S´ergio Tadao Martins · 2013. 2. 27. · Uma copia da versa˜o original esta´ dispon´ıvel no...

Aproximacoes da diagonal e aneis decohomologia dos grupos fundamentaisdas superfıcies, de fibrados do toro e de

certos grupos virtualmente cıclicos

Sergio Tadao Martins

Tese apresentadaao

Instituto de Matematica e Estatısticada

Universidade de Sao Paulopara

obtencao do tıtulode

Doutor em Ciencias

Programa: MatematicaOrientador: Prof. Dr. Daciberg Lima Goncalves

Sao Paulo, outubro de 2012

Aproximacoes da diagonal e aneis decohomologia dos grupos fundamentaisdas superfıcies, de fibrados do toro e de

certos grupos virtualmente cıclicos

Esta versao da tese contem as correcoes e alteracoes sugeridaspela Comissao Julgadora durante a defesa da versao original do trabalho,realizada em 28/11/2012. Uma copia da versao original esta disponıvel no

Instituto de Matematica e Estatıstica da Universidade de Sao Paulo.

Agradecimentos

Esta tese nao e apenas o fruto do trabalho individual de seu autor (como nenhuma tese e). Elanao existiria, em primeiro lugar, sem o acompanhamento de meu orientador nestes ultimos anos.Indo alem, devo agradecer tambem todos os professores que participaram da minha formacaoacademica, e nao apenas nestes ultimos anos: deveria retornar ate aquela epoca na qual euainda nem sabia, verdadeiramente, o que era Matematica.

E a Matematica pode ser, as vezes, uma atividade bastante solitaria (pois, como se sabe,ninguem pode estudar por voce). E por este motivo tenho muito a agradecer aquelas pessoasque, compreendendo a situacao, muito me auxiliaram e auxiliam ao simplesmente, em seusilencio, me permitirem estes momentos solitarios nos quais tudo acontece (bem, nem sempre:as vezes o saldo de horas de estudo nao passa de um monte de papel com rabiscos inuteis e ideiasque nao funcionaram). Em especial, agradeco a minha esposa Elaine, que ha anos compreendemuito bem como as coisas sao e me apoia com amor e paciencia.

Tambem nao tenho como agradecer o suficiente a meus pais, Gilberto e Cecılia, que naoapenas me deram condicoes de estudo, mas me deram tudo, desde o dia em que eu nasci.

Finalmente, agradeco a Deus, que nos da a vida e nos acompanha, sutilmente, em todos osmomentos. Afinal, o que e que nos temos, que nao nos tenha sido dado por Ele?

i

Resumo

MARTINS, S. T. Aproximacoes da diagonal e aneis de cohomologia dos grupos funda-mentais das superfıcies, de fibrados do toro e de certos grupos virtualmente cıclicos.2012. Tese (Doutorado) - Instituto de Matematica e Estatıstica, Universidade de Sao Paulo,Sao Paulo, 2012.

Dado um grupo G, a definicao dos grupos de cohomologia H∗(G,M) para um ZG-moduloMpodem ser dadas usando as tecnicas usuais da Algebra Homologica, que garantem a existenciade resolucoes projetivas de P de Z como um ZG-modulo trivial, a equivalencia entre resolucoesdistintas etc. Podemos tambem construir um produto H∗(G,M)⊗H∗(G,N) → H∗(G,M⊗N),cuja definicao depende de uma aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗P . Entretanto, o calculoexplıcito de tais resolucoes projetivas e dos gruposH∗(G,M) pode ser bastante difıcil na pratica,e ainda mais difıcil a obtencao de uma aproximacao da diagonal ∆. Nesta tese, obteremos re-solucoes livres e aproximacoes da diagonal para os grupos fundamentais das superfıcies quesao espacos K(G, 1) e tambem para o grupo fundamental de fibrados do toro com base S1,bem como a estrutura do anel de cohomologia de tais grupos. Ainda, para certos gruposvirtualmente cıclicos G, obteremos o anel de cohomologia H∗(G,Z) calculando diretamenteuma resolucao livre e uma aproximacao da diagonal, ou entao usando a sequencia espectral deLyndon-Hochschild-Serre. A motivacao para o estudo da primeira famılia de grupos vem dofato de representarem variedades de dimensao 2 e 3, e da segunda famılia por ser constituidade grupos que atuam em esferas de homotopia.

Palavras-chave: cohomologia de grupos, resolucoes livres, aproximacao da diagonal, gruposfundamentais das superfıcies, fibrados do toro, grupos virtualmente cıclicos.

iii

Abstract

MARTINS, S. T. Diagonal approximations and cohomology rings for the fundamen-tal groups of surfaces, torus bundles and some virtually cyclic groups. 2012. Tese(Doutorado) - Instituto de Matematica e Estatıstica, Universidade de Sao Paulo, Sao Paulo,2012.

Given a group G, a definition for the cohomology groups H∗(G,M) for a ZG-modulo Mcan be given using the standard techniques of Homological Algebra, that ensure the existenceof projective resolutions P of Z as a trivial ZG-module, the equivalence between two suchresolutions etc. We can also construct a product H∗(G,M) ⊗ H∗(G,N) → H∗(G,M ⊗ N),whose definition depends on a diagonal approximation ∆: P → P ⊗ P . However, the explicitcomputation of such resolutions and of the groups H∗(G,M) may be very hard in practice,and even worse may be the task of constructing a diagonal approximation ∆. In this thesis,we obtain free resolutions and diagonal approximations for the fundamental groups of surfacesthat are K(G, 1) spaces and for the fundamental group of the torus bundle with S1 as the basespace, as well as the structure of the cohomology ring of these groups. Also, for some virtuallycyclic groups, we obtain the cohomology ring H∗(G,Z) by an explicit computation of a freeresolution and a diagonal approximation, or by the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence.The motivation for the study of the first family of groups comes from the fact that such groupsrepresent manifolds of dimension 2 and 3, and the groups of the second family act on homotopyspheres.

Keywords: cohomology of groups, free resolutions, diagonal approximation, fundamentalgroups of surfaces, torus bundles, virtually cyclic groups.

v

Sumario

1 Introducao 11.1 Aneis de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Homologia e cohomologia de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Resolucoes para extensoes de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Produtos em cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 A sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Aproximacoes da diagonal para os grupos fundamentais das superfıcies 172.1 O toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Superfıcies orientaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 A garrafa de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Superfıcies nao orientaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Aproximacao da diagonal para o grupo (Z⊕ Z)⋊ Z 493.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Resolucao livre de Z como Z[G⋊ Z]-modulo trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Os grupos de cohomologia H∗(G⋊ Z,Z), H∗(G⋊ Z,Z2) e H

∗(G⋊ Z,Zp) . . . . 603.4 Homotopia de contracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5 Aproximacao da diagonal e produto cup em H∗(G ⋊ Z,Z), H∗(G ⋊ Z,Z2) e

H∗(G⋊ Z,Zp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Cohomologia de certos grupos virtualmente cıclicos 1014.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2 O anel de cohomologia de G = Z ⋊ Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3 O anel de cohomologia de G = Z ⋊ Z2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4 O anel de cohomologia de G = (Za ⋊α Zb)⋊θ Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Referencias Bibliograficas 121

Indice Remissivo 123

vii

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Aneis de grupos

Seja G um grupo (com notacao multiplicativa). Definimos o anel de grupo ZG como o Z-modulolivre gerado pelos elementos de G. Mais especificamente, um elemento de ZG e uma soma formal

∑

g∈G

αgg, αg ∈ Z,

na qual αg = 0 exceto para uma quantidade finita de elementos g ∈ G.

A multiplicacao em G se estende unicamente para um produto bilinear ZG × ZG → ZG.Desta forma, ZG se torna um anel com as operacoes

∑

g∈G

αgg +∑

g∈G

βgg =∑

g∈G

(αg + βg)g

e (∑

g∈G

αgg

)(∑

h∈G

βhh

)

=∑

g,h∈G

(αhβh)gh.

O elemento neutro multiplicativo de ZG e, portanto, o elemento∑

g∈G

αgg tal que α1G = 1 e

αg = 0 se g 6= 1G. Para nos, um anel sempre significara anel com unidade.

Definimos o homomorfismo de aumento ε : ZG → Z como sendo o homomorfismo de aneistal que ε(g) = 1 para todo g ∈ G. O nucleo deste homomorfismo e chamado de ideal de aumentoe denotado por IG.

O anel de grupo ZG e caracterizado pela seguinte propriedade universal:

Proposicao 1.1 Denotemos por i : G→ ZG a inclusao obvia, e seja R um anel. Para qualquerfuncao f : G → R tal que f(xy) = f(x)f(y) e f(1G) = 1R, existe um unico homomorfismo deaneis f ′ : ZG→ R tal que f ′ ◦ i = f .

Um ZG-modulo (a esquerda) A e definido a partir de um homomorfismo σ′ : ZG→ End(A).Como um homomorfismo de aneis levam elementos inversıveis em elementos inversıveis e todoelemento de G e inversıvel em ZG, o homomorfismo σ′ e obtido, pela propriedade universal, apartir de um homomorfismo de grupos σ : G→ Aut(A). Dizemos que o modulo A e trivial se osisomorfismos σ(g) : A→ A sao todos iguais a identidade. Tambem podemos definir ZG-modulosa direita de modo similar.

1

1.2 Homologia e cohomologia de grupos

Seja A um ZG-modulo a esquerda e B um ZG-modulo a direita. Definimos o n-esimo grupo decohomologia de G com coeficientes em A por

Hn(G,A) = ExtnZG(Z, A),

e o n-esimo grupo de homologia de G com coeficientes em B por

Hn(G,B) = TorZGn (Z, B).

Em ambas as definicoes, Z e visto como um ZG-modulo trivial. Mais detalhes a respeito destadefinicao, bem como sua motivacao, podem ser encontrados em [Bro82] e [HS97].

Com esta definicao, temos entao um metodo (teorico, pelo menos) de calcular os gruposHn(G,A) e Hn(G,B): inicialmente, tomamos uma resolucao projetiva P sobre o anel ZG doZG-modulo trivial Z, construimos os complexos de cadeia HomZG(P,A) e B⊗ZGP , e em seguidacalculamos a (co)homologia destes complexos.

Recordaremos entao brevemente algumas definicoes e resultados de Algebra Homologica quenos permitem mostrar que a definicao dos grupos de (co)homologia nao dependem da resolucaoprojetiva escolhida e que tambem serao uteis no futuro. No que segue, os complexos de cadeiasao complexos de cadeia de R-modulos para algum anel R, e todos os homomorfismos saohomomorfismos de R-modulos, a menos que outra estrutura seja explicitamente mencionada.Uma homotopia h entre dois homomorfismos de cadeia f, g : (C, ∂) → (C ′, ∂′) e uma famıliade homomorfismos (hi : Ci → C ′

i+1) tal que ∂′i+1hi + hi−1∂i = fi − gi para todo i. Neste casoescrevemos f ∼ g, e a relacao ∼ e uma relacao de equivalencia. Dizemos que f : C → C ′ e umaequivalencia homotopica se existe f ′ : C ′ → C tal que f ′f ∼ idC e ff ′ ∼ idC′ .

Lema 1.2 Sejam (C, ∂) e (C ′, ∂′) dois complexos de cadeia e seja r ∈ Z tal que Ci e projetivopara i > r e Hi(C

′) = 0 para i ≥ r. Se (fi : Ci → C ′i)i≤r e uma famılia de homomorfismos

tal que ∂′ifi = fi−1∂i para i ≤ r, entao (fi)i≤r se estende para um homomorfismo de cadeiasf : C → C ′, e f e unica a menos de homotopia. Mais precisamente, duas extensoes quaisquersao homotopicas por uma homotopia h tal que hi = 0 para i ≤ r.

Demonstracao: Assuma indutivamente que fi tenha sido construıda para i ≤ n, com n ≤ r, eque ∂′ifi = fi−1∂i para i ≤ n. Nosso problema entao consiste em definir o homomorfismo fn+1

que torna o diagrama a seguir comutativo:

Cn+1∂

//

fn+1

��

Cn∂

//

fn

��

Cn−1

fn−1

��

C ′n+1

∂′

// C ′n ∂′

// C ′n−1.

Observando que ∂′fn∂ = fn−1∂∂ = 0, segue que im fn∂ ⊂ ker ∂′ = im ∂′ ⊂ C ′n. Portanto

podemos considerar o diagrama

Cn+1

fn∂

��

fn+1

yyrr

rr

r

C ′n+1

∂′

// im ∂′ ⊂ Cn// 0,

do qual a existencia do homomorfismo fn+1 segue imediatamente do fato de Cn+1 ser projetivo.

2

Suponha agora que g e uma outra extensao de (fi)i≤r. Queremos encontrar uma homotopiah entre f e g. Assumimos, indutivamente, que hi : Ci → C ′

i+1 tenha sido definida para i ≤ n,em que n ≥ r, e tal que

∂′hi + hi−1∂ = fi − gi.

Note que podemos tomar hi = 0 para i ≤ r. Definindo τi = fi − gi, devemos entao determinaro homomorfismo hn+1 no diagrama

Cn+1∂

//

τn+1

��

hn+1

{{ww

ww

Cn∂

//

τn

��

hn

||yyyy

yyyy

Cn−1

hn−1||yyyyy

yyy

C ′n+2

∂′

// C ′n+1

∂′

// C ′n,

no qual

∂′hn∂ = (τn − hn−1∂)∂ por hipotese de inducao

= τn∂ pois ∂∂ = 0

= ∂′τn+1 pois τ e homomorfismo de complexo de cadeias.

Logo im(hn∂ − τn+1) ⊂ ker ∂′ = im ∂′ ⊂ C ′n+1, e estamos numa situacao analoga a que encon-

tramos no problema de extensao da famılia (fi)i≤r. A existencia de hn+1 segue entao do fatode Cn+1 ser projetivo.

Considere agora duas resolucoes projetivas P e P ′ do modulo M :

· · · // P1//

��

P0ε

//

��

M // 0

��

· · · // P ′1

// P ′0

ε′// M // 0

Pelo Lema 1.2, existe um homomorfismo de cadeias f : P → P ′ que satisfaz ε′f = ε (dizemosentao que f preserva o aumento), que e unico a menos de homotopia. Analogamente, existe umhomomorfismo de cadeias f : P ′ → P que preserva o aumento. O Lema 1.2 implica ainda quef ′f ∼ idP e ff ′ ∼ idP ′ , em que ∼ indica a relacao de homotopia. Isto prova o seguinte teorema:

Teorema 1.3 Dadas duas resolucoes projetivas P e P ′ de um modulo M , existe um homomor-fismo de cadeias f : P → P ′, unico a menos de homotopia, e f e uma equivalencia homotopica.

Corolario 1.4 Seja

· · · // Pn// · · · // P1

// P0ε

//Z

// 0

uma resolucao livre de Z como Z-modulo. Entao ε e uma equivalencia homotopica (neste caso,como estamos tratando de Z-modulos, todos os homomorfismos sao simplesmente homomorfis-mos de grupos abelianos).

Demonstracao: Considere o diagrama

· · · // Pn//

0��

· · · // P1

0��

// P0ε

//

ε

��

Z// 0

· · · // 0 // · · · // 0 //Z

idZ//Z

// 0,

no qual a segunda linha tambem e uma resolucao livre de Z como Z-modulo. O resultado segue

3

entao imediatamente do Teorema 1.3.

Corolario 1.5 Se P e um complexo de cadeia nao negativo exato (isto e, cuja homologia enula) de R-modulos projetivos, entao P e contratil, isto e, idP ∼ 0.

Demonstracao: O resultado segue imediatamente observando que o P e o complexo nulo saoresolucoes projetivas (sobre o anel R) de 0, logo sao homotopicamente equivalentes atraves deuma R-homotopia.

Quando um complexo de cadeia e homotopico ao complexo nulo, uma homotopia entre idPe 0 e chamada de homotopia de contracao. Considere entao uma resolucao projetiva P de Z

como um ZG-modulo trivial:

· · · // Pn// · · · // P1

// P0ε

//Z

// 0.

Se ignorarmos a acao de G, o complexo acima e uma resolucao livre de Z como Z-modulo.Portanto, pelo Corolario 1.5, existe uma homotopia de contracao s para a resolucao P , naqual os homomorfismos sn sao homomorfismos de Z-modulos (isto e, homomorfismos de gruposabelianos), mas nao necessariamente de ZG-modulos.

Proposicao 1.6 Se os homomorfismos de complexos de cadeia f, g : (C, ∂) → (C ′, ∂′) sao ho-motopicos, entao H(f) = H(g) : H(C) → H(C ′).

Demonstracao: Seja h uma homotopia entre f e g e seja z ∈ ker ∂n. Entao

(f − g)(z) = ∂h(z) + h∂(z) = ∂h(z),

pois ∂(z) = 0. Logo f(z) − g(z) ∈ im ∂′n+1, isto e, f(z) e g(z) pertencem a mesma classe dehomologia.

Lema 1.7 Seja F : R-mod → Z-mod um funtor aditivo da categoria dos R-modulos na categoriados Z-modulos. Se os homomorfismos de complexos de cadeia f, g : C → C ′ sao tais que f ∼ g,entao F (f) ∼ F (g) : F (C) → F (C ′).

Demonstracao: Seja h uma homotopia entre f e g. Temos

F (f)− F (g) = F (f − g) = F (∂h+ h∂) = F (∂)F (h) + F (h)F (∂),

logo F (h) e uma homotopia entre F (f) e F (g).

4

Assim, observando que os funtores HomZG( , A) e B ⊗ZG sao aditivos, entao o Teo-rema 1.3, a Proposicao 1.6 e o Lema 1.7 garantem que os grupos Hn(G,A) e Hn(G,B) estaobem definidos.

Dado um grupo G, determinar uma resolucao projetiva (ou livre) de Z como um ZG-modulotrivial nao e, em geral, uma tarefa simples. Veremos agora que acoes livres de G sobre complexoscontrateis dao origem a resolucoes livres de Z como ZG-modulo trivial.

Um G-complexo e um CW-complexo X munido de uma acao de G sobre X que permutasuas celulas. Assim, para cada g ∈ G, temos um homeomorfismo x 7→ gx de X tal que a imagemde gσ de qualquer celula σ de X e tambem uma celula. Se X e um G-complexo, a acao deG em X induz uma acao de G no complexo de cadeia celular C∗(X), que se torna entao umcomplexo de cadeia de ZG-modulos, no qual o aumento ε : C0(X) → Z dado por ε(v) = 1 paratoda 0-celula v de X e um homomorfismo de ZG-modulos.

Dizemos que X e um G-complexo livre se a acao de G permuta livremente as celulas de X,ou seja, para toda celula σ de X e g ∈ G, g 6= 1 ⇒ gσ 6= σ. Neste caso, cada ZG-modulo Cn(X)e de fato um ZG-modulo livre.

Finalmente, se X e contratil, a sequencia

· · · // Cn(X)∂

// Cn−1(X) // · · · // C0(X)ε

//Z

// 0

e exata, e temos:

Proposicao 1.8 Seja X um G-complexo livre e contratil. O complexo de cadeia celular au-mentado de X e uma resolucao de Z como ZG-modulo trivial.

Se Y e um espaco K(G, 1), entao o seu recobrimento universal p : X → Y e um G-complexolivre contratil. Logo da proposicao anterior segue o seguinte resultado:

Corolario 1.9 Se Y e um K(G, 1), entao o complexo de cadeia celular aumentado do recobri-mento universal de Y e uma resolucao livre de Z como ZG-modulo trivial.

Damos agora um exemplo de aplicacao do Corolario 1.9:

1. Seja G = F (S) o grupo livre gerado pelo conjunto S. Seja Y =∨

s∈S

S1s , um buque de

cırculos S1 com um cırculo para cada elemento de S. Entao Y e um 1-complexo com 1vertice e uma 1-celula para cada elemento de S. Sabemos que π1(Y ) ∼= G. Alem disso, Y eum K(G, 1), pois seu recobrimento universal X e unidimensional. Como ponto base de Xescolhemos um vertice x0, que e um gerador para C0(X). Uma base de C1(X) e construıdatomando, para cada s ∈ S, uma 1-celula es de X sobre S1

s (percorrida no sentido positivo)e cujo vertice inicial e x0. Seu vertice final e, portanto, sx0, logo ∂es = (s−1)x0. Obtemosentao a resolucao livre

0 //⊕

s∈S ZG∂

//ZG

ε//Z

// 0,

na qual uma base para⊕

s∈S ZG e dada por {es : s ∈ S}, ∂es = s − 1 e ε(g) = 1 paratodo g ∈ G.

2. Como um caso particular do exemplo anterior, se S e um conjunto unitario, entao G ∼=Z = 〈t〉 e obtemos a seguinte resolucao livre de Z como ZG-modulo trivial:

0 // ZZt−1

// ZZε

// Z // 0.

5

Alem do caso dos grupos livres, sao conhecidas tambem resolucao para outras famılias degrupos. Por exemplo, para o grupo cıclico G = Zn = 〈t | tn〉, mostra-se em [Bro82] que

· · · //ZG

N//ZG

t−1//ZG

N//ZG

ε//Z

// 0,

e uma resolucao livre, com N = 1 + t+ · · ·+ tn−1.

Embora nao haja uma tecnica padrao para construirmos uma resolucao de Z sobre ZG, taltecnica existe pelo menos para construirmos o inıcio de uma resolucao usando o calculo de Fox,como detalharemos neste momento. Um tratamento mais geral pode ser encontrado em [FC63].

Seja G = 〈X | R〉 um grupo finitamente presentado, isto e, temos um conjunto finito X degeradores e um conjunto finito de relacoes R. Suponha que x, y ∈ X e v,w ∈ ZG. O calculo deFox define funcoes

∂

∂x: ZG→ ZG,

chamadas de derivadas de Fox, tais que

∂

∂x(y) =

{

1, se y = x,

0, se y 6= x,

∂

∂x(v + w) =

∂

∂x(v) +

∂

∂x(w),

∂

∂x(vw) =

∂

∂x(v) + v

∂

∂x(w).

As derivadas de Fox nos permitem construir uma resolucao parcial (ate P2) de Z comoZG-modulo trivial. Mais precisamente, temos:

Proposicao 1.10 Suponha que G = 〈X | R〉 seja um grupo finitamente presentado com X ={xi} e R = {ri}. Definimos os modulos livres

P0 = (ZG-modulo livre com gerador a) ∼= ZG,

P1 = (ZG-modulo livre com um gerador bi para cada elemento xi ∈ X) ∼= ZG|X|,

P2 = (ZG-modulo livre com um gerador cj para cada elemento ri ∈ R) ∼= ZG|R|,

e defina os diferenciais

ε : P0 → Z

ε(a) = 1,

d1 : P1 → P0

d1(bi) = (xi − 1)a ∀bi,

d2 : P2 → P1

d2(ci) =∑

j

∂

∂xj(ri)bj ∀ci.

Entao a sequencia

P2d2

// P1d1

// P0ε

// Z // 0

e exata em P0.

6

Demonstracao: Temos ε(d1(bi)) = ε((xi−1)a) = 0, logo im d1 ⊂ kerd0. Para mostrar a inclusaocontraria, definimos os homomorfismos de grupos abelianos s−1 : Z → P0 e s0 : P0 → P1 por

s−1(1) = a e s0(wa) =∑

i

∂

∂xi(w)bi, com w ∈ G. Entao, para todo g ∈ G, temos

(d1s0 + s−1ε)(ga) = d1

(∑

i

∂g

∂xibi

)

+ a =∑

i

∂g

∂xi(xi − 1) + a = (g − 1)a+ a = ga.

A partir desta resolucao parcial, e facil notar o fato (tambem observavel por outros meios)que

H0(G,M) =MG = {m ∈M : gm = m ∀g ∈ G}.

Usaremos este fato para realizar a construcao da sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre. Outro fato que sera util para esta mesma construcao e o lema a seguir.

Lema 1.11 (Shapiro) Se H e um subgrupo do grupo G e M e um ZH-modulo, entao

H∗(H,M) ∼= H∗(G,HomZH(ZG,M)).

Demonstracao: Sendo

· · · // Pn// Pn−1

// · · · // P0ε

//Z

// 0,

uma resolucao projetiva, o lema segue imediatamente do fato que

HomZH(P,M) ∼= HomZG(P,HomZH(ZG,M)).

1.3 Resolucoes para extensoes de grupos

Neste trabalho, usaremos mais de uma vez uma tecnica contida no artigo [Wal61] e que re-sumiremos agora: dada uma sequencia exata de grupos

1 // K // G // H // 1,

somos capazes de construir uma resolucao livre para G se possuirmos resolucoes livres de H eK do seguinte modo: seja

· · · // Br// · · · // B1

// B0ε

//Z

// 0

uma resolucao livre sobre ZK. Como K e subgrupo de G, ZG e um ZK-modulo livre, logoZG⊗ZKBr e um ZG-modulo livre e 1⊗ε : ZG⊗ZKB → ZG⊗ZKZ ∼= ZH induz um isomorfismoem homologia.

Seja· · · // Cs

// · · · // C1// C0

// Z // 0

uma resolucao livre sobre ZH, de modo que Cs seja livre em αs geradores. Definimos Ds como asoma direta de αs copias de ZG⊗ZK B, o que nos fornece um homomorfismo de aumento sobresobre a soma direta de αs copias de ZH, a qual identificamos com Cs e escrevemos εs : Ds → Cs.Se Ar,s e o submodulo de Ds que e a soma direta de αs copias de ZG⊗ZK Br, entao Ar,s e umZG-modulo livre e Ds e a soma direta dos Ar,s’s. Denotamos por d0 o diferencial em cada umdos complexos Ds. O seguinte lema e entao demonstrado em [Wal61]:

7

Lema 1.12 Existem ZG-homomorfismos dk : Ar,s → Ar+k−1,s−k tais que

(i) d1εs−1 = εsd : A0,s → Cs−1, em que d denota o diferencial em C;

(ii)k∑

i=0

didk−i = 0 para todo k, em que dk e nulo se r = k = 0 ou se s < k.

Com estes homomorfismos, e provado entao o seguinte teorema:

Teorema 1.13 Sendo A a soma direta dos Ar,s, graduado por dimAr,s = r + s, e sendo d =∑dk, temos que o complexo (A, d) e acıclico, e portanto nos da uma resolucao livre sobre ZG.

1.4 Produtos em cohomologia

Sejam G e G′ grupos, M um ZG-modulo a esquerda e M ′ um ZG′-modulo modulo a esquerda.O produto tensorial M ⊗ M ′ (sempre que usamos o sımbolo ⊗ sem a especificacao do anel,entende-se o produto tensorial sobre Z, isto e, o produto tensorial de grupos abelianos) torna-seentao um Z[G×G′]-modulo a esquerda ao definirmos

(g, g′) · (m⊗m′) = gm⊗ g′m′.

Observe que, se M e projetivo sobre ZG e M ′ e projetivo sobre ZG′, entao M ⊗M ′ e projetivosobre Z[G×G′]. De fato, basta verificarmos esta afirmacao quando M = ZG e M ′ = ZG′, masneste caso a afirmacao segue diretamente do isomorfismo ZG⊗ ZG′ ∼= Z[G×G′].

Proposicao 1.14 Sejam G e G′ grupos. Se

· · · // Pndn

// Pn−1// · · · // P0

ε// Z // 0

e uma resolucao projetiva de Z como ZG-modulo trivial e

· · · // Qnd′n

// Qn−1// · · · // Q0

ε′//Z

// 0

e uma resolucao projetiva de Z como ZG′-modulo trivial, entao

· · · // (P ⊗Q)n∂n

// (P ⊗Q)n−1// · · · // (P ⊗Q)0

ε⊗ε′// Z⊗ Z ∼= Z // 0

e uma resolucao projetiva de Z como Z[G ×G′]-modulo trivial, na qual o complexo (P ⊗Q) edefinido por

(P ⊗Q)n =

n⊕

i=0

Pi ⊗Qn−i

e cujo diferencial ∂n, quando restrito a Pi ⊗Qn−i, e dado por

∂n(pi ⊗ qn−i) = di(pi)⊗ qn−i + (−1)ipi ⊗ d′n−i(qn−i).

Demonstracao: O complexo P ⊗ Q e um complexo de Z[G × G′]-modulos projetivos, pelaobservacao feita no inıcio desta secao. Se h e uma homotopia de contracao para a resolucao P ,entao o homomorfismo H : (P ⊗Q)n → (P ⊗Q)n+1 definido em Pi ⊗Qn−i por H(pi ⊗ qn−i) =h(pi)⊗ qn−i e uma homotopia de contracao para o complexo P ⊗Q.

8

Assim, se tomarmos G′ = G, obtemos:

Corolario 1.15 Se

· · · // Pndn

// Pn−1// · · · // P0

ε//Z

// 0

e uma resolucao projetiva de Z como ZG-modulo trivial, entao

· · · // (P ⊗ P )n∂n

// (P ⊗ P )n−1// · · · // (P ⊗ P )0

ε⊗ε// Z⊗ Z ∼= Z // 0

tambem e uma resolucao projetiva de Z como ZG-modulo trivial, em que G age diagonalmentesobre P ⊗ P .

Logo, pelo Teorema 1.3, existe um homomorfismo de complexos de cadeia ∆: P → (P ⊗P )que preserva o aumento, e que tal homomorfismo e unico a menos de homotopia:

· · · // Pndn

//

∆n

��

Pn−1//

∆n−1

��

· · · // P0ε

//

∆0

��

Z // 0

· · · // (P ⊗ P )n∂n

// (P ⊗ P )n−1// · · · // (P ⊗ P )0

ε⊗ε// Z // 0.

Um homomorfismo ∆ que tenha essas propriedades e chamado de aproximacao da diagonal paraa resolucao P .

De posse do homomorfismo ∆, ja podemos definir a construcao do produto cup em coho-mologia. Seja P uma resolucao projetiva de Z sobre ZG,

· · · // Pndn

// Pn−1// · · · // P0

ε//Z

// 0,

e sejam M e N dois ZG-modulos. Dados u ∈ HomZG(P,M) e v ∈ HomZG(P,N), definimos seuproduto cross (u× v) ∈ HomZG(P ⊗ P,M ⊗N) por

(u× v)(x ⊗ y) = u(x)⊗ v(y).

Se α ∈ Hp(G,M) e β ∈ Hq(G,N) sao as classes de u e v, respectivamente, definimos entao oproduto cup de α e β, denotado por α ⌣ β, por

(α ⌣ β) = [(u× v) ◦∆] ∈ Hp+q(G,M ⊗N),

em que [ ] denota a classe de cohomologia. Mais explicitamente, dados homomorfismos u ∈HomZG(Pp,M) e v ∈ HomZG(Pq, N), o produto cup [u] ⌣ [v] ∈ Hp+q(G,M ⊗ N) e a classedo homomorfismo (u × v) ◦ ∆pq, em que ∆pq e a composicao do homomorfismo ∆p+q com aprojecao πpq : (P ⊗ P )p+q → Pp ⊗ Pq:

P∆p+q

// (P ⊗ P )p+q

πpq// Pp ⊗ Pq.

As principais propriedades do produto cup podem ser encontradas em [Bro82]. Fazemos apenasas seguintes observacoes:

1. o elemento 1 ∈ H0(G,Z) ∼= Z satisfaz 1 ⌣ u = u = u ⌣ 1 para todo u ∈ H∗(G,M),fazendo as identificacoes obvias Z⊗M =M ⊗ Z =M .

9

2. Se A e um anel comutativo (com acao trivial de G, para simplificar), a multiplicacaoA⊗A→ A nos da um produto

H∗(G,A) ⊗H∗(G,A)⌣

// H∗(G,A⊗A) // H∗(G,A).

Estas duas observacoes nos permitem entao ver H∗(G,Z) como um anel.

Para calcular o produto cup, precisamos da aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗ P .Em [Tom05], encontramos os seguintes resultados que nos permitem, em certos casos, determinar∆:

Proposicao 1.16 Seja G um grupo e seja

· · · // Cn// · · · // C1

// C0ε

// //Z

// 0

uma resolucao livre de Z sobre ZG finitamente gerada, isto e, cada Cn e finitamente gerado comoZG-modulo. Se s e uma homotopia de contracao para a resolucao C, entao uma homotopia decontracao s para a resolucao C ⊗C e dada por

s−1 : Z → C0 ⊗ C0

s−1(1) = s−1(1)⊗ s−1(1),

sn : (C ⊗ C)n → (C ⊗C)n+1

sn(ui ⊗ vn−i) = si(ui)⊗ vn−i + s−1ε(ui)⊗ sn−i(vn−i), se n ≥ 0,

em que s−1ε : C0 → C0 e estendido para s−1ε = {(s−1ε)n : Cn → Cn} de forma que (s−1ε)n = 0para n ≥ 1.

Proposicao 1.17 Seja G um grupo, seja

· · · // Cndn

// · · ·d2

// C1d1

// C0ε

// //Z

// 0

uma resolucao livre de Z sobre ZG finitamente gerada (isto e, cada Cn e finitamente gerado comoZG-modulo), e seja s uma homotopia de contracao para a resolucao C. Se s e a homotopia decontracao para a resolucao C⊗C dada pela Proposicao 1.16, entao uma aproximacao da diagonal∆: C → C ⊗ C pode ser construıda da seguinte maneira: para cada n ≥ 0, o homomorfismo∆n : Cn → (C ⊗ C)n e definido em cada gerador ρ do modulo livre Cn por

∆0 = s−1ε⊗ s−1ε∆n(ρ) = sn−1∆n−1dn(ρ), se n ≥ 1.

As duas proposicoes acima sao usadas em [Tom05] para o calculo da resolucao projetiva edo produto cup de certos grupos finitos que possuem uma resolucao projetiva de perıodo 4.

1.5 A sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre

Nesta secao introduziremos a sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre, a qual, dadauma sequencia exata de grupos

1 // H // G // Q // 1,

relaciona as cohomologias de H e Q com a cohomologia de G. Comecaremos introduzindouma nocao mais geral de sequencia espectral, daremos a construcao da sequencia espectral

10

associada a um complexo duplo e entao faremos a construcao especıfica para a sequencia deLyndon-Hochschild-Serre. Seguiremos os livros [McC01] e [Eve91].

Um modulo bigraduado diferencial sobre um anel R e uma colecao de R-modulos {Ep,q},com p e q inteiros, junto com um R-homomorfismo d : E∗,∗ → E∗,∗ (o diferencial) de bigrau(s, 1− s) para algum inteiro s satisfazendo d ◦ d = 0.

A partir do diferencial d, podemos tomar a homologia de um modulo bigraduado diferencial.Por exemplo, se o bigrau de d e (s, 1− s), entao

Hp,q(E∗,∗, d) =ker(d : Ep,q → Ep+s,q−s+1)

im(d : Ep−s,q+s−1 → Ep,q).

Fazemos entao a seguinte definicao: uma sequencia espectral de tipo cohomologico1 e umacolecao de R-modulos bigraduados diferenciais {E∗,∗

r , dr} para r inteiro positivo, cujos diferen-ciais dr tem bigrau (r, 1 − r) e tal que, para todos p, q, r, temos Ep,q

r+1∼= Hp,q(E∗,∗

r , dr).Muitas sequencias espectrais sao construıdas a partir de complexos duplos, portanto os

revisaremos brevemente. Seja A = {A∗,∗, d′, d′′} um complexo duplo (de cocadeias). Isto querdizer que d′ tem bigrau (1, 0) e d′′ tem bigrau (0, 1), e alem disso temos (d′)2 = 0, (d′′)2 = 0,d′d′′ + d′′d′ = 0:

Ap,q+1 d′// Ap+1,q+1

Ap,q

d′//

d′′

OO

Ap+1,q

d′′

OO

DefinimosTot(A)n =

⊕

p+q=n

Ap,q

e d = d′+d′′, o que torna {Tot(A), d} um complexo simples. Quando nos referimos a cohomologiade A, estamos nos referindo a cohomologia de Tot(A).

Vamos assumir ainda que os componentes nao nulos de A estao restritos ao primeiro quad-rante, isto e, Ap,q = 0 se p < 0 ou q < 0. Esta hipotese nao e estritamente necessaria, massimplifica a analise da convergencia da sequencia espectral que construiremos. Mais detalhessobre o problema de convergencia de sequencias espectrais pode ser encontrado em [McC01].

q ......

......

A0,3

FF

FF

OO

A1,3 A2,3 A3,3 A4,3 · · ·

A0,2

FF

FF A1,2

FF

FF A2,2 A3,2 A4,2 · · ·

A0,1

FF

FF A1,1

FF

FF A2,1

FF

FF A3,1 A4,1 · · ·

A0,0

""F

FF

F A1,0

""F

FF

F A2,0

""F

FF

F A3,0

""F

FF

F A4,0 // p

A0 A1 A2 A3 · · ·

1existe uma definicao analoga para uma sequencia espectral de tipo homologico, cujo diferencial dr tem bigrau(−r, r − 1)

11

Realizamos uma filtracao (por colunas) do complexo duplo A definindo

F pAn =⊕

p′≥p

Ap′,n−p′ ,

isto e, ignoramos as componentes de An que estao a esquerda da coluna p. Observamos que,para todo n ≥ 0,

0 = Fn+1An ⊂ FnAn ⊂ Fn−1An ⊂ · · · ⊂ F 0An = An.

Dada a filtracao F , seja

Cp,qr = {x ∈ F pAp+q : d(x) ∈ F p+rAp+q+1}. (1.1)

Cada elemento de Cp,qr pode ser visualizado como uma soma de componentes na diagonal p+q =

n, comecando da posicao (p, q) e indo para a direita e para baixo, para os quais as componentesvertical e horizontal do diferencial d se cancelam para as colunas p′ tais que p ≤ p′ < p + r. Apartir de Cp,q

r , definimos

Ep,qr =

Cp,qr + F p+1Ap+q

d(Cp−r+1,q+r−2r−1 ) + F p+1Ap+q

, (1.2)

e esta definicao e motivada pelo fato de d induzir entao homomorfismos

dp,qr : Ep,qr → Ep+r,q−r+1

r

que satisfazem d2r = 0 e tais que H(Er, dr) = Er+1, isto e, Ep,qr+1 =

ker dp,qr

im dp−r,q+r−1r

.

Como estamos supondo que A esta concentrado no primeiro quadrante, para cada (p, q)temos que dr e nulo para r suficientemente grande. Portanto cada modulo Ep,q

r eventualmentese estabiliza em um valor que denotamos por Ep,q

∞ . Observamos, entretanto, que o valor rdepende para o qual Ep,q se estabiliza depende de (p, q), e pode nao haver um r unico para oqual Er = E∞.

Suponha que a ∈ An e um cociclo que comeca no termo Ap,q (p + q = n), isto e, umelemento de An tal que a ∈ F pAn mas a 6∈ F p+1An e, alem disso, d(a) = 0. Entao a determinaum elemento de Ep,q

r para todo r ≥ 1, e dr e zero nestes elementos, logo a determina umelemento de Ep,q

∞ . Podemos entao definir um epimorfismo

F pHp+q(A) = im{Hp+q(F pA) → Hp+q(A)} → Ep,q∞ ,

cujo nucleo e F p+1Hp+q(A). Assim, H∗(A) e filtrado por F pH∗(A) e

Ep,q∞

∼=F pHp+q(A)

F p+1Hp+q(A). (1.3)

Da equacao acima, notamos que a sequencia espectral nao nos da uma informacao direta arespeito de H∗(A), mas que esta informacao e dada modulo a filtracao F pH∗(A). Quando existeuma filtracao de H∗(A) tal que Ep,q

∞ satisfaz a equacao (1.3), como no caso que exemplificamosacima, dizemos que a sequencia espectral converge para H∗(A).

No lugar da construcao que acabamos de realizar, o complexo A tambem poderia ter sidofiltrado por linhas ao inves de colunas, definindo

F qAn =⊕

q′≥q

An−q′,q′ .

Fazendo construcoes analogas a da primeira sequencia espectral, obtemos entao uma segundasequencia espectral que tambem converge para H∗(A). Resumimos estes resultados no seguinteteorema:

12

Teorema 1.18 Dado um complexo duplo {A∗,∗, d′, d′′} tal que Ap,q = 0 se p < 0 ou q < 0,existem duas sequencias espectrais {IE

∗,∗r ,I dr} e {IIE

∗,∗r ,II dr} tais que

IE∗,∗2 = H(H(A∗,∗, d′′), d′) e IIE

∗,∗2 = H(H(A∗,∗, d′), d′′)

e que convergem para H∗(A).

Demonstracao: Faremos a demonstracao para a sequencia IE∗,∗2 , e o outro caso segue por

simetria. A unica tarefa que resta a ser feita e identificarmos o termo IE∗,∗2 . A partir da

definicao de Cp,q1 e Ep,q

1 dadas pelas equacoes (1.1) e (1.2), temos

IEp,q1 = Hp+q

(

F pI Tot(A)

F p+1I Tot(A)

, d

)

∼= Hp+q(Ap,q, d′′),

em que FI e a filtracao por colunas F pI A

n =⊕

p′≥pAp′,n−p′ . Pela definicao de d1, obtemos entao

o termo IEp,q2 como no enunciado.

Procedemos agora com a construcao da sequencia de Lyndon-Hochschild-Serre. Seja G umgrupo, H um sungrupo normal e Q = G/H, de modo que temos uma sequencia exata curta degrupos

1 // H // G // Q // 1.

Seja· · · // Xn

// · · · // X0//Z

// 0 (1.4)

uma resolucao projetiva de Z sobre o anel ZG e seja

· · · // Yn // · · · // Y0 // Z // 0 (1.5)

uma resolucao projetiva de Z sobre o anel ZQ. Se M e um ZG-modulo, o grupo G age sobreHomZH(X,M) por (gf)(x) = g(f(g−1x)). Nesta acao, o subgrupo H age trivialmente, logo ocomplexo HomZH(X,M) pode ser visto como um ZQ-complexo. Formamos entao o complexoduplo

A = HomZQ(Y,HomZH(X,M)),

isto e, Ap,q = HomZQ(Yp,HomZH(Xq,M)). Se dX e dY denotam os diferenciais nas resolucoesprojetivas X e Y , respectivamente, definimos

d′ = HomZQ(dY ,HomZH(id, id)),

d′′ = HomZQ(id,HomZH(dX , id)),

com a convencao de que existe um sinal implıcito (−1)p do lado direito da equacao que defined′′, em que p e a dimensao do elemento da resolucao Y . Sendo entao d = d′ + d′′, A torna-seum complexo duplo.

A partir do complexo duplo A, podemos construir entao duas sequencias espectrais, ambasconvergindo para H∗(A). Analisaremos cada uma delas para obter o resultado desejado.

Uma das sequencias possui termo E2 dado por

E2 = H(H(HomZQ(Y,HomZH(X,M)), d′′), d′)

= H(HomZQ(Y,H∗(HomZH(X,M))), d′) pois HomZQ(Y, ) e um funtor exato

= H(HomZQ(Y,H∗(H,M)))

= H∗(Q,H∗(H,M)).

13

A outra sequencia possui termo E2 = H(H(HomZQ(Y,HomZH(X,M)), d′), d′′). Temos

H(HomZQ(Y,HomZH(X,M)), d′) = H∗(Q,HomZH(X,M))

e afirmamos que Hp(Q,HomZH(X,M)) = 0 se p > 0. Como cada Xq e projetivo sobre ZG,basta provar tal afirmacao para X = ZG.

Seja M0 o grupo abeliano associado a M (via o funtor esquecimento). Definiremos umisomorfismo de ZG-modulos a esquerda

HomZH(ZG,M) ∼= HomZH(ZG,M0)

no qual G age sobre o lado esquerdo por (gf)(x) = gf(g−1x) e age do lado direito por (gf ′)(x) =f ′(xg). Para f ∈ Hom(ZG,M), definimos f ′ ∈ Hom(ZG,M0) por f

′(x) = xf(x−1) para x ∈ G.Temos (f ′)′ = f e, se f ∈ HomZH(ZG,M), entao

f ′(xh) = xhf(h−1x−1) = xf(x−1) = f ′(x).

Logo f(hx) = f ′(xx−1hx) = f ′(x), pois H e normal em G, e f ′ ∈ HomZH(ZG,M0). Recipro-camente, se f ′ ∈ HomZH(ZG,M0), e facil ver que f = f ′ ∈ HomZH(ZG,M). Isto nos da umisomorfismo de grupos abelianos f ↔ f ′ que, na verdade, e um isomorfismo de ZG-modulos.De fato, ∀x ∈ G,

(gf)′(x) = x(gf)(x−1) = xgf(g−1x−1) = f ′(xg) = (gf ′)(x).

Como H age trivialmente em M0, temos ainda HomZH(ZG,M0) ∼= Hom(ZQ,M0). Portanto,pelo Lema 1.11,

Hp(Q,HomZH(ZG,M)) ∼= Hp(Q,Hom(ZQ,M0))∼= Hp({1},M0) = 0

se p > 0.Assim, o termo E2 = H(H(HomZQ(Y,HomZH(X,M)), d′), d′′) da segunda sequencia espec-

tral esta concentrado na coluna p = 0 e, nesta coluna, temos

H0(Q,HomZH(X,M)) = HomZH(X,M)Q = HomZG(X,M),

de onde segue que H(H(A, d′), d′′) = H∗(G,M). Assim, como E2 = E∞, temos entao queHn(A) = Hn(G,M). Demonstramos entao:

Teorema 1.19 (Lyndon-Hochschild-Serre) Dada uma sequencia exata de grupos

1 // H // G // Q // 1,

e um ZG-modulo M , existe uma sequencia espectral {E∗,∗r , dr} tal que

Ep,q2 = Hp(Q,Hq(H,M))

e que converge para H∗(G,M).

Vejamos agora a estrutura multiplicativa na sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre. Sejam M e N dois ZG-modulo. Sendo

∆X : X → X ⊗X

14

uma aproximacao da diagonal para a resolucao (1.4) e

∆Y : Y → Y ⊗ Y

uma aproximacao da diagonal para a resolucao (1.5), temos que ∆X e ∆Y induzem um homo-morfismo

HomZ[Q×Q](Y ⊗ Y,HomZ[H×H](X ⊗X,M ⊗N)) → HomZQ(Y,HomZH(X,M ⊗N)),

e temos tambem um produto

HomZQ(Y,HomZH(X,M)) ⊗HomZQ(Y,HomZH(X,N)) →

→ HomZ[Q×Q](Y ⊗ Y,HomZ[H×H](X ⊗X,M ⊗N)).

Compondo estes homomorfismos, obtemos entao

HomZQ(Y,HomZH(X,M)) ⊗HomZQ(Y,HomZH(X,N)) → HomZQ(Y,HomZH(X,M ⊗N)),

que nos fornece uma estrutura multiplicativa no complexo duplo A. Pode-se verificar [Eve91]que esta estrutura induz uma multiplicacao

Er(M)⊗ Er(N) → Er(M ⊗N)

na qual cada dr e uma derivacao, e tal que a multiplicacao em cada estagio e a cohomologia daestrutura multiplicativa no estagio anterior. Logo uma estrutura multiplicativa e induzida notermo E∞. Alem disso, o produto e compatıvel com a filtracao F , isto e, F p′ ⊗ F p′′ → F p′+p′′ .Mostra-se entao que, para a sequencia do Teorema 1.19, o produto para o termo E2

Hp′(Q,Hq′(H,M)) ⊗Hp′′(Q,Hq′′(H,N)) → Hp′+p′′(Q,Hq′+q′′(H,M ⊗N))

e obtido multiplicando o produto cup usual por (−1)q′p′′ .

15

Capıtulo 2

Aproximacoes da diagonal para os

grupos fundamentais das superfıcies

Neste capıtulo construiremos resolucoes livres e aproximacoes da diagonal para os grupos quesao grupos fundamentais de superfıcies distintas de S2 e RP 2. Tais construcoes (ainda queparciais no caso das aproximacoes da diagonal) nos permitirao, de forma eficaz, determinar oanel de cohomologia de tais grupos para uma grande variedade de sistemas de coeficientes (naotriviais).

Para a superfıcie orientavel Mn de genero n ≥ 1, escolhemos a seguinte presentacao para ogrupo fundamental:

π1(Mn) = 〈a1, b1, a2, b2, . . . , an, bn | [a1, b1][a2, b2] · · · [an, bn]〉 ,

e para a superfıcie nao orientavel Nn escolhemos a presentacao

π1(Nn) =⟨a1, a2, . . . , an | a21a

22 · · · a

2n

⟩,

para n ≥ 3 e a presentacao

π1(K) = π1(N2) =⟨a, b | abab−1

⟩

no caso da garrafa de Klein.As superfıcies S2 e RP 2 foram excluıdas do estudo por nao serem espacos do tipo K(G, 1).

Alem disso, temos π1(S2) = 0 e π1(RP

2) = Z2, e as resolucoes livres de grupos cıclicos sao co-nhecidas, bem como aproximacoes da diagonal para tais resolucoes. Veja, por exemplo, [Bro82].

Faremos um estudo mais detalhado do grupo fundamental do toro (no caso orientavel) e dagarrafa de Klein (no caso nao orientavel). Tais grupos servem para ilustrar o metodo a ser usadono caso das outras superfıcies, e para estes dois grupos obteremos aproximacoes da diagonalcompletas para as resolucoes livres destes mesmos grupos.

Apenas para mencionar um exemplo no qual o estudo da cohomologia dos grupos funda-mentais das superfıcies e relevante, citamos [GO97].

2.1 O toro

Seja G =⟨a, b | aba−1b−1

⟩o grupo fundamental do toro. Nesta secao exibiremos uma resolucao

livre de Z como ZG-modulo trivial. Sendo P esta resolucao, em seguida construiremos umaaproximacao da diagonal ∆: P → P⊗P . Esta aproximacao da diagonal permite que calculemosentao nao apenas os grupos H∗(G,M) para um ZG-modulo M , mas tambem o produto cup.Faremos tais calculos para M = Z (isto e, Z como um ZG-modulo trivial ou nao) e M = ZG.

17

Proposicao 2.1 Uma resolucao livre de Z como ZG-modulo trivial e dada por

0 // P2d2

// P1d1

// P0ε

// Z // 0, (2.1)

com

P0 = 〈e0〉 ∼= ZG,

P1 =⟨e11, e

21

⟩∼= ZG⊕ ZG,

P2 = 〈e2〉 ∼= ZG,

e tal que os homomorfismos sao definidos por

ε(e0) = 1,d1(e

11) = (a− 1)e0,

d1(e21) = (b− 1)e0,

d2(e2) = (1− b)e11 + (a− 1)e21.

(2.2)

Demonstracao: Um modo de verificar que a sequencia obtida em (2.1) e de fato exata con-siste em exibirmos uma homotopia de contracao, isto e, exibirmos homomorfismos de gruposabelianos

s−1 : Z → P0

s0 : P0 → P1

s1 : P1 → P2

de forma que, no diagrama

0 // P2

0

��

��

d2// P1

d1//

s1

~~}}}}

}}}}

P0ε

//

s0

~~}}}}

}}}}

Z//

s−1

��

��

0

0

��

��

0 // P2d2

// P1d1

// P0ε

// Z // 0,

tenhamos εs−1 = idZ, d1s0 + s−1ε = idP0, d2s1 + s0d1 = idP1

e s1d2 = idP2.

Temos ε(s−1(1)) = 1, que pode ser satisfeita definindo s−1(1) = e0. O homomorfismo s0pode ser definido por

s0(ambne0) =

∂am

∂ae11 + am

∂bn

∂be21, (m,n ∈ Z)

em que as derivadas sao as derivadas de Fox, de acordo com a demonstracao da Proposicao1.10. De fato, temos

d1(s0(ambne0)) + s−1(ε(a

mbne0)) = d1

(∂am

∂ae11 + am

∂bn

∂be21

)

+ e0

=∂am

∂a(a− 1)e0 + am

∂bn

∂b(b− 1)e0 + e0

= (am − 1)e0 + am(bn − 1)e0 + e0

= ambne0.

18

Resta-nos definir s1. Seja s1(ambne11) = ke2, em que m e n sao inteiros e k ∈ ZG. Temos

d2(s1(ambne11)) + s0(d1(a

mbne11)) = ambne11

⇔ d2(ke2) + s0(ambn(a− 1)e0) = ambne11

⇔ d2(ke2) + s0(am+1bne0)− s0(a

mbne0) = ambne11

⇔ d2(ke2) +

[∂am+1

∂a−∂am

∂a

]

e11 + (am+1 − am)∂bn

∂be21 = ambne11

⇔ d2(ke2) = am(bn − 1)e11 + am(1− a)∂bn

∂be21

⇔ k((1− b)e11 + (a− 1)e21) = am(bn − 1)e11 + am(1− a)∂bn

∂be21,

e e facil ver que esta ultima igualdade e satisfeita para k = −am∂bn

∂b, isto e, podemos definir

s1(ambne11) = −am

∂bn

∂be2. Um calculo semelhante ao que usamos para definir s1(a

mbne11) mostra

que podemos tomar s1(ambne21) = 0. Finalmente, temos

s1(d2(ambne2)) = s1(a

mbn((1− b)e11 + (a− 1)e21))

= s1(ambne11)− s1(a

mbn+1e11)

= am[∂bn+1

∂b−∂bn

∂b

]

= ambne2.

Tendo a homotopia de contracao s, podemos usar imediatamente as Proposicoes 1.16 e 1.17para obtermos uma aproximacao da diagonal ∆: P → (P ⊗ P ). O resultado e resumido naproposicao a seguir:

Proposicao 2.2 Sendo P a resolucao livre dada pela Proposicao 2.1, uma aproximacao dadiagonal ∆: P → P ⊗ P e dada por

∆0 : P0 → (P ⊗ P )0

∆0(e0) = s−1ε(e0)⊗ s−1ε(e0) = e0 ⊗ e0,

∆1 : P1 → (P ⊗ P )1

∆1(e11) = s0∆0d1(e

11) = s0(ae0 ⊗ ae0 − e0 ⊗ e0)

= s0(ae0)⊗ ae0 + s−1ε(ae0)⊗ s0(ae0)− s0(e0)⊗ e0 − s−1ε(e0)⊗ s0(e0)

= e11 ⊗ ae0 + e0 ⊗ e11,

∆1(e21) = s0∆0d1(e

21) = s0(be0 ⊗ be0 − e0 ⊗ e0)

= s0(be0)⊗ be0 + s−1ε(be0)⊗ s0(be0)− s0(e0)⊗ e0 − s−1ε(e0)⊗ s0(e0)

= e21 ⊗ be0 + e0 ⊗ e21,

∆2 : P2 → (P ⊗ P )2

∆2(e2) = s1∆1d2(e2) = s1∆1((1 − b)e11 + (a− 1)e21)

= s1(e11 ⊗ ae0 − be11 ⊗ abe0 + e0 ⊗ e11 − be0 ⊗ be11+

+ ae21 ⊗ abe0 − e21 ⊗ be0 + ae0 ⊗ ae21 − e0 ⊗ e21)

= e2 ⊗ abe0 + (e11 ⊗ ae21 − e21 ⊗ be11) + e0 ⊗ e2.

19

Partindo da resolucao dada pela Proposicao 2.1, podemos calcular os grupos H∗(G,ZG).

Teorema 2.3 Os grupos H∗(G,ZG) sao dados por

H0(G,ZG) = 0,

H1(G,ZG) = 0,

H2(G,ZG) ∼= Z,

Hn(G,ZG) = 0 se n ≥ 3.

Demonstracao: Considere o complexo de cocadeia obtido a partir da resolucao livre (2.1):

0 // HomZG(P0,ZG)d∗1

// HomZG(P1,ZG)d∗2

// HomZG(P2,ZG) // 0.

Seja u0 ∈ HomZG(P0,Z). Temos (d∗1u0)(e11) = u0d1(e

11) = (a − 1)u0(e0) e (d∗1u0)(e

21) =

u0d1(e21) = (b − 1)u0(e0). E se u1 ∈ HomZG(P1,ZG), entao (d∗2u1)(e2) = u1d2(e2) = (1 −

b)u1(e11) + (a− 1)u1(e

11). Portanto o complexo de cocadeia acima e isomorfo a

0 //ZG

d∗1

// ZG⊕ ZGd∗2

//ZG // 0

〈g0〉⟨g11⟩⊕⟨g21⟩

〈g2〉

,

no qual

d∗1(g0) = (a− 1)g11 + (b− 1)g21 ,

d∗2(g11) = (1− b)g2,

d∗2(g21) = (a− 1)g2.

Mostremos que d∗1 e injetora:

d∗1

((∑

hmnambn

)

g0

)

= 0 ⇔∑

(h(m−1)n − hmn)ambn =

∑

(hm(n−1) − hmn)ambn = 0,

o que implica hmn = 0 para quaisquer m,n ∈ Z, visto que hmn = 0 exceto para um numerofinito de ındices (m,n). Logo d∗1 e injetora H0(G,ZG) = 0.

Em seguida, mostremos que ker d∗2 = im d∗1: Se X,Y ∈ ZG, temos

d∗2(Xg11 + Y g21) = 0 ⇔ X(1− b) + Y (a− 1) = 0 ⇔ −X(b− 1) + Y (a− 1) = 0

Mas −X(b− 1)+Y (a− 1) = 0 ⇔ Y e11 −Xe21 ∈ ker d1 = im d2. Portanto existe W ∈ ZG tal que

d2(We2) = Y e11 −Xe21 ⇔ W (1− b)e11 +W (a− 1)e21 = Y e11 −Xe21,

de onde segue que Xg1 + Y g21 = −W (a− 1)g11 −W (b − 1)g21 = d∗1(−Wg0) ∈ im d∗1. Isto bastapara provar que ker d∗2 = im d∗1, e temos portanto H1(G,ZG) = 0.

Finalmente, e facil ver que a imagem de d∗2 e isomorfa a imagem de d1, logo H2(G,ZG) ∼=

coker d1 ∼= Z, em que Z e o ZG-modulo trivial. Para n ≥ 3, claramente temos Hn(G,ZG) = 0.

20

Calcularemos agora a estrutura multiplicativa de H∗(G,Z) para as diversas estruturas de Zcomo ZG-modulo. Representaremos por Zθ0 o ZG-modulo trivial, por Zθ1 o ZG-modulo em quea · 1 = 1, b · 1 = −1, por Zθ2 o ZG-modulo em que a · 1 = −1, b · 1 = 1, e por Zθ3 o ZG-moduloem que a · 1 = −1, b · 1 = −1.

Teorema 2.4 Os grupos de cohomologia H∗(G,Zθi), para 0 ≤ i ≤ 3, sao dados por

H0(G,Zθ0)∼= Z, H0(G,Zθ1) = 0, H0(G,Zθ2) = 0, H0(G,Zθ3) = 0,

H1(G,Zθ0)∼= Z⊕ Z, H1(G,Zθ1)

∼= Z2, H1(G,Zθ2)∼= Z2, H1(G,Zθ3)

∼= Z2,

H2(G,Zθ0)∼= Z, H2(G,Zθ1)

∼= Z2, H2(G,Zθ2)∼= Z2, H2(G,Zθ3)

∼= Z2,

e Hn(G,Zθi) = 0 para n ≥ 3. Mais especificamente, usando a notacao [ ]θi para representaras classes de cohomologia em H∗(G,Zθi), podemos explicitar os geradores de cada um destesgrupos:

H0(G,Zθ0) = 〈[e∗0]θ0〉 , H0(G,Zθ1) = 0,

H1(G,Zθ0) =⟨[e1∗1 ]θ0

⟩⊕⟨[e2∗1 ]θ0

⟩, H1(G,Zθ1) =

⟨[e2∗1 ]θ1

⟩,

H2(G,Zθ0) = 〈[e∗2]θ0〉 , H2(G,Zθ1) = 〈[e∗2]θ1〉 ,

H0(G,Zθ2) = 0, H0(G,Zθ3) = 0,

H1(G,Zθ2) =⟨[e1∗1 ]θ2

⟩, H1(G,Zθ3) =

⟨[e1∗1 + e2∗1 ]θ3

⟩,

H2(G,Zθ2) = 〈[e∗2]θ2〉 , H2(G,Zθ3) = 〈[e∗2]θ3〉 .

Finalmente, os produtos entre estes elementos sao calculados da seguinte forma:

[e1∗1 ]2θ0 = 0,

[e2∗1 ]2θ0 = 0,

[e1∗1 ]θ0 ⌣ [e2∗1 ]θ0 = [e∗2]θ0 ,

[e1∗1 ]θ0 ⌣ [e2∗1 ]θ1 = [e∗2]θ1 ,

[e2∗1 ]θ0 ⌣ [e2∗1 ]θ1 = 0,

[e1∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = 0,

[e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ2 ,

[e1∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ3 ,

[e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ3 ,

[e2∗1 ]2θ1 = 0,

[e2∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ3 ,

[e1∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ2 ,

[e1∗1 ]2θ2 = 0,

[e1∗1 ]θ2 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ1 ,

[e1∗1 + e2∗1 ]2θ3 = 0.

21

Demonstracao: Iniciemos com Zθ0 . A partir da resolucao livre (2.1), podemos calcular osgrupos H∗(G,Zθ0). Considere o complexo de cocadeia

0 // HomZG(P0,Zθ0)d∗1

// HomZG(P1,Zθ0)d∗2

// HomZG(P2,Zθ0)// 0

0 // Z //

∼=

Z⊕ Z //

∼=

Z //

∼=

0.

Seja u0 ∈ HomZG(P0,Zθ0). Temos (d∗1u0)(e11) = u0(d1(e

11)) = au0(e0)−u(e0) = 0 e (d∗1u0)(e

21) =

u0(d1(e11)) = bu0(e0) − u0(e0) = 0. Assim, d∗1 = 0 e H0(G,Zθ0)

∼= Z. Um gerador paraH0(G,Zθ0) e a classe do homomorfismo e∗0.

Seja agora u1 ∈ HomZG(P1,Zθ0). Temos (d∗2u1)(e2) = u1((1− b)e11 + (a− 1)e21) = 0. Assim,d∗2 = 0 e H1(G,Zθ0)

∼= ker d∗2∼= Z⊕Z. Um par de geradores para H1(G,Zθ0) sao as classes dos

homomorfismos e1∗1 e e2∗1 . Finalmente, H2(G,Zθ0)∼= ker 0 ∼= Z, e um gerador de H2(G,Zθ0) e

a classe do homomorfismo e∗2.

Calculemos agora os grupos H∗(G,Zθ1). Considere o complexo de cocadeia




0 // Z //

∼=

Z⊕ Z //

∼=

Z //

∼=

0.


11)) = au0(e0)−u(e0) = 0 e (d∗1u0)(e

21) =

u0(d1(e21)) = bu0(e0)−u(e0) = −2u0(e0). PortantoH

0(G,Zθ1)∼= ker d∗1 = {u0 : u0(e0) = 0} ∼= 0.

Temos tambem im d∗1∼= 0⊕ 2Z.

Seja u1 ∈ HomZG(P1,Zθ1). Temos (d∗2u1)(e2) = u1(d2(e2)) = (1− b)u1(e11)+ (a− 1)u1(e

21) =

2u1(e11). Logo ker d∗2 = {u1 : u1(e

11) = 0} ∼= 0 ⊕ Z, o que nos da H1(G,Zθ1) =

ker d∗2im d∗1

∼=

0⊕ Z

0⊕ 2Z∼= Z2. Um gerador para H1(G,Zθ1) e a classe do homomorfismo e2∗1 . Finalmente,

H2(G,Zθ1) =ker 0

im d∗2∼= Z2, e um gerador para H2(G,Zθ1) e a classe do homomorfismo e∗2.

O calculo de H∗(G,Zθ2) e analogo ao de H∗(G,Zθ1): a classe do homomorfismo e1∗1 geraH1(G,Zθ2)

∼= Z2, e a classe do homomorfismo e∗2 gera H2(G,Zθ2)∼= Z2.

Calculemos entao os grupos H∗(G,Zθ3). Novamente consideramos o complexo de cocadeia




0 //Z

//

∼=

Z⊕ Z //

∼=

Z//

∼=

0.


11)) = (a − 1)u0(e0) = −2u0(e0) e

(d∗1u0)(e21) = u0(d1(e

21)) = (b − 1)u0(e0) = −2u0(e0), o que nos da H0(G,Zθ3)

∼= ker d∗1∼= 0 e

im d∗1 = {u1 ∈ HomZG(P1,Zθ3) : u1(e11) = u1(e

21) = 2k, k ∈ Z}.

Seja u1 ∈ HomZG(P1,Zθ3). Temos (d∗2u1)(e2) = (1 − b)u1(e11) + (a − 1)u1(e

21) = 2u1(e

11) −

2u1(e21). Portanto ker d∗2 = {u1 ∈ HomZG(P1,Zθ3) : u1(e

11) = u1(e

21)}, de onde segue que

H1(G,Zθ3) =ker d∗2im d∗1

∼= Z2. Um gerador para H1(G,Zθ3) e a classe do homomorfismo e1∗1 + e2∗1 .

Finalmente, H2(G,Zθ3) =ker 0

im d∗2∼= Z2, com um gerador dado pelo homomorfismo e∗2.

22

A fim de considerarmos os produtos

H1(G,Zθi)⊗H1(G,Zθj )⌣→ H2(G,Zθi ⊗ Zθj),

com 0 ≤ i, j ≤ 3, novamente observamos que

Zθ0 ⊗ Zθi∼= Zθi , ∀1 ≤ i ≤ 3,

Zθi ⊗ Zθi∼= Zθ0 , ∀0 ≤ i ≤ 3,

Zθi ⊗ Zθj∼= Zθk , se 1 ≤ i < j ≤ 3 e k > 0, k 6= i, j.

Usaremos a notacao [ ]θi para representar as classes em H∗(G,Zθi). Tendo a aproximacaoda diagonal dada pela Proposicao 2.2 e os geradores dos grupos H i(G,Zθj ), os calculos saoimediatos.

Iniciemos com o caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ0)⌣→ H2(G,Zθ0).

Neste caso, temos [e1∗1 ]2θ0 = [e2∗1 ]2θ0 = 0 e [e1∗1 ]θ0 ⌣ [e2∗1 ]θ0 = [e∗2]θ0 . No caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ1)⌣→ H2(G,Zθ1),

temos [e1∗1 ]θ0 ⌣ [e2∗1 ]θ1 = [e∗2]θ1 e [e2∗1 ]θ0 ⌣ [e2∗1 ]θ1 = 0. No caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ2)⌣→ H2(G,Zθ2),

temos [e1∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = 0 e [e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ2 . No caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ3)⌣→ H2(G,Zθ3),

temos [e1∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ3 e [e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ3 . No caso

H1(G,Zθ1)⊗H1(G,Zθ1)⌣→ H2(G,Zθ0),

temos [e2∗1 ]2θ1 = 0. No caso

H1(G,Zθ1)⊗H1(G,Zθ2)⌣→ H2(G,Zθ3),

temos [e2∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ3 . No caso

H1(G,Zθ1)⊗H1(G,Zθ3)⌣→ H2(G,Zθ2),

temos [e1∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ2 . No caso

H1(G,Zθ2)⊗H1(G,Zθ2)⌣→ H2(G,Zθ0),

temos [e1∗1 ]2θ2 = 0. No caso

H1(G,Zθ2)⊗H1(G,Zθ3)⌣→ H2(G,Zθ1),

temos [e1∗1 ]θ2 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ1 . Finalmente, no caso

H1(G,Zθ3)⊗H1(G,Zθ3)⌣→ H2(G,Zθ0),

temos [e1∗1 + e2∗1 ]2θ3 = 0.

23

2.2 Superfıcies orientaveis

Seja G = 〈a1, b1, a2, b2, . . . , an, bn | [a1, b1][a2, b2] · · · [an, bn]〉, com n ≥ 2. Nesta secao exibiremosuma resolucao livre de Z como ZG-modulo trivial. Sendo P esta resolucao, em seguida cons-truiremos parcialmente uma aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗ P . Esta aproximacao dadiagonal permite que calculemos entao nao apenas os grupos H∗(G,M) para um ZG-moduloM , mas tambem o produto cup. Faremos tais calculos para coeficientes M triviais e tambempara M = Z (isto e, Z como um ZG-modulo trivial ou nao).

Sejam pi = [ai, bi] = aibia−1i b−1

i para 1 ≤ i ≤ n e seja p = p1p2 · · · pn. Portanto o grupo G egerado por {a1, b1, . . . , an, bn} e sujeito a relacao p = 1.


0 // P2d2

// P1d1

// P0ε

// Z // 0, (2.3)

na qual

P0 = 〈x〉 ∼= ZG,

P1 = 〈y1, . . . , yn, z1, . . . , zn〉 ∼= ZG2n,

P2 = 〈w〉 ∼= ZG,

e os homomorfismos ε, d1 e d2 sao definidos por

ε(x) = 1,

d1(yi) = (ai − 1)x,

d1(zi) = (bi − 1)x,

d2(w) =

n∑

i=1

(∂p

∂aiyi +

∂p

∂bizi

)

,

em que as derivadas parciais sao as derivadas de Fox, que podem ser calculadas explicitamentedo seguinte modo:

∂p

∂ai= (p1 · · · pi−1)

∂pi∂ai

= (p1 · · · pi−1)(1 − aibia−1i ),

∂p

∂bi= (p1 · · · pi−1)

∂pi∂bi

= (p1 · · · pi−1)ai(1− bia−1i b−1

i ).

Demonstracao: Seguindo o Corolario 1.9, a nossa superfıcie e recoberta pelo plano R2, que e

um 2-complexo que e tambem um G-complexo livre e contratil. Seu complexo de cadeia celularaumentado e exatamente aquele dado pela equacao (2.3). Tal fato esta demonstrado em [FH83].

Finalmente, quanto ao calculo de∂p

∂aie∂p

∂bi, em primeiro lugar temos

∂pi∂ai

= 1− aibia−1i ,

∂pi∂bi

= ai(1− bia−1i b−1

i ),

24

logo

∂p

∂ai= (p1 · · · pi−1)

∂pi∂ai

= (p1 · · · pi−1)(1 − aibia−1i ),

∂p

∂bi= (p1 · · · pi−1)

∂pi∂bi

= (p1 · · · pi−1)ai(1− bia−1i b−1

i ).

Passemos agora a construcao parcial de uma aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗P . Pelademonstracao da Proposicao 1.10, existe uma homotopia de contracao s para a resolucao (2.3)tal que

s−1(1) = x,

s0(px) =n∑

j=1

(∂p

∂ajyj +

∂p

∂bjzj

)

,

em que p e uma palavra reduzida em G. Sendo assim, usando a Proposicao 1.17, podemosconstruir os homomorfismos ∆0 : P0 → P0 ⊗ P0 e ∆1 : P1 → (P ⊗ P )1:

∆0(x) = s−1ε(x) ⊗ s−1ε(x) = x⊗ x,

∆1(yi) = s0∆0d1(yi) = s0(aix⊗ aix)− s0(x⊗ x)

= yi ⊗ aix+ x⊗ yi,

∆1(zi) = s0∆0d1(zi) = s0(bix⊗ bix)− s0(x⊗ x)

= zi ⊗ bix+ x⊗ zi.

Quanto ao homomorfismo ∆2, fazemos a seguinte observacao, ja presente no Capıtulo 1: afim de calcularmos o produto

H1(G,M) ⊗H1(G,N)⌣→ H2(G,M ⊗N),

e suficiente o conhecimento do homomorfismo ∆11 : P2 → P1 ⊗ P1, em que ∆11 = π11 ◦ ∆2 eπij : (P ⊗ P )i+j → Pi ⊗ Pj e a projecao. Observando que, para g, g′ ∈ G,

s1(gx⊗ g′yi) = s0(gx)⊗ g′yi︸︷︷︸

∈P1⊗P1

+x⊗ s1(g′yi)

︸︷︷︸

∈P0⊗P2

,

s1(gx⊗ g′zi) = s0(gx)⊗ g′zi︸︷︷︸

∈P1⊗P1

+x⊗ s1(g′zi)

︸︷︷︸

∈P0⊗P2

,

s1(gyi ⊗ g′x) = s1(gyi)⊗ g′x ∈ P2 ⊗ P0,

s1(gzi ⊗ g′x) = s1(gzi)⊗ g′x ∈ P2 ⊗ P0,

25

podemos escrever

∆11(w) = π11 ◦∆2(w) = π11s1

(n∑

i=1

∂p

∂ai(x⊗ yi) +

∂p

∂bi(x⊗ zi)

)

= π11s1

(n∑

i=1

(p1 · · · pi−1)(1− aibia−1i )(x⊗ yi) + (p1 · · · pi−1)ai(1− bia

−1i b−1

i )(x⊗ zi)

)

=

n∑

i=1

s0((p1 · · · pi−1)x)⊗ (p1 · · · pi−1)yi− (2.4)

−n∑

i=1

s0((p1 · · · pi−1)aibia−1i x)⊗ (p1 · · · pi−1)aibia

−1i yi

+n∑

i=1

s0((p1 · · · pi−1)aix)⊗ (p1 · · · pi−1)aizi −n∑

i=1

s0((p1 · · · pi)x)⊗ (p1 · · · pi)zi.

Observando a equacao acima, procedemos calculando o homomorfismo s0 nos elementos daforma

(p1 · · · pi−1)x,(p1 · · · pi−1)aix,

(p1 · · · pi−1)aibia−1i x.

Em primeiro lugar,

s0((p1 · · · pi−1)x) =n∑

j=1

∂(p1 · · · pi−1)

∂ajyj +

n∑

j=1

∂(p1 · · · pi−1)

∂bjzj

=

i−1∑

j=1

∂(p1 · · · pi−1)

∂ajyj +

i−1∑

j=1

∂(p1 · · · pi−1)

∂bjzj

=

i−1∑

j=1

(p1 · · · pj−1)(1− ajbja−1j )yj +

i−1∑

j=1

(p1 · · · pj−1)aj(1− bja−1j b−1

j )zj .

Em seguida,

s0((p1 · · · pi−1)aix) =i−1∑

j=1

(

(p1 · · · pj−1)(1− ajbja−1j )yj + (p1 · · · pj−1)aj(1− bja

−1j b−1

j )zj

)

+

+ (p1 · · · pi−1)yi.

Finalmente,

s0((p1 · · · pi−1)aibia−1i x) =

=

i−1∑

j=1

(

(p1 · · · pj−1)(1− ajbja−1j )yj + (p1 · · · pj−1)aj(1− bja

−1j b−1

j )zj

)

+

+ (p1 · · · pi−1)(1 − aibia−1i )yi + (p1 · · · pi−1)aizi.

Substituindo estes valores em (2.4), obtemos o seguinte resultado:

Proposicao 2.6 Se P e a resolucao livre de Z como ZG-modulo trivial dada pela Proposicao2.5, uma aproximacao da diagonal ∆: P → (P ⊗ P ) e dada parcialmente por

∆0 : P0 → (P ⊗ P )0

26

∆0(x) = s−1ε(x)⊗ s−1ε(x) = x⊗ x,

∆1 : P1 → (P ⊗ P )1

∆1(yi) = s0∆0d1(yi) = s0(aix⊗ aix)− s0(x⊗ x) = yi ⊗ aix+ x⊗ yi,

∆1(zi) = s0∆0d1(zi) = s0(bix⊗ bix)− s0(x⊗ x) = zi ⊗ bix+ x⊗ zi.

∆11 : P2 → (P1 ⊗ P1)

∆11(w) =n∑

i=1

[ i−1∑

j=1

(p1 · · · pj−1)(1− ajbja−1j )yj ⊗ (p1 · · · pi−1)yi+

+i−1∑

j=1

(p1 · · · pj−1)aj(1− bja−1j b−1

j )zj ⊗ (p1 · · · pi−1)yi

]

−

−n−1∑

i=1

[ i−1∑

j=1

(

(p1 · · · pj−1)(1 − ajbja−1j )yj ⊗ (p1 · · · pi−1)aibia

−1i yi+

+ (p1 · · · pj−1)aj(1− bja−1j b−1

j )zj ⊗ (p1 · · · pi−1)aibia−1i yi

)

+

+ (p1 · · · pi−1)(1 − aibia−1i )yi ⊗ (p1 · · · pi−1)aibia

−1i yi+

+ (p1 · · · pi−1)aizi ⊗ (p1 · · · pi−1)aibia−1i yi

]

+

+n∑

i=1

[ i−1∑

j=1

(

(p1 · · · pj−1)(1− ajbja−1j )yj ⊗ (p1 · · · pi−1)aizi+

+ (p1 · · · pj−1)aj(1− bja−1j b−1

j )zj ⊗ (p1 · · · pi−1)aizi

)

+

+ (p1 · · · pi−1)yi ⊗ (p1 · · · pi−1)aizi

]

−

−n−1∑

i=1

[ i∑

j=1

(p1 · · · pj−1)(1 − ajbja−1j )yj ⊗ (p1 · · · pi)zi+

(p1 · · · pj−1)aj(1− bja−1j b−1

j )zj ⊗ (p1 · · · pi)zi

]

−

− zn ⊗ bnyn.

Desta proposicao segue:

Corolario 2.7 Seja M um ZG-modulo trivial. Se u, v ∈ HomZG(P1,M), entao o produto[u]⌣ [v] ∈ H2(G,M⊗M) e representado por um homomorfismo (u ⌣ v) ∈ HomZG(P2,M⊗M)tal que

(u ⌣ v)(w) =

n∑

i=1

(u(yi)⊗ v(zi)− u(zi)⊗ v(yi)) .

Demonstracao: Se M e um modulo trivial e ε : ZG→ Z e o homomorfismo de aumento, entaopara todo f ∈ HomZG(P1,M) vale

f(kα) = ε(k) · f(α), ∀k ∈ ZG, ∀α ∈ P1.

Observando queε(1− ajbja

−1j ) = ε(1 − bja

−1j b−1

j ) = 0

27

e

ε(p1 · · · pi−1) = ε((p1 · · · pi−1)ai) = ε((p1 · · · pi−1)aibia−1i ) = 1,

o corolario segue imediatamente da formula para ∆11(w).

Teorema 2.8 Se M e um ZG-modulo trivial, entao os grupos de cohomologia H∗(G,M) saodados por

H0(G,M) ∼=M,

H1(G,M) ∼=M2n,

H2(G,M) ∼=M,

Hn(G,M) = 0, se n ≥ 3.

Demonstracao: Sendo P a resolucao (2.3), considere o complexo de cocadeia

0 // HomZG(P0,M)d∗1

// HomZG(P1,M)d∗2

// HomZG(P2,M) // 0

0 // M //

∼=

M2n //

∼=

M //

∼=

0.

Se u ∈ HomZG(P0,M), entao, ∀1 ≤ i ≤ n,

(d∗1u)(yi) = u(d1(yi)) = u(aix− x) = aiu(x)− u(x) = 0,(d∗1u)(zi) = u(d1(zi)) = u(bix− x) = biu(x)− u(x) = 0.

portanto d∗1 = 0. Se v ∈ HomZG(P1,M), entao

(d∗2u)(w) = u(d2(w)) = u

(n∑

i=1

∂p

∂aiyi +

∂p

∂bizi

)

=

n∑

i=1

(

ε

(∂p

∂ai

)

u(yi) + ε

(∂p

∂bi

)

u(zi)

)

= 0,

pois ε

(∂p

∂ai

)

= ε

(∂p

∂bi

)

= 0. Logo d∗2 = 0. Assim,

H0(G,M) = ker d∗1∼=M,

H1(G,M) = ker d∗2/ im d∗1∼=M2n,

H2(G,M) = ker 0/ im d∗2∼=M,

e Hn(G,M) = 0 se n ≥ 3.

Quanto ao calculo do produto cup, temos:

28

Teorema 2.9 Seja M um ZG-modulo trivial. Os conjuntos de geradores para os grupos decohomologia H∗(G,M) sao dados por:

H0(G,M) : {[x∗]},H1(G,M) : {[y∗1 ], . . . , [y

∗n], [z

∗1 ], . . . , [z

∗n]},

H2(G,M) : {[w∗]}.

Alem disso, temos[y∗i ]

2 = 0 ∀1 ≤ i ≤ n,[z∗i ]

2 = 0 ∀1 ≤ i ≤ n,

[y∗i ]⌣ [z∗j ] =

{

[w∗], se i = j ∈ {1, . . . , n},

0, se i 6= j.

Demonstracao: Os geradores para os grupos de cohomologia sao os dados no enunciado doteorema, pois os homomorfismos d∗1 e d∗2 sao nulos. Quanto ao produto

H1(G,M)⊗H1(G,M)⌣→ H2(G,M ⊗M),

as formulas dadas no enunciado seguem imediatamente do Corolario 2.7.

Tambem podemos realizar os calculos para H∗(G, Z), em que Z e o ZG-modulo dado pelaacao

θ : G→ Aut(Z)

definida por θ(bn)(1) = −1 e θ(ai)(1) = 1 para todo 1 ≤ i ≤ n, θ(bi)(1) = 1 para todo1 ≤ i ≤ n − 1. Como se demonstra em [GG10], esta e a unica acao nao trivial que precisamosconsiderar.

Teorema 2.10 Os grupos de cohomologia H∗(G, Z) sao dados por

H0(G, Z) = 0,

H1(G, Z) = 〈[y∗1 ]〉 ⊕ · · · ⊕⟨[y∗n−1]

⟩⊕ 〈[z∗1 ]〉 ⊕

⟨[z∗n−1]

⟩⊕ 〈[z∗n] | 2[z

∗n] = 0〉 ∼= Z

2n−2 ⊕ Z2,

H2(G, Z) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

Hn(G, Z) = 0 se n ≥ 3.

Alem disso, o produto cup

H1(G, Z)⊗H1(G, Z)⌣→ H2(G,Z)

e dado por

[y∗i ]2 = 0 para 1 ≤ i ≤ n− 1,

[z∗i ]2 = 0 para 1 ≤ i ≤ n,

[y∗i ]⌣ [z∗i ] = [w∗] para 1 ≤ i ≤ n− 1,

[y∗i ]⌣ [z∗j ] = 0 se i 6= j,

[y∗i ]⌣ [y∗j ] = 0 se i 6= j,

[z∗i ]⌣ [z∗j ] = 0 se i 6= j.

29

Demonstracao: Sendo P a resolucao (2.3), considere o complexo de cocadeia

0 // HomZG(P0, Z)d∗1

// HomZG(P1, Z)d∗2

// HomZG(P2, Z) // 0

0 // Z //

∼=

Z2n //

∼=

Z //

∼=

0.

Se u ∈ HomZG(P0, Z), entao, ∀1 ≤ i ≤ n e ∀1 ≤ j ≤ n− 1,

(d∗1u)(yi) = u(d1(yi)) = u(aix− x) = aiu(x)− u(x) = 0,(d∗1u)(zj) = u(d1(zi)) = u(bjx− x) = bju(x)− u(x) = 0,

e (d∗1u)(zn) = bnu(x) − u(x) = −2u(x). Portanto d∗1 e injetora e H0(G, Z) = 0. Ainda,im(d∗1) = {v ∈ HomZG(P1, Z) : v(zn) e par}. A matriz de d∗1 nas bases duais de {x} e{y1, . . . , yn, z1, . . . , zn} e

[d∗1] =[0 · · · 0 0 · · · (−2)

]T

Se u ∈ HomZG(P1, Z), entao

(d∗2u)(w) = u(d2(w)) = u

(n∑

i=1

∂p

∂aiyi +

∂p

∂bizi

)

= u

(∂p

∂anyn +

∂p

∂bnzn

)

= 2u(yn).

A matriz de d∗2 nas bases duais de {y1, . . . , yn, z1, . . . , zn} e {w} e

[d∗2] =[0 · · · 2 0 · · · 0

]

Portanto H1(G, Z) ∼= Z2n−2 ⊕ Z2 e H2(G, Z) ∼= Z2, com os geradores dados no enunciado do

teorema, e Hn(G, Z) = 0 se n ≥ 3.Para o calculo do produto cup, se u, v ∈ HomZG(P1, Z), entao o produto [u] ⌣ [v] ∈

H2(G, Z ⊗ Z) ∼= H2(G,Z) e representado por um homomorfismo (u ⌣ v) tal que

(u ⌣ v)(w) = (u× v)∆11(w) =

(n∑

i=1

u(yi)⊗ v(zi)−n−1∑

i=1

u(zi)⊗ v(yi)

)

+ u(zn)⊗ v(yn),

formula essa que e obtida usando o homomorfismo ∆11 dado pela Proposicao 2.6. Temos entao

[y∗i ]2 = 0 para 1 ≤ i ≤ n− 1,

[z∗i ]2 = 0 para 1 ≤ i ≤ n,

[y∗i ]⌣ [z∗i ] = [w∗] para 1 ≤ i ≤ n− 1,

[yi]⌣ [z∗j ] = 0 se i 6= j,

[yi]⌣ [y∗j ] = 0 se i 6= j,

[zi]⌣ [z∗j ] = 0 se i 6= j,

no qual recordamos que a classe [w∗] que aparece acima pertence a H2(G,Z).

30

2.3 A garrafa de Klein

Seja G =⟨a, b | abab−1

⟩. Nesta secao exibiremos uma resolucao livre de Z como ZG-modulo

trivial. Sendo P esta resolucao, em seguida construiremos uma aproximacao da diagonal∆: P → P ⊗ P . Esta aproximacao da diagonal permite que calculemos entao nao apenas osgrupos H∗(G,M) para um ZG-modulo M , mas tambem o produto cup. Faremos tais calculospara M = Z (isto e, Z como ZG-modulo trivial ou nao), M = Z2 e M = Zp, com p um primoımpar, para as diversas estruturas de Zp como ZG-modulo.


0 // P2d2

// P1d1

// P0ε

//Z

// 0, (2.5)

em que

P0 = 〈e0〉 ∼= ZG,

P1 =⟨e11, e

21

⟩∼= ZG⊕ ZG,

P2 = 〈e2〉 ∼= ZG,

e os homomorfismos sao definidos por

ε(e0) = 1d1(e

11) = (a− 1)e0

d1(e21) = (b− 1)e0

d2(e2) = (1 + ab)e11 + (a− 1)e21.

(2.6)

Demonstracao: Para mostrarmos que a sequencia (2.5) e exata, exibiremos uma homotopia decontracao para a resolucao (2.5), isto e, exibiremos homomorfismos de grupos abelianos

s−1 : Z → P0

s0 : P0 → P1

s1 : P1 → P2

de forma que, no diagrama

0 // P2

0

��

��

d2// P1

d1//

s1

~~}}}}

}}}}

P0ε

//

s0

~~}}}}

}}}}

Z//

s−1

��

��

0

0

��

��

0 // P2d2

// P1d1

// P0ε

// Z // 0,

tenhamos εs−1 = idZ, d1s0 + s−1ε = idP0, d2s1 + s0d1 = idP1

e s1d2 = idP2.

Temos ε(s−1(1)) = 1, que pode ser satisfeita definindo s−1(1) = e0. O homomorfismo s0pode ser definido, de acordo com a demonstracao da Proposicao 1.10, por

s0(ambne0) =

∂am

∂ae11 + am

∂bn

∂be21, (m,n ∈ Z)

em que as derivadas sao as derivadas de Fox. De fato, temos

d1(s0(ambne0)) + s−1(ε(a

mbne0)) = d1

(∂am

∂ae11 + am

∂bn

∂be21

)

+ e0

=∂am

∂a(a− 1)e0 + am

∂bn

∂b(b− 1)e0 + e0

= (am − 1)e0 + am(bn − 1)e0 + e0

= ambne0.

31

Resta entao definirmos o homomorfismo s1, o que deve ser feito para elementos da formaambne11 e ambne21. Seja s1(a

mbne11) = ke2, com k ∈ ZG. Entao

d2(s1(ambne11)) + s0(d1(a

mbne11)) = ambne11⇔ d2(ke2) + s0(a

mbnae0)− s0(ambne0) = ambne11.

(2.7)

Observando que ba = a−1b, temos que

ambna =

{

am+1bn, se n e par

am−1bn, se n e ımpar.

Vamos entao dividir o calculo de s1(ambne11) em dois casos: n par e n ımpar. Se n e par, a

equacao (2.7) se escreve

d2(ke2) + s0(am+1bne0)− s0(a

mbne0) = ambne11

⇔ d2(ke2) +

[∂am+1

∂a−∂am

∂a

]

e11 + (am+1 − am)∂bn

∂be21 = ambne11

⇔ d2(ke2) + ame11 + am(a− 1)∂bn

∂be21 = ambne11

⇔ d2(ke2) = am(bn − 1)e11 + am(1− a)∂bn

∂be21

⇔ k(1 + ab)e11 + k(a− 1)e21 = am(bn − 1)e11 + am(1− a)∂bn

∂be21.

Se k = amk1, entao k1 ∈ ZG deve satisfazer

k1(1 + ab) = bn − 1 e k1(a− 1) = (1− a)∂bn

∂b.

Podemos escrever∂bn

∂bcomo uma soma da forma

∂bn

∂b= ±

∑

j par

bj +∑

j ımpar

bj

,

e desta forma temos

a∂bn

∂b= ±

∑

j par

abj +∑

j ımpar

abj

= ±

∑

j par

bja+∑

j ımpar

bja−1

,

logo

k1(a− 1) = (1− a)∂bn

∂b= ±

∑

j par

bj(1− a) +∑

j ımpar

bj(1− a−1)

=

= ±

−∑

j par

bj(a− 1) +∑

j ımpar

bja−1(a− 1)

= ±

−∑

j par

bj +∑

j ımpar

bja−1

(a− 1)

Portanto podemos tomar k1 = ±

−∑

j par

bj +∑

j ımpar

bja−1

, e e facil verificar que k1(1 + ab) =

bn − 1, o que nos da

s1(ambne11) = ± am

−∑

j par

bj +∑

j ımpar

bja−1

e2

32

quando n e par. Apenas para exemplificar, quando n = 4, temos

∂b4

∂b= 1 + b+ b2 + b3,

e

s1(amb4e11) = am(−1− b2 + ba−1 + ba−3)e2

Se n e ımpar, a equacao (2.7) se escreve como

d2(ke2) + s0(am−1bne0)− s0(a

mbne0) = ambne11

⇔ d2(ke2)− am−1e11 + am−1(1− a)∂bn

∂be21 = ambne11

⇔ d2(ke2) = am−1(abn + 1)e11 + am−1(a− 1)∂bn

∂be21

⇔ k(1 + ab)e11 + k(a− 1)e21 = am−1(abn + 1)e11 + am−1(a− 1)∂bn

∂be21.

Se k = am−1k2, com k2 ∈ ZG, entao k2 deve satisfazer

k2(1 + ab) = abn + 1 e k2(a− 1) = (a− 1)∂bn

∂b.

Procedendo como no caso anterior e escrevendo

∂bn

∂b= ±

∑

j par

bj +∑

j ımpar

bj

,

obtemos

s1(ambne11) = ±am−1

∑

j par

bj −∑

j ımpar

bja−1

e2.

Se repetirmos as contas que fizemos para calcular s1(ambne21), obtemos s1(a

mbne21) = 0, enao e difıcil verificar que s1d2 = idP2

.

Tendo a homotopia de contracao para a resolucao que obtivemos, podemos calcular umaaproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗ P imediatamente usando a Proposicao 1.17. Obtemos

Proposicao 2.12 Sendo P a resolucao dada pela Proposicao 2.11, uma aproximacao da dia-gonal ∆: P → P ⊗ P e dada por

∆0 : P0 → P0 ⊗ P0

∆0(e0) = e0 ⊗ e0,

∆1 : P1 → (P1 ⊗ P0)⊕ (P0 ⊗ P1)

∆1(e11) = s0∆0d1(e

11) = e11 ⊗ ae0 + e0 ⊗ e11,

∆1(e21) = s0∆0d1(e

21) = e21 ⊗ be0 + e0 ⊗ e21,

∆2 : P2 → (P2 ⊗ P0)⊕ (P1 ⊗ P1)⊕ (P0 ⊗ P2)

∆2(e2) = s1∆1d2(e2) = e2 ⊗ (be0) + [e11 ⊗ abe11 + e11 ⊗ ae21 + ae21 ⊗ abe11] + e0 ⊗ e2.

33

Calcularemos os grupos de cohomologia H∗(G,M) e as estruturas de produto cup nos seguintescasos:

1. M = Z, em que Z e um ZG-modulo (trivial ou nao),

2. M = Z2,

3. M = Zp, com p um primo ımpar (trivial ou nao).

Iniciemos com H∗(G,Z) para as diversas estruturas de Z como ZG-modulo. Representare-mos por Zθ0 o ZG-modulo trivial, por Zθ1 o ZG-modulo em que a · 1 = 1, b · 1 = −1, por Zθ2 oZG-modulo em que a · 1 = −1, b · 1 = 1, e por Zθ3 o ZG-modulo em que a · 1 = −1, b · 1 = −1.

Teorema 2.13 Os grupos de cohomologia H∗(G,Zθi), para 0 ≤ i ≤ 3, sao dados por

H0(G,Zθ0)∼= Z, H0(G,Zθ1) = 0, H0(G,Zθ2) = 0, H0(G,Zθ3) = 0,

H1(G,Zθ0)∼= Z, H1(G,Zθ1)

∼= Z⊕ Z2, H1(G,Zθ2)∼= Z2, H1(G,Zθ3)

∼= Z2,

H2(G,Zθ0)∼= Z2, H2(G,Zθ1)

∼= Z, H2(G,Zθ2)∼= Z2, H2(G,Zθ3)

∼= Z2,


H0(G,Zθ0) = 〈[e∗0]θ0〉 , H0(G,Zθ1) = 0,

H1(G,Zθ0) =⟨[e2∗1 ]θ0

⟩, H1(G,Zθ1) =

⟨[e1∗1 ]θ1

⟩⊕⟨[e2∗1 ]θ1

⟩,

H2(G,Zθ0) = 〈[e∗2]θ0〉 , H2(G,Zθ1) = 〈[e∗2]θ1〉 ,

H0(G,Zθ2) = 0, H0(G,Zθ3) = 0,

H1(G,Zθ2) =⟨[e1∗1 ]θ2

⟩, H1(G,Zθ3) =

⟨[e1∗1 + e2∗1 ]θ3

⟩,

H2(G,Zθ2) = 〈[e∗2]θ2〉 , H2(G,Zθ3) = 〈[e∗2]θ3〉 ,

em que os elementos [e∗2]θ0 , [e2∗1 ]θ1 , [e

1∗1 ]θ2, [e

1∗1 + e2∗1 ]θ3 , [e

∗2]θ3 sao de ordem 2. Finalmente, os

produtos entre estes elementos sao calculados da seguinte forma:

[e2∗1 ]2θ0 = 0,

[e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 ]θ1 = −[e∗2]θ1 ,

[e2∗1 ]θ0 ⌣ [e2∗1 ]θ1 = 0,

[e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ2 ,

[e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ3 ,

[e1∗1 ]2θ1 = [e∗2]θ0 ,

[e2∗1 ]2θ1 = 0,

[e1∗1 ]θ1 ⌣ [e2∗1 ]θ1 = [e∗2]θ0 ,

[e1∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ3 ,

[e2∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ3 ,

34

[e1∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = 0,

[e2∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ2 ,

[e1∗1 ]2θ2 = [e∗2]θ0 ,

[e1∗1 ]θ2 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = 0,

[e1∗1 + e2∗1 ]2θ3 = [e∗2]θ0 .

Demonstracao: Comecemos com H∗(G,Zθ0). A partir da resolucao (2.5), considere a sequencia




0 // Zd∗1

//

∼=

Z⊕ Zd∗2

//

∼=

Z //

∼=

0.

(2.8)

Se u0 ∈ HomZG(P0,Zθ0), entao (d∗1u0)(e11) = u0((a− 1)e0) = 0 e (d∗1u0)(e

21) = u0((b− 1)e0) = 0.

Logo d∗1 = 0 e H0(G,Zθ0)∼= Z.

Se u1 ∈ HomZG(P1,Zθ0), entao (d∗2u1)(e2) = u1((1 + ab)e11 + (a − 1)e21) = 2u1(e11). Logo

ker d∗2 = {u1 | u1(e11) = 0} ∼= Z e im d∗2 = 2Z, observando a segunda linha do diagrama (2.8).

Portanto H1(G,Zθ0)∼= ker d∗2

∼= Z, com um gerador dado pela classe do homomorfismo e2∗1 .Tambem temos H2(G,Zθ0)

∼= Z2, com um gerador dado pela classe do homomorfismo e∗2.

Passemos para H∗(G,Zθ1). Como no caso de Z trivial, considere a sequencia




0 //Z

d∗1

//

∼=

Z⊕ Zd∗2

//

∼=

Z//

∼=

0.

(2.9)

Se u0 ∈ HomZG(P0,Zθ1), entao (d∗1u0)(e11) = u0((a − 1)e0) = 0 e (d∗1u0)(e

21) = u0((b − 1)e0) =

−2u0(e0). Logo ker d∗1∼= 0 e H0(G,Zθ1)

∼= 0. Temos tambem im d∗1 = {0 ⊕ 2Z}, observando asegunda linha do diagrama (2.9).

Se u1 ∈ HomZG(P1,Zθ1), entao (d∗2u1)(e2) = u1((1 + ab)e11 + (a− 1)e21) = 0. Logo d∗2 = 0 e

temos H1(G,Zθ1) =ker d∗2im d∗1

∼=Z⊕ Z

0⊕ 2Z∼= Z ⊕ Z2. Um par de geradores para H1(G,Zθ1) e dado

pelas classes dos homomorfismos e1∗1 e e2∗1 .Finalmente, temos H2(G,Zθ1)

∼= Z, com um gerador dado pela classe do homomorfismo e∗2.

Calculemos agora H∗(G,Zθ2). Considere a sequencia



// HomZG(P2,Zθ2) // 0

0 // Zd∗1

//

∼=

Z⊕ Zd∗2

//

∼=

Z //

∼=

0.

(2.10)

Se u0 ∈ HomZG(P0,Zθ2), entao (d∗1u0)(e11) = u0((a − 1)e0) = −2u0(e0) e (d∗1u0)(e

21) = u0((b −

1)e0) = 0. Logo ker d∗1∼= 0 e H0(G,Zθ2)

∼= 0. Temos tambem im d∗1 = 2Z ⊕ 0, observando asegunda linha do diagrama (2.10).

Se u1 ∈ HomZG(P1,Zθ2), entao (d∗2u1)(e2) = u1((1 + ab)e11 + (a − 1)e21) = −2u1(e21). Logo

ker d∗2 = {u1 |u1(e21) = 0} ∼= Z⊕0 (observando a segunda linha de (2.10)) e temos H1(G,Zθ2) =

ker d∗2im d∗1

∼=Z⊕ 0

2Z ⊕ 0∼= Z2. Um gerador para H1(G,Zθ2) e dado pela classe do homomorfismo e1∗1 .

35

Temos ainda im d∗2 = 2Z (observando a segunda linha de (2.10)), portanto H2(G,Zθ2)∼= Z2,

com um gerador dado pela classe do homomorfismo e∗2.

Para o calculo de H∗(G,Zθ3), considere a sequencia




0 // Zd∗1

//

∼=

Z⊕ Zd∗2

//

∼=

Z //

∼=

0.

(2.11)

Se u0 ∈ HomZG(P0,Zθ3), entao (d∗1u0)(e11) = u0((a − 1)e0) = −2u0(e0) e (d∗1u0)(e

21) = u0((b −

1)e0) = −2u0(e0). Logo ker d∗1∼= 0 e H0(G,Zθ3)

∼= 0. Temos tambem im d∗1 = {(2k, 2k) |k ∈ Z},observando a segunda linha do diagrama (2.11).

Se u1 ∈ HomZG(P1,Zθ3), entao (d∗2u1)(e2) = u1((1 + ab)e11 + (a− 1)e21) = 2u1(e11)− 2u1(e

21).

Logo ker d∗2 = {u1 | u1(e11) = u1(e

21)}

∼= {(k, k) | k ∈ Z} (observando a segunda linha de (2.11))

e temos H1(G,Zθ3) =ker d∗2im d∗1

∼= Z2. Um gerador para H1(G,Zθ3) e dado pela classe do homo-

morfismo (e1∗1 + e2∗1 ).Temos ainda im d∗2 = 2Z (observando a segunda linha de (2.11)), portanto H2(G,Zθ3)

∼= Z2,com um gerador dado pela classe do homomorfismo e∗2.

A fim de considerarmos os produtos

H1(G,Zθi)⊗H1(G,Zθj )⌣→ H2(G,Zθi ⊗ Zθj),

com 0 ≤ i, j ≤ 3, primeiro observamos que

Zθ0 ⊗ Zθi∼= Zθi , ∀1 ≤ i ≤ 3,

Zθi ⊗ Zθi∼= Zθ0 , ∀0 ≤ i ≤ 3,

Zθi ⊗ Zθj∼= Zθk , se 1 ≤ i < j ≤ 3 e k > 0, k 6= i, j.

Usaremos a notacao [ ]θi para representar as classes em H∗(G,Zθi). Com esta notacao e obser-vando os calculos que ja fizemos, podemos escrever

H0(G,Zθ0) = 〈[e∗0]θ0〉 , H0(G,Zθ1) = 0,

H1(G,Zθ0) =⟨[e2∗1 ]θ0

⟩, H1(G,Zθ1) =

⟨[e1∗1 ]θ1

⟩⊕⟨[e2∗1 ]θ1

⟩,

H2(G,Zθ0) = 〈[e∗2]θ0〉 , H2(G,Zθ1) = 〈[e∗2]θ1〉 ,

H0(G,Zθ2) = 0, H0(G,Zθ3) = 0,

H1(G,Zθ2) =⟨[e1∗1 ]θ2

⟩, H1(G,Zθ3) =

⟨[e1∗1 + e2∗1 ]θ3

⟩,

H2(G,Zθ2) = 〈[e∗2]θ2〉 , H2(G,Zθ3) = 〈[e∗2]θ3〉 ,

em que os elementos [e∗2]θ0 , [e2∗1 ]θ1 , [e

1∗1 ]θ2 , [e

1∗1 + e2∗1 ]θ3 , [e

∗2]θ3 sao de ordem 2. Feitas estas

observacoes, o calculo do produto cup em qualquer caso e imediato a partir da Proposicao 2.12.Iniciemos com o caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ0)⌣→ H2(G,Zθ0).

Neste caso, temos [e2∗1 ]2θ0 = 0. No caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ1)⌣→ H2(G,Zθ1),

36

temos [e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 ]θ1 = −[e∗2]θ1 e [e2∗1 ]θ0 ⌣ [e2∗1 ]θ1 = 0. No caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ2)⌣→ H2(G,Zθ2),

temos [e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ2 . No caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ3)⌣→ H2(G,Zθ3),

temos [e2∗1 ]θ0 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ3 . No caso

H1(G,Zθ1)⊗H1(G,Zθ1)⌣→ H2(G,Zθ0),

temos [e1∗1 ]2θ1 = [e∗2]θ0 , [e2∗1 ]2θ1 = 0 e [e1∗1 ]θ1 ⌣ [e2∗1 ]θ1 = [e∗2]θ0 . No caso

H1(G,Zθ1)⊗H1(G,Zθ2)⌣→ H2(G,Zθ3),

temos [e1∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ3 e [e2∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 ]θ2 = [e∗2]θ3 . No caso

H1(G,Zθ1)⊗H1(G,Zθ3)⌣→ H2(G,Zθ2),

temos [e1∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = 0 e [e2∗1 ]θ1 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = [e∗2]θ2 . No caso

H1(G,Zθ2)⊗H1(G,Zθ2)⌣→ H2(G,Zθ0),

temos [e1∗1 ]2θ2 = [e∗2]θ0 . No caso

H1(G,Zθ2)⊗H1(G,Zθ3)⌣→ H2(G,Zθ1),

temos [e1∗1 ]θ2 ⌣ [e1∗1 + e2∗1 ]θ3 = 0. Finalmente, no caso

H1(G,Zθ3)⊗H1(G,Zθ3)⌣→ H2(G,Zθ0),

temos [e1∗1 + e2∗1 ]2θ3 = [e∗2]θ0 .

Teorema 2.14 Os grupos de cohomologia H∗(G,Z2) sao dados por

H0(G,Z2) ∼= Z2,

H1(G,Z2) ∼= Z2 ⊕ Z2,

H2(G,Z2) ∼= Z2.

e Hn(G,Z2) = 0 para n ≥ 3. Alem disso, sendo ζ1 e ζ2 os geradores de H1(G,Z2) e ξ o geradorde H2(G,Z2), temos ζ21 = ξ, ζ22 = 0 e ζ1 ⌣ ζ2 = ξ.

Demonstracao: Usamos a notacao aditiva para Z2 = {0, 1}. Como no caso de Z trivial,considere a sequencia

0 // HomZG(P0,Z2)d∗1

// HomZG(P1,Z2)d∗2

// HomZG(P2,Z2) // 0

0 // Z2

d∗1//

∼=

Z2 ⊕ Z2

d∗2//

∼=

Z2//

∼=

0.

(2.12)

37

Se u0 ∈ HomZG(P0,Z2), temos (d∗1u0)(e11) = (d∗1u0)(e

21) = 0. Logo d∗1 = 0 e H0(G,Z2) ∼= Z2.

Se u1 ∈ HomZG(P1,Z2), temos (d∗2u1)(e2) = 0, logo tambem temos d∗2 = 0 e H1(G,Z2) ∼=Z2 ⊕ Z2, com geradores dados pelas classes dos homomorfismos e1∗1 e e2∗1 .

Finalmente temos H2(G,Z2) ∼= Z2, com um gerador dado pela classe do homomorfismo e∗2.Calculemos a estrutura multiplicativa de H∗(G,Z2):

(e1∗1 ⌣ e1∗1 )(e2) = (u11 × u11)∆2(e2) = 1⊗ 1,

(e1∗1 ⌣ e2∗1 )(e2) = (u11 × u21)∆2(e2) = 1⊗ 1,

(e2∗1 ⌣ e2∗1 )(e2) = (u21 × u21)∆2(e2) = 0,

o que nos da imediatamente o resultado do enunciado ao tomarmos ζ1 = [e1∗1 ], ζ2 = [e2∗1 ],ξ = [e∗2].

Passemos agora ao calculo dos grupos H∗(G,Zp), com p um primo ımpar, bem como aocalculo dos produtos cup para as diversas estruturas de Zp como ZG-modulo. Considere entaoZp = {0, . . . , p− 1}. A acao de ZG sobre Zp e definida por um homomorfismo de grupos

θ : G→ Aut(Zp)

definida por

θ(a)(1) = r · 1 = r

θ(b)(1) = s · 1 = s,

com mdc(r, p) = mdc(s, p) = 1. Devemos ter ainda θ(abab−1)(1) = 1 ⇔ rsrs−1 ≡ 1 (mod p) ⇔r2 ≡ 1 (mod p) ⇔ r ≡ ±1 (mod p).

Teorema 2.15 Seja Zp o ZG-modulo tal que a acao de G sobre Zp e definida pelo homomor-fismo de grupos

θ : G→ Aut(Zp)

tal que

θ(a)(1) = r · 1 = r

θ(b)(1) = s · 1 = s,

com mdc(r, p) = mdc(s, p) = 1 e r ≡ ±1 (mod p). Os grupos de cohomologia H∗(G,Zp) saodados por

H0(G,Zp) ∼=

{

Zp, se r ≡ s ≡ 1 (mod p)

0, caso contrario,

H1(G,Zp) ∼=

{

Zp, se r ≡ 1 (mod p), s ≡ ±1 (mod p)

0, caso contrario,

H2(G,Zp) ∼=

{

Zp, se r ≡ 1 (mod p), s ≡ −1 (mod p)

0, caso contrario.

38

Demonstracao: Considere a sequencia

0 // HomZG(P0,Zp)d∗1

// HomZG(P1,Zp)d∗2

// HomZG(P2,Zp) // 0

0 // Zpd∗1

//

∼=

Zp ⊕ Zpd∗2

//

∼=

Zp//

∼=

0.

(2.13)

Seja u0 ∈ HomZG(P0,Z2). Temos

(d∗1u0)(e11) = (r − 1)u0(e0),

(d∗1u0)(e21) = (s− 1)u0(e0),

logo a matriz de d∗1 : Zp → Zp ⊕ Zp nas bases duais de {e0} e {e11, e21} e

[d∗1] =

[r − 1s− 1

]

,

o que nos da

ker d∗1∼=

{


0, caso contrarioe im d∗1

∼=

{

0, se r ≡ s ≡ 1 (mod p)

Zp, caso contrario

Assim,

H0(G,Zp) ∼=

{


0, caso contrario.

Seja agora u1 ∈ HomZG(P1,Zp). Temos (d∗2u1)(e2) = (1 + rs)u1(e11) + (r − 1)u1(e

21). Segue

que a matriz de d∗2 : Zp ⊕ Zp → Zp nas bases duais de {e11, e21} e {e2} e

[d∗2] =[(1 + rs) (r − 1)

].

Dividimos nossa analise em 2 casos. Em primeiro lugar, se r ≡ 1 (mod p), temos [d∗2] =[(1 + s) 0

], logo

ker d∗2 =

{

Zp ⊕ Zp, se s ≡ −1 (mod p)

0⊕ Zp, se s 6≡ −1 (mod p)

e

im d∗2 =

{

0, se s ≡ −1 (mod p)

Zp, se s 6≡ −1 (mod p)

Se, por outro lado, tivermos r ≡ −1 (mod p), entao

(d∗2u1)(e2) = 0 ⇔ (1− s)u1(e11)− 2u1(e

21) = 0.

Se s ≡ 1 (mod p), isto implica que u1(e21) = 0. Caso contrario, se s 6≡ 1 (mod p) devemos ter

u1(e21) ≡ 2−1(1− s)u1(e

11) (mod p). Deste modo, temos

ker d∗2 =

{

Zp ⊕ 0, se s ≡ 1 (mod p)

{(k, k2−1(1− s)k) | k ∈ Zp} ∼= Zp, se s 6≡ 1 (mod p)

39

e im d∗2 = Zp. Unindo o que obtivemos nos casos r ≡ ±1 (mod p), podemos calcular

H1(G,Zp) =ker d∗2im d∗1

∼=

{

Zp, se r ≡ 1 (mod p), s ≡ ±1 (mod p)

0, caso contrario

Finalmente,

H2(G,Zp) =Zp

im d∗2

∼=

{

Zp, se r ≡ 1 (mod p), s ≡ −1 (mod p)

0, caso contrario

A fim de determinarmos a estrutura multiplicativa de H∗(G,Zp), so precisamos nos preocuparcom o produto caso em que r ≡ 1 (mod p), s ≡ ±1 (mod p).

H1(G,Z(1)p )⊗H1(G,Z(−1)

p )⌣→ H2(G,Z(1)

p ⊗ Z(−1)p ) ∼= H2(G,Z(−1)

p ),

em que representamos por Z(1)p o ZG-modulo em que r ≡ s ≡ 1 (mod p) e por Z

(−1)p o ZG-

modulo em que r ≡ 1 (mod p) e s ≡ −1 (mod p). Pelos calculos que ja realizamos, um gerador

para H1(G,Z(1)p ) e [e2∗1 ] e um gerador para H1(G,Z

(−1)p ) e [e1∗1 ]. Usando a Proposicao 2.12,

obtemos[e2∗1 ]⌣ [e1∗1 ] = −[e∗2],

em que [e∗2] e o gerador de H2(G,Z(−1)p ).

2.4 Superfıcies nao orientaveis

Seja G =⟨a1, a2, . . . , an | a21a

22 · · · a

2n

⟩, com n ≥ 3. Nesta secao exibiremos uma resolucao livre

de Z como ZG-modulo trivial. Sendo P esta resolucao, em seguida construiremos parcialmenteuma aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗ P . Esta aproximacao da diagonal permite quecalculemos entao nao apenas os grupos H∗(G,M) para um ZG-modulo M , mas tambem oproduto cup. Faremos tais calculos para coeficientes M = Z (isto e, Z como um ZG-modulotrivial ou nao) e M = Z2.

Seja p = a21a22 · · · a

2n. Portanto o grupo G e gerado por {a1, a2, . . . , an} e sujeito a relacao

p = 1.


0 // P2d2

// P1d1

// P0ε

//Z

// 0, (2.14)

na qual

P0 = 〈x〉 ∼= ZG,

P1 = 〈y1, . . . , yn〉 ∼= ZGn,

P2 = 〈w〉 ∼= ZG,

e os homomorfismos ε, d1 e d2 sao definidos por

ε(x) = 1,

d1(yi) = (ai − 1)x,

d2(w) =

n∑

i=1

∂p

∂aiyi,

40

em que as derivadas parciais sao as derivadas de Fox, que podem ser calculadas explicitamentedo seguinte modo:

∂p

∂ai= (a21 · · · a

2i−1)(1 + ai).

Demonstracao: Como no caso das superfıcies orientaveis, seguindo o Corolario 1.9, a nossasuperfıcie e recoberta pelo plano R

2, que e um 2-complexo que e tambem um G-complexolivre e contratil. Seu complexo de cadeia celular aumentado e exatamente aquele dado pela

equacao (2.14), como se prova em [FH83]. Finalmente, quanto ao calculo de∂p

∂ai, em primeiro

lugar temos

∂a2i∂ai

= 1 + ai,

logo

∂p

∂ai= (a21 · · · a

2i−1)

∂a2i∂ai

= (a21 · · · a2i−1)(1 + ai),

Passemos agora a construcao parcial de uma aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗ P .Novamente usaremos a demonstracao da Proposicao 1.10. Existe uma homotopia de contracaos para a resolucao (2.3) tal que

s−1(1) = x,

s0(px) =

n∑

j=1

(∂p

∂ajyj +

∂p

∂bjzj

)

,

em que p e uma palavra reduzida em G. Sendo assim, pela Proposicao 1.17, podemos construiros homomorfismos ∆0 : P0 → P0 ⊗ P0 e ∆1 : P1 → (P ⊗ P )1:

∆0(x) = s−1ε(x) ⊗ s−1ε(x) = x⊗ x,

∆1(yi) = s0∆0d1(yi) = s0(aix⊗ aix)− s0(x⊗ x)

= yi ⊗ aix+ x⊗ yi,

Quanto ao homomorfismo ∆2, fazemos a mesma observacao que ja nos foi util anteriormente:a fim de calcularmos o produto

H1(G,M) ⊗H1(G,N)⌣→ H2(G,M ⊗N),

e suficiente o conhecimento do homomorfismo ∆11 : P2 → P1 ⊗ P1, em que ∆11 = π11 ◦ ∆2 eπij : (P ⊗ P )i+j → Pi ⊗ Pj e a projecao. Observando que, para g, g′ ∈ G,

s1(gx⊗ g′yi) = s0(gx)⊗ g′yi︸︷︷︸

∈P1⊗P1

+x⊗ s1(g′yi)

︸︷︷︸

∈P0⊗P2

,

s1(gyi ⊗ g′x) = s1(gyi)⊗ g′x ∈ P2 ⊗ P0,

41

podemos escrever

∆11(w) = π11 ◦∆2(w) = π11s1∆1

(n∑

i=1

∂p

∂aiyi

)

= π11s1

(n∑

i=1

(a21 · · · a2i−1)(1 + ai)(x⊗ yi)

)

(2.15)

=

n∑

i=1

(s0((a

21 · · · a

2i−1)x)⊗ (a1 · · · a

2i−1)yi + s0((a

21 · · · a

2i−1)aix)⊗ (a21 · · · a

2i−1)aiyi

)

Para terminar os calculos da equacao acima, calculamos em seguida o homomorfismo s0 noselementos da forma

(a21 · · · a2i−1)x,

(a21 · · · a2i−1)aix.

Os calculos sao analogos ao que fizemos no caso das superfıcies orientaveis, e obtemos

s0((a21 · · · a

2i−1)x) =

i−1∑

j=1

(a21 · · · a2j−1)(1 + aj)yj,

s0((a21 · · · a

2i−1)aix) =

i−1∑

j=1

((a21 · · · a

2j−1)(1 + aj)yj

)+ (a21 · · · a

2i−1)yi.

Substituindo estes valores na equacao (2.15), obtemos

Proposicao 2.17 Se P e a resolucao livre de Z como ZG-modulo trivial dada pela Proposicao2.16, uma aproximacao da diagonal ∆: P → (P ⊗ P ) e dada parcialmente por

∆0 : P0 → (P ⊗ P )0

∆0(x) = s−1ε(x)⊗ s−1ε(x) = x⊗ x,

∆1 : P1 → (P ⊗ P )1

∆1(yi) = yi ⊗ aix+ x⊗ yi,

∆11 : P2 → (P1 ⊗ P1)

∆11(w) =

n∑

i=1

[( i−1∑

j=1

(a21 · · · a2j−1)(1 + aj)yj ⊗ (a21 · · · a

2i−1)yi

)

+

+

( i−1∑

j=1

(a21 · · · a2j−1)(1 + aj)yj ⊗ (a21 · · · a

2i−1)aiyi

)

+

+ (a21 · · · a2i−1)yi ⊗ (a21 · · · a

2i−1)aiyi

]

.

Com estes resultados, calcularemos os grupos H∗(G,Z), quando Z e um ZG-modulo trivialou nao, e tambem o produto cup. De acordo com [GG10], temos tres casos a considerar. Oprimeiro e o caso dos coeficientes triviais, isto e,

θ0 : G→ Aut(Z)

42

tal que θ0(g)(1) = 1 para todo g ∈ G. O segundo caso e o dado pela acao

θ1 : G→ Aut(Z)

tal que θ1(a1)(1) = −1 e θ1(ai)(1) = 1 para i > 1. O terceiro caso e o dado pela acao

θ2 : G→ Aut(Z)

tal que θ2(a1)(1) = −1, θ2(a2)(1) = −1 e θ1(ai)(1) = 1 para i > 2. Denotando por Zθi oZG-modulo dado por cada uma dessas acoes, temos:

Teorema 2.18 Os grupos de cohomologia H∗(G,Zθi) sao dados por:

H0(G,Zθ0)∼= Z, H0(G,Zθ1) = 0, H0(G,Zθ2) = 0,

H1(G,Zθ0)∼= Z

n−1, H1(G,Zθ1)∼= Z

n−2 ⊕ Z2, H1(G,Zθ2)∼= Z

n−2 ⊕ Z2,

H2(G,Zθ0)∼= Z2, H2(G,Zθ1)

∼= Z2, H2(G,Zθ2)∼= Z2,


H0(G,Zθ0) = 〈[x∗]θ0〉 ,

H1(G,Zθ0) =

n−1⊕

k=1

⟨[y∗k − y∗k+1]θ0

⟩,

H2(G,Zθ0) = 〈[w∗]θ0〉 ,

H0(G,Zθ1) = 0,

H1(G,Zθ1) = 〈[y∗1 ]θ1〉 ⊕

(n−1⊕

k=2

⟨[y∗k − y∗k+1]θ1

⟩

)

,

H2(G,Zθ1) = 〈[w∗]θ1〉 ,

H0(G,Zθ2) = 0,

H1(G,Zθ2) = 〈[y∗1 ]θ2〉 ⊕ 〈[y∗1 + y∗2]θ2〉 ⊕

(n−1⊕

k=3

⟨[y∗k − y∗k+1]θ2

⟩

)

,

H2(G,Zθ2) = 〈[w∗]θ2〉 ,

em que [y∗1]θ1 , [y∗1 + y∗2]θ2 e [w∗]θi sao de ordem 2. Alem disso, os produtos

H1(G,Zθi)⊗H1(G,Zθj )⌣→ H2(G,Zθi ⊗ Zθj)

sao dados por

[y∗k − y∗k+1]2θ0

= 0,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ0 =

{

[w∗]θ0 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗1 ]θ1 =

{

[w∗]θ1 , se k = 1,

0, se k > 1,

43

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ1 =

{

[w∗]θ1 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ2 =

{

[w∗]θ2 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗1 ]θ2 =

{

[w∗]θ2 , se k = 1,

0, caso contrario,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗1 + y∗2]θ2 =

{

[w∗]θ2 , se k = 2,

0, caso contrario,

[y∗1]2θ1

= [w∗]θ0 ,

[y∗k − y∗k+1]2θ1

= 0,

[y∗1]θ1 ⌣ [y∗k − y∗k+1]θ1 = 0,

[y∗1]2θ2

= [w∗]θ0 ,

[y∗1 + y∗2]2θ2

= 0,

[y∗1]θ2 ⌣ [y∗1 + y∗2 ]θ2 = [w∗]θ0 ,

[y∗1]θ2 ⌣ [y∗k − y∗k+1]θ2 = 0,

[y∗1 + y∗2]θ2 ⌣ [y∗k − y∗k+1]θ2 = 0,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ1 =

{

[w∗]θ0 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario,

[y∗1]θ1 ⌣ [y∗1]θ2 = [w∗]θ1 ,

[y∗1]θ1 ⌣ [y∗1 + y∗2 ]θ2 = 0,

[y∗1]θ1 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ2 = 0,

[y∗k − y∗k+1]θ1 ⌣ [y∗1 ]θ2 = 0,

[y∗k − y∗k+1]θ1 ⌣ [y∗1 + y∗2]θ2 =

{

[w∗]θ1 , se k = 2,

0, caso contrario,

[y∗k − y∗k+1]θ1 ⌣ [y∗ℓ + y∗ℓ+1]θ2 =

{

[w∗]θ1 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario.

Demonstracao: Iniciemos a analise com Zθ0 . Sendo P a resolucao (2.14), considere o complexode cocadeia




0 //Z

//

∼=

Z2n //

∼=

Z//

∼=

0.

Se u ∈ HomZG(P0,Zθ0), entao, ∀1 ≤ i ≤ n,

(d∗1u)(yi) = u(d1(yi)) = u(aix− x) = aiu(x)− u(x) = 0

portanto d∗1 = 0 e H0(G,Zθ0) = [x∗]θ0∼= Z. Se u ∈ HomZG(P1,Zθ0), entao

(d∗2u)(w) = u(d2(w)) = u

(n∑

i=1

(a21 · · · a2i−1)(1 + ai)yi

)

=n∑

i=1

2u(yi).

44

Logo a matriz de d∗2 nas base duais de {y1, . . . , yn} e {w} e

[d∗2] =[2 2 · · · 2

],

o que nos da

H1(G,Zθ0) =n−1⊕

k=1

⟨[y∗k − y∗k+1]θ0

⟩∼= Z

n−1 e H2(G,Zθ0) = 〈[w∗]θ0〉∼= Z2.

Agora consideramos o modulo Zθ1 . Sendo P a resolucao (2.14), considere o complexo decocadeia




0 // Z //

∼=

Z2n //

∼=

Z //

∼=

0.


(d∗1u)(yi) = u(d1(yi)) = u(aix− x) = aiu(x)− u(x) =

{

−2u(x), se i = 1,

0, se i ≥ 2.

portanto ker d∗1 = 0 e H0(G,Zθ1) = 0. A matriz de d∗1 nas bases duais de {x} e {y1, . . . , yn} e

[d∗1] =[−2 0 · · · 0

]T.

Se u ∈ HomZG(P1,Zθ1), entao

(d∗2u)(w) = u(d2(w)) = u

(n∑

i=1

(a21 · · · a2i−1)(1 + ai)yi

)

=

n∑

i=2

2u(yi).


[0 2 · · · 2

],

o que nos da

H1(G,Zθ1) = 〈[y∗1]θ1〉 ⊕n−1⊕

k=2

⟨[y∗k − y∗k+1]θ0

⟩∼= Z2 ⊕ Z

n−2 e H2(G,Zθ1) = 〈[w∗]θ1〉∼= Z2,

em que a ordem de [y∗1]θ1 e 2.

Finalmente, consideramos o modulo Zθ2 . Sendo P a resolucao (2.14), considere o complexode cocadeia



// HomZG(P2,Zθ2) // 0

0 // Z //

∼=

Z2n //

∼=

Z //

∼=

0.

45


(d∗1u)(yi) = u(d1(yi)) = u(aix− x) = aiu(x)− u(x) =

{

−2u(x), se i = 1, 2,

0, se i ≥ 3.

portanto ker d∗1 = 0 e H0(G,Zθ2) = 0. A matriz de d∗1 nas bases duais de {x} e {y1, . . . , yn} e

[d∗1] =[−2 −2 0 · · · 0

]T.

Se u ∈ HomZG(P1,Zθ1), entao

(d∗2u)(w) = u(d2(w)) = u

(n∑

i=1

(a21 · · · a2i−1)(1 + ai)yi

)

=

n∑

i=3

2u(yi).


[0 0 2 · · · 2

],

o que nos da

H1(G,Zθ2) = 〈[y∗1]θ2〉 ⊕ 〈[y∗1 + y∗2]θ2〉 ⊕

(n−1⊕

k=3

⟨[y∗k − y∗k+1]θ2

⟩

)

eH2(G,Zθ2) = 〈[w∗]θ2〉∼= Z2,

em que [y∗1 + y∗2 ]θ2 tem ordem 2.

A fim de considerarmos os produtos cup para os coeficientes Zθi , observamos que

Zθ0 ⊗ Zθi∼= Zθi ,

Zθi ⊗ Zθi∼= Zθ0 ,

Zθ1 ⊗ Zθ2∼= Zθ1 .

A partir da Proposicao 2.17, os calculos sao imediatos. Comecamos com o caso

H1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ0)∼= H2(G,Zθ0).

Neste caso, temos [y∗k − y∗k+1]2θ0

= 0 e

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ0 =

{

[w∗]θ0 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario.

No casoH1(G,Zθ0)⊗H1(G,Zθ1)

∼= H2(G,Zθ1),

temos, para 1 ≤ k ≤ n− 1,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗1 ]θ1 =

{

[w∗]θ1 , se k = 1,

0, se k > 1

e, para 1 ≤ k ≤ n− 1 e 2 ≤ ℓ ≤ n− 1,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ1 =

{

[w∗]θ1 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario.

46


∼= H2(G,Zθ2),

temos, para 1 ≤ k ≤ n− 1 e 3 ≤ ℓ ≤ n− 1

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ2 =

{

[w∗]θ2 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario,

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗1]θ2 =

{

[w∗]θ2 , se k = 1,

0, caso contrario,

e

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗1 + y∗2]θ2 =

{

[w∗]θ2 , se k = 2,

0, caso contrario.


∼= H2(G,Zθ0),

temos [y∗1 ]2θ1

= [w∗]θ0 e, para 2 ≤ k ≤ n− 1, [y∗k − y∗k+1]2θ1

= 0 e [y∗1 ]θ1 ⌣ [y∗k − y∗k+1]θ1 = 0. Nocaso

H1(G,Zθ2)⊗H1(G,Zθ2)∼= H2(G,Zθ0),

temos [y∗1 ]2θ2

= [w∗]θ0 , [y∗1 + y∗2 ]

2θ2

= 0, [y∗1 ]θ2 ⌣ [y∗1 + y∗2 ]θ2 = [w∗]θ0 e, para 3 ≤ k, ℓ ≤ n − 1,[y∗1 ]θ2 ⌣ [y∗k − y∗k+1]θ2 = 0, [y∗1 + y∗2]θ2 ⌣ [y∗k − y∗k+1]θ2 = 0 e

[y∗k − y∗k+1]θ0 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ1 =

{

[w∗]θ0 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario.

Finalmente, no casoH1(G,Zθ1)⊗H1(G,Zθ2)

∼= H2(G,Zθ1),

temos [y∗1]θ1 ⌣ [y∗1]θ2 = [w∗]θ1 , [y∗1 ]θ1 ⌣ [y∗1 + y∗2]θ2 = 0 e, para 2 ≤ k ≤ n− 1 e 3 ≤ ℓ ≤ n − 1,

temos [y∗1 ]θ1 ⌣ [y∗ℓ − y∗ℓ+1]θ2 = 0, [y∗k − y∗k+1]θ1 ⌣ [y∗1]θ2 = 0,

[y∗k − y∗k+1]θ1 ⌣ [y∗1 + y∗2]θ2 =

{

[w∗]θ1 , se k = 2,

0, caso contrario,

e

[y∗k − y∗k+1]θ1 ⌣ [y∗ℓ + y∗ℓ+1]θ2 =

{

[w∗]θ1 , se ℓ = k ± 1,

0, caso contrario.

Os calculos para coeficientes Z2 sao ainda mais simples, pois neste caso o homomorfismo

d∗2 : HomZG(P1,Z2) → HomZG(P2,Z2)

e nulo. Obtemos entao o seguinte resultado:

Teorema 2.19 Os grupos de cohomologia H∗(G,Z2) sao tais que

H0(G,Z2) = 〈[x∗]〉 ∼= Z2,

H1(G,Z2) = 〈[y∗1 ], . . . , [y∗n]〉

∼= Zn2 ,

H2(G,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

Hn(G,Z2) = 0, se n ≥ 3.

47

Alem disso, o produto cup

H1(G,Z2)⊗H1(G,Z2)⌣→ H2(G,Z2 ⊗ Z2) ∼= H2(G,Z2)

e dado por

[y∗i ]⌣ [y∗j ] =

{

[w∗], se i = j ∈ {1, . . . , n},

0, se i 6= j.

48

Capıtulo 3

Aproximacao da diagonal para o

grupo (Z⊕ Z)⋊ Z

3.1 Introducao

Considere um fibrado p : E → S1 cuja fibra seja F = S1 × S1, o toro. Desta forma, a partir de

(S1 × S1) // Ep

// S1,

obtemos uma sequencia exata de grupos

1 // π1(S1 × S1) // π1(E) // π1(S

1) // 1

1 // Z⊕ Z //

∼=

π1(E) // Z //

∼=

1,

pois π2(S1) = 0 e S1 × S1 e conexo por caminhos. Como Z e um grupo livre, temos entao

π1(E) ∼= (Z ⊕ Z) ⋊ Z. Neste capıtulo, determinaremos o anel de cohomologia do grupo π1(E)para coeficientes Z, Z2 e Zp, com p um primo ımpar.

Sendo assim, denotemos por G = 〈a, b | ab = ba〉 ∼= Z ⊕ Z o grupo fundamental do toro econsideremos o grupo G⋊Z, em que o grupo Z = 〈t〉 atua sobre G da seguinte maneira:

t · a = aαbβ, t · b = aγbδ,

com α, β, γ e δ numeros inteiros satisfazendo

det

[α γβ δ

]

= ±1.

Para os elementos de G⋊Z, usaremos a notacao G⋊Z = {(ambn, tk) : m,n, k ∈ Z}, e definimos

θ =

[α γβ δ

]

.

O primeiro passo para determinar o anel de cohomologia de G ⋊ Z e obter uma resolucaoprojetiva (de fato, obteremos uma resolucao livre) do Z[G ⋊ Z]-modulo trivial Z sobre o anelZ[G ⋊ Z], o qual permite o calculo dos grupos de cohomologia H∗(G ⋊ Z,Z). Faremos issousando a tecnica contida no artigo [Wal61] e que foram resumidas no Capıtulo 1. Em seguida,procuramos obter uma aproximacao da diagonal para a resolucao obtida, de modo que possamosdeterminar a fim de obtermos a estrutura de anel de H∗(G ⋊ Z,Z). Virtualmente sem esforcoadicional, podemos determinar tambem os gruposH∗(G⋊Z,Z2), H

∗(G⋊Z,Zp) e suas estruturasmultiplicativas, com p um primo ımpar.

49

3.2 Resolucao livre de Z como Z[G⋊ Z]-modulo trivial

Apliquemos as ideias do artigo [Wal61] e descritas no Lema 1.12 e no Teorema 1.13 para aextensao

1 → G→ G⋊ Z → Z → 1,

com G e G ⋊ Z os grupos dados na introducao. Uma resolucao livre de Z como ZG-modulotrivial ja foi vista na Proposicao 2.1. Alem disso, uma resolucao livre de Z como ZZ-modulotrivial e

0 //ZZ

t−1//ZZ

ε//Z

// 0

A partir destas resolucoes, os modulos Ar,s usados no Lema 1.12 e no Teorema 1.13 sao naonulos apenas para 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ s ≤ 1. Para estes valores de r e s temos:

A2,1∼= A2,0

∼= A0,1∼= A0,0

∼= Z[G⋊ Z]

A1,1∼= A1,0

∼= Z[G⋊ Z]⊕ Z[G⋊ Z].

Obtemos entao o seguinte diagrama:

〈w〉〈z1〉 ⊕ 〈z2〉〈y3〉

0 // Z[G⋊ Z]d0

//

d1��

Z[G⋊ Z]⊕ Z[G⋊Z]d0

//

d1��

Z[G⋊ Z]ε0

//

d1��

ZZ

t−1

��

0 // Z[G⋊ Z]d0

// Z[G⋊ Z]⊕ Z[G⋊Z]d0

// Z[G⋊ Z]ε0

// ZZ

〈z3〉〈y1〉 ⊕ 〈y2〉〈x〉

No diagrama acima, no qual usamos x, y1, y2, y3, z1, z2, z3 e w para representar os geradoresdos Z[G⋊Z]-modulos livres que aparecem, os homomorfismos d0 e ε0 sao calculados diretamenteda resolucao livre de G e sao os seguintes:

ε0 : 〈y3〉 → ZZ

ε0((ambn, tk)y3) = tk

ε0 : 〈x〉 → ZZ

ε0((ambn, tk)x) = tk

d0 : 〈w〉 → 〈z1〉 ⊕ 〈z2〉

d0(w) = ((1, 1) − (b, 1))z1 + ((a, 1) − (1, 1))z2

d0 : 〈z3〉 → 〈y1〉 ⊕ 〈y2〉

d0(z3) = ((1, 1) − (b, 1))y1 + ((a, 1) − (1, 1))y2

d0 : 〈z1〉 ⊕ 〈z2〉 → 〈y3〉

d0(z1) = ((a, 1) − (1, 1))y3

d0(z2) = ((b, 1) − (1, 1))y3

d0 : 〈y1〉 ⊕ 〈y2〉 → 〈x〉

d0(y1) = ((a, 1) − (1, 1))x

d0(y2) = ((b, 1) − (1, 1))x

50

Os homomorfismos d1 devem ser determinados para obtermos a resolucao desejada de Z

como Z[G⋊ Z]-modulo trivial. Comecemos com

d1 : 〈y3〉 → 〈x〉 .

Este homomorfismo deve satisfazer ε0 ◦ d1 = (t − 1) ◦ ε0. Temos entao ε0(d1(y3)) = (t − 1) ◦(ε0(y3)) ⇔ ε0(d1(y3)) = (t− 1). Podemos tomar entao

d1(y3) = [(1, t)− (1, 1)]x.

O proximo homomorfismo d1 : 〈z1〉 ⊕ 〈z2〉 → 〈y1〉 ⊕ 〈y2〉 e obtido da seguinte maneira:digamos que d1(z1) = Ay1 +By2 e d1(z2) = Cy1 +Dy2, em que A, B, C e D sao elementos deZ[G⋊Z]. O diagrama

〈z1〉 ⊕ 〈z2〉d0

//

d1��

〈y3〉

d1��

〈y1〉 ⊕ 〈y2〉d0

// 〈x〉

e tal que d0d1 + d1d0 = 0. Calculando em z1, esta equacao se torna

A((a, 1) − (1, 1)) +B((b, 1)− (1, 1)) = (1, t) − (1, 1) + (a, 1)− (a, t). (3.1)

Se escrevermos

A = (1, 1) +∑

m,n∈Z

gmn(ambn, t),

B =∑

m,n∈Z

hmn(ambn, t),

a equacao (3.1) se torna

∑

m,n∈Z

(g(m−α)(n−β) − gmn + h(m−γ)(n−δ) − hmn

)(ambn, t) = (1, t) − (a, t). (3.2)

A equacao (3.2) e, na realidade, um sistema de equacoes, com uma equacao para cada(m,n) ∈ Z × Z. Para resolve-la, usaremos o seguinte artifıcio grafico: em primeiro lugar,consideramos os pontos (m,n) de coordenadas inteiras do plano. No ponto de coordenadas(m,n) escreveremos dois numeros inteiros, um com o valor de gmn e outro com o valor de hmn

(valores que teremos que determinar). Apenas para exemplificar, no desenho abaixo, supondoque o ponto central e o ponto (0, 0), temos g00 = 1, h00 = 0, g01 = 2 e h01 = 1.

b

b

b

b

b

b

b

b

b

10

21

Estes pontos serao os vertices de um grafo orientado em que cada vertice (m,n) e a origemde uma aresta com destino (m − α, n − β) e tambem e a origem de uma aresta com destino(m− γ, n − δ).

51

Como a matriz

[α γβ δ

]

tem determinante ±1, podemos encontrar um caminho entre quais-

quer dois vertices do grafo que acabamos de construir (ainda que seja necessario andar nosentido inverso de uma ou mais arestas). Por esta razao, e mais conveniente desenhar o grafoda seguinte maneira:

b b b b

b b b b

b b b b

b b b b

Neste novo desenho, o vizinho esquerdo do vertice (m,n) e o vertice (m − α, n − β), e abaixodo vertice (m,n) esta o vertice (m − γ, n − δ). Usando esta representacao acima com arestashorizontais e verticais, marcaremos em cada aresta horizontal com origem no vertice (m,n) ovalor de g(m−α)(n−β) − gmn, e marcaremos em cada aresta vertical com origem no vertice (m,n)o valor de h(m−γ)(n−δ) − hmn, como no seguinte desenho:

b b

b

−1

1

−10 00

01

Agora usemos este grafo para resolver a equacao (3.2). Observando o lado direito da equacao,podemos reescreve-la assim:

g(m−α)(n−β) − gmn + h(m−γ)(n−δ) − hmn =

1, se (m,n) = (0, 0),

−1, se (m,n) = (1, 0),

0, caso contrario.

(3.3)

O truque para encontrar uma solucao de (3.3) consiste em encontrar um caminho entre osvertices (0, 0) e (1, 0). Para tanto, sejam m1 e n1 numeros inteiros tais que

∣∣∣∣

−αm1 − γn1 = 1−βm1 − δn1 = 0.

Assim, partindo do vertice (0, 0), atingimos o vertice (1, 0) percorrendo |m1| arestas hori-zontais seguidas de |n1| arestas verticais (percorremos as arestas em seu sentido contrario casoo valor de m1 ou n1 seja negativo).

Vamos supor inicialmente que m1 < 0 e n1 > 0. Considere, no grafo que construimos, asseguintes arestas:

52

b b b b b

b

b

b

b

O vertice superior esquerdo e o (0, 0) e o vertice inferior direito e o (1, 0). Existem |m1|arestas horizontais e |n1| verticais neste desenho. As arestas que partem do vertice (0, 0) devemsomar 1, as arestas que partem do vertice (1, 0) devem somar −1, e as arestas que partem dequaisquer outros vertices devem somar zero. Isto pode ser obtido com os seguintes valores degmn e hmn:

b b b b b

b

b

b

b

−10 −10 −10 −10 00

01

01

01

01

Em todos os vertices que nao estao desenhados, temos gmn = hmn = 0. Lemos do grafo acimaos valores desejados de A e B:

A = (1, 1) −m1−1∑

k=0

(akαbkβ, t),

B =

n1−1∑

k=0

(a1+kγbkδ, t).

Podemos, no caso geral, calcular explicitamente os valores de m1, n1, A e B. Os valoresde C e D sao calculados analogamente, e podemos sintetizar os resultados que obtemos: sejamm1, n1, m2 e n2 os inteiros dados por

[m1 m2

n1 n2

]

= −θ−1 =1

αδ − βγ

[−δ γβ −α

]

.

Entao d1(z1) = Ay1 +By2 e d1(z2) = Cy1 +Dy2, em que

A =

(1, 1) +

m1∑

k=1

(a−kαb−kβ, t), se m1 > 0,

(1, 1) −−m1−1∑

k=0

(akαbkβ, t), se m1 < 0,

(1, 1), se m1 = 0,

(3.4)

53

B =

n1−1∑

k=0

(a1+kγbkδ, t), se n1 > 0,

−−n1∑

k=1

(a1−kγb−kδ, t), se n1 < 0,

0, se n1 = 0,

(3.5)

C =

m2∑

k=1

(a−kαb−kβ, t), se m2 > 0,

−−m2−1∑

k=0

(akαbkβ, t), se m2 < 0,

0, se m2 = 0,

(3.6)

D =

(1, 1) +

n2−1∑

k=0

(akγb1+kδ, t), se n2 > 0,

(1, 1) −−n2∑

k=1

(a−kγb1−kδ, t), se n2 < 0,

(1, 1), se n2 = 0.

(3.7)

Finalmente, devemos determinar o homomorfismo d1 : 〈w〉 → 〈z3〉. Considere, portanto, odiagrama

〈w〉d0

//

d1��

〈z1〉 ⊕ 〈z2〉

d1��

〈z3〉d0

// 〈y1〉 ⊕ 〈y2〉

Sendo d1(w) = Ez3, com E ∈ Z[G⋊ Z], temos

d0d1(w) + d1d0(w) = 0 ⇔

Ed0(z3) + d1(((1, 1) − (b, 1))z1 + ((a, 1) − (1, 1))z2) = 0 ⇔

E(((1, 1) − (b, 1))y1 + ((a, 1) − (1, 1))y2

)= ((b, 1) − (1, 1))(Ay1 +By2)+

+ ((1, 1) − (a, 1))(Cy1 +Dy2)

Logo E deve satisfazer∣∣∣∣

E((1, 1) − (b, 1)) = ((b, 1) − (1, 1))A + ((1, 1) − (a, 1))CE((a, 1) − (1, 1)) = ((b, 1) − (1, 1))B + ((1, 1) − (a, 1))D.

(3.8)

Dadas as expressoes para A, B, C e D, uma conjectura para o formato de E e

E = −(1, 1) +∑

m,n∈Z

hmn(ambn, t).

Com esta conjectura para E, temos

E((1, 1) − (b, 1)) = ((b, 1) − (1, 1)) +∑

m,n∈Z

(hmn − h(m−γ)(n−δ))(ambn, t)

54

e

E((a, 1) − (1, 1)) = ((1, 1) − (a, 1)) +∑

m,n∈Z

(h(m−α)(n−β) − hmn)(ambn, t).

A determinacao de E entao se divide em varios casos, dadas as diversas expressoes existentespara A, B, C e D. Vamos supor, como caso inicial, que m1 < 0, n1 > 0, m2 > 0 e n2 < 0 (este

caso ocorre quando α, β, γ, δ > 0 e det

[α γβ δ

]

= 1). Neste caso, a primeira equacao de (3.8) se

escreve como

((b, 1) − (1, 1)) +∑

m,n∈Z

(hmn − h(m−γ)(n−δ))(ambn, t) = ((b, 1) − (1, 1))+

+

−m1−1∑

k=0

[

(akαbkβ, t)− (akαb1+kβ, t)]

+

m2∑

k=1

[

(a−kαb−kβ, t)− (a1−kαb−kβ, t)]

(3.9)

e a segunda se escreve como

((1, 1) − (a, 1)) +∑

m,n∈Z

(h(m−α)(n−β) − hmn)(ambn, t) = ((1, 1) − (a, 1))+

+

n1−1∑

k=0

[

(a1+kγb1+kδ, t)− (a1+kγbkδ, t)]

−−n2∑

k=1

[

(a−kγb1−kδ, t)− (a1−kγb1−kδ, t)]

(3.10)

O artifıcio que utilizaremos para resolver o sistema dado pelas equacoes (3.9) e (3.10) eparecido com o que utilizamos para determinar A, B, C e D anteriormente. Construımos umgrafo orientado cujos vertice sao os pontos do plano de coordenadas inteiras. Do vertice vmn

de coordenadas (m,n) partem duas arestas, uma para o vertice v(m−α)(n−β) de coordenadas(m− α, n − β) e outra para o vertice v(m+γ)(n+δ) de coordenadas (m+ γ, n+ δ).

Em cada aresta horizontal com origem em vmn, escreveremos um rotulo com o valor deh(m−α)(n−β) − hmn, e em cada aresta vertical com destino em vmn escreveremos um rotulo como valor de hmn−h(m−γ)(n−δ). Deste modo, a nossa tarefa consiste em determinar um valor inteirohmn para cada vertice vmn de coordenadas (m,n) de modo que os valores predeterminados pelasarestas seja respeitado e quase todos os hmn sejam iguais a zero (isto e, todos os hmn sao zeroexceto por uma quantidade finita deles).

Vamos desenhar este grafo no caso que estamos considerando. E mais conveniente represen-tarmos as arestas horizontal e verticalmente, como na figura a seguir:

b b

b

v(m−α)(n−β) vmn

v(m+γ)(n+δ)

Para tanto, basta realizarmos uma transformacao linear T : Z× Z → Z× Z tal que

T (m,n) = −

[m1 m2

n1 n2

] [mn

]

= (−m1m−m2n,−n1m− n2n).

Desta maneira, observando as equacoes (3.9) e (3.10), o nosso grafo e o seguinte (no casom1 < 0,n1 > 0, m2 > 0, n2 < 0):

55

I1 × J1

I2 × J2

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

−m2 −m1−m2 −m1

−n1

0

−n2

−1

−1

−1

−1

b

b

b

−1 −1 −1 −1b b b

1 1 1 1b b b 1 1 1 1b b b

1

1

1

1

b

b

b

1

1

1

1

b

b

b

−1

−1

−1

−1

b

b

b

−1 −1 −1 −1b b b

Na figura acima, as arestas que nao estao desenhadas sao aquelas que recebem rotulo zero.Os numeros das retas pontilhadas representam as coordenadas das respectivas retas apos arealizacao da transformacao T . E as reticencias indicam uma sequencia de arestas com o mesmosentido e com o mesmo rotulo.

Observando o grafo e facil encontrar os valores hmn que satisfazem todos os valores dosrotulos das arestas. Considere os conjuntos

I1 = [−m2,−m1 −m2 − 1] ∩ Z

J1 = [0,−n2 − 1] ∩ Z

I2 = [−m1 −m2,−m1 − 1] ∩ Z

J2 = [−n1,−1] ∩ Z

Se hmn = 1 para (m,n) ∈ I1 × J1, hmn = −1 para (m,n) ∈ I2 × J2 e hmn = 0 para osoutros valores de (m,n), entao as equacoes (3.9) e (3.10) sao satisfeitas. Retornando para

as coordenadas originais e notando que a matriz da transformacao T−1 e

[α γβ δ

]

, podemos

escrever

E = −(1, 1) +∑

(m,n)∈I1×J1

(aαm+γnbβm+δn, t)−∑

(m,n)∈I2×J2

(aαm+γnbβm+δn, t) (3.11)

Em todos os outros casos, o elemento E e calculado analogamente e obtemos em cada umdeles a expressao (3.11) para E, mudando apenas em cada caso os conjuntos I1, J1, I2 e J2. Natabela abaixo exibimos os conjuntos I1, J1, I2, J2 para os diversos casos possıveis. As quatroprimeiras colunas da tabela indicam os sinais de m1, n1, m2, n2, ou o valor de qualquer umadestas variaveis. O sımbolo Z em uma das quatro primeiras colunas indica que o valor davariavel correspondente nao importa.

56

Tabela 3.1: Os conjuntos I1, J1, I2 e J2

m1 n1 m2 n2 I1, J1, I2, J2 Observacao

+ + + + I1 = [−m1 −m2,−m2 − 1] ∩ Z,J1 = [−n2,−n1 − 1] ∩ Z,I2 = [−m2,−m1 − 1] ∩ Z,J2 = [−n1,−1] ∩ Z

se m1 < m2, n1 < n2

+ + + + I1 = [−m1,−m2 − 1] ∩ Z,J1 = [−n2,−1] ∩ Z,I2 = [−m1 −m2,−m1 − 1] ∩ Z,J2 = [−n1,−n2 − 1] ∩ Z

se m1 > m2, n1 > n2

− − − − I1 = [−m2,−m1 −m2 − 1] ∩ Z,J1 = [−n1,−n2 − 1] ∩ Z,I2 = [−m1,−m2 − 1] ∩ Z,J2 = [0,−n1 − 1] ∩ Z

se m1 > m2, n1 > n2

− − − − I1 = [−m2,−m1 − 1] ∩ Z,J1 = [0,−n2 − 1] ∩ Z,I2 = [−m1,−m1 −m2 − 1] ∩ Z,J2 = [−n2,−n1 − 1] ∩ Z

se m1 < m2, n1 < n2

− + + − I1 = [−m2,−m1 −m2 − 1] ∩ Z,J1 = [0,−n2 − 1] ∩ Z,I2 = [−m1 −m2,−m1 − 1] ∩ Z,J2 = [−n1,−1] ∩ Z

+ − − + I1 = [−m1 −m2,−m2 − 1] ∩ Z,J1 = [−n2,−1] ∩ Z,I2 = [−m1,−m1 −m2 − 1] ∩ Z,J2 = [0,−n1 − 1] ∩ Z

+ − + − I1 = [−m2,−m1 − 1] ∩ Z,J1 = [0,−n1 − 1] ∩ Z,I2 = [−m1 −m2,−m2 − 1] ∩ Z,J2 = [−n1,−n2 − 1] ∩ Z

se m1 < m2, n1 > n2

+ − + − I1 = [−m1 −m2,−m1 − 1] ∩ Z,J1 = [−n2,−n1 − 1] ∩ Z,I2 = [−m1,−m2 − 1] ∩ Z,J2 = [0,−n2 − 1] ∩ Z

se m1 > m2, n1 < n2

− + − + I1 = [−m1,−m1 −m2 − 1] ∩ Z,J1 = [−n1,−n2 − 1] ∩ Z,I2 = [−m2,−m1 − 1] ∩ Z,J2 = [−n2,−1] ∩ Z

se m1 < m2, n1 > n2

− + − + I1 = [−m1,−m2 − 1] ∩ Z,J1 = [−n1,−1] ∩ Z,I2 = [−m2,−m1 −m2 − 1] ∩ Z,J2 = [−n2,−n1 − 1] ∩ Z

se m1 > m2, n1 < n2

+ + − − I1 = [−m1,−m1 −m2 − 1] ∩ Z,J1 = [−n1,−1] ∩ Z,I2 = [−m1 −m2,−m2 − 1] ∩ Z,J2 = [0,−n2 − 1] ∩ Z

57

− − + + I1 = [−m1 −m2,−m1 − 1] ∩ Z,J1 = [0,−n1 − 1] ∩ Z,I2 = [−m2,−m1 −m2 − 1] ∩ Z,J2 = [−n2,−1] ∩ Z

0 1 1 Z I1 = ∅,J1 = ∅,I2 = {−1},J2 = {−1}

0 −1 −1 Z I1 = ∅,J1 = ∅,I2 = {0},J2 = {0}

0 1 −1 Z I1 = {0},J1 = {−1},I2 = ∅,J2 = ∅

0 −1 1 Z I1 = {−1},J1 = {0},I2 = ∅,J2 = ∅

1 0 Z 1 I1 = {−m2 − 1},J1 = {−1},I2 = ∅,J2 = ∅

−1 0 Z −1 I1 = {−m2},J1 = {0},I2 = ∅,J2 = ∅

1 0 Z −1 I1 = ∅,J1 = ∅,I2 = {−m2 − 1},J2 = {0}

−1 0 Z 1 I1 = ∅,J1 = ∅,I2 = {−m2},J2 = {−1}

1 Z 0 1 I1 = {−1},J1 = {−1},I2 = ∅,J2 = ∅

−1 Z 0 −1 I1 = {0},J1 = {0},I2 = ∅,J2 = ∅

1 Z 0 −1 I1 = ∅,J1 = ∅,I2 = {−1},J2 = {0}

58

−1 Z 0 1 I1 = ∅,J1 = ∅,I2 = {0},J2 = {−1}

Z 1 1 0 I1 = ∅,J1 = ∅,I2 = {−m1 − 1},J2 = {−1}

Z −1 −1 0 I1 = ∅,J1 = ∅,I2 = {−m1},J2 = {0}

Z 1 −1 0 I1 = {−m1},J1 = {−1},I2 = ∅,J2 = ∅

Z −1 1 0 I1 = {−m1 − 1},J1 = {0},I2 = ∅,J2 = ∅

Apesar de haver muitos casos distintos, e interessante notar que, em todos os casos, vale

|(I1 × J1)| − |(I2 × J2)| = det

[α γβ δ

]

= ±1.

Portanto, se denotarmos por ε : Z[G⋊ Z] → Z o homomorfismo de aumento, temos

ε(E) =

{

0, se det θ = 1,

−2, se det θ = −1.(3.12)

Isso quer dizer que o homomorfismo

d∗1 : HomZ[G⋊Z](〈z3〉 ,Z) → HomZ[G⋊Z](〈w〉 ,Z)

ou e o homomorfismo nulo, ou e a multiplicacao por −2. Este fato sera util no calculo dosgrupos de cohomologia H∗(G⋊ Z,Z).

Os homomorfismo dk com k ≥ 2 do Lema 1.12 sao todos nulos. Logo, aplicando agora oTeorema 1.13, podemos finalmente obter uma resolucao livre de Z como Z[G⋊Z]-modulo trivial.Provamos entao o seguinte:

Teorema 3.1 Sejam

P0 = 〈x〉 ∼= Z[G⋊ Z]

P1 = 〈y1〉 ⊕ 〈y2〉 ⊕ 〈y3〉 ∼= Z[G⋊Z]⊕ Z[G⋊ Z]⊕ Z[G⋊ Z]

P2 = 〈z1〉 ⊕ 〈z2〉 ⊕ 〈z3〉 ∼= Z[G⋊ Z]⊕ Z[G⋊ Z]⊕ Z[G⋊Z]

P3 = 〈w〉 ∼= Z[G⋊ Z].

59

A sequencia a seguir e uma resolucao livre de Z como Z[G⋊ Z]-modulo trivial:

0 // P3ϕ3

// P2ϕ2

// P1ϕ1

// P0ε0

// Z // 0, (3.13)

na qual os homomorfismos de Z[G⋊ Z]-modulos ε0, ϕ1, ϕ2 e ϕ3 sao definidos por

ε0(x) = 1

ϕ1(y1) = [(a, 1) − (1, 1)]xϕ1(y2) = [(b, 1) − (1, 1)]xϕ1(y3) = [(1, t) − (1, 1)]x

ϕ2(z1) = Ay1 +By2 + [(a, 1) − (1, 1)]y3ϕ2(z2) = Cy1 +Dy2 + [(b, 1) − (1, 1)]y3ϕ2(z3) = [(1, 1) − (b, 1)]y1 + [(a, 1) − (1, 1)]y2

ϕ3(w) = [(1, 1) − (b, 1)]z1 + [(a, 1) − (1, 1)]z2 + Ez3.

Os elementos A, B, C, D e E ∈ Z[G ⋊ Z] sao dados pelas equacoes (3.4), (3.5), (3.6), (3.7)e (3.11).

3.3 Os grupos de cohomologia H∗(G⋊Z,Z), H∗(G⋊Z,Z2) e H∗(G⋊

Z,Zp)

De posse da resolucao livre de Z como Z[G⋊Z]-modulo trivial, podemos calcular os grupos decohomologia H∗(G⋊ Z,Z). Considere o complexo de cadeia

0 // HomZ[G⋊Z](P0,Z)ϕ∗

1// HomZ[G⋊Z](P1,Z)

ϕ∗

2// HomZ[G⋊Z](P2,Z)

ϕ∗

3// HomZ[G⋊Z](P3,Z) //0

0 //Z

∼=

ϕ∗

1//Z⊕ Z⊕ Z

∼=

ϕ∗

2//Z⊕ Z⊕ Z

∼=

ϕ∗

3//Z

∼=

//0

No diagrama acima, os isomorfismos entre as linhas sao obtidos observando que

HomZ[G⋊Z](Z[G⋊ Z],Z) → Z

f 7→ f(1)

e

HomZ[G⋊Z](M ⊕N,Z) → HomZ[G⋊Z](M,Z)⊕HomZ[G⋊Z](N,Z)

f 7→ (f ◦ iM→M⊕N , f ◦ iN→M⊕N )

sao isomorfismos.Seja u0 ∈ HomZ[G⋊Z](P0,Z). Temos

(ϕ∗1(u0))(y1) = u0(ϕ1(y1)) = (a, 1)u0(x)− u0(x) = 0,

(ϕ∗1(u0))(y2) = u0(ϕ1(y2)) = (b, 1)u0(x)− u0(x) = 0,

(ϕ∗1(u0))(y3) = u0(ϕ1(y3)) = (1, t)u0(x)− u0(x) = 0.

Logo ϕ∗1 = 0 e H0(G⋊ Z,Z) = ker(ϕ∗

1)∼= Z, com gerador [x∗].

60

Seja u1 ∈ HomZ[G⋊Z](P1,Z). Temos

(ϕ∗2(u1))(z1) = u1(ϕ2(z1)) = Au1(y1) +Bu1(y2) + (a, 1)u1(y3)− u1(y3)

= ε(A)u1(y1) + ε(B)u1(y2)

(ϕ∗2(u1))(z2) = u1(ϕ2(z2)) = Cu1(y1) +Du1(y2) + (b, 1)u1(y3)− u1(y3)

= ε(C)u1(y1) + ε(D)u1(y2)

(ϕ∗2(u1))(z3) = u1(ϕ2(z3)) = u1(y1)− (b, 1)u1(y1) + (a, 1)u1(y2)− u1(y2) = 0,

em que ε : Z[G ⋊ Z] → Z e o homomorfismo de aumento. Observamos que ε(A) = 1 + m1,independentemente do sinal de m1. Da mesma forma, ε(B) = n1, ε(C) = m2 e ε(D) = 1 + n2.Assim, podemos descrever ϕ∗

2 : Z⊕ Z⊕ Z → Z⊕ Z⊕ Z pela matriz

[ϕ∗2] =

1 +m1 n1 0m2 1 + n2 00 0 0

, (3.14)

relativa as bases duais de {y1, y2, y3} e de {z1, z2, z3}. Assim, H1(G⋊Z,Z) =kerϕ∗

2

imϕ∗1

∼= kerϕ∗2∼=

(Z)3−posto([ϕ∗

2]).

Seja u2 ∈ HomZ[G⋊Z](P2,Z). Por causa da observacao feita em (3.12), temos

(ϕ∗3(u2))(w) = ε(E)u2(z3) =

(

−1 + det

[α γβ δ

])

u2(z3),

de onde podemos escrever que a matriz de ϕ∗3 nas bases duais de {z1, z2, z3} e {w} e

[ϕ∗3] =

[

0 0

(

−1 + det

[α γβ δ

])]

. (3.15)

Teorema 3.2 Seja G ⋊ Z = {(ambn, tk) : m,n, k ∈ Z} o produto semi-direto entre G =〈a, b | ab = ba〉 ∼= Z ⊕ Z e Z = 〈t〉, no qual a acao de Z sobre G e definida por t · a = aαbβ,

t · b = aγbδ, com θ =

[α γβ δ

]

∈ GL2(Z). Temos

H0(G⋊ Z,Z) ∼= Z,

H1(G⋊ Z,Z) ∼= (Z)3−posto(θ−I),

H2(G⋊ Z,Z) ∼=

Z⊕ Z⊕ Z, se posto(θ − I) = 0,

Zmdc(β,γ) ⊕ Z⊕ Z, se posto(θ − I) = 1 e det θ = 1,

Zmdc(β,γ,2) ⊕ Z, se posto(θ − I) = 1 e det θ = −1,

Zc1 ⊕ Zc2 ⊕ Z, se posto(θ − I) = 2 e det θ = 1,

Zc1 ⊕ Zc2 , se posto(θ − I) = 2 e det θ = −1,

H3(G⋊ Z,Z) ∼=

{

Z, se det θ = 1,

Z2, se det θ = −1,

Hn(G⋊ Z,Z) ∼= 0, se n ≥ 4.

No calculo de H2(G⋊Z,Z), os inteiros positivos c1 e c2 satisfazem c1 | c2, c1c2 = |det(θ− I)|.

61

Demonstracao: Nao resta nada a mostrar a respeito do calculo de H0(G ⋊ Z,Z). Quanto aH1(G⋊ Z,Z), basta observar que posto(θ − I) = posto(I − θ−1), e que

I − θ−1 =

[1 +m1 m2

n1 1 + n2

]

,

logo posto(I − θ−1) = posto[ϕ∗2]. Podemos ainda explicitar os geradores de H1(G ⋊ Z,Z) da

seguinte maneira: se a matriz [ϕ∗2] tem posto zero, entao os geradores de H1(G⋊Z,Z) sao [y∗1],

[y∗2 ] e [y∗3 ]. Se o posto da matriz [ϕ∗2] e igual a 2, entao o gerador de H1(G ⋊ Z,Z) e [y∗3]. Se

o posto de [ϕ∗2] e igual a 1, entao um dos geradores de H1(G ⋊ Z,Z) e [y∗3]. O outro gerador e

obtido da seguinte forma: se (1 +m1) = n1 = 0, entao tomamos

[

−1 + n2

mdc(m2, 1 + n2)y∗1 +

m2

mdc(m2, 1 + n2)y∗2

]

como o segundo gerador de H1(G ⋊ Z,Z). Caso contrario, se 1 + m1 6= 0 ou n1 6= 0, entaotomamos [

−n1

mdc(1 +m1, n1)y∗1 +

1 +m1

mdc(1 +m1, n1)y∗2

]

como o segundo gerador de H1(G⋊Z,Z).

Passemos ao calculo de H2(G ⋊ Z,Z). A partir das equacoes (3.14) e (3.15), dividimos o

calculo de H2(G⋊ Z,Z) =kerϕ∗

3

imϕ∗2

em dois casos. Se det

[α γβ δ

]

= 1, entao z∗3 ∈ kerϕ∗3 e

H2(G⋊ Z,Z) ∼=〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

⊕ Z.

Por outro lado, se det

[α γβ δ

]

= −1, entao

H2(G⋊ Z,Z) ∼=〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

.

Em ambos os casos, a estrutura do grupo〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

pode ser determinada calculando a forma

normal de Smith da matriz [1 +m1 m2

n1 1 + n2

]

= I − θ−1.

Se posto(I−θ−1) = 0, entao〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

∼= Z⊕Z, com geradores [z∗1 ] e [z∗2 ]. Se posto(I−θ

−1) = 1,

entao I − θ−1 e uma matriz nao nula da forma

[r (p/q)rs (p/q)s

]

ou

[(p/q)r r(p/q)s s

]

,

com r, s, p e q inteiros tais que q 6= 0 e mdc(p, q) = 1. Analisemos o primeiro caso, ja que osdois sao analogos. Podemos escrever r = qr′ e s = qs′ para certos inteiros r′, s′, de modo que

I − θ−1 =

[qr′ pr′

qs′ ps′

]

.

62

Existem inteiros k e ℓ tais que pk + qℓ = 1. Observando que

[ℓ −pk q

]

∈ GL2(Z), temos

(I − θ−1)

[ℓ −pk q

]

=

[r′ 0s′ 0

]

,

de onde concluimos que a forma normal de Smith de (I− θ−1) e

[mdc(r′, s′) 0

0 0

]

, o que implica

imediatamente que〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

∼= Zmdc(r′,s′) ⊕ Z.

Se p 6= 0, entao mdc(r′, s′) = mdc(pr′, qs′) = mdc(m2, n1) = mdc(β, γ), e neste caso temosentao

〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

∼= Zmdc(β,γ) ⊕ Z.

Vejamos agora o que ocorre quando p = 0. Se p = 0 e det θ = 1, entao α = δ = 1 e γ = 0, logor′ = 0 e mdc(r′, s′) = mdc(0, β) = β = mdc(β, γ), e novamente temos

〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

∼= Zmdc(β,γ) ⊕ Z.

Se, no entanto, p = 0 e det θ = −1, temos α = −1, δ = 1, γ = 0 e r′ = 2 (pois neste casopodemos tomar q = 1). Sendo assim, mdc(r′, s′) = mdc(β, 2) = mdc(β, γ, 2).

Fazemos ainda mais uma observacao: se posto(I − θ−1) = 1 e det

[α γβ δ

]

= −1, entao

mdc(r′, s′) ∈ {1, 2}. De fato, neste caso temos

[qr′ pr′

qs′ ps′

]

= I − θ−1 =

[1 +m1 m2

n1 1 + n2

]

=

[1 + δ −γ−β 1 + α

]

,

e det(I−θ−1) = 0 ⇔ α+δ = 0 ⇔ (ps′−1)+(qr′−1) = 0 ⇔ ps′+qr′ = 2 ⇒ mdc(r′, s′) | 2. Assim,quando det θ = −1 e posto(θ − I) = 1, sempre podemos escrever mdc(r′, s′) = mdc(β, γ, 2).

Finalmente, se posto(I − θ−1) = 2, a forma normal de Smith de (I − θ−1) e uma matriz

[c1 00 c2

]

,

com c1, c2 > 0, c1 | c2 e c1c2 = |det(I − θ−1)| = |det(θ − I)|.

O calculo de H3(G⋊ Z,Z) e mais simples. Observando a equacao (3.15), temos

H3(G⋊ Z,Z) ∼=

{

Z, se det θ = 1,

Z2, se det θ = −1,

e um gerador de H3(G⋊ Z,Z) e [w∗]. Ainda temos Hn(G⋊ Z,Z) = 0 para n ≥ 4.

Os calculos dos grupos H∗(G⋊Z,Z2) e H∗(G⋊Z,Zp) para p um primo ımpar sao simples

com o que ja fizemos.

63



[α γβ δ

]

∈ GL2(Z). Temos

H0(G⋊ Z,Z2) ∼= Z2,

H1(G⋊ Z,Z2) ∼= (Z2)3−postoZ2 (θ−I),

H2(G⋊ Z,Z2) ∼= (Z2)3−postoZ2 (θ−I),

H3(G⋊ Z,Z2) ∼= Z2,

Hn(G⋊ Z,Z2) ∼= 0, se n ≥ 4.

Demonstracao: Nao ha o que demonstrar para o calculo de H0(G ⋊ Z,Z2), H1(G ⋊ Z,Z2) e

Hn(G⋊Z,Z2) para n ≥ 4. Observando que, com coeficientes Z2, ϕ∗3 = 0, temos H3(G⋊Z,Z2) ∼=

Z2. Para o calculo de H2(G⋊Z,Z2), notamos que θ, quando vista mod 2, e uma das seguintesmatrizes: [

1 00 1

]

,

[0 11 0

]

,

[1 11 0

]

,

[1 01 1

]

,

[1 10 1

]

,

[0 11 1

]

.

Se, para cada uma destas matrizes, escrevermos a matriz [ϕ∗2] mod 2 correspondente, obtemos,

respectivamente,

0 0 00 0 00 0 0

,

1 1 01 1 00 0 0

,

1 1 01 0 00 0 0

,

0 1 00 0 00 0 0

,

0 0 01 0 00 0 0

,

0 1 01 1 00 0 0

,

e a partir destas matrizes o calculo de H2(G⋊ Z,Z2) e imediato.


t·b = aγbδ, com θ =

[α γβ δ

]

∈ GL2(Z). Temos, para um primo ımpar p e para o Z[G⋊Z]-modulo

trivial Zp,

H0(G⋊ Z,Zp) ∼= Zp,

H1(G⋊ Z,Zp) ∼= (Zp)3−postoZp (θ−I),

H2(G⋊ Z,Zp) ∼=

{

(Zp)3−postoZp (θ−I), se det θ = 1,

(Zp)2−postoZp (θ−I), se det θ = −1,

H3(G⋊ Z,Zp) ∼=

{

Zp, se det θ = 1,

0, se det θ = −1,

Hn(G⋊ Z,Zp) ∼= 0, se n ≥ 4.

Demonstracao: Nao ha o que demonstrar para o calculo de H0(G ⋊ Z,Zp), H1(G ⋊ Z,Zp) e

Hn(G ⋊ Z,Zp) para n ≥ 4. Observando que, com coeficientes Zp, ϕ∗3 = 0 se det θ = 1 e e uma

bijecao se det θ = −1, temos

H3(G⋊ Z,Zp) ∼=

{

Zp, se det θ = 1,

0, se det θ = −1.

64

Para o calculo de H2(G ⋊ Z,Zp), basta notar que dimZp im(ϕ∗2) = 3 − postoZp

(θ − I) e aobservacao que fizemos sobre ϕ∗

3.

3.4 Homotopia de contracao

A fim de calcularmos o produto cup em H∗(G ⋊ Z,Z) e H∗(G ⋊ Z,Z2), precisamos de umaaproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗P , a qual pode ser obtida, segundo a Proposicao 1.17, sepudermos calcular uma homotopia de contracao para a resolucao livre (3.13). Na verdade, deforma analoga a uma observacao que ja fizemos no Capıtulo 2, veremos que nao e necessario obtercompletamente a homotopia de contracao para (3.13), pelo menos para calcular as componentesde ∆ necessarias para a obtencao do produto cup.

Iniciemos calculando os homomorfismos s−1 e s0 da homotopia de contracao. Dada a reso-lucao (3.13), existem homomorfimos de grupos abelianos sn, para n ≥ −1 inteiro, com

s−1 : Z → P0

sn : Pn → Pn+1 se 0 ≤ n ≤ 2,

tais que ε0s−1 = idZ, ϕ1s0+s−1ε0 = idP0, ϕ2s1+s0ϕ1 = idP1

, ϕ3s2+s1ϕ2 = idP2e s2ϕ3 = idP3

:

0 // P3ϕ3

//

0

��

��

P2ϕ2

//

s2

~~}}}}

}}}}

P1ϕ1

//

s1

~~}}}}

}}}}

P0ε0

//

s0

~~}}}}

}}}}

Z//

s−1

��

��

00

��

��

0 // P3 ϕ3

// P2 ϕ2

// P1 ϕ1

// P0 ε0//Z

// 0

Temos ε0(s−1(1)) = 1 se tomarmos s−1(1) = x. Quanto a s0, podemos defini-lo por

s0((ambn, tk)x) =

∂(am, 1)

∂(a, 1)y1 + (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)y2 + (ambn, 1)

∂(1, tk)

∂(1, y)y3,

em que as derivadas parciais sao as derivadas de Fox, e e facil verificar que ϕ1s0 + s−1ε0 = idP0

dado que

∂(am, 1)

∂(a, 1)((a, 1) − (1, 1)) = (am, 1)− (1, 1),

∂(bn, 1)

∂(b, 1)((b, 1) − (1, 1)) = (bn, 1) − (1, 1),

∂(1, tk)

∂(1, t)((1, t) − (1, 1)) = (1, tk)− (1, 1).

De fato,

ϕ1(s0((ambn, tk)x)) + s−1(ε0((a

mbn, tk)x)) =

= ϕ1

(∂(am, 1)

∂(a, 1)y1 + (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)y2 + (ambn, 1)

∂(1, tk)

∂(1, t)y3

)

+ x =

=(

(am, 1)− (1, 1) + (am, 1)((bn, 1)− (1, 1)) + (ambn, 1)((1, tk)− (1, 1)) + (1, 1))

x =

= (ambn, tk)x.

65

Quanto aos homomorfismos s1 e s2, nao precisaremos determina-los em todos os elementosdos grupos abelianos P1 e P2 para obter o produto cup em H∗(G ⋊ Z,Z) (na verdade, naosera necessario descobrirmos como calcular s2 em nenhum elemento). Vejamos como. Com oshomomorfimos s0 e s−1, ja somos capazes de escrever ∆0 e ∆1:

∆0 : P0 → P0 ⊗ P0

∆0(x) = s−1ε(x)⊗ s−1ε(x) = x⊗ x

∆1 : P1 → (P1 ⊗ P0)⊕ (P0 ⊗ P1)

∆1(y1) = s0∆0ϕ1(y1) = s0∆0((a, 1) − (1, 1)x) = s0((a, 1)x ⊗ (a, 1)x) − s0(x⊗ x)

= s0((a, 1)x) ⊗ (a, 1)x + s−1ε((a, 1)x) ⊗ s0((a, 1)x) − s0(x)⊗ x− s−1ε(x)⊗ s0(x)

= y1 ⊗ (a, 1)x + x⊗ y1

∆1(y2) = s0∆0ϕ1(y2) = y2 ⊗ (b, 1)x + x⊗ y2

∆1(y3) = s0∆0ϕ1(y3) = y3 ⊗ (1, t)x + x⊗ y3

Para o calculo de H1(G ⋊ Z,Z) ⊗ H1(G ⋊ Z,Z)⌣→ H2(G ⋊ Z,Z ⊗ Z), so necessitamos da

componente de ∆2 : P2 → (P ⊗ P )2 que pertence a P1 ⊗ P1. Analogamente, para o calculo deH1(G ⋊ Z,Z)⊗H2(G ⋊ Z,Z)

⌣→ H3(G ⋊ Z,Z ⊗ Z) so e necessario conhecer a componente de

∆3 : P3 → (P ⊗ P )3 que pertence a P1 ⊗ P2. Comecando a analise com ∆2, temos

∆2(z1) = s1∆1ϕ2(z1) = s1(A∆1(y1) +B∆1(y2) + [(a, 1) − (1, 1)]∆1(y3)

)

= s1(A[y1 ⊗ (a, 1)x + x⊗ y1] +B[y2 ⊗ (b, 1)x + x⊗ y2]+

+ (a, 1)y3 ⊗ (a, t)x + (a, 1)x⊗ (a, 1)y3 − y3 ⊗ (1, t)x − x⊗ y3)

∆2(z2) = s1∆1ϕ2(z2) = s1(C∆1(y1) +D∆1(y2) + [(b, 1) − (1, 1)]∆1(y3)

)

= s1(C[y1 ⊗ (a, 1)x + x⊗ y1] +D[y2 ⊗ (b, 1)x+ x⊗ y2]+ (3.16)

+ (b, 1)y3 ⊗ (b, t)x + (b, 1)x ⊗ (b, 1)y3 − y3 ⊗ (1, t)x− x⊗ y3)

∆2(z3) = s1∆1ϕ2(z3) = s1(∆1(y1)− (b, 1)∆1(y1) + (a, 1)∆1(y2)−∆1(y2)

)

= s1(y1)⊗ (a, 1)x + x⊗ s1(y1)− s1((b, 1)y1)⊗ (ab, 1)x − s0((b, 1)x) ⊗ (b, 1)y1

− x⊗ s1((b, 1)y1) + s1((a, 1)y2)⊗ (ab, 1)x + s0((a, 1)x) ⊗ (a, 1)y2

+ x⊗ s1((a, 1)y2)− s1(y2)⊗ (b, 1)x − x⊗ s1(y2)

Observando as expressoes de A, B, C e D obtidas anteriormente e a definicao de s1, ohomomorfismo ∆2 sera determinado completamente se pudermos calcular s1 nos elementos daseguinte forma (lembrando que ja temos s0):

y3(a, 1)y3(b, 1)y3(ambn, 1)y1(ambn, 1)y2(ambn, t)y1(ambn, t)y2

(3.17)

Para calcular apenas H1(G⋊Z,Z)⊗H1(G⋊Z,Z)⌣→ H2(G⋊Z,Z⊗Z), precisamos de ainda

menos: sendo πij : (P ⊗ P )i+j → Pi ⊗ Pj a projecao e ∆ij = πij ◦∆i+j : Pi+j → Pi ⊗ Pj , temos

∆11(z1) = π11(∆2(z1)) = π11 ◦ s1(A(x⊗ y1) +B(x⊗ y2) + (a, 1)x ⊗ (a, 1)y3 − x⊗ y3)

∆11(z2) = π11(∆2(z2)) = π11 ◦ s1(C(x⊗ y1) +D(x⊗ y2) + (b, 1)x ⊗ (b, 1)y3 − x⊗ y3) (3.18)

∆11(z3) = π11(∆2(z3)) = −s0((b, 1)x) ⊗ (b, 1)y1 + s0((a, 1)x) ⊗ (a, 1)y2,

66

e estes calculos dependem somente do conhecimento de s0, ja calculado. De fato, sendo g, g′ ∈G⋊ Z e i ∈ {1, 2, 3}, o homomorfismo s1 e definido por

s1(gx⊗ g′yi) = s0(gx)⊗ g′yi︸︷︷︸

∈P1⊗P1

+x⊗ s1(g′yi)

︸︷︷︸

∈P0⊗P2

,

s1(gyi ⊗ g′x) = s1(gyi)⊗ g′x ∈ P2 ⊗ P0.

(3.19)

Para o calculo de H1(G⋊Z,Z)⊗H2(G⋊Z,Z)⌣→ H3(G⋊Z,Z⊗ Z), precisamos de ∆12 =

π12 ◦∆3. Temos

∆3(w) = s2∆2ϕ3(w) = s2∆2

([(1, 1) − (b, 1)]z1 + [(a, 1) − (1, 1)]z2 + Ez3

)

= s2([(1, 1) − (b, 1)]∆2(z1) + [(a, 1) − (1, 1)]∆2(z2) + E∆2(z3)

)(3.20)

Uma parcela pertencente a P1⊗P2 em ∆3(w) surge do calculo de s2 em um elemento de P0⊗P2.De fato, sendo g, g′ ∈ G⋊Z e i, j ∈ {1, 2, 3}, temos

s2(gx⊗ g′zi) = s0(gx)⊗ g′zi︸︷︷︸

∈P1⊗P2

+x⊗ s2(g′x)

︸︷︷︸

∈P0⊗P3

,

s2(gyi ⊗ g′yj) = s1(gyi)⊗ g′yj ∈ P2 ⊗ P1,

s2(gzi ⊗ g′x) = s2(gzi)⊗ g′x ∈ P3 ⊗ P0.

Logo ∆12(w) = π12 ◦ ∆3(w) = π12 ◦ s2 ◦ (π02 ◦ ∆2) ◦ ϕ3(w). Por sua vez, o calculo de ∆02 =π02 ◦∆2 pode ser feito, observando a primeira equacao de (3.19), se formos capazes de calcularo homomorfismo s1 nos mesmos elementos da lista (3.17). Deste modo, procedemos agora aocalculo do homomorfismo s1 nos elementos da lista (3.17). Como ultima observacao antes deiniciarmos de fato os calculos, notamos que, se M e um Z[G ⋊ Z]-modulo, N e um Z[G ⋊ Z]-modulo trivial, g ∈ Z[G⋊ Z], m ∈M , e f ∈ HomZ[G⋊Z](M,N), entao

f(gm) = g · f(m) = ε(g) · f(m). (3.21)

Mais adiante usaremos este fato simples para simplificar alguns calculos. Na verdade, ja usamoseste fato para calcular os grupos H∗(G⋊ Z,Z) anteriormente.

Iniciamos com s1(y3). Temos ϕ2(s1(y3)) + s0(ϕ1(y3)) = y3 ⇔ ϕ2(s1(y3)) + s0((1, t)x) −s0(x) = y3 ⇔ ϕ2(s1(y3)) + y3 − 0 = y3 ⇔ ϕ2(s1(y3)) = 0. Logo podemos tomar s1(y3) = 0.

Em seguida calculamos s1((a, 1)y3). Temos

ϕ2(s1((a, 1)y3)) + s0(ϕ1((a, 1)y3) = (a, 1)y3 ⇔

ϕ2(s1((a, 1)y3)) + s0((a, t)x) − s0((a, 1)x) = (a, 1)y3 ⇔

ϕ2(s1((a, 1)y3)) + y1 + (a, 1)y3 − y1 = (a, 1)y3 ⇔

ϕ2(s1((a, 1)y3)) = 0

e portanto tambem tomamos s1((a, 1)y3) = 0.O calculo de s1((b, 1)y3) e similar:

ϕ2(s1((b, 1)y3)) + s0(ϕ1((b, 1)y3) = (b, 1)y3 ⇔

ϕ2(s1((b, 1)y3)) + s0((b, t)x) − s0((b, 1)x) = (b, 1)y3 ⇔

ϕ2(s1((b, 1)y3)) + y2 + (b, 1)y3 − y2 = (b, 1)y3 ⇔

ϕ2(s1((b, 1)y3)) = 0,

e definimos s1((b, 1)y3) = 0.

67

Seja s1((ambn, 1)y1) = um,n

1 z1+um,n2 z2+u

m,n3 z3, em que um,n

1 , um,n2 , um,n

3 ∈ Z[G⋊Z]. Dessaforma, temos

ϕ2(s1((ambn, 1)y1)) = [um,n

1 A+ um,n2 C + um,n

3 ((1, 1) − (b, 1))]y1+

[um,n1 B + um,n

2 D + um,n3 ((a, 1) − (1, 1))]y2+ (3.22)

[um,n1 ((a, 1) − (1, 1)) + um,n

2 ((b, 1) − (1, 1))]y3.

Devemos ter ϕ2(s1((ambn, 1)y1)) + s0(ϕ1((a

mbn, 1)y1)) = (ambn, 1)y1 ⇔ ϕ2(s1((ambn, 1)y1)) =

(ambn, 1)y1 − s0(ϕ1((ambn, 1)y1)), e

(ambn, 1)y1 − s0(ϕ1((ambn, 1)y1)) = (ambn, 1)y1 + s0((a

mbn, 1)x) − s0((am+1bn, 1)x)

=

[

(ambn, 1) +∂(am, 1)

∂(a, 1)−∂(am+1, 1)

∂(a, 1)

]

y1+ (3.23)

+ [(am, 1) − (am+1, 1)]∂(bn, 1)

∂(b, 1)y2

= [(ambn, 1)− (am, 1)]y1 + [(am, 1)− (am+1, 1)]∂(bn, 1)

∂(b, 1)y2.

Comparando as expressoes obtidas em (3.22) e (3.23), notamos que em (3.23) o coeficientede y3 e zero. Sendo assim, tomamos um,n

1 = um,n2 = 0, e tentamos encontrar um,n

3 de tal modoque

um,n3 ((1, 1) − (b, 1))y1 + um,n

3 ((a, 1) − (1, 1))y2 =

= [(ambn, 1) − (am, 1)]y1 + [(am, 1) − (am+1, 1)]∂(bn, 1)

∂(b, 1)y2.

E imediato verificar que um,n3 = −(am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)satisfaz a igualdade acima. Logo podemos

definir

s1((ambn, 1)y1) = −(am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)z3.

O calculo de s1((ambn, 1)y2) e mais simples que o de s1((a

mbn, 1)y1). Devemos terϕ2(s1((a

mbn, 1)y2)) + s0(ϕ1((ambn, 1)y2)) = (ambn, 1)y2 ⇔ ϕ2(s1((a

mbn, 1)y2)) = (ambn, 1)y2 −s0(ϕ1((a

mbn, 1)y2)), mas

(ambn, 1)y2 − s0(ϕ1((ambn, 1)y2)) = (ambn, 1)y2 + s0((a

mbn, 1)x) − s0((ambn+1, 1)x) =

= (ambn, 1)y2 +∂(am, 1)

∂(a, 1)y1 + (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)y2 −

∂(am, 1)

∂(a, 1)y1 − (am, 1)

∂(bn+1, 1)

∂(b, 1)y2 =

= (ambn, 1)y2 + (am, 1)

[∂(bn, 1)

∂(b, 1)−∂(bn+1, 1)

∂(b, 1)

]

= 0,

e assim podemos definir s1((ambn, 1)y2) = 0.

Calculo de s1((ambn, t)y1)

Iniciemos agora o calculo de s1((ambn, t)y1). Seja s1((a

mbn, t)y1) = km,n1 z1 + km,n

2 z2 + km,n3 z3,

com km,n1 , km,n

2 , km,n3 ∈ Z[G ⋊ Z]. Sabendo que ϕ2(s1((a

mbm, t)y1)) + s0(ϕ1((ambn, t)y1)) =

(ambn, t)y1 e procedendo de modo analogo ao que fizemos ao comparar as equacoes (3.22) e

68

(3.23), descobrimos que km,n1 , km,n

2 e km,n3 devem satisfazer o sistema

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

km,n1 A+ km,n

2 C + km,n3 [(1, 1) − (b, 1)] = (ambn, t)− (am, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)

km,n1 B + km,n

2 D + km,n3 [(a, 1) − (1, 1)] = (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)− (am+α, 1)

∂(bn+β , 1)

∂(b, 1)km,n1 [(a, 1) − (1, 1)] + km,n

2 [(b, 1) − (1, 1)] = (ambn, 1)− (am+αbn+β, 1)

(3.24)

Verifiquemos que km,n1 = −(ambn, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)e km,n

2 = −(am+αbn, 1)∂(bβ , 1)

∂(b, 1)satisfazem a ter-

ceira equacao de (3.24). De fato,

−(ambn, 1)∂(aα, 1)

∂(a, 1)[(a, 1) − (1, 1)] − (am+αbn, 1)

∂(bβ , 1)

∂(b, 1)[(b, 1) − (1, 1)] =

= −(ambn, 1)((aα, 1) − (1, 1)] − (am+αbn, 1)[(bβ , 1)− (1, 1)] =

= (ambn, 1)− (am+αbn, 1) − (am+αbn+β, 1) + (am+αbn, 1) =

= (ambn, 1) − (am+αbn+β, 1)

Substituindo estes valores de km,n1 e km,n

2 nas duas primeiras equacoes, devemos entao encontrarkm,n3 que satisfaca

km,n3 [(1, 1) − (b, 1)] = (ambn, t)− (am, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)− km,n

1 A− km,n2 C

= (ambn, t)− (am, 1)∂(aα, 1)

∂(a, 1)+ (ambn, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)A+ (am+αbn, 1)

∂(bβ , 1)

∂(b, 1)C

(3.25)

e

km,n3 [(a, 1) − (1, 1)] = (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)− (am+α, 1)

∂(bn+β , 1)

∂(b, 1)− km,n

1 B − km,n2 C

= (am, 1)∂(bn, 1)

∂(b, 1)− (am+α, 1)

∂(bn+β , 1)

∂(b, 1)+ (ambn, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)B+

+ (am+αbn, 1)∂(bβ , 1)

∂(b, 1)D (3.26)

Para determinar km,n3 , escrevemos

km,n3 =

∑

u,v∈Z

guv(aubv, 1) +

∑

u,v∈Z

huv(aubv, t), guv, huv ∈ Z,

de modo que as equacoes (3.25) e (3.26) se escrevem

∑

u,v∈Z

(guv − gu(v−1))(aubv, 1) = (ambn, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)− (am, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)(3.27)

∑

u,v∈Z

(g(u−1)v − guv)(aubv, 1) = (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)− (am+α, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)(3.28)

69

e

∑

u,v∈Z

(huv − h(u−γ)(v−δ))(aubv, t) = (ambn, t) + (ambn, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)(A− (1, 1))+

+ (am+αbn, 1)∂(bβ , 1)

∂(b, 1)C (3.29)

∑

u,v∈Z

(h(u−α)(v−β) − huv)(aubv, t) = (ambn, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)B + (am+αbn, 1)

∂(bβ , 1)

∂(b, 1)(D − (1, 1))

(3.30)

Para resolver as equacoes (3.27) e (3.28), usamos um metodo similar ao ja usado paradeterminar o elemento E na resolucao livre de Z como Z[G⋊ Z]. Obtemos o seguinte:

1. Se α = 0 ou n = 0, entao guv = 0 para todos u, v ∈ Z;

2. Se α > 0 e n > 0, entao

guv =

{

−1, se (u, v) ∈ {m, . . . ,m+ α− 1} × {0, . . . , n− 1},

0, caso contrario.

3. Se α > 0 e n < 0, entao

guv =

{

1, se (u, v) ∈ {m, . . . ,m+ α− 1} × {n, . . . ,−1},

0, caso contrario,

4. Se α < 0 e n > 0, entao

guv =

{

1, se (u, v) ∈ {m+ α, . . . ,m− 1} × {0, . . . , n− 1},

0, caso contrario.

5. Se α < 0 e n < 0, entao

guv =

{

−1, se (u, v) ∈ {m+ α, . . . ,m− 1} × {n, . . . ,−1},

0, caso contrario.

Os casos acima podem ser resumidos e podemos em todos eles escrever

∑

u,v∈Z

guv(aubv, 1) = −(am, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1). (3.31)

Para resolver as equacoes (3.29) e (3.30), usaremos novamente o artifıcio que usamos paracalcular E na resolucao livre de Z como Z[G⋊Z]-modulo trivial. Como veremos, por causa daobservacao da equacao (3.21), sera suficiente calcularmos

ε0(km.n3 ) =

∑

u,v∈Z

guv +∑

u,v∈Z

huv,

e como ja calculamos os inteiros guv (dados pela equacao (3.31)), resta-nos calcular∑

u,v∈Z

huv.

70

Este calculo divide-se em varios casos, pois, observando as equacoes (3.29) e (3.30), vemosque nelas aparecem os elementos

A, B, C, D,∂(aα, 1)

∂(a, 1),∂(bβ , 1)

∂(b, 1),

e as expressoes explıcitas para estes elementos dependem dos sinais de α, β, γ, δ e det θ.Comecemos analisando os varios casos em que a matriz θ contem um elemento nulo.

Primeiro caso: α = 0. Neste caso, a matriz θ deve ter um dos seguintes formatos:

(α.1)

[0 11 δ

]

(α.2)

[0 −1−1 δ

]

(α.3)

[0 −11 δ

]

(α.4)

[0 1−1 δ

]

Nas quatro situacoes (α.1), (α.2), (α.3) e (α.4), temos D − (1, 1) = 0 e∂(aα, 1)

∂(a, 1)= 0, e

observando a equacao (3.30) devemos ter huv = 0 para quaisquer u, v ∈ Z. Nao e difıcil verque, em cada uma das quatro situacoes, a equacao (3.29) tambem e satisfeita.

Segundo caso: β = 0. Neste caso, a matriz θ deve ter um dos seguintes formatos:

(β.1)

[1 γ0 1

]

(β.2)

[−1 γ0 −1

]

(β.3)

[1 γ0 −1

]

(β.4)

[−1 γ0 1

]

Nestas quatro situacoes (β.1), (β.2), (β.3) e (β.4), temos B = 0 e∂(bβ , 1)

∂(b, 1)= 0, e observando

novamente a equacao (3.30), devemos ter huv = 0 para todos u, v ∈ Z. Como no caso anterior,verifica-se facilmente que a equacao (3.29) tambem e satisfeita.

Terceiro caso: γ = 0. Neste caso, a matriz θ deve ter um dos seguintes formatos:

(γ.1)

[1 0β 1

]

(γ.2)

[−1 0β −1

]

(γ.3)

[1 0β −1

]

(γ.4)

[−1 0β 1

]

Na situacao (γ.1), o lado direito da equacao (3.30) se escreve como

(ambn, 1)

[

B − (a, 1)∂(bβ , 1)

∂(b, 1)(1, t)

]

,

e, independentemente se β > 0, β = 0 ou β < 0, a expressao acima sempre se anula. Mais umavez, portanto, devemos ter huv = 0 para todos u, v ∈ Z, e a equacao (3.29) e satisfeita em todosos casos.


(am−1bn, 1)

[

−B +∂(bβ, 1)

∂(b, 1)(b, t)

]

.

Se β = 0, a expressao acima e nula e, portanto, huv = 0 para todos u, v ∈ Z. Se β > 0,

(am−1bn, 1)

[

−B +∂(bβ, 1)

∂(b, 1)(b, t)

]

= (am−1bn, 1)

[β−1∑

k=0

(bk+1, t)− (ab−k, t)

]

71

Montando um grafo de modo similar ao que construimos para calcular o elemento E (ver (3.11)),

neste caso descobrimos que∑

u,v∈Z

huv = β. Se β < 0,

(am−1bn, 1)

[

−B +∂(bβ , 1)

∂(b, 1)(b, t)

]

= (am−1bn, 1)

[−β∑

k=1

(abk, t)− (bk−1, t)

]

,

e neste caso tambem temos∑

u,v∈Z

huv = β.


(ambn, 1)

[

B + (a, 1)∂(bβ , 1)

∂(b, 1)(b, t)

]

,

e esta expressao e sempre nula independentemente do valor de β, o que nos da huv = 0 paratodos u, v ∈ Z, e a equacao (3.29) e tambem satisfeita.


(am−1bn, 1)

[

−B −∂(bβ , 1)

∂(b, 1)(1, t)

]

.

Se β = 0, a expressao acima se anula e, logo, huv = 0 para quaisquer u, v ∈ Z. Se β > 0, temos

(am−1bn, 1)

[

−B −∂(bβ, 1)

∂(b, 1)(1, t)

]

= (am−1bn, 1)

[β∑

k=1

(ab−k, t)−

β−1∑

k=0

(bk, t)

]

.

Procedendo de maneira analoga a situacao (γ.2), neste caso temos∑

u,v∈Z

huv = −β. Se β < 0,

(am−1bn, 1)

[

−B −∂(bβ , 1)

∂(b, 1)(1, t)

]

= (am−1bn, 1)

[

−

−β−1∑

k=0

(abk, t) +

−β∑

k=1

(b−k, t)

]

,

e neste caso obtemos novamente∑

u,v∈Z

huv = −β.

Quarto caso: δ = 0. Neste caso, a matriz θ deve ter um dos seguintes formatos:

(δ.1)

[α 11 0

]

(δ.2)

[α −1−1 0

]

(δ.3)

[α −11 0

]

(δ.4)

[α 1−1 0

]

Na situacao (δ.1), o lado direito de (3.30) se escreve como

(ambn, 1)

[

−∂(aα, 1)

∂(a, 1)(1, t) + (aα, 1)(D − (1, 1))

]

.

Se α = 0 a expressao acima se anula e temos huv = 0 para todos u, v ∈ Z, e a equacao (3.29)tambem e satisfeita. Se α > 0, temos

(ambn, 1)

[

−∂(aα, 1)

∂(a, 1)(1, t) + (aα, 1)(D − (1, 1))

]

= (ambn, 1)

[

−α−1∑

k=0

(ak, t) + (aα, 1)

α−1∑

k=0

(akb, t)

]

.

72

Procedendo de modo analogo ao que ja fizemos em outros casos, neste obtemos∑

u,v∈Z

huv = α.

Se α < 0, temos

(ambn, 1)

[

−∂(aα, 1)

∂(a, 1)(1, t) + (aα, 1)(D − (1, 1))

]

= (ambn, 1)

[−α∑

k=1

(a−k, t)− (aα, 1)

−α∑

k=1

(a−kb, t)

]

,

e neste caso obtemos novamente∑

u,v∈Z

huv = α.


(ambn, 1)

[∂(aα, 1)

∂(a, 1)(a, t)− (aαb−1, 1)(D − (1, 1))

]

.

Esta expressao se anula independentemente do valor de α, logo huv = 0 para todos u, v ∈ Z, ea equacao (3.29) tambem e satisfeita.


(ambn, 1)

[∂(aα, 1)

∂(a, 1)(a, t) + (aα, 1)(D − (1, 1))

]

.

Se α = 0 a expressao acima se anula e temos huv = 0 para todos u, v ∈ Z e a equacao (3.29)tambem e satisfeita. Se α > 0,

(ambn, 1)

[∂(aα, 1)

∂(a, 1)(a, t) + (aα, 1)(D − (1, 1))

]

= (ambn, 1)

[α−1∑

k=0

(ak+1, t)− (aα, 1)

α∑

k=1

(akb, t)

]

,

e neste caso obtemos∑

u,v∈Z

huv = −α. Se α < 0,

(ambn, 1)

[∂(aα, 1)

∂(a, 1)(a, t) + (aα, 1)(D − (1, 1))

]

=(ambn, 1)

[

(aα, 1)

−α−1∑

k=0

(a−kb, t)−−α∑

k=1

(a−k+1, t)

]

,

e neste caso tambem obtemos∑

u,v∈Z

huv = −α.


(ambn, 1)

[

−∂(aα, 1)

∂(a, 1)(1, t)− (aαb−1, 1)(D − (1, 1))

]

.

Esta expressao se anula independentemente do valor de α, logo huv = 0 para todos u, v ∈ Z ea equacao (3.29) tambem e satisfeita.

Finalmente, analisemos os casos em que a matriz θ nao possui elementos nulos. Recordandoque as expressoes explıcitas para as equacoes (3.29) e (3.30) dependem dos sinais de α, β, γ,δ, det θ e que det θ ± 1, obtemos os seguintes casos: quanto aos elementos α, β, γ e δ, elespodem ser todos positivos, todos negativos, ou haver entre eles 2 positivos e 2 negativos. Como(4

2

)

= 6, isto nos da 8 possiblidades para a matriz θ. Como o seu determinante ainda pode ser

igual a ±1, temos no total 16 casos a analisar.

73

Iniciemos com o caso em que α, β, γ e δ sao positivos e det θ = 1. Neste caso, temos

A− (1, 1) = −δ−1∑

k=0

(akαbkβ, t),

B =

β−1∑

k=0

(a1+kγbkδ, t),

C =

γ∑

k=1

(a−kαb−kβ, t),

D − (1, 1) = −α∑

k=1

(a−kγb1−kδ, t),

e as equacoes (3.29) e (3.30) se escrevem como

∑

u,v∈Z

(huv − h(u−γ)(v−δ))(aubv, t) =

= (ambn, 1)

(1, t)−α−1∑

j=0

δ−1∑

k=0

(aj+kαbkβ, t) +

β−1∑

j=0

γ∑

k=1

(aα−kαbj−kβ, t)

(3.32)

e∑

u,v∈Z

(h(u−α)(v−β) − huv)(aubv, t) =

= (ambn, 1)

α−1∑

j=0

β−1∑

k=0

(a1+j+kγbkδ, t)−

β−1∑

j=0

α∑

k=1

(aα−kγb1+j−kδ, t)

.

(3.33)

Iremos resolver estas equacoes usando o mesmo metodo que utilizamos para o calculo doelemento E na resolucao livre de Z como Z[G ⋊ Z]-modulo trivial. Ou seja, construimos umgrafo orientado cujos vertices sao os pontos do plano de coordenadas inteiras e tal que o verticede coordenadas (x, y) e origem de uma aresta com destino no vertice (x−α, y− β) e e tambemorigem de uma aresta com destino (x + γ, y + δ). Na aresta que liga (x, y) a (x + γ, y + δ)colocamos um rotulo com o valor de huv − h(u−γ)(v−δ), o qual e obtido da equacao (3.32), e naaresta que liga (x, y) e (x− α, y − β) colocamos um rotulo com o valor de h(u−α)(v−β) − huv, oqual e obtido da equacao (3.33).

Desta forma, resolver as equacoes (3.32) e (3.33) equivale a determinar valores inteiros paracada vertice do grafo de forma que o rotulo de cada aresta coincida com o valor obtido subtraindoos numeros atribuıdos aos vertices de destino e origem daquela aresta.

Para desenharmos o grafo acima descrito, e mais conveniente realizarmos novamente a trans-formacao de coordenadas T : Z× Z → Z× Z dada por

[uv

]

= T (x, y) =

[α γβ δ

]−1 [xy

]

,

de modo que, nas coordenadas (u, v), as arestas que ligam (x, y) e (x − α, y − β) se tornamhorizontais (apontando uma unidade para a esquerda) e as arestas que ligam (x, y) e (x+γ, y+δ)tornam-se verticais (apontando uma unidade para cima).

74

No caso que estamos analisando, observemos o lado direito da equacao (3.33). Como estamos

apenas interessados no calculo de∑

u,v∈Z

huv , podemos ignorar o termo (ambn, 1) que multiplica

tudo e nos concentrarmos apenas em

α−1∑

j=0

β−1∑

k=0

(a1+j+kγbkδ, t)−

β−1∑

j=0

α∑

k=1

(aα−kγb1+j−kδ, t).

As parcelas da somaα−1∑

j=0

β−1∑

k=0

(a1+j+kγbkδ, t) contribuem com arestas cujos rotulos sao iguais a

1. Para um valor de j ∈ {0, . . . , α − 1} fixo, obtemos arestas horizontais dispostas da seguintemaneira:

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

1

1

1

1

1

1

b

b

b

(k = 0)

(k = β − 1)

No desenho acima, a aresta inferior corresponde ao valor de k = 0 e a aresta superior correspondeao valor de k = β−1. Para simplificar o desenho, o conjunto de arestas acima sera denominadoo “bloco” correspondente a j. Ao passarmos de j para j + 1, somamos (1, 0) as coordenadas(x, y), o que equivale a somar (δ,−β) as coordenadas (u, v) correspondentes apos a aplicacaoda transformacao T . Desse modo, as arestas com rotulo 1 se dispoem no grafo de acordo coma seguinte configuracao:

j=0

j=1

bb b

j=α−2

j=α−1

δ

β

No desenho acima, cada retangulo representa um bloco de β arestas correspondentes a umvalor de j, cada uma delas com rotulo igual a 1. Ha, portanto, α tais blocos no nosso grafo.

75

A aresta superior esquerda tem sua origem no vertice que corresponde a j = 0, k = β − 1,o que nos da coordenadas

[xy

]

=

[1 + (β − 1)γ(β − 1)δ

]

⇒

[uv

]

=

[α γβ δ

]−1 [xy

]

=

[δ−1

]

,

enquanto a aresta inferior direita tem sua origem no vertice que corresponde a j = α−1, k = 0,o que nos da coordenadas

[xy

]

=

[α0

]

⇒

[uv

]

=

[α γβ δ

]−1 [xy

]

=

[αδ−αβ

]

,

Se agora observarmos a soma −

β−1∑

j=0

α∑

k=1

(aα−kγb1+j−kδ, t), notamos que suas parcelas con-

tribuem com arestas cujos rotulos sao iguais a −1. Para um valor fixo de j ∈ {0, . . . , β − 1},obtemos arestas horizontais dispostas do seguinte modo:

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

−1

−1

−1

−1

−1

−1

b

b

b

(k = α)

(k = 1)

Ao variarmos o valor de j, obtemos entao a seguinte configuracao no nosso grafo:

j=β−1

j=β−2

bb b

j=1

j=0

γ

α

Usamos blocos preenchidos com cinza para representar arestas com rotulo −1 e blocos brancospara arestas com rotulos iguais a 1.

A aresta superior esquerda neste conjunto de blocos tem origem no vertice cujas coordenadascorrespondem a j = β − 1, k = 1, o que nos da coordenadas

[xy

]

=

[α− γβ − δ

]

⇒

[uv

]

=

[α γβ δ

]−1 [xy

]

=

[1−1

]

,

76

enquanto a aresta inferior direita tem origem no vertice correspondente a j = 0, k = α, cujascoordenadas sao

[xy

]

=

[α− αγ1− αδ

]

⇒

[uv

]

=

[α γβ δ

]−1 [xy

]

=

[αδ − γ−αβ

]

,

O grafo, portanto, possui a seguinte aparencia (nao desenhamos as arestas com rotulo nulo):

j=β−1

j=β−2

j=1

j=0

j=0

j=1

j=α−1

v=−αβ

v=−1

A partir do grafo acima, e facil determinarmos∑

u,v∈Z

huv. Cada linha do grafo (isto e, uma

reta dada por v constante) que contem uma aresta com rotulo nao nulo possui a seguinte forma:

b b b b b b b b−1 1

Para satisfazermos os valores dados pelos rotulos das arestas, basta atribuirmos o valor 1 aosvertices da linha entre a origem da aresta com rotulo −1 e ao destino da aresta com rotulo iguala 1, inclusive. Os demais vertices recebem o valor 0 (que omitimos da figura):

b b b b b b b b−1 1

1 1 1 1 1 1

Sendo assim, a soma∑

u,v∈Z

huv e dada pela quantidade de pontos limitada pelos blocos de

arestas com rotulos 1 e −1 do nosso grafo. A quantidade de vertices com valor 1 em cada linhae dada, simplesmente, pela subtracao da coordenada u de origem do vertice com rotulo −1 da

77

coordenada u do vertice de rotulo 1. Logo

∑

u,v∈Z

huv =

soma das coordenadas udas origens dos verticescom rotulo 1

−

soma das coordenadas udas origens dos verticescom rotulo −1

=(αδ + δ)αβ

2−

(αδ − γ + 1)αβ

2=αβ

2(γ + δ − 1).

O grafo que fizemos para calcular∑

u,v∈Z

huv considera apenas a equacao (3.33). Ainda e

necessario construir o grafo correspondente para a equacao (3.32) e verificar que ela tambeme satisfeita. A construcao e completamente analoga a que acabamos de fazer e, felizmente, asolucao obtida para a equacao (3.33) tambem satisfaz a equacao (3.32).

Este e o primeiro dos 16 casos que existem para serem analisados. A analise de cada umdos casos e similar ao que acabamos de fazer, portanto omitimos os detalhes computacionais eresumimos os resultados obtidos. Temos

∑

u,v∈Z

huv =

αβ

2(γ + δ − 1), se det θ = 1

αβ

2(γ + δ + 1), se det θ = −1

As formulas acima continuam validas mesmo quando a matriz θ contem um elemento nulo.

Observamos que a construcao do grafo que fizemos nos permitiu calcular a soma∑

u,v∈Z

huv no

caso geral. Entretanto, a construcao do grafo para um caso particular da matriz θ nos permitiriadar uma formula explıcita para s1((a

mbn, t)y1), o que e necessario para o calculo do produtocup com coeficientes nao triviais.

Calculo de s1((ambn, t)y2)

Passemos agora ao calculo de s1((ambn, t)y2), que se mostra completamente analogo ao de

s1((ambn, t)y1). Seja s1((a

mbn, t)y2) = ℓm,n1 z1 + ℓm,n

2 z2 + ℓm,n3 z3, em que ℓm,n

1 , ℓm,n2 e ℓm.n

3 ∈Z[G⋊Z]. Procedendo de modo similar ao que fizemos no calculo de s1((a

mbn, t)y1), os elementosℓm,n1 , ℓm,n

2 e ℓm.n3 devem satisfazer o sistema

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ℓm,n1 A+ ℓm,n

2 C + ℓm,n3 [(1, 1) − (b, 1)] =

∂(am, 1)

∂(a, 1)−∂(am+γ , 1)

∂(a, 1)

ℓm,n1 B + ℓm,n

2 D + ℓm,n3 [(a, 1) − (1, 1)] = (ambn, t) + (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)− (am+γ , 1)

∂(bn+δ , 1)

∂(b, 1)ℓm,n1 [(a, 1) − (1, 1)] + ℓm,n

2 [(b, 1) − (1, 1)] = (ambn, 1)− (am+γbn+δ, 1)(3.34)

Como a terceira equacao de (3.34) e identica a terceira equacao de (3.24) se substituirmosα e β por γ e δ, respectivamente, temos

ℓm,n1 = −(ambn, 1)

∂(aγ , 1)

∂(a, 1), ℓm,n

2 = −(am+γbn, 1)∂(bδ , 1)

∂(b, 1).

Substituindo estes valores de ℓm,n1 e ℓm,n

2 nas duas primeiras equacoes de (3.34), vemos que ℓm,n3

deve satisfazer

ℓm,n3 [(1, 1) − (b, 1)] =

∂(am, 1)

∂(a, 1)−∂(am+γ , 1)

∂(a, 1)+ (ambn, 1)

∂(aγ , 1)

∂(a, 1)A+ (am+γbn, 1)

∂(bδ , 1)

∂(b, 1)C

(3.35)

78

e

ℓ3[(a, 1) − (1, 1)] = (ambn, t) + (am, 1)∂(bn, 1)

∂(b, 1)− (am+γ , 1)

∂(bn+δ , 1)

∂(b, 1)+

+ (ambn, 1)∂(aγ , 1)

∂(a, 1)B + (am+γbn, 1)

∂(bδ , 1)

∂(b, 1)D (3.36)

Para determinar ℓm,n3 , escrevemos

ℓm.n3 =

∑

u,v∈Z

puv(aubv, 1) +

∑

u,v∈Z

quv(aubv, t), puv, quv ∈ Z,

e as equacoes (3.35) e (3.36) se escrevem como

∑

u,v∈Z

(puv − pu(v−1))(aubv, 1) = (ambn, 1)

∂(aγ , 1)

∂(a, 1)− (am, 1)

∂(aγ , 1)

∂(a, 1)(3.37)

∑

u,v∈Z

(p(u−1)v − puv)(aubv, 1) = (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)− (am+γ , 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)(3.38)

e

∑

u,v∈Z

(quv − q(u−γ)(v−δ))(aubv, t) = (ambn, 1)

∂(aγ , 1)

∂(a, 1)(A− (1, 1)) + (am+γbn, 1)

∂(bδ , 1)

∂(b, 1)C (3.39)

∑

u,v∈Z

(q(u−α)(v−β) − quv)(aubv, t) = (ambn, t) + (ambn, 1)

∂(aγ , 1)

∂(a, 1)B+

+ (am+γbn, 1)∂(bδ , 1)

∂(b, 1)(D − (1, 1)) (3.40)

Como as equacoes (3.37) e (3.38) sao analogas as equacoes (3.27) e (3.28), temos

∑

u,v∈Z

puv(aubv, 1) = −(am, 1)

∂(aγ , 1)

∂(a, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)(3.41)

Resta-nos determinar os inteiros quv. Novamente por causa da equacao (3.21), e suficientecalcularmos

ε0(ℓm,n3 ) =

∑

u,v∈Z

puv +∑

u,v∈Z

quv,

e como ja temos os inteiros puv, resta-nos calcular∑

u,v∈Z

quv. Faremos este calculo divindo-o em

casos como no fizemos para os inteiros huv no calculo de s1((ambn, t)y1).

Iniciamos com os casos em que a matriz θ contem um elemento nulo. Como as contassao analogas as que ja fizemos durante o calculo de s1((a

mbn, t)y1), limitamo-nos a escrever osresultados obtidos em cada um deles.

Primeiro caso: α = 0. Neste caso, a matriz θ deve ter um dos seguintes formatos:

(α.1)

[0 11 δ

]

(α.2)

[0 −1−1 δ

]

(α.3)

[0 −11 δ

]

(α.4)

[0 1−1 δ

]

Na situacao (α.1), temos∑

u,v∈Z

quv = δ. Na situacao (α.4), temos∑

u,v∈Z

quv = −δ. E nas

situacoes (α.2) e (α.3), temos quv = 0 para quaisquer u, v ∈ Z.

Segundo caso: β = 0. Neste caso, a matriz θ deve ter um dos seguintes formatos:

79

(β.1)

[1 γ0 1

]

(β.2)

[−1 γ0 −1

]

(β.3)

[1 γ0 −1

]

(β.4)

[−1 γ0 1

]

Nas situacoes (β.1) e (β.4), temos quv = 0 para quaisquer u, v ∈ Z. Na situacao (β.2), temos∑

u,v∈Z

quv = γ. Na situacao (β.3), temos∑

u,v∈Z

quv = −γ.

Terceiro caso: γ = 0. Neste caso temos quv = 0 para quaisquer u, v ∈ Z.

Quarto caso: δ = 0. Neste caso tambem temos quv = 0 para quaisquer u, v ∈ Z.

Restam ainda os casos nos quais a matriz θ nao possui elementos nulos. Como fizemos nocalculo de s1((a

mbn, t)y1), dividimos a analise em 16 casos, dependendo dos sinais de α, β, γ, δ

e det θ. Em cada um destes casos, construimos um grafo para calcular o valor da soma∑

u,v∈Z

quv

e obtemos o seguinte resultado:

∑

u,v∈Z

quv =

γδ

2(α+ β − 1), se det θ = 1,

γδ

2(α+ β + 1), se det θ = −1.

Novamente, as formulas acima continuam validas mesmo quando a matriz θ contem um elementonulo.

Podemos resumir os varios calculos executados nesta subsecao no seguinte resultado:

Lema 3.5 Seja

0 // P3ϕ3

// P2ϕ2

// P1ϕ1

// P0ε0

//Z

// 0

a resolucao livre dada pelo Teorema 3.1. Existem homomorfismos de grupos abelianos sn, paran ≥ −1 inteiro, com

s−1 : Z → P0

sn : Pn → Pn+1 se 0 ≤ n ≤ 2,

tais que ε0s−1 = idZ, ϕ1s0+s−1ε0 = idP0, ϕ2s1+s0ϕ1 = idP1

, ϕ3s2+s1ϕ2 = idP2e s2ϕ3 = idP3

:

0 // P3ϕ3

//

0

��

��

P2ϕ2

//

s2

~~}}}}

}}}}

P1ϕ1

//

s1

~~}}}}

}}}}

P0ε0

//

s0

~~}}}}

}}}}

Z//

s−1

��

��

00

��

��

0 // P3 ϕ3

// P2 ϕ2

// P1 ϕ1

// P0 ε0// Z // 0

80

Estes homomorfismos podem ser definidos de tal forma que:

s−1(1) = x,

s0((ambn, tk)x) =

∂(am, 1)

∂(a, 1)y1 + (am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)y2 + (ambn, 1)

∂(1, tk)

∂(1, y)y3,

s1((ambn, 1)y1) = −(am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)z3,

s1((ambn, 1)y2) = 0,

s1(y3) = 0,

s1((a, 1)y3) = 0,

s1((b, 1)y3) = 0,

s1((ambn, 1)y1) = −(am, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)z3

s1((ambn, 1)y2) = 0,

s1((ambn, t)y1) = −(ambn, 1)

∂(aα, 1)

∂(a, 1)z1 − (am+αbn, 1)

∂(bβ , 1)

∂(b, 1)z2+

+

−(am, 1)∂(aα, 1)

∂(a, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)+∑

u,v∈Z

huv(aubv, t)

z3,

s1((ambn, t)y2) = −(ambn, 1)

∂(aγ , 1)

∂(a, 1)z1 − (am+γbn, 1)

∂(bδ , 1)

∂(b, 1)z2+

+

−(am, 1)∂(aγ , 1)

∂(a, 1)

∂(bn, 1)

∂(b, 1)+∑

u,v∈Z

quv(aubv, t)

z3,

na qual os inteiros huv e quv satisfazem

∑

u,v∈Z

huv =αβ

2(γ + δ − det θ) ,

∑

u,v∈Z

quv =γδ

2(α+ β − det θ) .

3.5 Aproximacao da diagonal e produto cup em H∗(G ⋊ Z,Z),

H∗(G⋊ Z,Z2) e H∗(G⋊ Z,Zp)

Usaremos as equacoes (3.18) e (3.20) para obtermos formulas que nos permitam calcular osprodutos H1(G ⋊ Z,Z) ⊗ H1(G ⋊ Z,Z)

⌣→ H2(G ⋊ Z,Z) e H1(G ⋊ Z,Z) ⊗ H2(G ⋊ Z,Z)

⌣→

H3(G ⋊ Z,Z). Na obtencao de tais formulas, faremos uso dos homomorfismos dados peloLema 3.5.

Apenas para simplificarmos a notacao, sendo A, B, C, D e E os elementos dados pelasequacoes (3.4), (3.5), (3.6), (3.7) e (3.11), escreveremos

A =∑

±Ak, B =∑

±Bk, C =∑

±Ck, D =∑

±Dk, E =∑

±Ek,

81

nas quais Ak, Bk, Ck, Dk e Ek sao elementos do grupo G ⋊ Z. Dessa forma, a equacao (3.18)se escreve como

∆11(z1) = ±∑

s0(Akx)⊗Aky1 ±∑

s0(Bkx)⊗Bky2 + y1 ⊗ (a, 1)y3

∆11(z2) = ±∑

s0(Ckx)⊗Cky1 ±∑

s0(Dkx)⊗Dky2 + y2 ⊗ (b, 1)y3 (3.42)

∆11(z3) = y1 ⊗ (a, 1)y2 − y2 ⊗ (b, 1)y1

Sejam u, v ∈ HomZ[G⋊Z](P1,Z). Usando a formula para s0 dada no Lema 3.5, a equacao(3.42) e recordando que estamos usando coeficientes Z triviais, o produto [u] ⌣ [v] e represen-tado por um homomorfismo (u ⌣ v) ∈ HomZ[G⋊Z](P2,Z) tal que

(u ⌣ v)(z1) = (u× v)∆11(z1) =

=

(

−αm1(m1 + 1)

2

)

u(y1)⊗ v(y1) +

(

−βm1(m1 + 1)

2

)

u(y2)⊗ v(y1) +m1u(y3)⊗ v(y1)+

+

(

n1 +γn1(n1 − 1)

2

)

u(y1)⊗ v(y2) +

(δn1(n1 − 1)

2

)

u(y2)⊗ v(y2) + n1u(y3)⊗ v(y2)+

+ u(y1)⊗ v(y3)

(u ⌣ v)(z2) = (u× v)∆11(z2) = (3.43)

=

(

−αm2(m2 + 1)

2

)

u(y1)⊗ v(y1) +

(

−βm2(m2 + 1)

2

)

u(y2)⊗ v(y1) +m2u(y3)⊗ v(y1)+

+

(γn2(n2 − 1)

2

)

u(y1)⊗ v(y2) +

(

n2 +δn2(n2 − 1)

2

)

u(y2)⊗ v(y2) + n2u(y3)⊗ v(y2)+

+ u(y2)⊗ v(y3)

(u ⌣ v)(z3) = u(y1)⊗ v(y2)− u(y2)⊗ v(y1)

Apesar das expressoes para A, B, C, D dependerem dos sinais de m1, n1, m2 e n2, as formulasacimas sao validas quaisquer que sejam os valores de m1, n1, m2 e n2.

Considere agora u ∈ HomZ[G⋊Z](P1,Z), v ∈ HomZ[G⋊Z](P2,Z). O calculo de [u] ⌣ [v]depende do conhecimento de ∆12(w), o qual pode ser calculado a partir da equacao (3.20) doseguinte modo:

∆12(w) = π12 ◦ s2(∆02(z1)− (b, 1)∆02(z1) + (a, 1)∆02(z2)−∆02(z2) + E∆02(z3))

= ±∑

y1 ⊗ (a, 1)s1(Cky1)±∑

y1 ⊗ (a, 1)s1(Dky2) (3.44)

∓∑

y2 ⊗ (b, 1)s1(Aky1)∓∑

y2 ⊗ (b, 1)s1(Bky2)

+∑

±s0(Ekx)⊗ Ekz3.

Na equacao acima, o calculo de ∆02 e imediato a partir da equacao (3.16). O Lema (3.5) nospermite calcular o homomorfismo s0, e tambem o homomorfismo s1 com detalhes suficientespara calcularmos o produto H1(G⋊ Z,Z)⊗H2(G⋊ Z,Z)

⌣→ H3(G⋊Z,Z).

82

Iniciemos com s0(Ekx). Da equacao (3.11), temos

(u× v)(∑

±s0(Ekx)⊗ Ekz3

)

=∑

(m,n)∈I1×J1

(αm+ γn)u(y1)⊗ v(z3) +∑

(m,n)∈I1×J1

(βm+ δn)u(y2)⊗ v(z3)

+∑

(m,n)∈I1×J1

u(y3)⊗ v(z3)

−∑

(m,n)∈I2×J2

(αm+ γn)u(y1)⊗ v(z3)−∑

(m,n)∈I2×J2

(βm+ δn)u(y2)⊗ v(z3)

−∑

(m,n)∈I2×J2

u(y3)⊗ v(z3)

=

(

α|J1|∑

m∈I1

m+ γ|I1|∑

n∈J1

n− α|J2|∑

m∈I2

m− γ|I2|∑

n∈J2

n

)

u(y1)⊗ v(z3)

+

(

β|J1|∑

m∈I1

m+ δ|I1|∑

n∈J1

n− β|J2|∑

m∈I2

m− δ|I2|∑

n∈J2

n

)

u(y2)⊗ v(z3)

+ (det θ)u(y3)⊗ v(z3).

Calculos similares mostram que

(u × v)(

±∑

y1 ⊗ (a, 1)s1(Cky1))

= (−αm2)u(y1)⊗ v(z1) + (−βm2)u(y1)⊗ v(z2)

+

(αβm2

2(γ + δ +m2 + 1− det θ)

)

u(y1)⊗ v(z3),

(u× v)(

±∑

y1 ⊗ (a, 1)s1(Dky2))

= (−γn2)u(y1)⊗ v(z1) + (−δn2)u(y1)⊗ v(z2)

+

(

−γn2 −γδn2

2(−α− β + n2 − 1 + det θ)

)

u(y1)⊗ v(z3),

(u× v)(

∓∑

y2 ⊗ (b, 1)s1(Aky1))

= (αm1)u(y2)⊗ v(z1) + (βm1)u(y2)⊗ v(z2)

+

(−αβm1

2(γ + δ +m1 + 1− det θ)

)

u(y2)⊗ v(z3),

(u× v)(

∓∑

y2 ⊗ (b, 1)s1(Bky2))

= (γn1)u(y2)⊗ v(z1) + (δn1)u(y2)⊗ v(z2)

+

(γδn1

2(−α− β + n1 − 1 + det θ)

)

u(y2)⊗ v(z3).

Substituindo em (3.44), e recordando que

[m1 m2

n1 n2

]

= −

[α γβ δ

]−1

,

obtemos que o produto [u]⌣ [v] ∈ H3(G⋊Z,Z) e representado pelo homomorfismo (u ⌣ v) ∈

83

HomZ[G⋊Z](P3,Z) definido por

(u ⌣ v)(w) = (u × v)∆12(w)

= u(y1)⊗ v(z2)− u(y2)⊗ v(z1)+

+

[αβm2

2(γ + δ +m2 + 1− det θ)− γn2 −

γδn2

2(−α− β + n2 − 1 + det θ)+

α|J1|∑

m∈I1

m+ γ|I1|∑

n∈J1

n− α|J2|∑

m∈I2

m− γ|I2|∑

n∈J2

n

]

u(y1)⊗ v(z3)+

+

[−αβm1

2(γ + δ +m1 + 1− det θ) +

γδn1

2(−α− β + n1 − 1 + det θ) +

β|J1|∑

m∈I1

m+ δ|I1|∑

n∈J1

n− β|J2|∑

m∈I2

m− δ|I2|∑

n∈J2

n

]

u(y2)⊗ v(z3)+

+ (det θ)u(y3)⊗ v(z3). (3.45)

Podemos simplificar a equacao acima fazendo as seguintes observacoes. Em primeiro lugar,temos

αβm2

2(γ + δ +m2 + 1− det θ)− γn2 −

γδn22

(−α− β + n2 − 1 + det θ) =

=

{

0, se det θ = 1

αγ(δ − β − 1), se det θ = −1,

e

−αβm1

2(γ + δ +m1 + 1− det θ) +

γδn12

(−α− β + n1 − 1 + det θ) =

=

{

0, se det θ = 1,

βδ(γ − α+ 1), se det θ = −1.

Ambas as igualdades acimas sao obtidas simplesmente substituindo os valores de m1, n1, m2 en2. Vale ainda o seguinte resultado:

Lema 3.6 Seja S : Z× Z → Z a funcao definida por

S(x, y) = x|J1|∑

m∈I1

m+ y|I1|∑

n∈J1

n− x|J2|∑

m∈I2

m− y|I2|∑

n∈J2

n,

em que os conjuntos I1, J1, I2 e J2 sao dados pela Tabela 3.1. Entao

S(α, γ) =

1− α− γ − αγ

2, se det θ = 1,

−1 + α+ γ − αγ

2, se det θ = −1,

e

S(β, δ) =

1− β − δ + βδ

2, se det θ = 1,

−1 + β + δ + βδ

2, se det θ = −1.

84

Demonstracao: A demonstracao do lema e, de fato, direta. Para cada um dos casos listadosna Tabela 3.1, calculamos S(α, γ) e S(β, δ) simplesmente efetuando a substituicao dos valoresde m1, n1, m2 e n2, recordando que

[m1 m2

n1 n2

]

= −

[α γβ δ

]−1

=1

αδ − βγ

[−δ γβ −α

]

.

Com o lema acima e a observacao antes dele, a equacao (3.45) pode ser escrita da seguintemaneira: se det θ = 1, entao

(u ⌣ v)(w) = u(y1)⊗ v(z2)− u(y2)⊗ v(z1) +

(1− α− γ − αγ

2

)

u(y1)⊗ v(z3)+

(1− β − δ + βδ

2

)

u(y2)⊗ v(z3) + u(y3)⊗ v(z3), (3.46)

e, se det θ = −1,

(u ⌣ v)(w) = u(y1)⊗ v(z2)− u(y2)⊗ v(z1)+[

αγ(δ − β − 1) +

(−1 + α+ γ − αγ

2

)]

u(y1)⊗ v(z3)+ (3.47)

[

βδ(γ − α+ 1) +

(−1 + β + δ + βδ

2

)]

u(y2)⊗ v(z3)− u(y3)⊗ v(z3).

Com estas equacoes e observando que um isomorfismo Z⊗ Z ∼= Z e dado por m⊗ n 7→ mn,podemos agora calcular os produtos

Hp(G⋊ Z,Z)⊗Hq(G⋊ Z,Z)⌣→ Hp+q(G⋊ Z,Z).

Usando a notacao do Teorema 3.2, dividimos os calculos em varios casos, dependendo doposto de (θ − I) e de det(θ).

Primeiro caso: posto(θ − I) = 0. Temos θ = I e

H1(G⋊ Z,Z) = 〈[y∗1]〉 ⊕ 〈[y∗2 ]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Z⊕ Z⊕ Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗2 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z⊕ Z⊕ Z,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈[w∗]〉 ∼= Z.

Das equacoes (3.43) e (3.46), temos

[y∗1 ]2 = [y∗2]

2 = [y∗3 ]2 = 0,

[y∗1 ]⌣ [y∗2] = [z∗3 ],

[y∗1 ]⌣ [y∗3] = [z∗1 ],

[y∗2 ]⌣ [y∗3] = [z∗2 ],

[y∗1 ]⌣ [z∗1 ] = 0,

[y∗1 ]⌣ [z∗2 ] = [w∗],

[y∗1 ]⌣ [z∗3 ] = 0,

[y∗2 ]⌣ [z∗1 ] = −[w∗],

[y∗2 ]⌣ [z∗2 ] = 0,

85

[y∗2 ]⌣ [z∗3 ] = 0,

[y∗3 ]⌣ [z∗1 ] = 0,

[y∗3 ]⌣ [z∗2 ] = 0,

[y∗3 ]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

Segundo caso: posto(θ − I) = 1 e det θ = 1. Como na demonstracao do teorema 3.2, supondoque 1 +m1 6= 0 ou n1 6= 0 (o caso em que 1 +m1 = n1 = 0 pode ser analisado analogamente),temos

I − θ−1 =

[1 +m1 m2

n1 1 + n2

]

=

[qr′ pr′

qs′ ps′

]

,

em que os inteiros p e q satisfazem mdc(p, q) = 1 e p, q 6= 0. Os geradores deH1(G⋊Z,Z) ∼= Z⊕Z

sao [u] e [y∗3], em que

u = −qs′

mdc(qr′, qs′)y∗1 +

qr′

mdc(qr′, qs′)y∗2 = −

s′

mdc(r′, s′)y∗1 +

r′

mdc(r′, s′)y∗2.

Podemos dizer ainda mais: temos det(I − θ−1) = 0 ⇔ α+ δ = 2. Mas α+ δ = 2 ⇔ (1− qr′) +(1 − ps′) = 2 ⇔ qr′ + ps′ = 0. Portanto p | r′ e q | s′. Escrevendo r′ = pr′′ e s′ = qs′′, temosentao pqr′′ + pqs′′ = 0 ⇔ s′′ = −r′′. Assim, temos

I − θ−1 =

[1 +m1 m2

n1 1 + n2

]

=

[(1− δ) γβ (1− α)

]

=

[pqr′′ p2r′′

−q2r′′ −pqr′′

]

(3.48)

e, alem disso, mdc(β, γ) = mdc(r′, s′) = |r′′|. Podemos entao reescrever o homomorfismo u:

u = −s′

mdc(r′, s′)y∗1 +

r′

mdc(r′, s′)y∗2 = qy∗1 + py∗2.

Usando a equacao (3.43), temos

(u ⌣ u)(z1) = −(1 + pqr′′)(pqr′′)(pqr′′ − 1)q2

2+

(q2r′′)(pqr′′)(pqr′′ − 1)pq

2+

+

(

−q2r′′ +(p2r′′)(−q2r′′)(−q2r′′ − 1)

2

)

pq +(1− pqr′′)(−q2r′′)(−q2r′′ − 1)p2

2

=pq2(p− q)r′′

2,

(u ⌣ u)(z2) =p2q(p− q)r′′

2,

(u ⌣ u)(z3) = 0.

Assim, (u ⌣ u) =pq(p− q)r′′

2(qz∗1 + pz∗2). Sabemos que H2(G ⋊ Z,Z) ∼= Zmdc(β,γ) ⊕ Z ⊕ Z ∼=

Zr′′ ⊕ Z ⊕ Z. O gerador de um dos fatores Z de H2(G⋊ Z,Z) e [z∗3 ]. Os outros dois geradoressao obtidos a partir da forma normal de Smith de

I − θ−1 =

[1 +m1 m2

n1 1 + n2

]

=

[pqr′′ p2r′′

−q2r′′ −pqr′′

]

.

86

Sendo k e ℓ inteiros tais que pk + qℓ = 1, temos

[ℓ −pk q

]

∈ GL2(Z) e

[ℓ −pk q

]−1

=

[q p−k ℓ

]

,

o que nos da

(I − θ−1)

[ℓ −pk q

]

=

[pr′′ 0−qr′′ 0

]

e

[ℓ −pk q

]−1 [z∗1z∗2

]

=

[qz∗1 + pz∗2−kz∗1 + ℓz∗2

]

.

Logo o gerador do fator Zr′′ de H2(G⋊Z,Z) e a classe do homomorfismo qz∗1 +pz

∗2 , e o gerador

de um dos fatores Z de H2(G⋊ Z,Z) e −kz∗1 + ℓz∗2 .

Como pq(p− q) e sempre par, temos

(u ⌣ u) =

(pq(p− q)

2

)

· r′′(qz∗1 + pz∗2),

o que significa que [u]2 = 0. Tambem temos [y∗3 ]2 = 0. Calculemos [u] ⌣ [y∗3 ]: usando a

equacao (3.43), temos

(u ⌣ y∗3)(z1) = q,

(u ⌣ y∗3)(z2) = p,

(u ⌣ y∗3)(z3) = 0,

portanto [u]⌣ [y∗3] = [qz∗1 + pz∗2 ].

Para calcularmos os produtos H1(G ⋊ Z,Z) ⊗ H2(G ⋊ Z,Z)⌣→ H3(G ⋊ Z,Z), usamos a

equacao (3.46). Obtemos facilmente

[u]⌣ [qz∗1 + pz∗2 ] = 0,[u]⌣ [−kz∗1 + ℓz∗2 ] = [w∗],[y∗3 ]⌣ [qz∗1 + pz∗2 ] = 0,[y∗3 ]⌣ [−kz∗1 + ℓz∗2 ] = 0,[y∗3 ]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

O calculo que resta a fazer neste caso, e [u]⌣ [z∗3 ]. A equacao (3.46) nos da

(u ⌣ z∗3)(w) =

(1− α− γ − αγ

2

)

q +

(1− β − δ + βδ

2

)

p (3.49)

Se fizermos a suposicao (sem perda de generalidade) que q ≥ 0, entao de (3.48) segue que

r′′ = −β

|β|mdc(β, γ) =

γ

|γ|mdc(β, γ)

e

q =

√

−β

r′′=

√

|β|

mdc(β, γ).

Ainda temos

p

q=

1− α

β⇔ p =

√

|β|

mdc(β, γ)·1− α

β,

87

e se substituirmos os valores de p e q em (3.49), obtemos

[u]⌣ [z∗3 ] =1

2

√

|β|

mdc(β, γ)

(

1− α− γ − αγ + (1− β − δ + βδ)1 − α

β

)

[w∗]

=1

2

√

|β|

mdc(β, γ)

(

1− α− γ − αγ +(1− β)(1 − δ)(1 − α)

β

)

[w∗]. (3.50)

Mas temos ainda det θ = 1 e α+δ = 2, logo α(2−α)−βγ = 1 ⇔ −βγ = (α−1)2 e 1−δ = α−1.Substituindo em (3.50), ficamos com

[u]⌣ [z∗3 ] =1

2

√

|β|

mdc(β, γ)

(

1− α− γ − αγ −(1− β)(α− 1)2

β

)

[w∗]

=1

2

√

|β|

mdc(β, γ)(1− α− γ − αγ + (1− β)γ)[w∗]

=1

2

√

|β|

mdc(β, γ)(1− α− αγ − βγ)[w∗]

Terceiro caso: posto(θ − I) = 1 e det θ = −1. Novamente supomos 1 +m1 6= 0 ou n1 6= 0 (aanalise quando 1 +m1 = n1 = 0 e analoga) e escrevemos

I − θ−1 =

[1 +m1 m2

n1 1 + n2

]

=

[qr′ pr′

qs′ ps′

]

,

em que os inteiros p e q satisfazem mdc(p, q) = 1 e p, q 6= 0. Neste caso, temos det(I − θ−1) =0 ⇔ α + δ = 0. Portanto (1 +m1) + (1 + n2) = (1 + δ) + (1 + α) = 2 ⇔ qr′ + ps′ = 2. Logomdc(β, γ, 2) = mdc(r′, s′) ∈ {1, 2}. Separamos entao este caso em dois subcasos.

No primeiro subcaso, vamos supor que mdc(r′, s′) = 1. Sendo assim, temos

H1(G⋊ Z,Z) = 〈[u]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Z⊕ Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈[−kz∗1 + ℓz∗2 ]〉∼= Z,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

em que u = −s′y∗1+r′y∗2 e os inteiros k e ℓ satisfazem pk+qℓ = 1. Analisando a forma normal de

Smith de (I−θ−1) como fizemos no caso anterior, vemos que neste subcaso temos [qz∗1+pz∗2 ] = 0

em H2(G⋊ Z,Z). Usando a equacao (3.43), obtemos

(u ⌣ u) =r′s′(−r′ − s′)

2(qz∗1 + pz∗2),

o que implica [u]2 = 0. Tambem temos [y∗3 ]2 = 0, e

(u ⌣ y∗3) = −s′z∗1 + r′z∗2 .

Como pk + qℓ = 1 ⇔ p(2k) + q(2ℓ) = 2 e ps′ + qr′ = 2, existe um inteiro m tal que

∣∣∣∣

s′ = 2k − qmr′ = 2ℓ+ pm

.

88

Sabemos que m e ımpar, pois mdc(r′, s′) = 1. Logo temos

[u]⌣ [y∗3] = [−2kz∗1 + 2ℓz∗2 ] + [mqz∗1 +mpz∗2 ] = 2[−kz∗1 + ℓz∗2 ].

Quanto aos produtos H1(G⋊Z,Z)⊗H2(G⋊Z,Z)⌣→ H3(G⋊Z,Z), usamos a equacao (3.47)

para obter imediatamente que [y∗3]⌣ [−kz∗1 + ℓz∗2 ] = 0, e temos ainda

(u ⌣ (−kz∗1 + ℓz∗2)) = (r′k − s′ℓ)w∗

= ((2ℓ+ pm)k − (2k − qm)ℓ)w∗

= mw∗,

e como m e ımpar, [u]⌣ [−kz∗1 + ℓz∗2 ] = [w∗].

No segundo subcaso, mdc(r′, s′) = 2, e

H1(G⋊ Z,Z) = 〈[u]〉 ⊕ 〈[y∗3]〉∼= Z⊕ Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈[qz∗1 + pz∗2 ]〉 ⊕ 〈[−kz∗1 + ℓz∗2 ]〉∼= Z2 ⊕ Z,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

em que u = −s′

2y∗1 +

r′

2y∗2 e os inteiros k e ℓ sao tais que pk+ qℓ = 1. Usando a equacao (3.43),

temos

(u ⌣ u) =r′s′(−r′ − s′)

8(qz∗1 + pz∗2).

Lembrando que r′ e s′ sao pares, temos r′s′(−r′ − s′) ≡ 0 (mod 16), o que implica [u]2 = 0,pois 2[qz∗1 + pz∗2 ] = 0 em H2(G⋊ Z,Z). Tambem temos [y∗3 ]

2 = 0 e

(u ⌣ y∗3) = −s′

2z∗1 +

r′

2z∗2 .

Novamente sabemos que existe um inteiro m tal que

∣∣∣∣

s′ = 2k − qmr′ = 2ℓ+ pm

Sabemos que neste caso m e par, m = 2m′, logo

(u ⌣ y∗3) = (−k + qm′)z∗1 + (ℓ+ pm′)z∗2 = (−kz∗1 + ℓz∗2) +m′(qz∗1 + pz∗2),

o que nos da [u]⌣ [y∗3 ] = m′[qz∗1 + pz∗2 ] + [−kz∗1 + ℓz∗2 ], e o inteiro m′ pode ser par ou ımpar.

Ainda resta calcularmos [u] ⌣ [qz∗1 + pz∗2 ] e [u] ⌣ [−kz∗1 + ℓz∗2 ], pois e imediato a partir daequacao (3.47) que [y∗3]⌣ [qz∗1 + pz∗2 ] = 0 e [y∗3 ]⌣ [−kz∗1 + ℓz∗2 ] = 0. Temos

(u ⌣ (qz∗1 + pz∗2)) =−s′p− r′q

2w∗ = −w∗,

de onde segue que [u]⌣ [qz∗1 + pz∗2 ] = [w∗]. Finalmente,

(u ⌣ (−kz∗1 + ℓz∗2)) =kr′ − ℓs′

2w∗,

e portanto [u]⌣ [−kz∗1 + ℓz∗2 ] =kr′ − ℓs′

2[w∗], e o inteiro

kr′ − ℓs′

2pode ser par ou ımpar.

89

Quarto caso: posto(θ − I) = 2 e det θ = 1. Neste caso temos

H1(G⋊ Z,Z) = 〈[y∗3]〉∼= Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈[u]〉 ⊕ 〈[v]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Zc1 ⊕ Zc2 ⊕ Z,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈[w∗]〉 ∼= Z,

Da equacao (3.43), temos [y∗3]2 = 0. Os geradores dos fatores Zc1 e Zc2 de H2(G ⋊ Z,Z) sao

classes de homomorfismos u e v que sao combinacoes lineares de z∗1 e z∗2 , logo a equacao (3.46)mostra imediatamente que [y∗3]⌣ [u] = [y∗3]⌣ [v] = 0 e que [y∗3 ]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

Quinto caso: posto(θ − I) = 2 e det θ = −1. Neste caso temos

H1(G⋊ Z,Z) = 〈[y∗3]〉∼= Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈[u]〉 ⊕ 〈[v]〉 ∼= Zc1 ⊕ Zc2,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

Da equacao (3.43), temos [y∗3]2 = 0. Os geradores dos fatores Zc1 e Zc2 de H2(G ⋊ Z,Z) sao

classes de homomorfismos u e v que sao combinacoes lineares de z∗1 e z∗2 , logo a equacao (3.47)mostra que [y∗3 ]⌣ [u] = [y∗3]⌣ [v] = 0.

Resumimos todos os calculos acima no seguinte resultado:



[α γβ δ

]

∈ GL2(Z).

1. Se posto(θ − I) = 0, entao

H0(G⋊ Z,Z) ∼= Z,

H1(G⋊ Z,Z) = 〈ζ1〉 ⊕ 〈ζ2〉 ⊕ 〈ζ3〉 ∼= Z⊕ Z⊕ Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈ξ1〉 ⊕ 〈ξ2〉 ⊕ 〈ξ3〉 ∼= Z⊕ Z⊕ Z,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈χ〉 ∼= Z,

comζ21 = ζ22 = ζ23 = 0,ζ1 ⌣ ζ2 = ξ3, ζ1 ⌣ ζ3 = ξ1, ζ2 ⌣ ζ3 = ξ2,ζ1 ⌣ ξ1 = ζ1 ⌣ ξ3 = ζ2 ⌣ ξ2 = ζ2 ⌣ ξ3 = ζ3 ⌣ ξ1 = ζ3 ⌣ ξ2 = 0,ζ1 ⌣ ξ2 = ζ3 ⌣ ξ3 = χ, ζ2 ⌣ ξ1 = −χ.

2. Se posto(θ − I) = 1 e det θ = 1, entao

H0(G⋊ Z,Z) ∼= Z,

H1(G⋊ Z,Z) = 〈ζ1〉 ⊕ 〈ζ2〉 ∼= Z⊕ Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈ξ1〉 ⊕ 〈ξ2〉 ⊕ 〈ξ3〉 ∼= Zmdc(β,γ) ⊕ Z⊕ Z,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈χ〉 ∼= Z,

90

commdc(β, γ) · ξ1 = 0,ζ21 = ζ22 = 0,ζ1 ⌣ ζ2 = ξ1,ζ1 ⌣ ξ1 = 0,ζ1 ⌣ ξ2 = χ,

ζ1 ⌣ ξ3 =1

2

√

|β|

mdc(β, γ)(1− α− αγ − βγ)χ,

ζ2 ⌣ ξ1 = 0,ζ2 ⌣ ξ2 = 0,ζ2 ⌣ ξ3 = 0.

3. Se posto(θ − I) = 1 e det θ = −1 e mdc(β, γ, 2) = 1, entao

H0(G⋊ Z,Z) ∼= Z,

H1(G⋊ Z,Z) = 〈ζ1〉 ⊕ 〈ζ2〉 ∼= Z⊕ Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈ξ〉 ∼= Z,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈χ〉 ∼= Z2,

comζ21 = ζ22 = 0,ζ1 ⌣ ζ2 = 2ξ,ζ1 ⌣ ξ = χ,ζ2 ⌣ ξ = 0.

4. Se posto(θ − I) = 1 e det θ = −1 e mdc(β, γ, 2) = 2, entao

H0(G⋊Z,Z) ∼= Z,

H1(G⋊Z,Z) = 〈ζ1〉 ⊕ 〈ζ2〉 ∼= Z⊕ Z,

H2(G⋊Z,Z) = 〈ξ1〉 ⊕ 〈ξ2〉 ∼= Z2 ⊕ Z,

H3(G⋊Z,Z) = 〈χ〉 ∼= Z2,

com2 · ξ1 = 0ζ21 = ζ22 = 0,ζ1 ⌣ ζ2 = m · ξ1 + ξ2,ζ1 ⌣ ξ1 = χ,

ζ1 ⌣ ξ2 =

(kr′ − ℓs′

2

)

· χ.

Nestas equacoes, os inteiros k e ℓ sao tais que pk + qℓ = 1, em que p e q sao inteiros

primos entre si tais quep

q=

γ

1 + δ=

1 + α

β. Ainda, os inteiros r′, s′ e m sao tais que

ps′ + qr′ = 2, m =2k − s′

2q=r′ − 2ℓ

2p.

5. Se posto(θ − I) = 2 e det θ = 1, entao

H1(G⋊Z,Z) = 〈ζ〉 ∼= Z,

H2(G⋊Z,Z) = 〈ξ1〉 ⊕ 〈ξ2〉 ⊕ 〈ξ3〉 ∼= Zc1 ⊕ Zc2 ⊕ Z,

H3(G⋊Z,Z) = 〈χ〉 ∼= Z,

91

comc1 · ξ1 = c2 · ξ2 = 0,ζ2 = 0,ζ ⌣ ξ1 = ζ ⌣ ξ2 = 0,ζ ⌣ ξ3 = χ.

Nestas equacoes, os inteiros positivos c1 e c2 sao tais que c1 | c2 e c1c2 = |det(θ − I)|.

6. Se posto(θ − I) = 2 e det θ = −1, entao

H1(G⋊ Z,Z) = 〈ζ〉 ∼= Z,

H2(G⋊ Z,Z) = 〈ξ1〉 ⊕ 〈ξ2〉 ∼= Zc1 ⊕ Zc2 ,

H3(G⋊ Z,Z) = 〈χ〉 ∼= Z2,

comc1 · ξ1 = c2 · ξ2 = 0,ζ2 = 0,ζ ⌣ ξ1 = ζ ⌣ ξ2 = 0.

Nestas equacoes, os inteiros positivos c1 e c2 sao tais que c1 | c2 e c1c2 = |det(θ − I)|.

O calculo do produto cup em H∗(G ⋊ Z,Z2) tambem pode ser feito e nao apresenta nenhuma

nova dificuldade. A matriz

[α γβ δ

]

, quando reduzida mod 2, e uma das seguintes matrizes:

1.

[1 00 1

]

, 2.

[0 11 0

]

, 3.

[1 11 0

]

, 4.

[1 01 1

]

, 5.

[1 10 1

]

, 6.

[0 11 1

]

.

No primeiro caso, temos

H1(G ⋊Z,Z2) = 〈[y∗1 ]〉 ⊕ 〈[y∗2 ]〉 ⊕ 〈[y∗3]〉∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2,

H2(G ⋊Z,Z2) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗2 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2,

H3(G ⋊Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

e as equacoes (3.43), (3.46) e (3.47) dao

[y∗1 ]2 =

1 +m1

2[z∗1 ] +

γ

2[z∗2 ]

[y∗2 ]2 =

β

2[z∗1 ] +

(

1 +n2 − 1

2

)

[z∗2 ]

[y∗3 ]2 = 0

[y∗1 ]⌣ [y∗2 ] = 0

[y∗1 ]⌣ [y∗3 ] = [z∗1 ]

[y∗2 ]⌣ [y∗3 ] = [z∗2 ]

[y∗1 ]⌣ [z∗1 ] = 0

[y∗1 ]⌣ [z∗2 ] = [w∗]

[y∗1 ]⌣ [z∗3 ] = S(α, γ)[w∗]

[y∗2 ]⌣ [z∗3 ] = S(β, δ)[w∗]

[y∗3 ]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

92

No segundo caso, temos

H1(G⋊ Z,Z2) = 〈[y∗1 + y∗2 ]〉 ⊕ 〈[y∗3]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H2(G⋊ Z,Z2) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2, (obs.: [z∗1 ] = [z∗2 ])

H3(G⋊ Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,


[y∗1 + y∗2 ]2 =

(

1 +α+ δ +m2 + n1

2

)

[z∗1 ]

[y3]2 = 0

[y∗1 + y∗2 ]⌣ [y∗3 ] = 0

[y∗1 + y∗2 ]⌣ [z∗1 ] = [w∗]

[y∗1 + y∗2 ]⌣ [z∗3 ] = (S(α, γ) + S(β, δ))[w∗ ]

[y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

No terceiro caso, temos

H1(G⋊ Z,Z2) = 〈[y∗3 ]〉∼= Z2,

H2(G⋊ Z,Z2) = 〈[z∗3 ]〉∼= Z2,

H3(G⋊ Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,


[y∗3]2 = 0

[y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

No quarto caso, temos

H1(G⋊ Z,Z2) = 〈[y∗1]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H2(G⋊ Z,Z2) = 〈[z∗2 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H3(G⋊ Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,


[y∗1]2 =

γ

2[z∗2 ]

[y∗3]2 = 0

[y∗1]⌣ [y∗3 ] = 0

[y∗1]⌣ [z∗2 ] = [w∗]

[y∗1]⌣ [z∗3 ] = S(α, γ)[w∗]

[y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗]

No quinto caso, temos

H1(G⋊ Z,Z2) = 〈[y∗2]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H2(G⋊ Z,Z2) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H3(G⋊ Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

93


[y∗2 ]2 =

β

2[z∗1 ]

[y∗3 ]2 = 0

[y∗2 ]⌣ [y∗3 ] = 0

[y∗2 ]⌣ [z∗1 ] = [w∗]

[y∗2 ]⌣ [z∗3 ] = S(β, δ)[w∗]

[y∗3 ]⌣ [z∗3 ] = [w∗]

Finalmente, no sexto caso, temos

H1(G⋊ Z,Z2) = 〈[y∗3 ]〉∼= Z2,

H2(G⋊ Z,Z2) = 〈[z∗3 ]〉∼= Z2,

H3(G⋊ Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,


[y∗3]2 = 0

[y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

Resumimos os resultados para H∗(G⋊ Z,Z2) no seguinte teorema:



[α γβ δ

]

∈ GL2(Z).

1. Se θ ≡

[1 00 1

]

(mod 2), entao

H1(G⋊ Z,Z2) = 〈[y∗1 ]〉 ⊕ 〈[y∗2]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2,

H2(G⋊ Z,Z2) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗2 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2,

H3(G⋊ Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

com

[y∗1]2 =

1 +m1

2[z∗1 ] +

γ

2[z∗2 ]

[y∗2]2 =

β

2[z∗1 ] +

(

1 +n2 − 1

2

)

[z∗2 ]

[y∗3]2 = 0

[y∗1]⌣ [y∗2 ] = 0

[y∗1]⌣ [y∗3 ] = [z∗1 ]

[y∗2]⌣ [y∗3 ] = [z∗2 ]

[y∗1]⌣ [z∗1 ] = 0

[y∗1]⌣ [z∗2 ] = [w∗]

[y∗1]⌣ [z∗3 ] = S(α, γ)[w∗]

[y∗2]⌣ [z∗3 ] = S(β, δ)[w∗ ]

[y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

94

2. Se θ ≡

[0 11 0

]

(mod 2), entao

H1(G⋊Z,Z2) = 〈[y∗1 + y∗2]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H2(G⋊Z,Z2) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2, (obs.: [z∗1 ] = [z∗2 ])

H3(G⋊Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

com

[y∗1 + y∗2]2 =

(

1 +α+ δ +m2 + n1

2

)

[z∗1 ]

[y3]2 = 0

[y∗1 + y∗2]⌣ [y∗3] = 0

[y∗1 + y∗2]⌣ [z∗1 ] = [w∗]

[y∗1 + y∗2]⌣ [z∗3 ] = (S(α, γ) + S(β, δ))[w∗]

[y∗3 ]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

3. Se θ ≡

[1 11 0

]

(mod 2), entao

H1(G⋊ Z,Z2) = 〈[y∗3]〉∼= Z2,

H2(G⋊ Z,Z2) = 〈[z∗3 ]〉∼= Z2,

H3(G⋊ Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

com

[y∗3 ]2 = 0

[y∗3 ]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

4. Se θ ≡

[1 01 1

]

(mod 2), entao

H1(G⋊Z,Z2) = 〈[y∗1 ]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H2(G⋊Z,Z2) = 〈[z∗2 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H3(G⋊Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

com

[y∗1]2 =

γ

2[z∗2 ]

[y∗3]2 = 0

[y∗1]⌣ [y∗3] = 0

[y∗1]⌣ [z∗2 ] = [w∗]

[y∗1]⌣ [z∗3 ] = S(α, γ)[w∗]

[y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

95

5. Se θ ≡

[1 10 1

]

(mod 2), entao

H1(G⋊Z,Z2) = 〈[y∗2 ]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H2(G⋊Z,Z2) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Z2 ⊕ Z2,

H3(G⋊Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,


[y∗2]2 =

β

2[z∗1 ]

[y∗3]2 = 0

[y∗2]⌣ [y∗3 ] = 0

[y∗2]⌣ [z∗1 ] = [w∗]

[y∗2]⌣ [z∗3 ] = S(β, δ)[w∗ ]

[y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

6. Se θ ≡

[0 11 1

]

(mod 2), entao

H1(G⋊ Z,Z2) = 〈[y∗3]〉∼= Z2,

H2(G⋊ Z,Z2) = 〈[z∗3 ]〉∼= Z2,

H3(G⋊ Z,Z2) = 〈[w∗]〉 ∼= Z2,

com

[y∗3 ]2 = 0

[y∗3 ]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

Finalmente, podemos tambem calcular o produto cup em H∗(G ⋊ Z,Zp), para p um primoımpar. Tendo como ponto de partida o Teorema 3.4, obtemos o seguinte resultado:



[α γβ δ

]

∈ GL2(Z).

1. Se postoZp(θ − I) = 0 e det θ = 1, entao

H1(G⋊ Z,Zp) = 〈[y∗1]〉 ⊕ 〈[y∗2 ]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Zp ⊕ Zp ⊕ Zp,

H2(G⋊ Z,Zp) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗2 ]〉 ⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Zp ⊕ Zp ⊕ Zp,

H3(G⋊ Z,Zp) = 〈[w∗]〉 ∼= Zp,

96

e os produtos sao dados por

[y∗1]2 = 0,

[y∗2]2 = 0,

[y∗3]2 = 0,

[y∗1]⌣ [y∗2 ] = [z∗3 ],

[y∗1]⌣ [y∗3 ] = [z∗1 ],

[y∗2]⌣ [y∗3 ] = [z∗2 ],

[y∗1]⌣ [z∗1 ] = 0,

[y∗1]⌣ [z∗2 ] = [w∗],

[y∗1]⌣ [z∗3 ] = 0,

[y∗2]⌣ [z∗1 ] = −[w∗],

[y∗2]⌣ [z∗2 ] = 0,

[y∗2]⌣ [z∗3 ] = 0,

[y∗3]⌣ [z∗1 ] = 0,

[y∗3]⌣ [z∗2 ] = 0,

[y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗].

2. Se postoZp(θ − I) = 0 e det θ = −1, entao

H1(G⋊ Z,Zp) = 〈[y∗1]〉 ⊕ 〈[y∗2 ]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Zp ⊕ Zp ⊕ Zp,

H2(G⋊ Z,Zp) = 〈[z∗1 ]〉 ⊕ 〈[z∗2 ]〉∼= Zp ⊕ Zp,

H3(G⋊ Z,Zp) = 0,

e os produtos sao dados por

[y∗1 ]2 = 0,

[y∗2 ]2 = 0,

[y∗3 ]2 = 0,

[y∗1 ]⌣ [y∗2 ] = 0,

[y∗1 ]⌣ [y∗3 ] = [z∗1 ],

[y∗2 ]⌣ [y∗3 ] = [z∗2 ].


H1(G⋊ Z,Zp) = 〈[u]〉 ⊕ 〈[y∗3]〉∼= Zp ⊕ Zp,

H2(G⋊ Z,Zp) =〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

⊕ 〈[z∗3 ]〉∼= Zp ⊕ Zp,

H3(G⋊ Z,Zp) = 〈[w∗]〉 ∼= Zp,

no qual o elemento u e descrito da seguinte forma: sendo

[m1 m2

n1 n2

]

= −θ−1 =

[−δ γβ −α

]

,

97

se (1 +m1) 6≡ 0 (mod p) ou n1 6≡ 0 (mod p), podemos tomar u = −n1y∗1 + (1 +m1)y

∗2

e, se (1 + m1) ≡ n1 ≡ 0 (mod p), tomamos u = (1 + n2)y∗1 − m2y

∗2. Supondo, sem

perda de generalidade, que u = −n1y∗1 + (1 + m1)y

∗2, temos [u]2 = [y∗3]

2 = 0, [u] ⌣

[y∗3 ] = [−n1z∗1 + (1 +m1)z

∗2 ] ∈

〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

, [y∗3] ⌣ [z∗3 ] = [w∗] e [y∗3] ⌣ ξ = 0 para todo

ξ ∈〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

.


H1(G⋊ Z,Zp) = 〈[u]〉 ⊕ 〈[y∗3 ]〉∼= Zp ⊕ Zp,

H2(G⋊ Z,Zp) =〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

∼= Zp,

H3(G⋊ Z,Zp) = 0,

em que u e descrito como no caso anterior e supondo, sem perda de generalidade, queu = −n1y

∗1 + (1 + m1)y

∗2, temos [u]2 = [y∗3]

2 = 0, [u] ⌣ [y∗3] = [−n1z∗1 + (1 + m1)z

∗2 ] ∈

〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉

imϕ∗2

.


H1(G⋊ Z,Zp) = 〈[y∗3]〉∼= Zp,

H2(G⋊ Z,Zp) = 〈[z∗3 ]〉∼= Zp,

H3(G⋊ Z,Zp) = 〈[w∗]〉 ∼= Zp,

com [y∗3]2 = 0 e [y∗3]⌣ [z∗3 ] = [w∗].


H1(G⋊ Z,Zp) = 〈[y∗3]〉∼= Zp,

H2(G⋊ Z,Zp) = 0,

H3(G⋊ Z,Zp) = 0,

com [y∗3]2 = 0.

Demonstracao: Em primeiro lugar, notamos que, se ζ ∈ H1(G⋊Z,Zp), entao ζ2 = 0. De fato,

temosζ2 = (−1)1·1ζ2 ⇔ 2ζ2 = 0 ⇔ ζ2 = 0,

pois H1(G⋊ Z,Zp) ∼=⊕

Zp e p e ımpar.Em segundo lugar, notamos tambem que, para efetuar os calculos dos produtos, podemos

usar as equacoes (3.43), (3.46) e (3.47), bastando reduzi-las modulo p.Quando postoZp

(θ−I) = 0 e det θ = 1, e facil ver que os geradores dos gruposH1(G⋊Z,Zp),

H2(G⋊Z,Zp) e H3(G⋊Z,Zp) sao exatamente os dados no enunciado, de modo que os produtos

sao calculados imediatamente. Os calculos para o caso em que postoZp(θ− I) = 0 e det θ = −1

e analogo, com a observacao que [z∗3 ] = 0 em H2(G⋊ Z,Zp).Quando postoZp

(θ − I) = 1, a descricao do elemento u vem imediatamente da matriz

[ϕ∗2] =

1 +m1 n1 0m2 1 + n2 00 0 0

,

98

e os produtos sao calculados usando diretamente as equacoes (3.43), (3.46) e (3.47). Notamosainda que

imϕ∗2 = 〈(1 +m1)z

∗1 +m2z

∗2〉

se (1 +m1) 6≡ 0 (mod p) ou m2 6≡ 0 (mod p) e

imϕ∗2 = 〈n1z

∗1 + (1 + n2)z

∗2〉

caso contrario.Quando postoZp

(θ − I) = 2, o homomorfismo ϕ∗2 e injetor e sua imagem e 〈z∗1〉 ⊕ 〈z∗2〉.

Portanto, se det θ = 1, temos

H1(G⋊ Z,Zp) = 〈[y∗3 ]〉∼= Zp,

H2(G⋊ Z,Zp) = 〈[z∗3 ]〉∼= Zp,

H3(G⋊ Z,Zp) = 〈[w∗]〉 ∼= Zp,

e [y∗3 ] ⌣ [z∗3 ] = [w∗] segue diretamente de (3.46). Quando det θ = −1, entao H1(G ⋊ Z,Zp) =〈[y∗3 ]〉

∼= Zp e H2(G⋊ Z,Zp) = H3(G⋊ Z,Zp) = 0.

Observacoes finais:

1. As tecnicas usadas neste capıtulo tambem podem nos permitir determinar a estruturamultiplicativa em H∗(G⋊Z,M) para coeficientes nao triviais M , uma vez fixada a matrizθ.

2. Recentemente, fomos informados que o anel de cohomologia H∗(G⋊Z,Z2) foi determinadopor J. Hillman, por metodos completamente distintos, os quais utilizam propriedadesgeometricas (ver [Hil]).

99

Capıtulo 4

Cohomologia de certos grupos

virtualmente cıclicos

4.1 Introducao

Dizemos que o grupo G e virtualmente cıclico se G contem um subgrupo cıclico de ındice finito.Esta definicao portanto, inclui todos os grupos finitos e, se G e infinito, existe uma sequenciaexata de grupos

1 // Z // G // Q // 1

com Q finito. De fato, se A ∼= Z e um subgrupo de G, a interseccao de A com seus conjugadose um subgrupo cıclico de G com ındice finito, logo podemos supor sem perda de generalidadeque A e normal em G. O seguinte teorema e encontrado em [Wal67] e nos da informacao sobreos grupos infinitos virtualmente cıclicos:

Teorema 4.1 (Wall) Seja G um grupo. Sao equivalentes:

1. G e infinito virtualmente cıclico;

2. Existe um subgrupo normal finito F de G tal queG

F∼= Z ou

G

F∼= Z2 ∗ Z2.

No primeiro caso, quando G/F ∼= Z, dizemos que G e do tipo I e quando G/F ∼= Z2 ∗ Z2

dizemos que G e do tipo II. Quando G e do tipo I, existe uma sequencia exata de grupos

1 // F // G //Z

// 1 ,

o que implica G ∼= F ⋊ Z, e quando G e do tipo II, existe uma sequencia exata de grupos

1 // F // G // Z2 ∗ Z2// 1 ,

e neste caso prova-se em [GG11] que existem G1 e G2 finitos tais que G ∼= G1 ∗F G2, com(G1 : F ) = (G2 : F ) = 2.

Neste capıtulo, estaremos interessados em grupos G, infinitos e virtualmente cıclicos, quepossuam as seguintes caracterısticas:

• Se G e do tipo I, entao o grupo finito F do Teorema 4.1 possui cohomologia periodica;

• Se G e do tipo II, entao os grupos finitos G1 e G2 do Teorema 4.1 possuem cohomologiaperiodica.

101

Dizemos que um grupo finito G possui cohomologia periodica se existe um inteiro positivo de um elemento u ∈ Hd(G,Z) tal que

u ⌣ : Hn(G,M) → Hn+d(G,M)

seja um isomorfismo para todo n ≥ 1. Os grupos que possuem cohomologia periodica saocompletamente caracterizados pelo Teorema de Suzuki-Zassenhaus, o qual pode ser encontradoem [AM04]:

Teorema 4.2 (Suzuki-Zassenhaus) Os grupos finitos G que possuem cohomologia periodicapertencem a uma das famılias descritas na tabela abaixo:

Famılia Definicao Condicoes

1 Za ⋊α Zb mdc(a, b) = 1

2 Za ⋊β (Zb ×Q2i) mdc(a, b) = mdc(ab, 2) = 1

3 Za ⋊γ (Zb × Ti) mdc(a, b) = mdc(ab, 6) = 1

4 Za ⋊τ (Zb ×O∗i ) mdc(a, b) = mdc(ab, 6) = 1

5 (Za ⋊α Zb)× SL2(Fp) mdc(a, b) = mdc(ab, p(p2 − 1)) = 1

6 Za ⋊µ (Zb × TL2(Fp)) mdc(a, b) = mdc(ab, p(p2 − 1)) = 1

Existe o interesse em estudar a cohomologia dos grupos infinitos de cohomologia periodica,em particular dos virtualmente cıclicos. Neste capıtulo, estudaremos a cohomologia de Z2∗Z2

∼=Z ⋊ Z2 e Z2n ∗Zn Z2n

∼= Z ⋊ Z2n, que sao grupos do tipo II, e do grupo (Za ⋊α Zb) ⋊ Z, que edo tipo I e obtida a partir da primeira famılia no Teorema de Suzuki-Zassenhaus.

4.2 O anel de cohomologia de G = Z ⋊ Z2

Seja G = Z ⋊ Z2∼= Z2 ∗ Z2. Explicitamente, sendo s um gerador de Z e t um gerador de Z2,

temos G = {(sm, tn) : m,n ∈ Z} com operacao dada por

(sm1 , tn1) · (sm2 , tn2) = (sm1+(−1)n1m2 , tn1+n2).

Para o grupo G, exibiremos uma resolucao livre de Z como ZG-modulo, calcularemos os gruposde cohomologia H∗(G,Z) e tambem a estrutura multiplicativa em H∗(G,Z) dada pelo produtocup.

Para construirmos uma resolucao de Z sobre ZG, novamente usaremos as ideias contidasem [Wal61], que foram resumidas no Lema 1.12 e no Teorema 1.13. Apliquemos estes resultadosa extensao

1 //Z

// Z ⋊ Z2// Z2

// 1.

Uma resolucao livre de Z como ZZ-modulo trivial e

0 //ZZ

s−1////ZZ

//Z

// 0,

enquanto que uma resolucao livre de Z como ZZ2-modulo trivial e periodica de perıodo 2 dadapor

· · · // ZZ2t+1

// ZZ2t−1

// ZZ2//Z

// 0.

102

O modulo Ar,s do Lema 1.12 e dado por ZG⊗ZZ ZZ ∼= ZG para r = 0, 1 e zero para r > 1.Obtemos entao o seguinte diagrama, em que os homomorfismos d1 sao os do Lema 1.12 e devemser construıdos:

...

��

...

��

...

��

0 // ZGd0

//

d1

��

ZGε

//

d1

��

ZZ2

t+1��

0 // ZGd0

//

d1

��

ZG ε//

d1

��

ZZ2

t−1��

0 //ZG

d0

//ZG ε

// ZZ2

ε

��

Z

��

0

Devemos construir os quatro homomorfimos d1 do diagrama, sendo que pela periodicidade daresolucao de ZZ2 os homomorfismos d1 que ocorrem acima destes (e nao sao mostrados nodiagrama) sao os mesmos que os quatro mostrados acima.

Inicialmente, calculemos d0 e ε. Observando o diagrama comutativo

0 // ZG⊗ZZ ZZ1⊗(s−1)

//

∼=

ZG⊗ZZ ZZ1⊗ε

//

∼=

ZG⊗ZZ Z

∼=

0 // ZGd0

// ZG ε// ZZ2

, (4.1)

e imediato verificar que o homomorfismo d0 e dado por d0((1, 1)) = (s, 1)−(1, 1) e que ε : ZG→Z2 e dado por ε((sm, tn)) = tn.

Calculemos entao os quatro homomorfismos d1. Em cada um dos itens abaixo, reproduzimosa parte do diagrama (4.1) que contem os quatro homomorfismos d1 que queremos calcular.

1. 0 ZG ZG ZZ2

0 ZG ZG

d1

��

ZZ2

0 ZG ZG ZZ2

Este d1 deve satisfazer ε◦d1 = (t−1)◦ε, o que ocorre se definirmos d1((1, 1)) = (1, t)−(1, 1).

2. 0 ZG ZG ZZ2

0 ZG

d1

��

ZG ZZ2

0 ZG ZG ZZ2

103

Sendo d1((1, 1)) = k ∈ ZG, devemos ter d0(k) + d1d0((1, 1)) = 0 ⇔ d0(k) = −d1((s, 1) −(1, 1)) ⇔ d0(k) = −(s, t) + (s, 1) + (1, t) − (1, 1), que e satisfeita se definirmos k =d1((1, 1)) = (s, t) + (1, 1).

3. 0 ZG ZG

d1

��

ZZ2

0 ZG ZG ZZ2

0 ZG ZG ZZ2

Este d1 deve satisfazer ε◦d1 = (t+1)◦ε, o que ocorre se definirmos d1((1, 1)) = (1, t)+(1, 1).

4. 0 ZG

d1

��

ZG ZZ2

0 ZG ZG ZZ2

0 ZG ZG ZZ2

Sendo d1((1, 1)) = k ∈ ZG, devemos ter d0(k) + d1d0((1, 1)) = 0 ⇔ d0(k) = −d1((s, 1) −(1, 1)) ⇔ d0(k) = −(s, t) − (s, 1) + (1, t) + (1, 1), que e satisfeita se definirmos k =d1((1, 1)) = (s, t)− (1, 1).

Tendo calculado os homomorfimos d1, nao e difıcil ver que d2 = 0 satisfaz as condicoes doLema 1.12, e e claro que dk = 0 para k > 2. Assim, usando o Teorema 1.13, obtemos a seguinteresolucao livre de Z como ZG-modulo trivial:


· · · // Pndn

// Pn−1dn−1

// · · · // P2d2

// P1d1

// P0ε

//Z

// 0,

em que P0∼= ZG e o modulo livre gerado por α0 e, para n ≥ 1, Pn

∼= ZG⊕ZG e o modulo livregerado pelos elementos αn e βn Os homomorfismos ε e dn sao definidos por

ε(α0) = 1,

d1(α1) = ((s, 1) − (1, 1))α0,

d1(β1) = ((1, t) − (1, 1))α0,

d2k(α2k) = ((s, t) + (1, 1))α2k−1 + ((s, 1) − (1, 1))β2k−1, se k ≥ 1,

d2k(β2k) = ((1, t) + (1, 1))β2k−1, se k ≥ 1,

d2k+1(α2k+1) = ((s, t) − (1, 1))α2k + ((s, 1) − (1, 1))β2k , se k ≥ 1,

d2k+1(β2k+1) = ((1, t) − (1, 1))β2k , se k ≥ 1.

Observamos que a resolucao acima, exceto pelo modulo P0 e pelo homomorfismo d1, eperiodica de perıodo 2. De posse dessa resolucao, podemos entao calcular os grupos H∗(G,Z),sendo Z o G-modulo trivial:

Teorema 4.4 Os grupos de cohomologia H∗(G,Z) sao dados por

Hk(G,Z) ∼=

Z, se k = 0,

0, se k e ımpar,

Z2 ⊕ Z2, se k ≥ 2 e k e par.

104

Alem disso, um gerador para H0(G,Z) e a classe do homomorfismo α∗0 e um par de geradores

para o grupo H2k(G,Z), para k ≥ 1, sao as classes dos homomorfismos α∗2k e β∗2k, em que os

elementos αn, βn sao aqueles definidos na Proposicao 4.3.

Demonstracao: Aplicando o funtor HomZG( ,Z) a resolucao livre obtida na Proposicao 4.3,obtemos

HomZG(P0,Z)d∗1

// HomZG(P1,Z)d∗2

// HomZG(P2,Z)d∗3

//

d∗3

// HomZG(P3,Z)d∗4

// HomZG(P4,Z)d∗5

// · · ·

Em primeiro lugar, temos d∗1 = 0. De fato, se u ∈ HomZG(P0,Z), entao (d∗1u)(α1) =u(d1(α1)) = u((s, 1)α0 − α0) = 0, pois Z e um modulo trivial. Analogamente, (d∗1u)(β1) = 0.Portanto H0(G,Z) ∼= HomZG(P0,Z) ∼= Z. Um gerador para H0(G,Z) e a classe do homomor-fismo α∗

0.

Se u ∈ HomZG(P1,Z), entao (d∗2u)(α2) = u((s, t)α1 + α1 + (s, 1)β1 − β1) = 2u(α1), e(d∗2u)(β2) = u((1, t)β1 + β1) = 2u(β1). Assim, usando o isomorfismo HomZG(P1,Z) ∼= Z ⊕ Z,podemos identificar o homomorfismo d∗2 : Z ⊕ Z → Z ⊕ Z, que e dado por d∗2(x, y) = (2x, 2y),para todos x, y ∈ Z. Como este homomorfismo e injetor, segue que H1(G,Z) = 0.

Por uma razao analoga a que ocorreu com d∗1, temos d∗3 = 0, portanto H2(G,Z) ∼=ker d∗3im d∗2

=

Z⊕ Z

2Z⊕ 2Z∼= Z2 ⊕ Z2. Um par de geradores para o grupo H2(G,Z) sao as classes dos homomor-

fismos α∗2 e β∗2 .

Dada a periodicidade da resolucao obtida, o teorema segue.

Procedemos agora a obtencao de uma homotopia de contracao para a resolucao livre P dadapela Proposicao 4.3, que nos permitira construir uma aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗P .

Lema 4.5 Uma homotopia de contracao para a resolucao dada na Proposicao 4.3 e dada peloshomomorfismos de grupos abelianos

s−1 : Z → P0,

sn : Pn → Pn+1,

dados por

s−1(1) = α0,

s0((sk, 1)α0) =

∂(sk, 1)

∂(s, 1)α1,

s0((sk, t)α0) =

∂(sk, 1)

∂(s, 1)α1 + (sk, 1)β1,

sn((sk, 1)αn) = 0,

sn((sk, 1)βn) = 0,

sn((sk, t)αn) = (sk−1, 1)αn+1,

sn((sk, t)βn) = (sk, 1)βn+1.

105

Demonstracao: A verificacao de que d1s0 + s−1ε = idP0procede de modo identico ao da

demonstracao da Proposicao 1.10. Resta-nos entao verificar que d2s1+s0d1 = idP1, d3s2+s1d2 =

idP2e d4s3 + s2d3 = idP3

, dada a periodicidade da resolucao livre obtida na Proposicao 4.3.Temos

d2s1((sk, 1)α1) + s0d1((s

k, 1)α1) = s0((sk+1, 1)α0 − (sk, 1)α0) = (sk, 1)α1,

d2s1((sk, 1)β1) + s0d1((s

k, 1)β1) = s0((sk, t)α0 − (sk, 1)α0) = (sk, 1)β1,

d2s1((sk, t)α1) + s0d1((s

k, t)α1) = (sk, t)α1 + (sk−1, 1)α1 + (sk, 1)β1 − (sk−1, 1)β1+

∂(sk−1, 1)

∂(s, 1)α1 + (sk−1, 1)β1 −

∂(sk, 1)α1

∂(s, 1)α1 − (sk, 1)β1 = (sk, t)α1

e

d2s1((sk, t)β1) + s0d1((s

k, t)β1) = (sk, t)β1 + (sk, 1)β1+

+∂(sk, 1)

∂(s, 1)α1 −

∂(sk, 1)

∂(s, 1)α1 − (sk, 1)β1 = (sk, t)β1,

o que mostra que d2s1 + s0d1 = idP1. Tambem temos

d3s2((sk, 1)α2) + s1d2((s

k, 1)α2) = s1((sk+1, t)α1 + (sk, 1)α1 + (sk+1, 1)β1 − (sk, 1)β1) =

= (sk, 1)α2,

d3s2((sk, 1)β2) + s1d2((s

k, 1)β2) = s1((sk, 1)β1 + (sk, 1)β1) = (sk, 1)β2,

d3s2((sk, t)α2) + s1d2((s

k, t)α2) = (sk, t)α2 − (sk−1, 1)α2 + (sk, 1)β2 − (sk−1, 1)β2+

+(sk−1, 1)α2 + (sk−1, 1)β2 − (sk, 1)β2 = (sk, t)α2

e

d3s2((sk, t)β2) + s1d2((s

k, t)β2) = (sk, t)β2 − (sk, 1)β2 + (sk, 1)β2 = (sk, t)β2,

logo d3s2 + s1d2 = idP2. Finalmente, temos tambem

d4s3((sk, 1)α3) + s2d3((s

k, 1)α3) = s2((sk+1, t)α2) = (sk, 1)α3,

d4s3((sk, 1)β3) + s2d3((s

k, 1)β3) = s2((sk, t)β2) = (sk, 1)β3,

d4s3((sk, t)α3) + s2d3((s

k, t)α3) = (sk, t)α3 + (sk−1, 1)α3 + (sk, 1)β3 − (sk−1, 1)β3−

−(sk−1, 1)α3 + (sk−1, 1)β3 − (sk, 1)β3 = (sk, t)α3

e

d4s3((sk, t)β3) + s2d3((s

k, t)β3) = (sk, t)β3 + (sk, 1)β3 − (sk, 1)β3 = (sk, t)β3,

mostrando que d4s3 + s2d3 = idP3.

A obtencao da aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗P e imediata a partir das Proposicoes1.16 e 1.17 uma vez que temos a homotopia de contracao da resolucao.

106

Proposicao 4.6 Uma aproximacao da diagonal ∆: P → P ⊗ P para a resolucao obtida naProposicao 4.3 e dada parcialmente por

∆0 : P0 → (P ⊗ P )0

∆0(α0) = α0 ⊗ α0,

∆0n : Pn → P0 ⊗ Pn (para n ≥ 1)

∆0n(αn) = α0 ⊗ αn,

∆0n(βn) = α0 ⊗ βn,

∆1n : Pn+1 → P1 ⊗ Pn (para n ≥ 1)

∆1n(αn+1) = α1 ⊗ (s, t)αn + (s, 1)β1 ⊗ (s, t)αn + α1 ⊗ (s, 1)βn,

∆1n(βn+1) = β1 ⊗ (1, t)βn,

∆2n : Pn+2 → P2 ⊗ Pn (para n ≥ 1)

∆2n(αn+2) = α2 ⊗ αn + β2 ⊗ αn + α2 ⊗ (1, t)βn,

∆2n(βn+2) = β2 ⊗ βn.

Demonstracao: O calculo de ∆0 e imediato. Tambem e imediato, a partir da Proposicao 1.17,que ∆01(α1) = α0⊗α1 e ∆01(β1) = α0⊗β1. Supondo que ∆0n(αn) = α0⊗αn e ∆0n(βn) = α0⊗βnpara um certo n ≥ 1 e denotando por πij : (P ⊗ P )i+j → Pi ⊗ Pj a projecao, temos, de acordocom a Proposicao 1.17,

∆0(n+1)(αn+1) = π0(n+1)sn∆ndn+1(αn+1)

= π0(n+1)sn∆0n((s, t)αn ± αn + (s, 1)βn − βn)

= π0(n+1)sn((s, t)α0 ⊗ (s, t)αn ± α0 ⊗ αn + (s, 1)α0 ⊗ (s, 1)βn − α0 ⊗ βn)

= α0 ⊗ αn+1,

∆0(n+1)(βn+1) = π0(n+1)sn∆ndn+1(βn+1)

= π0(n+1)sn∆0n((1, t)βn ± βn)

= π0(n+1)sn((1, t)α0 ⊗ (1, t)βn ± α0 ⊗ βn)

= α0 ⊗ βn+1,

o que prova que ∆0n(αn) = α0 ⊗ αn e ∆0n(βn) = α0 ⊗ βn para todo n ≥ 1. Quanto aoshomomorfismo ∆1n e ∆2n, temos

∆1n(αn+1) = π1nsn∆ndn+1(αn+1)

= π1nsn∆0n((s, t)αn ± αn + (s, 1)βn − βn)

= π1nsn((s, t)α0 ⊗ (s, t)αn ± α0 ⊗ αn + (s, 1)α0 ⊗ (s, 1)βn − α0 ⊗ βn)

= α1 ⊗ (s, t)αn + (s, 1)β1 ⊗ (s, t)αn + α1 ⊗ (s, 1)βn,

∆1n(βn+1) = π1nsn∆ndn+1(βn+1)

= π1nsn∆0n((1, t)βn ± βn)

= π1nsn((1, t)α0 ⊗ (1, t)βn ± α0 ⊗ βn)

= β1 ⊗ (1, t)βn

107

e

∆2n(αn+2) = π2nsn+1∆n+1dn+2(αn+2)

= π2nsn+1∆1n((s, t)αn+1 ± αn+1 + (s, 1)βn+1 − βn+1)

= π2nsn+1((s, t)α1 ⊗ αn + (1, t)β1 ⊗ αn + (s, t)α1 ⊗ (1, t)βn±

± α1 ⊗ (s, t)αn ± (s, 1)β1 ⊗ (s, t)αn ± α1 ⊗ (s, 1)βn+

+ (s, 1)β1 ⊗ (s, t)βn − β1 ⊗ (1, t)βn)

= α2 ⊗ αn + β2 ⊗ αn + α2 ⊗ (1, t)βn,

∆2n(βn+2) = π2nsn+1∆n+1dn+2(βn+2)

= π2nsn+1((1, t)β1 ⊗ βn ± β1 ⊗ (1, t)βn)

= β2 ⊗ βn.

Teorema 4.7 No anel H∗(G,Z),

[β∗2 ]⌣ : H2k(G,Z) → H2k+2(G,Z)

e um isomorfismo que leva [α∗2k] e [β∗2k] em [α∗

2k+2] e [β∗2k+2], respectivamente, se k ≥ 1. Os

elementos [α∗2k] e [β∗2k] sao os geradores de H2k(G,Z), de acordo com o Teorema 4.4.

Demonstracao: Sabemos, pelo Teorema 4.4, que um par de geradores para o grupoH2k(G,Z) ∼=Z2 ⊕ Z2 e [α∗

2k], [β∗2k]. A Proposicao 4.6 nos permite entao calcular, usando o isomorfismoZ⊗ Z ∼= Z:

(β∗2 ⌣ α∗2k)(α2k+2) = (β∗2 × α∗

2k)(∆2(2k)(α2k+2))

= (β∗2 × α∗2k)(α2 ⊗ α2k + β2 ⊗ α2k + α2 ⊗ (1, t)β2k) = 1⊗ 1,

(β∗2 ⌣ α∗2k)(β2k+2) = (β∗2 × α∗

2k)(∆2(2k)(β2k+2))

= (β∗2 × α∗2k)(β2 ⊗ β2k) = 0,

logo [β∗2 ]⌣ [α∗2k] = [α∗

2k+2]. Analogamente, temos

(β∗2 ⌣ β∗2k)(α2k+2) = 0,

(β∗2 ⌣ β∗2k)(β2k+2) = 1⊗ 1,

logo [β∗2 ]⌣ [β∗2k] = [β∗2k+2]. Logo

[β∗2 ]⌣ : H2k(G,Z) → H2k+2(G,Z)

e um isomorfismo que leva [α∗2k] e [β∗2k] em [α∗

2k+2] e [β∗2k+2], respectivamente, se k ≥ 1.

108

4.3 O anel de cohomologia de G = Z ⋊ Z2n

Consideraremos nesta secao o grupo G = Z ⋊ Z2n∼= Z2n ∗Zn Z2n, que e um grupo do tipo

II um pouco mais geral que o da secao anterior. Para o calculo de seu anel de cohomologia,sera mais simples utilizarmos a sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre ao inves deutilizarmos o metodo da aproximacao da diagonal de uma resolucao projetiva. Nao e claro ograu de dificuldade para se obter a cohomologia de G usando os metodos da secao anterior.

Denotando por s um gerador de Z e por t um gerador de Z2n, a acao θ : Z2n → Aut(Z) edada por θ(t)(s) = s−1.

A sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre associada a sequencia exata

1 //Z

// Z ⋊ Z2// Z2n

// 1

para a cohomologia de G com coeficientes Z e tal que Ep,q2 = Hp(Z2n,H

q(Z,Z)). Como Z elivre, sabemos que Ep,q

2 so pode ser nao nulo para q = 0 ou q = 1.Considere a resolucao livre de Z como ZZ-modulo trivial

0 //ZZ

s−1//ZZ

ε//Z

// 0.

Para determinarmos a acao de Z2n sobre Hq(Z,Z), procuramos homomorfismos τ0 e τ1 tais que

0 //ZZ

s−1//

τ1

��

ZZε

//

τ0

��

Z// 0

0 // ZZs−1

// ZZ ε// Z // 0

seja comutativo e satisfacam τ0(sx) = (θ(t)(s))τ0(x) = s−1τ0(x), τ1(sx) = (θ(t)(s))τ1(x) =s−1τ1(x), o que ocorre ao definirmos τ0(1) = 1 e τ1(1) = −s−1. Logo, as induzidas

τ∗0 : HomZZ(ZZ,Z) → HomZZ(ZZ,Z) e

τ∗1 : HomZZ(ZZ,Z) → HomZZ(ZZ,Z)

sao tais que, fazendo a identificacao HomZZ(ZZ,Z) ∼= Z, τ∗0 e a identidade e τ∗1 e a multiplicacaopor −1. Portanto

Ep,q2 =

{

Hp(Z2n,Z), se q = 0,

Hp(Z2n, Z), se q = 1,

em que Z denota o ZZ2n-modulo trivial e Z denota o ZZ2n-modulo nao trivial. Assim, a partirda resolucao livre de Z como ZZ2n-modulo trivial

· · · // ZZ2nN2n

// ZZ2nt−1

// ZZ2nε

//Z

// 0, (4.2)

em que N2n = 1 + t+ · · ·+ t2n−1, obtemos

Ep,02 =

Z, se p = 0,

0, se p e ımpar,

Z2n, se p = 2k, k > 0,

e Ep,12 =

{

0, se p e par,

Z2n, se p e ımpar.

Assim, E2 = E∞ e temos imediatamente que Hk(G,Z) ∼= Z para k = 0 e Hk(G,Z) = 0 para kımpar. Ainda, para k > 0, temos uma sequencia exata de grupos abelianos

0 // Z2n// H2k(G,Z) // Z2n

// 0. (4.3)

109

Observando que existe uma secao Z2n → Z ⋊ Z2n, a sequencia exata de grupos

1 // Z // Z ⋊ Z2n// Z2n

// 1

cinde, portanto (4.3) cinde e

H2k(G,Z) = H2k(Z2n,Z)⊕H2k−1(Z2n, Z) ∼= Z2n ⊕ Z2n.

Sabemos que, no anel de cohomologia H∗(Z2n,Z), se β2 ∈ HomZZ2n(ZZ2n,Z) e tal que

β2(1) = 1, entao [β2] ∈ H2(Z2n,Z) gera H2(Z2n,Z) e [β2]k e um gerador de H2k(Z2n,Z).

Consideremos agora o produto

H2(Z2n,Z)⊗H2k−1(Z2n, Z)⌣→ H2k+1(Z2n,Z ⊗ Z) ∼= H2k+1(Z2n, Z),

em que H2(Z2n,Z) ⊂ H2(G,Z) e H2k−1(Z2n, Z) ⊂ H2k(G,Z). Uma aproximacao da diagonalpara a resolucao P dada pela equacao (4.2), em que Pm = ZZ2n, e ∆pq : Pp+q → Pp⊗Pq definida(veja [Bro82]) por

∆pq(1) =

1⊗ 1, se p e par,

1⊗ t, se p e ımpar, q e par,∑

0≤i<j≤m−1

ti ⊗ tj, se p e q sao ımpares.(4.4)

Assim, se α2k ∈ HomZZ2n(ZZ2n,Z) e tal que α2k(1) = 1, entao [α2k] e um gerador do grupo

H2k−1(Z2n, Z) e(β2 ⌣ α2k)(1) = β2(1)⊗ α2k(1) = 1⊗ 1.

Portanto, fazendo a identificacao Z⊗ Z ∼= Z, temos que, em H∗(G,Z),

[β2]⌣ [α2k] = [α2k+2] + γ,

com γ ∈ H2k+2(Z2n,Z), e a ordem de [α2k+2]+γ no grupo abeliano H2k+2(G,Z) e 2n. Portanto

[β2]⌣ : H2k(G,Z) → H2k+2(G,Z)

e um isomorfismo para todo k > 0.Para passarmos para a estrutura multiplicativa em H∗(G,Z), vamos definir certos elementos

baseados no conhecimentos dos produtos em E∞. Sendo p : Z ⋊ Z2n → Z2n a projecao es : Z2n → Z⋊ Z2n a secao, entao a sequencia

Z2ns

// Z ⋊ Z2np

// Z2n

e tal que ps = id, logo temos uma sequencia

H2k(Z2n,Z)p∗

// H2k(G,Z)s∗

// H2k(Z2n,Z)

tal que s∗p∗ = id para todo k > 0. Seja β2 ∈ H2(G,Z) definido por β2 = [β2], de modo queβk2 e um gerador de H2k(Z2n,Z) ⊂ H2k(G,Z). Podemos supor, sem perda de generalidade, quep∗(βk2 ) = βk2 , logo s

∗(βk2 ) = βk2 .Seja α2 ∈ H2(G,Z) um elemento tal que o par β2, α2 gere H2(G,Z) e tal que s∗(α2) = 0.

Para k ≥ 2, definimos

α2k = β2k−1

⌣ α2 ∈ H2k(G,Z).

110

Com esta definicao, temos s∗(α2k) = s∗(β2k−1

⌣ α2) = s∗(β2k−1

) ⌣ s∗(α2) = 0. Alem disso,pela estrutura multiplicativa em E∞, temos, para k, j > 0,

α2k ⌣ α2j = xβk+j2

para algum x ∈ Z. Mas a igualdade acima implica que

s∗(xβk+j2 ) = 0 ⇔ x = 0,

logo α2k ⌣ α2j = 0.Resumimos os resultados desta secao no seguinte teorema:

Teorema 4.8 Seja G = Z ⋊ Z2n. Os grupos de cohomologia H∗(G,Z) sao dados por

Hk(G,Z) ∼=

Z, se k = 0,

0, se k e ımpar,

Z2n ⊕ Z2n, se k e par e positivo.

Alem disso, existem β2, α2 ∈ H2(G,Z) que geram H2(G,Z) e tais que, para todo k > 0, o grupoH2k(G,Z) e gerado pelos elementos

βk2 e α2k = β2k−1

⌣ α2.

Com estas definicoes, temos que

β2 ⌣ : H2k(G,Z) → H2k+2(G,Z)

e um isomorfismo para todo k positivo e para o qual as imagens de βk2 e α2k sao, respectivamente,βk+12 e α2(k+1). Finalmente, α2k ⌣ α2j = 0 para k e j positivos.

4.4 O anel de cohomologia de G = (Za ⋊α Zb)⋊θ Z

Nesta secao daremos continuidade ao trabalho desenvolvido em [Soa08], no qual foram calcu-lados os grupos de cohomologia do grupo G = (Za ⋊α Zb) ⋊θ Z com coeficientes Z triviais.Determinaremos nesta secao tambem a estrutura multiplicativa dada pelo produto cup.

Sejam a, b ∈ Z tais que mdc(a, b) = 1, e seja G = (Za⋊αZb)⋊θZ. O grupo Zb age sobre Za deacordo com α : Zb → Aut(Za) em que α(1b)(1a) = r ·1a (portanto devemos ter rb ≡ 1 (mod a)),e o grupo Z age sobre Za⋊αZb de acordo com θ : Z → Aut(Za⋊α Zb), em que θ(1)(1a) = ca · 1ae θ(1)(1b) = c · 1a + cb · 1b. Os inteiros c, ca e cb sao escolhidos conforme [GG05].

Se considerarmos a sequencia exata de grupos

1 // Za// (Za ⋊α Zb) // Zb

// 1,

a sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre para a cohomologia de Za ⋊α Zb com coefi-cientes Z e tal que

Ep,q2 = Hp(Zb,H

q(Za,Z)) ⇒ Hp+q(Za ⋊ Zb,Z).

Sendo assim, a fim de determinarmos H∗(Za ⋊ Zb,Z), temos que determinar como Zb agesobre Hq(Za,Z). Em primeiro lugar, como podemos encontrar em [HS97], temos

Hn(Za,Z) =

Z, se n = 0,

Za, se n > 0 e par,

0, se n e ımpar,

e Hn(Zb,Z) =

Z, se n = 0,

Zb, se n > 0 e par,

0, se n e ımpar.

111

Ainda, se o gerador de Zb age sobre H2k(Za,Z) ∼= Za atraves da multiplicacao por um inteiros, prova-se em [AM04] que

Hj(Zb,Za) =

{

Zδ, se j = 0,

0, se j 6= 0,

em que δ = mdc(s − 1, a). Vejamos entao como H2k(Za,Z) e um ZZb-modulo. A aplicacaoα = α(1b) : Za → Za induz α∗ : H2k(Za,Z) → H2k(Za,Z). Usando a notacao Za = 〈t | ta = 1〉,considere o diagrama

· · · // ZZaNa

//

τ2

��

ZZat−1

//

τ1

��

ZZaε

//

τ0

��

Z //

id

0

· · · // ZZaNa

// ZZa t−1// ZZa ε

// Z // 0

Pela comutatividade do quadrado da direita, devemos ter τ0(tx) = α(t)τ0(x) = trτ(x) e (ε ◦τ0)(1) = ε(1) = 1 ⇔ ε(τ0(1)) = 1. Tomamos entao τ0(t

k) = trk (na verdade, basta definirτ0(1) = 1).

Pela comutatividade do quadrado do meio, temos (t − 1)τ1(x) = τ0((t − 1)x) = trτ0(x) −τ0(x) ⇒ (t− 1)τ1(1) = tr − 1. Definimos entao τ1(1) = 1 + t+ · · · + tr−1.

Finalmente, pela comutatividade do quadrado da direita (recorde queNa = 1+t+· · ·+ta−1),temos (Na ◦ τ2)(1) = (τ1 ◦Na)(1) ⇔ (1 + t+ · · ·+ ta−1)τ2(1) = (1 + tr + t2r + · · ·+ tr(a−1))(1 +t+ · · ·+ tr−1), o que nos leva a definir

τ2(1) =tra − 1

tr − 1·t− 1

ta − 1·tr − 1

t− 1= 1 + ta + · · ·+ ta(r−1).

No nıvel de cadeia, τ∗2 : HomZZa(ZZa,Z) → HomZZa(ZZa,Z) e tal que τ∗2 (ϕ(x)) = ϕ(τ2(x)) =ϕ((1 + ta + · · · + ta(r−1)x) = rϕ(x), pois Z e modulo trivial. Portanto τ∗2 e a multiplicacao porr, e o mesmo ocorre quando passamos para H2(ZZa,Z).

Como H∗(Za,Z) e gerada pelas potencias de um gerador de H2(Za,Z), temos que a acaodo gerador de Zb sobre H

2k(Za,Z) e a multiplicacao por rk.

Portanto a sequencia espectral para a cohomologia de Za ⋊α Zb e tal que

Ep,q∞ = Ep,q

2 =

Z, se p = q = 0,

Zδi , se p = 0 e q = 2j com i ≡ j (mod d),

Zb, se q = 0 e p > 0 e par,

0, caso contrario,

em que δi = mdc(ri − 1, a) e d = orda r = mın{ℓ ≥ 1 : rℓ ≡ 1 (mod a)}. Portanto

Hn(Za ⋊α Zb,Z) =

Z, se n = 0,

Zδi ⊕ Zb∼= Zδib, se n = 2j com i ≡ j (mod d),

0, caso contrario.

Uma vez calculados os grupos H∗(Za ⋊ Zb,Z), partimos agora para o calculo dos gruposH∗(G,Z). A sequencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre associada a sequencia exata degrupos

1 // (Za ⋊α Zb) // G //Z

// 0

112

e tal que

Ep,q∞ = Ep,q

2 =

Hq(Za ⋊α Zb,Z)Z, se p = 0,

Hq(Za ⋊α Zb,Z)Z, se p = 1,

0, se p ≥ 2,

(4.5)

pois Hn(Z, ) = 0 para n ≥ 2 uma vez que Z e um grupo livre. Na equacao acima, usamos aseguinte notacao: para um ZZ-modulo M qualquer, definimos

MZ = {m ∈M : z ·m = m ∀z ∈ Z},

MZ =M

{(z ·m−m) ∈M : z ∈ Z},

e a partir da resolucao livre

0 //ZZ

s−1////ZZ

ε//Z

// 0,

fica claro que H0(Z,M) = MZ e H1(Z,M) = MZ. Como os termos Ep,q∞ da equacao (4.5) sao

nulos quando q e ımpar, temos entao

Hn(G,Z) =

{

Hn(Za ⋊α Zb,Z)Z, se n e par,

Hn(Za ⋊α Zb,Z)Z, se n e ımpar.

Prova-se em [Soa08] que, ao escrevermos

H2i(Za ⋊α Zb) = H0(Zb,H2i(Za,Z))⊕H2i(Zb,H

0(Za,Z)),

o grupo Z age sobre H0(Zb,H2i(Za,Z)) ∼= Zδi atraves da multiplicacao por cia e age sobre

H2i(Zb,H0(Za,Z)) ∼= Zb atraves da multiplicacao por cib. Portanto, se definirmosAj = mdc(cja−

1, δi) com i ≡ j (mod d) e Bj = mdc(cjb − 1, b), obtemos

Hn(G,Z) ∼=

{

Z, se n = 0 ou n = 1,

ZAj⊕ ZBj

, se n = 2j ou n = 2j + 1 (e j > 0),(4.6)

pois, para um grupo cıclico finito Zm no qual Z age, temos (Zm)Z ∼= (Zm)Z.

A fim de determinarmos o anel de cohomologia H∗(G,Z), precisamos de um representantepara as classes geradoras de cada um dos grupos Hn(G,Z). Para n = 0, denotaremos a classepor 1 (pois e o elemento neutro multiplicativo de H∗(G,Z)). Para n = 1, um representantepara a classe geradora de

H1(Z,H0(Za ⋊α Zb,Z)) ∼= Z

e o homomorfismo η : Z[Za ⋊α Zb] → Z de Z[Za⋊α Zb]-modulos tal que η(1) = 1. Mais especifi-camente, se η : ZZ → H0(Za ⋊α Zb,Z) e o ZZ-homomorfismo tal que η(1) = [η], entao [η] geraH1(Z,H0(Za ⋊α Zb,Z)), e [η] e o elemento neutro em H0(Za ⋊α Zb,Z).

Para n ≥ 2, precisamos de representantes das classes geradoras dos seguintes grupos (parai > 0):

1. H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))) = H0(Zb,H

2i(Za,Z))Z

2. H0(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))) = H2i(Zb,H

0(Za,Z))Z

3. H1(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))) = H0(Zb,H

2i(Za,Z))Z

113

4. H1(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))) = H2i(Zb,H

0(Za,Z))Z

Em primeiro lugar, vamos obter um representante de

H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))) = H0(Zb,H

2i(Za,Z))Z.

Sabemos que Zb atua sobre H2i(Za,Z) atraves da multiplicacao por ri − 1, logo

H0(Zb,H2i(Za,Z))

Z ∼= (Zδi)Z,

em que podemos fazer a identificacao

Zδi = {x ∈ Za : rix ≡ x (mod a)} = {x ∈ Za : x ≡ 0 (mod a/δi)}

= {x ∈ Za : x = (ka)/δi, k ∈ Z}.

Como Z age sobre Zδi atraves da multiplicacao por cia − 1, temos entao

(Zδi)Z = {x ∈ Zδi : (cia − 1)x ≡ 0 (mod a)}

= {x ∈ Zδi : (cia − 1)x ≡ 0 (mod a) e x = (ka)/δi, k ∈ Z}.

Logo obtemos a equacao(cia − 1)ka

δi≡ 0 (mod a), cujas solucoes sao dadas por

k ≡ 0

(

mod mdc

(

a,a(cia − 1)

δi

))

⇔ k ≡ 0

(

moda

δimdc(δi, c

ia − 1)

)

.

Assim, um representante para a classe geradora de


2i(Za,Z))Z ∼= (Zδi)

Z

e o homomorfismo uia : ZZa → Z dado por

uia(1) =a

δi·

δimdc(δi, (cia − 1))

=a

mdc(δi, cia − 1).

Mais especificamente, se ϕia : ZZb → H2i(Za,Z) e o ZZb-homomorfismo tal que ϕi

a(1) = [uia] ese ϕi

a : ZZ → H0(Zb,H2i(Za,Z)) e o ZZ-homomorfismo tal que ϕi

a(1) = [ϕia], entao [ϕi

a] e umaclasse geradora de


2i(Za,Z))Z ∼= (Zδi)

Z.

De maneira analoga, obtemos que um representante para a classe geradora de

H0(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))) = H2i(Zb,H

0(Za,Z))Z ∼= (Zb)

Z

e o homomorfismo uib : ZZa → Z tal que

uib(1) =b

mdc(b, cib − 1),

e definimos ϕib : ZZb → H0(Za,Z) e ϕ

ib : ZZ → H2i(Zb,H

0(Za,Z)) de modo analogo a ϕia e ϕi

a.

Para determinarmos um representante para a classe geradora de


2i(Za,Z))Z ∼= (Zδi)Z,

114

o raciocınio que fizemos acima para determinar o homomorfismo uia mostra que o representanteprocurado e o homomorfismo via : ZZa → Z dado por

via(1) =a

δi.

Similarmente, um representante para a classe geradora de

H1(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))) = H2i(Zb,H

0(Za,Z))Z = (Zb)Z

e o homomorfismo vib : ZZa → Z dado por

vib(1) = 1.

Os homomorfismos ψia, ψ

ia, ψ

ib e ψ

ib sao definidos de forma analoga a ϕi

a, ϕia, ϕ

ib e ϕ

ib.

Finalmente, para calcularmos o produto cup no anel de cohomologia H∗(G,Z), precisaremosde uma aproximacao da diagonal ∆n : Fn → (F ⊗ F )n, em que

0 //ZZ

s−1//ZZ

ε//Z

// 0

F1 F0

Esta aproximacao da diagonal e dada, usando a Proposicao 1.17, por

∆0 : F0 → F0 ⊗ F0

∆0(1) = 1⊗ 1,

∆1 : F1 → (F1 ⊗ F0)⊕ (F0 ⊗ F1)

∆1(1) = 1⊗ s︸︷︷︸

F1⊗F0

+ 1⊗ 1︸︷︷︸

F0⊗F1

. (4.7)

Tambem precisaremos de uma aproximacao da diagonal para a resolucao do grupo cıclicoZm = 〈t | tm = 1〉 dada por

· · · // ZZmN

// ZZmt−1

// ZZmN

// ZZmε

// Z // 0,

em que N = 1+ t+ · · ·+ tm−1. Se definirmos Pn = ZZm, o modulo de dimensao n da resolucao,tal aproximacao ∆pq : Pp+q → Pp ⊗ Pq e dada (veja [Bro82]) por

∆pq(1) =

1⊗ 1, se p e par,

1⊗ t, se p e ımpar, q e par,∑

0≤i<j≤m−1

ti ⊗ tj, se p e q sao ımpares.(4.8)

Iniciemos com o produto

H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))) ⊗H0(Z,H0(Zb,H

2j(Za,Z))) →

→ H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))⊗H0(Zb,H

2j(Za,Z))) →

→ H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z)⊗H2j(Za,Z))) →

→ H0(Z,H0(Zb,H2(i+j)(Za,Z))),

115

em que na composicao acima efetuamos os produtos cup emH∗(Z, ), H∗(Zb, ) eH∗(Za, ),e fazemos a identificacao Z⊗Z ∼= Z. Temos portanto, usando as aproximacoes da diagonal (4.7)e (4.8),

(ϕia ⌣ ϕj

a)(1) = ϕia(1)⊗ ϕj

a(1) = [ϕia]⊗ [ϕj

a],

(ϕia ⌣ ϕj

a)(1) = ϕia(1)⊗ ϕj

a(1) = [uia]⊗ [uja],

(uia ⌣ uja)(1) = uia(1)⊗ uja(1) 7→a2

mdc(δi, cia − 1)mdc(δj , cja − 1)

,

de onde segue que

[ϕia]⌣ [ϕj

a] =amdc(δi+j , c

i+ja − 1)


[ϕi+ja ].

Analogamente, o produto

H0(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))) ⊗H0(Z,H2j(Zb,H

0(Za,Z))) →

→ H0(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))⊗H2j(Zb,H

0(Za,Z))) →

→ H0(Z,H2(i+j)(Zb,H0(Za,Z)⊗H0(Za,Z))) →

→ H0(Z,H2(i+j)(Zb,H0(Za,Z)))

e tal que

[ϕib]⌣ [ϕj

b ] =bmdc(b, ci+j

b − 1)

mdc(b, cib − 1)mdc(b, cjb − 1)[ϕi+j

b ].

Quanto ao produto

H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))) ⊗H0(Z,H2j(Zb,H

0(Za,Z))) →

→ H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))⊗H2j(Zb,H

0(Za,Z))) →

→ H0(Z,H2j(Zb,H2i(Za,Z)⊗H0(Za,Z))) →

→ H0(Z,H2j(Zb,H2i(Za,Z))) = 0,

so podemos ter[ϕi

a]⌣ [ϕjb] = 0.

Da mesma forma, os produtos

H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))) ⊗H1(Z,H2j(Zb,H

0(Za,Z))) →

→ H1(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))⊗H2j(Zb,H

0(Za,Z))) →

→ H1(Z,H2j(Zb,H2i(Za,Z)⊗H0(Za,Z))) →

→ H1(Z,H2j(Zb,H2i(Za,Z))) = 0

e

H0(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))) ⊗H1(Z,H0(Zb,H

2j(Za,Z))) →

→ H1(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))⊗H0(Zb,H

2j(Za,Z))) →

→ H1(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z)⊗H2j(Za,Z))) →

→ H1(Z,H2i(Zb,H2j(Za,Z))) = 0

116

so podem ser tais que[ϕi

a]⌣ [ψjb ] = 0, [ϕi

b]⌣ [ψja] = 0.

O produto

H0(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))) ⊗H1(Z,H0(Zb,H

2j(Za,Z))) →

→ H1(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z))⊗H0(Zb,H

2j(Za,Z))) →

→ H1(Z,H0(Zb,H2i(Za,Z)⊗H2j(Za,Z))) →

→ H1(Z,H0(Zb,H2(i+j)(Za,Z)))

e tal que

(ϕia ⌣ ψj

a)(1) = ϕia(1)⊗ ψj

a(1) = [ϕia]⊗ [ψj

a],

(ϕia ⌣ ψj

a)(1) = ϕia(1)⊗ ψj

a(1) = [uia]⊗ [vja],

(uia ⌣ vja)(1) = uia(1) ⊗ vja(1) 7→a2

δimdc(δi, cia − 1),

logo

[ϕia]⌣ [ψj

a] =aδi+j

δj mdc(δi, cia − 1)[ψi+j

a ].

Analogamente, o produto

H0(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))) ⊗H1(Z,H2j(Zb,H

0(Za,Z))) →

→ H1(Z,H2i(Zb,H0(Za,Z))⊗H2j(Zb,H

0(Za,Z))) →

→ H1(Z,H2(i+j)(Zb,H0(Za,Z)⊗H0(Za,Z))) →

→ H1(Z,H2(i+j)(Zb,H0(Za,Z)))

e tal que

[ϕib]⌣ [ψj

b ] =b

mdc(b, cib − 1)[ψi+j

b ].

Finalmente, observando que [η] e o elemento neutro em H0(Za ⋊α Zb,Z), temos tambem

[ϕia]⌣ [η] =

δimdc(δi, cia − 1)

[ψia]

e

[ϕib]⌣ [η] =

b

mdc(b, cib − 1)[ψi

b].

Logo, temos

Teorema 4.9 Seja G = (Za ⋊α Zb)⋊θ Z, com mdc(a, b) = 1, em que as acoes α e θ sao dadaspor

α : Zb → Aut(Za)

α(1b)(1a) = r · 1a

e

θ : Z → Aut(Za ⋊α Zb)

θ(1)(1a) = ca · 1a,

θ(1)(1b) = c · 1a + cb · 1b.

117

Os grupos H∗(G,Z) sao dados por

Hn(G,Z) ∼=

{

Z, se n = 0 ou n = 1,

ZAj⊕ ZBj

, se n = 2j ou n = 2j + 1 (e j > 0),

em que Aj = mdc(cja − 1, δj), δj = mdc(rj − 1, a) e Bj = mdc(cib − 1, b). Alem disso, sendo [η]um gerador de H1(G,Z), [ϕi

a] e [ϕib] geradores de H2i(G,Z) para i > 0 (tais que

⟨[ϕi

a]⟩∼= ZAi

e⟨[ϕi

b]⟩∼= ZBi

) e sendo [ψia] e [ψi

b] geradores de H2i+1(G,Z) para i > 0 (tais que⟨

[ψia]⟩

∼= ZAi

e⟨

[ψib]⟩

∼= ZBi), temos

[ϕia]⌣ [η] =

δimdc(δi, cia − 1)

[ψia],

[ϕib]⌣ [η] =

b

mdc(b, cib − 1)[ψi

b],

[ϕia]⌣ [ϕj

a] =amdc(δi+j , c

i+ja − 1)


[ϕi+ja ],

[ϕib]⌣ [ϕj

b] =bmdc(b, ci+j

b − 1)

mdc(b, cib − 1)mdc(b, cjb − 1)[ϕi+j

b ],

[ϕia]⌣ [ϕj

b ] = 0,

[ϕia]⌣ [ψj

a] =aδi+j

δj mdc(δi, cia − 1)[ψi+j

a ],

[ϕib]⌣ [ψj

b ] =b

mdc(b, cib − 1)[ψi+j

b ],

[ϕia]⌣ [ψj

b ] = 0,

[ϕib]⌣ [ψj

a] = 0.

Alem disso, se d = ordra, dca = orda(ca) e dcb = ordb(cb), e se definirmos p = mmc(d, dca , dcb),entao

([ϕpa] + [ϕp

b ])⌣ : Hn(G,Z) ∼= Hn+2p(G,Z)

e um isomorfismo para todo n ≥ 2.

Demonstracao: Tudo o que resta a ser demonstrado diz respeito a periodicidade dos gruposHn(G,Z). Observando que rp ≡ 1 (mod a), cpa ≡ 1 (mod a) e cpb ≡ 1 (mod b), temos

δp = a,

δp+j = δj ,

mdc(δp+j, cp+ja − 1) = mdc(δj , c

ja − 1),

mdc(b, cp+jb − 1) = mdc(b, cjb − 1).

Logo, as formulas que ja temos para os produtos mostram que, para todo n ≥ 2,

([ϕpa] + [ϕp

b ])⌣ [ϕja] = [ϕp+j

a ],

([ϕpa] + [ϕp

b ])⌣ [ϕjb] = [ϕp+j

b ],

([ϕpa] + [ϕp

b ])⌣ [ψja] = [ψp+j

a ],

([ϕpa] + [ϕp

b ])⌣ [ψjb ] = [ψp+j

b ],

118

provando que([ϕp

a] + [ϕpb ])⌣ : Hn(G,Z) ∼= Hn+2p(G,Z)

e um isomorfismo.

119

Referencias Bibliograficas

[AM04] Alejandro Adem e R. James Milgram. Cohomology of Finite Groups. Springer, 2004.

[Bro82] Kenneth S. Brown. Cohomology of groups. Springer, 1982.

[Eve91] Leonard Evens. The Cohomology of Groups. Oxford Mathematical Monographs, 1991.

[FC63] R. H. Fox e R. H. Crowell. Introduction to Knot Theory. Ginn and Co., Boston, Mass.,1963.

[FH83] Edward Fadell e Sufian Husseini. The Nielsen number on surfaces. Topological Methodsin nonlinear functional analysis, Contemporary Mathematics, 21:59–98, 1983.

[GB08] Daciberg Lima Goncalves e Lucılia D. Borsari. The first group (co)homology of agroup G with coefficients in some G-modules. Quaestiones Mathematicae, 31:89–100,2008.

[GG05] Daciberg Lima Goncalves e Marek Golasinski. Spherical space forms — homotopytypes and self-equivalences for the groups Za ⋊Zb and Za ⋊ (Zb ×Q2i). Topology andits Applications, 146–147:451–470, 2005.

[GG10] Daciberg Lima Goncalves e John Guaschi. The Borsuk-Ulam theorem for maps intoa surface. Topology and its Applications, 157:1742–1759, 2010.

[GG11] Daciberg Lima Goncalves e John Guaschi. The classification of the virtually cyclicsubgroups of the sphere braid groups. http://arxiv.org/abs/1110.6628, 2011.

[GO97] Daciberg Lima Goncalves e Edson de Oliveira. The Lefschetz coincidence number formaps among compact surfaces. Far East Journal Of Math Science, 2:147–166, 1997.

[Hat07] Allen Hatcher. Notes on basic 3-manifold topology. http://www.math.cornell.edu/∼hatcher/3M/3Mfds.pdf, 2007.

[Hil] J. Hillman. Comunicacao privada.

[HS97] Peter J. Hilton e U. Stammbach. A Course in Homological Algebra. Springer, 1997.

[McC01] John McCleary. A User’s Guide to Spectral Sequences. Cambridge University Press,2001.

[Soa08] Marcio de Jesus Soares. Acoes de p-grupos sobre produtos de esferas, cohomologia dosgrupos virtualmente cıclicos (Za ⋊ Zb)⋊ Z e [Za ⋊ (Zb ×Q2i)]⋊ Z e Cohomologia deTate. Tese de Doutorado, USP–Sao Carlos, 2008.

[Tom05] Satoshi Tomoda. Cohomology Rings of Certain 4-Periodic Finite Groups. Tese deDoutorado, University of Calgary, 2005.

121

[TZ08] Satoshi Tomoda e Peter Zvengrowski. Remarks on the cohomology of finite funda-mental groups of 3-manifolds. Geometry & Topology Monographs, 14:519–556, 2008.

[Wal61] C. T. C. Wall. Resolutions for extensions of groups. Mathematical Proceedings of theCambridge Philosophical Society, 57:251–255, 1961.

[Wal67] C. T. C. Wall. Poincare complexes: I. The Annals of Mathematics, 86(2):213–245,1967.

122

Indice Remissivo

anelde grupo, 1

aproximacao da diagonal, 9

calculo de Fox, 6cohomologia

periodica, 102complexo duplo, 11

derivadas de Fox, 6

equivalencia homotopica, 2

filtracao, 12

G-complexo, 5livre, 5

Hn(G,A), 2Hn(G,B), 2homomorfismo

de aumento, 1homotopia, 2

de contracao, 4

modulo bigraduado diferencial, 11

produtocross, 9cup, 9

sequencia espectral, 11Shapiro

Lema de, 7Suzuki-Zassenhaus

Teorema de, 102

tipo Igrupo infinito virtualmente cıclico de, 101

tipo IIgrupo infinito virtualmente cıclico de, 101

virtualmente cıclicogrupo, 101

ZG-modulo, 1

123

S´ergio Tadao Martins · 2013. 2. 27. · Uma copia da versa˜o original esta´ dispon´ıvel no...

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