Estadistica at 2015 Sesion 6b

28

Distribuciones muestrales

Conceptos.

29

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE ESTADSTICOS

ESTADSTICOS V.A. DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

La distribucin muestral de un estadstico puede ser obtenida

tomando todas las posibles muestras de un tamao fijo n,

calculando el valor del estadstico para cada muestra y

construyendo la distribucin de estos valores.

Por ejemplo:

XX

Estadstico muestralTomando todas las muestras posibles

de tamao n y calculando para cada

una de ellas la

distribucin muestral de la media muestral

S2 distribucin muestral de la varianza muestral

X

30

X ni

X= n de horas de apertura de tiempo9

10

12

14

1

2

1

1

5

1

9 1 10 2 12 1 14 111

5i

i

x x x xxx N

Por trmino medio estn abiertas 11 horas

2 2 2 2 22 2

( ) (9 11) (10 11) 2 (12 11) (14 11) 163.2

5 5

i x

x

x x

N

31

Si tomamos muestras de tamao n=3?

Y calculamos la

Distribucin muestral de la media x

32

muestras x

123

141012

ix

12,10,14

12,10,9

12,10,10

12,14,9

12,14,10

12,9,10

10,14,9

10,14,10

10,9,10

14,9,10

10.3

10.6

11.6

12

10.3

11

11.3

9.6

11

Distribucin muestral de

x ni XX i

9.6

10.3

10.6

11

11.3

11.6

12

1

2

1

2

1

1

2

0.1

0.2

0.1

0.2

0.1

0.1

0.2

Toda distribucin muestral tiene unas caractersticas, p.e. la

media o la varianza

E ( ) Media de la distribucin muestral de la media

Var ( ) Varianza de la distribucin muestral de la media

x

x

10

33

X= N de das que han faltado al trabajo 50 trabajadores debido a

accidentes de trnasito

X n P(x)

1 25 25/50=0.5

2 20 20/50=0.4

3 5 5/50=0.1

Obtener:

-La media poblacional

-La varianza poblacional

-La distribucin muestral de la media n=2

-La media de la distribucin muestral de la media

-La varianza de la distribucin muestral de la madia

2)(Var x

x

x

x

Ejercicio

34

44.0

50

5*)6.13(20*)6.12(25*6.11

tambien

44.01.0*6.134.0*6.125.0*6.11

lpoblaciona varianza

6.150

5*320*225*1

6.11.0*34.0*25.0*1

lpoblaciona media

222

2

2222

x

x

x

x

X P(x)

1 0.5

2 0.4

3 0.1

35

Distribucin muestral de la media n=2

Muestras Xi X P(X=Xi)

1 , 1 1 1 0.25

1 , 2 1.5

1 , 3 2 1.5 0.4

2 , 1 1.5

2 , 2 2 2 0.26

2 , 3 2.5

3 ,1 2 2.5 0.08

3 , 2 2.5

3 , 3 3 3 0.01

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

( 1) ( 1, 1) ( 1)* ( 1) 0.5*0.5 0.25

( 1.5) ( 1, 2) ( 2, 1) 0.5*0.4 0.4*0.5 0.4

( 2) ( 1, 3) ( 2, 2) ( 3, 1) 0.5*0.1 0.4*0.4 0.1*0.4 0.26

( 2.5) ( 2, 3) (

P X P X X P X P X

p X P X X P X X

P X P X X P X X P X X

P X P X X P

1 2

1 2

3, 2) 0.4*0.1 0.1*0.4 0.08

( 3) ( 3, 3) 0.1*0.1 0.01

X X

P X P X X

36

)(xX )( xXP

1 0.25

1.5 0.4

2 0.26

2.5 0.08

3 0.01

DISTRIBUCIN MUESTRAL

DE LA MEDIA

MEDIA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA

( ) 1*0.25 1.5*0.4 2*0.26 2.5*0.08 3*0.01 1.6

( ) 1.6 ( ) 1.6

"LA MEDIA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA

ES IGUAL A LA MEDIA POBLACIONAL"

X

X X

X

X X

37

VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA

1 0.25

0.1 0.4

2 0.26

2.5 0.08

3 0.01

)xXP( X2 2 2 2 2 2

2 2

22

x

Var (x) (1-1.6) *0.25 (1.5 1.6) *0.4 (2 1.6) *0.26 (2.5 1.6) *0.08 (3 1.6) *0.01 0.22

( ) 0.44 ( ) 0.22

( ) 0.44( )

2

x

x x

x

Var x Var X

Var xVar X

n n

LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA ES IGUAL A

LA VARIANZA POBLACIONAL ENTRE EL TAMAO DE LA MUESTR

22

xx

n

38

2

2

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA CUASIVARIANZA S

X Smuestras

(1,1) 1

(1,2) 1.5

(1,3) 2

(2,1) 1.5 0.5

(2,2) 2 0

(2,3) 2.5 0.5

(3,1) 2 2

(3,2) 2.5 0.5

(3,3) 3 0

212

)23()21(

5.012

)5.12()5.11(

012

)11()11(

22

22

22

39

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA VARIANZA

0 0.42

0.5 0.48

2 0.10

)Var(S y varianza )(S mediacon

Varianza la de muestraln Distribuci

22

10.05.0*1.01.0*5.0

)1,3( )3,1()2P(S

0.480.4*0.10.1*0.40.5*0.40.4*0.5

)2,3( )3,2( )1,2( )2,1()5.0(

42.01.0*1.04.0*4.05.0*5.0

)3,3( )2,2( )1,1()0(

)(

2

2

2

22

PP

PPPPSP

PPPSP

sSP

)P(S 222 sS

40

Obtener la MEDIA de la Distribucin Muestral de la Varianza

0 0.42

0.5 0.48

2 0.10

)P(S 222 sS

44.0)(

44.0)(

44.010.0*248.0*5.042.0*0

)(

2

2

2

2

2

s

x

s

SE

xVar

S

La media de la distribucin muestral de la varianza es igual a la varianza poblacional

OBTENER LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA

VARIANZA

2

2 2 2 2 2

2 44

( ) (0 0.44) *0.42 (0.5 0.44) *0.48 (2 0.44) *0.10 0.32

3( )

( 1)

SVar S

nVar S

n n n

41

POB DIST. MUESTRAL DIST. MUESTRAL

X X S2

s

2

2

x x s

2 2 2

x x 2

( ) 1.6 ( ) 1.6 ( ) 0.44

( ) 0.44 ( ) 0.22 ( ) 0.32s

Media x E x E s

Varianza Var x Var x Var s

RELACIONES

2

x

2 22

x

2 2 2

2 4

1. E(X) E(X)

VAR(X)2. VAR(X)

n

3. E(S ) ( )

4 34. VAR(S )

1

x x

x x

x xS

n n

VAR X

n

n n

2

2

s ..........

42

1

.............1

)(.........)()(1

................1

)............

()(

)(.........)()(E(x)

:que cuentaen teniendo

21

21

n21

21

nnn

xExExEn

xxxEn

n

xxxEXE

XExExE

n

n

n

DEMOSTRACIN RELACIONES

XXE )(

43

2

1 2

1 2

1 22

1 22

2 2 2

2

2

2

Teniendo en cuenta que:

VAR(x ) ( ) ............... ( )

..........( )

1..........

1( ) ( ) ...... ( )

1..........

1

x

n

n

n

x x x

x

VAR x VAR x

x x xVAR X VAR

n

VAR x x xn

VAR x VAR x VAR xn

n

nn

2

x

n

nXVAR

2

)(

44

n,

X

100

110

6,100

n

N

25

25

6,100

n

N

100 X

nNX

6,100

45

Cuanto mayor sea el tamao muestral n menor sera la VAR(X), menor ser la dispersin de x en torno a la media poblacional

n

n

precisin?n

1.20 1.26 1.43 1.55 1.69 1.89 2.19 2.68 3.79 5.38 n

90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 n

46

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA VARIANZA

Si (X1,X2,,Xn) es una muestra aleatoria de tamao n,procedente de una poblacin X, con VAR(X)= 2 entonces:

La varianza de la distribucin muestral de la varianza S2 es igual a la varianza poblacional 2 y la varianza de la distribucin muestral de la varianza es funcin del momento central de

orden cuatro:

2 2

2 44

2

( )

3( )

( 1)

( )

E S

nVar S

n n n

Var S

47

2 2

2 2 2

1 1

2

1

2 2

1

2 2

1 1

2 2

1

2 2

( )

1 1 ( ) ( )1 1

1

1

12

1

12

1

12

1

12

1

x

n n

i ii i

n

ii

n

i i

i

n n

i i

i i

n

i

i

i

E S

S x x x xn n

x xn

x x x xn

x n x x xn

x n x x nx nn

x n x n xn

2

1

22

1

22 2

1

2 2

1( )

1

1 S

1 1

E(S )

n

i

n

i

i

n

i

i

x n xn

nx x

n n

.i

i

xx x x n

n

48

22

222

22

22

2

1

2

1

222

2

2

1

2

)(

)(1

1

1111

1

11

1

11

1

11

1

SE

SEn

n

nn

n

nn

nn

n

xEn

nx

n

xn

nx

nESE

xn

nx

nS

n

i

i

n

i

i

n

i

i

VAR(X) VAR(x)

49

22 S

n N

x

nXVAR

XE

2)(

)(

P.I.

....,........,

......,.......

n,NX

..)N(....,...X

,,........,

),(

21

2

x

1

xx

P

Nxx

NX

n

50

)1,0(,NX Si

30n ,, X

,NX),N(X

N

n

xZ

n

nNXSi

nSi

Ejemplo grfico de distribucin poblacional y

Evolucin de la distribucin muestral de

X

x

51

5n para X de muestraln Distribuci 2.

X

15n para X de muestraln Distribuci.3 X

x

1. Distribucin poblacional (no es normal)

52

normalmenteAproximada


X

normalmenteAproximada


X

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