Serie de FourierINTRDUCCIONUnaserie de Fourieres unaserieinfinita que converge puntualmente a unafuncin peridicaycontinuaa trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho ms simples (como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemtico francsJean-Baptiste Joseph Fourier, que desarroll la teora cuando estudiaba laecuacin del calor. Fue el primero que estudi tales series sistemticamente, y public sus resultados iniciales en1807y1811. Esta rea de investigacin se llama algunas vecesanlisis armnico.Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera, adems de ser una herramienta sumamente til en la teora matemtica abstracta. reas de aplicacin incluyen anlisis vibratorio, acstica, ptica, procesamiento de imgenes y seales, y compresin de datos. En ingeniera, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a travs del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una seal dada, se puede optimizar el diseo de un sistema para la seal portadora del mismo. Refirase al uso de un analizador de espectros.

Las primeras cuatro aproximaciones para una funcin peridica escalonada

Las series de Fourier tienen la forma:

Dondeyse denominancoeficientes de Fourierde la serie de Fourier de la funcin

Sies una funcin (o seal) peridica y su perodo es, la serie de Fourier asociada aes:

Donde,yson los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por laidentidad de Euler, las frmulas de arriba pueden expresarse tambin en su forma compleja:

Los coeficientes ahora seran:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

dondeysiendo:

a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonomtrica de Fourier.Teorema de Dirichlet: Convergencia a una funcin peridicaSupongamos que f(x) es unafuncin peridica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un nmero finito de mximos y mnimos locales y un nmero finito de discontinuidades, de perodo 2p. Sean

y

Entonces la serie converge a

En donde, y.

FormulacionesForma compactaEn ocasiones es ms til conocer la amplitud y la fase en trminos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidal. Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:

Donde

Forma exponencial

Por laidentidad de Eulerpara laexponencialcompleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

En forma ms compacta:

estas ecuaciones solo son vlidas cuando el periodocon. Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

donde

Formulacin modernaRealmente el desarrollo enserie de Fourierse hace para funciones decuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalose denota con. Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

que lo dota de estructura deespacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones depueden desarrollarse en series de Fourier. As,el conjuntoes unabase ortonormaldel espacio. El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Dondeson los coeficientes del desarrollo de Fourier.Por ltimo, laidentidad de Parsevaldice que dada una funcinde cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier, se verifica que:

En lenguaje tcnico, podramos decir que hay unaisometraentre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos trminos tienen cuadrados sumables.

Formulacin generalLas propiedades tiles de las series de Fourier se deben principalmente a laortogonalidady a lapropiedad de homomorfismode las funcionesei n x.Otras sucesiones defunciones ortogonalestienen propiedades similares, aunque algunas identidades tiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirn cumplindose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".Algunos ejemplos son las secuencias defunciones de Bessely lospolinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuacin diferencial; una gran clase de tales sucesiones tiles son soluciones de los llamadosproblemas de Sturm-Liouville.Aplicaciones Generacin de formas de onda de corriente o tensin elctrica por medio de la superposicin de sinusoides generados por osciladores elctrnicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya estn determinadas. Anlisis en el comportamiento armnico de una seal. Reforzamiento de seales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital elctrica donde la seal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solucin en rgimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia. La resolucin de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fcilmente computables, y que obtener soluciones prcticas, en la teora de latransmisin del calor, lateora de placas, etc.

Instituto tecnolgico de Villahermosa

Nombre de la unidad:Serie de Fourier

Materia:Ecuaciones diferenciales

Carrera:Ingeniera Qumica

Maestro:Alberto Hernndez lopez

Alumno:Eleacer Hernndez Lopez

Bibliografia:Zill, D. G. (2002).Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Thomson Learning.

Simmons, G. F., & Robertson, J. S. (2002).Ecuaciones diferenciales: con aplicaciones y notas histricas.Elsgolts, L. E. (1975).Ecuaciones diferenciales y clculo variacional. Eds. de Cultura Popular.http://es.slideshare.net/sanpatrick1/serie-de-fourier-2331307?related=1

http://www.matap.uma.es/~svera/probres/probres7.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier#Ejemplos_de_series_de_Fourier

CONCLUCION:

Llegamos a la conclucion de que matemtica para el estudio de seales y sistemas. Trasformada de Fourier Bsicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una seal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Serie de Fourier para seales peridicas. Cualquier seal peridica se puede expresar como una suma de funciones senosoidales, denominada serie de Fourier. Trasformada de Fourier Conclusin la transformada de Fourier se aplica en el estudio de seales y sistemas, as como en ptica; aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que se usan para tomar una tomografa, tambin surge en las tcnicas analticas como la resonancia magntica nuclear, y en general, en todo tipo de instrumentacin cientfica que se use para el anlisis y la presentacin de datos La transformada de Fourier se emplea con seales peridicas a diferencia de la serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son (Condicionesde Dirichlet): Que la seal sea absolutamente integrable, es decir: Que tenga un grado de oscilacin finito.Que tenga un nmero mximo de discontinuidades