PROBABILIDAD

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

62. Cierta empresa construye mesas de madera (M) o de vidrio (V) y se pueden adquirir en uno de

cuatro colores: azul (A), Roja (R), blanca (B) y natural (N). Las probabilidades correspondientes de

las diversas combinaciones de tipo de material y color son las siguientes:

Azul Roja Blanca Natural

Madera 0,13 0,13 0,14 0,10

Vidrio 0,15 0,12 0,12 0,11

(a) Calcule e intérprete P(R), P(M) y P(R ∩M).

(b) Calcule P(R/M) y P(M/R) e intérprete los valores de cada una de las probabilidades.

(c) Calcule e intérprete P(N/V) y P(N/V).

Sol

a)

Hallamos

b)

a)

63. La siguiente tabla recoge las proporciones de adultos en cierta ciudad, clasificadas en aquellos

que fuman o no fuman y aquellos que tienen problemas de salud.

PROBLEMAS DE SALUD

FUMAN

NO FUMAN

SI

0.15

0.09

NO

0.18

0.58

PROBLEMAS DE SALUD

FUMAN

NO FUMAN

Total

SI

15

09

24

NO

18

58

76

Total

33

67

100

aR/= P(SI)= 24/100=0.24 o 24% de la población tiene problemas de salud.

bR/= P(F)=33/100=0.33 o 33% de la población fuma

cR/=P(N F/SI)=P(SIПN F)/P(N F)

(a) Humberto y Greyci vean el programa;

(b) Greyci vea el programa sabiendo que Humberto lo hace;

P(SIПN F)=9/100

P(N F)=67/100

P(N F/SI)=(9/100)/(67/100)=9/67=0.13 13% de la población que no fuma puede tener problemas

de salud.

64. La probabilidad de que Humberto vea cierto programa de televisi´on es 0,3 y la probabilidad

de que su esposa Greyci vea el programa es 0,6. La probabilidad de Humberto vea el

programa sabiendo que Greyci lo hace es 0,8. Encuentre la probabilidad de que

(c) al menos uno de los dos vea el programa.

Sol:

a)

sea P(H): probabilidad de que Humberto vea el programa = 0.3

P(G): probabilidad de que Grecy vea el programa = 0.6

P(h): probabilidad de que Humberto no vea el programa = 0.7

P(g): probabilidad de que Grecy no vea el programa = 0.4

Entonces P(HyG)=P(H)*P(G)= 0.3*0.6 = 0.18

c) Utilizando el complemento:

sea P(hyg)= probabilidad de que ninguno vea el programa= 0.7*0.4=0.28

P(HG)= probabilidad de que al menos uno vea el programa= 1-P(hyg)=1-0.28=0.72

65.

a)

Sea S>

S1

S2

S3

Como para este caso se trata de tres sucesos dependientes debido a que la realización de una de

los tres ofecta a la probabilidad de los otros dos.

b)

s

Sa

S1

S2

S3

Sb

S1

S2

S3

Sc

66. Una billetera contiene cinco billetes de $10.000 y siete billetes de $20.000 y una segunda

billetera contiene ocho billetes de $10.000 y cuatro de $20.000. Se escoge al azar un billete de la

primera billetera y se coloca en la segunda. Después se selecciona un billete de la segunda

billetera y se coloca en la primera. ¿Cuál es la probabilidad de se seleccione un billete de $10.000

de la primera billetera y uno de $10.000 de la segunda?

Solución:

a. Probabilidad de que se seleccione uno de $10.000 de la primera billetera:

P(A) = 5/12

P(A) = 0.416 ≈ 0.42 o 42%.

b. Probabilidad de que se seleccione uno de $10.000 de la segunda billetera:

P(B) = 13/24

P(B) = 0.542 o 54.2%.

67. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formada por

seis asientos. Supongamos que se sientan al azar.

(a) Utilice la regla de la multiplicación para calcular la probabilidad de que una pareja (digamos,

José y Carmen) se sienten juntos en el extremo izquierda y que otra pareja(digamos, Jorge y

Nubia) se sienten juntos en el medio.

AB CD EF

AB DC EF

BA CD EF

BA DC EF num. De probabilidades de que estas parejas se sienten en el orden correcto.

AB CD FE

AB DC FE 6! = num. De combinaciones totales en los asientos.

BA CD FE

BA DC FE

PA= 8/6!=8/720=1/90

(b) Sabiendo que Jorge y Nubia ya se han sentado juntos en el medio, ¿cual es la probabilidad de

que los otros dos esposos (digamos, José, Ricardo) se sienten junto a sus respectivas esposas

(Carmen y Ana, respectivamente).

El número de posibilidades de que los esposos se sienten con sus esposas es de 8, de 24 posibles

combinaciones, lo que nos da como resultado:

PA=8/24=1/3

(c) Sabiendo que Jorge y Nubia ya se han sentado juntos ¿Cuál es la probabilidad de que todos los

esposos se sienten junto a sus esposas?

El número de posibilidades de que los esposos se sienten con sus esposas es de 120, de 6! Posibles

combinaciones, lo que nos da como resultado:

PA=120/6!=120/720=1/5

68. Una entidad educativa ha propuesto tres proyectos para la mejora de la educación en cierta

región del país. Para i = 1, 2, 3, sea Ai el evento que representa al evento “el proyecto i

fue aceptado”. Supongamos que

P(A1) = 0, 30, P(A2) = 0, 22, P(A3) = 0, 35, P(A1 ∩ A2) = 0, 08,

P(A1 ∩ A3) = 0, 09, P(A2 ∩ A3) = 0, 06, P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0, 02.

Determine las siguientes probabilidades y exprese verbalmente cada uno de los eventos

cuya probabilidad ha sido calculada.

(a) P(A2/A1).

(b) P(A2 ∩ A1/A1).

(c) P(A2 ∪ A3/A1).

(d) P(A1 ∩ A2 ∩ A3/A1 ∪ A2 ∪ A3).

Sol.

a)

b)

c)

d)

69.

Un lote contiene 15 piezas fundidas de un proveedor local y 25 piezas fundidas de un proveedor

del pueblo contiguo. Se seleccionan dos piezas fundidas al azar, sin reemplazo, del lote de 40. Si a

denota el evento de que a primera pieza fundida seleccionada es del proveedor local y si b denota

el evento de que la segunda pieza fundida seleccionada es de proveedor local, determine:

a) P(A), P(B), P(AB) utilizando las técnicas de conteo

b) P(A/B) Y P(A/B) utilizando la definición de probabilidad condicional

c) P(AUB) aplicando el teorema de adición para dos eventos

a)

B)

c)

70. En cierto batallón, 35% de los soldados reclutados son de estrato 1 y el resto, de estrato 2.

De los soldados reclutados que vienen del estrato 1, el 82% no son hijos únicos; mientras que el

25% de los del estrato 2 son hijos únicos. Supongamos que se selecciona un soldado al azar para

una entrevista.

(a) Si es hijo único, ¿cuál es la probabilidad de que venga del estrato 1? ¿Del estrato 2?

(b) Si no es hijo único, ¿cuál es la probabilidad de que venga del estrato 1? ¿Del estrato

2?

A:

X1:

X2: >

Probabilidad que sea estrato 1

Probabilidad que sea estrato 2

Probabilidad de que un soldado de esta población no sean hijos únicos: P(x1)

Probabilidad de que un soldado de esta población sean hijos únicos: P(x2)

a)

b)

71. En cierta empresa, 31% de los empleados son europeos, 42% son asiáticos y 27% son

Latinoamericanos. De los empleados europeos, 34% son mujeres; de los asiáticos, 42%

Son mujeres; mientras que de los latinoamericanos, 72% son mujeres.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea una (mujer)

europea? ¿(Hombre) asiático?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea una mujer?

¿Hombre?

(c) Si un empleado seleccionado al azar es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que sea

europea? ¿Asiática? ¿Latinoamericana?

(d) Repita el inciso anterior, teniendo en cuenta que el empleado seleccionado sea un

hombre.

Realizamos un diagrama de árbol teniendo en cuenta que

E: europeos

A: asiáticos

L: latinoamericanos

M: mujeres

H: hombre

P(E) =0.31

P(A) =0.42

P(L) =0.27

P(M/E) =0.34

P(M/A) =0.42

P (M/L) =0.72

Laprobabilidad de que sea mujer europea es

P(E) P(M/E)= 0.31(0.34)

La probabilidad de que salga un hombre asiatico es

P(A) P(H/A)= 0.42 (1- P(M/A))

Nos estan pidiendo la probabilidad totalde ser empleados mujeres; aplicando el principio de la

multiplicacion para cada caso y sumando a estos, hallamos a P(M).

P(M)= P(E) P(M/E) + P(A) P(M/A) + P(L) P (M/L)

P(M)=0.31(0.34)+0.42(0.42)+0.27(0.72)

P(M)=0.4762

La probabilidad de queun empleado al azar sea empleado es

P(H)=P(E)P(H/E)+P(A)P(H/A)+P(L)P(H/L)

=0.52238

La probabilidad de que una mujer escogida al azar sea europea está dada por

P(E/M)=P(M)P(E)P(M/E)

=0.4762 (0.31)(0.34)

=0.05

La probabilidad de que una mujer escogida al azar sea asiática es

P(A/M)=P(M)P(A)P(M/A)

=0.4762 *0.42*0.42

=0.084

La probabilidad de que una mujer escogida al azar sea latinoamericana es

P(L/M)=P(M)P(L)P(M/L)

=0.4762 *0.27*0.72

=0.0925

La probabilidad de que un hombre escogido al azar sea europeo es

P(E/H)=P(H)P(E)P(H/E)

=0.1071

La probabilidad de que un empleado escogido al azar sea hombre asiático es

P(A/H)=P(H)P(A)P(H/A)

=0.1272

La probabilidad de que un empleado escogido al azar sea hombre latino es

P(L/H)=P(H)P(L)P(H/L)

=0.0395

72. Una empresa fabrica computadores, cuyo disco duro tienen capacidad de 20 GB y los otros con

capacidad de 30 GB. En el mes anterior, el 35% de los computadores vendidos han sido los que

tienen disco duro de 20 GB. De los compradores de computadores con disco duro de 20 GB, el 45%

compran los que tienen memoria RAM de 356 MB, mientras que el 30% de los compradores de

computadores con disco duro de 30 GB también lo hacen así. Si sabemos que un comprador

seleccionado al azar ha comprado un computador con memoria RAM de 356 MB, ¿Cuál es la

probabilidad de que tenga un computador con disco duro de 30 GB?

Sea:

P (A1)=probabilidad que un comprador haya adquirido un computador con disco duro de 20 GB.

P (A2)= probabilidad que un comprador haya adquirido un computador con disco duro de 30GB.

P (B1)=probabilidad que un comprador haya adquirido un computador con memoria de 356 MB.

P (B2)=probabilidad que un comprador haya adquirido un computador con otra memoria RAM.

P (B1/A1) = 0.3

P (A1) =0.35

P (B2/A1) = 0.7

P (B1/A2) = 0.45

P (A2) = 0.65

P (B1/A2) = 0.55

Ahora tenemos que hallar P (A2)

De igual forma hallamos P (B1/A1) y P (B1/A2).

Ahora tenemos que:

Entonces:

Y

Por último tenemos que:

73. Se envían lapiceros de diversos colores a un proveedor de artículos escolares en lotes de 20.

Suponga que el 50% de estos lotes no tienen lapiceros defectuosos; 30%, un lapicero defectuoso y

el resto de los lotes, tienen dos lapiceros defectuosos. Sin tener en cuenta el orden, supongamos

que el proveedor selecciona al azar dos lapiceros de un lote y los prueba.

¿Cuáles son las posibilidades correspondientes de que haya 0, 1 y 2 lapiceros defectuosos en el

lote, bajo cada una de las 2 siguientes situaciones? (sugerencia: dibuje primero un diagrama de

árbol en donde las tres primeras ramas principales corresponden a los tres tipos diferentes de

lotes). a) Ningún lapicero probado este defectuoso. b) uno de los lapiceros probado esta

defectuoso. c) ambos lapiceros probados están defectuoso.

a) En este punto tenemos que como existen en cada lote 20 lapiceros tendríamos que la

probabilidad de escoger 1 y luego otro lapicero que no estén defectuosos en el primer lote seria

de

Para el segundo lote la probabilidad de escoger 2 lapiceros sin defectos seria de

Por último la probabilidad de escoger los dos lapiceros sin defectos del tercer lote seria de:

De esta manera tendríamos que:

b) la probabilidad de que se obtenga un lapicero defectuoso en los 50% de los lotes en donde no

hay ningún lapicero defectuoso es nula. Por ende

Ahora tenemos que la probabilidad de escoger un lápiz defectuoso en los 30% de los lotes de 1

lapicero defectuoso es de:

Y la probabilidad de escoger un lapicero sin defectos es de:

Ahora para los 20% de los lotes de 2 lapiceros defectuosos, tenemos que la probabilidad de

escoger un lápiz defectuoso es de:

Y la probabilidad de escoger un lapicero sin defectos en estos lotes es de:

De esto tenemos que:

c) como sabemos que en el 50% de los lotes no existen lapiceros defectuosos, no existe

probabilidad de que se obtengan dos lapiceros defectuosos; de igual manera 30% de los lotes solo

tienen un lapicero defectuoso, por ende es imposible sacar otro lapicero defectuoso de uno de

estos lotes.

Entonces toda la probabilidad de que se obtengan los dos lapiceros defectuosos radica en el 20%

de los lotes.

74. Una prestigiosa Universidad de Barranquilla utiliza tres hoteles locales para proporcionar

hospedaje nocturno a sus profesores invitados. Supongamos que a 25% de los profesores se les

asignan habitaciones en el Hotel Las Nieves, al 45% en el Hotel Paraíso y al 30% en el Hotel San

Felipe. Si hay una decorado especial en 3% de las habitaciones del Barranquilla Plaza, 5% del Hotel

El Prado y en 8%de las habitaciones del Hotel Puerta del Sol, ¿cuál es la probabilidad de que

(a) a un cliente se le asigne una habitación con decorado especial?

(b) a una persona con una habitación que tiene un decorado especial se le haya asignado acomodo

en el Hotel Paraíso?

0

a)

b)

Donde:

H.N= Hotel las nieves

H.P= Hotel paraíso

H.S.F= Hotel San Felipe

Dec= hoteles decorados

No dec= hoteles no decorados

75. Para clientes que compran una estufa especial en un almacén de electrodomésticos, considere

los siguientes eventos:

A = “La estufa comprada es colombiana”;

B = “El comprador quiere una estufa a gas”;

C = “El comprador quiere una estufa a seis fogones”.

Supongamos que sean dadas las siguientes probabilidades

(a) Construya un diagrama de árbol colocando cada evento en niveles diferentes y encima de cada

una de él, las probabilidades correspondientes.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la estufa comprada sea colombiana, a gas y con 6 fogones?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que la estufa comprada sea a gas y con 6 fogones?

(d) ¿Cuál es la probabilidad de que la estufa comprada no sea de 6 fogones?

Sol.

(a) Los valores de las probabilidades que faltan para completar el diagrama de árbol son

Y con esto se obtiene:

(b) Del Teorema 2.4.7 (Teorema de multiplicación de eventos) se tiene que:

(c) La probabilidad de que la estufa comprada sea a gas y con 6 fogones, es decir sin importar que

sea colombiana, está dada igualmente por el Teorema 2.4.7:

(d) Las estufas que no son de seis fogones están contenidas en , por tanto la probabilidad de que la

estufa comprada no sea de 6 fogones, sin tener en cuenta si es o no colombiana, si es a gas o no,

es obtenida así:

=

=

=

76. Una emisora de bonos municipales tiene tres categorías de clasificación (A, B y C). Suponga

que el año pasado, de los bonos municipales que se emitieron en cierto país, 70% tuvieron

clasificación A, 20% clasificación B y 10% clasificación C. De los bonos municipales con clasificación

A, 50% fueron emitidos en ciudades, 40% en suburbios y 10% en áreas rurales. De los bonos

municipales con clasificación B, 60% fueron emitidos en ciudades, 20% en suburbios y 20% en

áreas rurales. De los bonos municipales con clasificación C, 90% fueron emitidos en ciudades, 5%

en suburbios y 5% en áreas rurales.

(a) ¿Qué proporción de bonos municipales emiten las ciudades? ¿Los suburbios? ¿Las áreas

rurales?

(b) Si una ciudad emitiera un nuevo bono municipal, ¿cuál sería la probabilidad de que tuviera

clasificación A?

A

B

C

TOTAL

CIUDADES

35

12

9

56

SUBURBIOS

28

4

0.5

32.5

RURALES

7

4

0.5

11.5

TOTAL

70

20

10

100

a)

b) P (A∩C)

77. Se les preguntó a los suscriptores de un periódico local si leían regularmente, ocasionalmente

o nunca la sección de deportes y, también, si habían practicado fútbol durante el año anterior. Las

proporciones obtenidas en la encuesta figuran en la siguiente tabla.

Fútbol

Lee regularmente

(R)

Lee ocasionalmente

(O)

Nunca lee

(N)

Total

Si (S)

0.21

0.16

0.31

0.68

No (X)

0.1

0.04

0.18

0.32

Total

0.31

0.2

0.49

1

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar nunca lea la sección de deportes?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar haya jugado fútbol durante el año

pasado?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que nunca lea la sección de economía haya

jugado fútbol durante el año pasado?

No sabríamos ese resultado por que la encuesta realizada fue sobre si leían la parte de deportes

del periódico y si jugaban futbol, así que habría q realizar una nueva encuesta para saber q

probabilidad habría en este caso.

(d) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que ha jugado fútbol durante el año pasado

nunca lea la sección de deportes?

(e) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que no lea regularmente la sección de deportes

haya jugado fútbol durante el año pasado?

91. ¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justificar cada respuesta.

V si es verdadera, F si es falsa

(a) La suma de las probabilidades de eventos colectivamente exhaustivos es 1 (V)

Por definición la suma de las probabilidades de eventos colectivamente exhaustivos da como

resultado la probabilidad del espacio muestral la cual es igual a 1, es decir

Siendo A ,B ,C eventos colectivamente exhaustivos;

P(A)+ P(B) + P(C) = P(Ω) = 1

(b) Sean los eventos A y B, la probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de B dado A, si las

probabilidad de A y B son iguales (V)

Teniendo en cuenta la probabilidad condicional del evento A dado el evento B la cual es

Y la probabilidad del evento B dado el evento A la cual es

Solo serán iguales si y solo si P(A) = P(B)

(C) Si un evento y un complemento son igualmente probables la probabilidad de ese evento e 0.5

(V)

Si como entonces

(d) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces, también lo son sus componentes (F)

La definición de mutuamente excluyente nos dice que la intersección de dos eventos, A y B, sea un

conjunto vacio y si esto sucede la intersección de los complementos de dos eventos no va a ser un

conjunto vacio

(e) La probabilidad de la unión de dos eventos no es menor que la probabilidad de la intersección

(V)

Si la y entonces podemos decir que la suma de las probabilidades de los eventos siempre va a ser

mayor que la multiplicación de dichos eventos.

(f) La probabilidad de la unión de dos eventos no es mayor que la suma de la probabilidad de cada

uno de los eventos (V)

Conociendo el teorema de adición para dos eventos o formula de Silvester que dice

Sumando a un lado de la igualdad P(A

(g) La probabilidad de la intersección de dos eventos es menor q la probabilidad de cualquiera de

los dos eventos (V)

Conociendo el teorema de adición para dos eventos o formula de Silvester que dice

Sumando a los dos lados de la igualdad P(A ∩ B) tenemos

P(A ∩ B)+P(A U B) = P(A)+P(B) restando a un la do de la igualdad P(A U B) obtenemos P(A ∩ B)≤

P(A)+P(B) por lo tanto podemos decir que

P(A ∩ B)≤ P(A) y P(A ∩ B)≤ P(B)

(h) Un evento y su complemento son mutuamente excluyentes (V)

Si un evento es mutuamente excluyente cuando la probabilidad de A mas la probabilidad de A

complemento es igual a la probabilidad del espacio muestral es decir 1, para que se cumpla el

teorema de adición de dos eventos o formula de silvester se debe cumplir que la probabilidad de

la unión de A y A complemento sea un conjunto vació.

(i) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces son colectivamente exhaustivos (F)

Para que dos eventos sean mutuamente excluyentes se debe cumplir que P(A∩B)= Ø y para que

dos eventos sean colectivamente exhaustivos la P

(j) Si dos sucesos son colectivamente exhaustivos, son mutuamente excluyentes (F)

(k) La probabilidad condicional de A dado B es mayor o igual que la probabilidad de A (V)

(l) Un evento y su complemento son independientes (V)

Para que un evento y su complemento sean independientes la probabilidad de la intersección de A

y su complemento debe ser un conjunto vació

(m) la probabilidad condicional de A dado B es mayor o igual que la probabilidad de la intersección

de A y B (V)

Sabiendo que la probabilidad de A dado B es P(A/B)=P(A∩B)/P(B) y si la probabilidad de

P(A∩B)=P(A)*P(B) remplazando tendríamos como resultado P(A/B)= P(A)

(n) La probabilidad de la intersección de dos eventos no es mayor que el producto de sus

probabilidades individuales (V)

porque la probabilidad de la intersección de A y B es P(A∩B)=P(A)*P(B)

92. En los últimos años, las compañías de tarjeta de crédito han hecho un gran esfuerzo para

lograr las nuevas cuentas de estudiantes universitarios. Suponga que una muestra de 210

estudiantes en su universidad proporciona la siguiente información sobre si posea una tarjeta de

crédito bancaria y/o una tarjeta de crédito de viaje.

TARJETA BANCARIA

TIENE TARJETA DE VIAJE

NO TIENE TARJETA DE VIAJE

SI

50

80

NO

25

55

Si selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) Tenga una tarjeta de crédito bancaria

b) Tenga una tarjeta de crédito bancaria y una tarjeta de viaje

c) No tenga una tarjeta de crédito bancaria ni una tarjeta de viaje

d) No tenga una tarjeta de crédito bancaria o tenga una tarjeta de viaje

Solución:

a) P(b) = 130

210

b) P (bnv) = 50

210

c) P(b’nv’) = 55

210

d) P(b’Uv’) = p(b’) + P(v) – P(b’nv)

80 + 75 - 25 = 13

210 210 210 21

93. Encuentre el número de formas distintas en que se pueden guardar cuatro discos compactos

de marcas diferentes en un estuche que tiene seis compartimientos numerados del 1 al 6.

Sol:

Por permutación tenemos 6P4=360 formar distintas como se puede guardar los discos

94. Para poder asistir a importantes citas de trabajo, Humberto debe alquilar un auto en

Barranquilla y uno, en Cartagena. Sea A el evento “a Humberto le ofrecen un Mercedes

Benz en Barranquilla” y B el evento “a Humberto le ofrecen un Mercedes Benz

en Cartagena”. Supongamos que ambos eventos son independientes, que P(A) = 0, 4 y

P(B) = 0, 25.

(a) Si a Humberto no se le ofrece un Mercedes Benz en Barranquilla, ¿cuál es la probabilidad de

que no se le ofrezca un Mercedes Benz en Cartagena?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que a Humberto se le ofrezca un Mercedes Benz en por

lo menos alguna de las dos ciudades?

(c) Si se le ofrece un Mercedes Benz en por lo menos alguna de las dos ciudades, ¿cuál

es la probabilidad de que ese ofrecimiento sea sólo en Barranquilla?

Sol.

a) La probabilidad que no le ofrezcan el carro en Cartagena es:

b) La probabilidad que le ofrezcan el carro en al menos una de las dos ciudades es:

c) la probabilidad que el carro solo se lo ofrezcan en Barranquilla es:

95. Supongamos que seis personas se quieren montar en fila en un bus.

(a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo?

6! = 720

(b) ¿De cuántas maneras posibles pueden hacerlo si tres personas insisten en estar una después

de la otra?

4!x3! = 144

(c) ¿De cuántas maneras posibles pueden hacerlo si dos personas deben estar una junto a la otra?

5!x2! = 240

(d) ¿De cuántas maneras posibles pueden hacerlo si dos personas se niegan a estar una junto a la

otra?

5 x 4 x 4 x 3 x 2 x 1 = 480

96. En un pequeño municipio clasificaron a los habitantes según la religión que practicaban y

encontraron lo siguiente: 10 eran Bautistas, 40 eran Islámicos, 20 eran adventistas, 50 eran

Evangélicos, 70 eran Católicos, 30 eran Testigos de Jehová y 10 No sabían (no respondieron).

(a) Construya un diagrama de barras para los datos anteriores.

(b) ¿Cual es el tamaño de la población del municipio?

(c) ¿Se puede calcular la media? Explique.

(d) ¿Se puede calcular la moda? Explique.

(e) ¿Qué porcentaje de la población son Islámicos? ¿Qué medida usó para calcularla?

(f) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar a un habitante de dicho municipio, este sea

Islámico?

(g) ¿Cómo son los números obtenidos en (e) y (f)? ¿Qué concluye?

Sol.

Nº de Habitantes

Bautistas

10

Islámicos

40

Adventistas

20

Evangélicos

50

Católicos

70

Testigos de Jehová

30

No sabía/no responde

10

Población total

230

Puesto que estamos frente a un grupo de datos nominales categóricos (cualitativos), la única

medida de tendencia central que podemos utilizar es la moda, que en este caso sería igual a los

católicos por poseer el mayor número de habitantes, otra medida como la media o la mediana no

poseen un verdadero sentido matemático.

El porcentaje de la población que practica el Islamismo sería igual a:

La probabilidad de que al seleccionar a un habitante de dicho municipio este sea Islámico sería

igual a:

Siendo A, el evento de que al escoger a un habitante este sea islámico, y el espacio muestral Ω, el

total de los habitantes del municipio.

De acuerdo con lo anterior vemos que el porcentaje de islámicos en la población y la probabilidad

de que uno de los habitantes sea islámico son iguales, al referirse a la misma fracción de

elementos.

97. Se pidió a una analista financiera evaluar las perspectivas de beneficio de cinco empresas para

el próximo año, y ordenarlas con respecto a las previsiones correspondientes al crecimiento del

beneficio.

(a) ¿Cuántas ordenaciones diferentes son posibles?

(b) Si, de hecho, simplemente se supone una determinada ordenación, ¿cual es la probabilidad de

que esta suposición sea correcta?

Sol.

Como debemos evaluar las perspectivas de 5 empresas hallamos el espacio maestral, para conocer

el numero de ordenadas posibles; utilizaremos el criterio de permutación

b) 5!=120=Ω

c) Para calcular el hecho de una sola ordenación simplemente dividimos 1 ordenación entre las

120 ordenaciones posibles

98. En un experimento para estudiar la relación de la hipertensión arterial y los hábitos de fumar,

se reúnen los siguientes datos para 190 individuos:

No Fumadores Fumadores

Fumadores moderados empedernidos

Con hipertensión 30 25 28

Sin hipertensión 40 19 48

Dado que:

Nf= No fumador

Nh=No hipertensión

H=Hipertensión

FE=Fumador Empedernido

Tenemos que:

a)

b)

99. Una cierta investigación en una ciudad indica que, durante cualquier semana, el 18% de los

adultos vieron un programa deportivo de televisión orientado a temas relacionados con el fútbol y

el beisbol, el 12% leen un reportaje orientado a esta temática y el 10% realizan ambas actividades.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que ve el programa de televisión, lea

el reportaje mencionado?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que lea el reportaje, vea dicho

programa de televisión?

Llamemos “A” el evento en cual los adultos vieron el programa de televisión, “B” al evento en el

cual leen el reportaje, y “C” al evento en el que realizan ambas cosas.

a)

b)

100. El centro de informática de cierta universidad recibe un software nuevo que debe ser

instalado en el servidor de la universidad y revisado antes de ser puesto a funcionar. En la tabla

adjunta se muestra la valoración de la probabilidad de un gerente correspondiente al número de

días necesarios para que el software sea puesto a funcionar.

Numero de días

3

4

5

6

7

Probabilidad

0.05

0.27

0.43

0.13

0.12

Sea A ell eveno "el software tardadara mas de cinco días en ponerse a funcionar" y B el evento " el

software tardara más de 4 días en ponerse a funcionar".

Calcular la probabilidad de que suceda A y la de que suceda B

P(A)= 0,13+ 0,12= 0,25

P(B)= 0,43 + 0,13 + 0,12 = 0,68

Describa el complemento A del suceso A y calcule su probabilidad

El complemento de un evento es todo aquello que se encuentre dentro del espacio muestral y que

no pertenece al conjunto por tanto A. Corresponde a:

5

4

3

0.43

0.27

0.05

y su probabilidad es igual a 0,43+0,27+0,05 = 0,75

describir el suceso A intersección B y su probabilidad.

Sabiendo que intersección es todo aquello que tienen en común uno y otro conjunto entonces

P(AintB)= P(A)*P(B)= 0,25*0,68=0,17

describir el suceso AUB y calcular su probabilidad

Sabiendo que AUB es el conjunto que contiene todos los elementos del evento A y todos los

elementos del evento B entonces A u B es

5

6

7

0.43

0.13

0.12

Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes?

Sabiendo que dos eventos con mutuamente excluyentes cuando A y B son dos eventos de

"Omega" y A y B no tiene en común ningún resultado, entonces podemos decir que A y B no son

mutuamente excluyentes.

Son los sucesos A y B colectivamente exhaustivos?

Sabían que dos eventos son colectivamente exhaustivos cuando AUB="Omega" y que para nuestro

ejercicio el "omega" va mas alla de la unión del evento Ay B, decimos que estos dos eventos no

son colectivamente exhaustivos.

101. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formada

por seis asientos. Supongamos que se sientan al azar.

a) Como deseamos conocer la probabilidad de que una pareja se sienten en puestos continuos en

el extremo derecho, debemos primero hallar las combinaciones posibles para este evento:

6C2

Ahora la probabilidad del evento:

b) Para conocer cuál es la probabilidad de que dos de las personas se sienten juntas debemos

hallar las posibles combinaciones, como dos de los seis deben estar juntos lo asumimos como uno

entonces:

6C5

Como deseamos hallar la probabilidad de los dos estén sentados junto a cualquier persona es igual

para los dos obtenemos que:

La unión de estos dos eventos estén juntos es de:

102. La rugosidad en los bordes de los productos de papel cortado aumenta con el desgaste de las

cuchillas. Solo 1% de los productos cortados con cuchillas nuevas tiene bordes rugosos, 3% de los

productos cortados con cuchillas con filo promedio presentan rugosidad y 5% de los productos

cortados con cuchillas desgastadas presentan rugosidad. Si 25% de las cuchillas utilizadas son

nuevas, 60% tienen filo promedio y 15% están desgastadas, ¿cuál es la proporción de productos

que presenta rugosidad en los bordes?

A:

X1

X2

X3

P(X1)=probabilidad de que el papel presente rugosidad por ser cortado con cuchillas nuevas

P(x2)=probabilidad de que el papel presente rugosidad por ser cortado con cuchillas con filo

promedio

P(x3)=probabilidad de que el papel presente rugosidad por ser cortado con cuchillos desgastados

103. Los clientes acostumbran evaluar en forma preliminar el diseño de los productos. En el

pasado, 95% de los productos de gran éxito recibieron críticas favorables, 60% de los productos

con un éxito moderado recibieron críticas favorables y 10% de los productos

sin mucho éxito recibieron críticas favorables. Además, 40% de los productos han sido de gran

éxito, 35% han sido de éxito moderado y 25% han sido productos sin mucho éxito.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una crítica favorable?

(b) Si un diseño nuevo obtiene una crítica favorable, ¿cuál es la probabilidad de que será

un producto de gran éxito?

(c) Si un producto no consigue una crítica favorable, ¿cuál es la probabilidad de que será

un producto de gran éxito?

Sol.

a) probabilidad de que un producto obtenga crítica favorable:

b) probabilidad de que un producto obtenga critica favorable

c) probabilidad de que el producto sin crítica favorable sea de gran éxito

P(SCF)=1-P(CF)=0.385=38.50%

104. Una compañía del ejército escoge siempre a 30 soldados para vigilar en el intervalo de 4:00

a.m. a 12:00 a.m. (turno de la mañana); 25, de 12:00 a.m. a 7:00 p.m. (turno de la tarde) y 40, de

7:00 p.m. a 4:00 a.m. (turno de la noche).

Un coronel del ejército selecciona 8 de estos soldados para hacerles una entrevista minuciosa.

Supongamos que la selección se hace de tal forma que cualquier grupo de 8 soldados tiene la

misma probabilidad de ser seleccionado, del mismo modo que cualquier otro grupo.

(a) ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 8 soldados del turno de la mañana?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 8 soldados seleccionados sean del turno de la mañana?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que los 8 empleados seleccionados sean del mismo turno?

(d) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, 2 turnos diferentes sean representados entre los

soldados seleccionados?

(e) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, uno de los turnos no esté representado en la

muestra de soldados?

Sol.

Sea Ω = numero de combinaciones de 95 (total) soldados seleccionados de 8 en 8.

Sea el evento A1: los seleccionados sean del turno de la mañana

Sea el evento A2: los seleccionados sean del turno de la tarde

Sea el evento A3: los seleccionados sean del turno de la noche

a) hallamos la combinación en la que los 30 soldados del turno de la mañana son seleccionados:

b) sea Ω = numero de combinaciones de 95 (total) soldados seleccionados de 8 en 8.

Entonces:

c) la probabilidad de que los seleccionados sean del mismo turno esta dado por:

Para sucesos mutuamente excluyentes

Nota: son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir al mismo tiempo, o sea:

Entonces:

= 0,00068975

d) si A4 es el evento ´´al menos 2 turnos diferentes sean representados entre los soldados

seleccionados´´, el complemento será: ´´2 turnos diferentes no sean representados entre los

soldados seleccionados´´ o sea que un turno sea representado entre los soldados seleccionados,

esto es: A1, A2 ó A3

e) si A5 es el evento ´´al menos uno de los turnos no esté representado en la muestra de

soldados´´, entonces el complemento es que los 3 turnos estén representados

Si uno de los turnos no está representado entonces:

A5 = ´´# de elementos de que los seleccionados sean del mismo turno´´ + ´´# de elementos de que

los seleccionados sean del dos turnos diferentes´´.

105. Un consejo académico con cinco miembros de la universidad tienen la tarea de elegir el

nuevo jefe de un departamento académico, teniendo como candidatos a Humberto (H) o

a Greyci (G). Cada uno de los miembros vot´o en una papeleta por uno de los candidatos.

Supongamos que las papeletas se seleccionan al azar de una en una y una vez que se saque cada

papeleta, se dice el nombre del candidato que salió en la papeleta.

(a) ¿De cuántas maneras posibles puede resultar el conteo de los votos?

(b) Si hay tres votos para Greyci y dos para Humberto, ¿de cuántas maneras posibles

puede resultar el conteo de votos? ¿Cuáles son estas posibles maneras?

(c) Si hay tres votos para Greyci y dos para Humberto, ¿cuál es la probabilidad de que

Greyci siga delante de Humberto en todo el conteo de votos (es decir, este evento

ocurre si el orden seleccionado es GGHGH pero no para GHHGG)?

Sol.

a)

GGGGG GGGHG

GGGGH GHGGG

GGGHH HHGHG

GGHHH GHGHH

HHHHH GGHGH

HHHHG HGHGG

HHHGG HHGGH

HHGGG GGHHG

HGGGG HGGHG

HGHGH HGGHH

GHGHG HGHHG

GGHGG GHGGH

HHGHH HGGHH

GHHGG HGHHH

HHHGH HGGGH

GHHHG HGHHH el conteo de votos puede resultar de 32 maneras posibles.

b)

GGGHH GGHGH

HHGGG HGHGG

GHGHG GGHHG

GHHGG HGGHG

HGGGH GHGGH Si hay tres votos para Greyci la votación puede resultar de 10

maneras posibles.

c)

GGGHH P(G)=2/10= 0,2

GGHGH

106. Si se elige al azar una letra del alfabeto (son 27 letras), encuentre la probabilidad de que la

letra sacada (a) sea una vocal, (b) sea una letra que está ubicada antes de la letra “d”, (c) sea una

letra que está ubicada después de la letra “e”.

(a) P(a) = probabilidad de que la letra sacada sea una vocal

(b) P(b) = probabilidad de que la letra sacada está ubicada antes de la letra “d”

(c) P(c) = probabilidad de que la letra sacada está ubicada después de la letra “e”

107. Un grupo académico formado por dos ingenieros y cuatro administradores debe ser

constituido para un proyecto, disponiéndose de un total de cinco ingenieros y seis

administradores.

(a). ¿Cuántas son las combinaciones posibles?

(b). El hermano de uno de los ingenieros es un administrador. Si el grupo es elegido al azar , ¿Cuál

es la probabilidad de que los dos hermanos sean escogidos?

(c). ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos hermanos sea escogido?

Sol.

5-ingenieros de los cuales se escogerán 2

6-administradores de los cuales se escogerán 4

a. 5C2 = 10

6C4 = 15 entonces:

5C2 *6C4 = 150

b. 11Ω6 = Ω = 462

(A) = 5C2 *6C4

P(A) = (5C2 *6C4) / Ω

P(A) = 30 / 462

P(A) = 0.065 o 6.5%

c. Ω = 11Ω6 = 462

(A) = 4C2 *5C4 = 30

P(A) = (4C2 *5C4) / 11Ω6 = 0.065 o 6.5%

108. Un estante tiene 6 libros iguales de matemáticas y 4 iguales de física. Hallar la probabilidad de

que los 6 libros de matemáticas estén juntos.

Sol.

Tenemos 6 libros de matemáticas que deben estar juntos los tomamos como uno y los sumamos a

los 4 de física y hallamos su probabilidad:

109. La contaminación del río Magdalena es un problema que se va incrementando cada vez más

con el pasar de los años. Sean dadas las siguientes probabilidades:

La probabilidad de que el río está contaminado es 0.3

La probabilidad de que una prueba en una muestra detecta contaminación sabiendo que el río

está contaminado es 0.75

La probabilidad de que una prueba en una muestra detecta contaminación sabiendo que el río no

está contaminado es 0.20

La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el río esta contaminado y que una prueba

en una muestra detecta contaminación es 0.20

La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el río no esta contaminado y que una

prueba en una muestra detecta contaminación es 0.15

La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el río esta contaminado y que una prueba

en una muestra no detecta contaminación es 0.80

La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el río no esta contaminado y que una

prueba en una muestra no detecta contaminación es 0.90

Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:

a) El río esta contaminado, una prueba en una muestra detecta contaminación y se permite pesca

b) Una prueba en una muestra no detecta contaminación y se permite pesca.

c) Se permite pesca.

Solución.

Está contaminado No está contaminado

P(A) P(A’)

Muestra detecta Muestra no detecta

Contaminación Contaminación

P(B/A) P(B’/A) P(B/A’) P(B’/A’)

P(C/BA) P(C’/BA) P(C/B’A) P(C’/B’A) P(C/BA’) P(C’/BA’) P(C/B’A’) P(C’/B’A’)

P(A) = 0.3

P(A’) = 0.7

P(B/A) = 0.75

P(B’/A) = 0.25

P(B/A’) = 0.2

P(B’/A’) = 0.9

P(C/BA) = 0.2

P(C’/BA) = 0.8

P(C/B’A) = 0.8

P(C’/B’A) = 0.2

P(C/BA’) = 0.15

P(C’/BA’) = 0.85

P(C/B’A’) = 0.1

P(C’/B’A’) = 0.9

a) P(A) * P(B/A) * P(C/BA) = 0.3 * 0.75 * 0.2 = 0.045

b) [P(C/B’A’) * P(B’/A) * P(A)] + [P(C/B’A’) * P(B’/A’) * P(A’)]

= [0.1 * 0.25 * 0.3] + [ 0.1 * 0.9 * 0.7] = 0.0705

c) [P(C/BA) * P(B/A) * P(A)] + [P(C/B’A) * P(B’/A) * P(A)] + [ P(C/BA’) * P(B/A’) *

P(A’)] + [P(C/B’A’) * P(B’/A’) * P(A’)]

= [0.2 * 0.75 * 0.3] + [0.8 * 0.25 * 0.3] + [0.15 * 0.2 * 0.7] + [0.1 * 0.9 * 0.7]

= 0.189

110. Una determinada editorial quiere decidir si va a publicar un libro de estadística para

administración. El análisis de los libros que se publicaron anteriormente indica que 10% fueron

grandes ´éxitos, 20% tuvieron ´éxito modesto, 40% lograron recuperar los gastos de inversión y

30% fueron un fracaso. Sin embargo, antes de tomar una decisión, se va a realizar un dictamen del

libro. En el pasado, 99% de los grandes ´éxitos obtuvieron dictámenes favorables, 70% de los

éxitos modesto obtuvieron dictámenes favorables, 40% de los títulos que alcanzaron a recuperar

gastos de inversión obtuvieron dictámenes favorables y 20% de los fracasos fueron sometidos a

esta clase de dictámenes. ¿Qué proporción de libros de texto reciben dictámenes favorables?

Donde:

g.e= grandes éxitos

d.f= dictámenes favorables

d.no.f= dictámenes no favorables

e.m= éxito modesto

r.g= recuperación de los gastos de inversión

f= fracasos

111.Jennifer, la propietaria de una tienda de ropa deportiva, clasifica las personas que entran a su

tienda en clientes muy jóvenes, clientes con edad universitaria y clientes mayores, y sabe que el

40%, 30% y 30% pertenecen a estas categorías, respectivamente. Jennifer comprueba también,

que el 20% de los clientes muy jóvenes, el 60% de los clientes con edad universitaria y el 80% de

los clientes mayores realizan alguna compra.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar haga alguna compra?

(b) Si un cliente elegido al azar realiza una compra, ¿cuál es la probabilidad de que sea muy joven?

P(a) = probabilidad de que clientes muy jóvenes realicen al menos una compra

P(b) = probabilidad de que clientes con edad universitaria realicen al menos una compra

P(c) = probabilidad de que clientes mayores realicen al menos una compra

(a) P(t) = probabilidad de que algún cliente realicen al menos una compra = P(a) + P(b) + P(c)

P(t) = 0,08 + 0,18 +0,24 = 0,5

(b) P(d) = probabilidad de que un cliente elegido al azar y que realice una compra sea muy joven

112. Greyci tiene dos automóviles: uno, modelo 2.00 y otro, modelo 2.004. La quinta parte del

tiempo utiliza el auto modelo 2.000 para ir al trabajo y el resto del tiempo, el auto modelo 2.0004.

Generalmente, cuando utiliza el auto modelo 2.000, no tiene problemas de parque y, por tanto,

llega a su trabajo a tiempo con una probabilidad de 0,93. Si utiliza el auto modelo 2.0004, llega a

tiempo a su trabajo con una probabilidad de 0,78. Si llegó a tiempo en un día en particular, ¿cuál

es la probabilidad de que haya utilizado (a) el auto modelo 2.000, (b) el auto modelo 2.004?

P(a) = probabilidad de que use el auto modelo 2000 y de que llegue temprano con este =

P(a) = 0,186

P(b) = probabilidad de que use el auto modelo 2004 y de que llegue temprano con este =

P(a) = 0,624

P(t) = probabilidad total = P(a) + P(b) = 0,186 + 0,624 = 0,81

(a) P(A) = (Si llegó a tiempo en un día en particular) probabilidad de que haya utilizado el auto

modelo 2.000.

(b) P(B) = (Si llegó a tiempo en un día en particular) probabilidad de que haya utilizado el auto

modelo 2.004.

113. En un período, una planta automotriz produce 5000 motos. De estas, 1000 se armaron los

lunes, 1000 los martes, 1000 los miércoles, y así hasta completar las 5000 el viernes. Fue necesario

devolver 400 de estas motos que requerían reparación de defectos. De las motos armadas los

jueves se devolvieron 150. ¿Son independientes entre sí los eventos “una moto se construyo el

jueves” y “una moto salió defectuosa”?

Sol.

Estos dos eventos son independientes si P (A∩B) = P (A) P (B)

0.03 ≠ 0.08 X 0.20

0.03 ≠ 0.016

Como 0.03 y 0.016 son obviamente diferentes los dos eventos no son independientes entre sí.

114. Brian ha realizado un estudio para un hipermercado en donde clasifica los clientes en

aquellos que visitan el establecimiento de una manera frecuente u ocasional y en aquellos que

adquieren regularmente, ocasionalmente o nunca productos alimenticios. La siguiente tabla

presenta las proporciones correspondientes a cada uno de los seis grupos.

Regular Ocasional Nunca total

Visita frecuente 0,19 0,08 0,12 0.39

Visita ocasional 0,06 0,07 0,48 0.61

Total 0.25 0.15 0.6 1

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el hipermercado y compre

regularmente productos alimenticios?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que nunca compra productos alimenticios visite el

hipermercado frecuentemente?

(c) ¿Son independientes los sucesos “nunca compra productos alimenticios” y “visita el

hipermercado frecuentemente”?

(d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que visita de manera ocasional el hipermercado,

compre regularmente productos alimenticios?

(e) ¿Son los sucesos “compra regularmente productos alimenticios” y “visita el hipermercado de

manera ocasional” independientes?

(f) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el hipermercado?

(g) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente nunca compre productos alimenticios?

(h) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite el establecimiento frecuentemente o nunca

compre productos alimenticios?

Sol

a)

b)

c)

Son dependientes

d)

e)

Son independientes

Son dependientes

f)

g)

h)

118. Un director de control de calidad, sabe que el 30% de los problemas relacionados con los

empleados tienen lugar los martes y que el 20% ocurren en la hora anterior al cambio de turno.

Sabe también que el 4% de los problemas tienen lugar en la hora anterior al cambio de turno de

los martes.

a) ¿Cual es la probabilidad de que un incidente que sucede un martes no haya ocurrido en la hora

anterior al cambio de turno?

b) ¿Son los sucesos el problema ocurre el martes” y el problema ocurre en la hora anterior al

cambio de turno” independientes estadísticamente?

Sol.

Llamemos evento “A” a los problemas que tienen lugar los martes, “B” al evento que los

problemas ocurran en la hora anterior al cambio de turno, y “C” al evento que los problemas

tienen lugar en la hora anterior al cambio de turno de los martes.

a)

b)

Sabemos que Dos eventos A, B de un espacio muestral se llaman independientes, si y sólo si Y son

dependientes en cualquier otro caso.

Entonces,

Por lo tanto los sucesos A y B no son independientes.

119. Responda las siguientes preguntas. Explique:

A) Si A, B y C son mutuamente excluyentes, ¿es posible que P(A)= 0.3, P(B)=0.4 y P(C)=0.5?

Como son A, B y C son sucesos mutuamente excluyentes y la ocurrencia de cualquiera de ellos

excluye a los otros dos, la suma de sus probabilidades debe ser menor o igual a 1 y mayor que

cero. Por lo tanto es imposible que la suma de las probabilidades sea 1,2.

B) Si P(A/B)=1, ¿se cumple A=B?

Si P(A/B)=1= entonces P(B)=P(AB) . Quiere decir que A contiene a B, por lo tanto BA.

C) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, ¿es posible construir un diagrama de Venn que

contenga los tres eventos A, B y C, tales que P(A/C)=1 y P(B/C)=0?

P(A/C)=1 ; P(B/C)=0

P(B/C)=0= entonces P(BC)=0

Esto quiere decir que A contiene a C y que B y C no se interceptan: Si se puede realizar el diagrama

de Venn.

120. Demuestre las siguientes afirmaciones:

(a) Para cualquier evento A y B con P(B) > 0, se cumple que:

P(A/B) + P(A’/B) = 1.

(b) Si P(B/A) > P(B), entonces,

P(B/A) < P(B’).

Sugerencia: Sume P(B/A) ambos

lados de la desigualdad y use el resultado de la parte (a).

(c) Para cualquiera de los tres eventos A, B y C con P(C) > 0, se cumple que

P(A ∪ B/C) = P(A/C) + P(B/C) − P(A ∩ B/C).

(d) Si A y B son independientes, entonces, A y B también lo son.

(e) Si A y B son independientes, entonces también lo son sus complementos.

Sol.

(a)

Haciendo uso de la definición 2.4.3 de probabilidad condicional, podemos proceder así:

El anterior reordenamiento es válido, ya que la intersección de los conjuntos es recíproca. Esto lo

hacemos con el propósito de aplicar el literal (e) del teorema 2.3.2. Así obtenemos que :

(b)

Aplicando el resultado obtenido en la parte (a) del ejercicio, tenemos que:

(c)

Aplicando la definición 2.4.3 de probabilidad condicional tenemos:

Aplicando la formula de Silvester(Teorema 2.3.2, literal (g)) para el último término del numerador

de la derecha, tenemos que:

Suponiendo a A y a B como subconjuntos del conjunto C, podemos transformar el último término

del numerador de la derecha, obteniendo:

Aplicando la formula de Silvester(Teorema 2.3.2, literal (f)) , esta vez para el último término del

numerador del lado derecho, tenemos que:

(d)

Aplicando el resultado obtenido en la parte (a) de este ejercicio, podemos escribir

Utilizando la igualdad dada en el literal ( C ) del teorema 2.3.2,, obtenemos:

(e)

Aplicando la definición 2.4.3 de probabilidad condicional, se puede escribir:

Usando ahora el literal (c ) del teorema 2.3.2. podemos esribir:

Aprovechando la igualdad dada en el literal (e) del teorema 2.3.2, escribimos

El lado izquierdo también se puede escribir así:

)

Usando nuevamente la ecuación del literal (e) del teorema 2.3.2

Ahora podemos demostrar dos igualdades, teniendo en cuenta que para un caso y que