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SIMETRÍAS Y ARQUEOLOGÍA Las simetrías: un nuevo y poderoso criterio de clasificación arqueológica
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SIMETRÍAS
Y
ARQUEOLOGÍA
Las simetrías: un nuevo y poderoso
criterio de clasificación
arqueológica
VÍCTOR SAMUEL ALBIS
Departamento de Matemáticas y Estadística
Universidad Nacional de Colombia
CRISTINA SAMPER MEJÍA
Universidad de los Andes
LA ARQUEOLOGÍA ESTUDIA ENTRE
OTRAS COSAS, TESTIMONIOS Y
MONUMENTOS DE LAS CIVILIZACIONES
ANTIGUAS; CLASIFICA OBJETOS PARA
DETERMINAR CRONOLOGÍAS, INTERCAMBIOS
CULTURALES Y ENTENDER PENSAMIENTOS.
DESDE LA DÉCADA DEL 80, UN GRUPO DE
ARQUEÓLOGOS HA COMENZADO A
TRABAJAR EN UN NUEVO MÉTODO PARA
CLASIFICAR OBJETOS Y UTENSILIOS
ORNAMENTADOS:
LOS GRUPOS DE SIMETRÍA
SIMETRÍAS
Simetría, por estrecho o por amplio que sea el sentido que queramos
darle, es una idea que a través del tiempo el hombre ha intentado
comprender, y crear con ella orden, belleza y perfección.
HERMANN WEYL, Symmetry
FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO
Definición. UNA FIGURA GEOMÉTRICA EN
UN PLANO ES CUALQUIER SUBCONJUNTO NO
VACÍO DE ESTE PLANO
Ejemplos:
A
B
a)
A B
C
b)
A
B
A B
C
MOVIMIENTOS EN EL
PLANO
¿Qué es un movimiento T en el plano?
Un movimiento en el plano tiene el
efecto de hacer corresponder a cada punto
P del mismo otro punto bien determinado
P’ situado en el mismo plano. Esto lo
logramos llamando movimiento a
cualquier función del plano en sí mismo:
T :
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Si A y B son dos puntos del plano su distancia
se designa con
A
B
A
B
Definición. UN MOVIMIENTO
T :
EN EL PLANO SE DICE UNA ISOMETRÍA , SI
CUMPLE LAS SIGUIENTES CONDICIONES:
I1) T (P ) T ( Q ) P Q
I2) DADO Q EXISTE P TAL QUE
T (P ) = Q.
I3) |PQ| = |T (P )T (Q )|
ISOMETRÍAS O MOVIMIENTOS
RÍGIDOS
EJEMPLOS DE ISOMETRÍAS
a) REFLEXIÓN CON RESPECTO DE UNA RECTA
A
B
l T(A)
T(B)
b) TRASLACIÓN PARALELA
A
B
T(A)
T(B)
c) ROTACIÓN AL REDEDOR DE UN PUNTO
o
O
D) SIMETRÍA CON DESLIZAMIENTO
Simetría especular
Cultura
Quimbaya
Pajaritos
simétricos
LA MAYORÍA DE LOS DISEÑOS TIENEN
ELEMENTOS O MOTIVOS QUE SE
REPITEN DE MANERA REGULAR. LAS
ISOMETRÍAS SON PRECISAMENTE LOS
MOVIMIENTOS DEL PLANO QUE
PERMITEN REPETIR SIN DEFORMAR
LOS MOTIVOS DEL DISEÑO. LAS
ISOMETRÍAS QUE DEJAN INVARIANTE
UN DISEÑO CONSTITUYEN
PRECISAMENTE EL
GRUPO DE SIMETRÍA DEL
DISEÑO
TEOREMA FUNDAMENTAL
TODA ISOMETRÍA EN EL PLANO ES LA
COMBINACIÓN DE UNA TRASLACIÓN
SEGUIDA DE UNA ROTACIÓN O UNA
REFLEXIÓN
PERMITE REDUCIR NUESTRO ANÁLISIS
DE LAS SIMETRÍAS DE UN DISEÑO A LA
DETERMINACIÓN DE CUÁLES
TRASLACIONES, ROTACIONES O
REFLEXIONES LO DEJAN INVARIANTE
______________________________________________
EL USO, CONSCIENTE O NO, DE ÉSTAS
ISOMETRÍAS FUNDAMENTALES EXISTE
DESDE LA MÁS REMOTA ANTIGÜEDAD
EN EL DISEÑO DE OBJETOS Y UTENSILIOS.
LOS GRIEGOS POR SU PARTE LAS USARON
PARA HACER DEMOSTRACIONES COMO LO
VEREMOS EN LA SIGUIENTE VERSIÓN DE
EUCLIDES DE UNO DE LOS TEOREMAS DE
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Demostración de EUCLIDES del
primer caso de congruencia de triángulos
(Primera situación)
A B
C
C’
B’
A’Hipótesis: AB=A’B’, BC =B’C’
ángulo ABC = ángulo A’B’C’
Tesis: AC = A’C’
Demostración de EUCLIDES del
primer caso de congruencia de triángulos
(Primera situación)
A B
C
C’’ = C’
B’’A’’
Efecto de la
traslación
B’
A’
Demostración de EUCLIDES del
primer caso de congruencia de triángulos
(Primera situación)
C’’=C’
B’’A’’
Efecto final de la
traslación
B’
A’
Demostración de EUCLIDES del
primer caso de congruencia de triángulos
(Primera situación)
C’’= C’
B’’A’’
Efecto de la
rotación
B’
A’ = A’’
Demostración de EUCLIDES del
primer caso de congruencia de triángulos
(Primera situación)
C’’=C’
Efecto final de la
rotación
A’’’
B’
A’ = A’’
=B’’’
C’’’=
Demostración de EUCLIDES del
primer caso de congruencia de triángulos
(Primera situación)
C’’’=C’’=C’
Efecto de la
reflexión
A’’’
B’’’= B’
A’
Demostración de EUCLIDES del
primer caso de congruencia de triángulos
(Primera situación)
C’’’=C’’=C’=C’’’’
Efecto final de
la reflexiónB’’’=B’=B’’’’
A’=A’’’’
A’’’ A’
HAY TRES TIPOS DE DISEÑOS
DE ACUERDO CON LAS SIMETRÍAS
QUE ADMITEN:
A) DISEÑOS FINITOS
B) DISEÑOS INFINITOS:
B1) DISEÑOS UNIDIMENSIONALES
B2) DISEÑOS BIDIMENSIONALES
DISEÑOS FINITOS
SÓLO ADMITEN
ROTACIONES Y REFLEXIONES
EN SU GRUPO DE SIMETRÍAS
GRUPOS
DE
LEONARDO
Corresponden a
los grupos
cíclicos
y
diédricos
Cn y Dn
(n = 1, 2, ...)
DISCOS DE PUPIALES
DISEÑOS INFINITOS
UNIDIMENSIONALES
ADMITEN TRASLACIONES
EN UNA SOLA DIRECCIÓN
FRISOS
MOVIMIENTOS PERMITIDOS EN UN FRISO
A) Traslaciones en una dirección. El friso tiene o no una
traslación mínima que lo deja quieto.
B) Reflexiones con respecto al eje del friso (simetría
horizontal)
C) Reflexiones de eje perpendicular al eje del friso
(simetría vertical)
D) Reflexión deslizante (simetría con deslizamiento)
E) Giros de 180º alrededor de un punto situado
en el eje del friso
TIPOS
DE
FRISOS
Continúa
Existen
sólo
7 tipos
de frisos
TIPOS
DE
FRISOS
Existen sólo
7 tipos
de frisos
Continuación
ALGORITMO PARA LA
CLASIFICACIÓN DE UN
FRISO
¿Existe traslación mínima?NO
No es un friso
SÍ
¿Existe un giro?NO ¿Existe simetría
horizontal?SÍ
F11
NO
¿Existe
simetría?
vertical?
SÍF12
NO
¿Existe simetría con
deslizamiento?
SÍ F13
NO F1
SÍ
¿Existe simetría
horizontal?
SÍ
F21
NO¿Existe simetría con
deslizamiento?
SÍ
F22
NO
F2
PECTORAL
QUIMBAYA
NÓTESE LA
SEMEJANZA
CON DISEÑOS
DE LA
CULTURA
TOLIMA
eje del friso
MOTIVO DEL DISEÑO
F21
F2
F2F21
Cerámica pre muisca
Cultura Quimbaya
Técnica: cerámica,
rodillo
Cultura Quimbaya
Técnica: cerámica,
rodilloF21
Cultura: Quimbaya
Técnica: cerámica,
vasija
F21
Cultura: Quimbaya
Técnica: Cerámica,
rodillo
F21
Cultura:
Quimbaya
Técnica:
cerámica, TorteroF2
F12
Cultura:
Quimbaya
Técnica: cerámica, Tortero
Cultura: Quimbaya
Técnica: orfebrería
Colgante
F12
F1
Cultura: Quimbaya
Técnica:orfebrería
Tambetas
Cultura: Quimbaya
Técnica: Orfebrería,
poporo
F11
MOVIMIENTOS PERMITIDOS EN UN DISEÑO
BIDIMENSIONAL
A) Traslaciones en dos direcciones distintas
B) Una rotación mínima. Sólo hay cuatro posibles
rotaciones mínimas:60º, 90º, 120º y 180º.
C) Reflexiones en varias direcciones
D) Reflexiones deslizantes (simetrías con
deslizamiento)
Algoritmo
de
clasificación
de los
diseños
planos
bidimen-
sionales
Ejemplos de los
17
grupos
cristalográficos
planos
VASIJA
TOLIMA
“...recipiente de arcilla
con decoración
pintada,
pastillaje a manera
de cordón con
incisiones y
pequeñas asas...”
Detalle de la vasija que contiene un diseño
bidimensional
ESQUEMA DEL DISEÑO BIDIMENSIONAL
DE LA VASIJA TOLIMA
Esquema del diseño de la vasija Tolima,
en negativo: cambiamos colores del fondo y
del motivo
p4
HIPOGEOS
DE
TIERRADENTRO
Cultura: Quimbaya
Técnica: cerámica,
tortero
UNA APLICACIÓN DE LOS
GRUPOS DE SIMETRÍA A LA
ARQUEOLOGÍA
LA CERÁMICA
DE LA
REGIÓN CENTRAL DE PANAMÁ
V. Albis & J. A. Valencia, Revista de la
Academia Colombiana de Ciencias Exactas,
Físicas y Naturales, XVII (No. 67) (1990), 703-714
MAPA DE LA REGIÓN ARQUEOLÓGICA
ESTUDIADA
EL SIGUIENTE CUADRO CONTIENE LA
PROPUESTA DE CLASIFICACIÓN DE LA
CERÁMICA DE LA REGIÓN CENTRAL
DE PANAMÁ DE ACUERDO CON
K. LOTHROP, Coclé, An Archeological
Study of Central Panamá. PartII. The
Pottery of Sitio Conte and other
Archeological Sites. Memoirs of the
Peabody Museum, Vol. VII, Cambridge,
Mass: Harvard University Press
Período Subperíodo Estilo
Temprano Conte temprano
V Medio Conte medio
Tardío Conte Tardío
CUADRO 2
Subdivisión del V período, según nuestra propuesta
GRUPOS DE SIMETRÍA EN LA
ARQUEOLOGÍA
LA CERÁMICA Y EL ORO
DEL ALTIPLANO NARIÑENSE
Proyecto de Grado de Pregrado de Matemáticas
Andrés Lizcano y Cristina Samper
DOS PARTES DEL PROYECTO DE
GRADO
|
Definición. UN
MOVIMIENTO
T :
EN EL PLANO SE DICE UNA
ISOMETRÍA , SI CUMPLE
LAS SIGUIENTES
CONDICIONES:
I1) T (P ) T ( Q ) P Q
I2) DADO Q EXISTE
P TAL QUE
T (P ) = Q.
I3) |PQ| = |T (P )T (Q )|
1. DOS APROXIMACIONES PARA LA
DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE
CLASIFICACIÓN
a. DESDE LA GEOMETRÍA ELEMENTAL
b. DESDE EL ALGEBRA ABSTRACTA
2. APLICACIÓN A LA CLASIFICACIÓN DE
PIEZAS NARIÑO
LAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
1. Hay alguna relación entre los tres estilos
definidos de Nariño: Capulí, Piartal y Tuza
y la preferencia de los grupos de simetría
en los patrones.
2. Dada una pieza y su decoración simétrica,
¿existe una relación entre el tipo de pieza
y el grupo de simetría subyacente al
diseño?
PROBLEMÁTICA DE NARIÑO
MANERAS DE CLASIFICAR
1. Por estilos: Capulí, Piartal y Tuza.
2. Por tipo de objeto: Copa, Disco, Nariguera
3. Por grupo de simetría subyacente:
Nosotros clasificaremos los objetos por
grupos de simetría.
POR ESTILO
CERÁMICA CAPULÍ
CERÁMICA PIARTAL
CERÁMICA TUZA
ORO CAPULÍ
ORO PIARTAL-TUZA
POR TIPO DE OBJETO
DISCOS
COPAS
NARIGUERAS
PARA LA RECOLECCIÓN DE
DATOS ERA MUY IMPORTANTE LA
SELECCIÓN DE UNA MUESTRA
SIGNIFICATIVA PARA LAS
PRUEBAS CHI-CUADRADO
REGLAS DE CLASIFICACIÓN
Lo que nos interesaba era saber
cuáles eran las preferencias de
grupos de simetría por diseños.
Entonces establecimos unas reglas
para que no hubieran
inconsistencias en la recolección
de datos.
Primero distinguimos entre los
tres tipos de grupos de simetría
EJEMPLOS DE CÓMO CLASIFICAMOS
CERÁMICA GRUPO FINITO D4
CONSTRUCCIÓN A PARTIR DE UN
MÓDULO
DISCO DE ORO D4
CONSTRUCCIÓN A PARTIR DE UN
MÓDULO
COPA CON FRISO F13 Y D4
TRANSLACIONES DESLIZANTES
CONSTRUCCIÓN A PARTIR DE UN
MÓDULO
CONSTRUCCIÓN A PARTIR DE UN
MÓDULO
RESULTADOS
No se saben los métodos exactos
utilizados para la construcción de estos
diseños. Lo que sí queda claro es que
estos artesanos tenían un
conocimiento claro de geometría y
métodos para medir que les permitía
decorar los objetos rituales y cotidianos
de manera precisa y simétrica.
GUION DE VIDEO PARA EL MUSEO
DEL ORO
Con Andrés Lizcano escribimos un
guión de video con estos ejemplos
y otros para un video que se va a
poder ver en el Museo del Oro en
Nariño.
