Sesión 01: Congruencia y Semejanza
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1. Figuras congruentes ( )
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
A
C
B D
F
E
Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Postulado N° 1 (L.L.L.)Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
2° Postulado N° 2 (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
αα5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
3° Postulado N° 3 (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
αα
1212
Ejemplo:
β β
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√π , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:
Área = 4π Área = 4π
3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G
F
J
I
Hα
β
γδ
ε
A
E
D
C
Bα
β
γδ
ε
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
A
E
D
C
Bα
β
γδ
ε
G
F
J
I
Hα
β
γδ
ε
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
Ejemplo:
A B
C
α
β
γE
F
D
α
β
γ
Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k
5
3
15
94
12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF ABDE
BCEF
ACDF
13
= = = = k
P
Q
R
A B
C
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 5 10
= 36
= 48
= 12
⇒
Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales).
= k
PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =hC
hR
2,4
4,8=
1
2= k
Recuerda: Teorema de Euclides
hC = a · bc
3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
34ο 55ο
E
F
D
34ο
55ο
ABDF
BCFE
ACDE
= = = kAdemás
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
A B
C
4
E
F
D
5
6
12 8
10
ABFD
BCDE
ACFE
12
= = = = k
Además ∠BAC=∠DFE, ∠CBA=∠EDF y ∠ACB=∠FED
3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
4
E
F
D
5 12
15
57°
57°
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
Además ∠BAC=∠DFE y ∠CBA=∠FED
BCED
412
515
13
= = = kACFD
= ⇒
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
α
β
γ4 10
Q
R
P
α
γ
β6
Solución:
10QR
46
= 60 = 4∙QR 15 = QR
Es decir:
ABPR
10QR
46
= = ⇒ ⇒ ⇒
Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
ABPR
CBQR
ACPQ
= = = k Con k razón de semejanza
4º POSTULADO: LLA>DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS LADOS RESPECTIVAMENTE PROPORCIONALES, Y EL ÁNGULO OPUESTO AL MAYOR DE ESOS LADOS, CONGRUENTE.
168 14
28
Δ ABC ~ Δ DEF por LLA>
B
C
D E
FEjemplo:
A
Razón de semejanza: 1 : 2
