Sergio Andrés García. FIS202 06-feb-2021

Tema 1 – Magnetismo 1.1. Introducción

Como consecuencia de esto, se denominó polo Norte de un imán a aquel que estando suspendido

pudiendo girar libremente apuntaba hacia el Norte Geográfico Durante años se estuvo buscando como localizar a un material que sólo tuviera características de polo Norte, o sólo de polo Sur, pero fue y sigue siendo imposible.

No puede existir un monopolo magnético, sólo existen los DIPOLOS MAGNÉTICOS

En el siglo XIX se vio que magnetismo y la electricidad van íntimamente unidos:

La electricidad puede crear magnetismo

El magnetismo puede crear electricidad.

Veremos más del campo magnético terrestre en la Práctica 1 de Laboratorio

Para poder “visualizar” como es la fuerza de atracción magnética tenemos la magnitud �� .

�� es un vector, que en cada punto …

su módulo indica con qué intensidad sería atraída/repelida una partícula magnética

la dirección y sentido en que sería atraída/repelida esa partícula magnética.

�� es denominada como “Inducción magnética” o “Intensidad del campo magnético” La unidad en que se mide en el S.I. es el Tesla (T). (1T es una magnitud muy grande) En el sistema c.g.s. la unidad usada es el Gauss. 1T = 10 000 Gauss

Para hacernos una idea: (de 2’5 a 6’5·10-5T) (para cálculos BTierra= 5·10-5T)

El campo magnético terrestre en superficie oscila entre 0’25 y 0’65 gauss, de media BT= 0’5 gauss El imán de una nevera puede ser de unos 100 ó 200 gauss ( 0’01T ó 0’02T) Un electroimán potentísimo, como el de la RMN, podría conseguir 3T = 30 000 gauss.

1.1.b.Representación del campo magnetico

Si en cada punto represento una pequeña flechita indicando la dirección del vector �� , y avanzo un poco en esa dirección y continúo haciendo lo mismo, obtendré aproximadamente una trayectorias llamadas líneas del campo magnético.

Observaríamos lo siguiente: Son líneas cerradas, no se cortan, salen fuera del material por el polo N y entran por el polo S.

Para dar una idea de la intensidad del campo magnético, a mayor �� mayor densidad de líneas

En la P1 de laboratorio se “verán” las líneas del campo magnético de varios vasos

1.2.- Fuerza �� que ejerce un campo magnético ��

sobre una carga q que se mueve con una velocidad ��

Primero veremos la regla de la mano derecha para el producto vectorial Para ver la dirección de 𝒗𝟏 ∧ 𝒗𝟐 · Pondremos 𝑣1 según el pulgar · Pondremos 𝑣2 según el índice · Entonces 𝒗𝟏 ∧ 𝒗𝟐 será perpendicular a la palma de la mano · Pondré el dedo corazón perpendicular a la palma de la mano · El producto vectorial 𝒗𝟏 ∧ 𝒗𝟐 será un vector perpendicular a la palma saliendo por el corazón. Para el módulo, |𝑣1 ∧ 𝑣2 | = |𝑣1 | · |𝑣2 | · 𝑠𝑒𝑛(𝜑) donde 𝜑 es el ángulo que forman 𝑣1 y 𝑣2

En nuestro caso: �� = 𝒒(�� ∧ �� )

Observad que hay un producto vectorial, con 𝑣 el 1er vector y �� el 2º vector, lo cual implica:

𝑣 𝑦 �� formarán un plano. Entonces 𝐹 será perpendicular a ese plano.

𝐹 es simultáneamente perpendicular a 𝑣 y a ��

Para hallar la dirección de 𝐹 seguiremos la regla de la mano derecha

|𝐹 | = 𝑞 · |𝑣 | · |�� | · 𝑠𝑒𝑛 𝜑, donde 𝜑 es el ángulo que forman 𝑣 y ��

Si 𝑣 y �� llevan la misma dirección entonces 𝜑=0º o 𝜑=180º, por tanto 𝐹 =0

Si 𝑣 y �� son perpendiculares 𝜑=90º 𝑠𝑒𝑛(90°) = 1 |𝐹 | es máximo, |𝐹 𝑚𝑎𝑥| = 𝑞 · |𝑣 | · |�� |

Como 𝐹 es perpendicular a 𝑣 , entonces esa fuerza NO FRENA a la carga, LA HACE GIRAR (Este es el fundamento de la espectroscopia de masas)

Ejemplo.1: Sea un B=0’5T uniforme.

Una partícula de carga Q penetra perpendicularmente a B con v=30 m/s,

Experimentando una fuerza F de 280 N.

a) ¿Cuál es el valor de Q? (18’67 cul)

b) Representar vectorialmente en varias posiciones

1.2.b.Espectroscopía de masas Consiste en un método para determinar masas de iones con cargas conocidas, poniéndolos en movimiento en un campo magnético constante dado.

Como decíamos en el apartado anterior, al ser F perpendicular a v, esa fuerza no cambia el módulo de v, sino que le produce un giro. Considerando a F como la fuerza centrípeta que produce el giro tenemos:

𝑭 = 𝒎 ·𝒗𝟐

𝑹

Igualando con la expresión anterior considerando el ángulo de 90º entre |�� | 𝒚 |�� |

𝑭 = 𝒎 ·𝒗𝟐

𝑹= 𝒒 · 𝒗 · 𝑩

La partícula impactará en (c), lo cual queda registrado pues allí se ha colocó una película sensible

Midiendo la distancia desde (a) hasta el punto de impacto (c) y dándonos cuenta de que esa distancia es 2R podemos calcular lo que queramos.

Por ejemplo, despejamos m:

𝒎 =𝒒 · 𝑩 · 𝑹

𝒗

Recordar: Carga elemental: 1’6·10-19 Cul 1 u.m.a (Unidad de Masa Atómica) = 1’66·10-27 Kg Ejemplo.2: Un ion Be⁺⁺ se mueve en un campo magnético B=1’7 T

con velocidad 𝑣 = 6′54𝑥106 𝑚

𝑠.

El radio de su órbita circular resultó ser de 14cm. a) ¿Cuál es la masa del ión berilio en Kg [ m=1’165·10-26 kg ]

b) ¿Cuál es la masa en U.M.A.? [ m = 7’02 uma 7 uma ]

c) ¿De qué isótopo se trata? [ 𝐵𝑒47 ++ ]

Buscar el número atómico en la tabla periódica

d) Hacer un dibujo mostrando el núcleo (con protones y neutrones) y los electrones

En la región ABCD existe un campo

magnético uniforme con �� saliendo de la página

El ion de carga Q y masa M entra al campo por (a) con velocidad v conocida

(previamente la carga ha sido acelerada en un campo eléctrico)

El campo produce sobre Q una fuerza F perpendicular a v en todo instante.

En los ejercicios, XY son las dos últimas cifras de tu matrícula. Ej: Matricula 2015-1234 X=3 Y=4 Ejercicio 1.-Un ion con una sola carga + tiene masa de 3’2·10-26 kg. Después de ser acelerado a

través de una d.d.p. de 833 V el ión entra en un campo magnético de 1’XY T con velocidad de 5’Y·105 m/s a lo largo de una dirección perpendicular a la del campo.

Calcule el radio de la trayectoria del ión el campo magnético. Sería 5’4·105 m/s si tu matrícula fuera 2015-1234 y el campo sería 1’34 T

Ejercicio 2.- ¿Qué campo magnético B se requiere para que un electrón de energía cinética de 2’XY·10-16 J se mueva perpendicularmente al campo en una trayectoria circular de (55+XY) cm de diámetro?

Sería 2’34·10-16 J y 55+34 = 89 cm si tu matrícula fuera 2015-1234

Ejercicio 3.- Un ión positivo simplemente cargado se mueve con velocidad de 4’4x105 m/s siguiendo una trayectoria circular cuyo radio viene en la tabla, dentro de un campo magnético de 0’8 T.

a) Encuentre la masa del ion en u.m.a. b) Busca al menos dos posibles isótopos (indica número de protones y neutrones, abundancia o semivida)

Ejemplo, si sale que m = 58u entonces tenemos: 𝐹𝑒2658 , con 26 protones y 32 neutrones (estable), 0’28% de todo el Fe

𝑁𝑖2858 , con 28 protones y 30 neutrones (estable), 68% de todo el Ni

𝐶𝑜2758 , con 27 protones y 30 neutrones (sintético), semivida = 71 días

1.3.- Fuerza de un campo magnético sobre un conductor rectilíneo con corriente I.

Vamos a considerar que: �� sea constante Sea un tramo recto de longitud L

En un conductor cuando circula corriente eléctrica en el interior se están desplazando

cargas eléctricas con una cierta velocidad. Observe que: 𝑞 · 𝑣 = 𝑞 ·��

𝑡=

𝑞

𝑡�� = 𝐼 · ��

Entonces la fórmula anterior: �� = 𝒒(�� ∧ �� )

queda convertida en: �� = 𝑰(�� ∧ �� )

�� es la Longitud del conductor, su sentido es el de la Intensidad

Para hallar la dirección de 𝐹 seguiremos la regla de la mano derecha

|𝐹 | = 𝐼 · 𝐿 · |�� | · 𝑠𝑒𝑛 𝜑, donde 𝜑 es el ángulo que forman �� y ��

Si �� y �� llevan la misma dirección entonces 𝜑=0º o 𝜑=180º, por tanto 𝐹 =0

Si �� y �� son perpendiculares, entonces |𝐹 | es máxima para =90º, |𝐹𝑚𝑎𝑥 | = 𝐼 · 𝐿 · |�� |

Como las cargas van por el conductor en forma de intensidad eléctrica, lo que hace el campo �� es mover al cable conductor eléctrico

Matrícula acaba en R(cm)

0 7,4

1 8,6

2 10,8

3 14,3

4 18,8

5 24,5

6 31,4

7 39,4

8 48,5

9 58,8

Ejemplo 5: Por un cable recto de L=60cm circula una intensidad i=10A.

Externamente puedo crear un campo magnético externo de valor constante.

a) ¿Cuánto sería el valor mínimo de B para que F=1N? Dibujalo [B=0’17T si B al cable,

si 90º entonces B sale mayor, por ej. si =45º tengo que poner 0’24T para hacer la misma fuerza]

1.4.- Campo magnético creado por conductor recto de longitud L al circular una corriente I. Consideramos solo un punto a distancia r del conductor y equidistante de los extremos

Ejemplo.3: a)Hallar B para i=5A, L= 2cm, r= 150cm Solución: (B=4.44𝑥10−9 𝑇 = 0′00004 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠)

b) Comparar el resultado de la fórmula exacta con el de la fórmula aproximada c) Comparar con el campo magnético terrestre (0’5 gauss = 5·10-5 T) para ver si las brújulas son afectadas ahí

Btierra >> que Bconductor., por tanto lejos de un conductor el campo magnético del conductor es despreciable

Ejemplo.4: a)Hallar B para i=8A, L= 5m, r= 3cm Solución: (B=5′3329 · 10−5 𝑇 = 0′533 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠)

b)Compara el resultado de la fórmula exacta con la fórmula aprox: B=5′3333 · 10−5 𝑇) c) Comparar con el campo magnético terrestre (0’5 gauss = 5·10-5 T) para ver si las brújulas son afectadas ahí

1.4.b.- Forma de las líneas de campo magnético producidas por un tramo de corriente

(3D)

Fuentes del Campo Magnético

La fórmula exacta es:

𝐵 =𝜇𝑜

4𝜋

𝑖 · 𝐿

𝑟 · √𝐿2

4+ 𝑟2

Esta fórmula se puede simplificar en dos casos:

r>> L: 𝐵 ≈µ𝑜

4𝜋·

𝑖𝐿

𝑟2

L>> r: 𝐵 ≈ µ𝑜 ·𝑖

2𝜋𝑟

Esta última fórmula también se usa el caso de un conductor recto infinito

Las líneas del campo magnético describen círculos alrededor de los conductores, su sentido es según la regla de la mano derecha

Giro antihorario Giro horario

F de atracción si i1 e i2 van en el mismo sentido

F de repulsión si i1 e i2 van en sentido contrario

1.5.- Fuerza entre dos conductores rectos paralelos infinitos (L muy grande)

I1 genera un campo magnet. B1 en el conductor I2 I2 genera un campo B2 en el conductor I1 Al actuar B1 sobre I2 genera una fuerza F12 Al actuar B2 sobre I1 genera una fuerza F21

Total: Conductores con intensidades en el mismo sentido se atraen. Comprobar que: Conductores con intensidades en distinto sentido se repelen

𝐹 = µ𝑜

2𝜋 𝑖1 · 𝑖2 · 𝐿

𝑅

Ejemplo 6: Se alimenta una estufa eléctrica de potencia 1000W por un cable de 3m de longitud, cuyos

conductores van separados 5mm. (Nota, P=V·I, Ven los enchufes de casa = 110V)

a) Hallar la fuerza que sufren los conductores [F 0’01N] b) De repulsión o atracción [Repulsión] [Se separaría] c) Imagina que cae un rayo (I=10 000A). Calcula la fuerza [F = 12 000 N] y di que pasaría

Ejemplo 7 La definición moderna del amperio se estableció en la novena Conferencia General de

Pesas y Medidas de 1948, de la siguiente manera: Un amperio es la corriente constante que,

mantenida en dos conductores rectos paralelos de longitud infinita,

de sección circular despreciable,

y colocados a un metro de distancia en el vacío, produciría entre los conductores una fuerza igual a 2·10-7 N por metro de longitud.

a) Comprobar

L>>R

Cada conductor crea campo magnético sobre el otro, por lo que el otro recibirá una fuerza según la fórmula:

𝐹 = 𝐼 · (�� ∧ �� )

𝐹 12 = 𝐼2 · (�� ∧ 𝐵1

)

𝐹 21 = 𝐼1 · (�� ∧ 𝐵2 )

F12 es la fuerza que hace el conductor 1 sobre el conductor 2 F21 es la fuerza que hace el conductor 2

sobre el conductor 1 𝐅𝟏𝟐 = −𝐅𝟐𝟏

|𝐅𝟏𝟐 | = |𝐅𝟐𝟏

|

Llamo momento magnético de la corriente en una espira:

|�� 1.𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎| = 𝐼 · 𝑆

�� es perpendicular a la superficie de la espira

según la regla de la mano derecha

1.6.- Espira, bobina, momento magnético de una espira, momento de giro (torque)

Una espira es un conductor formando una línea cerrada plana, con una superficie S.

Aunque hagamos alguna prueba con espiras rectangulares, esta fórmula sirve para espiras

con cualquier forma.

Así se tiene una fórmula fácil para indicar el Momento de las fuerzas de giro (torque)

producido por un campo magnético constante y uniforme �� al atravesar una espira

caracterizada por ��

�� = �� 𝒃𝒐𝒃 ∧ �� 𝝉 = 𝑴𝒃𝒐𝒃 · 𝑩 · 𝒔𝒆𝒏(𝝋) Una bobina es un hilo de cobre aislado

que da un número de vueltas de forma circular o la que sea, cada vuelta constituye una espira

F3 = F4 = I·L·B = I·b·B

3 = 4 = R·F = 𝒂

𝟐 ·I·b·B = 3 + 4 = 2·

𝒂

𝟐 · I·b·B= I·a·b·B= I·S·B=M·B

La conclusión es que cuando un campo �� atraviesa una espira con corriente produce un torque que hace girar a la espira.

ESTE ES EL FUNDAMENTO DE LOS MOTORES ELECTRICOS

(al pasar una corriente I por una espira dentro de un campo �� se produce un giro)

UN GENERADOR ELÉCTRICO en el fondo es lo mismo, con la diferencia de que

en el generador tú haces girar a la espira dentro de un campo �� y entonces se produce una intensidad I en la espira.

�� 𝒃𝒐𝒃𝒊𝒏𝒂 = 𝑵 · �� 𝟏 𝒆𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂

N = nº de espiras o vueltas

=0 si �� es paralelo a ��

En general: =M·B·sin

La fuerza neta sobre un objeto lo translada. Un torque neto produce giro

El torque va sobre el eje

de giro

El torque producirá un giro según la mano derecha

𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐹 =

= 𝐹3 + 𝐹4

= 0

La espira no se translada

1.6.b.Esquemas y ejemplos de motores eléctricos (no estudiar, sólo es curiosidad)

Entre dos tramos L = 75 cm de los conductores, uno frente a otro, se ejercen una fuerza

de interacción magnética de 5 N. Se pide: a) La distancia entre los conductores,

b) El sentido que deben tener las corrientes en los conductores para que la interacción sea repulsiva. [a) r = 4’32x10-6 m; b) Antiparalelas]

Ejercicio.6 No entregable: Sea un campo magnético uniforme con B = 0’25 T. Se coloca en el campo un conductor recto de 40 cm perpendicular al vector B. ¿Qué corriente debe circular por el conductor para que sufra una fuerza magnética de 3 N? [ i = 30 A]

Ejercicio.7. No entregable: Una corriente i = 0’8 A circula por una bobina formada por 200 espiras rectangulares de lados a = 30 cm y b = 80 cm.

¿Cuál es la magnitud del momento magnético de la bobina? [38’4 A.m2]

Ejercicio.7cont. No entregable: La bobina anterior se halla en un campo magnético B = 1’25 T, formando su momento magnético M con B inicialmente 90º y luego 30°. Calcular:

a) El “momento de fuerza” o torque sobre la bobina, para los dos ángulos [48 y 24 N·m] b) la Energía Pot. U de la bobina en el campo magnético, para los dos ángulos. [0 y –42 J]

c) ¿Con qué ángulo encontraríamos un torque de 12 N·m? [ = 14.48º] (NOTA: Ver fórmula de U en pag. sig)

Ejercicio.4. No entregable: Sea un conductor de longitud = 80 cm y un

punto P en su perpendicular mediatriz a una distancia r = 5 cm del conductor.

¿Cuál debe la intensidad de corriente que circula por el conductor para que el campo magnético en P sea de 0’5 T? [i = 125 973 A]

Ejercicio.5. No entregable: Sean dos paralelos e infinitos. Por ellos

conductores rectos,

circulan corrientes iguales de 12 A.

Ejemplo.8:

Una bobina rectangular de 5’40cm x 8’50cm consta de 25 vueltas muy juntas de alambre. La I que pasa por la bobina es de 15mA, hay un campo B=0’35T paralelo al plano de la bobina. Halla: a) Momento magnético de la bobina, [M=1’72·10-3 A·m2]

b) τ inicial (θ =90°) y τ en θ=45°, [τ90º=6’02·10-4 N·m, τ45º=4’26·10-4 N·m,]

c) U si θ=0° y θ=90°, [U(0º)=-6’02·10-4 Jul, U(90º) = 0 Jul] d) θ para U=-2’5·10-4 Jul [θ65º]

1.7.- Spin El spin o momento angular intrínseco es una propiedad física de las partículas subatómicas.

Toda partícula elemental tiene un momento angular intrínseco de valor fijo. Se trata de una propiedad intrínseca de la partícula, como lo es la masa o la carga eléctrica.

Analogía electrón –Tierra (parecido pero no): La Tierra gira orbitando alrededor del Sol,

y además gira sobre sí misma (spin)

Por tanto: 𝐽 = �� + 𝑆 Momento angular total = Momento angular orbital + Momento angular de rotación sobre su eje.

La idea de que el electrón tiene un movimiento de rotación sobre sí mismo fue propuesta en 1926 para explicar las características de los espectros de átomos con un solo electrón.

En realidad, el espín es un fenómeno exclusivamente cuántico, que no se puede relacionar de forma directa con una rotación en el espacio.

La intuición de que el spin corresponde al momento angular intrínseco debido a la rotación de la partícula en torno a su propio eje sólo debe tenerse como una imagen mental útil.

El valor de espín está cuantizado, lo que significa que no pueden encontrarse partículas con cualquier valor del

espín, sino que toma valores concretos: 𝐒 = 𝐧 ·ℏ

𝟐

Por ejemplo, la proyección del momento angular de espín de un electrón, protón o neutrón, si se mide en una dirección dada por un campo magnético externo B (que por ejemplo vaya en la dirección 𝑧 ),

sólo tiene dos posibles únicos valores: 𝑆𝑧 = +ℏ 𝟏

𝟐 ó 𝑆𝑧 = −ℏ

𝟏

𝟐 con ℏ =

ℎ

2𝜋

En esos casos se dice que tiene un nº cuántico de spin: +1/2 (up) (paralelo) y -1/2 (down) (antiparalelo)

NOTA: h = cte de Planck = 6’62·10-34 Jul·seg ℏ =ℎ

2𝜋

e) ¿Para qué ángulo el torque vale 2·10-4N ? [θ19º]

Repaso ondas electromagnéticas

Onda: propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, a través de dicho medio,

(Según el tipo de perturbación el medio perturbado puede ser agua, gas, metal, el vacío…)

implicando un transporte de energía sin transporte de materia.

Onda electromagnética: Es una perturbación simultánea del campo eléctrico y del campo magnético que se propaga por un medio.

La velocidad de la luz en el vacío es constante e igual a: c = 300000 km/seg = 3·108 m/seg

𝒄 =𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐

𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐=

𝝀

𝑻= 𝝀 · 𝒇 Recordar que: 𝒇 =

𝟏

𝑻

La partícula asociada a las ondas electromagnéticas es el fotón.(a veces onda a veces partícula)

Cuando un fotón interacciona con la materia lo hace con una energía Efotón = h·f

Además esa energía está ‘cuantizada’, no puede tomar cualquier valor.

La luz visible son ondas electromagnéticas cuya longitud de onda está entre 400 y 700nm.

Según la frecuencia o longitud de onda las ondas electromagnéticas reciben diversos nombres:

Rayos

cósmicos Rayos

Gamma Rayos

X Ultravioleta Visible Infrarrojo Microondas Radio

𝜆(m) 10-14 10-12 10-10 10-8 5·10-7 10-5 10-2 3

f(Hz) 3·1022 3·1020 3·1018 3·1016 6·1014 3·1013 3·1010 108

(Ejemplos de y f, observa que siempre: ·f=3·108.

Observa que la frecuencia que puse de ejemplo de ondas de radio es 108Hz = 100MHz, y que su es 3 metros Las emisoras de radio fm que escuchas en la radio pone 98’4 ó 101’8 porque emiten con f = 98’4 ó 101’8 MHz

Recordar que: a mayor frecuencia mayor energía, por tanto a menor mayor energía y por tanto mayor probabilidad de ionizar y producir alteraciones en la materia.

Resonancia Magnética Nuclear Además del electrón, también el protón y el neutrón poseen spin = 1/2 ó -1/2

Ambos, el protón y el neutrón, se denominan nucleones.

El átomo de hidrógeno ( 1 H), con un protón no apareado: spínnuclear tot max = 1/2.

El átomo de deuterio ( 2 H) = protón no apareado + neutrón no apareado: spinnuclear tot max= 1.

Dos o más partículas con spines opuestos pueden emparejarse hasta eliminar las manifestaciones

observables del spin. Ej: Helio 4He, con spinnuclear tot max = 0.

En la resonancia magnética nuclear, no podríamos trabajar con el Helio al no presentar spin.

El modelo de capas del núcleo nos dice que los nucleones, al igual que los electrones, llenan los orbitales. Cuando el número de protones o neutrones es igual a 2, 8, 20, 28, 50, 82, y 126, los orbitales están llenos. Debido a que los nucleones tienen spín, su spin puede emparejarse cuando se llenan los orbitales y anularse. Casi todos los elementos de la tabla periódica tienen algún isótopo con espín nuclear distinto de cero.

La RMN, para ser efectiva, debe realizarse en los isótopos cuya abundancia natural es lo suficientemente alto como para ser detectado. Algunos núcleos que son de interés en la RM se enumeran a continuación.

Núcleos Protones

no emparejados Neutrones

no emparejados Spin neto (MHz / T)

1 H 1 0 1/2 42.58 2 H 1 1 1 6.54 31 P 1 0 1/2 17.25

23 Na 1 2 3/2 11.27 14 N 1 1 1 3.08 13 C 0 1 1/2 10.71 19 F 1 0 1/2 40.08

Propiedades del spin Cuando se coloca en un campo magnético B, una partícula con un spin neto puede absorber un

fotón, de la frecuencia f. La frecuencia f depende de la relación giromagnética, de la partícula.

f= ·B OJO, en la tabla está en MHz/T, si pones B en Teslas el resultado estará en MHz f en MHz es correcto, pero si vas a usar f en otra fórmula, p.ej: E = h·f, acuérdate de convertir a Hz

Vimos que la energía potencial en función del momento magnético M y del campo B era:

U = −�� · �� = −|�� | · |�� | · 𝒄𝒐𝒔 𝝋

Por tanto si el spin es paralelo a B la energía es negativa = U-

Y si el spin es antiparalelo a B tiene energía positiva = U+

Si enviamos un fotón justo con energía E = U+- U- de frecuencia E = h·f será absorbido

y pasará de tener spin paralelo a tener spín antiparalelo.

Excepción Esos neutrones están en capas diferentes

Por tanto, la energía necesaria para cambiar el spin de un elemento será:

E = h·f = h··B

Afortunadamente las frecuencias que aparecen son del rango de las ondas de radio, las cuales son inocuas para el ser humano y pueden atravesar la materia.

Una vez que tenemos un exceso de partículas con spin de alta energía, de forma natural tenderán al estado de baja energía, hasta volver al equilibrio entre partículas con spin + y -

Como la energía total se conserva la energía que pierde la partícula se emite en forma de fotón se la frecuencia correspondiente

Estadística de Boltzmann Cuando un grupo de partículas con spin se coloca en un campo magnético B, cada partícula se

alinea en una de las dos orientaciones posibles. Habrá N+ partículas con spin positivo y con energía baja Y N- partículas con spin negativo y con energía alta

La estadística de Boltzmann nos dice que N - / N + = e -E/kT .

E es la diferencia de energía entre los estados de espín; que en nuestro caso es muy pequeña k es la constante de Boltzmann, 1.3805x10 -23 J / K, y T es la temperatura en grados Kelvin.

A temperatura ambiente, en nº de partículas con spin -½ es casi igual que el que spin ½ . En realidad el número partículas con spin de energía más bajo, spin ½, es N+ = 50’000001% ,

y el número partículas con spin de energía más alto, spin -½, es N- = 49’999999%

Factores que influyen en la señal de la RMN: Las abundancias Abundancia natural del isótopo De un determinado elemento, por ejemplo

del Carbono: 𝐶6 hay varios isótopos: 𝐶612 , 𝐶6

13 , 𝐶614 ,…

de los cuales para la RNM sólo nos sirve el 𝐶613

Tabla que representa la abundancia natural en % de un isótopo respecto a los otros de ese elemento

Elemento Símbolo Abundancia

del isótopo en el elemento

Hidrógeno 1 H 99.985%

2 H 0.015%

Carbono 13 C 1.110%

Nitrógeno 14 N 99.630%

15 N 0.370%

Sodio 23 Na 100.000%

Fósforo 31 P 100.000%

Potasio 39 K 93.100

Calcio 43 Ca 0.145

La abundancia biológica de un elemento es el % del número de átomos de ese tipo, respecto del total de átomos en el cuerpo humano

Elemento Biológica

Abundancia

Hidrógeno (H) 63 %

Sodio (Na) 0’041 %

Fósforo (P) 0’24 %

Carbono (C) 9’4 %

Oxígeno (O) 26 %

Calcio (Ca) 0’22 %

Nitrógeno (N) 1’5 %

¿Quién dará más señal de RMN en el cuerpo humano, el Carbono ó el fósforo? Si uso la frecuencia del Carbono:

El 9% de los átomos del cuerpo son C

Pero solo el 1% es 13C, que es el que sirve para RMN responden el 1% del 9%, en total el 0.09% de los átomos del cuerpo.

Si uso la frecuencia del Fósforo:

El 0.24% de los átomos del cuerpo son P

El 100% es 31P, que es el que sirve para RMN responden el 100% del 0.24%, en total el 0.24% de los átomos del cuerpo

El Fósforo

Desplazamiento químico Cuando se coloca un átomo en un campo magnético, el movimiento de sus electrones provoca un

pequeño campo magnético en el núcleo que se opone al campo aplicado externamente. Por consiguiente, el campo magnético que llega al núcleo es Befectivo que generalmente es menor

que el campo aplicado Baplicado en una fracción de .

Befectivo = B· (1 - ) (el que realmente llega al núcleo es Befectivo < B)

Como f = ·B si B disminuye entonces f disminuye

Esto se denomina fenómeno de desplazamiento químico.

Ej: Metanol CH3OH La frecuencia de resonancia de los dos tipos de hidrógeno diferirán.

Será diferente la frecuencia del H del enlace H-C que la del H-O

Lo mejor sería medir el desplazamiento químico en %, pero como es tan pequeño se prefiere medir en ppm

𝛿 =𝑓 − 𝑓𝑟𝑒𝑓

𝑓𝑟𝑒𝑓· 106𝑝𝑝𝑚

En el cuerpo, por ejemplo, hay dos principales sustancias que contienen hidrógeno, el agua H2O y la grasa –CH2– (simplificadamente).

La diferencia de desplazamiento químico entre estos dos tipos de hidrógenos es de aproximadamente 3’5 ppm. Es decir, una será 3’5 ppm más pequeña que la otra.

-

Gracias al desplazamiento podemos detectar moléculas diferentes que contengan hidrógeno, las cuales en biología son la mayoría. VER EN INTERNET LOS GRÁFICOS DE DISTINTAS MOLÉCULAS

Generación de imágenes 2D Si el campo B es constante lo único que podemos saber es que esa molécula está, gracias a la

frecuencia recibida: f= ·B pero no podemos saber dónde está.

Pero si el campo B tiene un gradiente, es decir, que va variando con la distancia a un origen, según la distancia habrá un B diferente, por tanto, según donde esté la molécula, emitirá una frecuencia diferente.

Ej: Para detectar donde hay H20 genero un campo tal que:

X=0mm X=1mm X=2mm X=3mm X=4mm X=5mm B=1’0T B=1’1T B=1’2T B=1’3T B=1’4T B=1’5T

a) Calcula el gradiente del campo[0’1T/mm] Entonces emitimos un pulso de frecuencias(TODAS las frecuencias dentro de un rango) b) ¿Cuál es el rango de frecuencias que debería emitir?[Todas entre 42’58MHz y 63’87MHz] Al poco de emitir todas detecto 2 frecuencias: 46’84MHz (muy intensa) y 63’87MHz (poco intensa) c) ¿Dónde hay agua? d ¿Dónde hay más agua? [Hay agua en x=1 mucha y en x=5 poca] e) Según la intensidad de la onda haz un mapa en escala de grises, haciendo más oscuras las

zonas donde la intensidad es mayor y más claras donde es menor. Si además del gradiente en el eje X hago otro en el eje Y podré hacer un gráfico en 2D

H = ……….. (búscalo en la tabla)

H H C O H H

Repaso de Cuentas y fórmulas:

De la mecánica cuántica para cualquier partícula: 𝐒 = 𝐧 ·ℏ

𝟐

Para el caso de un protón o neutrón situados en un campo magnético B el spin se orienta paralelamente en la misma dirección o en dirección opuesta con valores respectivamente de:

En función del nº de protones y neutrones que haya, ya vimos q el spintot.max nuclear podría salir:

Stot=0 (no sirve para RMN) Stot = ½ (es el caso más fácil y mejor, que es el único que vamos a tratar) Stot = 1, … (casos posibles pero más complicados)

La relación entre el momento magnético nuclear M y el spin nuclear es:

M = 𝑔 ·𝜇𝑁

ℏ· 𝑆 = 𝑔 · 𝜇𝑁 ·

ℏ·𝐦𝐬

ℏ = 𝑔 · 𝜇𝑁 · 𝐦𝐬

g: Razón giromagnética: Dato que depende del tipo de núcleo. 𝜇𝑁: Magnetón Nuclear, es una constante que el S.I vale 5’051·10-27 Jul/T

Si se tiene el capricho se puede calcular como: 𝜇𝑁 =𝑞𝑝·ℏ

2·𝑚𝑝

Para el caso de spin paralelo a B (): M= 𝑔 · 𝜇𝑁 · 𝐦𝐬 = 𝑔 · 𝜇𝑁 ·𝟏

𝟐

Para el caso de spin antiparalelo a B (): M= 𝑔 · 𝜇𝑁 · 𝐦𝐬 = 𝑔 · 𝜇𝑁 ·−𝟏

𝟐 = −𝑔 · 𝜇𝑁 ·

𝟏

𝟐

Veamos cuanto es la energía: U = -M·B

Para el caso de spin paralelo (): U = - M·B = −𝑔 · 𝜇𝑁 ·𝟏

𝟐 · B

Para el caso de spin antiparalelo (): U = - M·B = −(−𝑔 · 𝜇𝑁 ·𝟏

𝟐· 𝐁) = 𝑔 · 𝜇𝑁 ·

𝟏

𝟐· 𝐁

Se ve que el caso de spín paralelo tiene menos energía que la del spín antiparalelo por tanto la configuración con spín paralelo será más probable que la del antiparalelo.

La diferencia de energías es E = U - U = 𝑔 · 𝜇𝑁 ·𝟏

𝟐· 𝑩 − (−𝑔 · 𝜇𝑁 ·

𝟏

𝟐· 𝐁) = 𝑔 · 𝜇𝑁 · 𝐵

Como E = h·f la frecuencia del fotón que al ser absorbido cambia el spin de a es:

f = 𝐄

𝒉=

𝒈·𝝁𝑵·𝑩

𝒉 =

𝒈·𝝁𝑵

𝒉· 𝑩 = ·B donde es un dato según el núcleo

También es la frecuencia que, pasado un tiempo, será emitida cuando pase de a

Se puede resumir diciendo que el spin es: S =ℏ · 𝐦𝐬

Donde ms es el número cuantico de spin, que en nucleones puede tomar sólo los valores:

ms=1/2 y ms= -1/2

Eso no quiere decir que todos los que están en vayan a pasar a . En equilibrio habrá la siguiente proporción de núcleos con spin de cada tipo (Boltzmann)

𝑁↓

𝑁↑= 𝑒−

∆𝐸

𝑘·𝑇

𝑒−∆𝐸

𝑘·𝑇 será siempre un nº entre 0 y 1, es decir que siempre ocurrirá que 𝑁 ↓ < 𝑁 ↑

Ej: Estamos a temperatura ambiente, T=300K y trabajamos con el 𝑯+𝟏𝟏 en un campo B de 1’5 T

a) Hallar la frecuencia asociada, longitud de onda, y energía de cada fotón que será absorbido y luego cedido.

b) Hallar la diferencia de átomos 𝑁↓

𝑁↑ (puedes saltarte el apartado b) si no se comentó en clase)

c) ¿Es con el H1 o el C13 que la RMN tiene más señal y será más sencilla en seres vivos? ¿Por qué? d) Tomando la frecuencia obtenida como fref obtener a qué frecuencia encontraremos la

respuesta de otro hidrógeno con otro tipo de enlace, sabiendo que el desplazamiento es

=3’5ppm

a1) Mirando en la tablas: = 42’58MHz/T, por lo que f = ·B = 42’58MHz/T · 1’5T = 63’87MHz

a2) 𝜆 =𝑐

𝑓=

3·108

63′87·106= 4′7𝑚

b) E=h·f = 6’626·10-34·63’87·106 = 4’23·10-26 Jul

𝑁 ↓

𝑁 ↑= 𝑒−

∆𝐸𝑘·𝑇 = 𝑒

−4’23·10−26

1′38·10−23 ·300 = 𝑒−0′0000102 = 0′9999898

O sea, que prácticamente iguales con muy pequeña diferencia (pero detectable)

c) Ver las tablas de abundancia y razonar

d) 𝛿 =|𝑓|

𝑓𝑟𝑒𝑓 ·106 |𝑓| =

3′5·63′87·106

106= 224𝐻𝑧 f=63’87·106 - 224=63’869776MHz

O sea, que son muy parecidas, pero distinguibles. Necesitaremos un emisor que emita muchas señales de frecuencias parecidas a 63’87MHz que

se diferencien entre sí unos pocos Hertzios (Eso se consigue con lo que se llama un pulso de frecuencia)

Ejercicio S3 (desplazamientos) a) ¿Qué campo B habré de poner para trabajar con el 1H desnudo a 100MHz exactamente? [2’35T] b) ¿A qué frecuencias corresponden (tomando como referencia los 100MHz del 1H desnudo) unos

desplazamientos de = 3’5 ppm y = 5 ppm? [f1 = 99 999 650 Hz, f2 = 99 999 500 Hz]

c) ¿Cuál es la diferencia entre esas frecuencias? [f = 150Hz] d) Trabajando con el 1H, ¿qué campo B habré de poner como mínimo si quiero diferenciar dos

tejidos que tienen un desplazamiento de 3’5ppm y 5ppm tomando como referencia el 1H?. NOTA: Nuestro medidor de frecuencias sólo puede distinguir dos frecuencias si se diferencian al menos en 100 Hz. [Bmin = 1’57T]

Ejercicio S1: Tengo un conductor aislado de 36cm con el que quiero hacer una espira por donde irán 200mA. Si inicialmente el campo B es paralelo al plano de la espira y de valor 100 gauss, calcula:

a) El torque ejercido si la espira es rectangular, con un lado el doble del otro [14’4N·m]

b) Lo mismo si la espira es cuadrada [16’2N·m]

c) Lo mismo si la espira es circular. [20’63N·m] d) Da tu conclusión sobre cuál es la forma óptima para conseguir mayor torque [Circulo] e) ¿Cuál el torque necesario para levantar con una polea de radio 1cm un peso 50 gr.?

[0.0049N·m]. Haz un dibujo en perspectiva de la bobina, con una polea en su eje y un peso colgando a través de un hilo desde la polea.

f) ¿Cuántas espiras cuadradas necesitarías como mínimo para producir ese torque inicialmente?[303 espiras]

Recuerda que la bobina al girar tiene cada vez menos torque g) Calcula el torque máximo de la bobina cuadrada con 500 vueltas. [0’0081 N·m]

h) ¿Qué ángulo formarán �� y �� cuando la bobina se detenga al levantar el peso? [37.2º]

i) Recuerda que en la bobina inicialmente �� y �� forman 90º y se detiene cuando forma el ángulo calculado en h). ¿Qué ángulo ha girado la bobina? [52.8º]

j) Acabas de calcular el ángulo que ha girado la bobina. Mientras gira va enrollando la cuerda y por tanto levantado el peso. ¿Hasta qué altura levantaría el peso la bobina cuadrada con 500 vueltas? [9’2mm]

¿Con que ángulo se detendría? g) En el caso de la espira cuadrada razona si el torque sería el mismo g1] girando alrededor del eje central (es el caso de siempre) o g2] girando alrededor de un lado.[SI, pero quiero ver los cálculos]

h) Alguien ha tenido la idea de hacer con esos 36cm de conductor hacer una bobina de dos espiras cuadradas. ¿Consigue más o menos torque que con una? [Menos, la mitad]

Ejercicio S2 (imagen por gradiente) Tenemos una máquina para IRMN que genera un campo B con un valor de 2T en un extremo del

detector, aumentando progresivamente con un gradiente positivo de 0’01T/mm. Queremos detectar a qué distancia del origen tenemos una muestra de carbono. a) Me dicen que ajuste las frecuencias para la detección del 13C, pero, ¿Por qué si resulta que es

mucho menos abundante que el 12C? [Porque el 12C tiene spin nuclear 0 y el 13C tiene 1/2] b) He enviado un pulso adecuado de frecuencias y he recibido dos señales de 22’2768MHZ y

22’5981MHz, en qué posiciones hay carbono. [A 8 y 11mm]

Ejercicio S4 Sabiendo que el factor g del 13C es 1’405 halla para los casos de 1T y de 2’35T

a) El momento magnético para las dos posibilidades de spin b) Halla la energía de la transición c) Halla la frecuencia de resonancia (compara con las tablas)

Misma L

Mayor

Ejercicio S5 a) Antes las RMN del 1H se hacían con B=1’5T. Calcula la frecuencia y energía del fotón asociado [f=6’39·107Hz E=4’23·10-26Jul] b) Hoy en día las RMN del 1H se hacen a 3T. Calcula la frecuencia y energía de esos fotones. [f=127’8·106Hz E=8’46·10-26Jul] c) Calcula la energía de un fotón de rayos X que tiene frecuencia de 5·1017 Hz[E=3’31·10-16Jul] d) Para ionizar un compuesto orgánico se necesita una energía por fotón de aprox. 6·10-19Jul

Di qué frecuencias lo conseguirán, las de la resonancia o las de los rayos X [Los rayos X] e) Calcula las frecuencias de resonancia para el 13C, 31P y 19F para B=1’5T.

IMPORTANTE: Comparación entre imagen por Rayos-X e imagen por RMN.

Las imágenes por RMN usan frecuencias de radio, que son inocuas, al contrario que los rayos-X, que a dosis grandes son dañinos.

Las imágenes por RMN permiten apreciar muy bien los tejidos blandos, los rayos-X no.

Pero los rayos-X son baratos (400pesos), la RMN son unos 4000 con seguro ¿Por qué es tan cara la RMN? Necesito un superelectroimán, que necesita superconductores, lo cual sólo se consigue si están superfríos usando Helio líquido, lo cual es supercaro.