silvamechatoresolucióndeecuacionesdiferencialeslineales

8/19/2019 silvamechatoresolucióndeecuacionesdiferencialeslineales

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“ RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESAPLICADA A VIGAS EN LA INGENIERÍA CON EL APOYO DE LOS

SOFTWARES MATLAB Y MATHEMATICA”

LIC. JOSÉ DEL CARMEN SILVA MECHATO. M.SC

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de investigación es producto de la inquietud que nació al tratar de escrudiñar aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales aplicados a Vigas en la Ingeniería conel apoyo de los Softare !ientífico "atlab y "at#e$atica%

En este trabajo se verifica có$o las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales pueden ser &tiles en

las soluciones de variados tipos de proble$as de la situación del $undo real' en particular se $uestracó$o al traducir proble$as de un lenguaje de ecuaciones diferenciales ordinarias' esto es' establecer lafor$ulación $ate$(tica de proble$as y reali)ación del $odelo $ate$(tico% "ediante el an(lisis"ate$(tico se resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias lineales sujeta a condiciones' así $is$o conel apoyo de los softare antes descrito se acelera significativa$ente los c(lculos% El presente trabajo est( distribuido en cuatro capítulos' en los tres pri$eros capítulos se presenta elestudio de las vigas' las ecuaciones diferenciales ordinarias' la $odelación de las ecuacionesdiferenciales y en el &lti$o capítulo se describe los softare científicos "atlab y "at#e$atica%

El *utor

1


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*+S,-*!,

,#is researc# is a product of t#e concern t#at as born to try to find applications of Linear Ordinary Differential Equations *pplied to +ea$s in Engineering it# t#e supportof Scientific Softare "atlab and "at#e$atic%

,#is paper verifies #o Linear Ordinary Differential Equations $ay be useful in solutionsof various types of proble$s in real.orld situation' in particular' e s#o #o totranslate language proble$s of ordinary differential equations' t#at is' establis#ing$at#e$atical for$ulation of proble$s and i$ple$entation of $at#e$atical $odeling%,#roug# "at#e$atical analysis resolves linear ordinary differential equations subject to!onditions' Li/eise Supported by t#e softare describes t#e accelerates Significantly

*bove !o$putations calculations significantly%

,#is or/ is distributed in four c#apters' t#e first t#ree c#apters present t#e study of t#ebea$s' ordinary differential equations' $odeling of differential equations and t#e finalc#apter describes t#e scientific softare "at#e$atic and "atlab%

CAPÍTULO I: ESTUDIO DE VIGAS

0%0 DE1LE2I34 DE 54* VI6*0%0%0% VI6*%. En ingeniería y arquitectura se deno$ina viga a un ele$ento constructivo

lineal que trabaja principal$ente a fle7ión% En las vigas la longitud predo$inasobre las otras dos di$ensiones y suele ser #ori)ontal%En las vigas la longitud predo$ina sobre las otras dos di$ensiones y suele ser #ori)ontal%El esfuer)o de fle7ión provoca tensiones de tracción y co$presión'produci8ndose las $(7i$as en el cordón inferior y en el cordón superior respectiva$ente' las cuales se calculan relacionando el $o$ento flector y elsegundo $o$ento de inercia% En las )onas cercanas a los apoyos se producenesfuer)os cortantes% ,a$bi8n pueden producirse tensiones por torsión' sobretodo en las vigas que for$an el perí$etro e7terior de un forjado%Estructural$ente el co$porta$iento de una viga se estudia $ediante un $odelode pris$a $ec(nico%

1igura 90%

2

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Arquitecturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_(ingenier%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tracci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Compresi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_(ingenier%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Forjadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Arquitecturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_(ingenier%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tracci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Compresi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_(ingenier%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Forjadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nico


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0%: E;E DE SI"E,-


4/51

Esta &lti$a ecuación es interesante porque su generali)ación a ele$entosbidi$ensionales es precisa$ente la ecuación funda$ental de gobierno de placas oecuación de Lagrange para placas delgadas@

2 2 2 2

2 2 2 2

( , ) ( , )( , ) pl

w x y w x y EI q x y

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂+ + = ÷∂ ∂ ∂ ∂

Donde

pl D EI = @ es la r!"#$ de una placa delgada en fle7ión%

E%#&'() *+

V!, "#-)r&,", ')r -(#/01igura 9:%

?ara una viga el(stica en la que se aplican sólo $o$entos M 0 y M :' la for$a de lacurva el(stica depende sólo de dos par($etros independientes' la for$aapro7i$ada de la defor$ada depender( del valor y signo relativo de estos$o$entos' siendo un caso típico el $ostrado en la figura adyacente% Escribiendo la

ley de $o$entos flectores para los puntos inter$edios de la viga y escogiendo lascondiciones de contornos llega$os a la ecuación diferencial siguiente@

2

2 112

( ) 1

z

M M d v x M x

dx EI L

− = + ÷

4

http://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttp://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttp://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placashttp://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placashttp://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttp://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttp://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placas


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2 1

2 1

( ) (0)

( ) (0)

v L v

v L v L

δ δ δ

δ θ θ

− = − = ′ ′− = − =

La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de los dos posibles

elecciones de contorno' se obtiene co$o@

3 2 3 2

2 1 23 2 3 2

3 5 2 3( ) ( )

x x x x x xv x L L

L L L L L Lθ θ θ

= − − + − + − + ÷ ÷

?ara c(lculo de( )v x

se puede progra$ar en el Softare científico "atlab de la

siguiente $anera @

?ara calcular el valor de ( )v x en alguna posición x ' se puede progra$ar con$uc#a facilidad' en este caso se elabora un progra$a' y el $is$o que se #ace en elen el editor de "atlab%

Es decir@

?ara calcular el valor de @

[ ]( ), 0;V x x L∀ ∈ 'se calcula con el siguiente progra$a@

Esta codificación el Softare se observa en su editor' co$o sigue@

5


6/51

!*L!5L*4DO ( )v x @

Si 1 212; 5; 8; 6Si L xθ θ = = = = ' entonces se tiene@

GR1FICA DE ( )v x

E%#&'() *2

1 212; 5; 8Si L θ θ = = =En el editor se progra$a co$o sigue@

6


7/51

*#ora la gr(fica@

7


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1igura 9=%

1.3.2. C >L!5LO DE DE1O-"*!IO4ES E4 VI6*S0%=%:% 0%. ",ODO DE I4,E6-*!I34

Este $8todo consiste en la integración de la ecuación descrita en lasección anterior% Es necesario obtener pri$ero la ley de variación del$o$ento flector para la viga estudiada' tal co$o se #i)o en el eje$ploanterior% 5na ve) conocida la ley de $o$entos flectores' se procede por integración directa%

Si se conoce para un punto concreto' diga$os por eje$plo x = a' eldespla)a$iento vertical y el (ngulo girado por la curva el(stica alrededor de

ese punto respecto a la posición original el resultado de la defor$ación elresultado de la integración directa es si$ple$ente@

8

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flector


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I4,-OD5!!I34 DE ",ODO DE L* SE654D* I4,E6-*!I34

El lla$ado &34)") "#( 5r#,6&))' es en realidad una versión ent8r$inos geo$8tricos del $8todo de integración% De acuerdo con estaversión la doble integral en la ecuación anterior puede calcularse del

siguiente $odo@

0% Se calcula la superficie del (rea bajo la curva M z EI %:% Se calcula la distancia centroide del (rea anterior $edida a partir del eje de la viga%=% La segunda integral buscada es el producto de las dos $agnitudesanteriores.

5n trabajo $uc#a veces laborioso es el c(lculo de las integrales' para ellouna ve) que se tenga definida la función' así co$o los li$ites deintegración de una función' dic#os c(lculos se pueden abreviar con el usode Softare científicos "atlab o "at#e$atica%

?or eje$plo que se desea calcular@

29 195 x dx∫ F%% ( )1Ω

En el softare "atlab se puede i$ple$entar dentro de su editor de lasiguiente $anera@

O+SE-V*!I34@Las líneas que al inicio tiene el sí$bolo de porcentaje' en "atlab sonco$entarios%

9

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/81/DobleIntegraci%C3%B3n.pdfhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/81/DobleIntegraci%C3%B3n.pdf


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Gue al ejecutar este progra$a@Se ubica en la ventana de trabajo de "atlab' se escribe el no$bre delprogra$a con el cual se editado' por eje$plo intralindefinida0' y así deesta $anera se obtiene el valor de dic#a integral@Es decir@

?ara el caso de integral definida co$o por eje$plo@5

29 19

05 x dx∫ F%% ( )2Ω

En "atlab se i$ple$enta de la siguiente $anera@

10


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!O4 EL SO1,H*-E !IE4,I1I!O "*,E"*,I!*@

*#ora con el Softare !ientífico "at#e$atica se puede identificar lagr(fica de la función a integrar a trav8s del siguiente co$ando@

?lotJ función' Kvariable' valor inferior' valor superiorM ' es decir@

?lotJf' K7' min x ' max x M

*quí los valores min x ' max x ' son valores que se dan de acuerdo en

qu8 intervalo se desea ver la gr(fica de la función en estudio% Dic#osvalores no indican el do$inio de la función%

N las integrales se calcula de la siguiente $anera@

aB ?ara integrales indefinidas@

IntegrateJ función' variableMIntegrateJf' 7M

bB ?ara integrales definidas@IntegrateJ función' Kvariable' lí$ite inferior' lí$ite superiorM Es decir@

IntegrateJf' K7' min x ' max x M

?or eje$plo

*nterior$ente ya se calculó en "atlab la integral indefinida ( )1Ω ' a#oracon el "at#e$atica va$os a graficar la función a integrar' calcula$os la

integral definida' luego calcula$os la integral definida ( )2Ω de 9 a %Esto es@

11


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1igura 9P%

Luego las integrales@ ( )1Ω y ( )2Ω ' se eval&an a continuación@

!on el "at#e$atica se trabajar con $uc#a facilidad gr(fica de funciones ycalcular las integrales de dic#as funciones%

E%#&'()

Dada la siguiente función 2( ) (3 4 ) f x x Sen x= − −

6rafique y encuentre la integral5

3

( ) f x dx

−∫ Solución

12


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1igura 9

0%=%:% :%. ",ODO DE S5?E-?OSI!I34

El &34)") "# 78'#r')79/0 usa el principio de superposición de lateoría de la elasticidad lineal% El $8todo de superposición consiste endesco$poner el proble$a inicial de c(lculo de vigas en proble$as ocasos $(s si$ples' que su$ados o QsuperpuestosQ son equivalentes alproble$a original% ?uesto que para los casos $(s sencillos e7isten tablasy fór$ulas de pendientes y defor$aciones en vigas al desco$poner elproble$a original co$o co$binaciones de los casos $(s si$plesrecogidos en las tablas la solución del proble$a puede ser calculadasu$ando resultados de estas tablas y fór$ulas%

0%P 1LE2I34 DE 54* VI6*

Se usar( una barra e$potrada de un deter$inado $aterial' de longitud L' deanc#ura a y de espesor b% Se fijar( uno de sus e7tre$os y se aplicar( una fuer)a ensu e7tre$o libre% "edire$os el despla)a$iento del e7tre$o libre y ALB o flec#a enfunción de la fuer)a aplicada F ' co$probando su relación de proporcionalidad'$ientras que la fle7ión de la barra sea pequeña%

13

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)http://es.wikipedia.org/wiki/Pendientes_y_deformaciones_en_vigashttp://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)http://es.wikipedia.org/wiki/Pendientes_y_deformaciones_en_vigas


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* continuación' e7a$inare$os la teoría de la fle7ión de una viga en voladi)o endetalle' calculando el despla)a$iento de su e7tre$o libre cuando se aplica unafuer)a en dic#o e7tre$o que produce una fle7ión considerable%

Este eje$plo' nos per$ite practicar con procedi$ientos nu$8ricos aplicados al@• !(lculo de la raí) de una ecuación%• Integral definida%

5na viga o una barra delgada son sólidos #o$og8neos e isótropos cuya longitud

es grande co$parada con las di$ensiones de su sección trasversal%

1igura 9R

!uando una viga fle7iona debido a las fuer)as e7teriores que se aplican' e7isten

algunas partes de la viga que se acortan y #ay otras )onas que se alargan% ?ero #ayuna línea' deno$inada neutra' que no se acorta ni se alarga% Esta línea se encuentraen el centro de gravedad de la sección trasversal%

0%P%0% ?EG5E*S 1LE2IO4ES

!onsidere$os una barra delgada de longitud L en posición #ori)ontal' e$potrada por un e7tre$o y so$etida a una fuera vertical F en el e7tre$o libre% Deter$inare$os lafor$a de la barra y las coordenadas ),( f f y x del e7tre$o libre para pequeñasfle7iones de la barra%

1igura 9T

Supondre$os que

• La barra tiene una longitud L $uc#o $ayor que las di$ensiones de su seccióntrasversal' y que la defor$ación debida a su propio peso es despreciable%

14


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• Gue la sección de la barra no ca$bia cuando se dobla% !uando el espesor de labarra es pequeño co$parado con el radio de curvatura' la sección trasversalca$bia $uy poco%

Gue en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler.+ernoulli que relaciona el$o$ento flector M de la fuer)a aplicada y el radio de curvatura ρ de la barradefor$ada

Y I M

ρ

×=

El radio de curvatura de una función ( ) y x es@

32 2

2

2

1 dy

dxds

d yd

dx

ρ θ

+ ÷ ÷ ÷ = =

?ara pequeñas pendientes ( ) 2

0dy

dx ≈

2

2

1 d y

dx ρ =

Si desprecia$os el peso de la propia barra' el $o$ento de la fuer)a F aplicada en ele7tre$o libre' respecto del punto ? A x, y B es ),(),( x L F x x F M f ≈=

Gue integra$os dos veces con las siguientes condiciones iniciales@

0, 0, 0dy

x ydx

= = =

3 2 32 3

2 3 6

FL x FLx Fx y x

YI L YI

−= − =

÷

!on el Softare "at#e$atica se obtiene por $edio de@

15

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvatura


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Luego

El despla)a$iento f y del e7tre$o libre x L=

es proporcional a la fuer)a F aplicada

• Y es el $ódulo de Noung del $aterial%• I se deno$ina $o$ento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra

neutra%

Se considera que la apro7i$ación de pequeñas fle7iones@ el despla)a$iento y dele7tre$o libre de la barra' es proporcional a la fuer)a F aplicada' produce resultadosaceptables #asta un cierto valor del par($etro adi$ensional 0.375α < ' Av8ase alfinal del siguiente apartadoB o bien' #asta un valor $(7i$o de la fuer)a aplicada

22 /m F Y I Lα = − −

0%P%:% ES,5DIO DE L* 1LE2I34 DE 54* VI6* E4 VOL*DIUO

!onsidere$os una barra delgada de longitud L en posición #ori)ontal' e$potradapor un e7tre$o y so$etida a una fuera vertical F en el e7tre$o libre%

Deter$inare$os la for$a de la barra y las coordenadas A x f ' y f B del e7tre$o librepara grandes fle7iones de la barra%

16

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/viga/viga.htm#L%C3%ADmite%20de%20la%20aproximaci%C3%B3n%20de%20peque%C3%B1as%20flexiones%23L%C3%ADmite%20de%20la%20aproximaci%C3%B3n%20de%20peque%C3%B1as%20flexioneshttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/viga/viga.htm#L%C3%ADmite%20de%20la%20aproximaci%C3%B3n%20de%20peque%C3%B1as%20flexiones%23L%C3%ADmite%20de%20la%20aproximaci%C3%B3n%20de%20peque%C3%B1as%20flexiones


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1igura 9

Supondre$os que

• La barra tiene una longitud L $uc#o $ayor que las di$ensiones de su seccióntrasversal' y que la defor$ación debida a su propio peso es despreciable%

• Gue la sección de la barra no ca$bia cuando se dobla% !uando el espesor dela barra es pequeño co$parado con el radio de curvatura' la sección

trasversal ca$bia $uy poco%

Gue en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler.+ernoulli querelaciona el $o$ento flector M de la fuer)a aplicada y el radio de curvatura ρ dela barra defor$ada

Donde Y es el $ódulo de Noung del $aterial e I es el $o$ento de inercia de lasección trasversal respecto del eje neutro%

El radio de curvaturads

d ρ

ϕ =

d M

ds Y I

ϕ =

×

17

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvatura


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1igura 9W

El $o$ento flector M de la fuer)a F aplicada en el e7tre$o libre de la barra

respecto del punto ? A x, y B es ( ) f M F x x= −

Derivando con respecto a XsY' y teniendo en cuanta que@ dxCosds

ϕ = '

2

2 0

d F Cos

ds Y I

ϕ ϕ + =

×

?ara deter$inar ( ) sϕ se resuelve la ecuación diferencial con las siguientescondiciones iniciales@

?ara obtener una solución de la ecuación diferencial' $ultiplica$os por dφ/ds laecuación diferencial

2

2 0

d d F d Cos

ds ds Y I ds

ϕ ϕ ϕ ϕ + =

×

21

02

d d F Sen

ds ds Y I

ϕ ϕ

+ = ÷ ÷ ÷×

21

2

d F Sen k

ds Y I

ϕ ϕ

+ = ÷ × ' k es una constante

La constante de integración la deter$ina$os a partir de las condiciones inicialesespecificadas anterior$ente

( )2

0

2d F Sen Sen

ds Y I

ϕ ϕ ϕ

= − ÷ ×

02

Y I d ds

F Sen Sen

ϕ

ϕ ϕ

×=

−

18


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La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos dela $is$a se obtienen por@

0 0

0 0

02

Y I d L ds L

F Sen Sen

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

×= → =

−∫ ∫

0

02

Cos d Y I dx ds Cos x

F Sen Sen

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

×= × → =−

∫

( )0 02Y I x Sen Sen Sen F

ϕ ϕ ϕ ×

= − −

0

02

Sen d Y I dy ds Sen y

F Sen Sen

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

×= × → =

−∫

0 0

0 0

02

Y I d L ds x

F Sen Sen

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

×= → =

−∫ ∫

Dada la fuer)a F aplicada en el e7tre$o libre de la barra y conocida la longitud Lde la barra' se resuelve la pri$era ecuación para calcular el (ngulo 0ϕ ' que

for$a la recta tangente a la barra en su e7tre$o libre con la parte negativa deleje #ori)ontal 2

5na ve) que se conoce este (ngulo 0ϕ ' se calcula la abscisa x dando valores al

(ngulo φ en el intervalo 0(0, )ϕ %

El c(lculo de la ordenada y es $(s co$plicado' ya que para cada valor del

(nguloϕ

#ay que #allar una integral definida en el intervalo(0, )ϕ

e$pleandoprocedi$ientos nu$8ricos%

+..2.+.6 C1LCULO NUMÉRICO

Las ecuaciones anteriores las pode$os e7presar

19


20/51

02

0

0

2 ,2

d FL

Y I Sen Sen

ϕ ϕ α α

ϕ ϕ = =

×−∫

( )0 01 x

Sen Sen Sen L

ϕ ϕ ϕ α

= − −

00

1

2

y Sen d

L Sen Sen

ϕ ϕ ϕ

α ϕ ϕ = −∫ Donde α es un par($etro adi$ensional que engloba las característicasgeo$8tricas de la barra' del $aterial del que est( #ec#a' y de la fuer)a aplicadaen su e7tre$o libre

+..2.2.6 C1LCULO DE 0ϕ .

E$pe)a$os con la pri$era ecuación que nos deter$ina el (ngulo 0ϕ que for$ala recta tangente a la barra en su e7tre$o libre con la parte negativa del eje#ori)ontal 2' tal co$o se ve en la figura@

1igura 09

-equiere dos pasos@

0% allar la integral

0

0

0

d

Sen Sen

ϕ ϕ

ϕ ϕ −∫

:% !alcular la raí) de la ecuación

20


21/51

( )0 0 f ϕ =

La integral se puede e7presar en t8r$inos de la su$a de dos integrales elípticasde pri$era especie' #aciendo ca$bios de variable% El pri$er ca$bio es

2

π θ ϕ = +

( )

2

02 ( , 2) ( , ) 2 , 2

FL

E k E k YI π φ α α − = =

0 0 2

0 2

00

2

d d

Sen SenCos Cos

ϕ ϕ π

π

ϕ θ

π ϕ ϕ θ ϕ

+=

− − + ÷

∫ ∫

0 2

22 20

1

2

2 4 2

d

Sen Sen

ϕ π

π

θ

ϕ π θ

+

= + − ÷ ÷

∫

El segundo ca$bio de variable es

( ) 02 ,2 4

SenSen k Sen

k

θ ϕ π φ

= = + ÷

2 2

2

1

k Cos d d

k Sen

φ φ θ

φ

×=

−

Luego tene$os

0

0

2

2 20

0

21

d d

Sen Sen k Sen

ϕ π

φ

ϕ φ

ϕ ϕ φ =

− −∫ ∫

( )020

2 2 2 20 0

42 ,

1 1

Send d Sen

k k Sen k Sen

π φ π φ φ φ

φ φ

÷= − = ÷− − ∫ ∫

1inal$ente' calcula$os la raí) de la ecuación

21


22/51

( )2

02 ( , 2) ( , ) 2 ,2

FL E k E k

Y I π φ α α − = =

×

+..2.;.6 C1LCULO DE LAS COORDENADAS


23/51

• !alcula$os las coordenadas ( ), x L y L para el (ngulo 0ϕ ϕ ϕ = − ∆ ,

siendo ϕ ∆ un (ngulo pequeño%• !alcula$os la abscisa f x L para el (ngulo 0ϕ

La ordenada f y L se obtiene resolviendo el tri(ngulo rect(ngulo de la figura

+..2..6 APRO>IMACIÓN DE PE?UE@AS FLE>IONES

?ara pequeñas fle7iones cuando el (ngulo 0ϕ es pequeño% Sustitui$os

Sen ϕ ϕ ≈ y escribi$os la ecuación que calcula 0ϕ %

0

00

2

d ϕ ϕ

α ϕ ϕ =−∫ El resultado es 0ϕ α =

Las coordenadas ( ), x y de cada punto de la barra se apro7i$an a

?ara el e7tre$o libre de la barra' cuando 0 , f x Lϕ ϕ α = = = ' lo que i$plica queen la apro7i$ación de pequeñas fle7iones' no #ay despla)a$iento #ori)ontal dele7tre$o libre de la barra%

La ordenada y la pode$os apro7i$ar

0

1

2

d y

L

ϕ ϕ ϕ

α α ϕ =

−∫

Integrando por partes y despu8s de #acer algunas si$plificaciones obtene$os la

siguiente e7presión@

21

3 2

y

L

ϕ ϕ α α

α

= − + − ÷ ÷ ÷

Las coordenadas x e y ' las #e$os e7presado en función del par($etro ϕ 'eli$inando el par($etro obtene$os la función y Zf A x B que describe la fle7ión de labarra cuando se aplica una fuer)a F en su e7tre$o libre%

23


24/51

2 3

2 3

1

3

y x x

L L Lα

= − ÷

32

32 3

FL x y x

Y I L

= − ÷×

?ara el e7tre$os libre de la barra' cuando 0 , x Lϕ ϕ α = = = '

2

3

f y

Lα = '

31

3 f

L y F

Y I =

×

+..2..6 LÍMITE DE LA APRO>IMACIÓN DE PE?UE@AS FLE>IONES

En la figura 0:' se $uestra la desviación y L del e7tre$o libre de la barra enfunción del par($etro adi$ensional α %

• En color rojo' los resultados del c(lculo' e$pleando procedi$ientosnu$8ricos' descrito en el apartado anterior• En color a)ul' la recta y L Z:α =' apro7i$ación de pequeñas fle7iones

1igura 0:

?ode$os considerar' que la apro7i$ación lineal produce resultados aceptables

#asta un cierto valor lí$ite del par($etro mα o bien' #asta un cierto valor $(7i$o

de la fuer)a aplicada m F en el e7tre$o libre de la barra

24


25/51

2

2 mm

Y I F

L

α × ×=

EJEMPLO@

Sea una regla de acero de longitud 30 L cm= ' sección rectangular 3.04a cm= ' y

0.078b cm= % El $ódulo de Noung es 11 22.06 10 y m= × %

El $o$ento de inercia I vale

312 41.20 10

12

ab I m−= = ×

!uando aplica$os en el e7tre$o libre de la barra una fuer)a tal que 0.25α = ' esdecir

2

, 1.382 FL F Y I

α = =×

Observa$os en el progra$a interactivo que se encuentra en

0.98 0.16 f f x L e y L= = es decir' a 29 4.8 f f x cm e y cm= = del e7tre$o

fijo%

*plicando la apro7i$ación de pequeñas fle7iones

3 3

11 12

2 1 1 0.3

, 1.38 0.05 5.03 3 3 2.06 10 1.2 10

f

f

y L

y F m m L Y I α −= = = = =× × × ×

En la apro7i$ación de pequeñas fle7iones f x L≈ ' no #ay desviación apreciable

en sentido #ori)ontal y la desviación en sentido vertical f y es proporcional a la

fuer)a F aplicada en el e7tre$o libre%

!uando aplica$os en el e7tre$o libre de la barra una fuer)a tal que 1.25α = ' esdecir

2

, 6.882

FL

F Y I α = =×

observa$os en el progra$a interactivo que se encuentra en

0.79 0.56 f f x L e y L= = ' es decir' a 24 17 f f x cm e y cm= = del e7tre$o

fijo%

*plicando la apro7i$ación de pequeñas fle7iones

25


26/51

3 3

11 12

1 1 0.36.88 0.25 25

3 3 2.06 10 1.2 10 f

L y F m cm

Y I −= = = =

× × × ×

CAPÍTULO II: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

:%0 E!5*!IO4ES DI1E-E4!I*LES LI4E*LESDe la ecuación Diferencial Lineal de orden n@

( ) ( 1)

1 1 0( ) ( ) ... ' ( )n n

n na x y a x y a y a y f x−

−+ + + + = F 1( )α Donde

( ) 0na x ≠

!uando nZ0' se obtiene@

1 0( ) ( ) ( )dy

a x a x y f xdx

+ = ' 1( ) 0a x ≠ F% 2( )α

Lla$ada E!5*!I34 DI1E-E4!I*L LI4E*L DE ?-I"E- O-DE4'

Donde1 0

, ,a a f son funciones sola$ente de 7 o constantes%

Dividiendo a la ecuación 2( )α por 1( ) 0a x ≠ @

2

1 1

( ) ( )

( ) ( )

a xdy f x y

dx a x a x+ =

( ) ( )dy

p x y q xdx

+ = F 3( )α

26


27/51

( ) , ( ) p x q x Son funciones de 7 o constantes

La ecuación 3( )α se lla$a ecuación diferencial lineal de pri$er orden en y%

Si ( ) 0q x = ' la ecuación 3( )α se lla$a ecuación diferencial lineal #o$og8nea' casocontrario es no #o$og8neo' y es una ecuación de variable separable' cuya soluciónes@

( ) ( ) ( )dy

p x dx Ln y p x dx y = − → = −∫

( ) p x dx

y ke −∫ =

Si ( ) 0q x ≠ ' la ecuación 3( )α

( ) ( )dy

p x y q xdx

+ = ' se lla$a ecuación diferencial lineal no #o$og8nea' no es

E7acta' por tanto se busca un factor integrante para su solución%

Si ( ) I x es un factor integrante solo de 7 a la ecuación 3( )α lo e7presa$os por@

[ ]( ) ( ) 0 p x y q x dx dy− + = F 4( )α

*#ora $ultiplicado por ( ) I x

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) 0 I x p x y q x dx I x dy− + = Es una ecuación diferencial e7acta' por tanto

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ( )) ( )

p x dx

I x p x q x I x y x

dI x I x e p x

dx

dI x p x dx Ln I x p x dx

dx

∂ − ∂=∂ ∂

∫ = =

= = → =∫ ∫ ∫

Efectuando

( )( ) ( )

dI x I x p x

dx= ' de donde agrupando se tiene@

( )( )

dI x p x dx

dx=

Integrando respecto a 7

( )( ) ( ( )) ( )

dI x p x dx Ln I x p x dx

dx= → =∫ ∫ ∫

27


28/51

De donde

( )

( ) p x dx

I x e∫ = ' IA2B@ es el factor de integración%

"ultiplicando a la ecuación 4( )α por IA2B@

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) 0

p x dx p x dx

e p x y q x dx e dy∫ ∫

− + = *grupando' tene$os@

( ) ( ) ( )( ) ( )

p x dx p x dx p x dxe p x ydx e dy e q x dx∫ ∫ ∫ + =

( ) ( )

( ) p x dx p x dx

d e y e q x dx ∫ ∫ = ÷

Integrando

( )( )( )

p x dx p x dxe y e q x dx c

∫ ∫ = +∫ De donde

( )( )( )

p x dx p x dx

y e e q x dx c− ∫ ∫ = +

∫

Es la solución general de la ecuación 3( )α

E%#&'().-esolver@

2 2 2(1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 tandy

x Ln x xy Ln x x!"c xdx

+ + − = + −

donde / 2 y π → − ' cuando x → ∞

S)(89/0D(ndole la for$a de ecuación diferencial lineal' se obtiene@

2 2 2 2 2

2 1 2 tan

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

dy x x!"c x y

dx x Ln x x x Ln x− = −

+ + + + +

Donde

28


29/51

2 2

2( )

(1 ) (1 )

x p x

x Ln x= −

+ +' 2 2 2

1 2 tan( )

(1 ) (1 ) (1 )

x!"c xq x

x x Ln x= −

+ + +

Luego su solución es%

( )( )( )

p x dx p x dx y e e q x dx c

− ∫ ∫ = + ∫

2 2 2 2

2 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 2 2

1 2 tan

(1 ) (1 ) (1 )

x xdx dx x Ln x x Ln x

x!"c x y e e dx c

x x Ln x

− −−+ + + +

∫ ∫ = − + ÷+ + + ∫

( )( ) ( )( )22 ln 1ln 12 2 2

1 2 tan

(1 ) (1 ) (1 )

Ln x Ln x x!"c x y e e dx c

x x Ln x

− ++ = − + ÷+ + +

∫

2

2 2 2 2 21 2 tan(1 )

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) x!"c x y Ln x dx c

x Ln x x Ln x = + − + ÷+ + + + ∫

2

2

rctan(1 )

(1 )

! x y Ln x d dx c

Ln x

= + + ÷+

∫

2

2

rctan(1 )

(1 )

! x y Ln x c

Ln x

= + +

+

!o$o / 2 y π → − ' cuando x → ∞ ' entonces 0c =

rctan y ! x=

*#ora usando el Softare "at#e$atica ' se encuentra la solución por $edio delsiguiente for$ato@

2.2 REDUCCIÓN DE ORDEN

2.2.+ ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

29


30/51

Si la ecuación diferencial no es lineal' se debe #acer la transfor$ación a lineal' uno delos $8todos es resolver una ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI. Gue es de lafor$a siguiente@

( ) ( ) ndy

p x y q x ydx

+ = ' 1n ≠ F%% 5( )α

( ) ( )dy

p x y q xdx

+ = F 3( )α

!o$o se observa dic#a ecuación no es lineal ' pri$ero debe transfor$arse en unaecuación diferencial lineal%

SE!5E4!I* * SE65I-@

0[%. * la ecuación 5( )α $ultiplicarlo porn y−

1( ) ( )n ndy

y p x y q xdx

− −+ = FF%% 6( )α

:[%. "ultiplicando a 6( )α por (1 )n−

1(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( )n ndy

n y n p x y n q xdx

− −

− + − = − %%%

7

( )α

=[%. Si 1 n z y −= 'entonces (1 ) ndz dy

n ydx dx

−= − F 8( )α

P[%. -ee$pla)ar 8( )α en 7( )α @

(1 ) ( ) (1 ) ( )dz

n p x z n q xdx

+ − = − F 9( )α

Donde 9( )α ya es una ecuación diferencial lineal en ) de pri$er orden%

E%#&'()-esolver

3

3 (1 3 )#dq q #Sen# q sen# d# = + − FA β B

Solución% * dic#a ecuación se le transfor$a a ecuación diferencial de +ernoulli' para luego

transfor$arlo a una Ecuación Diferencial Lineal% ( ) ( ) ndq

p # q " # qd#

+ = ' 1n ≠ '

Esto es@

41

3

dq #Sen# Sen# q q

d# # #

+− = − F 10( )α

Donde10

( )α es una ecuación diferencial de +ernoulli'

1( )

3

#Sen# p #

#

+= − \ ( )

Sen# " #

# = −

4 4nq q n= → =

"ultiplicando ecuación 10( )α por4q

−

30


31/51

4 4 4 41

3

dq #Sen# Sen# q q q q q

d# # #

− − −+− = −

4 31

3

dq #Sen# Sen# q q

d# # #

− −+− = − F% 11( )α

"ultiplicando por 0.nZ0.PZ .= a la ecuación 11( )α

4 313 3dq #Sen# Sen#

q qd# # #

− −+− + = F% 12( )α

Sea 3 43dz dq

z q qd# d#

− −= → = − F 13( )α

*#ora ree$pla)ando 13( )α en 12( )α @

13

3

dz #Sen# Sen# z

d# # #

++ = F 14( )α

14α es una ecuación diferencial lineal en ) de pri$er orden' cuya solución se puede

calcular usando el Softare "at#e$atica ' por $edio del siguiente for$ato@

Donde al resolviendo en for$a analítica se tiene que@

1 3( ) ; ( )

#Sen# Sen# p # q #

# #

+= =

cuya solución es@( )( )

( ) p # d# p # d#

z e q # e d# c− ∫ ∫ = + ∫

11

3#Sen#

d# #Sen# d# #

# Sen#

z e e d# c#

++

− ∫ ∫ = + ∫

( )

( ) 3 Ln# Cos#

Ln# Cos# Sen# z e e d# c

#

−− − = +

∫ 3

Cos# Cos# e z e c

#

− = + el $is$o que coincide con el obtenido con "at#e$atica%

*#ora sustitui$os 3 z q−= @

31


32/51

3 3Cos#

Cos# eq e c#

− − = + es la solución de la ecuación diferencial A β B

2.2.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI

La ecuación diferencial de -iccati es de la for$a@

2( ) ( ) ( )dy

p x y q x y " xdx

= + + F 1( ) ρ

,al que ( ), ( ), ( ) p x q x " x son funciones solo de 7%La idea a seguir' es de trasfor$arlo a la for$a de una ecuación de +ernoulli' paraluego transfor$arlo a una ecuación diferencial lineal%En efecto la ecuación 1( ) ρ no se puede resolver por el $8todo de +ernoulli' ni es

ecuación diferencial lineal' sin e$bargo si se conoce una solución particular'entonces se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial%

Suponiendo que ( ) y xψ = es una solución particular' entonces se puede #allar lasolución de la ecuación diferencial #aciendo

( ) y x z ψ = +

Donde z es una función incógnita que se va deter$inar con la ayuda de la ecuacióndiferencial%

Es decir

'( ) ( )dz dz

y x z xdx dx

ψ ψ = + → = + F% 2( ) ρ

-ee$pla)ando 2( ) ρ en 1( ) ρ @

[ ] [ ] 2' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dz x p x x z y q x x z " x

dxψ ψ ψ + = + + + + F% 3( ) ρ

-eordenando t8r$inos se obtiene@

[ ] 2 ' 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dz

p x x q x z q x z x p x x q x x " xdx

ψ ψ ψ ψ − + − + − − − =

Luego' 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x p x x q x x " xψ ψ ψ − − − = F% 3( ) ρ

dado que ( ) y xψ = es una solución de la ecuación diferencial de -iccati%

En consecuencia

32


33/51

[ ] 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0dz

p x x q x z q x z dx

ψ − + − =

[ ] 2( ) 2 ( ) ( ) ( )dz

p x x q x z q x z dx

ψ − + = F 4( ) ρ

De donde se observa que 4( ) ρ ya es una ecuación diferencial de +ernoulli% ?or tanto

se puede transfor$ar a una ecuación diferencial lineal%

E%#&'()-esolver la ecuación diferencial@

2

2

1 11

dy y y

dx x x= + − F 5( ) ρ

donde una de las soluciones es y x=

S)(89/0

La ecuación diferencial 5( ) ρ es de -iccati' es decir es de la for$a 1( ) ρ '

Donde

1( ) p x

x= '

2

1( )q x

x= ' ( ) 1" x = ' son funciones que dependen solo de 7 % *si$is$o

( ) y x xψ = = es una solución particular%

Sea

( ) y x x z ψ = = +

La solución de la ecuación diferencial dada' donde z es una función por deter$inar%

1dy dz

y x z dx dx

= + → = + F 6( ) ρ

-ee$pla)ando 6( ) ρ en 5( ) ρ @

[ ] [ ] 2

2

1 11 1

dz x z x z dx x x+ = + + + −

Si$plificando se obtiene@

2

2

3 1dz z z

dx x x− = F 7( ) ρ

Donde observa$os clara$ente que es una ecuación diferencial de +ernoulli' porquetiene la for$a de@

33


34/51

( ) ( ) ndz

a x z b x z dx

+ = ' 1n ≠

Donde

3( )a x

x= − \

2

3( )b x

x= ' 2n =

"ultiplicando por 2 z − 2 z −

2 1

2

3 1dz z z

dx x x

− −− = F 8( ) ρ

"ultiplicando por 0.nZ0.:Z .0 a la ecuación 8( ) ρ

2 1

2

3 1dz z z

dx x x

− −− + = −

Sea 1 2dw dz

w z z dx dx

− −= → = − F 9( ) ρ

*#ora ree$pla)ando 9( ) ρ en 8( ) ρ @

2

3 1dww

dx x x− = − F 10( ) ρ es una ecuación diferencial lineal en de pri$er orden'

10( ) ρ es una ecuación diferencial lineal en ) de pri$er orden' cuya solución sepuede calcular usando el Softare "at#e$atica ' por $edio del siguiente for$ato@

*#ora resolviendo en for$a analítica se tiene@

2

3 1( ) ; ( ) p x q x

x x= − = −

cuya solución es@

( )( )

( ) p x dx p x dx

w e q x e dx c− ∫ ∫ = + ∫

33

2

1 dx

dx x xw e e dx c

x

−− − ∫ ∫ = − +

∫

34


35/51

( 3 )

3

2

1 Lnx

Lnxw e e dx c x

− = − +

∫

3

4

1

4w x c

x

= + F 11( ) ρ solución que coincide con lo obtenido con

"at#e$atica

-ee$pla)ando 1w z −= se tiene@

1 3

4

1

4 z x c

x

− = + F 12( ) ρ

?ero1 y x z w z −= + → = F 13( ) ρ

13( ) ρ en 12( ) ρ @

1 3

4

1( )

4 y x x c

x

− − = +

Es la solución de la ecuación diferencial 5( ) ρ %

CAPÍTULO III: MODELACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

3.1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: PROBLEMAS DE VALORES ENLA FRONTERA DEFLE>IÓN DE UNA VIGA VIGA EMPOTRADA.

!on frecuencia' la descripción $ate$(tica de un siste$a físico requiere lasolución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones en la frontera\ es decir condiciones especificadas para la función desconocida o una de sus derivadas' eincluso para una co$binación de la función desconocida y una de sus derivadas'en dos o $(s puntos distintos%

D#7,9/0 "# 80, !,.6 "uc#as estructuras se construyen a base de vigasque se desvían o distorsionan por su propio peso o por la influencia de algunafuer)a e7terna% ?ues a#ora estudiare$os esta desviación@!onsidere$os dic#a desviación por ( ) y x la $is$a que esta deter$inada por unaecuación diferencial lineal de cuarto orden%

*su$iendo que una viga de longitud L es #o$og8nea y tiene seccióntransversal unifor$e en toda su longitud% !uando no recibe carga alguna'incluyendo su propio peso' la curva que une los centroides de sus seccionestransversales es una recta que se lla$a #%# "# 7r, A1ig% 90B%

35


36/51

1igura 0=

Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga quecontenga al eje de si$etría' sufre una distorsión y la curva que une los centroidesde las secciones transversales se lla$a 98r, "# "#7,9/0 98r, #(5749, osi$ple$ente #(5749,. La el(stica apro7i$a la for$a de la viga% Suponga$os queel eje x coincide con el eje de si$etría y que (, "#7,9/0 Ao -(#9,B ( ) y x '

$edida desde el eje' es positiva si es #acia abajo% En teoría de la elasticidad sede$uestra que el $o$ento fle7ionante ( ) M x en un punto x a lo largo de la

viga' se relaciona con la carga por unidad de longitud ( )w x $ediante la siguienteecuación@

2

2 ( )

d M w x

dx= 1( )γ

*de$(s el $o$ento fle7ionante ( ) M x es proporcional a la curva' κ ' de lael(stica@

( ) M x EI κ =

Donde E e I son constantes' E es el $ódulo de Noung de elasticidad del$aterial de la viga e I es el $o$ento de inercia de la sección transversal de 8staArespecto de un eje lla$ado eje neutroB% El producto EZ se deno$ina r!"#$ ,(, -(#/0 de la viga%De acuerdo al c(lculo diferencial' la curvatura es@

32 2

''

1 ( ')

y

y

κ = +

2( )γ

!uando la desviación ( ) y x es pequeña es pequeña' la pendiente ' 0 y ≈ ' de$odo que@

32 21 ( ') 1 y + ≈

Si '' yκ = ' entonces el $o$ento fle7ionante se transfor$a en '' M EIy= %La segunda derivada de esta ecuación es@

36


37/51

2 2 4

2 2 4''

d M d d y EI y EI

dx dx dx= = 3( )γ

-e$pla)ando resultado de 1( )γ en 3( )γ y ve$os que la desviación ( ) y x satisface

la siguiente ecuación diferencial@

4

4 ( )

d y EI w x

dx

= 4( )γ

Las condiciones en la frontera asociados a esta ecuación dependen de la for$aen que est(n sostenidos los e7tre$os de la viga% 5na viga en voladi)o AencantiliverB est( #&')4r,", en un e7tre$o y libre en el otro% El ala de un avión'un bra)o e7tendido' las astas de banderas' los rascacielos son eje$plosco$unes de vigas en voladi)o y los $o$entos pueden trabajar co$o vigas envoladi)o' ya que est(n e$potrados en su base y sufren la fuer)a del viento' quelos tiende a fle7ionar% ?ara una viga en voladi)o' la desviación ( ) y x debesatisfacer las dos condiciones siguientes en el e7tre$o e$potrado en 0 x = @

aB (0) 0 y = ' porque no #ay desviación en ese lugar' y

bB '(0) 0 y = ' porque la curva de desviación es tangente al eje x Aes decir' lapendiente de la curva de desviación es cero en ese puntoB%

!uando x L= las condiciones del e7tre$o libre son@aB ''( ) 0 y L = ' porque el $o$ento fle7ionante es cerobB '''( ) 0 y L = ' porque la fuer)a cortante es cero%

La función@3

3( )

dM d y F x EI

dx dx= = 5( )γ

Se lla$a fuer)a cortante% Si un e7tre$o de una viga est( 7&'(## ,'),")Aa esto ta$bi8n se le lla$a e$bisagrado' articulado o e$pernadoB' se debecu$plir que (0) 0 y = y ''(0) 0 y = en ese e7tre$o%

* continuación se $uestra una tabla de las condiciones en la frontera asociadas

con la ecuación 4( )γ @

E4r#&)7 "#L, !,

C)0"9)0#7 #0L, -r)04#r,

E$potrado (0) 0 y = ' '(0) 0 y =

Libre ''(0) 0 y = ' '''(0) 0 y =

Si$ple$enteapoyado

(0) 0 y = ' ''(0) 0 y =

37


38/51

EJEMPLO6 VIGA EMPOTRADA.

5na viga de longitud L est( e$potrada en a$bos e7tre$os% Deter$ine la

desviación de esa viga si sostiene una carga constante' 0w ' unifor$e$ente

distribuida en su longitud\ esto es 0( )w x w= ' 0 x L< < %S)(89/0

Seg&n lo que acaba$os de plantear\ la desviación ( ) y x satisface a4

04

d y EI w

dx= 6( )γ

Dado que la viga est( e$potrada en su e7tre$o i)quierdo A 0 x = B y en sue7tre$o derec#o ( ) x L= ' no #ay desviación vertical y la el(stica es #ori)ontal eesos puntos% De esta $anera las condiciones en la frontera son@

(0) 0, '(0) 0, ( ) 0, '( ) 0 y y y L y L= = = =

?ode$os resolver deter$inando c y teniendo en cuenta que 0m = es una raí) de$ultiplicidad cuatro de la ecuación au7iliar 4 0m = ' luego deter$ina$os una

solución particular p y por el $8todo de coeficientes indeter$inados% ,a$bi8n

pode$os resolver integrando cuatro la ecuación@4

0

4

wd y

dx EI = 7( )γ

Se obtiene co$o solución general@

2 3 401 2 3 4( ) 24

w

y x c c x c x c x x EI = + + + + 8( )γ

5sando el softare "at#e$atica se obtendr( a trav8s del siguiente for$ato@

!on las condiciones (0) 0, '(0) 0 y y= = se obtiene 1 20 0c y c= = '

Es decir que@

38


39/51

Sin e$bargo las otras condiciones restantes ( ) 0, '( ) 0 y L y L= = aplicados a laecuación@

2 3 403 4( )

24

w y x c x c x x

EI = + + 9( )γ

Dan origen a@

2 3 403 4

2 303 4

024

2 3 06

wc L c L L

EI

wc L c L L

EI

+ + =

+ + = 10( )γ

-esolviendo el siste$a 10( )γ se obtiene@

2

0 03 4

24 12

w L w Lc y c

EI EI

−= = 11( )γ

] En consecuencia la desviación es@

( )2 22 3 4 20 0 0 0( )

24 12 24 24

w L w L w w y x x x x x x L

EI EI EI EI = − + = − 12( )γ

Si 0 24 1w EI L= ∧ = ' se obtiene la gr(fica de la curva el(stica de la figura 0P

1igura 0P

39


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;.2 VALORES PROPIOS Y FUNCIONES PROPIAS < EIGENVALORES YEIGENFUNCIONES=En las aplicaciones e7isten $uc#os proble$as' que son proble$as de valor en lafrontera en dos puntos' donde interviene una ecuación diferencial que contieneun par($etro λ % Se trata de #allar los valores de λ para los cuales el proble$ade valor en la frontera tenga soluciones no triviales%

E%#&'(): D# S)(89)0#7 N) Tr,(#7 D# U0 Pr)(#&, D# V,()r E0 L,

Fr)04#r,.

-esolver el proble$a de valor en la frontera

'' 0, (0) 0, ( ) y y y y L cl λ + = = =

S)(89/0.!onsidere$os tres casos@ 0, 0 0 yλ λ λ = < >

CASO I. Si 0λ = ' la solución de '' 0 y = es@

1 2 y c x c= +

Las condiciones(0) 0, ( ) 0 y y L

= = i$plican 2 10 0c y c

= = ' por tantocuando 0λ = ' la &nica solución al proble$a de valor en la frontera es la trivial0 y = %

CASO II. Si 0λ < '1 2 y c Cos$ x c Sen$ xλ λ = − + − '

De (0) 0 y = se obtiene 1 0c = y así 2 y c Sen$ xλ = − %

La segunda condición' ( ) 0 y L = obliga a que2 0c Sen$ xλ − = % Dado que '

se debe cu$plir 2 0c = \ por consiguiente' 0 y = %

CASO III. !uando 0λ > ' solución general de '' 0 y yλ + = es@

1 2 y c Cos x c Sen xλ λ = + %co$o (0) 0, y = se obtiene 1 0c = ' pero ( ) 0, y L = i$plica que@

2 0c Sen$ xλ = %

Si 2 0c = ' se obtiene 0 y = \ e$pero si 2 0c ≠ ' entonces 0Sen xλ = % Sine$bargo la &lti$a condición indica que el argu$ento de la función seno #a de ser un $&ltiplo entero de π @

L nλ π = es decir2 2

2 , 1, 2, 3,...

nn

L

π λ = =

?or lo tanto' para todo real 2c diferente de cero' 2n x

y c Sen L

π = ÷

es una

solución del proble$a para cada n % Dado que la ecuación diferencial' es

#o$og8nea' no necesita$os escribir 2c si así lo desea$os\ es decir' para unn&$ero dado de la sucesión

40


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2 2 2

2 2 2

4 9, , ,...

L L L

π π π

La función correspondiente en la sucesión

2 3, , ,...Sen x Sen x Sen x

L L L

π π π

Es una solución no trivial del proble$a original%

Los n&$eros2 2

2 , 1, 2, 3,...n

nn

L

π λ = = para los que el proble$a de valor en

la frontera del #%#&'() ,04#r)r tiene soluciones no triviales se lla$an ,()r#79,r,94#r749)7 ) ,()r#7 'r)')7.

Las soluciones con respecto a esos valores de nλ co$o 2nn x

y c Sen L

π = ÷

o

si$ple$ente nn x y Sen

Lπ = ÷

se lla$an funciones características' funciones

propias%

;.; CURVATURA DE UNA COLUMNA VERTICAL ESBELTA.

En el siglo %VIII Leon#ard Euler fue uno de los pri$eros $ate$(ticos enestudiar un proble$a de valores propios al anali)ar có$o se curva una colu$nael(stica esbelta so$etida a una fuer)a a7ial de co$presión%E7a$inando una colu$na vertical larga y esbelta de sección transversal unifor$e

y longitud L % Sea ( ) y x la curvatura de la colu$na al aplicarle una fuer)a verticalde co$presión' o carga' & ' en su e7tre$o superior ver 1igura 0% *l co$parar los $o$entos fle7ionantes en cualquier punto de la colu$na se obtiene@

2

2

d y EI &y

dx= − es decir

2

2 0

d y EI &y

dx+ =

Donde E es el $ódulo de elasticidad de Noung e I es el $o$ento de inercia deuna sección transversal con respecto a una recta vertical por el centroide%

41


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1igura 0

E%#&'(): D# Pr)(#&, R#(,9)0,") C)0 V,()r#7 Pr)')7.Deter$inar la desviación de una colu$na #o$og8nea' delgada y vertical dealtura L ' so$etida a una carga a7ial & constante% La colu$na se encuentraarticulada en sus dos e7tre$os%

S)(89/0.El proble$a de valor en la frontera que se debe resolver es@

2

2 0, (0) 0, ( ) 0

d y EI &y y y L

dx+ = = =

0 y = es una solución valida para este proble$a' lo que indica que si la carga & no es suficiente$ente grande' entonces no #ay defle7ión% Luego ^para qu8valores de & se curva la colu$na_% En t8r$ino $ate$(ticos@ ^para qu8 valoresde & el proble$a de valor en la frontera tiene soluciones no triviales_

aciendo la sustitución &

EI λ = se obtiene@

'' 0, (0) 0, ( ) 0 y y y y Lλ + = = =

Es id8ntica al proble$a de soluciones no triviales de un proble$a de valor en la

frontera' en el caso III de este proble$a se observa que las curvas de desviaciónson@

2( )nn x

y x c Sen L

π = ÷

' que corresponden a los valores propios

2 2

2 , 1, 2, 3,...nn

& nn

EI L

π λ = = =

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Esto quiere decir física$ente' que la colu$na se desvía sólo cuando la fuer)a de

co$presión tiene uno de los valores2 2

2 , 1, 2, 3,...n

n EI & n

L

π = =

Estas fuer)as se lla$an 9,r!,7 9r49,7% La curva de defle7ión que corresponde

a la $íni$a carga crítica'2

1 2

EI &

L

π = se deno$ina 9,r!, "# E8(#r y es

1 2( )

x

y x c Sen L

π = ÷ \ esta función se conoce co$o 'rr &)") "#

"#7,9/0%

En la siguiente figura ve$os las curvas de desviación del presente eje$plo' quecorresponden para 1, 2 3n n y n= = = % Si la colu$na original tiene alg&n tipo de

restricción física o guía en2

L x = ' la carga crítica $íni$a ser(

2

2 2

4 EI &

L

π = ' y

la curva de defle7ión ser( la de la figura


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El softare Mathemat!a es una #erra$ienta especiali)ada en an(lisis nu$8ricoy c(lculo si$bólico' visuali)ación y $anipulación de datos' gr(ficos y objetos' queincorpora un potente lenguaje de progra$ación propio de alto nivel y una interfa)

e7terna que per$ite salidas a !' 1ortran y ,E2' ade$(s de otras potentesco$unicaciones con otros paquetes $ediante "at#Lin/%

Ingenieros' científicos' analistas financieros' investigadores' profesores yestudiantes de enseñan)a superior usan en todo el $undo Mathemat!a paradesarrollar sus c(lculos de precisión en proyectos críticos%Mathemat!a #a sido desarrollado por la e$presa Holfra$ -esearc# Inc%'fundada en 0WT por Step#en Holfra$% Holfra$ -esearc# Inc% se #acaracteri)ado durante toda su #istoria por ser una co$pañía líder en el desarrollode #erra$ientas de gran calidad para el c(lculo ci8ntífico y t8cnico y por la

incorporación de una tecnología de co$putación propia e innovadora%

*ddlin/ Softare !ientífico' desde su fundación en 0WW0 ostenta el título de"74r8")r )-9,( 9#r4-9,") de los productos de Holfra$ -esearc#% Estacalificación garanti)a un alto nivel de calidad en@

• asesora$iento co$ercial que per$ite una opti$i)ación de la inversióngracias a un profundo conoci$iento de los productos' tipos de configuración'licencias y precios\

• soporte t8cnico y atención al cliente' a trav8s de un equipo t8cnico alta$entecualificado en los productos' siste$as y (reas de conoci$iento

Los docu$entos electrónicos de Mathemat!a' lla$ados noteboo/s le per$itenorgani)ar de for$a f(cil sus te7tos' c(lculos gr(ficos y ani$aciones parai$presionantes infor$es t8cnicos' courseare' presentaciones o registro de sutrabajo% N ade$(s puede usar el protocolo de co$unicación de Mathemat!a'"at#Lin/' para interca$biar infor$ación entre Mathemat!a y otros progra$as%

CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES

• -eali)ación de c(lculos y si$ulaciones de cualquier nivel de co$plejidad$ediante el uso de la a$plia librería de funciones $ate$(ticas yco$putacionales%

• -(pida y f(cil i$portación y e7portación de datos' que incluye i$(genes ysonido' en $(s de veinte for$atos%

• 6eneración de docu$entos interactivos' independientes de la platafor$a'con te7tos' i$(genes' e7presiones $ate$(ticas' botones e #yperlin/s%

• Entrada de e7presiones a trav8s del teclado o de la paleta Aprogra$ableB$(s adecuada%

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• !onstrucción de co$plejas e7presiones y fór$ulas con for$ato auto$(ticoy ruptura de líneas%

• E7portación de los Qnoteboo/sQ a for$ato ,"L para presentaciones eb oLa,e2 para publicaciones especiales%

P%: I4,-OD5!!I34 *L SO1,H*-E !IE4,I1I!O "*,L*+%

"*,L*+ es el no$bre abreviado de X"*,ri7 L*+oratoryY% "*,L*+ es unprogra$a para reali)ar c(lculos nu$8ricos con vectores y matrices% !o$o casoparticular puede ta$bi8n trabajar con n&$eros escalares tanto reales co$oco$plejos' con cadenas de caracteres y con otras estructuras de infor$ación$(s co$plejas% 5na de las capacidades $(s atractivas es la de reali)ar unaa$plia variedad de gráficos en dos y tres di$ensiones% "*,L*+ tiene ta$bi8nun lenguaje de progra$ación propio% Este $anual #ace referencia a la versiónT%9 de este progra$a Ata$bi8n lla$ada release +B' aparecida a $ediados de

:99P%

"*,L*+ es un gran progra$a de c(lculo t8cnico y científico% ?ara ciertasoperaciones es $uy r(pido' cuando puede ejecutar sus funciones en códigonativo con los ta$años $(s adecuados para aprovec#ar sus capacidades devectori)ación% En otras aplicaciones resulta bastante $(s lento que el códigoequivalente desarrollado en !!`` o 1ortran% En la versión R%' "*,L*+incorporó un acelerador JIT A;ust In ,i$eB' que $ejoraba significativa$ente lavelocidad de ejecución de losfic#eros *.m en ciertas circunstancias' por eje$plo cuando no se #acen lla$adasa otros fic#eros *.m' no se utili)an estructuras y clases' etc% *unque li$itado enese $o$ento' cuando era aplicable $ejoraba sensible$ente la velocidad'

#aciendo innecesarias ciertas t8cnicas utili)adas en versiones anteriores co$o lavectorización de los algorit$os% En cualquier caso' el lenguaje de progra$aciónde "*,L*+ sie$pre es una $agnífica #erra$ienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones t8cnicas' f(cil de utili)ar y que' co$o ya se #a dic#o' au$entasignificativa$ente la productividad de los progra$adores respecto a otrosentornos de desarrollo%

"*,L*+ dispone de un código b(sico y de varias librerías especiali)adasAtoolboxesB% En estos apuntes se #ar( referencia e7clusiva al código b(sico%"*,L*+ se puede arrancar co$o cualquier otra aplicación de indo!s'clicando dos veces en el icono correspondiente en el escritorio o por $edio del$en& InicioB% *l arrancar "*,L*+ se abre una ventana si$ilar a la $ostrada en

la 1igura 0% sta es la vista que se obtiene eligiendo la opción"es#to$ La%o&t/"efa&lt ' en el $en& 'ie! % !o$o esta configuración puede ser ca$biada f(cil$ente por el usuario' es posible que en $uc#os casos concretos loque apare)ca sea $uy diferente% En cualquier caso' una vista si$ilar se puedeconseguir con el citado co$ando 'ie!/"es#to$ La%o&t/"efa&lt %

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Esta ventana inicial requiere unas pri$eras e7plicaciones%

Ventana inicial de "*,L*+ T%9%

La parte $(s i$portante de la ventana inicial es la (ommand indo! ' queaparece en la parte derec#a% En esta sub.ventana es donde se ejecutan losco$andos de "*,L*+' a continuación del $rom$t AavisoB característico AB'que indica que el progra$a est( preparado para recibir instrucciones%

En la pantalla $ostrada en la 1igura 0 se #a ejecutado el co$ando A&,!9


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"en& Start"*,L*+%

"en& StartDes/top ,ools%

En la parte inferior i)quierda de la pantalla aparece el botón +tart ' con unafunción an(loga a la del botón Inicio de indo!s% +tart da acceso in$ediato aciertas capacidades del progra$a% La 1igura : $uestra las posibilidades de+tart/-TL-' $ientras que la 1igura = $uestra las opciones de+tart/"es#to$ Tools' que per$iten el acceso a las principales co$ponentes o

$ódulos de "*,L*+%

El $en& "es#to$ reali)a un papel an(logo al botón +tart ' dando acceso a los$ódulos o co$ponentes de "*,L*+ que se tengan instalados%?uede #acerse que al arrancar "*,L*+ se ejecute auto$(tica$ente un fic#ero'de $odo que apare)ca por eje$plo un saludo inicial personali)ado% Esto se #ace$ediante un fic)ero de comandos que se ejecuta de $odo auto$(tico cada ve)que se entra en el progra$a Ael fic#ero start&$.m' que debe estar en undirectorio deter$inado' por eje$plo (0atlab1230or# % Ver apartado :%T' en lap(gina 0WB%

?ara apreciar desde el principio la potencia de "*,L*+' se puede co$en)ar por

escribir en la (ommand indo! la siguiente línea' a continuación del "#$m"t % *lfinal #ay que pulsar intro%

KK Ar,0"


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1igura 0T% 6r(fico de la función seno4x5%

En la 1igura P se puede observar que se abre una nueva ventana en la queaparece representada la función sin( ) x % Esta figura tiene un título Q1unciónsenoA7BQ y una cuadrícula o QgridQ% En la pri$era línea se crea un vector x con90 valores reales entre .P y P' separados por una cent8si$a% * continuación secrea un vector y ' cada uno de cuyos ele$entos es el seno del correspondienteele$ento del vector x % Despu8s se dibujan los valores de y en ordenadasfrente a los de x en abscisas% Las dos &lti$as instrucciones establecen lacuadrícula y el título%

48


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CONCLUSIONES

0% Debido al avance de la tecnología es posible #acer uso de #erra$ientas que nosper$ite acelerar los procesos y que nos ayuda a visuali)ar geo$8trica$entenuestros resultados a trav8s del uso de los Softare científicos tales co$o el"atlab y el "at#e$atica%

:% Dentro del $undo real' tales co$o en la ingeniería e7isten proble$as de vigascuya solución se aborda con la resolución de Ecuaciones DiferencialesOrdinarias Lineales' así $is$o se aceleran los c(lculos con el softare antesdescritos%

=% El uso de los softare es co$o una #erra$ienta que per$ite resolver elproble$a' bajo ning&n punto de vista se pierde el rigor $ate$(tico del proble$ao $odelo planteado%

P% Es posible construir progra$as dentro de los softare co$o parte de ayuda delos procesos%

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RECOMENDACIONES

0% Difundir el uso de los Softare "atlab y "at#e$atica' co$o #erra$ientas pararesolver proble$as relacionados con la resolución de Ecuaciones DiferencialesOrdinarias Lineales' aplicadas a vigas dentro del ca$po de la ingeniería%

:% 5tili)ar los Softare "atlab y "at#e$atica para la enseñan)a de las ecuacionesdiferenciales Ordinarias Lineales%

=% -eali)ar trabajos si$ilares donde se apoye de estos Softares para resolver ecuaciones diferenciales cuyas soluciones sean elípticas' ecuacionesdiferenciales parciales o no lineales' entre otros casos%

50


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BIBLIOGRAFÍA

0% !ourbón' j -esistencia de "aterialesEd% *guilar S%* "adrid España% 0WR%

:% !%% Edards' ;r% Ecuaciones Diferenciales Ele$entales

David E% ?enney N ?roble$as con condiciones en la frontera%?rentice.ill% ispanoa$ericana S%*"e7ico 0WW=%

=% Dennis 6% Uill Ecuaciones Diferenciales con *plicacionesde $odelado "odelación%Internatrional ,#o$son Editores% S%*%+ogot( :999%

P% Erin reys)ig "ate$(ticas *van)adas para Ingeniería%Editorial Li$usa' S%*% de !%V%

"e7ico%:99:%

% 1it)geralds' -obert H% "ec(nica de "ateriales 6rupo editor *lfa yO$ega' S%*% de !%V% "e7ico%0WWR%

R% ;an ;% ,u$a ?#% D% ,eoría y proble$as de *n(lisisEstructructuralEd% "c% 6ra.ill% Inc.5S*%0WT9%

T% ;effery ?%Laible *n(lisis EstructuralEd% "c% 6ra.ill% Intera$ericana"e7ico 0WW:%

% -obert L% +orrelli Ecuaciones Diferenciales una ?erspectiva !ourtney S% !ole$an de "odelación%

5niversity ?ress"e7ico S%* de !%V%

W% -oussel !% ibbeler *n(lisis EstructuralEd% ?rentice.ill% ispanoa$ericana S%*"e7ico 0WWR%

09% -oussel !% ibbeler Ingeniería "ec(nica . Est(tica

Ed% ?rentice.ill% ispanoa$ericana S%*"e7ico 0WWR%

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