TOPOLOG¶IA ALGEBRAICA -...

TOPOLOGIA ALGEBRAICA

29 de mayo de 2008

Indice general

0. Preliminares 10.1. Notaciones. Haces. Cohomologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Sucesiones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Algebra Homologica 31.1. Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Bicomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Funtores aditivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Funtores exactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2. Modulos Proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. Modulos Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4. Modulos Inyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Existencia de Suficientes Inyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Existencia de Modulos Inyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Existencia de Haces Inyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Funtores Derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1. Funtores derivados por la izquierda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5. Funtores TorAn y Extn

A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6. Complementos sobre el connecting δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. El Anillo de Cohomologıa 232.1. Imagen Directa de Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Imagen Inversa de Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1. Restriccion de Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2. Imagen Inversa en Cohomologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Invarianza por Homotopıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1. Calculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5. Formula de los Coeficientes Universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Producto Cup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6.1. Producto Cup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Teorema de Kunneth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7.1. Teorema de Kunneth Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7.2. Teorema de Kunneth Topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

i

ii INDICE GENERAL

3. Interpretacion Geometrica de la Cohomologıa 493.1. Estructuras Localmente Triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1. Revestimientos Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2. Fibrados de Lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.3. Haces de Lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2. Clase de Cohomologıa de una Subvariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3. Teorıa Topologica de la Interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4. Dualidad 654.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2. Formula algebraica de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3. Dualidad topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1. Resolucion de Godement truncada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4. Formula de dualidad topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.1. Dualidad en variedades topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5. Dualidad de Alexander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6. Grado de un morfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5. Hiperfuntores Derivados 775.0.1. Funtores derivados por la izquierda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6. Teorema de Representabilidad 83

Capıtulo 0

Preliminares

0.1. Notaciones. Haces. Cohomologıa

Haces y Prehaces. Morfismos. Fibra en un punto. Espacio etale. Los morfismos de haces F → Gson las aplicaciones F → G que llevan secciones continuas en secciones continuas.

Haz P] asociado a un prehaz P:

Px = P]x

F ] = FHom(P,F) = Hom(P],F)

El espacio etale del haz constante G es X ×G y G(U) = HomX(U,G).Soporte de una seccion de un haz. Γc(X,−) y ΓY (X,−).Sucesiones exactas de haces. Nucleo e imagen de un morfismo de haces. Haz cociente F/F ′.

Resoluciones y complejos, cohomologıa de un complejo, “connecting”, sucesion exacta larga decohomologıa, lema de la serpiente y lema de los cinco.

Haz de secciones discontinuas C0F . Resolucion de Godement C•F . Cohomologıa de haces:

Hn(X,F) = Hn[Γ(X, C•F)]Hn

c (X,F) = Hn[Γc(X, C•F)]Hn

Y (X,F) = Hn[ΓY (X, C•F)]

Propiedades: H0(X,F) = F(X), son funtores aditivos, sucesion exacta larga de cohomologıa,funtorialidad del connectingτ aciclicidad de los haces flascos para Γ, Γc y ΓY .

Teorema de De Rham: Hp% (X,F) = Hp[Γ%(X,A•) cuando 0 → F → A• es una resolucion

Γ%–acıclica.

Haz de anillos, haz de O–modulos:

HomO(O,M) = Γ(X,M) .

1

2 Capıtulo 0. Preliminares

Particiones de la unidad. Existencia de particiones de la unidad para C∞ en las variedades difer-enciables, y para C0Z en los espacios separados, localmente compactos y de base numerable.

Teorema: Si un haz de anillos O admite particiones de la unidad, todo O–modulo es Γ–acıclico(y Γc–acıclico cuando X es separado y localmente compacto).

Teorema: La cohomologıa de De Rham es un invariante topologico:

Hn(X,R) = Hn(X)DR , Hnc (X,R) = Hn

c (X)DR

0.2. Sucesiones Exactas

El morfismo de restriccion Hn% (X,F) → Hn

% (U,F). Toda clase de cohomologıa es nula en algunentorno de cada punto.

Sucesion Exacta de Mayer–Vietoris:

. . .Hn(U1 ∪ U2,F) → Hn(U1,F)⊕Hn(U2,F) → Hn(U1 ∩ U2,F) δ−→ Hn+1(U1 ∪ U2,F) . . .

Sucesion Exacta de Mayer–Vietoris con Soportes Compactos: Si X es separado, local-mente compacto y de base numerable:

. . .Hnc (U1 ∩ U2,F) → Hn

c (U1,F)⊕Hnc (U2,F) → Hn

c (U1 ∪ U2,F) δ−→ Hn+1c (U1 ∩ U2,F) . . .

Sucesion Exacta de Cohomologıa Local: Si Y es un cerrado de X y U = X − Y :

. . . → HnY (X,F) → Hn(X,F) → Hn(U,F) δ−→ Hn+1

Y (X,F) → . . .

Escision: HnY (X,F) = Hn

Y (V,F) cuando V es un abierto que contiene a Y .

Sucesion Exacta del Subespacio Cerrado: Si Y es un cerrado de un espacio separado, local-mente compacto y de base numerable X, y U = X − Y :

. . . → Hnc (U,F) → Hn

c (X,F) → Hnc (Y,F) δ−→ Hn+1

c (U,F) → . . .

Capıtulo 1

Algebra Homologica

1.1. Complejos

Sea A un anillo y consideremos la categorıa A de A–modulos.

1. Definicion : Un modulo diferencial es un A-modulo M dotado de un endomorfismo A-lineald: M → M de cuadrado nulo, d2 = 0. El morfismo d se denomina diferencial. Denotaremos Z(M) =Ker d, B(M) = Im d y se denominan ciclos y bordes de M respectivamente. El cociente H(M) =Z(M)/B(M) se denomina grupo de cohomologıa del modulo diferencial. Diremos que un modulodiferencial es acıclico si H(M) = 0.

2. Definicion : Sean M y M ′ dos A-modulos diferenciales, de diferenciales respectivas d y d′. Unmorfismo diferencial φ : M → M ′ es un morfismo de A-modulos que conmuta con las diferenciales:φ d = d′ φ.

Todo morfismo diferencial φ : M → M ′ transforma ciclos en ciclos y bordes en bordes, luego induceun morfismo en cohomologıa, H(φ) : H(M) → H(M ′), c 7→ φ(c).

3. Proposicion : Sea 0 → M ′ i→ Mp→ M ′′ → 0 una sucesion exacta de modulos diferenciales y

morfismos diferenciales. Existe un morfismo δ : H(M ′′) → H(M) tal que el triangulo

H(M ′)H(i) // H(M)

H(p)

zzttttttttt

H(M ′′)

δ

eeJJJJJJJJJ

es exacto. El morfismo δ se denomina morfismo de conexion.

Demostracion. Comencemos definiendo δ. Dado un ciclo c′′ ∈ M ′′, sea c ∈ M una antimagen por p.Como p es un morfismo diferencial, p(d c) = d(p(c)) = d(c′′) = 0. Por tanto, existe c′ ∈ M ′ tal quei(c′) = dc. Ademas, c′ es un ciclo: i(d c′) = d(i(c′)) = d(d c) = 0, luego d c′ = 0, porque i es inyectiva.

3

4 Capıtulo 1. Algebra Homologica

Graficamente hemos escritoc Â p //_

d

²²

c′′_d

²²ÂÂÂ

c′Â i //

_

d

²²ÂÂÂ d c_

d

²²ÂÂÂ

Â p //___ 0

0 Â i //___ 0

Con estas notaciones, definimos δ(c′′) := c′. Es facil ver que no depende del c tomado ni del represen-tante de c′′ considerado.

Tenemos que H(i)(δ(c′′)) = H(i)(c′) = d c = 0. Ademas, dado a ∈ H(M ′), si H(i)(a) = i(a) = 0,entonces i(a) = d b, luego 0 = p(d(b)) = d(p(b)) y δ(p(b)) = a. Con todo, hemos probado queIm δ = Ker H(i).

Dejamos como ejercicio probar el resto de la exactitud del triangulo.¤

4. Definicion : Un complejo de A-modulos K• es un A-modulo diferencial y graduado K• = ⊕i∈Z

Ki,

tal que dKi ⊆ Ki+1. La restriccion de la diferencial a Ki, esto es, d : Ki → Ki+1, se denota di.Si K• es un complejo, denotaremos Zi(K•) a los ciclos de grado i y Bi(K•) a los bordes de grado

i. El cociente Hi(K•) = Zi(K•)/Bi(K•) se denomina i-esimo grupo de cohomologıa. Como es obvio,se verifica que Z(K•) = ⊕

iZi(K•), B(K•) = ⊕

iBi(K) y H(K•) = ⊕

iHi(K•).

Un complejo K• equivale a dar una sucesion de modulos y morfismos de modulos

· · · → Ki−1 di−1

−→ Ki di

−→ Ki+1 di+1

−→ · · ·

tal que la imagen de cada morfismo esta contenido en el nucleo del siguiente. Los grupos de cohomologıaHi(K•) miden la deficiencia a la exactitud y su anulacion equivale a la exactitud de la sucesion.5. Ejemplo : Consideremos un poliedro r-dimensional de n vertices a1, . . . , an. Una arista vienedefinida por un par de vertices lij = ai, aj, una cara por tres vertices Cijk = ai, aj , ak, y engeneral, un sımplice de orden p por p+1 vertices Sα

p = ai0 , . . . , aip, con α = i0, . . . , ip. Denotemos

por Mp =∑αQ ·Sα

p el Q-modulo libre generado por todos los sımplices Sαp de orden p del poliedro. El

moduloM =

r⊕p=0

Mp

es el modulo graduado diferencial de cadenas sobre el poliedro, con la diferencial de grado −1 definidacomo sigue

dpai0 , . . . , aip =p∑

j=0

(−1)jai0 , . . . , aij , . . . , aip

Se cumple que dp dp+1 = 0. La homologıa del complejo de cadenas sobre el poliedro es por

definicion, H(M) =p⊕

p=0Ker dp / Imdp+1.

La dimension de los grupos de homologıa de M son invariantes topologicos esenciales del poliedro.

Se llama caracterıstica del poliedro a χ(M) :=2∑

i=0

(−1)idim QHi(M) y se verifica

1.1. Complejos 5

χ(M) = n0 vertices − n0 aristas + n0 caras + ... + (−1)rn0 r-sımplices

Por ejemplo, si un poliedro esta inscrito en una esfera, entonces

χ(M) = n0 vertices − n0 aristas + n0 caras = 2

Si el poliedro esta inscrito en un toro de g asas, entonces χ(M) = 2− 2g.

Diremos que un complejo K• es acıclico cuando todos sus grupos de cohomologıa sean nulos,Hn(K•) = 0; es decir, cuando sea una sucesion exacta.

6. Definicion : Un morfismo de complejos f : K• → L• es un morfismo homogeneo que conmuta conlas diferenciales; es decir, es una sucesion de morfismos fn : Kn → Ln tal que el siguiente diagramaes conmutativo:

. . .dn−2

−−−−→ Kn−1 dn−1

−−−−→ Kn dn

−−−−→ Kn+1 dn+1

−−−−→ . . .↓ fn−1 ↓ fn ↓ fn+1

. . .dn−2

−−−−→ Ln−1 dn−1

−−−−→ Ln dn

−−−−→ Ln+1 dn+1

−−−−→ . . .

de modo que f induce morfismos f : Zn(K•) → Zn(L•), f : Bn(K•) → Bn(L•) y

f : Hn(K•) −→ Hn(L•) , f([c]) := [fn(c)]

7. Definicion : Diremos que un morfismo de complejos f : K• → L• es un casi–isomorfismo cuandof : Hn(K•) → Hn(L•) sea un isomorfismo para todo n ∈ Z, en cuyo caso pondremos f : K• ∼−→ L• .

A veces las componente de un complejo se numeran con subındices. En tal caso el subındice indicael opuesto del grado: Kn := K−n, dn := d−n y Hn(K•) := H−n(K•). Este convenio es util sobre todocuando intervienen componentes de grado negativo.

Cada sucesion exacta de complejos 0 → K ′• i−−→ K• π−−→ K ′′• → 0 (en el sentido de que paracada n ∈ Z es exacta la sucesion 0 → K ′n → Kn → K ′′n → 0 ) induce una sucesion exacta larga decohomologıa

. . .δ−−→ Hn(K ′•) i−−→ Hn(K•) π−−→ K ′′• δ−−→ Hn+1(K ′•) i−−→ . . .

donde el connecting δ es δ([c]) := [i−1dπ−1(c)] , y es funtorial en el sentido de que cada diagramaconmutativo de filas exactas

0 −→ K ′• i−−→ K• π−−→ K ′′• −→ 0↓ f ′ ↓ f ↓ f ′′

0 −→ K ′• i−−→ K• π−−→ K ′′• −→ 0

induce un diagrama conmutativo de filas exactas

. . .δ−−→ Hn(K ′•) i−−→ Hn(K•) π−−→ Hn(K ′′•) δ−−→ Hn+1(K ′•) i−−→ . . .

↓ f ′ ↓ f ↓ f ′′ ↓ f ′

. . .δ−−→ Hn(K ′•) i−−→ Hn(K•) π−−→ Hn(K ′′•) δ−−→ Hn+1(K ′•) i−−→ . . .


8. Diagrama de la serpiente: Sea

0 // M ′ i //

f ′

²²

Mp //

f

²²

M ′′ //

f ′′

²²

0

0 // N ′ j // Nq // N ′′ // 0

un diagrama conmutativo de morfismos de A-modulos, de filas exactas. Existe un morfismo

δ : Ker f ′′ → Coker f ′

tal que la sucesion de morfismos

0 → Ker f ′ i→ Ker fp→ Ker f ′′ δ→ Coker f ′

j→ Coker fq→ Coker f ′′ → 0

es exacta.

Demostracion. El morfismo Mf→ N podemos considerarlo como el complejo, K(f)•, donde K(f)0 =

M , K(f)1 = N y K(f)i = 0, para todo i 6= 0, 1. Observemos que H0(K(f)•) = Ker f , H1(K(f)•) =Coker f y Hi(K(f)•) = 0, para todo i 6= 0, 1.

Con las notaciones obvias el diagrama conmutativo del lema de la serpiente podemos pensarlocomo la sucesion exacta de complejos diferenciales

0 → K(f ′)• → K(f)• → K(f ′′)• → 0

La sucesion exacta larga de cohomologıa asociada es justamente la sucesion exacta del lema de laserpiente buscada. ¤

1.1.1. Bicomplejos

9. Definicion : Un bicomplejo de A–modulos (K••, d1, d2) es una familia de modulos Kp,qp,q∈Zjunto con morfismos dpq

1 : Kp,q → Kp+1,q, dpq2 : Kp,q → Kp,q+1 tales que

d1 d1 = 0 , d2 d2 = 0 , d1 d2 = d2 d1 .

Es decir, el siguiente diagrama es conmutativo, y sus filas y columnas son complejos:

↑ d2 ↑ d2

. . .d1−−−→ Kp,q+1 d1−−−→ Kp+1,q+1 d1−−−→ . . .

↑ d2 ↑ d2

. . .d1−−−→ Kp,q d1−−−→ Kp+1,q d1−−−→ . . .

↑ d2 ↑ d2

10. Definicion : Un morfismo de bicomplejos f : K•• → L•• es una familia de morfismos de modulosfpq : Kpq → Lpq que conmutan con las diferenciales: f d1 = d1 f , f d2 = d2 f .11. Definicion : El complejo simple (K•, d) asociado a un bicomplejo (K••,d1, d2) es

Kn :=⊕

p+q=n

Kp,q , d(mpq) := d1mpq + (−1)pd2(mpq)

donde el signo se introduce para que d d = 0.

1.1. Complejos 7

12. Definicion : Si (K•, d) es un complejo y r es un numero entero, I•[r] denota el complejo I•[r]n :=In+r con la diferencial (−1)rd.

Si f : K• → L• es un morfismo de complejos, podemos considerarlo como un bicomplejo de columna−1, K•, y de columna 0, L•. El complejo asociado a este bicomplejo se denomina cono de f , es decir,el cono de f es el complejo

Cono•f := K•[1]⊕ L• , d =(−d 0

f d

)

es decir, su diferencial es d(a, b) = (−da, fa + db).13. Proposicion : La condicion necesaria y suficiente para que un morfismo de complejos sea uncasi–isomorfismo es que su cono sea acıclico.

Demostracion. Tenemos una sucesion exacta de complejos

0 −→ L• −→ Cono•f −→ K•[1] −→ 0

y el connecting inducido en cohomologıa por esta sucesion exacta es precisamente el morfismo f ,ası que f es casi–isomorfismo precisamente cuando Cono•f es acıclico. ¤

Diremos que un bicomplejo tiene diagonales acotadas cuando las sumas directas ⊕p+q=nKp,q seanfinitas. Diremos que tiene diagonales acotadas por la derecha, si para cada n existe un m de modoque Kp,n−p = 0, para todo p > m. Diremos que tiene diagonales acotadas por la izquierda, si paracada n existe un m de modo que Kn−q,q = 0, para todo q > m.14. Lema : Sea K•• un bicomplejo con diagonales acotadas por la derecha. Si sus columnas sonsucesiones exactas, entonces el complejo simple asociado K• es acıclico:

Hn(K•) = 0 , ∀n ∈ Z .

Si un bicomplejo tiene diagonales acotadas izquierda y sus filas son sucesiones exactas, entoncesel complejo simple asociado es acıclico.

Demostracion. Si [m] ∈ Hn(K•) y ponemos

m = mp,q + mp+1,q−1 + mp+2,q−2 . . . , mp,q 6= 0 ,

la condicion de ciclo dm = 0 implica que d2mp,q = 0. Luego mp,q = d2np,q−1 para algun np,q−1 ∈Kp,q−1 porque las columnas son exactas. Luego [m] = [m− (−1)pdnp,q−1] y m− (−1)pdnp,q−1 tienealtura mas baja que m en el bicomplejo. Es decir, cualquier clase de cohomologıa [m] tiene repre-sentantes de altura tan baja como se desee y, al estar acotadas por la derecha las diagonales delbicomplejo, se concluye que [m] = 0. ¤

15. Teorema del Bicomplejo: Sea f : K•• → L•• un morfismo entre complejos con diagonalesacotadas por la derecha. Si f : Kp• → Lp• es un casi–isomorfismo para todo p ∈ Z, entonces f : K• →L• es un casi–isomorfismo.

Analogamente, un morfismo f : K•• → L•• entre complejos con diagonales acotadas por la izquier-da induce un casi–isomorfismo entre los complejos simples asociados cuando f : K•q → L•q es uncasi–isomorfismo para todo q ∈ Z.

Demostracion. Si f : Kp• → Lp• es un cuasi–isomorfismo, para todo p ⇒ Kp•[1] ⊕ Lp• es acıclicopara todo p ⇒ K•[1]⊕ L• es acıclico ⇒ f : K• → L• es cuasi–isomorfismo. ¤


16. Teorema de Rham: Sea K•• un bicomplejo inferiormente acotado tal que Hnd2

(K••) = 0 paratodo n 6= 0. Entonces Hn(K•) = Hn(H0

d2(K••)).

1.2. Funtores aditivos

En esta seccion F : A Ã B denotara un funtor de la categorıa de A–modulos en la categorıa deB–modulos.

1. Definicion : Diremos que F es aditivo cuando F (f +g) = F (f)+F (g) para todo par de morfismosde A–modulos f, g : M → N . Es decir, en el caso covariante, F es aditivo cuando las aplicaciones

F : HomA(M, N) −→ HomB(F (M), F (N))

son morfismos de grupos, y en el caso contravariante, cuando lo son las aplicaciones F : HomA(M,N) →HomB(F (N), F (M)) .

Sea K• = Kn,dn un complejo de A–modulos. Si F es un funtor covariante aditivo, entoncesF (K•) := F (Kn), F (dn) es un complejo de B–modulos porque F (d) F (d) = F (d d) = F (0) = 0.En el caso contravariante el complejo F (K•) es

. . . −→ F (Kn+1)F (dn)−−−−→ F (Kn)

F (dn−1)−−−−−→ F (Kn−1) −→ . . .

donde se considera que F (Kn) tiene grado −n y, por tanto, que F (dn) es la diferencial d−n−1 = dn+1

de este complejo.

2. Proposicion : Todo funtor aditivo F : A Ã B transforma sucesiones exactas escindidas en suce-siones exactas escindidas.

En particular, F conserva sumas directas finitas: F (M ⊕ N) = F (M) ⊕ F (N) , y conmuta conla formacion del complejo simple asociado cuando las diagonales estan acotadas.

Demostracion. Si una sucesion exacta 0 → M ′ i−→ Mπ−→ M ′′ → 0 escinde, entonces existe un retracto

r : M → M ′ y una seccion s : M ′′ → M tales que

1M ′ = ri , 1M ′′ = πs , 0 = πi , 1M = ir + sπ .

Como F es aditivo, en el caso covariante (el contravariante es analogo) se sigue que

1F (M ′) = F (r)F (i) 1F (M ′′) = F (π)F (s)0 = F (π)F (i) 1F (M) = F (i)F (r) + F (s)F (π) .

Por la primera igualdad F (i) es inyectivo, por la segunda F (π) es epiyectivo, por la terceraIm F (i) ⊆ KerF (π) y por la ultima KerF (π) ⊆ Im F (i). Ademas F (r) es un retracto de F (i) yF (s) es una seccion de F (π), de modo que la siguiente sucesion tambien es exacta y escinde:

0 −→ F (M ′)F (i)−−−−→ F (M)

F (π)−−−−→ F (M ′′) −→ 0 .

¤

1.2. Funtores aditivos 9

1.2.1. Funtores exactos

3. Definicion : Diremos que un funtor covariante aditivo F : A Ã B de la categorıa de A–modulosen la de B–modulos es exacto por la izquierda si para toda sucesion exacta de A–modulos 0 → M ′ i−→M

p−→ M ′′ se tiene que la correspondiente la sucesion

0 −→ F (M ′) Fi−−−→ F (M)Fp−−−→ F (M ′′)

tambien es exacta, y diremos que es exacto por la derecha si para toda sucesion exacta de A–modulosM ′ i−→ M

p−→ M ′′ → 0 se tiene que tambien es exacta la correspondiente sucesion

F (M ′) Fi−−−→ F (M)Fp−−−→ F (M ′′) −→ 0 .

Diremos que un funtor contravariante aditivo F : A Ã B es exacto por la izquierda si para todasucesion exacta de A–modulos M ′ i−→ M

p−→ M ′′ → 0 se tiene que la correspondiente sucesion

0 −→ F (M ′′)Fp−−−→ F (M) Fi−−−→ F (M ′)

tambien es exacta, y diremos que es exacto por la derecha si para toda sucesion exacta de A–modulos0 → M ′ i−→ M

p−→ M ′′ se tiene que tambien es exacta la sucesion

F (M ′′)Fp−−−→ F (M) Fi−−−→ F (M ′) −→ 0 .

4. Definicion : Diremos que un funtor aditivo F : A Ã B es exacto cuando transforme sucesionesexactas en sucesiones exactas. Es decir, si M1 → M2 → M3 es una sucesion exacta de A–modulos,entonces F (M1) → F (M2) → F (M3) tambien es exacta en el caso covariante, y F (M3) → F (M2) →F (M1) en el caso contravariante.

Como toda sucesion exacta M1f−→ M2

g−→ M3 puede verse como una familia de tres sucesionesexactas cortas:

M1 0 ↓ f

0 → K → M2 → I → 0 ↓ g

0 M3

se sigue que para que un funtor aditivo sea exacto es necesario y suficiente que transforme sucesionesexactas cortas en sucesiones exactas cortas; i.e., que sea exacto por la izquierda y por la derecha.

5. Teorema : Si K• es un complejo de A–modulos y F es un funtor exacto entonces

Hn [F (K•)] = F (Hn(K•)) cuando F es covarianteHn [F (K•)] = F (Hn(K•)) cuando F es contravariante .

Demostracion. Los conceptos de nucleo, conucleo e imagen de un morfismo de modulos f : M → Npueden expresarse mediante sucesiones exactas, ası que los funtores exactos covariantes conservannucleos, conucleos e imagenes. Luego

F (Hn(K•)) = F (Ker dn/ Im dn−1) = KerF (dn)/ Im F (dn−1) = Hn(F (K•))


Los funtores exactos contravariantes transforman nucleos en conucleos, conucleos en nucleos yconservan imagenes (porque transforma M

epi→ Im finy→ M ′ en F (M ′)

epi→ F (Im f)iny→ F (M)). Ahora,

la sucesion0 → Im dn−1 → Ker dn → Hn(K•) → 0

se transforma en

0 // F (Hn(K•)) // CokerF (dn) // Im F (dn−1) // 0

F (Kn)/ ImF (dn)

Luego Hn [F (K•)] = F (Hn(K•)).¤

1.2.2. Modulos Proyectivos

6. Definicion : Un A–modulo P es proyectivo cuando el funtor covariante HomA(P,−) es exacto; i.e.,cuando para todo morfismo de A–modulos epiyectivo p : M → M se verifica que i∗ : HomA(P,M) →HomA(P, M) es epiyectivo.

Si un A–modulo P es proyectivo, claramente toda sucesion exacta de A–modulos 0 → M ′ → M →P → 0 escinde.

El isomorfismo natural HomA(⊕iPi,M) =∏

i HomA(Pi,M) muestra que ⊕iPi es proyectivo siy solo si lo son todos los sumandos Pi. Por tanto, como A es un A–modulo proyectivo, porqueHomA(A,M) = M , se sigue que todos los modulos libres, y todos los sumandos directos de modu-los libres, son proyectivos. Ademas, como todo modulo es cociente de un modulo libre (pues bastaconsiderar un sistema de generadores), obtenemos que los modulos proyectivos son precisamente lossumandos directos de los modulos libres.

Vamos ahora a poner todo modulo M como cociente de un libre de modo funtorial. Sea LM elA–modulo libre que tiene como base todos los elementos de M y sea L0M := LM/Ae el cociente porel submodulo que genera el neutro e de M , que es un A–modulo libre que tiene como base todos loselementos no nulos de M , entonces claramente tenemos un epimorfismo canonico L0M → M → 0y L0 : A Ã A es un funtor covariante (¡no aditivo!) que conserva monomorfismos y epimorfismos, ytransforma el morfismo 0 en el morfismo 0 (por eso hemos hecho cociente por Ae, y porque no essensato considerar modulos con dos “ceros”); luego complejos en complejos. Por tanto, todo A–moduloM admite una resolucion proyectiva funtorial (de hecho libre):

. . . −→ L2M −→ L1M −→ L0M −→ M −→ 0

sin mas que poner LnM := Ln−1M′, donde M ′ es el nucleo del epimorfismo natural L0M → M → 0.

1.2.3. Modulos Planos

7. Definicion : Un A–modulo P es plano cuando el funtor covariante (−)⊗A es exacto; i.e., cuandopara todo morfismo de A–modulos inyectivo i : M ′ → M se verifica que i ⊗ 1: M ′ ⊗A P → M ⊗A Pes epiyectivo.

1.2. Funtores aditivos 11

El isomorfismo natural M ⊗A (⊕iPi) = ⊕i(M ⊗A Pi) muestra que ⊕iPi es plano si y solo si lo sontodos los sumandos Pi. Por tanto, como A es un A–modulo plano, porque M ⊗A A = M , se sigue quetodos los modulos libres, y todos los modulos proyectivos, son planos. Ademas, un A–modulo planoP nunca tiene torsion, en el sentido de que si a ∈ A no es divisor de cero (i.e., el morfismo A

a·−→ A esinyectivo, entonces P

a·−→ P tambien es inyectivo:

libre =⇒ proyectivo =⇒ plano =⇒ sin torsion

8. Lımites inductivos: Sea un diagrama conmutativo de morfismos (de conjuntos, de grupos, deanillos o de modulos, etc.)

Mi// Ml

// Mr// Mt

// · · ·

Mk

77ppppppMq

77pppppp

Mp

88pppppp

Suponemos que dados Mi y Mj cualesquiera, “mas adelante”, existe un Mk donde siguiendo el rıo deflechas se aplican Mi y Mj. Denotemos φij : Mi → Mj a los morfismos del diagrama (que cumplenφii = Id y φrs φir = φis). Se suele decir que Mi, φiji∈I es un sistema inductivo.

Se define

lim→i∈I

Mi =∐

i∈I

Mi/ ∼

donde mi ∈ Mi es equivalente a mj ∈ Mj si existe un k tal que φik(mi) = φjk(mk). Tenemosmorfismos naturales φi : Mi → lim

→i∈I

Mi, φi(mi) = mi, que cumplen φj φij = φi.

Es facil ver que lim→i∈I

Mi cumple la siguiente propiedad universal: Si fi : Mi → N son morfismos

tales que fj φij = fi

Mi

φij //

ÀÀ

Mj //

²²

. . . // lim→i

Mi

xxp p p p p p p p

Mi′

φi′j 99tttttt

''N

entonces existe un unico morfismo f : lim→i∈I

Mi → N (f(mi) := fi(mi)) de modo que fi = f φi.

Si los Mi son modulos dejamos que el lector pruebe que ( lim→i∈I

Mi)S = lim→i∈I

(Mi)S.

Dados dos sistemas inductivos Mi, φiji∈I , M ′i , φ

′iji∈I y morfismos gi : Mi → M ′

i (cumpliendoque φ′ij gi = gj φij, para todo i, j), entonces tenemos un morfismo natural g : lim

→i∈I

Mi → lim→i∈I

M ′i ,

mi 7→ gi(mi). Dejamos que el lector pruebe que si

0 → Mi → M ′i → M ′′

i → 0


son exactas tomando lımites inductivos tenemos que

0 → lim→i∈I

Mi → lim→i∈I

M ′i → lim

→i∈I

M ′′i → 0

es exacta.Dado un prehaz P sobre X y un punto x ∈ X, la fibra Px de P en x se define del siguiente modo:

Px := lim→

x∈U

P (U)

es decir, Px =∐

x∈U

s ∈ P (U)/ ∼, donde dados s ∈ P (U) y s′ ∈ P (U ′) cumplen que s ∼ s′ si y solo

si existe un abierto V , tal que x ∈ V ⊆ U ∩ U ′, de modo que s|V = s′|V . Tambien se dice que Px sonlos germenes de secciones de P en x.

Dado s ∈ P (U) denotaremos s = sx ∈ Px.El producto tensorial conmuta con lımites inductivos: M ⊗A (lım

→Pi) = lım

→(M ⊗A Pi), m⊗ pi ↔

m⊗ pi.Por otra parte, el isomorfismo M ⊗A (lım

→Pi) = lım

→(M ⊗A Pi) muestra que los lımites inductivos

de modulos planos son planos.9. Proposicion: Si A es un dominio de ideales principales, los A–modulos planos son los A–modulossin torsion.

Demostracion. Todo modulo es el lımite inductivo de sus submodulos de tipo finito, y los modulosfinito–generados sin torsion sobre un dominio de ideales principales son libres; ası que un A–modulosin torsion es lımite inductivo de modulos planos y, por tanto, es plano. El recıproco ya hemos vistoque es valido para cualquier anillo A. ¤

1.2.4. Modulos Inyectivos

10. Definicion : Un A–modulo Q es inyectivo cuando el funtor contravariante HomA(−, Q) es exacto;i.e., cuando para todo morfismo de A–modulos inyectivo i : M ′ → M se verifica que i∗ : HomA(M,Q) →HomA(M ′, Q) es epiyectivo.

Si un A–modulo Q es inyectivo, claramente toda sucesion exacta de A–modulos 0 → Q → M →M → 0 escinde.

El isomorfismo natural HomA(M,∏

i Qi) =∏

i HomA(M, Qi) muestra que∏

i Qi es inyectivo si ysolo si lo son todos los sumandos Qi.

11. Criterio del Ideal: Un A–modulo Q es inyectivo si y solo si para todo ideal I de A y todomorfismo de A–modulos f : I → Q existe algun morfismo de A–modulos h : A → Q que coincide conf en I:

0 −→ I −→ A

↓ f h

Q

12. Corolario : La condicion necesaria y suficiente para que una modulo Q sobre un dominio deideales principales A sea inyectivo es que sea divisible (i.e., si q ∈ Q y a ∈ A no es nulo, existe q′ ∈ Qtal que q = aq′.)

1.3. Existencia de Suficientes Inyectivos 13

1.3. Existencia de Suficientes Inyectivos

1.3.1. Existencia de Modulos Inyectivos

Sea Q := Q ⊕ (Q/Z), que es un Z–modulo inyectivo segun el criterio del ideal, y pongamosG∗ := HomZ(G, Q) para todo Z–modulo G.

Todo grupo cıclico es isomorfo a un subgrupo de Q, ası que para cada elemento no nulo g ∈ Gexiste alguna forma lineal ω ∈ G∗ tal que ω(g) 6= 0. Es decir, el morfismo canonico G → G∗∗ siemprees inyectivo.

Ahora bien, si M es un modulo sobre un anillo arbitrario A, el grupo M∗ hereda una estructuranatural de A–modulo: (aω)(m) := ω(am) . Es inmediato comprobar que el morfismo canonico M →M∗∗ es morfismo de A–modulos, y que la aplicacion traspuesta f∗ : N∗ → M∗ de un morfismo deA–modulos f tambien es morfismo de A–modulos. Ademas, A∗ es un A–modulo inyectivo, porque hayun isomorfismo natural

M∗ = HomA(M, A∗)

En efecto, cada forma lineal ω ∈ M∗ define un morfismo de A–modulos ω : M → A∗, ω(m)(a) :=ω(am). Viceversa, cada morfismo v : M → A∗ define una forma lineal v ∈ M∗, v(m) := v(m)(1).

Vemos ademas que, si L es un A–modulo libre, entonces L∗ ' ∏i(A

∗) es un A–modulo inyectivo.Por tanto, si L0M

∗ = LM∗/Ae denota el A–modulo libre de base los elementos no nulos de M∗,tenemos un morfismo inyectivo natural

M → M∗∗ → (L0M∗)∗

donde I0M := (L0M∗)∗ es un A–modulo inyectivo. Este funtor I0 : A Ã A es covariante (¡no aditivo!)

que conserva monomorfismos y epimorfismos, y transforma el morfismo 0 en el morfismo 0; luegocomplejos en complejos. Por tanto, todo A–modulo M admite una resolucion inyectiva funtorial :

0 −→ M −→ I0M −→ I1M −→ I2M −→ . . .

sin mas que poner InM := In−1M , donde M es el conucleo del morfismo natural M → I0M .

1.3.2. Existencia de Haces Inyectivos

1. Definicion : Sea O un haz de anillos sobre un espacio topologico X. Si para cada punto x ∈ Xelegimos un Ox–modulo Mx, el correspondiente haz de Godement M es el siguiente haz flasco:

M(U) :=∏

x∈U

Mx .

2. Lema : Si Q es el haz de Godement asociado a una familia de modulos Mxx∈X , para todoO–modulo N tenemos un isomorfismo natural

HomO(N ,Q) =∏

x∈X

HomOx(Nx,Mx) .

Por tanto, si Mx es un Ox–modulo inyectivo para todo x ∈ X, entonces Q es un O–moduloinyectivo.


Demostracion. El Ox–modulo Mx define un O–modulo concentrado en x:

Mx(U) =

Mx si x ∈ U

0 si x /∈ U

de modo que el haz de Godement es el producto directo Q =∏

x Mx. Ademas, es sencillo comprobarque para todo O–modulo N tenemos HomO(N ,Mx) = HomOx

(Nx,Mx), lo que permite concluir:

HomO(N ,Q) = HomO(N ,∏

x∈X

Mx) =∏

x∈X

HomO(N , Mx) =∏

x∈X

HomOx(Nx,Mx) .

¤

Ahora, si M es un O–modulo, y para cada fibra Mx elegimos el Ox–modulo inyectivo I0Mx,tenemos un morfismo de O–modulos inyectivo

M −→ I0M :=∏

x∈X

I0Mx

Este funtor I0 de la categorıa de O–modulos en sı misma es covariante (¡no aditivo!) que conservamonomorfismos y epimorfismos, y transforma el morfismo 0 en el morfismo 0; luego complejos encomplejos. Por tanto, todo O–modulo M admite una resolucion inyectiva funtorial :

0 −→ M −→ I0M −→ I1M −→ I2M −→ . . .

sin mas que poner InM := In−1M, donde M es el conucleo del morfismo natural M→ I0M.

1.4. Funtores Derivados

Vamos a estudiar los funtores derivados por la derecha de un funtor covariante y aditivo exacto porla izquierda F : A Ã B, usando la resolucion inyectiva funtorial 0 → M → I•M de los A–modulos:

0 −→ M −→ I0M −→ I1M −→ I2M −→ I3M −→ . . .

1. Definicion : Los funtores derivados por la derecha RnF : A Ã B de un funtor covariante aditivoexacto por la izquierda F : A Ã B son

RnF (M) := Hn[F (I•M)]

y diremos que un modulo M es F–acıclico cuando RnF (M) = 0 para todo n > 0.La condicion de que F sea exacto por la izquierda significa que R0F (M) = M .Los complejos se supondran siempre acotados inferiormente, y diremos que un complejo K• es

inyectivo, F–acıclico, etc., cuando lo sean todos los modulos Kp.Recuerdese que una resolucion de un modulo M es un casi–isomorfismo M ∼−→ K• en un complejo

sin terminos negativos, i.e., tal que la siguiente sucesion es exacta:

0 −→ M −→ K0 −→ K1 −→ K2 −→ K3 −→ . . .

2. Lema : Si f : I• ∼−→ J• es un casi–isomorfismo entre complejos inyectivos acotados inferiormente,entonces F (f) : F (I•) ∼−→ F (J•) es un casi–isomorfismo.

1.4. Funtores Derivados 15

Demostracion. Veamos primero el caso J• = 0. Si I• es un complejo inyectivo acıclico, entonces esuna sucesion exacta de modulos inyectivos; luego escinde y F (I•) tambien es una sucesion exacta.

En el caso general consideramos la sucesion exacta de complejos

0 −→ J• −→ Cono•f −→ I•[1] −→ 0

porque el complejo Cono•f es acıclico cuando f es un casi–isomorfismo (ver 1.1.13). En tal caso yasabemos que F (I•[1]⊕J•) = F (I•)[1]⊕F (J•) es acıclico, y de nuevo por 1.1.13 se concluye que F (f)es casi–isomorfismo. ¤

3. Teorema: Cada resolucion 0 → M ∼−→ K• de un modulo M define morfismos canonicos Hn[F (K•)] →RnF (M), que son naturales en el sentido de que si tenemos un cuadrado conmutativo

0 −→ M ∼−−→ K•

↓ f ↓ t

0 −→ M ∼−−→ K•

entonces los siguientes cuadrados tambien son conmutativos:

Hn[F (K•)] −→ RnF (M)↓ Ft ↓ f

Hn[F (K•)] −→ RnF (M)

Demostracion. En el cuadrado conmutativo

M ∼−→ I•M↓ ↓

K• ∼−→ I•K•

la flecha inferior es un casi–isomorfismo por la teorıa del complejo doble y la de la izquierda lo espor hipotesis; luego tambien I•M → I•K• es un casi–isomorfismo. De acuerdo con el lema anterior,F (I•M) ∼−→ F (I•K•) es un casi–isomorfismo y, al tomar cohomologıa, obtenemos morfismos

Hn[F (K•)] −→ Hn[F (I•K•)] = Hn[F (I•M)] = RnF (M)

La ultima afirmacion del teorema es consecuencia directa del siguiente diagrama conmutativo:

F (K•) −→ F (I•K•) ∼←−− F (I•M)↓ Ft ↓ F (It) ↓ F (If)

F (K•) −→ F (I•K•) ∼←−− F (I•M)

¤

Notese que en esta demostracion, igual que de ahora en adelante, en la notacion no distinguimosentre un bicomplejo, como es I•K• o F (I•K•), y su complejo simple asociado. La razon es que unfuntor aditivo F conmuta con la formacion del complejo simple asociado a un bicomplejo K•• cuandolas sumas directas ⊕p+q=nKpq son finitas, como sera siempre nuestro caso.

4. Teorema de De Rham: Si 0 → M → A• es una resolucion F–acıclica, entonces los morfismosnaturales Hn[F (A•)] → RnF (M) son isomorfismos.


Demostracion. Como el modulo Aq es F–acıclico, F (Aq) → F (I•Aq) es un casi–isomorfismo, y elteorema del bicomplejo permite concluir que F (A•) → F (I•A•) es un casi–isomorfismo, e induceisomorfismos Hn[F (A•)] ∼−→ Hn[F (I•A•)] = RnF (M). ¤

5. Corolario : Sea 0 → Mφ1−→ K• una resolucion, 0 → M

φ2−→ A• una resolucion acıclica. Sit : K• → A• es un morfismo de complejos tal que φ2 = tφ1, entonces el morfismo Ft : Hn[F (K•)] →Hn[F (A•)] = RnF (M) es el morfismo canonico.

Demostracion. Basta aplicar 1.4.3 al siguiente cuadrado conmutativo

0 −→ Mφ1−−−→ K•

‖ ↓ t

0 −→ Mφ2−−−→ A•

¤

6. Corolario : Los funtores derivados RnF son aditivos.

Demostracion. Se concluye al aplicar la segunda parte del teorema al siguiente cuadrado conmutativo

Mf+g−−−−→ M

↓ ↓I•M

If+Ig−−−−→ I•M

¤

7. Corolario : Cuando A• = I•M , los isomorfismos del teorema de De Rham son la identidad.

Demostracion. Sea i1 : I•M → I•(I•M) el morfismo definido por los morfismos naturales IpM →I0(IpM) y sea i2 : I•M → I•(I•M) el morfismo definido por los morfismos naturales IpM →Ip(I0M). Se trata de probar que F (i1) y F (i2) coinciden en cohomologıa, pues el isomorfismo de DeRham DR : Hn[F (I•M)] ∼−→ RnF (M) es precisamente F (i2)−1F (i1). Ahora bien, tanto i1 como i2prolongan a la identidad de M , ası que 1.4.3 afirma la conmutatividad del siguiente diagrama:

Hn[F (I•M)]F (i1)−−−−→ Hn[F (I•(I•M))]

F (i2)←−−−− Hn[F (I•M)]↓ DR ↓ ↓ DR

RnF (M) = RnF (M) = RnF (M)

Luego (DR)2 = DR y, al ser un isomorfismo, concluimos que DR es la identidad. ¤

8. Lema : Toda sucesion exacta de modulos 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 admite una resolucioninyectiva

0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0↓ ↓ ↓

0 −→ I ′• −→ I• −→ I ′′• −→ 0

1.4. Funtores Derivados 17

Demostracion. El morfismo M ′ → I0(M ′) extiende a un morfismo M → I0(M ′). Consideremos lacomposicion M → M ′′ → I0(M ′′). Tenemos un morfismo natural M → I0(M ′) ⊕ I0(M ′′) y undiagrama de filas exactas

0 // M ′Ä _

²²

// M //Ä _

²²

M ′′ //Ä _

²²

0

0 // I0(M ′) // I0(M ′)⊕ I0(M ′′) // I0(M ′′) // 0

Por el lema de la serpiente la sucesion de conucleos es exacta. Repitiendo el proceso obtenemos undiagrama conmutativo de filas y columnas exactas

0 // M ′Ä _

²²

// M //Ä _

²²

M ′′ //Ä _

²²

0

0 // I•(M ′) // I•(M ′)⊕ I•(M ′′) // I•(M ′′) // 0

¤

9. Teorema Sucesion exacta larga de funtores derivados: Si F es un funtor covariante yaditivo exacto por la izquierda, para cada sucesion exacta de A–modulos 0 → M ′ i−→ M

π−→ M ′′ → 0tenemos una sucesion exacta

0 → F (M ′) i−→ F (M) π−→ F (M ′′) δ−→ R1F (M ′) i−→ R1F (M) π−→ R1F (M ′′) δ−→ . . .

Demostracion. Con las notaciones del lema anterior, tenemos una sucesion exacta de complejos 0 →F (I ′•) → F (I•) → F (I ′′•) → 0, porque las sucesiones exactas 0 → I ′n → In → I ′′n → 0 escinden, alser inyectivos los modulos I ′n. Se concluye al considerar la correspondiente sucesion exacta larga degrupos de cohomologıa. ¤

Nota: En el caso de un funtor contravariante aditivo exacto por la izquierda F , las definiciones ydemostraciones siguen siendo validas si todos los complejos se suponen acotados superiormente y losmodulos inyectivos se reemplazan por modulos proyectivos. En este caso se ha de usar la resolucionproyectiva funtorial P•M → M → 0:

. . . −→ P3M −→ P2M −→ P1M −→ P0M −→ M −→ 0 ,

los funtores derivados por la derecha de F son

RnF (M) := Hn [F (P•M)] ,

tenemos que R0F = F y cada sucesion exacta de modulos 0 → M ′ i−→ Mπ−→ M ′′ → 0 induce una

sucesion exacta larga

0 → F (M ′′) π−→ F (M) i−→ F (M ′) δ−→ R1F (M ′′) π−→ R1F (M) i−→ R1F (M ′) δ−→ . . .

10. Teorema del Funtor Compuesto de Grothendieck: Sea G : B Ã C otro funtor covarianteaditivo exacto por la izquierda. Si F transforma inyectivos en G–acıclicos y M es F–acıclico, entonces

Rn(G F )(M) = RnG(F (M)

)


Demostracion. Sea I• una resolucion inyectiva de M . F (I•) es una resolucion de M porque M esF–acıclico, y por hipotesis es G–acıclica; luego

RnG(F (M)

)= Hn[(G F )(I•)] = Rn(G F )(M) .

¤

1.4.1. Funtores derivados por la izquierda

En el caso de un funtor covariante y aditivo exacto por la derecha, las definiciones y demostra-ciones siguen siendo validas si todos los complejos se suponen acotados superiormente y los modulosinyectivos se reemplazan por modulos proyectivos. En este caso se ha de usar la resolucion proyectivafuntorial P•M → M → 0, los funtores derivados por la izquierda LnF de F son

LnF (M) := Hn [F (P•M)] ,

L0F = F y cada sucesion exacta de modulos 0 → M ′ i−→ Mπ−→ M ′′ → 0 induce una sucesion exacta

larga

. . .δ−→ L1F (M ′) i−→ L1F (M) π−→ L1F (M ′′) δ−→ F (M ′) i−→ F (M) π−→ F (M ′′) → 0

Por ultimo, en el caso de el caso de un funtor contravariante aditivo exacto por la derecha F , seusarıa la resolucion inyectiva funtorial 0 → M → I•M y los funtores derivados por la izquierda serıan:

LnF (M) := Hn [F (I•M)] .

Nota: En la categorıa C de haces de A–modulos sobre un espacio topologico X hay suficientesinyectivos en el sentido de que cada haz M admite una resolucion inyectiva funtorial 0 → M →I0M → I1M → I2M → . . .. Las definiciones y demostraciones anteriores siguen siendo validas enesta categorıa C, por lo que es posible derivar por la derecha cualquier funtor covariante y aditivoF : C Ã C’ exacto por la izquierda, donde C’ es la categorıa de haces de B–modulos sobre otroespacio topologico Y (lo que incluye la categorıa de B–modulos cuando Y tiene un unico punto). Pordefinicion

RnF (M) := Hn [F (I•M)] .

Tambien podrıan derivarse por la izquierda los funtores contravariantes y aditivos exactos por laderecha; pero, al no existir suficientes haces proyectivos, la teorıa anterior no sirve para derivar losfuntores contravariantes exactos por la izquierda, como es el caso de los funtores Hom(−,M), ni losfuntores covariantes exactos por la derecha, como es el caso de los funtores (−)⊗A M.


A

1. Definicion : Sea M un A–modulo. Los funtores TorAn (M,−) son los funtores derivados por la

izquierda del funtor covariante F (N) := M ⊗A N ; i.e., si P• → N → 0 es un resolucion proyectiva deN , tenemos que

TorAn (M, N) = Hn[M ⊗A P•]

2. Teorema : TorAn (M, N) = TorA

n (N,M)


A 19

Demostracion. Consideremos resoluciones proyectivas L• → M → 0 y P• → N → 0 de M y N . Elmorfismo natural M ⊗A P• → L• ⊗ P• es un casi–isomorfismo, porque lo es M ⊗A Pq → L• ⊗A Pq

para todo ındice q, ya que Pq es proyectivo. Igualmente se prueba que el morfismo natural L•⊗A N →L• ⊗A P• es un casi–isomorfismo, lo que permite concluir:

TorAn (M,N) = Hn[M ⊗A P•] = Hn[L• ⊗A N ] = TorA

n (N, M)

¤

3. Teorema : TorAn (lım−→

Mi, N) = lım−→

TorAn (Mi, N)

TorAn (⊕iMi, N) = ⊕iTorA

n (Mi, N)

Demostracion. El producto tensorial conmuta con sumas directas y lımites inductivos:

(⊕iMi)⊗A P• = ⊕i(Mi ⊗A P•) , (lım−→

Mi)⊗A P• = lım−→

(Mi ⊗A P•)

¤

4. Lema : Si P• → M → 0 es una resolucion proyectiva de un A–modulo M y 0 → N → I• es unaresolucion inyectiva de un A–modulo N , entonces

Hn[HomA(P•, N)] = Hn[HomA(M, I•)]

Demostracion. El morfismo natural HomA(P•, N) → HomA(P•, I•) es un casi–isomorfismo porque loson los morfismos HomA(Pp, N) → HomA(Pp, I

•), ya que Pp es proyectivo. Igualmente se prueba queel morfismo natural HomA(M, I•) → HomA(P•, I•) es un casi–isomorfismo, lo que permite concluir:

Hn[HomA(P•, N)] = Hn[HomA(P•, I•)] = Hn[HomA(M, I•)]

¤

5. Definicion : Sea M un A–modulo. Los funtores ExtnA(M,−) son los funtores derivados por la

derecha del funtor covariante F (N) = HomA(M, N); y los funtores ExtAn (−, N) son los funtores

derivados por la derecha del funtor F (M) = HomA(M,N), pues ambos coinciden por el lema anterior.

6. Proposicion : Si A es un dominio de ideales principales, todo A–modulo N admite una resolucionproyectiva

0 −→ P1 −→ P0 −→ N −→ 0

Demostracion. Los A–modulos inyectivos son los divisibles, ası que todo cociente de un modulo in-yectivo es inyectivo y todo A–modulo M tiene una resolucion inyectiva 0 → M → I → I/M → 0.Luego Exti

A(−,M) = 0 cuando i ≥ 2.Ahora, si consideramos una sucesion exacta 0 → K → P → N → 0, donde P es proyectivo, la

sucesion exacta larga de funtores derivados muestra que Ext1A(K, M) = Ext2A(N,M) = 0 para todoA–modulo M . Luego el funtor HomA(K,−) es exacto y concluimos que K es proyectivo.

¤


1.6. Complementos sobre el connecting δ.

Faltarıa probar que el connecting δ no depende de la resolucion inyectiva elegida 0 → I ′• → I• →I ′′• → 0, y que es funtorial en el siguiente sentido:

Dado un diagrama conmutativo de filas exactas (la primera y la ultima formadas por resolucionesinyectivas de la segunda y la tercera respectivamente)

(∗)

0 −→ I ′• −→ I• −→ I ′′• −→ 0↑ ↑ ↑

0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0↓ f ′ ↓ f ↓ f ′′

0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0↓ ↓ ↓

0 −→ I ′• −→ I• −→ I ′′• −→ 0

la primera sucesion exacta induce un connecting δ y la ultima induce un connecting δ, de modo quelos siguientes cuadrados son tambien conmutativos:

RF (M ′′) δ−→ Rn+1F (M ′)↓ f ′′ ↓ f ′

RF (M ′′) δ−→ Rn+1F (M ′)

Notese que este caracter funtorial ya prueba la independencia de la resolucion inyectiva elegida,sin mas que considerar el caso en que los morfismos f ′, f y f ′′ son la identidad. Pasemos pues a probarel caracter funtorial del connecting δ:

Si K• y L• son complejos, Hom•(K•, L•) denota el complejo que en grado n esta formado portodos los morfismos homogeneos f : K• → L•[n], aunque no conmuten con la diferencial:

Homn(K•, L•) :=∏p

Hom(Kp, Lp+n) , d(f) := d f − (−1)nf d

de modo que los ciclos son los morfismos de complejos f : K• → L•[n] (recuerdese que la diferencialde L•[n] es (−1)nd), y la condicion de borde

f = d(h) = dh− (−1)n−1hd = (−1)n ((−1)ndh + hd)

significa que f es homotopo a cero. Los grupos de cohomologıa de este complejo son precisamente lasclases de homotopıa de morfismos K• → L•[n], es decir:

[K•, L•[n]] = Hn [Hom•(K•, L•)] .

1. Lema : Dada una sucesion exacta de complejos 0 → K ′• → K• → K ′′• → 0 y un complejoinyectivo I•, tenemos una sucesion exacta:

. . . → [K ′•, I•[−1]] δ−→ [K ′′•, I•] → [K•, I•] → [K ′•, I•] δ−→ [K ′′•, I•[1]] → . . .

Demostracion. Basta aplicar el funtor Hom•(−, I•), que es exacto porque los modulos Ip son inyec-tivos, y tomar la correspondiente sucesion exacta larga de cohomologıa. ¤

1.6. Complementos sobre el connecting δ. 21

2. Lema : Si la cohomologıa de un complejo acotado inferiormente K• es nula, entonces todo mor-fismo f : K• → I• en un complejo inyectivo acotado inferiormente I• es homotopo a 0.

Demostracion. K• puede verse como una resolucion del 0, y la demostracion usual sigue siendo valida:Supuesta construida la homotopıa h hasta la etapa hn : Kn → In−1, tenemos que fn − dhn se anulaen los ciclos de K•:

(fn − dhn)d = fnd− d(hnd + dhn−1) = fnd− dfn−1 = 0 ;

luego fn − dhn factoriza a traves de d : Kn → Bn+1, y este morfismo Bn+1 → In se extiende a unmorfismo hn+1 : Kn+1 → In porque In es inyectivo, de modo que fn − dhn = hn+1d. ¤

3. Lema : Si φ : K• ∼−→ L• es un casi–isomorfismo entre complejos acotados inferiormente, entoncesφ : [L•, I•] ∼−→ [K•, I•] es un isomorfismo para todo complejo inyectivo I• acotado inferiormente.

Demostracion. El cono de φ es acıclico, ası que en virtud de los dos lemas anteriores, la sucesionexacta

0 −→ L• −→ K•[1]⊕ L• −→ K•[1] −→ 0

induce un isomorfismo δ : [L•, I•] ∼−→ [K•[1], I•[1]] = [K•, I•], que coincide con el morfismo inducidopor φ; es decir, δ(f) = f φ :

(δf)(k) = (d (0⊕ f)− (0⊕ f) d) (k, 0)= −(0⊕ f)(−dk,−φk) = (f φ)(k)

¤

4. Corolario : Este lema da otra demostracion de que el isomorfismo del teorema de De Rham es laidentidad cuando A• = I•M

Demostracion. El lema anterior prueba que todos los morfismos I•M → I•(I•M) que extienden ala identidad de M son homotopos; luego tambien lo son los correspondientes morfismos F (I•M) →F (I•(I•M)), y todos coinciden al tomar cohomologıa. ¤

Sea ahora 0 → K ′• → K• → K ′′• → 0 una sucesion exacta de complejos escindida (en el sentidode que 0 → K ′p → Kp → K ′′p → 0 escinde para todo p) y sean s, r una seccion y un retracto (¡no sonmorfismos de complejos!) tales que rs = 0. Ahora ds−sd : K ′′• → K•[1] es un morfismo de complejosque de hecho valora en K ′•[1]:

(−d)(ds− sd) = dsd = (ds− sd)d , p(ds− sd) = dps− d = 0 .

Ası pues, en el caso de una sucesion exacta escindida el connecting viene dado por un morfismo decomplejos ∂ := r(ds − sd) = rds : K ′′• → K ′•[1]. Ademas, para todo complejo inyectivo acotadoinferiormente J• se verifica que el correspondiente morfismo

δ : [K ′•, J•] = [K ′•[1], J•[1]] −→ [K ′′•, J•[1]]

es precisamente el traspuesto del morfismo −∂:

δ(f) = d(fr) s = dfrs− frds = −frds = −f ∂


Ahora, aplicando el funtor exacto Hom•(−, J•) al diagrama conmutativo (*) y tomando coho-mologıa, obtenemos un diagrama conmutativo

[I ′•, J•] ∼−→ [M ′, J•]f ′−→ [

M ′, J•] ∼←− [

I ′•, J•]

↓ −∂ ↓ ↓ ↓ −∂

[I ′′•, J•[1]] ∼−→ [M ′′, J•[1]]f ′′−−→ [

M ′′, J•[1]] ∼←− [

I ′′•, J•[1]]

Ademas, en este diagrama los morfismos horizontales estan inducidos por sendos morfismos t′ : I ′• →I ′• y t′′ : I ′′• → I ′′• tales que los siguientes cuadrados sean conmutativos salvo homotopıas (existenpor el ultimo lema):

I ′• t′−→ I ′•

↑ ↑M ′ f ′−→ M ′

,I ′′• t′′−→ I ′′•

↑ ↑M ′′ f ′′−−→ M ′′

Se sigue que el siguiente cuadrado es conmutativo salvo homotopıas:

I ′′• −∂−−−→ I ′•[1]↓ t′′ ↓ t′

I ′′• −∂−−−→ I ′•[1]

y se concluye al aplicar F y tomar cohomologıa, pues los morfismos F (t′) y F (t′′) inducen en co-homologıa los morfismos f ′ : RnF (M ′) → RnF (M ′) y f ′′ : RnF (M ′′) → RnF (M ′′), porque la de-mostracion del caracter funtorial del isomorfismo del teorema de De Rham sigue siendo valida aunqueel cuadrado

M ∼−→ A•

↓ f ↓ t

M ∼−→ A•

sea conmutativo salvo una homotopıa. En efecto, por el ultimo lema tambien es conmutativo salvohomotopıas el cuadrado

I•M ∼−→ I•A•

↓ f ↓ t

I•M ∼−→ I•A•

y en la demostracion solo se usa que este es conmutativo despues de aplicar F y tomar cohomologıa.

Nota: Todo el tratamiento de los funtores derivados sigue siendo valido si los modulos M se sustituyenpor complejos acotados inferiormente o superiormente, segun el caso, y las resoluciones se sustituyenpor casi–isomorfismos. Ası se obtiene sin mas la teorıa de los hiperfuntores derivados por la derechaRnF (K•) o por la izquierda LnF (K•).

Capıtulo 2

El Anillo de Cohomologıa

2.1. Imagen Directa de Haces

Sea φ : X → Y una aplicacion continua. Si G es un haz sobre X, entonces

(φ∗G)(U) := G(φ−1U)

es un haz sobre Y y diremos que es la imagen directa de G por la aplicacion continua φ. Cuandoφ : X → p es la proyeccion sobre un punto, tenemos que φ∗F = F(X).1. Proposicion : Los haces inyectivos son flascos.

Demostracion. Sea F un haz inyectivo. Observemos que I0(F ) es un haz flasco. Por ser F inyectivoI0(F ) = F ⊕ F ′, luego F es flasco. ¤

Las imagenes directas superiores Rnφ∗ son una generalizacion de la cohomologıa de haces Hn(X,−):Por definicion, Rnφ∗(F) es el haz asociado al prehaz

U Ã Hn(φ−1U,F) ,

Si Y = p, entonces Rnφ∗(F) = Hn(X, F ).Si G es flasco, entonces φ∗G es flasco. En particular, φ∗ transforma inyectivos en Γ–acıclicos, y

Γ(X,−) = Γ(Y,−) φ∗.2. Proposicion : Si i : Y → X es un subespacio cerrado y G es un haz abeliano sobre Y , entonces

Hn(Y,G) = Hn(X, i∗G)

Demostracion. Basta probar que la imagen directa i∗ es un funtor exacto, lo cual es consecuenciadirecta de que

(i∗G)x = lım−→

x∈U

G(U ∩ Y ) =

0 si x ∈ X − Y

Gx si x ∈ Y

¤

Imagen directa con soportes propios:

Se dice que una aplicacion continua X → S es un morfismo propio (o una aplicacion propia ocompacta,...) cuando verifica las siguientes condiciones equivalentes:

23

24 Capıtulo 2. El Anillo de Cohomologıa

1. Es cerrada y de fibras compactas.

2. Es geometricamente cerrada; i.e., X ×S T → T es cerrada para todo cambio de base T → S.

3. X × T → S × T es cerrada para todo espacio topologico T .

Cuando los espacios son separados y localmente compactos, la condicion de que una aplicacion continuaf : X → S sea propia equivale a que f−1(K) sea compacto para todo compacto K ⊆ S.

Para generalizar la cohomologıa con soportes compactos se introduce la imagen directa con soportespropios φ!:

(φ!F)(U) := s ∈ F(φ−1U) : sop(s)φ−−→ U es un morfismo propio

que, de hecho, es un haz sobre Y . Cuando φ : X → p es la proyeccion sobre un punto, tenemosque φ!F = Γc(X,F), ası que las imagenes directas superiores con soportes propios Rnφ! son unageneralizacion de la cohomologıa de haces con soportes compactos Hn

c (X,−). Por definicion, Rnφ!(F)es el haz asociado al prehaz

U Ã Hnψ(φ−1U,F) ,

donde ψ denota la familia de los cerrados que son propios sobre U , ası que los haces flascos sonφ!–acıclicos, y las imagenes directas superiores Rnφ! pueden calcularse con resoluciones flascas.

Recordemos:

3. Definicion : Se dice que un haz de anillos O sobre un espacio topologico X posee particionesde la unidad cuando para cada recubrimiento abierto Ui de X existe una conjunto de seccionessi ∈ O(X) tales que sopsi ∈ Ui, formen una familia localmente finita y se cumpla que

1 =∑

i

si

Ejemplos: 1. El haz de funciones diferenciables de una variedad diferenciable.2. El haz de funciones continuas con valores reales los espacios separados localmente compactos y

de base numerable.3. C0Z en los espacios separados localmente compactos y de base numerable

4. Proposicion : Sea O un haz de anillos con particiones de la unidad. Entonces los haces de O-modulos son Γ–acıclicos.

5. Proposicion : Sea X un espacio localmente compacto y separado. Sea O un haz de anillos conparticiones de la unidad. Entonces los haces de O-modulos son Γc–acıclicos.

6. Teorema : Sea φ : X → Y una aplicacion continua entre espacios separados localmente compactosy de base numerable. Entonces φ! transforma inyectivos en Γc–acıclicos.

Demostracion. Si C es un haz de Godement sobre X, en general no es cierto que φ!C sea un haz deGodement sobre Y ; pero es un C0ZY –modulo, luego Γc–acıclico. Todo haz inyectivo es un sumandodirecto de un haz de Godement, φ! conmuta con sumas directas de dos haces y una suma directa dedos haces es Γc–acıclica si y solo si lo es cada sumando directo.

¤

Es facil comprobar que (f g)! = f! g!, por tanto Γc(X,−) = Γc(Y,−) φ!.

2.2. Imagen Inversa de Haces 25

2.2. Imagen Inversa de Haces

Un epimorfismo continuo E → X diremos que un espacio etale si para cada punto e ∈ E existeun entorno abierto U de e de modo que U → π(U) es un homeomorfismo. Dado un haz F sobre X elespacio etale F asociado a F se define por F =

∐x∈X Fx y una base de entornos de sx ∈ Fx ⊂ F ,

s ∈ F(U), U entorno abierto de x, es Vsx:= sy, y ∈ V , variando los entornos de x, V ⊂ U . Es bien

conocido que

Categorıa de haces en X Ã Categorıa de espacios etale sobre X

F Ã F

HomX(−, F ) ← F

1. Definicion : Sea φ : Y → X una aplicacion continua. Si F es un haz sobre X y F → X es suespacio etale, entonces

(φ∗F)(V ) := HomX(V, F ) = HomY (V, F ×X Y )

es un haz sobre Y , llamado imagen inversa de F por la aplicacion continua φ.El espacio etale asociado a φ∗F es justamente F ×X Y .De las propiedades del producto fibrado se sigue que ψ∗(φ∗F) = (φψ)∗F para toda aplicacion

continua ψ : Z → Y , y que la imagen inversa de un haz constante sobre X es el haz constante sobreY de la misma fibra: (G×X)×X Y = G× Y .

Ademas, si s ∈ F(U), entonces φ∗s := s φ ∈ (φ∗F)(φ−1U). Obtenemos ası una imagen inversade secciones:

F(U)φ∗−−−−→ (φ∗F)(φ−1U)

La imagen inversa de secciones define un isomorfismo canonico

Fφ(y) = (φ∗F)y , sφ(y) = (φ∗s)y

y vemos que la imagen inversa siempre es un funtor exacto.

Sea φ : Y → X, una aplicacion continua, F un haz sobre X y G un haz sobre Y . Cada morfismof : φ∗F → G define morfismos

F(U)φ∗−−−→ (φ∗F)(φ−1U)

f−−−→ G(φ−1U)

es decir, define un morfismo F → φ∗G. Pues bien:

2. Formula de Adjuncion : HomY (φ∗F ,G) = HomX(F , φ∗G) .

Demostracion. Ambos terminos de la igualdad son funtores covariantes en la variable G y exactospor la izquierda, ası que, basta probar la formula de adjuncion cuando G es un haz de Godement,G(V ) =

∏y∈V My. En tal caso tenemos que φ∗G tambien es un haz de Godement, porque

(φ∗G)(U) =∏

y∈φ−1U

My =∏

x∈U

( ∏φ(y)=x

My

)


y concluimos que la formula de adjuncion es cierta:

Hom(φ∗F ,G) =∏

y∈Y

Hom(Fφ(y),My) =∏

x∈X

( ∏φ(y)=x

Hom(Fφ(y),My))

Hom(F , φ∗G) =∏

x∈X

Hom(Fx,

∏φ(y)=x

My

)=

∏x∈X

( ∏φ(y)=x

Hom(Fx,My))

¤

3. Corolario : La imagen directa transforma haces inyectivos en haces inyectivos.

Demostracion. El funtor Hom(−, φ∗G) = Hom(φ∗(−),G) es exacto cuando G es inyectivo. ¤

4. Corolario : Si G es un haz constante sobre un espacio topologico X, para todo haz F sobre Xtenemos que

Hom(G,F) = Hom(G,F(X)) .

Demostracion. Basta aplicar la formula de adjuncion a la proyeccion de X sobre un punto. ¤

2.2.1. Restriccion de Haces

5. Definicion : Cuando Y es un subespacio topologico de X, diremos que F|Y := i∗F es la restricciondel haz F al subespacio Y , donde i : Y → X denota la inclusion, pues el espacio etale de F|Y es F |Y .

Si U es un abierto de X, es claro que F|U es el haz (F|U )(V ) = F(V ), donde V es cualquierabierto de U . Por eso en el caso de un subespacio general Y pondremos Γ(Y,F) := Γ(Y,F|Y ) yHn(Y,F) := Hn(Y,F|Y ).

6. Definicion : Sea F un haz abeliano sobre un espacio topologico X. Si i : Y → X es la inclusionde un subespacio cerrado, pondremos FY := i∗i∗F , de modo que FY coincide con F en el cerradoY y se anula en el abierto U = X − Y .

La imagen inversa de secciones define un morfismo canonico i∗ : F → i∗i∗F = FY , que claramentees epiyectivo, y de acuerdo con 2.1.2, tenemos que

Hn(Y,F) = Hn(X,FY ) .

7. Sucesion Exacta de Mayer–Vietoris : Si Y1, Y2 son dos cerrados de un espacio topologico X,para todo haz abeliano F sobre X tenemos una sucesion exacta

. . .δ−−→ Hn(Y1 ∪ Y2,F) −→ Hn(Y1,F)⊕Hn(Y2,F) −→ Hn(Y1 ∩ Y2,F) δ−−→ . . .

Demostracion. Es la sucesion exacta de cohomologıa de la sucesion exacta

0 −→ FY1∪Y2 −→ FY1 ⊕FY2

f−−−→ FY1∩Y2 −→ 0 .

donde f(s1, s2) = s1|Y1∩Y2 − s2|Y1∩Y2 . ¤

8. Lema : Sea O un haz de anillos sobre un espacio topologico X y sea Y un cerrado de X. Si Oadmite particiones de la unidad, entonces O|Y tambien admite particiones de la unidad.


Demostracion. Si Ui es un recubrimiento abierto de Y , y f0, fi es una particion de la unidad deO subordinada al recubrimiento U0 := X − Y, Ui, entonces fi|Y es una particion de la unidad deO|Y subordinada al recubrimiento dado Ui. ¤

9. Sucesion Exacta del Subespacio Cerrado : Sea X un espacio localmente compacto, separadoy de base numerable. Si i : Y → X es un cerrado de X y U := X −Y , para todo haz abeliano F sobreX tenemos una sucesion exacta

. . .δ−−→ Hn

c (U,F) −→ Hnc (X,F) i∗−−→ Hn

c (Y,F) δ−−→ . . .

Demostracion. Basta tomar cohomologıa en la sucesion exacta de complejos

0 −→ Γc(U, C•F) −→ Γc(X, C•F) i∗−−→ Γc(Y, C•F) −→ 0

pues (C•F)|Y es una resolucion Γc–acıclica del haz F|Y , ya que los haces (CnF)|Y son modulos sobreel haz de anillos C0Z|Y , que admite particiones de la unidad en virtud de 2.2.8

Veamos que el morfismo Γc(X, C•F) → Γc(Y, C•F) es epiyectivo: Si s ∈ Γc(Y, CnF), para cadapunto y ∈ Y existe un entorno V en X y una seccion σ de CnF en V que coincide con s en V ∩ Y .Ademas podemos suponer que su cierre V es compacto, porque X es localmente compacto. Un numerofinito (V1, σ1), . . . , (Vr, σr) de tales abiertos recubren el soporte de s. Si f0, f1, . . . , fr es una particionde la unidad del haz de anillos C0Z subordinada al recubrimiento V0 = X−|s|, V1, . . . , Vr, entonces σ :=∑

i σi es una seccion global de CnF que tiene soporte compacto, pues esta contenido en V1 ∪ . . .∪ Vn,y prolonga a s (la penultima igualdad se debe a que f0 se anula en el soporte de s)::

(n∑

i=1

fiσi)y =n∑

i=1

(fi)y(σi)y =n∑

i=1

(fi)ysy =n∑

i=0

(fi)ysy = sy

¤

10. Definicion : Sea F un haz abeliano sobre un espacio topologico X. Si U es un abierto de Xy ponemos Y := X − U , el nucleo del epimorfismo natural F → FY se denotara FU , de modo quetenemos una sucesion exacta natural

0 −→ FU −→ F −→ FY −→ 0 .

Tomando secciones en un abierto V de X vemos que

Γ(V,FU ) = s ∈ F(V ) : sop(s) ⊆ U ∩ V = s ∈ F(V ∩ U) : sop(s) es cerrado en V

de modo que FU = i!F , donde i : U → X es la inclusion. Ademas, tenemos que Γc(X,FU ) = Γc(U,F)cuando X es separado.11. Proposicion : Sean U ⊂ X un abierto e Y ⊂ X un cerrado. Se cumple:

1.

(FU )x =

Fx si x ∈ U0 si x /∈ U

(FY )x =

Fx si x ∈ Y0 si x /∈ Y

2. F ⊗Z ZU = FU , F ⊗Z ZY = FY .


3. HomZ(ZU , F ) = F (U), HomZ(ZY , F ) = ΓY (X,F ).

12. Proposicion : Sea X un espacio separado, localmente compacto y de base numerable. Si U es unabierto de X, para todo haz abeliano F sobre X se verifica:

Hnc (X,FU ) = Hn

c (U,F)

Demostracion. Si M es un haz de modulos sobre un haz de anillos A, entonces MU tambien es unA–modulo, porque sop(as) ⊆ sop(s). Luego (C•F)U es una resolucion Γc–acıclica de FU y concluimosque

Hnc (X,FU ) = Hn[Γc(X, (C•F)U )] = Hn[Γc(U, C•F)] = Hn

c (U,F)

¤

La sucesion del subespacio cerrado es la sucesion exacta larga de cohomologıa con soportes com-pactos asociada a la sucesion exacta de haces

0 −→ FU −→ F −→ FY −→ 0 .

lo que proporciona otra demostracion de la sucesion exacta del subespacio cerrado.

2.2.2. Imagen Inversa en Cohomologıa

Sea φ : Y → X una aplicacion continua, F un haz de grupos abelianos sobre X, y C•F su resolucionde Godement.

La sucesion 0 → φ∗F → φ∗C•F es exacta, porque el funtor φ∗ es exacto. Luego φ∗C•F es unaresolucion del haz φ∗F y, por 1.4.3, tenemos morfismos naturales

Hn[Γ(Y, φ∗C•F)] −→ Hn(Y, φ∗F)

que, al componer con el morfismo inducido en cohomologıa por la imagen inversa de secciones

Γ(X, C•F)φ∗−−−→ Γ(Y, φ∗(C•F))

definen morfismosφ∗ : Hn(X,F) −→ Hn(Y, φ∗F)

Esta imagen inversa de clases de cohomologıa es compatible con los morfismos de haces f : F → G,en el sentido de que el siguiente cuadrado es conmutativo

Hn(X,F)φ∗−−−→ Hn(Y, φ∗F)

↓ f ↓ φ∗f

Hn(X,G)φ∗−−−→ Hn(Y, φ∗G)

Para demostrarlo basta considerar el siguiente cuadrado conmutativo y aplicar 1.4.3:

Hn[Γ(X, C•F)]φ∗−→ Hn[Γ(Y, φ∗C•F)]

↓ f ↓ φ∗f

Hn[Γ(X, C•G)]φ∗−→ Hn[Γ(Y, φ∗C•G)]


13. Teorema : Sea φ : Y → X una aplicacion continua y F un haz de grupos abelianos sobre X. Si0 → F → R• es una resolucion, el siguiente cuadrado es conmutativo (donde los morfismos verticalesson los de 1.4.3):

Hn[Γ(X,R•)] φ∗−−−→ Hn[Γ(Y, φ∗R•)]↓ ↓


Demostracion. Es consecuencia del siguiente diagrama conmutativo (donde los morfismos verticalesestan definidos por la imagen inversa de secciones) y de 1.4.3:

Hn[Γ(X, C•F)] −→ Hn[Γ(X, C•R•)] ←− Hn[Γ(X,R•)]↓ ↓ ↓

Hn[Γ(Y, φ∗C•F)] −→ Hn[Γ(Y, φ∗C•R•)] ←− Hn[Γ(Y, φ∗R•)]¤

14. Corolario : Si φ : Y → X es una aplicacion diferenciable entre variedades diferenciables, en-tonces los morfismos φ∗ : Hp(X,R) → Hp(Y,R) estan definidos por la imagen inversa de formasdiferenciales:

φ∗[ ωp ] = [ φ∗ωp ] .

Demostracion. La imagen inversa de formas diferenciales define un morfismo de complejos Ω•X →φ∗Ω•Y , que se corresponde con un morfismo de complejos φ∗Ω•X → Ω•Y tal que la composicion

Γ(X, Ω•X)φ∗−−−→ Γ(Y, φ∗Ω•X) −→ Γ(Y, Ω•Y )

es el morfismo [wp] 7→ [φ∗wp].Ahora bien, segun 2.2.13 y 1.4.3, el siguiente diagrama es conmutativo:

Hn[Γ(X, Ω•X)] −→ Hn[Γ(Y, φ∗Ω•X)] −→ Hn[Γ(Y, Ω•Y )]‖ ↓ ‖

Hn(X,R)φ∗−−−→ Hn(Y,R) === Hn(Y,R)

¤

15. Corolario : Si Zψ−→ Y

φ−→ X son aplicaciones continuas y F es una haz abeliano sobre X,entonces el siguiente cuadrado es conmutativo:

Hn(X,F)(φψ)∗−−−−→ Hn(Z, (φψ)∗F)

↓ φ∗ ‖Hn(Y, φ∗F)

ψ∗−−→ Hn(Z, ψ∗φ∗F)

Demostracion. Consideremos una resolucion acıclica A• de F . De acuerdo con 2.2.13, el siguientediagrama es conmutativo:

Hn[Γ(X,A•)] φ∗−−−→ Hn[Γ(Y, φ∗A•)] ψ∗−−−→ Hn[Γ(Z, (φψ)∗A•)]‖ ↓ ↓


ψ∗−−−→ Hn(Z, ψ∗(φ∗F))

¤


16. Corolario : Sea φ : Y → X una aplicacion continua. Si 0 → F ′ → F → F ′′ → 0 es una sucesionexacta de haces sobre X, entonces el siguiente cuadrado es conmutativo:

Hn(X,F ′′) δ−−−→ Hn+1(X,F ′)↓ φ∗ ↓ φ∗

Hn(Y, φ∗F ′′) δ−−−→ Hn+1(Y, φ∗F ′′)Demostracion. Consideremos una resolucion inyectiva 0 → I ′• → I• → I ′′• → 0 de la sucesion dada(por ejemplo, basta tomar I ′• = I•F ′, I• = I•F y I ′′• = I•/I ′•), y una resolucion inyectiva de suimagen inversa:

0 −→ φ∗I ′• −→ φ∗I• −→ φ∗I ′′• −→ 0↓ ↓ ↓

0 −→ J ′• −→ J • −→ J ′′• −→ 0

Se concluye al tomar cohomologıa en el siguiente diagrama conmutativo de filas exactas y aplicar1.4.3 y 2.2.13 (junto con el caracter funtorial del connecting):

0 −→ Γ(X, I ′•) −→ Γ(X, I•) −→ Γ(X, I ′′•) −→ 0↓ φ∗ ↓ φ∗ ↓ φ∗

Γ(Y, φ∗I ′•) −→ Γ(Y, φ∗I•) −→ Γ(Y, φ∗I ′′•)↓ ↓ ↓

0 −→ Γ(Y,J ′•) −→ Γ(Y,J •) −→ Γ(Y,J ′′•) −→ 0

¤

Ejemplos: En la sucesion exacta de Mayer–Vietoris para abiertos, los morfismos Hn(U,F) → Hn(V,F)son las imagenes inversas correspondientes a la inclusion i : V → U , cuando V es un abierto de U .

En la sucesion exacta de Mayer–Vietoris para cerrados, los morfismos Hn(Y,F) → Hn(Z,F) sonlas imagenes inversas correspondientes a la inclusion i : Z → Y , cuando Z es un cerrado de Y .

En la sucesion exacta de cohomologıa local, el morfismo Hn(X,F) → Hn(U,F) es la imageninversa correspondiente a la inclusion i : U → X.

En la sucesion exacta del subespacio cerrado, el morfismo Hnc (X,F) → Hn

c (U,F) es la imageninversa correspondiente a la inclusion i : Y → X.Nota: En general, dada una aplicacion continua φ : Y → X, puede definirse la imagen inversaφ∗ : Hn

Z(X,F) → Hnφ−1Z(Y, φ∗F), ası como φ∗ : Hn

c (X,F) → Hnc (Y, φ∗F) cuando φ−1(K) sea com-

pacto para todo compacto K ⊆ X. En tales casos las demostraciones anteriores siguen siendo validas.Igualmente, el haz F puede sustituirse por un complejo de haces inferiormente acotado.

2.3. Cambio de Base

1. Cohomologıa de la Fibra : Sea φ : X → Y una aplicacion continua entre espacios separados ylocalmente compactos de base numerable. Si F es un haz abeliano sobre X, para todo punto y ∈ Ytenemos un isomorfismo natural

Rnφ!(F)y = Hnc (φ−1y,F)

Demostracion. Veamos primero que, si C es un haz de Godement sobre X, el morfismo natural

(φ!C)y = lım−→

y∈V

Γ(V, φ!C) −→ Γc(φ−1y, C)

2.4. Invarianza por Homotopıas 31

es un isomorfismo. Es inyectivo porque si el soporte de una seccion s ∈ Γ(φ−1V, C) es propio sobre Vy no corta a la fibra de y, entonces φ(sop s) es cerrado en V y s se anula en φ−1

(V − φ(sop s)

).

Para ver que es epiyectivo, si s es una seccion de C sobre la fibra φ−1y, cada punto x ∈ φ−1

tiene un entorno Ui relativamente compacto y una seccion si ∈ Γ(Ui, C) que extiende a s. Un numerofinito U1, . . . , Ur de tales abiertos recubren el soporte de s porque es compacto. Sea f0, f1, . . . , fr

una particion de la unidad de C0ZX subordinada al recubrimiento Uo := X − sop(s), U1, . . . , Ur, demodo que f1, . . . , fr tienen soporte compacto y f1s1 + . . . + frsr ∈ Γc(X, C) es una extension de s. Seconcluye al observar que Γc(X, C) ⊆ Γ(Y, φ!C).

Ahora, si 0 → F → C• es la resolucion inyectiva Godement de F , por 2.2.8 tenemos:(Rnφ!(F)

)y

=(Hn(φ!C•)

)y

= Hn[(φ!C•)y] =

= Hn[Γc(φ−1y, C•)] = Hnc (φ−1y,F)

¤

2. Teorema de Cambio de Base : Dado un cuadrado cartesiano de aplicaciones continuas

X ×S Tf−−→ X

↓ φ ↓ φ

Tf−−→ S

entre espacios separados y localmente compactos de base numerable, y un haz abeliano F sobre X, laimagen inversa f∗ define isomorfismos naturales

f∗(Rnφ!(F)

)= Rnφ!(f∗F)

Demostracion. La imagen inversa f∗ define un morfismo Rnφ!(F) → f∗(Rnφ!(f∗F)

)que se corre-

sponde con un morfismo f∗(Rnφ!(F)

) → Rnφ!(f∗F) que es isomorfismo en cada punto t ∈ T . Enefecto, si s = f(t), el morfismo

Hnc (φ−1s,F) =

(Rnφ!(F)

)s

=(f∗Rnφ!(F)

)t

f∗−−−→ Hnc (φ−1t, f∗F) =

(Rnφ!(f∗F)

)t

es un isomorfismo porque f : φ−1(t) → φ−1(s) es un homeomorfismo. ¤

2.4. Invarianza por Homotopıas

Cohomologıa del Segmento: Todo haz constante M sobre un segmento cerrado I de la recta reales acıclico:

Hn(I, M) = 0 , n ≥ 1

Demostracion. Procedemos por induccion sobre n. Si dos segmentos cerrados I1 y I2 en I se cortan,el morfismo natural H0(I1, M)⊕H0(I2,M) → H0(I1 ∩ I2,M) es epiyectivo porque I1 ∩ I2 es conexo.La sucesion exacta de Mayer–Vietoris para cerrados prueba que el morfismo de restriccion H1(I1 ∪I2,M) → H1(I1,M)⊕H1(I2,M) es inyectivo. Por tanto, para todo recubrimiento finito I = I1∪ . . . Ir

de I por segmentos cerrados, tenemos que el morfismo de restriccion

H1(I, M) −→ H1(I1,M)⊕ . . .⊕H1(Ir,M)


es inyectivo, pues tales intervalos siempre se pueden ordenar de modo que Ii+1 corte al segmentoI1∪ . . .∪Ii. Como toda clase de cohomologıa es nula en algun entorno de cada punto e I es compacto,concluimos que H1(I,M) = 0.

Cuando n > 1, se puede repetir el argumento, pues por hipotesis Hn−1(I1 ∩ I2,M) = 0, y denuevo la sucesion exacta de Mayer–Vietoris muestra que el morfismo de restriccion Hn(I1 ∪ I2,M) →Hn(I1,M)⊕Hn(I2,M) es inyectivo.

2a demostracion: Los grupos Hn(I, M) son los grupos de cohomologıa del complejo

0 −→ M −→ Γ(I, C0M) d−−−→ Γ(I, C1M) d−−−→ Γ(I, C2M) d−−−→ . . .

y para ver su anulacion procedemos por induccion sobre n. Cuando n = 1, consideramos un ciclo c ∈Γ(I, C1M) y la familia de todos los pares (U, s) donde U es un intervalo abierto en I y s ∈ Γ(U, C0M)verifica que ds = c. Sea (U, s) un elemento maximal de tal familia, que existe por el lema de Zorn. SiU = I, la clase de cohomologıa representada por c es nula.

En caso contrario, consideramos un extremo x del intervalo U que no sea extremo de I. SeaU ′ un intervalo alrededor de x y s′ ∈ Γ(U ′, C0M) tal que ds′ = c. Como d(s′ − s) = 0, existeg ∈ Γ(U ′ ∩U,M) = M tal que s′ − s = g. Ahora s′ − g coincide con s en U ′ ∩U y, define una seccions ∈ Γ(U ′ ∪ U, C0M) tal que ds = c, en contra del caracter maximal de (U, s).

Cuando n > 1, dado un ciclo c ∈ Γ(I, CnM) se procede de modo analogo hasta obtener qued(s′ − s) = 0; pero ahora, por hipotesis de induccion Hn−1(U ′ ∩ U,M) = 0, ası que s′ − s = dσpara algun σ ∈ Γ(U ′ ∩ U, Cn−2M). Al ser flasco Cn−2M , podemos extender σ hasta U ′, de modo ques′−dσ coincide con s y define una seccion s ∈ Γ(U ′∪U, Cn−1M) tal que ds = c, en contra del caractermaximal de (U, s). ¤

1. Teorema : Si M es un haz abeliano constante sobre un espacio separado y localmente compactode base numerable X, y π : X × [0, 1] → X es la proyeccion natural, entonces

π∗ : Hn(X, M) −→ Hn(X × [0, 1],M)

es un isomorfismo.

Demostracion. Si U es un abierto de X, toda aplicacion U×[0, 1] → M localmente constante factorizaa traves de la proyeccion π : U× [0, 1] → U , porque las fibras son conexas y π admite seccion continua.Es decir, el morfismo natural M → π∗M es un isomorfismo.

Ahora, si C• es la resolucion Godement del haz M sobre X × [0, 1], el calculo de la cohomologıade la fibra muestra que π∗C• es una resolucion (claramente flasca) de π∗M = M . En efecto, si n ≥ 1,para todo punto x ∈ X tenemos

(Rnπ∗M)x = Hn([0, 1],M) = 0 .

Para concluir podemos razonar de dos modos:

1a La identidad π∗C• → π∗C• se corresponde, por la formula de adjuncion, con un morfismoπ∗π∗C• → C• tal que la composicion

Γ(X, π∗C•) π∗−−−→ Γ(X × [0, 1], π∗π∗C•) −→ Γ(X × [0, 1], C•) = Γ(X,π∗C•)es la identidad. Como π∗C• es una resolucion flasca de π∗M = M , 2.2.13 y 1.4.3 permiten concluirque, en cohomologıa, tal morfismo es π∗ : Hn(X, M) −→ Hn(X × [0, 1],M).


2a Sea A• una resolucion acıclica del haz constante M sobre X y sea f : π∗A• → C• un morfismoen una resolucion Godement de π∗M = M . Se trata de ver que la composicion

A•(U) π∗−−−→ (π∗A•)(π−1U)f−−→ C•(π−1U)

es un casi–isomorfismo cuando U = X. Ahora bien, estos morfismos definen un cuadrado conmutativo

M ∼−→ π∗M↓ ↓A• → π∗C•

y, al ser π∗C• una resolucion flasca de π∗M = M , el teorema de De Rham permite concluir. ¤

2. Teorema: Sea M es un haz abeliano constante sobre un espacio topologico Y y sean φ, ψ : X → Ydos aplicaciones continuas homotopas. Si X es separado y localmente compacto de base numerable,entonces

φ∗ = ψ∗ : Hn(Y, M) −→ Hn(X, M)

Demostracion. Sea it : X → X × [0, 1] la aplicacion it(x) = (x, t). Por hipotesis existe una aplicacioncontinua h : X × [0, 1] → Y tal que φ = h i0 y ψ = h i1. Luego φ∗ = i∗0 h∗ , ψ∗ = i∗1 h∗, y seconcluye al observar que i∗0 = i∗1, pues i∗t π

∗ es la identidad y π∗ es un isomorfismo por el teoremaanterior. ¤

3. Corolario : Si φ : X → Y es una equivalencia homotopica entre espacios paracompactos, entoncesφ∗ : Hn(Y, M) → Hn(X, M) es un isomorfismo para todo n ≥ 0 y todo haz constante M sobre Y .

2.4.1. Calculos

4. Corolario : Si π : Y → X es un revestimiento finito de espacios topologicos y M es un hazconstante sobre Y , entonces

Hp(Y,M) = Hp(X,π∗M) para todo p ≥ 0

Demostracion. Como Γ(X,−) = Γ(Y,−) π∗ y la imagen directa π∗ transforma flascos en flascos, deacuerdo con el teorema del funtor compuesto basta probar que Rpπ∗(M) = 0 cuando p ≥ 1. Ahorabien, Rpπ∗(M) es el haz asociado al prehaz

U Ã Hp(π−1U,M)

y, Rpπ∗(M)y = lim→

y∈U

Hp(π−1U,M). Por hipotesis, cada punto y ∈ Y tiene una base de entornos

abiertos U tales que π−1U ' ∐n U . Luego, si p ≥ 1, tenemos

lim→

y∈U

Hp(π−1U,M) = lim→

y∈U

Hp(∐n

U,M) =∏n

( lim→

y∈U

Hp(U,M)) = 0

y concluimos que Rpπ∗(M)y = 0. ¤

Cohomologıa de los Espacios Afines:

Hp(Rn,M) =

M si p = 00 si p ≥ 1


Demostracion. La proyeccion de Rn sobre un punto es una equivalencia homotopica. ¤

5. Corolario : Si π : Y → X es un revestimiento de variedades topologicas y M es un haz constantesobre Y , entonces

Hp(Y,M) = Hp(X,π∗M) para todo p ≥ 0

Demostracion. Como Γ(X,−) = Γ(Y,−) π∗ y la imagen directa π∗ transforma flascos en flascos, deacuerdo con el teorema del funtor compuesto basta probar que Rpπ∗(M) = 0 cuando p ≥ 1. Ahorabien, Rpπ∗(M) es el haz asociado al prehaz

U Ã Hp(π−1U,M)

y, por hipotesis, cada punto y ∈ Y tiene una base de entornos abiertos U tales que π−1U ' ∐iRn.

Luego, si p ≥ 1, tenemos

Hp(π−1U,M) = Hp(∐i

Rn,M) =∏i

Hp(Rn, M) = 0

y concluimos que Rpπ∗(M)y = 0. ¤

Cohomologıa de las Esferas:

Hp(Sn, M) =

M si p = n

0 si p 6= n

Demostracion. La esfera Sn de dimension n ≥ 1 es union Sn = Dn ∪ D′n de dos discos cerrados de

dimension n tales que Dn ∩D′n = Sn−1. Se procede por induccion sobre n, usando la sucesion exacta

de Mayer–Vietoris para dos cerrados y el hecho de que los discos son homotopicamente equivalente aun punto. ¤

6. Teorema :

Hpc (Rn,M) =

M si p = n

0 si p 6= n

Demostracion. Si Y es un punto de la esfera Sn, entonces U = Sn − Y ' Rn y la sucesion exacta delsubespacio cerrado permite concluir. ¤

7. Teorema :

x ∈ Rn Hpx(Rn,M) =

M si p = n

0 si p 6= n

Demostracion. Se sigue de la sucesion exacta de cohomologıa local, cuando Y = x, usando queU = Rn − x es homotopicamente equivalente a una esfera Sn−1. ¤

Cohomologıa de los Espacios Proyectivos Complejos:

Hp(Pn(C),M) =

M si 0 ≤ p ≤ 2n es par0 en otro caso


Demostracion. Se procede por induccion sobre n. Es cierto cuando n = 1 porque P1(C) ' S2. Cuandon > 1, se usa la sucesion exacta del subespacio cerrado Y = Pn−1(C) → Pn(C), de modo queU = Pn(C)− Y = Cn = R2n. ¤

Cohomologıa de los Espacios Proyectivos Reales:

Hp(Pn(R),F2) =

F2 si 0 ≤ p ≤ n

0 si p > n

Demostracion. Se procede por induccion sobre n. Es cierto cuando n = 1 porque P1(R) ' S1. Cuandon > 1, consideramos el revestimiento universal π : Sn → Pn(R)´y la sucesion exacta de haces

0 −→ F2 −→ π∗F2tr−−→ F2 −→ 0

donde tr(f)(x) := f(x1)+f(x2) y π−1(x) = x1, x2; i.e., tr(f) = f + τf , donde τ es el automorfismono trivial del revestimiento considerado. La correspondiente sucesion exacta larga de cohomologıa(usando 2.4.5)

. . . −→ Hn(Pn(R),F2) −→ Hn(Sn,F2) = F2 −→ Hn(Pn(R),F2) −→ . . .

muestra que Hn(Pn(R),F2) 6= 0.Ahora la sucesion exacta del subespacio cerrado Y = Pn−1(R) → Pn(R) permite concluir, porque

U = Pn(R)− Y = Rn.

Calculemos tambien la cohomologıa entera de los espacios proyectivos reales:

Hp(Pn(R),Z) =

Z si p = 0 o p = n es imparF2 si 0 ≤ p ≤ n es par0 si p > n

1a Demostracion: Procedemos por induccion sobre n. Es cierto cuando n = 1 porque P1(R) ' S1.Si n > 1, la sucesion exacta del subespacio cerrado permite calcular los grupos de cohomologıa cuandop 6= n− 1, n, y afirma la exactitud de la sucesion

(∗) 0 → Hn−1(Pn(R),Z) → Hn−1(Pn−1(R),Z) → Z→ Hn(Pn(R),Z) → 0

lo que permite concluir si n es impar. Cuando n es par, consideramos el revestimiento π : Sn → Pn(R).Ahora la composicion Z→ π∗Z

tr−−→ Z es la multiplicacion por 2; ası que, en los grupos Hp(Pn(R),Z),la multiplicacion por 2 factoriza a traves de la cohomologıa de la esfera:

Hp(Pn(R),Z) −→ Hp(Sn,Z) −→ Hp(Pn(R),Z) .

Luego Hn−1(Pn(R),Z) esta anulado por 2 y, como la sucesion exacta (*) muestra que carece de torsion,se sigue que es nulo. Ahora (*) muestra que Hn(Pn(R),Z) ' Z/mZ, m > 0. Como la multiplicacionpor 2 factoriza a traves de Hn(Sn,Z) = Z, es nula y obtenemos que m = 1 o 2.

Por ultimo, el caso Hn(Pn(R),Z) = 0 es imposible porque al tomar cohomologıa en la sucesionexacta 0 → Z→ Z→ F2 → 0 obtendrıamos que Hn(Pn(R),F2) = 0.

2a Demostracion (Usando Gysin, Hurewicz y Coeficientes Universales): Se procede por induccionsobre n. El Teorema de Hurewicz afirma que

H1(Pn(R),Z) = Homgr(π1(Pn(R)),Z) = Hom(Z/2Z,Z) = 0 .


Ahora, el abierto complementario de Pn−2 en Pn es homotopo a P1, ası que la sucesion exactade Gysin es (Pn−2 es normalmente orientable en Pn porque la sucesion exacta de cohomologıa localmuestra que H2

Pn−2(Pn,Z) no es nulo):

0 = H1(Pn) → H1(P1) = Z→ H0(Pn−2) → H2(Pn) → H2(P1) = 0

0 = Hp−1(P1) → Hp−2(Pn) ∼−−→ Hp(Pn) → Hp(P1) = 0

Obtenemos que H2(Pn,Z) ' Z/mZ, m ≥ 1. Ahora, por el Teorema de Hurewicz y la Formula delos Coeficientes Universales:

Homgr(Z/2Z,Z/rZ) = H1(Pn,Z/rZ) = TorZ1 (H2(Pn,Z),Z/rZ)

y concluimos que Z/(2, r) = Z/(m, r) para todo r ∈ N; es decir, m = 2. ¤

2.4.2. Aplicaciones

1. Rn y Rm no son homeomorfos cuando n 6= m.En efecto, Hn

c (Rn,M) 6= Hnc (Rm,M).

2. La esfera Sn no tiene el tipo de homotopıa de la esfera Sm cuando n 6= m.En efecto, Hn(Sn,M) 6= Hn(Sm,M).

3. El borde de una variedad con borde es un concepto topologico.De hecho, si x es un punto del borde de H := (x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0, tanto H comoH − x son contractiles, y la sucesion de cohomologıa local prueba que Hp

x(H, M) = 0 paratodo p ∈ N.

4. Sea X un espacio compacto Hausdorff. Si existe alguna sucesion creciente de cerrados ∅ =X−1 ⊂ X0 ⊆ X1 ⊆ . . . ⊆ Xd = X tal que para todo ındice 1 ≤ i ≤ n tenemos que Xi −Xi−1

descompone en union disjunta de cierto numero ni de componentes homeomorfas a Ri, entonces:a) Hn(X, A) es un A-modulo finito–generado para todo anillo noetheriano A.b) El numero

∑i(−1)ini es un invariante topologico de X, que coincide con su caracterıstica

de Euler–Poincare χ(X) :=∑

i dim kHi(X, k) con coeficientes en cualquier cuerpo k.

Para demostrarlo procedemos por induccion sobre∑

i ni. Consideremos una componente conexaU ' Rd de Xd − Xd−1. La sucesion exacta del subespacio cerrado Y = X − U muestra queHn(X,A) = Hn(Y,A) cuando n 6= d, d− 1 y que tenemos una sucesion exacta

0 → Hd−1(X, A) → Hn−1(Y, A) → A → Hn(X,A) → Hn(Y, A) → 0

lo que permite obtener (a). Ademas, cuando A = k es un cuerpo, concluimos que

χ(X) = χ(Y ) + (−1)d = n0 − n1 + . . . + (−1)d(nd − 1) + (−1)d =∑

i(−1)ini

5. La inclusion i : Sn−1 → Bn de la esfera en el disco Bn := (x1, . . . , xn) ∈ Rn :∑

i x2i ≤ 1 no

admite retracto continuo.Si existiera alguna aplicacion continua r : Bn → Sn−1 tal que r i es la identidad, entonces lacomposicion

M = Hn−1(Sn−1,M) r∗−−−→ Hn−1(Bn,M) i∗−−→ Hn−1(Sn−1,M) = M

serıa la identidad, lo que es absurdo porque Hn−1(Bn, M) = 0 al ser Bn un espacio contractil.


6. Teorema del Punto Fijo de Brouwer: Toda aplicacion continua φ : Bn → Bn tiene algunpunto fijo.

Si existiera alguna aplicacion continua φ : Bn → Bn sin puntos fijos, permitirıa definir un retractocontinuo r : Bn → Sn−1 sin mas que tomar r(x) como el punto de corte con Sn−1 de la semirrectacon origen en φ(x) que pase por x.

7. Si un campo continuo de vectores D en Bn no apunta hacia fuera en ningun punto x ∈ Sn delborde, se anula en algun punto de Bn. (La condicion de que no apunte hacia fuera significa queDx no es ortogonal a la esfera.)

Si D no se anulase en ningun punto de Bn, la aplicacion continua r : Bn → Sn, r(x) :=−Dx/|Dx|, serıa un retracto de la inclusion i : Sn → Bn, salvo una homotopıa, lo que sabe-mos que es imposible. En efecto, por hipotesis r(x) 6= −x para todo x ∈ Sn, ası que unahomotopıa entre ri y la identidad serıa:

H(x, t) =tr(x) + (1− t)x|tr(x) + (1− t)x| .

8. Todo campo continuo de vectores tangentes a la esfera Sn se anula en algun punto cuando n espar.

Si existiera algun campo de vectores tangentes no nulos, podemos suponer que tales vectorestienen modulo 1, ası que definen una aplicacion continua φ : Sn → Sn tal que φ(x) es ortogonala x. Ahora

H(x, t) = cos(πt) x + sen(πt) φ(x)

define una homotopıa entre la identidad de Sn y el automorfismo τ : Sn → Sn, τ(x) := −x;ası que τ inducirıa la identidad en cohomologıa.

Ahora bien, τ no actua por la identidad en Hn(Sn)DR = Hn(Sn,R) = R cuando n es par,porque invierte la orientacion.

Por otra parte, si n es impar, φ(x0, x1, . . . , xn) := (−x1, x0, . . . ,−xn, xn−1) define un campotangente a Sn que no se anula en ningun punto.

Teorema de Finitud: Sea X un espacio separado localmente compacto, A un anillo noetheriano yF un haz de A–modulos sobre X que satisface la siguiente condicion:

(*) Si n ∈ Z, x ∈ X y U es un entorno de x en X, existe algun entorno V de x tal que la imagendel morfismo de restriccion Hn(U,F) → Hn(V,F) es un A–modulo de tipo finito,

entonces para cada compacto K contenido en el interior de un compacto L se verifica que tambienson A–modulos de tipo finito las imagenes de los morfismos de restriccion Hn(L,F) → Hn(K,F).

Demostracion. Procedemos por induccion sobre n, y es obvio cuando n < 0. Si n ≥ 0, fijamos elcompacto L y consideramos la familia de los compactos K que tienen algun entorno compacto Kcontenido en el interior de L tal que Hn(L,F) → Hn(K,F) tenga imagen de tipo finito. Es claroque todo compacto contenido en alguno de esta familia tambien esta en la familia, y la condicion (*)afirma que cada punto del interior de L tiene algun entorno compacto en tal familia. Luego bastaprobar que la union de dos compactos K1, K2 de la familia tambien esta en ella.


Por definicion Ki tiene un entorno compacto Ki contenido en el interior de L tal que Hn(L,F) →Hn(Ki,F) tiene imagen de tipo finito. Podemos elegir un entorno K ′

i de Ki contenido en el interiorde Ki, de modo que tenemos un diagrama conmutativo

Hn(L,F) −→ Hn(L,F)⊕Hn(L,F)↓ ↓ ρ

Hn−1(K1 ∩ K2,F) −→ Hn(K1 ∪ K2,F) −→ Hn(K1,F)o ⊕Hn(K2,F)↓ γ ↓

Hn−1(K ′1 ∩K ′

2,F) −→ Hn(K ′1 ∪K ′

2,F)

donde la fila central es exacta en virtud de Mayer–Vietoris, γ tiene imagen de tipo finito por hipotesisde induccion y ρ por construccion. Ahora es sencillo concluir que la imagen del morfismo Hn(L,F) →Hn(K ′

1 ∪K ′2,F) es de tipo finito, de modo que K1 ∪K2 esta en la familia considerada. ¤

8. Corolario : Sea A un anillo noetheriano y F un haz de A–modulos sobre una variedad compactaX. Si F es un haz de fibra localmente constante y de tipo finito, entonces los A–modulos Hn(X,F)son de tipo finito.

Demostracion. El haz F satisface la condicion (*), porque cada punto x ∈ X tiene una base deentornos U tales que Hn(U,F) = Hn(Rd,M), donde M es un A–modulo de tipo finito. Se concluyetomando K = L = X en el teorema anterior. ¤

9. Corolario : Si X es una variedad diferenciable compacta, los grupos de cohomologıa de De RhamHn(X)DR son espacios vectoriales de dimension finita.

2.5. Formula de los Coeficientes Universales

1. Lema : Γc(X,⊕iFi) =⊕

i Γc(X,Fi)

Demostracion. Las componentes si de cualquier seccion (si) de ⊕iMi se anulan, salvo un numerofinito, en un entorno de cada punto. Luego son todas nulas, salvo un numero finito, cuando el soportede la seccion es compacto. ¤

2. Ejercicio : Probar que Γc(X, lim→i

Fi) = lim→i

Γc(X,Fi).

3. Lema : Si X es un espacio separado localmente compacto de base numerable, la cohomologıa consoportes compactos conmuta con sumas directas:

Hnc (X,⊕iFi) =

⊕iH

nc (X,Fi)

Demostracion. En tal caso todo C0Z–modulo es Γc–acıclico; luego:

Hnc (X,⊕iFi) = Hn[Γc(X, C•Z⊗Z (⊕iFi))] = Hn[Γc(X,

⊕i(C•Z⊗Z Fi))] =

= Hn[⊕

iΓc(X, C•Z⊗Z Fi)] =⊕

iHn[Γc(X, C•Z⊗Z Fi)] =

=⊕

iHnc (X,Fi)

¤

4. Ejercicio : Si X es un espacio separado localmente compacto de base numerable, probar que lacohomologıa con soportes compactos conmuta con lımites inductivos.

2.5. Formula de los Coeficientes Universales 39

Si M es un haz de A-modulos y N un A-modulo denotaremos M⊗A N al haz asociado al prehazU ÃM(U)⊗A N .5. Lema : Sea X un espacio separado, localmente compacto y de base numerable. Si M es un haz deA–modulos y P es un A–modulo proyectivo, entonces

Hnc (X,M)⊗A P = Hn

c (X,M⊗A P )

Demostracion. Si P es libre, es un caso particular del lema anterior. En el caso general P es sumandodirecto de un libre, L = P ⊕ P ′, y se concluye porque

(Hnc (X,M)⊗A P )⊕ (Hn

c (X,M)⊗A P ′) −→ Hnc (X,M⊗A P )⊕Hn

c (X,M⊗A P ′)

es un isomorfismo ¤

6. Formula de los Coeficientes Universales: : Sea A un dominio de ideales principales, N unA–modulo y M un haz de A–modulos sobre un espacio topologico X tal que TorA

1 (Mx, N) = 0 paratodo punto x ∈ X. Si X es separado y localmente compacto de base numerable, tenemos sucesionesexactas

0 ∪−−→ Hnc (X,M)⊗A N −→ Hn

c (X,M⊗A N) −→ TorA1

(Hn+1

c (X,M), N) −→ 0

Si N es de tipo finito, tenemos sucesiones exactas

0 ∪−−→ Hn(X,M)⊗A N −→ Hn(X,M⊗A N) −→ TorA1

(Hn+1(X,M), N

) −→ 0

Demostracion. Fijada una resolucion proyectiva 0 → P1 → P0 → N → 0, que existe por 1.5.6,el nucleo y el conucleo del morfismo φn : Hn

c (X,M) ⊗A P1 → Hnc (X,M) ⊗A P0 son los modulos

TorA1 (Hn

c (X,M), N) y Hnc (X,M)⊗A N respectivamente.

La condicion TorA1 (Mx, N) = 0 garantiza que la sucesion

0 −→M⊗A P1 −→M⊗A P0 −→M⊗A N −→ 0

es exacta y la correspondiente sucesion exacta larga de cohomologıa

Hnc (X,M)⊗ P1

φn−−→ Hnc (X,M)⊗ P0 → Hn

c (X,M⊗N) → Hnc (X,M)⊗ P1

φn+1−−−−→ Hnc (X,M)⊗ P0

muestra la existencia de una sucesion exacta

0 −→ Coker φn −→ Hnc (X,M⊗A N) −→ Ker φn+1 −→ 0

Por ultimo, cuando N es finito–generado, admite una resolucion por A–modulos libres de tipofinito 0 → L1 → L0 → N → 0. Ahora bien, la igualdad

Hn(X,M⊗A L) = Hn(X,M)⊗A L

es obvia cuando L ' Ar, porque la cohomologıa conmuta con sumas directas finitas, y se puede repetirla demostracion dada para la cohomologıa con soportes compactos. ¤

7. Corolario : Sea A un dominio de ideales principales y M un haz de A–modulos sobre un espaciolocalmente compacto, separado y de base numerable X. Si N es un A–modulo sin torsion, entonces

Hnc (X,M⊗A N) = Hn

c (X,M)⊗A N


Demostracion. Los A–modulos sin torsion son planos (1.2.9), luego TorA1 (−, N) = 0. ¤

8. Corolario : Si X es separado, localmente compacto y de base numerable,

Hnc (X,R) = Hn

c (X,Z)⊗Z R .

9. Corolario : Si X es separado, localmente compacto y de base numerable, para todo grupo abelianoM tenemos sucesiones exactas

0 −→ Hnc (X,Z)⊗Z M −→ Hn

c (X, M) −→ TorZ1(Hn+1

c (X,Z),M) −→ 0

Demostracion. TorZ1 (Z,M) = 0 . ¤

2.6. Producto Cup

Sea A un anillo conmutativo, y sean M y N dos haces de A–modulos. Por definicion, el productotensorial M⊗A N es el haz asociado al prehaz

U Ã M(U)⊗A N (U)

y es un haz de A–modulos que tiene la propiedad universal usual: todo morfismo de haces A–bilinealM×N → P se extiende de modo unico a un morfismo A–lineal M⊗AN → P. Es sencillo comprobarque sus fibras son

(M⊗A N )x = lım−→

x∈U

(M(U)⊗A N (U))

= Mx ⊗A Nx .

Por otra parte, si (K•, d) y (L•, d) son dos complejos de A–modulos (o de haces de A–modulos),entonces K• ⊗A L• es un bicomplejo, con las diferenciales d1 = d ⊗ 1 y d2 = 1 ⊗ d, de modo que elcomplejo simple asociado tiene la diferencial d = d⊗ 1 + (−1)p1⊗ d .

Es claro que el producto tensorial de ciclos es un ciclo del complejo K• ⊗A L•, ası que tenemosmorfismos naturales

Hp(K•)⊗A Hq(L•) ⊗−−→ Hp+q(K• ⊗A L•)

Ademas, los isomorfismos naturales Kp⊗A Lq ∼−→ Lq ⊗A Kp no definen un morfismo de complejosK• ⊗A L• → L• ⊗A K•, sino que han de ser afectados de un factor (−1)pq. En efecto, si ap ⊗ bq ∈Kp ⊗A Lq, tenemos que

(d⊗ 1 + (−1)q1⊗ d)((−1)pqbq ⊗ ap) = (−1)(p+1)qbq ⊗ dap + (−1)p(q+1)(−1)pdbq ⊗ ap

2.6.1. Producto Cup

Sea A un anillo conmutativo yM un haz de A–modulos sobre un espacio topologico X. La sucesionexacta

0 −→ M −→ C0M −→ M1 −→ 0

escinde en fibra, pues un retracto (C0M)x → Mx se obtiene al asignar a cada germen de secciondiscontinua del espacio etale F → X su valor en el punto x ∈ X. En consecuencia, para todo haz deA–modulos N sobre X, la sucesion

0 −→M⊗A N −→ C0M⊗A N −→ C1M⊗A N −→ C2M⊗A N −→ . . .

2.6. Producto Cup 41

es exacta. Es decir, el morfismo natural M⊗AN → C•M⊗AN es un casi–isomorfismo. En particulartenemos casi–isomorfismos M⊗A CqN ∼−→ C•M⊗A CqN y el teorema del bicomplejo prueba que elmorfismo natural M⊗A C•N → C•M⊗A C•N es un casi–isomorfismo. En resumen, C•M⊗A C•Nes una resolucion del haz M⊗A N , y obtenemos morfismos naturales

Hn[Γ(X, C•M⊗A C•N )] −→ Hn(X,M⊗A N ) .

Componiendo con los morfismos naturales

Hp[Γ(X, C•M)]⊗A Hq[Γ(X, C•N )] −→ Hp+q[Γ(X, C•M⊗A C•N )]

obtenemos el producto cup de clases de cohomologıa

Hp(X,M)⊗A Hq(X,N ) ∪−−−→ Hp+q(X,M⊗A N )

que es compatible con los morfismos de haces de A–modulos f : M→M′, g : N → N ′ en el sentidode que el siguiente cuadrado es conmutativo:

Hp(X,M)⊗A Hq(X,N ) ∪−−−→ Hp+q(X,M⊗A N )↓ f ⊗ g ↓ f ⊗ g

Hp(X,M′)⊗A Hq(X,N ′) ∪−−−→ Hp+q(X,M′ ⊗A N )

Para demostrarlo, se considera el siguiente cuadrado conmutativo y se aplica 1.4.3:

Hp[Γ(X, C•M)]⊗A Hq[Γ(X, C•N )] ⊗−−→ Hp‘+q[Γ(X, C•M⊗A C•N )]↓ f ⊗ g ↓ f ⊗ g

Hp[Γ(X, C•M′)]⊗A Hq[Γ(X, C•N ′)] ⊗−−→ Hp+q[Γ(X, C•M′ ⊗A C•N ′)]

1. Teorema : Sean M y N haces de A–modulos sobre un espacio topologico X. Si 0 → M → R•y 0 → N → S• son resoluciones tales que 0 → M⊗A N → R• ⊗A S• es resolucion, entonces elsiguiente cuadrado es conmutativo (donde los morfismos verticales son los de 1.4.3):

Hp[Γ(X,R•)]⊗A Hq[Γ(X,S•)] ⊗−−−−−→ Hp+q[Γ(X,R• ⊗A S•)]↓ ↓

Hp(X,M)⊗A Hq(X,N ) ∪−−−−→ Hp+q(X,M⊗A N )

Demostracion. Si K• y L• son complejos de haces de A–modulos, el teorema del bicomplejo permiteprobar que el morfismo natural K• ⊗A L• → C•K• ⊗A L• es un casi–isomorfismo. Luego tenemoscasi–isomorfismos

M⊗A N ∼−−→ R• ⊗A S• ∼−−→ C•R• ⊗A S• ∼−−→ C•R• ⊗A C•S•

de modo que C•R• ⊗A C•S• tambien es una resolucion de M⊗A N . Se concluye al considerar elsiguiente diagrama conmutativo y aplicar 1.4.3:

Hp[Γ(X, C•M)]⊗Hq[Γ(X, C•N )] // Hp+q[Γ(X, C•M⊗C•N )] //

²²

Hp+q(X,M⊗A N )

Hp[Γ(X, C•R•)⊗Hq[Γ(X, C•S•)] // Hp+q[Γ(X, C•R• ⊗ C•S•)]

44iiiiiiiiiiiiiiiii

Hp[Γ(X,R•)]⊗Hq[Γ(X,S•)] //

OO

Hp+q[Γ(X,R• ⊗ S•)]

OO

¤


2. Corolario : El producto cup es asociativo, (cp ∪ cq) ∪ cr = cp ∪ (cq ∪ cr) . Es decir, el siguientescuadrado es conmutativo:

Hp(X,M)⊗A Hq(X,N )⊗A Hr(X,H) ∪⊗1−−−−→ Hp+q(X,M⊗A N )⊗A Hr(X,H)↓ 1⊗ ∪ ↓ ∪

Hp(X,M)⊗A Hq(X,N ⊗A H) ∪−−→ Hp+q+r(X,M⊗A N ⊗A H)

Demostracion. Basta tomar cohomologıa en el siguiente cuadrado conmutativo y aplicar 2.6.1:

Γ(X, C•M)⊗ Γ(X, C•N )⊗ Γ(X, C•H) −→ Γ(X, C•M⊗C•N )⊗ Γ(X, C•H)↓ ↓

Γ(X, C•M)⊗ Γ(X, C•N ⊗ C•H) −→ Γ(X, C•M⊗C•N ⊗ C•H)

¤

3. Corolario : El producto cup es anticonmutativo: cp ∪ cq = (−1)pqcq ∪ cp . Es decir, el siguientecuadrado es conmutativo:

Hp(X,M)⊗A Hq(X,N )(−1)pq

−−−−−→ Hq(X,N )⊗A Hp(X,M)↓ ∪ ↓ ∪

Hp+q(X,M⊗A N ) == Hp+q(X,N ⊗A M)

Demostracion. Se concluye al tomar cohomologıa en el cuadrado conmutativo

Γ(X, C•M)⊗ Γ(X, C•N )(−1)pq

−−−−−→ Γ(X, C•N )⊗ Γ(X, C•M)↓ ⊗ ↓ ⊗

Γ(X, C•M⊗C•N )(−1)pq

−−−−−→ Γ(X, C•N ⊗ C•M)

y al aplicar 1.4.3, porque (−1)pq : C•M⊗ C•N → C•N ⊗ C•M es un morfismo de complejos queextiende al isomorfismo natural M⊗N ∼−→ N ⊗M. ¤

4. Corolario : La imagen inversa conserva el producto cup; es decir, para toda aplicacion continuaφ : Y → X el siguiente cuadrado es conmutativo:

Hp(X,M)⊗A Hq(X,N )φ∗⊗φ∗−−−−−→ Hp(Y, φ∗M)⊗A Hq(Y, φ∗N )

↓ ∪ ↓ ∪Hp+q(X,M⊗A N )

φ∗−−−→ Hp+q(Y, φ∗(M⊗A N ))

Demostracion. Basta considerar el siguiente cuadrado conmutativo y aplicar 2.2.13 y 2.6.1:

Hp[Γ(X, C•M)]⊗Hq[Γ(X, C•N )]φ∗⊗φ∗−−−−−→ Hp[Γ(Y, φ∗C•M)]⊗Hq[Γ(Y, φ∗C•N )]

↓ ⊗ ↓ ⊗Hp+q[Γ(X, C•M⊗C•N )]

φ∗−−−→ Hp+q[Γ(Y, φ∗(C•M⊗C•N ))]

¤

5. Corolario : Si A es un anillo conmutativo y X es un espacio topologico, el producto cup define enH•(X,A) := ⊕nHn(X,A) una estructura de anillo graduado anticonmutativo. Si M es un haz de A–modulos, el producto cup define en H•(X,M) := ⊕nHn(X,M) una estructura de H•(X, A)–modulograduado.

Si φ : Y → X es una aplicacion continua, φ∗ : H•(X, A) → H•(Y, A) es morfismo de anillosgraduados, y φ∗ : H•(X,M) → H•(Y, φ∗M) es morfismo de H•(X, A)–modulos.

2.6. Producto Cup 43

6. Corolario : Si X es una variedad diferenciable, el producto cup

Hp(X,R)⊗R Hq(X,R) −→ Hp+q(X,R)

esta definido por el producto exterior de formas diferenciales: [ωp] ∪ [ωq] = [ωp ∧ ωq] .

Demostracion. El producto exterior de formas diferenciales define un morfismo de complejos Ω•X ⊗Ω•X

∧−→ Ω•X que extiende al isomorfismo natural R⊗R = R. Ahora 1.4.3 y 2.6.1 afirman que el siguientediagrama es conmutativo:

Hp[Γ(X, Ω•)]⊗Hq[Γ(X, Ω•)] ⊗−−→ Hp+q(X, Ω• ⊗ Ω•)] ∧−−→ Hp+q[Γ(X, Ω•)]‖ ↓ ‖

Hp(X,R)⊗Hq(X,R) ∪−−→ Hp+q(X,R⊗ R) ∼−−→ Hp+q(X,R)

¤

7. Proposicion : El producto cup es compatible con el connecting:

δ(cp ∪ cq) = δ(cp) ∪ cq = (−1)p cp ∪ δ(cq) .

Con precision, si 0 → M′ → M → M′′ → 0 es una sucesion exacta de haces de A–modulossobre un espacio topologico X y N es un haz de A–modulos tal que la sucesion 0 → M′ ⊗A N →M⊗A N →M′′ ⊗A N → 0 es exacta, entonces el siguiente cuadrado es conmutativo:

Hp(X,M′′)⊗A Hq(X,N ) δ⊗1−−−−→ Hp+1(X,M′)⊗A Hq(X,N )↓ ∪ ↓ ∪

Hp+q(X,M′′ ⊗A N ) δ−−−→ Hp+q+1(X,M′ ⊗A N )

Demostracion. El connecting δ : Hn(X,M′′ ⊗A N ) → Hn+1(X,M′ ⊗A N ) puede calcularse concualquier resolucion inyectiva 0 → I•1 → I• → I•2 → 0 de la sucesion exacta 0 → M′ ⊗A N →M⊗AN →M′′⊗AN → 0 , y podemos elegir una de modo que tengamos un diagrama conmutativo

0 → M′ ⊗A N → M⊗A N → M′′ ⊗A N → 0↓ ↓ ↓

C•M′ ⊗ C•N ³ K• → C•M⊗C•N → C•M′′ ⊗ C•N → 0↓ t′ ↓ t ↓ t′′

0 → I•1 → I• → I•2 → 0

Tomando secciones globales, tenemos un diagrama conmutativo

C•M′(X)⊗ C•N (X) ³ K• → C•M(X)⊗ C•N (X) → C•M′′(X)⊗ C•N (X) → 0↓ ⊗ ↓ ↓ ⊗ ↓ ⊗

(C•M′ ⊗ C•N )(X) → K•(X) → (C•M⊗C•N )(X) → (C•M′′ ⊗ C•N )(X) → 0↓ t′ ↓ t ↓ t′′

I•1 (X) → I•(X) → I•2 (X) → 0

que muestra que el siguiente cuadrado es conmutativo:

Hn(C•M′′(X)⊗ C•N (X)) δ−−→ Hn+1(K•)↓ t′′ ↓ t′

Hn(I•2 (X)) δ−−→ Hn+1(I•1 (X))


Ahora, si cp = [a′′p ] ∈ Hp(C•M′′(X)) y cq = [bq] ∈ Hq(C•N (X)), y ap ∈ C•M(X) se proyecta ena′′p , por la definicion del “connectingτ del producto cup tenemos

δ[a′′p ⊗ bq] = [dap ⊗ bq + (−1)pap ⊗ dbq] = [dap ⊗ bq]

t′(δ[a′′p ⊗ bq]) = t′([dap ⊗ bq]) = [dap] ∪ [bq] = δ(cp) ∪ cq

δt′′([a′′p ⊗ bq]) = δ(cp ∪ cq)

y la conmutatividad del cuadrado anterior permite concluir. Por ultimo,

δ(cp ∪ cq) = δ((−1)pqcq ∪ cp) = (−1)pqδ(cq) ∪ cp = (−1)pq(−1)p(q+1)cp ∪ δ(cq) .

¤

Nota: Considerando diferentes familias de cerrados podemos definir productos

Hpc (X,M)⊗A Hq

c (X,N ) −→ Hp+qc (X,M⊗A N )

Hp(X,M)⊗A Hqc (X,N ) −→ Hp+q

c (X,M⊗A N )

HpY (X,M)⊗A Hq

Z(X,N ) −→ Hp+qY ∩Z(X,M⊗A N )

y las demostraciones anteriores siguen siendo validas. Igualmente, el haz de anillos constante A puedesustituirse por un haz de anillos arbitrario O, y los modulos M y N por complejos de haces inferior-mente acotados.8. Definicion : Diremos que un haz de A–modulos N sobre un espacio topologico X es plano cuandoNx sea un A–modulo plano para todo x ∈ X; es decir, cuando el funtor (−)⊗A N sea exacto.9. Formula de Proyeccion: : Sea A un dominio de ideales principales, φ : X → Y una aplicacioncontinua entre espacios separados y localmente compactos de base numerable. Si M es un haz deA–modulos sobre X y N es un haz de A–modulos plano, tenemos isomorfismos naturales

(Rnφ!M)⊗A N = Rnφ!(M⊗A φ∗N )

Demostracion. El morfismo (Rnφ!M) ⊗A N → Rnφ!(M⊗A φ∗N ) definido por el producto cup esisomorfismo en cada punto y ∈ Y , en virtud del calculo de la cohomologıa de la fibra y de la formulade los coeficientes universales:

((Rnφ!M)⊗A N

)y

= (Rnφ!M)y ⊗A Ny = Hnc (φ−1y,M)⊗A Ny =

= Hnc (φ−1y,M⊗A Ny) =

(Rnφ!(M⊗A φ∗N )

)y

¤

2.7. Teorema de Kunneth

En este apartado A denotara un dominio de ideales principales.

2.7.1. Teorema de Kunneth Algebraico

1. Teorema: Sea K• y K• dos complejos de A–modulos. Si K• es plano, tenemos sucesiones exactas

0 → ⊕p+q=n

Hp(K•)⊗A Hq(K•) → Hn(K• ⊗A K•) → ⊕p+q=n+1

Tor1A(Hp(K•),Hq(K•)

) → 0

2.7. Teorema de Kunneth 45

Demostracion. Al ser Kq plano, tambien lo son los ciclos Zq y los bordes Bq, porque los A–modulosplanos son los modulos sin torsion (1.2.9). Luego

0 −→ Bq −→ Zq −→ Hq(K•) −→ 0

es una resolucion plana de Hq(K•), el nucleo de φpq : Hp(K•)⊗A Bq → Hp(K•)⊗A Zq es Hp(K•)⊗A

Hq(K•) y su conucleo es TorA1

(Hp(K•),Hq(K•)

).

Por otra parte, las sucesiones exactas

0 −→ Zq −→ Kq d−−→ Bq+1 −→ 0

definen una sucesion exacta de complejos

0 −→ Z• −→ K• d−−→ B•[1] −→ 0

donde las diferenciales de Z• y B•[1] son identicamente nulas, y cuyo connecting δ : Bq = Hq−1(B•[1]) →Hq(Z•) = Zq es la inclusion. Ahora, al ser planos los modulos Bq, tenemos una sucesion exacta

0 −→ K• ⊗A Z• −→ K• ⊗A K• 1⊗d−−−→ K• ⊗A (B•[1]) −→ 0

que induce sucesiones exactas

. . .δn−−−→ Hn(K• ⊗ Z•) → Hn(K• ⊗ K•) −→ Hn(K• ⊗ (B•[1]))

δn+1−−−−→ . . .

0 −→ Coker δn −→ Hn(K• ⊗A K•) −→ Ker δn+1 −→ 0

Ademas, al ser Zq y Bq modulos planos, por 1.2.5, tenemos que

Hn(K• ⊗A Z•) =⊕

p+q=nHp(K• ⊗A Zq) =

⊕p+q=n

Hp(K•)⊗A Zq

Hn−1(K• ⊗A B•[1]) =⊕

p+q=n−1Hp(K• ⊗A B•[1]q) =

⊕p+q=n

Hp(K•)⊗A Bq

de modo que δn =⊕

p+q=nφpq , y concluimos que

Coker δn =⊕

p+q=nCokerφpq =

⊕p+q=n

Hp(K•)⊗A Hq(K•)

Ker δn+1 =⊕

p+q=n+1Ker φpq =

⊕p+q=n+1

TorA1

(Hp(K•), Hq(K•)

)

¤

2.7.2. Teorema de Kunneth Topologico

2. Lema : Un haz de modulos M sobre un dominio de ideales principales A es plano si y solo siM(U) es plano para todo abierto U ⊆ X. En tal caso la resolucion de Godement C•M es plana.

Demostracion. Recuerdese que los modulos planos sobre un dominio de ideales principales son losmodulos sin torsion (1.2.9). Si M es plano, entonces M(U) es plano porque es un submodulo de∏

x∈U Mx, que carece de torsion.


Recıprocamente, si los modulos M(U) son planos, y mx ∈Mx es de torsion, amx = 0 para alguna ∈ A no nulo, entonces am = 0 en algun entorno U de x. Luego m = 0 y mx = 0.

Ahora esta claro que el haz C0M es plano, porque los modulos (C0M)(U) =∏

x∈U Mx carecende torsion. Ademas, como la sucesion exacta

0 −→M −→ C0M−→M1 −→ 0

escinde en fibra, se sigue que el haz M1 es plano y, procediendo por induccion, concluimos que todoslos haces CpM son planos. ¤Teorema de Kunneth: Sean X, Y espacios separados, localmente compactos y de base numerable, yp1 : X ×Y → X, p2 : X ×Y → Y las proyecciones naturales. Sea A un dominio de ideales principalesy sean M y N haces de A–modulos planos sobre X e Y respectivamente. Tenemos sucesiones exactas

0 → ⊕p+q=n

Hpc (X,M)⊗AH

qc (Y,N )

p∗1∪p∗2−−−−−→ Hnc (X × Y, p

∗1M⊗Ap

∗2N ) → ⊕

p+q=n+1Tor

A1

(H

pc (X,M), H

qc (Y,N )

) → 0

Demostracion. De acuerdo con el teorema de Kunneth algebraico, bastara probar las siguientes afir-maciones:

1. p∗1 ⊗ p∗2 : Γc(X, C•M)⊗A Γc(Y, C•N ) ∼−−→ Γc(X × Y, p∗1C•M⊗A p∗2C•N ).

2. p∗1C•M⊗A p∗2C•N es una resolucion Γc–acıclica de p∗1M⊗A p∗2N .

En cuanto a la primera, es consecuencia de la Formula de Proyeccion y del Teorema de Cambiode Base, aplicado al siguiente cuadrado cartesiano:

X × Yp1−−→ X

↓ p2 ↓ q1

Yq2−−→ •

Γc(X × Y, p∗1Ci ⊗A p∗2Cj) = q1!p1!(p∗1Ci ⊗A p∗2Cj) = q1!

(Ci ⊗A p1!(p∗2Cj))

=

= q1!

(Ci ⊗A q∗1q2!(Cj))

= (q1!Ci)⊗A (q2!Cj) == Γc(X, C•M)⊗A Γc(Y, C•N )

donde Ci := CiM y Cj := CjN .

En cuanto a la segunda afirmacion, las sucesiones exactas 0 → p∗1M → p∗1C•M y 0 → p∗2N →p∗2C•N escinden en fibra, ası que p∗1C•M⊗Ap∗2C•N es una resolucion de p∗1M⊗Ap∗2N , y es Γc–acıclica.En efecto, los haces p∗1Ci ⊗A p∗2Cj son p1!–acıclicos, pues

Rnp1!(p∗1Ci ⊗A p∗2Cj) = Ci ⊗A Rnp1!(p∗2Cj) = Ci ⊗A q∗1(Rnq2!Cj)

es nulo cuando n ≥ 1. Por ultimo, p1!(p∗1Ci ⊗A p∗2Cj) = Ci ⊗A q∗1(q2!Cj) y por el Teorema del FuntorCompuesto

Hnc (X × Y, p∗1Ci ⊗A p∗2Cj) = Rn(q1! p1!)(p∗1Ci ⊗A p∗2Cj) = Rnq1!

(Ci ⊗A q∗1(q2!Cj))

= (Rnq1!Ci)⊗A (q2!Cj) = 0.

¤

2.7. Teorema de Kunneth 47

3. Definicion : El morfismo p∗1 ∪ p∗2 : H•c (X,A)⊗k H•

c (Y, A) −→ H•c (X × Y, A) es morfismo de anillos

si en el producto tensorial B•⊗A C• de A–algebras graduadas anticonmutativas se define el siguienteproducto (donde el subındice denota el grado):

(bp ⊗ cq) · (br ⊗ cs) := (−1)qr(bpbr)⊗ (cqcs) .

4. Corolario : Sean X, Y espacios separados, localmente compactos y de base numerable y sea Aun dominio de ideales principales. Si los A–modulos Hp

c (X, A), p ≥ 1, no tienen torsion, entoncestenemos un isomorfismo de anillos graduados anticonmutativos:

p∗1 ∪ p∗2 : H•c (X, A)⊗k H•

c (Y, A) ∼−−→ H•c (X × Y, A)

5. Corolario : Sean X,Y espacios separados, localmente compactos y de base numerable, y p1 : X ×Y → X, p2 : X × Y → Y las proyecciones naturales. Si k es un cuerpo, tenemos un isomorfismo deanillos graduados anticonmutativos:

p∗1 ∪ p∗2 : H•c (X, k)⊗k H•

c (Y, k) ∼−−→ H•c (X × Y, k)

Ejemplo: El anillo de cohomologıa de la esfera Sn claramente es

H•(Sn,Z) = Z[tn]/(t2n)

ası que el de un producto de esferas Sn × Sm es

H•(Sn × Sm,Z) = H•(Sn,Z)⊗H•(Sm,Z) = Z[xn, ym]/(x2n, y2

m)

donde p∗1(tn) = tn ⊗ 1 = xn y p∗2(tm) = 1⊗ tm = ym.

Veamos. como aplicacion, que ninguna aplicacion continua µ : Sn × Sn → Sn puede definir unaestructura de grupo en la esfera Sn cuando n es par.

En efecto, en tal caso µ∗(tn) = axn + byn, donde a, b ∈ Z. Si e es el neutro de Sn, la aplicacioncontinua j : Sn → Sn×Sn, j(p) = (p, e), verifica que µj y p1j son la identidad y que p2j es constante;luego

tn = j∗µ∗(tn) = j∗(axn + byn) = j∗(ap∗1(tn) + bp∗2(tn)) = atn + 0

y obtenemos que a = 1. Igualmente se prueba que b = 1, y concluimos que

0 = µ∗(t2n) = (µ∗(tn))2 = (xn + yn)2 = xnyn + ynxn = (1 + (−1)n2)xnyn ,

lo que es contradictorio cuando n es par.

Capıtulo 3

Interpretacion Geometrica de laCohomologıa

3.1. Estructuras Localmente Triviales

3.1.1. Revestimientos Principales

1. Definicion : Sea G un grupo (que siempre consideraremos con la topologıa discreta) y sea X unespacio topologico. Un G–espacio sobre X es una aplicacion continua π : Y → X junto con una accioncontinua G× Y → Y tal que π(gy) = π(y) para todo g ∈ G, y ∈ Y .

Dados dos G–espacios π : Y → X, π′ : Y ′ → X sobre X, los G–morfismos φ : Y → Y ′ son lasaplicaciones continuas sobre X compatibles con la accion de G; es decir: π = π′φ, φ(gy) = gφ(y).

El G–espacio trivial es X × G → X, con la accion g(x, h) := (x, gh). Diremos que un G–espacioπ : P → X es un revestimiento principal de X de grupo G si es localmente isomorfo al trivial, en elsentido de que para cada punto x ∈ X existe algun entorno abierto U tal que π−1U es G–isomorfo aU × G. Es decir, si existe un recubrimiento abierto R = tiUi → X tal que P ×X R → R es trivial:P ×X R ' R×G.

2. Lema : Si G es un grupo abeliano, el haz de automorfismos G del revestimiento principal trivialX ×G → Xes (isomorfo a) el haz constante G.

Demostracion. Cada elemento h ∈ G define una aplicacion continua τh : X×G → X×G, τh(y) = hy,que es un G–morfismo porque el grupo G es abeliano:

τh(gy) = hgy = ghy = gτh(y) .

Obtenemos ası un morfismo inyectivo de haces G → G. Veamos que es epiyectivo: si τ : U×G → U×Ges un automorfismo y ponemos τ(x, 1) = (x, h(x)) tenemos que τ = τh:

τh(x, g) = (x, h(x)g) = g(x, h(x)) = gτ(x, 1) = τ(x, g) .

¤

49

50 Capıtulo 3. Interpretacion Geometrica de la Cohomologıa

3. Clasificacion de revestimientos principales :

H1(X,G) =

Revestimientos principalesde X de grupo abeliano G,modulo G–isomorfismos

Demostracion. Fijemos un recubrimiento abierto R = Uii∈I de X y consideremos un revestimientoprincipal π : P → X que trivialice en R: φi : π−1(Ui)

∼−→ Ui ×G. En cada interseccion Uij := Ui ∩ Uj

tenemos un automorfismo gij := φiφ−1j : Uij×G ∼−→ Uij×G, ası que gij ∈ G(Uij) por el lema anterior,

y claramente en cada abierto Uijk := Ui ∩ Uj ∩ Uk tenemos que

gijgjk = gik

Las familias gij ∈ G(Uij)i,j∈I verificando tal condicion se llaman datos de construccion, puespermiten reconstruir el revestimiento principal como el cociente

Y ' [ti∈IUi ×G ] / ≡

por la relacion de equivalencia (x, gi) ≡ (x, gj) cuando gi = gij(x)gj , donde (x, gi) ∈ Ui ×G, (x, gj) ∈Uj × G. Ası los revestimientos principales triviales en el recubrimiento dado R se corresponden conlos datos de construccion; pero el dato de construccion no es intrınseco, sino que depende de lastrivializaciones φi elegidas:

Si elegimos otras trivializaciones φi : π−1(Ui)∼−→ G × Ui, obtendremos otro dato de construccion

gij. Ahora bien, gi := φiφ−1i : Ui × G ∼−→ Ui × G es un automorfismo, ası que gi ∈ G(Ui) y es

inmediato comprobar que

gij = gigijg−1j

Por tanto, si decimos que dos datos de construccion gij y gij son equivalentes cuando existensecciones gi ∈ G(Ui) tales que gij = gigijg

−1j , tenemos una biyeccion natural

Revestimientos principalesde X que trivializan en Rmodulo G–isomorfismos

=

Datos de construccionEquivalencia de datos

Por otra parte, si consideramos la resolucion de Godement de G, tenemos:

0 −→ G −→ C0G −→ G′ −→ 0

0 −→ G′ −→ C1G −→ G′′ −→ 0

0 −→ G′′ −→ C2G −→ G′′′ −→ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H1(X, G) =Γ(X,G′)

Γ(X, C0G)

Sea H1(X, G)R el subgrupo de H1(X,G) formado por las clases de cohomologıa que se anulanen el recubrimiento R. Si f ∈ H1(X, G)R, por definicion existen secciones fi ∈ Γ(Ui, C0G) tales quef |Ui = fi. Luego en Uij tenemos fi = gijfj para algun gij ∈ G(Uij). Este dato de construccion

3.1. Estructuras Localmente Triviales 51

gij, no depende del representante f de f escogido, pero depende de las secciones fi elegidas. Siconsideramos otras f ′i , que definiran otro dato g′ij, tendremos f ′i = gifi, donde gi ∈ G(Ui), y

g′ij = f ′i/f ′j = gifi/gjfj = gigijg−1j .

Es decir, hemos definido un morfismo de grupos

H1(X,G)R −→ Datos de construccionEquivalencia de datos

Este morfismo es inyectivo, pues la condicion gij = 1 equivale a que las de secciones fi coincidan enlas intersecciones Uij , luego f = 1. Veamos por ultimo que este morfismo es epiyectivo:

Dado un dato de construccion gij, para cada x ∈ X elegimos un ındice kx ∈ I tal que x ∈ Ukx

y definimosfi(x) := gikx(x) , fi ∈ Γ(Ui, C0G)

de modo que en Uij tenemosfi = gikx = gijgjkx = gijfj .

Luego estas secciones de C0G coinciden como secciones de G′, ası que definen una seccion global f deG′, y f ∈ H1(X, G)R, que induce el dato de construccion gij.

En resumen, hemos probado que

H1(X, G)R =Datos de construccionEquivalencia de datos

=

Revestimientos principalesde X que trivializan en Rmodulo G–isomorfismos

y para concluir basta observar que toda clase de cohomologıa se anula en algun recubrimiento y quetodo revestimiento principal es trivial en algun recubrimiento. ¤

4. Teorema de Hurewicz: Sea X un espacio topologico localmente simplemente conexo. Para todogrupo abeliano G tenemos un isomorfismo de grupos natural

H1(X, G) = Homgr(π1(X, x), G)

Demostracion. En la teorıa de Galois de revestimientos se prueba que

Homgr(π1(X,x), G) =

Revestimientos principa-les de X de grupo G,

modulo G–isomorfismos

y solo queda ver que tal biyeccion H1(X,G) = Homgr(π1(X, x), G) es morfismo de grupos.Sea X → X el revestimiento universal y π1 := π(X, x) su grupo de automorfismos. Recuerdese

que a cada morfismo de grupos φ : π1 → G se le asocia el revestimiento principal

R := (G× X)/π1 −→ X/π1 = X , σ(g, x) := (g · φ(σ−1), σx)

(es revestimiento principal porque π1 actua en G×X por G–morfismos). Si elegimos un recubrimientode X por abiertos simplemente conexos Ui, tendremos π1–isomorfismos XUi ' π1 × Ui que inducentrivializaciones

φi : RUi

∼−−→ G× Ui , φi[(g, σ, x)] := (g · φ(σ), x)


Ahora bien, en Uij tendremos que el isomorfismo (π1×Uj)Uij' XUij

' (π1×Ui)Uijtransforma (1, x)

en (σij(x), x), de modo que

(φiφ−1j )(g, x) = φj [(g, σij , x)] = (gφ(σij), x) .

Vemos ası que un dato de construccion del revestimiento principal asociado al morfismo φ esprecisamente φ(σij). Ahora esta claro que al producto de morfismos le corresponde el producto dedatos. ¤

5. Corolario : Si X es simplemente conexo, H1(X, G) = 0 .

6. Proposicion : Sea φ : Y → X una aplicacion continua. Si c ∈ H1(X, G) se corresponde conun revestimiento principal P → X de grupo G, entonces φ∗(c) se corresponde con el revestimientoprincipal P ×X Y → Y .

Demostracion. Se comprueba directamente que si gij es un dato de construccion asociado a P → Xen cierto recubrimiento trivializante Ui, entonces gij φ es un dato asociado al revestimientoprincipal P ×X Y → Y en el recubrimiento φ−1Ui. Ahora se concluye al aplicar 1.4.3 al siguientediagrama conmutativo de filas exactas:

0 −→ φ∗GX −→ φ∗C0GX −→ φ∗G′X −→ 0‖ ↓ ↓

0 −→ GY −→ C0GY −→ G′Y −→ 0

(los morfismos φ∗GX → GY , φ∗C0GX → C0GY se deducen por adjuncion de los morfismos GY →φ∗GX y C0GX → φ∗C0GY ) ¤

3.1.2. Fibrados de Lınea

7. Definicion : Un espacio vectorial real sobre un espacio topologico X es un espacio π : E → X sobreX dotado de operaciones continuas E×X E → E y R×E → E que verifiquen los axiomas usuales deespacio vectorial (entre ellos la existencia de la seccion continua nula 0: X → E); en particular cadafibra Ex := π−1(x) hereda una estructura de espacio vectorial real. Un morfismo entre dos espaciosvectoriales E → X y E′ → X sobre X es una aplicacion continua φ : E → E′ sobre X tal que lasaplicaciones φx : Ex → E′

x son lineales.El espacio vectorial real trivial de rango n sobre X X × Rn → X, con las operaciones obvias.

Diremos que un espacio vectorial real π : E → X es un fibrado vectorial real de rango n si es localmentetrivial de rango n; i. e., si cada punto x ∈ X tiene un entorno U tal que E|U → U es isomorfo aU × Rn → U , y llamaremos fibrados de lınea reales a los fibrados vectoriales reales de rango 1.

Analogamente se definen los fibrados vectoriales complejos y los fibrados de lınea complejos, susti-tuyendo R por C, y los fibrados vectoriales diferenciables, sustituyendo los espacios topologicos y lasaplicaciones continuas por variedades y aplicaciones de clase C∞.8. Lema : El haz de automorfismos G del fibrado de lınea real (resp. complejo) trivial π : X×R→ Xes el haz O∗ de funciones reales (resp. complejas) sobre X continuas e invertibles.

El haz de automorfismos del fibrado de lınea diferenciable real (resp. complejo) trivial es el haz defunciones reales (resp. complejas) de clase C∞ invertibles.

Demostracion. Haremos el caso real y continuo, pues los otros tres son similares.Cada funcion real continua e invertible f en un abierto U ⊆ X define un automorfismo τf : U×R→

U ×R, τf (x, λ) := (x, f(x)λ). Obtenemos ası un morfismo de haces inyectivo O∗ → G. Es epiyectivo:


si τ : U ×R→ U ×R es un automorfismo y ponemos τ(x, 1) = (x, f(x)), entonces f(x) 6= 0 porque τes biyectivo, y tenemos que τ = τf :

τ(x, λ) = λ(τ(x, 1)

)= (x, λf(x)) = τf (x, λ)

¤

9. Clasificacion de Fibrados de Lınea: : Si C0X(R) es el haz de funciones reales continuas sobre

un espacio topologico X, entonces:

H1(X, C0X(R)∗) =

[Fibrados de lınea reales

sobre X, modulo isomorfismos

]

(y analogamente en el caso complejo o diferenciable).

Demostracion. Se argumenta como en el caso de la clasificacion de los revestimientos. ¤

10. Corolario : Si X es un espacio topologico paracompacto,

H1(X,Z/2Z) =[

Fibrados de lınea realessobre X, modulo isomorfismos

]

H2(X,Z) =[

Fibrados de lınea complejossobre X, modulo isomorfismos

]

Demostracion. Como el haz O := C0X(R) es acıclico, la sucesion exacta larga de cohomologıa asociada

a la sucesion exacta0 −→ O ef

−−−→ O∗ −→ Z/2Z −→ 0

muestra que H1(X,O∗) = H1(X,Z/2Z) .Como el haz O := C0

X(C) es acıclico, la sucesion exacta larga de cohomologıa asociada a la sucesionexacta

0 −→ Z −→ O e2πif

−−−−→ O∗ −→ 0

muestra que δ : H1(X,O∗) ' H2(X,Z) . ¤

11. Corolario : Si X es una variedad diferenciable paracompacta,

H1(X,Z/2Z) =[Fibrados de lınea realesmodulo isomorfismos

]=

[Fibrados de lınea reales dife-

renciables, modulo isomorfismos

]

H2(X,Z) =[Fibrados de lınea comple-jos, modulo isomorfismos

]=

[Fibrados de lınea complejos dife-renciables, modulo isomorfismos

]

12. Definicion : Si X es un espacio paracompacto, cada fibrado de lınea real L → X esta clasificadopor una clase de cohomologıa δ(L) ∈ H1(X,Z/2Z) , y diremos que es su clase de obstruccion.Analogamente, cada fibrado de lınea complejo L → X esta clasificado por una clase de obstruccionδ(L) ∈ H2(X,Z) .13. Definicion : Sea L → X un fibrado de lınea. Si φ : Y → X es una aplicacion continua, entoncesφ∗L := L×X Y → Y es un fibrado de lınea y diremos que es la imagen inversa de L por la aplicacioncontinua φ.


14. Teorema : Si φ : Y → X es una aplicacion continua y L → X es un fibrado de lınea real ocomplejo, entonces

δ(φ∗L) = φ∗(δ(L)

).

Demostracion. Se comprueba directamente que si gij es un dato de construccion asociado a L encierto recubrimiento trivializante Ui, entonces gij φ es un dato asociado al fibrado de lınea φ∗Len el recubrimiento φ−1Ui, de modo que si c ∈ H1(X,O∗X) se corresponde con L, entonces φ∗L secorresponde con la imagen de c por el morfismo

H1(X,O∗X)φ∗−−−→ H1(Y, φ∗O∗X) −→ H1(Y,O∗Y )

Ahora el enunciado es consecuencia de la compatibilidad de la imagen inversa φ∗ con los morfismosde haces, en el caso real, y con el connecting.en el caso complejo, en vista del siguiente diagramaconmutativo de filas exactas:

0 −→ φ∗ZX −→ φ∗OXe2πif

−−−−→ φ∗O∗X −→ 0‖ ↓ ↓

0 −→ ZY −→ OYe2πif

−−−−→ O∗Y −→ 0

¤

Ejemplo: Los puntos de un espacio proyectivo real Pn(R) se corresponden con los subespacios vec-toriales de dimension 1 de un espacio vectorial real E de dimension n + 1. Consideremos la graficaξ ⊂ Pn × E de la incidencia (i.e., (p, e) ∈ ξ cuando el vector e ∈ E esta en el subespacio vectorialrepresentado por el punto p ∈ Pn). La proyeccion natural π : ξ → Pn es un fibrado de lınea, llamadofibrado tautologico de Pn que no es trivial, porque toda seccion continua s : Pn → ξ se anula en algunpunto.

En efecto, si no se anulase en ningun punto, considerando un producto escalar en E y dividiendocada vector s(p) por el modulo, tendrıamos una seccion continua del revestimiento Sn → Pn, lo quees absurdo porque la esfera Sn es conexa.

3.1.3. Haces de Lınea

15. Definicion : Sea O un haz de anillos sobre un espacio topologico X. Diremos que un O–moduloes libre de rango n si es isomorfo a On. Diremos que un O–modulo L es localmente libre de rango nsi cada punto x ∈ X tiene un entorno abierto U tal que L|U es isomorfo al haz de lınea trivial On|U ,y llamaremos haces de lınea a los O–modulos localmente libres de rango 1.16. Lema : El haz de automorfismos G del O–modulo O es (isomorfo a) el haz O∗ de seccionesinvertibles de O.

Demostracion. Es consecuencia directa de la igualdad

O(U) = Hom(O|U ,O|U ) .

¤

17. Clasificacion de Haces de Lınea: : Si O es un haz de anillos sobre un espacio topologico X,entonces:

H1(X,O∗) =[ O–modulos de lıneamodulo isomorfismos

]


Demostracion. Es similar a la clasificacion de revestimientos principales, una vez que se ha probadoque el haz de automorfismos del haz de lınea trivial es isomorfo a O∗. ¤

18. Corolario : Si O es el haz de funciones reales diferenciables sobre una variedad diferenciableparacompacta X, tenemos que

H1(X,Z/2Z) =[O–modulos de lıneamodulo isomorfismos

]

19. Corolario : Si O es el haz de funciones complejas diferenciables sobre una variedad diferenciableparacompacta X, tenemos que

H2(X,Z) =[O–modulos de lıneamodulo isomorfismos

]

20. Corolario : Sea X un espacio topologico simplemente conexo y A un anillo. Todo haz de A–modulos localmente constante de fibra A es el haz constante A.

Demostracion. Por el teorema de Hurewicz H1(X, A∗) = Hom(π1(X, x), A∗) = 0 . ¤

Ejemplo: Sea X una variedad diferenciable y C∞X el haz de funciones diferenciables reales sobre X.Si X es de dimension constante n, el haz Ωn

X de n–formas diferenciables es un C∞X –modulo de lınea,porque es trivial en los abiertos coordenados.

Las n–formas globales ωn ∈ Ωn(X) se corresponden con los morfismo de haces de modulos

C∞X ·ωn−−−→ ΩnX

y este morfismo es un isomorfismo precisamente cuando ωn no se anule en ningun punto de X. Luegouna variedad diferenciable X de dimension constante n es orientable si y solo si el haz de lınea Ωn

X

es trivial. De acuerdo con el teorema de clasificacion, tenemos que si X es una variedad diferenciabley H1(X,Z/2Z) = 0, entonces X es orientable.21. Ejercicio : Probar que el funtor que asigna a cada fibrado vectorial real de rango n, E → Xel haz de C0

X(R)-modulos ApliccontX(−, E) establece una equivalencia categorial entre los fibradosvectoriales reales y los de rango n y los haces de C0

X(R)-modulos localmente libres de rango n.22. Nota : Sea X una variedad diferenciable. Hemos demostrado las equivalencias

[Z–modulos de lınea

modulo isomorfismos

]= H1(X,Z/2Z) =

[Z/2Z–revestimientosmodulo isomorfismos

]=

[C∞X –modulos de lıneamodulo isomorfismos

]

Explıcitamente, asocia a cada Z-modulo de lınea L el C∞X -modulo de lınea L⊗ZC∞X ; a cada Z-modulode lınea L el Z/2Z-revestimiento espacio etale asociado al haz Isom(Z, L); a cada C∞X -modulo delınea L el Z/2Z-revestimiento espacio etale asociado al haz

U Ã Generadores de L(U)/Producto por funciones estrictamente positivas

23. Proposicion: Sea L un Z-modulo de lınea en X. Si π : X → X es el Z/2Z-revestimiento asociadoa L entonces π∗L = Z.

Demostracion. Sea L =∐

x∈X Lx el espacio etale asociado a L. Entonces, el espacio etale asociado aπ∗L es isomorfo al espacio etale asociado a Z:

L×X X = (∐

x∈X

Lx)×X (∐

x∈X

Isom(Zx, Lx)) '∐

x∈X

Z, (lx, φx) 7→ φ−1x (lx)

¤


3.1.4. Aplicaciones

Cohomologıa del Toro de Genero g:

Hn(τg,Z) =

Z si n = 0, 2Z2g si n = 10 si n > 2

Demostracion. El teorema de Hurewicz calcula el primer grupo de cohomologıa:

H1(τg,Z) = Hom(π1(τg),Z) = Hom(π1(τg)ab,Z) = Hom(Z2g,Z) = Z2g .

Por otra parte, si U es un pequeno disco abierto en el toro τg, el cerrado complementario eshomotopo a 2g circunferencias identificadas en un punto, porque el sımbolo de la superficie esa1b1a

−11 b−2

1 . . . agbga−1g b−1

g . La sucesion exacta del subespacio cerrado nos proporciona una sucesionexacta:

0 −→ Z2g −→ Z2g −→ Z −→ H2(τg,Z) −→ 0

El conucleo del morfismo Z2g → Z2g es de torsion, porque su rango es nulo; luego la imagen delmorfismo Z2g → Z es de torsion, y se sigue que es nula, lo que permite concluir que H2(τg,Z) = Z.Ademas, la sucesion exacta del subespacio cerrado tambien muestra que los restantes grupos decohomologıa del toro τg son nulos. ¤

Cohomologıa de la superficie compacta no orientable de genero g:

Hn(S,F2) =

F2 si n = 0, 2Fg

2 si n = 10 si n > 2

Demostracion. El teorema de Hurewicz calcula el primer grupo de cohomologıa de la suma conexa Sde g planos proyectivos:

H1(S,F2) = Hom(π1(S),F2) = Hom(π1(S)ab,F2) = Hom(Zg−1 ⊕ Z/2Z,F2) = Fg2 .

Por otra parte, si U es un pequeno disco abierto en S, el cerrado complementario es homotopo a gcircunferencias identificadas en un punto, porque el sımbolo de la superficie es a1a1a2a2 . . . agag. Lasucesion exacta del subespacio cerrado nos proporciona una sucesion exacta:

0 −→ Fg2 −→ Fg

2 −→ F2 −→ H2(S,F2) −→ 0

y concluimos que H2(S,F2) = F2 y Hn(S,F2) = 0 cuando n > 2. ¤

Pasemos ahora a calcular la cohomologıa con coeficientes enteros:

Hn(S,Z) =

Z si n = 0Zg−1 si n = 1Z/2Z si n = 20 si n > 2


Demostracion. El teorema de Hurewicz calcula el primer grupo de cohomologıa

H1(S,Z) = Hom(π1(S),Z) = Hom(π1(S)ab,Z) = Hom(Zg−1 ⊕ Z/2Z,Z) = Zg−1

Igualmente tenemos

H1(S,Z/mZ) = Hom(Zg−1 ⊕ Z/2Z,Z/mZ) = (Z/mZ)g−1 ⊕ Z/m.c.d.(2,m)Z

La sucesion exacta del subespacio cerrado muestra que Hn(S,Z) = 0 cuando n > 2, y que tenemosuna sucesion exacta

0 −→ Zg−1 −→ Zg −→ Z −→ H2(S,Z) −→ 0

Luego H2(S,Z) es de torsion y cıclico; i.e., H2(S,Z) = Z/nZ donde n > 0. Por la Formula de losCoeficientes Universales tenemos una sucesion exacta

0 → H1(S,Z)⊗ (Z/mZ) → H1(S,Z/mZ) → Tor1(Z/nZ,Z/mZ) → 0

‖ ‖(Z/mZ)g−1 Z/m.c.d.(n, m)Z

y concluimos que m.c.d.(2,m) = m.c.d.(n, m) para todo m ∈ N; i.e., n = 2. ¤

Hipersuperficies:

24. Lema : Si Y es una hipersuperficie cerrada de una variedad diferenciable X, su haz de idealespY (U) := f ∈ C∞X (U) : f |U∩Y = 0 es un haz de lınea (i.e., un C∞X –modulo localmente libre derango 1).

La condicion necesaria y suficiente para que el haz de lınea pY sea trivial es que exista una funcionglobal f ∈ C∞(X) que solo se anula en Y y con diferencial no nula en todos los puntos de Y (i.e.,una ecuacion global de Y ).

Demostracion. Si Y es una hipersuperficie f = 0 y la diferencial de f no se anula en ningun punto deY , entonces el morfismo de haces f · : C∞X → pY es un isomorfismo, porque lo es en fibra:

pY,p =

fC∞p cuando p ∈ Y

C∞p cuando p ∈ X − Y

(toda funcion diferenciable en Rn que se anule en la hipersuperficie x1 = 0 es un multiplo de x1).Luego pY es un haz de lınea trivial. Ademas, como tal funcion f siempre existe localmente, tenemosque en general pY siempre es un haz de lınea.

Por ultimo, si pY es trivial, existe algun isomorfismo C∞X ∼−→ pY , que vendra definido por unaseccion global f ∈ pY (X). Es decir, f es una funcion diferenciable en X que se anula en Y y tal queen cada punto p ∈ X tenemos:

fC∞p = pY,p =

x1C∞p cuando p ∈ X − Y

C∞p cuando p ∈ Y

donde x1 = 0 es una ecuacion local de Y en p ∈ Y . La igualdad fC∞p = C∞p muestra que f no se anulaen p cuando p /∈ Y ; y la igualdad fC∞p = x1C∞p muestra que f(p) = 0 y la diferencial dpf no es nulacuando p ∈ Y . En efecto, al ser x1 = fh para algun germen h ∈ C∞p , tenemos que

dpx1 = h(p)dpf + f(p)dpx1 = h(p)dpf

y concluimos que dpf 6= 0 porque dpx1 6= 0. ¤


25. Corolario: Sea X una variedad diferenciable. Si H1(X,F2) = 0 (v. gr. si es simplemente conexa),entonces toda hipersuperficie de X admite una ecuacion global f = 0 y es orientable.

Demostracion. X es orientable porque todo revestimiento de X de grado 2 es trivial (luego el reves-timiento de orientacion es trivial). Si Y es una hipersuperficie de X, el haz de lınea pY es trivialporque todos los haces de lınea sobre X son triviales. Ahora, si f = 0 es una ecuacion global de Y , elcampo grad f (respecto de una metrica riemanniana sobre X) no se anula en ningun punto de Y y,junto con una orientacion de X, define una orientacion de Y . ¤

26. Corolario : Ninguna superficie diferenciable de R3 es difeomorfa al plano proyectivo real ni aninguna otra superficie compacta no orientable.

3.2. Clase de Cohomologıa de una Subvariedad

Sea Y un cerrado de un espacio topologico X. Si F es un haz abeliano sobre X, el haz de seccionescon soportes en Y es el haz

(ΓY F)(U) := ΓY ∩U (U,F)

y los correspondientes funtores derivados son los haces de cohomologıa local :

(HpY F)(U) := Hp [ΓY (I•F)]

de modo que HpY F es el haz asociado al prehaz U Ã Hp

Y ∩U (U,F).1. Lema : Si I es un haz inyectivo de Godement, entonces ΓY I es un haz inyectivo.

Demostracion. Si I(U) =∏

x∈U Ix, entonces el nucleo de I(U) → I(U − Y ) es

ΓY ∩U (U, I) =∏

x∈Y ∩U

Ix =∏

x∈U

Jx

donde Jx := Ix cuando x ∈ Y , y Jx := 0 cuando x ∈ X − Y . Luego ΓY I es el haz de Godementasociado a la familia de modulos inyectivos Jxx∈X . ¤

2. Teorema : Sea Y una subvariedad cerrada de codimension d de una variedad topologica X.

1. Los haces de cohomologıa local HpY Z son nulos cuando p 6= d.

2. HdY Z es un haz concentrado en Y y localmente isomorfo a Z (restringido a Y ).

Demostracion. El enunciado es local. Dado y ∈ X si y /∈ Y , entonces podremos suponer que Y = ∅ yobtenemos que Hp

Y Z = 0 al restringirnos a X − Y , para todo p.Ası que podemos suponer que X = Rm × Rd, Y = Rm × 0. En tal caso, la sucesion exacta de

cohomologıa local

Hp−1(Sd−1,Z) = Hp−1(Rm × (Rd − 0),Z) δ−−→ HpY (X,Z) → Hp(Rm × Rd,Z)

muestra que HpY (X,Z) = 0 cuando p 6= d, 0, 1. El caso p = 0 es obvio. El caso p = 1 se sigue

directamente de la sucesion exacta

Z = H0(X,Z) → H0(Rm × (Rd − 0),Z) → H1Y (X,Z) → H1(X,Z) = 0

3.2. Clase de Cohomologıa de una Subvariedad 59

(cuando d = 1, se obtiene que H1Y (X,Z) = Z).

Para p = d (d 6= 1), de la sucesion exacta

0 = Hd−1(X,Z) → Hd(Rm × (Rd − 0),Z) = Z→ HdY (X,Z) → Hd+1(X,Z) = 0

se sigue que HdY (X,Z) = Z. Si probamos que el morfismo j∗ : Hd

Y (X,Z) → HdU (U × Rd,Z) es un

isomorfismo para toda bola abierta j : U → Rm, terminamos con el apartado 2. Ahora bien, elsiguiente diagrama conmutativo de filas exactas

Hd−1(X,Z) → Hd−1(Rm × (Rd − 0),Z) δ−−→ HdY (X,Z) −→ Hd(X,Z) = 0

↓ ↓ ↓ j∗

Hd−1(U × Rd,Z) → Hd−1(U × (Rd − 0),Z) δ−−→ HdU (U × Rd,Z) −→ Hd(U × Rd,Z) = 0

permite concluir porque las dos primeras flechas verticales son isomorfismos al ser U × (Rd − 0) →Rm × (Rd − 0) y U × Rd → X equivalencias homotopicas. ¤

3. Definicion : Sea X una variedad topologica e Y una subvariedad de codimension d. Diremos queTY/X := Hd

Y Z es el haz de orientacion normal de Y en X.

4. Teorema : Si Y es una subvariedad cerrada de codimension d de una variedad topologica X,tenemos que

HpY (X,Z) = Hp−d(X,TY/X) = Hp−d(Y,TY/X)

Demostracion. Sea Z ∼−−→ I• la resolucion inyectiva del haz constante Z sobre X. Tenemos casi-isomorfismos naturales TY/X [−d] ∼←−− Z• ∼−−→ ΓY I•, donde Z• es el complejo

ΓY I0 → ΓY I1 → . . . → ΓY Id−1 → Zd → 0 → . . .

Como ΓY I• es un complejo de haces inyectivos, tenemos isomorfismos:

Hp(X,TY/X [−d ]) = Hp(X,Z•) = Hp(X, ΓY I•) = Hp[Γ(X, ΓY I•)] = HpY (X,Z)

Por ultimo, Hp(X,TY/X) = Hp(Y,TY/X) segun 2.1.2, porque el haz TY/X esta concentrado en Y .¤

5. Corolario : TY/X(U) = HdY ∩U (U,Z) .

6. Definicion : Se llaman orientaciones normales de una subvariedad cerrada i : Y → X en un puntoy ∈ Y a los isomorfismos del modulo Z con la fibra TY/X,y del haz de orientacion normal. En cadapunto y ∈ Y hay dos orientaciones normales, que difieren en un signo, y se corresponden con los dosgeneradores del modulo libre TY/X,y.

Se dice que Y es normalmente orientable en X cuando el haz TY/X sea isomorfo al haz constanteZY ; en cuyo caso se llaman orientaciones normales de Y en X a los isomorfismos Z ∼−−→ TY/X . Daruna orientacion normal es elegir de modo continuo una orientacion normal en cada punto de Y ; i.e.,una seccion global ξY ∈ TY/X(Y ) = Hd

Y (X,Z) que genere la fibra TY/X,y en cada punto y ∈ Y .

7. Lema : Sea T un haz localmente isomorfo al haz constante Z sobre un espacio topologico conexoY . La condicion necesaria y suficiente para que sea trivial, Z ' T, es que admita alguna seccion globalno nula, T(Y ) 6= 0; en cuyo caso T(Y ) = Z.


Demostracion. La necesidad de la condicion es obvia. En cuanto a la suficiencia, el espacio etale Tet →Y es un revestimiento, ası que si una seccion global s no es nula, entonces no se anula en ningun punto,y permite definir una seccion continua que genera la fibra en cada punto:

ξ(y) := el unico generador de Ty tal que s(y)/ξ(y) es positivo.

¤

Veamos algunos criterios sencillos para saber si una subvariedad cerrada Y → X de codimensiond es normalmente orientable:

1. Si H1(Y,F2) = 0, entonces Y es normalmente orientable, cualquiera que sea el ambiente X y lacodimension d, porque en tal caso todo haz de lınea sobre Z es trivial.

2. De acuerdo con el lema anterior, si Y es conexa y HdY (X,Z) 6= 0, entonces Y es normalmente

orientable en X y HdY (X,Z) ' Z.

3. Cuando Y es una hipersuperficie (d = 1) conexa, si admite algun entorno abierto conexo U talque U − Y no es conexo, entonces la sucesion exacta de cohomologıa local

H0(U,Z) → H0(U − Y,Z) → H1Y (U,Z) = H1

Y (X,Z)

muestra que H1Y (X,Z) 6= 0; luego Y es normalmente orientable en X.

Todos los resultados de esta seccion son validos si se sustituye Z por un anillo arbitrario A, siendoA = F2 el caso mas importante, porque en tal caso todas las subvariedades cerradas son normalmenteorientables y admiten una unica orientacion normal (de modo que la clase de cohomologıa siempreesta bien definida):8. Lema : Todo haz de grupos abelianos T localmente isomorfo al haz constante F2 tiene una unicaseccion global que no se anula en ningun punto y, por tanto, es trivial: F2 ' T.

Demostracion. Tal seccion global solo puede ser

s(x) := el unico elemento no nulo de Tx

y s es una seccion continua porque localmente es continua. Por ultimo, el morfismo de haces F2 → Tque define s es un isomorfismo porque lo es en cada fibra. ¤

9. Definicion : El morfismo Hp−d(Y,TY/X) ∼−→ HpY (X,Z) → Hp(X,Z) se denota i∗.

10. Formula de Proyeccion : Si a ∈ H•(X,Z) y b ∈ H•(Y,TY/X) , tenemos que

i∗(i∗(a) ∪ b) = a ∪ i∗(b)

Demostracion. Esta formula afirma que i∗ : H•(Y,TY/X) → H•(X,Z) es un morfismo de H•(X,Z)-modulos, donde la estructura de modulo en H•(Y,TY/X) viene definida por el morfismo de anillosi∗ : H•(X,Z) → H•(Y,Z).

Ahora bien, salvo el cambio de graduacion, la imagen directa i∗ se obtiene de los siguientes mor-fismos:

H•(Y,TY/X [−d]) i∗←− H•(X,TY/X [−d]) ∼←− H•(X,Z•) ∼−→ H•(X, ΓY I•) → H•(X, I•)

3.3. Teorıa Topologica de la Interseccion 61

donde el isomorfismo i∗ es morfismo de modulos por 2.6.4, mientras que los restantes son morfismos demodulos porque el producto cup es compatible con los morfismos de (complejos de) haces. Por ultimo,el cambio de graduacion H•(Y,TY/X) ∼−→ H•(Y,TY/X [−d]) es un isomorfismo de modulos, cuando laestructura de modulo se considera por la izquierda, porque la diferencial total de un bicomplejo nose altera al cambiar el segundo grado (pero no al cambiar el primero, por lo que tal afirmacion no esvalida para la estructura de modulo de H•(Y,TY/X) por la derecha). ¤

11. Definicion : Fijada una orientacion normal de Y en X (cuando Y sea normalmente orientable),H0(Y,Z) = H0(Y,TY/X), 1 7→ ξY , diremos que la imagen de la unidad por el morfismo i∗ : H0(Y,Z) →Hd(X,Z) es la clase de cohomologıa clX(Y ) de Y en X y, de acuerdo con la formula de proyeccion,tenemos que

i∗(i∗a) = a ∪ clX(Y ) .

3.3. Teorıa Topologica de la Interseccion

Sean Y1, Y2 subvariedades cerradas de una variedad topologica X de codimensiones d1 y d2 respec-tivamente. Si Y1 ∩ Y2 es una subvariedad de codimension d1 + d2, entonces en cada abierto U ⊆ Xtenemos un morfismo de grupos

Hd1Y1∩U (U,Z)⊗Z Hd2

Y2∩U (U,Z) ∪−−−→ Hd1+d2Y1∩Y2∩U (U,Z)

de modo que el producto cup define un morfismo de haces

TY1/X ⊗Z TY2/X∪−−−→ TY1∩Y2/X

Si fijamos orientaciones normales ξ1, ξ2, ξ en un punto y ∈ Y1 ∩ Y2 de Y1, Y2 e Y1 ∩ Y2 respectiva-mente, tendremos que

ξ1 ∪ ξ2 = mξ ∈ TY1∩Y2/X,y

y diremos que el numero entero m es la multiplicidad de interseccion de Y1 con Y2 en el puntoy ∈ Y1 ∩ Y2. Si se cambia alguna orientacion normal, tal multiplicidad cambia de signo.

Supongamos ademas que Y1 e Y2 son normalmente orientables en X y fijemos orientaciones nor-males ξi ∈ Hdi

Yi(X,Z). Si la multiplicidad de interseccion m en un punto y ∈ Y1 ∩ Y2 no es nula,

entonces ξ1 ∪ ξ2 define una seccion global de TY1∩Y2/X que no se anula en y; luego, por 3.2.7, se sigueque la componente conexa C de Y1 ∩ Y2 que pasa por y es normalmente orientable en X y que lamultiplicidad de interseccion es constante a lo largo de C.

1. Teorema : Sean Y1, Y2 subvariedades cerradas de una variedad X normalmente orientables y decodimensiones d1, d2 respectivamente. Si Y1 ∩ Y2 es una subvariedad de codimension d1 + d2 con unnumero finito de componentes conexas C1, . . . , Cr y mi denota la multiplicidad de interseccion de Y1

con Y2 a lo largo de Ci, entonces

clX(Y1) ∪ clX(Y2) =r∑

i=1

mi clX(Ci)

Demostracion. Tenemos que Hd1+d2Y1∩Y2

(X,Z) = ⊕jHd1+d2Cj

(X,Z), donde Cj recorre las componentesconexas de Y1 ∩ Y2 normalmente orientables en X, porque la cohomologıa local de las restantes es


nula. Por definicion, ξ1 ∪ ξ2 =∑

j mjξCi, ası que el siguiente cuadrado conmutativo:

Hd1Y1

(X,Z)⊗Z Hd2Y2

(X,Z) ∪−−−→ Hd1+d2Y1∩Y2

(X,Z) = ⊕jHd1+d2Cj

(X,Z)↓ ↓

Hd1(X,Z)⊗Z Hd2(X,Z) ∪−−−→ Hd1+d2(X,Z)

muestra que clX(Y1)∪ clX(Y2) =∑

j mjclX(Cj). Como en los restantes sumandos la multiplicidad deinterseccion es nula, se concluye que

∑j mjclX(Cj) = m1clX(C1) + . . . + mrclX(Cr). ¤

2. Definicion : Sean Y1, Y2 subvariedades cerradas de una variedad X, de codimensiones d1, d2 re-spectivamente. Diremos que Y1 e Y2 se cortan transversalmente en un punto y ∈ Y1 ∩ Y2 cuan-do existe un entorno abierto U de y en X y un homeomorfismo φ : ∼−→ Rd1 × Rd2 × Rm tal queφ(Y1 ∩ U) = 0 × Rd2 × Rm y φ(Y2 ∩ U) = Rd1 × 0 × Rm (en particular d1 + d2 ≤ dimyX); es decir,cuando tal interseccion es localmente homeomorfa a la de dos subespacios vectoriales que generan Rn.

3. Teorema : Si dos subvariedades Y1, Y2 se cortan transversalmente en un punto y ∈ Y1 ∩ Y2,entonces la multiplicidad de interseccion de Y1 con Y2 en y es ±1.

Demostracion. Fijadas las dimensiones de Y1, Y2 y X, por definicion todas las intersecciones transver-sales son localmente homeomorfas. Como la multiplicidad de interseccion es claramente un invari-ante topologico local, basta probar que es 1 en un caso particular. Es decir, podemos suponer queX = Sd1 ×Sd2 ×Sd3 , Y1 = p1×Sd2 ×Sd3 , Y2 = Sd1 × p2×Sd3 , de modo que Y1 ∩ Y2 = p1× p2×Sd3 .Ademas, si consideramos las tres proyecciones πi : X → Sdi , en virtud del teorema de Kunneth ten-emos un isomorfismo de anillos graduados

Z[x1]/(x21)⊗Z Z[x2]/(x2

2)⊗Z Z[x23]

π∗1⊗π∗2⊗π∗3−−−−−−−−→ H•(X,Z)

donde el grado de xi es di. Calculemos la clase cohomologıa de Y1 en X. Tenemos un cuadradoconmutativo

Hd1p1

(Sd1 ,Z)π∗1−−−→ Hd1

Y1(X,Z)

↓ ↓Hd1(Sd1 ,Z)

π∗1−−−→ Hd1(X,Z)

y el morfismo natural Hd1p1

(Sd1 ,Z) → Hd1(Sd1 ,Z) es un isomorfismo, como prueba la sucesion exactade cohomologıa local. Si elegimos un generados ξ1 ∈ Hd1

p1(Sd1 ,Z) que se aplique en x1, el cuadrado

anterior muestra que π∗1(ξ1) ∈ Hd1Y1

(X,Z) se aplica en π∗1(x1) = x1 ⊗ 1 ⊗ 1. Luego π∗1(ξ1) 6= 0 y sesigue que Y1 es normalmente orientable en X, ası que Hd1

Y1(X,Z) ' Z y este grupo esta generado por

π∗1(ξ1), porque x1 ⊗ 1 ⊗ 1 no es divisible en Hd1(X,Z) por ningun numero natural, salvo el 1, comomuestra la formula de Kunneth.

Vemos ası que la clase de cohomologıa de Y1 en X es x1 ⊗ 1 ⊗ 1. Analogamente se prueba queclX(Y2) = 1⊗ x2 ⊗ 1. Ahora bien, Y1 ∩ Y2 es una subvariedad conexa de codimension d1 + d2 y

clX(Y1) ∪ clX(Y2) = x1 ⊗ x2 ⊗ 1

no es divisible en el grupo Hd1+d2(X,Z) por ningun numero natural, salvo el 1, como muestra laformula de Kunneth. El teorema 3.3.1 permite concluir que la multiplicidad de interseccion es ±1 (yque Y1 ∩ Y2 es normalmente orientable en X). ¤

3.3. Teorıa Topologica de la Interseccion 63

4. Corolario : El grupo H2(Pn(C),Z) esta generado por la clase de cohomologıa x de cualquierhiperplano y tenemos un isomorfismo de anillos graduados

H•(Pn(C),Z) = Z[x]/(xn+1)

donde xr es la clase de cohomologıa de cualquier subvariedad lineal de codimension r.

Demostracion. Cuando X = Pn(C) e Y = Pn−1(C), tenemos que X − Y = Cn es contractil, yla sucesion exacta de cohomologıa local muestra que H2(X − Y,Z) 6= 0; luego Y es normalmenteorientable en X. Ahora la sucesion exacta de Gysin afirma que, cuando p ≥ 1, tenemos isomorfismos

i∗ : Hp−2(Y,Z) ∼−−→ Hp(X,Z)

En particular x = i∗(1) es un generador de H2(X,Z), lo que prueba el enunciado cuando n = 1.Ademas, procediendo por induccion sobre n, i∗(yp−1) es un generador de Hp(X,Z), donde y denotaun generador de H2(Pn−1(C),Z).

Ahora, como n > 1, la sucesion exacta del subespacio cerrado

H2(Pn(C),Z) i∗−−→ H2(Pn−1(C),Z) δ−−→ H3(Cn,Z) = 0

muestra que podemos suponer que y = i∗(x), de modo que la formula de proyeccion permite concluirque el grupo Hp(X,Z) esta generado por

i∗(yp−1) = i∗((i∗x)p−1) = i∗(1)xp−1 = xp .

¤

5. Corolario : El grupo H1(Pn(R),Z) esta generado por la clase de cohomologıa x de cualquierhiperplano y tenemos un isomorfismo de anillos graduados

H•(Pn(R),F2) = F2[x]/(xn+1)

donde xr es la clase de cohomologıa de cualquier subvariedad lineal de codimension r.

Demostracion. Es similar a la del caso complejo. ¤

3.3.1. Aplicaciones

1. La inclusion i : Pm → Pn, m < n, de una subvariedad lineal proyectiva no admite retractocontinuo, porque el epimorfismo de anillos i∗ : A[x]/(xn) → A[x]/(xm) no admite seccion.

2. Todo difeomorfismo φ : P2n(C) → P2n(C) conserva la orientacion. En efecto, al ser φ∗(x) = ±x,concluimos que φ∗(x2n) = (±x)2n = x2n.

3. Si π : Sn → Pn(R) es una aplicacion continua, no existe ningun abierto U ⊂ Pn(R) tal que πdefina un homeomorfismo de π−1(U) con U .

En efecto, en caso contrario

π∗ : Hnp (Pn(R),F2) = Hn

p (U,F2) −→ Hnp (π−1(U),F2) = Hn

p (Sn,F2)

serıa un isomorfismo, y π∗ : Hn(Pn(R),F2) → Hn(Sn,F2) tambien serıa isomorfismo, pues ambosgrupos estan generados por la clase de cohomologıa de un punto.


4. El espacio proyectivo Pn no se puede recubrir con n abiertos homeomorfos a espacios afines.

En efecto, si un espacio topologico admite un recubrimiento X = U1 ∪ . . . ∪ Un por abiertosUi ' Rmi , y ponemos Yi := X − Ui, la sucesion exacta de cohomologıa local Hp

Yi(X, A) →

Hp(X, A) → Hp(Ui, A) muestra que los morfismos HpYi

(X, A) → Hp(X, A) son epiyectivos paratodo p ≥ 1. Ahora el cuadrado conmutativo

H•Y1

(X, A)⊗ . . .⊗H•Yn

(X, A) ∪−−−→ H•Y1∩...∩Yn

(X, A) = 0↓ ↓

H•(X,A)⊗ . . .⊗H•(X, A) ∪−−−→ H•(X, A)

permite concluir que en el anillo H•(X, A) es nulo el producto de n elementos cualesquiera degrado positivo.

5. Teorema de Borsuk–Ulam: Toda aplicacion continua φ : Sn → Rn identifica algun par depuntos antipodales.

En caso contrario tendrıamos una aplicacion continua ϕ : Sn → Sn−1 tal que ϕ(−x) = −ϕ(x):

ϕ(x) :=φ(x)− φ(−x)‖φ(x)− φ(−x)‖

Por tanto ϕ induce una aplicacion continua ϕ : Pn → Pn−1 y un Z/2Z–isomorfismo Sn =Sn−1 ×Pn−1 Pn. Luego el morfismo de anillos

ϕ∗ : F2[x]/(xn) = H•(Pn−1,F2) −→ H•(Pn,F2) = F2[x]/(xn+1)

verifica que ϕ∗(x) = x, porque Sn → Pn es el unico revestimiento principal no trivial de grupoZ/2Z de Pn.

6. Anillo de Cohomologıa del Toro de Genero g: La sucesion exacta de cohomologıa localprueba que el grupo H2(τg,Z) esta generado por la clase de cohomologıa p de cualquier punto.Ahora, la teorıa de la interseccion muestra la existencia de clases de cohomologıa x1, y1, . . . , xg, yg ∈H1(τg,Z) cuyos productos son todos nulos, salvo

x1 ∪ y1 = . . . = xg ∪ yg = p .

Es decir, el producto cup define una metrica hemisimetrica en el grupo libre H1(τg,Z) ' Z2g

y el determinante de la matriz de tal metrica en los vectores x1, y1, . . . , xg, yg es 1. Como talmatriz es BtAB, donde A es la matriz de la metrica en una base de H1(τg,Z) y B es la matrizde “cambio de base”, concluimos que el determinante de B es 1 y que

H1(τg,Z) = Zx1 ⊕ Zy1 ⊕ . . .⊕ Zxg ⊕ Zyg .

Capıtulo 4

Dualidad

4.1. Introduccion

Sea E un espacio vectorial de dimension n, orientado 0 6= wn ∈ ΛnE. Tenemos que k = ΛnE, λ 7→λwn. Es mas, tenemos un isomorfismo canonico Λn−iE = (ΛiE)∗: asignando a cada wn−i ∈ Λn−iEla aplicacion lineal

wn−i : ΛiE → ΛnE = k, wi 7→ wi ∧ wn−i

Sea X una variedad diferenciable de dimension n, orientada wn ∈ Ωn(X). Se tiene que Hn−i(X,R) =Hi

c(X,R)∗, asignando a cada wn−i ∈ Hn−i(X,R) la aplicacion lineal

wn−i : Hic(X,R) → R, wi 7→

∫

X

wi ∧ wn−i

Sea ahora X un espacio topologico (paracompacto, localmente compacto, de base numerable) dedimension n. El functor sobre la categorıa de haces de Q-modulos

MÃ Hnc (X,M)∗ = HomQ(Hn

c (X,M),Q)

es contravariante, exacto por la izquierda y transforma lımites inductivos en lımites proyectivos. Elteorema de representabilidad de Grothendieck afirma que este functor es representable; es decir, existeun haz T (que explicitaremos) y un isomorfismo

Hnc (X,M)∗ = HomQ(M, T )

functorial en M. Es mas puede probarse (en variedades topologicas) que

Hn−ic (X,M)∗ = Exti

Q(M, T )

Puede extenderse esta dualidad no solo a haces de Q-modulos sino de Z-modulos, pero en estecaso habra que resolver Z por modulos inyectivos. Es decir, hay que extender la dualidad a complejosde haces de modulos.

65

66 Capıtulo 4. Dualidad

4.2. Formula algebraica de dualidad

Sean (K ·, d1) y (L·, d2) dos complejos de A-modulos. Podemos formar el bicomplejo E·,·, dondeEpq := HomA(K−p, Lq) y las diferenciales d∗1 : HomA(K−p, Lq) → HomA(K−p−1, Lq), d∗1(f) = f d1

y d∗2 : HomA(K−p, Lq) → HomA(K−p, Lq+1), d∗2(f) = f d2. El complejo simple asociado a E·,· lodenotaremos

HomA(K ·, L·) = ⊕pqHomA(K−p, Lq)

1. Proposicion : Sea I un A-modulo inyectivo y K · un complejo de A-modulos. Denotemos K∗ =HomA(K ·, I) el complejo dual. Se tiene que

H−p(K∗) = Hp(K ·)∗

Demostracion. HomA(−, I) es un funtor exacto y los funtores exactos conmutan con la cohomologıa,por ??. ¤

Veamos que sucede al tomar dual en A, cuando A sea d.i.p. Consideremos la resolucion porinyectivos 0 → A → I0 → I1 → 0, donde I0 es el cuerpo de fracciones de A y I1 = I0/A.2. Formula algebraica de dualidad: Se tiene la sucesion exacta

0 → Ext1A(Hp+1(K ·), A) → H−p(HomA(K ·, I ·)) → HomA(Hp(K ·), A) → 0

Demostracion. En la sucesion exacta 0 → A → I0 → I1 → 0 tomemos HomA(Hp(K ·),−) y obten-dremos

0 → HomA(Hp(K ·), A) → HomA(Hp(K ·), I0)φp→ HomA(Hp(K ·), I1) → Ext1A(Hp(K ·), A) → 0

Por tanto, Ker φp = HomA(Hp(K ·), A) y Cokerφp = Ext1A(Hp(K ·), A).Por otra parte, consideremos la sucesion exacta de complejos de modulos obvia

0 → I1[−1] → I · → I0 → 0

que es escindida como sucesion de modulos. Tomemos HomA(K ·,−) y obtendremos la sucesion exactade complejos de modulos

0 → HomA(K ·, I1[−1]) → HomA(K ·, I ·) → HomA(K ·, I0) → 0

Tomando la sucesion exacta larga de cohomologıa obtenemos

δ // H−pHomA(K ·, I1[−1]) // H−pHomA(K ·, I ·) // H−pHomA(K ·, I0) δ // H−p+1HomA(K ·, I1[−1])

φp+1// Hom(Hp+1(K ·), I1) // H−pHomA(K ·, I ·) // Hom(Hp(K ·), I0)φp // HomA(Hp(K ·), I1)

Por tanto, tenemos la sucesion exacta

0 → Cokerφp+1 → H−pHomA(K ·, I ·) → Kerφp → 0

y obtenemos la formula.¤

4.3. Dualidad topologica 67

Si K · es un complejo de modulos proyectivos entonces HomA(K ·, I ·) es cuasi-isomorfo a HomA(K ·, A),por el teorema del bicomplejo, luego obtenemos la sucesion exacta

0 → Ext1A(Hp+1(K ·), A) → H−p(HomA(K ·, A)) → HomA(Hp(K ·), A) → 0

Si ademas Hp+1(K ·) es un A-modulo proyectivo entonces

H−p(HomA(K ·, A)) = HomA(Hp(K ·), A)

4.3. Dualidad topologica

Para cada haz F vamos a considerar cierta resolucion (finita) C ·(F ) de F por haces Γc-acıclicos yprobaremos para cada Z-modulo inyectivo Ij = I0, I1

HomZ(Γc(X, Ci(F )), Ij) = Hom(F, Dij)

para cierto haz inyectivo Dij . Por tanto, la formula de dualidad algebraica (para K · = Γc(X,C ·(F )))nos dara la sucesion exacta

0 → Ext1Z(Hp+1c (X, F ),Z) → H−p(Hom(F,D·)) → HomZ(Hp

c (X,F ),Z) → 0

Cuando X sea una variedad diferenciable de dimension n, probaremos que Hp(D·) = 0, para todop 6= n y denotaremos Hn(D·) = TX . TX [−n] es cuasi-isomorfo a D·. Entonces tendremos la sucesionexacta

0 → Ext1Z(Hp+1c (X, F ),Z) → Extn−p(F,TX) → HomZ(Hp

c (X, F ),Z) → 0

Si X es orientable tendremos que TX = Z y para F = Z tendremos la sucesion exacta

0 → Ext1Z(Hp+1c (X,Z),Z) → Hn−p(X,Z) → HomZ(Hp

c (X,Z),Z) → 0

4.3.1. Resolucion de Godement truncada

Sea X un espacio topologico paracompacto, localmente compacto de base numerable de dimensionn.1

Dada la resolucion de Godement de Z

0 → Z→ C0Z→ C1Z→ C2Z→ · · · → Cn−1Z dn−1→ CnZ dn→ · · ·llamaremos resolucion de Godement n-truncada, C · a la resolucion

0 → Z→ C0Z→ C1Z→ C2Z→ · · · → Cn−1Z dn−1→ Im dn → 0 → 0 → · · ·1Vamos a usar que los m-esimos grupos de cohomologıa con soporte compacto son nulos para m > n = dim X.

1. Definicion : Diremos que ∅ es de dimension −1. Diremos que X tiene dimension ≤ n si para todo punto existe unabase de entornos cuyas fronteras tengan dimension ≤ n− 1. Diremos que dim X = n si dim X ≤ n y dim X ≤ n− 1.

Esta definicion es equivalente a la siguiente:

2. Definicion : Diremos que X tiene dimension ≤ n si todo recubrimiento abierto Uii∈I tiene un refinamientoVjj∈J de modo que Vj1 ∩ · · · ∩ Vjn+2 = ∅ para todo, j1 6= · · · 6= jn+2 ∈ J .

3. Teorema : Las variedades topologicas de dimension n son espacios topologicos de dimension n.

4. Teorema : Hpc (X, F ) = 0 para todo p > n = dim X.


5. Proposicion : Cpx es un Z-modulo plano para todo p ≥ 0, x ∈ X.

Demostracion. Si F es un haz que en fibras es plano (es decir, sin torsion) entonces C0F es en fibrassin torsion, luego plano. La sucesion de Godement es escindida en fibras. Con todo se concluye. ¤

6. Proposicion : Para todo haz se cumple que

0 → F ⊗Z Z = F → F ⊗Z C0 → · · · → F ⊗Z Cn → 0 → 0 → · · ·

es una resolucion de F .

Demostracion. Es resolucion si lo es germenes. En germenes es tensorializar la resolucion de Godementtruncada, que es escindida, por Fx. ¤

7. Proposicion : Para toda F se cumple que F ⊗Z Cp es ΓC-acıclico (p ≥ 0).

Demostracion. Los haces F ⊗ Ci son C0Z-modulos, para i ≤ n, luego son ΓC-acıclicos. Veamos queHi

c(X, F ⊗Z Cn) = Hi+nc (X,F ) = 0, para i > 0: Consideremos la sucesion exacta

0 → F → F ⊗Z C0 → F1 → 0

Por la sucesion exacta larga de cohomologıa, Hic(X, F1) = Hi+1

c (X, F ), para i > 0. Consideremos lasucesion exacta

0 → F1 → F ⊗Z C1 → F2 → 0

Por la sucesion exacta larga de cohomologıa, Hic(X, F2) = Hi+1

c (X, F1) = Hi+2c (X,F ), para i > 0.

Siguiendo del mismo modo como Fn = F ⊗Z Cn se concluye.¤

Por tanto,0 → F ⊗Z Z = F → F ⊗Z C0 → · · · → F ⊗Z Cn → 0 → 0 → · · ·

es una resolucion de F por haces Γc-acıclicos.

8. Proposicion : El functor Γc(X,−⊗ Cp) es exacto.

Demostracion. Dada una sucesion exacta de haces

0 → F1 → F2 → F3 → 0

entonces0 → F1 ⊗ Cp → F2 ⊗ Cp → F3 ⊗ Cp → 0

es exacta porque Cp es plano en fibras. Por la sucesion exacta larga de cohomologıa obtenemos lasucesion exacta

0 → Γc(X, F1 ⊗ Cp) → Γc(X, F2 ⊗ Cp) → Γc(X,F3 ⊗ Cp) → 0

por que Fi ⊗ Cp son Γc-acıclicos.¤

4.4. Formula de dualidad topologica 69

4.4. Formula de dualidad topologica

1. Proposicion: Sea I un Z-modulo inyectivo y dado un Z-modulo M denotemos M∗ := HomZ(M, I).Existe un haz inyectivo D tal que se tiene la igualdad functorial

Hom(F,DX) = Γc(X, F ⊗ Cp)∗

Explıcitamente, DX(U) = Γc(U,Cp)∗, por tanto (DX)|U = DU .

Demostracion. El functor Γc(X,−⊗Cp)∗ es un functor contravariante exacto que transforma lımitesinyectivos en proyectivos. Por el teorema de representabilidad de Grothendieck existe un haz (inyec-tivo) DX tal que

Hom(F,DX) = Γc(X, F ⊗ Cp)∗

Si tomamos F = ZU obtendremos que

DX(U) = Hom(ZU , DX) = Γc(X,ZU ⊗ Cp)∗ = Γc(X, (Cp)U )∗ = Γc(U,Cp)∗

¤

Sea 0 → Z → Q → Q/Z → 0 una resolucion por haces inyectivos I0 = Q, I1 = Q/Z. Denotemospor Dij los haces inyectivos de la proposicion anterior definidos por

Dij(U) = HomZ(Γc(U,C−i), Ij)

Sea D· el complejo de haces definido por los Dij .

2. Teorema de dualidad: Para todo haz F sobre X se cumple una sucesion exacta de la forma

0 → Ext1Z(Hp+1c (X, F ),Z) → H−p(Hom(F,D·)) → HomZ(Hp

c (X,F ),Z) → 0

Demostracion. Sea K · = Γc(X, F ⊗Z C ·). La formula de dualidad algebraica es

0 → Ext1A(Hp+1(K ·), A) → H−p(HomA(K ·, I ·)) → HomA(Hp(K ·), A) → 0

Ahora bien, Hp(K ·) = Hpc (X,F ) y HomA(K ·, I ·) = Hom(F,D·) por la proposicion anterior.

Hemos concluido.¤

4.4.1. Dualidad en variedades topologicas

Sea X una variedad topologica de dimension n.

3. Lema : H−p(D·) = 0, para todo p 6= n.

Demostracion. Dado x sea U ' Rn un entorno abierto de x. Observemos que Hpc (X,ZU ) = Hp

c (U,Z) =0 para p 6= n y Hn

c (X,ZU ) = Z si p = n. Por tanto, por la formula de dualidad, para F = ZU tenemosque

H−p(D·(U)) = H−p(Hom(ZU , D·)) = HomZ(Hpc (U,Z),Z)

y se concluye. ¤


Diremos que TX := H−n(D·) es el haz de orientacion de X. Observemos que Dp = 0 para todop < −n y p > 1. Luego tenemos la sucesion exacta

0 → TX → D−n → · · · → D1 → 0

4. Formula de dualidad para variedades topologicas de dimension n : Sea X una variedadtopologica de dimension n, F una haz en X y TX el haz de orientacion en X. Se tiene una sucesionexacta

0 → Ext1Z(Hp+1c (X, F ),Z) → Extn−p(F,TX) → HomZ(Hp

c (X, F ),Z) → 0

Demostracion. Solo es observar en la formula de dualidad que D· es una resolucion por inyectivos deTX [−n], luego

Extn−p(F,TX) = Ext−p(F,TX [−n]) = H−p(Hom(F, D·))¤

Si tomamos F = Z tenemos la formula

0 → Ext1Z(Hp+1c (X,Z),Z) → Hn−p(X,TX) → HomZ(Hp

c (X,Z),Z) → 0

Para p = n y F = ZU , la formula de dualidad para variedades topologicas nos dice que TX(U) =Hn

c (U,Z)∗ (dual con Z).

5. Proposicion : El haz de orientacion TX es un haz localmente isomorfo a Z.

Demostracion. Sea V = Rn un abierto de X. Sobre este abierto

TX(Rn) = Hnc (Rn,Z)∗ = Z

Para terminar, basta probar que para cada punto de x ∈ Rn existe una base de entornos Ux, tal queTX(Rn) → TX(Ux) sea un isomorfismo. Consideremos la base de bolas centradas en x, Sn = Rn

∐∞y las sucesiones del subespacio cerrado

0 = Hn−1(∞,Z) // Hnc (Rn,Z) ∼ // Hn(Sn,Z) // 0 = Hn(∞,Z)

0 = Hn−1(Sn − Ux,Z) // Hnc (Ux,Z) ∼ //

OO

Hn(Sn,Z) // 0 = Hn(Sn − Ux,Z)

Por tanto, Hnc (Rn,Z) = Hn

c (Ux,Z) y TX(Rn) = TX(Ux).¤

6. Definicion : Diremos que una variedad topologica es orientable si TX = Z.

Si X es una variedad topologica orientable y consideramos F = Z la formula de dualidad es

0 → Ext1Z(Hp+1c (X,Z),Z) → Hn−p(X,Z) → Hp

c (X,Z)∗ → 0


7. Nota : Estas formulas no solo son validas para los haces (de Z-modulos) si no para los hacesde A-modulos, siendo A un dominio de ideales principales. Denotemos TA

X el haz de orientacion deX definido para los haces de A-modulos. En particular, cuando k es un cuerpo y X una variedadtopologica de dimension n

Hn−p(X,TkX) = Hp

c (X, k)∗

Si A es un anillo cualquiera, I es un A-modulo inyectivo y TA,IX es el haz TA,I

X (U) = HomA(Hnc (U,A), I)

(que es un haz localmente isomorfo al haz constante I) tendremos

Hn−p(X,TA,IX ) = Hp

c (X, A)∗ := HomA(Hpc (X, A), I)

en general, Extn−p(F,TA,IX ) = Hp

c (X, F )∗, para todo haz de A-modulos.

8. Ejercicio : Calcular los grupos de cohomologıa con coeficientes enteros de una variedad compactasimplemente conexa de dimension 3.

Resolucion: H0(X,Z) = Z, H1(X,Z) = Homgrp(Π1(X),Z) = 0. TX = Z porque la variedad essimplemente conexa. Recordemos que los grupos de cohomologıa son Z-modulos finito generados. Porla formula de dualidad, tenemos el epimorfismo

0 = H1(X,Z) → HomZ(H2(X,Z),Z) → 0

que muestra que H2(X,Z) es de torsion. Por la formula de los coeficientes universales tenemos lainyeccion

0 → H2(X,Z)⊗Z Z/pZ→ H2(X,Z/pZ) = H1(X,Z/pZ)∗ = 0

que muestra que la torsion de H2(X,Z) es nula. Por tanto, H2(X,Z) = 0. Por ultimo, por dualidadH3(X,Z) = H0(X,Z)∗ = Z.

En conclusion, la cohomologıa de las variedades compactas simplemente conexas de dimension 3 co-incide con la cohomologıa de la esfera. La conjetura de Poincare afirma que las variedades simplementeconexas de dimension n cuya cohomologıa coincida con la cohomologıa de la esfera de dimension nson homeomorfas a Sn (Smale lo demostro para n ≥ 5, Freedman para n = 4 y Perelman para n = 3).

9. Proposicion : TA,IX = TX ⊗Z I.

Demostracion. Por la formula de los coeficientes universales, Hnc (U,Z)⊗Z A = Hn

c (U,A). TX ⊗Z I esel haz asociado al prehaz U Ã Hn

c (U,Z)∗ ⊗Z I. Tenemos morfismos naturales

Hnc (U,Z)∗ ⊗Z I = HomZ(Hn

c (U,Z),Z)⊗Z I →HomZ(Hnc (U,Z), I) = HomA(Hn

c (U,Z)⊗Z A, I)

= HomA(Hnc (U,A), I) = TA,I

X (U)

Por tanto, tenemos un morfismo TX⊗Z I → TA,IX que es isomorfismo en germenes (tomese U = Rn

en el diagrama anterior), luego es un isomorfismo.¤

10. Proposicion : TX = Z ⇐⇒ TRX = R.

Demostracion. R es un Z-modulo plano, luego por la formula de coeficientes universales Γ(X,TX)⊗ZR = Γ(X,TRX). Si TX(X) = Z entonces TRX(X) = R, si TRX(X) = R entonces TX(X) 6= 0. ¤


11. Proposicion : Sea X una variedad diferenciable. Se cumple que el revestimiento de orientaciondiferenciable de X es homeomorfo al revestimiento de orientacion topologico de X. Por tanto, unavariedad diferenciable es orientable ⇐⇒ es un espacio topologico orientable.

Demostracion. Si U ⊂ X es un abierto orientado diferenciablemente tenemos un morfismo (no nulo)Hn

c (U,R) → R, w 7→ ∫U

w, luego tenemos una orientacion topologica de U . Por tanto tenemosun morfismo del Z/2Z-revestimiento de orientacion diferenciable de X en el Z/2Z-revestimiento deorientacion topologico de X, que ha de ser un isomorfismo. Luego, una variedad diferenciable esorientable ⇐⇒ es un espacio topologico orientable

¤

12. Corolario : Sea X una variedad diferenciable de dimension n y ΩnX el haz de n-formas diferen-

ciables. Se cumple queTX ⊗Z C∞X = Ωn

X

13. Teorema : Sea π : X → Y un revestimiento finito entre variedades topologicas. Se cumple que

π∗TY = TX

Demostracion. Para todo haz F en X se tiene un morfismo natural π∗π∗F → F con la condicion queen germenes sea la suma

(π∗π∗F )y = Fy ⊕ · · · ⊕ Fy+→ Fy

El morfismo π∗π∗TY → TY se corresponde vıa las igualdades

Hom(π∗π∗TY ,TY ) = Hnc (Y, π∗π∗TY )∗ = Hn

c (X, π∗TY )∗ = Hom(π∗TY ,TX)

con un morfismo π∗TY → TX , que es isomorfismo porque basta verlo localmente sobre Y , es decir,para el caso que π es revestimiento trivial, caso que dejamos al lector. ¤

14. Teorema : Sea X una variedad conexa de dimension n. Entonces

Hnc (X,Z) =

Z si X es orientableZ/2Z si X no es orientable

Demostracion. Por la formula de los coeficientes universales Hnc (X,A) = Hn

c (X,Z) ⊗Z A. Si X esorientable entonces por dualidad tenemos A = TA

X(X) = Hnc (X, A)∗. Por tanto, para A = Z/pZ,

tenemos que dim Z/pZHnc (X,Z)⊗Z Z/pZ = 1. Para A = Z, obtenemos que la parte libre de Hn

c (X,Z)es de rango 1, con todo Hn

c (X,Z) = Z.Si X no es orientable, sea π : X → X el revestimiento de orientacion de X. Por la proposicion

anterior Z = π∗TX = TX , luego X es orientable. Tenemos 0 = TX(X) = Hnc (X,Z)∗, luego Hn

c (X,Z)es un modulo de torsion. Consideremos el epimorfismo suma π∗Z

+→ Z, en cohomologıa tenemos elepimorfismo

Hnc (X,Z) = Hn

c (X,π∗Z) → Hnc (X,Z) → 0

luego Hnc (X,Z) = Z/mZ. Observemos que m 6= 0, porque por dualidad

Z/2Z = H0(X,Z/2Z) = Hnc (X,Z/2Z)∗ = HomZ(Hn

c (X,Z),Z/2Z)

Por ultimo la composicion Z→ π∗Z→ Z es multiplicar por 2, por tanto en cohomologıa la composicion


Z/mZ = Hnc (X,Z) → Hn

c (X, π∗Z) = Z→ Hnc (X,Z) = Z/mZ

es multiplicar por 2, y obviamente el morfismo nulo. En conclusion, m = 2.¤

Si X es orientable, Hnc (X,Z) = Z y como TX(X) = Hn

c (X,Z)∗, dar un generador de ξX ∈ TX(X)equivale a dar un generador de ξX ∈ Hn

c (X,Z) (de modo que ξX(ξX) = 1).

Clasificacion de las 4-variedades compactas simplemente conexas Sea X una 4-variedad compactasimplemente conexa. H0(X,Z) = Z, H1(X,Z) = Homgrp(Π1(X),Z) = 0 (igualmente, H1(X, k) = 0,para todo cuerpo k). Por la formula de los coeficientes universales tenemos la inyeccion

0 → H3(X,Z)⊗Z k → H3(X, k)

y como por dualidad H3(X, k) = H1(X, k)∗ = 0, tendremos H3(X,Z)⊗Z k = 0, para todo cuerpo k,luego H3(X,Z) = 0.

Por dualidad tenemos que H2(X,Z) = H2(X,Z)∗, luego H2(X,Z) = Zm. Ademas, el isomorfismoH2(X,Z) = H2(X,Z)∗ es la polaridad asociada a la metrica del producto cup (fijada, ademas, unaorientacion)

H2(X,Z)⊗H2(X,Z)cup→ H4(X,Z) = Z

Denotemos µ la metrica, que es simetrica (el producto cup es anticonmutativo) y unimodular (lapolaridad asociada es un isomorfismo, es decir, de determinante ±1). Se dice que µ es tipo par siµ(a, a) ∈ 2Z, para todo a ∈ H2(X,Z). Freedman probo en 1982 que la asignacion

4-variedades compactas simplemente conexasmodulo isomorfismos

→

Parejas (Zm, µ), µ unimodularmodulo isometrıas

X 7→ (H2(X,Z), µ)

es epiyectiva, para las de tipo par es inyectiva y para las de tipo impar es 2 a 1.Donaldson, probo en 1982, que si X es diferenciable y µ es definida positiva entonces

µ ≡

1. . .

1

pero hay muchas metricas definidas positivas no equivalentes a esta, luego hay muchas 4-variedadestopologicas que no admiten estructura diferenciable.15. Teorema : TY/X ⊗Z TX = TY .

Demostracion. Sabemos que Hom(ZY , D·X) = Γc(−, C ·⊗ZZY )∗. D·

X es una resolucion por inyectivosde TX [n]. Por tanto, I · := D·

X ⊗ T−1X [−n] es una resolucion por inyectivos de Z y tenemos que

Hom(ZY , D·X) = Hom(ZY , I · ⊗ TX [n]) = Hom(ZY , I ·)⊗ TX [n] = ΓY I · ⊗ TX [n]

Por tanto, H−n+d(Hom(ZY , D·X)) = TY/X ⊗ TX . Por ultimo, por la formula de dualidad algebraica

H−n+d(Γc(−, C · ⊗Z ZY )∗) = HomZ(Hn−dc (−,Z),Z) = TY

¤

16. Corolario : Sea Y → X una subvariedad cerrada. Si X e Y son orientables entonces Y esnormalmente orientable en X.


4.5. Dualidad de Alexander

1. Teorema de dualidad de Alexander: Sea Y → X una inmersion cerrada entre variedadesdiferenciales, U = X − Y y TA,I

X el haz de orientacion de X para haces de A-modulos (I es unA-modulo inyectivo). La sucesion exacta de cohomologıa local

· → HiY (X,TA,I

X ) → Hi(X,TA,IX ) → Hi(U,TA,I

X ) → Hi+1Y (X,TA,I

X ) → · · ·

es la sucesion dual de la sucesion del subespacio cerrado

· · · → Hic(U,A) → Hi

c(X, A) → Hic(Y, A) → Hi+1

c (U,A) → · · ·

Demostracion. La sucesion del subespacio cerrado es la sucesion exacta larga de cohomologıa asociadaa la sucesion exacta

0 → Γc(X, AU ⊗ C ·) → Γc(X,A⊗ C ·) → Γc(X, AY ⊗ C ·) → 0

La sucesion dual de esta es

0 // Γc(X,AY ⊗ C ·)∗ // Γc(X, A⊗ C ·)∗ // Γc(X, AU ⊗ C ·)∗ // 0

0 // Hom(AY , D·) // Hom(A,D·) // Hom(AU , D·) // 0

0 // ΓY (X,D·) // Γ(X, D·) // Γ(U,D·) // 0

Por tanto, por la formula de dualidad algebraica, la sucesion exacta de cohomologıa local del hazde orientacion de X es dual de la sucesion exacta de cohomologıa del subespacio cerrado. ¤

2. Teorema : La clase de cohomologıa es invariante por homotopıas. Con precision: Sean X, Y dosvariedades compactas y orientadas y H : Y ×[0, 1] → X un morfismo; si las aplicaciones i(y) = H(y, 0)e j(y) = H(y, 1) son inmersiones cerradas, se cumple que la clase de cohomologıa de i(Y ) coincidecon la de j(Y ).

Demostracion. La dualidad de Alexander afirma que, para A = Q y A = Z/pnZ e I = Z/pnZ, losmorfismos de Gysin i∗, j∗ : H ·(Y,A) → H ·(X, A) son los duales de los morfismos i∗, j∗ : H ·(X, A) →H ·(Y, A); y se cumple que i∗ = j∗ porque H es una homotopıa entre i y j.

Se sigue que [i∗(1)− j∗(1)] ∈ H ·(X,Z) esta en el nucleo del morfismo natural

H ·(X,Z) → H ·(X,Q)× (∏p,n

H ·(X,Z/pnZ))

Pero este morfismo es inyectivo, segun afirma el teorema de los coeficientes universales, porqueH ·(X,Z) es un Z-modulo finito generado. ¤

4.6. Grado de un morfismo 75

4.6. Grado de un morfismo

Recuerdese que, si X es una variedad conexa y orientable de dimension n, las orientaciones deX se corresponden canonicamente con generadores del grupo cıclico Hn

c (X,Z); y que si p ∈ X, lasorientaciones normales de p en X se corresponden con los generadores de Hn

p (X,Z). El siguiente lemaafirma que cada orientacion de X determina una orientacion normal en todos los puntos.1. Lema : Si X es una variedad conexa y orientable de dimension n, y p ∈ X; se cumple que elmorfismo natural

Hnp (X,Z) → Hn

c (X,Z)

es un isomorfismo.

Demostracion. Sea U ⊂ X un entorno abierto conexo de p. Como TX(X) = Z = TX(U) tenemos pordualidad que Hn

c (X,Z) = Hnc (U,Z) = Z. Por el diagrama conmutativo

Hnp (U,Z) // Hn

c (U,Z)

Hnp (U,Z) // Hn

c (X,Z)

podemos suponer que X = Rn y por el mismo razonamiento que X = Sn. En este caso Hp(Sn,Z) =Hn

p (Sn,Z). ¤

2. Definicion : Sea f : X → Y un morfismo propio entre variedades conexas orientadas de dimensionn y

f∗ : Hnc (Y,Z) → Hn

c (X,Z)

la imagen inversa en cohomologıa de f . Llamaremos grado de f al unico numero entero grad f quecumple que

f∗(ξY ) = grad f · ξX

Sea p ∈ X y consideremos ahora el morfismo

f∗ : Hnf(p)(Y,Z) → Hn

p (X,Z)

Llamaremos grado de f en p al unico numero entero gradp f que cumple que

f∗(ξf(p)/Y ) = gradp f · ξp/X

3. Propiedades del grado : Sea f : X → Y un morfismo propio entre variedades conexas de lamisma dimension. Entonces,

1. Si f es un homeomorfismo, grad f = ±1. Si f es un homeomorfismo local en p, gradp f = ±1.

2. Si q ∈ Y y f−1(q) = p1, . . . , pr, se cumple

grad f =∑

i

gradpif

3. Si f no es epiyectivo, grad f = 0.


4. grad(g f) = (grad g) · (grad f), gradp(g f) = (gradf(p) g) · (gradp f).

Demostracion. Unicamente la segunda propiedad necesita de demostracion, y es consecuencia directade las definiciones y de la conmutatividad del siguiente diagrama:

Hnq (Y,Z) //

f∗

²²

Hnc (Y,Z)

f∗

²²⊕r

i=1Hnpi

(X,Z) // Hnc (X,Z)

¤

4. Proposicion : Sea π : X → Y un revestimiento entre variedades conexas orientadas de dimensionn. Si el revestimiento es de grado m (que equivale a decir que la antimagen de cada punto son mpuntos) entonces grad f = ±m.

Demostracion. Para cada punto p ∈ X existe un entorno abierto conexo U homeomorfo a su imagen,π(U). Para todos los puntos q, q′ ∈ U se cumple que gradq f = gradq′ f = ±1. Luego podemos dividirX en dos conjuntos disjuntos X1, X2, donde gradx f = 1 si y solo si x ∈ X1. Por ser X1 y X2 abiertosy X conexo tendremos gradx f = 1, para todo x ∈ X o gradx f = −1, para todo x ∈ X. Por ultimo,y ∈ Y , tenemos que π−1(y) = x1, . . . , xm y grad f =

∑i gradxi

f = ±m. ¤

5. Teorema fundamental del Algebra: Todo polinomio con coeficientes complejos tiene algunaraız compleja.

Demostracion. Sea p(z) = zn + a1zn−1 + · · · + an ∈ C[z] un polinomio con coeficientes complejos.

Consideremos las aplicaciones φ, ϕ : C→ C, φ(z) = p(z), ϕ(z) = zn. Extendamos estas dos funcionesa aplicaciones φ, ϕ : PC1 → PC1 , φ(∞) = ϕ(z) = ∞.

Las dos aplicaciones, son homotopas. Consideremos para ello la homotopıa H(z, t) = zn+ta1zn−1+

· · ·+ tan. Por tanto, los morfismos

φ∗, ϕ∗ : H2(PC1 ,Z) → H2(PC1 ,Z)

son iguales. Luego, φ y ϕ tienen el mismo grado. Si limitamos ϕ al abierto C − 0, tenemos que esun revestimiento de grado n, luego grad ϕ = n. Si p(z) no tiene raices complejas entonces φ : C → Cno es epiyectiva, luego grad φ = 0 y llegamos a contradiccion. ¤

6. Ejercicio : Calcular el grado de la aplicaccion φ : Rn → Rn, φ(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn−1,−xn)(simetrıa respecto un hiperplano).

Resolucion: Como φ es un isomorfismo, grad f = ±1. Sea w = fdx1 ∧ · · · ∧ dxn, con Sop fcompacto, f ≥ 0 y f(x1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xn−1,−xn). Observemos que 0 6= [w] ∈ Hn

c (Rn,R),porque

∫Rn w 6= 0. Ademas, Hn

c (Rn,Z)⊗Z R = Hnc (Rn,R) = R, luego

f∗[w] = grad f · [w]

Ahora bien, f∗([w]) = [f∗w] = [−w], luego grad f = −1.

Capıtulo 5

Hiperfuntores Derivados

Vamos a estudiar los funtores derivados por la derecha de un funtor covariante y aditivo exactopor la izquierda F : A Ã B, usando la resolucion inyectiva funtorial

0 −→ M −→ I0M −→ I1M −→ I2M −→ I3M −→ . . .

Notese que I•M es un complejo inyectivo y que, si cada modulo M se considera como un complejocuya unica componente no nula es M en grado 0, entonces el morfismo natural M → I•M es uncasi–isomorfismo.

Ahora, para cada complejo K• tenemos un bicomplejo I•K• y un morfismo natural K• → I•K•,donde K• se puede considerar como un bicomplejo K••cuyas unicas componentes no nulas son K0,q =Kq. Los morfismos Kq → I•Kq son casi–isomorfismos, ası que el teorema del bicomplejo prueba queeste morfismo K• → I•K• es un casi–isomorfismo cuando K• esta acotado inferiormente, porque ental caso las diagonales de I•K• estan acotadas. (Notese que en esta demostracion, igual que de ahoraen adelante cuando no origine confusion, en la notacion no distinguimos entre un bicomplejo, comoes I•K•, y su complejo simple asociado.)

7. Definicion : Si F : A Ã B es un funtor covariante aditivo exacto por la izquierda y K• es uncomplejo acotado inferiormente, pondremos

RF (K•) := F (I•K•) , RnF (K•) := Hn[F (I•K•)] .

En particular, RF (M) := F (I•M) y RnF (M) := Hn[F (I•M)] para todo modulo M , y diremosque un modulo M es F–acıclico cuando RnF (M) = 0 para todo n > 0.

Si f : K• → L• es un morfismo de complejos inferiormente acotados, induce un morfismo debicomplejos f : I•K• → I•L• que define morfismos

f : RF (K•) −→ RF (L•) , f : RnF (K•) −→ RnF (L•)

y diremos que tales funtores RnF son los funtores derivados por la derecha de F .Los complejos K• se supondran siempre acotados inferiormente, y diremos que un complejo K•

es inyectivo, F–acıclico, etc., cuando lo sean todos los modulos Kp.El morfismo natural K• → I•K• induce un morfismo canonico F (K•) → RF (K•), y por tanto

morfismos Hn[F (K•)] → RnF (K•). La condicion de que F sea exacto por la izquierda significa queF (M) → R0F (M) es isomorfismo para todo modulo M .

77

78 Capıtulo 5. Hiperfuntores Derivados

8. Lema : Si f : I• → J• es un casi–isomorfismo entre complejos inyectivos acotados inferiormente,entonces F (f) : F (I•) → F (J•) es un casi–isomorfismo.

Demostracion. Veamos primero el caso J• = 0. Si I• es un complejo inyectivo acıclico, entonces esuna sucesion exacta de modulos inyectivos; luego escinde y F (I•) tambien es una sucesion exacta.

En el caso general consideramos el cono de f , que es un complejo inyectivo y acıclico por 1.1.13.Luego F (Cono•f) = Cono•F (f) tambien es acıclico y concluimos que F (f) tambien es un casi–isomorfismo. ¤

9. Teorema : Si f : K• → L• es un casi–isomorfismo entre complejos inferiormente acotados,f : RF (K•) → RF (L•) tambien es un casi–isomorfismo.

Demostracion. En el cuadrado conmutativo

K• f−→ L•

↓ ↓I•K• f−→ I•L•

los morfismos verticales y el superior son casi–isomorfismos, ası que tambien lo es el inferior, y el lemaanterior permite concluir que f : F (I•K•) → F (I•L•) es un casi–isomorfismo. ¤

10. Corolario : Cada casi–isomorfismo K• → L• induce morfismos Hn[F (L•)] → RnF (K•), queson naturales en el sentido de que si tenemos un cuadrado conmutativo

K• ∼−→ L•

↓ f ↓ t

K• ∼−→ L•

entonces los siguientes cuadrados tambien son conmutativos:

Hn[F (L•)] −→ RnF (K•)↓ Ft ↓ f

Hn[F (L•)] −→ RnF (K•)

Demostracion. Los morfismos F (L•) → RF (L•) ∼←− RF (K•), al tomar cohomologıa, inducen mor-fismos Hn[F (L•)] → RnF (K•). En cuanto a la naturalidad de estos morfismos, se obtiene al tomarcohomologıa en el siguiente diagrama conmutativo:

F (L•) −→ RF (L•) ∼←− RF (K•)↓ Ft ↓ ↓ f

F (L•) −→ RF (L•) ∼←− RF (K•)

¤

11. Corolario : Cada resolucion 0 → M → L• de un modulo M define morfismos naturalesHn[F (L•)] → RnF (M).12. Teorema: Si un complejo inferiormente acotado A• es F–acıclico, el morfismo canonico F (A•) →RF (A•) es un casi–isomorfismo.

Demostracion. La sucesion 0 → F (Aq) → F (I•Aq) es exacta para todo numero entero q, porque Aq

es F–acıclico, y el teorema del bicomplejo permite concluir que el morfismo F (A•) → F (I•A•) es uncasi–isomorfismo. ¤

79

13. Teorema de De Rham : Si K• ∼−→ A• es un casi–isomorfismo y A• es F–acıclico, entonces losmorfismos naturales Hn[F (A•)] → RnF (K•) son isomorfismos.

Demostracion. Los morfismos naturales F (A•) → RF (A•) ← RF (K•) son casi–isomorfismos envirtud de los dos teoremas anteriores. ¤

14. Corolario : Si 0 → M → A• es una resolucion F–acıclica, tenemos un isomorfismo naturalHn[F (A•)] = RnF (M).15. Corolario : Los funtores derivados RnF son aditivos.

Demostracion. Se concluye al aplicar la segunda parte del teorema 1.4.3 al siguiente cuadrado con-mutativo

K• f+g−−−−→ K•

↓ ↓I•K• If+Ig−−−−→ I•K•

¤

16. Corolario: Los isomorfismos Hn[F (I•K•)] → RnF (K•) que induce el morfismo canonico K• →I•K• son la identidad.

Demostracion. Sea i1 : I•K• → I•(I•K•) el morfismo definido por los morfismos naturales IpKq →I0(IpKq) y sea i2 : I•K• → I•(I•K•) el morfismo definido por los morfismos naturales IpKq →Ip(I0Kq). El isomorfismo φ : Hn[F (I•K•)] → RnF (K•) del teorema de De Rham es precisamenteF (i2)−1F (i1). Ahora bien, tanto i1 como i2 prolongan a la identidad de K•, ası que la segunda partedel teorema 1.4.3 afirma la conmutatividad del siguiente diagrama:

Hn[F (I•K•)]F (i1)−−−−→ Hn[F (I•(I•K•))]

F (i2)←−−−− Hn[F (I•K•)]↓ φ ↓ ↓ φ

RnF (K•) = RnF (K•) = RnF (K•)

Luego φ2 = φ y, al ser un isomorfismo, concluimos que φ es la identidad. ¤

17. Lema : Toda sucesion exacta de complejos 0 → K ′• → K• → K ′′• → 0 inferiormente acotadosadmite una resolucion inyectiva

0 −→ K ′• −→ K• −→ K ′′• −→ 0↓ ↓ ↓

0 −→ I ′• −→ I• −→ I ′′• −→ 0

Demostracion. Por ?? tenemos un diagrama conmutativo de filas exactas

0 −→ K ′• −→ K• −→ K ′′• −→ 0↓ ↓ ↓

0 −→ I•K ′• −→ I•K• −→ I•K•/I•K ′• −→ 0

Al tomar cohomologıa, el lema de los cinco permite concluir que I•K•/I•K ′• es una resolucionde K ′′•, y es inyectiva porque el morfismo 0 → I•K ′• → I•K• escinde al ser I•K ′• un complejoinyectivo. ¤


18. Sucesion exacta larga de funtores derivados : Sea F un funtor covariante y aditivo exactopor la izquierda. Para cada sucesion exacta de complejos 0 → K ′• → K• → K ′′• → 0 inferiormenteacotados tenemos una sucesion exacta

. . . → RnF (K ′•) i−→ RnF (K•) π−→ RnF (K ′′•) δ−→ Rn+1F (K ′•) i−→ Rn+1F (K•) → . . .

Demostracion. Con las notaciones del lema anterior, tenemos una sucesion exacta de complejos 0 →F (I ′•) → F (I•) → F (I ′′•) → 0, porque las sucesiones exactas 0 → I ′n → In → I ′′n → 0 escinden, alser inyectivos los modulos I ′n. Se concluye al considerar la correspondiente sucesion exacta larga degrupos de cohomologıa. ¤

Nota: En el caso de un funtor contravariante aditivo F : A Ã B exacto por la izquierda, basta observarque si la categorıa de salida se sustituye por la categorıa opuesta, obtenemos un funtor covariante.Ası, las definiciones y demostraciones siguen siendo validas si todos los complejos se suponen acotadossuperiormente y los modulos inyectivos se reemplazan por modulos proyectivos. En este caso se ha deusar la resolucion proyectiva funtorial P•M → M → 0:

. . . −→ P3M −→ P2M −→ P1M −→ P0M −→ M −→ 0 ,

los funtores derivados por la derecha de F son

RnF (K•) := Hn [F (P•K•)] ,

tenemos que F (M) = R0F (M) y cada sucesion exacta de complejos superiormente acotados 0 →K ′• i−→ K• π−→ K ′′• → 0 induce una sucesion exacta larga

. . . → RnF (K ′′•) π−→ RnF (K•) i−→ RnF (K ′•) δ−→ Rn+1F (K ′′•) π−→ Rn+1F (K•) → . . .

5.0.1. Funtores derivados por la izquierda

En el caso de un funtor covariante y aditivo F : A Ã B exacto por la derecha, las definiciones ydemostraciones siguen siendo validas si todos los complejos se suponen acotados superiormente y losmodulos inyectivos se reemplazan por modulos proyectivos. En este caso se ha de usar la resolucionproyectiva funtorial P•M → M → 0, los funtores derivados por la izquierda LnF de F son

LnF (K•) := Hn [F (P•K•)] ,

tenemos que F (M) = L0F (M) y cada sucesion exacta de complejos superiormente acotados 0 →K ′• i−→ K• π−→ K ′′• → 0 induce una sucesion exacta larga

. . . → LnF (K ′•) i−→ LnF (K•) π−→ LnF (K ′′•) δ−→ Ln−1F (K ′•) i−→ Ln−1F (K•) → . . .

Por ultimo, en el caso de el caso de un funtor contravariante aditivo F : A Ã B exacto por laderecha F , se usarıa la resolucion inyectiva funtorial 0 → M → I•M y los funtores derivados por laizquierda serıan:

LnF (K•) := Hn [F (I•K•)] .

Nota: Como en la categorıa C de haces de A–modulos sobre un espacio topologico X hay suficientesinyectivos en el sentido de que cada haz M admite una resolucion inyectiva funtorial 0 → M →I0M → I1M → I2M → . . .. Las definiciones y demostraciones anteriores siguen siendo validas en

81

esta categorıa C, por lo que es posible derivar por la derecha cualquier funtor covariante y aditivoF : C Ã C’ exacto por la izquierda, donde C’ es la categorıa de haces de B–modulos sobre otroespacio topologico Y (lo que incluye la categorıa de B–modulos cuando Y tiene un unico punto). Pordefinicion

RnF (K•) := Hn [F (I•K•)] .

Tambien podrıan derivarse por la izquierda los funtores contravariantes y aditivos exactos por laderecha; pero, al no existir suficientes haces proyectivos, la teorıa anterior no sirve para derivar losfuntores contravariantes exactos por la izquierda, como es el caso de los funtores Hom(−,M), ni losfuntores covariantes exactos por la derecha, como es el caso de los funtores (−)⊗A M.

Capıtulo 6

Teorema de Representabilidad

19. Definicion : Diremos que un funtor contravariante F : AbX Ã Ab de la categorıa de hacesabelianos sobre un espacio topologico dado X en la categorıa de grupos abelianos es exacto por laizquierda si para toda sucesion exacta de haces M′ i−→M p−→M′′ → 0 se tiene que tambien es exactala sucesion

0 −→ F (M′′)Fp−−−→ F (M) Fi−−−→ F (M′)

y analogamente se definen los funtores covariantes exactos por la izquierda.20. Lema : Todo funtor exacto por la izquierda es aditivo.

Demostracion. Haremos el caso covariante F exacto por la izquierda. Como la sucesion 0 → F (0) id−→F (0) id−→ F (0) es exacta, se sigue que F (0) = 0, y por tanto F transforma morfismos nulos enmorfismos nulos.

Veamos ahora que F conserva sumas directas. Por hipotesis tenemos una sucesion exacta escindida(denotamos igual un morfismo y su imagen por F )

0 −→ F (M1)i1−−→ F (M1 ⊕M2)

p2−−→ F (M2) −→ 0

con una seccion i2 y un retracto p1 tales que p1i2 = 0. Luego

F (M1 ⊕M2) = Im i1 ⊕Ker p1 = Ker p2 ⊕ Im i2 ,

donde Im i1 = Ker p2 y Ker p1 ⊇ Im i2. Se sigue que Ker p1 = Im i2 y obtenemos isomorfismos

F (M1 ⊕M2)∼−−→ F (M1)⊕ F (M2) , ξ 7→ (p1ξ, p2ξ)

F (M1)⊕ F (M2)∼−−→ F (M1 ⊕M2) , (ξ1, ξ2) 7→ i1ξ1 + ı2ξ2

que son mutuamente inversos:

(p1(i1ξ1 + i2ξ2), p2(i1ξ1 + i2ξ2)) = (p1i1ξ1 + p1i2ξ2, p2i1ξ1 + p2i2ξ2) = (ξ1, ξ2)

Por ultimo, la suma de dos morfismos f, g : M→N es la siguiente composicion:

M ∆−−→M⊕M f⊕g−−−−→ N ⊕N +−−→ N

83

84 Capıtulo 6. Teorema de Representabilidad

(donde ∆ es el morfismo diagonal), ası que F (f + g) es la composicion de los morfismos

F (M) ∆−−→ F (M)⊕ F (M)Ff⊕Fg−−−−−−→ F (N )⊕ F (N ) +−−→ F (N )

(porque F (∆) = ∆ y F (+) = +) y concluimos que F (f + g) = Ff + Fg. ¤

21. Definicion : Sea F : AbX Ã Ab un funtor contravariante. Llamaremos pareja de F a todapareja Nη donde N es un haz y η ∈ F (N ). Llamaremos morfismo de parejas Nη → Mξ a todomorfismo de haces f : N →M tal que (Ff)(ξ) = η. Diremos que una pareja Mξ es mınima cuandotodo morfismo de parejas Mξ → Nη epiyectivo es un isomorfismo.

22. Lema : Sea F : AbX Ã Ab un funtor contravariante exacto por la izquierda, y sea Mξ unapareja mınima.

Si f, g : Nη →Mξ son morfismos de parejas, entonces f = g.Todo morfismo de parejas h : Mξ →M′

η′ es inyectivo.

Demostracion. Como F es aditivo, la sucesion exacta N f−g−−−−→M π−−→ C −→ 0 induce una sucesionexacta de grupos

0 −→ F (C) Fπ−−−−→ F (M)Ff−Fg−−−−−−→ F (N )

y por hipotesis (Ff − Fg)(ξ) = (Ff)(ξ) − (Fg)(ξ) = η − η = 0. Luego existe λ ∈ F (C) tal que(Fπ)(λ) = ξ; i.e., π : Mξ → Cλ es un morfismo de parejas. Como π es epiyectivo y la pareja Mξ esmınima, π es un isomorfismo y f = g.

Por ultimo, si f, g : N → M son dos morfismos tales que hf = hg, y ponemos η := F (hf)ξ′ =F (hg)ξ′, entonces f, g : Nη →Mξ son morfismos de parejas y concluimos que f = g, lo que muestraque h es inyectivo.

¤

De acuerdo con este lema si identificamos las parejas mınimas que sean isomorfas (o fijamos unaen cada clase de isomorfıa), tenemos una ordenacion de las parejas mınimas: (Mi)ξi ≤ (Mj)ξj siexiste un morfismo de parejas φij : (Mi)ξi → (Mj)ξj , que es unico e inyectivo. Veamos una condicionsuficiente para que las parejas mınimas forman un sistema inductivo Mi, φij.23. Lema : Sea F : AbX Ã Ab un funtor contravariante exacto por la izquierda. Si toda parejaadmite un morfismo en una pareja mınima, entonces las parejas mınimas forman un sistema inductivoMi, φij y tenemos un isomorfismo de grupos funtorial

lım−→i

Hom(N ,Mi) = F (N )

Demostracion. Veamos en primer lugar que el orden de las parejas mınimas es filtrante. Si (Mi)ξi y(Mj)ξj son dos parejas mınimas, entonces (ξi, ξj) ∈ F (Mi)⊕ F (Mj) = F (Mi ⊕Mj), de modo quetenemos morfismos de parejas

i1 : (Mi)ξi → (Mi ⊕Mj)(ξi,ξj) , i2 : (Mj)ξj → (Mi ⊕Mj)(ξi,ξj)

Por hipotesis existe un morfismo de parejas (Mi)⊕Mj)(ξi,ξj) → (Mk)ξken una pareja mınima,

y obtenemos la existencia de morfismos de parejas (Mi)ξi → (Mk)ξky (Mj)ξj → (Mj)ξk

, ası que(Mi)ξi ≤ (Mk)ξk

y (Mj)ξj ≤ (Mk)ξk.

85

Por otra parte, tenemos una aplicacion natural

lım−→

Hom(N ,Mi) −→ F (N ) , [fi] 7→ (Ffi)(ξi)

que es morfismo de grupos porque el funtor F es aditivo: F (fi + hi) = F (fi) + F (hi). Esta aplicaciones epiyectiva porque si η ∈ F (N ), por hipotesis existe algun morfismo de parejas fi : Nη → (Mi)ξi

enuna pareja mınima. Por ultimo, es inyectiva porque, si fi : N → Mi y fj : N → Mj son morfismostales que η := (Ffi)(ξi) = (Ffj)(ξj), el lema anterior afirma que φikfi = φjkfj para todo k ≥ i, j, demodo que [fi] = [fj ]. ¤

24. Teorema de Representabilidad de Grothendieck : Sea F : AbX Ã Ab un funtor con-travariante exacto por la izquierda. Si F transforma lımites inductivos en lımites proyectivos, F (lım

−→Nj) =

lım←−

F (Nj), entonces toda pareja admite un morfismo en una pareja mınima, y F esta representadopor el lımite inductivo D := lım

−→Mi de las parejas mınimas:

Hom(N ,D) = F (N )

Demostracion. Dada una pareja Nη, el conjunto de los cocientes πj : N → Nj tales que η = (Fπj)(ηj)para algun ηj ∈ F (Nj), necesariamente unico porque F es exacto por la izquierda, esta ordenado yse trata de ver que tiene algun elemento maximal. Por el Lema de Zorn, basta probar que todacadena Nj tiene cota superior. Ahora bien, el morfismo π : N → lım

−→Nj es epiyectivo, y tenemos

que η = (Fπ)(ηj), donde (ηj) ∈ lım←−

F (Nj) = F (lım−→

Nj).

Igualmente, toda pareja mınima tiene un morfismo en la pareja Dξ, donde

ξ := (ξi) ∈ lım←−

F (Mi) = F (lım−→

Mi) = F (D)

ası que el sistema inductivo de las parejas mınimas tiene un elemento final, que claramente es Dξ, yconcluimos que

Hom(N ,D) = lım−→

Hom(N ,Mi) = F (N ) , f 7→ (Ff)(ξ)

No obstante, para que el lımite inductivo de las parejas mınimas tenga sentido, hay que ver que lasparejas mınimas forman un conjunto. Para ello usaremos la existencia de un haz de grupos abelianosP tal que cada subhaz N de un haz M esta totalmente determinado por los morfismos P →M quefactorizan a traves de N . Basta tomar P := ⊕UZU , donde U recorre los abiertos de X, porque

Hom(⊕UZU ,M) =∏

UM(U)

Ahora, cada pareja mınima (Mi)ξi esta totalmente determinada por el subconjunto

Mi := η ∈ F (P) : existe un morfismo de parejas Pη → (Mi)ξi

de F (P). En efecto, si Mi = Mj y consideramos un ındice k ≥ i, j, entonces los morfismos φik : (Mi)ξi →(Mk)ξk

y φjk : (Mj)ξj → (Mk)ξkson inyectivos, y es inmediato comprobar que un morfismo f : P →

Mk factoriza a traves de Mi precisamente cuando (Ff)ξk ∈ Mi. Luego, cuando Mi = Mj , existeun isomorfismo h : (Mi)ξi → (Mj)ξj tal que φik = φjkh, y concluimos que h es un isomorfismo deparejas. ¤


Notas: (1) Sea F un funtor contravariante exacto por la izquierda de la categorıa de haces deA–modulos sobre X en la categorıa de A–modulos. Si F transforma lımites inductivos en lımitesproyectivos, el argumento anterior muestra la existencia de un haz de A–modulos D y un isomorfismode grupos funtorial HomA(N ,D) = F (N ), f 7→ (Ff)(ξ). Para que sea un isomorfismo de A–moduloses necesario exigir que los morfismos

HomA(N ,M) −→ HomA(F (M), F (N ))

inducidos por F sean morfismos de A–modulos, F (af + bh) = a(Ff) + b(Fh), y no solo morfismos degrupos. De hecho, esta es la version del teorema que hemos usado en la teorıa de la dualidad, cuandoA es un dominio de ideales principales.

(2) La demostracion del teorema de representabilidad es valida en una categorıa arbitraria C, conlas siguientes definiciones:

1. Un morfismo i : Y → X es inyectivo cuando i∗ : Hom(T, Y ) → Hom(T, X) es una aplicacion in-yectiva para todo objeto T de C. Decimos que dos morfismos inyectivos i1 : Y1 → X, i2 : Y2 → Xdefinen el mismo subobjeto de X cuando existe un isomorfismo (necesariamente unico) h : Y1 →Y2 tal que i1 = i2h.

2. Un morfismo π : X → Y es epiyectivo cuando π∗ : Hom(Y, T ) → Hom(X,T ) es una aplicacioninyectiva para todo objeto T de C. Decimos que dos morfismos epiyectivos π1 : X → Y1,π2 : X → Y2 definen el mismo objeto cociente de X si existe un isomorfismo (necesariamenteunico) h : Y1 → Y2 tal que hπ1 = π2.

3. Diremos que una sucesion de morfismos Xf,g−−→−→ Y

π−−→ Z es exacta cuando para todo objeto Tla siguiente sucesion de aplicaciones

Hom(Z, T ) π∗−−−−→ Hom(Y, T )f∗,g∗−−−→−−−→ Hom(X, T )

sea exacta, en el sentido de que la primera aplicacion es inyectiva y su imagen es el subconjuntodonde coinciden las otras dos. En particular, el morfismo π es epiyectivo. (En el caso de lacategorıa de haces de A–modulos sobre un espacio topologico, esta definicion equivale a que lasucesion X

f−g−−−→ Yπ−−→ Z −→ 0 sea exacta en el sentido usual).

Diremos que en una categorıa existen conucleos cuando para cada par de morfismos f, g : X → Yexista un morfismo π : Y → Z tal que la correspondiente sucesion sea exacta.

4. Un funtor contravariante F de C en la categorıa de conjuntos es exacto por la izquierda cuandopara toda sucesion exacta de morfismos

Xf,g−−→−→ Y

π−−→ Z

se verifique que la siguiente sucesion de aplicaciones tambien es exacta:

F (Z)F (π)−−−−→ F (Y )

F f,F g−−−−→−−−−→ F (X)

tambien es exacta. En el caso de la categorıa de haces de A–modulos sobre un espacio topologico,este concepto coincide claramente con el antiguo cuando el funtor F es aditivo; pero, fijado unhaz N , el funtor covariante F (M) = M⊕N es exacto por la izquierda en este nuevo sentidoaunque no lo es en el antiguo, pues no es aditivo: F (0) 6= 0.

87

5. Un objeto U es un generador de C cuando cada subobjeto i : Y → X de un objeto X este to-talmente determinado por el conjunto

f ∈ Hom(U,X) : f = ih para algun morfismo Uh−→ Y

En particular, los subobjetos de un objeto dado X forman un conjunto, pues estan determinadospor ciertos subconjuntos del conjunto Hom(U,X).

6. La suma directa de dos objetos X, Y es un objeto X ⊕ Y junto con un par de morfismosi : X → X ⊕ Y , j : Y → X ⊕ Y tales que para cada objeto T tenemos una biyeccion

Hom(X ⊕ Y, T ) = Hom(X,T )×Hom(Y, T ) , f 7→ (fi, fj)

7. El lımite inductivo de un sistema inductivo Xi, φiji,j∈I en C es un objeto lım−→

Xi junto conmorfismos φi : Xi → lım

−→Xi tales que para cada objeto T tenemos una biyeccion

Hom(lım−→

Xi, T ) = lım←−

Hom(Xi, T ) , f 7→ (fφi)i∈I

Ahora el teorema de representabilidad admite el siguiente enunciado: Sea C una categorıa conconucleos, sumas directas, lımites inductivos, un generador, y tal que los cocientes de cualquier objetoX formen un conjunto. Sea F un funtor contravariante de C en la categorıa de conjuntos. Si F esexacto por la izquierda, transforma sumas directas en productos directos, F (X ⊕ Y ) = F (X)×F (Y ),y lımites inductivos en lımites proyectivos, F (lım

−→Xi) = lım

←−F (Xi), entonces existe un objeto D y una

biyeccion funtorialHom(T,D) = F (T ) .

Incluso la demostracion de la unicidad de los morfismos en las parejas mınimas es aun mas sencilla,pues si f, g : Xη → Yξ son dos morfismos en una pareja mınima, consideramos su conucleo π : Y → Z,de modo que la exactitud de la sucesion

F (Z)F (π)−−−−→ F (Y )

F f,F g−−−−→−−−−→ F (X)

afirma la existencia de un elemento ξ ∈ F (Z) tal que ξ = F (π)ξ. Luego π es un isomorfismo, y seconcluye que f = g.

(3) La condicion de que la categorıa C admita un generador se introduce para garantizar que lasparejas mınimas formen un conjunto. Si se elimina tal condicion, es posible que no formen conjuntoy que el funtor no sea representable, como muestra el siguiente ejemplo:

Sea C la categorıa de todos los conjuntos, con un unico morfismo X → Y cuando el cardinal deX es menor o igual que el cardinal de Y . Esta categorıa tiene conucleos (el conucleo de cualquier parde morfismos f, h : X → Y es la identidad Y → Y , porque necesariamente f = h), sumas directas(la suma directa X ⊕ Y es el sumando de mayor cardinal) y lımites inductivos (el lımite inductivolım−→

Xi es un conjunto cuyo cardinal sea el supremo de los cardinales |Xi|), pero claramente C no tienegenerador.

Ahora, el funtor contravariante F : C Ã Sets, donde F (X) tiene un unico elemento para cadaconjunto X, transforma sumas directas en productos directos, lımites inductivos en lımites proyec-tivos, y es exacto por la izquierda (de hecho, dada una familia de conjuntos Xi, tenemos F (Xi) =


HomC(Xi, Y ), donde Y es cualquier conjunto de cardinal mayor o igual que todos los cardinales |Xi|).Sin embargo este funtor F no es representable, porque el representante serıa un conjunto de cardinalmayor o igual que el de cualquier otro conjunto. Las parejas mınimas de F no forman un conjunto.

(4) En el caso de un funtor covariante, la misma demostracion da el siguiente teorema de rep-resentabilidad: Sea F : AbX Ã Ab un funtor covariante exacto por la izquierda. Si F transformalımites proyectivos en lımites proyectivos, F (lım

←−Nj) = lım

←−F (Nj), entonces F esta representado por

el lımite proyectivo D := lım←−

Mi de las parejas mınimas:

Hom(D,N ) = F (N )

Solo hay que modificar la observacion de la existencia de un conjunto de generadores ZU en la categorıade haces abelianos sobre X por la de un conjunto de cogeneradores, como son los haces inyectivosI(ZU/J ), donde U recorre los abiertos de X y J los haces de ideales de ZU . En efecto, dado un hazabeliano M sobre X y un germen no nulo mx ∈ Mx, este define morfismo inyectivo ZU/J → M,ası que existe algun morfismo M→ I(ZU/J ) que no se anula en mx; luego los morfismos valoradosen los haces I(ZU/J ) distinguen cocientes.

En el caso de una categorıa arbitraria, el teorema es el siguiente: Sea C una categorıa con nucleos,productos directas, lımites proyectivos, un cogenerador, y tal que los subobjetos de cualquier objetoX formen un conjunto. Sea F un funtor covariante de C en la categorıa de conjuntos. Si F esexacto por la izquierda, conserva productos directos, F (X×Y ) = F (X)×F (Y ), y lımites proyectivos,F (lım

←−Xi) = lım

←−F (Xi), entonces existe un objeto D y una biyeccion funtorial

Hom(D,T ) = F (T ) .

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