UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA Laboratorio de Métodos Computacionales

MÉTODO DE LA BISECCIÓN OBJETIVOS

• Comprender los conceptos de función matemática y raíz de función • Aplicar y comprender las propiedades de una función matemática. • Apreciar los beneficios que proveen los algoritmos iterativos pa

raíces de una función matemática.

RECURSOS

• Algoritmo de Bisección. • Computador • MS Visual C++ 6.0.

DURACIÓN DE LA SESIÓN • Una sesión(02 horas).

MARCO TEÓRICO

1. INTRODUCCIÓN.

En la práctica de la ingeniería y las ciencias, es muy frecuente éresolver ecuaciones del tipo . En estas ecuaciones se requiervalor ó valores que hacen cero la ecuación. El procedimiento comúintentar despejar la variable . Desafortunadamente, en la mayoría prácticos esto es virtualmente imposible. Sin embargo, la solución eser encontrada. En este capitulo veremos como lograr esto.

0)( =xf

x

2. DEFINICIONES Y TEOREMAS BÁSICOS

Los valores que hacen que una función sea 0, se connombre de raíces ó ceros de la ecuación. El problema de hallar

)(xfy =

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PRÁCTICA

3 matemática.

ra hallar las

l tener que e conocer el n a seguir es de los casos xiste y debe

ocen con el estos ceros

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también recibe los nombres de: búsqueda de raíces, búsqueda de ceros, resolución de ecuaciones, resolución de ecuaciones no lineales, solución de ecuaciones no lineales. Para resolver ecuaciones de este tipo existen 3 tipos de métodos: Métodos Analíticos. Métodos Gráficos. Métodos numéricos.

A. MÉTODOS ANALÍTICOS

Estos consisten esencialmente en despejar la variable en función de . Un ejemplo bastante conocido, es el de la ecuación cuadrática.1 En la mayoría de los casos prácticos, esto es muy difícil o imposible. Por ejemplo, piensa unos minutos en como despejarías de la siguiente ecuación:

x y

x

03 =+ xe x (3.1)

B. MÉTODOS GRÁFICOS

En estos métodos lo que se busca es trazar la gráfica de . Los puntos donde se corte el eje de las serán las raíces. Estos métodos aunque muy generales, tienen sus inconvenientes:

)(xfy =x

La gráfica puede ser difícil de elaborar. Es posible que las raíces estén ubicadas fuera del intervalo graficado. Los valores obtenidos no son muy precisos.

Por estas razones no son muy recomendables, más que para hallar valores aproximados.

C. MÉTODOS NUMÉRICOS

Los métodos numéricos, generan una sucesión de valores, que se aproxima a la solución, en este caso a la raíz. Estos métodos son más generales que los analíticos y mucho más precisos que los métodos gráficos. Por estas razones se emplean más ampliamente. Para usar estos métodos, dado que no requieren de trazar la gráfica, requerimos conocer de alguna manera por donde la función tiene raíces. Para lograr esto se emplea el siguiente teorema.

3. TEOREMA DEL CAMBIO DE SIGNO (TCS)

Si en un intervalo cerrado [ , la función es continua y además tiene signo opuesto al de , es decir, existe un cambio de signo (CS), entonces por lo menos existe una raíz en [ ].

]ba,)(bf

)(xf )(af

ba,

El teorema solo nos es útil cuando se cumple, ya que en los casos en que no se cumple no podremos asegurar que pasa. Por ejemplo es posible que existan raíces, aun cuando el teorema no se cumpla. También es posible que exista más de una raíz, cuando se cumple el teorema. Esto se muestra de la figura 1 a la 4.

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Figura Nº 1

Figura Nº 2

Figura Nº 3

Figura Nº 4

En la figura 1, se puede observar directamente el teorema. En la figura 2 se ve un caso donde el teorema no se cumple y no existen raíces. La figura 3 muestra un caso donde el teorema se cumple y existe más de una raíz. La figura 4, es un ejemplo donde el teorema no se cumple y sin embargo si hay raíces, esto se debe a la existencia de un número par de raíces. El problema de resolver una ecuación no lineal es muy antiguo. Por esta razón existe una gran cantidad de métodos. Inclusive todavía hoy en día se siguen buscando métodos nuevos. A continuación se expondrán los métodos más comunes.

4. MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Consideramos una ecuación de la forma , donde la función es continua en el intervalo [ y tal que (esto nos permite garantizar por el teorema de Bolzano que tiene una solución en el intervalo . Para calcular la solución de en el intervalo

consideramos el punto medio de dicho intervalo que será

0)( =xf*)(af

)( =xf(xf

)(xf

a

]ba, 0)( <bf0

0) =),( ba [ ]b,

2)b+(a :

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Si 02

)(=

+ baf entonces

2)( ba + es la solución que buscamos.

Si 02

)(≠

+ baf entonces consideramos los intervalos

+

2)(, baa y

+ bba ,

2)( .

Se verificará, o bien que 0)2

)((*)( <+ bafaf o bien que

0)(*2

)(<

+ bfbaf .

En el intervalo en el que la función tome signos contrarios en sus extremos volvemos a considerar el punto medio y repetimos el proceso. En caso de no encontrar la solución exacta de la ecuación, con este proceso construimos una sucesión de intervalos encajados [ ] de tal forma que la amplitud de cada intervalo es la mitad del anterior. Entonces si tomamos el punto medio de cada uno de esos intervalos en

[ ] [ nn bababa ,,,,,, 2211 K ]

LL ,2

)(,,

2)(,

2)( 22

211

1nn

nbaxbaxbax +

=+

=+

=

KK ,,,, 21 nxxx

estamos construyendo una

sucesión que converge a la solución de la ecuación , así

una aproximación de esta solución será

0)( =xf

2)( nn ba +

nx = y el error máximo

cometido estará acotado por el valor de )

o lo que es lo mismo por

−2

( nn ab

−+12

)(n

ab. Que es un valor que sólo depende del intervalo inicial y del número

de iteraciones. Utilizando una hoja de cálculo podemos efectuar todo este proceso de una forma muy sencilla.

IVIDADES DE LA PRÁCTICA ACT 1. Encender el equipo de computo, si existe algún desperfecto o faltante en el

equipo comunicarlo inmediatamente.. 2. Al aparecer la solicitud de contraseña elegir el login usuario y digitar como

clave usuario. 3. Ingrese a su cuenta de usuario de red. 4. Cree una carpeta que se llame Métodos Computacionales y dentro de ella una

que se llame Práctica Nº 3. 5. Crear una carpeta bajo el nombre de Temporal en la unidad donde compile el

programa. 6. Ejecute Visual C++ 6.0.

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7. Crear una aplicación que permita hallar la solución de una función matemática haciendo uso del método de bisección, haciendo lo siguiente: a) Ingresar los datos necesarios. b) Muestre por consola la progresión de los resultados parciales en una grilla. c) Muestre el resultado o solución de la raíz más aproximado al 0. d) Muestre el error relativo y absoluto del cálculo de la raíz de la función. e) Grabe los resultados en un archivo tipo texto PracticaN3.cvs.

8. Compile el programa. 9. Depure los errores y corrija los warnings. 10. Use el menú de depuración para hacer Trace y seguir la ejecución del programa. 11. Ejecute el programa haciendo uso de la función f(x) = ex – 2, con un tolerancia

de error de ξ = 0.01, en el intervalo [0,2]; compruebe los resultados con [1]. 12. Sí los resultados no se ajustan a los reales, revisar el algoritmo y el código de

implementación para eliminar los errores lógicos introducidos. 13. Agregar al diálogo de la aplicación anterior el método de falsa posición, para lo

cual debe de tener en cuenta lo siguiente: a) Ingresar los datos necesarios. b) Muestre por consola la progresión de los resultados parciales en una grilla. c) Muestre el resultado o solución de la raíz más aproximado al 0. d) Muestre el error relativo y absoluto del cálculo de la raíz de la función.

14. Integra la aplicación al programa de la práctica anterior. 15. Comente el código adecuadamente y considere el uso de punteros para el

llamado de funciones. 16. Guarde el contenido de la carpeta Temporal en la carpeta Practica N° 3 de su

cuenta de red y elimine la carpeta temporal y vacíe la Papelera de reciclaje.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Complementar la aplicación anterior agregando funciones que comprueben la

existencia de un número par o impar de raíces o soluciones en el método de bisección.

2. Agregar una función que explore y determine los intervalos donde se pueden ubicar las raíces o soluciones para una función matemática cualquiera.

3. Implementar en la función anterior la capacidad de determinar si se está aproximando a la raíz o hacia una singularidad.

4. Diseñe un algoritmo bajo los principios del método de bisección que nos permita calcular siempre la raíz más próxima a un punto dado.

CUESTIONARIO

1. ¿Qué es una ecuación? 2. ¿Qué es una función matemática? 3. ¿Cómo se construye una función matemática? 4. ¿Qué es una ecuación no lineal?

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5. ¿Qué significa la raíz de una función matemática? 6. ¿Qué significado tienen los espacios anterior y posterior al punto matemático

donde se halla la raíz de una función matemática? 7. ¿Cuál es el principio matemático fundamental que se usa para hallar la raíz de

una ecuación mediante el método de bisección? 8. ¿Por qué la función matemática debe ser continua en el intervalo dado al aplicar

el método de bisección? 9. ¿Qué sucede si en un intervalo dado existen dos raíces al aplicar el método de

bisección? 10. ¿En qué casos es posible aplicar el método de bisección?. 11. ¿De qué forma es posible hacer que el método de bisección halle por lo menos

una raíz de la función matemática?.

GLOSARIO

Averigüe el significado de los siguientes términos en el contexto de la práctica:

Función matemática, convergencia asintótica, convergencia oscilatoria, derivada, vecindad, constante, divergencia, sustitución sucesiva, ecuación, razón de convergencia.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[ 1 ] Nakamura, Shoichiro; “Métodos Numéricos Aplicados con Software”; Prentice Hall Hispanoamericana S.A.;1ª Ed; 1992, México (Págs. 79 - 82).

[ 2 ] Mathews, John H., Fink, Curtís, D., “Métodos Numéricos con Matlab”, Prentice Hall, 1ª Ed. 2000, Madrid (págs 46 - 55).

REFERENCIAS WEB

[W1] http://www.iesrodeira.com/metodos_numericos/index-2.htm [W2] http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/default.htm [W3] http://mailweb.udlap.mx/~ccastane/Analisis_Numerico_html/Lindley.html [W4] http://www.uv.es/~diaz/mn/node17.html

DOCUMENTOS ADJUNTOS Ninguno

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