Electrostática

8.1.- Tipos de cargas eléctricas, principio

de conservación de la carga, formas de

adquirir cargas eléctricas

Tipos de cargas eléctricas: En el siglo XVIII,

Benjamín Frankin formuló una teoría llamada

“teoría del flujo único” en donde determina

que existen tres tipos de carga en los cuerpos:

a) En el que no presentan ningún

comportamiento (neutro).

b) El que recibe cierta cantidad de flujo al ser

frotado, como en el vidrio con la seda

(positivo).

c) El que recibe este flujo al ser frota, caso

del, ámbar con la piel (negativo).

La concepción moderada de la constitución de

la materia nos dice que los átomos son

aglomeraciones de partículas que poseen

cierta carga:

Los electrones poseen carga eléctrica

negativa.

Los protones carga eléctrica positiva.

Los neutrones que no tienen carga

eléctrica.

Toda la materia en su estado normal contiene

la misma cantidad de electricidad positiva y

negativa.

Debido a que los protones y neutrones se

localizan dentro del núcleo del átomo, las

únicas partículas que se pueden desplazar de

un cuerpo a otro son los electrones, por lo que

los átomos, denominados iones, al ganar o

perder electrones queden cargados de la

siguiente manera:

Ion positivo _____________ pierde electrones

Ion negativo _____________ gana electrones

Principio de conservación de la carga

La carga eléctrica neta o algebraica de un

sistema físico (es decir, la suma de sus cargas

negativas menos las positivas), permanece

constante antes y después de cualquier

proceso que tenga lugar en dicho sistema.

Formas de adquirir cargas eléctricas

a) Electrización por contacto:

Se puede cargar un cuerpo con sólo tocarlo

con otro previamente cargado. En este caso,

ambos quedan con el mismo tipo de carga,

es decir, si toco un cuerpo neutro con otro

con carga positiva, el primero también

queda con carga positiva.

b) Electrización por frotamiento

Al frotar dos cuerpos eléctricamente

neutros (número de electrones = número de

protones), ambos se cargan, uno con carga

positiva y el otro con carga negativa.

Si frotas una barra de vidrio con un paño de

seda, hay un traspaso de electrones del

vidrio a la seda.

Si frotas un lápiz de pasta con un paño de

lana, hay un traspaso de electrones del paño

a al lápiz.

c) Electrización por inducción

Un cuerpo cargado eléctricamente puede

atraer a otro cuerpo que está neutro.

Cuando acercamos un cuerpo electrizado a

un cuerpo neutro, se establece una

interacción eléctrica entre las cargas del

primero y el cuerpo neutro.

Como resultado de esta relación, la

redistribución inicial se ve alterada: las

cargas con signo opuesto a la carga del

cuerpo electrizado se acercan a éste.

En este proceso de redistribución de cargas,

la carga neta inicial no ha variado en el

cuerpo neutro, pero en algunas zonas está

cargado positivamente y en otras

negativamente

Decimos entonces que aparecen cargas

eléctricas inducidas. Entonces el cuerpo

electrizado induce una carga con signo

contrario en el cuerpo neutro y por lo tanto

lo atrae.

8.2.- Campo Eléctrico, Líneas de campo

eléctrico, Potencial eléctrico, Ley de

Coulomb, distribución de cargas

eléctricas

Campo Eléctrico

Es toda región del espacio que rodea un

cuerpo cargado (carga fuerte), tal que al

colocar en dicha región una pequeña carga

positiva (carga de prueba) habrá fuerzas que

actúen sobre esta.

Es importante mencionar que el campo

eléctrico es un campo de fuerzas

conservativas.

Líneas de campo eléctrico

Son líneas imaginarias que ayudan a visualizar

cómo va variando la dirección del campo

eléctrico al pasar de un punto a otro del

espacio. Indican las trayectorias que seguiría

la unidad de carga positiva si se la abandona

libremente, por lo que las líneas de campo

salen de las cargas positivas y llegan a las

cargas negativas: Además, el campo eléctrico

será un vector tangente a la línea en cualquier

punto considerado.

Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en:

El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto.

Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas.

El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga.

La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto.

Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campo eléctrico distinto.

A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga puntual.

Intensidad de campo eléctrico: es igual al

cociente de dividir la fuerza (F) que recibe la

carga de prueba entre su valor (q2), cuando la

carga de prueba se coloca en el punto

considerado.

F=fuerza ( N) q2 = valor de la carga fuente © E = Intensidad de campo eléctrico (N/C) K = constante de proporcionalidad , su valor es 9x10 Nm2/C2 r = distancia de la carga al punto donde se quiere calcular la intensidad del campo (m)

𝐸 =𝐹

𝑞2= 𝑘

𝑞2

𝑟2

Por lo tanto

𝐸 = 𝑘𝑞2

𝑟2

Ejemplo

Calcular la intensidad del campo eléctrico de

una carga de prueba de 3x10-8 C que recibe

una fuerza de 7.2x10-10 N.

Datos F= 7.2x10-10 N q2 = 3x10-8 C E = ?

De la fórmula tenemos

𝐸 =𝐹

𝑞2

Sustituimos

𝐸 =7.2x10−10 N

3x10−8 C

𝐸 = 2.4𝑥10−2 𝑁

𝐶

Potencial eléctrico

Potencial eléctrico: es el trabajo que se lleva

a cabo dentro de un campo eléctrico para

hacer pasar cargas eléctricas dentro del

sistema

Potencial en un punto: Es el trabajo

suministrado sobre la unidad de carga para

llevarla desde un punto de energía potencial

cero hasta al punto considerado. Las unidades

de potencial eléctrico son: Volts (V)

V =V W = J q = C

𝑉 =𝑊

𝑞=

𝑞

𝑟

Ejemplo

Calcular el trabajo suministrado sobre la en

una carga eléctrica de 3x10-10 C que produce

2.6x102 V

Datos V =2.6x102 V W = ? q = 3x10-10 C

De la fórmula tenemos

𝑉 =𝑊

𝑞 despejando W

W = Vq Sustituimos W = (2.6x102 V)( 3x10-10 C) W = 7.8 x 10 -8 J

Trabajo en un campo eléctrico: es la cantidad

de energía potencial eléctrica que se

encuentra en el campo eléctrico.

V =V W = J q = C

𝑊 = 𝑞 (𝑉𝑏 − 𝑉𝑎) 𝑊 = 𝑞𝑉

Ejemplo

Calcular la carga que se localiza en un campo

eléctrico en el cual el trabajo es igual a 7.9 J y

la diferencia de potencial del punto inicial es

de 2.4x108 V y el punto final es de 5.3x108 V.

Datos W = 7.9 J Va =2.4x108 V Vb =5.3x108 V q = C

De la fórmula 𝑊 = 𝑞 (𝑉𝑏 − 𝑉𝑎) Despejar “ q”

𝑊 =𝑊

𝑉𝑏 − 𝑉𝑎

𝑊 =7.9 𝐽

5.3𝑥108 − 2.4𝑥108

W = 2.7x10-8 C

Ley de Coulomb

En el siglo XVIII el físico francés Charles Agustín Coulomb, estudió la interacción eléctrica entre las partículas cargadas.

La fuerza con que se atraen o repelen dos cuerpos cargados, es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Su expresión matemática es:

𝐹 = 𝐾𝑞𝑞´

𝑟2

Dónde:

F = es la fuerza atractiva o repulsiva, expresada en(N).

q y q' = son las cargas de ambos. Cuerpos expresados en (C).

r = es la distancia entre ellos (de centro a centro si son esféricos) expresados en (m).

K = es una constante de proporcionalidad que depende del medio en el que estén inmerso los cuerpos = 9x109 Nm2/C2

Ejemplo

1.- Tienen dos esferas cargadas

eléctricamente con 410-8 C y 2.3x10-7 C

respectivamente y están separadas 35 cm en

el aire. Calcular la fuerza eléctrica de

atracción entre ellas.

Datos q = 410-8 C q´= 2.3x10-7 C r = 35 cm = 0.35m K = 9x109 Nm2/C2 F = ?

De la fórmula de la Ley de Coulomb

𝐹 = 𝐾𝑞𝑞´

𝑟2

Sustituimos

𝐹 = 9𝑥109𝑁𝑚2/𝐶2(4𝑥10−8𝐶)(2.3𝑥10−7𝐶)

(0.35𝑚)2

𝐹 = 6.85375𝑥10−2𝑁

2.- La fuerza entre dos carga de 6x10-6C es de

0.8 N ¿Cuál es la distancia de separación entre

las cargas?

Datos q = 6x10-6C q´= 6x10-6C C r = ? K = 9x109 Nm2/C2 F = 0.8N

De la fórmula de la Ley de Coulomb

𝐹 = 𝐾𝑞𝑞´

𝑟2 despejar r

𝑟 = √𝐾𝑞𝑞´

𝐹

Sustituimos

𝑟 = √9𝑥109𝑁𝑚2/𝐶2(6𝑥10−6𝐶)(6𝑥10−6𝐶)

0.8𝑁

𝑟 = √324𝑥10−3

0.8𝑁 𝑚2

𝑟 = 0.739 𝑚

Carga puntual: El término carga puntual hace

referencia a una partícula de tamaño

despreciable (cero) que es portadora de una

carga eléctrica.

El comportamiento eléctrico de protones y

electrones está bien descrito si uno las

modela como cargas puntuales

Distribución de cargas eléctricas

Distribuciones continúas de carga

La carga eléctrica no se presenta siempre

como una carga puntual. En la mayoría de

ocasiones la carga (aunque de naturaleza

discreta) se presenta como una distribución

continua de carga a lo largo de una línea, en

una superficie o en un volumen.

El cálculo de la intensidad de campo se puede

realizar de una manera sencilla si la

distribución tiene una gran simetría.

Campo creado por una distribución esférica

homogénea de carga:

Distribuciones discretas de carga

Cuando tenemos una única carga puntual, la expresión del campo resulta entonces ser:

𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝑄

𝑟2 𝑢𝑟

Para un conjunto de cargas puntuales, que se conoce como distribución discreta de cargas, la suma vectorial produce un campo que, como consecuencia del principio de superposición, viene dado por:

𝐸 =1

4𝜋𝜀0 ∑

𝑄𝑖

𝑟𝑖2

𝑛

𝑖= 1

𝑢𝑟𝑖

Distribuciones continúas de carga

En muchas situaciones no se tienen

distribuciones discretas de carga, sino que los

puntos donde se encuentran las cargas están

tan próximos entre sí que puede suponerse

que se trata de una distribución continúa de

cargas.

8.3.- Conductores, semiconductores,

superconductores y aislantes.

Conductores: Son materiales que facilitan el

paso de la electricidad, debido a que tienen

una gran cantidad de electrones libres. Todos

los metales son buenos conductores,

principalmente la plata, cobre, oro y el

aluminio.

Semiconductores: En este caso, los

semiconductores cuentan con una barrera

que no deja pasar la corriente eléctrica, es

necesario aplicarles un cierto voltaje para

romper esa barrera y comenzar la

conducción, al dejarla pasar la corriente

viajara en un solo sentido sin poder ir en

sentido contrario. El elemento más utilizado

en la actualidad para fabricar componentes

semiconductores es el silicio (Si).

Superconductores: Estos son materiales que

al pasar por ellos corriente eléctrica no

generan perdida de energía ni crean

resistencia, incluso estando a temperatura

cero. Permiten la transferencia de energía, sin

generar un gasto energético. La cantidad de

electrones es finita, por lo tanto hay un límite

de corriente eléctrica que pueden soportar.

Aislantes: Sustancias que son malos

conductores ofrecen gran oposición al paso

de corriente eléctrica; lo más comunes son:

vidrio, hule, cera, etc.

8.4.- Densidad de flujo, lineal, superficial,

volumétricas, Ley de Gauss.

Densidad de flujo

Se llama densidad de flujo a la cantidad de

carga eléctrica por unidad de longitud, área o

volumen que se encuentra sobre una línea,

una superficie o una región del espacio,

respectivamente. Por lo tanto se distingue en

estos tres tipos de densidad de carga.

λ = densidad de carga lineal

σ = densidad de carga superficial

ρ = densidad de carga volumétrica.

Puede haber densidad de flujo tanto positivo

como negativo. No se debe confundir con la

densidad de portadores de carga

Lineal

Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.

λ =𝑄

𝐿

Dónde:

λ = densidad de carga lineal

Q = es la carga encerrada en el cuerpo

L = es la longitud

En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se mide en C/m (culombios por metro).

Superficial

Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metálica delgada como el papel de aluminio.

𝜎 =𝑄

𝑆

Dónde:

σ = densidad de carga superficial

Q = es la carga encerrada en el cuerpo

S = es la superficie

En el SI se mide en C/m2 (culombios por metro cuadrado).

Volumétricas

Se emplea para cuerpos que tienen volumen.

ρ =𝑄

𝑉

Dónde:

ρ = densidad de carga volumétrica.

Q = es la carga encerrada en el cuerpo

V= el volumen.

En el SI se mide en C/m3 (culombios por metro cúbico)

Ley de Gauss.

“El flujo eléctrico a través de una superficie

cerrada (superficie gaussiana) es proporcional

a la carga neta encerrada por la superficie.”

El modelo matemático de la ley de Gauss representa una de las ecuaciones más importantes del electromagnetismo. Esta permite calcular fácilmente el campo eléctrico generado por una distribución de carga que posea simetría, como por ejemplo: una carga puntual, una línea de carga, un plano cargado, un cilindro o una esfera de carga, etc.

Matemáticamente:

ɸ𝐸 = 𝑞

Ɛ0

Dónde:

ɸ𝐸 = flujo eléctrico, medido en 𝑁𝑚2

𝐶

q = carga encerrada por la superficie

gaussiana, medida en C.

Ɛ0 = constante de proporcionalidad llamada

permisividad eléctrica, cuyo valor para el aire

o vacío es Ɛ0 = 8.85X10-12 𝐶

𝑁𝑚2

Para aplicar la Ley de Gauss a un problema

particular debemos seguir los siguientes

pasos:

1.- A partir de la simetría de la distribución

de carga, determinar la dirección del campo

eléctrico E.

2.- Elegir una superficie cerrada apropiada

para calcular el flujo.

3.- Determinar la carga que hay en el interior

de la superficie cerrada.

4.- Aplicar el modelo matemático de la ley de

Gauss y despejar la magnitud del campo

eléctrico.

Ejemplo

1.- Una superficie cuadrada plana de 0.30m

de lado se pone en una región de campo

eléctrico uniforme cuya magnitud es igual a

72.1 N/C. la normal a la superficie forma un

ángulo de 42° con la dirección del campo

eléctrico.

¿Cuál es el flujo eléctrico a través de la

superficie?

Sea A el área de la superficie cuadrada plana,

y Ɵ el ángulo entre el campo eléctrico y el

vector A

Si tenemos que el área

A = l2 = (0.30m)2 =0.09 m2

Datos A = 0.09 m2 Eu = 72.1 N/C Ɵ = 42°

De la definición de flujo eléctrico:

ɸ𝐸 = 𝐸𝑢𝐴 = 𝐸𝑢 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 Sustituimos

ɸ𝐸 = (72.1𝑁

𝐶) (0.09𝑚2)𝑐𝑜𝑠42°

ɸ𝐸 = 4.82𝑁𝑚2

𝐶

2.- Una esfera de 5cm de radio tiene una carga

de 4µC en una superficie. ¿Cuál es la

intensidad del campo eléctrico a 2cm fuera de

la esfera?

Llamemos R al radio de la esfera y r al radio de

la superficie gaussiana. Observa en la figura

que r = 7cm es decir 2cm mayor que el radio

de la esfera

Datos

R = 5cm = 0.05m

r = 7cm = 0.07m

q = 4µC

De la ley de Gauss:

ɸ𝐸 = 𝑞

𝜀0

Por la simetría del problema

ɸ𝐸 = 𝐸𝐴𝑠𝑔

Donde E es la magnitud del campo eléctrico

sobre la superficie gaussiana y 𝐴𝑠𝑔 es el área

Superficie Gaussiana

de la misma. De esta manera, la ley de Gauss

queda como:

𝐸𝐴𝑠𝑔 = 𝑞

𝜀0

Despejando E de la ecuación anterior:

𝐸 = 𝑞

𝜀0𝐴𝑠𝑔

El área de la superficie gaussiana (esfera)

𝐴𝑠𝑔 = 4𝜋𝑟2

Sustituyendo en la anterior ecuación:

𝐸 = 4𝑥10−6𝐶

(8.85𝑥10−12 𝐶2

𝑁𝑚2)(4𝜋)(0.07𝑚2)

𝐸 = 7.34 𝑥106 𝑁

𝐶

8.5.- Energía potencial eléctrica,

diferencia de potencial, Capacitancia

Energía potencial eléctrica: se denomina al

trabajo necesario para mover una carga de un

punto a otro dentro de un campo eléctrico.

Diferencia de potencial

Concepto de la diferencia de potencial a

entre dos puntos cualesquiera, producidos

por una carga puntual: es el trabajo

suministrado para traer a la unidad de carga

puntal de un punto cero (a), hasta un segundo

punto considerado (b).

V = diferencia de potencial (V) W = Trabajo ( J) q = carga puntual (C)

𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =𝑊𝑎𝑏

𝑞

𝑉 =𝑊

𝑞

Ejemplo

Calcular la diferencia de potencial que se

genera en una carga puntual de 6.2x10-9 C

que se desplaza con una fuerza de 67 N y la

distancia es de 2 cm.

Datos

q = 6.2x10-9 C

F = 7.9 J

r = 2cm = 0.02m

V = ?

En este tipo de problemas hay que calcular el

trabajo,

W = Fd

W = (7.9 J)( 0.02m)

W = 1.34 J

Se determina la diferencia de potencial

tomando en cuenta que parte del punto cero

la carga.

𝑉 =𝑊

𝑞

𝑉 =1.34 𝐽

6.2 𝑥 10−9𝐶

V = 2.16x108 V

Capacitancia

La capacitancia es la propiedad de un circuito

eléctrico de oponerse al cambio en la

magnitud de tensión a través del circuito.

También capacitancia se refiere a la

característica de un sistema que almacena

carga eléctrica entre sus conductores y un

dieléctrico, almacenando así una energía en

forma de campo eléctrico. Este dispositivo se

le denomina Capacitor y su símbolo eléctrico

es:

𝐶 =𝑄

∆𝑉

𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 =𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏

𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜

La energía que almacena está dada por:

Wc = 1

2 CV2

Capacitores en paralelo

Qtotal = Q1 + Q2 Q1 = C1V

Q2 = C2V Q = Ceq V

Ceq = C1 + C2 + C3 +……….

Capacitores en serie

Q = Q1 = Q2

V = V1 = V2

Q = CV

1

𝐶𝑒𝑞 +

1

𝐶1+

1

𝐶2+

1

𝐶3… … ..

Ejemplo

1.- Encuentre la capacitancia equivalente de

la combinación de condensadores que se

muestra en el siguiente circuito

En la imagen observamos 5 capacitores o

condensadores que están conectados tanto

en serie como en paralelo. Para que podamos

encontrar la capacitancia equivalente

debemos aprender que los capacitores que

están seguidos uno de otro están en serie, tal

como el capacitor de 7μF y el 6μF, por lo que

lo podemos sumar.

a) Sumando capacitores en serie de 7μF y de

6μF

Si los capacitores están en serie, se suman de

la siguiente forma:

1

𝐶𝑒𝑞=

1

𝐶1+

1

𝐶2

1

𝐶7,6=

1

7µ𝐹+

1

6µ𝐹= 0.14 + 0.16 = 0.3µ𝐹

Es decir:

1

𝐶7,6= 0.3µ𝐹

Invirtiendo la igualdad:

𝐶7,6 = 3.33µ𝐹

b) Sumando capacitores en paralelo de 2μF ,

10μF y 3.33μF

Después de haber sumado en serie,

obtenemos tres capacitores en serie, y para

sumar en serie es muy fácil. Solamente

sumamos:

𝐶2,10,3.33 = 2µ𝐹 + 10µ𝐹 + 3.33µ𝐹

𝐶2,10,3.33 = 15.33µ𝐹

Es decir que la suma de los tres capacitores en

paralelo es de 15.33μF

c) Sumando capacitores en serie de 15.33μF

y 9μF

Finalmente nos queda sumar dos resistencias

en serie, una de 15.33μF y de 9μF. Para ello

aplicamos la suma de capacitores en serie:

1

𝐶𝟏𝟓.𝟑𝟑,9=

1

15.33µF +

1

9µ𝐹

1

𝐶𝟏𝟓.𝟑𝟑,9= 0.065 + 0.11

Es decir:

1

𝐶𝟏𝟓.𝟑𝟑,9= 0.17µ𝐹

Invirtiendo la igualdad:

𝐶𝟏𝟓.𝟑𝟑,9 =1

0.176µF

𝐶𝟏𝟓.𝟑𝟑,9 = 5.68µF

Es decir que la capacitancia final es de 5.68μF

2.- De acuerdo a la conexión mostrada en el

diagrama, a) la capacitancia equivalente, b) la

diferencia de potencial de cada capacitor, c) la

carga depositaba en cada capacitor, d) la

carga total almacenada por los capacitores.

Solución:

Si analizamos el diagrama, nos damos cuenta

que se tratan de capacitores conectados en

paralelo, dicho arreglo de capacitores están

alimentados por una diferencia de potencial

de 130 Volts, ahora es momento de resolver

cada inciso.

a) Obtener la capacitancia equivalente

Observemos que los capacitores están en

paralelo, por lo tanto la capacitancia

equivalente se calcula con su fórmula:

Ceq = C1 + C2 + C3

Sustituyendo el valor de cada capacitor en la

fórmula:

Ceq = 4pF + 5 pF + 8pF = 17 pF

Por lo que la capacitancia equivalente es

de 17pF

b) Obtener la diferencia de potencial de cada

capacitor o condensador

Al ser una conexión en paralelo, la diferencia

de potencial de cada capacitor es la misma a

la de la fuente. Es decir, que los tres

capacitores tendrán una diferencia de

potencial igual a 130 Volts. Por lo tanto:

V1 = 130 V

V2 = 130 V

V3 = 130 V

Por lo que la diferencia de potencial en todos

los condensadores es de 130 Volts

c) La carga en cada capacitor o condensador

A diferencia de la conexión en serie, en la

conexión en paralelo la carga se calcula de

forma individual. De la siguiente manera:

Q = VC

Ahora calculemos la carga del primer

capacitor:

Q1 = VC1 = (130V)(4x10-12F)

Q1 = 520×10-12 C

Ahora lo hagamos con el segundo capacitor:

Q2 = VC2 = (130V)(5x10-12F)

Q2 = 650x10-12 C

Y finalmente obtenemos el valor de la carga

del tercer capacitor:

Q3 = VC3 = (130V)(8x10-12F)

Q3 = 1040x10-12 C

d) La carga total almacenada por los

capacitores

Para obtener este último valor, simplemente

sumamos todas las cargas.

Q = Q1 + Q2 + Q3

Esto nos daría el siguiente valor

Q = 520×10-12 C + 650x10-12 C

+ 1040x10-12 C

Q = 2210x10-12 C

Qué también lo podemos escribir de esta

forma:

Q = 2210x10-12 C = 2.21x10-9 C = 2.21nC

Nota:

Si multiplicamos la capacitancia equivalente

por la diferencia de potencial total

obtendremos el mismo resultado de la carga

total.

Q = CeqV = (17x10-12 C)(130V)

Q = 2210x10-12 C