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UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL

CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR

MATERIA: MATEMÁTICAS

“Línea recta,

Circunferencia y Parábola”

LÍNEA RECTAAntecedentes:

Línea recta: Se llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos

puntos diferentes cualesquiera 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 del lugar, el valor de la pendiente

𝑚 calculado por:

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Con 𝑥1 ≠ 𝑥2 resulta siempre constante.

ECUACIONES DE LA LÍNEA RECTA

Tipo de ecuación de la línea recta: Expresión:

Ecuación de la línea recta que pasa por dos

puntos. Datos: 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃2 𝑥2, 𝑦2𝑦 − 𝑦1 =

𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

𝑥 − 𝑥1

Ecuación de la línea recta punto-pendiente.

Datos: 𝑚 𝑦 𝑃1 𝑥1, 𝑦1

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

Ecuación de la línea recta pendiente

ordenada al origen. Datos 𝑚 𝑦 𝑏𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Ecuación simétrica de la línea recta.

Datos: 𝑎 𝑦 𝑏.

𝑥

𝑎+𝑦

𝑏= 1

Ecuación en forma general de la línea recta.

Datos: 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶.𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Tipos de ecuaciones de la línea recta de acuerdo a la información proporcionada:

CONDICIONES PARA LÍNEAS RECTAS

PARALELAS Y PERPENDICULARES

Para que dos líneas rectas sean paralelas

se cumple:

Para que dos líneas rectas sean perpendiculares

se cumple:

𝑚1 = 𝑚2

𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, PUNTO MEDIO, PUNTO DADO

UNA RAZÓN, DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA LÍNEA RECTA.

Las siguientes expresiones son empleadas en geometría para:

En que se emplea la expresión: Expresión:

Distancia entre dos puntos.

Datos: 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃1 𝑥2, 𝑦2𝑑𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1

2 + 𝑦2 − 𝑦12

Punto Medio:

Datos: 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃1 𝑥2, 𝑦2𝑃𝑚 =

𝑥1 + 𝑥22

,𝑦1 + 𝑦2

2

Punto dado una razón:

Datos: 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃1 𝑥2, 𝑦2 y la razón

"𝑟"

𝑃𝑟 =𝑥1 + 𝑟 ∙ 𝑥21 + 𝑟

,𝑦1 + 𝑟 ∙ 𝑦21 + 𝑟

Distancia de un punto a una línea recta.

Datos: 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0𝑑𝑙𝑝 =

𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶

𝐴2 + 𝐵2

EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:

“GEOMETRÍA ANALÍTICA” PAGINAS 52-54

1.- Determinar la distancia del punto (2,4) a la recta con ecuación: 2𝑦 =2

3𝑥 − 6 + 3

Solución:

Debemos aplicar la expresión: 𝑑𝑙𝑝 =𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶

𝐴2 + 𝐵2

Por lo que debemos escribir la

ecuación de la línea recta de forma

general2𝑦 =

2

3𝑥 − 6 + 3

2𝑦 − 3 =2

3𝑥 − 6

3 2𝑦 − 3 = 2 𝑥 − 6

6𝑦 − 9 = 2𝑥 − 12

2𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0

Sustituyendo:

𝑑𝑙𝑝 =2 2 − 6 4 − 3

22 + −6 2

𝑑𝑙𝑝 =4 − 24 − 3

22 + −6 2

𝑑𝑙𝑝 =23

40=

23

4 × 10

𝑑𝑙𝑝 =23

4 × 10=

23

2 10



2.- Calcular las coordenadas del punto 𝑃 𝑥0, 𝑦0 que divide al segmento con extremos

𝐴 3,5 𝑦 𝐵(8,6) en la razón de 2

3de manera que P este mas próximo a A.

Solución:

Debemos aplicar la expresión: 𝑃𝑟 =𝑥1 + 𝑟 ∙ 𝑥21 + 𝑟

,𝑦1 + 𝑟 ∙ 𝑦21 + 𝑟

𝐴 3,5 𝑦 𝐵 8,6

𝐴 𝑥1, 𝑦1 𝑦 𝐵 𝑥2, 𝑦2

𝑃𝑟 =3 +

23 ∙ 8

1 +23

,5 +

23 ∙ 6

1 +23

𝑃𝑟 =3 +

163

53

,5 +

123

53

=

25353

,

27353

= 5,27

5

𝑃𝑟 = 5,27

5



4.- Calcular las coordenadas del punto medio del segmento con extremos 𝐴 3,5 𝑦 𝐵(5,6)

Solución:

Debemos aplicar la expresión:

𝑃𝑚 =𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2

𝐴 3,5 𝑦 𝐵 5,6

𝑃𝑚 =3 + 5

2,5 + 6

2

𝑃𝑚 = 4,11

2



6.- Determinar la ordenada del punto A(4,y), que permite que la distancia del punto A al

punto B(1,3) sea de 5 unidades.

Solución:

Debemos aplicar la expresión:

𝑑𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2

𝐴 4, 𝑦 𝑦 𝐵 1,3

Sustituyendo:

con: 𝑑𝐴𝐵 = 5

5 = 1 − 4 2 + 3 − 𝑦 2

52 = −3 2 + 3 − 𝑦 2

3 − 𝑦 2 = 25 − 9 = 16

3 − 𝑦 2 = 16

3 − 𝑦 = ∓4

𝑦 = 7



7.- Calcular el área de un triangulo rectángulo formado por los puntos: 𝐴 −10,3 , 𝐵(−10,−2)

𝑦 𝐶(2,−2)

Solución: Graficamos el triangulo para obtener la base y la altura

𝐵𝑎𝑠𝑒 = 𝑑𝐵𝐶 = 12

Como se observa es un triangulo

rectángulo, donde:

𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑑𝐴𝐵 = 5

Á𝑟𝑒𝑎 =𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2=12 × 5

2

Á𝑟𝑒𝑎 = 30



13.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: 𝐴 5,−2 𝑦 𝐵(−3,1)

Solución: Empleando: 𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

𝑥 − 𝑥1

𝐴 5,−2 𝑦 𝐵(−3,1)

𝐴 𝑥1, 𝑦1 𝑦 𝐵(𝑥2, 𝑦2)

𝑦 − −2 =1 − −2

−3 − 5𝑥 − 5

𝑦 + 2 = −3

8𝑥 − 5

𝑦 = −3

8𝑥 +

15

8−16

8

𝑦 = −3

8𝑥 +

15

8−16

8

𝑦 = −3

8𝑥 −

1

8

CIRCUNFERENCIACircunferencia: Es el lugar geométrico de todos los puntos del

plano de tal forma que la distancia a un punto llamado centro sea

constante.

(1) Ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

(II) Ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C(h,k)

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

(III) Ecuación general de la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

Dato: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎Obtener: 𝑪 𝒉, 𝒌 𝒚 "𝒓"

Dato: 𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐

Obtener: 𝑫,𝑬 𝒚 𝑭

ℎ = −𝐷

2

𝐷 = −2ℎ

𝑘 = −𝐸

2

𝐸 = −2𝑘

𝑟2 =𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹

4𝐹 =

𝐷2 + 𝐸2 − 4𝑟2

4



18.- Determinar el radio de la circunferencia con ecuación: 𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑥 + 7𝑦 + 1 = 0

Solución: Empleando 𝑟2 =𝐷2+𝐸2−4𝐹

4

𝑟2 =5 2 + 7 2 − 4 1

4

Sustituyendo D=5, E=7 y F=1

𝑟2 =25 + 49 − 4

4=70

4=35

2

𝑟2 =25 + 49 − 4

4=70

4=35

2𝑟 =

35

2



20.- Encontrar el valor del parámetro “k” para que la ecuación : 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 9𝑦 + 𝑘 = 0tenga radio igual a 10 unidades.

Solución: Empleamos: 𝐹 =𝐷2+𝐸2−4𝑟2

4

𝑘 =82 + 92 − 4 100

4=64 − 81 − 400

4

Sustituyendo: 𝐷 = 8, 𝐸 = 9 𝑦 𝑟2 = 100

𝑘 = −255

4



22.- Determinar las coordenadas del centro de la circunferencia con ecuación:

𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0Solución:

Empleamos ℎ = −𝐷

2y 𝑘 = −

𝐸

2

ℎ = −3

2

𝑘 = −(−2)

2= 1

𝐶(ℎ, 𝑘) = −3

2, 1



24.- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0,0)

y (0,2) y tiene por centro de la coordenada C(5,1)Solución: Graficamos los puntos por los cuales pasa la circunferencia, aplicamos la definición

donde la distancia al centro de cualquier punto de la circunferencia es el radio.

𝑟2 = 5 − 0 2 + 1 − 0 2 = 26𝐶 5,1 𝑦 𝑃1(0,0)

𝐷 = −2ℎ, E = −2𝑘 𝑦 𝐹 =𝐷2 + 𝐸2 − 4𝑟2

4

Empleando:

𝐷 = −2 5 = −10, E = −2 1 = −2

𝐹 =−10 2 + −2 2 − 4 26

4= 0 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 2𝑦 = 0

Por lo que la ecuación de la

circunferencia es:

PARÁBOLA

Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cartesiano de tal

forma que la distancia de cualquier punto 𝑃0 a un punto fijo llamado foco 𝐹es la misma del punto 𝑃0 a una recta fija ℒ llamada directriz.

Distancia focal (p): de acuerdo con su valor me indica

si la parábola es ancha o angosta y de acuerdo al signo

como abrirá la parábola

Lado Recto: Es el segmento de recta que pasa por el

foco y es paralelo a la directriz y mide 4 veces la

distancia focal LR=4p.

Directriz: Es una línea recta perpendicular al eje focal

que se ubica a una distancia focal (p) del vértice y

fuera de los brazos de la parábola.

CASOS DE LA PARÁBOLAa) b)

c)d)

𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘𝑉(ℎ, 𝑘)

𝑥2 = 4𝑝𝑦

𝑦 = −𝑝

𝑦 = 𝑘 − 𝑝

𝑥2 = −4𝑝𝑦

𝑦 = 𝑝

𝑉(ℎ, 𝑘)

𝑥 − ℎ 2 = −4𝑝 𝑦 − 𝑘

𝑦 = 𝑘 + 𝑝

𝑦2 = 4𝑝𝑥

𝑥 = −𝑝

𝑉(ℎ, 𝑘)

𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ

𝑥 = ℎ − 𝑝

𝑦2 = −4𝑝𝑥

𝑥 = 𝑝

𝑉(ℎ, 𝑘)

𝑦 − 𝑘 2 = −4𝑝 𝑥 − ℎ

𝑥 = ℎ + 𝑝



27.- Se disparo un proyectil que sigue una trayectoria parabólica que se modela

con la ecuación 2𝑥2 − 4𝑥 − 3 = −𝑦. Determinar las coordenadas del punto mas

alto que alcanzo el proyectil.

Solución: Se completa el trinomio

cuadrado perfecto:2𝑥2 − 4𝑥 = −𝑦 + 32 𝑥2 − 2𝑥 = −𝑦 + 3

𝑥2 − 2𝑥 = −𝑦

2+3

2Completando el Trinomio

𝑥 − 1 2 − 12 = −𝑦

2+3

2

𝑥 − 1 2 = −𝑦

2+3

2+2

2

𝑥 − 1 2 = −1

2𝑦 − 5

Por lo que las coordenadas del Vertice que es el

punto mas alto de la parábola.

𝑉(1,5)

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