INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

Mg. Paul Linares OrtegaIngeniero Industrial

Semana 04

UNIDAD IITEORÍA DE LINEAS DE ESPERA

Vivimos en un mundo en el que una porción más o menos importante del tiempo transcurre en tiempo de espera. Es prácticamente imposible encontrar a alguien, tanto en las sociedades del bienestar, como en países subdesarrollados, que no haya tenido que hacer en algún momento alguna cola.

A nadie le complace esperar en una cola, especialmente cuando desconoce el tiempo de espera, un intervalo de tiempo que todo el mundo tiene en muy mal concepto, ya que se considera que esperar haciendo una cola es inevitablemente una manera de perder el tiempo.

La teoría de Líneas de Espera brinda un método racional para tomar decisiones en cuanto al punto de equilibrio entre costos y el servicio al cliente.

INTRODUCCION

Las líneas de espera, o colas, son realidades cotidianas, como por ejemplo:

• En un banco• En un restaurante de comidas rápidas• Al matricular en la universidad• Los autos en un lava carro.• En un supermercado.• En una estación de combustible• En un estadio

En general, a nadie le gusta esperar. Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar.La colas se forman cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad del servicio.

“No importa en qué cola se sitúe: La otra cola siempre avanzará más rápido” (Primera Ley de Harper)

“Y si se cambia de cola, aquélla en la que estaba al principio empezará a ir más deprisa” (Segunda Ley de Harper)

Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los clientes que esperan ser atendidos o las máquinas dañadas esperando ser reparadas, tienen mucho en común.

Ambos (clientes y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se les atienda o se les haga funcionar nuevamente.

TEORIA DE COLAS

La teoría de colas es el estudio de una técnica basada en la Investigación de operaciones para solucionar problemas que se presentan en las situaciones en las cuales se forman turnos de espera o colas para la prestación de un servicio o ejecución de un trabajo.

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas.

CARACTERÍSTICAS DE UNA LINEA DE ESPERA

Una cola de espera está compuesta de tres elementos:

1. Fuente de entrada 2. Disciplina de la cola3. Servicio

Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.

1. FUENTE DE ENTRADA:La fuente de entrada o ingreso que genera los arribos de clientes para el servicio tiene las siguientes características:

a. Tamaño de la población

El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o limitado (finito).

Población de arribo Infinito o (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado. La mayoría de los modelos asume arribo infinito.

Población de arribo limitado (finito): cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consultorio médico.

b. Distribución de las llegadas a la cola

– Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.

– Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.

– Frecuentemente en problemas de colas, el número de llegadas por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad.

Entonces utilizando la función de probabilidad de Poisson, se define la probabilidad de x llegadas en un tiempo específico (t).

.....2,1,0 para !

)(

xx

exP

x P(x) = Probabilidad de x llegadasλ = número medio de llegadas por periodo de tiempo (lambda)x= número de llegadas en el periodo de tiempoe = 2.71828 (épsilon)

Ejemplo: Suponga que Burger Dome analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo de un minuto?¿Cuál es la probabilidad de que llegue un cliente en un periodo de un minuto?¿Cuál es la probabilidad de que lleguen 2 clientes en un periodo de un minuto?

λ= 45 clientes/hora = 45clientes/60minutos = 0.75 clientes/minuto

Utilizamos la distribución probabilística de Poisson para calcular la probabilidad de (x) llegadas de clientes durante un periodo de un minuto. Por tanto, las probabilidades en un periodo de un minuto son:

Ejemplos:

1.- Los clientes se presentan en la sección de atención de quejas por productos defectuosos de una casa de electrodomésticos a razón de dos clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten cuatro clientes durante la próxima hora?Rpta: 0.0902.- Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba: a) Cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) Diez cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?Rpta: 0.1339, 0.1049

Características de las llegadas:

La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transacción.

Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.

c. Distribución del Tiempo de Servicio

– Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.

– Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros).– Si el tiempo de servicio es distribuido aleatoriamente – que es el caso más común – se lo representa por la Distribución de Probabilidad Exponencial Negativa de la forma:

e = 2.71828 (épsilon) µ = número promedio de unidades que pueden ser atendidas por periodo

tetserviciodetiempoP 1) (

Ejemplo: Suponga que Burger Dome estudió el proceso de toma y entrega de pedido y encontró que un despachador puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora.¿Cuál es la probabilidad de que un pedido pueda ser procesado en 1/2 minuto o menos.¿Cuál es la probabilidad de que un pedido pueda ser procesado en 1 minuto o menos¿Cuál es la probabilidad de que un pedido pueda ser procesado 2 minutos o menos

µ = 60 pedidos/hora = 60 clientes /60minutos = 1 cliente/minuto

Utilizamos la distribución probabilística exponencial para calcular la probabilidad de (t) que un pedido pueda ser procesado en un periodo de un minuto. Por tanto, las probabilidades en un periodo de un minuto son:

Ejemplos:

3.- El empleado de la sección de atención de quejas por productos defectuosos puede atender, en promedio, a tres clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente requiera menos de 10 minutos de ese servicio?Rpta: 0.39344- Suponga que del estudio hecho en la pizzería, el proceso de recepción y atención de las órdenes, es efectuado por el único empleado que atiende y también prepara las pizzas; este procesa en promedio 60 órdenes de clientes por hora.Calcular la probabilidad de procesar una orden en ½ minuto o menos, en un minuto o menos, en 2 minutos o menos.Rpta: 0.3935, 0.6321, 0.8647

Los modelos de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. El termino nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido.

2.- DISCIPLINA DE LA COLA:

En las líneas de espera la DISCIPLINA DE LA COLA se refiere a la forma mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla Primero en Entrar Primero en Salir PEPS (FIFO First In First Out ).

En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por auxilio médico.En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la caja rápida que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende con la política PEPS.

3.- SERVICIO:El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas:1. La configuración del sistema de servicio.2. El patrón de tiempos de servicio

Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase

Sistema de cola multicanal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas.

Debe existir equilibrio entre el COSTO por el SERVICIO y el COSTO por tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

Los COSTOS DEL SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Al mejorar la rapidez del servicio, disminuye el costo del tiempo de espera.

COSTO DEL SERVICIO Y COSTO DE ESPERA

Uno de los medios para evaluar una instalación de servicio consiste en observar el costo total esperado, que es la suma de los costos de servicio esperados más los costos de espera.

Costo Total = Costo del Servicio + Costo de Espera

Ejemplos:1.- Una tienda recibe un promedio de 50 clientes por turno. La gerencia desea calcular si debería contratar a 1, 2, 3 o 4 vendedores. Se ha determinado que el tiempo de espera promedio será de 7 minutos con un vendedor, 4 minutos con dos vendedores, 3 minutos con tres vendedores y 2 minutos con cuatro vendedores. Los costos por espera de los clientes en la fila es de $1 por minuto y el costo por vendedor es de $70 por turno.¿Cuántos vendedores se deberían contratar?

2.-Una compañía, opera una instalación portuaria. Aproximadamente 5 barcos llegan a descargar sus cargamentos de acero y minerales, durante cada turno de trabajo de 12 horas. Cada hora que un barco permanece ocioso esperando en la fila para descargar le cuesta a la empresa, aproximadamente $1,000 por hora. La gerencia estima que con una cuadrilla de estibadores cada barco esperará un promedio de 7 horas para descargar, con dos cuadrillas el tiempo de espera disminuye a 4 horas; con tres cuadrillas el tiempo es de 3 horas y con cuatro cuadrillas el tiempo es de solo 2 horas. Los salarios de los estibadores se calculan con base en el número de personas de una cuadrilla (50 individuos aprox.) y su salario es de $10 por hora. Determinar el número de cuadrillas de estibadores a contratar.

NOTACIÓN DE LOS MODELOS DE COLAS

Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953) propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos que ha sido adoptado universalmente.Una versión resumida de esta convención está basada en el formato A/B/c/N/KEstas letras representan las siguientes características del sistema:A = distribución de las llegadasB = distribución de las salidas o tiempo de servicioc = número de servidores N= capacidad del sistema K = disciplina de la cola (orden en el que se seleccionan los clientes en la cola)

Nota: si no se considera N ó K no se especifica se considera como infinito o LIFO respectivamente.

Las notaciones normales o estándar para representar las distribuciones de llegadas y de salidas (símbolos A y B) son: M = Distribución exponencial (Distribución de Markov o Poisson)D = Determinístico Ek = Distribución de Erlang G = Cualquier otra distribución

Entre la notación de Disciplina de la Cola (símbolo K) están:FIFO = Primero en llegar, primero en atenderLIFO = Último en llegar, primero en atenderSIRO= Servicio en orden aleatorioGD = Ordenamiento de acuerdo a prioridades

Por ejemplo:M/D/2/5/LIFOSignifica que el tiempo entre llegadas es exponencial, el tiempo de servicios es determinístico, cuenta con 2 servidores, tiene un limite de 5 clientes dentro de las instalaciones de servicios y el ultimo cliente en llegar será el siguiente al que se le dará el servicio.

D/D/1Significa que el tiempo entre llegadas y el tiempo de servicios son determinísticos y cuenta con 1 servidor, ya que capacidad del sistema y la disciplina de la línea de espera no se especifica se considera que son infinita y LIFO respectivamente.

MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO DE LAS COLAS

Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:

(ρ) = Factor de utilización del sistema(Pw) = Probabilidad de que el sistema esté ocupado (Po) = Probabilidad de que el sistema este desocupado (Pn) = Probabilidad de que haya n usuarios en el sistema (L) = Número promedio de clientes que se encuentran en el sistema(Lq) = Número promedio de clientes que esperan ser atendidos (W) = Tiempo promedio que un cliente se encuentre en el sistema(Wq) = Tiempo promedio que un cliente tiene que esperar antes de ser atendido

VARIEDAD DE COLAS

Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 2 de los modelos más usados. Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y se los encuentra en textos especializados sobre el tema.

Los modelos de colas a estudiar:

Modelo A: Modelos de Líneas de espera de un solo canal. Modelo B: Modelos de Línea de espera de multicanal.

MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL

El modelo M/M/1 describe una situación donde las llegadas de los clientes o usuarios se realiza de manera aleatoria, los tiempos de servicio, igualmente, son aleatorios y se tiene una sola unidad de servicio.

Este tipo de situaciones son normales en la vida cotidiana, por ejemplo: la fila en el supermercado, la fila en el banco, un conmutador telefónico o una línea de atención de emergencias son todas situaciones clásicas que pueden ser modeladas a través de este tipo de sistemas.

Lo primero que debemos tener en cuenta en la operación de una línea de espera M/M/1 es que λ = tasa promedio de llegadas, debe ser menor a μ = tasa promedio de servicio.

MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO EN LINEAS DE ESPERA M/M/1

λ = tasa media o promedio de llegadasμ = tasa media o promedio de servicio.

1.- Marty es dueño y gerente de un local de hot dogs y bebidas gaseosas cerca del campus. Aunque Marty puede atender en promedio a 30 clientes por hora, tan solo recibe a 20 clientes por hora. Ya que Marty podría esperar un 50% más de clientes que realmente visiten su tienda, para él no tiene sentido alguno tener colas de espera.Marty lo contrata a usted para que le ayude a examinar la situación y para determinar algunas de las características de la cola. Después de estudiar el problema, encuentra que es un sistema M/M/1. Suponiendo que las llegadas son aleatorias y el servicio es exponencial, encuentre:1.- Número promedio de clientes que se encuentran en el sistema2.- Tiempo promedio que un cliente se encuentre en el sistema3.- Número promedio de clientes que esperan ser atendidos 4.- Tiempo promedio que un cliente tiene que esperar antes de ser atendido5.- Factor de utilización del sistema6.- Probabilidad de que el sistema este desocupado.

Casos Aplicativos

2.- Lubrirápido es un taller de servicio rápido de lubricación y cambio de aceite para automóviles. En un día típico, los clientes llegan a una tasa de 3 por hora y los trabajos de lubricación se realizan a un promedio de uno cada 15 minutos. Los mecánicos trabajan en equipo, en un automóvil a la vez. Suponiendo que las llegadas son aleatorias y el servicio es exponencial, encuentre:1.- La utilización del equipo de lubricación2.- El número promedio de automóviles en espera.3.- El tiempo promedio que espera un automóvil para lubricación.4.- El tiempo total del paso por el sistema ( el tiempo de espera en cola más el tiempo de lubricación)

3.- El Banco Nacional de Occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil para servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15 por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada 3 minutos.Suponiendo una llegada de Poisson y el servicio exponencial, encuentre:1.- La utilización del sistema.2.- El número promedio en la cola.3.- Número promedio en el sistema.4.- Tiempo promedio de espera en cola.5.- Tiempo promedio de espera en el sistema, incluyendo el servicio. 6.- Cual es la probabilidad de tener 3 automóviles en el sistema?7.- Cual es la probabilidad de tener más de 3 automóviles en el sistema?

4.- El supermercado “EL EXITASO” tiene una caja de atención rápida donde atiende solo a clientes con diez o menos artículos, con lo cual esta es una caja de pago más rápida que las cajas de atención normales. El gerente Pedro Blanco después de levantar la información sobre esta caja ha logrado determinar que los clientes llegan a una tasa promedio de 70 por hora y que en promedio la atención de un cliente requiere 45 segundos, tiempo en cual la cajera además del registro y cobro realiza el empaque de los artículos.Considerando que las políticas de atención al cliente del almacén son que no se debe hacer esperar a los clientes más de 4 minutos en este tipo de cajas.Analice y recomiende al gerente algunas estrategias para mejorar la atención de los clientes en esta caja. Para ello determine:1. El λ y μ de la caja de atención rápida2. Los principales factores que se evalúan.

5.- Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora. Calcule las medidas de desempeño del sistema1.- ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso?2.- ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?3.- ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?4.- ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola?

6.- La gerente de un supermercado está interesada en brindar un buen servicio a las personas de mayor edad que compran en su local. Actualmente, el supermercado cuenta con una caja de salida reservada para los jubilados. Estas personas llegan a la caja a un ritmo promedio de 30 por hora, de acuerdo con una distribución de Poisson, y son atendidos a una tasa promedio de 35 jubilados por hora, con tiempos de servicio exponenciales. Calcule los siguientes promedios:1.- Utilización del empleado de la caja de salida2.- Número de clientes que entran al sistema.3.- Número de clientes formados en la fila.4.- Tiempo transcurrido dentro del sistema.5.- Tiempo de espera en la fila.6.- ¿Cuál sería la probabilidad de tener más de 4 jubilados en el sistema?