PROBABILIDADES

RICARDO S. EHLERS

Departamento de Matematica Aplicada e Estatıstica

Universidade de Sao Paulo.

Definicao de probabilidade

A cada possıvel evento A ⊆ S (espaco amostral) pode-

mos associar um numero real Pr(A) denominado probabil-

idade do evento A tal que,

1. 0 ≤ Pr(A) ≤ 1,

2. Pr(S) = 1,

3. Pr(A1 ∪ A2) = Pr(A1) + Pr(A2) se A1 ∩ A2 = ∅.

A propriedade (3) pode ser generalizada,

Pr(A1∪A2∪· · ·∪An) = Pr(A1)+Pr(A2)+· · ·+Pr(An),

se Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j.

Outras propriedades,

1. Pr(A) = 1− Pr(A) onde A e o complementar de A.

2. Pr(A ∪ A) = 1 e Pr(∅) = 0.

3. Se A ⊂ B entao Pr(A) ≤ Pr(B).

4. Pr(A ∪B) = Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B).

1

Probabilidade Condicional

Para dois eventos A e B, sendo que Pr(B) > 0,

Pr(A|B) =Pr(A ∩B)

Pr(B).

Todas as propriedades continuam validas. Por exemplo,

Pr(A | B) = 1− Pr(A | B).

Regra do produto de probabilidades,

Pr(A ∩B) = Pr(A|B)Pr(B).

� Pr(A ∩ B) ou Pr(A,B) e a probabilidade conjunta

dos eventos A e B.

� Pr(A) e Pr(B) sao as probabilidades marginais.

2

Independencia

Dois eventos A e B sao independentes se e somente se

Pr(A|B) = Pr(A) e Pr(B|A) = Pr(B)

ou equivalentemente,

Pr(A ∩B) = Pr(A)Pr(B).

O conceito de independencia pode ser estendido a um

numero qualquer de eventos,

Pr(A1 ∩ · · · ∩ Ak) = Pr(A1) . . . P r(Ak)

se somente se os eventos A1, . . . , Ak forem independentes.

3

Teorema de Bayes

Sejam A1, A2, . . . , Ak tais que,

A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak = S e Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j.

Qualquer outro evento B pode ser escrito como

B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ · · · ∪ (B ∩ Ak)

e Pr(B∩Aj) = Pr(B|Aj)Pr(Aj), j = 1, . . . k e portanto

podemos escrever que

Pr(B) = Pr(B ∩ A1) + Pr(B ∩ A2) + · · · + Pr(B ∩ Ak)

= Pr(B|A1)Pr(A1) + Pr(B|A2)Pr(A2) + . . .

+ Pr(B|Ak)Pr(Ak)

=

k∑

j=1

Pr(B|Aj)Pr(Aj).

Em muitas aplicacoes conhecemos as probabilidades do

lado direito desta igualdade e estaremos interessados em

calcular a probabilidade de um dos eventos Ai ocorrer dado

que B ocorreu, isto e

Pr(Ai|B) =Pr(Ai ∩ B)

Pr(B)=

Pr(B|Ai)Pr(Ai)∑k

j=1 Pr(B|Aj)Pr(Aj).

Chamamos esta ultima igualdade de Teorema de Bayes

ou regra de Bayes, que nos mostra como atualizar a nossa

crenca no evento Ai apos receber novas informacoes (i.e.

4

que B ocorreu).

5

Assim,

� Pr(Ai) e a probabilidade a priori do eventoAi, porque

antecede a informacao sobre o evento B.

� Pr(Ai|B) e a probabilidade a posteriori do evento Ai

porque e calculada apos termos informacao sobre B.

� Para um valor especıfico de B, Pr(B|Ai) e chamada

funcao de verossimilhanca de Ai.

6

Variaveis Aleatorias Discretas

Uma v.a. discreta caracteriza-se por sua funcao de prob-

abilidade e assume valores (x1, x2, . . . ) em um conjunto

finito ou infinito enumeravel.

� Pr(X ∈ A) =∑

xi∈APr(X = xi), para um conjunto A

qualquer.

�

∑

i Pr(X = xi) = 1.

� E(Xm) =∑

i xmi Pr(X = xi)

� E(X) =∑

i xiPr(X = xi) = µX .

� V ar(X) =∑

i Pr(X = xi) (xi − µX)2.

� Funcao de distribuicao acumulada,

F (x) = Pr(X ≤ x) =∑

xi≤x

Pr(X = xi), ∀x ∈ R.

7

Variaveis Aleatorias Contınuas

Uma v.a. contınua X caracteriza-se por sua funcao de

densidade de probabilidade (f.d.p.) f (x) e assume valores

em um conjunto infinito.

� f (x) ≥ 0.

�

∫ ∞

−∞f (x)dx = 1.

� Pr(X ∈ A) =

∫

A

f (x)dx, A ⊂ R.

� Pr(X = x) = 0, para qualquer valor x fixo.

� E(Xm) =

∫ ∞

−∞xm f (x)dx.

� E(X) = µX =

∫ ∞

−∞x f (x)dx.

� V ar(X) =

∫ ∞

−∞f (x) (x− µX)

2dx.

� Funcao de distribuicao acumulada,

F (x) = Pr(X ≤ x) =

∫ x

−∞f (t)dt, ∀x ∈ R.

8

A distribuicao Uniforme Discreta

Suponha um experimento com um numero finito de pos-

sıveis resultados, todos com a mesma probabilidade de ocor-

rer. Definindo uma v.a. X cujos possıveis valores {x1, . . . , xk}estao associados aos resultados deste experimento, entao

Pr(X = xi) =1

k, i = 1, . . . , k.

E(X) =1

k

k∑

i=1

xi

V ar(X) =1

k

k∑

i=1

[xi − E(X)]2

=1

k

[

k∑

i=1

x2i − kE(X)2

]

.

9

A distribuicao de Bernoulli

Estamos interessados na ocorrencia de um sucesso ou

falha com

Pr(sucesso) = p e Pr(fracasso) = 1− p

Definindo-se

X =

{

1, se ocorre sucesso

0, se ocorre fracasso

entao

Pr(X = x) =

{

px(1− p)1−x se x = 0, 1

0 caso contrario.

X ∼ Bernoulli(p), 0 < p < 1.

E(X) = p e V ar(X) = p(1− p).

10

A distribuicao Binomial

� Sejam n ensaios de Bernoulli independentes, com n fixo

e Pr(sucesso) = p.

� Seja Y o numero total de sucessos obtidos, indepen-

dente da ordem em que eles ocorrem.

� Entao, Y ∼ Binomial(n, p), com funcao de probabili-

dade,

Pr(Y = k) =

(

n

k

)

pk(1− p)n−k, k = 0, 1, . . . , n

sendo(

n

k

)

=n!

k!(n− k)!

e m! =∏m

i=1 i (define-se 0! = 1).

� E(X) = np e V (X) = np(1− p)

11

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.2

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.5P

roba

bilid

ades

0.00

0.05

0.10

0.15

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.7

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.9

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Figura 1: Graficos da probabilidades binomiais com n=20, parap =0.2, 0.5, 0.7 e 0.9.

12

Distribuicao Geometrica

� Suponha que ensaios de Bernoulli sao realizados de

forma independente e com a mesma probabilidade de

sucesso (p).

� Seja X o numero de experimentos necessarios antes de

ocorrer primeiro sucesso. Por exemplo,

– Numero de inspecoes necessarias antes de encontrar-

se um item defeituoso em um lote.

– Numero de nascimentos antes de nascer ummenino.

� X ∼ Geometrica(p),

� Pr(X = k) = (1− p)kp, k = 0, 1, 2, . . . .

� E(X) = (1− p)/p e V (X) = (1− p)/p2.

Exemplo: Um motorista ve uma vaga de estacionamento

em uma rua. Ha 5 carros na frente dele, e cada um deles tem

probabilidade 0.2 de tomar a vaga. Qual a probabilidade

da vaga ser tomada pelo carro que esta imediatamente a

frente dele?

Seja a v.a. X o numero de carros que passam pela vaga

antes que ela seja tomada (sucesso). Cada motorista toma

a vaga ou nao de forma independente. Entao,

Pr(X = 5) = (0.8)4 0.2 = 0.08192.

13

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.2P

roba

bilid

ades

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.5

Pro

babi

lidad

es

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.7

Pro

babi

lidad

es

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.9P

roba

bilid

ades

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 2: Graficos das probabilidades geometricas para p =0,2, 0,5,0,7 e 0,9.

14

Distribuicao Binomial Negativa

X tem distribuicao de binomial negativa com parametros

r e p, denotando-se X ∼ BN(r, p), se sua funcao de prob-

abilidade e dada por

p(x|r, p) =(

r + x− 1

x

)

pr(1− p)x, x = 0, 1, . . .

para r ≥ 1 e 0 < p < 1.

E(X) = r(1− p)/p e V (X) = r(1− p)/p2.

Um caso particular e quando r = 1 e neste caso diz-se que

X tem distribuicao geometrica com parametro p.

15

A distribuicao de Poisson

Usada para modelar o numero de ocorrencias de um certo

fenomeno, durante um intervalo fixo de tempo ou regiao fixa

do espaco.

Exemplos:

� o numero de chamadas recebidas por uma central tele-

fonica durante uma hora,

� o numero de defeitos por unidade de comprimento de

uma fita magnetica,

� o numero de nmetoides encontrados por unidade de

superfıcie de solo,

� o numero diario de novos casos de cancer de mama, etc.

Seja a v.a. X o numero de ocorrencias por intervalo fixo

(de tempo ou espaco). Entao, X ∼ Poisson(λ), com funcao

de probabilidade,

Pr(X = k) =λke−λ

k!, λ > 0, k = 0, 1, . . . .

(e = 2, 71828 . . . ).

A constante λ pode ser interpretada como o numero es-

perado (ou numero medio) de ocorrencias por unidade de

tempo ou espaco.

16

0 2 4 6 8 10

λ = 1

Pro

babi

lidad

es

0.000.050.100.150.200.250.300.35

0 2 4 6 8 10

λ = 2P

roba

bilid

ades

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 2 4 6 8 11 14

λ = 5

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0 4 8 12 17 22 27

λ = 15

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Figura 3: Graficos das probabilidades Poisson para λ=1, 2, 5 e 15.

17

Distribuicao Hipergeometrica

Suponha que temos uma amostra e uma populacao tais

que,

� Populacao: tem r elementos do tipo I, N − r do tipo

II.

� Amostra: tem k elementos do tipo I, n− k do tipo II.

Suponha que itens sao sorteados sem reposicao. Seja a

v.a. X o numero de elementos do tipo I na amostra. Dize-

mos que X tem distribuicao hipergeometrica com funcao

de probabilidade,

Pr(X = k) =

(

r

k

)(

N − r

n− k

)

(

N

n

) , k = 0, . . . ,min(r, n)

Exemplo: Um fabricante garante que produz 10% de itens

defeituosos. De um lote com 100 itens serao selecionados 5

ao acaso. Qual a probabilidade de nenhum ser defeituoso?

Populacao: N = 100, r=10 (itens defeituosos)

Amostra: n = 5, k = 0

X : numero de defeituosos na amostra

Pr(X = 0) =

(

10

0

)(

90

5

)

(

100

5

) ≈ 0, 584

18

Distribuicao Normal

Se uma v.a. X tem distribuicao normal com parametros

µ e σ2, sua f.d.p. e,

f (x) =1√2πσ2

exp

{

−(x− µ)2

2σ2

}

, µ ∈ R, σ2 > 0, x ∈ R.

Notacao: X ∼ N(µ, σ2).

0 5 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

f(x) N(0,1) N(3,1)

N(6,0.25)

N(6,4)

Figura 4: Graficos da curva normal para alguns valores de µ e σ.

19

Distribuicao Exponencial

Se uma v.a. X tem distribuicao Exponencial com parametro

λ, sua f.d.p. e,

f (x) = λe−λx, x > 0, λ > 0.

Notacao: X ∼ Exponencial(λ).

0 2 4 6 8

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)

λ = 2λ = 1λ = 0.5

Figura 5: Graficos das funcoes de densidade exponenciais comparametro λ.

20

Propriedades de Algumas Distribuicoes de Probabilidade

Nos resultados a seguir assume-se que X1, . . . , Xk sao k

variaveis aleatorias independentes.

� Se Xi ∼ Bernoulli(p), i = 1, . . . , k. Entao

Y =

k∑

i=1

Xi ∼ Binomial (k, p) .

� Se Xi ∼ Binomial(ni, p), i = 1, . . . , k. Entao

Y =

k∑

i=1

Xi ∼ Binomial

(

k∑

i=1

ni, p

)

.

� Se Xi ∼ Poisson(λi), i = 1, . . . , k. Entao

Y =

k∑

i=1

Xi ∼ Poisson

(

k∑

i=1

λi

)

.

� Se Xi ∼ Geometrica(p), i = 1, . . . , k. Entao

Y =

k∑

i=1

Xi ∼ Binomial −Negativa(k, p).

� Se Xi ∼ Normal(µi, σ2i ), i = 1, . . . , k. Entao para

constantes a1, . . . , ak e b diferentes de zero,

Y = b+k∑

i=1

aiXi ∼ Normal

(

b +k∑

i=1

aiµi,k∑

i=1

a2iσ2i

)

.

21

� Se Xi ∼ Gama(αi, β), i = 1, . . . , k. Entao

Y =

k∑

i=1

Xi ∼ Gama

(

k∑

i=1

αi, β

)

.

� Se Xi ∼ Exponencial(β), i = 1, . . . , k. Entao

Y = min{Xi} ∼ Exponencial(kβ).

22

Algums Outras Distribuicoes

� Univariadas: Weibull, Gama, Gama Invertida, Erlang,

Gama generalizada, Qui-quadrado, Qui-quadrado in-

versa, t-Student, Cauchy, F , Log-normal, normal trun-

cada, normal inversa (Wald), normal generalizada, Von

Mises, VonMises-Fisher, hiperbolica, Irwin-Hall, Laplace

(exponencial dupla), Exponencial potencia (erro gener-

alizado), Levy, Pareto, Triangular, Log-logistica, Valor

extremo, Rayleigh, etc.

� Multivariadas: Normal multivariada, Wishart, Wishart

inversa, Dirichlet, t-student multivariada, hipergeometrica

multivariada, multinomial, etc.

� Matriz variadas: Normal matricial, t-Student matri-

cial, etc.

� Distribuicoes truncadas.

� Misturas de distribuicoes.

23

Distribuicoes e Esperanca condicionais

24