Acta geológica li l loana 27 (2): 97–104, 2015 97

Di Prinzio, C. L.1,2; Druetta, E.1; Nasello, O. B.1,21 FAMAF (Facultad de Matemática Astronomía y Física. Universidad Nacional de Córdoba)Medina Allende y Haya de la Torre. Ciudad Universitaria (5000). carlosdiprinzio@gmail.com2 CONICET (Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología).

Recibido: 26/12/14 – Aceptado: 28/08/15

Simulación de la evolución del tamaño de grano a lolargo de la profundidad de un glaciar, usando elmétodo Monte Carlo en tres dimensiones

Resumen — En este trabajo se presenta un modelo de simulación de crecimiento degrano en tres dimensiones usando el método Monte Carlo aplicable a hielos extraídos de gla-ciares o de las zonas polares terrestres. El modelo incluye la influencia de burbujas, partícu-las y de la anisotropía existente en la energía interfacial entre los distintos granos. En traba-jos previos se mostró que el crecimiento de grano es afectado por la densidad y tamaño delas partículas. Este trabajo demuestra que la anisotropía de la energía disminuye el crecimien-to de grano. También se puede ver que el efecto combinado de frenado del crecimiento degrano de las partículas y de la anisotropía en la energía de los bordes de grano es multipli-cativo.

Palabras claves: Crecimiento de grano, efecto Zener, borde de grano, Monte Carlo.

Abstract — “Simulation of the grain size evolution throughout the depth of a glacier,using the Monte Carlo method in three dimensions”. A three-dimensional numerical model ofgrain growth using Monte Carlo algorithm is presented in this work. The model is applied toice cores from ice caps. The model includes the effects of the particles, bubbles and aniso-tropic grain boundary energy. The previous works demonstrate that the grain growth is af-fected by the size and the density of the particles. With present model is demonstrated thatthe effects of the particles and the anisotropic grain boundary energy are multiplicative

Keywords: Grain growth, Zener effect, grain boundary, Monte Carlo.

INTRODUCCIÓN

Cuando se observa como varían la textu-ra y el tamaño de los granos de un glaciarcon la profundidad, se observan cambios quenormalmente son explicados con procesos decrecimiento de grano normal (CGN), creci-miento de grano frenado por impurezas(CGI), recristalización, poligonización, etc.(Thorsteinsson et al. 1997). La poligoniza-ción es un fenómeno en donde un grano sedivide en granos con orientaciones cristali-nas cercanas. Esto se produce cuando losgranos en cuestión liberan las tensiones queacumulan con la profundidad debido al au-mento de la presión, creando barreras dedislocaciones que generan bordes de granode bajo ángulo. La recristalización es unproceso donde se nuclean nuevos granos con

desorientaciones no cercanas entre sí, libe-rándose así las tensiones acumuladas.

En capas de hielo no muy profundas (me-nor a 500 metros) (Durand et al. 2004) sóloestán presentes algunos procesos de los men-cionados como CGN y CGI, ya que la defor-mación todavía es muy baja. Debido a lapoca profundidad no se observan en estoshielos efectos de poligonización o recristali-zación (Di Prinzio et al. 2005). Los procesosactivos están superpuestos y aún hay grandesdiscrepancias sobre cuáles son las leyes quelos rigen (Barnes et al. 2002, Weiss et al.2002. Durand et al. 2008). El tamaño degrano en estas capas puede estar afectadopor las burbujas, las impurezas no solubles ysolubles y por la anisotropía en la energía ymovilidad de los bordes de grano (Trombo-tto Liaudat et al. 2008). Pueden estos proce-sos hacer que el cuadrado del tamaño mediode los granos (R) no se comporte linealmen-

C. L. Di Prinzio et al.: Simulación de la evolución del tamaño de grano98

te con el tiempo mediante la ley R2–R2 =k(t–t0) donde R0 es el radio medio inicial, tel tiempo y t0 el tiempo inicial, como lo pre-dice la teoría de crecimiento de grano nor-mal.

El crecimiento de grano con partículasinmóviles fue estudiado mediante simulacio-nes numéricas por los presentes autores (DiPrinzio et al. 2013). En este trabajo se mues-tra que las partículas frenan el movimientode los bordes de grano y el frenado dependedel tamaño y de la fracción del volumen to-tal ocupado por las partículas.

Otros autores han visto además que laanisotropía de la energía de los bordes degrano afecta el crecimiento de grano (Yu etal. 2009). En general se ha encontrado queel cuadrado del tamaño medio de los granos(R2) no se comporta linealmente con eltiempo y se observa claramente un efecto defrenado en muestras bidimensionales. La for-ma de los granos es fuertemente dependientedel modelo usado para la energía de los bor-des de grano. El modelo de energía basadaen la función logarítmica es uno de los mo-delos más usado en la literatura, ya que pro-duce granos de forma uniforme (Yu et al.2002). Esta función de energía de borde degrano está presentada en la ecuación (5).

El crecimiento de grano con efectos si-multáneos de la anisotropía de la energía deborde de grano y la inclusión de partículasfue estudiado por Fjeldberg y Marthinsen(2010). Los autores utilizaron un modelo deMonte Carlo en tres dimensiones y modelan-do la energía de borde de grano con unafunción logarítmica. Sin embargo en estetrabajo solo estudian la distribución de ta-maño de grano después de una recristaliza-ción y del crecimiento de grano. El trabajono menciona cómo es la evolución temporaldel tamaño de los granos.

En un glaciar o en los hielos polares pode-mos ver que el crecimiento de grano hasta los500-800 metros de profundidad está siendoafectado por partículas, y en general se obser-va una marcada tendencia a tener los granoscon desorientaciones de bajo ángulo. La ener-gía de los bordes de grano en hielo es aniso-trópica (Di Prinzio et al. 2014) y este hecho

podría explicar esta característica de los hie-los polares. Interpretar correctamente los pro-cesos que ocurren a esta profundidad en unglaciar, es de mucha importancia pues de allíse obtienen parámetros físicos necesariospara predecir el comportamiento de los gla-ciares con el paso del tiempo.

En este trabajo se presenta un modelo desimulación de crecimiento de grano en tresdimensiones usando el método Monte Carlo.Se estudia el efecto sobre el crecimiento degrano de burbujas, partículas y de la aniso-tropía en la energía de los bordes de grano.

MODELO Y SIMULACIÓN

El algoritmo de CG por Monte Carlo en3D trabaja sobre una matriz 200x200x200pixel3 (pixel es la unidad de longitud queusaremos y representa la distancia entre dospuntos consecutivos de la matriz). Cada pun-to (i,j,k) de la matriz tiene asociado tresnúmeros: l que da la ubicación en la matrizlijk=l= j+(i-1)*200+(k-1)*(2002) (l estáentre1 y Q =2003 , i,j y k están entre 1 y200), c1 elegido al azar comprendido entre 1y Q, y Sl=cl*90/Q que representa una orien-tación cristalina entre 0 y 90°. Los granos enla matriz están representados por zonas depuntos con igual número Sl y c1. Cada puntode la matriz tiene un número fijo de vecinosdependiendo de la simetría de la matriz y deque orden de vecinos se considera. Para unared cúbica, por ejemplo, los primeros veci-nos son 6, los segundos vecinos 12 y los ter-ceros son 8. Por lo cual si se considera hastalos terceros vecinos da un total de 26.

La energía total del sistema W está dadapor:

(1)

donde es la energía de interac-ción entre las orientaciones Sl y Sm y esconstante cuando el crecimiento de grano esnormal, δ representa la función delta deKronecker.

Para encontrar la configuración conenergía más baja que la configuración ini-

0

Acta geológica li l loana 27 (2): 97–104, 2015 99

cial, se deben modificar las orientaciones Sde los puntos de la matriz. Para ello se eligeun punto de la matriz (i,j,k) (o sea un dadoSl) al azar y se intercambia el valor Sl con elvalor Sl´ de uno de sus vecinos (i´,j´, k´) (osea un dado Sl´) , elegido también al azar.Como sólo se modifica la energía total W enel entorno del punto (i,j,k) no es necesariocalcular W para todos los sitios de la matriz.Por lo tanto podemos redefinir la energíalocal WL alrededor del punto (i,j,k) como:

(2)

Si calculamos ahora la WL alrededor de(i,j,k) cuando el valor Sl se remplazó por elvalor Sl´

(3)

el cambio de orientación en (i,j,k) de Sl aSl´ se producirá de acuerdo a una función deprobabilidad P(Sl,Sl´) definida como:

(4)

k representa la constante de Boltzmann yT la temperatura absoluta. Si lafunción P(Sl,Sl´) es igual a 1 y entonces seproduce el cambio. Cuando , seelige un número al azar entre 0 y 1 y sólo seefectúa el cambio cuando el número resul-tante es menor que P(Sl,Sl´). El ciclo comple-to de análisis de intercambio se completacuando todos los puntos de la matriz hansido analizados con el procedimiento ante-rior y el ciclo se define como un paso deMonte Carlo (MCS).

En el caso de agregar partículas en elmodelo debemos definir cuál es la concen-tración «f» y el tamaño de las partículas. Eneste trabajo se fijó una concentración f=0,01y una partícula cúbica de lado igual a 3pixeles. Se tomó una cantidad N=Q*f/9 desitios (i,j,k) al azar con valores de Cl=0 ySl=0. Luego también se hacen nulos los va-lores Cl y Sl de los vecinos alrededor de esepunto, dando un total de 9 sitios para unapartícula de lado 3 pixeles. Eso nos generapartículas cúbicas cuyos lados tienen 3 pixe-les de longitud, de la misma forma se pue-den definir partículas de diámetros mayores.Las partículas son inmóviles y la energía deinteracción con los demás si-tios es nula.

Cuando incorporamos al modelo la ener-gía anisotrópica de los bordes de grano seusa la función de energía de interacción

definida según (5).

(5)

C. L. Di Prinzio et al.: Simulación de la evolución del tamaño de grano100

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Las simulaciones se realizaron de formatal que sean aplicables a los hielos delGISP2 correspondientes a profundidadesmenores a 500 m. Para ello, sabiendo el ta-maño de los granos a los 500m en GISP2 (DiPrinzio y Nasello, 2011) y el tamaño y densi-dad de las partículas (Alley y Fitzpatrick ,1999), se encontró la cantidad de partículascúbicas de lado 3 pixel correspondientes ala concentración de partículas f=0,01 en-contrada en el GISP2.

En estas simulaciones la energía del bor-de de grano fue representada por la ecua-

ción (5) y la desorientación de los granosestá representada sólo por un ángulo. Estasimplificación está basada en que, hastahace muy poco tiempo, sólo se medía la di-rección del eje «c» de los granos en los hie-los polares, desconociendo la orientación deotras direcciones cristalográficas (Wilen etal. 2003). Sin embargo, recientemente, se hamejorado la técnica de detección de orienta-ción de cristales (Chan et al. 2014), pudién-dose en el futuro mejorar el modelo de simu-lación presente.

En la figura 1 se presentan las imágenesde los policristales obtenidos en las simula-ciones de Monte Carlo en 3 dimensiones a

Figura 1. Policristales obtenidos mediante la simulación a los 4000 MCS con a) Energíauniforme, b) con energía uniforme pero con una fracción del 1% de partículas, c) Con ener-gía anisotrópica como la ecuación 5) y d) Con energía anisotrópica como la ecuación 5) y conuna fracción del 1% de partículas.

Acta geológica li l loana 27 (2): 97–104, 2015 101

los 4000 MCS: (a) con energía uniforme, (b)con energía uniforme y partículas, (c) conenergía no uniforme y sin partículas y (d) ycon energía no uniforme y con partículas. Enla figura 1 a, podemos ver que en el caso dela simulación con energía uniforme, lasuniones triples entre granos forman ángulosde 120° y los granos dan la apariencia deser formas redondeadas y sin interfaces pla-nas. Iguales características tiene los granosen el caso de incorporar partículas (figura 1b). Cuando las simulaciones están hechascon energía de borde de grano variable, ve-mos que hay un notable aumento de unionesde bordes de granos mayores a 3, siendo losbordes de grano más planos (figura 1 c). Senotan iguales características en la muestracon partículas y energía de borde de granovariable (figura 1 d). Recordemos que laminimización de la energía total de sistemaen este caso se debe a la reducción de áreaentre los granos y que la desorientación en-tre los granos tenga la más baja energía po-sible de acuerdo a la ecuación (5).

Vemos también que el tamaño de grano,en el mismo tiempo de simulación, es dife-rente de una muestra a otra. En la figura 2se presenta la evolución del cuadrado delradio medio de los granos (R2) hasta 4000MCS para las diferentes situaciones antesmencionadas

Podemos ver en la figura 2 (curva a) quecuando la energía es uniforme, R2 evolucio-na linealmente, como indica la teoría y losresultados experimentales (Thorsteinsson etal. 1997). Sin embargo cuando se colocanpartículas (curva b) o la energía del bordede grano es anisotrópica (curva c), el valorde R2 crece menos durante las simulacionesy las relaciones dejan de ser lineales. Pode-mos notar además que ambas simulacionesdan resultados similares pero este hecho essólo debido a los parámetros elegidos paracada caso particular. Al ver la evolución deR2 con el MCS en el caso de un policristalcon el 1% de partículas dispersas y con ener-gía variable (curva d) podemos observar queel crecimiento de grano está notablementefrenado.

Figura 2. Radio medio cuadrado (R2) vs MCS hasta 4000 MCS de un policristal con a)Energía uniforme, b) con energía uniforme pero con una fracción del 1% de partículas, y lado3 pixel c) Con energía anisotrópica como la ecuación 5) y d) Con energía anisotrópica comola ecuación 5) y con una fracción del 1% de partículas.

C. L. Di Prinzio et al.: Simulación de la evolución del tamaño de grano102

En la figura 2, claramente se puede verque a los 4000 MCS, los casos de un policris-tal con partículas (curva b) y con energíavariable (curva c) R2 disminuyó a la mitadcon respecto al R2 correspondiente al mismotiempo en el policristal con energía uniforme(curva a). En el caso de los efectos conjuntos(curva d), el R2 disminuyó en 4000 MSC casiuna cuarta parte del R2 que se obtiene almismo tiempo en el policristal con energíauniforme. Esto puede interpretarse como queel efecto de las partículas y de la energíainterfacial variable sobre el crecimiento degrano es multiplicativo. El efecto de frenadoobservado está en concordancia con las ob-servaciones experimentales hechas en mues-tras de hielo polar a diferentes profundida-des (Di Prinzio et al. 2005).

En las muestras de hielo polar se ha de-terminado la orientación del eje cristalino«c» (eje perpendicular al plano basal) me-diante diferentes métodos (Wilen et al.2003). Esta información permite estudiarcómo evolucionan las orientaciones con elpaso del tiempo. Con esa información sepuede saber el ángulo de desorientación (Ψ)entre los vecinos a fin de estudiar efectos depoligonización, ver si existen subgranos, o sise van formando bordes de grano de bajoángulo, etc.

Como mencionamos, la poligonizaciónes un efecto producido por la deformacióndel hielo que da como resultado el aumentode BG de bajo ángulo, sin embargo debido ala migración anisotrópica de los bordes degrano también pueden generarse desorienta-

Figura 3. Porcentaje de las desorientaciones (Ψ[o]) entre granos vecinos 4000 MCS de unpolicristal con a) Energía uniforme, b) con energía uniforme pero con una fracción del 1% departículas, y lado 3 pixel c) con energía anisotrópica como la ecuación 5) y d) Con energíaanisotrópica como la ecuación 5) y con una fracción del 1% de partículas.

Acta geológica li l loana 27 (2): 97–104, 2015 103

ciones de bajo ángulo entre granos vecinos(Ψ).

Para cada grano en las muestras policris-talinas simuladas en este trabajo se asignóun ángulo entre 0 y 90° que representa laorientación del grano. Con esa informaciónpodemos estudiar la evolución de las des-orientaciones entre los granos vecinos (Ψ).

Inicialmente la distribución de las des-orientaciones entre los granos vecinos (Ψ) esuniforme para cada muestra simulada. Estadistribución puede ser afectada por las partí-culas presentes en la muestra o por la ener-gía anisotrópica del borde de grano.

En la figura 3 se muestra el porcentajede desorientaciones entre los granos vecinos(Ψ) para los distintos tipos de muestras estu-diadas luego de 4000 MCS. El valor de Ψpuede estar entre 0 y 90°. Podemos ver, engeneral, que las simulaciones con energíauniforme (curva a) y con partículas dispersasdel 1% (curva b) presentan una distribuciónde Ψ aproximadamente uniforme. Estas cur-vas no muestran cambios en las desorienta-ciones entre granos Ψ durante la simula-ción. Sin embargo cuando uno coloca ener-gía de borde de grano anisotrópica (curvac), las desorientaciones entre granos vecinosΨ mayores a 45° desaparecen luego de las4000 MCS y se observa un aumento en lasdesorientaciones de bajo ángulo. Claramentesi la simulación hubiera seguido la texturi-zación (proporción de desorientaciones entregranos Ψ de bajo ángulo) hubiese aumenta-do. El crecimiento de grano con energía deborde de grano variable tiende a minimizarel área de borde de granos y haciendo quelas desorientaciones entre granos sea de bajaenergía de acuerdo a la ecuación (5). Algosimilar ocurre durante la simulación de cre-cimiento de grano con partículas y con ener-gía de borde de grano variable (curva d).Sin embargo se puede ver que el efecto de laspartículas frena la texturización observadaya que esta es menos notable que en el casode crecimiento de grano con energía de bor-de de grano variable (curva c). En la curva(d) podemos ver que las desorientacionesentre granos vecinos mayores de 75° han des-aparecido, mientas que se ve un leve au-

mento de las desorientaciones inferiores a75°.

Con estas simulaciones pudimos ver quelas impurezas y la anisotropía en la energíadel borde de grano en hielo frenan el creci-miento de grano. El efecto conjunto de laspartículas y de la energía anisotrópica pro-duce un efecto de frenado mucho mayor.Este efecto es multiplicativo en este casoparticular donde se ha elegido un determina-do tipo de energía anisotrópica, cantidad ytamaño de las partículas. Así mismo pudi-mos observar que las impurezas y la aniso-tropía en la energía del borde de grano pro-ducen un cambio en la distribución de lasdesorientaciones de los granos vecinos ini-cial, es decir, un aumento de desorientacio-nes de bajo ángulo. Eso está en coincidenciacon las observaciones experimentales hechasen muestras de hielo polar a diferentes pro-fundidades (Alley et al. 2003). Sin embargoel efecto de aumento de las desorientacionesde bajo ángulo con la profundidad, no fuehasta ahora relacionado con la energía ani-sotrópica del hielo. Creemos que la poligoni-zación observada en hielo puede estar com-binada con los efectos que produce la ener-gía anisotrópica de los bordes de grano sobrelas desorientaciones entre granos.

CONCLUSIONES

Los policristales usados en esta simula-ción tienen las mismas características quelas muestras policristalinas encontradas enlos hielos polares o glaciares para bajas pro-fundidades. Algunos policristales naturalestienen impurezas o partículas dispersas,otros tiene una marcada orientación prefe-rencial en los granos y otros policristales tie-ne ambas propiedades. Por esa razón en estetrabajo se simularon policristales con las si-guientes características: a) energía uniforme,b) energía uniforme pero con partículas, c)energía anisotrópica y d) energía anisotrópi-ca y partículas.

Por los resultados encontrados se puedeconcluir que:

C. L. Di Prinzio et al.: Simulación de la evolución del tamaño de grano104

a) Las impurezas y la energía anisotrópi-ca disminuyen el crecimiento de grano.

b) El efecto simultáneo de las impurezasy la energía interfacial variable produce unareducción mayor sobre el crecimiento degrano que los efectos individuales.

c) Creemos que el frenado en el creci-miento de grano observado en muestras dehielo polar a bajas profundidades puede de-berse al efecto conjunto de las partículas dis-persas y a energía superficial variable.

d) A partir de los 800 metros, en algunospozos de hielo polar, las muestras de hielosufren un fenómeno de poligonización (Alleyet al. 1995). Este trabajo está demostrandoque la energía de borde de grano anisotrópi-ca en un policristal produce también un tipode texturización en la muestra a poca pro-fundidad. Sin embargo este efecto sigue acti-vo a más profundidad y este podría ser con-fundido con el efecto de poligonización pro-piamente dicho.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo fue posible gracias a la ayu-da económica brindada por los subsidios deCONICET y SECYT. Se agradece la colabora-ción del Sr. José Barcelona.

REFERENCIAS

Alley, R., Gow, A., Meese, D. 1995. Mapping c-axisfabrics to study physical processes in ice. J.Glaciol. 41, 197-203.

Alley R. y Fitzpatrick J. 1999. Conditions for bubbleelongation in cold ice-sheet ice, Journal of Gla-ciology, VoL. 45, No. 149, 149-153.

Barnes, P., Mulvaney, R., Robinson K. y Wolff, E.2002. Observations of polar ice from the Holo-cene and glacial period using the scanning elec-tron microscope. Ann. Glaciol. 35, 559–566.

Chan, W., Mah, M., Voight, D., Fitzpatrick, J. y Talg-hader, J. 2014. Crystal orientation measurementsusing transmission and backscattering. Journalof Glaciology, 60, 224, 1135-1139

De La Chapelle, S., Castelnau, O., Lipenkov, V., Duval,P. 1998. Dynamic recrystallization and texturedevelopment in ice as revealed by the study ofdeep ice cores in Antarctica and Greenland. J.Geophys. Res. 103, 5091-5105.

Di Prinzio C., Wilen L., Alley R., Fitzpatrick J., Spen-cer, M. y Gow A. 2005. Fabric and texture atSiple Dome, Antarctica, Journal, 51, 173, 281-290.

Di Prinzio, C. y Nasello, O. 2011. Development of amodel for ice core dating based on grain elonga-tion, Polar Science, Volume 5, Issue 3, p. 319-326.

Di Prinzio C., Druetta E.y Nasello O. 2013. Moreabout Zener drag studies with Monte Carlo simu-lations, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 21,025007 (8 páginas)

Di Prinzio C., Druetta E. y Nasello O. 2014. Effect ofTemperature and Potassium Chloride Impurity onthe Relative <1010> Tilt Grain Boundary andSurface Free Energies in Ice J. Phys. Chem. B,118 (47), 13365–13370

Durand G., Graner F. y Weiss J., 2004. Deformationof grain boundaries in polar ice, Europhys.Lett.,67 (6),1038-1043

Durand, G., Persson, A., Samyn, D. y Svensson, A.2008. Relation between neighbouring grains in theupper part of the NorthGRIP ice core, Implicatio-ns for rotation recrystallization. Earth Planet. Sci.Lett. 265, 666-671.

Fjeldberg E. y Marthinsen K. 2010. 3D Monte Carlostudy of the effect of grain boundary anisotropyand particles on the size distribution of grainsafter recrystallisation and grain growth, Compu-tational Materials Science,48, 2, 267–281

Thorsteinsson, T., Kipfstuhl J. y Miller H. 1997. Tex-tures and fabrics in the GRIP ice core. J.Geophys. Res., 102 (C12), 26,583–26,599.

Trombotto Liaudat, D., Arena, L. y Caranti, G. 2008.Glacial Ice as Cryogenic Factor in the Periglacia-tion Zone of the Composed Rockglacier MorenasColoradas, Central Andes of Mendoza, Argentina.Ninth International Conference on Permafrost,Proceedings, Vol 2: 1781-1786, Ed. Douglas L.Kane and Kenneth M. Hinkel, Institute of Nor-thern Engineering, University of Alaska, Fairbanks,Alaska.

Weiss, J., Vidot, J., Gay, M., Arnaud, L., Duval, P. yPetit, J.R., 2002. Dome Concordia ice micros-tructure: Impurities effect on grain growth. Ann.Glaciol. 35, 552–558.

Wilen L., Di Prinzio C., Alley R. y Azuma N. 2003.Development, principles, and applications ofautomated ice fabric analyzers, Microscopy re-search and technique 62: 2-18

Yu, Q. y Esche, S. 2002. Modeling of grain growthkinetics with Read-Shockley grain boundary energyby a modified Monte Carlo algorithm. MaterialsLetters, 56, 1-2, 47-52.

Yu, Q., Nosonovsky M. y Esche S. 2009 . Monte Carlosimulation of grain growth of single phase sys-tems with anisotropic boundary energies. Inter-national Journal of mechanical science, 51, 434-442