Simulación Numérica de Yacimientos - Grupo de...

1

Simulación Numérica de Yacimientos

Dr. Fernando Rodríguez de la Garza

e-mail: [email protected]: 55508712, 5622 3017 al 19

Capítulo 3.Diferencias FinitasDiferencias Finitas

2

3.1 Diferencias Finitas

Considerar que para cada � en el intervalo �� existen la función ��y hasta su �� derivada, o sea: ��Entonces, la expansión de �� al rededor del punto �� contenido en el intervalo será:

donde,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξ

�

��

�

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

−++−+−+=

( ) �� −+= θθξ ��

(3.1)

Diferencias Finitas

Nótese que la expansión dada por la Ec. 3.1 contiene � términos solamente y aun es exacta. Reemplazamos la acostumbrada serie infinita de Taylor por una serie finita. Esto es posible ya que como se puede apreciar, el �� término está evaluado no en el punto ��sino en el punto ξ que se desconoce pero que se sabe está contenido en el intervalo ��

La Ec. 3.1 sirve de base en la aproximación de las derivadas que constituyen las ecuaciones de flujo de fluidos en medios porosos que nos ocupan, como se verá a continuación.

3

3.2 Aproximaciones de la primera derivada.

3.2.1 Diferencias Progresivas.

Considerar en la Ec. 3.1: �� y �� + ��. Esto es:

De esta ecuación, se puede obtener la siguiente expresión para la aproximación de la primera derivada:

( ) ( )��

�

��

�

��

��

��

�

��

��

ξ

∆∆∆ ++=+

( ) ( )��

�

�

��

� ��

��

�

�

�

��

��

��

ξ

∆∆

∆ −−+=

3.2

3.3

3.2.1Diferencias Progresivas.

Nótese que no existe manera de evaluar el último término de la Ec. 3.3 … no se tiene información de la segunda derivada, �� y

del punto �� donde debe evaluarse. Este término se elimina y constituyelo que se denomina “error local de truncamiento” de la aproximación. Su análisis es importante, pues da información sobre el orden de laAproximación, que está definido por la potencia de término �� que Lo multiplica.

4

Diferencias Progresivas.

En este caso la aproximación de �� mediante diferencias progresivas es de primer orden, o sea O(��). Es común reescribirla Ec. 3.3 como:

Siendo Οπ(∆�� el Error Local de Truncamiento, definido como:

( ) ( ) ( )��

��

��

��

��

��

∆Ο+∆

−∆+=

( )�

��

��

ξ�

�

�

∆−=∆Ο

3.4

3.5

3.2 Aproximaciones a la Primera Derivada.3.2.2 Diferencias Regresivas.

Considerar en 3.1: �� y �� ∆��esto es:

De aquí que:

…La aproximación de �� mediante diferencias regresivas es también de primer orden. Elerror local de truncamiento de la aproximación es:

( ) ( )��

��

��

��

��

�

��

ξ�

��

��

∆+∆−=∆−

( ) ( ) ( )��

��

��

��

��

��

∆Ο+∆

∆−−=

( )�

��

��

ξ�

�

�

∆=∆Ο

3.6

3.7

3.8

5

3.2.3 Diferencias Centrales.

Considerar en 3.1: �� y escribir �� en ��∆� y �� ∆��:

y

Restando las Ecs.3.9 y 3.10, se tiene:

3.2 Aproximaciones a la Primera Derivada.

( ) ( )��

�

��

�

�

��

�

��

��

��

�

��

��

��

�

��

��

ξ

∆∆∆∆ +++=+

( ) ( )��

�

��

�

�

��

�

��

��

��

�

��

��

��

�

��

��

ξ

∆∆∆∆ −+−=−

( ) ( )��

�

�

��

�

�+∆+∆=∆−−∆+

�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

ξξ

3.10

3.11

3.9

La Ec. 3.11 lleva a la siguiente aproximación de la primera derivada mediante diferencias centrales:

con un error local de truncamiento de segundo orden !∆�� es decir:

Comparando el error local de truncamiento de la aproximación anterior, !∆�� con los obtenidos previamente para diferencias progresivas y regresivas, �∆�� ∆��se tiene que:

( ) ( ) ( )��

��

��

��

��!

��

� �

∆Ο+∆

∆−−∆+=

( )��

�

�

��

�

�+∆=∆Ο

�

�

�

��

��

��

��

��

��!

ξξ

( ) ( )�"� �"� �#�

�

!#�

∆Ο∆Ο∆∆ →→

<

3.2.3 Diferencias Centrales…

6

El error de truncamiento de la aproximación de la primera derivada en diferencias centrales es menor que el correspondiente a diferencias progresivas o regresivas.

Para abreviar la escritura de las aproximaciones es conveniente usar la notación que a continuación se muestra, en la que se considera que ∆x es uniforme. Sea:

��

��

��

��

�� -��

3.2.3 Diferencias Centrales…

( )��

��

��

��

��

� �

∆Ο+∆−

= −�

( )��

��

�

��

��

��!

��

� �

∆Ο+∆−

= −+

( )��

��

��

��

��

� �

∆Ο∆

+−= +

Empleando esta notación se puede ahora escribir las aproximaciones anteriores de la siguiente manera:

Diferencias progresivas,

Diferencias regresivas,

Diferencias centrales,

7

3.3 Aproximación de Términos de la Forma

Suponer que �� y el coeficiente λ��λ�� Se desea aproximar el siguiente término diferencial:

...(3.18)

Considérese ahora el núcleo típico de celdas en 2D:

�

��

∂∂

∂∂

�

�

�λ

�

��

∂∂

∂∂

�

�

�λ

Usualmente se emplea la siguiente notación:

� � �

$��

��

3.3 Aproximación de Términos…

Si se define,...(3.19)

se puede entonces escribir la Ec. 3.18 como:

...(3.20)Empleando diferencias centrales, Ec. 3.17, en la aproximación de la

Ec. 3.20 y apoyándose en los puntos ��±% , que corresponden a las fronteras de la celda i,j en la dirección x, se obtiene:

...(3.21)

�

�&

∂∂= λ

�

&

�

�

� ∂∂=�

��

∂∂

∂∂ λ

�

$�$�

$� �

&&

�

&

∆

−≈

∂∂ −+ ��

�

�

�

�

�

8

Sustituyendo u por su definición, Ec. 3.19:

Se necesita ahora aproximar ��'�� en las fronteras de las celdas. Usando de nuevo diferencias centrales y apoyándose ahora en los nodos ��$ , ��$ e ��$�� se obtienen las siguientes aproximaciones:

��

�

��

�

∂∂−

∂∂

∆≈

∂∂

−−

++

$�

$�

$�

$�

�$� �

�

�

�

��

&

�

�

�

�

��

��

�

�

��

�

� λλ

�

��

�

��

� +

+

+ ∆−

≈∂∂

�

$�$�

$� �

��

�

�

�

��

�

��

� −

−

− ∆−

≈∂∂

�

$�$�

$� �

��

�

�


3.22

3.23

3.24

Substituyendo las Ecs. 3.23 y 3.24 en la Ec. 3.22, se obtiene:

( ) ( )��

�

��

�−�

��

∆

−−�

��

∆∆

≈�

��

∂∂

∂∂

−−

++

$�$�

$�

$�$�

$��$�

��

��

�

��

�

��

��

�

�

�

� λλλ


3.25

9

3.4 Aproximación de los Términos de la Forma

Sea ��(� una función para la cual deseamos obtener aproximaciones en diferencias finitas de su derivada parcial conrespecto al tiempo.

Se tienen tres opciones:

– Diferencias regresivas (…esquema implícito en tiempo)– Diferencias progresivas (…esquema explícito en tiempo)– Diferencias centrales (…esquema Crank-Nicholson)

(

�

∂∂

( )((

��

(

�)

$�

)

$�

)

$�

∆Ο+∆−

=∂∂ ++

�

�

�

�

�

3.4.1 Aproximación en diferencias regresivas

3.26

3.4 Aproximación de…

3.4.2 Aproximación en diferencias progresivas:

( )((

��

(

�)

$�

)

$�

)

$�

∆Ο+∆−

=∂∂ +

�

�

�

�

( )��

�

�

�

�

�

((

��

(

�)

$�

)

$�

)

$�

∆Ο+∆−

=∂∂ ++

(

�

∂∂

3.4.3 Aproximación en diferencias centrales:

3.27

3.28

10

• La aproximación de la primera derivada mediante diferencias centrales es más exacta que diferencias regresivas y progresivas.

• No se emplean diferencias centrales en tiempo en la SNY: Su aplicación requiere de mayor esfuerzo computacional y no se refleja en mayor estabilidad numérica del algoritmo resultante

• Se emplean diferencias regresivas en tiempo!!!

• No se emplean diferencias progresivas por la poca estabilidad numérica de la aproximación resultante.

• El empleo de DFP, DFR ó DFC en tiempo genera esquemas numéricos con características totalmente diferentes.

3.4 Aproximación de… (

�

∂∂

3.5 Notación de las Ecuaciones Aproximadas en Operadores de Diferencias.

Sea el operador de diferencias centrales, �, definido conforme a las siguientes propiedades:

��$��*��$��$��$�� &&&& ∆∆∆∆ ++

��$��$��$��

�� &&& −+ −=∆

��$��$��$��

�� &&& −+ −=∆

��

�� $��$��$��* &&& −+ −=∆

3.29

3.30

3.31

3.32

11

Se define también el operador de diferencias regresivas en tiempo, �t, como sigue:

...(3.33)

Empleando la notación de estos operadores es posible escribir las aproximaciones mostradas en las Ecs. 3.25 y 3.26 como sigue:

...(3.34)y

...(3.35)

))

( &&& −=∆ +�

$�

��

�

�$�

� ��

�

��

��

��

∆∆

∆∆

≈�

��

∂∂

∂∂ λλ

$�(

)

$�

�((

��

�

�

� ∆∆

≈∂∂ +

3.6.3 Esquema Crank-Nicholson.

La derivada parcial con respecto al tiempo, Ec. 3.40, se aproxima mediante diferencias finitas centrales, esto es:

�

�

�

��

�

��

� ++

+

��

��

∂∂=+

��

��

∂∂ )

�

)

�

)

�(

�+

�

,

�

�

ηµ

��-�

)��#��

...(3.49)

Donde,

)

�

)

�

)

��

�

�

�

�

�

��

��

∂∂+

��

��

∂∂=

��

��

∂∂

++

�

��

�

�

�

�

�

�

�

��

�

...(3.50)

12

Crank-Nicholson…

Y,

...(3.51)( ))�)

�

)

� ++�

,+

�

, += ++ �

�

��

� µµ

Substituyendo 3.50 y 3.51 en 3.49 y aproximando las derivadas parciales mediante diferencias centrales, se obtiene:

( )=++∆

+−+∆

+− +−++

−++

+ )

�

)

�

)

�

)

�

)

�

)

�

)

�

)

� ++�

,

�

��

�

��

�

��

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

� µ

(

�� )

�

)

�

∆−=

+��

η...(3.52)

Crank-Nicholson…

Rearreglando,

...(3.53)( ) =++− ++

++−

�

�

��

� �� )

�

)

�

)

� �� ααα

( ) ( ))�)

�

)

�

)

�

)

� ++(�

,�� +∆−−−+−= +

+−�

�� ηµααα

��-�

)��#��

O bien,

)

�

)

�

)

�

)

� ��! =++ +++−

��

�

...(3.54)

13

Crank-Nicholson…

Crank-Nicholson en Ec. 3.49 produce de nuevo un sistema

algebraico de ecuaciones lineales en las incógnitas ��)��-� ( C-N implica más trabajo que el Esquema Implícito).

Nos preguntamos:

1. ¿Cómo se comparan las soluciones obtenidas mediantecada uno de los métodos con la solución exacta?

2. ¿Cuál de los métodos produce la mejor solución?

3. ¿Cuál es el efecto de ∆� y ∆( sobre el desempeño numéricode los métodos y sobre la solución?.

3.7 Consistencia, Convergencia y Estabilidad de una Aproximación Numérica.

Definamos el operador diferencial siguiente:

(�.

∂∂−

∂∂=

η�

�

�

�=+ +�

,.�

µ

...(3.54)

Con lo que 3.36 se escribe como:

...(3.55)

Si consideramos la aproximación del Esquema Explícito:

{ } ( ) ( )(�(

��+

�

,

�

��+

�

,.� �!

)

�

)

�)

�

)

�

)

�

)

�)

�

)

�∆Ο−∆Ο+

∆−

−+∆

+−=+

+−+ �

�

�

��

ηµµ

��

��-�

)��

#��

...(3.56)

14

Consistencia, Convergencia y Estabilidad…

Si se define el siguiente Operador de Diferencias

{ }(

��

�

��/

)

�

)

�

)

�

)

�

)

�)

�� ∆−

−∆

+−=

+−+

�

�

��

η

{ } { } ( ) ( ) �� =∆Ο−∆Ο++=+ (�+�

,�/+

�

,.� �!

)

�

)

��

)

�

)

�

µµ

...(3.57)

...(3.58)

La Ec. 3.56 se puede escribir como:

{ } { } ( ) ( ) )

��!

)

��

)

� 0(��/.� =∆Ο−∆Ο=− �

O bien:

...(3.59)


• La diferencia entre la representación exacta y aproximada del problema de flujo en cuestión, es el Error Local de Truncamiento o de Discretización, 0�

).

• Por lo que, un operador de diferencias L es consistente con el operador diferencial A, al cual aproxima, si el Orden Local de la Aproximación es mayor o igual que uno.

• Que L sea consistente con A implica que en el límite, cuando

y la norma del vector de errores de discretización también tiende a cero, .

• Una aproximación numérica debe ser consistente para que tenga valor práctico.

�→∆� �→∆(�→0

15


{ } )

�

)

�

)

�� 0+�

,�/ −=+ µ

Además de ser consistente, L debe ser convergente al operador A. Para el problema en cuestión, esto se prueba partiendo de 3.58:

...(3.60)

...(3.61)

0�) se desconoce… debe ser pequeño y por lo tanto se desprecia:

{ } � =+ )

�

)

�� +�

,�/

µ

�� indica el carácter aproximado de la solución, comparada con lasolución exacta de la Ec. 3.60.


...(3.62)

...(3.63)

Se define el Error Global de la Solución como la diferencia entre las soluciones exacta y aproximada,

)

�

)

�

)

� �� −=εy se dice que /� es convergente a . si

�→ε �→∆� �→∆(cuando y

εDonde: = Norma del Vector de Errores Globales

16


...(3.63)

...(3.64)

ε y 0� se relacionan, lo que se establece restando 3.60 y 3.61,

{ } { } ( ){ } { } )

�

)

��

)

��

)

��

)

�� 0/��/�/�/ −==−=− ε

)

�

)

�

)

�

)

�

)

�

)

� 0(�

−=∆−

−∆

+− ++−

+++ εε

ηεεε �

�

�

�

��

� ��O sea,

El comportamiento de ε y � es descrito por la misma ecuación (0�)�

en 3.64 equivale a +�) en 3.56): Cumple sólo en problemas lineales.

La Ec. 3.64 implica que: �� →→ 0!&�)��ε


En problemas prácticos es muy difícil probar directamente la convergencia de un operador de diferencias finitas.

La convergencia de un operador, sin embargo, se puede establecer indirectamente probando la estabilidad de un esquema de aproximación. Esto es posible a partir del

Teorema de Equivalencia de Lax:

La estabilidad es una condición necesaria y suficiente para que exista la convergencia, cuando la aproximación es consistente.

17


El concepto Estabilidad aplica en problemas dependientes del tiempo: Un algoritmo numérico es estable si cualquier error, introducido en alguna etapa de los cálculos, no se amplifica en cálculos subsecuentes.

ε�) afecta las soluciones de 1)

Tipos de errores:

• Redondeo (son fijos y depende de precisión de la computadora)

• Discretización (inherente a la solución numérica, ∆t y ∆x)

Métodos para probar estabilidad

Series de Fourier

Matricial

Condición de Estabilidad de los Esquemas de Aproximación

�/� 2) )

�

�� ∆−= πγε

�

�

)

�

3

)

� . εε �=

=

Método de las Series de Fourier

Se representa el error global de la solución ε�)mediante una serie discreta de Fourier, como sigue:

Donde,

. ��Coeficientes que se obtienen a partir de C.F.

y

��Coeficientes que se obtienen a partir de C.I.)

γ

18

Condición de Estabilidad de los Esquemas de Aproximación

� )

�ε

[ ]

( ) ��

�

��

��

�

�

�

��

��

=−∆

−

+−∆

∆

+∆∆−∆

−

=

+

−−−

=

�

�

�/�

�/� /� �/�

2

2223

)

)

3

)

(

��

π

πππ

γγη

γ

Substituyendo ε�) en 3.64 (…con 0�)�#�

El crecimiento del m-ésimo componente está condicionado por , el Factor de Amplificación.)

γ

��

≤+

)

)

γγ

��

��

≤+

)

�

)

�

εεCriterio de Criterio de

EstabilidadEstabilidad

Condición de Estabilidad de los Esquemas …

��

��

∆∆=

��

(

ηα

[ ]

��

�

�

��

��

��

��

��

��

=��

��

−

∆−

+−−∆

�

�

=

+−

−−−

=

∆

∆∆∆

3

)

)

)

3

)

�/�

/� /� �/�

2

222

(

�

γγγ

η

γ

π

πππO bien,

Si se define,

[ ] ��

��

�

� =��

��

−−∆+−∆−∆ +

−−−

=� )

)

3

)

/� /� /� 222 �γ

γπαπαπγ α

Entonces,

19


( ) �� /� 42)/� 5��6 ∆=∆−− ππ

�� 5��6�� 22 =−+

[ ( ) ] ��

=��

��

−−−∆−

+

)

)

/� 5��6γ

γπα

Pero,

y el término en corchetes de la anterior ecuación se escribe como:

También,

��

�

� =+−∆−+

)

�

)

�/� 42)

γγ

παPor lo que:


��

��

�≤∆

∆∆−≤− /� 42)�

( πη

�

�

≤+

)

�

)

�

γγ

��

≤+

)

�

)

�

εε

La condición general de estabilidad es,

Condición de Estabilidad del Esquema Explícito,

o bien,

Se cumple para cualquier

valor de α

��

�� /� 42)�

(

∆≤

∆∆

πη

�

��

≤∆

∆�

(ηEl Esquema Explícito es

Condicionalmente Estable

20


��

�

�

�

�

�

/� 42)�

()

)

∆∆

∆+=

+

πηγγ

Procediendo de manera similar, se puede probar que el Esquema Implícito de aproximación, aplicado al problema de flujo en cuestión, es Incondicionalmente Estable. En este caso se obtiene que

El Esquema Implícito es

Incondicionalmente Estable

�

��

�

��

�

�

≤∆

∆∆+

≤−/� 42)

�

( πη

La C. E. implica:

Ambas desigualdades se cumplen para cualquier valor de α !!!

3.8 Construcción de Mallas

La solución numérica de las ecuaciones de flujo de fluidos en medios porosos consiste en obtener una representación aproximadade las ecuaciones diferenciales en puntos específicos del espacio y del tiempo: ��- ��)�#��,... para el problema unidimensional.

El dominio del problema, en espacio y en tiempo, se segmenta o discretiza; se genera así una malla de cálculo, constituida de celdas y nodos, donde se obtiene la solución en etapas sucesivas de tiempo.

21

Construcción de Mallas…

Existen básicamente dos tipos de mallas en la simulación numérica:

(a) Mallas de nodos distribuidos. (b) Mallas de bloques centrados.

Los nodos y los bloques, o celdas, a su vez pueden ser distribuidos de manera uniforme o no uniforme.

Las mallas no uniformes son necesarias cuando:

• Se simulan problemas con regiones que experimentan cambios fuertes en la presión y en las saturaciones, a lo largo del tiempo: Conificación de fluidos, representación de acuíferos, etc. • Se tienen yacimientos geológicamente complejos: Arquitectura compleja, fallas, acuñamientos, etc.

3.8.1 Mallas de Nodos Distribuidos

En un yacimiento lineal de longitud L, y área transversal al flujo A, una malla de nodos distribuidos uniformemente se construye colocando primeramente los nodos de las fronteras del yacimiento y entre ellos se distribuyen, con espaciamiento uniforme, el resto de los nodos. Una vez definida la posición de los nodos, se procede a definir la posición de las fronteras de las celdas, en el punto medio entre los nodos.

��7�� -��∆��

∆��'�

22

Malla de Nodos Distribuidos…

Si se considera un total de -��nodos, su espaciamiento, ∆�, es:

...(3.66)

Nótese que el volumen de las celdas situadas en las fronteras es la mitad del volumen de las celdas internas, es decir:

...(3.67)

La posición de los nodos es:

...(3.68)y la posición de la frontera de las celdas es:

...(3.69)

�−=∆-

/��

��

−=∆=∆

=��

��

-��.

-��.8�

�

�

�

-�� =∆−=

-��

��

�

� =∆−=+

3.8.2 Malla Uniforme de Bloques Centrados:

Se construyen situando celdas de tamaño uniforme en el yacimiento y ubicando posteriormente los nodos en el centro de cada una de ellas.

-

/�� =∆

�� .8� ∆=

�� ∆−= ��

-��

�

� =∆=+

��7�� -��∆��

∆��'�

23

3.8.3 Construcción de una malla radial cilíndrica.

• Se requiere en el modelado del flujo de fluidos hacia un pozo (… generalmente se emplean coordenadas cilíndricas, (�,θ,*) )

• Para representar adecuadamente las fuertes variaciones de la presión y saturación de los fluidos en las vecindades del intervalo disparado del pozo, es necesario emplear una malla no uniforme en la dirección radial.

• La mejor representación del flujo radial en una malla se obtiene definiendo el tamaño de las celdas proporcionalmente a su caída de presión, lo que se consigue empleando una malla logarítmica de nodos distribuidos o de bloques centrados.

Construcción de una malla radial cilíndrica…

Considerar:• Flujo radial en régimen permanente• Viscosidad y factor de volumen del fluido constantes

El gasto del fluidos entonces se expresa como:

!�)�(�)(2�

��6+ =

∂∂−= λπ� …(3.74)

��

�2�

�2�

��

��6+

−−= λπ …(3.75)

Integrando,

24

Construcción de una malla radial cilíndrica…

��7�� -��∆��

∆��'�

Ahora bien, la representación exacta del gasto en la frontera ��'��común a las celdas � e ��, de acuerdo con 3.75 está dada por:

� ��

��'��'�

( )��

��

9��

��6++

�

�

��

+

+ −−== λπ 3.76

Construcción de una Malla Radial Cilíndrica

( )��

�

�: ��

�6++ −�

��

∆

−== ++

+ �

��

�� λπ

Ahora bien, 3.74 se puede aproximar numéricamente en ��'��mediante diferencias finitas centrales como sigue:

3.77

:9 ++ =

( )( ) ( )��

��

��

�6

��

��6 −�

��

∆

−=−

− +++

+�

�

�

�

�

��

� λπλπ

Si hacemos que,

3.78

3.79

3.76 y 3.77 en 3.78,

25


De 3.79 encontramos que para que +9�+:� es necesario que

3.80

( )( )��

��9�

��

��6+

�

��

��

+

++

−−= λπ

Por otro lado, de 3.76, tenemos que:

3.81

3.82

( )��

��

� ��

��

�

�

��

�

+

++

−=

��'� = Promedio logarítmico de �� e ��

( )( )�

��

��

−

−−

−−=��

��9�

��

��6+ λπ


Puesto que en régimen permanente +9��'��+9��'� ��dividiendo(3.81) entre (3.82),

3.83

De 3.83, para que ��debe cumplirse,

3.84

3.85

( )( )

( )( ) �

��

��

�

�

�

�

�

�

�

�

=−

−=

−

+

+

−

−

+

��

��

��

��

9�

9�

��

��

��

��

+

+

( ) ( ) !�)�(�)(2�� == −+ ��

( ) ( ) ( ) ( )��

�

�

� �� -�� -��

-

�

�� =−= +

−

=+�

Lo que conduce a:

26

3.8.3.1 Malla Radial Cilíndrica de Nodos Distribuidos

El desarrollo previo es común a las mallas radiales de nodos distribuidos y bloques centrados. Ahora se definirá la primera de estas:

3.86( ) ( ) ( );2�� - �� =− +

Si en 3.85 se escribe ��; ��-��2,

��7�� -��∆��

∆��'�

� ��

��'��'�

Malla Radial Cilíndrica de Nodos Distribuidos…

Por lo tanto,

3.87( ) ( ) ( ) α== −+

��

�

-

;2��

Donde,α Factor de distribución geométrica de los radios de los nodos

�2 Radio de drene del pozo

�; Radio del pozo

- Número de celdas en la dirección radial

Entonces, el radio de los nodos de las celdas está dado como:

�� α=+� 3.88

27

3.8.3.2 Malla Radial Cilíndrica de Bloques Centrados

En este caso, la ec. 3.85 aplica directamente,

3.89

( ) ( ) ( )�� - -�� =− +

��7�� -��∆��

∆��'�

� ��

��'��'�

O bien,( ) ( ) ( ) α== −

+��

��

-

-��

Malla Radial Cilíndrica de Bloques Centrados…

De 3.80 y 3.88,

3.90

( )αα

ααα

α ��

�

��

�

��

��

�

�

�

��

�� ;

−=−

=−

==

( ) ;�� αα

α��

�� −=

De donde se obtiene que,

( )-

----2-

��

��α

αα

αα ��

�

��

�

�

�

−=−

=−

== ++

Similarmente,

28

Malla Radial Cilíndrica de Bloques Centrados…

Por lo que,

3.91

3.92

( ) 2- ��

��

−=

αα

( ) ( ) ( ) ( )��

��

��

�

�

��

��

−

−

− =��

��

�

−

−== -

;2

-

;

2-

- ��

�

�

�� αα

αα

αα

α

Substituyendo 3.90 y 3.91 en 3.89,

( ) -

;2 �� =αPor lo tanto,

Construcción de Mallas Radial Cilíndrica: Receta

( ) ;�� αα

α��

�� −=

( )��

��

� ��

��

�

�

��

�

+

++

−=( )��

��

� ��

��

�

�

��

�

+

++

−=

( ) -

;2 �� =α

Nodos DistribuidosNodos Distribuidos BlolquesBlolques CentradosCentradosDatos: �2��;��-

( ) ( )�� −= -

;2 ��α

�−= �� α�−= �� α

��; <��-��2

��7�-

��7�-

��'��; <��-��'��2

Simulación Numérica de Yacimientos - Grupo de...

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