series y sucesiones
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Teorema 4 : si es una sucesión monótona decreciente con límite 0, la serie alternada Converge. S designa su suma y Su suma parcial n- sima, se tienen las desigualdades.
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Teorema 4 :
si es una sucesión monótona decreciente con límite 0, la serie alternada
Converge.
Si S designa su suma y Su suma parcial n- sima, se tienen
las desigualdades.
SERIES ALTERNANTES
ES UN TIPO DE SERIES INFINITAS QUE CONSTA DE
TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS, CUYOS
TERMINOS SON ALTERNADAMENTE ,POSITIVOS Y NEGATIVOS .
Si para todos los números enteros positivos n,entonces la series pueden ser con su primer términoPositivo:
Y con su primer número negativo:
EJEMPLOS
1) . Cuando su primer término es positivo:
2) . Cuando su primer término es negativo:
Una serie alternante es convergente si los valores absolutos
De sus términos decrecen y el límite n- esimo término es cero.
Este criterio también se le conoce como el Criterio de Leibniz para series alternantes
debido a que fue formulado por él en 1705.
TEOREMA DEL CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNANTES
Suponga que se tiene la serie alternante:
Para todos los números enteros positivos n.
Entonces la serie alternante es convergente.
DEMOSTRACION
Se tiene la serie alternante:
Consideramos la suma parcial:
Por hipótesis se tiene que:
Cada cantidad en la hipótesis es positiva :
También se puede escribir como :
Como , cada cantidad dentro de los paréntesis es positiva. Por lo tanto:
Para cada número positivo n.
De (3) y (4) :
Para cada número positivo n.
De modo que la sucesión es monótona acotada entoncesES CONVERGENTE.
Suponga que el límite de esta sucesión es , esto es:
entonces
como
Por hipótesis
0entonces
entonces
Por lo tanto, la sucesión de sumas parciales de los términosPares y la sucesión de sumas de los términos impares
Tienen el mismo límite S.
Ahora demostrare que el
como
Para cualquier
/ Si
como
/si
Si N es el mayor de los números enteros
Entonces de reduce a que si entonces
Por lo tanto Es convergente.
