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PROBABILIDADES DEFINICIONES PREVIAS:

EXPERIMENTO ALEATORIO (E).

Es aquel cuyo resultado depende del azar y cumple ciertas caractersticas:

a) Que sea repetible en igualdad de condiciones. b) Que se pueda describir el conjunto de todos los resultados posibles aunque no se pueda

asegurar un resultado en particular. c) Si se repite un nmero grande de veces debe aparecer cierta regularidad estadstica.

Ejemplos:

1) Observar el lanzamiento de una moneda. 2) Observar el lanzamiento de un dado. 3) Medir la duracin de un equipo electrnico. 4) Contar el nmero de vehculos que pasan por un cruce en lapsos de un minuto 5) El lanzamiento de dos dados. 6) Lanzamiento de un dado y una moneda

ESPACIO MUESTRAL (S) .

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A los ejemplos previos

corresponden los siguientes espacios muestrales en notacin de conjuntos:

6,5,4,3,2,12S

0:3 ttS

S4 =

S5 =

S6 =

Un punto muestral es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.

EVENTOS

1 , ,S cara sello c s

Experimento: Es el proceso por medio del cual se hace una observacin.

Mendenhall. Estadstica Matemtica con aplicaciones

2

Es cualquier subconjunto de resultados de un espacio muestral S. Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y lo denotaremos por A, B, C, etc. Si A es un evento entonces A c . Y llamaremos suceso a todo elemento de un espacio muestral y lo designaremos por a, b, c, , x, y etc. Si x es un suceso, entonces x . Rufino Moya. Probabilidad y Estadstica Ejemplos

1) E1: Lanzamiento de una moneda.

Podremos plantear los siguientes eventos:

A1: que salga cara A1 = { c }

A2: que salga sello A2 = ______

2) E2 :Lanzamiento de un dado

6,5,4,3,2,12S

B1: que salga numero par B1 = _______________________

B2: que salga numero impar B2 = _______________________

B3: que salgan los nmeros 4 5 B3 = _______________________

3) E3: Medir la duracin de un equipo electrnico.

S3 =

C: que dure hasta 5 aos C = _______________________

4) E4: Contar el nmero de vehculos que pasan por un cruce en lapsos de un minuto.

S4 =

D: ___________________________ D = ________________________

5) E5: Lanzamiento de dos dados

G1: Suma de los lados de la cara superior de los dados sea igual a 7

G1 =__________________________________________________________

G2: Suma de los lados de la cara superior de los dados sea igual a 4

G2 = __________________________________________________________

G3: Suma de los lados de la cara superior sea menor de 4

G3 = __________________________________________________________

6) E6:Lanzamiento de un dado y una moneda

S6 =

H: salga una seis y una cara H = ________________________

LGEBRA DE CONJUNTOS.-

Algunos conceptos de teora de conjuntos extendidos a sucesos de probabilidad se deben recordar:

A) Unin.

La unin de dos sucesos A y B en un espacio S se define como:

1 , ,S cara sello c s

3

A B = {x: x A x B}, el smbolo significa que el elemento x pertenece al conjunto correspondiente e indica que el resultado puntual x ha ocurrido.

A B significa que ocurre A, ocurre B u ocurren A y B.

B) Interseccin.

La interseccin de dos sucesos A y B en un espacio S se define como:

A B = AB = {x: x A y x B},

A B significa que ocurren A y B conjunta o simultneamente.

Las operaciones de unin e interseccin gozan de las propiedades de clausura, idempotencia, conmutacin, asociacin y se vinculan mediante la propiedad distributiva de la interseccin respecto

a la unin, es decir, A (B C)=AB AC.

Es igual A (BC) a (A B) (A C)?

C) Complemento.

El Complemento del suceso A en el espacio S se define como la diferencia entre el conjunto S y el

conjunto A: S - A = AC = A = A = {x: x S y x A} y significa que no ocurre A.

Qu propiedades cumple la diferencia de sucesos?

Ahora me toca investigar

Investigando

4

Qu propiedades cumplen la unin, la interseccin y el complemento cuando interviene el conjunto

vaco ?

D) Leyes de Morgan.

Observe que un conjunto cualquiera se puede expresar como la unin de dos conjuntos que son

excluyentes. Esto es

BA'BAA

y

BA'BA

o sea que 'BA y

BA son excluyentes.

La anterior expresin evidencia las conocidas Leyes de Morgan.

'B'A'BA y 'B'A'BA

Adems A''A

DEFINICIN DE PROBABILIDAD SEGN LAS TRES ESCUELAS DE PENSAMIENTO DIFERENTES: LA TEORA CLSICA, LA TEORA DE FRECUENCIA RELATIVA Y LA TEORA SUBJETIVA

LA TEORA CLSICA.

Definicin axiomtica debida a Andrei Kolmogorov, 1903 a 1987, probabilista ruso.

Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sean SA i para n..,,2,1i eventos.

Ejemplo 1:

Se tiene el siguiente experimento aleatorio

E: Lanzamiento de dos monedas al aire.

a) Calcule el espacio muestral.

DEFINICIN DE PROBABILIDAD

CLSICA

Probabilidad de un evento =# de resultados favorables

# de resultados posiblesDEFINICIN DE PROBABILIDAD

CLSICA

Probabilidad de un evento =# de resultados favorables

# de resultados posibles

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b) Sea el evento A: salga solo una cara. Plantee el evento A, utilizando conjunto

c) Cul es la probabilidad de que salga 1 cara?

Ejemplo 2.

Halle la probabilidad de sacar un Rey al extraer una carta de una baraja de 52 cartas.

LA TEORA DE LA FRECUENCIA RELATIVA.

El concepto de frecuencia relativa se abstrae tpicamente como un modelo aleatorio y es la anticipacin del modelo formal de probabilidad. Se debe a Pierre Simn de Laplace, 1749 a 1827. Suponga que repetimos n veces un experimento aleatorio, sean A un evento asociado al experimento y al espacio S. Sean nA el nmero de veces en que ocurren A o sea el nmero de elementos del conjunto. Definimos la frecuencia relativa del evento A as:

nnn

nh A

AA 0;

Como 0 nA n entonces 0 nA n 1 O sea 0 hA 1 Ejemplo 1. Se tiene informacin acerca de los cargos y el sexo del personal de cierta empresa. Cul es la probabilidad de que al seleccionar un trabajador ste sea:

a. Contador y sea hombre b. Abogado y mujer c. Mujer d. Sabiendo que el trabajador es ingeniero. Cul es la probabilidad de que sea

hombre? e. Sabiendo que el trabajador sea mujer. Cul es la probabilidad de que sea abogado?

Sexo Abogado Contador Ingeniero TOTAL

Hombres 10 5 6

Mujeres 15 4 7

TOTAL

Solucin.-

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En el caso de espacios muestrales finitos el valor de frecuencia relativa de un suceso coincidir

con su valor de probabilidad.

Ejemplo 2.

Localice todos los valores de probabilidad asociados a la siguiente tabla de Carrol que ofrece informacin sobre la hipertensin y el hbito de fumar.

No fumadores Fumadores moderados

Fumadores empedernidos

Hipertensos 10 20 15

No hipertensos 30 15 10

Si se selecciona aleatoriamente uno de estos pacientes, encuentre la probabilidad de que la persona sea:

a) Fumadora moderada: _________________________________________ b) No hipertensa: _______________________________________________ c) No hipertensa ni fumadora : _____________________________________ d) Hipertensa y fumadora empedernida: _____________________________ e) Sabiendo que el paciente no fuma. Cul es la probabilidad de que sea

hipertensa?___________________________________________________ f) Sabiendo que el paciente es hipertenso. Cul es la probabilidad de que sea fumador

empedernido? __________________________________________

LA TEORA SUBJETIVA.

Se refiere a la posibilidad de que un evento particular ocurra, que es asignada por un individuo basndose en la informacin que tenga disponible y en su propia experiencia o presentimientos. Ejemplos de probabilidad subjetiva son las apuestas en eventos atlticos o deportivos o la estimacin del futuro de una accin.

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD.

A cada Ai le asignaremos un nmero real P(Ai), denominada probabilidad de Ai, que satisface los siguientes axiomas:

a) 0 P(Ai) 1

0 0.5 1

b) P(S) = 1

c) Si A1 excluye a A2 entonces 21AA

2121 APAPAAP

Sin probabilidad de ocurrir

Tan probable como improbable

Certeza de ocurrir

Probabilidad de eventos puramente excluyentes

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Ejemplo:

En el lanzamiento de un dado, cual es la probabilidad de que salga 4 6?

__________________________________________________________________________

Generalizando: Si los Ai son mutuamente excluyentes, es decir ji AA para todo i

j= 1, 2,3,, n entonces

n

i

ii

n

iAPAP

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Observe que estas propiedades no dependen de cmo se calculen las probabilidades P (Ai) Entendindose por mutuamente excluyentes, a que la ocurrencia de cualquiera de los eventos implica que ninguno de los otros puede ocurrir al mismo tiempo. Algunos ejemplos de experimentos de este tipo de probabilidad son el lanzar un dado o sacar una carta de una baraja al azar.

PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES.

Propiedad 1.

La probabilidad de un suceso imposible es cero. En efecto AA

APAP Como A A excluye a

Entonces APPAP

Esto es 0P

Propiedad 2-

Si SA y A 'A es el

evento complementario de A

entonces

P( ) = 1 - P(A)

Veamos: A = S por lo tanto P(A ) = P(S)

Como A excluye P(A) + P ( ) = 1 entonces

P ( )= 1 P(A)

Ejemplo:

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La probabilidad de que un alumno apruebe un curso es de 3/7. Cul es la probabilidad que no

apruebe? _______________________________________________________

Propiedad 3. Probabilidad de elementos solapados BA

La probabilidad de A U B, cuando la A B 0, entonces:

BAPBPAPBAP

Ejemplo:

Si se toma una sola carta de una baraja encuentre la probabilidad de que sea roja o figura (jota, reina

y rey)?

Propiedad 4.

CPBPAPCBAP

CBPCAPBAP

CBAP

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PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos son independientes si el resultado de uno no afecta al otro

Propiedad 5.

Ley de la multiplicacin.-

P(A y B) = P(A B) = P (A). P (B)

Ejemplo:

La probabilidad de que un hombre viva dentro de 25 aos es 3/5 y la probabilidad de que su esposa viva dentro de 25 aos es 2/3. Halle la probabilidad de que:

a) ambos vivan.

b) Viva solamente el hombre

c) Viva solamente la mujer

d) Viva al menos uno de ellos.

PROBABILIDAD CONDICIONAL.-

Propiedad 6.-

Sean A y B dos sucesos en S. Indicaremos con ABP la probabilidad condicional del suceso B, dado

que A ha ocurrido, as:

10, APAP

BAPABP

Ejemplo 1.

En una poblacin de pacientes hospitalizados, la probabilidad de que uno de ellos, elegidos aleatoriamente, tenga problemas cardiacos es de 0.35 La probabilidad de que un paciente sea fumador dado que sufre problemas cardiacos es de 0.86, cul es la probabilidad de que el paciente elegido al azar de entre la poblacin sea fumador y tenga problemas cardiacos?

Ejemplo 2. Cul es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se obtenga cara, dado que el resultado del primero tambin fue cara? Solucin.

Ejemplo 3. Durante un estudio de accidentes automovilsticos la PNP, encontr que el 60% de los accidentes suceden de noche, 52% estn relacionados con conductores alcohlicos y 37% se presentan de noche

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y con conductores ebrios. Cul es la probabilidad de que un accidente est relacionado con un conductor alcoholizado dado que sucedi de noche? Solucin

Ejemplo 4.

Consideremos el experimento aleatorio de elegir al azar dos artculos de un lote de 100 artculos donde se sabe que hay 20 defectuosos y 80 no defectuosos.

Sean A = {el primer artculo elegido es defectuoso}

B = {el segundo artculo elegido no es defectuoso}

Calcule P(A), P (B) y P (B / A)

Solucin.

a) P (A) =

b) P (B) =

c) P (B / A) =

Ejemplo 5.

Se lanzan dos dados normales y se anotan los pares x, y.

a) Describa el espacio S

b) Calcule BAPBAPBPAP ,,, y ABP .

Si yxyxByxyxA :,10:,

Solucin.-

a) El espacio muestral S, ser

n(S) =

11

b) Calculando las probabilidades:

b.1) n ( A ) =

P ( A ) =

b.2) n ( B ) =

P ( B) =

b.3) n ( A B ) =

P (A B) =

b.4) P (A/B) =

b.5) P (B/A) =

Propiedades de la probabilidad condicional

1) 10A

BP .

2) 1A

SP .

EJERCICIOS RESUELTOS

1. De 300 estudiantes de Informticas, 100 cursan Estructura de Datos y 80 cursan Algoritmos. Estas cifras incluyen 30 estudiantes que cursan ambas materias.

Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente curse Estructura de Datos o Algoritmos?

Solucin:

Llamamos:

E: Estructura de Datos.

A: Algoritmos.

Armamos la tabla:

A

E 30

100

200

80 220 300

Completamos los lugares vacos:

A

E 30 70 100

50 150 200

80 220 300

Se pide P(E) o P(A), es decir P(E A). P(E A) = P(E) + P(A) - P(E A) P(E) = 100/300 = 0,333

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P(A) = 80/300 = 0,267 P(E A) = 30/300 = 0,100 P(E A) = 0,333 + 0,267 - 0,100 = 0,500

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un taller sabe que por trmino medio acuden por la maana tres computadoras con problemas

elctricos, ocho con problemas mecnicos y tres con problemas de ensamblado, y por la tarde dos con problemas elctricos, tres con problemas mecnicos y uno con problemas de ensamblado. a) Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecnicos.

d) Calcular la probabilidad de que una computadora con problemas elctricos acuda por la maana.

2. Se sortea un viaje a la India para una conferencia de Tecnologas de Informacin entre los 120 mejores terminalistas de una agencia del Banco de Crdito del Per. De ellos, 65 son mujeres, 80 estn casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

a) Cul ser la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

b) Si del afortunado se sabe que es casado, cul ser la probabilidad de que sea una mujer?

3. Dos candidatos (A y B) a los consejos de administracin, compiten por el control de una Corporacin de desarrollo de Software. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3, respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8; si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de las elecciones, la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68.

4. En una universidad se realiza un estudio para determinar qu relacin existe, en caso de haberla, entre la habilidad matemtica y el inters por las matemticas. Se recogi la informacin de 150 estudiantes, con los resultados siguientes:

Habilidad Inters

TOTAL Escaso Promedio Mucho

Escasa 40 8 12 60

Promedio 15 17 18 50

Mucho 5 10 25 40

TOTAL 60 35 55 150

Si se escoge uno de los participantes en el estudio: a) Cul es la probabilidad de escoger a una persona que tenga escaso inters en las matemticas? b) Cul es la probabilidad de seleccionar a una persona con habilidad promedio? c) Cul es la probabilidad de que una persona tenga mucha habilidad para las matemticas dado

que manifieste mucho inters por esa disciplina?. d) Cul es la probabilidad de que la persona tenga mucho inters en las matemticas dado que

posee una habilidad promedio? e) Cul es la probabilidad de que tenga inters promedio y habilidad promedio?

5. Dell Publishing tiene 75 ttulos distintos de libros, clasificados por tipo y costo de la siguiente manera:

Tipo Costo

US$10 US$15 US$20

Ficcin 10 8 3

Biografas 12 10 9

Histrico 4 17 2

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Halle la probabilidad de que un libro seleccionado aleatoriamente sea:

a) Ficcin o cueste US$10 b) Histrico y cueste US$20 c) Histrico y cueste o US$10 o US$15 d) Ficcin y cueste menos de US$20 e) Biogrfico o cueste US$15 f) Biogrfico o cueste ms de US$10

6. Si se tira 4 monedas, una despus de la otra.

a) Halle el espacio muestral b) Halle la probabilidad de que salga 2 caras c) Halle la probabilidad de que al menos salga 2 caras d) Halle la probabilidad de que a lo ms salga 2 caras

7. Si se extrae dos cartas de una baraja. Hallar la probabilidad de que salgan 2 reyes.

a) Con reemplazamiento

b) Sin reemplazamiento

8. Se arroja dos dados, 1 blanco y uno rojo

Sea A: Obtencin de un nmero mayor que 4 en el dado blanco. Sea B: obtener 1 nmero menor o igual que 3 en el dado rojo. a) Halle la P (A/B) b) Halle la P (B/A)

9. La probabilidad de un nio nazca varn es aproximadamente . Cul de las siguientes secuencias de

sexos es ms probable que ocurra en tres nacimientos? (sugerencia utilice el diagrama en rbol)

a) MMM b) VMM c) las dos son igual de probables.

Donde: V varn M mujer

10. Un estudiante realiza un test de admisin en cierta universidad. Aunque el estudiante desconoce el resultado del test, sospecha con probabilidad igual a 0,40 que super el nivel de admisin. Por la experiencia pasada sabe que es admitido un 80% de los que superan la prueba y slo un 5% de los que no lo han superado. Con esta nueva informacin, cul es la probabilidad de que dicho estudiante sea admitido?

11. La probabilidad de que se reviente la rueda en cierta carretera es igual a 0.05; si se revienta la rueda, la probabilidad de accidente es igual a 0.40. Si no se revienta la rueda, la probabilidad de accidente es igual a 0.15, considerado al azar uno de los accidentes ocurridos durante un mes, cul es la probabilidad de que dicho accidente haya sido debido a que la rueda se revent?

12. Supongamos quince alumnos de Psicologa de los cuales cuatro pertenecen a la Seccin A, cinco a la B y seis a la C. Elegimos aleatoriamente dos de entre los quince.

a) Cul es la probabilidad de que ambos pertenezcan a la Seccin A?

b) Cul es la probabilidad de que pertenezcan a la Seccin B?

c) Cul es la probabilidad de que pertenezcan a la Seccin C?

13. En cierta ciudad el 50% son solteros, el 40% casados y el 10% viudos. Si en dos ocasiones distintas entrevistamos a la primera persona con la que nos encontramos; calcular la probabilidad:

a) Que ambas personas estn casadas

b) Ninguno de los dos sea viudo

14

c) Uno de los dos est casado y la otra soltera

14. Un grupo de nueve personas est compuesto de dos inglesas, tres francesas y cuatro italianas. Supuesto esto,

a) Si elegimos dos personas aleatoriamente, cul es la probabilidad de que las dos sean italianas?

b) Si elegimos tres personas aleatoriamente, cul es la probabilidad de que ninguna sea inglesa?

15. Si lanzamos al aire una moneda tres veces consecutivas. Hallar la probabilidad de:

a) Obtener una cara o ms

b) Obtener dos o ms caras

16. Tres cazadores disparan independientemente a un jabal que, de hecho, ha sido herido mortalmente por una sola bala. Sabiendo que las probabilidades de que cada uno por separado alcanzara al jabal son 0,20; 0,40 y 0,60 respectivamente.

a) Cul es el espacio muestral?

b) Cul es la probabilidad de que la bala mortfera haya sido disparada por el primero, por el segundo, por el tercero?

17. Siendo P(A) = 0,60, P(B) = 0,50 Y P(A U B) = 0,90, calcule P )(__

BA , P )(__

AB , P (A/__

B ), P (B/__

A )

18. Siendo independientes A y B y siendo P(A) = 0,80 y P(B) = 0,30, calcule

)/(),/(),/(),/(),(________________

ABPBAPABPBAPBAP .

19. El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y un 60% aprueba la asignatura B. Sabemos, adems, que un 35% del total aprueba ambas. De un estudiante elegido al azar, hallar la probabilidad:

a) De que apruebe la asignatura B, dado que ha aprobado la A

b) De que apruebe B, dado que no ha aprobado A

c) De que no apruebe B, dado que ha aprobado A

d) Que no apruebe B, tal que no ha aprobado A

20. Tenemos cinco tarjetas marcadas respectivamente con las letras A, B, C, D y E. Las barajamos perfectamente y las vamos descubriendo unas tras otra (sin volver la carta una vez descubierta). Cul es la probabilidad de que aparezca precisamente segn el orden A, B, C, D y E?