un modelo numérico tipo κ ω− para simular los datos de laboratorio obtenidos por Ting y Kirby (1994, 1995) para rotura tanto

Rotura del oleaje

35

en descrestamiento como en voluta. Los resultados obtenidos mostraron que su modelo subestima significativamente los perfiles de los flujos de recirculación para el caso de rotura por descrestamiento. Sin embargo, este tipo de modelos de turbulencia presentan mejores resultados para los flujos mencionados en la parte interior de la zona de surf. Lo y Shao (2002) modelaron el runup causado por una onda solitaria utilizando el método de hidrodinámica de una partícula, por sus sigas en inglés (SPH) junto con el método de simulación de grandes vórtices (SGV). Qun et al. (2003) propone un modelo de turbulencia de multi-escala bidimensional para el estudio de la rotura del oleaje. Construye la línea de superficie libre con la técnica de volumen de fluido (VF) y aplica en el fondo un perfil logarítmo del campo de velocidades medio. Realiza una comparación entre los modelos que resuelven completamente las ecuaciones de Navier-Stokes, los cuales no incluyen modelos de turbulencia, los modelos que resuelven las ecuaciones RANS y los que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes filtradas espacialmente. Al confrontar su modelo de multi-escala con los modelos RANS, encuentra mejores ajustes con respecto a las mediciones de la elevación de la superficie libre, la velocidad de partícula, la distribución de alturas de ola y los perfiles flujos de recirculación. También discute los mecanismos de transporte a escala turbulenta, encontrando que la producción y disipación turbulenta son del mismo orden, indicando que la producción turbulenta se encuentra principalmente en el frente de onda y bajo el canal que se forma en esta antes de la rotura, mientras que la localización de la disipación turbulenta está en la cara anterior de la onda, concluyendo con esto que la suposición de equilibrio en esta región es incorrecta. Solo el equilibrio local se encuentra en la zona ubicada bajo el canal de la ola. En la rotura por descrestamiento la energía cinética se disipa en la región del vórtice, mientras que en la voluta ésta energía se disipa rápidamente dentro de un periodo de ola. Hur et al. (2004) desarrolló un modelo numérico directo donde combina el método de volumen de fluido (VF) y un modelo de medio poroso, simulando con buena precisión la interacción no lineal entre el oleaje y la estructura porosa. Las fuerzas de levantamiento, transversales y colineales sobre una estructura asimétrica son simuladas con precisión por el modelo. Qi y Hou (2006) desarrolló un modelo numérico para el estudiar la evolución de un tren de ondas periódicas, someramiento y rotura en la zona de surf. Su modelo resuelve las ecuaciones RANS para un flujo medio, y utiliza un modelo de cierre de turbulencia del tipo κ ε− . La construcción de la superficie libre se efectúa utilizando el método de volumen de fluido (VF), con lo que satisface la ecuación de advección. Las modelaciones las realiza sobre pendientes suaves con trenes de onda periódicos para simular el someramiento y la rotura del oleaje. Finalmente, compara las alturas de ola y la distribución de la presión en el momento de la rotura con datos de laboratorio. En sus resultados Qi encontró

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36

que presentan buen ajuste con respecto a los datos experimentales. Concluye que su modelo es muy preciso para modelar los fenómenos de someramiento y pre-rotura, la transición de régimen dispersivo a disipativo y los flujos turbulentos totalmente desarrollados. Hong y Wenrui (2008) utiliza un modelo numérico desarrollado a partir de las ecuaciones RANS para estimar el impacto de una onda solitaria sobre una construcción idealizada en un playa con diferentes elevaciones. La reconstrucción de la superficie libre se hace a partir del método de volumen de fluido (VF). El modelo es validado con datos de laboratorio donde se midió el flujo máximo de ascenso (runup) y con desarrollos analíticos de la magnitud de la fuerza sobre una superficie vertical. Demuestra además, la serie de datos de los perfiles de oleaje, fuerzas y momentos de volcamiento que se producen sobre la construcción idealizada. Realiza una investigación detallada de las variaciones que sufren las fuerzas y los momentos en función de la elevación de la construcción propuesta. Sus resultados demuestran que las muestra de datos de la fuerza debida al oleaje, los momentos y la interacción de su duración son máximos cuando la casa está inicialmente sumergida.

Rotura del oleaje

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38

5. ECUACIONES DE GOBIERNO

5.1. Ecuaciones Navier-Stokes con el promedio de Reynolds (RANS)

El objetivo de este trabajo tiene como fundamento principal la descripción del flujo medio mediante las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas según el enfoque de Reynolds Para su desarrollo se parte de las ecuaciones de conservación de la masa y momentum.

5.1.1. Conservación de la masa

0u v wx y z tρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

(2.41)

Donde el campo de velocidades está definido de la siguiente manera: V u v w= + + (2.42) Si el fluido se considera permanente

0tρ∂=

∂ (2.43)

Por lo tanto la ecuación queda representada de la siguiente manera,

0u v wx y zρ ρ ρ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(2.44)

Desarrollando las derivadas

0u v wu v wx x y y z z

ρ ρ ρρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.45)

0V Vρ ρ∇⋅ + ∇ = (2.46) Si el flujo es incompresible 0ρ∇ = (2.47) Reescribiendo la ecuación

Rotura del oleaje

39

0Vρ∇⋅ = (2.48) Finalmente se tiene 0V∇⋅ = (2.49)

5.1.2. Conservación del momento Ecuación de Saint-Venant

yxxx zxDU PXDX x x x x

ττ τρ ρ∂∂ ∂∂

= − + + +∂ ∂ ∂ ∂

(2.50)

En el flujo laminar si se tienen en cuenta las deformaciones es posible determinar las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible.

2 2 2

2 2 2

DU P u v w u v wXDX x x y z x x y z

ρ ρ μ μ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − + + + + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭⎩ ⎭ (2.51)

2 2 2

2 2 2

DV P u v w u v wYDY y x y z y x y z

ρ ρ μ μ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − + + + + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭⎩ ⎭ (2.52)

2 2 2

2 2 2

DW P u v w u v wZDZ z x y z z x y z

ρ ρ μ μ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − + + + + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭⎩ ⎭ (2.53)

Bajo la hipótesis de flujo incompresible

0u v wx y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(2.54)

2 2 2

2 2 2

DU P u v wXDX x x y z

ρ ρ μ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂

= − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ (2.55)

2 2 2

2 2 2

DV P u v wYDY y x y z

ρ ρ μ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂

= − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ (2.56)

2 2 2

2 2 2

DW P u v wZDZ z x y z

ρ ρ μ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂

= − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ (2.57)

Conocidas como las ecuaciones de Navier-Stokes

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40

En la zona de rompiente el flujo es altamente turbulento y las ecuaciones de Navier-Stokes deben ser reescritas para las nuevas condiciones. En consecuencia, es necesario multiplicar la ecuación de continuidad por la componente de la velocidad en la dirección analizada y luego se suma la ecuación resultante a la correspondiente ecuación de Navier-Stokes, obteniendo con esto la ecuación de momentum para flujo turbulento. Desarrollando la derivada material

2 2 2

2 2 2

u v w u P u v wu u u xx y z t x x y z

ρ ρ μ⎧ ⎫⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = − + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (2.58)

2 2 2

2 2 2

u v w v P u v wv v v yx y z t y x y z

ρ ρ μ⎧ ⎫⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = − + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (2.59)

Multiplicando la ecuación de continuidad por la velocidad tanto en la dirección x como y se tiene:

2 2 2

2 2 2

u v w u u v w P u v wu u u u u u xx y z t x y z x x y z

ρ ρ ρ ρ ρ μ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + + = − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭(2.60)

2 2 2

2 2 2

u v w v u v w P u v wv v v v v v yx y z t x y z y x y z

ρ ρ ρ ρ ρ μ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + + = − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭(2.61)

Agrupando los términos

( ) ( ) ( ) 2 2 2

2 2 2

uu vu wu u P u v wxx y z t x x y zρ ρ ρ ρ ρ μ

∂ ∂ ∂ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

(2.62)

( ) ( ) ( ) 2 2 2

2 2 2

vu vv vw v P u v wyx y z t y x y zρ ρ ρ ρ ρ μ

∂ ∂ ∂ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

(2.63)

Para el caso de aplicación que se analiza, los efectos de rotación de la tierra no tienen mayor incidencia en el flujo, por lo tanto se tiene: X=0 Y=0 Z=-g Donde g es la aceleración de la gravedad

Rotura del oleaje

41

Reemplazando en las anteriores ecuaciones se obtiene,

( ) ( ) ( ) 2 2 2

2 2 2

uu vu wu u P u v wx y z t x x y zρ ρ ρ ρ μ

∂ ∂ ∂ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

(2.64)

( ) ( ) ( ) 2 2 2

2 2 2

vu vv vw v P u v wx y z t y x y zρ ρ ρ ρ μ

∂ ∂ ∂ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

(2.65)

Resolver a detalle estas ecuaciones es poco práctico dado que las escalas que se manejan son demasiado pequeñas. En la ingeniería práctica la que importa es el nivel macro y para el trabajo que se pretende desarrollar nos interesa fundamentalmente las características medias del flujo. Basado en esta asunción y tomando la hipótesis de Reynolds, se divide la velocidad instantánea del flujo en una componente que representa las condiciones medias y otro que tiene asociado el comportamiento turbulento respecto a la media, que para nuestro caso son las fluctuaciones turbulentas de la velocidad media y la presión.

'

'

'

u u u

P P P

ρ ρ ρ

= +

= +

= +

(2.66)

donde u : velocidad promediada en el tiempo ´u : velocidad fluctuante

1 t t

t

u udtt

+Δ

=Δ ∫ (2.67)

1 ' 0t t

t

u u dtt

+Δ

= =Δ ∫ (2.68)

( )( )( ){ } ( )( )( ){ } ( )( )( ){ } ( )( ){ }

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' '

u u u u u u v v u u w w u u

x y z t

p p u u v v w w

x x y z

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

μ

∂ + + + ∂ + + + ∂ + + + ∂ + ++ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

⎧ ⎫∂ + ∂ + ∂ + ∂ +⎪ ⎪− + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭ (2.69)

Reporte Doctoral

42

( )( )( ){ } ( )( )( ){ } ( )( )( ){ } ( )( ){ }

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' '

u u v v v v v v v v w w v v

x y z t

p p u u v v w w

y x y z

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

μ

∂ + + + ∂ + + + ∂ + + + ∂ + ++ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

⎧ ⎫∂ + ∂ + ∂ + ∂ +⎪ ⎪− + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭ (2.70) ( )( )' ' ' ' ' 'u u u u u uρ ρ ρ ρ ρ ρ+ + = + + + (2.71)

1' ' ' 0t t t t

t t

u u dt u dtt t

ρρ ρ+Δ +Δ

= = =Δ Δ∫ ∫ (2.72)

( )( )( )' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'u u u u uu uu uu u u uu uu u u u uρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ+ + + = + + + + + + + (2.73)

( )( )( )' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'u u v v uv uv u v v v uv uv u v u vρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ+ + + = + + + + + + + (2.74)

Reemplazando

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 2 2

2 2 2

' ' ' ' ' 'uu u u uv u v uw u w u

x x y y z z t

p u v wx x y z

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

μ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂− + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

(2.75)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 2 2

2 2 2

' ' ' ' ' 'vu v u vv v v vw v w v

x x y y z z t

p u v wy x y z

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

μ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂− + + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

(2.76)

Para obtener las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible es necesario restar la ecuación de continuidad multiplicada por la velocidad media.

0u v wx y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(2.77)

Al multiplicar por la velocidad media se obtiene

Rotura del oleaje

43

0u v wu u ux y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(2.78)

0u v wv v vx y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(2.79)

' ' ' ' ' '

u v w u u u uu u u u v wx y z x y z t

p u v wu u u v u wx x x y y z z

ρ ρ ρ ρρ

μ ρ μ ρ μ ρ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + − + − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.80)

' ' ' ' ' '

u v w v v v vv v v u v wx y z x y z t

p u v wu v v v u wy x x y y z z

ρ ρ ρ ρρ

μ ρ μ ρ μ ρ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + − + − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.81)

Al sustraer la ecuación de continuidad

1

1 1 1' ' ' ' ' '

u u u u pu v wx y z t x

u v wu u u v v wx x y y z z

ρ

μ ρ μ ρ μ ρρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.82)

1

1 1 1' ' ' ' ' '

v v v v pu v wx y z t y

u v wu v v v v wx x y y z z

ρ

μ ρ μ ρ μ ρρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(2.83)

Los valores instantáneos de la velocidad ahora aparecen expresados en términos de sus valores medios en el tiempo. Aparecieron 3 nuevos términos conocidos como tensiones de Reynolds los cuales representan, como se mencionó antes, el transporte de cantidad de movimiento por acción de la turbulencia. Es un mecanismo disipador de energía. Los valores de las tensiones de Reynolds son mayores que las tensiones viscosas, con excepción de las fronteras sólidas.

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44

5.2. Tensores de Radiación La radiación electromagnética que afecta a la superficie o es originada en ésta produce una fuerza conocida como presión de radiación. Otro fenómeno similar pero menos conocido es el caso de las ondas acústicas y las ondas en la superficie de un fluido. En ambos casos la fuerza va en la misma dirección que se propaga la onda y la principal propiedad de estas es la anisotropía. En mecánica de fluidos usualmente se utiliza el término presión para los esfuerzos isotrópicos, que aparecen en la ecuación de estado. Se dice que la superficie del oleaje posee un momento que va paralelo a la dirección de propagación y es proporcional al cuadrado de la amplitud. Si el tren de oleaje es reflejado por una estructura el momento es irradiado de la misma manera. De acuerdo con lo anterior, la conservación del momento requiere que sea ejercida en la superficie sólida una fuerza igual a la tasa de cambio del momento de la onda. Ésta fuerza es la manifestación del esfuerzo de radiación. Un esfuerzo es por definición el equivalente a un flujo de momento. El esfuerzo de radiación se puede definir entonces como “el exceso de flujo de momento debido a la presencia de oleaje” (Longuet Higgins, 1964).

5.2.1. Caso de una onda progresiva con profundidad constante Equation Chapter 5 Section 5 Para este caso se considera un cuerpo de agua no perturbado y con una profundidad h constante. La presión en cualquier punto del fluido es igual a la presión hidrostática.

Ilustración 1 Flujo de momento en un fluido estacionario

La superficie del oleaje posee un momento, el cual es paralelo a la dirección de propagación y es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. Si un tren de oleaje que incide en una playa es reflejado, ese momento también es

Rotura del oleaje

45

invertido. La conservación del momento requiere entonces que exista una fuerza ejercida sobre el obstáculo, que es igual a la tasa de cambio del momento de la ola. Esto quiere decir que la fuerza es una manifestación del esfuerzo de radiación. El tensor es entonces, por definición, equivalente al flujo de momento. De acuerdo con lo anterior, el tensor de radiación se puede definir como el exceso de flujo de momento debido a la presencia de las ondas. Al considerar un cuerpo de agua sin perturbaciones con una profundidad h, la presión en cualquier punto es igual a la presión hidrostática: p gzρ= − (5.1) Donde ρ , g y z son la densidad, gravedad y distancia medida hacia arriba desde la superficie media. Al denotar la anterior expresión por 0p entonces el flujo de momento horizontal a través de un plano vertical x es simplemente 0p por unidad de distancia vertical. El flujo de momento horizontal entre la superficie y el fondo a una distancia ( )h− es:

0

0h

p dz−∫ (5.2)

Debido a que esta expresión es independiente de x, el flujo a través de un plano adyacente x x+ Δ corresponde al balance de momento y por tanto no es el cambio neto de momento entre ambos planos.

Ilustración 2 Flujo de momento en una onda progresiva

Al considerar el flujo de momento ante la presencia de una onda progresiva cuya elevación en la superficie es: ( )cosa kx tζ σ= − (5.3)

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46

donde ς es la superficie libre, a es la amplitud, k es la longitud de onda y σ es el periodo de onda. La órbita de la partícula en aguas someras es elipsoidal, con x como el eje mayor de la elipse. Las componentes de la velocidad están dadas por:

( ) ( )cosh cossinh

au k z h kx tkh

σ σ= + − (5.4)

( ) ( )sinh sinsinh

aw k z h kx tkh

σ σ= + − (5.5)

La expresión general para el flujo instantáneo de momento horizontal atravesando un plano vertical de área unitaria en un fluido es: 2p uρ+ (5.6) El segundo término de la expresión (5.6) representa la transferencia de masa de momento uρ por unidad de volumen, a una tasa de u por unidad de tiempo. Éste término es análogo a la presión. Análogamente, el fluido que pasa el plano x posee un momento en la dirección z que está asociado con la componente de la velocidad en w. El producto uwρ representa el transporte medio de momento en la dirección z a través del plano constante x, y es equivalente al esfuerzo de corte. En teoría de turbulencia, tal valor medio es conocido como esfuerzo de Reynolds. Debido a las fluctuaciones turbulentas, el esfuerzo de Reynolds es frecuentemente parametrizado bajo el concepto de viscosidad de remolino. Para encontrar el flujo total de momento horizontal se integra la ecuación (5.6) entre el fondo z h= − y la superficie libre z ζ= .

( )2

h

p u dzζ

ρ−

+∫ (5.7)

La componente principal del esfuerzo de radiación xxσ se define como el valor medio de la ecuación (5.7) con respecto al tiempo menos el flujo medio en ausencia de oleaje.

( )0

20

h h

p u dz p dzζ

ρ− −

+ −∫ ∫ (5.8)

Rotura del oleaje

47

Es preciso tener cuidado a la hora de tomar el valor medio en la integral del flujo de momento debido a que la fluctuación de la superficie libre contribuye por sí sola al flujo de momento. Para evitar este tipo de errores se divide la componente principal del esfuerzo en 3 partes. 1 2 3

xx xx xx xxσ σ σ σ= + + (5.9)

1 2xx

h

u dzζ

σ ρ−

= ∫ (5.10)

( )0

20xx

h

p p dzσ−

= −∫ (5.11)

3

0xx pdz

ζ

σ = ∫ (5.12)

En la primera componente se tiene que la integral es de segundo orden con un límite superior de z ζ= el cual puede ser reemplazado por el nivel medio 0z = , dado que el rango comprendido entre 0 z ς< < contribuye solo a un término de tercer orden. Como ambos límites siguen siendo constantes se puede transferir el valor medio del integrando.

0

1 2xx

h

u dzσ ρ−

= ∫ (5.13)

La contribución de 1

xxσ se conoce como esfuerzo de Reynolds integrado desde el fondo a la superficie. En el segundo término, así como en la ecuación (5.13) se puede tomar el valor medio dentro de los mismos límites de integración.

( )0

20xx

h

p p dzσ−

= −∫ (5.14)

El segundo término de la ecuación (5.9) conduce al cambio en la presión dentro del fluido. La presión p contiene términos proporcionales a 2a que pueden ser encontrados por análisis de segundo orden; sin embargo no es necesario realizar este análisis pues éste término se puede calcular directamente de la consideración de flujo de momento vertical.

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48

Se conoce entonces el flujo medio de momento vertical a través de un plano horizontal, el cual sería 2p wρ+ (5.15) Como el nivel medio del agua está en 0z = se tiene entonces que: 2

0p w gz pρ ρ+ = − = (5.16) 2

0p p wρ− = (5.17) p por lo general es menor que 0p . Sustituyendo en la ecuación se obtiene

( )0

2 2xx

h

w dzσ ρ−

= −∫ (5.18)

Sumando las ecuaciones (5.13) y (5.18) tenemos

( )0

1 2 2 2 0xx xxh

u w dzσ σ ρ−

+ = − ≥∫ (5.19)

Reemplazando las velocidades y llevando a cabo la integración se encuentra

2

1 2

sinh 2xx xxga kh

khρσ σ+ = (5.20)

En aguas someras la órbita de las partículas es elipsoidal y por lo tanto el eje x es mayor, entonces 2w es muy pequeña comparada con 2u , en consecuencia el término ( )2 2u wρ − se convierte en 2uρ . Debido a lo anterior, la energía

cinética es 2

2uρ por unidad de volumen y se observa que la ecuación (5.20) es

2 veces la energía cinética. El tercer término es igual a la presión p integrada entre 0 y ζ promediada con respecto al tiempo. Esto se evalúa fácilmente pues cerca de la superficie libre la presión es casi igual a la presión hidrostática. ( )p g zρ ζ= − (5.21)

Rotura del oleaje

49

Al sustituir en la ecuación (5.12), el resultado de la integral es

2

3

2xxgρ ζσ = (5.22)

Este término es igual a la densidad de energía potencial, la mitad de la energía total de densidad E .

2

3

4 2xxga Eρσ = = (5.23)

Donde

2

2gaE ρ

=

Sumando las ecuaciones (5.20) y (5.23) se tiene

2 1sinh 2 2xx

khEkh

σ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.24)

La relación 2sinh 2

khkh

está siempre entre 0 y 1. En aguas profundas ( )1kh ≥ la

relación tiende a cero, así que

2xxEσ = (5.25)

Mientras que en aguas someras tiende a 1 y se obtiene

32xxEσ = (5.26)

5.2.2. Componentes transversales del tensor de radiación De manera similar al desarrollo anterior se considera el flujo de momento en y (momento paralelo a la cresta de la ola) que atraviesa un plano y constante. La componente principal de radiación en la dirección yyσ es

( )0

20yy

h h

p v dz p dzζ

σ ρ− −

= + −∫ ∫ (5.27)

Reporte Doctoral

50

Donde v es la componente transversal de la velocidad. Igual que para la componente principal en la dirección x se considera la suma de ésta en tres partes. 1 2 3

yy yy yy yyσ σ σ σ= + + (5.28) Donde

1 2yy

h

v dzζ

σ ρ−

= ∫ (5.29)

( )0

20yy

h

p p dzσ−

= −∫ (5.30)

3

0yy pdz

ζ

σ = ∫ (5.31)

En ondas de gravedad la velocidad transversal desaparece en cualquier lugar y así se tiene 1 0yyσ = (5.32)

2yyσ y 3

yyσ son iguales a 2xxσ y 3

xxσ respectivamente

( )0

2 2yy

h

w dzσ ρ−

= −∫ (5.33)

2

3

2yygρ ζσ = (5.34)

Sustituyendo la velocidad en la ecuación (5.33), integrando y sumando la ecuación (5.34) se obtiene

sinhyy

khEkh

σ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.35)

En aguas profundas 2

yyσ es igual a menos la densidad de energía cinética, es

decir, 2E

− , por tanto se cancela con 3yyσ y yyσ se desvanece.

Rotura del oleaje

51

0yyσ = (5.36) La deficiencia en la presión media p presentada en los esfuerzos de Reynolds

2wρ se cancela en aguas profundas debido a los efectos generados por la deformación de la superficie. En aguas someras, el cuadrado de la velocidad vertical media es pequeño. Por lo tanto, 2

yyσ es insignificante

3

2yy yyEσ σ= = (5.37)

El paso de flujo de momento en la dirección x a través del plano y constante está dado por,

xyh

uvdzζ

σ ρ−

= ∫ (5.38)

Donde no se tiene contribución de la presión media. Como uv se elimina entonces se tiene 0xyσ = (5.39) Con esto se verifica que la dirección de propagación del oleaje es x. Con todo lo anterior se forma un tensor formado por las siguientes componentes.

2 1 0sinh 2 2

0sinh 2

khkh

khkh

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.40)

5.2.3. Ondas estacionarias Al combinar dos ondas progresivas de igual amplitud a y longitud de onda se produce una onda estacionaria. La superficie libre está descrita por 2 cos cosa kx tζ σ= (5.41)

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52

Ilustración 3 Velocidad de las partículas en una onda estacionaria

Las componentes de la velocidad están dadas por

( )2 cosh sin sinsinh 2

au k z h kx tkh

σ σ= + (5.42)

( )2 sinh cos sinsinh 2

av k z h kx tkh

σ σ= + (5.43)

La superficie libre tiene antinodos en kx nπ= y nodos en 12

kx n π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

. Las dos

componentes de la velocidad fluctúan en fase proporcionalmente al sin tσ , así que la órbita de las partículas es una línea recta. Bajo los antinodos la órbita de las partículas es vertical, mientras que en los nodos son horizontales y en las zonas intermedias la órbita es generalmente inclinada con respecto a la horizontal. La variación horizontal de uwρ tiene una diferencia en el nivel medio entre un nodo y un antinodo y ésta se puede calcular por medio de los esfuerzos de radiación. Se considera el esfuerzo xxσ como el flujo de momento paralelo al eje x, de acuerdo a la ecuación (5.8). Considerando la hipótesis inicial, la componente principal del flujo de momento se divide en 3 partes, así:

0

1 2xx

h

u dzσ ρ−

= ∫ (5.44)

( )0

20xx

h

p p dzσ−

= −∫ (5.45)

Rotura del oleaje

53

3

0xx pdz

ζ

σ = ∫ (5.46)

Donde 0p es la presión hidrostática. Como se determinó en el apartado anterior

2

3

2xxgρ ζσ = (5.47)

El producto medio uw y también los esfuerzos de corte uwρ no son despreciables y son función de la coordenada horizontal x. Entonces, en la segunda componente ( 2

xxσ ), la presión media no puede ser deducida de forma tan simple como en la onda progresiva. Sin embargo se puede encontrar una relación general para el flujo de momento vertical.

0

20

z

p w uwdz p gx

ρ ρ ρ ξ∂+ − = +

∂ ∫ (5.48)

donde los términos del lado derecho representan el peso total de la columna de agua desde un nivel z dado hasta la superficie libre ζ . Los términos de la izquierda muestran como es soportado este peso: los primeros dos términos representan el flujo medio vertical de momento a través de la base de la columna, mientras que el tercer término es la resultante del flujo vertical de momento a través de los lados verticales de esta. Tomando 0p p− , reemplazando en la ecuación (5.45) y realizando la integración se obtiene

0 0 0

2 2

'

'xxh h z

gh w dz uwdzdzx

σ ρ ζ ρ ρ− −

∂= − +

∂∫ ∫ ∫ (5.49)

Sumando todas las componentes se obtiene el esfuerzo de Reynolds

( )0 0 0 2

2 2

'

'2xx

h h z

ggh u w dz uwdzdzx

ρ ζσ ρ ζ ρ ρ− −

∂= − − + +

∂∫ ∫ ∫ (5.50)

Esta componente del tensor es independiente de x . Esto sugiere, por otro lado, que el flujo de momento se debe acumular en ambas partes de la ola. Por lo tanto, xxσ es igual a un promedio horizontal, es decir, un promedio con respecto a x para una longitud de onda. Los términos de la derecha de la ecuación (5.50) el promedio horizontal de ζ es cero, mientras que el tercer término desaparece por efectos de periodicidad (flujo de momento a través de las

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54

paredes verticales del cubo de una longitud de onda se cancela). En consecuencia

( )0 2

2 2

2xxh

gu w dz ρ ζσ ρ−

= − +∫ (5.51)

Donde las barras indican el valor medio horizontal. Al sustituir los valores de la velocidad de las ecuaciones (5.42) y (5.43) se encuentra

2 2 1sinh 2xx

khgakh

σ ρ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.52)

Comparando este resultado con la ecuación (5.24) se puede observar que el esfuerzo de radiación de una onda estacionaria es dos veces el valor del esfuerzo de una onda progresiva. Esto representa la suma de los esfuerzos de la onda incidente y reflejada, como es de esperarse. La evaluación del esfuerzo transversal yyσ es exactamente igual. Solo es

necesario reemplazar 2u por 2v .

0

2yy xx

h

u dzσ σ ρ−

= − ∫ (5.53)

2 2 2 1 cos 2

2 sinh 2 sinh 2yyga kh kh kx

kh khρσ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.54)

Por lo tanto, yyσ diferente de xxσ , es función de x en una onda estacionaria. Los valores de yyσ ocurren en los nodos de la superficie libre. El valor medio de yyσ está dado por

2

sinh 2yykhga

khσ ρ= (5.55)

Este valor medio es dos veces al determinado para el caso de una onda progresiva. Los esfuerzos cortantes de radiación en la dirección xy y yx son respectivamente 0xy yxσ σ= = (5.56)

Rotura del oleaje

55

Reporte Doctoral

56

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