SIMBOLIZACION DE EXPRESIONES.

 Definición: Simbolizar una expresión es escribir con símbolos una expresión, es decir, interpretar el enunciado de un problema y escribir los datos correctamente para que se puedan realizar operaciones con ellos que nos lleven a la solución. 

Ejemplo: Un enunciado puede decir : "María se compró 20 pulseras de tres colores diferentes, pidió 5 rojas, 3 verdes y el resto azules. ¿Cuántas pulseras son azules?" 

Ese enunciado es la Expresión y para resolver ese problema lo podrías simbolizar así: 20 es el total 5 rojas 3 verdes? azules 

Simbolización: 20 = 5+3+x

DECODIFICACION DE EXPRESIONES.

Codificación: interpretación algebraica de enunciados verbales: Número natural cualquiera El antecesor de n El sucesor de n Número natural par Número natural impar El cuadrado del sucesor de n.

Decodificación: interpretación verbal de expresiones algebraicas: Cuádruple de la diferencia entre x e y La media aritmética entre a, b, y c. El producto de π por el cuadrado de r. La mitad del producto de g por el cuadrado de t.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

        o       

OPERACIONES BASICAS CON MONOMIOS

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que t iene la misma parte l i teral

y cuyo coef ic iente es la suma de los coef ic ientes.

         

axn  + bxn= (a + b)x n

Ejemplo

2x 2y 3z + 3x 2y 3z = (2 + 3)x 2y 3z = 5x 2y 3z

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obt iene un pol inomio.

OPERACIONES BASICAS CON BINOMIOS

En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios.

1. .

2. .

3.  es una diferencia de expresiones trigonométricas.

PRODUCTOS NOTABLES

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

 

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

BINOMIO AL CUADRADO: (A+B)2

Un binomio al cuadrado   (suma) es igual es igual al cuadrado del

pr imer término,  más  e l doble producto del pr imero por el

segundo más  e l cuadrado segundo.

(a + b) 2  = a 2  + 2 · a · b + b 2

(x + 3) 2  = x  2  + 2 · x ·3 + 3   2  = x  2  + 6 x + 9

BINMOMIOS CONJUGADOS: (A+B) (A-B)

El producto de la suma o diferencia de dos números (conjugados) es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplo

El producto de dos binomios conjugados es un binomio cuyos términos son:

El cuadrado de un término común.

El otro término elevado al cuadrado y con signo negativo.

BINOMIOS CON TERMINACION COMUN: (A+B) (A+C)

Dos binomios con un término en común serían ( 8x +3) (8x – 1);              el término común es 8x y los términos no comunes son +3 y –1.

El producto de dos binomios con un término en común, es posible realizarlo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla: a) Primero se saca el cuadrado del término común. b) Se hace la suma de los términos no comunes y se multiplica por el término común. c) Se multiplican los términos no comunes, ejemplos:

1.- ( 7x +9) (7x – 14)= 49x^2 -35 x – 126 a) El cuadrado del término común. (7x)2= (7x) (7x) = 49x^2 b) La suma de los términos no comunes por el término común. (9-14) (7x) = (-5) (7x) = -35x c) Se multiplican los términos no comunes. (9) (-14) = -1262.- ( a + c) (a + d) = a2 + a ( c + d) + cda) el cuadrado del término común (a)^2 = a^2b) La suma de los términos no comunes por el término común.(c + d) (a) = a (c + d) por la Propiedad conmutativa de la multiplicación

FACTORIZACION

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión

matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de

producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos

estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques

fundamentales», que recibe el nombre defactores, como por ejemplo un número en números

primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la

factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números

enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel

de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas

de criptografía asimétrica como el RSA.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE LA FORMA: X2+2AX+A2; AX2+BX

EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE LA FORMA: X2+BX+C;X2-A2

Trinomio de la forma x2 + bx + c, son trinomios como:

     x2 + 5x + 6,               m2 + 5m – 14

     b2 – 2a – 15             y2  - 8y + 15

    Que cumplen con las siguientes condiciones:

1)    El coeficiente del primer término es 1.

2)    El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3)    El segundo termino tiene la misma letra que el primero, con exponente 1 y su coeficiente es una

cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4)    El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1º y2o termino y es una cantidad

cualquiera, positiva o negativa.

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas,

denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos

oincógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.nota 1 Los valores conocidos

pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser

establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros

procesos.nota 2 [cita requerida] Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los

valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

IGUALDAD QUE CONTIENE UNA O VARIAS INCOGNITAS

En matemáticas, una incógnita es un elemento constitutivo de una expresión matemática. La

incógnita permite describir una propiedad verificada por algún tipo de "valor desconocido", por lo

general números. En el caso de una ecuación, es un valor tal que, al sustituirlo por la incógnita, se

verifica la igualdad; en este caso se le llama solución.1 La incógnita también es utilizada en otros

casos, como por ejemplo unainecuación. Un problema puede tener una o varias incógnitas, pero

cada una se expresa bajo la forma de un solo y único símbolo. Casos simples de uso son la regla

de tres y el cálculo de porcentaje.

Históricamente, la incógnita fue utilizada en la modelización de problemas algebraicos relacionados

con polinomios. Este caso particular corresponde a la llamada teoría de ecuaciones; su uso se ha

expandido en particular con el progreso del análisis en donde aparecen otras funciones además de

las polinómicas; la incógnita puede así designar, por ejemplo, un vector o una función.En un

sentido moderno, una incógnita es una variable asociada a una función matemática cuyo valor

numérico puede obtenerse por operaciones aritméticas de cálculo.2

El término incógnita aparece por primera vez en el siglo XVII bajo la pluma de Fermat,3 pero el

concepto es mucho más antiguo. El matemático griego Diofanto, en el siglo III, introduce

el arithme que -si bien menos operacional- prefigura la «incógnita» moderna. El vocabulario y

ciertos principios fundamentales de la resolución de ecuaciones, como el de balanceo, provienen

en gran parte del matemático Al-Juarismi y de sus discípulos.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO: SOLUCION ALGEBRAICA, GRAFICA Y

APLICACIÓN.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de

igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos

entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de

una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones

de primer grado.

6.5 Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto o puntos de intersección. Ya que el punto o puntos de intersección están en ambas rectas, estas parejas ordenadas son soluciones del sistema.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que

tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una

ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio

cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable, y donde a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático

(distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede

representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica

es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la

ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número

de soluciones reales de la ecuación).

SISTEMA DE ECUACIONES

Resolver un sistema de ecuaciones consi te en encontrar los valores

desconocidos de las var iables que sat isfacen todas las ecuaciones.

Método de sustitución

1  Se despeja una incógni ta en una de las ecuaciones.

2  Se sust i tuye la expresión de esta incógni ta en la otra ecuación,

obteniendo un ecuación con una sola incógni ta.

3  Se resuelve la ecuación.

4  El valor obtenido se sust i tuye en la ecuación en la que aparecía

la incógnita despejada.

5  Los dos valores obtenidos const i tuyen la solución del s istema.

ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS: APLICACION

Dos ecuaciones con dos incógni tas forman un sistema, cuando lo que

pretendemos de el las es encontrar su solución común.

La solución de un sistema es un par de números x 1 ,  y 1 , ta les que

reemplazando x por x 1  e y por y 1 , se sat isfacen a la vez ambas

ecuaciones.

FRECUENCIAS

Frecuencia es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de

cualquier fenómeno o suceso periódico.

Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de este

teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo

transcurrido. Según el Sistema Internacional (SI), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor

a Heinrich Rudolf Hertz. Un hercio es la frecuencia de un suceso o fenómeno repetido una vez

por segundo. Así, un fenómeno con una frecuencia de dos hercios se repite dos veces por

segundo. Esta unidad se llamó originalmente «ciclo por segundo» (cps).

Otras unidades para indicar frecuencias son revoluciones por minuto (rpm o r/min según la

notación del SI. Las pulsaciones del corazón se miden en latidos por minuto (lat/min) y

el tempo musical se mide en «pulsos por minuto» (bpm, del inglés “beats per minute”).

Un método alternativo para calcular la frecuencia es medir el tiempo entre dos repeticiones

(periodo) y luego calcular la frecuencia (f) recíproca de esta manera:

donde T es el periodo de la señal.

MEDIDAS DESCRIPTIVAS

El estudio de una variable estadística comienza con la obtención de datos, bien sondeando la población o tomando una muestra. El siguiente paso en el proceso es la ordenación de datos elaborando la tabla correspondiente.  Trabajar con una tabla es complejo y tedioso por lo que es más conveniente la introducción de nuevos parámetros que nos permitan resumir la información que contienen esas tablas.

El objetivio que se persigue es la sintetización de la información que nos aportan los datos con la menor pérdida posible. Vamos a agrupar los parámetros en tres grupos dependiendo de su función.

Medidas de centralización. Con ellas pretendemos condensar los distintos valores de la variable en uno sólo que los resuma.

Medidas de posición. Una vez ordenados los datos de menor a mayor será necesario identificar la posición de los valores.

Medidas de dispersión.Las medidas de centralización nos condensan los datos en uno sólo pero no nos aportan información ninguna sobre la concentración o dispersión de los datos, habrá pues que introducir medidas que palien esta carencia.

PROBLEMAS DE MEDIA

Definición. Media aritmética de algunos números es la relación de la suma de todos los números a sus cantidad.

Media aritmética =suma de númeroscantidad de números

Por ejemplo: para dos números a y b la media aritmética es

a +b2

para tres números a, b y 

c la media aritmética es

a +b +c3

y así por el estilo. 

Ejemplo 1. José cosechó del árbol 4 peras, Catalina – 2 peras, y María – 6. Los niños juntaron sus frutas y se las repartieron en forma igualitaria. ¿Cuántas peras obtuvo cada uno?Solución. Calculemos la media aritmética:

4 + 2 + 6 =

12  = 4

3 3Resultado: Cada uno obtuvo 4 peras.

PROBLEMAS DE MEDIANA

Encuentra la mediana listando los datos en orden ascendente o descendente y luego

determina el valor que está en medio de los datos. Si los valores de un determinado conjunto

de datos son 8, 10 y 13, la mediana es 10.

PROBLEMAS DE MODA

La moda  es el  valor  que t iene mayor frecuencia absoluta .

Se representa por  Mo .

Se puede hal lar la  moda  para variables cualitativas  y  cuantitativas .

Hallar   la  moda  de la distr ibución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5  Mo  = 4

Si en un grupo hay  dos o varias puntuaciones  con la misma

frecuencia  y esa frecuencia es la máxima,

la distribución  es bimodal  omultimodal , es decir , t iene varias modas .

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

NOTACIONES DE PROBABILIDAD

Se usaran mayusculas para indicar variables estocasticas y minusculas para indicar los

valores que pueden tomar. P(A = verdadero) = P(A = a) = P(a) P(A = falso) = P(A = ¬a) =

P(¬a) P(a ∧ b ∧ c) ≡ P(a,b,c) ≡ P(abc) P(¬a) ≡ P(a) ≡ P(a)

PROBLEMAS DE CONTEO

En el conteo se usan técnicas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.NOTA: El

diagrama de árbol es unaRealizar actividad en la libreta de técnica útil de

representaciónmatemáticas. grafica, que muestra las distintas opciones de combinación de

objetos.

CALCULO DE PROBABILIDAD

Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").

El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

¿Cómo se mide la probabilidad?

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

RAZONAMIENTO GEOMETRICO

Nada más lejos de la realidad. Lo que sucede es que muchas veces confundimos

razonamiento geométrico con razonamiento a bulto, a ojo o al "poco más o menos". Una

demostración basada en conceptos geométricos puede ser tan perfectamente válida como la

fundada exclusivamente en manipulaciones algebraicas.

Basta con no dar un paso antes de asegurarse de la licitud del mismo. Las figuras deben

servir para orientarnos, no para desorientarnos, y son los razonamientos lo que nos habilitan

para aceptar proposiciones como ciertas, no los dibujos.

Será por eso que una de las vertientes más divertidas de la matemática recreativa es la de las

presuntas paradojas geométricas. Dado que virtualmente cualquier tema aritmético admite

una interpretación geométrica, siempre es posible hacer un dibujo para ejemplificarlo.

Hablemos de uno de tales divertimentos, que espero no sea demasiado conocido por mis

lectores (yo ya me lo he encontrado bastantes veces por la web).

Sabemos que una de las propiedadesd de las areas de las figuras geométricas, como

medidas que son, es que son invariantes por traslaciones. Así, si troceamos un cuadrado y

con los trozos recomponemos un rectángulo, es de esperar que ambos tengan el mismo área.

Sin embargo, en nuestra figura, los 8x8=64 unidades cuadradas del cuadrado se convierten

en 13x5=65 en el rectángulo.

CIRCULO: P´ROBLEMAS DE CIRCUNFERENCIA Y SUPERFICIE

La longitud de una circunferencia es igual:

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1.-Longitud de una circunferencia

La longitud de una circunferencia es igual:

Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular la longitud de esta circunferencia:

Longitud de la circunferencia = 3 x 3,14 = 9,42 m

TRIANGULOS CLASIFICACION

El perímetro de un triángulo se calcula como “la suma del largo de sus lados”.

El área de un triángulo se calcula como “su base por la altura divida en dos”.TRIÁNGULO EQUILÁTERO

El triángulo equilátero es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida, en donde:

 TRIÁNGULO ISÓSCELES

El triángulo isósceles es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.

 TRIÁNGULO ESCALENO

El triángulo escaleno es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.

 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOSTRIÁNGULO ACUTÁNGULO

El triángulo acutángulo es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (< CAB).

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

El triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso, tal como se muestra a

continuación:

TRIANGULO: PROBLEMAS DE AREA Y PERIMETRO.

Perímetro de un tr iángulo

El perímetro de un tr iángulo  es igual a la  suma  de sus

t res  lados .

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno

Área de un tr iángulo

El área de un tr iángulo  es igual a base por altura partido por 2 .

La altura  es la recta perpendicular   t razada desde un vértice al

lado opuesto   (o su prolongación).

TRIANGULOS: PROBLEMAS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

TRIANGULOS: PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS

EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la

realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene

Fernando en la realidad? Solución Calculamos la escala: Altura en la foto de María 2,5 1

Escala Altura real de María 167,5 67 La escala es 1:67. Calculamos la altura real de Fernando:

Altura real 67 · 2,7 180,9 cm EJERCICIO 2 : Una empresa de construcción ha realizado la

maqueta a escala 1:90 de un nuevo edificio de telefonía móvil, con forma de pirámide

cuadrangular. En la maqueta, la altura de la pirámide es de 5,3 dm y el lado de la planta es de 2,4

dm. Calcula el volumen real del edificio expresando en metros cúbicos el resultado. Solución: 1

El volumen de una pirámide es Área de la base Altura. 3 Calculamos la altura en la realidad: Altura

real 5,3 · 90 477 dm Calculamos el área de la base en la realidad, aplicando que la razón

entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza: 2 2

Maqueta 2,4 5,76 dm Área de la base Real A Razón de semejanza 90

2 2 2 Luego: 90 90 5,76 46656 dm 5,76 A A Finalmente, sustituyendo en la fórmula del volumen, se

obtiene: 3 3 REAL 1 46656 477 7418304 dm 7418,304 m

CUADRILATEROS Y PLOLIGONOS

Hay algunos tipos especiales de cuadriláteros:

el rectángulo

el rombo

el cuadrado

(todos estos son paralelogramos), y también hay:

el trapezoide

el deltoide

Si no es ninguna de estos es un cuadrilátero irregular.

Cuadrilátero significa "cuatro lados" 

(cuad significa cuatro, látero significa lado).

Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros.

Pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.

Polígonos

Un cuadrilátero es un polígono. De hecho es un polígono de 4 lados, de la misma manera un

triángulo es un polígono de 3 lados, un pentágono es un polígono de 5 lados, etc.

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos

rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los

puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El

polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier

número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de

cuatro dimensiones se denomina polícoro.

CUADRILATEROS

Se denominan figuras sólidas ó cuerpos geométricos a aquellos elementos que, ya sean reales o

ideales. 

— que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente. 

— ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto,

ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas. 

Entre los cuerpos geométricos estan: 

El cubo — que está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también

con el nombre de exaedro regular, (exaedro = cuerpo con 6 caras). 

El tetraedro regular — compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros. 

El octaedro regular — compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de

dos pirámides unidas por sus base. 

El icosaedro regular — compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene

un eje plano exagonal. 

El dodecaedro regular — compuesto por doce caras con forma de pentágono. 

El prisma — que está compuesto por caras laterales rectangulares (que pueden ser cuadradas); y

bases con forma de triángulo, cuadrado (salvo cuando las caras también lo son, en cuyo caso es

un cubo), pentágono, exágono u otro polígono regular. 

El prisma oblicuo — que es similar al prima, pero con dos lados de forma romboidal; por lo cual

solamente puede tener bases cuadradas. 

La pirámide recta — compuesto por una base con forma de polígono regular, y lados triangulares

cuya base son los lados del polígono, y unen todos su vértices en un mismo punto, también

llamado vértice de la pirámide; el cual se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por

su centro. 

La pirámide inclinada — similar a la anterior, pero cuyo vértice se encuentra sobre una

perpendicular a la base que no pasa por su centro. 

El cilindro — que está compuesto dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente

a un rectángulo. 

El cono — compuesto por una base circular, y una superficie curva que la rodea y se une en un

vértice que se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro. 

El cono truncado — que siendo similar a un cono, tiene una base conformada por un plano

inclinado, con lo cual adopta una forma de elipse. 

La esfera — que es circular en todos sus planos centrales. 

La semiesfera — que es una esfera que ha sido cortada por uno de sus planos circulares, de

manera que tiene una base circular y una cúpula esférica. 

CALCULO DE AREA Y VOLUMENÁrea del cubo

A= 6. a2

Volumen del cubo

V= a3

Área del ortoedro

A= 2 a.b + 2 b.c + 2 c.a

Volumen del ortoedro

V= a · b · c

PROBLEMAS DE AREA Y VOLUMEN

Calcula el  área  y el volumen  de un  tetraedro  de 5 cm de

arista.

Calcula el  área  y el volumen  de un octaedro   de 5 cm de

arista.

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

podríamos definir el álgebra como la rama de las Matemáticas que, utilizando las mismas

operaciones elementales que la aritmética (suma, resta, multiplicación, división y cálculo de raíces)

y usando letras en vez de números (o combinándolos), trata de generalizar las relaciones

aritméticas proporcionándoles un patrón válido para todos los casos. En este sentido, podríamos

decir que es el “idioma” de las Matemáticas. 

Hoy en día, en las empresas de cualquier tamaño es normal ver que muchos de sus procesos

están soportados en aplicaciones informáticas. Todas ellas funcionan en base a unos datos de

entrada, los cuales pueden ser introducidos directamente por las personas, o bien, pueden ser

cogidos de otras aplicaciones, en lo que se llama integración de la información.

Esta integración de los datos que se manejan en el negocio, permite ahorrar tiempos de

proceso, cometer menos errores durante su ejecución y, en definitiva, ahorrar costes y

mantener un cierto nivel competitivo. Las empresas que hacen esfuerzos por integrar la

información de sus aplicaciones y por extensión, las de sus procesos, son capaces de lograr

un nivel de productividad mejor que las que no lo hacen.

Tenemos ejemplos de integración de la información en muchos procesos, incluso en

algunos tan ovbios que resulta difícil darse cuenta de que se está produciendo:

Una base de datos de clientes centralizada que da servicio al resto de aplicaciones de

facturación, de precios, de contabilidad, de marketing. A través de un único proceso de alta

de clientes en un repositorio central, el resto de procesos y aplicaciones empresariales

utilizan esos datos como entrada.

INFORMACION TEXTUAL os tipos textuales son esquemas a los que los productores textuales (emisores) recurren para producir  textos según su intención comunicativa: instruir, informar, narrar, describir o argumentar.  Esa intención  justifica el modo en que el autor organiza las oraciones, párrafos, imágenes, etc.

Los tipos textuales  son abstractospues es el autor tiene un plan, una idea  y busca concretarlo. Por ejemplo si lo que quiere un candidato es convencer elaborará una discurso argumentativo donde exponga los motivos por los cuales deben votarlo. Los tipos textuales son convencionales porque funcionan en una comunidad, se transmiten  al interior de la cultura y poseen una estructura identificable.

Los tipos textuales son:

1. Textos descriptivos: Se utiliza para describir o ambientar un espacio.Se utiliza en los textos científico.

2. Textos Narrativos: Se utilizan para contar sucesiones temporales (primero, después, luego o finalmente)  o lógicamente (causa -efecto).

3. Textos Argumentativos: Se utiliza para decir que piensa el emisor y que motivos tienen para pensar así. La publicidad, los discursos y articulos periodísticos hacen uso de estos textos.

4. Textos Expositivos-explicativo: Se presenta un contenido de manera comprensible, expone un concepto o comprensible. Los textos escolares hacen uso de este tipo textual.

5. Instruccional: e utiliza para que el destinatario ejecute una acción. Predominan los verbos en infinitivo o imperativo.

6. Dialogal: Se usa para desarrollar un dialogo.

CONCLUSION A PARTIR DE UN TEXTO

En lógica, una conclusión es una proposición al final de un argumento, luego de

las premisas.1 Si el argumento es válido, las premisas implican la conclusión. Sin embargo,

para que una proposición constituya conclusión no es necesario que el argumento sea válido:

lo único relevante es su lugar en el argumento, no su «papel» o función.2

Como en general se argumenta con intención de establecer una conclusión, se suele procurar

que las premisas impliquen la conclusión y que sean verdaderas (es decir, que el argumento

sea sólido o cogente).2Antes que nada se debe recordar que una conclusión es una

proposición lógica final y no una "opinión", sin embargo, debemos recordar que para poder

concluir debemos de basarnos en ciertas proposiciones que no sean falacias o simplemente

falsas. Considérense las proposiciones siguientes:

1. Todos los mamíferos son de sangre caliente.

2. Todos los humanos son mamíferos.

3. Por lo tanto, todos los humanos son de sangre caliente.

En este argumento la última proposición es la conclusión. Las demás son las premisas.

PROPORCIONES ERRONEAS

Entre los errores más comunes en la gramática española, uno de ellos tiene

relación con el uso de las preposiciones.

No es lo mismo decir "ahora hablaré respecto a este tema" que "ahora hablaré con

respecto a este tema".

Aunque la diferencia pueda ser solo una palabra y cuando lo escuchamos en una

conversación lo más probable es que la diferencia entre una y otra oración nos

pase desapercibida.

INFROMACION GRAFICA

Un gráfico o representación gráfica es un tipo de representación de datos,

generalmente numéricos, mediante recursos

gráficos (líneas, vectores, superficies o símbolos), para que se manifieste visualmente

larelación matemática o correlación estadística que guardan entre sí. También es el nombre

de un conjunto de puntos que se plasman en coordenadas cartesianas y sirven para analizar

el comportamiento de un proceso o un conjunto de elementos o signos que permiten la

interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no

se han obtenido experimentalmente sino mediante lainterpolación (lectura entre puntos) y

la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental).

CONCLUSIONES A PARTIR DE UN TEXTO Y UNA TABLA IMAGEN O MAPA.

Formas de recopilar, organizar, procesar e interpretar datos en tablas y gráficos

Recopilar y procesar datos se ha convertido en una necesidad imperiosa en la actualidad. Conocerlos e

interpretarlos le permite al hombre de hoy descubrir, prevenir, informar o predecir el comportamiento de

diferentes sucesos o fenómenos propios de la naturaleza, del entorno social o incluso del pensamiento.

En cualquier caso, disponer en una tabla los datos obtenidos nos facilitará su interpretación y su

representación gráfica.

¿Cómo recopilar los datos?

Hay varias formas: puede ser mediante la observación, mediante entrevistas, haciendo encuestas o

consultando documentos.

Etapas para la recopilación y procesamiento de la información

Independientemente del sistema que usemos para recopilar datos, debemos seguir un esquema o pauta de

trabajo que involucre:

Definición del problema:

Definir el fenómeno o proceso que queremos investigar. Por ejemplo, queremos saber cuántas personas

conforman la familia de cada estudiante de secundaria en una cierta región del país.

Planificación:

Determinar cómo se van a obtener los datos y seleccionar la muestra dentro de la población.

En el caso de nuestro ejemplo, hacer una encuesta a todos los alumnos de las secundarias de la región sería

una forma de encontrar los datos que nos piden (número de personas en la familia) pero requeriría mucho

tiempo y sería algo costoso.

Por tal razón se puede seleccionar de forma adecuada una muestra y a ellos se les aplica la encuesta.

El total de alumnos de todas las escuelas secundarias de la región constituye la población.

ANALOGIA.

Analogía, significa comparación o relación entre varias razones o conceptos; comparar o

relacionar dos o más seres u objetos, a través de la razón, señalando características

generales y particulares, generando razonamientos basados en la existencia de semejanzas

entre estos, aplicando a uno de ellos una relación o una propiedad que está claramente

establecida en el otro.

En el aspecto lógico, apunta a la representación que logramos formarnos de la cosa, como

objeto en la conciencia; y, como representación, como objeto lógico del pensamiento, recibe

de este ciertas propiedades como la abstracción, la universalidad, etc., que permite comparar

un objeto con otros, en sus semejanzas y en sus diferencias.1

La analogía permite una forma inductiva de argumentar que asevera que si dos o más

entidades son semejantes en uno o más aspectos, entonces lo más probable es que también

existan entre ellos más semejanzas. Una analogía permite la deducción de un término

desconocido a partir del análisis de la relación que se establece entre dos términos conocidos.

FRASES CON EL MISMO SENTIDO

Los palíndromos son frases o palabras que guardan el mismo sentido siendo leídas de Izquierda a derecha y de derecha a izquierda. “Dábale arroz a la zorra el abad” (Se lee lo mismo empezando a leer de un lado o del otro).

PARES DE PALABRAS CON UNA RELACION EQUIVALENTE

Una analogía es una relación de equivalencia o correspondencia entre dos parejas de palabras.

Para determinar si dos parejas de palabras son análogas debemos:

         determinar la relación entre las palabras de la primera pareja o pareja base;

         seleccionar la pareja análoga que mejor imite esa relación.

Ejemplos:  Quetzal es a Guatemala como coquí es a Puerto Rico.

El Quetzal es el animal mas representativo de Guatemala, mientras que el coquí es el animal mas representativo de Puerto Rico.

PROPOSICIONES PARTICULARES Y UNIVERSALES

La proposición universal tiene como sujeto un término común considerado en toda su extensión.

Por ejemplo: 

Todo hijo es agradecido 

Toda madre es protectora 

Según la predicación las proposiciones se dividen en afirmativas o negativas, según expresen la

pertenencia o no del sujeto al predicado (es; no es). 

MENSAJES Y CODIGOSEl formato estandar que se utiliza en el intercambio electrónico de datos (EDI) para la administración, el comercio y transporte está definido por las Naciones Unidas UN/EDIFACT. Consiste en un conjunto de normas, directorios y directrices acordadas internacionalmente para un intercambio electrónico de datos estructurado entre sistemas de información computarizados independientes.

Las reglas son aprobadas por UNECE (Comisión Economica para Europa de las Naciones Unidas) y se publican en el UNTDID (Directorio de Intercambio de Datos Comerciales de las Naciones Unidas).

TRADUCCION Y DECODIFICACIONCodificación:La Codificacion es un sistema Proceso mediante el cual nos ayuda a interpretar signos poco comunes. - 

Es el proceso en donde el emisor convierte las ideas que quiere transmitir en signos que puedan ser recibidos facilmente por el receptor.

Emisor: Es la persona que comunica informacion de utilidad a otras personas que lo requieran.Receptor: Es la persona que recibe la informacion del emisor.Por ejemplo: el receptor recibe del emisor los siguientes signos fonéticos: La descodificación consiste en asociar estos signos a la idea que el emisor trató de comunicar (Hola), es decir un saludo.

 

Decodificación:

Es el proceso en el cual el receptor transforma el código utilizado por el emisor para interpretar los signos empleados. De esta forma los signos son asociados a las ideas que el emisor trató de comunicar.

Por ejemplo, el receptor recibe del emisor los siguientes signos fonéticos: La descodificación consiste en asociar estos signos a la idea que el emisor trató de comunicar (Hola), es decir un saludo.

COMPLEMENTACION DE ELEMENTOS ENCRIPTADOS

El complemento o el conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que

contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es

necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es

el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del

conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está

formado por los números compuestos y el 1:

A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se

denota por una barra horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se tiene: P∁ = C, y

también C = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre

el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia)

tienen propiedades similares.

RECONOCIEMIENTO DE PATRONES

El reconocimiento de patrones es la ciencia que se ocupa de los procesos

sobre ingeniería, computación y matemáticas relacionados con objetos físicos o

abstractos, con el propósito de extraer información que permita establecer

propiedades de entre conjuntos de dichos objetos.

SUCESION NUMERICAS

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos,

generalmente números. Cada uno de ellos es

denominado término (también elemento omiembro) de la sucesión y al número de elementos

ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe

confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo

término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede

definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del

mismo) y es por tanto una función discreta.

COMPLEMENTACION CON OPERACIONES BASICAS

En matemáticas, álgebra de conjuntos es el estudio de las operaciones básicas que

pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación.

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está

definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo

representa.

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia.

Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica

como x ∈ A.

Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este

principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto

queda definido únicamente por sus elementos.

Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es

un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

El conjunto vacío es el conjunto sin ningún elemento, y se denota por ∅ o por {}. El conjunto

universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto

considerado. Por ejemplo, si se estudian los números naturales, el conjunto universal es el

conjunto de todos ellos, N. De manera general, el conjunto universal se denota por U.

Ejemplos

Cada número natural es elemento del conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números

naturales: 1 ∈ N, 2 ∈ N, etc. Cada número par es también un número natural, por lo que el

conjunto P de los números pares,P = {2, 4, 6, ...}, es un subconjunto de N: P ⊆ N.

Dado el conjunto de letras V = {o, i, e, u, a}, se cumple por ejemplo que a ∈ V o

también i ∈ V. El conjunto de letras U = { vocales del español } contiene los mismos

elementos que V, por lo que ambos conjuntos son iguales, V = U.

ERRORES

l error, en filosofía, es un concepto que pertenece a la esfera del juicio, es decir, de

las actitudes valorativas. En general, se denomina error a todo juicio o valoración que

contraviene el criterio que se reconoce como válido, en el campo al que se refiere el

juicio.1

SUCESIONES ALFANUMERICAS

Sucesiones Numéricas: Es el conjunto de números, en el que cada uno de ellos tiene un

orden determinado por su ley de formación; los términos se relacionan por adición,

sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

COMPLETAMIENTO CON PATRONES REGULARES

1. En relación con la preguntaenunciada en el núcleo problemático, responda a los siguientes aspectos: ¿Cómo se vincula las regularidades y los patrones con el concepto de función?

Para vincular laregularidad y patrones con el concepto de función en los procesos de escolarización. El docente debe abrir un espacio para el dialogo en el aula; donde este será una guía, buscandoque los niños logren identificar diferentes elementos cotidianos. Tomando como herramienta la observación y análisis de los mismos.determinando así características, semejanzas,diferencias, regularidades y formas periódicas en las cuales ocurre los eventos, que son observados o realizados de manera permanente por los estudiantes, como; el venir a la escuela, elpeinarse, el cambio de clase etc.. Luego de generar este espacio de dialogo, se plantean actividades lúdicas-manipulativas para hacer del proceso de aprendizaje algo mássignificativo.

REPRESENTACION ESPECIALUna representación espacial es el uso del espacio (valga la redundancia) para explicar un punto abstracto.   Ciertamente que una mente matemática necesita muy poco de las representaciones espaciales pues las matemáticas buscar ir mucho más allá de la imagen y manejar todo en forma simbólica.  Una computadora no “ve” una imagen cuando tiene codificado dentro de su memoria millones de pixels respondiendo a una lógica binaria de encendido o apagado y sin embargo lo que representa en una inmensa matriz de ceros y unos es una imagen.  Si a alguien se le quiere explicar el procedimiento para crear tales imágenes es pedagógicamente correcto iniciar con lo que intuitivamente se ve para llegar a lo que simbólicamente en general permanece oculto.  

FIGURAS Y OBJETOSCon origen en el latín figūra, la noción de figura puede emplearse en múltiples contextos y con significados diferentes. Una figura es, entre otras cosas, la apariencia o el aspecto externo de un cuerpo u objeto, a través de la cual se puede distinguir frente a otros. En un sentido similar, se conoce como figura a toda estatua, escultura u obra de arte que reproduce las formas características de animales u hombres, y al dibujo que refleja a cuerpos humanos.

El objeto es algo sobre lo cual actúa el sujeto, está sometido a la acción de éste, y puede ser material, cuando se puede ver y tocar, o ser un objeto inmaterial, solo existente como idea.

PERSPECTIVAS: SOMBRAS, REFLEJOS, VISTAS Y ROTACIONn la figura podemos observar un objeto representado en tres dimensiones y su perspectiva sobre el plano del cuadro amarillo. La planta de la figura formada por un prisma y una cuña está abatida y es coplanar con el plano del cuadro. Al prolongar los lados de la figura, por ejemplo (a) como tenemos que se cortan en la línea de tierra o eje de giro del abatimiento, o también recta intersección del plano de cuadro (en amarillo) con el plano geometral (plano horizontal del suelo en color gris). Cada recta abatida corta a la línea de tierra en un punto que denominamos traza Ta.La pieza, mantiene fundamentalmente dos direcciones definidas por las rectas d d ‘. Por el punto de vista V se hacen rectas paralelas a ambas hasta que cortan al plano del cuadro en los puntos de fuga F F’, si unimos estos puntos con las trazas correspondientes de cada recta obtenemos la perspectiva de cada una de las rectas de la figura, por ejemplo la recta a’.La perspectiva de la figura es lo que ve un sujeto que coloca su punto de vista donde está marcado en el dibujo, esto quiere decir que la pieza y su representación sobre el plano del cuadro son coincidentes para ese punto de vista, o lo que es lo mismo cada punto de la figura y su perspectiva está alineado con el punto de vista.

En la figura podemos observar la representación en perspectiva del ejercicio anterior, solapada con la representación en alzado de la pieza y el abatimiento de la proyección en planta por debajo de la línea de tierra. Las alineaciones que hacían corresponder cada punto de la figura con su perspectiva y con el punto de vista, difieren en esta nueva representación ortogonal, aquí lo que se da es que la proyección ortogonal de los elementos anteriores sí que están alineadas, esto quiere decir que el punto principal P, la perspectiva de un punto y el punto correspondiente de la pieza sí que son los tres elementos perfectamente colineales.Las alturas de la figura se colocan sobre la línea de tierra y se proyecta esta longitud hasta cada uno de los puntos de fuga, donde intercepta a los puntos de la base de la figura en perspectiva se levantan verticales hasta que corten a la recta superior del segmento proyectado sobre el punto de fuga.

CONVINACION DE FIGURASEn geometría una figura compuesta es aquella formada por varias figuras simples, como dos rectángulos conectados en forma de "L". En los gráficos computacionales una figura compuesta es un objeto de arte editable creado mediante la agrupación de múltiples objetos. Esta última definiciónsolamente aplica en los programas de dibujo que tratan a la imagen como una colección de objetos, a diferencia de los programas de pintura que tratan a la imagen como áreas de color.

MODIFICACIONES A OBJEROSARMANDO Y DESARMANDOOBJETOS RESULTANTES DE CORTESOPERACIONES CON FIGURAS Y OBJETOSNUMEROSZ DE ELEMENTOS QUE INTEGRAN O FALTAN EN FIGURAS Y OBJETOSNUMEROS DE LÑADOS DE UN POLIGONOCONTEO DE UNIDADES SOMBREADASESTRUCTURA DE LA LENGUACATEGORIAS GRAMTICALESVERBOSCARACTERISTICAS FENERALES DEL VERBOPERSONA Y NUMEROTIEMPOS VERBALES SIMPLES Y COMPUESTOSREGULARES E IRREGULARES