Metodo Biseccion

Problema 8.4 Resuelto por bisección

Tenemos la ecuación:

Se dan los siguientes parámetros:

c=0.85(12)=10.2

c0=5

cent=12

Sustituyendo lo anterior en la ecuación e igualando a cero, tenemos:

Evaluamos la funcion f(t) para encontrar valores iniciales

t f(t)

0 ‐5.2

10 ‐2.89224032

20 ‐1.34530275

30 ‐0.30835948

40 0.38672437

Observamos el cambio de signo, y elegimos ta=30 y tb=40

Ahora la raiz aproximada se encuentra con la siguiente formula:

Evaluamos la f(t) en t=35

Como es positivo ahora calculamos tr con el nuevo valor de tb=35

Con ello, el erro aproximado respecto al valo anterior es:

. .

10.2 . .

. .

. .

Evaluando f(t) en t=32.5, obtenemos:

Como f(32.5) es negativo, ahora ta=32.5 y tb=35, por lo que tr=33.75

Con lo que se obtiene un error de:

Evaluando f(33.75), tenemos:

Como f(33.75) es negativo, ahora ta=33.75 y tb=35, con lo que tr=34.375, que genera un error de 1.8

Evaluando f(34.375) obtenemos que:

Como f(34.375) es positivo, ahora ta=33.75 y tb=34.375, con lo que tr=34.063, que genera un error d


Como f(34.063) es positivo, ahora ta=33.75 y tb=34.063, con lo que tr=33.907, que genera un error d


Como f(33.905) es negativo, ahora ta=33.907 y tb=34.063, con lo que tr=33.985, que genera un error


Como f(33.985) es positivo, ahora ta=33.907 y tb=33.985, con lo que tr=33.945, que genera un error


. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Como f(33.985) es negativo, ahora ta=33.945 y tb=33.985, con lo que tr=33.965, que genera un error

Por lo tanto, concluimos que el tiempo requerido es de aproximadamente de

. . . .

Problema 8.5 Método de bisección

Se da la ecuación:

Sustituyendo los valores dados e igualando a cero, tenemos:

Tabulamos la función para escoger valores iniciales

x f(x)

0 ‐0.01591902

5 ‐0.01561787

10 ‐0.01439302

15 ‐0.00585043

20 0.734

Vemos que hay cambio de signo, por lo que ta=15 y tb=20

La raiz aproximada se encuentra en :

Evaluamos la función en x=17.5 y tenemos que:

Como es positivo, el valor de xa=15 y xb =17.5, por lo que la nueva raiz

Con esto el error aproximado es de:

Evaluamos f(16.25):

Como es positivo, tenemos que xa=15 y xb =16.25, por lo que la nueva r

,

, ,

Evaluamos f(15.625):

Como es negativo, tenemos que xa=15.625 y xb =16.25, por lo que la nu


Como es positivo, tenemos que xa=15.625 y xb =15.938, por lo que la n

818%


de 0.916% Como es negativo, tenemos que xa=15.782 y xb =15.938, por lo que la n

Este procedimiento lo continuamos hasta que el error se mínimo, los re

i xa xb xr f(xr)

0 15 20 17.5 0.02578814

de 0.46% 1 15 17.5 16.25 0.00309589

2 15 16.25 15.625 ‐0.00227705

3 15.625 16.25 15.9375 0.00012291

4 15.625 15.9375 15.78125 ‐0.00113948

5 15.78125 15.9375 15.859375 ‐0.00052493

6 15.859375 15.9375 15.8984375 ‐0.00020531

r de 0.23% 7 15.8984375 15.9375 15.9179688 ‐4.2295E‐05

8 15.9179688 15.9375 15.9277344 4.003E‐05

9 15.9179688 15.9277344 15.9228516 ‐1.201E‐06

10 15.9228516 15.9277344 15.925293 1.9397E‐05

11 15.9228516 15.925293 15.9240723 9.0939E‐06

12 15.9228516 15.9240723 15.9234619 3.9454E‐06

13 15.9228516 15.9234619 15.9231567 1.3719E‐06

14 15.9228516 15.9231567 15.9230042 8.5386E‐08

de 0.12%

Con un error del 0.001%, el valor de x es 15.9

.

. .01

.

. .1

r de 0.06%

33.965

Problema 8.9

Tenemos la ec

Sustituyendo l

Tabulamos la f

h

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Existe un camb

Entonces hr es

Evaluamos f(0

aproximada es xr=16.25 Como es posit

Evaluamos f(0

Como es nega

Continuamos c

iteración

0

raiz aproximada es xr=15.625, obteniendose un error de 4% 1

2

3

4

5

6

7

8

ueva raiz aproximada es xr=15.625, obteniendose un error de 1.96% 9

10

11

12

13

ueva raiz aproximada es xr=15.782, obteniendose un error de 0.99%

nueva raiz aproximada es xr=15.860, obteniendose un error de 0.49%

esultados los podemos ver en la siguiente tabla

Ea

7.69230769

4

1.96078431

0.99009901

0.49261084

0.24570025

0.12269939

0.06131208

0.03066544

0.01533037

0.00766577

0.00383303

0.00191655

0.00095829

923

Método de bisección

cuación:

Nota: La fórmula que trae el problema esta mal, porque pone k2, cuando debe ser h

los datos dados e igualando a cero, tenemos:

función para buscar valores iniciales

f(h)

‐2.25

‐2.15889381

‐1.89814162

‐1.48659299

‐0.94309746

‐0.28650459

0.46433605

bio de signo, por lo que ha=0.5 y hb=0.6

s:

0.55):

tivo, ahora ha=0.5 y hb=0.55, con lo que hr=0.525

0.525):

tivo, ahora ha=0.525 y hb=0.55, con lo que hr=0.5375

con el procedimiento hasta que el error sea minimo, y obtenemos la siguiente tabla

ha hb hr f(hr) Ea

0.5 0.6 0.55 0.07831286

0.5 0.55 0.525 ‐0.10689385 4.76190476

.078

0.525 0.55 0.5375 ‐0.01497158 2.3255814

0.5375 0.55 0.54375 0.03150266 1.14942529

0.5375 0.54375 0.540625 0.00822326 0.57803468

0.5375 0.540625 0.5390625 ‐0.00338477 0.28985507

0.5390625 0.540625 0.53984375 0.0024166 0.1447178

0.5390625 0.53984375 0.53945313 ‐0.00048475 0.0724113

0.53945313 0.53984375 0.53964844 0.00096576 0.03619254

0.53945313 0.53964844 0.53955078 0.00024047 0.01809955

0.53945313 0.53955078 0.53950195 ‐0.00012215 0.00905059

0.53950195 0.53955078 0.53952637 5.9154E‐05 0.00452509

0.53950195 0.53952637 0.53951416 ‐3.1499E‐05 0.0022626

0.53951416 0.53952637 0.53952026 1.3828E‐05 0.00113129

Con un error del 0.001%, el valor de h es igual a 0.53951 m

Problema 8.10

Usando la primera ecuación, tenemos que:

2

Calculamos g'(h);

Encontramos el rango de valores para que:

Tabulamos g'(h),

h g'(h)

0 0

0.5 0.23608731

1 0.66110736

1.5 0.96338174

1.51 0.96826141

1.52 0.97310607

1.53 0.97791624

1.54 0.98269248

1.55 0.98743532

1.56 0.99214526

1.57 0.99682283

1.58 1.00146854

Entonces, cualquier numero entre 0 y 1.57 es estable para el método de

Usando la segunda ecuación, tenemos que:

Calculamos g'(h)

Tabulamos g'(h) para encontrar

h g'(h)

1.25 0.99686641

2.25 0.75776897

12.25 0.4175399

112.25 0.19932382

1112.25 0.09280009

11112.25 0.04308722

111112.25 0.01999993

1111112.25 0.00928317

2111112.25 0.00749512

Se tiene que para el metodo del punto fijo es estable desde h=1.25 hast

0.01 #¡NUM!

0.02

/

Problema 8.15

Se tiene la ecuación:

Sustituyendo los datos e igualndo a cero:

a) Tabulamos la función para encontrar un valor inicial apropiado

t f(t)

0 ‐5.5

0.1 ‐4.22912421

0.2 ‐1.95118944

0.3 0.85650662

0.4 3.69861672

0.5 6.13928347

Se observa que la raiz se encuentra cerca de t=0.25

b) Calculamos la derivada de f(t):

La itearción comienza con t=0.25, y la nueva raiz se calcula con;

Los resulatado aparecen en la siguiente tabla:

i ti f(ti) f'(ti)

el punto fijo 0 0.25 ‐0.58204508 28.2870657

1 0.27057637 0.00513476 28.7507228

2 0.27039777 2.7764E‐07 28.747611

Por lo tanto el tiempo requerido es de 0.27

c) Para el metodo de la secante se usa la siguiente formula:

3.5 .

.

‐10

‐5

0

5

10

0 0.1

. .

Como valores iniciales usamos t=0.25 y t=0.30, los calculos se realizan e

i ti‐1 ti f(ti‐1)

0 0.25 0.3 ‐0.58204508

1 0.3 0.27023025 0.85650662

2 0.27023025 0.27039668 ‐0.00481548

Por lo tanto el tiempo requerido es de 0.27

ta h=infinito.

Problema 8.16

Sustituyendo en la fórmula lo

Tabulamos para encontra va

P/A

0

10

20

Existe un cambio de signo, p

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

ti+1 Ea 9

0.27057637 7.60464347 10

0.27039777 0.06604926 11

0.27039776 3.5717E‐06 12

13

704 14

15

16

17

18

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Título del gráfico

19

en la siguiente tabla: Entonces e

f(ti) ti+1 Ea

0.85650662 0.27023025 0.11016441

‐0.00481548 0.27039668 0.00061553

‐3.1066E‐05 0.27039776 3.9967E‐06

702

os valores dados e igualando a cero obtenemos:

alores iniciales:

f(P/A)

178.571429

100.202889

‐259.474908

or lo que (P/A)1=10 y (P/A)2=20, usamos el método de biseccion en la siguiente tabla y la siguiente f

(P/A)1 (P/A)2 (P/A)r f(P/A)r Ea

10 20 15 7.65218552

15 20 17.5 ‐82.6628011 14.2857143

15 17.5 16.25 ‐31.2526867 7.69230769

15 16.25 15.625 ‐10.545213 4

15 15.625 15.3125 ‐1.16270307 2.04081633

15 15.3125 15.15625 3.3123601 1.03092784

15.15625 15.3125 15.234375 1.09213354 0.51282051

15.234375 15.3125 15.2734375 ‐0.03090709 0.25575448

15.234375 15.2734375 15.2539063 0.53170115 0.12804097

15.2539063 15.2734375 15.2636719 0.25066982 0.06397953

15.2636719 15.2734375 15.2685547 0.10994967 0.03197953

15.2685547 15.2734375 15.2709961 0.03953838 0.01598721

15.2709961 15.2734375 15.2722168 0.00431992 0.00799297

15.2722168 15.2734375 15.2728271 ‐0.01329251 0.00399632

15.2722168 15.2728271 15.272522 ‐0.00448603 0.0019982

15.2722168 15.272522 15.2723694 ‐8.2988E‐05 0.00099911

15.2722168 15.2723694 15.2722931 0.00211848 0.00049956

15.2722931 15.2723694 15.2723312 0.00101775 0.00024978

15.2723312 15.2723694 15.2723503 0.00046738 0.00012489

15.2723503 15.2723694 15.2723598 0.0001922 6.2444E‐05

el valor de P/A que se busca es de 15.2723598

Problema 8.17

Tomando la ecuación y sustituyendo todos los datos, ten

Simplificando e igualando a cero:

Tabulamos para encontrar valores iniciales

TA f(TA)

0 #¡DIV/0!

500 24.7773153

1000 6.45543485

formula: 1500 1.13404648

2000 ‐1.44358098

Observado el cambio de signo, tenemos que TA1=1500 y

Usando la formula de la bisección:

Los calculos se muestran en la siguiente tabla:

i TA1 TA2 (TA)r

0 1500 2000 1750

1 1500 1750 1625

2 1625 1750 1687.5

3 1625 1687.5 1656.25

4 1656.25 1687.5 1671.875

5 1671.875 1687.5 1679.6875

6 1679.6875 1687.5 1683.59375

7 1683.59375 1687.5 1685.54688

8 1683.59375 1685.54688 1684.57031

9 1683.59375 1684.57031 1684.08203

10 1684.08203 1684.57031 1684.32617

11 1684.32617 1684.57031 1684.44824

12 1684.32617 1684.44824 1684.38721

13 1684.32617 1684.38721 1684.35669

14 1684.35669 1684.38721 1684.37195

15 1684.35669 1684.37195 1684.36432

16 1684.36432 1684.37195 1684.36813

17 1684.36432 1684.36813 1684.36623

18 1684.36432 1684.36623 1684.36527

19 1684.36432 1684.36527 1684.3648

Entonces el valor de TA que se requiere es de

Problema 8.18

emos que: Derivando la ecuación que nos dan y sustituyendo los val

Tabulamos para encontrar valores iniciales:

x f(x)

0 ‐1.296E+11

50 ‐1.2423E+11

100 ‐1.085E+11

150 ‐8.3531E+10

200 ‐5.12E+10

250 ‐1.4131E+10

300 2.43E+10

Usando el cambio de signo, tenemos que xa=250 y xb=30

En la siguiente tabla usamos el método de biseccion con

TA2=2000

i xa xb

0 250 300

1 250 275

2 262.5 275

3 262.5 268.75

4 265.625 268.75

f(TAr) Ea 5 267.1875 268.75

‐0.34427672 6 267.96875 268.75

0.33611724 7.69230769 7 267.96875 268.359375

‐0.01707134 3.7037037 8 268.164063 268.359375

0.15608359 1.88679245 9 268.261719 268.359375

0.06867139 0.93457944 10 268.310547 268.359375

0.02559437 0.46511628 11 268.310547 268.334961

0.00421047 0.23201856 12 268.322754 268.334961

‐0.00644315 0.11587486 13 268.322754 268.328857

‐0.00111952 0.05797101 14 268.325806 268.328857

0.00154468 0.02899391 15 268.327332 268.328857

0.00021238 0.01449485 16 268.328094 268.328857

‐0.00045362 0.0072469 17 268.328094 268.328476

‐0.00012063 0.00362358 18 268.328094 268.328285

4.5871E‐05 0.00181182 19 268.328094 268.32819

‐3.7381E‐05 0.0009059 20 268.328142 268.32819

4.2446E‐06 0.00045295

‐1.6568E‐05 0.00022648

‐6.1619E‐06 0.00011324 Entonces, el valor de x que ocasiona la máx

‐9.5865E‐07 5.6619E‐05

1.643E‐06 2.831E‐05 Sustituimos el valor de x en la formula orig

e 1684.3648

Es decir, la deflexión máxima es de ‐0.8036

ores dados obtenemos:

00.

la siguiente fórmula para la raiz aproximada:

xr f(xr) Ea

275 5154296875

262.5 ‐4502856445 4.76190476

268.75 325993347 2.3255814

265.625 ‐2088853931 1.17647059

267.1875 ‐881475002 0.58479532

267.96875 ‐277744355 0.29154519

268.359375 24124573.1 0.14556041

268.164063 ‐126809992 0.07283321

268.261719 ‐51342719.4 0.03640335

268.310547 ‐13609073.9 0.01819836

268.334961 5257749.66 0.00909835

268.322754 ‐4175662.12 0.00454938

268.328857 541043.768 0.00227464

268.325806 ‐1817309.18 0.00113733

268.327332 ‐638132.705 0.00056866

268.328094 ‐48544.4684 0.00028433

268.328476 246249.65 0.00014217

268.328285 98852.5906 7.1083E‐05

268.32819 25154.0611 3.5541E‐05

268.328142 ‐11695.2037 1.7771E‐05

268.328166 6729.42871 8.8853E‐06

xima deflexión es de 268.3282

gina y tenemos que:

66

Problema 8.19

a) Sustituyendo los valores dados en la ecuación, tenemos que:

Igualando a cero tenemos que:

Tabulamos para elegir valores iniciales:

x f(x)

0 2.35758882

1 4.38583477

2 5.25589675

3 5.20218704

4 4.58689432

5 3.70282143

6 2.73646763

7 1.79057003

8 0.9145572

9 0.12752598

10 ‐0.56736451

Usando el método de biseccion teniendo como valores iniciales x1=9 y x2=10, usando la formula sig

Los calculos se muestran en la siguiente tabla:

i x1 x2 xr f(xr) Ea

0 9 10 9.5 ‐0.23126735

1 9 9.5 9.25 ‐0.05474457 2.7027027

2 9 9.25 9.125 0.03566875 1.36986301

3 9.125 9.25 9.1875 ‐0.00971802 0.68027211

Entonces, a 9.1875 km aguas abajo la concenctración de oxigeno desciende a 5 mg/L

b) Aquí calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

. .

. .

Tabulamos para encontrar valores iniciales:

x g(x)

0 0.35

1 0.17415913

2 0.07281699

3 0.01592086

4 ‐0.0146541

Los valores iniciales que usamos son x1=3 y x=4 para el método de bisección

i x1 x2 xr f(xr) Ea

0 3 4 3.5 ‐0.00184633

1 3 3.5 3.25 5.08773771 7.69230769

2 3.25 3.5 3.375 5.01917617 3.7037037

3 3.375 3.5 3.4375 4.98233622 1.81818182

4 3.4375 3.5 3.46875 4.96330943 0.9009009

5 3.46875 3.5 3.484375 4.95364837 0.44843049

6 3.484375 3.5 3.4921875 4.94878142 0.22371365

7 3.4921875 3.5 3.49609375 4.9463389 0.11173184

8 3.49609375 3.5 3.49804688 4.94511539 0.05583473

9 3.49804688 3.5 3.49902344 4.94450307 0.02790957

10 3.49902344 3.5 3.49951172 4.94419677 0.01395284

Entonces la concentracón de oxigeno se encuentra al mínimo a 3.4995 km, y dicha conenctración es

. .

. . . .

Problema 8.20

Sustituyendo los datos en la ecuación e igu

a) Graficando la función

t f(t)

0 80

1 20.2896317

2 5.94818966

3 1.80349912

4 0.00227083

5 ‐1.2127331

Con esto obtenemos que las bacterias se re

b) Derivamos f(t) y obtenemos:

uiente:

La formula de Newton‐Raph

i ti f(ti)

0 6 ‐2.23818123

1 3.69337148 0.45551923

2 3.98189621 0.02751951

Entonces las bacterias se reducen a 15 al ti

. ,

.

ualando a cero:

educen a 15 al tiempo 4

son es:

f'(ti) ti+1 Ea

‐0.97032583 3.69337148

‐1.57878749 3.98189621 7.24591277

‐1.39927316 4.00156321 0.49148297

empo 4.0016

‐20

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6


,

Problema 8.29

Tomando la ecuación, sustituyendo valores dados e igualendo a cero tenemos que:

Tabulamos para ver valores iniciales:

t f(t)

0 6

0.2 ‐0.72298455

0.4 ‐7.88070278

0.6 ‐6.99598146

0.8 ‐1.75034743

1 0.31091497

1.2 ‐2.16233283

Vemos que hay tres cambios de signo:

Primero entre t1=0 y t2=0.2, despues en t3=0.8 y t4=1, y por ultimo ent

Aplicamos el método de bisección en cada intervalo

i t1 t2 tr f(tr)

0 0 0.2 0.1 3.58825964

1 0.1 0.2 0.15 1.5532031

2 0.15 0.2 0.175 0.42994961

3 0.175 0.2 0.1875 ‐0.14469862

4 0.175 0.1875 0.18125 0.14331447

5 0.18125 0.1875 0.184375 ‐0.00054928

6 0.18125 0.184375 0.1828125 0.07142196

7 0.1828125 0.184375 0.18359375 0.03544572

8 0.18359375 0.184375 0.18398438 0.01745051

9 0.18398438 0.184375 0.18417969 0.00845118

10 0.18417969 0.184375 0.18427734 0.00395109

i t3 t4 tr f(tr)

0 0.8 1 0.9 ‐0.03970412

1 0.9 1 0.95 0.31031313

2 0.95 1 0.975 0.35293641

3 0.975 1 0.9875 0.34222633

4 0.9875 1 0.99375 0.32910439

5 0.99375 1 0.996875 0.32063756

6 0.996875 1 0.9984375 0.31593251

7 0.9984375 1 0.99921875 0.31346271

8 0.99921875 1 0.99960938 0.31219857

9 0.99960938 1 0.99980469 0.3115592

10 0.99980469 1 0.99990234 0.31123769

i t4 t5 tr f(tr)

0 1 1.2 1.1 ‐0.57631473

1 1 1.1 1.05 ‐0.00470481

2 1 1.05 1.025 0.18941177

3 1.025 1.05 1.0375 0.10094098

4 1.0375 1.05 1.04375 0.05019907

5 1.04375 1.05 1.046875 0.02325886

6 1.046875 1.05 1.0484375 0.00940388

7 1.0484375 1.05 1.04921875 0.00238111

8 1.04921875 1.05 1.04960938 ‐0.00115397

9 1.04921875 1.04960938 1.04941406 0.00061554

10 1.04941406 1.04960938 1.04951172 ‐0.00026872

Entonces i=3 en los tiempos ta=0.184277, tb=0.999902

Problema 8.31

Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación e igual

Graficamos para encontrar valores iniciales

x f(x)

0 ‐1.25

0.2 ‐0.33207791

0.4 0.25593631

0.6 0.4552053

0.8 0.39794305

1 0.22701992

tre t4=1 y t5=1.2 1.2 0.02882667

1.4 ‐0.15777378

Ea

0.05

0.025 tenemos dos cambios de signo, uno entre x1=0.2 y x2=0.4

0.0125

0.00625 Aplicamos metodo de bisección en ambos intervalos

0.003125

0.0015625 i x1

0.00078125 0 0.2

0.00039063 1 0.2

0.00019531 2 0.2

9.7656E‐05 3 0.2

4 0.2

Ea 5 0.2

6 0.2

0.05 7 0.2

0.025 8 0.2

0.0125 9 0.2

0.00625 10 0.2

0.003125

0.0015625

0.00078125

⁄

‐0.4

‐0.3

‐0.2

‐0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.00039062 i t4

0.00019531 0 1.2

9.7656E‐05 1 1.2

2 1.2

Ea 3 1.225

4 1.225

0.05 5 1.225

0.025 6 1.228125

0.0125 7 1.228125

0.00625 8 1.22890625

0.003125 9 1.22929688

0.0015625 10 1.22949219

0.00078125

0.00039063

0.00019531 Entonces la9.7656E‐05

y tc=1.049512

and a cero tenemos:

4; y otro entre x3=1.2 y x4=1.4

x2 xr f(xr) Ea

0.4 0.3 0.01375156

0.3 0.25 ‐0.14669377 0.05

0.25 0.225 ‐0.23640188 0.025

0.225 0.2125 ‐0.2835154 0.0125

0.2125 0.20625 ‐0.30761852 0.00625

0.20625 0.203125 ‐0.31980408 0.003125

0.203125 0.2015625 ‐0.32593001 0.0015625

0.2015625 0.20078125 ‐0.32900122 0.00078125

0.20078125 0.20039063 ‐0.33053888 0.00039063

0.20039063 0.20019531 ‐0.33130822 0.00019531

0.20019531 0.20009766 ‐0.33169302 9.7656E‐05

⁄

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6


t5 tr f(tr) Ea

1.4 1.3 ‐0.06712854

1.3 1.25 ‐0.01971736 0.05

1.25 1.225 0.00442905 0.025

1.25 1.2375 ‐0.00767775 0.0125

1.2375 1.23125 ‐0.00163249 0.00625

1.23125 1.228125 0.00139628 0.003125

1.23125 1.2296875 ‐0.00011861 0.0015625

1.2296875 1.22890625 0.00063871 0.00078125

1.2296875 1.22929688 0.00026002 0.00039063

1.2296875 1.22949219 7.0695E‐05 0.00019531

1.2296875 1.22958984 ‐2.396E‐05 9.7656E‐05

a fuerza es de 1.25 N a 0.2001 m y a 1.22959 m

Problema 8.33

En este caso se tienen dos ecuaciones:

Para Re=2500, tenemos que:

Para Re=1 000 000

Para la primera ecuación tabulamos para obtener valores iniciales:

f g(f)

0.01 ‐0.80823997

0.02 2.72275221

Por lo tanto usamos el metodo de bisección en f1=0.01 y f2=0.02, los calculos se presentan en la sigu

i f1 f2 fr g(fr) Ea

0 0.01 0.02 0.015 1.37897674

1 0.01 0.015 0.0125 0.44130815 0.0025

2 0.0125 0.015 0.01375 0.94033678 0.00125

3 0.01375 0.015 0.014375 1.16639918 0.000625

4 0.014375 0.015 0.0146875 1.27428582 0.0003125

5 0.0146875 0.015 0.01484375 1.32702048 0.00015625

6 0.01484375 0.015 0.01492188 1.35309467 7.8125E‐05

7 0.01492188 0.015 0.01496094 1.36605957 3.9063E‐05

8 0.01496094 0.015 0.01498047 1.3725241 1.9531E‐05

9 0.01498047 0.015 0.01499023 1.37575191 9.7656E‐06

10 0.01499023 0.015 0.01499512 1.3773647 4.8828E‐06

Tambien tabulamos para la segunda ecuación para obtener valores inicales:

f h(f)

0.001 ‐14.0227766

0.002 ‐4.15861978

0.003 0.29682393

0.004 2.99273168

Por lo tanto usamos el metodo de bisección en f1=0.001 y f2=0.002, los calculos se pr

i f1 f2 fr g(fr) Ea

0 0.001 0.002 0.0015 ‐7.86770646

1 0.0015 0.002 0.00175 ‐5.81849609 0.00025

2 0.0015 0.00175 0.001625 ‐6.78524019 0.000125

3 0.0015 0.001625 0.0015625 ‐7.31058123 6.25E‐05

4 0.0015 0.0015625 0.00153125 ‐7.5849704 0.00003125

5 0.0015 0.00153125 0.00151563 ‐7.72526844 1.5625E‐05

6 0.0015 0.00151563 0.00150781 ‐7.79621652 7.8125E‐06

7 0.0015 0.00150781 0.00150391 ‐7.83189332 3.9063E‐06

El factor de fricción quedaria entre fa=0.001504 y fb=0.014995 p

Problema 8.34

Sustituyendo todos los valor

Tabulamos para elegir el inte

d

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

El intervalo donde cambia de

uiente tabla:

En la siguiente tabla usamos

i d1

0 0.2

1 0.225

2 0.2375

3 0.24375

4 0.246875

5 0.2484375

6 0.24921875

7 0.24960938

8 0.24980469

El valor que se rquiere

esentan en la siguiente tabla:

⁄

par Re entre 2 500 y 1 000 000

res conocidos en la ecuación, tenemos que:

ervalo

f(d)

‐1280.205

‐1217.69606

‐1030.1544

‐717.565573

‐279.918783

282.795

e signo es de d1=0.20 a d2=0.25

el método de bisección y tenemos que:

d2 dr f(dr) Ea

0.25 0.225 ‐14.1957833

0.25 0.2375 130.391074 0.0125

0.25 0.24375 205.615896 0.00625

0.25 0.246875 243.961162 0.003125

0.25 0.2484375 263.317009 0.0015625

0.25 0.24921875 273.040737 0.00078125

0.25 0.24960938 277.914051 0.00039063

0.25 0.24980469 280.353571 0.00019531

0.25 0.24990234 281.574047 9.7656E‐05

e para los parámetros dados es d=0.2499

⁄

Problema 8.38

Se tiene que:

c/cc=0.1221

p=34.12

Sustituyendo en la ecuación tenemos que:

Tabulamos para escoger valores iniciales:

ω f(ω)

0 1.55740772

1 0.79399998

2 0.36056774

3 0.02147129

4 ‐0.31762517

El cambio de signo esta entre ω1=3 y ω2=4, por lo que usando el método de biseccion

i ω1 ω2 ωr f(ωr) Ea

0 3 4 3.5 ‐0.14317738

1 3 3.5 3.25 ‐0.06026621 0.25

2 3 3.25 3.125 ‐0.01932487 0.125

3 3 3.125 3.0625 0.00108226 0.0625

4 3.0625 3.125 3.09375 ‐0.00911791 0.03125

5 3.0625 3.09375 3.078125 ‐0.00401712 0.015625

6 3.0625 3.078125 3.0703125 ‐0.00146727 0.0078125

7 3.0625 3.0703125 3.06640625 ‐0.00019247 0.00390625

8 3.0625 3.06640625 3.06445313 0.0004449 0.00195313

9 3.06445313 3.06640625 3.06542969 0.00012622 0.00097656

10 3.06542969 3.06640625 3.06591797 ‐3.3126E‐05 0.00048828

11 3.06542969 3.06591797 3.06567383 4.6546E‐05 0.00024414

12 3.06567383 3.06591797 3.0657959 6.71E‐06 0.00012207

13 3.0657959 3.06591797 3.06585693 ‐1.3208E‐05 6.1035E‐05

El valor buscado es ω=3.06587

Problema 8.39

El calor que gana el fluido A es:

El calor que pierde el fluido B es:

Igualando los calores, tenemos que:

Tabulando la función anterior para obtene

T2 f(T2)

0 ‐68768.5448

100 ‐66424.2048

200 ‐62527.8248

n obtenemos: 300 ‐57178.1648

400 ‐50473.9848

500 ‐42514.0448

600 ‐33397.1048

700 ‐23221.9248

800 ‐12087.2648

900 ‐91.8847826

1000 12665.4552

El cambio de signo esta entre T2a=900 y T2

Usando el algoritmo de bisección se const

i T2a

0 900

1 900

2 925

3 937.5

4 943.75

5 946.875

6 948.4375

7 949.21875

8 949.609375

9 949.804688

10 949.902344

11 949.951172

12 949.975586

13 949.987793

14 949.993896

15 949.996948

16 949.998474

17 949.999237

18 949.999619

19 949.999809

20 949.999905

Por lo tanto los dos flu

r valores iniciales:

2b=100

ruye la siguiente tabla:

T2b T2r f(T2r) Ea

1000 950 6197.71272

950 925 3029.87428 25

950 937.5 4608.13002 12.5

950 943.75 5401.51756 6.25

950 946.875 5799.26569 3.125

950 948.4375 5998.40203 1.5625

950 949.21875 6098.0356 0.78125

950 949.609375 6147.86872 0.390625

950 949.804688 6172.78936 0.1953125

950 949.902344 6185.2507 0.09765625

950 949.951172 6191.48162 0.04882813

950 949.975586 6194.59715 0.02441406

950 949.987793 6196.15493 0.01220703

950 949.993896 6196.93382 0.00610352

950 949.996948 6197.32327 0.00305176

950 949.998474 6197.51799 0.00152588

950 949.999237 6197.61536 0.00076294

950 949.999619 6197.66404 0.00038147

950 949.999809 6197.68838 0.00019073

950 949.999905 6197.70055 9.5367E‐05

950 949.999952 6197.70663 4.7684E‐05

uidos salen del mezclador a 950 K= 675.75 °C

Metodo Biseccion

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