Sesion 05 - Estadistica en senales

Estadística en señales

Señales y Sistemas

Agenda

• Media y desviación estándar

• SNR: Relación señal ruido

• Proceso subyacente

• Histogramas

• Función de probabilidad

• Precisión y Exactitud

IntroducciónNumero

discreto de elementos

X: MuestrasY: Valores

Media

• Se representa con la letra griega µ. Es igual al promedio del valor de la señal

Valor medio de la señal en el tiempo. Nos da una idea de los valores que toma la señal si esta no varía demasiado. Las señales por lo general varían mucho. Por tal motivo se usa en conjunto con la desviación estándar

Media

• MatLab• Suponga que tiene una señal x que contiene 256

muestras

media=0;for i=1:256media = media+x(i);

end;media=media/256;media

Media

• MatLab

• Suponga que tiene una señal x que contiene 256 muestras

media = sum(x)/256;

Versión eficiente

Desviación estándar

• La desviación estándar es una medida de cuanto una señal varía alrededor de su media

• Se representa con la letra griega σ


• Si obtenemos el valor absoluto de la resta entre la muestra y la media obtendríamos una medida de cómo varía la señal (|xi- µ|)

• Si promediamos estos resultados obtenemos la desviación promedio

• La desviación promedio no es muy utilizada en estadística de señales No nos interesa la amplitud de la desviación sino la potencia


• La desviación estándar se calcula promediando la potencia de desviación

• Para calcular la potencia se eleva al cuadrado la amplitud Luego se toma la raíz cuadrada para compensar

Ejemplos

Ejemplos

• Relaciones entre Vpp y σ en señales comunes


• MatLab

• Suponga que tiene una señal x que contiene 256 muestrasdesv_standar=0;

for i=1:256

desv_standar = desv_standar + (x(i)-media)^2;

end;

desv_standar=desv_standar/(256-1);

desv_standar

Media

• MatLab

• Suponga que tiene una señal x que contiene 256 muestras

desv_standar = sum((x-media).^2)/(256-1);

Versión eficiente

Cálculo sobre la marcha

• Otra manera de calcular es sobre la marcha:

Más eficiente computacionalmente. Evita los problemas de

presición

Ejemplo

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• Histogramas



SNR: Relación señal ruido

• Las señales naturales y artificiales normalmente están contaminadas con ruido.

• La “pureza” de una señal se mide comparando la potencia que tiene la señal con la potencia que tiene el ruido.

• A esta medida la conocemos como el SNR (Signal to Noise Ratio)


• Formula:

• Viene expresada normalmente en decibeles (manera de expresar potencia o relaciones de potencia)

• Los decibeles son una escala logarítmica

ruidoPotencia

señalPotenciaSNR

_

_


• SNR(Decibeles)

ruidoPotencia

señalPotenciadBSNR

_

_log10)( 10


• Formula en Decibeles: 30 dB

30 =10 log10

Potencia_ señal

Potencia_ ruido

3 = log10

Potencia_ señal

Potencia_ ruido

103 =Potencia_ señal

Potencia_ ruido

Potencia_ señal =1000xPotenia_ ruido

Re lacion(1:1000)

Equipos de audio

profesional > 90dB

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• Histogramas



Proceso subyacente

• La señal adquirida y el proceso subyacente que la genera no son la misma cosa

• Generalmente cuando se mide una señal se introduce un error inevitable

• Llamamos a esta variación aleatoria variación estadística o ruido estadístico

Proceso subyacente

• Existe una diferencia entre la media y la desviación estándar de la señal y la del proceso

• Si N es pequeño el valor del error es grande. No hay suficientes datos como para representar el proceso

• En qué momento el error tiende a 0?

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• Histogramas



Histogramas

• Una manera de representar una señal• Si tomamos una señal digitalizada a 8 bits (256

posibles valores)• Podemos graficar la cantidad de muestras que

tienen un valor determinado

Histogramas

• Que tal si tomamos más muestras

• La función hist de MatLab permite dibujar el histograma de una señal

Utilidad de los histogramas

• Nos ayudan a visualizar el comportamiento de la señal

• Nos ayudan a calcular más rápidamente la media y la desviación estándar

El numero de todos los valores del

histograma es el numero de muestras

en la señal

Utilidad de los histogramas

• Nos ayudan a visualizar el comportamiento de la señal

• Nos ayudan a calcular más rápidamente la media y la desviación estándar

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• Histogramas



Funciones de probabilidad

• Es el histograma pero del proceso subyacente.

• Considera la probabilidad de ocurrencia

• Un histograma se calcula con un número finitode muestras

• Una función de probabilidad (Probability MassFunction PMF) se debe calcular con un numero infinito de muestras

• Se puede inferir del histograma o calcular por métodos analíticos.


Probabilidad de ocurrencia

Ni/N


• La función de probabilidad determina la probabilidad de que un valor sea generado por el proceso

• Si hablamos en el ámbito de lo continuo la función de probabilidad se convierte en la función de distribución.


• Cuál será la Función de Probabilidad de:

– Señal cuadrada

– Señal triangular

– Ruido aleatorio


• Función cuadrada


• Función triangular


• Ruido aleatorio

Campana de Gauss


• Cuando el número de valores es muy grande se utilizan intervalos

• Esto es muy frecuente cuando se utilizan números de punto flotante para representa la señal

• Hay que tener cuidado de elegir un numero adecuado de intervalos


Poca resolución

verticalPoca

resolución horizontal

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• Histogramas



Precisión y exactitud

• Cuando medimos una señal queremos que esta esté lo mas cerca posible de su valor real

• Varios factores impiden que el valor medido y real sean iguales

• Cuando tomamos una medición debemos tener presentes los conceptos de precisión y exactitud


• Cuando tomamos una medición los valores medidos tienen una distribución normal (teorema del límite central)

• La media ocurre en la mitad de la distribución y representa el mejor estimado del valor real.

• La desviación estándar nos indica cual es el ancho de esta distribución normal


• Problemas en la calibración del aparato de medición hacen que todas las mediciones estén desviadas en cierto valor

• Si tomamos en cuenta estos dos errores podemos dar una definición de precisión y exactitud


• La diferencia entre la media de la medición y el valor real se conoce como Exactitud de la medición

• El ancho de la distribución normal de valores se conoce como Precisión y se representa generalmente con la desviación estándar.


• Si la medición es exacta pero poco precisa, el histograma esta centrado en el valor verdadero pero es muy ancho

• La baja precisión es el resultado de los errores aleatorios

• Se corrige tomando más muestras

• La precisión es una medida del error aleatorio


• Si la medición es precisa pero poco exacta, el histograma es delgado, pero no esta centrado en el valor verdadero

• La baja exactitud es el resultado de los errores sistemáticos

• Se corrige calibrando el sistema

• La exactitud es una medida del error de calibración


• Si se desea saber que tipo de error es hay que preguntar:

• ¿Se puede mejorar tomando más muestras?

– Si entonces Precisión

– No entonces Exactitud

Próxima clase

• Digitalización de señales

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