SESION # 11 “Calculo Integral parte...

UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL

CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR

MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESORES: JLML/AGM

SESION # 11

“Calculo Integral parte I”

INTRODUCCIÓNEl cálculo integral se basa en el concepto de la integral, que es obtenida a partir de la

diferencial de una función 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥, la función 𝑓 𝑥 se obtiene a partir de la integral del

diferencial de la función, mediante:

න𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶

En general el signo se conoce como la integral de la función, la diferencial 𝑑𝑥

indica que 𝑥 es la variable de integración. La constante arbitraria 𝐶 se llama constante de

integración.

La expresión 𝑓 𝑥 + 𝐶 se llama la integral indefinida.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Teorema fundamental del cálculo (parte 1):

Dada una función integrable 𝑓 sobre el intervalo 𝑎, 𝑏 , definimos 𝐹 sobre 𝑎, 𝑏

por: 𝐹 𝑥 = 𝑎𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡. Si 𝑓 es continua en 𝑐 en el intervalo 𝑎, 𝑏 entonces 𝐹 es derivable

en 𝑐 y se tiene que:𝐹′(𝑐) = 𝑓 𝑐

Teorema fundamental del cálculo (parte 1I): (Regla de Barrow)

Dada una función 𝑓(𝑥) integrable en el intervalo [𝑎, 𝑏] y sea 𝐹(𝑥) cualquier

función primitiva de 𝑓, es decir 𝐹′(𝑥) = 𝑓 𝑥 entonces:

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN (I)

Fórmulas Fórmulas

𝑑𝑥(1 = 𝑥 + 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑢 (6 =

𝑎𝑢

𝑙𝑛 𝑎+ 𝐶

𝑘𝑑𝑥 (2 = 𝑘𝑥 + 𝐶 (7 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶

(3 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 + 𝑑𝑤 = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 𝑑𝑤− (8 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝐶

𝑢𝑛𝑑𝑢 (4 =1

𝑛+1𝑢𝑛+1 + 𝐶 (9 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶

(5𝑑𝑢

𝑢= 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 (10 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑙𝑛 cos 𝑢 + 𝐶

EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:

“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82

1. Calcular la integral indefinida:

න 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥

Aplicando las fórmulas (1-4)

න 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥 =3න𝑥2𝑑𝑥 + 6න𝑥𝑑𝑥 − 2න𝑑𝑥 + 𝐶

3න𝑥2𝑑𝑥 + 6න𝑥𝑑𝑥 − 2න𝑑𝑥 = 3𝑥2+1

2 + 1+ 6

𝑥1+1

1 + 1− 2𝑥 + 𝐶

න 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 3𝑥3

3+ 6

𝑥2

2− 2𝑥 + 𝐶

න 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 𝐶

2. Calcular la integral indefinida: න23 𝑥

+1

𝑥2𝑑𝑥

Aplicando las fórmulas (1-4) y las leyes de los exponentes:

න23 𝑥

+1

𝑥2𝑑𝑥 = න 2𝑥−

13𝑑𝑥 + 𝑥−2 𝑑𝑥

න 2𝑥−13 + 𝑥−2 𝑑𝑥 = 2

𝑥−13+1

−13+ 1

+𝑥−3+1

−2 + 1+ 𝐶

න23 𝑥

+1

𝑥2𝑑𝑥 = 3

3𝑥2 −

1

𝑥+ 𝐶

න 2𝑥−13 + 𝑥−2 𝑑𝑥 = 2

𝑥23

23

+𝑥−1

−1+ 𝐶 + 𝐶



3. Calcular la integral indefinida:

න𝑥

3𝑥2 + 5𝑑𝑥

Aplicando cambio de variable:

𝑢 = 3𝑥2 + 5 𝑑𝑢 = 6𝑥𝑑𝑥Tenemos que completar el diferencial:

න𝑥

3𝑥2 + 5𝑑𝑥 =

1

6න

6𝑥𝑑𝑥

3𝑥2 + 5

1

6න

6𝑥𝑑𝑥

3𝑥2 + 5=1

6න𝑑𝑢

𝑢

1

6න𝑑𝑢

𝑢=1

6𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 =

1

6𝑙𝑛 3𝑥2 + 5 + 𝐶

න𝑥

3𝑥2 + 5𝑑𝑥 =

1

6𝑙𝑛 3𝑥2 + 5 + 𝐶

4. Resolver la siguiente integral indefinida:

න2𝑥 − 7

𝑥2 − 7𝑥 + 3𝑑𝑥


𝑢 = 𝑥2 − 7𝑥 + 3 𝑑𝑢 = (2𝑥 − 7)𝑑𝑥

න2𝑥 − 7

𝑥2 − 7𝑥 + 3𝑑𝑥 = න

𝑑𝑢

𝑢

න𝑑𝑢

𝑢= 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶

Regresando a la variable en x:

න2𝑥 − 7

𝑥2 − 7𝑥 + 3𝑑𝑥 = ln 𝑥2 − 7𝑥 + 3 + 𝐶

5. Resolver la siguiente integral

indefinida:

න 2𝑥 + 1 3𝑑𝑥


𝑢 = 2𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

1

2න2𝑢3𝑑𝑥 =

𝑢3+1

2(3 + 1)+ 𝐶 =

𝑢4

8+ 𝐶

න 2𝑥 + 1 3𝑑𝑥 =2𝑥 + 1 4

8+ 𝐶


“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-828. Resolver la integral indefinida:

න6

6 − 𝑥 3𝑑𝑥

Aplicando cambio de variable:𝑢 = 6 − 𝑥 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥

−න6 −1 𝑑𝑥

6 − 𝑥 3= −න

6𝑑𝑢

𝑢3= −න6𝑢−3𝑑𝑢

Tenemos que completar el diferencial:

−න6𝑢−3𝑑𝑢 = −6𝑢−3+1

−3 + 1+ 𝐶 = −

6𝑢−2

−2+ 𝐶

න6

6 − 𝑥 3𝑑𝑥 =

3

𝑢2+ 𝐶 =

3

6 − 𝑥 2+ 𝐶

න6

6 − 𝑥 3𝑑𝑥 =

3

6 − 𝑥 2+ 𝐶

6. Resolver la integral indefinida:

න𝑒4𝑥

𝑒2𝑥𝑑𝑥

Aplicando leyes de exponentes:

න𝑒4𝑥

𝑒2𝑥𝑑𝑥 = න𝑒4𝑥−2𝑥𝑑𝑥 = න𝑒2𝑥𝑑𝑥

න𝑒2𝑥𝑑𝑥 =1

2න𝑒2𝑥2𝑑𝑥

Tenemos que completar el diferencial:

Aplicando cambio de variable:𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

1

2න𝑒𝑢𝑑𝑢 =

1

2𝑒𝑢 + 𝐶

න𝑒4𝑥

𝑒2𝑥𝑑𝑥 =

1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

9. Determinar el valor de la siguiente

integral indefinida:

න𝑒3𝑥2𝑥𝑑𝑥


𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑢 = 6𝑥𝑑𝑥Tenemos que completar el diferencial:

න𝑒3𝑥2𝑥𝑑𝑥 =

1

6න𝑒3𝑥

26 𝑥𝑑𝑥

1


1

6𝑒𝑢 + 𝐶

1


1

6𝑒3𝑥

2+ 𝐶

න𝑒3𝑥2𝑥𝑑𝑥 =

1

6𝑒3𝑥

2+ 𝐶



7. El valor de 𝑥3 + 3𝑒𝑥 𝑑𝑥 es:

න 𝑥3 + 3𝑒𝑥 𝑑𝑥 = න𝑥3𝑑𝑥 + 3න𝑒𝑥𝑑𝑥

Aplicando las fórmulas (4 y 7)

න𝑥3𝑑𝑥 + 3න𝑒𝑥𝑑𝑥 =𝑥3+1

3 + 1+ 3𝑒𝑥 + 𝐶

න 𝑥3 + 3𝑒𝑥 𝑑𝑥 =𝑥4

4+ 3𝑒𝑥 + 𝐶


integral:

න2

4

𝑥 + 8 𝑑𝑥

Aplicando formula (2) y (4)

න2

4

𝑥 + 8 𝑑𝑥 =𝑥2

2+ 8𝑥

Evaluando del valor inicial (2) al final (4)

න2

4

𝑥 + 8 𝑑𝑥 =4 2

2+ 8(4) −

2 2

2+ 8 2

න2

4

𝑥 + 8 𝑑𝑥 = 40 − 18 = 22


integral:න1

4

𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥


න1

4

𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3

3− 𝑥2

2

41

4

Evaluando del valor inicial (1) al final (4)

න1

4

𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 =43

3− 42 −

13

3− 12

න1

4

𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 =64

3−48

3−

1

3−3

3

64

3−48

3−

1

3−3

3=16

3+2

3=18

3= 6

න1

4

𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 = 6


“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-8212. Determinar el valor de la siguiente

integral:

න14

34 𝑥

2+ 1 𝑑𝑥


න14

34 𝑥

2+ 1 𝑑𝑥 =

𝑥2

4+ 𝑥 1

4

3

4

න14

34 𝑥

2+ 1 𝑑𝑥 =

34

2

4+3

4−

14

2

4+1

4

Evaluando la integral

9164

+3

4−

1164

+1

4=

9

64+3

4−

1

64+1

4

57

64−

17

64=40

64=5

8 න14

34 𝑥

2+ 1 𝑑𝑥 =

5

8


integral:14. Determinar el valor de la siguiente

integral:න−1

2

𝑒𝑥𝑑𝑥 න1

4

1 𝑒𝑑𝑥

Aplicando formula (7) y evaluando

න−1

2

𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒2 − 𝑒−1

𝑒2 − 𝑒−1 = 𝑒2 −1

𝑒=𝑒3 − 1

𝑒

න−1

2

𝑒𝑥𝑑𝑥 =𝑒3 − 1

𝑒

Aplicando formula (1) y evaluando

1 𝑒 = 1

න1

4

1 𝑒𝑑𝑥 = න1

4

𝑑𝑥 = 𝑥4

1

න1

4

1 𝑒𝑑𝑥 = 4 − 1 = 3

න1

4

1 𝑒𝑑𝑥 = 3


“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-8215. En el cálculo del valor de la siguiente

integral definida existe un error, ¿En cual

paso esta el error?

න−3

3

𝑒𝑥3𝑑𝑥

1.න−3

3

𝑒𝑥3𝑑𝑥

2. 3න−3

3 1

3𝑒13𝑥𝑑𝑥

3. 3𝑒13𝑥

4. 3𝑒 + 3𝑒−1

5. 3 𝑒 +1

𝑒

Debido a que debe ser la

diferencia del valor final

del inicial

16. Calcular la integral definida:

න0

1 𝑥

𝑥 + 1𝑑𝑥

𝑥

𝑥 + 1= 1 −

1

𝑥 + 1

Realizando la división:

න0

1 𝑥

𝑥 + 1𝑑𝑥 = න

0

1

𝑑𝑥 − න0

1 1

𝑥 + 1𝑑𝑥

La integral se puede escribir como:

න0

1 𝑥

𝑥 + 1𝑑𝑥 = 𝑥 − ln 𝑥 + 1

1

0

1 − ln(2) − 0 − 𝑙𝑛 10

න0

1 𝑥

𝑥 + 1𝑑𝑥 = 1 − ln(2)

17. La solución de la integral

0𝜋𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 es:

Aplicando (9)

න0

𝜋

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

18. Hallar la integral definida:

න0

𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝑐𝑜𝑠 0

න0

𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − −1 + 1 = 2

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PRIMERA PARTEMétodo de integración por partes:

La integración por partes es el proceso que se encuentra la integral de un producto de funciones en

términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas, para resolver integrales de esta manera, se ocupa la

siguiente formula:

න𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −න𝑣𝑑𝑢

Para la elección de "u" en la formula, se ocupara la regla "ILATE", la cual representa un orden de

importancia de mayor a menor de acuerdo a la función que se tenga. De acuerdo a los datos de la integral, se

escogerá el termino de mayor importancia como "u" y todo lo demás será "dv"

Inversa

Logarítmica

Algebraica

Trigonométrica

Exponencial


“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-8219. Calcular el valor de:

න1

4

2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥

Solución:

න1

4

2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2න1

4

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥𝑣 = 𝑒𝑥

2න1

4

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑥𝑒𝑥 −න𝑒𝑥𝑑𝑥

1

4

2න1

4

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥1

4

න1

4

2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 4𝑒4 − 𝑒4 − 1𝑒1 − 𝑒1

න1

4

2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 3𝑒4 = 6𝑒4

0

20. Usando el método de integración

por partes, la solución de la 𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠.

Solución:𝑢 = ln(𝑠) 𝑑𝑣 = 𝑑𝑠

𝑑𝑢 =1

𝑠𝑑𝑠 𝑣 = 𝑠

න𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠𝑙𝑛 𝑠 − න𝑠1

𝑠𝑑𝑠

න 𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠𝑙𝑛 𝑠 − න𝑑𝑠

න𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠𝑙𝑛 𝑠 − 𝑠 + 𝐶

න𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠 𝑙𝑛 𝑠 − 1 + 𝐶

21. Resolver 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥. Por el método

de integración por partes.

Solución:𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = sen 𝑥

න𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

න𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − −cos 𝑥 + 𝐶

න𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶



22. Resolver la integral definida:

න0

1

𝑥𝑒𝑥

Solución

න0

1

𝑥𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 −න𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑒𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥

0

1

න0

1

𝑥𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 𝑥 − 10

1

න0

1

𝑥𝑒𝑥 = 𝑒1 1 − 1 − 𝑒0 0 − 1

0 1

න0

1

𝑥𝑒𝑥 = 1

23. Resolver la integral indefinida:

න𝑥2𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥

Solución𝑢 = ln(𝑥)

d𝑢 =1

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥

𝑣 =𝑥3

3

න𝑥2𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3

3𝑙𝑛 𝑥 − න

1

𝑥

𝑥3

3𝑑𝑥

𝑥2


3𝑙𝑛 𝑥 −

1

3න𝑥2𝑑𝑥


3𝑙𝑛 𝑥 −

1

3

𝑥3

3+ 𝐶


3𝑙𝑛 𝑥 −

𝑥3

9+ 𝐶

28. El valor de la integral definida:

න4

6 1

2𝑥 − 8𝑑𝑥

Solución haciendo el cambio de variable

න4

6 1

2𝑥 − 8𝑑𝑥 =

1

2න4

6 2𝑑𝑥

2𝑥 − 8=1

2න4

6 𝑑𝑢

𝑢

𝑢 = 2𝑥 − 8

𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

1

2න4

6 𝑑𝑢

𝑢=1

2න4

6

𝑢−12𝑑𝑥 =

1

2

𝑢12

12

= 2𝑥 − 84

6

න4

6 1

2𝑥 − 8𝑑𝑥 = 2 6 − 8 − 2 4 − 8

0

න4

6 1

2𝑥 − 8𝑑𝑥 = 4 = 2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA

LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES

Identidad Identidad

1) 𝑐𝑠𝑐 𝑥 =1

𝑠𝑒𝑛 𝑥6) 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =

1

2+ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

2) 𝑠𝑒𝑐 𝑥 =1

𝑐𝑜𝑠 𝑥

7) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

3) 𝑐𝑜𝑡 𝑥 =1

𝑡𝑎𝑛 𝑥

8) cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

4) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 9) 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥

5) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =1

2− 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

10) 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2 𝑥

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN (II)

Fórmulas Fórmulas

(1 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑐𝑠𝑐 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡 𝑢 + 𝐶 (6 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶

(2 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑡𝑎𝑛 𝑢 + 𝐶 (7 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐 𝑢 + 𝐶

(3 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 (8 𝑠𝑒𝑛2 𝑢 𝑑𝑢 =1

2𝑢 −

1

4𝑠𝑒𝑛 2𝑢 + 𝐶

(4 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑢 + 𝐶 (9 𝑐𝑜𝑠2 𝑢 𝑑𝑢 =1

2𝑢 +

1

4𝑠𝑒𝑛 2𝑢 + 𝐶

(5 𝑐𝑠𝑐2𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡 𝑢 + 𝐶 (10 𝑡𝑎𝑛2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑢 − 𝑢 + 𝐶



24. Calcular la siguiente integral indefinida:

න𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠2 5𝑥Solución:

න𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠2 5𝑥= න𝑠𝑒𝑐2 5𝑥 𝑑𝑥

1

5න5𝑠𝑒𝑐2 5𝑥 𝑑𝑥 =

1

5𝑡𝑎𝑛2 5𝑥 + 𝐶

𝑢 = 5𝑥 𝑑𝑢 = 5𝑑𝑥

Completando el diferencia y aplicando

la formula (4) :

න𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠2 5𝑥=1

5𝑡𝑎𝑛2 5𝑥 + 𝐶

25. Calcular la siguiente integral definida:

න0

𝜋42𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

Solución:

න0

𝜋42𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = 2න

0

𝜋4𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥

Aplicando identidad trigonométrica (6):

2න0

𝜋4𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = 2න

0

𝜋4 1

2+1

2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

2න0

𝜋4 1

2+1

2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = න

0

𝜋4𝑑𝑥 + න

0

𝜋4𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

න0

𝜋4𝑑𝑥 +

1

2න0

𝜋42𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 +

1

2𝑠𝑒𝑛 2𝑥

0

𝜋

4

Evaluando:

=𝜋

4+1

2𝑠𝑒𝑛

𝜋

2− 0 +

1

2𝑠𝑒𝑛 0

Por lo que:

න0

𝜋42𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =

𝜋

4+1

2

0

Simplificando:

𝜋

4+1

2=𝜋

4+2

4=𝜋 + 2

4

න0

𝜋42𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =

𝜋 + 2

4



26. Resolver la siguiente integral

indefinida:

න𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃

Aplicando identidad trigonométrica (5):

න𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 = න1

2−1

2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃

න1

2−1

2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃 =

1

2න𝑑𝜃 −

1

2න𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃

1

2න𝑑𝜃 −

1

2

1

2න2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃 =

1

2𝜃 −

1

4𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐶

𝑢 = 2𝜃 𝑑𝑢 = 2𝑑𝜃

න𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 =1

2𝜃 −

1

4𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐶

27. La solución de la integral

න𝑡𝑎𝑛𝑥

7𝑑𝑥

Completando el diferencial:

𝑢 =𝑥

7𝑑𝑢 =

1

7𝑑𝑥

7න1

7𝑡𝑎𝑛

𝑥

7𝑑𝑥 = 7න 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢

7න 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − 7ln 𝑐𝑜𝑠𝑥

7+ 𝐶

න 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑙𝑛 cos 𝑢 + 𝐶

Aplicando

DUDAS

http://upiscecyt14.mx/cursons/matematicas.php

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