Señales y Sistemas - Roberts - Cap7

r A p T T u r o 1 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

7.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS C o m o se indicó en el capítulo 6, en la aplicación del procesamiento de señales reales en sistemas reales muchas veces no se tiene una descripción matemática de las señales. Es necesario medirlas y analizarlas para descubrir sus caracterís t icas. Si se desconoce la señal , el p roceso de análisis se inicia con la adquis ición de la misma. Adquisición significa medi r y registrar la señal en un per iodo, lo cual podr ía hacerse con una grabadora de cinta u otro disposi t ivo de registro, aunque por m u c h o la técnica más común de adquisición de señales actual es el mues t reo . C o m o se presentó por p r imera vez en el capítulo 2, maestrear una señal es el proceso de adquirir sus valores sólo en puntos discretos en el t iempo. La pr incipal razón para hacer lo de esta manera es que la mayor ía del p rocesamiento y análisis de señales en la actual idad se real iza median te computadoras digi tales. U n a computadora digital requiere que toda la información esté en la forma de números . Por lo tanto, las mues t ras se adquieren y a lmacenan c o m o tales. Pues to que la memor i a y capacidad de a lmacenamien to en masa de una computadora son finitas, sólo puede manejar un número de te rminado de números . E n consecuencia , si se va a utilizar una computadora digital para analizar una señal, ésta sólo se puede mues t rear durante un t iempo finito. La pregunta que se plantea en este capí tulo es, ¿has ta qué grado las mues t ras descr iben con exact i tud la señal de la cual se t oman? Se verá que la información se pierde, y en q u é grado , durante el mues t reo , lo cual depende de la manera en que se toman las muest ras . Se descubr i rá que dadas ciertas c ircunstancias toda, o prác t icamente toda, la información de la señal puede a lmacenarse en un n ú m e r o finito de muest ras .

El procesamiento de señales (muestreadas) en T D es más importante cada día. C o m o las operaciones realizadas con señales en T D se efectúan mediante computadoras que operan con base en números a lmacenados c o m o dígitos, un término que se ha hecho c o m ú n es el de procesamiento de señales digitales (PSD). Muchas operaciones con filtros analógicos ahora utilizan filtros digitales que operan basados en muestras de una señal, en vez de la señal en T C original. Los modernos sistemas de telefonía celular utilizan P S D para mejorar la calidad de voz, separar canales y conmutar usuarios entre celdas . Los sistemas de comunicac ión telefónica de larga distancia util izan el P S D para hacer más enc ien te el empleo de largas líneas troncales y enlaces de microondas . En los aparatos de televisión se usa el P S D para mejorar la calidad de la imagen. La visión robótica se basa en señales de cámaras que digitalizan (muestrean) una imagen y luego la analizan con técnicas de computac ión para reconocer rasgos. Los modernos s is temas de control en automóvi les , plantas manufactureras e ins t rumentación científica suelen contener procesadores que analizan señales y toman decisiones mediante el P S D .

OBTF.TTVOS n F I , rAPTTUT.O

1. Entender cómo se muestrean las señales 2. Determinar cómo debe muestrearse una señal en TC y en qué grado las muestras describen a la señal 3. Aprender cómo reconstruir una señal en TC a partir de sus muestras 4. Aplicar a las señales en TD todos los conceptos del muestreo desarrollados para las señales en TC

c(í)

• Tiempo de apertura

J

GURA 7.1 íeración de un dispositivo de muestreo y retención.

5. Aprender cómo usar la transformada de Fourier discreta y ver la forma en que se relaciona con otros métodos de Fourier

6. Aprender cómo el algoritmo de la transformada de Fourier rápida incrementa la velocidad de cómputo de la transformada de Fourier discreta

7.2 MÉTODOS DE MUESTREO El muestreo de señales eléctricas, usualmente voltajes, se efecttía de manera más común con dos dispositivos, el de muestreo y retención (M/R) y el convertidor analógico-digital (CAD). A veces estos dispositivos se acoplan en conjunto en un módulo electrónico. La excitación del M/R es el voltaje analógico en su entrada, y cuando se le agrega un reloj, reproduce ese voltaj e a la salida como respuesta y lo retiene hasta que se vuelve a activar el reloj pai-a adquirir otro voltaje (figura 7.1). En la figura, c(í) es la señal del reloj. La adquisición de la señal del voltaje de entrada del M/R ocurre durante el tiempo de apertura, que es el ancho de un pulso de reloj. Durante el pulso de reloj la señal del voltaje de salida se mueve con mucha rapidez desde su valor anterior para seguir la excitación. Al final del pulso de reloj la señal del voltaje de salida se mant iene en un valor fijo hasta que ocurre el siguiente pulso de reloj.

Un C A D acepta una exci tación de voltaje o corriente analógicas en su entrada y la convierte en un conjunto de bits binarios (un código) com o respuesta . L a respuesta del C A D puede estar en serie o en paralelo . Si la respuesta es en serie, p roduce sobre una terminal de salida un solo voltaje o corriente de respuesta que es u n a secuencia en el t i empo de voltajes altos y bajos que representan los unos y los ceros del conjunto de bits bina

rios. Si el C A D ü e n e una respuesta en parale lo , hay un voltaje o corriente de respuesta por bit y cada uno de éstos aparece en forma s imul tánea en una terminal de salida del C A D c o m o un voltaje o corriente alto o bajo que representa a un uno o un cero en el conjunto de bits binar ios (figura 7.2). Casi s iempre un C A D es precedido por un M / R para mantener constante su exci tación durante el t i empo de convers ión .

La exci tación del C A D es una señal en TC , y la respuesta es una señal en T D . Dicha respues ta no sólo es de t i empo discreto sino que también está cuant izada y codificada. El número de bits binarios producidos por un C A D es finito. En consecuencia , el n ú m e r o de pat rones de bits únicos que puede produci r t ambién lo es. Si el número de bits que p roduce el C A D es n, el número de patrones de bits únicos que puede producir es 2". La cuantización es el efecto de convert i r un con t inum de valores de exci tación (infinito) en un n ú m e r o finito de valores de respuesta . Pues to que la respuesta t iene un error debido a la cuant ización, se dice que la señal t iene ruido y éste recibe el nombre de ru ido de cuantización. Si el número de bits que se usa para representar la respuesta es suf icientemente grande , el ruido de cuant ización es a m e n u d o despreciable en comparac ión con otras fuentes de ruido. Después de la cuant ización, el C A D codifica también la señal. L a codificación es la convers ión de un voltaje analógico en un patrón de bits binarios. De m o d o que la exci tación de un C A D es un voltaje analógico (TC), y la respuesta cor responde a u n a secuencia de números binar ios o códigos . La relación entre la exci tación y la respuesta de un C A D cuyo intervalo de voltaje de señal de entrada es - VQ < v ^ (r) < -t-Vp se ilustra en la figura 7.3 para un C A D de 3 bits. (Un C A D de 3 bits rara vez se usa en realidad, pero ilustra bastante bien el efecto de cuant ización porque el número de pat rones de bits únicos es pequeño y el ru ido de cuant ización es grande.) Los efectos de la cuant ización se observan con facil idad en una senoide cuant izada mediante 3 bits (figura 7.4). C u a n d o la señal se cuant iza a 8 bits, el error de cuant ización es m u c h o más pequeño (figura 7.5).

Lo opues to de una convers ión analógica-digital es ev identemente la convers ión digi tal-analógica, y el disposi t ivo que efectúa lo anterior recibe el nombre de conver t idor digi tal-analógico (CDA) . U n C D A acepta patrones de bits binarios c o m o exci tación y produce un voltaje analógico c o m o respuesta . Puesto que el número de patrones de bits únicos que acepta es finito, la señal de respuesta del C D A es un voltaje analógico cuant ízado. La relación entre la exci tación y la respuesta para un C D A se presenta en la figura 7.6.

En el material que sigue, no se considerarán los efectos de la cuantización. El mode lo para analizar los efectos del mues t reo será el del muest reador ideal en el sentido de que el ruido de cuantización de la señal de respuesta es cero.

CAD en serie

CAD en serie

CAD en paralelo

juunm ji_n_nnnn_n _n r-u—in

FIGURA 7.2 Operación del CAD en serie y en paralelo.

Senoide original Aproximación cuantizada a 3 bits

FIGURA 7.4 Senoide cuantizada hasta tres bits.

Cuantización a 8 bits

FIGURA 7.5 Senoide cuantizada a 8 bits.

7.2 Métodos de muestreo

Código de respuesta

011 -

010 -

001 •

000-

111 •

lio-101 •

100 •

- V n

FIGURA 7.3 Relación excitación-respuesta del CAD.

Voltaje de respuesta

_ Voltaje de excitación

- Código de excitación

— — — — o o o o

FIGURA 7.6 Relación excitación-respuesta del CAD.

En el capítulo 6 se presentó la idea de muest rear una señal mul t ip l icando un tren de pulsos por la señal y se le l lamó modulación de amplitud de pulsos (MAP) . Se aplicará ahora esa teoría al proceso de mues t rear una señal con un M/R. Cons idere una señal mues t reada x^(0 igual a la señal x(f) que se está mues t reando durante el t i empo de apertura de un M / R y cero en cualquier otro caso. Sea vv el t i empo de apertura del M / R y sea el t i empo entre las muest ras . En ese caso, de acuerdo con el capítulo 6,

, t \ 1 í t p( r ) = rect I — * — c o m b —

t \ Xpit) = x ( í ) p ( í ) = x ( í ) rect — * — c o m b —

1

Ts

(7.1)

(7.2)

Xpif) = wf, ¿ s i n c ( u ; ^ / , ) X ( / - kf,). A'——ce

(7.3)

410 CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

1 X ( / ) |

fm fm

Kif)\

M Función sinc

fs fm fm fs

FIGURA 7.7 Magnitudes de las TFTC de las señales original y maestreada.

L a T F T C de x^it), X^if), es un conjunto de réplicas de la T F T C de la señal original x(í) repet ida periódicamente a múl t ip los enteros de la tasa de mues t reo y mul t ip l icada también por el valor de la función sinc cuyo ancho se de termina por med io del t i empo de apertura w del M / R (figura 7.7).

Cuan to más corto sea el t i empo de aper tura del M/R, tanto más ancha resulta la función sinc. U n M / R ideal tendría un t i empo de aper tura de cero a fin de adquirir la señal de manera instantánea y permit i r un mues t reo m u y rápido. Cuando el t i empo de apertura t iende a cero, a una tasa de mues t reo constante , la T F T C de x^(f) t iende a cero porque la potencia de la señal M A P se aprox ima a ese mis m o valor. Si se modif ica ahora el p roceso de mues t reo para compensa r ese efecto hac iendo que el área de cada pulso de mues t reo sea uno en lugar de la altura, se obt iene

1 í t \ l í t p ( í ) = — rect - * — c o m b —

1

(7.4)

y, al de terminar la T F T C de x^(í),

oo

X p ( / ) = fsJ2 s inc (u - í : / , ) X ( / - kf,). (7.5) k=—cc

C u a n d o el t i empo de aper tura w t iende a cero, la función sinc se vuelve infini tamente ancha y se obt iene

l ím X ; , ( / ) = X 5 ( / ) = f s T X{f - kf,). w-<-0

Desde luego, en ese m i s m o l ímite,

(7.6) ¿ = — 00

l ím — rect ( ) = 8 ( í ) , (7.7)

1 / t l ím p ( í ) = — c o m b — = fs c o m b ( / j f ) . (7.8)

l ím Xp{t) = X8(f) = x ( f ) / , c o m b ( / s í ) - (7.9)

D e ese m o d o p(í) se vuelve u n a secuencia per iódica de pulsos unitar ios, espaciados por en el t i empo. Es te l ímite del mues t reador ideal representa lo que se denomina

muestreo por impulsos o a lgunas veces modulación por impulsos (figura 7.8). Al util izar este m o d e l o es pos ib le explorar la re lación entre una señal y mues t ras tomadas de ella y descubri r qué tan ráp ido se debe mues t rear para preservar la información en la señal.

7.3 REPRESENTACIÓN DE UNA SEÑAL EN TIEMPO CONTINUO MEDIANTE MUESTRAS

C O N C E P T O S C U A L I T A T I V O S

Multiplicador

x(0 ^ xs(0

Acombe//)

A

FIGURA 7.8 Un modulador de impulsos que produce una señal muestreada por impulsos.

x(r)

a)

Si se van a utilizar muestras de una señal en TC , en vez de la propia señal, la cuestión más importante y fundamental que debe resolverse es cómo muestrearla de manera que se retenga su información. Si la señal en T C puede reconstruirse exactamente a partir de muestras, entonces éstas contienen toda la información que hay en la señal. Debe decidirse qué tan rápido muestrear la señal en T C y qué tan largo debe ser el muestreo. C o m o una introducción a la pregunta implicada en la decisión relativa a cómo muestrear una señal, considere la señal x(í) en T C (figura 7.9a).

Suponga que esta señal se mues t rea a la tasa i lustrada en la figura 1.9b) Tal vez, la mayor ía de la gente diga de mane ra intuit iva que hay suficientes mues t ras en este caso para describir la señal de m o d o adecuado dibujando u n a curva uni forme a lo largo de los puntos . Parece ser que se p ierde poca información en el mues t reo porque en apar iencia se podr ía reconstruir la señal a part ir de las mues tras. ¿Qué ocurre con la tasa de mues t reo en la figura 7.9c)? ¿La tasa de mues t reo es adecuada? ¿Qué pasa con la tasa en la figura 1.9dl La mayor í a de las personas quizá coincidir ía en que la tasa de mues t reo en la figura 1.9d) es inadecuada. L a razón intui t iva para afirmarlo es que una curva uni forme dibujada de manera natural median te el t í l t imo conjunto mues t reado no sería m u y similar a la curva original. Si b ien la ú l t ima tasa de mues t reo resultó inadecuada para esta señal, quizá sea la mejor para otra (figura 7.10). Parece adecuado para la señal de la figura 7.10 porque es m u c h o más uniforme y de var iación más lenta.

De m o d o que hay una tasa mín ima a la cual es posible tomar las muestras para retener la información en la señal y depende de qué tan rápido varíe dicha señal con el t iempo. Esto es, depende del contenido de frecuencia de la señal. Se t iene una idea inmitiva en cuanto a qué tanto es suficientemente rápido, pero sería deseable decidir de manera exacta y concreta con base en algún t ipo de justificación matemática. La pregunta de qué tan rápido deben tomarse las muestras para describir una señal fue respondida de manera definitiva por Claude Shannon con su ahora famoso teorema de muest reo.

Para mostrar el resultado de Shannon es necesario construir primero un marco de referencia matemático preciso de notación y téciúca para describir el proceso de muestreo y después mostrar sus capacidades y límites. Se ha llegado a este punto con muy buenas técnicas de anáhsis para señales en T C y TD. Es tiempo de aplicarlas ahora al proceso de muestreo.

x[n]

x[n]

x[n]

d) —f—* '—n

FIGURA 7.9 a) Una señal en TC, y b) &d) señales en TD formadas muestreando la señal en TC a diferentes velocidades.

T E O R E M A D E M U E S T R E O D E S H A N N O N

Hasta ahora se han cons iderado de manera separada las señales en T C y T D . Se demos t ró en el capítulo 5 que si se mues t rea una señal x(f) en T C para formar una señal x[n] en T D , existe una equivalencia de información entre x[n] y una señal Xg( í) en T C que consiste sólo en impulsos cuyas intensidades son iguales que los valores de x [« ] . Claude Elwood Shannon 411


x[n] 1:1:

FIGURA 7.10 Una señal en TD formada al muestrear una señal que varía lentamente.

xW

\ I

I

W I 1 /

T i

Equivalencia de información

/ I

T 7

i i

FIGURA 7.11 Equivalencia de información entre una señal en TD formada muestreando una señal en TC y una señal de impulsos formada mediante el muestreo por impulsos de una señal en TC.

xs(0= £ x[«]8(r-«rj = x ( í ) / , c o m b ( / , r ) , (7.10)

d o n d e / . = es la tasa de mues t reo (figura 7 . 1 1 ) . Es to se observa en la re lación entre la T F T D de x[«] , X ( F ) , y la T F T C de Xg( í ) ,

X 8 ( / ) = X T F T D ( y ) . ^ Js

(7.11)

Esta equivalencia de información es importante porque si puede demost rarse que x[n] no sólo contiene toda la información en Xg(r) sino también en x(r), entonces se concluye que será posible (al menos en principio) reconstruir x ( 0 a partir de sus muest ras .

En la s iguiente exploración del mues t reo se usará una señal en T C c o m o e jemplo de comparac ión de los mé todos y conceptos , una función sinc,

x ( r ) = A sinc — . (7.12)

Para empeza r se de termina la T F T C de la señal .

X T F T C ( / ) = A u ; r e c t ( u ; / ) . (7.13)

IXTFTCÍ / ) !

Aw

1 2w

f F IGURA 7.12 Ejemplo de señal en TC y la magnimd de su TITC.

7.3 Representación de una señal en tiempo continuo mediante muestras

[En esta formulación la T F T C de x(í) se denotará por med io de X^^pj. , ( / ) y la T F T D de x[n] mediante Xjppjj ( F) para evitar confusión entre las dos funciones. Cada una de ellas es de una variable independiente continua distinta pues ambas se usan y la t r ans fo rmac ión /—>/ F se emplea para relacionar una con otra. La TFTC de Xg(f) se denotará simplemente mediante f) pues no hay una T F T D con la cual pueda confundirse.] La señal en T C y la magnitud de su TFTC se ilustran en la figura 7.12. Una razón por la cual se eligió esta señal como ejemplo es que su TFTC es cero para frecuencias / > 1/2vv. Esto la hace una señal de banda limitada.

A continuación se muestrea x(f) por impulsos con un t iempo entre muestras para producir la señal e n T D

x[n] = x{nTs) — A sinc (7.14)

y la señal de impulsos en T C de información equivalente

X8(r) = A sinc ( f s c o m b ( / j í ) = A V sinc f — ) 8(f - nT^). (7.15)

Puesto que x[«] es, en general , una señal en T D no periódica, el mé todo de Four ier apropiado para analizarla es la T F T D , que es

X T F T D ( - P ' ) = Awfs r e c t ( F u ) / , ) * c o m b ( F ) . (7.16)

La señal en T D y su T F T D se ilustran en la figura 7.13 para dos tasas de mues t reo diferentes. C u a n d o se comparan la T F T C de la señal en T C y la T F T D de la señal en T D formadas median te

mues t reo , existen algunas simil i tudes evidentes . Para esta señal de ejemplo, la T F T C es una función rec tángulo y la T F T D es una repet ición per iódica de las funciones rectángulo. La T F T C es

X T F T C ( / ) = Aw r e c t ( w / ) . (7.17)

y la T F T D es

X T F T D ( ^ ) = Awfs r e c t ( F i o / ) * c o m b ( í ' ) (7.18)

X T F T D T ( F ) = AwfsY, r e c t ( ( F - k)wfs). (7.19) k=~oo


x[«]

A *

i'

x[n]

A 7 r

2A

IXTFTDÍ^)!

|4A

- 2 - 1 J_ 1 2 4

- 2 - 1 i 1

FIGURA 7.13 Ejemplo de una señal en TD y la magnitud de su TFTD, para dos tasas de muestreo diferentes.

Si se toma de la sumatoria en (7.19) el rectángulo con k = O, Awf^ rect {Fwf^), y se efectúa el cambio de variable F -^f/L, se obtiene la transformación funcional

Awfs Tect{Fwfs) Awfs r e c t ( w / ) .

Si después se mult ipl ica este resul tado por T^, se obt iene

T ; [Awfs r e c t ( F w / , ) ] = Aw r e c t ( « ; / ) = X T F T C ( / ) -

(7.20)

(7.21)

Así, por lo menos a partir de este e jemplo, parece que una forma de recuperar la señal en T C a partir de la señal en T D formada por mues t reo es seguir los siguientes c inco pasos :

1. De te rminar la T F T D de la señal en T D .

2 Aislar la función ^ = O del paso 1.

3. Efectuar el cambio de variable F flf^ en el resul tado del paso 2.

4. Mul t ip l icar el resul tado del paso 3 por T^.

5. De te rminar la T F T C inversa del resul tado del paso 4.

E n las i lustraciones previas , el t i empo entre mues t ras s iempre fue menor que w. ¿Qué sucede si T es mayor que wl E n ese caso en la expres ión

X T F T D ( F ) = Awf, ' • e c t ( ( F -k)wf,) (7.22) k=-<yo

la función rec tángulo se traslapa en la sumator ia T F T D y la forma de X j-pj. ya no es obvia cuando se observa X^^^ (figura 7.14). Cuando esto sucede ya no es posible , al considerar s implemente la T F T D , extraer la T F T C de la señal en T C original y a part ir de ahí reconstruir la .

En este punto la equivalencia de información entre [n] y Xg(f) se vuelve m u y útil. Imag ine que se forma Xg(í) al muest rear por impulsos x(r) c o m o se indica median te

X5(í) = ¿ x [ « ] 8 ( / - nT,) = x ( f ) / . c o m b ( / , f ) . (7.23)

x[n]

\ | '

- 2 - 1 1 1 2 4

X8(0

|X8(/)I

2A

~ 2 / , - / 4 / , 2 / ,

xgíf)

<1 ^5 4

TJT—*- n

|X8(/)|

415 7.3 Representación de una señal en tiempo continuo mediante muestras

FIGURA 7.14 FIGURA 7.15 Una señal submuestreada y su TFTD, Ejemplo de señal muestreada por impulsos y la magnimd de su

TFTC, para dos tasas de muestreo diferentes.

Entonces , pues to que Xg(í) es una función en T C , es posible de terminar su T F T C , oc

X 8 ( / ) = X T F T C ( / ) * comb(r , / ) = fsYl X T F T C ( / - kf^). k=-oo

d o n d e / = 1/7^. Para la señal de e jemplo,

X T F T C ( / ) = Aw r e c t C w / ) .

Por lo tanto,

y esto es lo m i s m o que

X8(/) = / ^ r e c t ( u ; ( / - fe/J),

(7.24)

(7.25)

(7.26) í:=—co

X T F T D ( F ) | f ^ ^ / ^ , - Awfs ¿ rect (J^^ - wf^^

OC

= Awfs J2 r e c t ( ( / - f c / , ) i ( ; )

(7.27)

(figura 7.15). Si O < < w, en el intervalo de frecuencia - (/j /2) < / < fJ2, Xj^^^ (f) y X g ( / ) son idénticas

salvo por un factor de e s c a l a m i e n t o / . Por lo tanto, si Xg(Ose filtrara median te un filtro pasabajas cuya frecuencia de corte está en a lguna parte entre 1/2 w y / - ( 1 / 2 ^ ) y cuya ganancia es T^, la salida del filtro s e n a exac tamente la m i s m a que la señal original x(r), pero sólo si O < 7^ < w (figura 7.16).

Si T s w, los rec tángulos en

X8(/) = / . ^ r e c t ( u . ( / - kf^)) (7.28) k = - x |XB(/)I p i , „

/ pasabajas ideal

1 - /

se t raslapan y en este caso no es pos ib le recuperar la señal original fi l trándola con un filtro pasabajas ideal.

Este análisis se hizo para una señal de ejemplo, una función sinc. Ahora pueden generalizarse los resultados. La función sinc es de banda limitada porque más allá de cierta frecuencia máx ima su T F T C es cero. La razón por la que fue factible recuperar la información F IGURA 7.16 se debió a que cuando se muestrea por impulsos una versión de la señal con un t iempo entre Recuperación de la señal en TC muestras O < T^< w, la forma de la T F T C de la señal muestreada por impulsos y la T F T C original utilizando un filtro pasabajas de la señal original resultaban idénticas en el intervalo de frecuencia -(fJ2) <f< fJ2. ideal.


| X ( / ) | |X8(/) |

... Af

1 fs fin m fs

FIGURA 7.17 Magnitud del espectro de amplitud de una señal de banda limitada.

FIGURA 7.18 Magnitud del espectro de amplitud de una señal estrictamente de banda limitada que se ha muestreado por impulsos a cuatro veces su frecuencia más alta.

L o anterior ocurrió debido a que las réplicas de la T F T C de la señal original que aparece en la T F T C de la señal muest reada por impulsos no se traslapan. Dichas réplicas reciben el nombre de alias. Si la señal en T C original no es de banda limitada, los alias se traslaparán y no se podrá recuperar la señal original a partir de las muestras con un ni tro pasabajas ideal. El requerimiento O < T^< w equivale a/^ > 1/vv = , donde/^^ es la frecuencia más alta presente en la señal original. Por lo tanto, para ser capaces de recuperar una señal en T C a partir de muestras tomadas de ella, la tasa de muestreo debe ser más de dos veces mayor que la frecuencia más alta presente en la señal.

Esta descr ipción de los efectos del mues t reo se formuló en términos del mues t reo por impulsos y la T F T C de la señal mues t reada por impulsos . Se real izó un a rgumento análogo antes en té rminos del mues t reo de la señal en T C para formar una señal en T D y luego manipula r la T F T D de esa señal . Los dos métodos para el análisis de los efectos del mues t reo producen la m i s m a conclusión.

Suponga que la magni tud de la T F T C , i X ( / ) ¡ , de una señal x(f) en T C de banda h in i tada es c o m o se ilustra en la figura 7.17. Entonces se mues t rea por impulsos x(r) para formar Xg( , ' ) . La manera en que se verá X g ( / ) dependerá de las relaciones e n t r e y / ^ , , . Sea /^ = 4 / ^ . En ese caso ! X g ( / ) | se verá c o m o se i lustra en la figura 7 .18. Estas vers iones desplazadas del espectro original que se presentan en múl t ip los enteros de la tasa de mues t reo se denominan alias porque se observan similares al espectro original pero aparecen en un lugar diferente. (En el uso más c o m ú n de la pa labra alias, los criminales los ut i l izan cuando aparecen también en diferentes lugares.) Observe que en este caso sería fácil (en principio) recuperar la señal original a partir de la mues t reada por impulsos median te el s imple filt rado de esta ú l t ima con un filtro pasabajas de ganancia unitaria ideal cuya frecuencia de corte se encuent ra entre/^^ y / 5 ~ f,n y d ividiendo después el resul tado entre

Considere ahora que /^ = 2/ ,. Las porciones distintas de cero de los alias ahora apenas se tocan (figura 7.19), y el filtro pasabajas ideal aún podría recuperar la señal original de la señal en T D si su frecuencia de corte se fijara en exac t amen te / ^ [y si no hubiera impulso en X(/) en e x a c t a m e n t e / ^ ] . Si la tasa de muestreo tuviera cualquier valor inferior a 2/,^, los ahas se traslaparían y ningún filtro recuperaría la señal original de manera directa a partir de la señal muestreada por impulsos. (En la jerga de la teoría de muestreo, si se traslapan los alias, se afirma que la señal muestreada por impulsos tiene ahas. Esto puede evitarse prefiltrando una señal con un filtro analógico antialias que resüinge el ancho de banda de la señal a menos de la mitad de la tasa de muestreo antes de que dicho muestreo ocurra.)

Ahora puede enunciarse la forma más c o m ú n del teorema de mues t reo de Shaimon.

Si una señal se muestrea para todo tiempo a una tasa mayor que el doble de la frecuencia más alta a ia cual su TFTC es distinta de cero, entonces puede reconstruirse exactamente a partir de las muestras.

| X 5 ( / ) I

íWvV

fm fs

FIGURA 7.19 Magnitud del espectro de amplitud de una señal de banda estrictamente limitada que se ha muestreado por impulsos al doble de su frecuencia más alta.

La frecuencia más alta presente en una s e ñ a l / ^ se conoce como la frecuencia de Nyquist. La tasa mín ima a la cual es posible muestrear una señal y seguir reconstruyéndola a partir de sus muestras se conoce como la tasa de Nyquist, y siempre es 2/^^. (Harry Nyquist de los laboratorios Bell fue pionero en el anáhsis de señales y sistemas.) Tanto la tasa como la frecuencia describen algo que ocurre periódicamente. En este texto, la palabm frecuencia se referirá a las frecuencias presentes en una señal, y la palabra tasa se referirá a la forma en que una señal se muestrea. Una señal que se muestrea a una tasa mayor que la de Nyquist se dice que está sobremuestreada, y a una tasa menor que la de Nyquist se afirma que está submuestreada.

/ = 0 t = t = IT,

FIGURA 7.20 Posiciones angulares de la rueda de un vagón a cuatro tiempos de muestreo.

A L I A S D E F R E C U E N C I A

El fenómeno de formación de alias no es un concepto matemát ico exót ico que esté fuera de la exper iencia de las personas ordinarias . Casi cualquiera ha observado la formación de alias, pero quizá sin saber c ó m o l lamarlas . U n e jemplo m u y común de la formación de alias ocurre mient ras us ted mira la televisión. Suponga que ve una pel ícula de vaqueros en la televisión y que hay una imagen de un carretón t i rado por cabal los con ruedas que t ienen rayos . Si las ruedas del carretón giran poco a poco cada vez más rápido, se a lcanza un pun to en el cual parece que las ruedas dejan de girar hacia adelante y empiezan a hacer lo hacia atrás aun cuando el carretón evidentemente se esté mov iendo hacia adelante. Si se incrementara aún más la velocidad de rotación, las ruedas a la larga parecer ían detenerse y luego girarían de nuevo hacia adelante . El anterior es un e jemplo del f enómeno de formación de alias.

Aunque no es claro para el ojo humano, la imagen sobre la pantalla de televisión destella 30 veces por segundo (en Estados Unidos) . Esto es, la imagen se muestrea a una tasa de 30 Hz. La figura 7.20 muestra las posiciones de una rueda de rayos en cuatro instantes de muestreo correspondientes a diferentes velocidades rotacionales, empezando con la más baja en la parte superior y avanzando hacia la velocidad rotacional más alta en la parte inferior. (Se ha agregado un pequeño punto de índice en la rueda para que usted observe la rotación verdadera de la misma, en oposición a la rotación aparente.)

Esta rueda tiene ocho rayos, por lo que mediante la rotación de un octavo de revolución completa la rueda se ve exactamente igual a como estaba en la posición inicial. Por lo tanto, la imagen de la rueda tiene un periodo angular de TT/4 rad, o 45° , el espaciamiento angular entre rayos. Si la velocidad rotacional de la rueda es / g revoluciones por segundo (Hz) la frecuencia fundamental de la imagen es 8/Q Hz. La imagen se repite exactamente ocho veces en una rotación completa de la rueda. En la fila de la parte superior la rueda rota de manera lenta, y en la segunda, tercera y cuarta imágenes de la fila superior los rayos han girado 5° , 10° y 15° en la dirección de las manecil las del reloj. El ojo y el cerebro del observador interpretan la sucesión de imágenes c o m o una indicación de que la rueda gira en el sentido de las maneci l las del reloj en virtud de la progres ión de ángulos en los instantes de mues t reo . En este caso la rueda parece estar (y está) g i rando a una frecuencia rotacional de la imagen de — (5/r^) gra-dos/s. En la segunda fila, los ángulos de rotación son 0° , 20° , 40° y 60° en la dirección de las maneci l las del reloj . L a rueda sigue aparec iendo (correctamente) c o m o si girara en dirección de las maneci l las del reloj , pero ahora a una frecuencia rotacional de —(20/7^) gra-dos/s . En la tercera fila, la rueda gira en dirección de las maneci l las 22.5° entre muest ras . Ahora empieza la ambigüedad causada por el mues t reo . Si el pun to de índice no estuviera ahí, sería imposible

determinar si la rueda gira a una frecuencia rotacional de —(22.5°/rp o +{22.5°IT^) debido a que las muest ras de la imagen son idénticas para ambos casos . Es imposible , al ver s implemente las imágenes de la muest ra , de terminar si la rotación va en el sentido de las maneci l las o en el sentido contrario. En la cuarta fila la rueda gira 40° en la dirección de las maneci l las del reloj entre muestras . Ahora ( ignorando el punto del índice) la rueda aparece defini t ivamente rotando a +(5/T^) grados/s en vez de la frecuencia rotacional real de —(40/7^) grados/s . La percepción del cerebro h u m a n o corresponder ía a que la rueda gira 5° en sentido contrar io al de las maneci l las del reloj entre mues t ras en vez de 40° en la dirección de las maneci l las . En la fila inferior la rueda gira en el sent ido de las maneci l las del reloj 45° entre muest ras . En este caso la rueda parece mantenerse fija aun cuando gira en la dirección de las maneci l las del reloj . Su velocidad angular parece ser cero debido a que se mues t rea a una tasa exac tamente igual a la frecuencia fundamental de la imagen .

Lento

Rápido

t= 3 7 ,

Harry Nyquist, 7 /2 /1889^/4 1976


EJEMPLO 7.1

Determine la frecuencia y la tasa de Nyquist para cada una de las siguientes señales.

a) x(f) = 25 eos (500-17 í)

b) x(0 = 15 rect (^)

c) x(í) = 10 sinc (5í) d) x(0 = 2 sinc (5 000/0 sen (500 000 TTÍ)

Solución

d) X ( / ) = y [ 8 ( / - 250) + 8 ( / + 250)] (7.29)

La frecuencia más alta (y única) presente en esta señal es 250 Hz. La frecuencia de Nyquist es 250 Hz y la tasa de Nyquist corresponde a 500 Hz.

X ( / ) = 30 s i n c ( 2 / ) (7.30)

Puesto que la función sinc nunca se hace cero y se mantiene ahí a una frecuencia finita, la frecuencia más alta en la señal es infinita y la frecuencia y la tasa de Nyquist también son infinitas. La función rectángulo no es de banda limitada.

c) X ( / ) = 2 rect ( | (7.31)

La frecuencia más alta presente en x(í) es el valor d e / a l cual la función rect tiene su nansición discontinua de uno a ce ro , /= 2.5 Hz. Por consiguiente, la frecuencia de Nyquist es 2.5 Hz y la tasa de Nyquist corresponde a 5 Hz.

d) X ( / ) = 1

2 500 rect I * - [ 8 ( / + 250 kHz) - 8 ( / - 250 kHz)]

5 0 0 0 / 2

X ( / ) = }

5 000

La frecuencia más alta en x(í) ocurre a

rect / -H 250 kHz

5 000 — rect

/ - 250 kHz 5 000

/ = 252.5 kHz.

(7.32)

(7.33)

(7.34)

Por lo tanto, la frecuencia de Nyquist es 252.5 kHz y la tasa de Nyquist corresponde a 505 kHz.

EJEMPLO 7.2

Suponga que se sabe que una señal que se obtendrá mediante un sistema de adquisición de datos tiene un espectro de amplitud que es plano más allá de 100 kHz y que decae repentinamente ahí hasta cero. Suponga además que la tasa más alta a la cual el sistema de adquisición de datos puede muestrear la señal es igual a 60 kHz. Diseñe un filtro pasabajas RC antialias que reducirá el espectro de la amplitud de la señal a 30 kHz hasta menos de 1 por ciento de su valor a frecuencias muy bajas de manera que la formación de alias se minimizará.

• Solución La función de transferencia del filtro pasabajas RC de ganancia unitaria está dada por

H ( / ) = -1

jl'ufRC + 1

La magnitud al cuadrado de la función de transferencia está dada por

1 | H ( / ) | ^ =

{l-nfRCY- + 1

(735)

(736 )

Se fija la constante de tiempo RC de manera que a 30 kHz la magnitud al cuadrado de H(/) sea (0.01)2. g^f^ gg

H(30 000) |- =

AI despejar RC,

1

( 2 i T X 30 000 X RCY + 1 = ( 0 . 0 1 ) 1 (7.37)

RC = 0.0005305. (7.38)

La frecuencia de corte (la de —3 dB) de este filtro pasabajas RC es 300 Hz, que es 100 veces inferior que la frecuencia de Nyquist de 30 kHz (figura 7.21). Dicha frecuencia debe fijarse en este valor bajo para cumplir con la especificación mediante un filtro de un polo porque su función de transferencia decae de manera muy lenta con la frecuencia. Por esta razón la mayoría de los filtros antialias se diseñan con atenuaciones progresivas mucho más rápidas.

¡ H d B ( / ) l

30 000

FIGURA 7.21 Diagrama de Bode de la respuesta en frecuencia del filtro pasabajas RC antialias.

S E Ñ A L E S D E T I E M P O L I M I T A D O Y D E B A N D A L I M I T A D A

Recuerde que el enunc iado matemát ico original de la forma en que una señal se mues t rea por impul sos es

X 8 ( 0 = £ x ( « r , ) 8 ( í - n r , ) . (7.39)

Puesto que la sumator ia es de « = — a -l-oo, en general , se necesi ta un número infinito de muest ras para describir con exacti tud x(í) . El t eorema de mues t reo de Shannon se basa en mues t rear de esta manera . Así , aunque ha sido encont rada la tasa de mues t reo mín ima, y tal vez sea finita, es necesar io (en general) seguir t o m a n d o infinitas muest ras para reconstruir de manera exacta la señal original a partir de sus mues t ras , incluso si es de banda l imitada y se mues t rea a una tasa m a y o r que el doble de la frecuencia más alta. Dent ro de poco se regresará al p rob lema de la neces idad de muest ras infinitas.

Es tentador pensar que si una señal es de tiempo limitado (que tiene valores distintos de cero sólo en un per iodo finito), entonces sólo sería posible muestrearla en ese t iempo, sabiendo que todas las demás muestras son cero y que se tiene toda la información en la señal. El problema con esa idea es que ninguna señal l imitada en t iempo puede también ser limitada en banda y, en consecuencia, n inguna tasa de muestreo finita resulta adecuada.

El hecho de que no sea posible que una señal sea tanto l imitada en t iempo c o m o l imitada en banda es una ley fundamental del análisis de Fourier. L a val idez de esta ley se demues t ra median te el siguiente a rgumento . Sea una señal x(f) que no tiene valores distintos de cero fuera del in tervalo de tiempo íj < f < Sea su T F T C igual a X ( / ) . Suponga por ahora que x(í) es también de banda hmitada, esto es, que la magni tud X ( / ) es cero para f r ecuenc ias /mayores en magni tud q u e / ^ donde / ^ es finita. Si x(r) está l imitada en t i empo en el intervalo de tiempo f, < í < t^, en tonces es posible mult ipl icar la por una función rec tángulo cuya porción distinta de cero abarque este m i s m o intervalo de tiempo sin cambiar la señal . Es to es .

x ( í ) — x(f) rect Ai

(7.40)

donde t^ = (íj + )/2 y ^t = t^ = t^ (figura 7.22). Al de terminar la T F T C en ambos lados de (7.40),

X X ( / ) = X ( / ) * A i s inc(A?/)e -^'2'"^'». (7.41) 419

FIGURA 7.22 Función de tiempo limitado y un rectángulo limitado al mismo tiempo.

Esta úl t ima ecuación indica que X(/) no se ve afectada al convolucionarse con una función sinc. Puesto que (A//") tiene una extensión infinita, si se convoluciona con una X ( / ) que tiene una extensión finita, c o m o se supuso, la convolución de las dos tendrá una extensión infinita. En consecuencia, n inguna X ( / ) que tenga una extensión finita satisface la úl t ima ecuación. Lo anterior viola la hipótesis original, por tanto prueba de ese m o d o que si una señal es limdtada en t iempo no puede ser l imitada en banda. L o in

verso, que una señal limitada en banda no pueda ser limitada en t iempo, se demuestra mediante un argumento similar. Es posible que una señal sea ilimitada tanto en t iempo como en frecuencia, pero no es factible que sea limitada tanto en t iempo como en frecuencia.

M U E S T R E O D E S E Ñ A L E S P A S A B A N D A

El teorema de mues t reo de Shannon, c o m o se enunció antes, se basó en una idea s imple: si se mues t rea suficientemente rápido, los alias no se t ras lapan y es posible recuperar la señal original . Se encontró que si se mues t rea más rápido que el doble de la frecuencia más alta en la señal es factible recuperar la a partir de mues t ras . Es to es vál ido para todas las señales, aunque en algunas puede reducirse la tasa de mues t reo mín ima.

Al formular el a rgumento de que debe mues t rearse a una tasa mayor que el doble de la frecuencia más alta en la señal, se supone de manera implícita que si se mues t rea con cualquier valor más lento los alias se traslaparán. En los espectros que se ut i l izaron antes para ilustrar las ideas, los alias se t raslaparon. Sin embargo , eso no es cierto para todas las señales. Por e jemplo, sea una señal en T C que t iene un espectro pasabanda que es dist into de cero sólo para / , < j /1 < ¡2-Entonces el ancho de banda de la señal es / , - / j (figura 7.23). Si se mues t rea la señal c o n / ^ < 2 / 2 se obtendrían los alias i lustrados en la figura 7.24. Estos ahas no se traslapan. Por lo tanto, debe ser posible, con el t ipo correcto de procesamiento de señales, recuperar la señal a partir de las muest ras . En este caso el t ipo correcto de procesamiento de señales sería filtrar la señal muest reada por impulsos con un filtro pasabanda ideal que sólo abarque el i n t e r v a l o < ¡/j < / 2 . En el enunc iado anterior del teor e m a de mues t reo se tenía que conocer la frecuencia más alta en la señal para saber qué tan rápido mues t rear y c ó m o filtrar la señal mues t reada por impulsos para recuperar la original . En este enunciado más general del teorema de muestreo se necesita conocer la banda de frecuencias que ocupa la señal y ut ihzar un filtro ideal que abarque esa banda para recuperarla.

La e lección de la tasa de mues t reo en la figura 7.24 fue fortuita. Se pudo haber e legido una tasa diferente en la cual se t raslaparan los alias. Esto podr ía haber ocurr ido incluso con una tasa de mues treo un poco más alta. Si se mues t rea a una tasa superior al doble de la frecuencia más alta, entonces n o hay forma de que los alias se t raslapen. La fórmula general para la tasa de mues t reo mín ima posible sobre la cual es factible recuperar la señal pasabanda a partir de mues t ras es

2/2

Entero más grande que no e x c e d a / j / í / , — / , ) (7.42)

Observe que s i / j = O, esto se reduce al t eorema de mues t reo de Shannon c o m o se enunció antes. En el caso especial en el q u e / 2 ~ "^^A ~ / i ^ ' donde m es un entero, la fórmula se vuelve

1h f,> — = lUi - fi) m

(7.43)

1X(/)1

| X 5 ( / ) I

•V • A- n - /2 - / l

-fl -fl

FIGURA 7.23 Un espectro de señal pasabanda.

FIGURA 7.24 El espectro de una señal pasabanda muestreada por impulsos.

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

la cual indica que la tasa de mues t reo mín ima absoluta en la si tuación más favorable es el doble del ancho de banda de la señal , no la frecuencia más alta. Sin embargo , es necesar io tener cu idado. Algunas tasas de mues t reo que son más altas pero atín menores que el doble de la frecuencia más alta provocarán que los alias se traslapen.

En si tuaciones de diseño de ingenier ía más reales , la solución práct ica es elegir una tasa de mues t reo que sea m a y o r al doble de la frecuencia más alta en la señal y, c o m o se verá dentro de poco , esa tasa suele estar muy por arriba de la tasa de Nyquis t para simplificar la reconst rucción de la señal.

I N T E R P O L A C I Ó N

¿ C ó m o podr ía reconstruirse exac tamente una señal a part ir de sus mues t ras , suponiendo que se ha mues t reado de manera apropiada? L a descr ipción del p roceso de reconst rucción en el dominio de la frecuencia consist ió en filtrar la señal mues t reada por impulsos con un filtro pasabajas ideal que corta arriba def^ y debajo d e / — /^^ y t iene una gananc ia de T^. (figura 7.25).

S e a / ^ la frecuencia de corte del filtro. En ese caso


X(f) = T, rect J _

2fc X 8 ( / ) fm < /. < (/ - /,„). (7.44)

¿Cuál es la operación equivalente en el domin io del t i empo? Tomando la t ransformada inversa.

x ( í ) = 2 / , r , s i n c ( 2 / , r ) * x^{t) = 2 ^ s i n c ( 2 / , í ) * X 8 ( r ) Js

y c o m o

X 8 ( í ) = J2 x («7 : . )S( í - nTs),

es posible afirmar que

x ( 0 = 2 ^ J2 xinTs) smc(2f,{t-nTs)). f ^

(7.45)

(7.46)

(7.47)

El proceso de reconst rucción consiste en reemplazar cada mues tra por una función sinc, centrada en el t i empo de la mues t ra y es -

í f- \ calada 2 =~ veces el valor de la mues t ra y sumando después

todas la funciones creadas de esa manera . El proceso de hallar los valores de la señal entre muest ras se denomina interpolación.

Suponga que la señal se mues t rea exac tamente a la tasa de Nyquis t / = 2 4 . Ahora el r e q u e r i m i e n t o / , , < /^ < / - / „ no puede satisfacerse pues to q u e / , , = / ~ / „ . En estas condic iones , debe permit i rse que la frecuencia de corte del filtro y la frecuencia m á x i m a en la señal sean iguales . Esto funcionará s iempre y cuando el espectro de la señal no tenga un impulso en/ ,^ . (Si hay un impulso en/^, , éste se verá expues to a la formación de alias en el proceso de muest reo. ) Entonces el proceso de interpolación se describe median te la expresión más s imple

|Xs( / ) l

Filtro pasabajas ideal

A ;

FIGURA 7.25 Rechazo de alias con un filtro pasabajas ideal.

t ( í ) = ^ x (« r j ) sinc t — nTs

Ts (7.48)

Ahora la interpolación consis te en mult ipl icar cada función sinc por su correspondiente valor de mues t reo y en sumar- después todas las funciones sinc escaladas y desplazadas c o m o se ilustra en la figura 7.26.

Este método de interpolación reconstruye la señal en forma exacta, pero se fundamenta en una suposición que nunca se justifica en la práctica: la disponibilidad de una cantidad infinita de mués-

FIGURA 7.26 Proceso de interpolación de una señal muestreada a su tasa de Nyquist.

x(í)

FIGURA 7.27 Reconstrucción de la señal retenida de orden cero.

tras. El valor interpolado en cualquier punto es la suma de las contribuciones de una cantidad infinita de funciones sinc ponderadas. Sin embargo, puesto que en la práctica no es posible adquirir una cantidad infinita de muestras, es necesario reconstruir la señal de manera aproximada utilizando un número finito de ellas. Existen muchas técnicas que es posible utihzar, y la selección de una de ellas en cualquier simación depende de la exactitud de la reconstrucción que se requiere y de qué tan sobremuestreada esté la señal.

Quizá la idea de reconstrucción aproximada más simple corresponda a dejar que la reconstrucción sea siempre el valor de la muestra más reciente (figura 7.27). Ésta es una técnica simple porque las muestras, en la forma de códigos numéricos, pueden ser la excitación de un C D A que se maneja mediante un reloj para producir una nueva señal de respuesta con cada pulso del reloj. La señal producida mediante esta técnica tiene una

^ ' forma de escalera que sigue (y retrasa) la señal original. Este tipo de reconstrucción de señal puede modelarse (excepto por efectos de cuantización) haciendo pasar la señal muestreada por impulsos a ttavés de un sistema denominado retenedor de orden cero cuya respuesta al impulso es

h ( / ) = 1 O < í < O en otro caso = rect (7.49)

(figura 7.28). Es posible compara r este s is tema de reconst rucción con un filtro de reconst rucción pasabajas ideal observando la función de transferencia del re tenedor de orden cero.

H ( / ) = sinc(r , /)e-- '"^^^ (7.50)

(figura 7.29).

h(í)

F IGURA 7.28 Respuesta al impulso de un retenedor de orden cero.

|H(/) |

F IGURA 7.29 Función de transferencia de una retención de orden cero.

U n filtro de reconst rucción ideal incluiría el ancho de banda de la señal sin distorsión y excluir ía a todos los al ias. El re tenedor de orden cero no t iene un ancho de b a n d a absoluto c o m o el filtro de reconst rucción ideal porque la magni tud de su función de transferencia no es cero para todas las frecuencias más allá de a lguna frecuencia finita. En vez de eso su función de transferencia t iene un pun to nulo en el centro de cada alias y por lo general d i sminuye con la frecuencia. Las figuras 7.30 a 7.32 ilustran un espectro de la señal original después de que se ha mues t reado por impulsos , y los efectos de la re tención de orden cero en la reconst rucción de la señal original a partir de las muest ras .

El re tenedor de orden cero reduce el efecto de los alias, pero no los e ü m i n a por completó; además , no tiene una parte superior perfectamente p lana a bajas frecuencias c o m o el filtro de reconst rucción ideal, de m o d o que introduce cierta distorsión. U n a forma popular de reducir aún más los efectos de los ahas consiste en seguir la retención de orden cero con un

filtro pasabajas práctico que suavice los escalones provocados por el retenedor de orden cero. Éste (7.49), causa de manera inevitable un retraso con respecto a la señal original porque es causal .

Otra idea de reconstrucción natural es interpolar entre mues t ras con líneas rectas (figura 7.33). És ta es ev iden temente una aproximación mejor a la señal original , aunque es un poco más difícil de poner en práctica. C o m o se dibuja en la figura 7 .33, el valor de la señal interpolada en cualquier tiempo depende del valor de la mues t ra previa y del valor de la siguiente. L o anterior no puede efectuarse en t i empo real porque no se conoce el valor de la siguiente muestra . N o obstante , si existe la disposición para retrasar la señal reconstruida por un t i empo de mues t reo T^, es posible hacer que el proceso de reconstrucción ocurra en t i empo real y la señal reconst ru ida aparecería c o m o en la figura 7.34.

Esta interpolación puede l levarse a cabo s iguiendo el re tenedor de orden cero (7.49), median te un re tenedor de orden cero idéntica. Lo anterior significa que la respuesta al impulso de un filtro de reconstrucción de señales de tal t ipo sería la convoluc ión de la respues ta al impulso del re tenedor de orden cero cons igo misma .


Señal original

| X ( / ) |

Señal muestreada

| X , ( / ) |

nCURA 7.30 Los espectros de magnitud de la señal original y ie una versión muestreada por impulsos.

Función de transferencia del retenedor de orden cero

|H( / ) !

Señal reconstruida

1X,(/)H(/)|

fs

FIGURA 7.31 Magnitud de la función de transferencia de un retenedor de orden cero y el espectro de magnitud de la señal muestreada reconstruida utilizando el retenedor de orden cero.


Original Original

Reconstruida

f lGURA 7.32 Comparación entre la señal original y la •áal reconstruida en el ancho de banda de la señal « g i n a l en donde se muestra el efecto de la parte «perior redondeada de la función de transferencia

i éd retenedor de orden cero.

F IGURA 7.33 Reconstrucción de señal mediante una interpolación de línea recta.

x(í)

^ ^

.7.34 ucción de señal de línea recta retrasada por

r 'áempo de muestreo.

F IGURA 7.35 Respuesta al impulso de un retenedor de primer orden.

. ' í - ( r , / 2 ) _ h ( r ) = rect ( | * rect

t-{TJ2)\ = tri (7.51)

fenra 7 .35) . Este tipo de filtro se denomina un retenedor de primer orden. Su función de transferencia es

H ( / ) = Ts sinc2(^,/)e-^•2"•^^^ (7.52)

Esta función de transferencia es similar a la del re tenedor de orden cero pero atenúa más los alias porque su magni tud d isminuye más rápido con el aumento de la frecuencia.

Si dos retenedores de orden cero son mejor que uno, ¿tres son mejor que dos? L a respuesta es por lo general afirmativa si sólo se considera la uniformidad de la reconstrucción y se pasa por alto cualquier otro criterio c o m o la complej idad del sistema, el costo o el retraso. Cualquier retenedor de orden enés imo convolucionado con un retenedor de orden cero crea uno de orden {n + 1-ésimo que uniforma más la señal pero que al m i s m o t iempo retrasa más la señal reconstruida. La aceptación del retraso en la reconstrucción de la señal para obtener una reconstrucción más uniforme es un compromiso de diseño inherente y surge del mismo concepto que se aplica al diseño de los filtros casi ideales, en que cuanto más se t iende al filtro ideal, más t iempo debe esperarse para obtener la respuesta.

U n e jemplo muy familiar del uso del mues t reo y la reconstrucción de señales es la reproducción de un disco compac to de audio (CD) . U n C D a lmacena mues t ras de una señal musical que se han tomado a una tasa de 44.1 kHz . La mi tad de dicha tasa de mues t reo es 22.05 kHz . L a respuesta en frecuencia del o ído h u m a n o se toma de manera conveniente para que se expanda desde aprox imadamente 20 Hz hasta 20 k H z con a lguna variabi l idad en ese intervalo. Así , la velocidad de mues t reo es un poco mayor que el doble de la frecuencia más alta que puede detectar el o ído h u m a n o .

1

M U E S T R E O D E U N A S E N O I D E

El punto central del análisis de Fourier es que cualquier señal puede descomponerse en senoides (reales o complejas) . Por lo tanto, se explorará el mues t reo cons iderando algunas senoides reales mues -treadas por arriba, por abajo y a la tasa de Nyquis t . En cada e jemplo ocurre una mues t ra en el t i empo f = 0. Esto fija una relación de fase definida entre una señal matemát ica descri ta exac tamente y la form a en que se muestrea . (Esto es arbitrario, pero s iempre debe haber una referencia del tiempo de mues t reo , y cuando se obt iene un mues t reo para t i empos finitos, la pr imera muest ra estará s iempre en el t iempo ? = O, a menos que se es tablezca de otra manera . )

Caso 1 U n coseno muestreado a una tasa que es cuatro veces su frecuencia o al doble de su tasa de Nyquist (figura 7.36). Es claro en este caso que los valores de la muestra y el conocimiento de que la señal se muestrea lo suficientemente rápido resultan adecuados para describir de manera única esta senoide. Ninguna otra senoide de esta o cualquier otra frecuencia por debajo de la mitad de la velocidad de muestreo podría pasar exactamente a través de todas las muestras en el intervalo de t iempo completo < « < -l-x. De hecho, ninguna otra señal de ningún tipo que sea limitada en banda y esté por debajo de la mitad de la velocidad de muest reo pasaría exactamente a través de todas las muestras .

Caso 2 U n coseno muestreado al doble de su frecuencia o en su tasa de Nyquist (figura 7.37). ¿Este muestreo es adecuado para determinar en forma única la señal? No . Considere la señal senoidal en la figura 7.38, que es de la misma frecuencia y pasa exactamente por las mismas muestras . Éste es un caso especial que ilustra la sutileza mencionada antes en el teorema del muestreo. Para tener la certeza de reconstruir en forma exacta cualquier señal general a partir de sus muestras, la tasa de muestreo debe ser mayor, nunca igual, que la tasa de Nyquist . En ejemplos anteriores eso no importaba porque la potencia de señal en la frecuencia de Nyquist era cero (sin impulso en el espectro de ampl imd correspondiente) . Si hay una senoide en una señal, exactamente en su límite de banda, el muestreo debe exceder la tasa de Nyquist para la reconstrucción exacta, en general. Observe que no hay ambigüedad con respecto a la frecuencia de la señal. Sin embargo, sí se presenta en cuanto a la amplitud y la fase, como se ilusü-a en las figuras. Si se hubiera aplicado el procedimiento de la interpolación de la función sinc a las muestras de la figura 7.38 hubiera resultado el coseno de la figura 7.37 que se muestreo a sus valores máximos .

x[«] x(í)

x[«l

1 1

\ 1 \ 1

1 V 1 í ; 1 ; I ¿

\ ' \ ' \ 1

\ \ \

\ \ \

T ( /

/ Vi t ^ 1 \ 1 \

1 \

1 \ 1 \ 1 \

1 1

x(í)

/ \ 1 \ 1

^ '1 \ '

y \ > /

\ ' \ 1

\ \

\ \ \ \

1 / /

/

\ \ \ !\ 1 \

/ \

1

FIGURA 7.36 Coseno muestreado al doble de su tasa de Nyquist.

FIGURA 7.37 Coseno muestreado a su tasa de Nyquist.


/ 1 1 / \

I \i


FIGURA 7.38 Senoide con las mismas muestras como un coseno muestreado a su tasa de Nyquist.

Cualquier senoide a cierta frecuencia puede expresarse como la suma de un coseno no desplazados cierta amplitud a la misma frecuencia. Las amplitudes del seno y el coseno no recorridos dependen de rase de la senoide original.

A cosil-nfot + 0 ) = A cos(2 'n-/oí) c o s ( e ) - A sen(2'TT/of) s e n ( e )

A cos (27T / o r + Q) = A c o s ( e ) c o s ( 2 T r / o í ) + [-A s e n ( e ) ] sen(2'TTjíií)

A, A,

A C O S ( 2 I T / O ? + 6) = AcCos(2Tr /o í ) + A^ sen(2 iT/o í )

(7.53)

(7.54)

(7.55)

Coando una senoide se mues t rea exac tamente a la tasa de Nyquis t , la interpolación de la función sinc j roduce s iempre la parte coseno y d isminuye la parte seno, un efecto de alias. La par te coseno de una i«aioide general a m e n u d o recibe el nombre de parte en fase, y la parte seno muchas veces se conoce r.?mo la parte en cuadratura. L a e l iminación de la parte en cuadratura de una senoide puede verse sin j íñcul tades en el domin io del t i empo mues t reando una función seno no desplazada a la tasa de Ny-inist. Todas las mues t ras son cero (figura 7.39).

Si se agregara una función seno de cualquier amphtud a esta frecuencia (la mitad de la tasa de mues -T e o ) a cualquier señal y luego se muestreara de nuevo, las muestras serían iguales, como si la función « a o no estuviera ahí porque su valor es exactamente igual a ce-T. en cada t iempo de muestreo (figura 7.40). Por lo tanto, la par-s de cuadratura, o el seno, de una señal que está exactamente a a mitad de la tasa de muestreo no se presenta cuando se mues -l e a la señal.

Cmo 3 Una senoide muestreada a una tasa un poco mayor ase la de Nyquist (figura 7.41). En este caso, como la tasa de U B e s t r e o es mayor que la tasa de Nyquist , no todas las muestras

i ren en cruces por cero y existe suficiente información en las

X[í7] = x (n r , )

2 -1 _ 1

1 1

~2 -

A senCirn)

x(f )

stras para reconstruir la señal. Sólo hay una senoide cuya ÍBOiencia es menor que la mitad de la tasa de muestreo; de am-

1 fase y frecuencia únicas; y que pasa de manera exacta a wés de todas estas muestras.

x[«l I

l\ I \

x( f )

I -T—^ \ / \ /

x[n] + A sen(-n-«)

h V ^ / V V H' \/

nCURA 7.39 > muestreado a su tasa de Nyquist.

F IGURA 7.40 Efecto sobre las muestras de la adición de un seno a la mitad de la tasa de muestreo.


x(í)

x[n]

• './;

¡./V

FIGURA 7.41 Seno muestreado a un poco más de su tasa de Nyquist.

F IGURA 7.42 Dos senoides de frecuencia diferentes que tienen los mismos valores de muestra.

Caso 4 Dos senoides de frecuencias diferentes mues t readas a la m i s m a tasa con los m i s m o s valores de muest ra (figura 7.42). En este caso, la senoide de frecuencia inferior se sobremues t rea y la senoide de frecuencia superior se submuestrea . Es to i lustra la ambigüedad causada al submuestrear . Si sólo se tuviera acceso a mues t ras de la senoide de frecuencia más alta, es m u y probable que se interpretarían c o m o si provinieran de la senoide de frecuencia más baja.

Recuerde que el espect ro de una señal mues t reada es el espectro de la señal original , sólo que mul t ip l icado por la tasa de mues t reo y repet ido a múlt iplos enteros de la tasa de mues t reo . Si ése es el caso , y u n a senoide

x i ( í ) = A C O S ( 2 ' I T / O Í + e )

se mues t rea a una v e l o c i d a d / . , las muesü:as serán iguales que las de otra senoide

X 2 ( í ) = A C O S ( 2 T T ( / O + kf,)t + 9 ) .

(7.56)

(7.57)

donde k es cualquier entero (incluso uno negativo). Esto se demuestira con mayor facilidad expandiendo

el argumento de X2(í),

X 2 ( r ) = A cos(2TT/or + 2Tx{kf,)t + 0 ) . (7.58)

Las mues t ras ocurren en los t iempos nT^, donde n es un entero. Por lo tanto, los valores de la mues tra enés ima de las dos senoides son

xiinTs) = A cos(27i fonTs + 6 ) y

X2{nTs) = A cosilTTfonTs + 2'u{kf,)nT, + 9)

(7.59)

y, pues to que f^T^ = 1, la segunda ecuación se simplifica en

XjinT,) - A C O S ( 2 ' I T / O « 7 ; -|- Ikrrn + 9 ) . (7.60)

En ese caso , pues to que kn es el p roducto de enteros y, en consecuencia , t ambién es un entero, y pues to que agregar un múlt iplo entero de 2'IT al a rgumento de una senoide no cambia su valor,

X 2 ( n r , ) = A c o s ( 2 T T / o n 7 ; + Ikfin -H 9) = A cos(27rfonT, + Q) = XiinT,). (7.61)

7.4 MUESTREO DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO En las secciones 7.1 a 7.3 todas las señales que se mues t rearon eran en T C . Es posible t ambién mues trear señales en T D . Al igual que en el mues t reo de señales en T C , el pr incipal interés en el mues t reo de señales en T D es saber si la información se preserva. Hay dos mecan i smos complementa r ios que se utilizan en el procesamiento de señales en T D para cambiar la tasa de muestreo de una señal: diezmo e interpolación. El pr imero es un proceso en el que se reduce el número de muest ras , y en el segundo se incrementa el n ú m e r o de las mismas . Cons idere pr imero el d i ezmo.

Se mues t rea por impulsos u n a señal en T C mul t ip l icándola por un tren de impulsos en T C , una función c o m b en T C . D e mane ra análoga, es pos ib le mues t rear una señal en T D al mult ipl icar la por un tren de impulsos en T D , una función c o m b en T D . Cons idere que la señal en T D que se va a muest rear es x[n] . En tonces la señal mues t reada sería

7.4 Muestreo de señales en tiempo discreto

Xs[n] = x[n] combiv . [« ] , (7.62)

donde A ^ es el t i empo discreto entre mues t ras y la tasa de mues t reo en T D es = l/N^ (figura 7.43) . La T F T D de la señal mues t reada es

(7.63) XsiF) = X{F)®comh{N,F) = X ( F ) ® c o m b ( —

(figura 7.44) . Es evidente la similitud entre el muestreo en T D y en T C . En ambos casos, si los alias no se trasla

pan, la señal original puede recuperarse a partir de las muestras y hay una tasa de muest reo mín ima para recuperar las señales. La tasa de muestreo debe satisfacer la desigualdad F^ > 2F^, donde F^^ es la frecuencia en T D por arriba de la cual la T F T D de la señal en T D original es cero (en el per iodo fundamental base , ! FI < j ) . Esto es, para f < ! FI < 1 - F,,^ la T F T D de la señal original es cero. U n a señal en T D que satisface este requerimiento está l imitada en banda en el sentido en t iempo discreto.

D e igual m o d o que con el mues t reo en TC , si una señal se mues t rea de mane ra apropiada, es pos i ble reconstruir la a partir de las muest ras ut i l izando interpolación. El proceso de recuperar la señal original se descr ibe en el domin io de la frecuencia en T D c o m o una operación de n i t r ado pasabajas ,

X ( F ) = X , ( F ) 1

— rect F , 2 F ,

* c o m b ( F ) (7.64)

donde F^ es la frecuencia de corte en T D del filtro pasabajas ideal en T D . L a operación equivalente en el domin io en T D es una convoluc ión en T D ,

2 F x[n] = Xs[n] * — - s i n c ( 2 F c n ) .

Fe (7.65)

x[n l

comb4[nl

x , [n]

- 1 A A A A AJS-J\ AJK

1

nCURA 7.43 Un ejemplo de muestreo en TD.

FIGURA 7.44 TFTD de una señal en TD y una versión muestreada de ella.

En la apl icación práct ica del mues t reo de señales en T D , no t iene m u c h o sentido retener todos esos valores cero entre los puntos de mues t reo debido a que ya se sabe que son cero. En consecuencia, es común crear una nueva señal [«] que sólo t iene valores distintos de cero de la señal x^ [n] en T D para múlt iplos enteros del intervalo de mues t reo N^. El proceso de formar esta nueva señal recibe el n o m b r e de diezmo. El d i ezmo se discutió en forma breve en el capítulo 2. Las relaciones entre las señales están dadas por

X r f [ n ] = XsINsH] = xlNsti]. (7.66)

Esta operación es un esca lamiento en el t i empo en T D que, para A' j > 1, causa la compres ión de t iempo en T D , y el efecto correspondiente en el dominio de la frecuencia en T D es la expansión de frecuencia en T D . La T F T D de x^ [n] es

oo oo

X , ( F ) = Yl J2 ^.ÁNsn]e-^'-"' (7.67)

Es posible realizar un cambio de variable m - N^n, lo que produce oo

m = — o c m=múltiplo entero

de ;V,

(7.68)

Ahora, aprovechando el hecho de que todos los valores adicionales de x^[n\ entre los valores permit idos, m - múltiplo entero de N^, son cero, pueden incluirse los ceros en la sumatoria, con lo que se obtiene

(7.69)

D e manera que la T F T D de la señal con d iezmo es una versión escalada en frecuencia en T D de la T F T D de la señal mues t reada (figura 7.45). Observe con cu idado que la T F T D de la señal con diezm o no es una versión escalada en frecuencia en T D de la T F T D de la señal original, s ino más bien una versión escalada en frecuencia en T D de la señal original mues t reada en T D ,

í F \ (7.70)

Algunas veces se uti l iza el término muestreo reducido en lugar de d iezmo. El té rmino proviene de la idea de que la señal en T D se produjo mues t reando una señal en T C . Si esta ú l t ima fue sobre-mues t reada en cierto factor, entonces la señal en T D puede d iezmarse empleando el m i s m o factor sin perder información acerca de la señal en T C original , lo que reduce de esa manera la tasa de mues t reo efectivo o de mues t reo reducido .

x [ n ]

Xj[nl

FIGURA 7.45 Comparación de los efectos en el dominio en TD y en el dominio de la frecuencia en TD del muestreo y el diezmo.

1 X , ( F ) |

AF,-

- 1

A A A A J ^ A A A A F.

i x / f ) |

- 1 F. 1 ' 1


Lo opuesto del d iezmo es la interpolación o muestreo incrementado. El proceso es s implemente 429 : inverso del d iezmo. Los pr imeros ceros adicionales se ubican entre muest ras , y luego la señal crea- , ,

^ ^ TA Muestreo de de ese m o d o se filtra median te un filtro pasabajas en T D ideal. Sea x[«] la señal en T D original y señales en tiempo

. nsidere que la señal creada al agregar A ^ ^ 1 ceros entre muest ras es x^[n]. Entonces discreto

x , [ « ] = n

O

— es un entero

en otro caso

Esta expansión de x[n] en T D para formar x^[n] es el opues to exacto de la compres ión de x^[n] en T D para formar x^[n] en d iezmo, por lo que debe esperarse que el efecto en el domin io de la frecuencia en T D sea también el opuesto , una expans ión en T D por un factor de A ^ crea una compres ión de frecuencia en T D por el m i s m o factor

Xs{F) = X{NsF) (7.71)

Ifigura 7.46). La señal x^,[n] puede hacerse pasar por un filtro pasabajas para interpolar entre los valores distintos

de cero. Si se recurre a un filtro pasabajas de ganancia unitaria ideal con una función de transferencia

H ( F ) = rec t (AfjF) * c o m b ( F ) ,

ie obtiene una señal interpolada,

X , ( F ) = X , ( F ) [ r e c t ( A í , F ) * c o m b ( F ) ] ,

(7.72)

(7.73)

- 1

x.LnJ

|X(F)i

A,

|X.(F) |

-mí - 1

FIGURA 7.46 Efectos en los dominios en TD y de la frecuencia en TD, al insertar A ^ - 1 ceros entre muestras.

- 1

x,[n]

X;W

J_I_ T T T T ! T T T > . ^ ^ , . . . , A

|X(F)|

A ,

|X,(F) |

-1 ií 1

- 1 1 1 '

± 1 FIGURA 7.47 Comparación de los efectos de la expansión y la interpolación en el dominio en TD y en el dominio de la frecuencia en TD.


y la equivalente en el dominio en T D es

1 / n x , [ m ] = x j « ] * — smc y —

(figura 7.47). Observe que la interpolación median te el filtro pasabajas ideal de gananc ia uni tar ia int roduce un factor de ganancia de l/N^, lo que reduce la ampl i tud de la señal interpolada x¡[n] con respecto a la señal original x[n]. Es to puede compensa r se si se uti l iza un filtro pasabajas ideal con una ganancia de A' ,

H ( F ) = Ns r ec t (Af ,F ) * c o m b ( F ) , (7.75)

E.IEMPLO 7.3

en vez de u n a gananc ia unitaria.

Maestree la señal DBLPS

r x{t) = 5 sen(2 OOOiií) cos(20 OOOirí) (7.76)

a 80 kHz en u n periodo fundamental para formar una señal \[n] en TD, tomando cada cuarta muestra de x[n] para formar x^[n], y diezme x^[n] para formar x¿n]. Despue's realice un muestreo incrementado en x^[n] por un factor de ocho para formar x-[n].

• Solución Vea las figuras 7.48 y 7.49.

4

4

11 h L i l i I i 1 , ,

•l II f • 1 1

r

Xrfl"]

- 5 +

11 TT

f 1

J L T r 96

- 1

96

- 1

| X ( f ) |

5 4 +

lx,(f)|

f

| X / F ) |

5

FIGURA 7.48 Señales en TD original, muestreada y diezmada y sus TFTD.

FIGURA 7.49 Señales en TD original, con muestreo incrementado y filtradas por pasabajas en TD.

7.5 SEÑALES PERIÓDICAS DE BANDA LIMITADA En la sección 7.3 se v io cuáles eran los requer imientos para muest rear de manera adecuada una señal. También se aprendió que, en general , para la reconstrucción perfecta de la señal se requiere una cant idad infinita de muestras . Pues to que una computadora t iene una capacidad de a lmacenamiento finita, es impor tante invest igar métodos de análisis de señales en T D ut i l izando un nt imero finito de muest ras .

U n tipo de señal que es posible describir median te un nt imero finito de muestras es una per iódica de banda l imitada. El conoc imiento de lo que sucede en un per iodo es suficiente para describir todos los demás , y un per iodo es de longitud finita (figura 7.50). En consecuencia , un n ú m e r o finito de muestras para exac tamente un per iodo fundamental de una señal per iódica de banda l imitada tomadas a una tasa superior a la de Nyquis t const i tuye una descr ipción comple ta de la señal.

Cons idere que una señal en T D formada al muestrear una señal per iódica x(í) de banda l imitada por arriba de su tasa de Nyquis t es una señal

X[7J]

ílíL..iliL...í n n n

n = N, o

FIGURA 7.50 Señal en TC periódica de banda limitada y una señal en TD formada al muestrearla ocho veces por periodo fundamental.

F IGURA 7.51 Señal en TC periódica de banda limitada, y una señal en TD y una señal de impulsos en TC creada al muestrearla por arriba de su tasa de Nyquist.

7.5 Señales periódicas de banda limitada

- 3 9 0

- 3

FIGURA 7.52 Magnitudes de las transformadas de Fourier de las tres señales en el dominio del tiempo de la figura 7.51. - 3 9 0

i _ t

| X ( / ) 1

0.16

TFTC

— 1 - ^ / 390

|X(F)¡

0.16 TFTD

L i

\Mf)\

20.8 TFTC

t t l l l l t l l l l t t l l l l t l l l l t t l l l l l l l l l t l l l l t l l l l t t l l l l t l l l l t t

390

EJEMPLO 7.4

x[n] per iódica en T D , y que una versión mues t reada por impulsos de x(f) mues t reada a la m i s m a tasa sea XgíO (figura 7.51). En la figura 7.51 sólo se muestra un periodo de muestras para subrayar que dicho per iodo es suficiente para describir de manera comple ta a la señal per iódica de banda l imitada. M e diante las re laciones de Fourier deducidas en el capí tulo 5 se de terminan las t ransformadas de Fourier apropiadas de estas señales (figura 7.52).

La T F T C de x(f) consta sólo de impulsos porque es periódica y consiste en un ntimero finito de impulsos debido a que es de banda limitada. Así que un ntimero finito de niímeros caracteriza por completo a la señal en los dominios tanto del tiempo como de la frecuencia. Si se multiplican las intensidades del impulso en X ( / ) por la tasa de muestreo/^, se obtienen las intensidades del impulso en el mismo intervalo de frecuencias de Xg(/).

Determine la función armónica de la SFTC para la señal x(í) = 4 + 2 eos (20TTÍ) - 3 sen(40Trí) muestreando a una tasa mayor que la de Nyquist para exactamente un periodo fundamental y determine la función armónica de la SFTD de las muestras.

• Solución Hay exactamente tres frecuencias presentes en la señal: O, 10 y 20 Hz. Por lo tanto, la frecuencia más alta presente en la señal es 20 Hz y la tasa de Nyquist es 40 Hz. La frecuencia fundamental es el máximo común divisor de 10 y 20 Hz, que corresponde a 10 Hz. Así que se debe muestrear durante \^s. Si se fuera a muestrear la tasa de Nyquist por exactamente un periodo fundamental, se obtendrían cuatro muestras, si se fuera a muestrear de manera exacta un periodo fundamental por arriba de la velocidad de Nyquist, deben tomarse cinco o más muestras en un periodo fundamental. Para mantener simple el cálculo se muestreara ocho veces en el periodo fundamental. Esto es una tasa de muestreo de 80 Hz. Entonces, si se empieza el muestreo en el tiempo í = O, las muestras son

{x [0 ] ,x [ l ] , . . . , x [7 ] ) = 6, 1 -h V2, 4, 7 - V2, 2, 1 - V2, 4, 7 + V2 (7.77)

Al utilizar la fórmula para encontrar la función armónica de la SFTD de una función en TD,

XSFTD[^ ] = ~ E ^We-''^'"' (7.78)


se obtiene 433

>[0],Xs [ l ] , . . . . X s .[7]} = 4, 1, i | , O, O, O , 1 7.5 Señales periódi-

(7.79) cas de banda limitada

Éste es un periodo fundamental de la función armónica X^pj-j-, [le] de la SFTD de la función x[n] en TD. AI determinar la función armónica SFTC de x(f) = 4 + 2 cos(20"7Tf) — 3 sen(407Tr) de manera directa recurriendo a

[k] = — í x(í)e-' '^<*''»" dt To Jto

se obtiene

(Xs . [ - 4 ] , X s f t d [ - 3 ] , . . . , X s f t d [ 4 ] ) = 3 3

0 . 0 . - j - , 1,4, 1, j - , 0 , O •^2 2

(7.80)

(7.81)

En los dos resultados, los valores {X[0], {X[l], {X[2],{X[3], {X[4]) son iguales, y aprovechando el hecho de que Xgp^p [K] es periódica con periodo fundamental 8, { X [ - 4 ] , X [ - 3 ] , X [ - 2 ] , X [ ~ 1]} son también iguales.

Ahora se violará el teorema del muestreo tomando muestras a la tasa de Nyquist. En este caso hay cuatro muestras,

{x[0] ,x[ I ] ,x [2] ,x[3] ) = { 6 , 4 , 2 , 4 }

y la función armónica de la SFTD es

{X[0] ,X[1] ,X[2] ,X[3]} = { 4 , 1 , 0 , 1 } .

La función armónica de la SFTC es

{ X [ - 2 ] . X ( - 1 ] , . . . , X Í 2 ] } = 3 3

- / - . 1.4. 1, j -

(7.82)

(7.83)

(7.84)

Faltan los valores j , s de la función armónica de la SFTD. Éstos son los coeficientes de la función seno a 40 Hz. Lo anterior es una demostración de que cuando se muestrea una función seno exactamente a la tasa de Nyquist, no es posible verla en las muestras porque éstas se toman de manera exacta en los cruces por cero.

El lector atento quizá habrá notado que la descr ipción de una señal basada en mues t ras en el dominio del tiempo a partir de un per iodo fundamental consta de un conjunto finito de números x[n], ^ n < + A^Q, que cont ienen A^Q números reales independientes y que la correspondiente descr ipción de la función armónica de la S F T D de la señal en el dominio de la frecuencia incluye un conjunto finito de números X [ ^ ] , /TQ < A- < + N^, que cont iene A'Q números complejos y, por lo tanto, 2Nq números reales (dos números reales para cada número complejo , las partes real e imaginar ia) . Así, parecería que la descripción en el dominio del t iempo es más eficiente que en el dominio de la frecuencia pues se lleva a cabo con una menor cantidad de números reales. Sin embargo, ¿cómo es posible que suceda esto cuando el conjunto X[k], k^^ k < + Nq, se calcula directamente del conjunto x[«], n < «Q + Nq, sin ninguna información adicional? Una inspección más cuidadosa de la relación entre los dos conjuntos de números revelará que esta diferencia aparente es una ilusión.

Cons idere p r imero el coeficiente X [ 0 ] . Este se calcula median te la fórmula de la función a rmóni ca de la S F T D c o m o

(7.85) n = {Nn)

C o m o todas las x[n] son reales, X [ 0 ] debe ser real pues es s implemente el p romed io de todas las x[n] . Hay dos casos por considerar a cont inuación: A^Q par y A^Q impar.

Caso 1 par. Por s implicidad y sin pérdida de general idad, en

X [ ^ ] = — J2 -j-!r(kn/No) _ 1 ko+No-1

^ 0 , M « „ )

y X n e -j-nikn/Na) (7.86)


sea = ~-{NqI2). En tonces

X [ / : o ] = X No

n=(/Vo) (7.87)

y se garantiza que X [ ^ Q ] es real. Todos los valores de la función armónica de la S F T D en un per iodo, aparte de X [ 0 ] y X[-{N^J2)], ocurren en pares X [ ^ ] y X[~k]. Luego recuerde que para cualquier real x[n] , X[fc] = X * [ - f c ] . Esto es, una vez que se conoce X[k] también se conoce X [ - ^ ] . De tal m o d o , aunque cada X [ ^ ] cont iene dos ntímeros reales, y cada X [ - ^ ] también, X [ - ^ ] no agrega n inguna información pues ya se sabe que X[k] = X*[-k\. Esto es, X [ - ^ ] no es independiente de X[k]. Así que ahora se tienen, como números independientes, X [ 0 ] , X [ - (N^2)] para k positiva. Todas las X[fe] desde k = 1 hasta {Nq¡2)] - 1 producen un total de 2{{N^2) - í) = Nq - 2 números reales independientes. Se suman los dos coeficientes reales garantizados X [ 0 ] y X[-{N^2)], y finalmente se tiene un total de Nq números reales independientes en la descripción del domirúo de la frecuencia de esta señal.

Caso 2 Nq impar. Por simplicidad, y sin pérdida de general idad, considere k^^ = ~((-^o ^y^)-En este caso , s implemente se tiene X [ 0 ] más {Nq - l ) /2 pares conjugados complejos X [ ^ ] y X[-k]. Ya se ha visto que X[k] = X * [ - ^ ] . De m o d o que tenemos el n ú m e r o real X [ 0 ] y dos números reales independientes por par conjugado comple jo o A'Q - 1 números reales independientes para un total de Nq números reales independientes .

El contenido de la información en la forma de números reales independientes se conserva en el proceso de convert i r del domin io del t i empo al de la frecuencia.

7.6 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA Y SU RELACIÓN CON OTROS MÉTODOS DE FOURIER

L a técnica de análisis de Fourier que se usa más c o m ú n m e n t e en el m u n d o es la l lamada transformada rápida deT^ourier que es un a lgor i tmo eficieftte-^)aFa calcular la t ransformada de Fourier discreta (TFD) , que es casi idéntica a la S F T D . Las únicas diferencias reales son un factor de escala y la suposic ión de que la pr imera mues t ra de la señal en T C ocurre en el t i empo ? = 0. La S F T D de un conjun to de muest ras \[n] = x(nT^), O n < N^, a partir de la señal x(f) en T C se define median te el par de t ransformadas

k=0

X[k] ^ ^ " " ^ x[n]e-^'-^"''''^'> (7.88) 11=0

donde x[n] = x(nT^). La función armónica X [ ^ ] de la S F T D es per iódica con per iodo fundamental A^^, y, en general , la representación X[n] E T . » ' X[k]e'^'"('^'^F> es sólo vál ida para O ^ n < Np Si x[n] es per iódica con per iodo fundamental N^y Np= N^, entonces la representación x[n] 2"'.^' X[k]e'^'"<'''^'^F> es vál ida para toda n.

La T F D de ese m i s m o conjunto de muest ras se define mediante el par de t rasformadas

1 Nf-I

[n] = — E ^ W ' ^ ' " ' X n =

t:fv Nr-l

X[k] = E x[«]< -jlTiink/NF) (7.89)

k=0 n=0

De m o d o que la relación entre la función a rmónica de la S F T D y la T F D es

X T F D Í ^ ] = NfXsFTDÍk]. (7.90)

Una de las aplicaciones prácticas más importantes de la T F D es su uso como una aproximación de la T F T C . En el desarrol lo de la relación entre la T F T C y la T F D que sigue, todas las etapas de procesamien to desde la función en T C original hasta la T F D se i lustrarán median te una señal de e jemplo.

Cons idere una señal x(f) en T C que se mues t rea y que el n ú m e r o total de muest ras que se toman es

Nf = Tpfs, (7.91)

donde Tp es el t i empo de mues t reo total y / es la frecuencia de mues t reo . Entonces el t i empo entre 435 muestras es T donde

7.6 La transformada de Fourier discreta y

(7.92) su relación con otros métodos de Fourier

La señal original del e jemplo tanto en el dominio del t i empo c o m o en el de la frecuencia se mues t ra en la figura 7 .53.

El p r imer paso del p roceso en la convers ión de la T F T C en la T F D consiste en mues t rear la señal x(í) en T C para formar una señal x^[n] en T D .

Xs[n] = x{nTs). (7.93)

x(f)

I

La contrapar te en el domin io de la frecuencia de la función en T D es su T F T D . Si se emplean las re laciones entre los métodos de Fourier que se obtuvieron en el capí tulo 5, es posible escribir la T F T D de x^[n], X^( F), \--en términos de la T F T C de x(f), X ( / ) . Ésta es

X , ( F ) = / . X ( / , F ) * c o m b ( F ) = / , £ X ( / , ( F - « ) ) , (7.94)

una versión escalada en frecuencia y repet ida per iód icamente de X(/) (figura 7.54).

Señal aleatoria en TC

0.381

Fase de X ( / )

FIGURA 7.53 Señal en TC original y su TFTC.

Señal en TD formada muestreando la señal en TC Señal en TD con ventana

4 tTTt, ..tttTTtt...^

- 1 +

|X,(F)|

t t63 'MT . i tlU^ , „

Xmvl"] A

tnT.. . t t t t t t t t . ,

- 1 +

V A"°l A - 2

Fase de X / f ) Fase de X „ , ( F )

I - 2 i

63

nOURA 7.54 Señal original, muestreada en el tiempo para formar una señal en TD, y la TFD de la señal en TD.

mmm — TT \

FIGURA 7.55 Señal original muestreada en el tiempo y con ventana para formar una señal en TD, y la TFTD de esa señal en TD.

A cont inuación debe l imitarse el nt imero de mues t ras a aquellas que ocurren en el t i empo de mues t reo A^^ en T D total. Cons idere que el t iempo de la pr imera mues t ra es n = 0. (Ésta es la suposic ión que se hace por regla en la T F D . Podr ían uti l izarse otras referencias de t iempo, pero el efecto de una referencia de t i empo diferente es sólo un desp lazamiento de fase que varía l inealmente con la frecuencia.) Es to puede l levarse a cabo mul t ip l icando x^.[«] por una función de ventana,

w [ n ] = 1 O <n < Nf O otro caso

(7.95)

c o m o se ilustra en la figura 7 .55. Esta función de ventana t iene exac tamente A^^ valores dist intos de cero, el p r imero de los cuales ocurre en un t iempo discreto n = 0. L lámese a la señal en T D muest reada y ventaneada x^^^^.[n]. En tonces

x , „v [n ] = w [ « ] x ^ [ « ] = X j [ n ] O < n < Nf

O otro caso (7.96)

El proceso de hmitar una señal a un intervalo fmito Np- en t iempo discreto recibe el nombre de ventaneo, porque sólo se considera una parte de la señal muestreada que puede ser vista a través de una ventana en T D de longiUid finita. La función de ventana no necesita ser un rectángulo. A menudo se utilizan en la práctica otras formas de ventana para minimizar un efecto l lamado fuga (que se describirá después) en el dominio de la frecuencia. La T F T D de x^^ [n] es la convolución periódica de la T F T D de la señal x[n] en T D y la T F T D de la función de ventana w[n] ,

X „ , v ( F ) = W ( F ) ® X , ( F ) .

La T F T D de la función de ventana es

(7.97)

(7.98) «=o

W ( F ) = I - e-P--^ sen(TTF)

(7.99)

o, expresada c o m o una función de Dirichlet ,

W ( F ) = ¿.-/•"^(^' '- i 'Aff d r c K f , A ' f ) . (7.100)

Entonces

X „ , , ( F ) = e-'^^-'^'-'^Nf d r c K F , Nf) ® fs Y. ^^fs^^ " ^^'^^^^

o, empleando el hecho de que una convoluc ión per iódica con una señal per iódica es equivalente a una convoluc ión no per iódica con un per iodo fundamental de la señal periódica,

X ,„ . , ( f ) = / , [ í ? - ^ ' " ^ ' ' ^ ^ - " A f f d r c l ( f , Nf)] * X(fsF). (7.102)

D e m o d o que el efecto en el dominio de la frecuencia en T D del ven taneo en ü e m p o discreto es que la t ransformada de Fourier de la señal mues t reada en el t i empo se ha convoluc ionado de manera per iódica con

W ( f ) = e'^'^^^^'-^^Nf d r c l ( F , Nf) (7.103)

(figura 7.56).


TFTD de la ventana, w[«]

!w(f)|

3 2 - -

, .

La convoluc ión tenderá a dispersar X^{F) en el domin io de la frecuencia en T D , lo cual p rovoca que la potencia de X^(F) a cualquier frecuencia se fugue hacia frecuencias adyacentes en X^.^ (F). D e ahí es de donde proviene el té rmino fuga. El uso de una función de ventana diferente cuya T F T D esté más confinada en el domin io de la frecuencia en T D , min imiza (pero nunca puede el iminar por comple to) la fuga. C o m o puede verse en la figura 7.56, cuando aumenta el ni imero de mues t ras A^ , el ancho del lóbulo principal de cada per iodo fundamental de esta función d isminuye , lo cual reduce la fuga. D e m o d o que otra forma de reducir la fuga es usar un conjun to de mues t ras más grande.

En este punto del proceso se tiene una secuencia finita de números de la señal en T D , aunque la T F T D de la señal ventaneada es una función periódica en la frecuencia F en T D continua y, por lo tanto, no es apropiada para su a lmacenamiento y manipulación en computadora . El hecho de que la función en el dominio en T D se haya vuelto de t i empo l imitado mediante el proceso de ventaneo y el hecho de que la función en el dominio de la frecuencia en T D sea periódica permite muest rear en el dominio de la frecuencia en T D para un per iodo fundamental con el fin de describir de forma completa la función en el dominio de la frecuencia en T D . Resulta natural en este punto preguntar c ó m o debe muestrearse una función en el dominio de la frecuencia para reconstruirla a partir de sus muestras . La respuesta es casi idéntica a la del mues t reo de señales en el dominio del t iempo salvo porque el tiempo y la frecuencia han intercambiado papeles . La única diferencia es que las funciones en el dominio de la frecuencia son un poco más generales pues suelen ser complejas y no puramente reales c o m o las señales en el dominio del t iempo usuales. Las relaciones entre los dominios del t iempo y la frecuencia son casi idénticas debido a la dual idad de las t ransformadas de Fourier directa e inversa.

En el capítulo 5 se encontró que el mues t reo en el domin io de la frecuencia en T D corresponde a la repetición per iódica en el dominio en T D a través de la relación.

iVp =

= 16

¡W(F)|

32

Aff = 32

FIGURA 7.56 Magnitud de la TFTD de la función de ventana rectangular, w[n] = jo, O £ í! < Njr, para tres diferentes anchos de ventana,

l l , en otro caso

X „ [ ^ ] = - A x k \

Nf \NfJ (7.104)

donde x^[«] es una función per iódica en el dominio en T D formada mediante la repetición per iódica de una función x[n] , aperiódica en el dominio en T D X^[¿-], es la función a rmónica de la S F T D de Xp [n ] , y Np- es el per iodo fundamental de la repet ición per iódica (figura 7.57).

Por lo tanto, si se forma una repet ición per iódica de x^,^,[«],

oo

(7.105)

con per iodo fundamental A'^, su función armónica de la S F T D es

1 / k k es un entero (7.106)

o, a partir de (7.102),

X , , „ [ ^ ] = A , - ; T T F ( / V f - l ) Nf d r c l ( F , Nf) * X ( / , F ) (7.107)

El efecto de la ú l t ima operación, mues t reo en el domin io de la frecuencia en T D , algunas veces recibe el nombre de cercado. El efecto, en el domin io en T D , consiste en repetir de manera per iódica la

FIGURA 7.57 La equivalencia de muestrear en el dominio de la frecuencia y la repetición periódica en el dominio del tiempo.

Señal en TD, \ln]

x[n]

1 - -

-2

-2

64

|X(Í-)|

Fase de X(F)

x„[«]

1 +

- 3 2

- 3 2

Señal en TD repetida periódicamente, Xp[n]

64

0 . 5 - -

32

Fase de XJk]

íí

32

función en T D ventaneada, con un per iodo fundamental de Np (figura 7.58). Pues to que su longi tud distinta de cero es exac tamente A^^ ésta es una repet ición per iódica de x .j ,[n] con un per iodo fundamenta l igual a su longitud, por lo que las réplicas miíltiplos de x . .[n] no se t raslapan sino que sólo se tocan. Por lo tanto, x^^Jn] puede recuperarse de x_^ . [n] al aislar s implemente un per iodo fundamental de X^J^,j[M] en el intervalo en T D O n < Np .

El resul tado.

A Nf

Nf d r c l ( F , N f ) * X ( / , f ) F^klNe (7.108)

es la función a rmónica d e la S F T D de una extensión per iódica de la señal en T D formada al muest rear la señal en T C original durante un t i empo finito. Pues to que la T F D es igual que la función a rmónica de la S F T D salvo por el factor de escala de A^ , la expres ión equivalente en té rminos de la T F D es

X í h . . , , T D F [ ^ ] = A / F X s „ , , , S F T D [ ^ ] = / « [e -j-ñF(NF-l) TVf d r c K F , NF)*Xif,F)

F^k/Np'

(7.109)

La T F D de mues t ras de una señal en T C puede uti l izarse para aproximar la T F T C de la señal. La T F T C de una señal x(í) es

X ( / ) = j x{t)e-'^^f'dt.

— ce

C u a n d o se apl ica esto a señales que son causales , se obt iene

oo

X ( / ) = j x(t)e'J^^^'dt.

(7.110)

(7.111)


Señal en TD ventaneada y muestreada en frecuencia

t 1 —

- 1 +

TTTT.^.*ttTTTT*^TTTT.^.*ftTTTTt^TTTT.^.»ttTTTTt^TnT.^.«ttTTTTy * •«* t " " ' «

2.9154 •

63

TlLTttttft*I IT •TtttttT* - 3 2

» T t M t t t » l l l TII»TtftttT»IIT

Fase de X „ , , M

Win

439 7.6 La transformada de Fourier discreta y su relación con otros métodos de Fourier

32

FIGURA 7.58 * * Señal original, muestreada en el tiempo con ventana y

repetida periódicamente, para formar una señal en TD periódica y la función armónica de la SFTD de esa señal.

= s posible escribir esta integral en la forma

X ( / ) = ¿ í xit)e-^'--f'dt. (7.112)

7". es suficientemente pequeño , la var iación de x(r) en el intervalo de tiempo nl^ < t < (n + \)T^ - pequeña y la T F T C puede aproximarse mediante

(« + 1)7",

ce n

= ^x(«r , ) / e-^^-f dt (7.113)

\ / ) = ^x(«r , ) n=0 i'T, 11=0 J2^f

(7.114)

X ( / ) = ' ' TMnTs)e-^'-f"^' = Tse-^-f^' sinc(r,/) Yx{nTs)e-^'-f"'s (7.115)

(figura 7.59).

n=0

/I = O n = NF

FIGURA 7.59 Una señal en TC e intervalos mtíltiples sobre los cuales la integral de TFTC puede evaluarse.

Si x(f) es una señal de energía, entonces más allá de cierto t iempo su tamaño debe volverse despreciable y es posible sustituir el intervalo infinito de n en la sumator ia con un intervalo finito O ^ n < Np ,lo que produce

X ( / ) = T,e-^^-f^' sinc(r, /) ^ x(nT,)e-^^^-f"^'. n=0

Si se calcula la T F T C sólo para múlt iplos enteros d e / ^ / N ^ ,

(7.116)

(7.117)

NfJ \ N f J

L a sumator ia en (7.118) es la T F D de x[n] = x{nT^). Por lo tanto,

k Xikfp) = r,e-^<"'--/'^^' sinc

Nf XTFDÍ-fe].

Para los números k de armónica , para los cuales k <K Np,

XikfF) = r .XTFDÍ^] .

(7.119)

(7.120)

Así que si se sobremuestrea mediante un factor grande y se muestrea un gran número de veces, la aproximación en (7.120) se vuelve exacta para frecuencias muy por abajo de la mitad de la tasa de muestreo.

A cont inuación se considerará un caso especial de la apl icación de la T F D . Suponga que la señal original x(í) es l imitada en banda con frecuencia m á x i m a y per iódica con per iodo fundamental y que se mues t rea A^^ veces a una tasa mayor que la Nyquis t para exac tamente un per iodo fundamental (figura 7.60). Si la señal se mues t reara a exac tamente la tasa de Nyquis t para un per iodo fundamenta l , el número de muest ras sería el entero par N^ = ^f^Jf^ (debido a que la frecuencia más a l t a / , , en una señal per iódica debe ser un múlt iplo entero de la frecuencia fundamenta l /Q) . Por lo tanto, el número de muestras debe ser un entero Np> N^y f^ = Np / Q . Pues to que la señal es periódica, t iene una representación de la S F T C

x( r ) = Y Xs^icW^^'^f'^ q=-oc

y debido a que es de banda l imitada,

XsFTDÍ?] = 0 \q\> = — Jo 2

(7.121)

(7.122)

FIGURA 7.60 Una señal periódica de banda limitada y una señal en TD formada muestreándola por arriba de su tasa de Nyquist.

...llt ,.t„llr, ,.t,ttli, lll 1 1 1*' Iji 1 ni 1 1 1 1 1''


y, por lo tanto. ]V„/2

q=~(N„/2)

Relac ionando la T F T C con la función a rmónica de la S F T C ,

' V o / 2

X ( / ) = Y X S F T D [ ? ] 8 ( / - ^ / o ) q=-(No/2)

441 (7.123) 7.6 La transformada

de Fourier discreta y su relación con otros métodos de Fourier

(7.124)

(figura 7.61). (Se utiliza el índice q en lugar de k porque este ú l t imo será la variable independiente en la función a rmónica de la S F T D de la señal \,„[k] mues t reada en el t iempo, ven taneada y muestreada en la frecuencia en TD.)

La forma en el domin io de la frecuencia de la T D de X^,^,^[ír] es

NfdTcUF, NF)*X(fsF) F-^klNf' (7.125)

donde debe entenderse que X^pp[/r] es la T F D de las mues t ras , no la función a rmónica de la S F T D de las mismas . Sust i tuyendo en X(f) = E^'l'li.Vij/j) Xj^j.^ [q\W ~ IÍq) Y efectuando el cambio de var iable f^f^F c o m o se indica en (7.125),

X T F D Í ^ ]

-j-ñFiNf-l) No/2

Np d r c K F , Nf) * J2 X s F T c [ ? ] 8 ( / . f - qfo) q=-(No/2) -I F^k/Nf (7.126)

Al reacomodar y util izar la propiedad de escalamiento del impulso ,

X T F D Í ^ ] ^ 0 / 2

E XsFTCÍ?] U = - ( / V o / 2 )

,-JTTFiNf~1) NpdidiF, Nf) *b[ F - q — Js /

(7.127)

Usando A^^ = f/f^ y al efectuar la convolución indicada,

X T F D Í ^ ]

^ 0 / 2 ,

J2 X s F T c [ ? ] e - ^ " ' ^ Lq=-(No/2) ^

-J7T{F-(q/NF))(NF~l) Nf drcl [F - —.Nf Nf /

F^k/Nf

(7.128)

! x ( / ) |

i x , ( / ) l

FIGURA 7.61 Las TFTC de la señal original y la señal muestreada

^ por impulsos.

IXsFTcWl

SFTC

TFD

FIGURA 7.62 k Relación entre la función armónica de la SFTC de una señal

periódica de banda limitada y la TFTD de muestras de un periodo fundamental de esa señal.

Al realizar el cambio de var iable F - ^ k/N^ c o m o se señala en (7.128),

V í /k - a

T X s F T c [ ? ] . - ^ • - « ^ - ^ V A ' . ) ( A ' . - i ) ^ , ^ drcl

(7.129)

L a función de Dir ichlet drcl(í, AO es cero cuando t es un múlt iplo entero de l/N, a menos que t sea una entero. Cuan to t es un entero, la función de Dir ichlet es + 1 o - 1 . En (7.129) pues to que ky qson enteros, k - q t ambién es un entero. Por lo tanto, la función de Dirichlet drcl ({k - q)/Np Np) es cero para todo valor de (k — q)INp sa lvo cuando éste es un entero. C u a n d o {k — q)INp es un entero, el valor de e -M«r-«) /A ' f (A ' f - i ) xA^^drcl((fc - q)l Np, Np) es A^ .

Pues to que la sumator ia con respecto a ^ en (7.129) es para el intervalo -{N^ /2) < ^ < A'Q /2 para valores de k en el intervalo - ( A / g /2) < ^ < A^Q /2 , {k - q)Np = m, sólo puede satisfacerse para m = O, lo que significa que k = q. En consecuencia ,

X T D F Í ^ ] = A^fXsFTDÍ^] -{No/2) < k < No/2. (7.130)

Para otros valores de k la relación es igual, excepto en que el múlt iplo entero de A'^ debe agregarse a q. Esto es, Xj^lk] es una repetición periódica de NpX^pj.f^[k] con periodo fundamental A^^ y

X T F D [ ^ ] = A^fXsFTCÍ^] * c o m b / V J A : ] (7.131)

(figura 7.62) . En palabras , si una señal x(í) es periódica, de banda l imitada y se mues t rea A^^ veces a una tasa

mayor que su tasa de Nyquis t , exac tamente para un per iodo fundamental , la T F D de ese conjunto de muest ras es Np mul t ip l icada por una repet ición per iódica de la función armónica X^pp^lA:] de la S F T C de la señal original x(f) con per iodo fundamental A^^. D e m o d o que en el caso especial de señales periódicas de banda l imitada mues t readas por arriba de la tasa de Nyquis t para exac tamente un per iodo fundamental , la T F D de las mues t ras puede convert i rse exac tamente en la S F T C (y, por lo tanto, en la T F T C ) de la señal original .

A continuación se presenta un programa en M A T L A B para calcular la SFTC de una señal con base en muest ras de ella dada la suposición de que se mues t rea exac tamente un per iodo fundamental un número entero de veces a una tasa mayor que la de Nyquis t .

F u n c i ó n p a r a c a l c u l a r u n a a p r o x i m a c i ó n a l a s e r i e d e F o u r i e r d e t i e m p o c o n t i n u o ( S F T C ) X [ k ] d e u n a s e ñ a l x ( t ) b a s a d a e n u n c o n j u n t o d e d a t o s d e e n t r a d a x ( n * T s ) ,

n = O a N F - 1 l o s n ú m e r o s d e a r m ó n i c a k , d o n d e N F e s e l n ú m e r o t o t a l d e m u e s t r a s . E l v e c t o r q u e s e p r o d u c e e s u n v e c t o r d e l a s X [ k ] y l a e n t r a d a d e l a s k p a r a l a f u n c i ó n . S i n o s e p r o p o r c i o n a u n v e c t o r d e e n t r a d a k , l a s k q u e s e p r o d u c e n e s t a r á n e n e l i n t e r v a l o - N F / 2 < k < N F / 2 .

E l c á l c u l o s e e f e c t ú a c o n b a s e e n l a s u p o s i c i ó n d e q u e e l c o n j u n t o d e d a t o s x ( n * T s ) p r o v i e n e d e u n p e r i o d o d e l a s e ñ a l p e r i ó d i c a x ( t ) y q u e e l m u e s t r e o s e e f e c t ú a d e a c u e r d o c o n e l t e o r e m a d e l m u e s t r e o .

% C o n b a s e e n e s a s s u p o s i c i o n e s , c u a l e s q u i e r a c o m p o n e n t e s d e l a

% S F T C e n n ú m e r o s d e a r m ó n i c a e n o a r r i b a d e N F / 2 t e n d r á a m p l i t u d

% c e r o y e s e v a l o r s e p r o d u c i r á p a r a c u a l q u i e r k o p o r a r r i b a d e

% N F / 2 e n v a l o r a b s o l u t o .

% t y X d e b e n s e r v e c t o r e s c o l u m n a d e n ú m e r o s r e a l e s y d e b e n

% t e n e r l a m i s m a l o n g i t u d .

% [ X , k ] = C T F S { x , t , k )

f u n c t i o n [ X , k ] = C T F S ( x , t , k )

N F = l e n g t h ( x ) ;

% S e c a l c u l a e l i n t e r v a l o d e m u e s t r e o , l a f r e c u e n c i a d e m u e s t r e o

% y l a f r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l d e x ( t ) .

T s = t ( 2 ) - t ( l ) ; f s = 1 / T s ; f F = f s / N F ;

% S i e l v e c t o r k n o e s l a e n t r a d a , s e g e n e r a u n o p a r a c u b r i r d e

m e n o s N F / 2 a N F / 2 .

i f n a r g i n < 3 , k = [ - N F / 2 : N F / 2 ] ' ; e n d

% S e c a l c u l a u n p e r i o d o d e l a S F T C .

X p e r = D T F S ( x ) ; k v e c = [ 0 : N F - 1 ] ' ;

% S i l a p r i m e r a m u e s t r a n o e s t á e n e l t i e m p o t = O , l a f a s e

% d e s p l a z a a l a S F T C d e m a n e r a c o r r e s p o n d i e n t e .

X p e r = X p e r . * e x p ( - j * 2 * p i * ( k v e c * f F ) * t ( 1 ) ) ;

% S e c a l c u l a l a S F T C e n l o s v a l o r e s d e l v e c t o r d e e n t r a d a

k s u p o n i e n d o a q u í q u e e s t o s e r e p i t e d e m a n e r a p e r i ó d i c a c o m o l a

% S F T D .

X = X p e r ( m o d { k , N F ) + 1 ) ;

% S e f i j a n l o s v a l o r e s d e l a s a m p l i t u d e s d e l a s a r m ó n i c a s d e l a

% S F T C e n c e r o p a r a l a s k f u e r a d e l i n t e r v a l o d e - N F / 2 a N F / 2 .

X ( f i n d ( a b s ( k ) > = N F / 2 ) ) = O ;

7.7 EJEMPLOS DEL USO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Los siguientes e jemplos i lustrarán algunas de las característ icas y l imitaciones de la T F D c o m o una

herramienta de análisis de Fourier.

Jíji:.MPi.o 7.5

La señal periódica de banda limitada

x ( 0 = 1 + cos(8irT) + sen(4'TrO (7.132)

se muestrea a la tasa de Nyquist (figura 7.63). Encuentre los valores de la muestra para un periodo fundamental y determine la TFD de los valores de la muestra. Encuentre la función armónica de la SFTC de la señal.

2.1249

FIGURA 7.63 Una señal en TC y una señal en TD formada muestreándola a su tasa en Nyquist para un periodo fundamental.

7.7 Ejemplos del uso de la transformada de Fourier discreta

• Solución La frecuencia más alta presente en la señal es 4 Hz. Por consiguiente, las muestras deben tomarse a 8 Hz. El periodo fundamental de la señal es 0.5 s. Por lo tanto, se requieren cuatro muestras. Suponiendo que la primera muestra se toma en el tiempo t = O, las muestras son

{x[0] ,x[ l ] ,x[2] ,x[3]} = {2, 1 , 2 , - 1 ) .

De acuerdo con la definición,

; ,=0

3

XTFD[0] = ^ x [ n ] = 4, n=0

XTFD[1] = E ^[n]e-"^""^ = 2 - j - 2 - j = - j 2 ,

;i=0

3

XTFD[2] = E = 2 - 1 + 2 - H = 4,

XTFD[3] = E = 2 + j - 2 + j = j 2 .

(7.133)

(7.134)

(7.135)

(7.136)

(7.137)

En consecuencia, la T F D es

E,IEMPLO 7.6

{X[0] ,X[I ] ,X[2] ,X[3]}TFD = { 4 , - 7 2 , 4 , 7 2 }

La T F T C de la señal original es

X ( / ) = 8 ( / ) + - [ 8 ( / - 4) + 8 ( / + 4)] + ^ [ 8 ( / + 2) - 8 ( / - 2)]

o, al ordenar los impulsos con base en la frecuencia creciente,

X ( / ) = U(f + 4) + ^ 8 ( / + 2) + 8 ( / ) - ^ 8 ( / - 2) + ^ 8 ( / - 4)

la cual es de la forma. No/2

Xif)= J2 X s F T c [ í : ] 8 ( / - n / o ) ,

(7.138)

(7.139)

(7.140)

(7.141)

donde Xgpj.^, [=] es la función armónica de la S F T C / Q = \/Tq y es el periodo fundamental de la señal. De tal modo, la función armónica de la S F T C de la señal periódica de banda limitada a partir de la cual se toman las muestras (para un periodo fundamental) es

{ X [ - 2 ] , X [ - l ] , X [ 0 ] . X { l ] , X [ 2 ] } s F T C = \ \'+^2' ^'~2' \

Si se dividen los resultados de la T F D entre el número de puntos, 4, se obtiene

^{X[0] ,X[1] ,XÍ2] ,X[3]}TFD = • 2 2

(7.142)

(7.143)

Utilizando la periodicidad de la TFD, se ve que se obtienen los valores correctos para X[—1], X[0] y X[ l ] , pero no para X[2] y X [ - 2 ] . Están equivocados por un factor de dos debido a la formación de alias. No se muestreo por arriba de la tasa de Nyquist; se hizo a esa misma tasa. ^

En el e jemplo 7.5 la señal se mues t reo de manera exacta a la tasa de Nyquis t durante un per iodo fundamental . ¿Qué habría ocurr ido si el mues t reo se hubiese efectuado a dos veces la tasa de Nyquis t para exac tamente un per iodo fundamental o a la tasa de Nyquis t para dos per iodos fundamentales?


x(f) = 1 -H cosíSiTf) -I- sen(4TT/) (7.144)


se muestrea al doble de la tasa de Nyquist (figura 7.64). Determine los valores de las muestras para un periodo fundamental y encuentre la TFD de los valores de las muestras. Obtenga también la función armónica de la SFTC de la señal.

• Solución La frecuencia más alta presente en la señal es 4 Hz. Por lo tanto, las muestras deben tomarse a 16 Hz. El periodo fundamental de la señal es 0.5 s. Por consiguiente se requieren ocho muestras. Suponiendo que la primera muestra se toma en el tiempo f = O, las muestras son

{ x [ 0 ] , . . . , x [ 7 ] } = 2, 1 -I-1

1, 1 + 1

V2 , 2, 1 -

1 1

(7.145) V la TFD de esas muestras es

2.1249

xln]

--

I T T , . i 1 ' {X[0], . . . ,X[7]}TDF = { 8 , - y 4 , 4 , 0 , 0 , 0 , 4 , 7 4 } .

La función armónica de la SFTC de la señal original es la misma que antes,

¡X[ -2 ] ,X[ - l ] ,X[0] ,X[ l ] ,X[2]}sFTC

(7.146) FIGURA 7.64 Una señal en TC y una señal en TD formada muestreándola al doble de su tasa de Nyquist para un periodo fundamental.

1 i y 1 - F - , I, -

2 2 2 2 (7.147)

y al dividir el resultado de la TFD entre 8,

Í { X [ 0 ] , . . . , X [ 7 ] } D p r = L - 4 - . 0 . 0 . 0 . i + ^ ' 2 2 2 2

(7.148)

Utilizando la periodicidad de la TFD se observa que estos resultados concuerdan. En este caso, se muestreo dos \'eces más rápido que en el ejemplo 7.5. Lo que se obmvo en el problema fue información acerca de frecuencias más altas que las que podrían haber estado presentes en la señal y ninguna formación de alias debido a que se muestreo por encima de la tasa de Nyquist. Desde luego, puesto que se usó la misma señal, no se presentó ninguna frecuencia más alta y todas las X[k], {X[3], X[4], X[5]}^p^, adicionales fueron iguales a cero.


x(t) = 1 + cos(8-ñr) + sen(4iTí) (7.149)

se muestrea a la tasa de Nyquist (figura 7.65). Determine los valores de la muestra para dos periodos fundamentales, encuentre la TFD de los valores de las muestras y compare con la TFC de la señal. Obtenga también la función armónica de la SFTC de la señal.

• Solución La frecuencia más alta presente en la señal es 4 Hz. Por lo tanto, las muestras deben tomarse a 8 Hz. El periodo fundamental de la señal es 0.5 s. Por lo tanto, se requieren ocho muestras. Si se supone que la primera muestra se toma en el tiempo t = O, las muestras son

{x[0], . . . , x [ 7 ] } = {2, 1,2, - 1 , 2 , 1,2, - 1 ¡ (7.150)

V" la TFD de dichas muestras es

EjEAíPrx) 7.7

{X[0], . . . ,X[7]}TFD = { 8 , 0 , - j 4 , 0 , 8 , 0 , j 4 , 0 ¡ . (7.151)

m

2.1218

FIGURA 7.65 Una señal en TC y una señal en TD formada muestreándola a su tasa de Nyquist para dos periodos fundamentales.

La función armónica de la SFTC de la señal original sigue siendo la misma,

{ X [ - 2 ] , X [ - l ] . X [ 0 ] , X [ l ] , X [ 2 ] } s F T c = 2 2 2 2

(7.152)

EJEMPLO 7.8

Al comparar la función armónica de la SFTC y la TFD,

AX[0] , . . . ,X[7]}TFD = 1, O, 1, 0 , + ^ ,0 (7.153)

La fundamental de la SFTC corresponde a la segunda armónica de la TFD debido a que se muestreo para dos periodos fundamentales. En consecuencia, los resultados corresponden correctamente, de nuevo excepto para la armónica más alta que está errada debido a la formación de alias. Como en el ejemplo 7.5 se muestreo a la tasa de Nyquist y no por encima de ella. Como en el ejemplo 7.6 se obtuvo información adicional acerca de la señal. Al muestrear al doble, fue posible reconocer frecuencias dos veces más bajas (periodos fundamentales dos veces más grandes) que los que podrían haberse presentado en la señal. Eso hizo que la frecuencia distinta de cero más baja en la TFD fuera la mitad de lo que era antes. Además, puesto que X^j-p^}/:] ocurre en múltiplos enteros de la frecuencia distinta de cero más baja, la gráfica completa en el dominio de la frecuencia tiene el doble de la resolución que tenía en los ejemplos 7.5 y 7.6. La tasa de muestreo es igual que en el ejemplo 7.5; por lo tanto, la frecuencia más alta que puede encontrarse es la misma que en el ejemplo 7.5 y la mitad de la del ejemplo 7.6.

Muestree la señal

x(í) = 5 sen(Trí) rect r - 2 (7.154)

empezando en el tiempo / = O, fl) 16 veces a 4 Hz b) 32 veces a 4 Hz c) 64 veces a 4 Hz d) 32 veces a 8 Hz e) 64 veces a 8 Hz

En cada caso determine la TFD de las muestras y grafíque las comparaciones de la señal y sus muestras en el dominio del tiempo, y las comparaciones de la magnitud de la TFTC de la señal y la magnitud del producto de la TFD de las muestras y el intervalo de muestreo 7" .

• Solución La TFTC de x(r) es

X ( / ) = j l O ^ + 2

„- j4Tr(/ + (l/2)) _ „ - J 4 I T ( / ~ { 1 / 2 ) ) (7.155)


Np = 16, / , = 4

x( í ) y x [n ]

5 -

Iv /í 1 ' 1/

t o nT,.

|X(/)|y7-,|XM|

J O '

fokf, FIGURA 7.66 Señal muestreada 16 veces a 4 Hz.

a) La señal que se muestrea 16 veces a 4 Hz se muestra en la figura 7.66. La TFD se repite de manera periódica con periodo fundamental iV^ = 16 o, en términos de la frecuencia, con periodo fundamental = Np-fp, pero en el intervalo de frecuencia — (/^/2) < / < / ^ / 2 la TFD (multiplicada por el intervalo de muestreo T^) parece aproximarse a muestras de la TFTC a mííltíplos enteros de la frecuencia fundamental fp = f^lNp de la TFD. La resolución de la TFD no es muy buena. Puesto que todas las muestras excepto dos en el intervalo de frecuencia — (/./2) <f<fjl ocurren en ceros de la TFTC, si sólo se considera el resultado de la TFD sin conocer la TFTC, se concluiría que la TFTC tuvo dos impulsos a frecuencias positivas y negativas iguales y que, en consecuencia, la señal original era una senoide. Recuerde que la TFD se aplica exactamente a señales periódicas y el conjunto de muestras que se utiliza aquí proviene de manera exacta de dos periodos fundamentales de una senoide. Ante la falta de otra información, la conclusión lógica para las muestras es que el patrón de éstas se repite de manera periódica y que la señal es consecuentemente una senoide, en vez de la señal real que es la versión de tiempo limitado de una senoide. Al tomar más muestras se resolvería este problema.

h) La señal que se muestrea 32 veces a 4 Hz se ilustra en la figura 7.67. En este caso se tomaron dos veces más muestras que en la parte a). Todas las muestras adicionales fueron cero. Este tipo de extensión del muestreo de una señal con ceros adicionales se conoce como relleno de ceros. La inclusión de ceros adicionales duplica el tiempo total de muestreo y la resolución de la T I D . Ahora se cuenta con valores de la TFD que caen entre cruces por cero de la TFTC, y es posible empezar a ver, al considerar sólo la TFD, que la señal original no es simplemente una senoide. La concordancia entre la TFD y la TFTC parece muy buena a bajas frecuencias, pero observe que en las cercanas a la mitad de la tasa de muestreo, la concordancia entre la TFD y la TFTC no es tan apropiada. Esta diferencia se observa con mayor facilidad en una gráfica de magnitud logarítmica (figura 7.68). La diferencia la provoca la formación de alias. La señal original no es de banda limitada por lo que los alias se traslapan y, en este caso, eso provoca un error importante cerca de la mitad de la tasa de muestreo.

c) La señal que se muestrea 64 veces a 4 Hz se presenta en la figura 7.69. En este caso el número de muestras volvió a duplicarse. Esto duplica nuevamente la resolución de la T I D pero no ayuda con el problema de la formación de alias. Una tasa de muestreo más alta reduciría errores debidos a la formación de alias.

d) La señal que se muestrea 32 veces a 8 Hz se ilustra en la figura 7.70. Aquí la tasa de muestreo se duplica y el número de muestras es igual que en la parte b). De nuevo, como en la parte a) la TFD parece indicar que la señal era una senoide pura porque se muestrearon exactamente dos ciclos de FIGURA 7.67 una senoide. Si ahora se incrementa el número de muestras Señal muestreada 32 veces a 4 Hz.

Np = 32, / , = 4

x(r)>

5 -

1

X

1 [«]

1 - 2

- 5 -h |X(/)| y 7-JXMl

lO'

tonT,

•f^kfp

A


FIGURA 7.68 Gráfica de magnitud logarítmica; señal muestreada 32 veces a 4 Hz.

- 4 í

lx(/)ldByrJxwidB

20 '

Mi - 5 0

i m fokfp

FIGURA 7.69 Señal muestreada 64 veces a 4 Hz.

= 64, = 4

| X ( / ) l y r , l X M ¡

..Jr.tfr.ifr.<tWMVftfTO - 4

FIGURA7.70 Señal muestreada 32 veces a 8 Hz.

Ne = 32, / , =

| X ( / ) | y r , l X [ i : l |

l O l i i

I

tonT,

a esta tasa de muestreo, se obtendrá una mejor resolución en el dominio de la frecuencia y se tendrá un error de formación de alias reducido.

e) La señal que se muestrea 64 veces a 8 Hz se presenta en la figura 7.71. Los errores de formación de alias se reducen y la resolución en el dominio de la frecuencia es lo suficientemente buena para ver que la señal no es una senoide (figura 7.72).


Nf = 64, / , = 8

x(í) y x[n] 449


]—>- t o nT,

!x( / ) |yr , jxM|

10

liSMMM FIGURA 7.71 Señal muestreada 64 veces a 8 Hz.

í x ( / ) L y 7 ' . | x w l d B

20 A - - A

- 5 0

• /o

FIGURA 7.72 Gráfica de magnitud logarítmica; señal muestreada 64 veces a 8 Hz.

Este ejemplo refuerza el principio general establecido antes con respecto a que el muestreo más largo mejora la resolución en el dominio de la frecuencia y el muestreo a una velocidad más alta reduce errores debidos a la formación de alias. De modo que una buena regla general al usar la TFD para aproximar la TFTC es muestrear lo más rápido posible el mayor tiempo posible. En el límite teórico en el que se muestrea infinitamente rápido durante un tiempo infinito, se preserva toda la información en la TFTC en la TFD. Esta última se aproxima a la TFTC en ese límite. Desde luego, en cualquier situación práctica existen límites impuestos por los muestreadores reales. Éstos sólo pueden muestrear a una tasa finita, y las memorias de las computadoras reales sólo almacenan un número finito de valores de datos.

Los e jemplos 7.5 a 7.8 anal izaron muestras de funciones matemát icas conocidas para presentar algunas característ icas de la T F D . El e jemplo 7.9 es más realista en cuanto a que la señal no es una función matemát ica conocida.

Suponga que se toman 16 muestras de una señal a intervalos de 1 ms y que las muestras son las que se granean en la figura 7.73 (con la suposición usual de que la primera muestra ocurre en el tiempo t = 0). La razón para tomar las muestras es obtener información acerca de la señal. ¿Qué se conoce hasta ahora? Se saben los valores de la señal en 16 puntos. Si se van a obtener más conclusiones es necesario tener más información o efectuar algunas suposiciones.

• Solución ^.Qué pasó antes de la primera muestra y después de la última? ¿Qué sería razonable suponer? Podría suponerse que la señal varía de manera similar fuera de este intervalo de muestras. Dicha variación podría tomar muchas formas diferentes. De modo que la suposición no es matemáticamente precisa. Una forma posible sería la señal de la figura 7.74a). Podría confirmarse que la señal es cero fuera de este intervalo de muestras (figura 1 .lAb). Sin embargo, si ése es el caso, se sabe que no es posible muestrear de manera adecuada porque una señal que está limitada

-1 .496 +

J J L 15

T

FIGURA 7.73 Una señal en TD formada al muestrear una señal en TC desconocida durante un tiempo finito.

en el tiempo no está limitada en banda. La suposición usual es que el conjunto de muestras que se toman es razonablemente representativa de la señal total. (Si esto no es cierto, el análisis no será muy significativo.) Esto es, se supone que la señal fuera de este intervalo de tiempo es similar a la señal dentro de él. Para hacer precisa dicha suposición, se considerará que la señal antes y después de las muestras es lo más similar posible a la señal durante el muestreo. Se supone que si se muestrea un poco más, se repetirá el conjunto de muestras obtenido, una y otra vez (figura 7.74c). Esto es muy probable que no sea del todo cierto. Sin embargo, ¿habría una mejor suposición? Si el conjunto de muestras que se toma es característico, entonces la suposición de que la señal mantiene el mismo comportamiento una y otra vez es lo mejor que puede considerarse. Mediante esa suposición es posible afirmar que las muestras se toman de un periodo fundamental de una señal periódica. Se supone que si se mantiene el muestreo, se repetirían las muestras una y otra vez.

La siguiente pregunta lógica es, ¿qué sucede entre las muestras? De nuevo, en realidad no se sabe. A continuación se presentan algunas ilustraciones

de cómo podría haberse observado la señal que se muestreo (figura 7.75). En cada una de las tres señales de la figura, los valores de la muestra son los mismos, pero las señales son diferentes. A menos que se sepa algo más, cualquiera podría ser la señal real muestreada. No obstante, si la señal se muestreo de manera apropiada de acuerdo con el teorema del muestreo de Shannon (a una tasa a más del doble que su máxima frecuencia), sólo una de estas señales candidatas sería la muestreada, la última en la figura 7.75. De tal modo, ahora se han reducido a una sola las señales posibles a partir de las cuales podrían provenir las muestras: una señal periódica de banda limitada que pasa a través de los puntos. Después de esto sería posible tomar el conjunto original de muestras y a partir de él realizar la mejor estimación (con base en las suposiciones) de la señal en TC de la cual proviene. Esta es la manera exacta en la cual se creó la señal en TC de la figura 7.75c).

En lugar de tratar de reconstruir la señal original a partir de sus muestras, es más común utilizar la TFD para analizar el contenido de frecuencia en las señales. Se sabe cómo determinar la función armónica de la SFTC utilizando la TFD. ¿Cuál es la relación entre la función armónica de la SFTC y la TFTC de la señal original? Se demostró antes que

iVo/2

X ( / ) = E X s F T c W 8 ( / - ¿ / o ) . t=-(A'o/2)

(7.156)

x[n]

f 2 —

- 3 2 1 tII-.TTTI?. 1t .Tt Tvííl. ,

1| f -2 +

a)

x[

2 -

n]

IT .Tt , „ , i . -32

~ 2 -

48

xln]

2 - -

FIGURA 7.74 Tres posibles extensiones de las muestras originales.

1.3356 —

FIGURA 7.75 Tres señales, todas tienen los valores de muestreo originales.

Esto es, la TFTC para la supuesta señal periódica de banda limitada es un conjunto finito de impulsos espaciados mediante la frecuencia fundamental/q. Mediante la relación entre la función armónica de la SFTC y la TFD que se obtuvieron antes para señales periódicas de banda limitada.

Nf/2

X ( / ) = — J2 X T F D [ ^ ] 8 ( / - ¿ / O ) k=-(NFl2)

A < , < A 2 " " 2

(7.157)

X ( / ) = • TFD " Nf'

• TFD 2

H f -Nf

Nf

M / - ( - í ^ + i ) / o + •

+ ^TFD[0]8(/) + - .- + XT Nf

- 1 J \

f -\ 2 /

/ o

+ z ™ [ f ] 8 ( / - f / o ) (7.158)


(Observe que siempre son cero los componentes de la función armónica de la SFTC en los mímeros de armónica —(Npl2) y Npll si la señal se muestrea de manera apropiada a más del doble de la frecuencia de Nyquist porque en ese caso no hay potencia de señal a la mitad de la tasa de muestreo. Cuando se incrementa la tasa de muestreo, más y más de ios componentes cercanos a la mitad de la tasa de muestreo también serán cero.

EJEMPLO 7 . 1 0

Muestree una función senoidal y determine la TFD de las muestras y la función armónica de la SFTC de la repetición periódica.

• Solución Esta descripción del problema, al igual que muchos problemas reales de ingeniena, se define en forma ambigua. Se deben realizar selecciones razonables en cuanto a las tasas y tiempos de muestreo de manera que los resultados sean útiles. Considere que la señal en TC es un coseno de amplitud unitaria, que el periodo fundamental es igual a 10 ms, que el tiempo total de muestreo es de 20 ms y que se toman 32 muestras en ese tiempo. El coseno se describe por medio de

X ( 0 = COS(200'7Tf) (7.159)

y su TFTC es

X ( / ) = - [ § ( / - 1 0 0 ) - F 8 ( / + 100)] . (7.160)

-0.01

-1 600

Puesto que la frecuencia del coseno es 100 Hz y la tasa de muestreo es 1.6 kHz, la señal en definitiva estará so-bremuestreada y no se presentarán alias. Los resultados se ilustran en la figura 7.76.

En este caso la señal es de banda limitada y periódica y el muestreo se efectúa para un número entero de periodos fundamentales. Por consiguiente, debe esperarse una correspondencia exacta entre la TFTC de la señal en TC y la TFD de las muestras. La TFTC de la senoide original tiene dos impulsos, uno en -K/q y el otro en - / g , donde/q es la frecuencia del coseno. Para una senoide de amplitud unitaria como ésta, cada una de las intensidades de los impulsos sena igual a , . La frecuencia del coseno es 100 Hz. La resolución en el dominio de la frecuencia de la TFD es el recíproco del tiempo de muestreo total, o 50 Hz. En consecuencia, la TFD tendrá valores distintos de cero sólo en la segunda armónica de 50 Hz, como es el caso. Cuando el resultado de la TFD se divi

de entre el número de muestras A'^, los impulsos de números de armónica discretos en la TFD tienen la

= 32, / j = 1 600 misma intensidad que los impulsos de frecuencia x(í) y x[n] continua en la TFTC de la senoide en TC.

Para la señal no periódica de energía del ejemplo 7.8, la TFD se escaló multiplicando por el intervalo de muestreo y la TFD de las muestras se aproximó a las muestras de la TFTC de la señal en TC

r o nT^ (s) que se muestreo. Para esta señal periódica, el escalamiento de la TFD se efectuó dividiéndola entre el número de muestras N^. ¿Por qué estos factores son diferentes? Mmero , reconozca que como la TFTC de una señal periódica consta sólo de impulsos, no es posible muestrearla en ningún sentido. De tal modo, la TFD de una señal periódica debe escalarse para producir las intensidades de los impulsos, no sus amplitudes, que son indefinidas. En el caso de señales de energía no periódicas, la TFTC es una función de frecuencia continua sin impulsos. En este caso es necesaria una correspondencia entre las intensidades de los impulsos de la TFD y las muestras de la TFTC. Una manera de ver la correspondencia es observar que la TFTC es una función de densidad espectral y, por lo tanto, tiene las unidades de la transformada de la señal dividida entre la frecuencia. Por ejemplo, si la señal en TC tiene unidades de volts, su TFTC tiene unidades de volts por hertz. La TFD se calcula formando varias

!X[A-1|

0.5

•4-^- (Hz)

1 600

FIGURA 7.76 Un coseno muestreado para dos periodos fundamentales y la magnitud de su TFD, dividida entre el número de muestras TV.


combinaciones lineales de muestras de la función en TC; por lo tanto, sus unidades serían las mismas que las de la señal, en este caso, volts. Para convertir eso en una aproximación de la TFTC es necesario dividir por cierta frecuencia para obtener las unidades correctas. Sin embargo, ¿a qué frecuencia? Si se iguala la amplitud en cada intervalo de resolución de la TFD a la densidad espectral de la amplitud de la TFTC, el factor de división apropiado es el ancho de banda de la resolución de la TFD, que esfJNp. Así es que si se toma el factor divisor para funciones periódicas A'^ y se multiplica povfJNp para formar un nuevo factor de división correspondiente a señales de energía no periódicas f^, el efecto es el mismo que multiplicar por el intervalo de muestreo debido a que/^. = l/T^.

E,TEMPLO 7.11

Muestree una senoide para un niimero no entero de periodos fundamentales y observe el efecto sobre la TFD.

• Solución Considere que la senoide es un coseno cuyo periodo fundamental es 6 6 | m s y muestréelo 32 veces en 100 ms. Los resultados se ilustran en la figura 7.77.

El coseno en TC original tiene una TFTC con exactamente dos impulsos en -I-15 y —15 Hz. Sin embargo, la TFD tiene componentes distintos de cero en cada armónica de su frecuencia fundamental que es igual a 10 Hz pues el tiempo de muestreo total c o i T e s p o n d e a 100 ms. Puesto que 15 Hz no es un múltiplo entero de 10 Hz, no existe un componente de frecuencia resuelto en la TFD a exactamente la frecuencia del coseno. No obstante, los dos componentes más intensos se ubican en 10 y 20 Hz, valores que se ubican en el mismo intervalo que la frecuencia real de 15 Hz del coseno. En consecuencia, es posible afirmar que la TFD intenta reproducir la naturaleza de la señal de la cual provienen las muestras lo mejor que puede dada la pobre elección de muestreo. Esta dispersión de la potencia de la señal a partir de la ubicación exacta hacia localizaciones adyacentes es u n ejemplo de fuga. Esto es, la potencia a 15 Hz se ha fugado a las componentes a 10, 20, 30 Hz, etc., ya que la señal original no se muestreo para un número entero de periodos fundamentales. Este problema se resolvena muestreando para un número entero de periodos fundamentales. Sin embargo, es posible reducirlo de manera considerable al muestrear durante un tiempo mucho más largo, incluso aunque no sea un múltiplo entero del periodo rundamental del coseno, debido a que con un tiempo de muestreo más largo, la resolución en el dominio de la frecuencia se vuelve mejor y el grueso de la potencia de la señal puede situarse de manera más próxima a la frecuencia real de 15 Hz. La figura 7.78 muestra los resultados de muestrear sobre seis y medio periodos fundamentales con todos los demás parámetros iguales. En estas condiciones, aun cuando todavía no hay un componente resuelto a la frecuencia de la señal en TC, 15 Hz, debido al mayor número de puntos y a la consecuente resolución más alta de la TFD, hay componentes mucho más cercanos a 15 Hz que en el caso anterior y la fuga se dispersa con menor amplitud.

Np = 32, = 320

]—*- t o nl j ís) -0.066667'

Np

0.36307T +

- 3 2 0 • kfp (Hz)

320

FIGURA 7.77 Un coseno muestreado para uno y medio periodos fundamentales y la magnitud de su TFD dividida entre el número de muestras N,-



Np = 138,./; = 320

FIGURA 7.78 U n coseno m u e s t r e a d o sobre seis y m e d i o pe r iodos fundamenta le s y la m a g n i t u d de su T F D , d iv id ida entre el n i ímero d e mues t r a s N^.

-0 .066667 0.43333 1 t o nT^

- 3 2 0

7.8 LA TRANSFORMADA DE FOURIER RÁPIDA L a T F D directa se define por medio de

n=0

(7.161)

U n a forma directa de calcular la T F D s e n a mediante el siguiente a lgor i tmo (escrito en M A T L A B ) que pone en práct ica de manera directa las operaciones indicadas en (7.161).

% ( S e a d q u i e r e n l o s d a t o s d e e n t r a d a e n e l a r r e g l o " x " , c o n " N F "

e l e m e n t o s . )

% S e a s i g n a n v a l o r e s i n i c i a l e s a l a r r e g l o d e l a TD p a r a u n v e c t o r

% c o l u m n a d e c e r o s .

% X = z e r o s ( N F , l ) ;

%

% S e c a l c u l a n l a s X n e n u n d o b l e l a z o a n i d a d o " f o r " .

% f o r n = 0 : N F - 1

f o r k = 0 : N F - l

X ( n + 1 ) = X ( n + 1 ) + x ( k + 1 ) * e x p ( - j * 2 * p i * n * k / N F ) ;

e n d

e n d

(En real idad no debe escribirse este p rograma en M A T L A B porque la T F D ya está incorporada c o m o una función intr ínseca l lamada f f t . )

El cálculo de una T F D median te este a lgor i tmo requiere operaciones de mult ipl icación-adición comple jas . Por lo tanto, el número de cálculos aumenta en función del cuadrado del n ú m e r o de

elementos en el vector de entrada que se está t ransformando. En 1965 Cooley y Tukey popular izaron un a lgor i tmo que es m u c h o más eficiente en cuanto al tiempo de cómpu to para grandes arreglos de entrada cuya longi tud es una potenc ia entera de 2. Es te a lgor i tmo para calcular la T F D recibe el nombre de t ransformada de Four ier rápida (TFR) .

La operación del a lgor i tmo T F R puede i lust tarse median te un e jemplo, ca lculando la T F D de un conjunto de cuatro mues t i as de datos ut i l izando el a lgor i tmo. Des igne el conjunto de mues t ras de una señal c o m o la señal x ^ l n ] en T D de manera que el conjunto de datos de entrada para el a lgor i tmo es

Q[0], XQ[1], XQ[2], XQ[3] }. La fórmula de la T F D calcula ésta de acuerdo con

NF-I

X[k] = E ^Me'-i -jl-nikn/NF) (7.162) n=0

Es conveniente usar la notación

7.8 La transformada de Fourier rápida

(7.163)

Para este caso de cuatro puntos de datos, es posible escribir la T F D en forma de matr iz c o m o

X [ 0 ] " ^ 0 - • x o [ 0 ] X [ l ] ^ 2 x o [ l ] X[2] i y 4 xo[2] X[3] V(/3 14/9 xo[3]

(7.164)

Efectuar la mult iphcación usual de matrices directa requeriría A^^ multiplicaciones complejas y A'(A'^ - 1) adiciones complejas. Puede reescribirse (7.164) en la forma.

" X [ 0 ] " X [ l ] X[2] X[3]

1 1 1 1 W2 1

1 1

1^2 ^yl

x o [ 0 ] ' Xo[ l ] xo[2] xo[3]

(7.165)

debido a que W" = donde m es un entero. El siguiente paso no es tan obvio. Es posible fac-torizar la matr iz en el p roducto de dos matr ices .

" X [ 0 ] " X[2] X [ l ] X[3]

1 1^0 O O 1 O O o o 1 o o 1

' 1 o o • 0 1 o 1 o w2 o o 1 o

•xo[0] x o [ l ] xo[2] xo[3]

(7.166)

La prueba de esta factorización no se presentará aquí , pero es posible encontrar la en Br igham (1974) . Note que el orden del resul tado de la T F D se ha modif icado. Los e lementos " 1 " y " 2 " han intercambiado posic iones en el vector del lado izquierdo. Es suficiente para los propósi tos que aquí se buscan verificar que esta factorización es correcta mul t ip l icando las matr ices . Se invita a que el lector lo haga. C u a n d o se mult ipl ican las matr ices , los renglones " 1 " y " 2 " también se in tercambiarán hac iendo que la ecuación matr icial sea equivalente a la versión original en (7.165).

Después de esto se calcula el n ú m e r o de mult ipl icaciones y adiciones que se requieren. Pr imero se identifica el resul tado de mult ipl icar la segunda matr iz cuadrada por el conjunto de datos de entrada c o m o

(7.167)

x i [ 0 ] 1 0 W/0 0 " ' x o [ 0 ] x i [ l ] 0 1 0 x o [ l ] x i [ 2 ] 1 0 0 xo[2] x i [ 3 ] 0 1 0 iy2 xo[3]

El pr imer e lemento es

x i [ 0 ] = x o [ 0 ] - f - W ° x o [ 2 ] . (7.168)

Este cálculo requiere una multiplicación y una adición. (Aunque es uno, se dejará esto como una multiplicación para llegar a una conclusión general.) De manera similar x j l ] requiere una multiplicación y

xo[0]

Xo[l]

Xo[2]

Xo[3]

1 x,[0] 1

\ / 1

/ \ X|[ l ]

x i [2] 1

x,[3]

Xo[0]

Xo[2]

Xo[l]

Xo[3]

FIGURA 7.79 Gráfica del flujo de señales para una TFR de cuatro puntos.

James W. Cooley

una adición. Sin embargo, Xj[2] requiere sólo una adición debido a que W ° = - y el producto W°XQ[2] ya se ha obtenido en el cálculo del primer elemento y puede, en consecuencia, sólo almacenarse hasta que se necesite y luego restarse en vez de sumarse. De manera similar, Xj [3] sólo requiere una adición más. Hasta ahora se tienen dos multiplicaciones y cuatro sumas. Apelando a condiciones de simetrías similares en la segunda multiplicación de matrices se encuentra que se requieren dos multiplicaciones y cuatro sumas más . Así, en total, se necesitan cuatro multiplicaciones y ocho adiciones. Compare eso con las 16 mul-tipUcaciones y las 12 adiciones requeridas en el cálculo de la T F D directa en (7.164). Puesto que, computacionalmente, las multiplicaciones requieren por lo general mucho más t iempo de cómputo que las adiciones, el algoritmo de la T F R para cuatro puntos es alrededor de cuatro veces más rápido que la T F D directa. El vector que resulta de este tipo de cálculo es codificado en relación con el vector original, pero la operación de decodificación es bastante rápida en cuanto al t iempo de cómputo, por lo que no afecta en realidad el cociente de velocidades.

Es instructivo observar el proceso de cálculo de la T F R en una forma gráfica de flujo de señales. El algoritmo de la T F R de cuatro puntos se muestra

r figura 7.79. Esta gráfica de ñujo de señales ilustra cómo se efectúan los r . ^ ^ B cálculos utilizando la factorización de matrices para una T F R de cuatro puntos.

La figura 7.80 es la gráfica del flujo de señales para una T F R de 16 puntos. Al contar el número de mul t ip l icaciones para cada longi tud de vector

dato que es una potencia entera de 2, es posible determinar de manera inductiva una fórmula para el número total de mult ipl icaciones que se requieren y comparar lo con el n ú m e r o requer ido para la T F D directa. El número de mul t ipl icaciones para una T F R de longi tud A' = 2^, donde p es un entero, es A'p/2. Por consiguiente , el cociente de velocidades para la T F R en oposic ión a la T F D directa es ap rox imadamente

2N

John Wilder Tukey

Np/2 (7.169)

c o m o se tabula en la tabla 7 . 1 . Estos factores de mejoramiento de la velocidad no se aplican si p no es

un entero. T^or esta razón , en \ a p í á t \ i c a \?i toUMíid tos íaíifev'i d a l a T E Q reales se efectúan con la T F R ut i l izando longi tudes de vectores de datos que son una potencia entera de 2. (En M A T L A B si el vector de entrada es una potencia entera de longi tud igual a 2, el a lgor i tmo que se usa en la función f f t es el que acaba de expl icarse. Si su longi tud no es una potencia entera de 2. la T F D se sigue calculando, pero se afecta la velocidad debido a que se recurre a un a lgor i tmo menos eficiente.)


XoíO]

xo[2]

Xo[3]

Xo[4]

XO[5]

Xo[6]

XO[7]

Xo[8]

Xo[9]

Xo[10]

Xo[ l l ]

Xo[12]

Xo[13]

Xo[14]

XO[15]

r\ X w ° \

X A \ / x°x^ ^\^ / X X'X/^

\ \ \ \ / . XX'" / / Xx/ X XX \ . /X»X>

\ \ X X X ) / / X V y /

X XX Xw° ,1/»

/ X X X X X X sT* \ / "" x / ^ j ^ x ^

/ / x x x ^ \ \ \^ \ \ X x ^ x c x \ \ xX" X X' \ » x ^ X W ' X X XX''

/// ^ X W ' X X X X ' ^ ^ \ <X'

/ x x x < r X v " 7 1X ~\¿'X^

X[0] ')

X[8] í

X[4]

^X[12]

,X[2]

X[10] o

^X[6]

X[14] 4 X[l]

1

X[9]

_X[5]

X[13]

_X[3]

X [ l l ]

^X[7]

X[15]

7.9 Resumen de puntos importantes

FIGURA 7.80 Gráfica del flujo de señales para una TFR de 16 puntos.

TABLA 7.1 Cociente de velocidades entre la TFR y la TFD directa en función del número de puntos.

Cociente de N velocidades TFR/TFD

2 4 4.00 3 8 5.33 4 16 8.00 5 32 12.80 6 64 21.33 7 128 36.57 8 256 64.00 9 512 113.78

10 1 024 204.80 11 2 048 372.36 12 4 096 682.67 13 8 192 1 260.31 14 16 384 2 340.57 15 32 768 4 369.07 16 65 536 8 192.00

7.9 RESUMEN DE PUNTOS IMPORTANTES 1. Una señal mues t reada t iene un espectro de Fourier que es una versión repet ida de manera per ió

dica del espectro de la señal mues t reada . Cada repet ic ión recibe el n o m b r e de alias. 2. Si los alias en el espectro de la señal mues t reada no se traslapan, la señal original puede recupe

rarse de las muest ras . 3. Si la señal se mues t rea a una tasa mayor que el doble de la frecuencia más alta, los alias no se

traslaparán. A. U n a señal no puede ser a la vez de t i empo l imitado y de banda l imitada.

I 458 CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

5. En el caso de señales pasabanda la tasa de mues t reo m í n i m a absoluta necesar ia para recuperar la señal original es el doble del ancho de banda .

6. La función de interpolación ideal es la función sinc, pero c o m o es no causal , en la práct ica deben uti l izarse otros métodos .

7. Las señales en t i empo discreto pueden muest rearse casi de la m i s m a manera que las señales de t i empo cont inuo, y las consecuencias son análogas .

8. Es posible describir por comple to una señal per iódica de banda l imitada median te un conjunto finito de mímeros .

9. La transformada de Fourier discreta (TFD) es casi exactamente la mi sma que la SFTD, con el factor de escala como única diferencia real.

10. La T F T C de una señal en T C y la T F D de muest ras de ella se re lac ionan a t ravés de las operaciones de mues t reo en el t i empo, ventaneo y mues t reo en frecuencia.

11. Es posible utilizar la T F D para aproximar la T F T C o la S F T C , y conforme se incrementa la tasa de mues t reo y/o el número de mues t ras , la aproximación se vuelve mejor.

12. La t ransformada de Fourier rápida (TFR) es un algori tmo m u y eficiente para calcular la T F D que aprovecha las simetrías que se presentan cuando el número de puntos es una potencia entera de 2.

EJERCICIOS CON RESPUESTAS

1. Mues t ree la señal

x ( í ) =3 10 s i n c ( 5 0 0 í )

mul t ip l icándola por el tren de pulsos

p(f ) = rect(10'*r) * 1 000 c o m b ( l OOOí)

para formar la señal x^(?). Dibuje la magni tud de la T F T C , X^if), de x^it).

R e s p u e s t a :

!X(/) |

innillllllllllm n -20 000

JLJl 20 000

2. Sea

x(f) = 10 s i n c ( 5 0 0 r )

c o m o en el ejercicio 1 y forme una señal .

x„(t) = [1 OOOx(r) c o m b ( l OOOf)] * rect( lO'^í) .

Dibuje la magni tud de la T F T C , X^{f), de xjf) y compáre la con el resul tado del ejercicio 1.

3. a) D a d a u n a señal en T C

x ( í ) = t r i ( lOOf),

forme una señal x[«] en T D mues t reando x(f) a una tasa d e / ^ = 800 y forme una señal de impulso X g ( í ) en T C de información equivalente mul t ip l icando x(f) por una secuencia per iódica de impulsos unitarios cuya frecuencia fundamental es la m i s m a / Q = / j = 800 . Dibuje la m a g nitud de la T F T D de x[n] y la T F T C de X g ( í ) .

b) C a m b i e la tasa de mues t reo a/^ = 5 000 y repita la parte a).

fs = 800

|Xs ( / ) |

- 1 6 0 0

|X(F)|

-2

1 600 - 1 0 000

—t--2

fs = 5 000

|X5</)i

|X(f)i

Ejercicios con respuestas

10 000

4. a) D a d a una señal en T C de banda l imitada

b)

Respuestas:

x( r ) = sinc y - ) c o s ( 2 T T f ) ,

forme una señal x[n] en T D mues t reando x(í) a una tasa /^ = 4 y forme una señal de impul so Xg(f) en T C de información equivalente mul t ip l icando Xg(í) por una secuencia per iódica de impulsos unitarios cuya frecuencia fundamental es la m i s m a , / Q = / j = 4. Dibuje la m a g nitud de la T F T D de x[n] y la T F T C de Xg ( í ) . Cambie la tasa de mues t reo a / = 2 y repita la parte a).

fs = *

|Xs(/)!

|X(F)|

-2

|X5(/)I

iX(F)|

si

Determine las tasas de Nyquis t para las siguientes señales .

a) x(f) = sinc ( 2 0 0

b) x(í) = 4 sinc2 (lOOí)

c) x(í) = 8 sen (50TTÍ)

d) x(f) = 4 sen (SOiTf) + 3 eos (VOTTÍ)

e) x(í) = rect ( 3 0 0 0

f) x(í) = 1 0 sen ( 4 0 I T 0 eos (300- ITO

Eespuestas:

3?!}. 340, 70 , 50, infinito, 20

é . Dibuje las siguientes señales l imitadas en t i empo y encuentre y grafique la magni tud de sus T F T C y confi rme que no son de banda l imitada.

a) x (0 = 5 rect ^^^^j

b) x ( 0 = 1 0 t r i ( 5 0

c) x(í) = rect(f)[l + eos (l-nt)]

d) x (0 = rect( í ) [ l + eos (l-nt)] eos ( l ó i r í )

Respuestas :

-0.4

|x(t)l

-1

-2H-'

|X( / ) |

1 -

- 1 2 12

7. Dibuje las magni tudes de las siguientes T F T C de señales de banda l imitada, y encuentre y grafíque sus T F T C inversas y confirme que no son de tiempo l imitado.

a) X(f) = Ka{f)e-i^f

b) X ( / ) = tri(100/)6''*^-^ c) X ( / ) = 8 ( / - 4 ) + 8 ( / - 4 )

d) X ( / ) = j [ 8 ( / + 4) - 8 ( / - 4)] * r ec t (8 / )

Respuestas :

|X(/)|

4

f -0 .02

|x«)i

-0 .25

\- „ 400

-0.005-400

0.02 - 4

|X( / ) | l4

4 -1

1X(/)|

8. Mues t ree la señal en T C

x(?) = s e n ( 2 T T r )

a una tasa de mues t r eo /^ . Después , median te M A T L A B , dibuje la interpolación entre muest ras en el intervalo de t i empo — 1 < í < 1 ut i l izando la aproximación

f ^

x( r ) = 2fYl s i n c ( 2 / , ( f - nT,))


con las siguientes combinac iones d e / ,Ly N.

a) f^ = 4,f. = 2,N=l

c) / , = 8 , /^ = 4 , T V = 4

e) / , = 1 6 , / , = 8 , 7 V = S

Respuestas:

b) / , = 4 , / , = 2 , i V = 2

d) f^ = S,f^ = 2,N=4

f) / , = 1 6 , / , = 8 , A f = 16

461 Ejercicios con respuestas

x(í)

4

- 1

x(í)

4

x(t)

4

X(I) 4

x(í)

4

9. Para cada señal y tasa de mues t reo especificada, grafique la señal original y una interpolación entre muest ras de la m i s m a ut i l izando un re tenedor de orden cero, para el intervalo de t i empo - 1 < f < 1. (En este caso la función s t a i r s de M A T L A B podr ía ser útil.) a) x(r) = sen(2iT í), / , = 8 b) x(í) = sen(2TT í), fi = 32

c) x(í) = rect(í), / ^ = 8 d) x(f) = tri(í), / , = 8

Respuestas:

x(f) x(0

4

x(r)

10. Para cada señal en el ejercicio 9, haga pasar a la señal interpolada con el retenedor de orden cero por un filtro pasabajas de un solo polo cuya frecuencia de - 3 dB sea un cuarto de la tasa de muestreo.

Respuestas:

x(í) x(f) 1

/ 1-

A , 1 - 1 1

- 1 - 5

x(f)

4

I I . Repi ta el ejercicio 9 pero use un re tenedor de pr imer orden en lugar de re tención de orden cero.

Kespuestas:

L5 - 1

X{r)

462 12. Mues t ree las dos señales


xi( í ) = e' X 2 ( í ) = e ' + senCS-TTí)

en el intervalo - 3 < í < 3 a 8 H z y demues t re que los valores de la mues t ra son los mismos . 13. Para cada par de las siguientes señales, mues t ree a la tasa especif icada y determine la T F T D de

las señales mues t readas . En cada caso, expl ique, examinando las T F T D de ambas , por qué son iguales las muest ras .

a) x(0 = 4COS(16TTÍ) y x(f) = 4 eos (76IT r), = 30

h) x(í) = 6 sinc (80 y x(r) = 6 sinc (8í), eos (4007: f) f^ = 100

c) x(0 = 9 eos (14iT i) y x(í) = 9 eos (9877/), / , = 56

Respues tas :

/ 2 5 75 rect —F ) * c o m b ( F ) , 2

/ 8 \ c o m b F

V 3 0 / . c o m b | F + - ^ j

( 1 c o m b \F + c o m b F + -

14. Para cada senoide, determine las otras dos cuyas frecuencias son más cercanas a la frecuencia de la senoide dada, y las cuales, cuando se maes t rean a la tasa especificada, t ienen exactamente las mi smas muestras .

d) x ( 0 = 4 c o s ( 8 7 T í ) , / , = 20 V) x ( r ) = 4sen(8TTr) , / , = 20

c) x ( 0 = 2 s e n ( - 2 0 7 T í ) , i = 50 d) x ( r ) = 2 C O S ( - 2 0 T T Í ) , = 50

IT e) x(f ) = 5 c o s ( 30iTí + - ) , / . = 50

Respues tas :

- 2 s e n ( - 8 0 T T r ) y 2 s e n ( - 1 2 0 ' r r 0 ,

5 eos I 130TTÍ + -4

y 5 eos /

- 7 0 7 7 . +

4sen (487Tf) y - 4 s e n ( 3 2 7 7 r ) , 2cos(80TTf) y 2 c o s ( - 1 2 0 7 T f ) ,

4 C O S ( 4 8 T T Í ) y 4cos(32TTr)

15. Para cada señal en T D , dibuje la señal original y la señal mues t reada en el intervalo de mues treo especif icado.

/ 2 7 r n a) x [« ] — seni A j = 4

V 24

V) x [ « ] = rec tg ín] , A j = 2

/ 2 ' n n \ / iTin

c) X [ K ] = C O S ( ^ — j c o s ( ^ —

/ 9 \ " d) x[n] = — u [ « ] , = 6

\ 1 0 /

A . = 2

-20

— -20

20

20

xln]

1--

lUTUTTtmti—- I ,

- 2 4

40

4 24

Xjíl]

4 - 2 4

T r . 40

-1 +

1

-n —f

x[n]

4

- 2 4

1 'Hi*

x,[n]

4 .

- 2 4

24

16. Para cada señal del ejercicio 15, dibuje la magni tud de la T F T D de la señal original y de la señal muest reada.

Respuestas :

|X{F)|

0.25m4-

-1 |X/F)[

0.25 i

-1

iX(;íl)|

t o 4

tt # tt *

-2-77 2lT Ix/jíi)!

. o l

VAAAAAÁAAAAAy -2TT

|X(F)i

0 . 5 *

|X/F) |

O.5I

-1

1X(F)|

ÍM

-1

20-

1

iX/F)i

20-

1 II 1 f * F

-1

17. Para cada señal en T D , dibuje la señal original y la señal d iezmada para el intervalo de m u e s treo especif icado. Dibuje también las magni tudes de las T F T D de ambas señales.

a) x W = t n ( ^ ^ , yv, = 2 b) x [ « ] = (0 .95 )

/ 2'nn c) x[n] — eos ) ' = 7

/ 2 ' I T « \ " s e n ! — j u [ « ] , iV, = 2

Respuestas:

x[«]

4

-20

ÍX(F)Í

20 -1

x[«]

4 .

Al •F -1 +

ll ll [l. .tITt. M . .. 1 • • •

- 5 i i f W '^0

|X(F)|

lOOl

464

- 2 0

4

- 1

.(F)|

40

i X / F ) l

100 i

-1

- 2 0

- 2 0

xln]

1

-'1

20

-1

|X(F)|

0.5^

|X¿(f)l

0.5^

18. En cada señal del ejercicio 17 inserte el número especif icado de ceros entre mues t ras , apl ique un filtro en T D pasabajas a las señales con la frecuencia de corte especif icada y grafique la señal resultante y la magni tud de su T F T D . a) Inserte 1 cero entre los puntos . La frecuencia de corte es F^, = 0 .1 . b) Inserte 4 ceros entre los puntos . La frecuencia de corte es F^ = 0.2. c) Inserte 4 ceros entre los puntos . La frecuencia de corte es F^ = 0.02.

Respuestas :

0 . 4 , . 0 . - 4

- 2 0

-5

-0 .5 +

tilLlÍT...,. .t.. tTlT..TTt

|x,(í-)l

200-

Cero ,

19.

- 1

l i l i iU iJJ F 2lT

Muest ree las siguientes señales x(f) en T C para formar señales x[n] en T D . Mues t ree a la tasa de Nyquis t y luego a la siguiente superior para la cual el número de muest ras por ciclo es un entero. Grafique las señales en T C y en T D y las magni tudes de las T F T C de las señales en T C y las T F T D de las señales en T D .

a) x ( r ) = 2 s e n ( 3 0 i T r ) - F 5 c o s ( 1 8 i T í )

b) x ( r ) = 6 sen(6TT0 cos(247Tf)

x(f)

s i

-0.25'

- 8 +

•

1.25

3 -

t t t t , 1

- 1 5 ! '

15

X||l"]

- 1

x(f)

|X(/)|

3 ^

-0.25,

|XNy,(F)|

. 1 . 5 1

|X„( f ) |

- 8 +

XNyql"!

0.25 4 — '

IXNyqíí')!

3 ^

- 8 I, ,1 I, ,1 8

1 1 ' '1 1 - 1

X|,[/ll

5 Í

T

- 5 +

|x,,(f)l

3 4

- H - f

20. Para cada una de las siguientes señales determine la función armónica de la S F T D para un per iodo fundamental y demues t re que X[Nq/2] es real.

a) x[n] = r ec t2 [« ] * C O M B N Í H ]

b) x[n] = rec t2 [« + 1] * c o m b i 2 [ « ]

/ 1 4 T Í 7 ¡ \ c) x [n ] = c o s ^ —j eos

, 1 2 T r « \ a) x[n] = eos I I eos

14 / V 14

Respuestas:

1 - ( comb i6[k + c o m b ^^Ik -6] + c o m b i6[^ + 6] + comb lelk +

1 s e n ( 5 ( f c 7 T / 1 2 ) ) ^ ^ , . ( ^ , ^ , )

12 sen(yt'TT/12)

^ ( c o m b i 4 [ Á : -7] + c o m b u í / : -5] + c o m b ^ í / t -f- 5] -f- combuíA ' + l])e^''^^''''^\

1 sen(5( ; t ' iT /12))

I 2 sen(ytTT/12)

21. Inicie con una señal

x ( 0 = 8cos(30TTr)

y muestree , ventanee y repítala de manera per iódica ut i l izando una tasa de mues t reo de = 60 y un incho de ventana de A^^ = 32. Para cada señal en el proceso , dibtíjela jun to con su t ransformada, ya >¿a la T F T C o la T F T D .

x(í)

-0 .3

!x(/)|

4 4

- 1 5 15 Fase de X( / )

17-i - ^

—\ -15 —TT -

15

-16

- 1 6

11

lx/f)l

4^ ,

1

FasedeX,(F)

2 2 Algunas veces se utilizan otras formas de ventana distintas a un rectángulo. Mediante M A T L A B

encuentre y dibuje las magnimdes de las T F D de las siguientes funciones de ventana, con - 32.

a) Von H a n n o Hann ing

b) Bart let t

1 W[M] = -

w[n] =

1 - eos N -\J1

2n

N - 1 O < n <

O < n <

2 -2n N - l

N - l < n < N

c) H a m m i n g

w [n] = 0 .54 - 0 .46 eos 217?!

Af - 1 O <n < N

d) B l a c k m a n

Win] = 0 .42 - 0.5 eos ( j ^ — - ^ ) + 0.08 eos 2TTn O <n < N

Respues tas :

IXfflI

16 4

x[«] I

31 - 3 2 i

A

¡XMl

164 i 4

31 - 3 2 32

|xmi •

16 ,

31 - 3 2

IXffll

4

31 - 3 2

32

32

2 3 . Mues t ree las siguientes señales a las tasas especificadas para los t iempos especif icados y dibuj e las magni tudes de las T F D en función del número de a rmónica en el intervalo -Npll<k<{Npl2) - 1.

a) x(f) = COS(2TTÍ) , /. = 2,Nf = 16

b) X ( í ) = C 0 S ( 2 l T í ) , fs = 8,Nf = 16

c) x ( í ) = COS(2TTÍ) , fs = 16, NF = = 256

d) x ( 0 = cos(3TTf), f = 2,NF = 16

e) x(t) = C O S ( 3 T T O , fs = ?,,NF = 16

f) x ( í ) — cos(3Trr), f = 16, NF = = 256

Respuestas:

4

-128

1X1*11

|XW|

256Í

|xw| i 4

' 7 '

127

xln]

4

x[„]

4

-128

|XWi

i 4

|X[<rl|

256-t

|xw|


127

7

2 4 . Muestree las siguientes señales a las tasas y en los t iempos especificados y dibuje las magni tudes y fases de las T F D en función del número de armónica en el intervalo —{N12) < k < {N — 1) / 2.

d) x ( r ) = tri(f - 1), f =2,NF= 16 b) x ( í ) = tri(r - 1), / , = %,NF = 16 c) x ( í ) = tr i( í - 1), fs = 16, NF = 256 d) x ( í ) = t r i ( í ) + tri(í - 4 ) , / , = 2, ATf = 8 e) x ( í ) = t r i ( í ) + in{t - 4 ) , / , = S,NF= 32

f) x ( 0 = tr i( í) + tri(í - 4 ) , f = 64, Nf = 256

Respuestas:

IXMI

4

Fase de Xffl

- ^ k

I," I i ,

' 1 —X -

/ , = 8 , Í V f - = 1 6 IXMI

Fase de X M

-+^k

*k

- 1 2 8

-128'

/ , = 1 6 , ^ ^ = 256 |XM|

1 Fase de X[/t]

"T27 *

127

1

IX[t]l

2 -,

'—U

Fase de Xlk]

.4

4 r

f, = &.Nf = 32

iXWi

2Í

Fase de Xlt] 15

- 1 6 — A -

15

/ , = 64,A'f- = 256 Fase de X[*]

1 l 128

Fased

X -

127

128 —X -

127

25. Muestree cada una de las señales en TC, x(í), A^^ veces a la t a s a c r e a n d o la señal x[n] en TD. Dibuje x(f) en función de t y x[n] en función de nT^ para el intervalo de t iempo O < í < N^T^. Determine la X[k] de la T F D de las A - muestras . Después dibuje la magni tud y fase de X(f) en función d e / y de Tpí[k] en función de k A / p a r a el intervalo de frecuencias -{fJ2) <f<fJ2, donde Af = f^/Np~ Grafique T^X[k] como una función en T C continua util izando el comando p l o t de M A T L A B .

a) x ( í ) = 5 r e c t ( 2 ( í - 2 ) ) , / , = 16, Np = 64

'f - 2 0 \ b) x(t) = 3 sinc

5 ; , f, = 1,NF = 40

c) x(f ) = 2 r ec t ( í - 2) sen(8TT?), / , = 32 , NF = 128

d) x(f ) ^ 10 t - 2 \ . í t - 6 \

t n I — I - t r i , = 8,NF = 64 2 j V 2 y j

e) x ( r ) = 5 cos(2Tr/) cos(16TTf), / , = 64 , Np = 128

Respuestas :

X(0 5 +

|x(ni

1.25 j

w Fase de X(J)

4

IrAWl

54

11,111.1111

rfrn

2.5 .

4 1 1 • '

Fase de r,XJ*]

|X(/)I

-0.5 0.5 Fase de X(/)

3 |

|R,X,ral l-5KIS

|'iii'"'t|l

-0.5 0.5 Fase de T,X¿k]

iir 'ii'i'

1 0.5

X(0 54

X,(/IR,) 54

X(R) •

+

1X(/)1 2.5J

Fase de X{/)

i 1 1 II l 4

11 . II


26. Mues t ree cada señal en T C , x(í), A' ^ veces a una tasa d e / . , c reando la señal x[«] en T D . Dibuje x(í) en función de t y x[n] en función de nT^ para el intervalo de t iempo O < í < N^-T^. Determine la X[k] de la T F D de las muest ras . Grafique después la magni tud y fase de X(f) en función d e / y de X[Ic]/Np en función de k A / p a r a el intervalo de frecuencias -(f^ 12) <f< fJ2, donde A / =fJNp. Dibuje X[kyNp c o m o una función de impulsos en T C uti l izando el co m a n d o s t e t t i de M A T L A B para representar los impulsos .

a) x ( 0 = 4 C O S ( 2 0 0 T T Í ) , / = 800 , A^f = 32

b) x ( í ) = 6 rec t (2f ) * c o m b ( í ) , / = 16, Nf = 128

c) x ( í ) = 6 s inc (4 r ) * c o m b ( r ) , / = 16, Nf = 128

d) x(f) = 5cos(2TT?)cos(16'r7r), / = 64 , TV/r = 128

Respuestas :

x,(«r,)

4

I

IXCOI 1.5 '

r r p r y r r n o n T T r

1

Fase c

i

1 » 8

e X ( / )

• • • • • • • i k

- 8

1-5.

, ll

í ' 8

IWfl

ll , - 8

Fase de

8

- i r

- 8 11 i'

- 4 +

4 |

|X(/) |

2Í

:o.04

1 400

Fase c

1 ' 400

e X(/ )

-400 — IT -

Al

— . h*-400

]/WfI

400

Fase de

1

1 * 400

X,lA-]/iVf.

1 1

400 — IT -

1 ' 400

x(/)

|X(/) |

3 -

1 i í H

Fase de X(/ )

3 4

Fase de XJ,kyNf

4

|X(/)|

x(f)

5 4

1.25

- 5 + '

- 3 2

Fase de X(/ )

|X,W/Wf]

1.25,1 +

M f 1! 1 F Í F I

- 3 2

1 . 1

- 3 2 32 — IT -

- 3 2 ' 32

- «r^ Fase de X^ikVNp

-+*kf/NF 32

EJERCICIOS SIN RESPUESTAS 27. Median te M A T L A B (o una i ierramienta de computadora matemát ica equivalente) dibuje la señal

x ( í ) = 3cos (20 'n - í ) - 2 s e n ( 3 0 T T r )

para el intervalo de t i empo de O < í < 400 ms . Dibuje t ambién la señal en T D formada al m u e s trear esta función en los siguientes intervalos de mues t reo :

= l i o ^ b) 7; = i s

d) t ; = i s

C o n base en lo que observe, ¿qué puede decir acerca de qué tan rápido esta señal debe mues trearse para reconstruir la a partir de las mues t ras?

28. U n a señal xit) = 20 cos(l OOO-n-r) se mues t rea por impulsos a una tasa de mues t reo de 2 kHz . Di buje dos per iodos fundamentales de la señal mues t reada por impulsos X g ( í ) . (Considere que la mues t ra está en el t i empo t = 0.) Después dibuje cuatro per iodos fundamentales , centrados en O Hz, de la X g ( / ) de la T F T C de la señal mues t reada por impulsos X g ( f ) . C a m b i e la tasa de mues treo a 500 H z y repita.

29 . U n a señal x(í) = 10 rect(í/4) se mues t rea por impulsos a una tasa de mues t reo de 2 Hz. Dibuje la señal mues t reada por impulsos X g ( f ) en el intervalo - 4 < ? < 4. Después grafique tres per iodos fundamentales , centrados e n / = : O de la X g ( / ) de la T F T C de la señal mues t reada por impulsos X g ( í ) . C a m b i e la tasa de mues t reo a } Hz y repita.

30 U n a señal x(r) = 4 sinc(lOf) se mues t rea por impulsos a una tasa de mues t reo de 20 Hz. Grafique la señal mues t reada por impulsos Xg(?) para el intervalo - 0 . 5 < f < 0.5. Después dibuje tres per iodos fundamentales , cent rados e n / = O, de la X g ( / ) de la T F T C de la señal mues t reada por impulsos X g ( í ) . Cambie la tasa de mues t reo a 4 Hz y repita.

31 . U n a señal x[«] en T D se forma mues t reando una señal x{t) = 20 COSÍSTTÍ) en T C a una tasa de mues t reo de 20 Hz. Grafique x[«] para 10 per iodos fundamentales en función del t i empo discreto. Después haga lo m i s m o para frecuencias de mues t reo de 8 y 6 Hz.

32 . Se forma una señal x[n] en T D mues t reando una señal x(t) = - 4 sen(200'TTí) en T C a una tasa de mues t reo de 4 0 0 Hz. G r a ñ q u e x[«] para 10 per iodos fundamentales en función de t i empo discreto. Después realice lo m i s m o para frecuencias de mues t reo de 200 y 60 Hz.

33. De te rmine las tasas de Nyquis t para las siguientes señales.

a) x(0 = 15 r e c t ( 3 0 0 í ) cos(10 '*iTr) b) x ( í ) = 7 s inc (40f ) cos(150TTf)

c) x(f ) = 15 [ rec t (500r ) * 100 c o m b ( l O O í ) ] COSÍIO^^TTÍ)

d) x(f ) ^ 4 [ s i n c ( 5 0 0 r ) * c o m b ( 2 0 0 r ) ]

e) x ( í ) = - 2 [ s i n c ( 5 0 0 f ) * comb(200r ) ] cos (10 '* ' iT f )

34. Sobre una gráfica dibuje la señal en T D formada al mues t rear las siguientes tres funciones en T C a una tasa de mues t reo de 30 Hz.

471 Ejercicios sin respuestas

a) x i ( r ) = 4 s e n ( 2 0 7 T í )

c) x2Ít) = - 4 sen(40'n-f)

b) X 2 ( / ) = 4 s e n ( 8 0 ' 7 T r )

35. Grafique la señal x[«] en T D formada al mues t rear la señal en T C

x ( í ) = 8 r e c t ( 3 f )

al doble de la tasa de Nyquis t y la propia x(r). L u e g o en la m i s m a gráfica dibuje al m e n o s otras dos senoides en T C que producir ían exac tamente las mi smas muest ras si se mues t rearan a los mismos t iempos. Dibuje la magni tud de la T F T C de

(-V 6 .

36.

x(?) = 25 sinc^

Se requerir ía una cant idad infinita de muest ras para reconstruir de manera exacta x(t). Si se estableciera un compromiso en el cual el mues t reo se efectuara sobre el mín imo t iempo posible que pudiera contener 99 por ciento de la energía de esta forma de onda, ¿cuántas muest ras se requer i r ían"

37. Dibuje la magni tud de la T F T C de

x ( r ) = 8 r e c t ( 3 r )

38.

Esta señal no es de banda l imitada, de m o d o que no puede muest rearse de manera adecuada para construir en forma exacta la señal a partir de las muest ras . C o m o un compromiso práct ico, suponga que un ancho de banda que cont iene 99 por ciento de la energía de x(f) es lo suficientemente grande para reconstruir en forma práct ica x(r) a partir de sus muestras . ¿Cuál es la tasa de mues t reo mín ima requer ida en este caso? U n a señal x(f) es per iódica y un per iodo fundamental de la mi sma se describe median te

x(0 = 3t O

O < f < 5.5 5.5 < r < 8

Encuent re las muest ras de esta señal para un per iodo fundamental mues t readas a una tasa de 1 H z (empezando en el t iempo ? = 0). Grafique después , sobre la m i s m a escala, dos per iodos fundamentales de la señal original y dos per iodos fundamentales de una señal per iódica que es de banda l imitada a 0.5 Hz o menos y la cual tendría estas mismas muest ras .

39. ¿Cuántos valores de mues t ra se requieren para producir suficiente información que descr iba de manera exacta las siguientes señales per iódicas de banda l imitada?

a) x ( r ) = 8 - I - 3 cos(8 ' iT/) + 9 sen(4iTr)

b) x ( í ) = 8 -f 3 0 0 8 ( 7 1 7 0 + 9 sen(4'TTí)

4 t . Mues t ree la señal en T C

x ( í ) = 15 s i n c ( 5 í ) * - c o m b ( -2 V2

sen(32'n-í)

para formar la señal x[n] en T D . Mues t ree a la tasa de Nyquis t y luego a la s iguiente tasa más alta para la cual el número de muestras por ciclo es un entero. Dibuje las señales en T C y en T D y la magni tud de la T F T C de la señal en T C y la T F T D de la señal en T D .

41. Sin usar una computadora , encuentre la T F D directa de la siguiente secuencia de datos y determine después la T F D inversa de esa secuencia y verifique que obt iene de nuevo la secuencia original

{ 3 , 4 , 1 , - 2 } .

42. Vuelva a realizar el e jemplo 7 . 5 pero esta vez utilice

x(f) = 1 + s e n ( 8 i T 0 -|- C O S ( 4 I T ?

c o m o la señal que se debe muestrear. Expl ique cualquier discrepancia que se presente . 43. Mues t ree la señal per iódica de banda l imitada x(f) = 1 5 COSÍSOOTTÍ) + 4 0 sen(200TTf) a exacta

men te su tasa de Nyquis t para un per iodo fundamental exacto de x(í) . De te rmine la T F D de esas muest ras . A partir de la T F D encuentre la función armónica de la SFTC. Dibuje la representación de la S F T C de la señal que resulta y compáre la con x(f). Expl ique cualquier diferencia. Repita para una tasa de mues t reo del doble de la tasa de Nyquis t .

44. Dibuje la señal per iódica de banda l imitada x(í) = 8 cos(50iTr) - 1 2 sen(80TT0 a exac tamente su tasa de Nyquis t para un per iodo fundamental exacto de x(í) . Determine la T F D de esas mues tras. A partir de la T F D encuentre la función armónica de la S F T C . Dibuje la representación de la S F T C de la señal que resulte y compáre la con x ( 0 . Expl ique cualquier diferencia. Repi ta para una tasa de mues t reo del doble de la tasa de Nyquis t .

45. Median te M A T L A B , a) Genere una secuencia pseudoalea tor ia de 2 5 6 puntos datos en un vector x, u t i l izando la fun

ción r a n d n que está incorporada en M A T L A B . b) Encuent re la T F D de esa secuencia de datos y póngala en el vector X. c) Iguale el vector X l p f a X. d) Iguale a cero todos los valores en X l p f excepto el p r imero y los úl t imos ocho puntos . e) Tome la parte real de la T F D inversa de X l p f y póngala en un vector x l p f . / ) Genere un conjunto de 2 5 6 t iempos de mues t reo t , que empiece con O y estén uni formemen

te separados por 1 . g) Grafique x y x l p f en función de t sobre la m i s m a escala y compare . ¿Qué t ipo de efecto t iene esta operación sobre el conjunto de datos? ¿Por qué el arreglo de sa-h d a recibe el n o m b r e x l p f ?

46. Mues t ree la señal x(í) = rect(í) a tres frecuencias diferentes: 8 , 1 6 y 3 2 Hz por 2 s. Dibuje la magni tud de la T F D en cada caso. ¿Cuál de estas frecuencias de mues t reo produce una gráfica de magni tud que se ve m u y similar a la magni tud de la T F T C de x(f)?

47. Mues t ree la señal x(f) = r e c t ( 0 a 8 H z para tres t iempos totales diferentes: 2 , 4 y 8 s. Dibuje la magni tud de la T F D en cada caso. ¿Cuál de estas frecuencias de mues t reo p roduce una gráfica de magni tud que se ve m u y similar a la magni tud de la T F T C de x(í)?

48. Mues t ree la señal x(í) = cos(7rf) a tres diferentes frecuencias: 2 , 4 y 8 Hz por 5 s. Dibuje la magni tud de la T F D en cada caso. ¿Cuál de estas frecuencias de mues t reo p roduce la gráfica de magni tud que se observa más similar a la magni tud de la T F T C de x(r)?

49. Mues t ree la señal x(í) = cosCirr) a 8 H z para tres t iempos totales diferentes: 5 , 9 y 1 3 s. Dibuje la magni tud de la T F D en cada caso. ¿Cuál de estos t iempos de mues t reo totales p roduce una gráfica de magni tud similar a la magni tud de la T F T C de x(í)?


Señales y Sistemas - Roberts - Cap7

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