Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros · Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 18...

Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1

Series de Fourier

Serie Trigonométrica de Fourier

Análisis gráfico. Primeras componentes de

frecuencia

Ejemplo

Serie de Fourier en forma de Exponenciales Compleja

Serie Compacta de Fourier

Serie de Fourier para Señales Simétricas

Indice:

Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros


4. Series de Fourier

Cualquier señal periódica x(t), definida en el intervalo (-T/2, T/2), donde T es su

período y que satisface las siguientes condiciones suficientes “Condiciones de

Dirichlet”, se puede desarrollar en Serie de Fourier:

a. La función x(t) es periódica, es decir, x(t) = x(t+T)

b. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo (-

T/2, T/2).

c. La función x(t) es de módulo integrable en un período, es decir,

es finita.




Las condiciones b y c implican que x(t) es una función acotada en el intervalo (-T/2,

T/2), es decir, que |x(t)| ≤ K en el intervalo (-T/2, T/2), donde K es una constante.

La serie de Fourier es un procedimiento matemático que aporta una manera

diferente de expresar una función x(t).

Además este procedimiento permite realizar análisis de formas de ondas, ya no

en el dominio del tiempo, sino en el dominio de la frecuencia, esto es, la nueva

variable a utilizar es “ w ” conocida como la frecuencia angular.





Si f(t) es una función periódica de período T, integrable en el intervalo fundamental (-

T/2, T/2), y cumple con las tres condiciones de Dirichlet, se puede expresar como una

serie de funciones senoidales y cosenoidales llamadas componentes o armónicas de

f(t) la cual puede ser representada por la serie trigonométrica de Fourier como sigue:



Los valores de los coeficientes a0, an y bn se determinan por las ecuaciones

siguientes:

El termino a0/2 representa el valor medio de f(t) en el tiempo.

No es necesario que el intervalo de integración sea simétrico respecto del origen. El

único requisito es que la integral se tome sobre un período completo.







Análisis gráfico. Primeras componentes de frecuencia.

1ra Armónica

2da Armónica

3ra Armónica





A continuación se muestra cómo se va aproximando la señal periódica al ir

sumando sus componente de frecuencia.

• Sumando las primeras 2 componentes de frecuencia de la señal periódica.







• Fenomeno de Gibbs. Se refiere a los rizos que se presentan en el comportamiento de las sumas parciales en las cercanías de las discontinuidades, sin importar la cantidad de armónicos que se tomen, y equivalente a un aumento de 9% de la altura de la discontinuidad.





Ejemplo:

Hallar la serie de Fourier para la señal representada en la figura:

La señal es continua y cumple con las condiciones de Dirichlet. La serie de

Fourier está dada por:

a0 = 10 an = 0 bn = - nπ 10





Ejemplo:

Armónicos

Gráfica de la Señal 5 a0 / 2

-10 π





La serie de Fourier se expresa a través del uso de las exponenciales complejas

Consideremos:

1

000 cos2

1)(

n

nn tsennwbtnwaatfSea la serie

Sustituyendo

1 = -j j



Cambios de variables:

Serie Exponencial de Fourier

Sustituyendo





Cálculo de las nuevas variables

Igualdades generadas





Observaciones:

De se pueden obtener los valores de amplitud (magnitud) de la función para

cualquier valor de “n”.

De se puede obtener la fase respectiva para cada valor de “n”.

Para cada valor de amplitud determinado le corresponde un valor de fase.

Si se grafica la amplitud vs la variable “n” se obtiene el Espectro de Amplitud.

Si se gráfica la fase vs la variable “n” se obtiene el Espectro de Fase de la función.





Serie Compacta de Fourier.


La serie compacta de Fourier se representa como sigue:

Demostración:

f t a a nw t b nw tn nn

( ) cos sen1

2 0 0 01

f t a a ba

a bnw t

b

a bnw tn n

n

n n

n

n nn

( ) ( .cos sen )1

2 0

2 2

2 2 0 2 2 01

Operando el segundo miembro:

Sea la serie



22cos

nn

nn

ba

asen n

n

n n

b

a b2 2 c a bn n n

2 2 c a0 0

1

2

Variables Auxiliares

f t c c nw t nw tn n n

n

( ) (cos .cos sen sen )0 0 0

1

Considerando la identidad trigonométrica senAsenBBABA coscos)cos(

Sustituyendo

n

n

nn

n

nn

n

n

nn

a

barctg

ba

a

ba

b

arctgsen

arctg

22

22

cos







La representación en serie de Fourier de una función periódica, es representado

como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencia.

wn = nw0 se denomina la enésima armónica de la función periódica.

La primera armónica comúnmente se conoce como la componente

fundamental, porque tiene el mismo período de la función.

w0=2π/T se conoce como la frecuencia angular fundamental.

Los coeficientes Cn se conocen como amplitudes armónicas.

Los ángulos θn se conocen como ángulos de fase



Serie de Fourier para Señales Simétricas


Series de Fourier para función Periódica Par

Series de Fourier para función Periódica Impar



Series de Fourier para función Periódica con Simetría de Media Onda

Series de Fourier para función Periódica con Simetría de Cuarto de Onda Par

Series de Fourier para función Periódica con Simetría de Cuarto de Onda Impar



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