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SESIÓN Nº 10

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME01. CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Decimos que una partícula desarrolla un movimiento circular cuando su trayectoria es unacircunferencia. Si además de esto el valor de su velocidad (rapidez) permanece constante serállamado “uniforme”.

En el MCU la trayectoria es una circunferencia y la rapidez permanece constante.

En el siguiente diagrama observarás que la dirección tangente de la velocidad cambiacontinuamente, esto nos indica que en el MCU el vector velocidad no es constante.

V

V

V

Y siempre es tangente a la circunferencia

En el MCU la rapidez (módulo de la velocidad) es constante más no la velocidad ya quecambia de dirección.

Una consecuencia de esta rapidez constante es que lapartícula barre ángulos iguales en tiempos iguales.

02. VELOCIDAD ANGULAR (→ω )

En el diagrama se muestra un MCU en el cual la partícula ha girado desde A hacia B barriendo unángulo central “θ” y empleando un tiempo “t”, luego:

la relación entre el ángulo central descrito y el tiempo necesario para recorrerlo,

se denomina velocidad angular (→ω ), matemáticamente :

tθ

=ω . . . . (1)

En el S.I. la velocidad angular se mide en rad/s.

θ ωrad s rad / s

t

θ

θ

θ

t t

t

AB

θ

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03. REPRESENTACION DE LA VELOCIDAD ANGULAR La velocidad angular (

→ω ) se gráfica mediante un vector perpendicular al plano de rotación (P), el

sentido de este vector se halla con la regla de la mano derecha.

*REGLA DE LA MANO DERECHALogre coincidirlos dedos con el giro y el pulgar estará señalando el sentido perpendicular de la

velocidad angular. En el diagrama mostramos el uso de la regla de la mano derecha:

ωω

V

p

Comentarios: * El plano de giro (P) contiene a la circunferencia de giro.

* La velocidad angular (→ω ) es perpendicular al plano de giro (P).

* La velocidad (→V ) de la partícula está en el plano de giro.

04. VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (→V )

Llamada comúnmente velocidad, se gráfica mediante un vector tangente a la circunferencia, midela relación entre el arco (S) descrito y el tiempo necesario para recorrerlo:

o

R R

S

tangente

V

Matemáticamente:

tS

V = . . . . (2)

El vector velocidad (→V ) siempre es perpendicular al radio de giro (R) y en el S.I. se mide en m/s.

θ ω

rad m / srad / sV acS

m m / s2

05. ACELERACIÓN CENTRIPRETA ( ca→

)

En el MCU la magnitud de la velocidad permanece constante y por tanto la partícula, no poseeaceleración tangencial ( 0a r = ). Pero como la dirección de la velocidad cambia continuamente, la

partícula, si posee aceleración centrípeta ( ca→

).

La aceleración centrípeta ( ca→

) es un vector que siempre apunta hacia el centro de lacircunferencia y para el MCU esta dado por :

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RV

a2

c = . . . . . (3)

ca siempre es perpendicular a V

Vca

R

En forma general, cualquier movimiento en el cual varíe la dirección de l velocidad existirá unaaceleración centrípeta.

06. PERIODO (T)

Es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa. Suponiendo que en cierto tiempo lapartícula dé varias vueltas, el periodo (T) se hallará matemáticamente con:

vueltasdeNtotaltiempoT

°= . . . . . (4)

En el S.I. el periodo se mide en segundos (s)

07. FRECUENCIA (f) La frecuencia de giro cuenta el número de vueltas que da la partícula en cada unidad de tiempo,

por definición, equivale a la inversa del periodo, luego :

30 000 m/s

La tierra gira al rededor del Sol con una velocidad de 30 000 m/s

totaltiempovueltasdeN

T1f °

== . . . . . (5) En el S.I. la frecuencia se mide en )RPS(S 1−

08. RELACION ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR (ω) Y LA FRECUENCIA (f)

Siempre que una partícula da una vuelta completa describe un ángulo θ = 2π rad y el tiempoempleado se denomina periodo (T), luego :

Trad2

tπ

=θ

=ω ; radT12

π=ω . . . . . . . pero f

T1

=

Finalmente:

radf2π=ω . . . . . (6)

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09. RELACION ENTRE LA VELOCIDAD (V) Y LA VELOCIDAD ANGULAR (ω)

Dado un MCU, a un arco de longitud “S” le corresponde un ángulo central “θ” siendo “R” el radio degiro la relación entre estos es :

RS θ=

θ : medido en radianes Por definición la velocidad es :

tS

V =

Reemplazando

Rtt

RV

θ=

θ=

Luego : RV ω= . . . . . (7)

La luna gira al rededor de la Tierracon una velocidad de 997 m/sLa luna es más veloz que un cohete(avión a reacción)

La luna tiene rapidez constante másno velocidad constante

997 m/s

EJERCICIOS RESUELTOS:

Ejercicio 1:Hallar la velocidad angular de una rueda de 25 cm. de radio para que la velocidad lineal de

un punto de su periferia sea de 400m/min. Expresar el resultado en RPM y en rad/s

Solución:

A BθR

R

S

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Ejercicio 2:El volante de una máquina cuyo radio es 1,50 m da 240 vueltas por minuto. Cuál es la

velocidad angular y tangencial.

Solución:Velocidad angular:

Ejercicio 3:Cuántas vueltas dará una rueda en segundos si partiendo del reposo su aceleración

angular es de 20 rad/s2. Cuántas vueltas dará durante el quinto segundo?

Solución:

Ejercicio 4:

La velocidad angular de una rueda es 6 rps, sabiendo que su aceleración angular es de 4rad/s2, calcular el número de vueltas que dará hasta adquirir una velocidad de 26 rps y el tiempoque empleará en alcanzarla?

Solución:

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Ejercicio 5:

Un móvil que se desplaza con MCU, describe un ángulo de 2.2 radianes en 1/5 de segundo,si el radio de la circunferencia descrita es de 0.40 m. Calcula su velocidad lineal y su período.

Solución:

Datos: θ = 2.2 rad ; t = 1/5 = 0.2 sR = 0.40 ma) Calculamos la velocidad lineal (v):

v = ω R ; perotα

ω =

smvradm

sradR

tv

/4.4

40.02.0

2.2

=⇒

×==α

b) El período se halla con fórmula:

sTsrad

radTT

57.0/11

)14.3(222

=⇒

==⇒=ωππ

ω

Ejercicio 6:Un disco con 3 m de diámetro, que está animado de MCU da 120 revoluciones por minuto

(r.p.m). Calcular:a) Períodob) Frecuenciac) Velocidad angulard) Velocidad lineal en un punto de su periferia

Solución:Datos: n = 120 vueltas; t = 1 min. = 60 s

D = 3 m R = 1.5 m

a) Calculando el período tenemos:

⇒==12060 s

ntT

b) Encontrando la frecuencia:

⇒==sT

f5.011

T = 0.5 s

f = 2 rev/s

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c) Cálculo de la velocidad angular:

⇒==s

radT 5.0

28.62πω

d) Cálculo de la velocidad lineal:

==

radm

sradRv 56.156.12.ω

⇒

PROBLEMAS PARA RESOVER

PROBLEMA 1: UNA PARTÍCULA DE MUEVE CON M.C.U. DANDO 120 VUELTAS EN UN MINUTO. CALCULARLA FRECUENCIA Y EL PERÍODO.

RPTA. 2 HERTZ Y 0,5 S

PROBLEMA 2: EXPRESAR EN RAD/S LAS SIGUIENTES FRECUENCIAS:A) 45 RPM B) 60 RPM C) 90 RPMD) 30 RPM E) 120 RPM

RPTA. A) 1,5 π RAD/S; B) 2π; C) 3π; D) π; E) 4. π

PROBLEMA 3: UNA RUEDA GIRA CON M.C.U. Y DESCRIBE UN ARCO DE 40 M EN 8 S. CALCULAR LAVELOCIDAD TANGENCIAL DE UN PUNTO SITUADO EN EL BORDE.

RPTA. 5 M/S

PROBLEMA 4: UNA PARTÍCULA SE MUEVE CON M.C.U. DESCRIBE 180º EN 2 S. CALCULAR LA VELOCIDADANGULAR Y SU FRECUENCIA.

RPTA. π/2RAD/S; 0,25 HERTZ

PROBLEMA 5: UNA PARTÍCULA DESCRIBE UNA CURVA DE 80CM DE RADIO. CALCULAR LA ACELERACIÓNCENTRÍPETA QUE EXPERIMENTA, SIENDO SU VELOCIDAD TANGENCIAL IGUAL A 4 M/S.

RPTA. 20 M/S2.

PROBLEMA 6: UN MÓVIL RECORRE UN ARCO DE 1,5 M SITUADO SOBRE UNA CIRCUNFERENCIA CUYORADIO MIDE 30 CM. CALCULAR EL ÁNGULO EN RADIANES.

RPTA. 5 RAD

PROBLEMA 7: UNA RUEDA GIRA A RAZÓN DE 8π RAD/S. CALCULAR EL NÚMERO DE VUELTAS QUE HADADO DURANTE 20 MIN.

RPTA. 4800 VUEL.

PROBLEMA 8: CALCULAR LA VELOCIDAD TANGENCIAL DE B. SI VA = 8 M/S. VER LA FIGURA R = 2 M.

R

B 3R

A

RPTA. VB = 2 M/S

ω = 12.56 rad/s

v = 18.84 m/s

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P Q

PROBLEMA 09: CALCULAR LA VELOCIDAD ANGULAR DE LA RUEDA “A”. SI; WB = 6 RAD/S.

RA = 2 MB RB = 6 M

A

RPTA. 18 RAD/S

PROBLEMA 10: UNA RUEDA DE 0,5 M DE RADIO GIRA A RAZÓN DE 4 RAD/S. CALCULAR LA VELOCIDAD DEUN PUNTO SITUADO EN EL BORDE.

RPTA. 2 M/S

PROBLEMA 11: EN LA FIGURA MOSTRADA, CALCULAR: VB; SI VA = 5 M/S.

RB = 4 MRC = 2 M

BC A

RPTA. 10 M/S

PROBLEMA 12: LA FIGURA MUESTRA UN SISTEMA DE POLEAS CONCÉNTRICAS, ENTRE LAS POLEASTANGENTES NO HAY DESLIZAMIENTO. SI EL BLOQUE P BAJA CON UNA VELOCIDAD DE 5 CM/S,DETERMINAR LA VELOCIDAD DEL BLOQUE Q. LOS RADIOS SON LOS SIGUIENTES:

A = 60 CM ; B = 30 CMX = 40 CM ; Y = 20 CM

X A

B Y

A) 3 CM/S B) 5CM/S C)7 CM/S D) 9 CM/S E) N.A

PROBLEMA 13: UN CILINDRO HUECO (VACÍO) DE RADIO DE CURVATURA R = 0,4 M GIRA A UNAVELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE, CUYA FRECUENCIA ES 150 R.P.S. RESPECTO DE UN EJE VERTICAL.SE DISPARA UN PROYECTIL HORIZONTALMENTE, DE TAL MODO QUE PASA POR EL EJE DE ROTACIÓN.CALCULAR LA MÁXIMA VELOCIDAD DEL PROYECTIL, TAL QUE ATRAVIESE HACIENDO UN SOLO AGUJEROAL CILINDRO.

V