Separata Para El Alumno

MODULO.MATEMATICA APLICADA A LA GESTION EMPRESARIAL

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Continuidad de una función en un punto

Sea y sea

Decimos que es continua en un punto si se verifican las 3 condiciones siguientes:

i) (que la función tenga límite en el punto ), esto implica que existan los

límites laterales y que sean iguales.

ii) , (que la función esté definida en el punto ).

iii) (que el valor del límite coincida con el valor que toma la función

en el punto ).

Si no se verifica alguna de estas 3 condiciones decimos que la función no es continua en el punto , o bien, que la función tiene una discontinuidad en el punto .

Si nos fijamos en la tercera condición, aplicando la definición de límite, podemos establecer que:

f es continua en si, y solo si

Damos, a continuación, otra definición alternativa de continuidad de una función en un punto:

Sea y sea

f es continua en si, y solo si,

Si llamamos nos queda la siguiente definición de continuidad de una función en un punto:

f es continua en si, y solo si,

- Ejemplo:

Dada la función

Estudia la continuidad de la función en el punto

Como en el punto cambia la expresión analítica de la función, estudiamos los límites laterales:

Como

no es continua en el punto

(ya que no se cumple la condición i)

MG.JUAN CARLOS LUNA SANTOS Página 1

.


Continuidad lateral:

Sea y sea

es continua por la izquierda en el punto si, y solo si,

De igual manera, es continua por la derecha en el punto si, y solo si,

Evidentemente para que una función sea continua en un punto tiene que ser continua por la derecha y por la izquierda en dicho punto.

- Continuidad en un intervalo:

Sea .

Decimos que es continua en un intervalo si, y solo si, es continua en todos y

cada uno de los puntos del intervalo .

Decimos que es continua en un intervalo si, y solo si, es continua en y es continua por la derecha en el punto y continua por la izquierda en el punto .

Decimos que es continua en todo su dominio cuando es continua en todos y cada uno de los puntos de su dominio de definición.

Por ejemplo, las funciones polinómicas son funciones continuas en todo R.


.

.


Tipos de discontinuidad.

1) Discontinuidad evitable:

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto cuando el límite de la función en ese punto existe y es finito pero no coincide con el valor que toma la función en ese punto, o bien la función no está definida en ese punto.

Vemos ambas situaciones gráficamente:

Caso 1.

y es finito. , (la función esté definida en el punto ).

Pero,

Esta función tiene una discontinuidad evitable en el punto

Caso 2.

y es finito.

, (la función no está definida en el punto ).



NOTA: Este tipo de discontinuidad se dice evitable porque se puede evitar redefiniendo nuevamente la función, haciendo que el valor que tome la función en el punto coincida con el valor del límite de la función en ese punto.

2) Discontinuidad de salto (o de primera especie):

a) Con salto finito

Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera especie), con salto finito, en un punto cuando existen los límites laterales en ese punto y son finitos pero no coinciden. Se llama salto a la diferencia, en valor absoluto, entre los límites laterales.

b) Con salto infinito.

Decimos que una función tiene una discontinuidad de salto (o de primera especie), con salto infinito, en un punto cuando uno de los límites laterales sea finito y el otro infinito, o bien, cuando ambos límites laterales sean infinitos.

Este tipo de discontinuidad viene marcada por la existencia de una asíntota vertical.



3) Discontinuidad esencial (o de segunda especie):

Decimos que una función tiene una discontinuidad esencial (o de segunda especie) en un punto cuando uno o los dos límites laterales no existen.

Por ejemplo:

La función tiene una discontinuidad esencial en el punto

NOTA: Algunos autores clasifican las discontinuidades en evitables y no evitables, reuniendo en este segundo grupo todas aquellas discontinuidades que no son evitables (1ª y 2ª especie).

TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS.



TEOREMA DE BOLZANO.

Sea una función continua en el intervalo cerrado , y toma valores de distinto

signo en los extremos del intervalo, , entonces existe al menos un

punto tal que .

TEOREMA DE WEIERSTRASS.

Sea una función continua en un intervalo cerrado , entonces alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo.

TEOREMA DE DARBOUX.

Sea una función continua en el intervalo cerrado , y tal que .

Entonces toma cualquier valor comprendido entre y , al menos una vez

en un punto interior del intervalo , es decir:



EJERCICIOS RESUELTOS:

1. Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto

Para que una función sea continua en un punto se tienen que verificar las 3 condiciones siguientes:

i) (que la función tenga límite en el punto ), esto implica que existan los

límites laterales y que sean iguales.

ii) , (que la función esté definida en el punto ).

iii) (que el valor del límite coincida con el valor que toma la función

en el punto ).

Como en el punto cambia la expresión analítica de la función, estudiamos los límites laterales:

Como no es continua en el punto

(ya que no se cumple la condición i)



2. Estudia la continuidad de la siguiente función en el punto

Como en el punto cambia la expresión analítica de la función, tenemos que estudiar los límites laterales:

Como es continua en el punto

3. Dada la función determina los puntos de discontinuidad y clasifícalos.

Una función racional esta definida excepto para aquellos valores de para los cuales se anula el denominador.

Por tanto, hallamos los valores de x para los cuales se anula el denominador:

(la función no está definida en los puntos , por tanto no es continua en dichos puntos.


.


Para clasificar los puntos de discontinuidad tenemos que ver como se comporta la función en las proximidades de esos puntos. Esa información me la da el estudio del límite.

En

Nota: También podíamos haber resuelto el límite aplicando la regla de L'Hôpital.

Como y es finito, y (la función no está definida en el punto

), se concluye que la función tiene una discontinuidad evitable en el punto .

En

(estudiamos los límites laterales)

y

Con lo que la función tiene una discontinuidad de salto (con salto infinito) en el punto , ya que ambos limites laterales son infinitos.


o


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicio nº 1.-

:xf función la de gráfica la es Esta

4

6

8

2

6 82 4 4 2 8 6 2

4

6

Y

X

a) ¿Es continua en x = 2?b) ¿Y en x 0?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

Ejercicio nº 2.-

Calcula a para que la función fx sea continua en x 1:

si 1

si 12

x + 3 xf x

2x a x

Ejercicio nº 3.-

Estudia la continuidad de la función:

2

1 si 1

2 si 1 2

2 si 2

xx

f xx x x

x

Ejercicio nº 4.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:



103

8232

2

xx

xxxf

Ejercicio nº 5.-

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

2si13

21si2

1si32

xx

xabxx

xax

xf

Ejercicio nº6.-

A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

Ejercicio nº 7.-


4si15

4si3

1

2 xx

xx

xf

Ejercicio nº8.-Estudia la continuidad de la función:

1si 4

10si13

0si2

xxln

xx

xe

xf

x


Evaluación: Fecha:


Ejercicio nº 9.-

Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

1si53

1si22 xax

xaxf

x

Ejercicio nº10.-


0si2

20si12 2

xx

xxxf

Ejercicio nº 11.-

de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103

5153 función la Dada

2

23

xx

xxxxf

Discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.

Ejercicio nº11.-

Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

2si3

21si4

1si22

2

xbx

xbaxx

xxax

xf

1.-COMPARE LA CONTINUIDAD Y LA DISCONTINUIDAD EN UN PUNTO GRAFIQUE.2.-ESTUDIE LA CONTINUIDAD EN UN PUNTO

3.-Sea la función

G (X) =


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